Neure ¯deni izbori bez ponavljanjaNeure ¯deni izbori bez ponavljanjaNeure ¯deni izbori bez ponavljanja
U prethodnom odeljk...
Neure ¯deni izbori bez ponavljanjaNeure ¯deni izbori bez ponavljanjaNeure ¯deni izbori bez ponavljanja
Definicija 5.1. Neka...
Neure ¯deni izbori bez ponavljanjaNeure ¯deni izbori bez ponavljanjaNeure ¯deni izbori bez ponavljanja
Primetimo da oznaka...
Neure ¯deni izbori bez ponavljanjaNeure ¯deni izbori bez ponavljanjaNeure ¯deni izbori bez ponavljanja
Sa druge strane, od...
Neure ¯deni izbori sa ponavljanjemNeure ¯deni izbori sa ponavljanjemNeure ¯deni izbori sa ponavljanjem
Ako u neured¯enom i...
Neure ¯deni izbori sa ponavljanjemNeure ¯deni izbori sa ponavljanjemNeure ¯deni izbori sa ponavljanjem
Prema tome, broj ne...
Neure ¯deni izbori sa ponavljanjemNeure ¯deni izbori sa ponavljanjemNeure ¯deni izbori sa ponavljanjem
Sada smo, dakle, za...
Neure ¯deni izbori sa ponavljanjemNeure ¯deni izbori sa ponavljanjemNeure ¯deni izbori sa ponavljanjem
Ovim smo dokazali s...
Binomni koeficijentiBinomni koeficijentiBinomni koeficijenti
Binomni koeficijenti imaju veoma veliki broj primena i sasvim sig...
Binomni koeficijentiBinomni koeficijentiBinomni koeficijenti
Dokaz: Ova jednakost se dobija proˇsirenjem razlomka u definiciji...
Binomni koeficijentiBinomni koeficijentiBinomni koeficijenti
Uslov simetriˇcnosti:
Uz pomo´c faktorijelne reprezentacije se l...
Binomni koeficijentiBinomni koeficijentiBinomni koeficijenti
Kombinatorno, jednakost (3) znaˇci da je broj k-toˇclanih podsku...
Binomni koeficijentiBinomni koeficijentiBinomni koeficijenti
Adiciona formula:
Uz pomo´c faktorijelne reprezentacije se dokaz...
Binomni koeficijentiBinomni koeficijentiBinomni koeficijenti
Izaberimo proizvoljan element a ∈ X.
Sada k-toˇclane podskupove ...
Binomni koeficijentiBinomni koeficijentiBinomni koeficijenti
Sve u svemu, dobijamo da je broj k-toˇclanih podskupova skupa X
...
Binomni koeficijentiBinomni koeficijentiBinomni koeficijenti
Paskalov trougao:
Jednakost (4) je blisko povezana sa tzv. Paska...
Binomni koeficijentiBinomni koeficijentiBinomni koeficijenti
Paskalov trougao se dobija tako ˇsto se poˇcne sa redom koji sad...
Binomna formulaBinomna formulaBinomna formula
Najvaˇznije svojstvo binomnih koeficijenata dato je formulom koju doka-
zujem...
Binomna formulaBinomna formulaBinomna formula
Pretpostavimo sada da (5) vaˇzi za neko n ∈ N i dokaˇzimo da vaˇzi i za
n + ...
Binomna formulaBinomna formulaBinomna formula
=
n
n
xn+1
y0
+
n
k=1
n
k − 1
xk
yn−k+1
+
n
0
x0
yn+1
+
n
k=1
n
k
xk
yn−k+1
...
Binomna formulaBinomna formulaBinomna formula
Ako u binomnoj teoremi stavimo y = 1 tada dobijamo vaˇzan specijalni
sluˇcaj...
Binomna formulaBinomna formulaBinomna formula
Sabiranjem, odnosno oduzimanjem, identiteta (7) i (8) takod¯e dobi-
jamo
n
0...
Binomni identitetiBinomni identitetiBinomni identiteti
Binomni koeficijenti zadovoljavaju na hiljade identiteta, i ve´c vek...
Analitiˇcko dokazivanje identitetaAnalitiˇcko dokazivanje identitetaAnalitiˇcko dokazivanje identiteta
Izvlaˇcenje iz zagr...
Analitiˇcko dokazivanje identitetaAnalitiˇcko dokazivanje identitetaAnalitiˇcko dokazivanje identiteta
Sumaciona formula:
...
Analitiˇcko dokazivanje identitetaAnalitiˇcko dokazivanje identitetaAnalitiˇcko dokazivanje identiteta
Pretpostavimo sada ...
Analitiˇcko dokazivanje identitetaAnalitiˇcko dokazivanje identitetaAnalitiˇcko dokazivanje identiteta
ˇSto se tiˇce jedna...
Analitiˇcko dokazivanje identitetaAnalitiˇcko dokazivanje identitetaAnalitiˇcko dokazivanje identiteta
Jednakost (13) se ˇ...
Analitiˇcko dokazivanje identitetaAnalitiˇcko dokazivanje identitetaAnalitiˇcko dokazivanje identiteta
Reˇsenje, koje smo ...
Analitiˇcko dokazivanje identitetaAnalitiˇcko dokazivanje identitetaAnalitiˇcko dokazivanje identiteta
Pojednostavljivanje...
Kombinatorno dokazivanje identitetaKombinatorno dokazivanje identitetaKombinatorno dokazivanje identiteta
Kao ˇsto smo ve´...
Kombinatorno dokazivanje identitetaKombinatorno dokazivanje identitetaKombinatorno dokazivanje identiteta
Dokaz: Najpre do...
Kombinatorno dokazivanje identitetaKombinatorno dokazivanje identitetaKombinatorno dokazivanje identiteta
Sve u svemu, n-t...
Kombinatorno dokazivanje identitetaKombinatorno dokazivanje identitetaKombinatorno dokazivanje identiteta
Jednakosti u pre...
Princip ukljuˇcenja-iskljuˇcenjaPrincip ukljuˇcenja-iskljuˇcenjaPrincip ukljuˇcenja-iskljuˇcenja
Jedan od osnovnih princip...
Princip ukljuˇcenja-iskljuˇcenjaPrincip ukljuˇcenja-iskljuˇcenjaPrincip ukljuˇcenja-iskljuˇcenja
Sliˇcno rasud¯ivanje prim...
Princip ukljuˇcenja-iskljuˇcenjaPrincip ukljuˇcenja-iskljuˇcenjaPrincip ukljuˇcenja-iskljuˇcenja
Na ovaj naˇcin smo doˇsli...
Princip ukljuˇcenja-iskljuˇcenjaPrincip ukljuˇcenja-iskljuˇcenjaPrincip ukljuˇcenja-iskljuˇcenja
Reˇsenje: Neka su sa D, A...
