SOLUCIONARIO EXAMEN DE ADMISION UNI MATEMATICA II 2009 I
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SOLUCIONARIO EXAMEN DE ADMISION UNI MATEMATICA II 2009 I SOLUCIONARIO EXAMEN DE ADMISION UNI MATEMATICA II 2009 I Document Transcript

  • MatemáticaPregunta N.º 20 Ejecución del plan I.Sea p(x) el polinomio de grado n, donde n esel menor posible y cuya gráfica se representa acontinuación. p(x)=k(x – 1)2a(x – 2)2b – 1; a, b ∈ Z+Encuentre el residuo al efectuar la división de Como el grado de p(x) es el menor posible,p(x) con q(x)=x – 3. entonces a=1 yA) – 6 b=1B) – 4 Luego, tenemosC) – 1 p(x)=k(x – 1)2(x – 2)D) 1 De la gráficaE) 4 p(0)=2Solución p(0)=k(–1)2(–2)Tema p(0)=2 → k=–1Gráfica de funciones polinomiales Luego p(x)=–(x – 1)2(x – 2)Referencias II. Aplicando el teorema del resto tenemosPara la solución del problema se necesita p( x)conocer: x−3• Gráfica de una función polinomial. → R(x)=p(3)• Teorema del resto. p(3)=–(2)2(1)Análisis y procedimiento ∴ p(3)=– 4Plan de resolución RespuestaI. A partir de la gráfica, hallar la regla de correspondencia de p(x). El residuo de dividir p(x) entre x – 3 es – 4.II. Aplicar el teorema del resto. Alternativa B 15
  • MatemáticaPregunta N.º 21En la figura mostrada ABCD es un cuadrado delado 2R, además BC es diámetro de la semicircun-ferencia de centro O y radio de longitud R. Si T esun punto de tangencia entonces m TOA es Como ABCD es un cuadrado → BC=CD=2(BO)=2(OC)=2R Trazamos OD → OD: Bisectriz del CDT 53º Luego, OCD (not. ): 2 53º m CDO= yA) 7,5 2B) 8 53º m ODT=C) 10 2D) 10,5 En TOCD: inscriptibleE) 12,5 → m BOT=m CDT m BOT=53ºSolución 53ºTema OBA (not ) 2Circunferencia 53º → m BAO= 2Referencias En OBAEn la pregunta nos piden la medida de un ángulo; 53ºentonces, debemos ubicarlo en una figura donde 53º+x+ =90º 2se puede obtener dicha medida; por ejemplo, 21ºun triángulo; además, como se observa una x= 2semicircunferencia debemos aplicar los teoremas → x=10,5ºque se cumplen en la circunferencia. RespuestaAnálisis y procedimiento La medida del ángulo TOA es 10,5º.En el gráfico,nos piden x. Alternativa D 16
  • MatemáticaPregunta N.º 22 QR // DBABC es un triángulo rectángulo. Exteriormente a BDlos catetos se construyen los triángulos equiláteros → m RQC=150º y RQ= 2ABD y BEC. P, Q y R son puntos medios de BE,BC y DC respectivamente. Si el área de la región PQ // ECtriangular ABC es 32 cm2, entonces el área de la → m PQC=120º yregión triangular PQR (en cm2) es EC PQ= 2A) 4 B) 6 C) 8D) 12 E) 16 Luego m PQR=90ºSolución En el gráfico,Tema PQR ~ ABC (caso LAL de razón 1/2)Área de regiones triangulares Por áreas de regiones semejantes 2Referencias A PQR ⎛ razón de ⎞ =⎜ ⎟Para relacionar las áreas de dos regiones trian- A ABC ⎝ semejanza ⎠gulares, se busca la relación entre los elementos Reemplazamosde ambos triángulos (lados, alturas, medida de 2ángulos, etc.). A PQR ⎛1⎞ =⎜ ⎟ 32 ⎝ 2⎠Análisis y procedimiento → APQR=8 Respuesta El área de la región triangular PQR (en cm2) es 8. Alternativa C Pregunta N.