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Slides du cours de systèmes multivariables donné à l'EPFL, 2011

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  • 1. Modèle d’état/State-space Model Analogique/Continuous Discret/Discrete Non linéaire Nonlinear x (t) = f [x (t) , u (t) , t] ˙ x (k + 1) = f [x (k) , u (k) , k] y (t) = g [x (t) , u (t) , t] y (k) = g [x (k) , u (k) , k] x (t) = A (t) x (t) + B (t) u (t) ˙ Linéaire x (k + 1) = Φ(k)x (k) + Γ(k)u (k) Linear y (t) = C (t) x (t) + D (t) u (t) y (k) = C(k)x (k) + D(k)u (k)time-invariant stationnaire Linéaire et Linear and x (t) ˙ = Ax (t) + Bu (t) x (k + 1) = Φx (k) + Γu (k) y (t) = Cx (t) + Du (t) y (k) = Cx (k) + Du (k) Denis Gillet @ EPFL 1
  • 2. 3.2 Grandeurs Nominales u Système y dynamique non linéaire et stationnaire x x (t) = f [x (t) , u (t) , t] ˙ x (k + 1) = f [x (k) , u (k) , k]linéaire Non y (t) = g [x (t) , u (t) , t] y (k) = g [x (k) , u (k) , k]Station- x (k + 1) = f [x (k) , u (k)] x (t) = f [x (t) , u (t)] ˙ naire y (k) = g [x (k) , u (k)] y (t) = g [x (t) , u (t)]Trajectoire nominale ˙ x (t) = f [¯ (t) , u (t)] ¯ x ¯ x (k + 1) = f [¯ (k) , u (k)] ¯ x ¯ y (t) = g [¯ (t) , u (t)] ¯ x ¯ y (k) = g [¯ (k) , u (k)] ¯ x ¯
  • 3. 3.2.3 Point de fonctionnementPoint de fonctionnement = état nominal = point d’équilibreSi le système se trouve à son point de fonctionnement et enl’absence de perturbation, il y resteLa trajectoire nominale n’évolue plus au cours du temps x(t) = x; ¯ ¯ u(t) = u; ¯ ¯ y (t) = y ¯ ¯ Analogique Discret ˙ ˙ x (t) = x = 0 ¯ ¯ x (k + 1) = x (k) = x ¯ ¯ ¯ ∀k 0 = f [¯, u] x ¯ x = f [¯, u] ¯ x ¯ y = g [¯, u] ¯ x ¯ y = g [¯, u] ¯ x ¯ n+p équations algébriques à résoudre r degrés de liberté
