Your SlideShare is downloading. ×
Predavanje13 DMA KARDINALI
Predavanje13 DMA KARDINALI
Predavanje13 DMA KARDINALI
Predavanje13 DMA KARDINALI
Predavanje13 DMA KARDINALI
Predavanje13 DMA KARDINALI
Predavanje13 DMA KARDINALI
Predavanje13 DMA KARDINALI
Predavanje13 DMA KARDINALI
Predavanje13 DMA KARDINALI
Predavanje13 DMA KARDINALI
Predavanje13 DMA KARDINALI
Predavanje13 DMA KARDINALI
Predavanje13 DMA KARDINALI
Predavanje13 DMA KARDINALI
Predavanje13 DMA KARDINALI
Predavanje13 DMA KARDINALI
Predavanje13 DMA KARDINALI
Predavanje13 DMA KARDINALI
Predavanje13 DMA KARDINALI
Predavanje13 DMA KARDINALI
Predavanje13 DMA KARDINALI
Predavanje13 DMA KARDINALI
Predavanje13 DMA KARDINALI
Predavanje13 DMA KARDINALI
Predavanje13 DMA KARDINALI
Predavanje13 DMA KARDINALI
Predavanje13 DMA KARDINALI
Predavanje13 DMA KARDINALI
Predavanje13 DMA KARDINALI
Predavanje13 DMA KARDINALI
Predavanje13 DMA KARDINALI
Predavanje13 DMA KARDINALI
Predavanje13 DMA KARDINALI
Predavanje13 DMA KARDINALI
Predavanje13 DMA KARDINALI
Predavanje13 DMA KARDINALI
Predavanje13 DMA KARDINALI
Predavanje13 DMA KARDINALI
Predavanje13 DMA KARDINALI
Predavanje13 DMA KARDINALI
Predavanje13 DMA KARDINALI
Predavanje13 DMA KARDINALI
Predavanje13 DMA KARDINALI
Predavanje13 DMA KARDINALI
Predavanje13 DMA KARDINALI
Predavanje13 DMA KARDINALI
Predavanje13 DMA KARDINALI
Predavanje13 DMA KARDINALI
Predavanje13 DMA KARDINALI
Predavanje13 DMA KARDINALI
Predavanje13 DMA KARDINALI
Predavanje13 DMA KARDINALI
Predavanje13 DMA KARDINALI
Predavanje13 DMA KARDINALI
Predavanje13 DMA KARDINALI
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×
Saving this for later? Get the SlideShare app to save on your phone or tablet. Read anywhere, anytime – even offline.
Text the download link to your phone
Standard text messaging rates apply

Predavanje13 DMA KARDINALI

70

Published on

KARDINALI,KONACNI I BESKONACNI SKUPOVI,PREBROJIVI I NEPREBROJIVI SKUPOVI,UREDJENJE KARDINALNIH BROJEVA KARDINALNI BROJ

KARDINALI,KONACNI I BESKONACNI SKUPOVI,PREBROJIVI I NEPREBROJIVI SKUPOVI,UREDJENJE KARDINALNIH BROJEVA KARDINALNI BROJ

Published in: Education
0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total Views
70
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
Downloads
0
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

Report content
Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
No notes for slide

Transcript

  • 1. Ekvipotentnost skupovaEkvipotentnost skupovaEkvipotentnost skupova Neke skupove moˇzemo intuitivno upored¯ivati po broju njihovih eleme- nata i govoriti da jedan skup ima viˇse elemenata od nekog drugog. Na primer, ako uporedimo broj elemenata skupova A = {1, 5, 7, 8, 11} i B = {a, x, m} zakljuˇci´cemo da skup A ima viˇse elemenata od skupa B. Med¯utim, posmatrajmo skup N prirodnih brojeva i skup Np parnih prirodnih brojeva. Postavlja se pitanje: Koji od tih skupova ima viˇse elemenata? Odgovor je: Imaju ”jednak broj” elemenata! Diskretne strukture – 2 – KardinaliDiskretne strukture – 2 – KardinaliDiskretne strukture – 2 – Kardinali
  • 2. Ekvipotentnost skupovaEkvipotentnost skupovaEkvipotentnost skupova Kako smo utvrdili da N i Np imaju ”jednak broj” elemenata? To smo utvrdili na taj naˇcin ˇsto smo uoˇcili da postoji bijekcija iz skupa N na skup Np. Jedna od takvih bijekcija je, na primer, funkcija f : N → Np definisana sa f(x) = 2x. Postojanje bijekcije iz N na Np znaˇci da svakom prirodnom broju odgo- vara taˇcno jedan paran broj, i obratno. Prema tome, u nekom smislu, ti skupovi imaju jednak broj elemenata. Diskretne strukture – 3 – KardinaliDiskretne strukture – 3 – KardinaliDiskretne strukture – 3 – Kardinali
  • 3. Ekvipotentnost skupovaEkvipotentnost skupovaEkvipotentnost skupova Zbog svega ovog, uvodi se slede´ca definicija: Skup A je ekvipotentan sa skupom B, u oznaci A ∼ B, ako postoji bijekcija f : A → B. Kaˇzemo joˇs i da je A ekvivalentan sa skupom B, ili da je A iste mo´ci sa skupom B. Za proizvoljnu bijekciju f : A → B piˇsemo i f : A ∼ B i kaˇzemo da f realizuje ekvipotentnost skupova A i B. Diskretne strukture – 4 – KardinaliDiskretne strukture – 4 – KardinaliDiskretne strukture – 4 – Kardinali
  • 4. Ekvipotentnost skupovaEkvipotentnost skupovaEkvipotentnost skupova Primer 2.28 a) Skup A = {0, 1, 2} je ekvipotentan sa B = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}. Jedna bijekcija koja to potvrd¯uje je f(0) = ∅, f(1) = {∅}, f(2) = {∅, {∅}}. b) Skup A = {0, 1} nije ekvipotentan sa skupom B = {−1, 0, 1}. Nijedno preslikavanje iz A u B nije bijekcija. c) Neka je A proizvoljan skup. Tada je A ∼ (A × {1}), s obzirom da je preslikavanje f : x → (x, 1) bijekcija iz A u A × {1}. Diskretne strukture – 5 – KardinaliDiskretne strukture – 5 – KardinaliDiskretne strukture – 5 – Kardinali