Princip ukljuˇcenja-iskljuˇcenjaPrincip ukljuˇcenja-iskljuˇcenjaPrincip ukljuˇcenja-iskljuˇcenja
Prethodno rasud¯ivanje mo...
Princip ukljuˇcenja-iskljuˇcenjaPrincip ukljuˇcenja-iskljuˇcenjaPrincip ukljuˇcenja-iskljuˇcenja
Princip ukljuˇcenja-isklj...
Princip ukljuˇcenja-iskljuˇcenjaPrincip ukljuˇcenja-iskljuˇcenjaPrincip ukljuˇcenja-iskljuˇcenja
Dokaz indukcijom: Indukci...
Princip ukljuˇcenja-iskljuˇcenjaPrincip ukljuˇcenja-iskljuˇcenjaPrincip ukljuˇcenja-iskljuˇcenja
Ako sada primenimo indukc...
Princip ukljuˇcenja-iskljuˇcenjaPrincip ukljuˇcenja-iskljuˇcenjaPrincip ukljuˇcenja-iskljuˇcenja
U drugoj sumi se javljaju...
Princip ukljuˇcenja-iskljuˇcenjaPrincip ukljuˇcenja-iskljuˇcenjaPrincip ukljuˇcenja-iskljuˇcenja
Dokaz prebrojavanjem: Pos...
Princip ukljuˇcenja-iskljuˇcenjaPrincip ukljuˇcenja-iskljuˇcenjaPrincip ukljuˇcenja-iskljuˇcenja
Kardinalnosti preseka k-t...
Princip ukljuˇcenja-iskljuˇcenjaPrincip ukljuˇcenja-iskljuˇcenjaPrincip ukljuˇcenja-iskljuˇcenja
Primer 5.8. Jednog zimsko...
Princip ukljuˇcenja-iskljuˇcenjaPrincip ukljuˇcenja-iskljuˇcenjaPrincip ukljuˇcenja-iskljuˇcenja
Naˇse pitanje sada glasi:...
Princip ukljuˇcenja-iskljuˇcenjaPrincip ukljuˇcenja-iskljuˇcenjaPrincip ukljuˇcenja-iskljuˇcenja
Koje permutacije leˇze u ...
Princip ukljuˇcenja-iskljuˇcenjaPrincip ukljuˇcenja-iskljuˇcenjaPrincip ukljuˇcenja-iskljuˇcenja
Primer 5.9. Neka su X i Y...
Princip ukljuˇcenja-iskljuˇcenjaPrincip ukljuˇcenja-iskljuˇcenjaPrincip ukljuˇcenja-iskljuˇcenja
Ako funkcija f : X → Y ni...
Princip ukljuˇcenja-iskljuˇcenjaPrincip ukljuˇcenja-iskljuˇcenjaPrincip ukljuˇcenja-iskljuˇcenja
U opˇstem sluˇcaju, Ai1 ∩...
Princip ukljuˇcenja-iskljuˇcenjaPrincip ukljuˇcenja-iskljuˇcenjaPrincip ukljuˇcenja-iskljuˇcenja
Inaˇce, ako vrednost
m
k=...
Predavanje15 DMA OSNOVE PREBROJAVANJA
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Predavanje15 DMA OSNOVE PREBROJAVANJA

88 views
69 views

Published on

PREBROJAVANJA BINOMNI KOEFICIJENTI,BINOMNA FORMA,ANALITICKO DOKAZIVANJE IDENTITETA

Published in: Education
0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
88
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
Downloads
0
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Predavanje15 DMA OSNOVE PREBROJAVANJA

  1. 1. Neure ¯deni izbori bez ponavljanjaNeure ¯deni izbori bez ponavljanjaNeure ¯deni izbori bez ponavljanja U prethodnom odeljku smo za matematiˇcko definisanje pojma ured¯enog izbora k elemenata konaˇcnog skupa X koristili preslikavanje f iz skupa {1, 2, . . . , n} u skup X. Na ovaj naˇcin, bili smo u mogu´cnosti da kaˇzemo da je element f(1) izabran prvi, element f(2) drugi, itd., a element f(n) poslednji. Sa druge strane, kod neured¯enog izbora elemenata skupa X nije vaˇzno koji je element izabran prvi, a koji poslednji, tako da nema potrebe uvoditi preslikavanja. S obzirom da sada razmatramo neured¯ene izbore elemenata bez ponav- ljanja, vidimo da oni predstavljaju k-toˇclane podskupove skupa X. Diskretne strukture – 2 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 2 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 2 – Osnove prebrojavanja - II deo
  2. 2. Neure ¯deni izbori bez ponavljanjaNeure ¯deni izbori bez ponavljanjaNeure ¯deni izbori bez ponavljanja Definicija 5.1. Neka je X skup, a k nenegativan ceo broj. Sa X k oznaˇcavamo skup svih k-toˇclanih podskupova skupa X. Na primer, {a,b,c} 2 = {{a, b}, {a, c}, {b, c}}. Definicija 5.2. Neka su n i k nenegativni celi brojevi takvi da je n k. Binomni koeficijent n k je funkcija promenljivih n i k zadata sa n k = n(n − 1)(n − 2)(n − k + 1) k(k − 1) · · · 2 · 1 = k−1 i=0 (n − i) k! . Posebne vrednosti binomnih koeficijenata su: n 0 def = 1, n 1 = n, n n = 1. Diskretne strukture – 3 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 3 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 3 – Osnove prebrojavanja - II deo
  3. 3. Neure ¯deni izbori bez ponavljanjaNeure ¯deni izbori bez ponavljanjaNeure ¯deni izbori bez ponavljanja Primetimo da oznaka x k sada ima dva znaˇcenja, zavisno od toga da li je x skup ili broj. Opravdanje za ovakav naˇcin oznaˇcavanja daje nam naredna teorema. Teorema 5.10. Broj k-toˇclanih podskupova konaˇcnog skupa X jednak je |X| k , tj. vaˇzi X k = |X| k . Dokaz: Neka je |X| = n. Ured¯ene izbore k elemenata skupa X bez ponavljanja moˇzemo prebrojati na dva naˇcina. Sa jedne strane, iz Teoreme 5.9 znamo da je ovaj broj jednak n(n − 1) . . . (n − k + 1). Diskretne strukture – 4 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 4 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 4 – Osnove prebrojavanja - II deo
  4. 4. Neure ¯deni izbori bez ponavljanjaNeure ¯deni izbori bez ponavljanjaNeure ¯deni izbori bez ponavljanja Sa druge strane, od svakog k-toˇclanog podskupa M ∈ X k , ured¯ivanjem njegovih elemenata, moˇzemo da dobijemo k! razliˇcitih ured¯enih izbora k elemenata. Vaˇzi i obratno, da svaki ured¯eni izbor k elemenata moˇze da se dobije na ovaj naˇcin, iz samo jednog k-toˇclanog podskupa M. Prema tome, n(n − 1) . . . (n − k + 1) = k! X k , odnosno X k = n(n − 1) . . . (n − k + 1) k! = n k = |X| k . Diskretne strukture – 5 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 5 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 5 – Osnove prebrojavanja - II deo
