• Share
  • Email
  • Embed
  • Like
  • Save
  • Private Content
Valores de verdad
 

Valores de verdad

on

  • 22,004 views

 

Statistics

Views

Total Views
22,004
Views on SlideShare
21,679
Embed Views
325

Actions

Likes
1
Downloads
191
Comments
0

5 Embeds 325

http://nachomatematicasfem.jimdo.com 290
http://fernandofallapuentes.blogspot.com 21
http://www36.jimdo.com 10
http://www.educlic.net 3
http://www.slideshare.net 1

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

    Valores de verdad Valores de verdad Document Transcript

    • VALORES DE VERDAD DE LOS OPERADORES LÓGICOS Tomada con fines instruccionales Gómez, T., González, N., Lorenzo J. (2007) Valores de verdad de los Operadores Lógicos. Artículo no publicado. (p.1-6). UNEFA. Caracas.Dada la importancia de los conectivos señalados en la lectura anterior,es pertinente establecer los valores de verdad (v ó f) de cadaproposición compuesta (molecular o resultante) para cada conectivo.A tal efecto, se utiliza la Tabla de Verdad, la cual se construyepartiendo de la valoración de cada una de las proposicionescomponentes (atómicas).NegaciónEs útil para estas lecturas, tener en cuenta que el signo utilizado paranegar una proposición es variable según el autor. Presentamos acontinuación algunos signos utilizados para negar una proposición. Distintas notaciones de la negación No p p p ~p ¬p pDada una proposición p, se denomina la negación de p a otraproposición denotada por p (se lee "no p") que le asigna el valor deverdad contrario al de p . Por ejemplo: p: Luis habla inglés p: No es cierto que Luis habla inglésPor lo que nos resulta sencillo construir su tabla de verdad: p p Observamos que V F Si p es V (verdadera entonces, la negación le corresponde el valor de F F V Si p es F entonces, la negación le corresponde el valor de V
    • Se trata de una operación unitaria, pues a partir de una proposición seobtiene otra, que es su negación.Ejemplo: La negación de p : todos los peces viven en el océanoes p : no es cierto que todos los peces viven en el océano, o p : no todos los peces viven en el océano, o p : Los peces no todos viven en el océano.ConjunciónDadas dos proposiciones p y q, se denomina conjunción de estasproposiciones a la proposición p q (se lee " p y q "), que estableceque la conjunción es verdadera sólo si las dos proposicionescomponentes son verdaderas. Cuando una de ellas no se cumple, esdecir, es falsa, la proposición resultante es falsa.A continuación presentamos la tabla de verdad de la conjunción p q p q p q Si las dos son V V V La conjunción es verdaderas verdadera V F F Si por lo menos una F V F La conjunción es falsa de ellas es falsa F F FEjemplo: Sea la proposición molecular: 8 es múltiplo de 2  9 es un número impar y         p q p : 8 es múltiplo de 2; q : 9 es un número imparPor ser ambas verdaderas, la conjunción entre ellas, es verdadera.Ejemplo: Sea la proposición molecular: La fresa es una fruta y 3 es un número par.Esta conjunción es falsa, pues:
    • p : La fresa es una fruta, es verdadera, mientras que q : 3 es un número par, es falsa.Por tanto, esta proposición p q es falsa, ya que ambasproposiciones no pueden ser simultáneamente verdaderas.Disyunción Inclusiva:Dadas dos proposiciones p y q, se denomina disyunción inclusiva deestas proposiciones a la proposición p q (se lee " p o q "), queestablece que la disyunción inclusiva es verdadera si al menos una delas dos proposiciones componentes es verdadera. Cuando todas ellasson falsas, la proposición resultante es falsa.A continuación presentamos la tabla de verdad de la disyuncióninclusiva p q : p q p q V V V Si por lo menos La disyunción V F V una es verdadera es verdadera F V V Si las dos son F F F Es falsa falsasEjemplo: Sea la proposición molecular: El cielo es azul o el Centro Banaven lo llaman El Cubo Negro. Esta disyunción es verdadera, pues: p : El cielo es azul, es verdadera y q : Centro Banaven lo llaman El Cubo Negro es verdadera,por tanto, esta proposición p q es verdadera, ya que ambasproposiciones son simultáneamente verdaderas.Ejemplo: Sea la proposición molecular: El número uno, es el elemento neutro de la suma o el número 44 es par.Esta disyunción es verdadera, pues: p : El número uno es el elemento neutro de la suma, es falsa y
