Ekvipotentnost skupovaEkvipotentnost skupovaEkvipotentnost skupova
Neke skupove moˇzemo intuitivno upored¯ivati po broju n...
Ekvipotentnost skupovaEkvipotentnost skupovaEkvipotentnost skupova
Kako smo utvrdili da N i Np imaju ”jednak broj” elemena...
Ekvipotentnost skupovaEkvipotentnost skupovaEkvipotentnost skupova
Zbog svega ovog, uvodi se slede´ca definicija:
Skup A je...
Ekvipotentnost skupovaEkvipotentnost skupovaEkvipotentnost skupova
Primer 2.28
a) Skup A = {0, 1, 2} je ekvipotentan sa B ...
Ekvipotentnost skupovaEkvipotentnost skupovaEkvipotentnost skupova
e) Kao ˇsto smo ve´c rekli, skup prirodnih brojeva N je...
Ekvipotentnost skupovaEkvipotentnost skupovaEkvipotentnost skupova
Primer 2.28-1 Svaka dva zatvorena intervala [a, b] i [c...
Ekvipotentnost skupovaEkvipotentnost skupovaEkvipotentnost skupova
Iako se sa slike jasno vidi da je f bijekcija, to dokaz...
Ekvipotentnost skupovaEkvipotentnost skupovaEkvipotentnost skupova
Primer 2.28-2 Svaka dva otvorena intervala (a, b) i (c,...
Ekvipotentnost skupovaEkvipotentnost skupovaEkvipotentnost skupova
Primetimo da za proizvoljne skupove A, B i C vaˇzi:
1) ...
Konaˇcni i beskonaˇcni skupoviKonaˇcni i beskonaˇcni skupoviKonaˇcni i beskonaˇcni skupovi
Potsetimo se da smo za proizvol...
Konaˇcni i beskonaˇcni skupoviKonaˇcni i beskonaˇcni skupoviKonaˇcni i beskonaˇcni skupovi
Tvrd¯enje 1.1. Skup A je beskon...
Konaˇcni i beskonaˇcni skupoviKonaˇcni i beskonaˇcni skupoviKonaˇcni i beskonaˇcni skupovi
Formirajmo sada skup A′
= {an |...
Konaˇcni i beskonaˇcni skupoviKonaˇcni i beskonaˇcni skupoviKonaˇcni i beskonaˇcni skupovi
Primer 1. Skup N prirodnih broj...
Konaˇcni i beskonaˇcni skupoviKonaˇcni i beskonaˇcni skupoviKonaˇcni i beskonaˇcni skupovi
Tvrd¯enje 1.2. Vaˇzi slede´ce:
...
Konaˇcni i beskonaˇcni skupoviKonaˇcni i beskonaˇcni skupoviKonaˇcni i beskonaˇcni skupovi
Najjednostavniji naˇcin da se t...
Konaˇcni i beskonaˇcni skupoviKonaˇcni i beskonaˇcni skupoviKonaˇcni i beskonaˇcni skupovi
b) Ako je A konaˇcan skup i B ⊆...
Konaˇcni i beskonaˇcni skupoviKonaˇcni i beskonaˇcni skupoviKonaˇcni i beskonaˇcni skupovi
Tvrd¯enje 1.3. Dokazati da se d...
Konaˇcni i beskonaˇcni skupoviKonaˇcni i beskonaˇcni skupoviKonaˇcni i beskonaˇcni skupovi
Tvrd¯enje 1.4. Dokazati da se o...
Prebrojivi skupoviPrebrojivi skupoviPrebrojivi skupovi
Za skup A kaˇzemo da je prebrojiv ako je ili konaˇcan, ili je ekvip...
Prebrojivi skupoviPrebrojivi skupoviPrebrojivi skupovi
Tvrd¯enje 1.5. Svaki beskonaˇcan podskup prebrojivo beskonaˇcnog sk...
Prebrojivi skupoviPrebrojivi skupoviPrebrojivi skupovi
Pretpostavimo sada da smo odredili skup {an1 , an2 , . . . , ank
} ...