  5. 5. Neure ¯deni izbori sa ponavljanjemNeure ¯deni izbori sa ponavljanjemNeure ¯deni izbori sa ponavljanjem Ako u neured¯enom izboru elemenata dozvolimo ponavljanje, onda se to viˇse ne moˇze predstaviti obiˇcnim podskupovima. Pretpostavimo da smo napravili jedan neured¯eni izbor k elemenata sa ponavljanjem iz konaˇcnog skupa X = {a1, a2, . . . , an}. Za i = 1, 2, . . . , n, neka si oznaˇcava koliko je puta element ai izabran. Kako je ukupno izabrano k elemenata, to vaˇzi (1) s1 + s2 + . . . + sn = k, si 0, i = 1, 2, . . . , k. Sa druge strane, pretpostavimo da imamo ured¯enu n-torku nenegativ- nih celih brojeva (s1, s2, . . . , sn) koja zadovoljava prethodnu jednaˇcinu. Tada ona jednoznaˇcno opisuje jedan neured¯eni izbor elemenata sa po- navljanjem, jer si predstavlja broj pojavljivanja elementa ai u izboru. Diskretne strukture – 6 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 6 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 6 – Osnove prebrojavanja - II deo
  6. 6. Neure ¯deni izbori sa ponavljanjemNeure ¯deni izbori sa ponavljanjemNeure ¯deni izbori sa ponavljanjem Prema tome, broj neured¯enih izbora k elemenata sa ponavljanjem skupa X jednak je broju uredjenih n-torki nenegativnih celih brojeva (s1, s2, . . . , sn) koje zadovoljavaju (1). Da bismo naˇsli broj ovakvih ured¯enih n-torki, pretpostavimo da svaka od n promenljivih s1, s2, . . . , sn odgovara jednoj od n kutija u nizu. Neka je dato k jednakih lopti koje treba rasporediti u kutije na neki naˇcin, uz pretpostavku da svaka kutija moˇze da primi i svih k lopti ako je potrebno. Tada svaki mogu´ci raspored lopti odgovara jednom reˇsenju jednaˇcine (1). Na primer, za k = 7 i n = 6 reˇsenje 0+1+0+3+1+2 = 7 odgovara rasporedu lopti • • • • • • • Diskretne strukture – 7 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 7 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 7 – Osnove prebrojavanja - II deo
  7. 7. Neure ¯deni izbori sa ponavljanjemNeure ¯deni izbori sa ponavljanjemNeure ¯deni izbori sa ponavljanjem Sada smo, dakle, zainteresovani da nad¯emo broj rasporeda lopti u ku- tijama. Ako obriˇsemo dna kutija, kao i krajnji levi i desni zid kutija, tada ostaje samo k lopti i n − 1 unutraˇsnjih zidova koji ih razdvajaju: • • • • • • • Sada vidimo da raspored lopti u kutijama odgovara nizu od n + k − 1 objekata, od ˇcega je k lopti i n − 1 unutraˇsnjih zidova. Dakle, svaki raspored lopti je odredjen k-toˇclanim podskupom skupa {1, 2, . . . , n + k − 1}, koji predstavlja pozicije lopti u ovom nizu, pa je ukupan broj takvih rasporeda jednak n+k−1 k−1 . Diskretne strukture – 8 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 8 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 8 – Osnove prebrojavanja - II deo
  8. 8. Neure ¯deni izbori sa ponavljanjemNeure ¯deni izbori sa ponavljanjemNeure ¯deni izbori sa ponavljanjem Ovim smo dokazali slede´cu teoremu Teorema 5.11. Broj neured¯enih izbora k elemenata sa ponavljanjem skupa X jednak je |X| + k − 1 k − 1 . Drugaˇcije formulisano, broj neured¯enih izbora k elemenata sa ponav- ljanjem skupa sa n elemenata jednak je n + k − 1 k − 1 . Diskretne strukture – 9 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 9 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 9 – Osnove prebrojavanja - II deo
  9. 9. Binomni koeficijentiBinomni koeficijentiBinomni koeficijenti Binomni koeficijenti imaju veoma veliki broj primena i sasvim sigurno su najvaˇzniji kombinatorni pojam. Izmedju ostalog, oni se mnogo koriste i u analizi algoritama. Faktorijelna reprezentacija: Binomni koeficijenti se najlakˇse predstavljaju pomo´cu faktorijela. Teorema 5.12. Za sve cele brojeve n i k za koje je n k 0 vaˇzi (2) n k = n! k!(n − k)! . Diskretne strukture – 10 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 10 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 10 – Osnove prebrojavanja - II deo
  10. 10. Binomni koeficijentiBinomni koeficijentiBinomni koeficijenti Dokaz: Ova jednakost se dobija proˇsirenjem razlomka u definiciji bi- nomnog koeficijenta sa (n − k)!. Naime, n k = n(n − 1)(n − 2) · · · (n − k + 1) k(k − 1) · · · 2 · 1 = n(n − 1)(n − 2) · · · (n − k + 1) · (n − k)! k(k − 1) . . . 2 · 1 · (n − k)! = n! k!(n − k)! . Prethodna teorema, osim ˇsto omogu´cuje da se binomni koeficijenti predstave preko faktorijela, takod¯e omogu´cuje i da se razne kombinacije faktorijela predstave pomo´cu binomnih koeficijenata. Diskretne strukture – 11 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 11 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 11 – Osnove prebrojavanja - II deo
  11. 11. Binomni koeficijentiBinomni koeficijentiBinomni koeficijenti Uslov simetriˇcnosti: Uz pomo´c faktorijelne reprezentacije se lako dokazuje i slede´ce: Teorema 5.13. Za sve cele brojeve n i k za koje je n k 0 vaˇzi (3) n k = n n − k . Dokaz: Iz jednakosti (2) dobijamo n k = n! k!(n − k)! = n! (n − k)!k! = n! (n − k)!(n − (n − k))! = n n − k . Diskretne strukture – 12 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 12 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 12 – Osnove prebrojavanja - II deo
  12. 12. Binomni koeficijentiBinomni koeficijentiBinomni koeficijenti Kombinatorno, jednakost (3) znaˇci da je broj k-toˇclanih podskupova skupa X sa n elemenata jednak broju podskupova sa n−k elemenata. Ovo se moˇze proveriti i direktno – dovoljno je svakom k-toˇclanom podskupu dodeliti njegov komplement u X. Diskretne strukture – 13 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 13 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 13 – Osnove prebrojavanja - II deo
