• Share
  • Email
  • Embed
  • Like
  • Save
  • Private Content

Loading…

Flash Player 9 (or above) is needed to view presentations.
We have detected that you do not have it on your computer. To install it, go here.

Like this presentation? Why not share!

Predavanje2 DMA ISKAZNA LOGIKA 2 DEO

on

  • 176 views

dma predavanje Diskretna matematika i algoritmi

dma predavanje Diskretna matematika i algoritmi

Statistics

Views

Total Views
176
Views on SlideShare
176
Embed Views
0

Actions

Likes
0
Downloads
0
Comments
0

0 Embeds 0

No embeds

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

    Predavanje2 DMA ISKAZNA LOGIKA 2 DEO Predavanje2 DMA ISKAZNA LOGIKA 2 DEO Presentation Transcript

    • ImplikacijaImplikacijaImplikacijaImplikacija iskaza p i q je iskaz ako p onda q, u oznaci p ⇒ q.Ovaj iskaz je neistinit jedino u sluˇcaju kada je p taˇcan, a q netaˇcaniskaz. U svim ostalim sluˇcajevima ovaj iskaz je taˇcan.Istinitosne vrednosti implikacije zadate su slede´com tablicom:p q p ⇒ q1 1 11 0 00 1 10 0 1Iskaz oblika ”ako p onda q” naziva se joˇs i uslovni iskaz.Diskretne strukture – 2 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 2 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 2 – Iskazna logika - II deo
    • ImplikacijaImplikacijaImplikacijaU implikaciji p ⇒ qt Iskaz p se naziva premisa, pretpostavka ili antecedent.t Iskaz q se naziva zakljuˇcak ili konsekvent.Izraz p ⇒ q ˇcita se joˇs i kaoiz p sledi q; q ako p;p povlaˇci (implicira) q; p je dovoljno za q;p samo ako q; q je potrebno za p.Konvenciju o redosledu operacija dopunjujemo tako da se najpre prime-njuje ¬, potom ∧ i ∨, i tek na kraju ⇒.Diskretne strukture – 3 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 3 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 3 – Iskazna logika - II deo
    • Primeri implikacijePrimeri implikacijePrimeri implikacijePrimer 1: Neka su iskazi p i q zadati sap : ”Broj n je deljiv sa 21”q : ”Broj n je deljiv sa 7”Implikacija p ⇒ q je taˇcan iskaz, bilo koji prirodan broj n da smoizabrali, ˇcak i u sluˇcaju da je, na primer, n = 5.Prema definiciji implikacije, ako je iskaz p netaˇcan, onda je iskaz p ⇒ qtaˇcan, nezavisno od taˇcnosti iskaza q.Drugim reˇcima, iz netaˇcne pretpostavke moˇze da sledi bilo koji iskaz.Diskretne strukture – 4 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 4 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 4 – Iskazna logika - II deo
    • Primeri implikacijePrimeri implikacijePrimeri implikacijePrimer 2: Neka su iskazi p i q zadati sap : ”Boca sadrˇzi kiselinu”q : ”Boca nosi oznaku za opasnost”Implikacija p ⇒ q odgovara sloˇzenom iskazu”Ako boca sadrˇzi kiselinu, onda boca nosi oznaku za opasnost”ˇSta se deˇsava ako boca ne sadrˇzi kiselinu, tj. iskaz p je netaˇcan?Moˇze se desiti da boca nosi oznaku za opasnost jer ne sadrˇzi kiselinuve´c jak otrov, i tada je q taˇcan iskaz.Moˇze se desiti i da boca ne sadrˇzi oznaku jer sadrˇzi sok od narandˇze,i tada je q netaˇcan iskaz.U oba sluˇcaja, taˇcnost iskaza p ⇒ q nije dovedena u pitanje.Diskretne strukture – 5 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 5 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 5 – Iskazna logika - II deo
    • Matematiˇcko shvatanje implikacijeMatematiˇcko shvatanje implikacijeMatematiˇcko shvatanje implikacijeOvakvo matematiˇcko shvatanje implikacije odudara od upotrebe veznika”ako . . . onda . . . ” u svakodnevnom ˇzivotu.Naime, bilo je rasprava oko toga da li implikacija p ⇒ q uopˇste imasmisla ako izmed¯u iskaza p i q nema neke suˇstinske veze.Na primer, neka jep : voda mrzne na 100◦Cq : Bombaj je glavni grad ArgentineSa matematiˇcke taˇcke glediˇsta, p ⇒ q je istinit iskaz.Med¯utim, neki bi smatrali da implikacija p ⇒ q uopˇste nema smisla,jer izmed¯u iskaza p i q ne postoji nikakva veza.Diskretne strukture – 6 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 6 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 6 – Iskazna logika - II deo