º 23 Indique la secuencia correcta después de determi- nar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F). I. Si dos planos son perpendiculares a dos rectasPiden APQR: área de la región triangular PQR. diferentes que se intersectan, entonces dichosDato A ABC: área de la región triangular ABC. planos también se intersectan. (A ABC=32) II. El lugar geométrico que determinan los pies de los segmentos oblicuos de longitudes igualesPor ser P, Q y R puntos medios, se determinan trazadas desde un punto exterior a un planobases medias en los triángulos BEC y DBC. es una circunferencia. 17
  • MatemáticaIII. Toda recta es perpendicular a un plano, si es II. ortogonal a dos rectas diferentes no paralelas contenidas en dicho plano.A) VVFB) VFVC) FFVD) VVVE) FFFSolución • Como el punto Q es exterior al plano, traza-Tema mos QQ de modo que Q sea la proyecciónGeometría del espacio. Rectas y planos ortogonal de Q sobre el plano W. • En el gráfico, los triángulos rectángulosReferencias AQQ; BQQ y DQQ son congruentesEn este tipo de preguntas debemos hacer una entre sí.comparación entre los conceptos teóricos y los • Luego, m=n=p=…casos posibles que plantean las proposiciones. De • Además, el punto Q equidista de A, B,esta manera, determinamos la veracidad o falsedad C, D, …de la proposición dada. Por lo tanto, el lugar geométrico que deter- minan A, B, C y D es una circunferencia deAnálisis y procedimiento centro Q.Esta pregunta consta de tres proposiciones. Entonces, la proposición es verdadera.I. En el espacio, solo se admiten dos posiciones III. En el gráfico, para que una recta sea perpendicular relativas entre dos planos: son paralelos o son a un plano, debe ser perpendicular a dos rectas secantes. no paralelas contenidas en dicho plano. Entonces, la proposición es verdadera. • En la fig.1, los planos son paralelos si son perpendiculares a una misma recta. Respuesta • En la fig. 2, los planos son secantes si son La secuencia correcta después de analizar las perpendiculares a dos rectas que se interse- proposiciones es VVV. can (proposición de la pregunta). Entonces, la proposición es verdadera. Alternativa D 18
  • MatemáticaPregunta N.º 24 Análisis y procedimientoEn la figura mostrada, ABCD es un trapecio Pidenrectángulo tal que CD=BC=2AB=2a. Si PQ es Volumen de la pirámide Q-BCP:perpendicular al plano del trapecio tal que PQ=a 1y los volúmenes de las pirámides Q-ABP y Q-CDP Vx = [ A BCP ][PQ] (I) 3son iguales, calcule el volumen de la pirámideQ-BCP. Del gráfico tenemos PQ=a (II) Como los volúmenes de las pirámides Q-ABP y Q-PCD son iguales, al tener la misma altura, lasA) 1 a 3 B) 3 a 3 áreas de sus bases son también iguales. 