  13. 13. Binomni koeficijentiBinomni koeficijentiBinomni koeficijenti Adiciona formula: Uz pomo´c faktorijelne reprezentacije se dokazuje i slede´ce: Teorema 5.14. Za sve cele brojeve n i k za koje je n k 0 vaˇzi (4) n k = n − 1 k + n − 1 k − 1 . Dokaz: U ovom sluˇcaju elegantniji dokaz se dobija kombinatornim tumaˇcenjem obe strane jednakosti (4). Primetimo najpre da leva strana u (4) predstavlja broj k-toˇclanih pod- skupova nekog n-toˇclanog skupa X. Diskretne strukture – 14 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 14 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 14 – Osnove prebrojavanja - II deo
  14. 14. Binomni koeficijentiBinomni koeficijentiBinomni koeficijenti Izaberimo proizvoljan element a ∈ X. Sada k-toˇclane podskupove skupa X moˇzemo da podelimo u dve grupe, u zavisnosti od toga da li sadrˇze a ili ne. Podskupovi koji ne sadrˇze a su svi k-toˇclani podskupovi skupa X{a}, pa je njihov broj n−1 k . Ako je A neki k-toˇclani podskup skupa X koji sadrˇzi a, tada mu moˇzemo pridruˇziti skup A′ = A{a} koji sadrˇzi k − 1 elemenata. Lako je proveriti da je ovo pridruˇzivanje bijekcija izmedju svih k-toˇclanih podskupova skupa X koji sadrˇze a i svih podskupova sa k−1 elemenata skupa X{a}. Broj takvih podskupova je stoga jednak n−1 k−1 . Diskretne strukture – 15 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 15 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 15 – Osnove prebrojavanja - II deo
  15. 15. Binomni koeficijentiBinomni koeficijentiBinomni koeficijenti Sve u svemu, dobijamo da je broj k-toˇclanih podskupova skupa X jednak n − 1 k + n − 1 k − 1 . Prema tome, kako znamo da je broj k-toˇclanih podskupova skupa X jednak i n k , to zakljuˇcujemo da vaˇzi n k = n − 1 k + n − 1 k − 1 . Diskretne strukture – 16 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 16 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 16 – Osnove prebrojavanja - II deo
  16. 16. Binomni koeficijentiBinomni koeficijentiBinomni koeficijenti Paskalov trougao: Jednakost (4) je blisko povezana sa tzv. Paskalovim trouglom: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 . . . . . . . . . . . . + Diskretne strukture – 17 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 17 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 17 – Osnove prebrojavanja - II deo
  17. 17. Binomni koeficijentiBinomni koeficijentiBinomni koeficijenti Paskalov trougao se dobija tako ˇsto se poˇcne sa redom koji sadrˇzi samo broj 1, a zatim se svaki slede´ci red dobija tako ˇsto se ispod svakog para uzastopnih brojeva u prethodnom redu napiˇse njihov zbir, i na kraju se na oba kraja novog reda stavi broj 1. Indukcijom uz pomo´c jednakosti (4) moˇze da se dokaˇze da (n + 1)-vi red sadrˇzi binomne koeficijente n 0 , n 1 , . . . , n n . Paskalov trougao omogu´cava i da se proizvoljan binomni koeficijent izraˇcuna koriste´ci samo sabiranje. Naime, dovoljno je na´ci samo one brojeve koji se u Paskalovom trouglu nalaze gore levo i gore desno od traˇzenog binomnog koeficijenta. Diskretne strukture – 18 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 18 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 18 – Osnove prebrojavanja - II deo
  18. 18. Binomna formulaBinomna formulaBinomna formula Najvaˇznije svojstvo binomnih koeficijenata dato je formulom koju doka- zujemo u narednoj teoremi. Tu formulu nazivamo binomna formula. Teorema 5.15. Za svaki nenegativan ceo broj n vaˇzi: (5) (x + y)n = n k=0 n k xk yn−k . (ovo je jednakost dva polinoma sa promenljivama x i y, pa vaˇzi za proizvoljne vrednosti x i y). Dokaz: Binomnu teoremu dokazujemo indukcijom po n. Za n = 0 obe strane jednakosti (5) su jednake 1, a za n = 1 obe strane su jednake x + y. Diskretne strukture – 19 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 19 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 19 – Osnove prebrojavanja - II deo
  19. 19. Binomna formulaBinomna formulaBinomna formula Pretpostavimo sada da (5) vaˇzi za neko n ∈ N i dokaˇzimo da vaˇzi i za n + 1. Dakle, (x + y)n+1 = (x + y)(x + y)n = (x + y) n k=0 n k xk yn−k = x · n k=0 n k xk yn−k + y · n k=0 n k xk yn−k (indukcijska hipoteza) = n k=0 n k xk+1 yn−k + n k=0 n k xk yn−k+1 = n+1 k=1 n k − 1 xk yn−k+1 + n k=0 n k xk yn−k+1 (promena granica promenlji- ve k u prvoj sumi) Diskretne strukture – 20 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 20 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 20 – Osnove prebrojavanja - II deo
  20. 20. Binomna formulaBinomna formulaBinomna formula = n n xn+1 y0 + n k=1 n k − 1 xk yn−k+1 + n 0 x0 yn+1 + n k=1 n k xk yn−k+1 (izdvajanje dva posebna sluˇcaja) = n + 1 n + 1 xn+1 y0 + n + 1 0 x0 yn+1 + n k=1 n k − 1 + n k xk yn+1−k (jer je n n = 1 = n+1 n+1 i n 0 = 1 = n+1 0 ) = n + 1 n + 1 xn+1 y0 + n + l 0 x0 yn+1 + n k=1 n + l k xk yn+1−k (jer je n k−1 + n k = n+1 k ) = n+1 k=0 n + 1 k xk yn+1−k (vra´canje dva posebna sluˇcaja) Diskretne strukture – 21 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 21 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 21 – Osnove prebrojavanja - II deo
  21. 21. Binomna formulaBinomna formulaBinomna formula Ako u binomnoj teoremi stavimo y = 1 tada dobijamo vaˇzan specijalni sluˇcaj (6) (1 + x)n = n k=0 n k xk . Iz binomne teoreme moˇzemo da dobijemo razne identitete koji ukljuˇcuju binomne koeficijente. Na primer, ako u (6) redom stavimo x = 1 i x = −1, dobijamo: n 0 + n 1 + n 2 + · · · + n n = 2n ,(7) n 0 − n 1 + n 2 − · · · + (−1)n n n = 0.(8) Diskretne strukture – 22 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 22 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 22 – Osnove prebrojavanja - II deo