    • Matematiˇcko shvatanje implikacijeMatematiˇcko shvatanje implikacijeMatematiˇcko shvatanje implikacijeMatematiˇcka taˇcka glediˇsta je pobedila iz dva razloga:1. Zato ˇsto matematiˇcku logiku ne interesuje znaˇcenje iskaza p i q,ve´c samo njihova istinitost.Preciznije, matematiˇcku logiku interesuju samo uslovi pod kojimaistinitost iskaza p povlaˇci istinitost iskaza q.Drugim reˇcima, u matematiˇckoj logici istinitost implikacije p ⇒ qne zavisi od znaˇcenja iskaza p i q, ve´c samo od njihove istinitosti.Diskretne strukture – 7 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 7 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 7 – Iskazna logika - II deo
    • Matematiˇcko shvatanje implikacijeMatematiˇcko shvatanje implikacijeMatematiˇcko shvatanje implikacije2. Drugi razlog ˇsto je prihva´cena ovakva implikacija je to ˇsto se ovakvoglediˇste pokazalo veoma korisnim za primenu u nauci.Naime, u nauci se ˇcesto sre´cemo sa nekim hipotezama koje jenemogu´ce eksperimentalno proveriti, ali bi se mogle proveriti nekeposledice koje se mogu izvu´ci iz tih hipoteza.Ovakvo glediˇste dozvoljava da iz tih hipoteza izvode posledice bezobzira na to ˇsto ne znamo da li su te hipoteze istinite ili ne.Ovo se naziva hipotetiˇcki karakter nauˇcnih teorija.Diskretne strukture – 8 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 8 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 8 – Iskazna logika - II deo
    • Matematiˇcko shvatanje implikacijeMatematiˇcko shvatanje implikacijeMatematiˇcko shvatanje implikacijeU svakodnevnom ˇzivotu veznik ”ako . . . onda . . . ” ima joˇs jednu pri-menu koja je drugaˇcija od one u matematici.Naime, veznik ”ako . . . onda . . . ” se ˇcesto koristi da naznaˇci da neverujemo da premisa moˇze da bude istinita.Na primer,Ako poloˇziˇs taj ispit, onda sam ja rimski papa.znaˇci sumnju da ´ce student o kome se radi poloˇziti ispit, a ne implikacijudva iskaza.Onome ko je dao ovu izjavu je jasno da on nije rimski papa – on ovomizjavom zapravo kaˇze da je siguran da taj student ne´ce poloˇziti ispit.Diskretne strukture – 9 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 9 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 9 – Iskazna logika - II deo
    • Logiˇcke ekvivalencije sa implikacijomLogiˇcke ekvivalencije sa implikacijomLogiˇcke ekvivalencije sa implikacijomPrimer 3: Zamena implikacije disjunkcijom: p ⇒ q ≡ ¬p ∨ qLogiˇcku ekvivalentnost ovih formula dokazujemo formiraju´ci istinitosnutablicu:p q ¬p p ⇒ q ¬p ∨ q1 1 0 1 = 11 0 0 0 = 00 1 1 1 = 10 0 1 1 = 1Diskretne strukture – 10 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 10 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 10 – Iskazna logika - II deo
    • Logiˇcke ekvivalencije sa implikacijomLogiˇcke ekvivalencije sa implikacijomLogiˇcke ekvivalencije sa implikacijomPrimer 4: Primena logiˇcke ekvivalencije p ⇒ q ≡ ¬p ∨ qRazmotrimo iskazVi ´ce te dolaziti na vreme na posao ili ´ce te biti otpuˇsteni.Neka ¬p bude iskaz ”Vi ´ce te dolaziti na vreme na posao”, a neka qbude iskaz ”Bi´ce te otpuˇsteni”. Tada gornji iskaz postaje ¬p ∨ q.Ako sada iskoristimo logiˇcku ekvivalenciju p ⇒ q ≡ ¬p ∨ q, dolazimodo ekvivalentnog iskazaAko ne dolazite na vreme na posao, onda ´ce te biti otpuˇsteni.Diskretne strukture – 11 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 11 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 11 – Iskazna logika - II deo
