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  • 1. Systèmes Multivariables Coordination de systèmes et de dispositifs dynamiques distribués Dr. Denis Gillet (IEL) http://graaasp.epfl.ch/#item=space_851
  • 2. Support:Polycopié Systèmes multivariables (2011) de D. Gillet qui est disponible en ligne http://graaasp.epfl.ch/attachment/385 2
  • 3. Syllabus• Représentation détat (21 septembre): Introduction. Exemples qualitatifs. Représentation détat analogique.• Représentation détat (28 septembre): Simulation. Représentation détat discrète.• Etude de cas (5 octobre): Introduction ex catherdra à létude de cas et exercices.• Linéarisation (12 octobre): Trajectoires et points de fonctionnement. Commande a priori. Linéarisation locale. Linéarisation globale.• Discrétisation (19 octobre): Discrétisation de modèles linéaires (prise en compte de convertisseurs AD & DA). Méthodes de calcul de lexponentielle de matrice.• Analyse dynamique des systèmes MIMO discrets et Principe de la commande détat (26 octobre): Solution de léquation détat discrète. Matrice de transfert. Stabilité, Formes canoniques. Synthèse constructive du régulateur.• Commande détat SISO (2 novembre): Formule dAckermann pour le régulateur. Commande à réponse pile.• Observation détat (9 novembre): Méthode constructive. Formule dAckermann pour lobservateur. Observabilité.• Etude de cas (16 novembre): Etude de cas au laboratoire - ME A0 392.• Commande détat optimale (23 novembre): Introduction à la commande détat MIMO. Solution du problème optimal par Lagrange.• Commande détat optimale (30 novembre): Commande optimale linéaire quadratique (LQR) stationnaire.• Etude de cas (7 décembre): Etude de cas au laboratoire - ME A0 392 (assistant: Alain Bock). 0.5 pts de bonus (sur la base dun rapport à rendre pour le 7 janvier par email à Alain Bock)!• Estimation détat optimale (14 décembre).• Fonctions de navigation et révision (21 décembre). 3
  • 4. Chap. 1: Introduction sur des exemples Entraînement électrique Rétroaction classique Commande en cascade 4
  • 5. Chap. 1: Introduction sur des exemples Entraînement électrique Commande d’état 5
  • 6. Chap. 1: Introduction sur des exemples Pendule inversé Applications Interactions dynamiques 6
  • 7. Chap. 1: Introduction sur des exemples Pendule inversé Commande d’état 7
  • 8. Chap. 1: Introduction sur des exemples Robot 2D 8
  • 9. Chap. 1: Linéarité Additivité f (x + y) = f (x) + f (y) + Homogénéité f (αx) = αf (x) Principe de superposition f (αx + βy) = αf (x) + βf (y) Comportement proportionnel˙y(t) ˙ y(t) u(t) u(t) y(t) = f [u(t), t] = au(t) ˙ y(t) = f [u(t), t] = au(t) + b ˙ 9
  • 10. Chap. 1: Linéaritéu1 → y1 = au1 ˙u2 → y2 = au2 ˙u = αu1 + βu2 → y = a(αu1 + βu2 ) = α(au1 ) + β(au2 ) = αy1 + β y2 ˙ ˙ ˙Le principe de superposition s’appliqueu1 → y1 = au1 + b ˙u2 → y2 = au2 + b ˙u = αu1 + βu2 → y = a(αu1 + βu2 ) + b = α(au1 ) + β(au2 ) + b = αy1 + β y2 ˙ ˙ ˙Le principe de superposition ne s’applique pas 10