  • 4. Linéarisation par la tangenteAnalogique Discretx (t) = f [x (t) , u (t) , t]˙ x (k + 1) = f [x (k) , u (k) , k]y (t) = g [x (t) , u (t) , t] y (k) = g [x (k) , u (k) , k]Forme commune des fonctions non linéaires f [x, u] g[x, u]On cherche une approximation linéaire valable autour d’unetrajectoire nominale ou d’un point de fonctionnement ￿ ￿  x(t) ¯ u(t) ¯ y (t) ¯  ￿ ￿ ￿ ￿ → ¯ x ¯ u ¯ y x(k) ¯ u(k) ¯ y (k) ¯ 4
  • 5. Linéarisation par la tangente ExacteEcarts f (x)x=x−x˜ ¯y =y−y˜ ¯ z Approchéeu=u−u˜ ¯ ˜ z z = f (¯) ¯ x ˜ x ¯ x xFonction de x uniquement d df z= ˜ f (x)|x=¯ x = x ˜ (¯)˜ xx dx dx 5
  • 6. Linéarisation par la tangente ExacteEcarts f (x)x=x−x˜ ¯y =y−y˜ ¯ z Approchéeu=u−u˜ ¯ ˜ z z = f (¯) ¯ x ˜ xFonction de x et de u (n=r=1) ¯ x x f (x, u) − f (¯, u) ∼ z − z = z = x ¯ = ¯ ˜ ∂x f (¯, u)˜ ∂ x ¯x + ∂u f (¯, u)˜ ∂ x ¯u g(x, u) − g(¯, u) ∼ y − y = y = x ¯ = ¯ ˜ ∂x g(¯, u)˜ ∂ x ¯x + ∂u g(¯, u)˜ ∂ x ¯u Analogique ˜ = ˙ ˙ ¯ ˙ z (t) ∼ x(t) − x(t) = x(t) ˜ Discret z (k) ∼ x(k + 1) − x(k + 1) = x(k + 1) ˜ = ¯ ˜ 6
  • 7. Linéarisation par la tangente ∂f1 ∂f1 ∂f1 ∂f1z1 =˜ ∂x1 (¯, u)˜1 x ¯x + ... + ∂xn (¯, u)˜n x ¯x + ∂u1 (¯, u)˜1 x ¯u + ... + ∂ur (¯, u)˜r x ¯u . . .zn = ∂fn (¯, u)˜1 + . . . + ∂xn (¯, u)˜n +˜ ∂x1 x ¯x ∂f n x ¯x ∂fn ∂u1 (¯, u)˜1 x ¯u + ... + ∂fn ∂ur (¯, u)˜r x ¯u ∂g1 ∂g1 ∂g1 ∂g1y1 =˜ ∂x1 (¯, u)˜1 x ¯x + ... + ∂xn (¯, u)˜n x ¯x + ∂u1 (¯, u)˜1 x ¯u + ... + ∂ur (¯, u)˜r x ¯u . . . ∂g ∂gp ∂gp ∂gpyp = ∂xp (¯, u)˜1 + . . . + ∂xn (¯, u)˜n +˜ 1 x ¯x x ¯x ∂u1 (¯, u)˜1 x ¯u + ... + ∂ur (¯, u)˜r x ¯u  ˙ x(t)  ˜ ∂f ∂f =z= ˜ ∂x (¯, u)˜ x ¯x + ∂u (¯, u)˜ x ¯u  x(k + 1) ˜ ∂g ∂g y= ˜ ∂x (¯, u)˜ x ¯x + ∂u (¯, u)˜ x ¯u 7
  • 8. Linéarisation par la tangente  ∂f1 ∂f1 ∂f1  ∂x1 (¯, u) x ¯ ∂x2 (¯, u) x ¯ ... ∂xn (¯, u) x ¯    ∂f  ∂f2 ∂f2 ∂f2  (¯, u) =  x ¯ ∂x1 (¯, u) x ¯ ∂x2 (¯, u) x ¯ ... ∂xn (¯, u)  = A x ¯∂x  . . .   . . .   . . .  ∂fn ∂fn ∂fn ∂x1 (¯, u) x ¯ ∂x2 (¯, u) x ¯ ... ∂xn (¯, u) x ¯  ∂f1 ∂f1 ∂f1  ∂u1 (¯, u) x ¯ ∂u2 (¯, u) x ¯ ... ∂ur (¯, u) x ¯    ∂f  ∂f2 ∂f2 ∂f2  (¯, u) =  x ¯ ∂u1 (¯, u) x ¯ ∂u2 (¯, u) x ¯ ... ∂ur (¯, u)  = B x ¯∂u  . . .   . . .   . . .  ∂fn ∂fn ∂fn ∂u1 (¯, u) x ¯ ∂u2 (¯, u) x ¯ ... ∂ur (¯, u) x ¯ 8