2 8 Entonces, AABP=ACPD=4A. 4 3C) a 5 En el plano de la base 7 3 5 3D) a E) a 8 9SoluciónTemaGeometría del espacio. PirámideReferenciasEn preguntas donde piden el cálculo o la relaciónde volúmenes, conviene hacer un análisis de las Del dato de áreas iguales → AP=2(PD)longitudes de las alturas o de las relaciones de Por relación de áreas, el área de la región trapecial:las bases. Generalmente, para el cálculo del áreade la base se emplean capítulos anteriores de ⎛ a + 2a ⎞ a2 18 A = ⎜ ⎟ (2a) → A =geometría plana. ⎝ 2 ⎠ 6 19
  • MatemáticaLuego, 5a 2 ABCP=10A= (III) 3Reemplazamos (II) y (III) en (I) 1 ⎛ 5a 3 ⎞ 5a 3 → Vx= ⎜ ⎟ (a) = 3⎝ 3 ⎠ 9 y para poder aprovechar el ángulo de inclinaciónRespuesta es preciso asociarlo con el teorema de las tres 5a 3 perpendiculares.El volumen de la pirámide Q-BCP es 9 Análisis y procedimiento Alternativa E Graficamos el prisma según las condiciones planteadas.Pregunta N.º 25 D C MLa altura de un prisma recto mide 1 u, su base es S Buna región limitada por un rombo cuyo lado mide 1u N A2 u y su ángulo agudo mide 30º. Por un lado de 2u C h 1ula base se traza un plano que interseca al prisma 30º 2u Dy está inclinado un ángulo de 60º con respecto 2u S 60º 30º Bde la base, luego el área de la sección (en u2) que H A 3uresulta en el prisma es: 2u 5 4A) 2 3 B) C) donde ABCD es un rombo de lado 2 u y la 3 3 m ABC=30º. 3 2D) E) 3 3 Si trazamos CH ⊥ AB ... 1.a ⊥Solución SS ⊥ CH ... 2.a ⊥Tema → SH ⊥ AB ... 3.a ⊥Prisma Sea SH=h.Referencias Como la altura del prisma es 1 u → SS=1 uAl trazar planos secantes a un sólido, este determina Luego, en el SSH:secciones planas, que varían de acuerdo al ángulode inclinación y el lugar por donde interseca. Así, hsen60º=1 uun plano secante en un prisma puede determinar 2 → h= uuna sección triangular, cuadrangular, ... 3 20
  • MatemáticaLuego, el área de la sección ABMN, que es una Análisis y procedimientoregión paralelográmica, se calcula multiplicando Piden r2+3r.AB y h. Las longitudes de los lados del polígono convexo de 8 lados están en progresión geométrica de ⎛ 2 ⎞ ABMN= AB h = ( 2 u ) ⎜ A ( ) u⎟ razón r. ⎝ 3 ⎠ B a ar 4 2 A C A ABMN = u 3 ar7 ar2Respuesta H D 4El área de la sección en u2 es . 3 ar3 ar6 Alternativa C G E ar5 ar4 FPregunta N.º 26 ademásSe tiene un polígono convexo de 8 lados circuns- AB= ´ 1 , BC= ´ 2 , CD= ´ 3 , DE= ´ 4 , EF= ´ 5 ,crita a una circunferencia, si las longitudes de sus FG=´6, GH=´7 y HA=´8,lados están en progresión geométrica de razón r. En el octógono circunscrito por el teorema de PithotDetermine r2+3r. general, tenemos:A) 1 B) 4 C) 10 ´1+´3+´5+´7=´2+´4+´6+´8D) 18 E) 28 → a+ar2+ar4+ar6=ar+ar3+ar5+ar7 FactorizamosSolución a(1+r2+r4+r6)=ar(1+r2+r4+r6)Tema → r=1Polígonos circunscritos a una circunferencia:Teorema de Pithot generalizado Respuesta El valor de r2+3r es 4.ReferenciasEn un cuadrilátero circunscrito o circunscriptible, Alternativa Bse cumple el teorema de Pithot, es decir, la suma delongitudes de lados opuestos son iguales.En un polígono circunscrito o circunscriptible se Pregunta N.