  • 5. Ekvipotentnost skupovaEkvipotentnost skupovaEkvipotentnost skupova e) Kao ˇsto smo ve´c rekli, skup prirodnih brojeva N je ekvipotentan sa svojim podskupom, skupom parnih brojeva Np. d) Neka su dati intervali na realnoj pravoj A = [0, 1] i B = [5, 7]. Preslikavanje f : A → B, zadato formulom f(x) = 2x + 5 je bijekcija iz A u B. Dakle, A ∼ B. ˇSta se ovde moˇze zakljuˇciti? Intervali [0, 1] i [5, 7] sadrˇze ”podjednako mnogo” taˇcaka, iako nisu jednake duˇzine. Vaˇzi i opˇstije tvrd¯enje, koje dokazujemo u daljem tekstu. Diskretne strukture – 6 – KardinaliDiskretne strukture – 6 – KardinaliDiskretne strukture – 6 – Kardinali
  • 6. Ekvipotentnost skupovaEkvipotentnost skupovaEkvipotentnost skupova Primer 2.28-1 Svaka dva zatvorena intervala [a, b] i [c, d] skupa R realnih brojeva su ekvipotentna. Dokaz: Bijekciju f : [a, b] → [c, d] definiˇsemo kao linearnu funkciju koja slika a u c i b u d. Do izraza za tu linearnu funkciju dolazimo preko jednaˇcine prave koja prolazi kroz taˇcke (a, c) i (b, d): x − a y − c = b − a d − c odakle je y = f(x) = d − c b − a x + bc − ad b − a x y a b c d f(x) Diskretne strukture – 7 – KardinaliDiskretne strukture – 7 – KardinaliDiskretne strukture – 7 – Kardinali
  • 7. Ekvipotentnost skupovaEkvipotentnost skupovaEkvipotentnost skupova Iako se sa slike jasno vidi da je f bijekcija, to dokazujemo i formalno. (a) Injektivnost: Neka je f(x1) = f(x2), za neke x1, x2 ∈ [a, b]. Tada jednostavno dobijamo da je d − c b − a (x1 − x2) = 0, i kako je d − c = 0, to je x1 − x2 = 0, odnosno x1 = x2. (b) Sirjektivnost: Neka je y ∈ [c, d]. Tada je y = f(x), gde je x = b − a d − c y + ad − bc d − c . Diskretne strukture – 8 – KardinaliDiskretne strukture – 8 – KardinaliDiskretne strukture – 8 – Kardinali
  • 8. Ekvipotentnost skupovaEkvipotentnost skupovaEkvipotentnost skupova Primer 2.28-2 Svaka dva otvorena intervala (a, b) i (c, d) skupa R realnih brojeva su ekvipotentna. Dokaz: Neka je f bijekcija iz zatvorenog intervala [a, b] na zatvoreni interval [c, d] definisana kao u prethodnom primeru. Kako f slika a u c i b u d, to restrikcija funkcije f na otvoreni interval (a, b) jeste bijekcija iz (a, b) na (c, d). Prema tome, (a, b) ∼ (c, d). Diskretne strukture – 9 – KardinaliDiskretne strukture – 9 – KardinaliDiskretne strukture – 9 – Kardinali
  • 9. Ekvipotentnost skupovaEkvipotentnost skupovaEkvipotentnost skupova Primetimo da za proizvoljne skupove A, B i C vaˇzi: 1) A ∼ A. Jasno, identiˇcko preslikavanje IA je jedna od bijekcija iz A u A. 2) A ∼ B ⇒ B ∼ A. Ako je f bijekcija iz A na B, onda je f−1 bijekcija iz B na A. 3) A ∼ B ∧ B ∼ C ⇒ A ∼ C. Naime, ako je f bijekcija iz A na B i g je bijekcija iz B na C, onda je f ◦ g bijekcija iz A na C. Drugim reˇcima, na bilo kom skupu skupova, ∼ je relacija ekvivalencije. Diskretne strukture – 10 – KardinaliDiskretne strukture – 10 – KardinaliDiskretne strukture – 10 – Kardinali
  • 10. Konaˇcni i beskonaˇcni skupoviKonaˇcni i beskonaˇcni skupoviKonaˇcni i beskonaˇcni skupovi Potsetimo se da smo za proizvoljan prirodan broj n, sa Nn oznaˇcavali skup prvih n prirodnih brojeva, tj. Nn = {1, 2, . . . , n}. Za skup A kaˇzemo da je konaˇcan ako je ili prazan, ili je ekvipoptentan sa skupom Nn, za neki prirodan broj n. Jasno, ”A je ekvipotentan sa Nn” znaˇci da ”A ima n elemenata”, a proizvoljna bijekcija f : Nn ∼ A zapravo ”prebrojava” elemente iz A. Pri tome obiˇcno piˇsemo A = {a1, a2, . . . , an}, gde je ai = f(i), za svaki i ∈ Nn. Ako skup A nije konaˇcan, onda kaˇzemo da je beskonaˇcan. Diskretne strukture – 11 – KardinaliDiskretne strukture – 11 – KardinaliDiskretne strukture – 11 – Kardinali
  • 11. Konaˇcni i beskonaˇcni skupoviKonaˇcni i beskonaˇcni skupoviKonaˇcni i beskonaˇcni skupovi Tvrd¯enje 1.1. Skup A je beskonaˇcan ako i samo ako je ekvipotentan sa nekim svojim pravim podskupom. Dokaz: Neka je A beskonaˇcan skup, tj., A nije ekvipotentan ni sa jednim od skupova Nn, n ∈ N. Definiˇsimo induktivno niz {an}n∈N elemenata iz A na slede´ci naˇcin: (i) Neka je a1 proizvoljan element iz A. (ii) Ako su definisani razliˇciti elementi a1, a2, . . . , an iz A, tada se an+1 definiˇse kao proizvoljan element skupa A {a1, a2, . . . , an}. Takav element sigurno postoji, jer ako bi skup A {a1, a2, . . . , an} bio prazan, tj. A = {a1, a2, . . . , an}, onda bi A bio ekvipotentan sa Nn. Diskretne strukture – 12 – KardinaliDiskretne strukture – 12 – KardinaliDiskretne strukture – 12 – Kardinali
