Your SlideShare is downloading. ×
Predavanje3 DMA ISKAZNA LOGIKA3 DEO
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×

Introducing the official SlideShare app

Stunning, full-screen experience for iPhone and Android

Text the download link to your phone

Standard text messaging rates apply

Predavanje3 DMA ISKAZNA LOGIKA3 DEO

58
views

Published on

dma Predavanje 3 - pravila zakljucivanja,greske u zakljucivanju,argumentacije,iskazi

dma Predavanje 3 - pravila zakljucivanja,greske u zakljucivanju,argumentacije,iskazi

Published in: Education

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total Views
58
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
Downloads
0
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

Report content
Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
No notes for slide

Transcript

  • 1. Ispravna i neispravna argumentacijaIspravna i neispravna argumentacijaIspravna i neispravna argumentacija Setimo se da smo argumentaciju definisali kao niz iskaza, ili iskaznih for- mula, ˇciji smo poslednji ˇclan zvali zakljuˇcak (posledica, konsekvenca), a sve ostale smo zvali premise (pretpostavke, hipoteze). Setimo se i da smo argumentaciju smo predstavljali na slede´ci naˇcin: Premisa Premisa . . . . . . . . . Premisa ∴ Zakljuˇcak ili P1 P2 . . . Pn ∴ Q Uloga argumentacije je, ukoliko je ona ispravna, da se uz pomo´c premisa dokaˇze zakljuˇcak. Zato u nastavku formalno definiˇsemo pojam ispravne argumentacije. Diskretne strukture – 2 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 2 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 2 – Iskazna logika - III deo
  • 2. Ispravna i neispravna argumentacijaIspravna i neispravna argumentacijaIspravna i neispravna argumentacija Neformalno, za argumentaciju kaˇzemo da je ispravna ako, kad god su sve premise istinite, mora biti istinit i zakljuˇcak. Drugim reˇcima, argumentacija je ispravna ako u svakoj interpretaciji u kojoj su taˇcne sve premise P1, . . . , Pn, mora biti taˇcan i zakljuˇcak Q. U suprotnom za argumentaciju kaˇzemo da je neispravna. Dakle, argumentacija je neispravna ako postoji interpretacija u kojoj su taˇcne sve premise, ali nije taˇcan zakljuˇcak. Drugim reˇcima, ono ˇsto je bitno kod argumentacija je da se ne sme dozvoliti da se iz taˇcnih premisa izvede netaˇcan zakljuˇcak. Argumentacije kod kojih je to mogu´ce su neispravne. Diskretne strukture – 3 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 3 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 3 – Iskazna logika - III deo
  • 3. Ispravna i neispravna argumentacijaIspravna i neispravna argumentacijaIspravna i neispravna argumentacija Provera ispravnosti argumentacije 1. Identifikuju se premise i zakljuˇcak argumentacije. 2. Formira se istinitosna tablica koja prikazuje istinitosne vrednosti svih premisa i zakljuˇcka. 3. Uoˇcavaju se sve vrste u kojima su sve premise taˇcne, i proverava se da li je u tim vrstama taˇcan i zakljuˇcak. 3.1. Ako je zakljuˇcak taˇcan u svim vrstama u kojima su premise taˇcne, onda je argumentacija ispravna. 3.2. Ako postoji vrsta u kojoj su sve premise taˇcne, a zakljuˇcak nije taˇcan, onda argumentacija nije ispravna. Diskretne strukture – 4 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 4 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 4 – Iskazna logika - III deo
  • 4. Ispravna i neispravna argumentacijaIspravna i neispravna argumentacijaIspravna i neispravna argumentacija Primer 1: Dokazati neispravnost argumentacije p ⇒ q ∨ ¬r q ⇒ p ∧ r ∴ p ⇒ r Reˇsenje: To se vidi iz slede´ce istinitosne tablice p q r ¬r q ∨ ¬r p ∧ r p ⇒ q ∨ ¬r q ⇒ p ∧ r p ⇒ r 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 Diskretne strukture – 5 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 5 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 5 – Iskazna logika - III deo
  • 5. Ispravna i neispravna argumentacijaIspravna i neispravna argumentacijaIspravna i neispravna argumentacija Primer 2: Dokazati ispravnost argumentacije p ∨ (q ∨ r) ¬r ∴ p ∨ q Reˇsenje: To se vidi iz slede´ce istinitosne tablice p q r q ∨ r p ∨ (q ∨ r) ¬r p ∨ r 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 Diskretne strukture – 6 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 6 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 6 – Iskazna logika - III deo
  • 6. Pravila zakljuˇcivanjaPravila zakljuˇcivanjaPravila zakljuˇcivanja Ispravne argumentacije nazivamo joˇs i pravila zakljuˇcivanja, engl. rule of inference. Med¯u najstarija pravila zakljuˇcivanja spadaju silogizmi – argumentacije koje se sastoje od dve premise i zakljuˇcka. Primer 3: Modus ponens Ako p onda q p ∴ q odnosno p ⇒ q p ∴ q Ovo je najpoznatije pravilo zakljuˇcivanja u logici. Diskretne strukture – 7 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 7 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 7 – Iskazna logika - III deo