º 27cumple que la suma de longitudes de lugar pares igual a la suma de longitudes de lugar impar, Se da un triángulo ABC cuyos lados AB y BCes considerado para un cuadrilátero, hexágono, miden 8 m y 6 m respectivamente. Sobre ABoctógono, ..., en polígonos cuyo número de lados se toma el punto D. Si m BAC=m BCD.es par. Entonces AD es: 21
  • MatemáticaA) 3,5 B) 4 C) 4,5 Piden ADD) 5 E) 5,5 Datos: AB=8, BC=6Solución m BAC=m BCDTema ABC: Por teorema de semejanzaSemejanza de triángulos tenemos: (BC)2=(AB)(BD) (I ) tambiénReferencias BD=8 – ADCuando en un triángulo se desea relacionar las Reemplazamos:longitudes de lados y segmentos determinados 62=8(8 – AD)por una ceviana, se puede recurrir a la teoría de → AD=3,5semejanza, y más aún si la medida de un ángulo Respuestaes igual al ángulo determinado por dicha ceviana Entonces, AD es 3,5.y un lado; por ejemplo: Alternativa A B q x Pregunta N.º 28 En figura, AB y AC con diámetros, CT es tan- gente al arco AB, AB=BC=2r y ET=4. Calcule r. C q M m A bTeorema:En el ABCm BAC=m MBC=θ A) 2 3 B) 2 2 C) 3 → x2=bm D) 6 E) 3 3Análisis y procedimiento B Solución Tema Semejanza de triángulos 8D 6 Referencias En el problema nos piden calcular el radio de la q semicircunferencia menor, para ello debemos rela- q A C cionar el dato numérico con la variable, utilizando 22
  • Matemáticalos teoremas que se cumplen en circunferencias Pregunta N.º 29tangentes interiores. Luego, para obtener el valor En un triángulo ABC se cumple AB=2 m ydel radio debemos establecer una operación que AC=32 m. Halle el perímetro del triángulo enrelacione la incógnita con los datos. metros, sabiendo que es un número entero y el ángulo en A es obtuso.Análisis y procedimiento E A) 65 B) 66 C) 67 D) 68 E) 69 D 4 4 2 T 4 a Solución 2 2 a a Tema a A r r B 2r C Clasificación de triángulos: Triángulo obstusángulo.Trazamos BT → m BTA=90º ReferenciasPor teorema Para realizar el cálculo del perímetro, es necesario ET=TA=4 conocer BC, el cual, por dato, debe ser entero. Como las longitudes de los otros dos lados sonTrazamos AD conocidas, podemos restringir a BC mediante el→ AT es bisectriz del DAC teorema de existencia; pero como la medida de m DAT=m TAC=α un ángulo interior es mayor de 90º (obtuso), seLuego puede realizar la restricción de BC por la naturaleza del triángulo. m ECD=m DAE=αEn AEC: Teorema de semejanza Análisis y procedimiento (EC)2=(8)(4) Por dato del problema tenemos → EC = 4 2 AB=2, AEC: Teorema base media AC=32 y → TB = 2 2 m BAC>90º 2 ATB: (2r)2=42+( 2 2 ) Piden r= 6 2P ABC=2+32+BC=34+BC.Respuesta BEl valor de r es 6. 2 C Alternativa D 32 A 23