  • 12. Konaˇcni i beskonaˇcni skupoviKonaˇcni i beskonaˇcni skupoviKonaˇcni i beskonaˇcni skupovi Formirajmo sada skup A′ = {an | n ∈ N} i definiˇsimo funkciju f : A → A sa f(x) = x ako je x ∈ A A′ an+1 ako je x = an ∈ A′ Tada je f bijekcija iz A na njegov pravi podskup A {a1}. Obratno, neka je A ekvipotentan sa nekim svojim pravim podskupom. Tada je jasno da A ne moˇze biti konaˇcan, jer konaˇcan skup ne moˇze biti ekvipotentan, odnosno, ne moˇze imati isti broj elemenata sa svojim pravim podskupom. Diskretne strukture – 13 – KardinaliDiskretne strukture – 13 – KardinaliDiskretne strukture – 13 – Kardinali
  • 13. Konaˇcni i beskonaˇcni skupoviKonaˇcni i beskonaˇcni skupoviKonaˇcni i beskonaˇcni skupovi Primer 1. Skup N prirodnih brojeva je beskonaˇcan. Dokaz: Ve´c smo dokazali da je N ∼ Np, pri ˇcemu je N N. Primer 2. Skup R realnih brojeva je beskonaˇcan. Dokaz: Skup R realnih brojeva je ekvipotentan sa svakim svojim otvorenim intervalom. Naime, neka je (a, b) proizvoljan otvoreni interval skupa realnih brojeva. Kako je funkcija f(x) = tg x (funkcija tangens) bijekcija iz intervala (−π, π) na R, to je R ∼ (−π, π). Sa druge strane, prema Primeru 2.28-2 imamo da je (−π, π) ∼ (a, b), pa imamo da je R ∼ (a, b). Diskretne strukture – 14 – KardinaliDiskretne strukture – 14 – KardinaliDiskretne strukture – 14 – Kardinali
  • 14. Konaˇcni i beskonaˇcni skupoviKonaˇcni i beskonaˇcni skupoviKonaˇcni i beskonaˇcni skupovi Tvrd¯enje 1.2. Vaˇzi slede´ce: a) Svaki nadskup beskonaˇcnog skupa je beskonaˇcan. b) Svaki podskup konaˇcnog skupa je konaˇcan. c) Svaki skup ekvipotentan beskonaˇcnom skupu je beskonaˇcan. d) Svaki skup ekvipotentan konaˇcnom skupu je konaˇcan. Dokaz: a) Neka je A beskonaˇcan skup i A ⊆ B. Tada postoji pravi podskup C od A i bijekcija f : A → C. Generalna ideja je da se f proˇsiri do bijekcije g : B → B. Diskretne strukture – 15 – KardinaliDiskretne strukture – 15 – KardinaliDiskretne strukture – 15 – Kardinali
  • 15. Konaˇcni i beskonaˇcni skupoviKonaˇcni i beskonaˇcni skupoviKonaˇcni i beskonaˇcni skupovi Najjednostavniji naˇcin da se to uradi je da se uzme da je g(x) = x, za svaki x ∈ B A, tj. da se g definiˇse sa g(x) = f(x) ako je x ∈ A x ako je x ∈ B A Lako se proverava da je g bijekcija iz B na skup C ∪ (B A), koji je pravi podskup od B. Time smo dokazali da je B beskonaˇcan skup. Diskretne strukture – 16 – KardinaliDiskretne strukture – 16 – KardinaliDiskretne strukture – 16 – Kardinali
  • 16. Konaˇcni i beskonaˇcni skupoviKonaˇcni i beskonaˇcni skupoviKonaˇcni i beskonaˇcni skupovi b) Ako je A konaˇcan skup i B ⊆ A, tada i B mora biti konaˇcan. Naime, ako bi B bio beskonaˇcan, tada bi i A morao biti beskonaˇcan, prema tvrd¯enju pod a). Tvrd¯enja pod c) i d) se dokazuju jednostavno i ostavljaju se za veˇzbu. Primer 3. Skup Z celih i skup Q racionalnih brojeva su beskonaˇcni. Dokaz: Prema prethodnom tvrd¯enju, kao nadskupovi beskonaˇcnog skupa N. Diskretne strukture – 17 – KardinaliDiskretne strukture – 17 – KardinaliDiskretne strukture – 17 – Kardinali
  • 17. Konaˇcni i beskonaˇcni skupoviKonaˇcni i beskonaˇcni skupoviKonaˇcni i beskonaˇcni skupovi Tvrd¯enje 1.3. Dokazati da se dodavanjem jednog elementa konaˇcnom skupu ponovo dobija konaˇcan skup. Dokaz: Neka je A konaˇcan skup, tj., A je ekvipotentan sa Nn, za neki n ∈ N, i neka je f : A → Nn proizvoljna bijekcija. Ako je skup B dobijen dodavanjem skupu A nekog novog elementa b, tada je sa g(x) = f(x) ako je x ∈ A n + 1 ako je x = b definisana bijekcija iz A na skup Nn+1. Ovim je dokazano da je B konaˇcan skup. Diskretne strukture – 18 – KardinaliDiskretne strukture – 18 – KardinaliDiskretne strukture – 18 – Kardinali
  • 18. Konaˇcni i beskonaˇcni skupoviKonaˇcni i beskonaˇcni skupoviKonaˇcni i beskonaˇcni skupovi Tvrd¯enje 1.4. Dokazati da se oduzimanjem jednog elementa beskonaˇc- nom skupu ponovo dobija beskonaˇcan skup. Dokaz: Ovo sledi neposredno iz prethodnog zadatka. Naime, neka je A beskonaˇcan skup i neka je B skup nastao iz A odu- zimanjem jednog njegovog elementa a. Tada moˇzemo da kaˇzemo i da je A nastao dodavanjem elementa a skupu B, pa ako bi B bio konaˇcan, onda bi prema prethodnom zadatku i A morao biti konaˇcan. Odavde zakljuˇcujemo da B mora biti beskonaˇcan skup. Diskretne strukture – 19 – KardinaliDiskretne strukture – 19 – KardinaliDiskretne strukture – 19 – Kardinali
