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El conjunto de todos los números enteros se representa por la letra    = {..., −3, −2, −1, 0,+1, +2, +3, ...}, que provien...
mayores que las pérdidas o viceversa. Estas dos posibilidades se puedenexpresar utilizando el signo de los números negativ...
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Además, la suma de números enteros posee una propiedad adicional que notienen los números naturales:       Elemento opuest...
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   El anillo         es un cuerpo si y solo si p es primo. Equivalentemente: p es primo    si y solo si υ(p) = p − 1.   ...
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ejemplo, el menor de ellos, y el conjunto resultante será un conjunto infinito cuyostérminos son todos primos.Otros enunci...
Frecuencia de los números primosEsta ilustración muestra que el 11 es un número primo, pero el 12 no lo es.Una vez demostr...
encontrar una demostración que usara sólo métodos elementales (es decir,       sin usar el análisis complejo). Esta demost...
son todos compuestos: si 2 ≤ i ≤ n+1, entonces (n+1)!+i es divisible entre i, portanto, es compuesto. La sucesión, que com...
Representación gráfica y analíticaComo se ha quitado 1/4 del pastel, todavía le quedan 3/4.Suelen utilizarse círculos o re...
Un número irracional no admite una escritura en forma de número fraccionario, suexpansión decimal será infinita no-periódi...
   Fracción inversa: fracción obtenida a partir de otra dada, en la que        se han invertido el numerador y el denomin...
   Fracción como razón: véase proporcionalidad y regla de tres para                la la relación que mantienen un par de...
Se representan igual que los positivos, pero añadiendo un signo menos «−»delante de ellos: −4, −2,5, −√8, etc. (estos núme...
Entonces, decimos con toda propiedad que el número raíz cuadrada de doses aproximadamente igual a 1,4142135 en 7 decimales...
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Matematicas i (autoguardado)

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  1. 1. En matemáticas, los números reales (designados por ) incluyen tanto alos números racionales (positivos y negativos y el cero) como a losnúmerosirracionales (trascendentes, algebraicos), que no se pueden expresar de manerafraccionaria y tienen infinitas cifras decimales no periódicas, tales como: .Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunassimples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales dematemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajomatemático formal.Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunque carecía de unabase rigurosa, puesto que en el momento no se consideraba necesario elformalismo de la actualidad, y se usaban expresiones como «pequeño», «límite»,«se acerca» sin una definición precisa. Esto llevó a una serie de paradojas yproblemas lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear una base rigurosapara la matemática, la cual consistió de definiciones formales y rigurosas (aunqueciertamente técnicas) del concepto de número real.1 En una sección posterior sedescribirán dos de las definiciones precisas más usuales actualmente: clases deequivalencia de sucesiones de Cauchy de números racionales y cortaduras deDedekind.
  2. 2. Número racionalDiagrama usado en la demostración de que los racionales son numerables (Georg Cantor).En matemática, se llama número racional a todo número que puede representarse comoel cociente de dos números enteros (más precisamente, un entero y un natural positivo1 )es decir, una fracción común a/b con numerador a y denominador b distinto de cero. Eltérmino «racional» alude a fracción o parte de un todo. El conjunto de los númerosracionales se denota por Q (o bien , en Blackboardbold) que deriva de «cociente»(Quotienten varios idiomas europeos). Este conjunto de números incluye a los númerosenteros ( ), y es un subconjunto de los números reales ( ).La escritura decimal de un número racional es, o bien un número decimal finito, obien periódico. Esto es cierto no solo para números escritos en base 10 (sistema decimal),también lo es en base binaria, hexadecimal o cualquier otra base entera. Recíprocamente,todo número que admite una expansión finita o periódica (en cualquier base entera), esun número racional.Un número real que no es racional, se llama número irracional; la expansión decimal delos números irracionales, a diferencia de los racionales, es infinita no-periódica.En sentido estricto, número racional es el conjunto de todas las fracciones equivalentes auna dada; de todas ellas, se toma como representante canónico de dicho número racionala la fracción irreducible. Las fracciones equivalentes entre sí –número racional– sonuna clase de equivalencia, resultado de la aplicación de una relación deequivalencia sobre .Número enteroLos números enteros son un conjunto de números que incluye a los númerosnaturales distintos de cero (1, 2, 3, ...), los negativos de los números naturales (..., −3, −2,−1) y al cero, 0. Los enteros negativos, como −1 o −3 (se leen «menos uno», «menos tres»,etc.), son menores que todos los enteros positivos (1, 2, ...) y que el cero. Para resaltar ladiferencia entre positivos y negativos, a veces también se escribe un signo «más» delantede los positivos: +1, +5, etc. Cuando no se le escribe signo al número se asume que espositivo.