  • 9. Linéarisation par la tangente  ∂g1 ∂g1 ∂g1  ∂x1 (¯, u) x ¯ ∂x2 (¯, u) x ¯ ... ∂xn (¯, u) x ¯    ∂g  ∂g2 (¯, u) x ¯ ∂g2 (¯, u) x ¯ ... ∂g2 (¯, u)  = C x ¯  (¯, u) =  x ¯  ∂x1 ∂x2 ∂xn ∂x  . . . . . .   . . .  ∂gp ∂gp ∂gp ∂x1 (¯, u) x ¯ ∂x2 (¯, u) x ¯ ... ∂xn (¯, u) x ¯  ∂g1 ∂g1 ∂g1  ∂u1 (¯, u) x ¯ ∂u2 (¯, u) x ¯ ... ∂ur (¯, u) x ¯    ∂g  ∂g2 (¯, u) x ¯ ∂g2 (¯, u) x ¯ ... ∂g2 (¯, u)  = D x ¯  (¯, u) =  x ¯  ∂u1 ∂u2 ∂ur ∂u  . . . . . .   . . .  ∂gp ∂gp ∂gp ∂u1 (¯, u) x ¯ ∂u2 (¯, u) x ¯ ... ∂ur (¯, u) x ¯ 9
  • 10. Résumé linéarisation par la tangente Analogique Discret x (t) = f [x (t) , u (t) , t] ˙ x (k + 1) = f [x (k) , u (k) , k]linéaire Non y (t) = g [x (t) , u (t) , t] y (k) = g [x (k) , u (k) , k] x(t) = x(t) − x(t) ˜ ¯ x(k) = x(k) − x(k) ˜ ¯ y (t) = y(t) − y (t) ˜ ¯ y (k) = y(k) − y (k) ˜ ¯Trajectoire nominale u(t) = u(t) − u(t) ˜ ¯ u(k) = u(k) − u(k) ˜ ¯ ˙ x (t) = f [¯ (t) , u (t)] ¯ x ¯ x (k + 1) = f [¯ (k) , u (k)] ¯ x ¯ y (t) = g [¯ (t) , u (t)] ¯ x ¯ y (k) = g [¯ (k) , u (k)] ¯ x ¯fonctionnement ˙ ˙ x (t) = x = 0 ¯ ¯ x (k + 1) = x (k) = x ¯ ¯ ¯ ∀k Point de 0 = f [¯, u] x ¯ x = f [¯, u] ¯ x ¯ y = g [¯, u] ¯ x ¯ y = g [¯, u] ¯ x ¯ ￿ ￿ ￿ ￿ ˙ ￿ ∂f ￿ ￿ ∂f ￿ x (t) = ∂f ￿ x (t) + ∂u ￿ ˜ ∂x ˜ u (t) x (k + 1) = ∂f ￿ x (k) + ˜ ˜ ∂x ˜ ∂u ￿ u (k) ˜linéarisé Modèle x,¯ ¯u x,¯ ¯u x,¯ ¯u x,¯ ¯u ￿ ￿ ￿ ￿ ∂g ￿ ∂g ￿ ∂g ￿ ∂g ￿ y (t) = ∂x ￿ ˜ x (t) + ∂x ￿ ˜ u (t) ˜ y (k) = ∂x ￿ ˜ x (k) + ∂x ￿ ˜ u (k) ˜ x,¯ ¯u x,¯ ¯u x,¯ ¯u x,¯ ¯u 10