  • 19. Prebrojivi skupoviPrebrojivi skupoviPrebrojivi skupovi Za skup A kaˇzemo da je prebrojiv ako je ili konaˇcan, ili je ekvipotentan skupu N prirodnih brojeva. Skupove koji nisu prebrojivi zovemo neprebrojivim skupovima, a skupove ekvipotentne skupu N prirodnih brojeva zovemo prebrojivo beskonaˇcnim. Ako je skup A prebrojivo beskonaˇcan, tj. postoji bijekcija f : N → A, onda obiˇsno koristimo slede´ce oznake: f(1) = a1, f(2) = a2, f(3) = a3, . . . , f(k) = ak, . . . pa skup A predstavljamo u obliku A = {a1, a2, . . . , ak, . . .}. Drugim reˇcima, elemente iz A smo nabrojali i svrstali u jedan besko- naˇcan niz, odakle i potiˇce naziv “prebrojiv skup”. Sliˇcno, konaˇcan skup se moˇze zapisati u obliku A = {a1, a2, . . . ak}, za neki prirodan broj k. Diskretne strukture – 20 – KardinaliDiskretne strukture – 20 – KardinaliDiskretne strukture – 20 – Kardinali
  • 20. Prebrojivi skupoviPrebrojivi skupoviPrebrojivi skupovi Tvrd¯enje 1.5. Svaki beskonaˇcan podskup prebrojivo beskonaˇcnog sku- pa je takod¯e prebrojivo beskonaˇcan. Dokaz: Neka je B beskonaˇcan podskup prebrojivo beskonaˇcnog skupa A, gde A predstavljamo u obliku A = {a1, a2, . . . , ak, . . .}. Definiˇsimo sada podskup skupa B (tj. podniz niza A) na slede´ci naˇcin. Neka je n1 najmanji prirodan broj takav da je an1 ∈ B. Ovim je jednoznaˇcno odred¯en element an1 ∈ B. Potom uzimamo da je n2 najmanji prirodan broj takav da je an2 ∈ B {an1 }, ˇcime smo odredili element an2 ∈ B. Diskretne strukture – 21 – KardinaliDiskretne strukture – 21 – KardinaliDiskretne strukture – 21 – Kardinali
  • 21. Prebrojivi skupoviPrebrojivi skupoviPrebrojivi skupovi Pretpostavimo sada da smo odredili skup {an1 , an2 , . . . , ank } eleme- nata iz B. Tada je skup B {an1 , an2 , . . . , ank } neprazan, jer je B beskonaˇcan skup, pa postoji najmanji prirodan broj nk+1 takav da je ank+1 ∈ B {an1 , an2 , . . . , ank }, ˇcime smo odredili joˇs jedan element ank+1 ∈ B. Na ovaj naˇcin je odred¯en beskonaˇcan podskup C = {an1 , an2 , . . . , ank , . . .} skupa B, ˇciji su svi elementi med¯usobno razliˇciti. Diskretne strukture – 22 – KardinaliDiskretne strukture – 22 – KardinaliDiskretne strukture – 22 – Kardinali
  • 22. Prebrojivi skupoviPrebrojivi skupoviPrebrojivi skupovi Definiˇsimo sada preslikavanje f : N → C sa f(k) = ank . Tada je f bijekcija iz N na C, tj. N ≃ C. Kako je, po pretpostavci, A ≃ N, to imamo da je A ≃ C, tj. A je ekvipotentan sa podskupom C skupa B. Sa druge strane, B je ekvipotentan sa podskupom B skupa A, pa prema ˇSreder-Bernˇstajnovoj teoremi (koju ´cemo navesti neˇsto kasnije) imamo da su i A i B ekvipotentni. To na kraju povlaˇci da je B ekvipotentan sa N. Tvrd¯enje 1.6. Svaki podskup prebrojivog skupa je prebrojiv. Dokaz: Sledi iz prethodnog tvrd¯enja. Diskretne strukture – 23 – KardinaliDiskretne strukture – 23 – KardinaliDiskretne strukture – 23 – Kardinali
  • 23. Prebrojivi skupoviPrebrojivi skupoviPrebrojivi skupovi Tvrd¯enje 1.7. Svaki beskonaˇcan skup sadrˇzi prebrojivo beskonaˇcan podskup. Dokaz: Neka je A proizvoljan beskonaˇcan skup. Formirajmo niz {ak}k∈N elemenata iz A na slede´ci naˇcin. Najpre uzimamo proizvoljno a1 ∈ A. Ukoliko su ve´c odred¯eni elementi a1, a2, . . . , ak, za neko k ∈ N, tada uzimamo da je ak+1 ∈ A {a1, a2, . . . , ak} proizvoljan element. Takav element postoji jer je A = {a1, a2, . . . , ak}, zbog pretpostavke da je A beskonaˇcan skup. Diskretne strukture – 24 – KardinaliDiskretne strukture – 24 – KardinaliDiskretne strukture – 24 – Kardinali
  • 24. Prebrojivi skupoviPrebrojivi skupoviPrebrojivi skupovi Na ovaj naˇcin smo formirali beskonaˇcan podskup A′ = {a1, a2, . . . , ak, . . .} skupa A. Njegovi elementi su, prema svojoj definicji, med¯usobno razliˇciti, pa funkcija f : N → A′ definisana sa f(k) = ak je bijekcija iz N na A′ . Prema tome, A′ je prebrojivo beskonaˇcan podskup od A. Diskretne strukture – 25 – KardinaliDiskretne strukture – 25 – KardinaliDiskretne strukture – 25 – Kardinali
  • 25. Prebrojivi skupoviPrebrojivi skupoviPrebrojivi skupovi Tvrd¯enje 1.8. Unija prebrojivo beskonaˇcnog skupa i konaˇcnog skupa je prebrojivo beskonaˇcan skup. Dokaz: Neka je A prebrojivo beskonaˇcan a B konaˇcan skup. Pretpostavimo najpre da su A i B disjunktni skupovi. Predstavimo skupove A i B u obliku A = {a1, a2, . . . , ak, . . .} i B = {b1, b2, . . . , bn}, za neki n ∈ N, i definiˇsimo preslikavanje f : N → A ∪ B sa f(k) = bk ako je k n ak−n ako je k n . Diskretne strukture – 26 – KardinaliDiskretne strukture – 26 – KardinaliDiskretne strukture – 26 – Kardinali
  • 26. Prebrojivi skupoviPrebrojivi skupoviPrebrojivi skupovi To znaˇci da elemente iz skupa A∪B nabrajamo tako ˇsto najpre nabra- jamo sve elemente iz konaˇcnog skupa B, a potom nastavljamo sa nabra- janjem elemenata iz A. 1 2 . . . n n + 1 n + 2 n + 3 . . . ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ b1 b2 . . . bn a1 a2 a3 . . . Neposredno se proverava da je f bijekcija iz N na A ∪ B, ˇsto znaˇci da je A ∪ B prebrojivo beskonaˇcan skup. Sa druge strane, ako A i B nisu disjunktni, stavimo da je C = B A. Tada su A i C disjunktni, A ∪ B = A ∪ C i C je konaˇcan, pa pre- ma dokazanom u prethodnom sluˇcaju, A ∪ B = A ∪ C je prebrojivo beskonaˇcan skup. Diskretne strukture – 27 – KardinaliDiskretne strukture – 27 – KardinaliDiskretne strukture – 27 – Kardinali