  • 11. Chap. 1: Signaux discrets w(tk ) t1 t5 t2 t3 t4 t t−3 t−2 t−1 t0h est la période d’échantillonnage tk = kh w(tk ) = w(kh) → w(k) Les techniques avancées de commande n’ont de sens qu’implantées sur ordinateurs, donc numériques 11
  • 12. Chap. 1: Etat d’un système x1 , x2 , . . . , xn u1 , u2 , . . . , ur y1 , y2 , . . . , yp État• Actions • Réactions• Causes Entrées ce qui est susceptible Sorties • Effets d’évoluer• Données • Résultats• Moyens disponibles Conditions initiales • Comportements qui pour influencer le doivent être système observés ou modifiés• Excitation • Réponse du système• Grandeurs pouvant • Observations Perturbations être manipulées • Mesures • Influence de l’environnement sur le système • Grandeurs ne pouvant pas être manipulées Le modèle est une représentation mathématique qui décrit les interactions entre les entrées et l’état, et entre l’état et les sorties 12
  • 13. Chapitre 2Représentation d’état 13
  • 14. Entraînement électrique Electrical Drive i θ J R u ui fPartie électrique Partie mécaniqueu(t) = Ri(t) + ui (t) J ω(t) = M (t) − f ω(t) ˙ui (t) = kω(t) ˙ θ(t) = ω(t) M (t) = ki(t) 14
  • 15. Entraînement électrique Electrical Drive i θ J R u ui fModèle physique Choix des variables d’état 2 x1 (t) = θ(t)ω(t) = − J˙ 1 k + f ω(t) + k JR u(t) R x2 (t) = ω(t) ˙ω(t) = θ(t) y(t) = θ(t)Modèle d’état: équation d’état Modèle d’état: équation de sortiex1 (t) = x2 (t)˙ y(t) = x1 (t) 2 x2 (t) = − J k + f x2 (t) +˙ 1 R k JR u(t) 15
  • 16. Systèmes analogiques non linéaires Nonlinear continuous time systems   x1 (t) = f1 [x1 (t) , . . . , xn (t) , u1 (t) , . . . ur (t) , t] ˙ x1 (t) ˙ x2 (t) = f2 [x1 (t) , . . . , xn (t) , u1 (t) , . . . ur (t) , t] ˙  x2 (t) ˙    . . x (t) =  ˙ .  .  . .  xn (t) = fn [x1 (t) , . . . , xn (t) , u1 (t) , . . . ur (t) , t] ˙ xn (t) ˙   y1 (t) = g1 [x1 (t) , . . . , xn (t) , u1 (t) , . . . ur (t) , t] y1 (t) y2 (t) = g2 [x1 (t) , . . . , xn (t) , u1 (t) , . . . ur (t) , t]  y2 (t)    . . y (t) =  .  .  . .  yp (t) = gp [x1 (t) , . . . , xn (t) , u1 (t) , . . . ur (t) , t] yp (t)       x1 (t) u1 (t) f1 [x (t) , u (t) , t]  x2 (t)   u2 (t)   f2 [x (t) , u (t) , t]       x (t) =  .  u (t) =  .  f [x (t) , u (t) , t] =  .   . .   . .   . .  xn (t) ur (t) fn [x (t) , u (t) , t] 16
  • 17. Systèmes analogiques non linéaires Nonlinear continuous time systems x1 (t) = f1 [x1 (t) , . . . , xn (t) , u1 (t) , . . . ur (t) , t] ˙ x2 (t) = f2 [x1 (t) , . . . , xn (t) , u1 (t) , . . . ur (t) , t] ˙ . . . xn (t) = fn [x1 (t) , . . . , xn (t) , u1 (t) , . . . ur (t) , t] ˙ y1 (t) = g1 [x1 (t) , . . . , xn (t) , u1 (t) , . . . ur (t) , t] y2 (t) = g2 [x1 (t) , . . . , xn (t) , u1 (t) , . . . ur (t) , t] . . . yp (t) = gp [x1 (t) , . . . , xn (t) , u1 (t) , . . . ur (t) , t] x(t) = f [x(t), u(t), t] ˙ y(t) = g [x(t), u(t), t] 17
  • 18. 2.1.3: Sélection des variables d’état Selection of the state variables a¨ (t) + sin z(t) ω ˙ = u1 (t) 2 v(t) + cos z(t) ˙ ˙ = u2 (t) ˙ z(t) = αtNe pas prendre en considération les dérivées des entrées 18