  3. 3. El conjunto de todos los números enteros se representa por la letra = {..., −3, −2, −1, 0,+1, +2, +3, ...}, que proviene del alemánZahlen («números», pronunciado [ˈtsaːlən]).Los números enteros no tienen parte decimal. Por ejemplo:−783 y 154 son números enteros45,23 y −34/95 no son números enterosAl igual que los números naturales, los números enterospueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, de forma similar a los primeros. Sinembargo, en el caso de los enteros es necesario calcular también el signo del resultado.Los números enteros extienden la utilidad de los números naturales para contar cosas.Pueden utilizarse para contabilizar pérdidas: si en un colegio entran 80 alumnos nuevos deprimer curso un cierto año, pero hay 100 alumnos de último curso que pasarona educación secundaria, en total habrá 100 − 80 = 20 alumnos menos; pero tambiénpuede decirse que dicho número ha aumentado en 80 − 100 = −20 alumnos.También hay ciertas magnitudes, como la temperatura o la altura toman valores pordebajo del cero. La altura del Everest es 8848 metros por encima del nivel del mar, y por elcontrario, la orilla del Mar Muerto está 423 metros por debajo del nivel del mar; es decir,su altura se puede expresar como −423 m.Resta con negativos. La resta de dos números naturales no es un número natural cuandoel sustraendo es mayor que el minuendo, sino que su valor es negativo: en la imagen, sólopueden sustraerse 3 plátanos, por lo que se apunta un plátano «debido» o «negativo» (enrojo).IntroducciónLos números negativos son necesarios para realizar operaciones como: 3−5=?Cuando el minuendo es más pequeño que el sustraendo, la resta no puederealizarse. Sin embargo, hay situaciones en las que es útil el concepto de númerosnegativos, como por ejemplo al hablar ganancias y pérdidas:Ejemplo: Un hombre juega a la ruleta dos días seguidos. Si el primero gana 2000pesos y al día siguiente pierde 1000, el hombre ganó en total 2000 − 1000 = $1000. Sin embargo, si el primer día gana 500 y al siguiente pierde 2000, se diceque perdió en total 2000 − 500 = $ 1500. La expresión usada cambia en cadacaso: ganó en total o perdió en total, dependiendo de si las ganancias fueron
  4. 4. mayores que las pérdidas o viceversa. Estas dos posibilidades se puedenexpresar utilizando el signo de los números negativos (o positivos): en el primercaso ganó en total 2000 − 1000 = + $ 1000 y en el segundo ganó en total 500 −2000 = − $ 1500. Así, se entiende que una pérdida es una ganancia negativa.Números con signoLos números naturales 1, 2, 3,... son los números ordinarios que se utilizanpara contar. Al añadirles un signo menos («−») delante se obtienen los númerosnegativos: Un número entero negativo es un número natural como 1, 2, 3, etc. precedido de un signo menos, «−». Por ejemplo −1, −2, −3, etcétera. Se leen «menos 1», «menos 2», «menos 3»,...Además, para distinguirlos mejor, a los números naturales se les añade unsigno más («+») delante y se les llama números positivos. Un número entero positivo es un número natural como 1, 2, 3,... precedido de un signo más. «+».El cero no es positivo ni negativo, y puede escribirse con signo más o menos o sinsigno indistintamente, ya que sumar o restar cero es igual a no hacer nada. Todaesta colección de números son los llamados «enteros». Los números enteros son el conjunto de todos los números enteros con signo (positivos y negativos) junto con el 0. Se les representa por la letra Z, también escrita en «negrita de pizarra» como ℤ :La recta numéricaArtículo principal: Recta numérica.Los números enteros negativos son más pequeños que todos los positivos y queel cero. Para entender como están ordenados se utiliza la recta numérica:Se ve con esta representación que los números negativos son más pequeñoscuanto más a la izquierda, es decir, cuanto mayor es el número tras el signo. Aeste número se le llama el valor absoluto:
  5. 5. El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta de quitarle el signo. El valor absoluto de 0 es simplemente 0. Se representa por dos barras verticales «| |».Ejemplo. |+5| = 5 , |−2| = 2 , |0| = 0.El orden de los números enteros puede resumirse en: El orden de los números enteros se define como: Dados dos números enteros de signos distintos, +a y −b, el negativo es menor que el positivo: −b < +a. Dados dos números enteros con el mismo signo, el menor de los dos números es: El de menor valor absoluto, si el signo común es «+». El de mayor valor absoluto, si el signo común es «−». El cero, 0, es menor que todos los positivos y mayor que todos los negativos.Ejemplo. +23 > −56 , +31 < +47 , −15 < −9 , 0 > −36Operaciones con números enterosLos números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, igual quepuede hacerse con los números naturales.SumaEn la suma de dos números enteros, se determina por separado el signo y el valorabsoluto del resultado.En esta figura, el valor absoluto y el signo de un número se representan por eltamaño del círculo y su color.Para sumar dos números enteros, se determina el signo y el valor absoluto delresultado del siguiente modo:
  6. 6.  Si ambos sumandos tienen el mismo signo: ese es también el signo del resultado, y su valor absoluto es la suma de los valores absolutos de los sumandos. Si ambos sumandos tienen distinto signo:  El signo del resultado es el signo del sumando con mayor valor absoluto.  El valor absoluto del resultado es la diferencia entre el mayor valor absoluto y el menor valor absoluto, de entre los dos sumandos.Ejemplo. (+21) + (−13) = +8 , (+17) + (+26) = +43 , (−41) + (+19) = −22 , (−33) +(−28) = −61La suma de números enteros se comporta de manera similar a la suma denúmeros naturales:La suma de números enteros cumple las siguientes propiedades: Propiedad asociativa. Dados tres números enteros a, b y c, las sumas (a + b) + c y a + (b + c) son iguales. Propiedad conmutativa. Dados dos números enteros a y b, las sumas a + b y b + a son iguales. Elemento neutro. Todos los números enteros a quedan inalterados al sumarles 0: a + 0 = a.Ejemplo. 1. Propiedad asociativa: [ (−13) + (+25) ] + (+32) = (+12) + (+32) = (+44) (−13) + [ (+25) + (+32) ] = (−13) + (+57) = (+44) 2. Propiedad conmutativa: (+9) + (−17) = −8 (−17) + (+9) = −8
  7. 7. Además, la suma de números enteros posee una propiedad adicional que notienen los números naturales: Elemento opuesto o simétrico. Para cada número entero a, existe otro entero −a, que sumado al primero resulta en cero: a + (−a) = 0.[editar]RestaLa resta de números enteros es muy sencilla, ya que ahora es un caso particularde la suma. La resta de dos números enteros (minuendo menos sustraendo) se realiza sumando el minuendo más el sustraendo cambiado de signo.Ejemplo. (+10) − (−5) = (+10) + (+5) = +15 , (−7) − (+6) = (−7) + (−6) = −13 , (−4)− (−8) = (−4) + (+8) = +4 , (+2) − (+9) = (+2) + (−9) = −7[editar]MultiplicaciónLa multiplicación de números enteros, al igual que la suma, requiere determinarpor separado el signo y valor absoluto del resultado.En la multiplicación de dos números enteros se determinan el valor absoluto y elsigno del resultado de la siguiente manera: El valor absoluto es el producto de los valores absolutos de los factores. El signo es «+» si los signos de los factores son iguales, y «−» si son distintos.Para recordar el signo del resultado, también se utiliza la regla de los signos:Regla de los signos (+) × (+)=(+) Más por más igual a más. (+) × (−)=(−) Más por menos igual a menos. (−) × (+)=(−) Menos por más igual a menos. (−) × (−)=(+) Menos por menos igual a más.Ejemplo. (+4) × (−6) = −24 , (+5) × (+3) = +15 , (−7) × (+8) = −56 , (−9) × (−2) =+18.
  8. 8. La multiplicación de números enteros tiene también propiedades similares a lade números naturales:La multiplicación de números enteros cumple las siguientes propiedades: Propiedad asociativa. Dados tres números enteros a, b y c, los productos (a × b) × c y a × (b × c) son iguales. Propiedad conmutativa. Dados dos números enteros a y b, los productos a × b y b × a son iguales. Elemento neutro. Todos los números enteros a quedan inalterados al multiplicarlos por 1: a × 1 = a.Ejemplo. 1. Propiedad asociativa: [ (−7) × (+4) ] × (+5) = (−28) × (+5) = −140 (−7) × [ (+4) × (+5) ] = (−7) × (+20) = −140 2. Propiedad conmutativa: (−6) × (+9) = −54 (+9) × (−6) = −54La suma y multiplicación de números enteros están relacionadas, al igual que losnúmeros naturales, por la propiedad distributiva: Propiedad distributiva. Dados tres números enteros a, b y c, el producto a × (b + c) y la suma de productos (a × b) + (a × c) son idénticos.Ejemplo. (−7) × [ (−2) + (+5) ] = (−7) × (+3) = −21 [ (−7) × (−2) ] + [ (−7) × (+5) ] = (+14) + (−35) = −21[editar]Propiedades algebraicasArtículo principal: Propiedades de los números enteros.El conjunto de los números enteros, considerado junto consus operaciones de suma y producto, tiene una estructura que en matemáticas sedenomina anillo.
  9. 9. Más allá de su estructura algebraica, el conjunto de los números enteros tieneuna relación de orden.Los números enteros pueden además construirse a partir de los númerosnaturales mediante clases de equivalencia.Número naturalLos números naturales pueden usarse para contar (una manzana, dos manzanas,tres manzanas, …).Un número natural es cualquiera de los números que se usan para contar loselementos de un conjunto. Reciben ese nombre porque fueron los primeros queutilizó el ser humano para la enumeraciónConvenios de notaciónPuesto que los números naturales se utilizan para contar objetos, el cero puedeconsiderarse el número que corresponde a la ausencia de los mismos.Dependiendo del autor, el conjunto de los números naturales puede presentarseentonces de dos maneras distintas: Definición sin el cero: Definición con el cero:donde la N de natural se suele escribir en "negrita de pizarra".Ambas presentaciones son utilizadas en distintas áreas de las matemáticas.Históricamente, el uso del cero como numeral fue introducido en Europa enel siglo XII con la invasión musulmana de la Península Ibérica,1 pero no seconsideraba un número natural.2
  10. 10. Sin embargo, con el desarrollo de la teoría de conjuntos en el siglo XIX, el cero seincluyó en las definiciones conjuntistas de los números naturales. Esta convenciónprevalece en dicha disciplina,3 y otras, como la teoría de la computación.4 Enparticular, el estándar DIN 5473 adopta esta definición.4 Sin embargo, en laactualidad ambos convenios conviven.5Para distinguir ambas definiciones a veces se introducen símbolos distintos. Porejemplo, incluyendo el cero en los naturales, a los números naturales sin el cero,o enteros positivos se les denota como: 6Número primoEste artículo trata sobre primos en los números enteros. Para la generalizacióna anillos, véase elemento primo y elemento irreducible.La distribución de los números primos (línea azul) hasta el 400En matemáticas, un número primo es un número natural mayor que 1 que tieneúnicamente dos divisores distintos: él mismo y el 1. Los números primos secontraponen asía los compuestos, que son aquellos que tienen algún divisornatural aparte de sí mismos y del 1. El número 1, por convenio, no se considera niprimo ni compuesto.Los números primos menores que cien son lossiguientes: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59,61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97.1La propiedad de ser primo se denomina primalidad. A veces se habla de númeroprimo impar para referirse a cualquier número primo mayor que 2, ya que éste esel único número primo par. A veces se denota el conjunto de todos los númerosprimos por .El estudio de los números primos es una parte importante de la teoría de números,la rama de las matemáticas que comprende el estudio de los números enteros.Los números primos están presentes en algunas conjeturas centenarias talescomo la hipótesis de Riemann y la conjetura de Goldbach. La distribución de losnúmeros primos es un tema recurrente de investigación en la teoría de números: sise consideran números individuales, los primos parecen estar distribuidos
  11. 11. aleatoriamente, pero la distribución «global» de los números primos sigue leyesbien definidas.Teorema fundamental de la aritméticaEl teorema fundamental de la aritmética establece que todo número natural tieneuna representación única como producto de factores primos, salvo el orden. Unmismo factor primo puede aparecer varias veces. El 1 se representa entoncescomo un producto vacío.Se puede considerar que los números primos son los «ladrillos» con los que seconstruye cualquier número natural. Por ejemplo, se puede escribir el número23.244 como producto de 22·3·13·149, y cualquier otra factorización del 23.244como producto de números primos será idéntica excepto por el orden de losfactores.La importancia de este teorema es una de las razones para excluir el 1 delconjunto de los números primos. Si se admitiera el 1 como número primo, elenunciado del teorema requeriría aclaraciones adicionales.A partir de esta unicidad en la factorización en factores primos se desarrollan otrosconceptos muy utilizados en matemáticas, tales como el mínimo común múltiplo,el máximo común divisor y la coprimalidad de dos o más números. Así, El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor de los múltiplos comunes de todos ellos. Para calcularlo, se descomponen los números en factores primos y se toman los factores comunes y no comunes con su máximo exponente. Por ejemplo, el mínimo común múltiplo de 10=2·5 y 12=22·3 es 60=22·3·5. El máximo común divisor de dos o más números es el mayor de los divisores comunes de todos ellos. Es igual al producto de los factores comunes con su mínimo exponente. En el ejemplo anterior, el máximo común divisor de 10 y 12 es 2. Finalmente, dos o más números son coprimos, o primos entre sí, si no tienen ningún factor primo común; es decir, si su máximo común divisor es 1. Un número primo es, así, coprimo con cualquier número natural que no sea múltiplo de él mismo.Otras propiedades En su representación decimal, todos los números primos salvo el 2 y el 5 acaban en 1, 3, 7 ó 9. En general, en cualquier sistema de numeración, todos los números primos salvo un número finito acaban en una cifra que es coprima con la base. De lo anterior se deduce que todos los números primos salvo el 2 son de la forma 4n + 1 o bien 4n - 1. Igualmente, todos los números primos salvo el 2 y el 3 son de la forma 6n + 1 o 6n - 1.
  12. 12.  Lema de Euclides: Si p es un número primo y divisor del producto de números enteros ab, entonces p es divisor de a o de b. Pequeño teorema de Fermat: Si p es primo y a es algún número natural diferente de 1, entonces ap - a es divisible por p. Si p es primo distinto de 2 y 5, siempre es un número periódico en su representación decimal, de periodo p − 1 o un divisor de p − 1. Esto se puede deducir directamente a partir del pequeño teorema de Fermat. expresado en base q (en lugar de en base 10) tiene propiedades similares, siempre que p no sea un factor primo de q. Teorema de Wilson: Un número natural n > 1 es primo si y solo si el factorial (n - 1)! + 1 es divisible por n. Asimismo, un número natural n > 4 es compuesto si y sólo si (n - 1)! es divisible porn. La característica de todo cuerpo es, o bien cero, o bien un número primo. Primer teorema de Sylow: Si G es un grupo finito, p primo y pn es la mayor potencia de p que divide el orden de G. Entonces, existe un subgrupo de G de orden pn. Teorema de Cauchy: Si G es un grupo finito y p es un número primo que divide al orden de G, entonces G contiene un elemento de orden p. La constante de Copeland-Erdős 0,235711131719232931374143…, obtenida por concatenación de los números primos en el sistema decimal, es un número irracional. El valor de la función zeta de Riemann en cada punto del plano complejo se da como una continuación meromorfa de una función definida por un producto sobre el conjunto de todos los primos para Re(s) > 1:En la región donde es convergente, este producto indexado por los númerosprimos se puede calcular, obteniéndose diversos valores, algunos de ellosimportantes en teoría de números. Los dos primeros son: (Correspondiente a la serie armónica, relacionado conla infinitud de números primos). (Correspondiente al problema de Basilea).En general es un número racional cuando n es un número enteropositivo par.
  13. 13.  El anillo es un cuerpo si y solo si p es primo. Equivalentemente: p es primo si y solo si υ(p) = p − 1. Si p > 1, el polinomio x p-1+x p-2+ ··· + 1 es irreducible sobre si y sólo si p es primo. Un número natural n es primo si y sólo si el n-ésimo polinomio de Chebyshov de la primera especie Tn(x), dividido entre x, es irreducible en . Además, Tn(x) ≡ n x si y sólo si n es primo. Números primos y funciones aritméticas Las funciones aritméticas, es decir, funciones reales o complejas, definidas sobre un conjunto de números naturales, desempeñan un papel crucial en la teoría de números. Las más importantes son las funciones multiplicativas, que son aquellas funciones f en las cuales, para cada par de números coprimos (a,b) se tiene . Algunos ejemplos de funciones multiplicativas son la función υ de Euler, que a cada n asocia el número de enteros positivos menores y coprimos con n, y las funciones τ y σ, que a cada nasocian respectivamente el número de divisores de n y la suma de todos ellos. El valor de estas funciones en las potencias de números primos es , , . Gracias a la propiedad que las define, las funciones aritméticas pueden calcularse fácilmente a partir del valor que toman en las potencias de números primos. De hecho, dado un número naturaln de factorización se tiene que con lo que se ha reconducido el problema de calcular f(n) al de calcular f sobre las potencias de los números primos que dividen n, valores que son generalmente más fáciles de obtener mediante una fórmula general. Por ejemplo, para conocer el valor de la función υ sobre n=450=2·32·52 basta con calcular . Características del conjunto de los números primos Infinitud de los números primos Véase también: Infinitud de los números primos.
  14. 14. Existen infinitos números primos. Euclides realizó laprimera demostración alrededor del año 300 a. C. en el libro IX de suobra Elementos16 Una adaptación común de esta demostración original sigue así:Se toma un conjunto arbitrario pero finito de números primos p1, p2, p3, ···, pn, y seconsidera el producto de todos ellos más uno, .Este número es obviamente mayor que 1 y distinto de todos los primos pi de lalista. El número q puede ser primo o compuesto. Si es primo tendremos unnúmero primo que no está en el conjunto original. Si, por el contrario, escompuesto, entonces existirá algún factor p que divida a q. Suponiendo que p esalguno de los pi, se deduce entonces que p divide a ladiferencia , pero ningún número primo divide a 1,es decir, se ha llegado a un absurdo por suponer que p está en el conjuntooriginal. La consecuencia es que el conjunto que se escogió no es exhaustivo, yaque existen números primos que no pertenecen a él, y esto es independiente delconjunto finito que se tome.Por tanto, el conjunto de los números primos es infinito.Si se toma como conjunto el de los n primeros números primos,entonces , donde pn# es lo que sellama primorial de pn. Un número primo de la forma pn# +1 se denomina númeroprimo de Euclides en honor al matemático griego. También se puede elaborar unademostración similar a la de Euclides tomando el producto de un número dado denúmeros primos menos uno, el lugar del producto de esos númerosprimos más uno. En ese sentido, se denomina número primo primorial a unnúmero primo de la forma pn# ± 1.No todos los números de la forma pn# +1 son primos. En este caso, como se siguede la demostración anterior, todos los factores primos deberán ser mayores que n.Por ejemplo: 2·3·5·7·11·13+1=30031=59·509Otros matemáticos han demostrado la infinitud de los números primos condiversos métodos procedentes de áreas de las matemáticas tales como al álgebraconmutativa y la topología.17Algunas de estas demostraciones se basan en el usode sucesiones infinitas con la propiedad de que cada uno de sus términos escoprimo con todos los demás, por lo que se crea unabiyección entre los términosde la sucesión y un subconjunto (infinito) del conjunto de los primos.Una sucesión que cumple dicha propiedad es la sucesión de Euclides-Mullin, quederiva de la demostración euclídea de la infinitud de los números primos, ya quecada uno de sus términos se define como el factor primo más pequeño de unomás el producto de todos los términos anteriores. La sucesión de Sylvester sedefine de forma similar, puesto que cada uno de sus términos es igual a uno másel producto de todos los anteriores. Aunque los términos de esta última sucesiónno son necesariamente todos primos, cada uno de ellos es coprimo con todos losdemás, por lo que se puede escoger cualquiera de sus factores primos, por
  15. 15. ejemplo, el menor de ellos, y el conjunto resultante será un conjunto infinito cuyostérminos son todos primos.Otros enunciados que implican la infinitud de los números primosUn resultado aún más fuerte, y que implica directamente la infinitud de losnúmeros primos, fue descubierto por Euler en el siglo XVIII. Establece quela serie esdivergente. Uno de los teoremas deMertens concreta más, estableciendo que 18donde la expresión O(1) indica que ese término está acotado entre -C y C para n mayor que n0, donde los valores de C y n0 no están especificados.19Otro resultado es el teorema de Dirichlet, que dice así: En toda progresión aritmética an = a + n·q, donde los enteros positivos a, q ≥ 1 son primos entre sí, existen infinitos términos que son primos.El postulado de Bertrand enuncia así: Si n es un número natural mayor que 3, entonces siempre existe un número primo p tal que n < p < 2n- 2.Una manera más débil pero elegante de formularlo es que, si n es un númeronatural mayor que 1, entonces siempre existe un número primo p tal que n < p <2n. Esto supone que, en unaprogresión geométrica de primer término enteromayor que 3 y razón igual a 2, entre cada término de la progresión y el siguiente,se tiene al menos un número primo.
  16. 16. Frecuencia de los números primosEsta ilustración muestra que el 11 es un número primo, pero el 12 no lo es.Una vez demostrado la infinitud de los números primos, cabe preguntarse cómo sedistribuyen los primos entre los números naturales, es decir, cuán frecuentes son ydónde se espera encontrar el n-ésimo número primo. Este estudio loiniciaron Gauss yLegendre de forma independiente a finales del siglo XVIII, para elcual introdujeron la función enumerativa de los números primosπ(n), yconjeturaron que su valor fuese aproximadamente .20 El empeño de demostrar esta conjetura abarcó todo el siglo XIX. Los primeros resultados fueron obtenidos entre 1848 y 1859 porChebyshov, quien demostró utilizando métodos puramente aritméticos la existencia de dos constantes A y B tales que para n suficientemente grande. Consiguió demostrar que, si existía el límite del cociente de aquellas expresiones, éste debía ser 1. Hadamard y De la Vallée-Poussin elaboraron una demostración en 1896, independientemente el uno del otro, usando métodos similares, basados en el uso de la función zeta de Riemann, que había sido introducida por BernhardRiemann en 1859. Hubo que esperar hasta 1949 para
  17. 17. encontrar una demostración que usara sólo métodos elementales (es decir, sin usar el análisis complejo). Esta demostración fue ideada por Selberg y Erdős. Actualmente, se conoce el teorema como teorema de los números primos. El mismo Gauss introdujo una estimación más precisa, utilizando la función logaritmo integral: . En 1899 De la Vallée-Poussin demostró que el error que se comete aproximando de esta forma es para una constante positiva a y para cada entero m. Este resultado fue ligeramente mejorado a lo largo de los años. Por otra parte, en 1901 Von Koch mostró que si la hipótesis de Riemann era cierta, se tenía la siguiente estimación, más precisa:21Una forma equivalente al teorema de los números primos es que p n, el n-ésimonúmero primo, queda bien aproximado por nln(n). En efecto, pn es estrictamentemayor que este valor.Diferencia entre dos primos consecutivosArtículo principal: Diferencia entre dos números primos consecutivos.Ligado a la distribución de los números primos se encuentra el estudio delos intervalos entre dos primos consecutivos. Este intervalo, con la única salvedaddel que hay entre el 2 y el 3, debe ser siempre igual o mayor que 2, ya que entredos números primos consecutivos al menos hay un número par y por tantocompuesto. Si dos números primos tienen por diferencia 2, se dice queson gemelos, y con la salvedad del "triplete" formado por los números 3, 5 y 7, losnúmeros gemelos se presentan siempre de dos en dos. Esto también es fácil dedemostrar: entre tres números impares consecutivos mayores que 3 siempre hayuno que es múltiplo de 3, y por tanto compuesto. Los primeros pares de númerosprimos gemelos son (3,5), (5,7), (11, 13), (17, 19) y (29, 31). Por otra parte, la diferencia entre primos consecutivos puede ser tan grande como se quiera: dado un número natural n, se denota por n! su factorial, es decir, el producto de todos los números naturales comprendidos entre 1 y n. Los números (n+1)!+2, (n+1)!+3,···,(n+1)!+n+1
  18. 18. son todos compuestos: si 2 ≤ i ≤ n+1, entonces (n+1)!+i es divisible entre i, portanto, es compuesto. La sucesión, que comprende n enteros consecutivos, nocontiene ningún número primo. Por ejemplo, si n=5, estos valores corresponden a:6!+2=722=2·3616!+3=723=3·241 6!+4=724=4·181 6!+5=725=5·145 6!+6=726=6·121El siguiente valor, 6!+7=727, es primo.22 De todas formas, el menor número primoque dista del siguiente en n es generalmente mucho menor que el factorial, porejemplo, el caso más pequeño de dos primos consecutivos separados de ochounidades es (89, 97), mientras que 8! es igual a 40.320.La sucesión de las diferencias entre primos consecutivos23 ha sido profusamenteestudiada en matemáticas, y alrededor de este concepto se han establecidomuchas conjeturas que permanecen sin resolver.FracciónPara otros usos de este término, véase Fracción (desambiguación).En matemáticas, una fracción, o número fraccionario, o quebrado (delvocablo latín frāctus, fractĭo -ōnis, roto, o quebrado)1 es la expresión de unacantidad dividida entre otra; es decir que representa un cociente no efectuado denúmeros. Por razones históricas también se les llama fracción común, fracciónvulgar o fracción decimal. El conjunto matemático que contiene a las fracciones esel conjunto de los números racionales, denotado .De manera más general, se puede extender el concepto de fracción a un cocientecualquiera de expresiones matemáticas (no necesariamente números).Numerador y denominadorLas fracciones se componen de: numerador, denominador y línea divisoria entreambos (barra horizontal u oblícua). En una fracción común eldenominador b representa la cantidad de partes en que se ha fraccionado launidad, y el numerador a es la cantidad de estas consideradas.
  19. 19. Representación gráfica y analíticaComo se ha quitado 1/4 del pastel, todavía le quedan 3/4.Suelen utilizarse círculos o rectángulos (los cuales representan la unidad)divididos en tantas partes como indique el denominador, y se colorean (u omiten)tantas de estas partes como indique el numerador. Notación y convenciones:  en una fracción común, el denominador se lee como número partitivo (ejemplos: 1/4 se lee «un cuarto», 3/5 se lee «tres quintos»);  una fracción negativa se escribe con el signo menos delante de la fracción (ejemplos: -1/4 o , pero no 3/-4);  una fracción genérica a/b representa el producto de a por el recíproco (multiplicativo) de b, de tal modo que ; si tanto a comob son números negativos , el producto es positivo, por lo que se escribe: a/b;  toda expresión matemática escrita en esta forma recibe el nombre de «fracción».La expresión genérica representa una división algebraica, por lo que el divisordebe ser distinto de cero (b ); el cociente de esta división admite un desarrollodecimal (un número decimal, en el sistema de numeración decimal tradicional) quepuede ser finito o infinito peródico (ver Número periódico).
  20. 20. Un número irracional no admite una escritura en forma de número fraccionario, suexpansión decimal será infinita no-periódica.Una fracción común representa un número racional, por lo que las fraccionescomunes heredan todas las propiedades matemáticas de los racionales. Ejemplos ; 3/4 ; 3/4 ; (¾) ; fracción tres cuartos: numerador 3 y denominador 4, representa al número decimal 0.75, en porcentaje: 75%; ; fracción: numerador x² y denominador (x+3)(x-3), el valor decimal dependerá del valor de la variable x. Clasificación de fracciones 1/2 un medio  Según la relación entre el numerador y el denominador: 1/3 un tercio  Número mixto: suma abreviada de un entero y una fracción propia: ¼ 1/4 un cuarto , ½,  Fracción propia: fracción en que el 1/5 un quinto denominador es mayor que el numerador: 1/6 un sexto  Fracción impropia: fracción en 1/7 un séptimo donde el numerador es mayor que el 1/8 un octavo denominador: 1/9 un noveno  Fracción reducible: fracción en la que el numerador y el denominador 1/10 un décimo no son primos entre sí y puede ser simplificada: 1/11 un onceavo  Fracción irreducible: fracción en la 1/12 un doceavo que el numerador y el denominador son primos entre sí, y por tanto no puede ser simplificada:
  21. 21.  Fracción inversa: fracción obtenida a partir de otra dada, en la que se han invertido el numerador y el denominador: y ; y ;  Fracción aparente o entera: fracción que representa cualquier número perteneciente al conjunto de los enteros: ;  Fracción compuesta: fracción cuyo numerador o denominador (o los dos) contiene a su vez fracciones. Según la escritura del denominador:  Fracción equivalente: la que tiene el mismo valor que otra dada:  Fracción homogénea: fracciones que tienen el mismo denominador: y ; y  Fracción heterogénea: fracciones que tienen diferentes denominadores: y ; y ;  Fracción decimal: el denominador es una potencia de diez: 1/10, 2/100... En general: , con a un entero positivo y n un natural.  Fracción continua: es una expresión del tipo: . Según la escritura del numerador:  Fracción unitaria: es una fracción común de numerador 1.  Fracción egipcia: sistema de representación de las fracciones en el Antiguo Egipto en el que cada fracción se expresa como suma de fracciones unitarias.  Fracción gradual2 : Otras clasificaciones:  Fracción como porcentaje: Un porcentaje es una forma de expresar un número como una fracción de 100, utilizando el signo porcentaje %.
  22. 22.  Fracción como razón: véase proporcionalidad y regla de tres para la la relación que mantienen un par de números que pueden provenir de una comparación.  Fracción parcial: véase método de las fracciones parciales para reducir un cociente de polinomios. Nota: Una fracción irracional es una término autocontradictorio (dado que todas las fracciones deben poder ser expresadas como fracciones vulgares). Un número irracional es, por definición, noracional, es decir, no puede ser expresado como una fracción vulgar.Número positivoUn número real n es positivo si no es 0 ni un número negativo. El número 0 seconsidera un número neutro.No obstante, a veces se incluye al mismo número 0 como número positivo. En talcaso, se dice que los números mayores que 0 son estrictamente positivos.Para distinguir un número positivo de uno negativo, se suele utilizar el signo +como prefijo de éste, en comparación al signo - que se utiliza para los negativos.Así, +3 es positivo, y -3 es negativo. Rara vez veremos +0, pero jamás -0, dadoque en ninguna definición el 0 se considerará negativo.Número negativoSi la temperatura a la que el agua se congela es 0 °C, las temperaturas más bajasse representan con números negativos y las más altas con positivos.Un número negativo es cualquier número cuyo valor es menor que cero y, portanto, que los demás números positivos, como 7, 49/22 ó π. Se utilizan pararepresentar pérdidas, deudas, disminuciones o decrecimientos, entre otras cosas.
  23. 23. Se representan igual que los positivos, pero añadiendo un signo menos «−»delante de ellos: −4, −2,5, −√8, etc. (estos números se leen: "menos cuatro","menos dos coma cinco", etc.) A veces, se añade un signo más «+» a los númerospositivos para distinguirlos mejor: +3, +9/12, +4√22, etc. (más tres, más 9doceavos, etc.)Uno de los usos de los números negativos es representar pérdidas: si una personaen un año gana 20 000 pesos pero gasta 25 000, al final del año ha perdido 25000 − 20 000 = $ 5000; pero también puede decirse que sus ahorros hanaumentado 20 000−25 000 = − $ 5000.También se utilizan para representar temperaturas y otras magnitudes por debajodel cero. Cuando la temperatura es de 0 °C (cero grados Celsius)elagua se congela. Si el ambiente se calienta, la temperatura crece, pero si seenfría aún más, desciende por debajo de cero: por ejemplo, el mercurio,un metal líquido, se congela a 39 grados bajo cero, o sea a −39 °C(aproximadamente).Número irracionalEn matemáticas, un número irracional es un número que no puede serexpresado como una fracción , donde y son enteros, con diferente decero y donde esta fracción esirreducible. Es cualquier número real que noes racional.ClasificaciónTras distinguir los números componentes de la recta real en tres categorías:(naturales, enteros y racionales), podría parecer que ha terminado la clasificaciónde los números, pero aun quedan "huecos" por rellenar en la recta de los númerosreales. Los números irracionales son los elementos de dicha recta que cubren losvacíos que dejan los números racionales.Los números irracionales son los elementos de la recta real que no puedenexpresarse mediante el cociente de dos enteros y se caracterizan por poseerinfinitas cifras decimales no periódicas. De este modo, puede definirse al númeroirracional como un decimal infinito no periódico. En general, toda expresión ennúmeros decimales es solo una aproximación en números racionales al númeroirracional referido, por ejemplo, el número racional 1,4142135 es solo unaaproximación a 7 cifras decimales del número irracional raíz cuadrada de 2, el cualposee infinitas cifras decimales no periódicas.
  24. 24. Entonces, decimos con toda propiedad que el número raíz cuadrada de doses aproximadamente igual a 1,4142135 en 7 decimales, o bien es igual a1,4142135… donde los tres puntos hacen referencia a los infinitos decimales quehacen falta y que jamás terminaríamos de escribir.Debido a ello, los números irracionales más conocidos son identificados mediantesímbolos especiales; los tres principales son los siguientes: 1. (Número "pi" 3,14159 ...): razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. 2. e (Número "e" 2,7182 ...): 3. (Número "áureo" 1,6180 ...):Los números irracionales se clasifican en dos tipos:1.- Número algebraico: Son la solución de alguna ecuación algebraica y serepresentan por un número finito de radicales libres o anidados; si "x" representaese número, al eliminar radicales del segundo miembro mediante operacionesinversas, queda una ecuación algebraica de cierto grado. Todas las raíces noexactas de cualquier orden son irracionales algebraicos. Por ejemplo, elnúmeroáureo es una de las raíces de la ecuación algebraica , por lo quees un número irracional algebraico.2.- Número trascendente: No pueden representarse mediante un número finito deraíces libres o anidadas; provienen de las llamadas funciones trascendentes(trigonométricas, logarítmicas y exponenciales, etc.) También surgen al escribirnúmeros decimales no periódicos al azar o con un patrón que no lleva periododefinido, respectivamente, como los dos siguientes: ... ...Los llamados números trascendentes tienen especial relevancia ya que nopueden ser solución de ninguna ecuación algebraica. Los números pi y e sonirracionales trascendentes, puesto que no pueden expresarse mediante radicales.Los números irracionales no son numerables, es decir, no pueden ponerseen biyección con el conjunto de los números naturales. Por extensión, los númerosreales tampoco son contables ya que incluyen el conjunto de los irracionales.

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