  • 27. Prebrojivi skupoviPrebrojivi skupoviPrebrojivi skupovi Tvrd¯enje 1.9. Unija dva prebrojivo beskonaˇcna skupa je prebrojivo beskonaˇcan skup. Dokaz: Neka su A i B dva prebrojivo beskonaˇcna skupa. Dokaza- ´cemo da je A ∪ B takod¯e prebrojivo beskonaˇcan skup. Razmotrimo najpre sluˇcaj kada su A i B disjunktni skupovi. Kako su A i B prebrojivo beskonaˇcni, to postoje bijekcije f : N ∼ A i g : N ∼ B. Definiˇsimo funkciju h : N → A ∪ B na slede´ci naˇcin f(n) = ak ako je n = 2k − 1, za neki k ∈ N ak ako je n = 2k, za neki k ∈ N Diskretne strukture – 28 – KardinaliDiskretne strukture – 28 – KardinaliDiskretne strukture – 28 – Kardinali
  • 28. Prebrojivi skupoviPrebrojivi skupoviPrebrojivi skupovi To znaˇci da elemente iz skupa A ∪ B nabrajamo tako ˇsto naizmeniˇcno nabrajamo po jedan element iz skupova A i B. 1 2 3 4 . . . 2k − 1 2k . . . ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ a1 b1 a2 b2 . . . ak bk . . . Neposredno se proverava da je h bijekcija iz N na A ∪ B. Diskretne strukture – 29 – KardinaliDiskretne strukture – 29 – KardinaliDiskretne strukture – 29 – Kardinali
  • 29. Prebrojivi skupoviPrebrojivi skupoviPrebrojivi skupovi Sa druge strane, ukoliko A i B nisu disjunktni, tada stavljamo da je C = B A, pa dobijamo da je A ∪ B = A ∪ C, pri ˇcemu su A i C disjunktni i C je ili konaˇcan ili prebrojivo beskonaˇcan skup. Ukoliko je C konaˇcan, tada primenjujemo tvrd¯enje iz prethodnog za- datka, a ako je C prebrojivo beskonaˇcan, tada primenjujemo prvi sluˇcaj u ovom zadatku. U oba ova sluˇcaja dobijamo da je A∪B prebrojivo beskonaˇcan skup. Diskretne strukture – 30 – KardinaliDiskretne strukture – 30 – KardinaliDiskretne strukture – 30 – Kardinali
  • 30. Prebrojivi skupoviPrebrojivi skupoviPrebrojivi skupovi Tvrd¯enje 1.10. Unija konaˇcno mnogo prebrojivo beskonaˇcnih skupova je prebrojivo beskonaˇcan skup. Dokaz: Dokazuje se indukcijom po broju ˇclanova unije, koriste´ci prethodno tvrd¯enje. Primer 4. Skup Z celih brojeva je prebrojivo beskonaˇcan. Dokaz: Sledi iz ˇcinjenice da su skup svih pozitivnih celih brojeva Z+ i skup svih negativnih celih brojeva Z− prebrojivi, jer su ekvipotentni sa N, i Z = Z+ ∪ Z− ∪ {0}. Diskretne strukture – 31 – KardinaliDiskretne strukture – 31 – KardinaliDiskretne strukture – 31 – Kardinali
  • 31. Prebrojivi skupoviPrebrojivi skupoviPrebrojivi skupovi Primer 5. Skup N × N je prebrojivo beskonaˇcan. Dokaz: Definiˇsimo preslikavanje f : N × N → N sa f(a, b) = 2a−1 · (2 · (b − 1) + 1). Da bi dokazali njegovu injektivnost, uzmimo da je f(a, b) = f(c, d), za neke a, b, c, d ∈ N, odnosno (1) 2a−1 · (2 · (b − 1) + 1) = 2c−1 · (2 · (d − 1) + 1). Ako je a c i ako podelimo jednakost (1) sa 2c−1 , dobijamo da je 2a−c · (2 · (b − 1) + 1) = 2 · (d − 1) + 1. Sa desne strane je neparan broj, odakle sledi da mora biti a = c. Sliˇcno, i u sluˇcaju c a dobijamo da je a = c. Diskretne strukture – 32 – KardinaliDiskretne strukture – 32 – KardinaliDiskretne strukture – 32 – Kardinali
  • 32. Prebrojivi skupoviPrebrojivi skupoviPrebrojivi skupovi Dalje, iz a = c, skra´civanjem jednakosti (1) dobijamo 2 · (b − 1) + 1 = 2 · (d − 1) + 1, ˇsto povlaˇci b = d. Dakle, dobili smo da je (a, b) = (c, d), ˇcime smo dokazali da f injekcija. Da bi dokazali da je f sirjektivno preslikavanje, razmotrimo proizvoljan prirodan broj n. Neka je 2k najve´ci stepen broja 2 koji deli n (ako je n neparan, tada je k = 0). Tada se n moˇze zapisati u obliku n = 2k · m, gde je m neparan broj, tj. m = 2 · r + 1, za neki r ∈ N0 = 0. Prema tome, n = 2k · (2 · r + 1), pa je f(k + 1, r + 1) = n. Time smo dokazali da je f sirjektivno preslikavanje. Diskretne strukture – 33 – KardinaliDiskretne strukture – 33 – KardinaliDiskretne strukture – 33 – Kardinali
  • 33. Prebrojivi skupoviPrebrojivi skupoviPrebrojivi skupovi Primer 6. Skup Q racionalnih brojeva je prebrojivo beskonaˇcan. Dokaz: Najpre uoˇcavamo da je Q+ ∼ N × N, gde je Q+ skup svih pozitivnih racionalnih brojeva. To je stoga ˇsto se a ∈ Q+ moˇze na jedinstven naˇcin predstaviti u obliku razlomka a = p/q, gde su p, q ∈ N uzajamno prosti brojevi, tj. u obliku neskrativog razlomka. Dakle, prema prethodnom primeru, Q+ ∼ N. Takod¯e, Q+ ∼ Q− , gde je Q− skup negativnih racionalnih brojeva, pa je Q− ∼ N. Konaˇcno, Q = Q+ ∪Q− ∪{0}, odakle sledi da je Q prebrojivo beskonaˇcan. Diskretne strukture – 34 – KardinaliDiskretne strukture – 34 – KardinaliDiskretne strukture – 34 – Kardinali