Prebrojivi skupoviPrebrojivi skupoviPrebrojivi skupovi
Definiˇsimo sada preslikavanje f : N → C sa f(k) = ank
.
Tada je f b...
Prebrojivi skupoviPrebrojivi skupoviPrebrojivi skupovi
Tvrd¯enje 1.7. Svaki beskonaˇcan skup sadrˇzi prebrojivo beskonaˇca...
Prebrojivi skupoviPrebrojivi skupoviPrebrojivi skupovi
Na ovaj naˇcin smo formirali beskonaˇcan podskup
A′
= {a1, a2, . . ...
Prebrojivi skupoviPrebrojivi skupoviPrebrojivi skupovi
Tvrd¯enje 1.8. Unija prebrojivo beskonaˇcnog skupa i konaˇcnog skup...
Prebrojivi skupoviPrebrojivi skupoviPrebrojivi skupovi
To znaˇci da elemente iz skupa A∪B nabrajamo tako ˇsto najpre nabra...
Prebrojivi skupoviPrebrojivi skupoviPrebrojivi skupovi
Tvrd¯enje 1.9. Unija dva prebrojivo beskonaˇcna skupa je prebrojivo...
Prebrojivi skupoviPrebrojivi skupoviPrebrojivi skupovi
To znaˇci da elemente iz skupa A ∪ B nabrajamo tako ˇsto naizmeniˇc...
Prebrojivi skupoviPrebrojivi skupoviPrebrojivi skupovi
Sa druge strane, ukoliko A i B nisu disjunktni, tada stavljamo da j...
Prebrojivi skupoviPrebrojivi skupoviPrebrojivi skupovi
Tvrd¯enje 1.10. Unija konaˇcno mnogo prebrojivo beskonaˇcnih skupov...
Prebrojivi skupoviPrebrojivi skupoviPrebrojivi skupovi
Primer 5. Skup N × N je prebrojivo beskonaˇcan.
Dokaz: Definiˇsimo p...
Prebrojivi skupoviPrebrojivi skupoviPrebrojivi skupovi
Dalje, iz a = c, skra´civanjem jednakosti (1) dobijamo
2 · (b − 1) ...
Prebrojivi skupoviPrebrojivi skupoviPrebrojivi skupovi
Primer 6. Skup Q racionalnih brojeva je prebrojivo beskonaˇcan.
Dok...
Neprebrojivi skupoviNeprebrojivi skupoviNeprebrojivi skupovi
Skupovi N, Z i Q su bili primeri prebrojivo beskonaˇcnih skup...
Neprebrojivi skupoviNeprebrojivi skupoviNeprebrojivi skupovi
Da bi se dobio jedinstven zapis, dogovori´cemo se da se svaki...
Neprebrojivi skupoviNeprebrojivi skupoviNeprebrojivi skupovi
Pretpostavimo sada da je interval (0, 1) prebrojiv, tj. da se...
Neprebrojivi skupoviNeprebrojivi skupoviNeprebrojivi skupovi
Formirajmo sada broj x sa decimalnim zapisom
x = 0, a1a2a3 . ...
Neprebrojivi skupoviNeprebrojivi skupoviNeprebrojivi skupovi
Metod koriˇs´cen u prethodnom dokazu poznat je pod nazivom Ka...
Neprebrojivi skupoviNeprebrojivi skupoviNeprebrojivi skupovi
Primer 7. Skup I iracionalnih brojeva je neprebrojiv.
Dokaz: ...
Kardinalni broj skupaKardinalni broj skupaKardinalni broj skupa
Neka je svakom skupu A pridruˇzen objekat, oznaˇcen sa |A|...
Kardinalni broj skupaKardinalni broj skupaKardinalni broj skupa
Kardinalni broj konaˇcnog skupa jednak je broju njegovih e...
Ure ¯denje kardinalnih brojevaUre ¯denje kardinalnih brojevaUre ¯denje kardinalnih brojeva
Neka su A i B skupovi.
