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Equação do 2º grau

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Equação do 2º grau Equação do 2º grau Presentation Transcript

  • Equação do Segundo Grau Coeficientes Equação Completa e incompleta Raízes: o que significa; como se calcula; condições para a sua existência. Soluções particulares de uma equação do 2º Grau Relação entre os coeficientes e as raízes Processo do completamento de quadrados João Marcos Ferreira
  • Objetivos
    • Reconhecer uma equação do 2º Grau
    • Identificar os seus coeficientes a, b, c
    • Reconher uma equação completa e uma incompleta, e as condições de existência das raízes
    • Obter as raízes da equação do 2º usando, os diferentes processo aqui abordados
    • Solucionar problemas que envolvam, equação do 2º Grau
    João Marcos Ferreira
    • Uma equação do tipo ax²+bx+c=0 é
    • denominada equação completa do 2º GRAU
    • Onde :
    • a, b,c são coeficientes e x a variável ou raiz
    • e a ≠ 0
    • O que determina o grau é o expoente da
    • Variável x
    João Marcos Ferreira View slide
    • Completa
    • x² - 4x – 3 = 0 , onde a = 1 , b = - 4 e c = - 3
    • Incompletas
    • x² - 9 = 0 , onde a = 1 , b = 0 e c = - 9
    • 6x² = 0 , onde a = 6 , b = 0 e c = 0
    • - 4x² + 2x , onde a = - 4 , b = 2 e c = 0
    São exemplos de equação do 2º grau: João Marcos Ferreira View slide
  • RAÍZES DE UMA EQUAÇÃO DO 2º GRAU
    • Seja a Equação:
    • x² - 9 = 0 , onde a = 1 , b = 0 e c = - 9
    • x² = 9 assim, x = ± √9
    • X´=3 ou x´´= -3 substituindo-se na equação, têm-se que:
    • (3) ² – 9 = 0 ou (-3) ² – 9 = 0
    • As raízes, são valores de x que satisfazem a igualdade ou seja: são os zeros da equação
    João Marcos Ferreira
  • A Fórmula de Báscara
    • Essa fórmula, que permite obter as raízes da equação do 2° grau é conhecida como fórmula de Báscara(1114-1185, nascido na Índia, o mais importante matemático do séc. XII
    • O Nº DE RAIZES ESTÁ ASSOCIADO AO GRAU DA EQ.
    João Marcos Ferreira
  • Existência de Raízes Reais
    • Denominamos discriminante da equação do 2° grau ax²+bx+c = 0
    • a expressão b² -4ac , que representamos pela letra grega ∆
    • Observando a dedução da fórmula de Báscara , podemos concluir
    • A equação do 2° grau tem raízes reais se, e somente se, ∆≥ 0.
    • As raízes são dadas por:
    • Temos ainda:
    • ∆ >0  as duas raízes são números reais distintos.
    • ∆ =0  as duas raízes são números reais iguais.
    • ∆ <0  não existem raízes reais.
    João Marcos Ferreira
  • Exemplo 1 João Marcos Ferreira
  • Exemplo 2
    • Na equação 9x² + 12x + 4 = 0
    • Temos: a= 9 b= 12 c= 4
    • ∆ =b² -4ac=
    • ∆ = 12² - 4.9.4 =
    • ∆ =144 – 144=
    • ∆ = 0
    • Como ∆= 0 , a equação possui duas raízes reais iguais.
    • As raízes são:
    • x’ = -12+ 0 = -2
    • x= -12 ± √0 = 18 3
    • 2.9 x’’ = -12 – 0 = -2
    • 18 3
    João Marcos Ferreira
  • Exemplo 3
    • Na equação 2x² + 5x + 9 =0
    • Temos: a= 2 b=5 c= 9
    • ∆ =b² -4ac=
    • ∆ =5² - 4 .2. 9=
    • ∆ = 25 – 72 =
    • ∆ = - 47
    • Como ∆< 0 , a equação não possui raízes reais. O conjunto solução em R é S =Ø.
    João Marcos Ferreira
  • Exemplo 04
    • 1- Na equação
    João Marcos Ferreira Como ∆ > 0 a função tem dois zeros reais. Assim:
  • Calculemos agora seus zeros: João Marcos Ferreira Logo, os zeros da função são – 1 e 5
  • SOLUÇÕES PARTICULARES
    • ax²+bx=0 portanto , c=0
    • têm-se fatorando que : x(ax+b)=0
    • Ou seja : x=0 ou ax+b=0, donde se conclui
    • Que ax=-b e x= -b/a
    • Logo as raizes são: x´=0 ou x´´=-b/a
    • Seja: 3 x² -5x=0 fatorando x: x(3x-5)=0
    • Assim: x´=0 ou 3x-5=0 logo 3x=5 e x´´=5/3
    João Marcos Ferreira
  • Relações entre coeficientes e raízes
    • Se em ax²+bx+c=0 , a=1
    • Temos então que x²+bx+c=0.
    • Pode-se demonstrar que as raízes da equação, nesse caso, serão tais que:
    • x´+x´´= -b e x´.x´´=c ,
    • logo em x²-5x+6=0 temos
    • Mentalmente que : x´=2 e x´´=3
    João Marcos Ferreira
  • Processo do completamento de quadrados
    • Baseado na interpretação geométrica dada pelos gregos a (a + b) 2
    • Al-Khowarizmi, século IX, estabeleceu um processo geométrico para resolução de Equação do 2 o Grau Completa.
  • Representação Geométrica a 2 ab ab b 2
  • x 2 + 6x x 2 3x 3x 3 2
  • Resolução da equação x 2 + 6x + 8 = 0
    • Passa 8 para o 2 o membro
    • x 2 + 6x = - 8
    • Como na representação geométrica acrescentamos 3 2
    • x 2 + 6x + 3 2 = - 8 + 3 2
    • (x + 3) 2 = - 8 + 9
    • (x + 3) 2 = 1
    • Tira-se então, a raiz quadrada de ambos os membros
    • (x + 3) =  1
    • x + 3 = 1 x = 1 – 3 x´ = - 2
    • x + 3 = - 1 x = - 1 – 3 x´´ = - 4
    • S = {- 4, -2}
  • Seja Equação : x 2 – 2x – 8 = 0
    • Teremos então x 2 – 2x = 8 , passando 8
    • como na representação geométrica acrescentamos 1 2 aos dois membros teremos
    • x 2 – 2x + 1 2 = 1 2 + 8 logo (x – 1) 2 = 9
    • Extraimos a raiz quadrada : (x – 1) =  3
    • Calculemos 1º raiz x – 1 = 3 , x´ = 4
    • Calculemos a 2ª raiz : x – 1 = - 3 e X´´ = - 2
    • o conjunto das raizes será S = {- 2, 4}
    João Marcos Ferreira
  • Passemos agora para a resolução de alguns exercicios
    • Espero que todos tenham aproveitado esta
    • rápida aula. As anotações são importantes
    • para o caso de precisarem rever o assunto
    • Obrigado pela audiência.
    • Prof. Demerval Dias Miranda
    João Marcos Ferreira