  • 34. Neprebrojivi skupoviNeprebrojivi skupoviNeprebrojivi skupovi Skupovi N, Z i Q su bili primeri prebrojivo beskonaˇcnih skupova. Sada dajemo primere i neprebrojivih skupova, i dokaza´cemo da je skup R realnih brojeva upravo takav. To ˇcinimo tako ˇsto najpre dokazujemo da je neprebrojiv otvoreni interval (0, 1) skupa realnih brojeva. Tvrd¯enje 1.11. Interval (0, 1) skupa realnih brojeva je neprebrojiv. Dokaz: Najpre prime´cujemo da proizvoljan realan broj x ∈ (0, 1) ima decimalni zapis oblika x = 0.x1x2x3 . . ., gde su xk ∈ {0, 1, 2, . . . , 9}, ali takav zapis ne mora biti jedinstven. Na primer, 1/4 = 0.2500000 . . . i 1/4 = 0.249999 . . .. Diskretne strukture – 35 – KardinaliDiskretne strukture – 35 – KardinaliDiskretne strukture – 35 – Kardinali
  • 35. Neprebrojivi skupoviNeprebrojivi skupoviNeprebrojivi skupovi Da bi se dobio jedinstven zapis, dogovori´cemo se da se svaki broj koji ima konaˇcan broj k nenula decimala (racionalan broj), umesto u obliku 0.x1x2 . . . xk0000 . . . predstavi u obliku 0.x1x2 . . . x′ k9999 . . . gde je x′ k = xk − 1. Drugim reˇcima, zadnja nenula decimala se smanjuje za 1 a umesto nula koje idu za njom se ubacuju devetke. Brojevi zapisani na taj naˇcin imaju jedinstven zapis, ˇsto znaˇci da ako je x = 0.x1x2x3 . . . i y = 0.y1y2y3 . . ., pri ˇcemu je xk = yk, bar za jedno k ∈ N, tada je x = y. Diskretne strukture – 36 – KardinaliDiskretne strukture – 36 – KardinaliDiskretne strukture – 36 – Kardinali
  • 36. Neprebrojivi skupoviNeprebrojivi skupoviNeprebrojivi skupovi Pretpostavimo sada da je interval (0, 1) prebrojiv, tj. da se moˇze pred- staviti u obliku niza {x1, x2, x3, . . . , xk, . . .}. Svaki element iz ovog niza ima decimalni zapis napravljen u skladu sa prethodno donetim dogovorom, pa imamo slede´cu ˇsemu x1= 0,a11 a12 a13. . .a1n. . . x2= 0,a21 a22 a23. . .a2n. . . x3= 0,a31 a32 a33. . .a3n. . . ... ... xn= 0,an1an2an3. . .ann. . . ... ... Uoˇcimo niz brojeva na dijagonali: a11, a22, a33, . . . , ann, . . . Diskretne strukture – 37 – KardinaliDiskretne strukture – 37 – KardinaliDiskretne strukture – 37 – Kardinali
  • 37. Neprebrojivi skupoviNeprebrojivi skupoviNeprebrojivi skupovi Formirajmo sada broj x sa decimalnim zapisom x = 0, a1a2a3 . . . an . . . , gde je ak = 5 ako je akk = 5 1 ako je akk = 5 Ovaj broj se ne nalazi u gornjoj ˇsemi, jer je an = ann, za svaki n ∈ N, pa je x = xn, za svaki n ∈ N. Med¯utim, x ∈ (0, 1), pa smo dobili kontradikciju. Na osnovu svega ovog zakljuˇcujemo da je bila pogreˇsna pretpostavka da je (0, 1) prebrojiv, pa zakljuˇcujemo da je (0, 1) neprebrojiv. Diskretne strukture – 38 – KardinaliDiskretne strukture – 38 – KardinaliDiskretne strukture – 38 – Kardinali
  • 38. Neprebrojivi skupoviNeprebrojivi skupoviNeprebrojivi skupovi Metod koriˇs´cen u prethodnom dokazu poznat je pod nazivom Kantorov dijagonalni postupak. Kantor je, inaˇce, i prvi dokazao prethodno tvrd¯enje, pa se ono naziva i Kantorova teorema. Kako je, kao ˇsto smo ranije dokazali, skup R realnih brojeva ekvipoten- tan svakom svom otvorenom intervalu, to dobijamo slede´ce tvrd¯enja, koje zapravo predstavlja glavni rezultat ovog poglavlja. Tvrd¯enje 1.12. Skup R realnih brojeva je neprebrojiv. Dokaz: Sledi iz prethodnog tvrd¯enja. Diskretne strukture – 39 – KardinaliDiskretne strukture – 39 – KardinaliDiskretne strukture – 39 – Kardinali
  • 39. Neprebrojivi skupoviNeprebrojivi skupoviNeprebrojivi skupovi Primer 7. Skup I iracionalnih brojeva je neprebrojiv. Dokaz: Skup R realnih brojeva se moˇze napisati u obliku R = Q ∪ I. Kako je Q prebrojivo beskonaˇcan, to bi eventualna prebrojiva besko- naˇcnost skupa I povukla za sobom i prebrojivu beskonaˇcnost skupa R, ˇsto, kao ˇsto smo dokazali, nije sluˇcaj. Prema tome, I ne moˇze biti prebrojivo beskonaˇcan. Diskretne strukture – 40 – KardinaliDiskretne strukture – 40 – KardinaliDiskretne strukture – 40 – Kardinali
  • 40. Kardinalni broj skupaKardinalni broj skupaKardinalni broj skupa Neka je svakom skupu A pridruˇzen objekat, oznaˇcen sa |A| (ili card A), tako da su zadovoljeni slede´ci uslovi: (i) |A| = 0 ako i samo ako je A = ∅. (ii) Ako je A neprazan konaˇcan skup i A ≃ Nk, za neko k ∈ N, tada je |A| = k. (iii) Ako su A i B proizvoljni skupovi, tada je |A| = |B| ako i samo ako je A ≃ B. U tom sluˇcaju |A| nazivamo kardinalnim brojem (”glavni broj”), kardi- nalom ili kardinalnoˇs´cu skupa A. Kardinalne brojeve konaˇcnih skupova nazivamo konaˇcnim kardinalima, a kardinalne brojeve beskonaˇcnih skupova transfinitnim kardinalima. Diskretne strukture – 41 – KardinaliDiskretne strukture – 41 – KardinaliDiskretne strukture – 41 – Kardinali