  22. 22. Binomna formulaBinomna formulaBinomna formula Sabiranjem, odnosno oduzimanjem, identiteta (7) i (8) takod¯e dobi- jamo n 0 + n 2 + n 4 + · · · = 2n−1 ,(9) n 1 + n 3 + n 5 + · · · = 2n−1 .(10) Diskretne strukture – 23 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 23 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 23 – Osnove prebrojavanja - II deo
  23. 23. Binomni identitetiBinomni identitetiBinomni identiteti Binomni koeficijenti zadovoljavaju na hiljade identiteta, i ve´c vekovima se istraˇzuju njihova neverovatna svojstva. Cele knjige su posve´cene samo njima, pa ˇcak postoje i automatizovani metodi za dokazivanje identiteta sa binomnim koeficijentima. U klasiˇcnoj kombinatorici postoje dva opˇste prihva´cena naˇcina za dokazi- vanje binomnih identiteta analitiˇcki i kombinatorni. Pod analitiˇckim dokazivanjem se podrazumeva koriˇs´cenje poznatih bi- nomnih identiteta za transformaciju izraza sa binomnim koeficijentima. Pod kombinatornim dokazivanjem podrazumeva se tumaˇcenje obe stra- ne identiteta kao izraza koji prebrojavaju neki skup objekata na dva razliˇcita naˇcina. Diskretne strukture – 24 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 24 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 24 – Osnove prebrojavanja - II deo
  24. 24. Analitiˇcko dokazivanje identitetaAnalitiˇcko dokazivanje identitetaAnalitiˇcko dokazivanje identiteta Izvlaˇcenje iz zagrada: Teorema 5.16. Za sve cele brojeve n i k za koje je n k 0 vaˇzi (11) n k = n k n − 1 k − 1 = n n − k n − 1 k . Dokaz: Ove jednakosti se lako dokazuju faktorijelnom reprezentaci- jom (2) binomnih koeficijenata: n k = n! k!(n − k)! = n(n − 1)! k(k − 1)!(n − k)! = n k n − 1 k − 1 , n k = n! k!(n − k)! = n(n − 1)! k!(n − k)(n − k − 1)! = n n − k n − 1 k . Diskretne strukture – 25 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 25 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 25 – Osnove prebrojavanja - II deo
  25. 25. Analitiˇcko dokazivanje identitetaAnalitiˇcko dokazivanje identitetaAnalitiˇcko dokazivanje identiteta Sumaciona formula: Teorema 5.17. Za cele brojeve n m 0 vaˇzi r 0 + r + 1 1 + · · · + r + n n = r + n + 1 n ,(12) 0 m + 1 m + · · · + n m = n + 1 m + 1 .(13) Dokaz: Obe formule dokazujemo matematiˇckom indukcijom po n. Za n = 0 obe strane jednakosti (12) su jednake 1, a za n = 1 je r 0 + r + 1 1 = r + 1 0 + r + 1 1 (jer je r 0 = 1 = r+1 0 ) = r + 1 + 1 1 (prema adicionoj formuli (4) ). Diskretne strukture – 26 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 26 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 26 – Osnove prebrojavanja - II deo
  26. 26. Analitiˇcko dokazivanje identitetaAnalitiˇcko dokazivanje identitetaAnalitiˇcko dokazivanje identiteta Pretpostavimo sada da jednakost (12) vaˇzi za neko n ∈ N. Sada za n + 1 imamo n+1 k=0 r + k k = n k=0 r + k k + r + n + 1 n + 1 = r + n + 1 n + r + n + 1 n + 1 (indukcijska hipoteza) = r + (n + 1) + 1 n + 1 (prema adicionoj formuli) Ovim je (12) dokazano. Diskretne strukture – 27 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 27 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 27 – Osnove prebrojavanja - II deo
  27. 27. Analitiˇcko dokazivanje identitetaAnalitiˇcko dokazivanje identitetaAnalitiˇcko dokazivanje identiteta ˇSto se tiˇce jednakosti (13), za n = 0 imamo da je i m = 0, pa su obe strane jednakosti jednake 1. Pretpostavimo sada da ona vaˇzi za neko n ∈ N. Tada za n + 1 imamo n+1 k=0 k m = n k=0 k m + n + 1 m = n + 1 m + 1 + n + 1 m (indukcijska hipoteza) = (n + 1) + 1 m + 1 (adiciona formula). Diskretne strukture – 28 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 28 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 28 – Osnove prebrojavanja - II deo
  28. 28. Analitiˇcko dokazivanje identitetaAnalitiˇcko dokazivanje identitetaAnalitiˇcko dokazivanje identiteta Jednakost (13) se ˇcesto pojavljuje u primenama. Na primer, za m = 1 imamo zbir aritmetiˇcke progresije 0 + 1 + · · · + n = 0 1 + 1 1 + · · · + n 1 = n + 1 2 = (n + 1)n 2 . Pretpostavimo da ˇzelimo da nad¯emo zbir 12 + 22 + · · · + n2 . Ako primetimo da je k2 = 2 k 2 + k 1 , tada se lako dobija da je n k=0 k2 = n k=0 2 k 2 + k 1 = 2 n + 1 3 + n + 1 2 . Diskretne strukture – 29 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 29 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 29 – Osnove prebrojavanja - II deo
  29. 29. Analitiˇcko dokazivanje identitetaAnalitiˇcko dokazivanje identitetaAnalitiˇcko dokazivanje identiteta Reˇsenje, koje smo dobili u binomnim koeficijentima, moˇzemo da vra- timo u uobiˇcajenu notaciju 12 + 22 + · · · + n2 = 2 (n + 1)n(n − 1) 6 + (n + 1)n 2 = 2(n + 1)n(n − 1) + 3(n + 1)n 6 = (n + 1)n(2n + 1) 6 . Zbir 13 + 23 + · · · + n3 moˇze da se dobije na sliˇcan naˇcin. Diskretne strukture – 30 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 30 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 30 – Osnove prebrojavanja - II deo
  30. 30. Analitiˇcko dokazivanje identitetaAnalitiˇcko dokazivanje identitetaAnalitiˇcko dokazivanje identiteta Pojednostavljivanje proizvoda: Teorema 5.18. Za cele brojeve n m k 0 vaˇzi (14) n m + m k = n k n − k m − k . Dokaz: Imamo da je n m m k = n!m! m!(n − m)!k!(m − k)! = n!(n − k)! k!(n − k)!(m − k)!(n − k − (m − k))! = n k n − k m − k . Diskretne strukture – 31 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 31 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 31 – Osnove prebrojavanja - II deo