    • Logiˇcke ekvivalencije sa implikacijomLogiˇcke ekvivalencije sa implikacijomLogiˇcke ekvivalencije sa implikacijomPrimer 5: Negacija implikacije: ¬(p ⇒ q) ≡ p ∧ ¬qI ovu ekvivalenciju moˇzemo dokazati formiraju´ci istinitosnu tablicu, aliovde ´cemo primeniti onaj drugi metod o kome smo govorili – transfor-maciju izraza:Naime, imamo da vaˇzi slede´ce:¬(p ⇒ q) ≡ ¬(¬p ∨ q) (jer je p ⇒ q ≡ ¬p ∨ q)≡ ¬(¬p) ∧ (¬q) (na osnovu De Morganovih zakona)≡ p ∧ ¬q (na osnovu Zakona dvojne negacije)Prema tome, dokazali smo da je ¬(p ⇒ q) ≡ p ∧ ¬q.Diskretne strukture – 12 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 12 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 12 – Iskazna logika - II deo
    • Logiˇcke ekvivalencije sa implikacijomLogiˇcke ekvivalencije sa implikacijomLogiˇcke ekvivalencije sa implikacijomPrimer 6: Primena negacije implikacijeNapisati negacije slede´cih iskaza:(a) Ako je moj automobil kod automehaniˇcara, onda ne´cu mo´cida dod¯em na ˇcas.(b) Ako Sara ˇzivi u Atini, onda ona ˇzivi u Grˇckoj.Reˇsenje:(a) Moj automobil je kod automehaniˇcara i mo´ci ´cu da dod¯em na ˇcas.(b) Sara ˇzivi u Atini i ne ˇzivi u Grˇckoj.Primetimo da je ovaj poslednji iskaz istinit, jer gradovi sa imenom Atinapostoje i van Grˇcke.Diskretne strukture – 13 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 13 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 13 – Iskazna logika - II deo
    • KontrapozicijaKontrapozicijaKontrapozicijaKontrapozicija iskaza ”ako p onda q” je iskaz ”ako nije q, onda nije p”.Simboliˇcki izraˇzeno, kontrapozicija od p ⇒ q je ¬q ⇒ ¬p.Teorema 2: Svaki uslovni iskaz je logiˇcki ekvivalentan svojojkontrapoziciji, odnosno p ⇒ q ≡ ¬q ⇒ ¬p.Dokaz: Teoremu dokazujemo slede´cim nizom ekvivalencija:p ⇒ q ≡ ¬p ∨ q (na osnovu p ⇒ q ≡ ¬p ∨ q)≡ q ∨ ¬p (na osnovu Zakona komutativnosti)≡ ¬(¬q) ∨ ¬p (na osnovu Zakona dvojne negacije)≡ ¬q ⇒ ¬p (na osnovu ¬p ∨ q ≡ p ⇒ q)Ekvivalenciju p ⇒ q ≡ ¬q ⇒ ¬p nazivamo Zakon kontrapozicije.Diskretne strukture – 14 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 14 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 14 – Iskazna logika - II deo
    • KontrapozicijaKontrapozicijaKontrapozicijaPrimer 7: Odrediti kontrapoziciju slede´cih iskaza:(a) Ako Petar moˇze da prepliva jezero, onda Petar moˇze da dopliva doostrva.(b) Ako je danas Uskrs, onda je sutra ponedeljak.Reˇsenje:(a) Ako Petar ne moˇze da dopliva do ostrva, onda Petar ne moˇze daprepliva jezero.(b) Ako sutra nije ponedeljak, onda danas nije Uskrs.Diskretne strukture – 15 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 15 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 15 – Iskazna logika - II deo
    • KontrapozicijaKontrapozicijaKontrapozicijaPrimer 8: U situaciji kada dokazujemo iskaz oblika p ⇒ q, ˇcesto sedeˇsava da je jednostavnije dokazati njegovu kontrapoziciju¬q ⇒ ¬p, nego sam taj iskaz.Na primer, ako treba dokazati implikacijuxy 0 ⇒ x 0 ∨ y 0onda je jednostavnije dokazati njenu kontrapozicijux > 0 ∧ y > 0 ⇒ xy > 0Diskretne strukture – 16 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 16 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 16 – Iskazna logika - II deo
    • Konverzija i inverzijaKonverzija i inverzijaKonverzija i inverzijaKonverzija iskaza zadatog formulom p ⇒ q je iskaz zadat sa q ⇒ p.Inverzija iskaza zadatog formulom p ⇒ q je iskaz zadat sa ¬p ⇒ ¬q.Za razliku od kontrapozicije od p ⇒ q, za koju smo dokazali da je ekvi-valentna sa p ⇒ q, konverzija i inverzija od p ⇒ q nisu ekvivalentnesa p ⇒ q, ˇsto se vidi iz slede´ce tablice:p q ¬p ¬q q ⇒ p p ⇒ q ¬p ⇒ ¬q1 1 0 0 1 = 1 = 11 0 0 1 1 = 0 = 10 1 1 0 0 = 1 = 00 0 1 1 1 = 1 = 1Diskretne strukture – 17 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 17 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 17 – Iskazna logika - II deo
    • Konverzija i inverzijaKonverzija i inverzijaKonverzija i inverzijaIz prethodne tablice se takod¯e vidi da su konverzija i inverzija od p ⇒ qmed¯usobno logiˇcki ekvivalentne.To je zato ˇsto inverzija od p ⇒ q (odnosno ¬p ⇒ ¬q) zapravo jestekontrapozicija konverzije od p ⇒ q (odnosno od q ⇒ p).Kao ˇsto ´cemo kasnije videti, jedna od ˇcestih greˇsaka u rezonovanju jezamena implikacije njenom konverzijom ili inverzijom, zbog pogreˇsnogshvatanja da su konverzija i inverzija logiˇcki ekvivalentne sa tom impli-kacijom.Kao ˇsto smo to ovde videli, to se sme ˇciniti samo sa kontrapozicijom.Diskretne strukture – 18 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 18 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 18 – Iskazna logika - II deo
    • Konverzija i inverzijaKonverzija i inverzijaKonverzija i inverzijaPrimer 9: Odrediti konverziju i inverziju iskaza iz Primera 7:(a) Ako Petar moˇze da prepliva jezero, onda Petar moˇze da dopliva doostrva.(b) Ako je danas Uskrs, onda je sutra ponedeljak.Reˇsenje:(a) Konverzija: Ako Petar moˇze da dopliva do ostrva, onda Petar moˇzeda prepliva jezero.Inverzija: Ako Petar ne moˇze da prepliva jezero, onda Petar nemoˇze da dopliva do ostrva.(b) Konverzija: Ako je sutra ponedeljak, onda je danas Uskrs.Inverzija: Ako danas nije Uskrs, onda sutra nije ponedeljak.Diskretne strukture – 19 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 19 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 19 – Iskazna logika - II deo
    • EkvivalencijaEkvivalencijaEkvivalencijaEkvivalencija iskaza p i q je iskaz ”p ako i samo ako q”, u oznaci p ⇔ q.Ekvivalencija je taˇcan iskaz ako su p i q ili oba taˇcna ili oba netaˇcna.U preostalim sluˇcajevima ekvivalencija je netaˇcan iskaz.Istinitosne vrednosti ekvivalencije su zadate slede´com tablicom:p q p ⇔ q1 1 11 0 00 1 00 0 1Diskretne strukture – 20 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 20 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 20 – Iskazna logika - II deo
    • EkvivalencijaEkvivalencijaEkvivalencijaEkvivalencija p ⇔ q po istinitosti odgovara iskazu”ako p onda q i ako q onda p”,odnosno iskazu(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p).Ekvivalencija p ⇔ q se formuliˇse i kao”p je ekvivalentno sa q”.Takod¯e, s obzirom na uoˇcenu vezu izmed¯u implikacije i ekvivalencije,iskaz p ⇔ q formuliˇse se i na slede´ci naˇcin:”p je potrebno i dovoljno za q”.Diskretne strukture – 21 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 21 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 21 – Iskazna logika - II deo
    • EkvivalencijaEkvivalencijaEkvivalencijaPrimer 10: Reˇcenice”Trouglovi T1 i T2 su podudarni””Trouglovi T1 i T2 imaju podudarne po dve stranice i njima za-hva´cen ugao”zadaju ekvivalentne iskaze.Ta ˇcinjenica se formuliˇse i kao jedan od opˇstih stavova o podudarnostitrouglova”Dva trougla su podudarna ako i samo ako imaju podudarne po dvestranice i njima zahva´ceni ugao”Diskretne strukture – 22 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 22 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 22 – Iskazna logika - II deo
    • EkvivalencijaEkvivalencijaEkvivalencijaNapomena 1: Ekvivalencijom se u matematici ˇcesto definiˇsu novitermini, polaze´ci od ve´c poznatih.”Prirodan broj razliˇcit od jedinice je prost ako i samo ako je deljivsamo sa sobom i sa jedinicom.”Ovom reˇcenicom definisan je prost broj poznatim pojmovima koji ˇcinesadrˇzaj drugog iskaza ekvivalencije.Dakle, iako ova reˇcenica ima formu iskaza, njome nije zadat iskaz, ve´cdefinicija.Ako je jasno da je u pitanju definicija, u odgovaraju´coj reˇcenici se ˇcestoizostavlja deo ”samo ako”, iako se podrazumeva da i taj pravac vaˇzi.Diskretne strukture – 23 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 23 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 23 – Iskazna logika - II deo