  • 19. Systèmes analogiques linéairesLinear continuous time systemsx(t) = f [x(t), u(t), t]˙ Non linéairey(t) = g [x(t), u(t), t]x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t)˙ Linéairey(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t)x(t) = Ax(t) + Bu(t)˙ Linéaire ety(t) = Cx(t) + Du(t) stationnaire 19
  • 20. Entraînement électrique Electrical Drive i θ J R u ui fModèle d’état: équation d’état Modèle d’état: équation de sortiex1 (t) = x2 (t)˙ y(t) = x1 (t) 1 k2 kx2 (t) = −˙ + f x2 (t) + u(t) J R JR a bModèle d’état: équation d’état Modèle d’état: équation de sortie x1 (t) ˙ 0 1 x1 (t) 0 x1 (t) = + u(t) y(t) = 1 0 x2 (t) ˙ 0 a x2 (t) b x2 (t) 20
  • 21. 2.3: Méthode de Runge-Kutta 1x (kh + h) ≈ x (kh) + [a(kh) + 2b (kh) + 2c (kh) + d (kh)] 6 y (kh) = g [x (kh) , u (kh) , kh] a (kh) = hf [x (kh) , u (kh) , kh] a(kh) b (kh) = hf x (kh) + 2 , u kh + h , kh + h 2 2 b(kh) c (kh) = hf x (kh) + 2 , u kh + 2 , kh + h h 2 d (kh) = hf [x (kh) + c (kh) , u (kh + h) , kh + h] 21
  • 22. Systèmes discrets non linéaires Nonlinear discrete time systems x1 (k + 1) = f1 [x1 (k), . . . , xn (k), u1 (k), . . . , ur (k), k]   x (k + 1) = f [x (k), . . . , x (k), u (k), . . . , u (k), k] x1 (k + 1) 2 2 1 n 1 r  x2 (k + 1)  .   . x(k + 1) =  .  .  . .  x (k + 1) = f [x (k), . . . , x (k), u (k), . . . , u (k), k] n n 1 n 1 r xn (k + 1)   y1 (k) = g1 [x1 (k), . . . , xn (k), u1 (k), . . . , ur (k), k] y1 (k) y (k) = g [x (k), . . . , x (k), u (k), . . . , u (k), k]  y (k)  2 2 1 n 1 r  2  . y(k) =  .  . .  . .  y (k) = g [x (k), . . . , x (k), u (k), . . . , u (k), k] yp (k) p p 1 n 1 r       x1 (k) u1 (k) f1 [x(k), u(k), k]  x (k)   u (k)   f [x(k), u(k), k]   2   2   2 x(k) =  .  u(k) =  .  f [x(k), u(k), k] =  .   . .   . .   . .  xn (k) ur (k) fn [x(k), u(k), k] 22
  • 23. Entraînement électrique Electrical Drive i θ J R u ui fModèle analogique θ(s) A 1 bG(s) = = τ =− A=− U (s) s (1 + sτ ) a aModèle discret vu au travers de convertisseurs AD DA α = −e−h/τ G(s)H(z) = 1 − z −1 Z L−1 b1 = A [h − τ (1 + α)] s b2 = A [τ (1 + α) + hα] θ(z) b1 z −1 + b2 z −2 b1 z −1 + b2 z −2H(z) = = = U (z) (1 − z −1 ) (1 + αz −1 ) 1 + (α − 1) z −1 − αz −2 23
  • 24. 2.5: FT → Modèle d’état Y (z) b0 + b1 z −1 + b2 z −2 + . . . + bn z −n H (z) = = U (z) 1 + a1 z −1 + a2 z −2 + . . . + an z −n (b1 − a1 b0 ) z −1 + (b2 − a2 b0 ) z −2 + . . . + (bn − an b0 ) z −nY (z) = b0 U (z) + U (z) 1 + a1 z −1 + a z −2 + . . . + a z −n 2 n ˜ Y (z) ˜ Y (z) (b1 − a1 b0 ) z −1 + (b2 − a2 b0 ) z −2 + . . . + (bn − an b0 ) z −n = U (z) 1 + a1 z −1 + a2 z −2 + . . . + an z −n ˜ Y (z) U (z) = ≡ Q (z)(b1 − a1 b0 ) z −1 + (b2 − a2 b0 ) z −2 + . . . + (bn − an b0 ) z −n 1 + a1 z −1 + a2 z −2 + . . . + an z −n 24