  31. 31. Kombinatorno dokazivanje identitetaKombinatorno dokazivanje identitetaKombinatorno dokazivanje identiteta Kao ˇsto smo ve´c rekli, pod kombinatornim dokazivanjem se podrazumeva tumaˇcenje obe strane identiteta kao izraza koji prebrojavaju neki skup objekata na dva razli ˇcita naˇcina. Ovaj naˇcin dokazivanja primenjujemo u dokazu naredne teoreme. Sume proizvoda: Teorema 5.19. Za sve cele brojeve n, r, s 0 vaˇzi k r k s n − k = r + s n .(15) k r k s n + k = r + s r + n .(16) Diskretne strukture – 32 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 32 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 32 – Osnove prebrojavanja - II deo
  32. 32. Kombinatorno dokazivanje identitetaKombinatorno dokazivanje identitetaKombinatorno dokazivanje identiteta Dokaz: Najpre dokazujemo jednakost (15) k r k s n − k = r + s n . Neka je dat skup X sa r+s elemenata. Desna strana gornje jednakosti predstavlja broj n-toˇclanih podskupova skupa X. Obojimo sada r elemenata skupa X u crvenu, a preostalih s elemenata u plavu boju. Drugi naˇcin da se izabere n-toˇclani podskup skupa X jeste da se izabere k crvenih elemenata i n − k plavih elemenata. Za svako k postoji r k naˇcina da se izaberu crveni elementi, i nezavisno od toga, s n−k naˇcina da se izaberu plavi elementi. Diskretne strukture – 33 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 33 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 33 – Osnove prebrojavanja - II deo
  33. 33. Kombinatorno dokazivanje identitetaKombinatorno dokazivanje identitetaKombinatorno dokazivanje identiteta Sve u svemu, n-toˇclani podskup skupa X moˇze da se izabere na k r k s n − k naˇcina, ˇsto je upravo leva strana gornje jednakosti. Time smo dokazali jednakost (15). Jednakost (16) se dokazuje pomo´cu prethodne jednakosti i dvostruke primene uslova simetriˇcnosti. Naime, vaˇzi k r k s n + k = k r k s s − (n + k) = k r k s (s − n) − k = r + s s − n = r + s r + s − (s − n) = r + s r + n . Diskretne strukture – 34 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 34 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 34 – Osnove prebrojavanja - II deo
  34. 34. Kombinatorno dokazivanje identitetaKombinatorno dokazivanje identitetaKombinatorno dokazivanje identiteta Jednakosti u prethodnoj teoremi se koriste kada treba sumirati proizvod dva binomna koeficijenta u kojima se sumacioni indeks k nalazi na donjem mestu. Primer 5.6. Dokazati da vaˇzi n k=0 n k 2 = 2n n . Dokaz: U dokazu koristimo uslov simetriˇcnosti i jednakost (15), gde stavljamo da je r = n i s = n. n k=0 n k 2 = n k=0 n k n n − k = 2n n . Diskretne strukture – 35 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 35 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 35 – Osnove prebrojavanja - II deo
  35. 35. Princip ukljuˇcenja-iskljuˇcenjaPrincip ukljuˇcenja-iskljuˇcenjaPrincip ukljuˇcenja-iskljuˇcenja Jedan od osnovnih principa prebrojavanja – princip zbira – tvrdi da je |A ∪ B| = |A| + |B|, u sluˇcaju kada su A i B disjunktni skupovi. Ako A i B nisu disjunktni, sabiranjem |A| i |B| elemente preseka |A ∩ B| brojimo dva puta. A B A∩B Prema tome, da bi dobili pravu vrednost |A ∪ B| moramo oduzeti |A ∩ B|, tj. (17) |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|. Diskretne strukture – 36 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 36 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 36 – Osnove prebrojavanja - II deo
  36. 36. Princip ukljuˇcenja-iskljuˇcenjaPrincip ukljuˇcenja-iskljuˇcenjaPrincip ukljuˇcenja-iskljuˇcenja Sliˇcno rasud¯ivanje primenjujemo i u sluˇcaju tri skupa. A B C Kada napravimo zbir |A| + |B| + |C|, svaki element preseka |A ∩ B|, |B ∩ C| i |C ∩ A| smo uraˇcunali dva puta. Da ovo ispravimo, oduzimamo |A ∩ B|, |B ∩ C| i |C ∩ A|. Med¯utim, sada smo elemente skupa A ∩ B ∩ C, koje smo u zbiru |A| + |B| + |C| uraˇcunali tri puta, oduzeli takodje tri puta. Prema tome, da bi dobili pravu vrednost |A ∪ B ∪ C|, moramo da dodamo |A ∩ B ∩ C|. Diskretne strukture – 37 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 37 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 37 – Osnove prebrojavanja - II deo
  37. 37. Princip ukljuˇcenja-iskljuˇcenjaPrincip ukljuˇcenja-iskljuˇcenjaPrincip ukljuˇcenja-iskljuˇcenja Na ovaj naˇcin smo doˇsli do jednakosti (18) |A∪B ∪C| = (|A|+|B|+|C|)−(|A∩B|+|B ∩C|+|C ∩A|)+|A∩B ∩C|. Primer 5.7. Na prvoj godini studija matematike ima 50 studenata. U januarskom ispitnom roku ´ce njih 24 iza´ci na ispit iz Diskretnih struk- tura, 20 na ispit iz Analize I, a 13 na ispit iz Linearne algebre. Diskretne strukture i Analizu I ´ce polagati 6 studenata, Analizu I i Linearnu algebru 5 studenata, a Diskretne strukture i Linearnu algebru 4 studenta. Ako jedino Marko polaˇze sva tri ispita, koliko studenata ne´ce iza´ci ni na jedan od ta tri ispita. Diskretne strukture – 38 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 38 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 38 – Osnove prebrojavanja - II deo
  38. 38. Princip ukljuˇcenja-iskljuˇcenjaPrincip ukljuˇcenja-iskljuˇcenjaPrincip ukljuˇcenja-iskljuˇcenja Reˇsenje: Neka su sa D, A i L oznaˇceni redom skupovi studenata koji izlaze na Diskretne strukture, Analizu I i Linearnu algebru. Gornji podaci kaˇzu da je |D| + |A| + |L| = 24 + 20 + 13 = 57, |D ∩ A| + |A ∩ L| + |D ∩ L| = 6 + 5 + 4 = 15, |D ∩ A ∩ L| = 1, pa na osnovu (18) dobijamo da je |D ∪ A ∪ L| = 57 − 15 + 1 = 43. Prema tome, broj studenata koji ne´ce iza´ci ni na jedan ispit jednak je 50 − 43 = 7. Diskretne strukture – 39 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 39 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 39 – Osnove prebrojavanja - II deo