    • Ekvivalencija i implikacijaEkvivalencija i implikacijaEkvivalencija i implikacijaPrimer 11: Zamena ekvivalencije implikacijom i konjunkcijom:p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)Ova logiˇcka ekvivalencija dokazuje se slede´com istinitosnom tablicomp q p ⇒ q q ⇒ p p ⇔ q (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)1 1 1 1 1 = 11 0 0 1 0 = 00 1 1 0 0 = 00 0 1 1 1 = 1Diskretne strukture – 24 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 24 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 24 – Iskazna logika - II deo
    • Ekvivalencija i implikacijaEkvivalencija i implikacijaEkvivalencija i implikacijaNapomena 2: Primena logiˇcke ekvivalencijep ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)Ova logiˇcka ekvivalencija se veoma ˇcesto koristi u svakodnevnoj matema-tiˇckoj praksi.Naime, kada dokazujemo neko tvrd¯enje oblika p ⇔ q, mi veoma ˇcestoto dokazujemo na taj naˇcin ˇsto ponaosob dokazujemo svaku od impli-kacija p ⇒ q i q ⇒ p.To se ˇcesto moˇze pokazati kao jednostavniji naˇcin.Diskretne strukture – 25 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 25 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 25 – Iskazna logika - II deo
    • Iskazne formule – formalna definicijaIskazne formule – formalna definicijaIskazne formule – formalna definicijaCilj iskazne logike je da se upotrebom matematiˇcke simbolike prevazid¯uproblemi koji mogu da nastanut zbog nemogu´cnosti da na zadovoljavaju´ci naˇcin definiˇsemo pojamiskaza;t zbog nepreciznosti i viˇsesmislenosti koje se mogu javiti ako se ulogici koristi prirodni jezik.To znaˇci da sloˇzeni iskazi, u kojima se javlja viˇse jednostavnijih iskazai viˇse veznika, treba da se formiraju prema jasno i precizno utvrd¯enimpravilima.Zbog toga, iako smo ranije dali neformalnu definiciju iskazne formule,ovde dajemo i sasvim preciznu, formalnu definiciju.Diskretne strukture – 26 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 26 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 26 – Iskazna logika - II deo
    • Jezik iskazne logikeJezik iskazne logikeJezik iskazne logikePri utvrd¯ivanju tih pravila najpre se odred¯uje jezik koji ˇcinet simboli p, q, r, . . . , p1, q1, r1, . . . kojima se oznaˇcavaju iskazi.Kao ˇsto smo rekli, oni se zovu iskazna slova;t simboli ¬, ∧, ∨, ⇒ i ⇔ kojima se oznaˇcavaju logiˇcki veznici.Se´camo se da se oni zovu znaci logiˇckih operacija;t znaci ( i ) (zagrade), koje nazivamo pomo´cni znaci.Za znak ¬ kaˇzemo da je unaran, a za ostale znake logiˇckih operacijada su binarni znaci.Diskretne strukture – 27 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 27 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 27 – Iskazna logika - II deo
    • Definicija iskazne formuleDefinicija iskazne formuleDefinicija iskazne formuleUz pomo´c iskaznih slova, veznika i pomo´cnih znaka mogu se obrazovatiizrazi, pod ˇcime podrazumevamo konaˇcne nizove tih simbola.Neke od tih izraza, koje smatramo pravilno formiranim, nazivamo iskaz-nim formulama.Naime, iskazne formule definiˇsu se induktivno, pomo´cu slede´cih pravila:1. Iskazna slova su iskazne formule.2. Ako su P i Q iskazne formule, onda su iskazne formule i izrazi¬P , (P ∧ Q), (P ∨ Q), (P ⇒ Q), (P ⇔ Q).3. Iskazne formule su samo oni izrazi koji se mogu formirati pri-menom pravila 1. i 2. konaˇcan broj puta.Diskretne strukture – 28 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 28 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 28 – Iskazna logika - II deo
    • Definicija iskazne formuleDefinicija iskazne formuleDefinicija iskazne formuleNa primer, izrazip, ¬¬r, (p ∧ q), (¬p ⇒ q), ((p ∨ ¬q) ⇔ (r ∧ ¬p))su iskazne formule, dok slede´ci izrazi nisu iskazne formule:(p∧), (⇒ p ⇒).Svaku podreˇc, odnosno podniz, iskazne formule koji je i sam iskaznaformula nazivamo njenom podformulom.Na primer, ¬r i (p ⇒ ¬q) su podformule iskazne formule((p ∧ ¬r) ∨ ¬(p ⇒ ¬q)).Diskretne strukture – 29 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 29 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 29 – Iskazna logika - II deo
    • Konvencija o brisanju zagradaKonvencija o brisanju zagradaKonvencija o brisanju zagradaPrema definiciji, izraz oblika P ⇒ Q, gde su P i Q formule, nije for-mula, jer nema spoljnih zagrada oko tog iskaza.Med¯utim, mi uvodimo konvenciju o brisanju zagrada koja obezbed¯ujeda i takvi izrazi budu formule i olakˇsava nam rad sa formulama.Konvenciju o brisanju zagrada ˇcine slede´ca pravila:1. Izostavljaju se spoljne zagrade, kao na primer u izrazima(p ∧ q), ((p ⇒ q) ⇒ r)i sliˇcno.Diskretne strukture – 30 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 30 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 30 – Iskazna logika - II deo
    • Konvencija o brisanju zagradaKonvencija o brisanju zagradaKonvencija o brisanju zagrada2. Uklanjanje zagrada usled asocijativnosti: Ako se u iskaznoj for-muli javlja samo konjunkcija, ili samo disjunkcija, onda moˇzemoizbrisati sve zagrade, jer nije bitan redosled kojim ´cemo prime-njivati te veznike.Na primer, ako su P , Q, i R bilo koje iskazne formule, umesto(P ∧ Q) ∧ R i P ∧ (Q ∧ R) piˇsemo jednostavno P ∧ Q ∧ R.Sliˇcno, p1 ∧ p2 ∧ p3 ∧ p4 zamenjuje bilo koji od izraza((p1 ∧(1)p2) ∧(2)p3) ∧(3)p4, (p1 ∧(1)p2) ∧(3)(p3 ∧(2)p4),(p1 ∧(2)(p2 ∧(1)p3)) ∧(3)p4, (p1 ∧(2)p2) ∧(3)(p3 ∧(1)p4),p1 ∧(3)((p2 ∧(1)p3) ∧(2)p4), p1 ∧(3)(p2 ∧(2)(p3 ∧(1)p4))Isto vaˇzi i za disjunkciju.Diskretne strukture – 31 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 31 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 31 – Iskazna logika - II deo
    • Konvencija o brisanju zagradaKonvencija o brisanju zagradaKonvencija o brisanju zagrada3. Dogovor o redosledu veznika:1. ¬Najpre primenjujemo negaciju.2. ∧, ∨Drugo, primenjujemo konjunkciju i disjunkciju. Ako su obeprisutne, mogu biti neophodne zagrade.3. ⇒, ⇔Tre´ce, primenjujemo implikaciju i ekvivalenciju. Ako su obeprisutne, mogu biti neophodne zagrade.Na primer,umesto p ⇒ (q ∧ r) piˇsemo p ⇒ q ∧ rumesto (p ∧ ¬q) ⇔ (¬p ∨ r) piˇsemo p ∧ ¬q ⇔ ¬p ∨ rDiskretne strukture – 32 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 32 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 32 – Iskazna logika - II deo
    • Konvencija o brisanju zagradaKonvencija o brisanju zagradaKonvencija o brisanju zagradaKaˇze se joˇs i da veznici ⇒ i ⇔ ”jaˇce razdvajaju” od veznika ∧ i ∨.Napomenimo i to da se definicija podformule odnosi samo na iskaznuformulu kod koje nisu uklonjene zagrade.Na primer, p ⇒ q nije podformula formule p ⇒ q ∧ r, jer je to samouproˇs´ceni zapis formule p ⇒ (q ∧ r).Diskretne strukture – 33 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 33 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 33 – Iskazna logika - II deo
    • Istinitosna vrednost formuleIstinitosna vrednost formuleIstinitosna vrednost formuleKao ˇsto smo videli, istinitost nekog iskaza zavisi od istinitosti jednos-tavnijih iskaza koji ga ˇcine.To znaˇci da bi istinitosna vrednost iskazne formule trebala da zavisi odistinitosnih vrednosti iskaznih slova koja se u njoj javljaju.Zato odred¯ivanje istinitosne vrednosti iskazne formule P treba poˇcetidodeljivanjem izvesnih istinitosnih vrednosti svim iskaznim slovima kojase u njoj javljaju.Potom se te istinitosne vrednosti sa slova prenose na celu formulu P .To se moˇze formalizovati na naˇcin prikazan u daljem tekstu.Diskretne strukture – 34 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 34 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 34 – Iskazna logika - II deo