  • 7. Pravila zakljuˇcivanjaPravila zakljuˇcivanjaPravila zakljuˇcivanja Inaˇce, naziv ”Modus Ponens” potiˇce iz latinskog jezika, i ima znaˇcenje metod potvrd¯ivanja, jer je zakljuˇcak afirmativan. Ispravnost modus ponensa, kao argumentacije, vidi se iz slede´ce istini- tosne tablice: p q p ⇒ q p q 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 Diskretne strukture – 8 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 8 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 8 – Iskazna logika - III deo
  • 8. Pravila zakljuˇcivanjaPravila zakljuˇcivanjaPravila zakljuˇcivanja Primer 4: Modus tolens Ako p onda q nije q ∴ nije p odnosno p ⇒ q ¬q ∴ ¬p Naziv ”modus tolens” (modus tollens) potiˇce iz latinskog jezika, i ima znaˇcenje metod opovrgivanja, jer zakljuˇcak ima formu poricanja. Ispravnost modus tolensa moˇze se utvrditi istinitosnom tablicom, ali se moˇze izvesti i iz modus ponensa i zakona kontrapozicije. Naime, prva premisa p ⇒ q je logiˇcki ekvivalentna sa ¬q ⇒ ¬p, i ako se zameni tom formulom, onda se modus tolens svodi na argumentaciju iste forme kao modus ponens. Diskretne strukture – 9 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 9 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 9 – Iskazna logika - III deo
  • 9. Pravila zakljuˇcivanjaPravila zakljuˇcivanjaPravila zakljuˇcivanja Napomena 1: Psiholoˇska istraˇzivanja Istraˇzivanja koja su sproveli kognitivni psiholozi u SAD pokazala su da skoro 100% studenata ima solidno intuitivno razumevanje upotrebe modus ponensa u zakljuˇcivanju. Sa druge strane, ta istraˇzivanja su pokazala da je manje od 60% stu- denata u stanju da korektno primenujuju modus tolens. Med¯utim, ˇcak i u matematici, modus tolens se koristi skoro isto toliko ˇcesto kao i modus ponens, a u eksperimentalnim naukama moˇzda i joˇs ˇceˇs´ce. Zato je vaˇzno veoma paˇzljivo prouˇciti primenu modus tolensa. Diskretne strukture – 10 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 10 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 10 – Iskazna logika - III deo
  • 10. Pravila zakljuˇcivanjaPravila zakljuˇcivanjaPravila zakljuˇcivanja Primer 5: Generalizacija, odnosno uopˇstavanje Slede´ce argumentacije su ispravne: p ∴ p ∨ q q ∴ p ∨ q Ove argumentacije se koriste za formiranje generalizacija (uopˇstenja). Na primer, pretpostavimo da imamo zadatak da utvrdimo broj uˇcenika u nekoj ˇskoli koji su u sedmom ili osmom razredu. Upitali smo Nikolu u kom je razredu, i on je odgovorio da je u sedmom. Na osnovu toga zakljuˇcujemo da je on u sedmom ili osmom razredu, i ubrajamo ga. Diskretne strukture – 11 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 11 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 11 – Iskazna logika - III deo
  • 11. Pravila zakljuˇcivanjaPravila zakljuˇcivanjaPravila zakljuˇcivanja Primer 6: Specijalizacija Slede´ce argumentacije su ispravne: p ∧ q ∴ p p ∧ q ∴ q Ove argumentacije se koriste za formiranje specijalizacija. Na primer, kada klasifikujemo objekte prema nekom svojstvu, mi ˇcesto znamo o njima mnogo viˇse nego da li imaju ili nemaju to svojstvo. U takvim prilikama mi odbacujemo viˇsak informacija i paˇznju usmera- vamo samo na ono ˇsto nam treba. Diskretne strukture – 12 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 12 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 12 – Iskazna logika - III deo
  • 12. Pravila zakljuˇcivanjaPravila zakljuˇcivanjaPravila zakljuˇcivanja Na primer, pretpostavimo da traˇzimo osobu koja dobro poznaje algebru. Tokom traˇzenja takve osobe, ustanovili smo da Ana dobro poznaje geometriju i algebru. Tada ´cemo rezonovati na slede´ci naˇcin: Ana poznaje geometriju i Ana poznaje algebru. ∴ (specijalno) Ana poznaje algebru. I generalizacija i specijalizacija su veoma ˇcesti oblici zakljuˇcivanja u matematici. Diskretne strukture – 13 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 13 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 13 – Iskazna logika - III deo
  • 13. Pravila zakljuˇcivanjaPravila zakljuˇcivanjaPravila zakljuˇcivanja Primer 7: Eliminacija ili disjunktivni silogizam Slede´ce argumentacije su ispravne: p ∨ q ¬q ∴ p p ∨ q ¬p ∴ q Ova pravila kaˇzu da kada imamo samo dve mogu´cnosti, i jednu od njih smo iskljuˇcili, onda ona druga mora da vaˇzi. Na primer, pretpostavimo da traˇzimo pozitivna reˇsenja neke kvadratne jednaˇcine, i reˇsavanjem smo doˇsli do toga da je x = 3 ili x = −2. Kako traˇzimo samo pozitivna reˇsenja, zakljuˇcujemo da je x = −2, pa na osnovu gornjeg pravila, dobijamo da je x = 3. Diskretne strukture – 14 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 14 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 14 – Iskazna logika - III deo
  • 14. Pravila zakljuˇcivanjaPravila zakljuˇcivanjaPravila zakljuˇcivanja Primer 8: Tranzitivnost ili hipotetiˇcki silogizam Slede´ca argumentacija je ispravna: p ⇒ q q ⇒ r ∴ p ⇒ r Dakle, ako prvo tvrd¯enje povlaˇci drugo, a drugo povlaˇci tre´ce, onda zakljuˇcujemo i da prvo tvrd¯enje povlaˇci tre´ce. Na primer: Ako je 18, 486 deljivo sa 18, onda je 18, 486 deljivo sa 9. Ako je 18, 486 deljivo sa 9, onda je suma cifara od 18, 486 deljiva sa 9. ∴ Ako je 18, 486 deljivo sa 18, onda je suma cifara od 18, 486 deljiva sa 9. Diskretne strukture – 15 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 15 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 15 – Iskazna logika - III deo
  • 15. Pravila zakljuˇcivanjaPravila zakljuˇcivanjaPravila zakljuˇcivanja Primer 9: Dokaz podelom na sluˇcajeve ili razlikovanjem sluˇcajeva Slede´ce argumentacije su ispravne: p ∨ q p ⇒ r q ⇒ r ∴ r p1 ∨ p2 ∨ · · · ∨ pn p1 ⇒ r p2 ⇒ r . . . pn ⇒ r ∴ r Prema ovom pravilu, ako imamo dve mogu´cnosti, i ako svaka od te dve mogu´cnosti povlaˇci tre´cu, onda zakljuˇcujemo da je ta tre´ca mogu´cnost sigurno taˇcna. Sliˇcno vaˇzi i kada imamo viˇse od dve mogu´cnosti. Diskretne strukture – 16 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 16 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 16 – Iskazna logika - III deo
  • 16. Pravila zakljuˇcivanjaPravila zakljuˇcivanjaPravila zakljuˇcivanja Primer 10: Dokazati da je proizvod tri uzastopna cela broja deljiv sa 3. Dokaz: Uoˇcimo proizvoljna tri uzastopna prirodna broja n, n + 1 i n + 2. Razlikujemo tri sluˇcaja: p1: n daje ostatak 0 pri deljenju sa 3; p2: n daje ostatak 1 pri deljenju sa 3; p3: n daje ostatak 2 pri deljenju sa 3. Takod¯e, oznaˇcimo sa r slede´ci iskaz: r: broj n(n + 1)(n + 2) je deljiv sa 3. Jasno je da je p1 ∨ p2 ∨ p3 taˇcan iskaz. Diskretne strukture – 17 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 17 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 17 – Iskazna logika - III deo
  • 17. Pravila zakljuˇcivanjaPravila zakljuˇcivanjaPravila zakljuˇcivanja Dokaza´cemo da su taˇcni i iskazi p1 ⇒ r, p2 ⇒ r i p3 ⇒ r. Ako je p1 taˇcno, tj. ako pri deljenju sa 3 broj n daje ostatak 0, odnosno ako je n deljiv sa 3, onda je i broj n(n + 1)(n + 2) je deljiv sa 3, ˇsto znaˇci da je r taˇcno. Ako je p2 taˇcno, tj. ako pri deljenju sa 3 broj n daje ostatak 1, onda je broj n + 2 deljiv sa 3, odakle sledi da je i broj n(n + 1)(n + 2) deljiv sa 3, pa opet dobijamo da je r taˇcno. Ako je p3 taˇcno, tj. ako pri deljenju sa 3 broj n daje ostatak 2, onda je broj n + 1 deljiv sa 3, odakle sledi da je i broj n(n + 1)(n + 2) deljiv sa 3, pa joˇs jednom dobijamo da je r taˇcno. Ovim smo dokazali da su taˇcni iskazi p1 ∨ p2 ∨ p3, p1 ⇒ r, p2 ⇒ r i p3 ⇒ r, pa na osnovu prethodnog pravila zakljuˇcujemo da je r taˇcan iskaz. Diskretne strukture – 18 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 18 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 18 – Iskazna logika - III deo
  • 18. Pravila zakljuˇcivanjaPravila zakljuˇcivanjaPravila zakljuˇcivanja Primer 11: Dokaz svod¯enjem na protivreˇcnost ili kontradikciju Ako je sa c kontradikcija, onda je slede´ca argumentacija ispravna: ¬p ⇒ c ∴ p Ova argumentacija naziva se pravilo kontradikcije. Dokaz: Ponovo koristimo istinitosnu tablicu: p ¬p c ¬p ⇒ c p 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 Diskretne strukture – 19 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 19 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 19 – Iskazna logika - III deo
  • 19. Pravila zakljuˇcivanjaPravila zakljuˇcivanjaPravila zakljuˇcivanja Pravilo kontradikcije je srˇz metoda dokazivanja svod¯enjem na protiv- reˇcnost. U neznatno modifikovanoj formi ovo pravilo takod¯e predstavlja osnovu za reˇsavanje mnogih logiˇckih zagonetki eliminacijom kontradiktornih odgovora: ako neka pretpostavka dovodi do kontradikcije, onda ta pret- postavka mora biti netaˇcna. U nastavku dajemo primer jedne od takvih logiˇckih zagonetki, ˇciji je tvorac poznati ameriˇcki logiˇcar i autor logiˇckih zagonetki Raymond Smullyan (1919–). Diskretne strukture – 20 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 20 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 20 – Iskazna logika - III deo
  • 20. Pravila zakljuˇcivanjaPravila zakljuˇcivanjaPravila zakljuˇcivanja Primer 12: Postoji ostrvo na kome ˇzive dve grupe stanovnika: vitezovi, koji uvek govore istinu, i nitkovi, koji uvek laˇzu. Svaki stanovnik ostrva pripada taˇcno jednoj od ovih grupa. Posetili smo ostrvo i upoznali dva stanovnika A i B, koji su nam rekli: A: ”B je vitez”; B: ”A i ja smo iz razliˇcitih grupa”. ˇSta su A i B? Reˇsenje: Najpre ´cemo primeniti metod razlikovanja sluˇcajeva, jer moˇze- mo razlikovati samo 4 sluˇcaja 1) A i B su vitezovi; 2) A je vitez, a B je nitkov; 3) A je nitkov, a B je vitez; 4) A i B su nitkovi. Diskretne strukture – 21 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 21 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 21 – Iskazna logika - III deo
  • 21. Pravila zakljuˇcivanjaPravila zakljuˇcivanjaPravila zakljuˇcivanja Potom ´cemo iskljuˇciti neke sluˇcajeve, pokazavˇsi da odgovaraju´ce pret- postavke vode u kontradikciju. 1) Ako pretpostavimo da su A i B vitezovi, onda imamo da B govori istinu, odnosno da su A i B iz razliˇcitih grupa, ˇsto je u suprotnosti sa pretpostavkom. Dakle, iskljuˇcujemo ovu mogu´cnost. 2) Ako pretpostavimo da je A vitez, a B je nitkov, onda imamo da A govori istinu, ˇsto znaˇci da je B vitez, a to je u suprotnosti sa pret- postavkom. Prema tome, iskljuˇcujemo i ovu mogu´cnost. 3) Ako pretpostavimo da je A nitkov, a B je vitez, onda imamo da A laˇze, ˇsto znaˇci da B nije vitez, odnosno B je nitkov, a to je u suprotnosti sa pretpostavkom. Dakle, iskljuˇcujemo i ovu mogu´cnost. Diskretne strukture – 22 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 22 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 22 – Iskazna logika - III deo
  • 22. Pravila zakljuˇcivanjaPravila zakljuˇcivanjaPravila zakljuˇcivanja Dakle, preostaje nam samo ˇcetvrta mogu´cnost, da su i A i B nitkovi, ˇsto ne dovodi do protivreˇcnosti, jer A laˇze kada kaˇze da je B vitez, a B laˇze kada kaˇze da su A i on iz razliˇcitih grupa. Dakle, zakljuˇcujemo da su i A i B nitkovi. Na kraju, primetimo da je ovaj problem tako postavljen da ima jedin- stveno reˇsenje. Med¯utim, problem moˇze biti i tako postavljen da ima vise reˇsenja, ali i tako da nema nijedno reˇsenje. Diskretne strukture – 23 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 23 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 23 – Iskazna logika - III deo
  • 23. Pravila zakljuˇcivanjaPravila zakljuˇcivanjaPravila zakljuˇcivanja Primer 13: Dokaˇzimo ispravnost argumentacije iz Primera 9 p1 ∨ p2 ∨ · · · ∨ pn p1 ⇒ r p2 ⇒ r . . . pn ⇒ r ∴ r Kako ovde n moˇze biti bilo koji prirodan broj, ispravnost ove argu- mentacije ne moˇzemo dokazati upotrebom istinitosne tablice. Ovde ´cemo prikazati drugi metod dokazivanja ispravnosti, gde se koristi metod svod¯enja na protivreˇcnost. Diskretne strukture – 24 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 24 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 24 – Iskazna logika - III deo
  • 24. Pravila zakljuˇcivanjaPravila zakljuˇcivanjaPravila zakljuˇcivanja Uzmimo da su za neke vrednosti iskaznih slova p1, p2, . . . , pn i r sve premise taˇcne. Treba dokazati da je onda taˇcan i zakljuˇcak r. Pretpostavimo suprotno, da r nije taˇcno. Za svaki k ∈ {1, 2, . . . , n}, implikacija pn ⇒ r je taˇcna, a r nije taˇcno, odakle sledi da ni pk ne moˇze da bude taˇcno. Prema tome, imamo da su svi iskazi p1, p2, . . . ,pn netaˇcni, odakle je netaˇcna i njihova disjunkcija. Med¯utim, tu dolazimo do kontradikcije, jer smo na pocetku pretpostavili da su sve premise, pa i disjunkcija p1 ∨ p2 ∨ · · · ∨ pn, taˇcne. Iz svega ovoga zakljuˇcujemo da nam je bila loˇsa pretpostavka da je r netaˇcno, pa na kraju zakljuˇcujemo da r mora da bude taˇcno, i dakle, argumentacija je ispravna. Diskretne strukture – 25 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 25 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 25 – Iskazna logika - III deo
  • 25. Pravila zakljuˇcivanjaPravila zakljuˇcivanjaPravila zakljuˇcivanja Primer 14: Prevesti slede´ce iskaze u iskazne formule i utvrditi da li je argumentacija ispravna: Ako su jedine osobe prisutne u ku´ci u vreme ubistva bili batler i sobarica, tada je batler ubica ili je sobarica ubica. Jedine osobe prisutne u ku´ci u vreme ubistva su bili batler i sobarica. Ako je sobarica ubica, onda je sobarica imala motiv za ubistvo. Sobarica nije imala motiv za ubistvo. ∴ Batler je ubica. Reˇsenje: Uvedimo slede´ce oznake za iskaze P : ”Jedine osobe prisutne u ku´ci u vreme ubistva su bili batler i sobarica”, B: ”Batler je ubica”, S: ”Sobarica je ubica”, M: ”Sobarica je imala motiv za ubistvo”. Diskretne strukture – 26 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 26 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 26 – Iskazna logika - III deo
  • 26. Pravila zakljuˇcivanjaPravila zakljuˇcivanjaPravila zakljuˇcivanja Tada gornja argumentacija postaje P ⇒ B ∨ S P S ⇒ M ¬M ∴ B Svod¯enjem na protivreˇcnost dokaza´cemo da je argumentacija ispravna. Pretpostavimo da argumentacija nije ispravna, tj. da postoji interpre- tacija v u kojoj su sve premise taˇcne, a zakljuˇcak nije taˇcan, tj. v(P ⇒ B ∨ S) = 1, v(P ) = 1, v(S ⇒ M) = 1, v(¬M) = 1, v(B) = 0. Diskretne strukture – 27 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 27 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 27 – Iskazna logika - III deo
  • 27. Pravila zakljuˇcivanjaPravila zakljuˇcivanjaPravila zakljuˇcivanja Odavde dobijamo da je v(P ) = 1, v(M) = 0, v(B) = 0, i iz v(S ⇒ M) = 1 i v(M) = 0 zakljuˇcujemo da je v(S) = 0. Ako sada iskoristimo sve te vrednosti, dobijamo v(P ⇒ B ∨ S) = 1 ⇒ 0 ∨ 0 = 1 ⇒ 0 = 0, ˇsto je u suprotnosti sa pretpostavkom v(P ⇒ B ∨ S) = 1. Dakle, zakljuˇcujemo da nam je polazna pretpostavka bila pogreˇsna, tj. da je argumentacija ispravna. Diskretne strukture – 28 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 28 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 28 – Iskazna logika - III deo
  • 28. Greške u zakljuˇcivanjuGreške u zakljuˇcivanjuGreške u zakljuˇcivanju Greˇska u zakljuˇcivanju je takav naˇcin izvlaˇcenja zakljuˇcaka koji dovodi do neispravne argumentacije. Med¯u takvim greˇskama moˇzemo izdvojiti tri opˇsta tipa: 1. Koriˇs´cenje viˇseznaˇcnih premisa i njihovo razmatranje kao da su jed- noznaˇcne; 2. Pretpostavljanje onog ˇsto treba da bude dokazano bez da je izve- deno iz premisa (to se na engleskom zove begging the question); 3. Skakanje na zakljuˇcak bez adekvatnog osnova. Ovde ´cemo razmotriti joˇs dve vrste greˇsaka: greˇsku konverzije i greˇsku inverzije. Diskretne strukture – 29 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 29 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 29 – Iskazna logika - III deo
  • 29. Greške u zakljuˇcivanjuGreške u zakljuˇcivanjuGreške u zakljuˇcivanju Primer 15: Greˇska konverzije Dokazati da je slede´ca argumentacija neispravna: Ako Perica vara na ispitima, onda Perica sedi u prvoj klupi. Perica sedi u prvoj klupi. ∴ Perica vara na ispitima. Veliki broj ljudi uoˇcava neispravnost ove argumentacije intuitivno, razmi- ˇsljaju´ci na slede´ci naˇcin: Prva premisa daje informaciju o Perici ako je po- znato da vara na ispitima. Med¯utim, ona ne daje informaciju o njemu ako on ve´c nije registrovan kao neko ko vara na ispitima. Svakako se moˇze zamisliti osoba koja ne vara na ispitima, ali se desilo da sedi u prvoj klupi. Ako u ovu argumentaciju umesto Perice ukljuˇcimo tu osobu, dobi´cemo da su premise taˇcne, a zakljuˇcak je netaˇcan. Diskretne strukture – 30 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 30 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 30 – Iskazna logika - III deo
  • 30. Greške u zakljuˇcivanjuGreške u zakljuˇcivanjuGreške u zakljuˇcivanju Gornja argumentacija se simboliˇcki moˇze izraziti na slede´ci naˇcin: p ⇒ q q ∴ p Formiranjem istinitosne tablice lako moˇzemo i formalno ustanoviti da je argumentacija neispravna. Ovakva pogreˇsna argumentacija naziva se greˇska konverzije, jer se dobi- ja iz ispravne argumentacije (modus ponens) konverzijom prve premise, ˇsto nije ispravno, jer smo videli da implikacija i njena konverzija nisu logiˇcki ekvivalentne. Ova greˇska se joˇs naziva i greˇska potvrd¯ivanja zakljuˇcka. Diskretne strukture – 31 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 31 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 31 – Iskazna logika - III deo
  • 31. Greške u zakljuˇcivanjuGreške u zakljuˇcivanjuGreške u zakljuˇcivanju Primer 16: Greˇska inverzije Razmotrimo argumentaciju datu sa Ako kamate rastu, onda ´ce cene proizvoda pasti. Kamate ne rastu. ∴ Cene proizvoda ne´ce pasti. ili simboliˇcki p ⇒ q ¬p ∴ ¬q Diskretne strukture – 32 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 32 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 32 – Iskazna logika - III deo
  • 32. Greške u zakljuˇcivanjuGreške u zakljuˇcivanjuGreške u zakljuˇcivanju Neispravnost ove argumentacije se moˇze lako utvrditi pomo´cu istini- tosne tablice. Ovakva pogreˇsna argumentacija naziva se greˇska inverzije, jer se dobija iz ispravne argumentacije (modus ponens) inverzijom prve premise, ˇsto takod¯e nije ispravno, jer smo videli da implikacija i njena inverzija nisu logiˇcki ekvivalentne. Ova greˇska se joˇs naziva i greˇska poricanja premise. Diskretne strukture – 33 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 33 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 33 – Iskazna logika - III deo
  • 33. Greške u zakljuˇcivanjuGreške u zakljuˇcivanjuGreške u zakljuˇcivanju Primer 17: Ispravna argumentacija za netaˇcnim zakljuˇckom Razmotrimo slede´cu argumentaciju: Ako je Dˇzon Lenon bio rok zvezda, onda je Dˇzon Lenon imao crvenu kosu. Dˇzon Lenon je bio rok zvezda. ∴ Dˇzon Lenon je imao crvenu kosu. Ova argumentacija je ispravna, na osnovu modus ponensa, ali zakljuˇcan nije taˇcan. Zaˇsto? Pa zato ˇsto prva premisa nije taˇcna. Diskretne strukture – 34 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 34 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 34 – Iskazna logika - III deo
  • 34. Greške u zakljuˇcivanjuGreške u zakljuˇcivanjuGreške u zakljuˇcivanju Primer 18: Neispravna argumentacija za taˇcnim zakljuˇckom Razmotrimo slede´cu argumentaciju: Ako je Njujork veliki grad, onda Njujork ima visoke zgrade. Njujork ima visoke zgrade. ∴ Njujork je veliki grad. Ova argumentacija je neispravna (greˇska konverzije), ali zakljuˇcak je ipak taˇcan. Ovaj primer nam pokazuje da ispravnost argumentacije jeste svojstvo forme argumentacije: Ako je argumentacija ispravna, onda je ispravna i svaka druga argumentacija iste forme. Sliˇcno, ako je argumentacija neispravna, onda je neispravna i svaka druga argumentacija iste forme. Diskretne strukture – 35 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 35 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 35 – Iskazna logika - III deo
  • 35. Greške u zakljuˇcivanjuGreške u zakljuˇcivanjuGreške u zakljuˇcivanju Treba joˇs jednom ista´ci da ono ˇsto karakteriˇse jednu ispravnu argu- mentaciju je to da se ne moˇze desiti da sve premise budu taˇcne a da zakljuˇcak bude netaˇcan. Med¯utim, i kod ispravne argumentacije se moˇze desiti da neke od premisa budu netaˇcne, a da zakljuˇcak bude taˇcan, kao i da neke od premisa budu netaˇcne i da zakljuˇcak bude netaˇcan. p q p ⇒ q p q 1 1 1 1 1 taˇcne premise, taˇcan zakljuˇcak 1 0 0 1 0 netaˇcna premisa, netaˇcan zakljuˇcak 0 1 1 0 1 netaˇcna premisa, taˇcan zakljuˇcak 0 0 1 0 0 netaˇcna premisa, netaˇcan zakljuˇcak Diskretne strukture – 36 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 36 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 36 – Iskazna logika - III deo
  • 36. Greške u zakljuˇcivanjuGreške u zakljuˇcivanjuGreške u zakljuˇcivanju Sa druge strane, kod neispravne argumentacije sigurno postoji sluˇcaj kada su premise taˇcne, a zakljuˇcak netaˇcan. Takod¯e, mogu´ce su i sve ostale kombinacije: da i premise i zakljuˇcak budu taˇcni, iako je argumentacija neispravna, da neka od premisa bude netaˇcna, a da zakljuˇcak bude taˇcan, ili da neka od premisa bude netaˇcna, i da zakljuˇcak bude netaˇcan. p q p ⇒ q q p 1 1 1 1 1 taˇcne premise, taˇcan zakljuˇcak 1 0 0 0 1 netaˇcne premise, taˇcan zakljuˇcak 0 1 1 1 0 taˇcne premise, netaˇcan zakljuˇcak 0 0 1 0 0 netaˇcna premisa, netaˇcan zakljuˇcak Diskretne strukture – 37 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 37 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 37 – Iskazna logika - III deo
  • 37. Neka svojstva argumentacijaNeka svojstva argumentacijaNeka svojstva argumentacija Neka je data argumentacija P1 P2 . . . Pn ∴ Q Ukoliko je ova argumentacija ispravna, onda za formulu Q kaˇzemo da je posledica skupa formula P1, P2, . . . , Pn, pri ˇcemu te formule nazivamo hipoteze, i to simboliˇcki oznaˇcavamo sa P1, P2, . . . , Pn |= Q Diskretne strukture – 38 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 38 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 38 – Iskazna logika - III deo
  • 38. Neka svojstva argumentacijaNeka svojstva argumentacijaNeka svojstva argumentacija Teorema 1: Neka su date iskazne formule P1, P2, . . . , Pn i Q. Tada vaˇzi: P1, . . . , Pn−1, Pn |= Q ako i samo ako P1, . . . , Pn−1 |= Pn ⇒ Q Specijalno, za formule P i Q vaˇzi: P |= Q ako i samo ako |= P ⇒ Q Dokaz: Neka vaˇzi P1, . . . , Pn−1, Pn |= Q. Da bi dokazali da vaˇzi i P1, . . . , Pn−1 |= Pn ⇒ Q, razmotri´cemo proizvoljnu interpretaciju v formula P1, . . . , Pn, Q, u kojoj su taˇcne sve formule P1, . . . , Pn−1, i dokaza´cemo da je u toj interpretaciji taˇcna i formula Pn ⇒ Q. Diskretne strukture – 39 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 39 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 39 – Iskazna logika - III deo
  • 39. Neka svojstva argumentacijaNeka svojstva argumentacijaNeka svojstva argumentacija Zaista, ako je v(Pn) = 0, tada je v(Pn ⇒ Q) = 1, nezavisno od istinitosne vrednosti formule Q. Sa druge strane, ako je v(Pn) = 1, tada su u interpretaciji v taˇcne sve formule P1, . . . , Pn−1, Pn, pa prema polaznoj pretpostavci imamo da je v(Q) = 1. Prema tome, v(Pn ⇒ Q) = v(Pn) ⇒ v(Q) = 1 ⇒ 1 = 1. Time smo dokazali da vaˇzi P1, . . . , Pn−1 |= Pn ⇒ Q. Obratno, pretpostavimo da vaˇzi P1, . . . , Pn−1 |= Pn ⇒ Q. Da bi dokazali da vaˇzi P1, . . . , Pn−1, Pn |= Q, razmotri´cemo proizvoljnu interpretaciju v formula P1, . . . , Pn, Q, u kojoj su taˇcne sve formule P1, . . . , Pn, i dokaza´cemo da je u toj interpretaciji taˇcna i formula Q. Diskretne strukture – 40 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 40 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 40 – Iskazna logika - III deo
  • 40. Neka svojstva argumentacijaNeka svojstva argumentacijaNeka svojstva argumentacija Kako su u interpretaciji v taˇcne sve formule P1, . . . , Pn−1, to na osnovu pretpostavke dobijamo da je taˇcna i formula Pn ⇒ Q, odnosno v(Pn ⇒ Q) = 1. Kako, osim toga, imamo da je v(Pn) = 1, to mora biti i v(Q) = 1, jer bi u suprotnom dobili da je v(Pn ⇒ Q) = 0. Dakle, dokazali smo da vaˇzi P1, . . . , Pn−1, Pn |= Q. Na potpuno isti naˇcin dokazujemo i drugi deo tvrd¯enja. Diskretne strukture – 41 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 41 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 41 – Iskazna logika - III deo
  • 41. Neka svojstva argumentacijaNeka svojstva argumentacijaNeka svojstva argumentacija Napomena 2: Teorema 1 predstavlja neˇsto ˇsto veoma ˇcesto koristimo u svakodnevnoj matematiˇckoj praksi. Naime, ˇcesto se deˇsava da iz nekih pretpostavki P1, . . . , Pn−1 treba da izvedemo neki zakljuˇcak koji ima oblik implikacije Pn ⇒ Q. U takvim prilikama ˇcesto premisu Pn implikacije Pn ⇒ Q prikljuˇcujemo pretpostavkama P1, . . . , Pn−1, i umesto da dokazujemo da je Pn ⇒ Q posledica pretpostavki P1, . . . , Pn−1, mi dokazujemo da je Q posledica pretpostavki P1, . . . , Pn−1, Pn. Na osnovu Teoreme 1, ta dva naˇcina su ravnopravna. Diskretne strukture – 42 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 42 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 42 – Iskazna logika - III deo
  • 42. Neka svojstva argumentacijaNeka svojstva argumentacijaNeka svojstva argumentacija Teorema 2: P1, . . . , Pn |= Q ako i samo ako P1 ∧ · · · ∧ Pn |= Q. Dokaz: Ovo tvrd¯enje je neposredna posledica ˇcinjenice da su u nekoj interpretaciji sve formule P1, . . . , Pn taˇcne ako i samo ako je u toj interpretaciji taˇcna formula P1 ∧ · · · ∧ Pn. Diskretne strukture – 43 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 43 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 43 – Iskazna logika - III deo
  • 43. Neprotivreˇcnost skupa formula (iskaza)Neprotivreˇcnost skupa formula (iskaza)Neprotivreˇcnost skupa formula (iskaza) Za skup formula {P1, . . . , Pn} kaˇzemo da je neprotivreˇcan ako postoji neka interpretacija u kojoj su sve te formule taˇcne. Sa druge strane, za ovaj skup formula kaˇzemo da je protivreˇcan, ili da je kontradiktoran, ako ni u jednoj interpretaciji sve formule iz tog skupa ne mogu biti istovremeno taˇcne, odnosno ako je u svakoj interpretaciji bar jedna od njih netaˇcna. Umesto skup formula, kaˇze se i da su same formule protivreˇcne, odnosno neprotivreˇcne. Primetimo da ako su u nekoj argumentaciji premise protivreˇcne, onda je ta argumentacija ispravna bez obzira koju formulu smo uzeli za za- kljuˇcak, jer ne postoji interpretacija u kojoj su sve premise taˇcne. Diskretne strukture – 44 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 44 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 44 – Iskazna logika - III deo
  • 44. Neprotivreˇcnost skupa formula (iskaza)Neprotivreˇcnost skupa formula (iskaza)Neprotivreˇcnost skupa formula (iskaza) Teorema 3: Formule P1, P2, . . . , Pn su protivreˇcne ako i samo ako se iz tih formula kao posledica moˇze izvesti kontradikcija. Dokaz: Neka je C kontradikcija i P1, . . . , Pn |= C. U proizvoljnoj in- terpretaciji formula P1, P2, . . . , Pn, formula C je netaˇcna, odakle sledi da je i bar jedna od formula P1, P2, . . . , Pn netaˇcna u toj interpretaciji. Dakle, ne postoji interpretacija u kojoj su sve formule P1, P2, . . . , Pn taˇcne, pa su te formule protivreˇcne. Obratno, ako su formule P1, P2, . . . , Pn protivreˇcne, odnosno ako ne postoji interpretcija u kojoj su sve one taˇcne, onda je P1, . . . , Pn |= Q, za bilo koju formulu Q, pa time i za bilo koju kontradikciju. Diskretne strukture – 45 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 45 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 45 – Iskazna logika - III deo
  • 45. Neprotivreˇcnost skupa formula (iskaza)Neprotivreˇcnost skupa formula (iskaza)Neprotivreˇcnost skupa formula (iskaza) Teorema 4: Neka je C kontradikcija. Tada vaˇzi: P1, . . . , Pn, ¬Q |= C ako i samo ako P1, . . . , Pn |= Q Dokaz: Neka vaˇzi P1, . . . , Pn, ¬Q |= C. Uzmimo da je v bilo koja interpretacija u kojoj su taˇcne sve formule P1, . . . , Pn. Prema prethodnoj teoremi, formule P1, . . . , Pn i ¬Q su protivreˇcne, ˇsto znaˇci da mora biti v(¬Q) = 0, odnosno v(Q) = 1. Odavde zakljuˇcujemo da vaˇzi P1, . . . , Pn |= Q. Obratno, neka vaˇzi P1, . . . , Pn |= Q. Prema prethodnoj teoremi, dovolj- no je dokazati da su formule P1, . . . , Pn i ¬Q protivreˇcne, odnosno, da je u proizvoljnoj interpretaciji bar jedna od njih netaˇcna. Zaista, neka je v proizvoljna interpretacija formula P1, . . . , Pn i ¬Q. Diskretne strukture – 46 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 46 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 46 – Iskazna logika - III deo
  • 46. Neprotivreˇcnost skupa formula (iskaza)Neprotivreˇcnost skupa formula (iskaza)Neprotivreˇcnost skupa formula (iskaza) Ako je neka od formula P1, . . . , Pn netaˇcna u toj interpretaciji, onda imamo ono ˇsto treba dokazati. Sa druge strane, ako su sve formule P1, . . . , Pn taˇcne u interpretaciji v, onda je, prema pretpostavci, u njoj taˇcna i formula Q, pa nije taˇcna formula ¬Q, pa smo opet dobili ono ˇsto treba dokazati. Dakle, zakljuˇcujemo da su formule P1, . . . , Pn i ¬Q protivreˇcne, odnosno da se iz njih moˇze izvesti kontradikcija. Napomena 3: I prethodna teorema se veoma ˇcesto koristi u praksi. Naime, kada iz nekih premisa P1, . . . , Pn izvodimo zakljuˇcak Q, ˇcesto premisama prikljuˇcujemo negaciju zakljuˇcka ¬Q, i ako iz tih premisa izvedemo kontradikciju, onda zakljuˇcujemo da se Q zaista moˇze izvesti iz P1, . . . , Pn. Diskretne strukture – 47 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 47 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 47 – Iskazna logika - III deo
  • 47. Neprotivreˇcnost skupa formula (iskaza)Neprotivreˇcnost skupa formula (iskaza)Neprotivreˇcnost skupa formula (iskaza) Primer 19: ˇCetiri prijatelja - Arthur, Betty, Charles i Dorothy - su osumnjiˇceni za ubistvo. Pred istraˇznim sudijom izjavili su slede´ce: Arthur: Ako je Betty kriva, kriva je i Dorothy. Betty: Arthur je kriv, a Dorothy nije kriva. Charles: Ja nisam kriv, ali su Arthur ili Dorothy krivi. Dorothy: Ako Arthur nije kriv, tada je kriv Charles. Za X ∈ {A, B, C, D} neka je sa X predstavljen iskaz ”X je nevin”. (a) Da li su ove ˇcetiri izjave neprotivreˇcne, odnosno da li je skup formula dobijen prevod¯enjem u iskaznu logiku neprotivreˇcan? (b) Ako svako govori istinu, ko je kriv? Opravdati odgovore. Diskretne strukture – 48 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 48 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 48 – Iskazna logika - III deo
  • 48. Neprotivreˇcnost skupa formula (iskaza)Neprotivreˇcnost skupa formula (iskaza)Neprotivreˇcnost skupa formula (iskaza) Reˇsenje: Gornje izjave prevodimo u formule na slede´ci naˇcin: Arthur: ¬B ⇒ ¬D; Betty: ¬A ∧ D; Charles: C ∧ (¬A ∨ ¬D); Dorothy: A ⇒ ¬C. Kada bi gornje formule imale manji broj iskaznih slova, onda bi se ne- protivreˇcnost tog skupa formula mogla dokazati formiranjem zajedniˇcke tablice istinitosti za te formule, odakle bi se jasno videlo da li postoji interpretacija u kojoj su sve ˇcetiri formule taˇcne. Med¯utim, ovde imamo 4 iskazna slova, pa bi ta tablica bila suviˇse velika. Zbog toga koristimo drugaˇciju metodologiju. Diskretne strukture – 49 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 49 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 49 – Iskazna logika - III deo
  • 49. Neprotivreˇcnost skupa formula (iskaza)Neprotivreˇcnost skupa formula (iskaza)Neprotivreˇcnost skupa formula (iskaza) Pretpostavimo da postoji interpretacija v tih formula u kojoj su sve ˇcetiri formule taˇcne, i odredimo vrednosti iskaznih slova A, B, C i D u toj interpretaciji. Iz v(¬A ∧ D) = 1 dobijamo da je v(A) = 0 i v(D) = 1. Dalje, iz v(C ∧ (¬A ∨ ¬D)) = 1 sledi da je v(C) = 1. Konaˇcno, iz v(¬B ⇒ ¬D) = 1 i v(¬D) = 0 sledi da je v(¬B) = 0, tj. v(B) = 1. Prema tome, dobili smo da je interpretacija v zadata sa v = A B C D 0 1 1 1 Diskretne strukture – 50 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 50 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 50 – Iskazna logika - III deo
  • 50. Neprotivreˇcnost skupa formula (iskaza)Neprotivreˇcnost skupa formula (iskaza)Neprotivreˇcnost skupa formula (iskaza) Ako se sada vratimo unazad, dobi´cemo da su sve ˇcetiri formule taˇcne u interpretaciji v, ˇsto znaˇci da je gornji skup formula neprotivreˇcan, tj. da izjave nisu protivreˇcne. Takod¯e, ako su sve ˇcetiri izjave taˇcne, onda iz napred pokazanog sledi da se to moˇze desiti samo u sluˇcaju gornje interpretacije v, ˇsto znaˇci da je Arthur kriv, a da su ostali nevini. Diskretne strukture – 51 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 51 – Iskazna logika - III deoDiskretne strukture – 51 – Iskazna logika - III deo