Za kardi...
Ure ¯denje kardinalnih brojevaUre ¯denje kardinalnih brojevaUre ¯denje kardinalnih brojeva
Tvrd¯enje 1.13. Neka su A, B i ...
Ure ¯denje kardinalnih brojevaUre ¯denje kardinalnih brojevaUre ¯denje kardinalnih brojeva
Tvrd¯enje 1.14. (Kantorova teor...
Ure ¯denje kardinalnih brojevaUre ¯denje kardinalnih brojevaUre ¯denje kardinalnih brojeva
Razmotrimo skup S = {a ∈ A | a ...
Sabiranje kardinalnih brojevaSabiranje kardinalnih brojevaSabiranje kardinalnih brojeva
Neka je a = |A| i b = |B|.
Kako bi...
Sabiranje kardinalnih brojevaSabiranje kardinalnih brojevaSabiranje kardinalnih brojeva
Da li je ova definicija dobra?
Ovo ...
Množenje kardinalnih brojevaMnoženje kardinalnih brojevaMnoženje kardinalnih brojeva
Ako je a = |A| i b = |B|, kako definis...
Stepenovanje kardinalnih brojevaStepenovanje kardinalnih brojevaStepenovanje kardinalnih brojeva
Ako je a = |A| i b = |B|,...
Stepenovanje kardinalnih brojevaStepenovanje kardinalnih brojevaStepenovanje kardinalnih brojeva
Tvrd¯enje 1.15. Za proizv...
Stepenovanje kardinalnih brojevaStepenovanje kardinalnih brojevaStepenovanje kardinalnih brojeva
Dokaza´cemo da preslikava...
Stepenovanje kardinalnih brojevaStepenovanje kardinalnih brojevaStepenovanje kardinalnih brojeva
Da bi smo dokazali da je ...
Stepenovanje kardinalnih brojevaStepenovanje kardinalnih brojevaStepenovanje kardinalnih brojeva
Tvrd¯enje 1.16. 2ℵ0
= c.
...
Stepenovanje kardinalnih brojevaStepenovanje kardinalnih brojevaStepenovanje kardinalnih brojeva
Ovim smo dokazali da je
c...
Stepenovanje kardinalnih brojevaStepenovanje kardinalnih brojevaStepenovanje kardinalnih brojeva
Za razliˇcite α, β ∈ {0, ...
Predavanje13 DMA KARDINALI
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Predavanje13 DMA KARDINALI

73

Published on

KARDINALI,KONACNI I BESKONACNI SKUPOVI,PREBROJIVI I NEPREBROJIVI SKUPOVI,UREDJENJE KARDINALNIH BROJEVA KARDINALNI BROJ

Published in: Education
0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total Views
73
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
Downloads
0
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Predavanje13 DMA KARDINALI

  1. 1. Ekvipotentnost skupovaEkvipotentnost skupovaEkvipotentnost skupova Neke skupove moˇzemo intuitivno upored¯ivati po broju njihovih eleme- nata i govoriti da jedan skup ima viˇse elemenata od nekog drugog. Na primer, ako uporedimo broj elemenata skupova A = {1, 5, 7, 8, 11} i B = {a, x, m} zakljuˇci´cemo da skup A ima viˇse elemenata od skupa B. Med¯utim, posmatrajmo skup N prirodnih brojeva i skup Np parnih prirodnih brojeva. Postavlja se pitanje: Koji od tih skupova ima viˇse elemenata? Odgovor je: Imaju ”jednak broj” elemenata! Diskretne strukture – 2 – KardinaliDiskretne strukture – 2 – KardinaliDiskretne strukture – 2 – Kardinali