    • q : el número 44 es par es verdadera, por tanto,la proposición p q es verdadera, pues por lo menos una de ellas esverdaderaEjemplo: Sea la proposición molecular: Los Carnavales se celebran en el mes de Diciembre o La navidad es en el mes de Agosto. Esta disyunción es falsa, pues: p : Los Carnavales se celebran en el mes de Diciembre, es falsa q : La Navidad es en el mes de Agosto, es falsa,por lo tanto, la proposición p q es falsa, ya que las dosproposiciones son falsas.La disyunción exclusivaDadas dos proposiciones p y q, se denomina disyunción exclusiva deestas proposiciones a la proposición p q (se lee " o p o q "), lamisma establece que la disyunción exclusiva es verdadera si sólo unade las dos proposiciones componentes es verdadera. Cuando ambasproposiciones son verdaderas o ambas falsas, la proposiciónresultante es falsa.A continuación presentamos la tabla de verdad de la disyunciónexclusiva p q : p q p q V V F V F V F V V F F FEjemplo: Sea la proposición molecular: O el número uno es el elemento neutro de la multiplicación o el número 44 es par.
    • Esta disyunción exclusiva es falsa, pues: p : El número uno, es el elemento neutro de la multiplicación, es verdadera y q : el número 44 es par es verdadera, por tanto, la proposición p q es falsa, ya que ambasproposiciones son verdaderas y por definición, sólo una debe serverdad.Ejemplo: Sea la proposición molecular:Los Carnavales se celebran en el primer trimestre del año o Lanavidad es en el mes de Agosto.Esta disyunción exclusiva es verdadera, pues: p : Los Carnavales se celebran en el primer trimestre del año, es verdadera y q : La Navidad es en el mes de Agosto, es falsa,por tanto, la proposición p q es verdadera, pues una y sólo una delas dos proposiciones es verdadera.El CondicionalEl condicional de las proposiciones " p y q " es la proposición p q (sip entonces q ) cuya tabla de verdad es: p q p q V V V V F F F V V F F VLa proposición p se llama antecedente, y la proposición q se llamaconsecuente del condicional. La tabla nos muestra que la implicaciónsólo es falsa si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso.Ejemplo: Supongamos la implicación
    • R: Si   entonces me inscribo  la a entreno,   en competenci       p qEl condicional R está compuesto de las proposiciones p : entreno y q : me inscribo en la competenciaNos interesa conocer la verdad o falsedad de la proposicióncondicional R, en relación a la verdad o falsedad de las proposiciones p y q . El enunciado puede pensarse como un compromiso,condicionado por p , y podemos asociar su verdad al cumplimiento delcompromiso.Es evidente que si p es F, es decir, si no entreno, quedo liberado delcompromiso y me inscriba o no en la competencia, el condicional esverdadero.Si p es verdadera, es decir si entreno, y no me inscribo en lacompetencia, el compromiso no se cumple y la proposición R es falsa.Si p y q son verdaderas, entonces la proposición R es verdaderapues el compromiso se cumple.Ejemplo: 1² = (–1)² 1 = –1 (F)La proposición resulta ser falsa por ser el antecedente verdadero, 1² =(–1)² y el consecuente (1 = –1) falso.El BicondicionalEl si y sólo si de las proposiciones p y q es la proposición p q (selee "p si y sólo si q") cuya tabla de verdad es: p q p q V V V V F F F V F F F V
    • Si y sólo si o el bicondicional sólo es verdadera si ambasproposiciones tienen el mismo valor de verdad. El bicondicional puededefinirse como la conjunción de una implicación y su recíproca. Deeste modo, la tabla de valores de verdad de p q puede obtenersemediante la tabla de ( p q) (q p) , como vemos: p q p q q p (p q) (q p) V V V V V V F F V F F V V F F F F V V VEjemplo: Sea R: a = b si y sólo si a2 = b2 El enunciado está compuesto por las proposiciones: p : a = b; q : a2 = b2 Este bicondicional a=b a2 = b2 es falso.Si p es F, es decir a b, y q es V, es decir a2 = b2. En los demáscasos es V.Hacer la tabla de verdad para este bicondicional p q p q a=b a = b2 2 V V V F F V F FEn las próximas lecturas trabajaremos con fórmulas proposicionales,para ello es indispensable el uso de las prioridades de los conectivos ylos signos de agrupación, que listaremos a continuación:
    • Prioridad 1) Signos de () [ ] agrupación 2) La Negación ~p 3) La conjunción, la , , disyunción inclusiva y exclusiva 4) Condicional y , BicondicionalEsta tabla nos indica que:1) Primero resolvemos las fórmulas parciales que se encuentran entre paréntesis, de adentro hacia fuera.2) Luego resolvemos las negaciones3) Después los conectivos, conjunción y disyunción inclusiva o exclusiva4) Por último el condicional y/o bicondicional.Para la siguiente fórmula: ( p ~ (q r )) s Se resuelve primero el paréntesis más interno (q r) ( Prioridad 1) Luego negamos el resultado de (q r ) (Prioridad 2) Después usamos el conectivo con p y el resultado anterior (Proridad 3) Finalmente el resultado obtenido se resuelve con el condicional
    • TABLAS DE VERDADPara la construcción de la tabla, la dividimos en dos partes. La parteizquierda la llamaremos margen y a la derecha la llamaremos cuerpo. En el margen colocaremos los valores de verdad de las variablesproposicionales que intervienen. El número de dichas componentesdetermina la cantidad de posibles combinaciones de valores deverdad que aparecerán en la tabla. Este número total decombinaciones se calcula con la operación 2 n , donde la base indicalos únicos dos valores que puede asumir una variable proposicional(V o F), y el exponente el número de variables proposicionales queintervienen, ejemplo:En la proposición (~ p q) ~ q , p q Posibilidadesintervienen dos variablesproposiciones (p y q), el número de V V 1racombinaciones para construir la tabla V F 2dasería 2 n 2 2 4 , por lo tanto el F V 3ramargen queda como lo muestra lafigura a la derecha F F 4ta margenEl cuerpo se va formando con las proposiciones parciales hasta llegara la proposición compuesta final, es decir, se agregan tantas columnascomo proposiciones atómicas se encuentren agrupadas (enparéntesis), leyendo la fórmula de izquierda a derecha para iniciar elcuerpo de la tabla, y respetando las prioridades de los conectivos ysignos de agrupación.Siguiendo el ejemplo anterior tenemos:
    • Primero agregamos al cuerpo de la tabla la proposición ~ p p q ~p V V F V F F F V V F F VLuego agregamos al cuerpo de la tabla , (~ p q) p q ~p (~ p q ) V V F V V F F F F V V V F F V VAgregamos ~ q p q ~p (~ p q ) ~q V V F V F V F F F V F V V V F F F V V VY por último, agregamos la fórmula (~ p q) ~ q y valoramos elconectivo p q ~p (~ p q ) ~ q (~ p q) ~ q V V F V F F V F F F V F F V V V F F F F V V V V margen cuerpo
    • Ejemplo 1: Construir la tabla de verdad correspondiente la proposicióncompuesta r ~(p q)Solución:Observe que la proposición posee 3 componentes (p, q y r), por loque tiene 8 combinaciones , 2 3 ,y se sigue el mismo procedimiento delejemplo anterior para construir el margen y el cuerpo. p q r p q ~(p q) r ~(p q) V V V V F F V V F V F F V F V F V V V F F F V F F V V V F F F V F V F F F F V V F F F F F V F F margen cuerpoEjercicios. Construya la tabla de verdad para las siguientesproposiciones compuestas:1. ~ [ p (q r )] ; 2. [~ p ~ q ] [~ p (~ q ~ p )]