    • Istinitosna vrednost formuleIstinitosna vrednost formuleIstinitosna vrednost formuleNeka je dat konaˇcan niz iskaznih formula P1, P2, . . . , Pn i neka sup1, p2, . . . , pk sva iskazna slova koja se javljaju u tim formulama.Interpretacija iskaznih formula P1, P2, . . . , Pn se definiˇse kao funkcijav : {p1, p2, . . . , pk} → {1, 0}koja svakom iskaznom slovu pi, i ∈ {1, 2, . . . , k}, pridruˇzuje izvesnuvrednost v(pi) ∈ {1, 0}.Vrednost v(pi) naziva se istinitosna vrednost iskaznog slova pi.Dakle, interpretacija je dodeljivanje istinitosnih vrednosti svim iskaznimslovima koja se javljaju u formulama P1, P2, . . . , Pn.Diskretne strukture – 35 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 35 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 35 – Iskazna logika - II deo
    • Istinitosna vrednost formuleIstinitosna vrednost formuleIstinitosna vrednost formuleSada dajemo formalnu definiciju koja omogu´cuje da se istinitosna vred-nost formule izvede iz istinitosnih vrednosti slova koja se u njoj javljaju.Istinitosna vrednost formule P u interpretaciji v definiˇse se induktivno,po sloˇzenosti formule P :1. Ako formula P jeste iskazno slovo p, onda jev(P )def= v(p).2. Ako je P = ¬Q i poznata je vrednost v(Q), onda jev(P )def= ¬v(Q).3. Ako je P = Q ∗ R, gde je ∗ jedan od logiˇckih veznika ∧, ∨, ⇒i ⇔, i poznate su vrednosti v(Q) i v(R), onda jev(P )def= v(Q) ∗ v(R).Diskretne strukture – 36 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 36 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 36 – Iskazna logika - II deo
    • Istinitosna vrednost formuleIstinitosna vrednost formuleIstinitosna vrednost formuleDrugim reˇcima,v(Q ∧ R)def= v(Q) ∧ v(R), v(Q ∨ R)def= v(Q) ∨ v(R),v(Q ⇒ R)def= v(Q) ⇒ v(R), v(Q ⇔ R)def= v(Q) ⇔ v(R).Primetimo da su vrednosti na desnoj strani jednakosti iz skupa {1, 0},a znaci ¬, ∧, ∨, ⇒ i ⇔ na desnoj strani predstavljaju operacije uiskaznoj algebri.Istim tim znacima na levoj strani oznaˇceni su logiˇcki veznici.Diskretne strukture – 37 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 37 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 37 – Iskazna logika - II deo
    • Istinitosna vrednost formuleIstinitosna vrednost formuleIstinitosna vrednost formuleUoˇcimo joˇs jednom da vrednost formule zavisi od interpretacije u kojojse posmatra – u razliˇcitim interpretacijama ona moˇze imati razliˇcitevrednosti.Takod¯e, istinitosna vrednost sloˇzenih formula odred¯uje se tako ˇsto senajpre odrede istinitosne vrednosti jednostavnijih formula koje je grade,polaze´ci od iskaznih slova.Ako u nekoj interpretaciji vrednost formule jednaka 1, onda kaˇzemo daje formula taˇcna u toj interpretaciji.Ako je vrednost formule u toj interpretaciji jednaka 0, kaˇzemo da jeformula netaˇcna u toj interpretaciji.Diskretne strukture – 38 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 38 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 38 – Iskazna logika - II deo
    • Istinitosna vrednost formuleIstinitosna vrednost formuleIstinitosna vrednost formulePrimer 12: Posmatrajmo iskaznu formulu p ∧ (q ⇔ ¬r).Iskazna slova koja se u njoj javljaju su p, q i r. Dodelimo im redomvrednosti 1, 0, 0. To je jedna intepretacija date formule. Tada jev(p ∧ (q ⇔ ¬r)) = v(p) ∧ (v(q) ⇔ ¬v(r)) == 1 ∧ (0 ⇔ ¬0) == 1 ∧ (0 ⇔ 1) == 1 ∧ 0 = 0.Dakle, u ovoj interpretaciji ova formula je netaˇcna.Za neke druge vrednosti iskaznih slova p, q i r, tj. za neku druguinterpretaciju, trebalo bi, razume se, ponovo odrediti vrednost formule,i moˇze se desiti da tada formula bude i taˇcna.Diskretne strukture – 39 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 39 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 39 – Iskazna logika - II deo
    • Istinitosna vrednost formuleIstinitosna vrednost formuleIstinitosna vrednost formuleIstinitosne vrednosti formule u svim mogu´cim interpretacijama odred¯ujuse formiranjem istinitosne tablice te formule.Budu´ci da svakoj interpretaciji formule odgovara jedan raspored simbola1 i 0 po slovima formule, u tablicu se unose svi ti rasporedi.Za svaki raspored odred¯uju se vrednosti podformula i na kraju vrednostsame formule.Ako razliˇcitih iskaznih slova u formuli ima n, onda svaki raspored sim-bola 1 i 0 po slovima jeste jedna ured¯ena n-torka tih simbola.Svih rasporeda, pa tako i svih interpretacija formule, ima dakle 2n.Diskretne strukture – 40 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 40 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 40 – Iskazna logika - II deo
    • Istinitosna vrednost formuleIstinitosna vrednost formuleIstinitosna vrednost formuleNa primer, razmotrimo opet formulu p ∧ (q ⇔ ¬r).Svih interpretacija te formule ima 23= 8, i vrednost formule za svakuod tih interpretacija odred¯ena je slede´com istinitosnom tablicom:p q r ¬r q ⇔ ¬r p ∧ (q ⇔ ¬r)1 1 1 0 0 01 1 0 1 1 11 0 1 0 1 11 0 0 1 0 00 1 1 0 0 00 1 0 1 1 00 0 1 0 1 00 0 0 1 0 0Diskretne strukture – 41 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 41 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 41 – Iskazna logika - II deo
    • Ekvivalencija i logiˇcka ekvivalencijaEkvivalencija i logiˇcka ekvivalencijaEkvivalencija i logiˇcka ekvivalencijaVezu izmed¯u ekvivalencije, kao logiˇckog veznika, i logiˇcke ekvivalencije,daje nam slede´ca teorema:Teorema 3: Iskazne formule P i Q su logiˇcki ekvivalentne ako isamo ako je P ⇔ Q tautologija, odnosnoP ≡ Q ako i samo ako |= P ⇔ Q.Dokaz: Ovde ´cemo primeniti logiˇcku ekvivalenciju iz Primera 11, odnos-no, dokaza´cemo najpre da P ≡ Q povlaˇci |= P ⇔ Q, a potom da|= P ⇔ Q povlaˇci P ≡ Q.Setimo se da P ≡ Q vaˇzi ako i samo ako formule P i Q imaju istuistinitosnu vrednost u svakoj svojoj interpretaciji.Sa druge strane, |= P ⇔ Q vaˇzi ako i samo ako je formula P ⇔ Qtaˇcna u svakoj svojoj interpretaciji.Diskretne strukture – 42 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 42 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 42 – Iskazna logika - II deo
    • Ekvivalencija i logiˇcka ekvivalencijaEkvivalencija i logiˇcka ekvivalencijaEkvivalencija i logiˇcka ekvivalencija1) P ≡ Q povlaˇci |= P ⇔ Q:Da bi dokazali da vaˇzi |= P ⇔ Q, treba dokazati da je formula P ⇔ Qtaˇcna u svakoj svojoj interpretaciji.Zato, neka je v proizvoljna interpretacija formula P i Q, tj. proizvoljnododeljivanje istinitosnih vrednosti svim slovima koja se javljaju u formu-lama P i Q, odnosno u formuli P ⇔ Q.Prema pretpostavci je P ≡ Q, ˇsto znaˇci da je v(P ) = v(Q), pa jev(P ⇔ Q) = v(P ) ⇔ v(Q) = 1.Dakle, dokazali smo da je |= P ⇔ Q.Diskretne strukture – 43 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 43 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 43 – Iskazna logika - II deo
    • Ekvivalencija i logiˇcka ekvivalencijaEkvivalencija i logiˇcka ekvivalencijaEkvivalencija i logiˇcka ekvivalencija2) |= P ⇔ Q povlaˇci P ≡ Q:Da bi dokazali da je P ≡ Q, treba dokazati da je v(P ) = v(Q), zaproizvoljnu interpretaciju v formula P i Q.Zato, neka je v proizvoljna interpretacija formula P i Q, tj. proizvoljnododeljivanje istinitosnih vrednosti svim slovima koja se javljaju u formu-lama P i Q, odnosno u formuli P ⇔ Q.Prema pretpostavci je |= P ⇔ Q, ˇsto znaˇci da je v(P ⇔ Q) = 1,odnosno, v(P ) ⇔ v(Q) = 1.Iz istinitosne tablice za ekvivalenciju vidimo da je to mogu´ce u sluˇcajukada je v(P ) = 1 i v(Q) = 1, ili u sluˇcaju v(P ) = 0 i v(Q) = 0.U oba sluˇcaja je v(P ) = v(Q), i time smo dokazali da je P ≡ Q.Diskretne strukture – 44 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 44 – Iskazna logika - II deoDiskretne strukture – 44 – Iskazna logika - II deo