Fisika dasar-modul

  • 2,662 views
Uploaded on

 

More in: Education
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
  • mantap
    http://m.facebook.com/photo.php?fbid=453797978020839&id=100001719232365&set=a.106019006132073.10052.100001719232365&refid=17
    Are you sure you want to
    Your message goes here
No Downloads

Views

Total Views
2,662
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
1

Actions

Shares
Downloads
0
Comments
1
Likes
2

Embeds 0

No embeds

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
    No notes for slide

Transcript

  • 1. FISIKA DASARMIRZA SATRIAWAN November 6, 2007
  • 2. Daftar Isi1 Pendahuluan 4 1.1 Besaran dan Pengukuran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1 Penjumlahan Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2 Perkalian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Kinematika Gerak Lurus 13 2.1 Posisi, Kecepatan dan Percepatan . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Gerak dengan kecepatan konstan . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3 Gerak dengan percepatan konstan . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.4 Kombinasi gerak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.5 Gerak melingkar beraturan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.6 Gerak Relatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 Dinamika 28 3.1 Inersia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.2 Hukum Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1
  • 3. DAFTAR ISI 2 3.3 Beberapa Jenis Gaya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334 Dinamika 2 - Usaha dan Tenaga 37 4.1 Usaha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.2 Teorema Usaha-Energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.3 Gaya Konservatif dan Energi Potensial . . . . . . . . . . . . . 405 Sistem Partikel 44 5.1 Pusat Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5.2 Gerak Pusat Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5.3 Tumbukan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.3.1 Tumbukan elastik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 5.3.2 Tumbukan tak elastik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506 Rotasi Benda Tegar 52 6.1 Kinematika Rotasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 6.2 Dinamika Rotasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 6.2.1 Torka dan momentum sudut . . . . . . . . . . . . . . . 55 6.3 Sistem partikel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 6.4 Energi Kinetik Rotasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 6.4.1 Teorema sumbu sejajar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 6.4.2 Teorema sumbu tegak lurus . . . . . . . . . . . . . . . 59 6.5 Usaha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 6.6 Gabungan Gerak Translasi dan Rotasi . . . . . . . . . . . . . 61
  • 4. DAFTAR ISI 3 6.7 Kesetimbangan Benda Tegar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 6.8 Jenis-Jenis Keseimbangan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637 GRAVITASI 68 7.1 Hukum Gravitasi Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 7.2 Medan Gravitasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 7.3 Energi Potensial Gravitasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748 FLUIDA 76 8.1 Tekanan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 8.2 Tekanan Hidrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 8.3 Prinsip Pascal dan Archimedes . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 8.4 Pengukuran Tekanan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 8.5 Jenis-Jenis Aliran Fluida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 8.6 Persamaan Kontinuitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 8.7 Persamaan Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 869 GETARAN DAN GELOMBANG 88 9.1 GETARAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 9.1.1 Bandul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 9.1.2 Bandul Mekanis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 9.2 Getaran Teredam dan Resonansi . . . . . . . . . . . . . . . . 92 9.2.1 Resonansi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 9.3 Energi Getaran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
  • 5. DAFTAR ISI 4 9.4 GELOMBANG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 9.5 Superposisi Gelombang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 9.5.1 Beda fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 9.5.2 Beda arah kecepatan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 9.5.3 Beda frekeunsi dan panjang gelombang . . . . . . . . . 99
  • 6. Bab 1Pendahuluan1.1 Besaran dan PengukuranFisika adalah ilmu yang mempelajari benda-benda serta fenomena dan keadaanyang terkait dengan benda-benda tersebut. Untuk menggambarkan suatufenomena yang terjadi atau dialami suatu benda, maka didefinisikan berba-gai besaran-besaran fisika. Besaran-besaran fisika ini misalnya panjang,jarak, massa, waktu, gaya, kecepatan, temperatur, intensitas cahaya, dansebagainya. Terkadang nama dari besaran-besaran fisika tadi memiliki ke-samaan dengan istilah yang dipakai dalam keseharian, tetapi perlu diper-hatikan bahwa besaran-besaran fisika tersebut tidak selalu memiliki penger-tian yang sama dengan istilah-istilah keseharian. Seperti misalnya istilahgaya, usaha, dan momentum, yang memiliki makna yang berbeda dalamkeseharian atau dalam bahasa-bahasa sastra. Misalnya, “Anak itu bergaya 5
  • 7. BAB 1. PENDAHULUAN 6di depan kaca”, “Ia berusaha keras menyelesaikan soal ujiannya”, “Momen-tum perubahan politik sangat tergantung pada kondisi ekonomi negara”.Besara-besaran fisika didefinisikan secara khas, sebagai suatu istilah fisikayang memiliki makna tertentu. Terkadang besaran fisika tersebut hanyadapat dimengerti dengan menggunakan bahasa matematik, terkadang dapatdiuraikan dengan bahasa sederhana, tetapi selalu terkait dengan pengukuran(baik langsung maupun tidak langsung). Semua besaran fisika harus dapatdiukur, atau dikuatifikasikan dalam angka-angka. Sesuatu yang tidak da-pat dinyatakan dalam angka-angka bukanlah besaran fisika, dan tidak akandapat diukur. Mengukur adalah membandingakan antara dua hal, biasanya salah sat-unya adalah suatu standar yang menjadi alat ukur. Ketika kita mengukurjarak antara dua titik, kita membandingkan jarak dua titik tersebut denganjarak suatu standar panjang, misalnya panjang tongkat meteran. Ketika kitamengukur berat suatu benda, kita membandingkan berat benda tadi denganberat benda standar. Jadi dalam mengukur kita membutuhkan standar se-bagai pembanding besar sesuatu yang akan diukur. Standar tadi kemudianbiasanya dinyatakan memiliki nilai satu dan dijadian sebagai acuan satuantertentu. Walau kita dapat sekehendak kita menentukan standar ukur, tetapitidak ada artinya bila tidak sama di seluruh dunia, karena itu perlu diadakansuatu standar internasional. Selain itu standar tersebut haruslah praktis danmudah diproduksi ulang di manapun di dunia ini. sistem standar interna-sional ini sudah ada, dan sekarang dikenal dengan Sistem Internasional (SI).
  • 8. BAB 1. PENDAHULUAN 7Terkait dengan SI, terdapat satuan SI. Antara besaran fisika yang satu dengan besaran fisika yang lain, mungkinterdapat hubungan. Hubungan-hubungan antara besaran fisika ini dapatdinyatakan sebagai persamaan-persamaan fisika, ketika besaran-besaran tadidilambangkan dalam simbol-simbol fisika, untuk meringkas penampilan er-samaannya. Karena besaran-besaran fisika tersebut mungkin saling terkait,maka tentu ada sejumlah besaran yang mendasari semua besaran fisika yangada, yaitu semua besaran-besaran fisika dapat dinyatakan dalam sejumlahtertentu besaran-besaran fisika, yang disebut sebagai besaran-besaran dasar.Terdapat tujuh buah besaran dasar fisika (dengan satuannya masing-masing) 1. panjang (meter) 2. massa (kilogram) 3. waktu (sekon) 4. arus listrik (ampere) 5. temperatur (kelvin) 6. jumlah zat (mole) 7. intensitas cahaya (candela)Satuan SI untuk panjang adalah meter dan satu meter didefinisikan sebagai1650763,73 kali panjang gelombang cahaya transisi 2p10 - 5d5 isotop Kr86 .Satuan SI untuk waktu adalah sekon dan satu sekon didefinisikan sebagai 9
  • 9. BAB 1. PENDAHULUAN 8192 631 770 kali periode transisi tertentu aton Cs133 . Satuan SI untuk massaadalah kilogram, dan satu kilogram didefinisika sebagai massa sebuah silinderpatinum iridium yang disimpan di Lembaga Berat dan Ukuran Internasionaldi Prancis. Tetapi selain itu juga terdapat standar massa non SI, yaitustandar massa atom yang diambil berdasarkan massa satu atom C12 yangtepat didefinisikan bermassa 12 dalam satuan massa atom terpadu (amuatomic mass unit, disingkat u). Besaran-besaran fisika secara umum dapat dikelompokkan menjadi tigajenis, besaran skalar, besaran vektor dan besaran tensor. Untuk besarantensor, tidak akan dipelajari dalam pelajaran fisika dasar. Besaran skalaradalah besaran yang memiliki nilai saja, sedangkan besaran vektor adalahbesaran yang selain memiliki nilai juga memiliki arah. Karena konsep tentangvektor banyak digunakan dalam fisika, maka akan dijelaskan lebih lanjutsecara singkat mengenai besaran vektor ini.1.2 VektorSebagai contoh yang mudah untuk dipahami dari sebuah vektor adalah vek-tor posisi. Untuk menentukan posisi sebuah titik relatif terhadap titik yanglain, kita harus memiliki sistem koordinat. Dalam ruang berdimensi tiga,dibutuhkan sistem koordinat, x, y, z untuk mendiskripsikan posisi suatu titikrelatif terhadap suatu titik asal (O). Vektor posisi suatu titik P, relatif ter-hadap titik asal digambarkan di bawah ini.
  • 10. BAB 1. PENDAHULUAN 91.2.1 Penjumlahan VektorDari konsep vektor posisi juga dikembangkan konsep penjumlahan vektor.Vektor posisi titik A adalah A, sedangkan posisi titik B ditinjau dari titik Aadalah B. Vektor posisi titik B adalah vektor C, dan C dapat dinyatakansebagai jumlahan vektor A dan vektor B, A + B = C.
  • 11. BAB 1. PENDAHULUAN 10 Negatif dari suatu vektor A dituliskan sebagai −A dan didefinisikan se-bagai sebuah vektor dengan besar yang sama dengan besar vektor A tetapidengan arah yang berlawanan, sehingga A + (−1)A = 0. Dari sini konseppengurangan vektor muncul, jadi A − B = A + (−1)B.Aljabar vektor bersifat komutatif dan asosiatif. Jadi A + B = B + A, danA + (B + C) = (A + B) + C Dalam ruang berdimensi tiga terdapat paling banyak tiga vektor yangdapat saling tegak lurus. Vektor-vektor yang saling tegak lurus ini dapatdijadikan vektor-vektor basis. Dalam sistem koordinat kartesan, sebagaivektor-vektor basis biasanya diambil vektor-vektor yang mengarah ke arahsumbu x, y, dan z positif, dan diberi simbol x, y , dan z . Vektor-vektor ba- ˆ ˆ ˆsis ini juga dipilih bernilai satu. Sehingga sebarang vektor A dalam ruangdimensi tiga dapat dinyatakan sebagai jumlahan vektor-vektor basis dengankoefisien-koefisien Ax , Ay , Az yang disebut sebagai komponen vektor dalamarah basis x, y dan z. A = Ax x + Ay y + Az z ˆ ˆ ˆ Dari trigonometri dapat diketahui bahwa bila sudut antara vektor Adengan sumbu x, y, dan z adalah θx , θy , dan θz , maka Ax = A cos θx ,Ay = A cos θy , dan Az = A cos θz , dengan A adalah besar A. Dari teorema
  • 12. BAB 1. PENDAHULUAN 11Phytagoras, diperoleh bahwa A = A 2 + A2 + A2 . x y z1.2.2 PerkalianDua buah vektor dapat ‘diperkalikan’. Konsep perkalian antar vektor sangatbermanfaat dalam perumusan berbagai persamaan-persamaan fisika. Konsepperkalian dalam vektor sangat berbeda dengan sekedar memperkalian duabuah bilangan (skalar), dan memiliki definisi tersendiri. Dua buah vektordapat diperkalikan menghasilkan sebuah skalar ataupun sebuah vektor baru.Perkalian yang menghasilkan skalar disebut sebagai perkalian skalar atauperkalian titik (dot product), dan didefinisikan sebagai A · B = AB cos θdengan θ adalah sudut antara vektor A dan B. Besar vektor C = A + B
  • 13. BAB 1. PENDAHULUAN 12dapat dinyatakan dalam perumusan berikut ini √ C= (A + B) · (A + B) = A2 + B 2 + 2AB cos θBila A dan B dinyatakan dalam komponen-komponennya, A = Ax x + Ay y + ˆ ˆAz z dan B = Bx x + By y + Bz z , maka ˆ ˆ ˆ ˆ A · B = Ax Bx + Ay By + Az Bzkarena x · y = x · z = y · z = cos 900 = 0 (saling tegak lurus), dan x · x = ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆy · y = z · z = cos 00 = 1. Dengan mengalikan sebarang vektor A denganˆ ˆ ˆ ˆsebuah vektor basis, akan didapatkan proyeksi A ke arah vektor basis tadi,jadi misalnya a · x = Ax . ˆ Perkalian dua buah vektor yang menghasilkan sebuah vektor, disebutsebagai perkalian silang (cross product), untuk dua buah vektor A dan B
  • 14. BAB 1. PENDAHULUAN 13dituliskan A×B =C Vektor C di sini adalah suatu vektor yang arahnya tegak lurus terhadapbidang di mana A dan B berada, dan ditentukan oleh arah putar tangankanan yang diputar dari A ke B. Besar vektor C didefinisikan sebagai C = |A × B| = AB sin θBesar vektor C ini dapat diinterpretasikan sebagai luasan jajaran genjangyang dua sisinya dibatasi oleh A dan B Sesuai dengan definisinya, makaA × B = −B × A. Untuk vektor-vektor basis, diperoleh x × y = z , y × z = x, ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆz × x = y , dan x × x = y × y = z × z = 0.ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
  • 15. Bab 2Kinematika Gerak Lurus2.1 Posisi, Kecepatan dan PercepatanDalam bab ini kita akan meninjau gerak titik partikel secara geometris, yaitumeninjau gerak partikel tanpa meninjau penyebab geraknya. Cabang ilmumekanika yang meninjau gerak partikel tanpa meninjau penyebab geraknyadisebut sebagai kinematika. Walaupun kita hanya meninjau gerak titikpartikel, tetapi dapat dimanfaatkan juga untuk mempelajari gerak bendamaupun sistem yang bukan titik. Karena selama pengaruh penyebab gerakpartikel hanya pengaruh eksternal, maka gerak keseluruhan benda dapat di-wakili oleh gerak titik pusat massanya. Pembuktian terhadap pernyataan iniakan diberikan belakangan. Kondisi gerak suatu titik partikel dideskripsikan oleh perubahan posisipartikel sebagai fungsi waktu, r(t). Dalam mekanika klasik waktu diang- 14
  • 16. BAB 2. KINEMATIKA GERAK LURUS 15gap tidak bergantung pada sistem kerangka koordinat yang dipilih, waktuhanya sebagai sesuatu yang mengalir bebas dari besaran-besaran fisis lain-nya. Bila fungsi r(t) sudah diketahui untuk sebarang waktu t, maka keadaangerak partikel tadi secara praktis sudah diketahui. Tetapi terkadang infor-masi tentang gerak partikel tidak diketahui dalam bentuk posisi tetapi dalambesaran-besaran lain yang akan kita definisikan. Dalam selang waktu ∆t, posisi partikel akan berpindah dari r(t) menjadir(t + ∆t). Vektor perubahan posisinya adalah ∆r = r(t + ∆t) − r(t)Kecepatan sebuah aprtikel adalah laju perubahan posisi partikel terhadapwaktu. Kecepatan rerata partikel tadi dalam selang waktu ∆t didefinisikansebagai ∆r v= ¯ ∆t
  • 17. BAB 2. KINEMATIKA GERAK LURUS 16Sedangkan kecepatan sesaat pada saat t didefinisikan sebagai ∆r dr v ≡ lim ≡ ∆t→0 ∆t dtBesar dari vektor kecepatan sering juga disebut sebagai kelajuan. Kelajuandari sebuah partikel dapat tidak berubah walaupun kecepatannya berubah,yaitu bila vektor kecepatan berubah arahnya tanpa berubah besarnya. Bila kecepatan sebuah partikel pada saat t adalah v(t) maka setelah selangwaktu ∆t kecepatannya adalah v(t + ∆t). Perubahan kecepatannya selamaselang ∆t diberikan oleh ∆v = v(t + ∆t) − v(t)Percepatan sebuah partikel adalah laju perubahan keceatan partikel ter-hadap waktu. Percepatan rerata partikel tadi didefinisikan sebagai ∆v a≡ ¯ ∆tsedangkan percepatan sesaatnya pada saat t didefinisikan sebagai ∆v dv a ≡ lim ≡ . ∆t→0 ∆t dtKarena kecepatan dapat dituliskan sebagai derivatif posisi terhadap waktu,
  • 18. BAB 2. KINEMATIKA GERAK LURUS 17maka percepatan adalah derivatif kedua posisi terhadap waktu, yaitu d2 r a≡ . dt22.2 Gerak dengan kecepatan konstanBila kecepatan partikel konstan v, maka percepatannya nol. Untuk kasusini posisi partikel pada waktu t dapat diketahui melalui integrasi persamaanberikut ini dr = vdtyang bila diintegralkan dari saat awal t0 dengan posisi r(0) ke saat akhir tdengan posisi r(t) r(t) t dr = v dt r(0) 0 r(t) − r(0) = v(t − 0)atau r(t) = r(0) + v t Grafik hubungan posisi dan waktu membentuk garis lurus dengan nilaigradien grafik (kemiringan grafik) sama dengan nilai kecepatan yang konstan
  • 19. BAB 2. KINEMATIKA GERAK LURUS 182.3 Gerak dengan percepatan konstanBila percepatan partikel konstan a, kecepatan partikel dapat ditentukan dariintegrasi persamaan berikut ini dv = adtyang bila diintegralkan dari saat awal t0 dengan kecepatan v(0) ke saat akhirt dengan kecepatan v(t) v(t) t dv = a dt v(0) 0 v(t) − v(0) = a(t − 0)atau v(t) = v(0) + a t
  • 20. BAB 2. KINEMATIKA GERAK LURUS 19dari persamaan ini, dengan memakai definisi kecepatan sebagai derivatif po-sisi terhadap waktu, diperoleh persamaan berikut ini dr = v(0)dt + a(t − 0)dtyang bila diintegralkan dari saat awal t0 dengan posisi r(0) ke saat akhir tdengan posisi r(t), diperoleh r(t) t dr = v(0)dt + a(t − 0)dt r(0) 0dan diperoleh 1 r(t) = r(0) + v(0) t + a t2 2 Grafik posisi sebagai fungsi dari waktu berbentuk grafik kuadratis (parabo-lik), dengan gradien grafik sama dengan besar kecepatan partikel pada saat
  • 21. BAB 2. KINEMATIKA GERAK LURUS 20tertentu. Sedangkan grafik kecepatan sebagai fungsi waktu berbentuk garislurus dengan gradien grafiknya sama dengan besar percepatan partikel. Dengan meninjau gerak satu dimensi, dapat juga dituliskan dv dv dr dv a= = =v dt dr dt dratau dapat dituliskan v dv = adryang bila diintegralkan dari posisi dan kecepatan awal r(0) dan v(0) ke posisidan kecepatan akhir r(t) dan v(t) maka diperoleh v(t) r(t) v dv = a dr. v(0) r(0)Hasilnya v(t)2 = v(0)2 + 2a (r(t) − r(0)) Sebagai contoh gerak dengan percepatan konstan adalah gerak partikeljatuh bebas di dekat permukaan bumi. Dapat ditunjukkan bahwa untuk ket-inggian yang tidak terlalu jauh dari permukaan bumi, percepatan gravitasi gyang dialami sebuah benda yang jatuh bebas, bernilai konstan. Dalam kasusbenda jatuh bebas, bila arah positif dipilih ke arah atas, maka percepatanbenda a = −g (ke bawah).
  • 22. BAB 2. KINEMATIKA GERAK LURUS 212.4 Kombinasi gerakBesaran-besaran gerak yang berupa besaran vektor dapat diuraikan menjadikomponen-komponennya dalam setiap arah vektor-vektor basisnya. Sehinggagerak dalam dua dimensi dapat diuraikan menjadi kombinasi dua gerak satudimensi dalam dua arah yang saling tegak lurus (misalnya dalam arah xdan y). Demikian juga gerak dalam tiga dimensi dapat diuraikan men-jadi kombinasi tiga gerak satu dimensi dalam tiga arah yang saling tegaklurus (dalam arah x, y, dan z). Semua persamaan-persamaan kinematikagerak lurus dalam bab sebelumnya, dapat digunakan untuk mendeskripsikangerak dalam masing-masing arah. Sebagai contoh akan diberikan gerak par-tikel dalam dua dimensi (bidang) yang mengalami percepatan konstan dalamarah vertikal dan tidak mengalami percepatan dalam arah horizontal. Ap-likasi dari gerak ini adalah gerak peluru, yang lintasannya berupa lintasanparabolik. Misalkan di titik asal koordinat (0, 0) sebuah partikel bergerak dengankecepatan awal v0 yang membentuk sudut θ terhadap sumbu x. Partikelini mengalami percepatan gravitasi sebesar −g (ke arah sumbu y negatif).Kecepatan awal partikel dapat diuraikan menjadi komponen x dan y, yaituv0x = v0 cos θ dan v0y = v0 sin θ. Gerak partikel sekarang dapat dianalisasebagai gerak dengan kecepatan konstan pada arah x dan gerak dengan per-cepatan konstan pada arah y. Sesuai pembahasan pada bagian sebelum ini,
  • 23. BAB 2. KINEMATIKA GERAK LURUS 22posisi partikel pada arah x dan y diberikan oleh x(t) = v0x t (2.1) 1 y(t) = v0y t − gt2 (2.2) 2Kecepatan partikel pada arah x tetap, yaitu vx (t) = v0x , sedangkan kecepatanpartikel pada arah y berubah sebagai vy (t) = v0y − gt. Besar kecepatanpartikel diberikan oleh v(t) = vx (t)2 + vy (t)2 Dengan mensubstitusikan variabel waktu t pada pers. (2.1) ke dalampers. (2.2) diperoleh v0y g y(x) = x − 2 x2 (2.3) v0x 2v0xPersamaan ini adalah fungsi y yang kuadratis dalam variabel x. Titik tert-inggi lintasan diperoleh dengan mencari nilai ekstrim fungsi tersebut, yangtercapai ketika dy v0y g = − 2 x=0 dx v0x v0xyaitu pada v0y v0x 2v 2 sin 2θ x= = 0 g 2g Posisi terjauh partikel, yaitu posisi ketika partikel kembali memiliki posisiy = 0, dapat diperoleh dengan mencari akar pers. (2.3), (dengan memakai
  • 24. BAB 2. KINEMATIKA GERAK LURUS 23rumus abc) 2 2 v0y v0x 1 4v0y v0x x= ± g 2 g2terdapat dua nilai, dan dipilih yang tidak nol (karena x = 0 tidak lain adalahtitik awal gerak partikel yang juga memiliki koordinat y = 0), jadi titikterjauh yang ditempuh adalah pada 2v0y v0x v0 sin 2θ x= = (2.4) g g2.5 Gerak melingkar beraturanGerak melingkar beraturan adalah gerak dengan lintasan berbentuk lingkarandan kelajuan konstan. Walau kelajuannya konstan, tetapi vektor kecepatan-nya berubah, yaitu berubah arahnya. Kita tinjau suau partikel bergerakmelingkar dengan jejari lintasan lingkarannya r. Lihat gambar di bawah ini Dari gambar di atas, untuk selang waktu ∆t, partikel yang bergerak
  • 25. BAB 2. KINEMATIKA GERAK LURUS 24melingkar telah menempuh jarak sejauh v∆t = rθ (2.5)dengan θ adalah sudut dalam satuan radian. Dalam selang waktu tersebut,karena vektor kecepatan selalu tegak lurus terhadap jejari lingkaran, arahvektor kecepatan juga sudah berubah sebesar ∆v (lihat gambar), Sehingga untuk selang waktu yang cukup kecil, ∆v = θv. (2.6)Dengan mengeliminasi θ dari pers. (2.5) dan (2.6), diperoleh ∆t ∆v = v 2 (2.7) r
  • 26. BAB 2. KINEMATIKA GERAK LURUS 25atau, dengan membagi kedua ruas dengan ∆t, akan didapatkan percepatan ∆v v2 a = lim = . (2.8) ∆t→0 ∆t rArah percepatannya searah dengan arah perubahan kecepatan ∆v, untuk∆t yang sangat kecil, akan tegak lurus terhadap arah kecepatan v mengarahke pusat lingkaran. Percepatan ini disebut sebagai percepatan sentripetal,dengan besar yang konstan dan selalu mengarah ke pusat lingkaran. Untuk gerak melingkar dengan kelajuan yang tidak konstan, dapat dianal-isa dengan menuliskan vektor kecepatan sebagai v = vˆ, dengan u adalah u ˆvektor satuan searah dengan arah kecepatan, dan menyinggung (tangensialterhadap) lintasan. Dengan menderivatifkan vektor kecepatan ini, diperoleh dvˆ u dv dˆ u a= =u +v ˆ (2.9) dt dt dtsuku pertama disebut sebagai suku percepatan tangensial dv at = u = at u ˆ ˆ (2.10) dtsedangkan pada suku kedua, dˆ u dθ v =− r=− r ˆ ˆ (2.11) dt dt rdengan r adalah vektor satuan arah radial. Maka suku kedua ini tidak lain ˆ
  • 27. BAB 2. KINEMATIKA GERAK LURUS 26adalah percepatan radial atau sentripetal v2 ar = − r ˆ (2.12) r2.6 Gerak RelatifKetika menganalisa gerak suatu partikel, kita meninjaunya relatif terhadapsuatu titik acuan dan sistem koordinat tertentu, yang secara bersama-samadisebut sebagai kerangka acuan. Besaran-besaran gerak partikel tersebut,seperti posisi, kecepatan dan percepatan dapat bernilai berbeda bila dili-hat dari kerangka acuan yang berbeda. Dalam analisa ini, kita memakaipendekatan klasik di mana waktu dianggap sama di semua kerangka acuan.Ditinjau misalnya suatu kerangka acuan A dan kerangka acuan kedua B.Posisi titik asal B dlihat dari titik asal A, diberikan oleh vektor RBA (t). Po-sisi sebuah partikel C menurut kerangka A dan B secara berturutan adalahrCA (t) dan rCB (t). Hubungan antara rCA (t) dan rCB (t), diberikan oleh (lihatgambar) rCB (t) = rCA (t) − RBA (t) = (2.13)Dari persamaan ini, dengan derivatif terhadap waktu, diperoleh hubungankecepatan partikel menurut A dan B drCB drCA dRBA = − (2.14) dt dt dt
  • 28. BAB 2. KINEMATIKA GERAK LURUS 27atau vCB = vCA − VBA (2.15)dengan vCB adalah kecepatan partikel C dilihat dari kerangka B, vCA adalahkecepatan partikel C dilihat dari kerangka A, dan VBA adalah kecepatankerangka B dilihat dari kerangka A. Dari pers. (2.15), dengan menderivatifkannya terhadap waktu, diperolehhubungan percepatan partikel menurut A dan B dvCB dvCA dVBA = − (2.16) dt dt dtatau aCB = aCA − aBA (2.17)dengan aCB adalah kecepatan partikel C dilihat dari kerangka B, aCA adalahkecepatan partikel C dilihat dari kerangka A, dan aBA adalah kecepatan
  • 29. BAB 2. KINEMATIKA GERAK LURUS 28kerangka B dilihat dari kerangka A. Kasus khusus adalah bila percepatan antara kerangka A dan B adalahnol, atau kerangka B bergerak relatif terhadap A dengan kecepatan konstan.Pada kasus ini, percepatan partikel ditinjau dari kedua kerangka bernilaisama. Kumpulan kerangka-kerangka acuan semacam ini disebut kerangka-kerangka acuan inersial. Mengenai sifat inersial ini, akan dibahas dalam babselanjutnya.
  • 30. Bab 3DinamikaCabang dari ilmu mekanika yang meninjau gerak partikel dengan menin-jau penyebab geraknya dikenal sebagai dinamika. Dalam bab ini kita akanmembahas konsep-konsep yang menghubungkan kondisi gerak benda dengankeadaan-keadaan luar yang menyebabkan perubahan keadaan gerak benda.3.1 InersiaBila sebuah benda berada dalam keadaan diam, untuk menggerakkannyadibutuhkan pengaruh luar. Misalnya untuk menggerakkan sebuah balok yangdiam di atas lantai, kita dapat mendorongnya. Dorongan kita ini adalah pen-garuh luar terhadap balok tadi yang menyebabkan benda tersebut bergerak.Dari pengalaman sehari-hari, ketika pengaruh luar, yaitu dorongan kita tadi,dihilangkan dari balok, maka balok tersebut lama-lama akan berkurang ke- 29
  • 31. BAB 3. DINAMIKA 30cepatannya dan akhirnya diam. Mungkin kita akan menyimpulkan bahwaagar sebuah benda terus bergerak kita perlu memberi dorongan pada bendatadi terus menerus, dan bila pengaruh luar tersebut hilang, maka benda akankembali diam. Tetapi apakah pengaruh luar pada benda tadi benar-benarsudah hilang? Bagaimana dengan pengaruh lantai terhadap benda tadi, yangjelas-jelas menghambat gerak benda? Seandainya kita memilih lantai yangpermukaannya licin, dan balok kita tadi juga memiliki permukaan yang licinmaka setelah dorongan kita hilangkan, balok tadi masih akan tetap bergerakuntuk waktu yang cukup lama. Bisa kita bayangkan bila tidak ada ham-batan (super licin) dari lantai terhadap balok, maka balok tadi akan tetapterus bergerak dengan kecepatan konstan walaupun dorongan kita sudah di-hilangkan. Jadi dapat disimpulkan bahwa bila pengaruh luar pada sebuah bendabenar-benar dihilangkan, maka sebuah benda akan tetap diam bila pada mu-lanya diam, dan akan tetap bergerak dengan kecepatan konstan, bila padamulanya bergerak dengan kecepatan konstan. Kesimpulan ini, yang per-tama kali disimpulkan oleh Galileo Galilei, dikenal sebagai prinsip inersiaatau kelembaman. Benda-benda cenderung untuk mempertahankan kondisigeraknya, bila dia diam, akan tetap diam dan bila bergerak, akan tetapbergerak dengan kecepatan konstan, selama tidak ada pengaruh luar yangmengubah kondisi geraknya.
  • 32. BAB 3. DINAMIKA 313.2 Hukum NewtonBagaimana pengaruh luar mempengaruhi perubahan kondisi gerak suatubenda? Hal ini dijawab dengan hukum Newton ke-2. Karena keadaan ‘alami’suatu benda adalah dia bergerak dengan kecepatan tertentu (diam adalah‘bergerak’ dengan v = 0), maka logis bila dikatakan pengaruh luar akanmenyebabkan perubahan kecepatan ∆v. Dari sini dapat disimpulkan bahwapengaruh luar tersebut akan menyebabkan percepatan pada benda. Tetapi dari berbagai pengamatan ditemukan bahwa untuk menghasilkanperubahan kecepatan yang sama, pada benda yang berbeda dibutuhkan ‘be-sar’ pengaruh luar yang berbeda pula. Sebaliknya dengan besar pengaruhluar yang sama, perubahan kecepatan pada benda-benda ternyata berbeda-beda. Jadi ada suatu kuantitas intrinsik (diri) pada benda yang menentukanukuran seberapa besar sebuah pengaruh luar dapat mengubah kondisi gerakbenda tersebut. Kuantitas ini tampaknya sebanding dengan jumlah zatnya,tetapi juga tergantung pada jenis zatnya. Kuantitas intrinsik pada benda-benda ini kemudian disebut sebagai massa inersia, disimbulkan dengan m.Massa inersia (atau sering juga disebut saja sebagai massa) memberikanukuran derajat kelembaman atau derajat inersia sebuah benda. Satuan darimassa adalah kilogram, dalam satuan SI. Makin besar massanya makin sulituntuk menghasilkan perubahan kondisi gerak pada benda tersebut. Pengaruhluar yang menyebabkan berubahnya keadaan gerak suatu benda kemudiandisebut sebagai gaya (force) dan disimbolkan dengan F . Satuan dari gaya
  • 33. BAB 3. DINAMIKA 32adalah newton (N). Dari pembahasan di atas dapat disimpulkan bahwa ‘kuantitas gerak’ su-atu benda tergantung pada massa inersia dan kecepatan benda. Untuk itudidefinisikan suatu besaran vektor yang disebut sebagai momentum p ≡ mv,sebagai kuantitas gerak suatu benda. Gaya kemudian didefinisikan (diukur)sebagai laju perubahan momentum dp F = (3.1) dtInilah yang kemudian dikenal sebagai hukum Newton kedua tentang gerakbenda. Yaitu pengaruh luar (gaya) yang bekerja pada sebuah benda seband-ing dengan laju perubahan kuantitas gerak (momentum) terhadap waktu.Sedangkan hukum Newton pertama adalah kasus khusus ketika tidak adapengaruh luar pada sebuah benda, atau ketika gayanya sama dengan nol,yang tidak lain adalah perumusan ulang dari prinsip inersia. Yaitu bila totalgaya yang bekerja pada sebuah benda adalah nol, maka benda tersebut akantetap diam bila awalnya diam atau akan tetap bergerak dengan kecepatankonstan bila awalnya bergerak. Untuk kasus di mana massa benda tetap konstan, maka dv F =m = ma. (3.2) dt Hukum Newton ketiga memberikan informasi tentang sifat gaya. Gayayang bekerja pada sebuah benda berasal dari benda lain yang ada di lingkun-
  • 34. BAB 3. DINAMIKA 33gannya. Dari fakta serta eksperimen diketahui bahwa ketika sebuah bendamemberi gaya pada benda kedua, banda kedua juga akan memberi gaya padabenda pertama tadi. Walaupun secara prinsip, sifat gaya-gaya tadi tidak da-pat dipastikan kecuali lewat eksperimen, tetapi kita dapat memahaminyamelalui pengandaian berikut ini. Ditinjau suatu sistem yang terdiri daridua partikel. Bila tidak ada gaya dari luar sistem yang mempengaruhinya,sistem tadi sebagai satu kesatuan, tampak tidak mengalami pengaruh luar,sehingga seharusnya sistem tersebut akan tetap diam atau bergerak dengankecepatan konstan, sesuai hukum newton kedua. Kita dapat memilih suatukerangka acuan di mana sistem dalam keadaan diam. Sekarang seandainyaantara benda pertama dan benda kedua dalam sistem saling memberi gayapada yang lain, maka semua total gaya seharusnya nol, karena sistem tidakberubah keadaan geraknya. Jadi gaya yang diberikan benda pertama padabenda kedua F21 ditambah dengan gaya yang diberikan benda kedua padabenda pertama F12 harus sama dengan nol, yang berarti F21 = −F12 Pasangan gaya semacam di atas sering disebut sebagai pasangan gayaaksi-reaksi, dan persamaan di atas disebut sebagai hukum newton ketigaatau hukum aksi-reaksi. Kata aksi-reaksi di sini tidak mengandung arti su-atu proses sebab akibat, karena kedua pasangan aksi-reaksi tersebut muncul
  • 35. BAB 3. DINAMIKA 34secara bersamaan. Bila salah satu gaya disebut sebagai aksi, maka pasan-gannya adalah reaksi, demikian juga sebaliknya. Juga perlu diperhatikanbahwa pasangan aksi-reaksi selalu bekerja pada dua benda yang berbeda,bukan pada satu benda yang sama.3.3 Beberapa Jenis GayaHukum newton hanya memberikan perumusan tentang bagaimana gaya mem-pengaruhi keadaan gerak suatu benda, yaitu melalui perubahan momen-tumnya. Sedangkan bagaimana perumusan gaya dinyatakan dalam variabel-variabel keadaan benda, harus dicari melalui pengamatan terhadap benda-benda penyebab gaya. Beberapa kasus sederhana perumusan tersebut akandiuraikan di bawah ini. Gaya berat. Untuk semua benda yang dekat permukaan bumi, per-cepatan gravitasi yang dialami benda dianggap sama, sehingga berat benda
  • 36. BAB 3. DINAMIKA 35sebanding dengan massanya. Gaya berat pada sebuah benda yang dekatdengan permukaan bumi diberikan oleh W = mg (3.3)dengan g adalah percepatan gravitasi bumi, yang nilainya pada permukaanbumi sekitar 9, 8 m/s2 . Untuk benda jauh dari permukaan bumi, harus digu-nakan perumusan percepatan gravitasi yang diperoleh dari hukum gravitasiuniversal. Hal ini akan dibahas dalam bab tersendiri. Gaya pegas. Sebuah pegas ideal bila diregangkan atau ditekan akanmemberikan gaya yang sebanding dengan besar perubahan panjang pegas.Jadi gaya yang diberikan oleh pegas adalah F = −k∆x (3.4)∆x adalah vektor besar perubahan panjang pegas dan tanda negatif padapersamaan di atas menunjukkan arah gayanya yang berlawanan dengan arahperubahan panjang pegas. Konstanta kesebandingan k disebut juga sebagaikonstanta pegas. Kebanyakan pegas real akan mengikuti pers. (3.4) untuknilai ∆x yang cukup kecil. Gaya normal/Gaya kontak. Antara dua permukaan benda yang salingbersentuhan akan ada gaya dari permukaan benda yang satu ke permukaanbenda yang kedua, dan sebaliknya. Arah gaya normal ini tegak lurus ter-hadap permukaan dan membentuk pasangan aksi-reaksi. Selain dari itu tidak
  • 37. BAB 3. DINAMIKA 36ada informasi lain mengenai besar gaya normal. Tetapi besar gaya normaldapat diketahui dari persamaan-persamaan hukum Newton, bila besar gaya-gaya yang lain diketahui. Gaya gesekan. Antara dua permukaan benda yang bersentuhan akanada gaya yang mengarah tangensial terhadap permukaan sentuh. Gaya inimerupakan pasangan dari gaya normal/gaya kontak dan secara bersama
  • 38. BAB 3. DINAMIKA 37mendeskripsikan total gaya yang bekerja antara dua benda yang bersentuhan.Gaya tangensial ini lebih sering dikenal sebagai gaya gesekan, karena sifat-nya yang menghambat gerak dari benda yang bersentuhan. Dipostulatkanbahwa gaya gesekan ini sebading dengan gaya normal, karena bila gaya nor-mal tidak ada berarti tidak terjadi persentuhan dan tidak akan ada gesekan.Koefisien kesebandingannya disebut sebagai koefisien gesekan. Ketika se-buah benda dalam keadaan diam di atas suatu permukaan ternyata dibu-tuhkan gaya yang lebih besar pada awalnya untuk memulai gerakan. Hal inikarena antara atom-atom ataupun molekul kedua permukaan telah terben-tuk ikatan-ikatan antara molekul maupun atom. Sehingga dibutuhkan lebihbanyak gaya untuk memutus ikatan tersebut. Karena itu ada dua jenis koe-fisien gesekan, koefisien gesekan statis µs , yang terkait dengan benda yangdiam dan koefisien gesekan kinetik µk , untuk benda yang bergerak. Gayagesekan kinetik fk selalu berlawanan arah dengan arah gerak benda, danbesarnya dirumuskan sebagai fk = µk N. (3.5)Sedangkan gesekan statik selalu berlawanan arah dengan arah gaya yangberusaha menggerakkan benda, dan besarnya dirumuskan sebagai fs = µs N. (3.6)
  • 39. Bab 4Dinamika 2 - Usaha dan TenagaDisamping perumusan hukum newton, terdapat konsep lain yang dapat digu-nakan untuk mengetahui keadaan gerak suatu benda. Seperti halnya hukumnewton, konsep ini menghubungkan pengaruh luar (gaya) dengan keadaangerak benda. Konsep ini adalah konsep usaha-tenaga. Bedanya dengan kon-sep hukum newton, usaha dan tenaga adalah besaran skalar. Karena itu,untuk beberapa kasus, konsep usaha-tenaga dapat lebih mudah digunakanuntuk mengetahui keadaan gerak suatu benda akibat pengaruh luar (gaya).4.1 UsahaPerlu diperhatikan, kita tidak boleh mengasosiasikan pemahaman kata ‘us-aha’ dalam bahasa sehari-hari dengan istilah usaha dalam fisika, walaupunada kemiripannya. Sebagai istilah fisika usaha yang dilakukan suatu gaya 38
  • 40. BAB 4. DINAMIKA 2 - USAHA DAN TENAGA 39didefinisikan sebagai hasil kali skalar vektor gaya dan vektor perpindahanbenda, atau hasil kali komponen gaya yang searah dengan perpindahan bendadengan besar perpindahan benda. Perlu diperhatikan bahwa perpindahanbendanya tidak harus disebabkan oleh gaya tadi. Usaha dilambangkan den-gan W (work ) dan untuk gaya yang konstan dirumuskan sebagai W = F · s = F s cos θ (4.1)dengan θ adalah sudut antara vektor gaya dan vektor perpindahan bendas. Bila gayanya tidak konstan, maka harus dijumlahkan untuk setiap bagianperpindahannya dengan gaya yang konstan, W = Fi · ∆si (4.2) iBila perubahannya kontinyu, maka perumusan di atas berubah menjadi in-tegral b W = F · ds (4.3) auntuk perpindahan dari titik a ke titik b, melaluis suatu lintasan.4.2 Teorema Usaha-EnergiSekarang kita tinjau total usaha, yaitu usaha yang dilakukan oleh semua gayayang bekerja pada benda, dan kita jumlahkan menurut komponen-komponen
  • 41. BAB 4. DINAMIKA 2 - USAHA DAN TENAGA 40produk skalarnya b Wtot = a F · ds (4.4) b = a (Fx dx + Fy dy + Fz dz). (4.5)Untuk memudahkan analisa, kita tinjau komponen x saja, karena analisauntuk komponen lainnya serupa. Diketahui bahwa dvx dvx dx dvx Fx = m =m = mvx (4.6) dt dx dt dxsehingga kita dapat menuliskan pers. (4.4) sebagai b Wtot = a m(vx dvx + vy dvy + vz dvz ) (4.7) b 1 2 2 2 1 2 2 = 2 m(vx + vy + vz ) = 2 m(vb − va ). (4.8) aJadi nilai total usaha bergantung pada suatu kuantitas akhir dan awal, yaituselisih besar kuadrat kecepatan akhir dan awal dikali setengah massa. Kuan-titas ini kemudian diberi nama energi, dan karena kuantitas ini bernilaitidak nol ketika kecepatannya tidak nol, maka diberi nama energi kinetik 1Ek ≡ 2 mv 2 . Jadi total usaha yang bekerja pada suatu benda sama denganperubahan energi kinetik Wtot = ∆Ek = Ek (f ) − Ek (i). (4.9)
  • 42. BAB 4. DINAMIKA 2 - USAHA DAN TENAGA 41Pernyataan di atas dikenal sebagai teorema usaha-energi.4.3 Gaya Konservatif dan Energi PotensialGaya konservatif F adalah gaya yang memenuhi sifat: Usaha yang dilakukanoleh gaya konservatif hanya bergantung pada posisi awal dan akhir benda,dan tidak bergantung pada lintasan perpindahan benda. Karena itu pulauntuk lintasan yang berbentuk melingkar (kembali ke posisi awal) nilai usahayang dilakukan oleh gaya konservatif selalu nol. Lihat gambar, Jadi untuk gaya konservatif kedua lintasan I dan II menghasilkan nilaiusaha yang sama b b Wk = Fk · ds = Fk · ds (4.10) a I a IIdemikian pula Fk · ds = 0 (4.11)
  • 43. BAB 4. DINAMIKA 2 - USAHA DAN TENAGA 42 Karena hanya bergantung pada posisi akhir dan awal saja, maka kitadapat mendefinisikan suatu kuantitas energi, yang nilainya tergantung padaposisi. Serta dipilih nilai perubahan energi ini sama dengan negatif dari usahayang dilakukan gaya konservatif, sehingga energi ini menggambarkan potensi‘posisi’ benda untuk melakukan usaha, dan kuantitas energi ini disebut energipotensial, dilambangkan U . Jadi b Wk = Fk · ds = −∆U = −(U (b) − U (a)) (4.12) a Perhatikan bahwa karena yang memiliki arti fisis, yaitu yang terkait den-gan usaha, hanya selisih energi potensial, maka kita dapat bebas memilih dititk/posisi mana nilai energi potensial ini sama dengan nol. Sebagai contoh gaya konservatif adalah gaya pegas. Usaha yang dilakukanpegas pada benda ketika diregangkan dari panjang x0 ke panjang x, ∆x =x − x0 adalah x 1 Wk = (−kx)dx = − k(x2 − x2 ) 0 (4.13) x0 2Bila titik x0 , dipilih sebagai titik referensi di mana energi potensialnya dipilihsama dengan nol, maka 1 U (x) = kx2 (4.14) 2 Contoh gaya konservatif lainnya adalah gaya gravitasi bumi (gaya berat).Usaha yang dilakukan gravitasi pada benda ketika dipindah dari ketinggian
  • 44. BAB 4. DINAMIKA 2 - USAHA DAN TENAGA 43h0 ke ketinggian h, ∆h = h − h0 adalah h Wk = (−mg)dx = −mg(h − h0 ) (4.15) h0Bila titik h0 , dipilih sebagai titik referensi (biasanya permukaan bumi) dimana energi potensialnya dipilih sama dengan nol, maka U (x) = mgh (4.16)Contoh gaya yang tak konservatif adalah gaya gesek. Usaha yang dilakukangaya gesek tentu saja bergantung pada lintasan yang dilalui benda. Total usaha yang bekerja pada sebuah benda dapat berupa usaha olehgaya konservatif Wk dan usaha oleh gaya nonkonservatif Wnk . Dari pers.(4.9) dan (4.12), kita dapatkan Wtot = Wk + Wnk = ∆Ek (4.17)atau −∆U + Wnk = ∆Ek (4.18)Besaran energi potensial ditambah energi kinetik disebut sebagai energi mekanikEm = U + Ek , sehingga kita dapatkan ∆Em = ∆(U + Ek ) = Wnk (4.19)
  • 45. BAB 4. DINAMIKA 2 - USAHA DAN TENAGA 44Perubahan energi mekanik pada suatu benda sama dengan usaha yang di-lakukan oleh gaya nonkonservatif pada benda tersebut. Untuk kasus di manahanya ada gaya konservatif yang bekerja pada suatu benda, maka perubahanenergi mekanik benda sama dengan nol, dan energi mekaniknya tetap.
  • 46. Bab 5Sistem PartikelDalam pembahasan-pembahasan sebelumnya kita hanya meninjau sebuahpartikel atau sebuah benda yang diperlakukan sebagai partikel titik. Dalambab ini kita akan meninjau kasus yang lebih umum, dengan sistem ataupunbenda yang terdiri dari banyak partikel (titik partikel) maupun benda yangterdiri dari partikel-partikel yang dianggap tersebar secara kontinyu padabenda.5.1 Pusat MassaPosisi pusat massa sebuah sistem banyak partikel didefinisikan sebagai berikut m i ri i rpm = (5.1) M 45
  • 47. BAB 5. SISTEM PARTIKEL 46dengan ri adalah posisi partikel ke-i di dalam sistem, dan M= mi (5.2) iLihat gambar di atas. Dengan mengganti ri = rpm + ri , di mana ri adalahposisi partikel ke-i relatif terhadap pusat massa, maka pers. (5.1) menjadi i mi (rpm + ri ) i m i ri ) rpm = = rpm + (5.3) M Msehingga dapat disimpulkan bahwa mi ri = 0 (5.4) i Bila bendanya bersifat kontinyu, maka jumlahan di pers. (5.1) menjadiintegral 1 rpm = rdm (5.5) M
  • 48. BAB 5. SISTEM PARTIKEL 47dengan dm adalah elemen massa pada posisi r.5.2 Gerak Pusat MassaGerak pusat massa dapat diperoleh melalui definisi pusat massa di pers.(5.1). Kecepatan pusat massa diperoleh dari derivatif pers. (5.1) m i vi i vpm = (5.6) MDari persamaan ini, setelah dikalikan dengan M , diperoleh M vpm = m i vi = pi (5.7) i iBesaran M vpm yang dapat kita anggap sebagai momentum pusat massa,tidak lain adalah total momentum sistem (jumlahan seluruh momentum par-tikel dalam sistem).
  • 49. BAB 5. SISTEM PARTIKEL 48 Dengan menderivatifkan pers. (5.7) terhadap waktu, diperoleh dpi M apm = = Fi (5.8) i dt idengan Fi adalah total gaya yang bekerja pada partikel ke-i. Persamaan diatas menunjukkan bahwa gerak pusat massa ditentukan oleh total gaya yangbekerja pada sistem. Gaya yang bekerja pada sistem dapat dikelompokkan menjadi dua jenis,gaya internal yaitu gaya antar partikel di dalam sistem, dan gaya eksternalyaitu gaya yang berasal dari luar sistem. Untuk gaya internal, antara sem-barang dua partikel dalam sistem, i dan j misalnya, akan ada gaya pada ioleh j dan sebaliknya (karena aksi-reaksi), tetapi Fij + Fji = Fij − Fij = 0Sehingga jumlah total gaya internal pada sistem akan lenyap, dan M apm = Fieks = Feks (5.9) iJadi gerak pusat massa sistem hanya ditentukan oleh total gaya eksternalyang bekerja pada sisem. Ketika tidak ada gaya eksternal yang bekerja pada suatu sistem, maka d pi = 0 (5.10) dt i
  • 50. BAB 5. SISTEM PARTIKEL 49Atau berarti total momentum seluruh partikel dalam sistem, konstan, pi = konstan. (5.11) i5.3 TumbukanDalam proses tumbukan antara dua benda, gaya yang terlibat, ketika keduabenda dilihat sebagai satu kesatuan, hanya gaya internal. Sehingga padasemua proses tumbukan, selama tidak ada gaya eksternal, total momentumsistem konstan. Untuk memudahkan kita cukup meninjau tumbukan dalamsatu dimensi. Untuk kasus dua dan tiga dimensi, karena sifat vektorial darimomentum, hasilnya dapat diperoleh sebagai jumlahan vektor kasus satudimensi Ditinjau tumbukan antara partikel 1 dan 2, dengan massa m1 dan m2 ,dan besar kecepatan awal v1 dan v2 . Walau kita sudah mengetahui dari pem-bahasan bagian sebelumnya bahwa momentum total sistem kekal, tetapi disini kita akan menjabarkannya lagi dengan meninjau gaya tumbukannya se-cara langsung. Ketika tumbukan terjadi, partikel 1 memberi gaya ke partikel2 sebesar F21 , dan partikel 2 memberi gaya ke partikel 1 sebesar F12 . Darihukum Newton kedua, dp1 F12 = (5.12) dtsehingga ∆p1 = F12 dt (5.13)
  • 51. BAB 5. SISTEM PARTIKEL 50Besaran integral di ruas kiri persamaan di atas juga disebut sebagai impulsyang diberikan oleh gaya F12 . Untuk partikel kedua berlaku ∆p2 = F21 dt = − F12 dt (5.14)sehingga bila pers. (5.13) dan (5.14) dijumlah, didapatkan ∆p1 + ∆p0 = ∆(p1 + p2 ) = 0 (5.15)atau berarti m 1 v1 + m 2 v2 = m1 v1 + m1 v2 (5.16)Dapat disusun ulang sebagai m1 (v1 − v1 ) = m2 (v2 − v2 ) (5.17) Kita akan meninjau terlebih dulu kasus ekstrim, yaitu tumbukan elastik,di mana tidak ada energi sistem yang hilang (sebagai panas maupun bunyi),dan tumbukan total tak elastik, di mana kedua partikel atau benda menempeldan bergerak bersama-sama.
  • 52. BAB 5. SISTEM PARTIKEL 515.3.1 Tumbukan elastikDalam tumbukan elastik, energi sistem sebelum dan sesudah tumbukan,tetap sama 1 2 1 2 1 2 1 2 m1 v1 + m1 v2 = m1 v1 + m1 v2 (5.18) 2 2 2 2Persamaan di atas dapat disederhanakan sebagai 2 2 2 2 m1 (v1 − v1 ) = m2 (v2 − v2 ) (5.19)Dengan membagi persamaan ini, dengan pers. (5.17), diperoleh (v1 + v1 ) = (v2 + v2 ) (5.20)atau v2 − v1 e=− =1 (5.21) v2 − v1Koefisien e disebut koefisien resistusi, dan untuk kasus tumbukan elastik nilaie = 1.5.3.2 Tumbukan tak elastikTumbukan tak elastik adalah tumbukan yang mana setelah tumbukan keduabenda menyatu dan bergerak dengan kecepatan sama, sehingga v1 = v2 .Ini berarti pada tumbukan total tak elastik, nilai e = 0. Untuk sembarangtumbukan tak elastik, nilai e adalah antara kedua kasus tadi, yaitu 0 ≤ e ≤ 1.
  • 53. BAB 5. SISTEM PARTIKEL 52 Untuk kasus tumbukan umum, dengan koefisien restitusi e v2 − v1 e=− (5.22) v2 − v1atau v2 − v1 = e(v1 − v2 ) (5.23)Dengan memakai pers. (5.23) dan (5.17), diperoleh (m1 −em2 )v1 +(1+e)m2 v2 v1 = m1 +m2 (5.24) (m2 −em1 )v2 +(1+e)m1 v1 v2 = m1 +m2 (5.25) Kasus-kasus khusus, misalnya tumbukan antara dua benda dengan salahsatunya memiliki massa yang sangat besar. Dari pers. (5.24) benda yangbermassa besar praktis tidak berubah keadaan geraknya, sedangkan bendayang bermassa kecil akan berbalik arah.
  • 54. Bab 6Rotasi Benda TegarBenda tegar adalah sistem partikel yang mana posisi relatif partikel-partikelnya,satu dengan yang lainnya di dalam sistem, (dianggap) tetap. Akibatnyaketika benda ini berotasi terhadap suatu sumbu tetap, maka jarak setiappartikel dalam sistem terhadap sumbu rotasi akan selalu tetap. Di sini kitahanya akan meninjau gerak rotasi dengan sumbu putar yang tetap orien-tasinya.6.1 Kinematika RotasiTinjau rotasi sebuah partikel dalam lintasan lingkaran dengan jejari r. Jarak yang telah ditempuh dalam selang waktu ∆t adalah s terkait den-gan sudut θ (dalam radian). Hubungan s dan θ diberikan oleh s = rθ. Untuk 53
  • 55. BAB 6. ROTASI BENDA TEGAR 54selang waktu yang sangat kecil maka besar kecepatan linier diberikan oleh ds dθ =r (6.1) dt dt dθbesaran ω ≡ dt ≡ disebut sebagai kecepatan sudut, yang arahnya diberikanoleh arah putar tangan kanan, tegak lurus bidang lingkaran. Jadi hubunganantara kecepatan linier dengan kecepatan sudut diberikan oleh v = ω × r. (6.2) Percepatan sudut α didefinisikan sebagai laju perubahan kecepatan sudutterhadap waktu, dω α≡ (6.3) dt
  • 56. BAB 6. ROTASI BENDA TEGAR 55Hubungan antara percepatan linier dan percepatan sudut diberikan oleh dv dω =r = rα (6.4) dt dtdengan arah α diberikan oleh arah perubahan ω, atau secara vektor a = α × r. (6.5) Karena persamaan-persamaan kinematika yang menghubungkan θ, ω danα bentuknya sama dengan persamaan-persamaan kinematika gerak linear,maka dengan memakai analogi ini akan diperoleh kaitan sebagai berikut un-tuk keceptan sudut konstan θ(t) = θ0 + ωt (6.6)dan kaitan-kaitan berikut untuk percepatan sudut konstan 1 θ(t) = θ0 + ω0 t + 2 αt2 (6.7) ω(t) = ω0 + αt (6.8) ω(t)2 = 2 ω0 + 2αθ. (6.9)
  • 57. BAB 6. ROTASI BENDA TEGAR 566.2 Dinamika Rotasi6.2.1 Torka dan momentum sudutUntuk memudahkan penyelidikan dan analisa terhadap gerak rotasi, didefin-isikan beberapa besaran sebagai analog konsep gaya dan momentum. Per-tama didefinisikan konsep momentum sudut l. Momentum sudut suatu par-tikel yang memiliki momentum linear p dan berada pada posisi r dari suatutitik referensi O adalah l =r×p (6.10)Perlu diperhatikan bahwa nilai l bergantung pada pemilihan titik referensiO, nilainya dapat berubah bila digunakan titik referensi yang berbeda. Laju perubahan momentum sudut terhadap waktu didefinisikan sebagaibesaran torka τ dl d dr dp = (r × p) = ×p+r× (6.11) dt dt dt dt
  • 58. BAB 6. ROTASI BENDA TEGAR 57karena bentuk dr × p = v × mv = 0 (6.12) dtmaka dl τ =r×F = . (6.13) dt6.3 Sistem partikelUntuk suatu sistem banyak partikel total momentum sudutnya diberikanoleh L= li (6.14) idengan li adalah momentum sudut partikel ke-i. Total torka yang bekerjapada sistem ini dli τtot = = τi (6.15) i dt iTorka yang bekerja pada sistem dapat dikelompokkan menjadi dua jenis,torka internal yang bekerja pada partikel oleh partikel lain dalam sistem,dan torka eksternal yang berasal dari gaya eksternal. Karena prinsip aksi-reaksi, dan bila garis kerja gaya aksi-reaksi tersebut segaris maka total torkaantara dua partikel i dan j τij + τji = ri × Fij + rj × Fji = (ri − rj ) × Fij = 0. (6.16)
  • 59. BAB 6. ROTASI BENDA TEGAR 58Sehingga total torka yang bekerja pada sistem partikel hanyalah torka ekster-nal, dan perubahan momentum sudut total sistem hanya bergantung padatorka eksternal dL = τekst tot (6.17) dtKetika tidak ada torka eksternal maka momentum sudut total sistem akankonstan.6.4 Energi Kinetik RotasiKita tinjau suatu sistem partikel yang berotasi terhadap suatu sumbu tetap.Jarak setiap partikel terhadapa sumbu rotasi selalu tetap. Bila sistem par-tikel ini adalah benda tegar maka kesemua partikel akan bergerak bersama-sama dengan kecepatan sudut yang sama. Energi kinetik sistem partikeltersebut adalah 1 2 1 Ek = mi vi = m i ri ω 2 2 (6.18) 2 i 2 idengan ri adalah jarak partikel ke i tegak lurus terhadap sumbu rotasi. Be-saran yang ada dalam tanda kurung didefinisikan sebagai momen inersia Idari sistem relatif terhadap sumbu rotasi 2 I= m i ri (6.19) i
  • 60. BAB 6. ROTASI BENDA TEGAR 59Bila bendanya kontinum, maka perumusan momen inersianya menjadi 2 I= r⊥ dm (6.20)dengan r⊥ adalah jarak tegak lurus elemen massa dm ke sumbu putar.6.4.1 Teorema sumbu sejajarTinjau sebuah benda seperti tampak pada gambar di bawah ini Gambar 6.1: Gambar untuk teorema sumbu sejajar dengan titik pm adalah titik pusat massanya. Momen inersia benda ter-hadap sumbu di titik P dan momen inersia terhadap sumbu yang sejajartetapi melalui titik pusat massanya terkait sebagai berikut
  • 61. BAB 6. ROTASI BENDA TEGAR 60 2 IP = r⊥ dm = r⊥ · r⊥ dm (6.21)tetapi r⊥ = rpm + r dan r⊥ · r⊥ = (rpm + r ) · (rpm + r ) = rpm + r 2 + 2rpm · r 2sehingga IP = (rpm + r 2 + 2rpm · r )dm 2 (6.22) 2suku pertama tidak lain adalah M rpm (M adalah massa total benda), sukukedua adalah momen inersia terhadap pusat massa, sedangkan suku ketigalenyap (karena tidak lain adalah posisi pusat massa ditinjau dari pusatmassa). Sehingga 2 IP = Ipm + M rpm (6.23)6.4.2 Teorema sumbu tegak lurusTinjau benda pada gambar di bawah ini Kita ketahui bahwa 2 Iz = r⊥ dm = (x2 + y 2 )dm = Iy + Ix (6.24)Jadi momen inersia terhadap suatu sumbu sama dengan jumlah momen in-ersia terhadap dua sumbu yang saling tegak terhadapnya
  • 62. BAB 6. ROTASI BENDA TEGAR 61 Gambar 6.2: Gambar untuk teorema sumbu tegak lurus6.5 UsahaDefinisi usaha untuk gerak rotasi sama dengan definisi usaha pada geraklinear. Sebuah partikel diberi gaya F . Partikel itu bergerak melingkar denganlintasan yang berjejari r, menempuh lintasan sepanjang ds. Usaha yangdilakukan gaya F tadi adalah dW = F · ds (6.25)Tetapi kita dapat menuliskan ds = dθ × r, sehingga dW = F · dθ × r = r × F · dθ = τ · dθ (6.26)
  • 63. BAB 6. ROTASI BENDA TEGAR 62Tetapi usaha yang dilakukan sama dengan perubahan energi kinetik sehingga 1 τ · dθ = d( Iω 2 ) = Iωdω (6.27) 2dengan dω = αdt dan dθ = ωdt maka τ · ωdt = Iω · αdt (6.28)Maka kita peroleh kaitan τ = Iα (6.29)analog dengan hukum Newton kedua.6.6 Gabungan Gerak Translasi dan RotasiTinjau sebuah benda dengan posisi pusat massa rpm yang bergerak dengankecepatan vpm . Misalkan benda ini selain bertranslasi, juga berotasi. Ke-cepatan suatu bagian dari benda tadi dapat dituliskan sebagai v = vpm + v ,dengan v adalah kecepatan relatif terhadap pusat massa. Sehingga energikinetik benda tadi 1 1 Ek = v 2 dm = (vpm + v ) · (vpm + v )dm (6.30) 2 2
  • 64. BAB 6. ROTASI BENDA TEGAR 63atau dapat dituliskan 1 (vpm + v 2 + 2vpm · v )dm 2 (6.31) 2suku terakhir lenyap (karena merupakan kecepatan pusat massa dilihat darikerangka pusat massa). Sehingga 1 2 Ek = M vpm + Ekpm (6.32) 2dengan Ekpm adalah energi kinetik benda karena gerak relatifnya terhadappusat massa. Bila bendanya benda tegar, maka suku terakhir ini adalahenergi kinetik rotasi terhadap pusat massa 1 1 Ek = M vpm + Ipm ω 2 2 (6.33) 2 26.7 Kesetimbangan Benda TegarSebuah benda tegar berada dalam keadaan seimbang mekanis bila, relatifterhadap suatu kerangka acuan inersial 1. Percepatan linier pusat massanya nol. 2. Percepatan sudutnya mengelilingi sembarang sumbu tetap dalam kerangka acuan ini juga nol.
  • 65. BAB 6. ROTASI BENDA TEGAR 64Persyaratan di atas tidak mengharuskan benda tersebut dalam keadaan diam,karena persyaratan pertama membolehkan benda bergerak dengan kecepatanpusat massanya konstan, sedangkan persyaratan kedua membolehkan bendaberotasi dengan kecepatan sudut rotasi yang konstan juga. Bila benda benar-benar diam (relatif terhadap suatu kerangka acuan), yaitu ketika kecepatanlinier pusat massanya dan kecepatan sudut rotasinya terhadap sembarangsumbu tetap, bernilai nol keduanya, maka benda tegar tersebut dikatakanberada dalam keseimbangan statik. Bila suatu benda tegar berada dalamkeadaan seimbang statik, maka kedua persyaratan di atas untuk keseimban-gan mekanik akan menjamin benda tetap dalam keadaan seimbang statik. Persyaratan pertama ekuivalen dengan persyaratan bahwa total gaya ek-sternal yang bekerja pada benda tegar sama dengan nol Feks = 0. (6.34)Sedangkan persyaratan kedua ekuivalen dengan persyaratan bahwa totaltorka eksternal yang bekerja pada benda tegar sama dengan nol τeks = 0. (6.35)6.8 Jenis-Jenis KeseimbanganDalam kasus ini yang akan ditinjau hanyalah keseimbangan benda tegar didalam pengaruh gaya eksternal yang konservatif. Karena gayanya adalah
  • 66. BAB 6. ROTASI BENDA TEGAR 65gaya konservatif, maka terdapat hubungan antara gaya yang bekerja denganenergi potensialnya, misalnya untuk satu arah-x ∂U Fx = − (6.36) ∂xKeadaan seimbang terjadi ketika nilai Fx = 0, kondisi ini tidak lain adalahsyarat titik ekstrem untuk fungsi energi potensial U (x). Andaikan saja titikseimbang ini kita pilih sebagai posisi x = 0. Fungsi energi potensial dapatdiekspansikan (sebagai deret pangkat dalam x) di sekitar titik ini U (x) = U0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + . . . (6.37)Karena ∂U Fx = − |x=0 = 0 (6.38) ∂xmaka a1 = 0. Gaya yang bekerja pada benda ketika digeser dari titik kese-imbangannya, tergantung pada nilai a2 , Fx = −2a2 x − 3a3 x2 + . . . (6.39)Untuk nilai x disekitar x = 0, Fx dapat didekati hanya dengan suku perta-manya, sehingga Fx ≈ −2a2 x (6.40)
  • 67. BAB 6. ROTASI BENDA TEGAR 66Bila a2 > 0 maka pergeseran kecil dari titik seimbang, memunculkan gayayang mengarahkan kembali ke titik seimbang. Keseimbangan ini disebutkeseimbangan stabil. Bila a2 > 0 maka pergeseran sedikit dari titik seimbang,memunculkan gaya yang menjauhkan dari titik seimbangnya. Keseimbanganini disebut keseimbangan labil. Bila a2 = 0 maka pergeseran sedikit dari titikseimbang tidak memunculkan gaya. Keseimbangan ini disebut keseimbangannetral.
  • 68. BAB 6. ROTASI BENDA TEGAR 67
  • 69. BAB 6. ROTASI BENDA TEGAR 68
  • 70. Bab 7GRAVITASIHukum gravitasi universal yang dirumuskan oleh Newton, diawali denganbeberapa pemahaman dan pengamatan empiris yang telah dilakukan olehilmuwan-ilmuwan sebelumnya. Mula-mula Copernicus memberikan landasanpola berfikir yang tepat tentang pergerakan planet-planet, yang semula dikiraplanet-planet tersebut bergerak mengelilingi bumi, seperti pada konsep Ptole-meus. Copernicus meletakkan matahari sebagai pusat pergerakan planet-planet, termasuk bumi, dalam gerak melingkarnya. Kemudian dari data hasilpengamatan yang teliti tentang pergerakan planet, yang telah dilakukan Ty-cho Brahe, Kepler merumuskan tiga hukum empiris yang dikenal sebagaihukum Kepler mengenai gerak planet: 1. Semua planet bergerak dalam lintasan berbentuk elips dengan matahari pada salah satu titik fokusnya. 2. Garis yang menghubungkan planet dengan matahari akan menyapu 69
  • 71. BAB 7. GRAVITASI 70 daerah luasan yang sama dalam waktu yang sama. 3. Kuadrat perioda planet mengelilingi matahari sebanding dengan pangkat tiga jarak rerata planet ke matahari. Hukum-hukum Kepler ini adalah hukum empiris. Keplet tidak mempun-yai penjelasan tentang apa yang mendasari hukum-hukumnya ini. Kelebi-han Newton, adalah dia tidak hanya dapat menjelaskan apa yang mendasarihukum-hukum Kepler ini, tetapi juga menunjukkan bahwa hukum yang samajuga berlaku secara universal untuk semua benda-benda bermassa.7.1 Hukum Gravitasi UniversalKita dapat menjabarkan, dengan cara yang sederhana, hukum gravitasi uni-versal dengan memulainya dari fakta-fakta empiris yang telah ditemuka Ke-pler. Untuk memudahkan analisa kita anggap bahwa planet-planet bergerakdalam lintasan yang berbentuk lingkaran dengan jejari r, dengan kelajuankonstan v. Karena planet bergerak dalam lintasan lingkaran maka planet mengalamipercepatan sentripetal yang besarnya diberikan oleh v2 (2πr)2 a= = (7.1) r rT 2dengan T adalah periode planet mengelilingi matahari. Percepatan ini ten-tunya disebabkan oleh suatu gaya yang mengarah ke pusat lingkaran (ke
  • 72. BAB 7. GRAVITASI 71matahari). Besar gaya ini tentunya sama dengan massa planet m dikali per-cepatan sentripetalnya, sehingga besar gaya tadi dapat dirumuskan sebagai 4π 2 r F =m (7.2) T2Hukum Kepler ketiga dapat kita tuliskan sebagai T 2 = kr3 (7.3)dengan k adalah suatu konstanta kesebandinga. Dengan persamaan hukumKepler ketiga ini, besar gaya pada pers. (7.2) dapat ditulis sebagai 4π 2 m F =m 2 =k 2 (7.4) kr rdengan k adalah suatu konstanta. Karena gaya ini mengarah ke pusatlingkaran, yaitu ke matahari, tentunya logis bila dianggap bahwa gaya terse-but disebabkan oleh matahari. Berdasarkan hukum ketiga Newton, tentunya akan ada gaya juga yangbekerja pada matahari oleh planet, yang besarnya sama dengan gaya di pers.(7.4). Tetapi karena sekarang bekerja pada matahari, tentunya konstanta kdi pers. (7.4) mengandung massa matahari M sehingga logis bila diasumsikanbahwa terdapat gaya yang saling tarik menarik antara planet dan matahari
  • 73. BAB 7. GRAVITASI 72yang besarnya diberikan oleh Mm F =G (7.5) r2Newton, setelah mengamati hal yang sama pada bulan dan pada benda-benda yang jatuh bebas di permukaan bumi, menyimpulkan bahwa gaya tarikmenarik tadi berlaku secara universal untuk sembarang benda. Gaya tadi ke-mudian dinamai sebagai gaya gravitasi. Jadi antara dua benda bermassa m1dan m2 yang terpisah sejauh r terdapat gaya gravitasi yang perumusannyadiberikan oleh m1 m2 F12 = G r12 ˆ (7.6) r2dengan r12 adalah vektor satuan yang berarah dari benda pertama ke benda ˆkedua. (Notasi 12, berarti pada benda pertama oleh benda kedua). Konstanta G dalam persamaan gravitasi universal, dapat ditentukan melaluieksperimen. Pengukuran yang teliti untuk nilai G dilakukan oleh Cavendish.Sekarang nilai konstanta gravitasi universal diberikan oleh G = 6, 6720 × 10−11 m2 /kg2 (7.7) Dalam penjabaran di atas, diasumsikan bahwa benda pertama dan ke-dua adalah suatu titik massa. Untuk benda yang besar, yang tidak dapatdianggap sebagai titik massa maka sumbangan dari masing-masing elemenmassa harus diperhitungkan. Untuk itu diperlukan perhitungan-perhitungan
  • 74. BAB 7. GRAVITASI 73kalkulus integral. Salah satu hasil capaian Newton, dia berhasil menun-jukkan, dengan bantuan kalkulus integral, bahwa sebuah benda berbentukbola (juga kulit bola) dengan distribusi massa yang homogen, akan mem-berikan gaya gravitasi ada sebuah titik massa di luar bola tadi dengan massabola seolah-olah terkonsentrasi pada titik pusat bola. Dengan ini kita da-pat misalnya menganggap gaya gravitasi bumi seolah-olah disebabkan olehsebuah titik massa yang berada pada pusat bumi. Hukum Kepler kedua, untuk kasus lintasan planet yang berbentuk lingkaran,hanya menunjukkan bahwa kelajuan planet mengelilingi matahari konstan.Tetapi untuk kasus lintasan yang sesungguhnya, yaitu yang berbentuk elips,hukum kedua Kepler menunjukkan tentang kekekalan momentum sudut. Li-hat gambar Daerah yang disapu oleh garis yang menghubungkan planet dengan mata-
  • 75. BAB 7. GRAVITASI 74hari dalam suatu selang waktu ∆t diberikan oleh 1 ∆A = r2 ω∆t (7.8) 2sehingga pernyataan bahwa untuk selang waktu yang sama daerah yang dis-apu sama, sama dengan menyatakan bahwa besaran berikut ini konstan ω2 (7.9) rTetapi bila ini kita kalikan dengan massa planet, akan kita dapatkan bahwabesaran mωr2 yang tidak lain sama dengan besar total momentum sudutsistem (dengan matahari sebagai titik referensi). Jadi dalam sistem planetmatahari, gaya gravitasi tidak menimbulkan perubahan momentum sudut.7.2 Medan GravitasiKonsep gaya gravitasi, dimana dua benda yang terpisah dan tidak salingsentuh dapat memeberikan pengaruh satu sama lain, merupakan konsepyang sulit dipahami bagi ilmuwan fisika klasik dahulu. Bagi mereka semuagaya harus melalui persentuhan, minimal harus ada perataranya. Karenaitu terkait dengan gaya gravitasi, mereka memperkenalkan konsep medangravitasi. Jadi pada ruang di sekitar sebuah benda yang bermassa m akantimbul medan gravitasi. Apabila pada medan gravitasi tadi terdapat sebuahbenda yang bermassa, maka benda tadi akan mengalami gaya gravitasi. Kuat
  • 76. BAB 7. GRAVITASI 75medan gravitasi pada suatu titik dalam ruang diukur dengan menggunakansuatu massa uji yang kecil. Kuat medan gravitas diberikan oleh perumusan F g= (7.10) msehingga medan gravitasi di sekitar sebuah benda bermassa m diberikan oleh m g=G r ˆ (7.11) r27.3 Energi Potensial GravitasiUsaha yang dilakukan oleh gaya gravitasi sebuah benda bermassa M (yangdiasumsikan berada di titik pusat koordinat) pada benda lain yang bermassam, yang menyebabkan perpindahan benda kedua dari jarak ra ke rb diberikanoleh b b mM Mm 1 1 W = −G r · ds = − ˆ G dr = GM m − (7.12) a r2 a r 2 rb raTanda minus dalam gaya di atas karena arah gayanya adalah ke pusat ko-ordinat. Jelas dari hasil di atas bahwa gaya gravitasi adalah gaya konser-vatif. Karena itu kita dapat mendefinisikan konsep energi potensial gravitasimelalui 1 1 ∆U = −W = −GM m − (7.13) rb ra
  • 77. BAB 7. GRAVITASI 76Bila kita asumsikan ra berada pada jauh tak hingga, dan rb = r, dan di-asumsikan pada titik jauh tak hingga potensial gravitasinya lenyap (=nol),maka kita dapatkan GM m U (r) = − (7.14) r Untuk suatu ketiggian dekat permukaan bumi, maka kita pilih pada pers.(7.13) ra = R, jejari bumi (= jarak permukaan bumi dari pusatnya), danrb = R + h. Kemudian diasumsikan bahwa U (R) = 0, maka kita perolehenergi potensial gravitasinya 1 1 R − (R + h) GM U (r) = −GM m − = −GM m ≈ 2 mh (7.15) R+h R (R + h)R RTetapi besaran GM/R2 tidak lain dari percepatan gravitasi bumi g, sehinggauntuk ketingggian dekat permukaan bumi U (h) = mgh (7.16)
  • 78. Bab 8FLUIDADalam bagian ini kita mengkhususkan diri pada materi yang memiliki keadaankhusus. Bila sebelumnya kita pernah membahas materi atau benda tegar,di mana jarak relatif antara bagian-bagian atau partikel-partikel penyusunmateri tetap, maka sekarang kita meninjau kasus kebalikannya, yaitu ka-sus di mana jarak relatif antara bagian-bagian materi atau partikel-partikelpenyusun materi dapat berubah-ubah. Materi yang berada dalam keadaanini disebut sebagai fluida, dapat berupa cairan maupun gas, dan dinamaifluida karena memiliki sifat dapat mengalir. Karena partikel-partikel dalamfluida dapat mudah bergerak, maka secara umum rapat massanya tidak kon-stan. Walaupun begitu dalam buku ini, dalam kebanyakan kasus kita hanyaakan meninjau keadaan dengan kerapatan konstan. Kita akan mempelajarifenomena-fenomena fisis dari fluida, khususnya terkait dengan sifatnya yangdapat mengalir. 77
  • 79. BAB 8. FLUIDA 788.1 TekananSebuah gaya yang bekerja pada sebuah permukaan fluida akan selalu tegaklurus pada permukaan tersebut. Karena fluida yang diam tidak dapat mena-han komponen gaya yang sejajar dengan permukaannya. Komponen gayayang sejajar dengan permukaan fluida akan menyebabkan fluida tadi berg-erak mengalir. Karena itu kita dapat mendefinisikan suatu besaran yangterkait dengan gaya normal permukaan dan elemen luasan permukaan suatufluida. Kita tinjau suatu fluida, dan kita ambil suatu bagian volume dari fluidaitu dengan bentuk sembarang, dan kita beri nama S. Secara umum akanterdapat gaya dari luar S pada permukaannya oleh materi di luar S. Sesuaiprinsip hukum Newton ketiga, mestinya akan ada gaya dari S yang, sesuaipembahasan di atas, mengarah tegak lurus pada permukaan S. Gaya tadidiasumsikan sebanding dengan elemen luas permukaan dS, dan konstantakesebandingannya didefinisikan sebagai tekanan F = pdS (8.1)Jadi arah F adalah tegak lurus permukaan, searah dengan arah dS, dantekanan p adalah besaran skalar. Satuan SI dari tekanan adalah pascal (Pa),dan 1 Pa = 1 N/m2 .
  • 80. BAB 8. FLUIDA 798.2 Tekanan HidrostatikDalam suatu fluida yang diam, setiap bagian dari fluida itu berada dalamkeadaan kesetimbangan mekanis. Kita tinjau sebuah elemen berbentuk cakrampada suatu fluida yang berjarak y dari dasar fluida, dengan ketebalan cakramdy dan luasnya A (lihat gambar). Total gaya pada elemen cakram tadi harus sama dengan nol. Untuk arahhorizontal gaya yang bekerja hanyalah gaya tekanan dari luar elemen cakram,yang karena simetri haruslah sama. Untuk arah vertikal, selain gaya tekananyang bekerja pada permukaan bagian atas dan bagian bawah, juga terdapatgaya berat, sehingga pA − (p + dp)A − dw = 0 (8.2)
  • 81. BAB 8. FLUIDA 80dengan dw = ρgAdy adalah elemen gaya berat. Kita dapatkan dp = −ρg (8.3) dyPersamaan ini memberikan informasi bagaimana tekanan dalam fluida berubahdengan ketinggian sebagai akibat adanya gravitasi. Tinjau kasus khusus bila fluidanya adalah cairan. Untuk cairan, padarentang suhu dan tekanan yang cukup besar, massa jenis cairan ρ dapatdianggap tetap. Untuk kedalaman cairan yang tidak terlalu besar kita dapatasumsikan bahwa percepatan gravitasi g konstan. Maka untuk sembarangdua posisi ketinggian y1 dan y2 , kita dapat mengintegrasikan persamaan diatas p2 y2 dp = −ρg dy (8.4) p1 y1atau p2 − p1 = −ρg(y2 − y1 ) (8.5)Bila kita pilih titik y2 adalah permukaan atas cairan, maka tekanan yangberaksi di permukaan itu adalah tekanan udara atmosfer, sehingga p = p0 + ρgh (8.6)dengan h = (y2 − y1 ) adalah kedalaman cairan diukur dari permukaan atas.Untuk kedalaman yang sama tekanannya sama. Kasus lain adalah bila fluidanya adalah gas, atau lebih khusus lagi bila
  • 82. BAB 8. FLUIDA 81fluidanya adalah udara atmosfer bumi. Sebagai titik referensi adalah per-mukaan laut (ketinggian nol), dengan tekanan p0 dan massa jenis ρ0 . Kitaasumsikan gasnya adalah gas ideal yang mana massa jenisnya sebanding den-gan tekanan, sehingga ρ p = (8.7) ρ0 p0Dengan memakai pers. (8.3), maka dp p = −gρ0 (8.8) dy p0atau dp gρ0 =− dy (8.9) p p0yang bila diintegralkan akan menghasilkan p = p0 e−g(ρ0 /p0 ) y (8.10)8.3 Prinsip Pascal dan ArchimedesUntuk suatu cairan dalam wadah tertutup, tetap berlaku pers. (8.5). Karenaitu bila terjadi perubahan tekanan ada titik 1 sebesar ∆p1 , maka ∆p2 = ∆p1 − g(y2 − y1 )∆ρ (8.11)
  • 83. BAB 8. FLUIDA 82Tetapi untuk cairan perubahan rapat massanya dapat diabaikan ∆ρ ≈ 0,sehingga ∆p2 = ∆p1 . Ini berarti tekanan yang diberikan pada titik 1 akanditeruskan tanpa pengurangan ke sembarang titik dalam cairan tersebut.Inilah yang dikenal sebagai prinsip Pascal. Prinsip ini hanya konsekuensidari persamaan tekanan hidrostatika. Kita tinjau sebuah benda yang tercelup kedalam suatu fluida. Fluidatadi akan memberikan faya tekanan kepada setiap bagian permukaan benda.Gaya tekan pada bagian yang lebih dalam tentunya lebih besar (karenatekanannya lebih besar). Karena itu total gaya tekan yang bekerja padaseluruh permukaan benda tadi akan menimbulkan total gaya ke atas. Besargaya ke atas tadi bisa diperoleh sebagai berikut. Seandainya pada tempatbenda tadi digantikan dengan fluida yang sama dengan lingkungannya, makatentunya akan berada dalam keadaan kesetimbangan. Sehingga total gaya keatas tadi tentunya sama dengan berat fluida yang menggantikan benda tadi.Prinsip ini terkenal sebagai prinsip Archimedes. Jadi pada sebuah bendayang tercelup ke dalam suatu fluida akan terdapat total gaya ke atas (gayaapung) yang besarnya sama dengan berat fluida yang ditempati benda tadi.8.4 Pengukuran TekananTekanan udara diukur dengan menggunakan alat yang diberinama barom-eter. Barometer yang pertama kali dibuat adalah barometer air raksa, bu-atan Torriclelli. Dari gambar jelas bahwa tekanan udara akan sama dengan
  • 84. BAB 8. FLUIDA 83tekanan titik P pada air raksa. Bagian atas dari kolom air raksa terdapatuap air raksa yang tekanannya dapat diabaikan. Sehingga tekanan udaradiberikan oleh p = ρm gh (8.12)dengan ρm adalah rapat massa air raksa. Gambar 8.1: Barometer dan Manometer Alat ukur tekanan yang lain adalah manometer air raksa (Lihat gambar).Tekanan dalam tabung daat dicari dengan menggunakan pers. (??) p = p0 + ρm gh (8.13)
  • 85. BAB 8. FLUIDA 848.5 Jenis-Jenis Aliran FluidaPada bagian ini kita akan meninjau kasus fluida bergerak/mengalir. Normal-nya, ketika kita meninjau keadaan gerak dari suatu sistem partikel, kita akanberusaha memberikan informasi mengenai posisi dari setiap partikel sebagaifungsi waktu. Tetapi untuk kasus fluida ada metode yang lebih mudah yangdikembangkan mula-mula oleh Euler. Dalam metode ini kita tidak mengikutipergerakan masing-masing partikel, tetapi kita memberi informasi mengenaikeadaan fluida pada setiap titik ruang dan waktu. Keadaan fluida pada se-tiap titik ruang dan untuk seluruh waktu diberikan oleh informasi mengenaimassa jenis ρ(r, t) dan kecepatan fluida v(r, t). Aliran fluida dapat dikategorikan menurut beberapa kondisi 1. Bila vektor kecepatan fluida di semua titik v = (r) bukan merupakan fungsi waktu maka alirannya disebut aliran tetap (steady), sebaliknya bila tidak maka disebut aliran tak tetap (non steady). 2. Bila di dalam fluida tidak ada elemen fluida yang berotasi relatif ter- hadap suatu titik maka aliran fluidanya disebut alira irrotasional, sedan- gkan sebaliknya disebut aliran rotasional. 3. Bila massa jenis ρ adalah konstan, bukan merupakan fungsi ruang dan waktu, maka alirannya disebut aliran tak termampatkan, sebaliknya akan disebut termampatkan. 4. Bila terdapat gaya gesek dalam fluida maka alirannya disebut aliran
  • 86. BAB 8. FLUIDA 85 kental, sedangkan sebaliknya akan disebut aliran tak kental. Gaya gesek ini merupakan gaya-gaya tangensial terhadap lapisan-lapisan flu- ida, dan menimbulkan disipasi energi mekanik.8.6 Persamaan KontinuitasTinjau suatu bagian berbentuk sembarang O dari suatu fluida yang mengalir.Misalkan dalam bagian tersebut terdapat suatu sumber (bila bernilai positif)atau bocoran (bila bernilai negatif), kita lambangkan dengan S yang mem-beri (kelajuan) jumlah massa yang terbentuk atau hilang di O per satuanwaktu. Seandainya tidak ada perubahan massa menjadi energi (total massakekal/konstan), maka total massa fluida per satuan waktu yang masuk keO dikurangi massa yang keluar dari O harus sama dengan S. Total massayang masuk maupun keluar dapat dicari dengan menghitung fluks aliranyang menembus permukaan O. Sebelumnya kita definisikan dulu rapat arusfluida sebagai perkalian antara rapat massa dan kecepatan fluida di suatutitik ruang waktu, j = ρv (8.14)Bila rapat arus fluida dikalikan skalar dengan elemen luas permukaan dAmaka akan didapatkan j · dA = ρv · dA (8.15)
  • 87. BAB 8. FLUIDA 86Untuk setiap satuan waktu dt maka ds dV dm j · dA = ρv · dA = ρ · dA = ρ = (8.16) dt dt dtsuku terakhir adalah laju perubahan massa yang memasuki O. Bila dalamO tidak terdapat sumber maka jumlah massa yang sama harus keluar dariO, tetapi bila ada sumber berarti selisih laju perubahan massa yang masukdan keluar sama dengan S dm −j · dA + S = (8.17) dtyang dapat dituliskan sebagai dm −j · dA + S = (8.18) dt Kita tinjau kasus khusus dengan kecepatan fluida tidak bergantung waktudan dapat dianggap sama untuk titik-titik permukaan yang tidak terlalu be-sar. Kita ambil O berbentuk tabung aliran dengan dua buah permukaan sisitutupnya A1 dan A2 . Dari pers. (8.16), dapat diperoleh bahwa total massayang masuk pada permukaan A1 dan yang keluar pada A2 dapat dituliskansebagai dm1 = ρ 1 v 1 · A1 (8.19) dt
  • 88. BAB 8. FLUIDA 87dan dm2 = ρ 2 v 2 · A2 (8.20) dtBila tidak ada sumber maka kedua nilai tadi harus sama, jadi ρ 1 v 1 · A1 = ρ 2 v 2 · A2 (8.21)Persamaan ini juga sering disebut sebagai persamaan kontinuitas, walausebenarnya hanya merupakan kasus khusus saja.8.7 Persamaan BernoulliPersamaan Bernoulli sebenarnya hanya bentuk lain dari persamaan kekekalanenergi mekanik yang diterapkan pada fluida. Tentunya fluida yang ditinjauharus tak kental agar tidak terdapat disipasi energi sebagai panas. Lihatgambar di bawah ini, Sesuai dengan teorema usaha-energi kita ketahui bahwa usaha oleh gayanon konservatif sama dengan perubahan energi mekanik. Wnk = ∆Em (8.22)Dalam kasus di atas, usaha non konservatifnya dilakukan oleh gaya tekanan.Usaha totalnya adalah Wnk = (p1 A1 v1 − p2 A2 v2 )∆t (8.23)
  • 89. BAB 8. FLUIDA 88Sedangkan perubahan energi mekaniknya adalah 1 2 1 2 (ρ2 A2 v2 ∆t)v2 + g(ρ2 A2 v2 ∆t)y2 − (ρ1 A1 v1 ∆t)v1 − g(ρ1 A1 v1 ∆t)y1 (8.24) 2 2sehingga 1 2 1 2p1 A1 v1 ∆t+ (ρ1 A1 v1 ∆t)v1 +g(ρ1 A1 v1 ∆t)y1 = p2 A2 v2 ∆t+ (ρ2 A2 v2 ∆t)v2 +g(ρ2 A2 v2 ∆t)y2 2 2 (8.25)Tetapi dari persamaan kontinuitas diketahui ρ1 v1 A1 = ρ2 v2 A2 , dan bila dia-sumsikan bahwa ρ1 = ρ2 = ρ maka 1 2 1 2 p1 + ρv1 + ρgy1 = p2 + ρv2 + ρgy2 (8.26) 2 2atau 1 p + ρv 2 + ρgy = konstan (8.27) 2Inilah persamaan Bernoulli.
  • 90. Bab 9GETARAN DANGELOMBANG9.1 GETARANGetaran adalah salah satu bentuk gerak yang khusus. Kita hanya akanmeninjau getaran atau osilasi yang sederhana. Untuk itu kita akan meninjauenergi potensial yang dimiliki sebuah partikel bermassa m yang berada dalamkeadaan kesetimbangan stabil di sekitar titik 0. Secara umum bentuk energipotensialnya adalah U = U0 − ax2 + O(x3 ) (9.1)dengan O(x3 ) adalah suku-suku energi potensial dengan variabel x berpangkattiga atau lebih, yang tentunya harus sangat kecil dibandingkan suku pangkatduanya (bila tidak maka bukan kesetimbangan stabil). Gaya yang terkait 89
  • 91. BAB 9. GETARAN DAN GELOMBANG 90dengan energi potensial ini dapat dicari dari Fx dx = −dU (9.2)atau dU Fx = − = −2ax + O(x2 ) (9.3) dxbila suku gaya pangkat dua atau lebih sangat kecil atau dapat diabaikan,maka ini tidak lain dari gaya pegas, dan dengan 2a = k maka persamaan diatas dapat dituliskan sebagai d2 x Fx = m = −kx (9.4) dt2atau d2 x m + kx = 0 (9.5) dt2Persamaan ini memiliki bentuk penyelesaian umum x(t) = A sin(ωt) + B cos(ωt) (9.6)dengan k ω= (9.7) m
  • 92. BAB 9. GETARAN DAN GELOMBANG 91adalah frekuensi sudut dari getaran. Persamaan di (9.6) dapat dituliskanjuga sebagai x(t) = A0 sin(ωt + φ) = A0 (sin ωt cos φ + cos ωt sin φ) (9.8)dengan A = A0 cos φ dan B = A0 sin φ, (sehingga φ = arcsin B/A yangdisebut sebagai fase getaran), dan A0 disebut sebagai amplitudo getaran.Getaran yang memenuhi persamaan (9.5) disebut sebagai getaran selarassederhana. Berikut ini beberapa contoh getaran selaras sederhana9.1.1 BandulSebuah bandul yang berada dalam medan potensial gravitasi, bila disim-pangkan tidak jauh dari titik keseimbangannya akan mengalami gerak getaran.Lihat gambar di bawah ini Komponen gaya yang dialami bandul bermassa m yang sejajar denganarah geraknya adalah d2 x F = m 2 − mg sin θ (9.9) dtTanda negatif karena arah gaya berlawanan dengan arah simpangan positifx. Untuk simpangan yang tidak terlalu besar, sin θ dapat kita dekati sebagaisin θ ≈ θ (dalam radian) dan x ≈ Lθ sehingga d2 θ g 2 + θ=0 (9.10) dt L
  • 93. BAB 9. GETARAN DAN GELOMBANG 92 Gambar 9.1: Bandulyang merupakan persamaan getaran selaras sederhana dengan frekuensi g ω= (9.11) L9.1.2 Bandul MekanisSebuah benda digantung pada titik P dan memiliki momen inersia terhadapsumbu P sebesar IP . Benda ini disimpangkan dari titik seimbangnya dan kemudian bergetar.Torka yang dialami benda tadi, akibat gaya gravitasi yang bekerja pada titikpusatnya dapat dituliskan sebagai d2 θ τ = IP α = IP = −M gL sin θ (9.12) dt2
  • 94. BAB 9. GETARAN DAN GELOMBANG 93 Gambar 9.2: Bandul mekanikUntuk sudut yang cukup kecil sin θ ≈ θ sehingga d2 θ M gL + θ=0 (9.13) dt2 IPPenyelesaian persamaan ini adalah suatu getaran selaras sederhana denganfrekuensi sudut M gL ω= (9.14) IP9.2 Getaran Teredam dan ResonansiDalam kenyataan di alam, selain gaya yang menimbulkan getaran juga ter-dapat gaya yang menghambat gerak getaran. Sehingga semua gerak getaranakhirnya berkurang energinya dan berhenti bergetar. Sebagai model seder-hana kita asumsikan getaran teredam dengan gaya redaman yang sebandingdengan kecepatan benda, sehingga persamaan gerak benda dapat ditulis se-
  • 95. BAB 9. GETARAN DAN GELOMBANG 94bagai F = −kx − bv (9.15)atau d2 x b dx k 2 + + x=0 (9.16) dt m dt mPenyelesaian persamaan di atas ini dapat dituliskan sebagai berikut x = Ae−bt/2m cos(ω t + φ) (9.17)dengan k b 2 ω = − . (9.18) m 2mBentuk grafik getarannya sebagai berikut Gambar 9.3: Getaran teredam
  • 96. BAB 9. GETARAN DAN GELOMBANG 959.2.1 ResonansiTerkadang suatu sistem yang dapat bergetar mendapat gaya yang juga pe-riodik. Dalam kasus ini benda akan bergetar dengan amplitudo yang be-sar ketika frekuensi alaminya sama dengan frekuensi gaya eksternal peri-odiknya. Sebagai model misalkan gaya eksternal periodiknya diberikan olehF = Fr cos ω t, sehingga persamaan geraknya (dengan mengikutsertakanfaktor redaman) F = −kx − bv + Fr cos ω t (9.19)atau d2 x b dx k 2 + + x = Fr cos ω t (9.20) dt m dt mDari persamaan di atas, tentunya logis bila getarannya harus memiliki frekuensiyang sama dengan frekuensi getaran gaya eksternal periodik ω , tetapi mungkinterdapat beda fase. Dapat ditunjukkan bahwa penyelesaian persamaan diatas adalah Fr x= sin(ω t + φ) (9.21) Gdengan G= m2 (ω 2 − ω 2 )2 + b2 ω 2 (9.22)dan bω φ = arccos (9.23) G Tampak bahwa nilai G akan minimum dan amplitudo akan maksimum
  • 97. BAB 9. GETARAN DAN GELOMBANG 96ketika ω = ω . Peristiwa inilah yang biasa disebut resonansi.9.3 Energi GetaranEnergi potensial sebuah sistem pegas diberikan oleh 1 U = kx2 (9.24) 2sedangkan energi kinetiknya diberikan oleh 1 Ek = mv 2 (9.25) 2maka dengan x = A sin(ωt + φ) (9.26)dan dx v= = Aω cos(ωt + φ) (9.27) dtmaka energi total mekanik sistem pegas yang bergetar diberikan oleh 1 1 1 E = Ek + U = kA2 sin2 (ωt + φ) + mω 2 A2 cos2 (ωt + φ) = kA2 (9.28) 2 2 2
  • 98. BAB 9. GETARAN DAN GELOMBANG 979.4 GELOMBANGGelombang adalah getaran yang merambat. Jadi di setiap titik yang dilaluigelombang terjadi getaran, dan getaran tersebut berubah fasenya sehinggatampak sebagai getaran yang merambat. Terkait dengan arah getar dan arahrambatnya, gelombang dibagi menjadi dua kelompok, geklombang transver-sal dan gelombang longitudinal. Gelombang transversal arah rambatnyategak lurus dengan arah getarannya, sedangkan gelombang longitudinal arahrambatnya searah dengan arah getarannya. Persamaan gelombang memenuhi bentuk d2 x 1 d2 x = 2 2 (9.29) dz 2 v dtBentuk umum penyelesaian persamaan di atas adalah semua fungsi yangberbentuk x(z, t) = x(z ± vt). Hal ini dapat ditunjukkan dengan mudah.Bentuk yang cukup sederhana yang menggambarkan gelombang sinusoidaladalah penyelesaian yang berbentuk x(z, t) = A sin(kz ± ωt + φ) (9.30) Untuk suatu waktu t tertentu (misalkan t = 0, dan pilih φ = 0) maka x(z, t) = A sin(kz) (9.31)
  • 99. BAB 9. GETARAN DAN GELOMBANG 98Ini adalah persamaan sinusoidal dengan jarak dari satu fase ke fase berikut-nya diberikan oleh 2π z≡λ= (9.32) katau berarti 2π k= (9.33) λBilangan k ini menunjukkan jumlah gelombang atau bilangan gelombang per2π satuan panjang. Untuk suatu posisi tertentu (misalkan z = 0, dan pilih φ = 0) maka x(z, t) = −A sin(ωt) (9.34)Ini adalah persamaan getaran sinusoidal di suatu titik. Periode getarnyadiberikan oleh 2π t≡T = (9.35) ωatau berarti 2π ω= = 2πf (9.36) Tdengan f adalah frekuensi gelombang. Untuk suatu fase tertentu dari gelombang, pola gelombang tersebut akantetap selama nilai kx − ωt tetap. Sehingga dengan berjalannya waktu, nilaikz juga harus bertambah. Ini berarti pola gelombang akan merambat ke
  • 100. BAB 9. GETARAN DAN GELOMBANG 99kanan dengan kecepatan yang diberikan oleh kdz =ω (9.37) dtatau dz ω v= = (9.38) dt k9.5 Superposisi GelombangDua buah gelombang dapat dijumlahkan atau disuperposisikan. Ada beber-apa kasus yang akan kita tinjau. Kasus dua gelombang dengan ω, k samatetapi berbeda fasenya. Kasus dua gelombang dengan ω, k sama tetapi arahgeraknya berlawanan. Kasus dua gelombang dengan ω dan knya berbedasedikit.9.5.1 Beda faseMisalkan kita punya x1 = A sin(kz − ωt + φ1 ) (9.39) x2 = A sin(kz − ωt + φ2 ) (9.40)Penjumlahan kedua gelombang ini menghasilkan ¯ xtot = x1 + x2 = 2A sin(kz − ωt + φ) cos(δφ) (9.41)
  • 101. BAB 9. GETARAN DAN GELOMBANG 100 ¯dengan φ = (φ1 + φ2 )/2 dan δφ = (φ1 − φ2 )/29.5.2 Beda arah kecepatanMisalkan kita punya x1 = A sin(kz − ωt) (9.42) x2 = A sin(kz + ωt) (9.43)Penjumlahan kedua gelombang ini menghasilkan xtot = x1 + x2 = 2A sin(kz) cos(ωt) (9.44)Fenomena ini sering disebut sebagai gelombang tegak9.5.3 Beda frekeunsi dan panjang gelombangMisalkan kita punya x1 = A sin(k1 z − ω1 t) (9.45) x2 = A sin(k2 z − ω2 t) (9.46)Penjumlahan kedua gelombang ini menghasilkan ¯ ¯ xtot = x1 + x2 = 2A sin(kz − ω t + φ) cos(δkz − δωt) ¯ (9.47)
  • 102. BAB 9. GETARAN DAN GELOMBANG 101 ¯dengan k = (k1 + k2 )/2, ω = (ω1 + ω2 )/2 dan δk = (k1 − k2 )/2, δω = ¯(φ1 − φ2 )/2 Ketika bedanya sangat kecil maka muncul fenomena yang disebut sebagailayangan.