• Share
  • Email
  • Embed
  • Like
  • Save
  • Private Content
N body simulation
 

N body simulation

on

  • 692 views

 

Statistics

Views

Total Views
692
Views on SlideShare
692
Embed Views
0

Actions

Likes
0
Downloads
5
Comments
0

0 Embeds 0

No embeds

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Microsoft PowerPoint

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment
  • http://bit.ly/umf_2010 cobweb.seas.gwu.edu/~mpnl/particle_in_cell.html

N body simulation N body simulation Presentation Transcript

  • Debeyova délka
    Vzdálenost, na které je elektrické pole v plazmatu odstíněno na 𝐸0𝑒
    http://en.wikipedia.org/wiki/Debye_length
    http://wwwppd.nrl.navy.mil/nrlformulary/NRL_FORMULARY_09.pdf
     
  • Plazmová frekvence
    Frekvence vlastních oscilací elektronů v plazmatu
    http://en.wikipedia.org/wiki/Plasma_frequency
    Hmotnost iontů pokládáme za nekonečnou (což je dobré přiblížení)
    Plazmové oscilace budou pozorovány pouze pokud čas měření je delší než plazmová perioda 𝜏𝑝≡1𝜔𝑝 a pokud externí působení nemění systém rychleji než 𝜔𝑝
    Porovnejte s 𝜆𝐷=𝑇𝑒𝑚𝑒1𝜔𝑝
     
  • Počítačové simulace ve fyzice mnoha částic
    Miloslav Pekař, ČVUT FJFI, UMF 2010
  • simulace
    Využíváme různých aproximací
    Čím lepší je první aproximace, tím lepší bude celá naše simulace
    Čím více cyklů použijeme, tím přesnější naše simulace bude
    Neexistuje správná / chybná simulace
    Simulace je dobrá nebo špatná v závislosti na tom, jak obratně zvolíme aproximace skutečnosti
  • 1D Simulace Plazmatu
    Poissonova rovnice: 𝜕2𝜙𝜕𝑥2=−𝑛𝑖−𝑛𝑒𝜀0
    Rovnice continuity: 𝜕𝑛𝑖𝜕𝑡+𝑛𝑖𝜕𝜈𝑖𝜕𝑥+𝜈𝑖𝜕𝑛𝑖𝜕𝑥=0
    Konverze momentu: 𝜕𝜈𝑖𝜕𝑡+𝜈𝑖𝜕𝜈𝑖𝜕𝑥=𝑞𝑚𝑖𝐸
    Boltzmannova elektronová rovnice: 𝑛𝑒=𝑛0∙exp𝑞𝜙𝑘𝐵𝑇𝑒
     
  • Konečné diference
    j+1
    j
    1
    2
    n-1
    n
    j-1
    h
    i
    i+1
    i-1
    Poissonova rovnice: 𝜙𝑖+1−2𝜙𝑖+𝜙𝑖−1h2=−𝑛𝑖−𝑛0∙exp𝑞𝜙𝑘𝐵𝑇𝑒𝜀0
    Rovnice continuity: 𝑛𝑖,  𝑗+1−𝑛𝑖,  𝑗𝑓+𝑛𝑖,𝑗𝜈𝑖,𝑗−𝜈𝑖−1,𝑗h+𝜈𝑖,𝑗𝑛𝑖,  𝑗−𝑛𝑖−1,  𝑗h=0
    Konverze momentu: 𝜈𝑖,𝑗+1−𝜈𝑖,𝑗−1𝑓+𝜈𝑖,𝑗𝜈𝑖,𝑗−𝜈𝑖−1,𝑗h=𝑞𝑚𝑖𝐸𝑖,𝑗
     
  • Schéma simulace
  • Částicová simulace
    Stav fyzikálního systému (plazmatu) je definován atributami konečného počtu částic (iontů a elektronů) v systému
    Vývoj systému je dán zákony interakce mezi částicemi
    V 1 m3 máme 1016 iontů = 80PB paměti
  • Částicové modely
    Particle – Particle (PP) model
    „Klasický“ přístup
    Particle – Mesh (PM) model
    Sílu považujeme za pole a to aproximujeme na mřížce
    Particle – Particle -- Particle – Mesh (PPPM / P3M) model
    Hybrid PP a PM modelů
  • PP model
    V čase t se počítá silová interakce pro každou částici
    Pro coulombickou sílu
    𝐹𝑖𝑗=𝑞𝑖𝑞𝑗4𝜋𝜀0𝑥𝑖−𝑥𝑗𝑥𝑖−𝑥𝑗3
    pro 60 částic je třeba 3540
    operací / časový krok
    Pro 1 milion částic je třeba ~1024 operací
     
    10
    6
  • PM model
    Nastavení mřížky a umístění částic do buněk
    Přiřazení náboje (částic) mřížce
    Vyřešení Poissonovy rovnice
    𝛻2𝜙=−𝑛𝑖−𝑛𝑒𝜀0
    Výpočet silového působení mřížkového potenciálu a interpolace síly na pozici částice
     
    10 částic, 5 buněk, 6 uzlů
    6 částic, 3 buňky, 4 uzly
  • P3M model
    Trik spočívá v rozdělení mezičásticových sil na dvě části 𝐹=𝐹𝑠𝑟,𝑖𝑗+𝐹𝑚
    𝐹𝑠𝑟,𝑖𝑗je nenulová pouze na krátkých vzdálenostech
    𝐹𝑚 je pomalu se měnící síla na mřížce
     