  • 41. Kardinalni broj skupaKardinalni broj skupaKardinalni broj skupa Kardinalni broj konaˇcnog skupa jednak je broju njegovih elemenata. Odatle se vidi da je pojam kardinalnog broja skupa u stvari proˇsirenje pojma broja elemenata skupa. Kardinalni broj skupa A zapravo jeste klasa svih skupova koji su ekvi- valentni sa A. Kardinalni broj skupa N prirodnih brojeva oznaˇcava se sa ℵ0 (ˇcita se alef nula – to je prvo slovo hebrejske azbuke). Oˇcito, ako je A proizvoljan prebrojiv skup, onda je |A| = ℵ0. Kardinalni broj skupa realnih brojeva naziva se kontinuum i oznaˇcava se sa c. Za svaki skup koji je ekvivalentan sa R kaˇze se da ima mo´c kontinuuma. Diskretne strukture – 42 – KardinaliDiskretne strukture – 42 – KardinaliDiskretne strukture – 42 – Kardinali
  • 42. Ure ¯denje kardinalnih brojevaUre ¯denje kardinalnih brojevaUre ¯denje kardinalnih brojeva Neka su A i B skupovi. Za kardinalni broj |A| skupa A kaˇzemo da je manji ili jednak kardinal- nom broju |B| skupa B, ako je skup A ekvipotentan nekom podskupu od B, tj. ako postoji injekcija iz A u B. To simboliˇcki oznaˇcavamo sa |A| |B|, Ako je |A| |B| i |A| = |B|, tada piˇsemo |A| < |B|, i kaˇzemo da je kardinalni broj |A| strogo manji od kardinalnog broja |B|. Ako je |A| |B|, tada takod¯e piˇsemo i |B| |A|, i kaˇzemo da je kardinalni broj |B| ve´ci ili jednak kardinalnom broju |A|. Ako je |A| < |B|, tada piˇsemo i |B| > |A| i kaˇzemo da je kardinalni broj |B| strogo ve´ci od kardinalnog broja |A|. Diskretne strukture – 43 – KardinaliDiskretne strukture – 43 – KardinaliDiskretne strukture – 43 – Kardinali
  • 43. Ure ¯denje kardinalnih brojevaUre ¯denje kardinalnih brojevaUre ¯denje kardinalnih brojeva Tvrd¯enje 1.13. Neka su A, B i C proizvoljni skupovi. Tada vaˇzi: (1) A A. (2) A B ∧ B A ⇒ A ∼ B. (3) A B ∧ B C ⇒ A C. Dokaz: (1) Sledi iz ˇcinjenice da je A ∼ A. (3) Sledi iz ˇcinjenice da je kompozicija dve injekcije takod¯e injekcija. Dokaz tvrd¯enja (2) je priliˇcno komplikovan, pa ´ce biti izostavljen. Tvrd¯enje (2) je poznato kao ˇSreder-Bernˇstajnova teorema. Na primer, |N| < |R|. Diskretne strukture – 44 – KardinaliDiskretne strukture – 44 – KardinaliDiskretne strukture – 44 – Kardinali
  • 44. Ure ¯denje kardinalnih brojevaUre ¯denje kardinalnih brojevaUre ¯denje kardinalnih brojeva Tvrd¯enje 1.14. (Kantorova teorema) Za proizvoljan skup A je |A| < |P(A)|. Dokaz: Ako je A = ∅, tada je |∅| = 0 < 1 = |P(∅)|. Uzmimo dalje da je A = ∅. Tada preslikavanje g : A → P(A) definisano sa g(a) = {a} je injekcija iz A u P(A), pa je |A| |P(A)|. Preostaje da se dokaˇze da je |A| = |P(A)|. Pretpostavimo suprotno, da postoji bijekcija f : A → P(A). Diskretne strukture – 45 – KardinaliDiskretne strukture – 45 – KardinaliDiskretne strukture – 45 – Kardinali
  • 45. Ure ¯denje kardinalnih brojevaUre ¯denje kardinalnih brojevaUre ¯denje kardinalnih brojeva Razmotrimo skup S = {a ∈ A | a /∈ f(a)}. Kako je S ∈ P(A) i f je bijekcija, to postoji element e ∈ A takav da je f(e) = S. Za takvo e imamo dve mogu´cnosti: e ∈ S i e /∈ S. Ako je e ∈ S, onda e /∈ f(e) = S, a ako e /∈ S, onda je e ∈ f(e) = S, oba puta prema definiciji skupa S. Dakle, dobili smo kontradikciju, pa zakljuˇcujemo da ne postoji bijekcija iz A na P(A), ˇsto znaˇci da je |A| < |P(A)|. Diskretne strukture – 46 – KardinaliDiskretne strukture – 46 – KardinaliDiskretne strukture – 46 – Kardinali
  • 46. Sabiranje kardinalnih brojevaSabiranje kardinalnih brojevaSabiranje kardinalnih brojeva Neka je a = |A| i b = |B|. Kako bi smo definisali zbir a + b? Kakav je sluˇcaj kod konaˇcnih kardinala? Ako je m = |A| i n = |B|, ˇsta je onda m + n? Odgovor je: m + n = |A ∪ B|, ali samo ako su A i B disjunktni. Prema tome, uzimamo da je a + b def = |A ∪ B|, gde su A i B disjunktni skupovi takvi da je a = |A| i b = |B|. Ukoliko A i B nisu disjunktni, onda jedan od njih uvek moˇzemo zameniti ekvipotentnim skupom koji je disjunktan sa drugim. Na primer, moˇzemo zameniti B sa B × {1}, koji je disjunktan sa A. Diskretne strukture – 47 – KardinaliDiskretne strukture – 47 – KardinaliDiskretne strukture – 47 – Kardinali
  • 47. Sabiranje kardinalnih brojevaSabiranje kardinalnih brojevaSabiranje kardinalnih brojeva Da li je ova definicija dobra? Ovo pitanje znaˇci: ako imamo drugi par A′ , B′ disjunktnih skupova, takav da je a = |A′ | i b = |B′ |, da li ´ce onda biti i |A∪B| = |A′ ∪B′ |? Odgovor na ovo pitanje je pozitivan – definicija je dobra. Zadatak: Dokazati da iz |A| = |A′ | i |B| = |B′ | sledi |A ∪ B| = |A′ ∪ B′ |. Diskretne strukture – 48 – KardinaliDiskretne strukture – 48 – KardinaliDiskretne strukture – 48 – Kardinali