  39. 39. Princip ukljuˇcenja-iskljuˇcenjaPrincip ukljuˇcenja-iskljuˇcenjaPrincip ukljuˇcenja-iskljuˇcenja Prethodno rasud¯ivanje moˇzemo da proˇsirimo i na sluˇcaj n konaˇcnih skupova A1, A2, . . . , An. Broj elemenata u skupu A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An dobija se na slede´ci naˇcin: ∗ saberemo brojeve elemenata svih skupova; ∗ oduzmemo brojeve elemenata svih preseka dvaju skupova; ∗ dodamo brojeve elemenata svih preseka triju skupova . . . Postupak nastavljamo na isti naˇcin i u poslednjem koraku ∗ dodajemo (ako je n neparno), ili oduzimamo (ako je n parno) broj elemenata preseka svih n skupova. Kako ovo zapisujemo u obliku formule? To ´cemo videti u narednoj teoremi. Diskretne strukture – 40 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 40 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 40 – Osnove prebrojavanja - II deo
  40. 40. Princip ukljuˇcenja-iskljuˇcenjaPrincip ukljuˇcenja-iskljuˇcenjaPrincip ukljuˇcenja-iskljuˇcenja Princip ukljuˇcenja-iskljuˇcenja: Setimo se da smo sa X k oznaˇcavali skup svih k-elementnih podskupova skupa X. Tu oznaku koristimo u slede´coj teoremi: Teorema 5.20. Za konaˇcne skupove A1, A2, . . . , An vaˇzi (19) n i=1 Ai = n k=1   (−1)k−1 I∈(Nn k ) i∈I Ai    . ili, ekvivalentno, (20) n i=1 Ai = ∅=I⊆Nn (−1)|I|−1 i∈I Ai . Diskretne strukture – 41 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 41 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 41 – Osnove prebrojavanja - II deo
  41. 41. Princip ukljuˇcenja-iskljuˇcenjaPrincip ukljuˇcenja-iskljuˇcenjaPrincip ukljuˇcenja-iskljuˇcenja Dokaz indukcijom: Indukcija je po broju skupova n, sa indukcijskom bazom n = 2. Kao ˇsto znamo, (19) vaˇzi za dva skupa. Uzmimo da (19) vaˇzi za svakih n − 1 konaˇcnih skupova. Prema principu ukljuˇcenja-iskljuˇcenja za dva skupa A1 ∪A2 ∪· · ·∪An−1 i An dobijamo da je n i=1 Ai = n−1 i=1 Ai ∪ An = n−1 i=1 Ai + |An| − n−1 i=1 Ai ∩ An . Dalje, na osnovu distributivnosti preseka imamo da se poslednji izraz moˇze zapisati u obliku: = n−1 i=1 Ai + |An| − n−1 i=1 (Ai ∩ An) , Diskretne strukture – 42 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 42 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 42 – Osnove prebrojavanja - II deo
  42. 42. Princip ukljuˇcenja-iskljuˇcenjaPrincip ukljuˇcenja-iskljuˇcenjaPrincip ukljuˇcenja-iskljuˇcenja Ako sada primenimo indukcijsku hipotezu dva puta, za n−1 i=1 Ai i n−1 i=1 (Ai ∩ An) dobijamo da je prethodni izraz jednak =    n−1 k=1   (−1)k−1 I∈(Nn−1 k ) i∈I Ai       + |An| −    n−1 k=1   (−1)k−1 I∈(Nn−1 k ) i∈I∪{n} Ai       , Dokaz je skoro gotov. U prvoj sumi sabiramo, sa odgovaraju´cim znacima, brojeve elemenata svih preseka koji ne ukljuˇcuju skup An. Diskretne strukture – 43 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 43 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 43 – Osnove prebrojavanja - II deo
  43. 43. Princip ukljuˇcenja-iskljuˇcenjaPrincip ukljuˇcenja-iskljuˇcenjaPrincip ukljuˇcenja-iskljuˇcenja U drugoj sumi se javljaju kardinalnosti svih preseka koji ukljuˇcuju skup An i joˇs k skupova od A1, A2, . . . , An−1, sa znakom −(−1)k−1 = (−1)k . Druga suma ne ukljuˇcuje |An|, ali se taj sabirak pojavljuje izmed¯u dve sume. Sve u svemu, broj elemenata preseka bilo kojih k skupova od A1, A2, . . . , An pojavljuje se taˇcno jednom u izrazu sa znakom (−1)k−1 , ˇsto se slaˇze sa jednaˇcinom (19), pa je dokaz indukcijom zavrˇsen. Sada se vidi vaˇznost razumljivog zapisa ovog principa, jer bi se bez toga lako izgubili u dokazu. Diskretne strukture – 44 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 44 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 44 – Osnove prebrojavanja - II deo
  44. 44. Princip ukljuˇcenja-iskljuˇcenjaPrincip ukljuˇcenja-iskljuˇcenjaPrincip ukljuˇcenja-iskljuˇcenja Dokaz prebrojavanjem: Posmatrajmo proizvoljni element x ∈ A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An. On doprinosi taˇcno sa 1 kardinalnosti unije na levoj strani jednaˇcine (19). Razmotrimo sada koliko x doprinosi kardinalnostima raznih preseka na desnoj strani ove jednaˇcine. Neka je j broj skupova Ai koji sadrˇze x. Preimenujmo skupove tako da se x sadrˇzi u skupovima A1, A2, . . . , Aj. Sada se element x pojavljuje u preseku svake k-torke skupova od A1, A2, . . . , Aj i ni u jednom drugom preseku. Poˇsto k-elementnih podskupova skupa sa j elemenata ima j k , x se pojavljuje u j k preseka k-torki skupova. Diskretne strukture – 45 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 45 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 45 – Osnove prebrojavanja - II deo
  45. 45. Princip ukljuˇcenja-iskljuˇcenjaPrincip ukljuˇcenja-iskljuˇcenjaPrincip ukljuˇcenja-iskljuˇcenja Kardinalnosti preseka k-torki skupova se mnoˇze sa (−1)k−1 , tako da na desnoj strani jednaˇcine (19) x doprinosi sa j − j 2 + j 3 − · · · + (−1)j−1 j j . Na osnovu jednakosti (8) za zbir binomnih koeficijenata sa naizmeniˇcnim znacima, gornji izraz je jednak 1. Prema tome, doprinos proizvoljnog elementa x obema stranama jed- nakosti (19) je jednak 1, pa je jednakost taˇcna. Diskretne strukture – 46 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 46 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 46 – Osnove prebrojavanja - II deo
