• Like
  • Save

Loading…

Flash Player 9 (or above) is needed to view presentations.
We have detected that you do not have it on your computer. To install it, go here.

Predavanje4 - Predikatska logika DMA

  • 93 views
Published

DISKRETNA MATEMATIKA PREDAVANJE 4 -vEZANE I SLOBODNE PROMENLJIVE,KVANTIFIKATORI I NEGACIJA KVANTIFIKATORA

DISKRETNA MATEMATIKA PREDAVANJE 4 -vEZANE I SLOBODNE PROMENLJIVE,KVANTIFIKATORI I NEGACIJA KVANTIFIKATORA

Published in Education
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Be the first to comment
    Be the first to like this
No Downloads

Views

Total Views
93
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0

Actions

Shares
Downloads
0
Comments
0
Likes
0

Embeds 0

No embeds

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
    No notes for slide

Transcript

  • 1. PredikatiPredikatiPredikatiNa prethodnim predavanjima izv rˇsili smo logiˇcku analizu sloˇzenih iskaza,onih koji se sastoje od jednostavnijih iskaza koji su povezani logiˇckimveznicima.Takva analiza pojaˇsnjava mnoge aspekte ljudskog zakljuˇcivanja, ali ipaknije dovoljna za razmatranje mnogo sloˇzenijih tvrd¯enja koja se javljajuu matematici.Na primer, iskaznim formulama se ne mogu izraziti tvrd¯enja poput”Postoji element skupa X koji nije element skupa Y ”,”x + y > 0”,”x = y + 3”, i sliˇcno.Logiˇckom i simboliˇckom analizom takvih tvrd¯enja bavi se predikatskalogika, kojom ´cemo se mi baviti u nastavku.Diskretne strukture – 2 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 2 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 2 – Predikatska logika - I deo
  • 2. PredikatiPredikatiPredikatiU matematici se ˇcesto radi sa reˇcenicama koje u sebe ukljuˇcuju promen-ljive, poput slede´cih”x > 3”, ”x = y + 3”, ”x + y = z”.Prvo ˇsto kod ovakvih reˇcenica moˇzemo primetiti je to da ne moˇzemogovoriti o njihovoj istinitosti ili neistinitosti sve dok promenljivim x, yi z ne dodelimo neke konkretne vrednosti.Na primer, ako u ”x > 3” promenljivoj x dodelimo vrednost 5, ondadobijamo taˇcan iskaz, ali ako joj dodelimo vrednost 1, dobijamo netaˇcaniskaz, ali bilo koju konkretnu vrednost da dodelimo promenljivoj x, uvekdobijamo iskaz.Drugo, moˇzemo primetiti da reˇcenica ”x je ve´ce od 3” ima dva dela.Prvi deo je promenljiva x, koja ovde ima ulogu subjekta.Diskretne strukture – 3 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 3 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 3 – Predikatska logika - I deo
  • 3. PredikatiPredikatiPredikatiDrugi deo ove reˇcenice, ”je ve´ce od 3” je predikat koji ukazuje nasvojstvo koje subjekat moˇze imati.Reˇcenicu ”x je ve´ce od 3” moˇzemo oznaˇciti sa P (x), gde P oznaˇcavapredikat, a x je promenljiva.Pri ovakvom naˇcinu oznaˇcavanja, kada promenljivoj x dodelimo nekukonkretnu vrednost a, onda P (x) postaje iskaz P (a) koji ima svojuistinitosnu vrednost.Na primer, P (5) je taˇcan iskaz, a P (1) je netaˇcan iskaz.Reˇcenicu ”x = y+3”, u kojoj se javljaju dve promenljive x i y moˇzemooznaˇciti sa Q(x, y), gde je Q predikat, a ”x+y = z”, sa tri promenljivex, y i z, oznaˇcavamo sa R(x, y, z), gde je R predikat.Diskretne strukture – 4 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 4 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 4 – Predikatska logika - I deo
  • 4. PredikatiPredikatiPredikatiU prethodnim sluˇcajevima, za predikat P , koji deluje na jednu promen-ljivu, govori´cemo da je unarni predikat.Za predikat Q, koji deluje na dve promenljive, govori´cemo da je binarnipredikat, a za predikat R, koji deluje na tri promenljive, govori´cemo daje ternarni predikat.U opˇstem sluˇcaju, za P predikat koji deluje na n promenljivih x1, x2,. . . , xn, gde je n prirodan broj, piˇsemoP (x1, x2, . . . , xn)i kaˇzemo da je P n-arni predikat.Izraz P (x1, x2, . . . , xn) nazivamo iskaznom funkcijom, jer dodeljiva-njem konkretnih vrednosti promenljivim dobijamo taˇcan ili netaˇcaniskaz.Diskretne strukture – 5 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 5 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 5 – Predikatska logika - I deo
  • 5. PredikatiPredikatiPredikatiPrimer 1: Neka je Q(x, y) oznaka za ”x = y + 3”.Tada je Q(1, 2) oznaka za ”1 = 2 + 3”, ˇsto je oˇcigledno netaˇcan iskaz.Sa druge strane, Q(3, 0) je oznaka za ”3 = 0 + 3”, ˇsto je taˇcan iskaz.Primer 2: Neka je R(x, y, z) oznaka za ”x + y = z”.Tada je R(1, 2, 3) oznaka za ”1 + 2 = 3”, ˇsto je taˇcan iskaz.Sa druge strane, R(0, 0, 1) je oznaka za ”0 + 0 = 1”, ˇsto je netaˇcaniskaz.Diskretne strukture – 6 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 6 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 6 – Predikatska logika - I deo
  • 6. KvantifikatoriKvantifikatoriKvantifikatoriKao ˇsto smo videli u prethodnim razmatranjima, kada se promenljivimu iskaznoj funkciji dodele konkretne vrednosti, onda ta iskazna funkcijapostaje iskaz sa izvesnom istinitosnom vrednoˇs´cu.Med¯utim, postoji i drugi vaˇzan naˇcin da se od iskazne funkcije naˇciniiskaz, koji se naziva kvantifikovanje.Ovde ´cemo razmatrati dva tipa kvantifikovanja – univerzalno kvan-tifikovanje i egzistencijalno kvantifikovanje.Veliki broj matematiˇckih tvrd¯enja tvrdi da neˇsto vaˇzi za sve vrednostikoja promenljiva moˇze da uzme u nekom datom skupu.Taj skup u kome promenljiva uzima svoje vrednosti naziva se univerzumrazmatranja ili domen.Drugim reˇcima, univerzum razmatranja specifikuje sve mogu´ce vred-nosti koje promenljiva x moˇze da uzme.Diskretne strukture – 7 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 7 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 7 – Predikatska logika - I deo
  • 7. Univerzalni kvantifikatorUniverzalni kvantifikatorUniverzalni kvantifikatorUniverzalna kvantifikacija iskazne funkcije P (x) je iskaz”P (x) je taˇcno za sve vrednosti promenljive x u datom univerzumurazmatranja.”Ovaj iskaz simboliˇcki zapisujemo kao(∀x) P (x) ili ∀x P (x)pri ˇcemu kaˇzemo slede´ce:t (∀x)P (x) je univerzalni kvantifikator;t P (x) je oblast dejstva ovog kvantifikatora;t promenljiva x je vezana ovim kvantifikatorom;t simbol ∀ ˇcitamo ”za svaki”, ”za svaku”, ”za svako” ili ”za sve”,odnosno, (∀x) P (x) ˇcitamo ”za svako x P (x)” ili ”za sve x P (x)”.Diskretne strukture – 8 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 8 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 8 – Predikatska logika - I deo
  • 8. Univerzalni kvantifikatorUniverzalni kvantifikatorUniverzalni kvantifikatorKvantifikator i vezana promenljiva koja sledi treba da se tretiraju kaocelina, i ta celina deluje poput unarnog veznika.Tvrd¯enja koja sadrˇze reˇci ”svaki”, ”svako”, ”svi”, ”bilo koji”, ”ma koji”i sliˇcno, obiˇcno ukazuju na univerzalnu kvantifikaciju.Takva tvrd¯enja se mogu preformulisati tako da poˇcnu sa ”za svaki x”,ˇsto se potom prevodi u ∀x.Diskretne strukture – 9 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 9 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 9 – Predikatska logika - I deo
  • 9. Univerzalni kvantifikatorUniverzalni kvantifikatorUniverzalni kvantifikatorPrimer 3: Neka je P (x) oznaka za ”x + 1 > x”. Koja je istinitosnavrednost iskaza (∀x) P (x), ako za univerzum razmatranjauzmemo skup svih realnih brojeva.Reˇsenje: Imamo da je P (x) taˇcno za svaku vrednost koju promenljivax uzme u skupu realnih brojeva, ˇsto znaˇci da je (∀x) P (x) taˇcan iskaz.Primer 4: Neka je Q(x) oznaka za ”x < 2”. Koja je istinitosnavrednost iskaza (∀x) Q(x), ako je univerzum razmatranjaskup svih realnih brojeva.Reˇsenje: Imamo da je Q(x) nije taˇcno za svaku vrednost koju promen-ljiva x uzme u skupu realnih brojeva, jer, na primer, nije taˇcno Q(3),a to znaˇci da je (∀x) Q(x) netaˇcan iskaz.Diskretne strukture – 10 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 10 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 10 – Predikatska logika - I deo
  • 10. Univerzalni kvantifikatorUniverzalni kvantifikatorUniverzalni kvantifikatorNapomena 1: Ako je univerzum razmatranja konaˇcan skup, i svinjegovi elementi su a1, a2, . . . , an, tada je univerzalnikvantifikator (∀x) P (x) isto ˇsto i konjunkcijaP (a1) ∧ P (a2) ∧ · · · ∧ P (an).Naime, (∀x) P (x) taˇcan iskaz ako i samo ako su taˇcni svi iskazi P (a1),P (a2), . . . , P (an).Prema tome, univerzalnu kvantifikaciju moˇzemo shvatiti kao neku vrstuuopˇstenja konjunkcije, i vide´cemo da ima mnoga ista ili sliˇcna svojstvakoja ima i konjunkcija.Diskretne strukture – 11 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 11 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 11 – Predikatska logika - I deo
  • 11. Univerzalni kvantifikatorUniverzalni kvantifikatorUniverzalni kvantifikatorNapomena 2: Precizno odred¯ivanje univerzuma razmatranja je vrlovaˇzno kada se koriste kvantifikatori.Naime, istinitosna vrednost kvantifikovanog iskaza jako zavisi od togakoji univerzum razmatranja je izabran. Na primer, istinitosna vrednostizkaza (∀x) (x2x) zavisi od toga da li smo za univerzum razmatranjaizabrali skup realnih brojeva ili skup prirodnih brojeva.Primetimo da je x2x ako i samo ako je x2− x 0, odnosnox(x − 1) 0. Prema tome, x2x ako i samo ako je x 0 ili x 1.Dakle, iskaz (∀x) (x2x) je netaˇcan ako je univerzum razmatranjaskup realnih brojeva, jer x2x nije taˇcno za sve realne brojeve, jernije taˇcno za realne brojeve x za koje vaˇzi 0 < x < 1.Med¯utim, x2x je taˇcno za sve prirodne brojeve, i (∀x) (x2x) jetaˇcan iskaz ako je univerzum razmatranja skup prirodnih brojeva.Diskretne strukture – 12 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 12 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 12 – Predikatska logika - I deo
  • 12. Univerzalni kvantifikatorUniverzalni kvantifikatorUniverzalni kvantifikatorNapomena 3: Da bi se za iskaz oblika (∀x) P (x) dokazalo da jenetaˇcan, dovoljno je na´ci bar jednu vrednost promen-ljive x u datom univerzumu razmatranja za koju je P (x) netaˇcno.Takva vrednost promenljive x naziva se kontraprimer iskaza (∀x) P (x).Na primer, kada smo napred pokazali da iskaz (∀x) (x2x) nije taˇcanako je univerzum razmatranja skup realnih brojeva, kontraprimer je biosvaki realan broj x za koji vaˇzi 0 < x < 1.Diskretne strukture – 13 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 13 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 13 – Predikatska logika - I deo
  • 13. Egzistencijalni kvantifikatorEgzistencijalni kvantifikatorEgzistencijalni kvantifikatorMnogi iskazi u matematici tvrde da postoji element nekog skupa sa izves-nim svojstvom, i njih izraˇzavamo uz pomo´c egzistencijalne kvantifikacije.Egzistencijalna kvantifikacija iskazne funkcije P (x) je iskaz”postoji vrednost promenljive x u datom univerzumu razmatranjaza koju je P (x) taˇcno.”Ovaj iskaz simboliˇcki zapisujemo kao(∃x) P (x) ili ∃x P (x)pri ˇcemu kaˇzemo slede´ce:t (∃x)P (x) je egzistencijalni kvantifikator;t P (x) je oblast dejstva ovog kvantifikatora;t promenljiva x je vezana ovim kvantifikatorom;t simbol ∃ ˇcitamo ”postoji”, odnosno (∃x) P (x) ˇcitamo ”postoji xtako da vaˇzi A” ili ”postoji x tako da A”.Diskretne strukture – 14 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 14 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 14 – Predikatska logika - I deo
  • 14. Egzistencijalni kvantifikatorEgzistencijalni kvantifikatorEgzistencijalni kvantifikatorTvrd¯enja koja sadrˇze reˇci ”neki”, ”za neki”, ”bar jedan” i sliˇcno, obiˇcnoukazuju na egzistencijalnu kvantifikaciju.Takva tvrd¯enja se mogu preformulisati tako da poˇcnu sa ”postoji xtako da”, ˇsto se potom prevodi u ∃x.Na primer, neka je P (x) predikat ”voleti sirovo meso”.Tada je (∃x)P (x) oznaka za”Postoje ljudi koji vole sirovo meso”ili”Neki ljudi vole sirovo meso”.Diskretne strukture – 15 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 15 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 15 – Predikatska logika - I deo
  • 15. Egzistencijalni kvantifikatorEgzistencijalni kvantifikatorEgzistencijalni kvantifikatorPrimer 5: Neka je P (x) oznaka za ”x > 3”. Koja je istinitosnavrednost iskaza (∃x) P (x), ako za univerzum razmatranjauzmemo skup svih realnih brojeva.Reˇsenje: Na primer, imamo da je P (x) taˇcno za vrednost x = 4, idakle, (∃x) P (x) je taˇcan iskaz.Primer 6: Neka je Q(x) oznaka za ”x = x + 1”. Koja je istinitosnavrednost iskaza (∃x) Q(x), ako je univerzum razmatranjaskup svih realnih brojeva.Reˇsenje: Kako je Q(x) netaˇcno za svaku vrednost koju promenljiva xuzme u skupu realnih brojeva, to je iskaz (∃x) Q(x) netaˇcan.Diskretne strukture – 16 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 16 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 16 – Predikatska logika - I deo
  • 16. Egzistencijalni kvantifikatorEgzistencijalni kvantifikatorEgzistencijalni kvantifikatorNapomena 4: Ako je univerzum razmatranja konaˇcan skup, i svinjegovi elementi su a1, a2, . . . , an, tada je egzisten-cijalni kvantifikator (∀x) P (x) isto ˇsto i disjunkcijaP (a1) ∨ P (a2) ∨ · · · ∨ P (an).Naime, (∃x) P (x) taˇcan iskaz ako i samo ako je taˇcan bar jedan odiskaza P (a1), P (a2), . . . , P (an).Prema tome, egzistencijalnu kvantifikaciju moˇzemo shvatiti kao nekuvrstu uopˇstenja disjunkcije, i vide´cemo da ima mnoga ista ili sliˇcnasvojstva koja ima i disjunkcija.Diskretne strukture – 17 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 17 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 17 – Predikatska logika - I deo
  • 17. Napomene o kvantifikatorimaNapomene o kvantifikatorimaNapomene o kvantifikatorimaNarednom tabelom dajemo kratku rekapitulaciju znaˇcenja univerzalnogi egzistencijalnog kvantifikatora:TABELA 1 KvantifikatoriIskaz Kada je taˇcan? Kada je netaˇcan?(∀x) P (x) P (x) je taˇcno za svako x Postoji x za koje je P (x) netaˇcno(∃x) P (x) Postoji x za koje je P (x) taˇcno P (x) je netaˇcno za svako xDiskretne strukture – 18 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 18 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 18 – Predikatska logika - I deo
  • 18. Napomene o kvantifikatorimaNapomene o kvantifikatorimaNapomene o kvantifikatorimaPonekad je korisno razmiˇsljati o kvantifikovanju kao o petljama kojekoristimo u programiranju.Neka se univerzum razmatranja sastoji od n objekata a1, a2, . . . , an.Da bi odredili istinitosnu vrednost iskaza (∀x) P (x), moˇzemo formiratipetlju kojom, jednu po jednu, utvrd¯ujemo istinitosne vrednosti iskazaP (a1), P (a2), . . . , P (an).Ukoliko utvrdimo da je neki od tih iskaza netaˇcan, zavrˇsavamo postupaki utvrd¯ujemo da je iskaz (∀x) P (x) netaˇcan.U suprotnom, ako smo proˇsli kroz celu petlju i time ustanovili da susvi iskazi P (a1), P (a2), . . . , P (an) taˇcni, onda utvrd¯ujemo da je iskaz(∀x) P (x) taˇcan.Diskretne strukture – 19 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 19 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 19 – Predikatska logika - I deo
  • 19. Napomene o kvantifikatorimaNapomene o kvantifikatorimaNapomene o kvantifikatorimaSliˇcno, da bi odredili istinitosnu vrednost iskaza (∃x) P (x), moˇzemoformirati petlju kojom, jednu po jednu, utvrd¯ujemo istinitosne vrednostiiskaza P (a1), P (a2), . . . , P (an).Ukoliko utvrdimo da je neki od tih iskaza taˇcan, zavrˇsavamo postupaki utvrd¯ujemo da je iskaz (∃x) P (x) taˇcan.U suprotnom, ako smo proˇsli kroz celu petlju i time ustanovili da su sviiskazi P (a1), P (a2), . . . , P (an) netaˇcni, onda utvrd¯ujemo da je iskaz(∃x) P (x) netaˇcan.Diskretne strukture – 20 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 20 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 20 – Predikatska logika - I deo
  • 20. Vezane i slobodne promenljiveVezane i slobodne promenljiveVezane i slobodne promenljivePotsetimo se da se u (∀x) P (x), odnosno (∃x) P (x), iskazna funkcijaP (x) naziva oblast dejstva kvantifikatora ∀x, odnosno ∃x.t Za pojavljivanje promenljive x u samom zapisu kvantifikatora ∀x ili∃x, ili u oblasti dejstva jednog od tih kvantifikatora, kaˇzemo da jevezano pojavljivanje, a za promenljivu x da je vezana.Na primer, u izrazu (∀x)(P (x) ⇒ Q(x)) promenljiva x se javlja triputa, i sva tri pojavljivanja su vezana.t Pojavljivanje promenljive koji nije vezano naziva se slobodno pojav-ljivanje, a promenljiva se naziva slobodnom.Kasnije ´cemo videti da ista promenljiva u jednoj formuli moˇze imati ivezana i slobodna pojavljivanja.U takvim sluˇcajevima je neophodno jasno ista´ci poziciju na kojoj sejavlja promenljiva o kojoj govorimo.Diskretne strukture – 21 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 21 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 21 – Predikatska logika - I deo
  • 21. Vezane i slobodne promenljiveVezane i slobodne promenljiveVezane i slobodne promenljivePrimer 7: Odrediti vezane i slobodne promenljive u(∀z)(P (z) ∧ Q(x)) ∨ (∃y)Q(y).Jedino pojavljivanje promenljive x je slobodno, jer na x ne deluje nije-dan kvantifikator. Sva pojavljivanja promenljivih z i y su vezana.Primer 8: Odrediti vezane i slobodne promenljive u(∃x)(P (x) ∧ Q(x)) ∨ (∀x)R(x).Ovde su sva pojavljivanja promenljive x vezana. Oblast dejstva kvantifi-katora ∃x je P (x) ∧ Q(x), jer ∃x deluje samo na taj izraz.Primetimo i da se u suˇstini niˇsta ne menja ako gornji iskaz zapiˇsemo sadve razliˇcite promenljive x i y, tj. kao (∃x)(P (x)∧Q(x))∨(∀y)R(y).Diskretne strukture – 22 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 22 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 22 – Predikatska logika - I deo
  • 22. Vezane i slobodne promenljiveVezane i slobodne promenljiveVezane i slobodne promenljiveNapomena 5: Da bi se kvantifikovanjem iskazna funkcija pretvorila uiskaz, tim kvantifikovanjem moraju biti vezane svepromenljive koje se javljaju u toj iskaznoj funkciji.Na primer,(∀z)(P (z) ∧ Q(x)) ∨ (∃y)Q(y).nije iskaz, jer je promenljiva x slobodna, i istinitost tog izraza zavisi odtoga koju ´ce vrednost ta promenljiva uzeti u univerzumu razmatranja.Sa druge strane, sve promenljive u(∃x)(P (x) ∧ Q(x)) ∨ (∀y)R(y)su vezane, i taj izraz predstavlja iskaz.Diskretne strukture – 23 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 23 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 23 – Predikatska logika - I deo
  • 23. Negacija kvantifikatoraNegacija kvantifikatoraNegacija kvantifikatoraˇCesto se javlja potreba da razmatramo negaciju kvantifikovanog izraza.Na primer, razmotrimo tvrd¯enje”Svaki student u grupi pohad¯a kurs iz matematike”.Ako je univerzum razmatranja skup svih studenata iz date grupe, ovotvrd¯enje se moˇze prevesti sa (∀x)P (x), gde P (x) znaˇci ”x pohad¯akurs iz matematike”.Negacija ovog tvrd¯enja je ”Nije taˇcno da svaki student u grupi pohad¯akurs iz matematike”, ˇsto je ekvivalentno sa”Postoji student u grupi koji ne pohad¯a kurs iz matematike”a to se moˇze izraziti sa (∃x)¬P (x).Ovaj primer ilustruje slede´cu logiˇcku ekvivalenciju¬(∀x) P (x) ≡ (∃x) ¬P (x)Diskretne strukture – 24 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 24 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 24 – Predikatska logika - I deo
  • 24. Negacija kvantifikatoraNegacija kvantifikatoraNegacija kvantifikatoraSa druge strane, razmotrimo tvrd¯enje”Postoji student u grupi koji pohad¯a kurs iz matematike”.Ako je univerzum razmatranja skup svih studenata iz te grupe, ovo semoˇze prevesti sa (∃x)P (x), gde je P (x) tvrd¯enje ”x pohad¯a kurs izmatematike”.Negacija ovog tvrd¯enja je ”Nije taˇcno da postoji student u grupi kojipohad¯a kurs iz matematike”, ˇsto je ekvivalentno sa”Svaki student u grupi ne pohad¯a kurs iz matematike”a to se moˇze izraziti sa (∀x)¬P (x)Ovaj primer ilustruje logiˇcku ekvivalenciju¬(∃x) P (x) ≡ (∀x) ¬P (x)Diskretne strukture – 25 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 25 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 25 – Predikatska logika - I deo
  • 25. Negacija kvantifikatoraNegacija kvantifikatoraNegacija kvantifikatoraZapaˇzanja vezana za negaciju kvantifikatora mogu se prikazati slede´comtabelom:TABELA 1 Negacija kvantifikatoraNegacija EkvivalentanizrazKada je negacijataˇcna?Kada je negacijanetaˇcna?¬(∃x)P (x) (∀x)¬P (x) P (x) je netaˇcno zasvako xPostoji x za koje jeP (x) taˇcno¬(∀x)P (x) (∃x)¬P (x) Postoji x za koje jeP (x) netaˇcnoP (x) je taˇcno zasvako xDiskretne strukture – 26 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 26 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 26 – Predikatska logika - I deo
  • 26. Negacija kvantifikatoraNegacija kvantifikatoraNegacija kvantifikatoraNapomena 6: Neka se univerzum razmatranja sastoji od n objekataa1, a2, . . . , an.Na osnovu Napomena 1 i 4 i DeMorganovih zakona za konjunkciju idisjunkciju imamo da je¬(∀x) P (x) ≡ ¬(P (a1) ∧ P (a2) ∧ · · · ∧ P (an))≡ ¬P (a1) ∨ ¬P (a2) ∨ · · · ∨ ¬P (an))≡ (∃x) ¬P (x)¬(∃x) P (x) ≡ ¬(P (a1) ∨ P (a2) ∨ · · · ∨ P (an))≡ ¬P (a1) ∧ ¬P (a2) ∧ · · · ∧ ¬P (an))≡ (∀x) ¬P (x)Diskretne strukture – 27 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 27 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 27 – Predikatska logika - I deo
  • 27. Negacija kvantifikatoraNegacija kvantifikatoraNegacija kvantifikatoraOdavde se vidi da logiˇcke ekvivalencije¬(∀x) P (x) ≡ (∃x) ¬P (x)¬(∃x) P (x) ≡ (∀x) ¬P (x)predstavljaju uopˇstenje DeMorganovih zakona za konjunkciju i disjunk-ciju, pa ih nazivamo DeMorganovi zakoni za kvantifikatore.Diskretne strukture – 28 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 28 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 28 – Predikatska logika - I deo
  • 28. Negacija kvantifikatoraNegacija kvantifikatoraNegacija kvantifikatoraPrimer 9: Odrediti negaciju iskaza(a) ”Postoji poˇsten politiˇcar”;(b) ”Svi Amerikanci jedu ˇcizburgere”.Reˇsenje: (a) Ako je P (x) oznaka za ”x je poˇsten”, tada gornje tvrdje-nje postaje (∃x) P (x).Kao ˇsto smo videli, negacija ovog iskaza je (∀x) ¬P (x), odnosno”Svaki politiˇcar je nepoˇsten”.Napomenimo da se u obiˇcnom govoru ponekad kaˇze ”Svi politiˇcari nisupoˇsteni”, ˇsto nije sasvim precizno, jer ˇcesto znaˇci i ”Nisu svi politiˇcaripoˇsteni”, a to, jasno, ima drugaˇcije znaˇcenje od gornjeg iskaza.Ovo je joˇs jedan primer koji pokazuje da se veoma mnogo mora voditiraˇcuna o preciznoj formulaciji iskaza.Diskretne strukture – 29 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 29 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 29 – Predikatska logika - I deo
  • 29. Negacija kvantifikatoraNegacija kvantifikatoraNegacija kvantifikatora(b) Ako je Q(x) oznaka za ”x jede ˇcizburgere”, tada gornje tvrdjenjepostaje (∀x) Q(x), a negacija toga je (∃x) ¬Q(x), ˇsto se moˇze iskazatisa”Postoji Amerikanac koji ne jede ˇcizburgere”,ili sa”Neki Amerikanci ne jedu ˇcizburgere”.Diskretne strukture – 30 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 30 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 30 – Predikatska logika - I deo
  • 30. Negacija kvantifikatoraNegacija kvantifikatoraNegacija kvantifikatoraPrimer 10: Odrediti negaciju iskaza(a) (∀x) (x2> x);(b) (∃x) (x2= 2).Reˇsenje: (a) Negacija od (∀x) (x2> x) je iskaz ¬(∀x) (x2> x), kojije ekvivalentan sa (∃x) ¬(x2> x), a ovaj iskaz se moˇze zapisati uobliku (∃x) (x2x).(b) Negacija od (∃x) (x2= 2) je iskaz ¬(∃x) (x2= 2), koji je ekviva-lentan sa (∀x) ¬(x2= 2), ˇsto se moˇze zapisati u obliku (∀x) (x2= 2).Istinitosna vrednost svih ovih iskaza zavisi od univerzuma razmatranjasa kojim ´cemo raditi.Diskretne strukture – 31 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 31 – Predikatska logika - I deoDiskretne strukture – 31 – Predikatska logika - I deo