    10 částic, 5 buněk, 6 uzlů
    6 částic, 3 buňky, 4 uzly
  • Particle – In – Cell vážení
    U PM modelu se přiřazuje náboj (částice) mřížce a pak se interpolují síly ze mřížky zpět na částici
    Particle – In – Cell (PIC) označuje jednu z metod vážení přiřazování a interpolování
    Vážení 0. řádu: Nearest – Grid – Point (NGP)
    Vážení 1. řádu: Particle – In – Cell (PIC)
    http://en.wikipedia.org/wiki/Particle-in-cell
    Vážení vyšších řádů: použití kvadratických a kubických splajnů dále vyhlazuje hrubost mřížky
  • Nearest – Grid – Point
    Částice hustoty 𝑛𝑖 ve vzdálenosti ±∆ 𝑥2 od uzlu bude přiřazena k uzlu
    Hustota uzlu mřížky =𝑛𝑖∆𝑥2
    Metoda zatížená relativně velkým šumem
     
    ne
    ne
    ano
    ano
    ano
    ne
    ano
    ne
    ∆𝒙
     
    ∆ 𝒙𝟐
     
  • Particle – In – Cell
    Částice hustoty 𝑛𝑖 ve vzdálenosti ±∆𝑥 od uzlu bude přiřazena k uzlu
    Poměr hustoty přísluší k uzlu
    Bilineární interpolace 𝑛𝑛𝑜𝑑𝑒=𝑛𝑖𝑑𝑎+𝑏+𝑐+𝑑=𝑛𝑖𝑑∆𝑥2
    Hustota uzlu mřížky =𝑛𝑛𝑜𝑑𝑒∆𝑥2
     
    a
    c
    b
    d
    𝟐∆𝒙
     
  • Stromové kódy
    Snaha o co nejmenší počet výpočtů při co nejmenší ztrátě přesnosti
    Máme-li velkou skupinu částic, která je velmi vzdálená od ostatních částic, pak silový příspěvek této skupiny můžeme aproximovat silovým příspěvkem jedné makročástice (hmotnost rovna součtu hmotností částic ve skupině, hmotný střed umístěný v hmotném středu skupiny částic)
  • Konstrukce 2D stromu
    http://www.slideshare.net/destabilizator/
    Prostor je hierarchicky rozdělen na strom buněk
    Buňky obsahující jednu částici se nedělí – jsou to listy stromu, oblasti bez částic se ignorují
    Buňka = čtverec, jsou děleny ortogonálně před střed, každá může mít maximálně 4 dceřinné buňky (quad – tree)
    Struktura stromu se musí přepočítat při každé změně pozice částice
    3D verze je oct – tree
  • Další metody
    Fast Multipole Method – obdoba stromového kódu, užívá se potenciál místo síly, pro potenciál se provede multipólový rozvoj dané buňky, který je mnohem přesnější než hmotný střed, svou podstatou se dá užít k řešení různých druhů problémů
    Stromový kód částice – síť,pro místa s velkou koncentrací hustoty se užívá stromového kódu, v ostatních místech prostoru se užije metoda PM, je rychlejší než obyčejný stromový kód ale má omezené prostorové rozlišení
    Self consistent field – algoritmus vyvinutý pro bezsrážkové hvězdné systémy, částice spolu neinteragují ale přímo, ale jsou ovlivněny kombinovaným gravitačním polem, jež samy vytváří – nezávisí tedy na souřadnici částic
    Paralelizace výpočtů – zejména využití paralelních stromových kódu např. PEPC, možnost simulovat až 108-109 částic při síle dlouhého dosahu
  • Zákony zachování
    Je důležité kontrolovat přesnost výpočtů – využití základních fyzikálních zákonů (ZZE, ZZH ve všech směrech)
    Pokud jsou tyto veličiny vypočteny na startu simulace a v jejím průběhu, dostáváme povědomí o přesnosti výpočtu
    Hybnost 𝑝𝑐=𝑖=1𝑁𝑝𝑖 je v PP metodách v principu vždy zachována
    Energie 𝐸𝑐=𝑖=1𝑁𝑚𝑖𝑣𝑖22+𝑖=1𝑁𝑗≠𝑖𝑁𝛾𝑚𝑖𝑚𝑗𝑟𝑖−𝑟𝑗 přináší větší problémy (kvadrát)
     
  • Chyby při výpočtu
    Diskretizační
    Aproximace funkce k výpočtu dalšího kroku
    Závisí na délce kroku, používáme metodu co nejvyššího řádu
    Zaokrouhlovací chyby
    Z důvodu přesnosti počítačů, omezený počet desetinných míst
    Čím více výpočtů v daném kroku provedeme, tím více zaokrouhlovacích chyb uděláme
    Stabilní / nestabilní metody
  • Srážky
    Částice blízko u sebe – komplexní interakce – z principu jednotlivých metod narůstají chyby velmi rychle
    Ignorace srážek – hvězdné systémy, jinde jsou důležité – plazma
    Centrální elastické a neelastické srážky – klasická mechanika
    Ostatní obtížněji popsatelné
  • Reference 1
    Amara – N-body methods
    http://www.amara.com/papers/nbody.html
    Kurz univerzity v Berkeley
    http://www.cs.berkeley.edu/~demmel/cs267/lecture26/lecture26.html
    N-body algorithms
    http://www.cs.hut.fi/~ctl/NBody.pdf
    Porovnání PP, PM a TC metod
    http://ta.twi.tudelft.nl/DV/Staff/Lemmens/MThesis.TTH/report.html
  • Reference 2
    Animace / videa
    http://qso.lanl.gov/pictures/Pictures.html
    Hra :o)
    http://www.newgrounds.com/portal/view/357700