  46. 46. Princip ukljuˇcenja-iskljuˇcenjaPrincip ukljuˇcenja-iskljuˇcenjaPrincip ukljuˇcenja-iskljuˇcenja Primer 5.8. Jednog zimskog dana poslanici, njih n na broju, dolaze na zasedanje Skupˇstine i ostavljaju svoje kapute u garderobi. Po zavrˇsetku zasedanja, starija gospod¯a iz garderobe, moˇzda potpuno rasejana, moˇzda skoro slepa posle mnogo godina rada u slabo osvet- ljenoj garderobi, izdaje jedan kaput svakom poslaniku. Na koliko naˇcina ona moˇze da izda kapute tako da nijedan poslanik ne dobije svoj kaput? Reˇsenje: Preformuliˇsimo ovaj problem koriste´ci permutacije. Ako oznaˇcimo poslanike brojevima 1, 2, . . . , n, kao i njihove kapute, tada izdavanje kaputa iz garderobe odgovara permutaciji π skupa Nn, gde je π(i) broj kaputa koji je vra´cen i-tom poslaniku. Diskretne strukture – 47 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 47 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 47 – Osnove prebrojavanja - II deo
  47. 47. Princip ukljuˇcenja-iskljuˇcenjaPrincip ukljuˇcenja-iskljuˇcenjaPrincip ukljuˇcenja-iskljuˇcenja Naˇse pitanje sada glasi: Koliko ima permutacija π tako da je π(i) = i za svaki i ∈ Nn? Neka je Sn skup svih permutacija skupa Nn i za i ∈ Nn neka je Ai = {π ∈ Sn | π(i) = i}. Kaˇzemo da elementi skupa Ai (kojeg ˇcine permutacije!) fiksiraju i. Koriste´ci princip ukljuˇcenja-iskljuˇcenja prebroja´cemo loˇse permutacije, tj. one koje fiksiraju bar jedan broj. Loˇse permutacije su upravo one koje se nalaze u uniji A1∪A2∪· · ·∪An. Da bi primenili princip ukljuˇcenja-iskljuˇcenja moramo da nad¯emo broj elemenata preseka k-torke skupova Ai. Lako se vidi da je |Ai| = (n − 1)!, jer je π(i) = i fiksirano, a preostali brojevi se mogu proizvoljno pored¯ati. Diskretne strukture – 48 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 48 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 48 – Osnove prebrojavanja - II deo
  48. 48. Princip ukljuˇcenja-iskljuˇcenjaPrincip ukljuˇcenja-iskljuˇcenjaPrincip ukljuˇcenja-iskljuˇcenja Koje permutacije leˇze u Ai ∩ Aj? Upravo one koje fiksiraju brojeve i i j (dok se preostalih n − 2 brojeva moˇze pored¯ati proizvoljno), tako da je |Ai ∩ Aj| = (n − 2)!. Opˇstije, za proizvoljne i1 < i2 < · · · < ik imamo da je |Ai1 ∩ Ai2 ∩ · · · ∩ Aik | = (n − k)!, pa princip ukljuˇcenja-iskljuˇcenja daje |A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An| = n k=1 (−1)k−1 n k (n − k)! = n k=1 (−1)k−1 n! k! . Ovim smo izraˇcunali broj loˇsih permutacija (koje fiksiraju bar jedan broj), pa je broj permutacija koje ne fiksiraju nijedan broj jednak D(n) = n! − |A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An| = n! − n! 1! + n! 2! − · · · + (−1)n n! n! . Diskretne strukture – 49 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 49 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 49 – Osnove prebrojavanja - II deo
  49. 49. Princip ukljuˇcenja-iskljuˇcenjaPrincip ukljuˇcenja-iskljuˇcenjaPrincip ukljuˇcenja-iskljuˇcenja Primer 5.9. Neka su X i Y konaˇcni skupovi sa |X| = n i |Y | = m. Ve´c nam je poznato da postoji mn funkcija koje preslikavaju X u Y . Koliko od ovih funkcija je sirjektivno? Reˇsenje: Kao i u prethodnom primeru, iskoristi´cemo princip ukljuˇcenja- iskljuˇcenja da najpre prebrojimo funkcije koje ne zadovoljavaju traˇzeni uslov, odnosno nisu sirjektivne. Tada ´ce broj sirjektivnih funkcija biti jednak razlici izmed¯u ukupnog broja funkcija mn i broja tih ”loˇsih” funkcija. Bez gubitka opˇstosti, moˇzemo uzeti da je Y = {1, 2, . . . , m}. Za i ∈ Y , neka je sa Ai oznaˇcen skup funkcija iz X u Y koje ne uzimaju vrednost i, tj. skup svih funkcija iz X u Y {i}. Diskretne strukture – 50 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 50 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 50 – Osnove prebrojavanja - II deo
  50. 50. Princip ukljuˇcenja-iskljuˇcenjaPrincip ukljuˇcenja-iskljuˇcenjaPrincip ukljuˇcenja-iskljuˇcenja Ako funkcija f : X → Y nije sirjektivna, tada postoji i ∈ Y tako da za svako x ∈ X vaˇzi f(x) = i. Samim tim, funkcija f pripada skupu Ai, pa zakljuˇcujemo da funkcija nije sirjektivna ako i samo ako pripada skupu A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ Am. Koliko ima funkcija u skupu Ai? Skup Ai sadrˇzi sve funkcije koje preslikavaju X u Y {i}, pa je stoga |Ai| = (m − 1)n . Skup Ai ∩ Aj sadrˇzi funkcije koje ne uzimaju vrednosti i i j, tj. sve funkcije koje preslikavaju X u Y {i, j}, pa je |Ai ∩ Aj| = (m − 2)n . Diskretne strukture – 51 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 51 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 51 – Osnove prebrojavanja - II deo
  51. 51. Princip ukljuˇcenja-iskljuˇcenjaPrincip ukljuˇcenja-iskljuˇcenjaPrincip ukljuˇcenja-iskljuˇcenja U opˇstem sluˇcaju, Ai1 ∩ Ai2 ∩ · · · ∩ Aik sadrˇzi sve funkcije koje ne uzimaju nijednu od vrednosti i1, i2, . . . , ik, tako da je |Ai1 ∩ Ai2 ∩ · · · ∩ Aik | = (m − k)n . Sada prema principu ukljuˇcenja-iskljuˇcenja imamo da je |A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ Am| = m k=1 (−1)k−1 m k (m − k)n . Prema tome, ukupan broj sirjektivnih funkcija je jednak mn − m k=1 (−1)k−1 m k (m − k)n = m k=0 (−1)k m k (m − k)n . Diskretne strukture – 52 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 52 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 52 – Osnove prebrojavanja - II deo
  52. 52. Princip ukljuˇcenja-iskljuˇcenjaPrincip ukljuˇcenja-iskljuˇcenjaPrincip ukljuˇcenja-iskljuˇcenja Inaˇce, ako vrednost m k=1 (−1)k−1 m k (m − k)n podelimo sa m!, dobijamo ceo broj koji se naziva Stirlingov broj druge vrste i oznaˇcava sa { n m }. Ovi brojevi se pojavljuju prilikom prebrojavanja podela n-elementnog skupa na m medjusobno disjunktnih podskupova. Diskretne strukture – 53 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 53 – Osnove prebrojavanja - II deoDiskretne strukture – 53 – Osnove prebrojavanja - II deo

×