  • 48. Množenje kardinalnih brojevaMnoženje kardinalnih brojevaMnoženje kardinalnih brojeva Ako je a = |A| i b = |B|, kako definisati proizvod a · b? Kakvu sugestiju pruˇza sluˇcaj konaˇcnih kardinala? Ako je m = |A| i n = |B|, koji skup, dobijen nekim operacijama iz skupova A i B, ima kardinalnost m · n? Naravno, skup A × B! Dakle, uvodimo definiciju ab def = |A × B|, gde su A i B skupovi takvi da je a = |A| i b = |B|. Ova definicija je dobra, jer vaˇzi |A| = |A′ | ∧ |B| = |B′ | ⇒ |A × B| = |A′ × B′ |. Zadatak: Dokazati ovu implikaciju. Diskretne strukture – 49 – KardinaliDiskretne strukture – 49 – KardinaliDiskretne strukture – 49 – Kardinali
  • 49. Stepenovanje kardinalnih brojevaStepenovanje kardinalnih brojevaStepenovanje kardinalnih brojeva Ako je a = |A| i b = |B|, kako definisati stepen ba ? Kakvu sugestiju ovde pruˇza sluˇcaj konaˇcnih kardinala? Ako je m = |A| i n = |B|, koji skup, dobijen nekim operacijama iz skupova A i B, ima nm elemenata? Odgovor je: nm elemenata ima skup BA svih preslikavanja iz A u B! Motivisano time, definiˇsemo ba def = |BA |, gde su A i B skupovi takvi da je a = |A| i b = |B|. Ova definicija je dobra, jer vaˇzi |A| = |X| ∧ |B| = |Y | ⇒ |BA | = |Y X |. Zadatak: Dokazati ovu implikaciju. Diskretne strukture – 50 – KardinaliDiskretne strukture – 50 – KardinaliDiskretne strukture – 50 – Kardinali
  • 50. Stepenovanje kardinalnih brojevaStepenovanje kardinalnih brojevaStepenovanje kardinalnih brojeva Tvrd¯enje 1.15. Za proizvoljan skup A je |P(A)| = {0, 1}|A| . Dokaz: Neka je B = {0, 1}. Proizvoljnom podskupu E skupa A pridruˇzujemo preslikavanje χE : A → B definisano na slede´ci naˇcin: χE(a) = 1 ako je a ∈ E 0 ako a /∈ E . To preslikavanje se naziva karakteristiˇcna funkcija skupa E. Diskretne strukture – 51 – KardinaliDiskretne strukture – 51 – KardinaliDiskretne strukture – 51 – Kardinali
  • 51. Stepenovanje kardinalnih brojevaStepenovanje kardinalnih brojevaStepenovanje kardinalnih brojeva Dokaza´cemo da preslikavanje χ : E → χE jeste bijekcija iz P(A) na BA . Neka je χE = χF , za neke E, F ∈ P(A). Ako je a ∈ E, tada χE(a) = 1, odakle sledi da je χF (a) = 1, jer je χE = χF , ˇsto znaˇci da je a ∈ F . Prema tome, dokazali smo da je E ⊆ F . Na potpuno isti naˇcin dobijamo da je F ⊆ E, ˇcime smo dokazali da je E = F . Dakle, χ je injektivno preslikavanje. Diskretne strukture – 52 – KardinaliDiskretne strukture – 52 – KardinaliDiskretne strukture – 52 – Kardinali
  • 52. Stepenovanje kardinalnih brojevaStepenovanje kardinalnih brojevaStepenovanje kardinalnih brojeva Da bi smo dokazali da je χ sirjektivno preslikavanje, uoˇcimo proizvoljan element f ∈ BA , tj. neko preslikavanje f : A → B. Neka je E = {a ∈ A | f(a) = 1}. Neposredno se proverava da je f = χE, ˇcime smo dokazali da je χ sirjektivno preslikavanje. Sumiraju´ci ono ˇsto smo do sada dokazali zakljuˇcujemo da je χ bijekcija iz P(A) na BA , tj. da je |P(A)| = |BA | = {0, 1}|A| . Diskretne strukture – 53 – KardinaliDiskretne strukture – 53 – KardinaliDiskretne strukture – 53 – Kardinali
  • 53. Stepenovanje kardinalnih brojevaStepenovanje kardinalnih brojevaStepenovanje kardinalnih brojeva Tvrd¯enje 1.16. 2ℵ0 = c. Dokaz: Neka je f : R → P(Q) preslikavanje definisano sa f(a) = {x ∈ Q | x < a}, za proizvoljno a ∈ R. Ovo preslikavanje je injektivno. Naime, ako su a, b ∈ R razliˇciti brojevi, recimo a < b, tada postoji q ∈ Q takav da je a < q < b, jer je skup Q svuda gust podskup od R. Prema tome, f(a) = {x ∈ Q | x < a} ⊂ {x ∈ Q | x < b} = f(b), pa f(a) = f(b). Dakle, f je doista injektivno preslikavanje. Diskretne strukture – 54 – KardinaliDiskretne strukture – 54 – KardinaliDiskretne strukture – 54 – Kardinali
  • 54. Stepenovanje kardinalnih brojevaStepenovanje kardinalnih brojevaStepenovanje kardinalnih brojeva Ovim smo dokazali da je c |P(Q)| = 2|Q| = 2ℵ0 , jer je, kao ˇsto smo ranije dokazali, Q ∼ N, tj. |Q| = ℵ0. Obratno, neka je F : {0, 1}N → R preslikavanje definisano na slede´ci naˇcin: Za proizvoljno α ∈ {0, 1}N , tj. za proizvoljno preslikavanje α : N → {0, 1}, neka je F (α) = 0.α1α2 . . . αk . . . , gde je αk = α(k) i ovaj zapis je decimalni zapis realnog broja (ne binarni, iako se javljaju samo dve cifre). Diskretne strukture – 55 – KardinaliDiskretne strukture – 55 – KardinaliDiskretne strukture – 55 – Kardinali
  • 55. Stepenovanje kardinalnih brojevaStepenovanje kardinalnih brojevaStepenovanje kardinalnih brojeva Za razliˇcite α, β ∈ {0, 1}N imamo da su decimale koje odred¯uju brojeve F (α) i F (β) razliˇcite, ˇsto znaˇci da je F (α) = F (β). Ovim smo dokazali da je F injekcija iz {0, 1}N u R, pa je 2ℵ0 = |{0, 1}N | |R| = c. Dakle, dokazali smo da je 2ℵ0 = c. Diskretne strukture – 56 – KardinaliDiskretne strukture – 56 – KardinaliDiskretne strukture – 56 – Kardinali

×