  2. 2. Ekvipotentnost skupovaEkvipotentnost skupovaEkvipotentnost skupova Kako smo utvrdili da N i Np imaju ”jednak broj” elemenata? To smo utvrdili na taj naˇcin ˇsto smo uoˇcili da postoji bijekcija iz skupa N na skup Np. Jedna od takvih bijekcija je, na primer, funkcija f : N → Np definisana sa f(x) = 2x. Postojanje bijekcije iz N na Np znaˇci da svakom prirodnom broju odgo- vara taˇcno jedan paran broj, i obratno. Prema tome, u nekom smislu, ti skupovi imaju jednak broj elemenata. Diskretne strukture – 3 – KardinaliDiskretne strukture – 3 – KardinaliDiskretne strukture – 3 – Kardinali
  3. 3. Ekvipotentnost skupovaEkvipotentnost skupovaEkvipotentnost skupova Zbog svega ovog, uvodi se slede´ca definicija: Skup A je ekvipotentan sa skupom B, u oznaci A ∼ B, ako postoji bijekcija f : A → B. Kaˇzemo joˇs i da je A ekvivalentan sa skupom B, ili da je A iste mo´ci sa skupom B. Za proizvoljnu bijekciju f : A → B piˇsemo i f : A ∼ B i kaˇzemo da f realizuje ekvipotentnost skupova A i B. Diskretne strukture – 4 – KardinaliDiskretne strukture – 4 – KardinaliDiskretne strukture – 4 – Kardinali
  4. 4. Ekvipotentnost skupovaEkvipotentnost skupovaEkvipotentnost skupova Primer 2.28 a) Skup A = {0, 1, 2} je ekvipotentan sa B = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}. Jedna bijekcija koja to potvrd¯uje je f(0) = ∅, f(1) = {∅}, f(2) = {∅, {∅}}. b) Skup A = {0, 1} nije ekvipotentan sa skupom B = {−1, 0, 1}. Nijedno preslikavanje iz A u B nije bijekcija. c) Neka je A proizvoljan skup. Tada je A ∼ (A × {1}), s obzirom da je preslikavanje f : x → (x, 1) bijekcija iz A u A × {1}. Diskretne strukture – 5 – KardinaliDiskretne strukture – 5 – KardinaliDiskretne strukture – 5 – Kardinali
  5. 5. Ekvipotentnost skupovaEkvipotentnost skupovaEkvipotentnost skupova e) Kao ˇsto smo ve´c rekli, skup prirodnih brojeva N je ekvipotentan sa svojim podskupom, skupom parnih brojeva Np. d) Neka su dati intervali na realnoj pravoj A = [0, 1] i B = [5, 7]. Preslikavanje f : A → B, zadato formulom f(x) = 2x + 5 je bijekcija iz A u B. Dakle, A ∼ B. ˇSta se ovde moˇze zakljuˇciti? Intervali [0, 1] i [5, 7] sadrˇze ”podjednako mnogo” taˇcaka, iako nisu jednake duˇzine. Vaˇzi i opˇstije tvrd¯enje, koje dokazujemo u daljem tekstu. Diskretne strukture – 6 – KardinaliDiskretne strukture – 6 – KardinaliDiskretne strukture – 6 – Kardinali
  6. 6. Ekvipotentnost skupovaEkvipotentnost skupovaEkvipotentnost skupova Primer 2.28-1 Svaka dva zatvorena intervala [a, b] i [c, d] skupa R realnih brojeva su ekvipotentna. Dokaz: Bijekciju f : [a, b] → [c, d] definiˇsemo kao linearnu funkciju koja slika a u c i b u d. Do izraza za tu linearnu funkciju dolazimo preko jednaˇcine prave koja prolazi kroz taˇcke (a, c) i (b, d): x − a y − c = b − a d − c odakle je y = f(x) = d − c b − a x + bc − ad b − a x y a b c d f(x) Diskretne strukture – 7 – KardinaliDiskretne strukture – 7 – KardinaliDiskretne strukture – 7 – Kardinali
  7. 7. Ekvipotentnost skupovaEkvipotentnost skupovaEkvipotentnost skupova Iako se sa slike jasno vidi da je f bijekcija, to dokazujemo i formalno. (a) Injektivnost: Neka je f(x1) = f(x2), za neke x1, x2 ∈ [a, b]. Tada jednostavno dobijamo da je d − c b − a (x1 − x2) = 0, i kako je d − c = 0, to je x1 − x2 = 0, odnosno x1 = x2. (b) Sirjektivnost: Neka je y ∈ [c, d]. Tada je y = f(x), gde je x = b − a d − c y + ad − bc d − c . Diskretne strukture – 8 – KardinaliDiskretne strukture – 8 – KardinaliDiskretne strukture – 8 – Kardinali
  8. 8. Ekvipotentnost skupovaEkvipotentnost skupovaEkvipotentnost skupova Primer 2.28-2 Svaka dva otvorena intervala (a, b) i (c, d) skupa R realnih brojeva su ekvipotentna. Dokaz: Neka je f bijekcija iz zatvorenog intervala [a, b] na zatvoreni interval [c, d] definisana kao u prethodnom primeru. Kako f slika a u c i b u d, to restrikcija funkcije f na otvoreni interval (a, b) jeste bijekcija iz (a, b) na (c, d). Prema tome, (a, b) ∼ (c, d). Diskretne strukture – 9 – KardinaliDiskretne strukture – 9 – KardinaliDiskretne strukture – 9 – Kardinali
  9. 9. Ekvipotentnost skupovaEkvipotentnost skupovaEkvipotentnost skupova Primetimo da za proizvoljne skupove A, B i C vaˇzi: 1) A ∼ A. Jasno, identiˇcko preslikavanje IA je jedna od bijekcija iz A u A. 2) A ∼ B ⇒ B ∼ A. Ako je f bijekcija iz A na B, onda je f−1 bijekcija iz B na A. 3) A ∼ B ∧ B ∼ C ⇒ A ∼ C. Naime, ako je f bijekcija iz A na B i g je bijekcija iz B na C, onda je f ◦ g bijekcija iz A na C. Drugim reˇcima, na bilo kom skupu skupova, ∼ je relacija ekvivalencije. Diskretne strukture – 10 – KardinaliDiskretne strukture – 10 – KardinaliDiskretne strukture – 10 – Kardinali
  10. 10. Konaˇcni i beskonaˇcni skupoviKonaˇcni i beskonaˇcni skupoviKonaˇcni i beskonaˇcni skupovi Potsetimo se da smo za proizvoljan prirodan broj n, sa Nn oznaˇcavali skup prvih n prirodnih brojeva, tj. Nn = {1, 2, . . . , n}. Za skup A kaˇzemo da je konaˇcan ako je ili prazan, ili je ekvipoptentan sa skupom Nn, za neki prirodan broj n. Jasno, ”A je ekvipotentan sa Nn” znaˇci da ”A ima n elemenata”, a proizvoljna bijekcija f : Nn ∼ A zapravo ”prebrojava” elemente iz A. Pri tome obiˇcno piˇsemo A = {a1, a2, . . . , an}, gde je ai = f(i), za svaki i ∈ Nn. Ako skup A nije konaˇcan, onda kaˇzemo da je beskonaˇcan. Diskretne strukture – 11 – KardinaliDiskretne strukture – 11 – KardinaliDiskretne strukture – 11 – Kardinali
  11. 11. Konaˇcni i beskonaˇcni skupoviKonaˇcni i beskonaˇcni skupoviKonaˇcni i beskonaˇcni skupovi Tvrd¯enje 1.1. Skup A je beskonaˇcan ako i samo ako je ekvipotentan sa nekim svojim pravim podskupom. Dokaz: Neka je A beskonaˇcan skup, tj., A nije ekvipotentan ni sa jednim od skupova Nn, n ∈ N. Definiˇsimo induktivno niz {an}n∈N elemenata iz A na slede´ci naˇcin: (i) Neka je a1 proizvoljan element iz A. (ii) Ako su definisani razliˇciti elementi a1, a2, . . . , an iz A, tada se an+1 definiˇse kao proizvoljan element skupa A {a1, a2, . . . , an}. Takav element sigurno postoji, jer ako bi skup A {a1, a2, . . . , an} bio prazan, tj. A = {a1, a2, . . . , an}, onda bi A bio ekvipotentan sa Nn. Diskretne strukture – 12 – KardinaliDiskretne strukture – 12 – KardinaliDiskretne strukture – 12 – Kardinali
  12. 12. Konaˇcni i beskonaˇcni skupoviKonaˇcni i beskonaˇcni skupoviKonaˇcni i beskonaˇcni skupovi Formirajmo sada skup A′ = {an | n ∈ N} i definiˇsimo funkciju f : A → A sa f(x) = x ako je x ∈ A A′ an+1 ako je x = an ∈ A′ Tada je f bijekcija iz A na njegov pravi podskup A {a1}. Obratno, neka je A ekvipotentan sa nekim svojim pravim podskupom. Tada je jasno da A ne moˇze biti konaˇcan, jer konaˇcan skup ne moˇze biti ekvipotentan, odnosno, ne moˇze imati isti broj elemenata sa svojim pravim podskupom. Diskretne strukture – 13 – KardinaliDiskretne strukture – 13 – KardinaliDiskretne strukture – 13 – Kardinali
  13. 13. Konaˇcni i beskonaˇcni skupoviKonaˇcni i beskonaˇcni skupoviKonaˇcni i beskonaˇcni skupovi Primer 1. Skup N prirodnih brojeva je beskonaˇcan. Dokaz: Ve´c smo dokazali da je N ∼ Np, pri ˇcemu je N N. Primer 2. Skup R realnih brojeva je beskonaˇcan. Dokaz: Skup R realnih brojeva je ekvipotentan sa svakim svojim otvorenim intervalom. Naime, neka je (a, b) proizvoljan otvoreni interval skupa realnih brojeva. Kako je funkcija f(x) = tg x (funkcija tangens) bijekcija iz intervala (−π, π) na R, to je R ∼ (−π, π). Sa druge strane, prema Primeru 2.28-2 imamo da je (−π, π) ∼ (a, b), pa imamo da je R ∼ (a, b). Diskretne strukture – 14 – KardinaliDiskretne strukture – 14 – KardinaliDiskretne strukture – 14 – Kardinali
  14. 14. Konaˇcni i beskonaˇcni skupoviKonaˇcni i beskonaˇcni skupoviKonaˇcni i beskonaˇcni skupovi Tvrd¯enje 1.2. Vaˇzi slede´ce: a) Svaki nadskup beskonaˇcnog skupa je beskonaˇcan. b) Svaki podskup konaˇcnog skupa je konaˇcan. c) Svaki skup ekvipotentan beskonaˇcnom skupu je beskonaˇcan. d) Svaki skup ekvipotentan konaˇcnom skupu je konaˇcan. Dokaz: a) Neka je A beskonaˇcan skup i A ⊆ B. Tada postoji pravi podskup C od A i bijekcija f : A → C. Generalna ideja je da se f proˇsiri do bijekcije g : B → B. Diskretne strukture – 15 – KardinaliDiskretne strukture – 15 – KardinaliDiskretne strukture – 15 – Kardinali
  15. 15. Konaˇcni i beskonaˇcni skupoviKonaˇcni i beskonaˇcni skupoviKonaˇcni i beskonaˇcni skupovi Najjednostavniji naˇcin da se to uradi je da se uzme da je g(x) = x, za svaki x ∈ B A, tj. da se g definiˇse sa g(x) = f(x) ako je x ∈ A x ako je x ∈ B A Lako se proverava da je g bijekcija iz B na skup C ∪ (B A), koji je pravi podskup od B. Time smo dokazali da je B beskonaˇcan skup. Diskretne strukture – 16 – KardinaliDiskretne strukture – 16 – KardinaliDiskretne strukture – 16 – Kardinali
  16. 16. Konaˇcni i beskonaˇcni skupoviKonaˇcni i beskonaˇcni skupoviKonaˇcni i beskonaˇcni skupovi b) Ako je A konaