Sucesiones geométricas

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Sucesiones geométricas

  1. 1. Sucesiones Geométricas*) Definición*) Término General*) Término E-nésimo*) Suma de los términos*) Interpolación
  2. 2. Sucesión GeométricaDefinición: Es toda serie en la cual cada término se obtiene multiplicando el anteriorpor una cantidad constante querecibe el nombre de razón.En toda sucesión geométrica la razónse halla dividiendo un términocualquiera por el anterior.
  3. 3. Una Sucesión geométrica esCRECIENTE cuando la razón esmayor que uno. Por ejemplo:1, 4, 16, 64, 128,...Y es DECRECIENTE cuando larazón es, menor que uno. Porejemplo: 8, 4, 2, 1, ½, .....
  4. 4. Término General de una Sucesión GeométricaEl término general de una sucesión geométrica secalcula en dos etapas de la manera siguiente:ETAPA I) la primera parte del término general seobtiene elevando a la potencia “n”, el cocienteentre dos términos consecutivos.ETAPA II) al sustituir “n” por 1, en la expresiónobtenida en la etapa anterior, debería obtenerseel primer término de la serie; si esto no ocurre,entonces deberá multiplicarse la expresión por laconstante necesaria para obtener dicho primertérmino.
  5. 5. EJEMPLOObtener el término general de la sucesión: 9, 27,81, 243, .......SOLUCION: El cociente entre un término y elanterior es constante e igual a 3.1) la primera parte del término general es por lotanto: 3n2) al sustituir “n” por 1, se tiene31 = 3. Este número debe multiplicarse por trespara obtener el primer término de la sucesión,que es 9. Por lo tanto el término general buscadoes: f(n) = 3(3n) f(n) = 3n+1
  6. 6. Fórmula del Término e-nésimoSea la sucesión: a, b, c, d, e, ....., u,en la que “u” es el término enésimoy cuya razón es “r”.En toda sucesión geométrica, cadatérmino es igual al término anteriormultiplicado por la razón, luego: u = arn-1
  7. 7. ejemploHallar el 10º término de la sucesióngeométrica: 2, 6, 18, 54, ........Datos: a = 2; n = 10; r = 3, luego: u = arn-1 u = 2 x 3 (10 – 1) u = 2 x 39 u = 2 x 19683 u = 39366
  8. 8. Suma de los términos de una sucesión geométrica Sea la sucesión: a,b, c, d,......, u, cuya razón es “r”. ur − a Designamos por “S” a la suma de todos sus términos y así tendremos: S= S = a+b+c+d + ........ + u (1) Multiplicando los dos miembros de la igualdad por “r”, nos resulta:Sr =ar+br+ cr + dr +...... + ur(2) Restando (1) de (2): Sr–S= ur – a Factor Común: S(r – 1 ) = ur – a, r −1luego:
  9. 9. EjemploHallar la suma de los 6 primeros términosde la serie: 4, -8, 16, ....Solución: encontrar el 6º término,U = arn-1 = 4(-2)6-1 = 4(-32) = -128Luego, aplicando la fórmula de la suma: (−128)(−2) − 4 256 − 4S= = = −84 − 2 −1 −3
  10. 10. INTERPOLACION DE MEDIOS GEOMETRICOSSe trata de colocar, entre dos números realesdados, un número específico de términos quejunto con los dos dados originalmente,pertenezcan a una sucesión geométrica.EJEMPLO: Interpolar entre 96 y 3 cuatro mediosgeométricos.SOLUCION: Hay que formar una sucesióngeométrica cuyo primer término sea 96 y elúltimo 3. Para ello habrá que encontrar la razón.Como se va a interpolar 4 medios y ya tenemosdos extremos, n = 6, luego:
  11. 11. u Donde: r = es la razón ; n = elr =− n 1 a número de términos ; u = último término de la serie y a = primer término. 3 1r =6−1 Simplificando : r =5 96 32 1 r= 2 Si la razón es ½, multiplicando 96 por ½ tendremos el 2º término; éste, multiplicado por ½ dará el 3º término y así sucesivamente. Tenemos: 96, 48, 24, 12, 6, 3
  12. 12. EJERCICIOS PROPUESTOS El tercer término de una sucesión geométrica es 54 y el quintotérmino es 486. Encuentre el segundo término. R/ Al efectuar la sumar todos los números enteros que sondivisibles por 7 y que se encuentran entre 41 y 407 se obtiene: R/ Un teatro al aire libre tiene 40 filas de asientos. En la primera fila hay 28 sillas, en la segunda 32, en la tercera 36 y así sucesivamente. Entonces el número total de personas que pueden sentarse es: R/

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