  • MatemáticaEn el ABC: Existencia de triángulos 27 54 108 A) B) C) π π π 32 – 2 < BC < 32+2 (I)• Como m BAC>90º D) 54 E) 108 322+22 < BC2 32,06 < BC (II) Solución• Luego, relacionamos las restricciones (I) y (II). Tema 32,06 < BC < 34 (III) Sólidos geométricos• 2P ABC=34+BC Como el perímetro es entero, entonces, BC es Referencias entero. Para calcular el volumen de una pirámide se ne-• Luego, de la expresión (III) obtenemos cesita conocer el área de su base y la altura de la BC=33 pirámide, mientras que para calcular el volumen del cilindro se requiere conocer el área de su base∴ 2P ABC=67 y su altura. Como el cilindro es circular oblicuo, su base es un círculo, mientras que la base de laRespuesta pirámide es un triángulo equilátero.El perímetro de la región triangular ABC en metroses 67. Análisis y procedimiento Del gráfico que nos dan como dato podemos no- Alternativa C tar que ambos sólidos tienen la misma altura y el triángulo de la base de la pirámide está inscrita en la circunferencia que limita la base del cilindro.Pregunta N.º 30 Denotemos los vértices de la base de la pirámideEn la figura se tiene una pirámide inscrita en un como A, B y C, y r el radio del círculo de la base del cilindro.cilindro circular oblicuo. La base de la pirámidees un triángulo equilátero. El volumen de la O 27 3 rpirámide es cm3. Calcule el volumen del πcilindro (en cm3). B A r C Graficando el triángulo equilátero inscrito en la circunferencia tenemos: 24
  • Matemática B Pregunta N.º 31 30º 30º En un polígono convexo equiángulo ABCDEF se r r tiene AB=7, CD=6 y DE=8. Calcule BF. O 7 r r A) 3 B) 7 C) 5 3 120º 2 A C r 2 D) 7 2 E) 7 3En el AOC: Solución Tema AO=r=OC Polígonos m AOC=120º → AC=r 3=AB=BC ReferenciasAhora podemos calcular el volumen de la pirá- Dentro del grupo de los polígonos tenemos almide. polígono equiángulo, que se caracteriza por que sus medidas angulares internas y externas son, 2 1 1 ⎛ (r 3 ) 3 ⎞ respectivamente, iguales. VO-ABC= (Abase)×h= ⎜⎜ ⎟×h ⎟ Como se conoce que la suma de las medidas 3 3⎝ 4 ⎠ angulares de un polígono convexo es 180º(n – 2) 2 y n es el número de lados, entonces, la medida de VO-ABC= r 3⋅ h= 27 3 cm3 un ángulo interior será: 4 πDe aquí podemos despejar las variables y obte- 180º ( n − 2 ) i=nemos: n πr 2 · h=108 cm3 (I) Análisis y procedimientoAhora calculamos el volumen del cilindro Según el dato del problema, el polígono equián- Vcilindro=A base×h gulo es ABCDEF, es decir, tiene seis lados (n=6); Vcilindro=πr 2×h entonces,De (I): Vcilindro=108 cm3 180º ( 6 − 2 ) i( 6 ) = = 120º. 6Respuesta Grafiquemos el hexágono con las condiciones delEl volumen del cilindro en cm3 es 108. problema: AB=7, CD=6 y Alternativa E DE=8. 25
  • Matemática B C Pregunta N.º 32 120º El ángulo de desarrollo de un cono circular recto 7 6 mide 120º. Si la altura del cono mide 4 cm, A 120º 120º D entonces el radio (en cm) del cono es: x 60º 60º a a 8 8 2 A) B) 2 C) 3 60º 60º 120º 60º 60º 2 M a F E 8 N D) 2 2 E) 2 3Al prolongar los lados BA, EF y CD, las medidas delos ángulos externos en A, F, E y D es 60º, además, Soluciónse forman los triángulos AFM y DEN; estos, a la Temavez, forman el triángulo isósceles MBCN, donde Cono circular rectoMB=CN.Como Referencias DE=8 → DN=EN=8. Al desarrollar la superficie lateral de un conoAsí también si circular recto, resulta un sector circular cuyos elementos se asocian con los del cono dado. AF=a → AM=MF=a. ALuego g a+7=6+8 V∴ a=7 aPor lo tanto, en el triángulo notable BAF tenemos 2pr B g g h A r 7 120º 7 B O A F x B En el gráfico α es la medida del ángulo deEntonces, BF=7 3. desa-rrollo. Sea θ su medida en radianes.Respuesta πα → θ= 180ºLa longitud de BF es 7 3. Luego, la longitud del arco ABA se asocia con el Alternativa E radio de la base del cono. 26
  • Matemática ´ ABA =2πr Solución Tema ´ ABA =θ×g Sistemas de medición angular 2πr∴ θ= g ReferenciasAnálisis y procedimiento La equivalencia entre los grados sexagesimales y el número de radianes de un ángulo es π rad=180º.Nos dan como dato α=120º y h=4 cm; entonces,podemos calcular θ y encontrar una relación entre Análisis y procedimientor y g. • Nuevo sistema de medición angular (X), donde 1X denota un grado en el sistema X. π (120º ) 2π → θ= = 180º 3 • Condiciones:Luego αº=(α – 3)X π rad=120X r 1 ó g=3r = Empleamos el método del factor de conversión: g 3Como nos piden el radio de la base en cm, re- ⎛ π rad ⎞ ⎛ 180º ⎞ αº = (α − 3) X ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ 120 X ⎠ ⎝ π rad ⎠currimos al teorema de Pitágoras para relacionarr, g y h. º ⎛3⎞En el AVO: g 2=r 2+h2 αº = (α − 3) ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠Reemplazamos valores: 2α=3α – 9 (3r)2=r 2+(4)2 α=9∴ r= 2 Se busca calcular (α – 3).RespuestaEl radio del cono en centímetros es 2. Respuesta Alternativa B El valor de (α – 3) es 6. Alternativa BPregunta N.º 33En un nuevo sistema de medición angular, unángulo de α grados sexagesimales mide α – 3. Si Pregunta N.º 34 a 3un ángulo de π radianes mide 120 en el nuevo En la figura = y el área de la región sombreada b 2sistema, halle α – 3. es 5 veces el área del sector circular OPQ. ´ SR Determine la relación .A) 3 B) 6 C) 9 ´ BAD) 12 E) 15 27
  • Matemática 2k D B 3k Q S O q a P A R 2 16 3 CA) B) C) 3 27 2 Pero ´ SR = α(5k) 45 10D) E) 16 3 ´ BA = θ(3k)Solución ´ SR 5 ⎛ α ⎞Tema = (I) ´ BA 3 ⎜ θ ⎟ ⎝ ⎠Longitud de arco y área del sector circular Condición 2Referencias El área sombreada es igual a cinco veces el área• Longitud de arco (´) del sector OPQ. 1 1 ⎛ α(3k)2 ⎞ r θ(5k)2 − θ(3k)2 = 5 ⎜ 2 2 ⎜ 2 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ q rad µ µ=q×r 16θk 2 45αk 2 = 2 2• Área de un sector circular (A) 16 α = (II) 45 θ r Al reemplazar (II) en (I) se obtiene: q rad A=qr 2 2 ´ SR 5 ⎛ 16 ⎞ = ´ BA 3 ⎜ 45 ⎟ ⎝ ⎠ ´ SR 16Análisis y procedimiento = ´ BA 27Condición 1 a 3 a = 3k Respuesta = b 2 b = 2k ´ SR 16 La relación es . ´ BA 27 ´ SRIncógnita: ´ BA Alternativa B 28
  • MatemáticaPregunta N.º 35 Reemplazamos (II) en (I)Un punto M=(x; y) dista de un punto C=(2; 5), 2 ⎛1 ⎞ (x – 2)2+⎜ ( x − 7 ) ⎟ = 10 10 unidades. La pendiente de la recta que pasa ⎝2 ⎠por M y A=(7; 5) es 1/2. Determine el punto M 1de mayor abscisa. (x – 2)2+ (x – 7)2=10 4 Reduciendo, tenemosA) (–1; 4) B) (–1; 6) C) (1; 8)D) (3; 2) E) (5; 4) x2 – 6x+5=0 x –5Solución x –1Tema x=5 ∨ x=1 Piden el punto M de mayor abscisa< enton-Geometría analítica ces, x=5.Referencias Reemplazamos en (II) 1• Distancia entre dos puntos y – 5= (5 – 7) 2• Ecuación de una recta y=4 Entonces, M=(5,4).Análisis y procedimientoDe la condición tenemos Respuesta• C(2; 5) El punto M de mayor abscisa es (5,4). 10 Alternativa E M (x ; y ) Por distancia entre dos puntos se cumple que Pregunta N.º 36 2 2 En el círculo trigonométrico de la figura, se tiene 10 = ( x − 2 ) + ( y − 5 ) CM = DM . Entonces el área de la región triangular Elevando al cuadrado, tenemos ABM es: (x – 2)2+(y – 5)2=10 (I) 1• Dato m = L 2 L A(7; 5) MCalculamos la ecuación de la recta L . y – 5=m (x – 7) L 1 y – 5= (x – 7) (II) 2 29
  • Matemática ⎛ 3π ⎞ En el gráfico se observa que AB= 2 y AM=BM,A) 2 tan ⎜ ⎟ ⎝ 8 ⎠ 2 entonces, AH=HB= . 1 ⎛ 3π ⎞ 2B) tan ⎜ ⎟ 2 ⎝ 8 ⎠ Calculamos la altura MH en el triángulo AHM. ⎛ 3π ⎞ 2 3πC) 2 tan ⎜ ⎟ ⎝ 4 ⎠ MH = tan 2 8 1 ⎛ 3π ⎞ LuegoD) tan ⎜ ⎟ 2 ⎝ 4 ⎠ ( AB)(MH ) S= ⎛ 4π ⎞ 2E) 2 tan ⎜ ⎟ ⎝ 7 ⎠ ⎛ 2 3π ⎞ ( 2)⎜ ⎜ 2 tan ⎟ 8 ⎟ S= ⎝ ⎠Solución 2Tema Por lo tanto,Circunferencia trigonométrica (C. T.) 1 3π S= tan .Referencias 2 8• Ubicación de arcos en la C. T. Respuesta• Resolución de triángulos rectángulos.• Cálculo del área de una región triangular. El área de la región triangular ABM es igual a 1 3π tan .Análisis y procedimiento 2 8 π Alternativa BDato: CM = DM → mCM = m DM = 4 π π 3πademás, m BM = + → m BM = . 2 4 4 Pregunta N.º 37 Simplificando la siguiente expresión Y K=sen23Acsc2A+cos23Asec2A+2cos4A, 3p C se obtiene 4 M A) 6cos22A B) 6cos2A B C) 8sen2A D X D) 12senA 2 E) 12cos22A 3p 2 H 8 2 Solución A 2 Tema Identidades trigonométricas de arcos múltiples 30
  • MatemáticaReferencias Solución• Empleamos las identidades auxiliares del arco Tema triple Funciones trigonométricas sen3θ=senθ(2cos2θ+1) cos3θ=cosθ(2cos2θ – 1) Referencias• Empleamos la identidad del arco doble relacio- Para reducir la expresión aplicaremos identidades nada con el coseno. trigonométricas. cos2θ=2cos2θ – 1 sen x cos x tan x = cot x = cos x sen xAnálisis y procedimiento K=sen23Acsc2A+cos23Asec2A+2cos4A Análisis y procedimiento sen x + tan x πentonces f ( x) = x≠K cos x + cot x 2 2 2 ⎛ sen 3 A ⎞ ⎛ cos 3 A ⎞ K =⎜ ⎟ +⎜ ⎟ + 2 cos 4 A ⎝ sen A ⎠ ⎝ cos A ⎠ cosx+cotx ≠ 0Ahora aplicamos las identidades del arco triple. cosx(1+1/senx) ≠ 0 K=(2cos2A+1)2+(2cos2A – 1)2+2cos4A cosx ≠ 0 ∧ senx ≠ – 1Desarrollando los binomios y aplicando la identi- π → x ≠ (2n+1)dad del arco doble, obtenemos 2 K=2(4cos22A+1)+2(2cos22A – 1) sen x → K=12cos22A sen x + f ( x) = cos x cos x cos x +Respuesta sen xEntonces, K es igual a 12cos22A. ⎛ 1 + cos x ⎞ sen x ⎜ ⎟ ⎝ cos x ⎠ f ( x) = ⎛ 1 + sen x ⎞ cos x ⎜ ⎟ Alternativa E ⎝ sen x ⎠ sen 2 x (1 + cos x ) f (x) = cos 2 x (1 + sen x )Pregunta N.º 38 senx > – 1 → 1+senx > 0 sen x + tan x π cosx > – 1Sea f ( x ) = , x≠k . cos x + cot x 2 → 1+cosx > 0Entonces podemos afirmar que Entonces, se deduce que f(x) es positivo.A) f(x) toma valores positivos y negativos. RespuestaB) f(x) toma un número finito de valores negativos. f(x) toma solamente valores positivos.C) f(x) toma solamente valores negativos.D) f(x) toma solamente valores positivos. Alternativa DE) f(x) es constante. 31
  • MatemáticaPregunta N.º 39 ⎛ x−y⎞ ⎛ x−y⎞ → 4·cos 2 ⎜ ⎟ + 4 cos ⎜ ⎟−3=0Dado el sistema ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎧ 4π ⎛ ⎛ x−y⎞ ⎞⎛ ⎛ x−y⎞ ⎞ ⎪ x+y= ⎜ 2 cos ⎜ ⎟ + 3 ⎟ ·⎜ 2 cos ⎜ ⎟ − 1⎟ = 0 ⎨ 3 ⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎠⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎠ ⎪sec x + sec y = 1 ⎩ ⎛ x−y⎞ 1 cos ⎜ ⎟= oel valor de cos(x – y) es: ⎝ 2 ⎠ 2 ⎛ x−y⎞ 3 1 1 1 cos ⎜ ⎟=−A) − B) − C) − ⎝ 2 ⎠ 2 4 3 2 La ecuación admite para 1 1D) E) 4 2 ⎛ x−y⎞ 1 cos ⎜ ⎟= ⎝ 2 ⎠ 2SoluciónTema Luego, debido a queSistemas de ecuaciones trigonométricas ⎛ x−y⎞ cos ( x − y ) = 2 cos 2 ⎜ ⎟ −1 ⎝ 2 ⎠Referencias Por lo tantoTransformaciones trigonométricas. 1 ⎛ x+y⎞ ⎛ x−y⎞ cos ( x − y ) = − cos x + cos y = 2 cos ⎜ ⎟ ·cos ⎜ ⎟ 2 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ RespuestaIdentidad de arco doble. 1 cos2x=2cos2x – 1 El valor de cos(x – y) es − . 2Análisis y procedimiento Alternativa CDe la condición secx+secy=1 Pregunta N.º 40 2 · (cosx+cosy)=2(cosx · cosy) En las circunferencias tangentes de la figura, son datos r0 (radio) y α. Determine el radio R. ⎛ x +y⎞ ⎛ x −y⎞2× 2 ·cos ⎜ ⎟ ·cos ⎜ ⎟ = cos ( x + y ) + cos ( x − y ) ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠Por dato sabemos que 4π x+y= . 3 ⎛ −1 ⎞ ⎛ x−y⎞ 1 2⎛ x −y⎞ 4 ⎜ ⎟ cos ⎜ ⎟ = − + 2 cos ⎜ ⎟ −1 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 2 ⎝ 2 ⎠ 32
  • Matemática ⎛ 1 − cos α ⎞ Análisis y procedimientoA) ⎜ ⎟ r0 ⎝ cos α ⎠ ⎛ cos α ⎞ r0B) ⎜ ⎟ r0 ⎝ 1 − cos α ⎠ R ⎛ 1 − cos α ⎞C) ⎜ ⎟ r0 ⎝ 1 + cos α ⎠ a R ⎛ 1 + cos α ⎞ Por definición tenemosD) ⎜ ⎟ r0 R ⎝ cos α ⎠ cos α = R + r0 Rcosα+r0cosα=R ⎛ 1 + cos α ⎞E) ⎜ ⎟ r0 ⎝ 1 − cos α ⎠ r0cosα=R(1 – cosα) r cos α R= 0 1 − cos αSolución ⎛ cos α ⎞Tema R=⎜ ⎟ r0 ⎝ 1 − cos α ⎠Razones trigonométricas de un ángulo agudo RespuestaReferencias Entonces, el radio R, en términos de r0 y α, esDefinición del coseno de un ángulo agudo. ⎛ cos α ⎞ ⎜ ⎟ r0 cateto adyacente ⎝ 1 − cos α ⎠ cos α = hipotenusa Alternativa B 33