  • 25. FT → Modèle d’état Y (z) b0 + b1 z −1 + b2 z −2 + . . . + bn z −n H (z) = = U (z) 1 + a1 z −1 + a2 z −2 + . . . + an z −n (b1 − a1 b0 ) z −1 + (b2 − a2 b0 ) z −2 + . . . + (bn − an b0 ) z −nY (z) = b0 U (z) + U (z) 1 + a1 z −1 + a z −2 + . . . + a z −n 2 n ˜ Y (z) ˜ Y (z) (b1 − a1 b0 ) z −1 + (b2 − a2 b0 ) z −2 + . . . + (bn − an b0 ) z −n = U (z) 1 + a1 z −1 + a2 z −2 + . . . + an z −n ˜ Y (z) U (z) = ≡ Q (z)(b1 − a1 b0 ) z −1 + (b2 − a2 b0 ) z −2 + . . . + (bn − an b0 ) z −n 1 + a1 z −1 + a2 z −2 + . . . + an z −n U (z) = Q (z) + a1 z −1 Q (z) + a2 z −2 Q (z) + . . . + an z −n Q (z) 25
  • 26. FT → Modèle d’état Y (z) b0 + b1 z −1 + b2 z −2 + . . . + bn z −n H (z) = = U (z) 1 + a1 z −1 + a2 z −2 + . . . + an z −n (b1 − a1 b0 ) z −1 + (b2 − a2 b0 ) z −2 + . . . + (bn − an b0 ) z −nY (z) = b0 U (z) + U (z) 1 + a1 z −1 + a z −2 + . . . + a z −n 2 n ˜ Y (z) ˜ Y (z) (b1 − a1 b0 ) z −1 + (b2 − a2 b0 ) z −2 + . . . + (bn − an b0 ) z −n = U (z) 1 + a1 z −1 + a2 z −2 + . . . + an z −n ˜ Y (z) U (z) = ≡ Q (z)(b1 − a1 b0 ) z −1 + (b2 − a2 b0 ) z −2 + . . . + (bn − an b0 ) z −n 1 + a1 z −1 + a2 z −2 + . . . + an z −n ˜ Y (z) = (b1 − a1 b0 ) z −1 Q (z) + (b2 − a2 b0 ) z −2 Q (z) + . . . + (bn − an b0 ) z −n Q (z) 26
  • 27. FT → Modèle d’état Q (z) = −a1 z −1 Q (z) − a2 z −2 Q (z) − . . . − an z −n Q (z) + U (z)˜Y (z) = (b1 − a1 b0 ) z −1 Q (z) + (b2 − a2 b0 ) z −2 Q (z) + . . . + (bn − an b0 ) z −n Q (z) W1 (z) = z −1 Q (z) W (z) = z −2 Q (z) 2 . . . W (z) = z −n Q (z) n zW1 (z) = Q (z) = −a1 W1 (z) − a2 W2 (z) − . . . − an Wn (z) + U (z) zW (z) = z −1 Q (z) = W1 (z) 2 . . . zW (z) = z −n+1 Q (z) = Wn−1 (z) n ˜ Y (z) = (b1 − a1 b0 )W1 (z) + (b2 − a2 b0 )W2 (z) + . . . + (bn − an b0 )Wn (z) ˜ Y (z) = b0 U (z) + Y (z) 27
  • 28. FT → Modèle d’état     −a1 −a2 . . . −an−1 −an 1  1 0 ... 0 0       0  . . . . w (k + 1) =  0 1 . .  w (k) +   . .   u (k)   .    .  . ..  . . 0 0  0  0 ... 0 1 0 0 Φw gw y (k) = b1 − a1 b0 b2 − a2 b0 . . . bn − an b0 w (k) + b0 u (k) cT w Y (z) b0 + b1 z −1 + b2 z −2 + . . . + bn z −n H (z) = = U (z) 1 + a1 z −1 + a2 z −2 + . . . + an z −n 28
  • 29. Entraînement électrique Electrical Drive i θ J R u ui fModèle discret vu au travers de convertisseurs AD DA θ(z) b1 z −1 + b2 z −2 b1 z −1 + b2 z −2H(z) = = = U (z) (1 − z −1 ) (1 + αz −1 ) 1 + (α − 1) z −1 − αz −2α = −e−h/τ b1 = A [h − τ (1 + α)] b2 = A [τ (1 + α) + hα]Modèle d’état discret artificiel correspondant w1 (k + 1) − (α − 1) α w1 (k) 1 = + u(k) w2 (k + 1) 1 0 w2 (k) 0 w1 (k) y(k) = θ(k) = b1 b2 + [0] u(k) w2 (k) 29
  • 30. Modèle d’état/State-space model Analogique/Continuous Discret/Discrete Non linéaire Nonlinear x (t) = f [x (t) , u (t) , t] ˙ x (k + 1) = f [x (k) , u (k) , k] y (t) = g [x (t) , u (t) , t] y (k) = g [x (k) , u (k) , k] Linéaire x (t) = A (t) x (t) + B (t) u (t) ˙ x (k + 1) = Φ(k)x (k) + Γ(k)u (k) Linear y (t) = C (t) x (t) + D (t) u (t) y (k) = C(k)x (k) + D(k)u (k)time-invariant stationnaire Linéaire et Linear and x (t) ˙ = Ax (t) + Bu (t) x (k + 1) = Φx (k) + Γu (k) y (t) = Cx (t) + Du (t) y (k) = Cx (k) + Du (k) 30

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