  • 11. Systèmes intrinsèquement linéaires Analogique Discret x (t) ˙ = Ax (t) + Bu (t) x (k + 1) = Φx (k) + Γu (k) y (t) = Cx (t) + Du (t) y (k) = Cx (k) + Du (k) x(t) = x(t) − x(t) ˜ ¯ x(k) = x(k) − x(k) ˜ ¯ y (t) = y(t) − y (t) ˜ ¯ y (k) = y(k) − y (k) ˜ ¯ u(t) = u(t) − u(t) ˜ ¯ u(k) = u(k) − u(k) ˜ ¯fonctionnement ˙ ˙ x (t) = x = 0 ¯ ¯ x (k + 1) = x (k) = x ¯ ¯ ¯ ∀k Point de 0 = A¯ + B u x ¯ x = Φ¯ + Γ¯ ¯ x u y = C x + D¯ ¯ ¯ u y = C x + D¯ ¯ ¯ u {¯, x, y } = {0, 0, 0} u ¯ ¯ −1 x = −A−1 B u ¯ ¯ x = (I − Φ) ¯ Γ¯ u“linéarisé” ˙ x (t) ˜ = A˜ (t) + B u (t) ˜ x (k + 1) = Φ˜ (k) + Γ˜ (k) ˜ Modèle x x u y (t) ˜ = C x (t) + D˜ (t) ˜ u y (k) = C x (k) + D˜ (k) ˜ ˜ u 11
  • 12. Sustentation: Linéarisation par la tangente Modèle physique 1 L F (x, i) = i2 2 (1 + x)2 m¨ = mg − F (x, i) x 1 L x=g− ¨ i2 2m (1 + x)2 Modèle d’état u = i, x1 = x x2 = x ˙ x1 = x = x2 = f1 (x, u) ˙ ˙ x2 = x = g − ˙ ¨ L 2m(1+x1 ) 2u 2 = f2 (x, u) y = x1 = g1 (x, u) 12
  • 13. Sustentation: Linéarisation par la tangente Modèle d’état x1 = x = x2 = f1 (x, u) ˙ ˙ x2 = x = g − ˙ ¨ L 2m(1+x1 ) 2u 2 = f2 (x, u) y = x1 = g1 (x, u) Point de fonctionnement y = yo ¯ 0 = x2 ¯ 0=g− L 2m(1+¯1 ) x ¯2 2u y = x1 = yo ¯ ¯ ￿ 2mg u= ¯ (1 + yo ) L 13
  • 14. Sustentation: Linéarisation par la tangente Modèle d’état non linéaire x1 = x = x2 = f1 (x, u) ˙ ˙ x2 = x = g − ˙ ¨ L 2m(1+x1 ) 2u 2 = f2 (x, u) y = x1 = g1 (x, u) Modèle linéarisé y = yo ¯   ￿ ￿ ∂f1 ∂f1 ∂x1 (¯, u) x ¯ ∂x2 (¯, u) x ¯ ∂f1 ˙ ∂u (¯, u) x ¯ x= ˜ x + ˜ ˜ u ∂f2 ∂f2 ∂f2 ∂x1 (¯, u) x ¯ ∂x2 (¯, u) x ¯ ∂u (¯, u) x ¯ ￿ ￿ ￿ ￿ ∂g1 ∂g1 ∂g1 y= ˜ ∂x1 (¯, u) x ¯ ∂x2 (¯, u) x ¯ x+ ˜ ∂u (¯, u) u x ¯ ˜ 14
  • 15. Sustentation: Linéarisation par la tangente Modèle d’état non linéaire x1 = x = x2 = f1 (x, u) ˙ ˙ x2 = x = g − ˙ ¨ L 2m(1+x1 ) 2u 2 = f2 (x, u) y = x1 = g1 (x, u) Modèle linéarisé y = yo ¯ ￿ ￿ ￿ ￿ 0 1 0 ˙ x= ˜ L¯2 x+ ˜ L¯ u ˜ u u m(1+¯1 )3 x 0 m(1+¯1 )2 x ￿ ￿ y= ˜ 1 0 ˜ x 15
  • 16. Cuve de mélange: Modèle d’état u1 = q1 u2 = q2 c1 c2 1y1 = h = x1 x1 = V S y2 = x2 = c ￿ ￿ ￿ ￿ x1 (t) = u1 (t) + u2 (t) − K x1 (t) ￿ ˙ S ￿ ￿ ￿ x2 (t) = x11 {[c1 − x2 (t)] u1 (t) + [c2 − x2 (t)] u2 (t)} ˙ (t) ￿ ￿ y1 (t) = S x1 (t) 1 ￿ ￿ ￿ y (t) = x (t) 2 2 16
  • 17. Cuve de mélange: Point de fonctionnement u1 = q1 u2 = q2 c1 c2 1 y1 = h = x1 x1 = V S y2 = x2 = c￿ ￿￿ x1 (t) ￿￿￿ x1 (t) = u1 (t) + u2 (t) − K ˙ ￿ y1 (t) = S x1 (t) 1 S ￿￿ ￿￿ ￿ y (t) = x (t)￿ x2 (t) = ˙ {[c1 − x2 (t)] u1 (t) + [c2 − x2 (t)] u2 (t)} 1 x1 (t) 2 2￿ ￿￿ ￿￿￿ 0 = u1 + u2 − K x1 ¯ ¯ ¯ ￿ y1 = S x1 ¯ 1 ¯ S ￿￿ ￿￿ ￿ y =x ¯2 ¯2￿ 0= 1 x1 ¯ {[c1 − x2 ] u1 + [c2 − x2 ] u2 } ¯ ¯ ¯ ¯ 17
  • 18. Cuve de mélange: Modèle d’état linéarisé u1 = q1 u2 = q2 c1 c2 1 y1 = h = x1 x1 = V S y2 = x2 = c￿ ￿ ￿ ￿ ￿￿ ￿ ￿ ￿￿ ￿ ˙ ˜ x1 1 K x1 ¯ 0 ˜ x1 1 1 ˜ u1 ˙ =− 2 S + (c1 −¯2 ) (c2 −¯2 ) ˜ x2 ¯ x1 0 u1 + u2 ¯ ¯ ˜ x2 x1 ¯ x x1 ¯ x ˜ u2 ￿ ￿￿ ￿ ￿ ￿￿ ￿ 2 3 2 3 a 0 4 1 1 5 4 5 0 b p q￿ ￿ ￿ ￿￿ ￿ ˜ y1 1 0 ˜ x1 = S ˜ y2 0 1 ˜ x2 18
  • 19. Résumé linéarisation par la tangente u Modèle d’état non linéaire y et stationnaire f [x, u] g [x, u] x u ˜ u Modèle d’état ˜ y y linéarisé A˜ + B u x ˜ − C x + D˜ ˜ u + ¯ u ¯ y 19
  • 20. Linéarisation par contre-réaction u(t) Système y(t) MIMO x(t) u(t) Systèmew(t) Modèle inverse y(t) MIMO Globale Prix à payer: Besoin de l’état Pas toujours possible !
  • 21. Sustentation: Modèle inverse Modèle physique 1 L F (x, i) = i2 2 (1 + x)2 m¨ = mg − F (x, i) x 1 L x=g− ¨ i2 2m (1 + x)2 Modèle d’état u = i, x1 = x x2 = x ˙ x1 = x = x2 = f1 (x, u) ˙ ˙ x2 = x = g − ˙ ¨ L 2m(1+x1 ) 2u 2 = f2 (x, u) y = x1 = g1 (x, u) 21
  • 22. Sustentation: Modèle inverse Modèle d’état x1 = x = y x1 = x = x2 ˙ ˙ x2 = x = y = g − ˙ ¨ ¨ L 2m(1+x1 )2 u 2 y = x1 Modèle inverse y = x1 y = x1 = x2 ˙ ˙ y = x2 = g − ¨ ˙ 1 L 2m (1+x1 ) 2u 2 ≡w ￿ 2m(g − w) u= (1 + x1 ) L 22
  • 23. Sustentation: Modèle inverse u(t) Système y(t) MIMO x(t)w(t) ￿ u(t) y(t) 2m(g − w) 1 L u= (1 + x1 ) y=g− ¨ u2 L 2m (1 + x)2 double intégrateur y=w ¨ w(t) 1 y(t) s2 23
  • 24. 3.5 Découplage non linéaire u(t) Système y(t) MIMO3.4 Linéarisation par x(t)contre-réaction u(t) w(t) Découpleur Système y(t) Modèle inverse MIMOSi le modèle inverse Intégrateursexiste w1 (t) Sous-système 1 y1 (t) . . r=p . wp (t) Sous-système r yp (t) 24
  • 25. Cuve de mélange: Modèle inverse u1 = q1 u2 = q2 c1 c2 1 y1 = h = x1 x1 = V S y2 = x2 = c￿ ￿￿ ￿￿ x1 (t) = u1 (t) + u2 (t) − K x1 (t) ￿ y1 (t) = S x1 (t)￿ ˙ 1 S ￿￿ ￿￿ ￿ y (t) = x (t)￿ x2 (t) = x11 {[c1 − x2 (t)] u1 (t) + [c2 − x2 (t)] u2 (t)} ˙ (t) 2 2￿ ￿ ￿ ￿￿￿ y1 (t) = 1 x1 (t) = 1 u1 (t) + u2 (t) − K x1 (t) ≡ w1 (t)￿ ˙ S ˙ S S￿￿￿￿ y2 (t) = x2 (t) = x11 {[c1 − x2 (t)] u1 (t) + [c2 − x2 (t)] u2 (t)} ≡ w2 (t) ˙ ˙ (t) 25
  • 26. Cuve de mélange: Modèle inverse u1 = q1 u2 = q2 c1 c2 1 y1 = h = x1 x1 = V S￿ ￿ ￿ ￿ y2 = x2 = c￿￿ y1 (t) = ˙ u1 (t) + u2 (t) − K x1S (t) S x1 (t) ˙ = ≡ w1 (t) 1 1￿ S￿￿￿￿ y2 (t) = x2 (t) = x11 {[c1 − x2 (t)] u1 (t) + [c2 − x2 (t)] u2 (t)} ≡ w2 (t) ˙ ˙ (t)￿ ￿ ￿ ￿ ￿ ￿￿￿ u1 (t) = c2 −c1 [c2 − x2 (t)] w1 (t)S + K x1S 1 (t) − w2 (t)x1 (t)￿￿￿ ￿ ￿ ￿ ￿￿￿￿ u2 (t) = 1 w2 (t)x1 (t) − [c1 − x2 (t)] w1 (t)S + K x1S (t)￿ c2 −c1 26
  • 27. Cuve de mélange: Modèle inverse u(t) Système y(t) MIMO x(t) ￿ ￿ ￿ ￿ x1 (t) = u1 (t) + u2 (t) − K x1 (t) ˙w(t) ￿ ￿ ￿ ￿ ￿ ￿ u(t) ￿ ￿ ￿ S y(t) ￿ ￿ u1 (t) = 1 [c2 − x2 (t)] w1 (t)S + K x1S (t) − w2 (t)x1 (t) ￿ x2 (t) = x11 {[c1 − x2 (t)] u1 (t) + [c2 − x2 (t)] u2 (t)} ˙ (t) ￿ c2 −c1 ￿ ￿ ￿ ￿ ￿ ￿￿ ￿ ￿ u (t) = 1 w2 (t)x1 (t) − [c1 − x2 (t)] w1 (t)S + K x1S (t) ￿ ￿ 2 c2 −c1 ￿ y1 (t) = S x1 (t) 1 ￿ ￿ ￿ y (t) = x (t) 2 2 Intégrateurs w1 (t) 1/ y1 (t) s w2 (t) 1/ y2 (t) s 27
  • 28. Implantation discrète Intégrateurs w1 (t) 1/ y1 (t) s w2 (t) 1/ y2 (t) syi (t) = wi (t)˙ Φ = eAh = e0 = 1 ￿ h Aη ￿hxi (t) = yi (t) Γ = 0 e dηB = 0 dηB = hxi (t) = 0xi (t) + 1wi (t)˙ xi (k + 1) = xi (k) + hw(k) 28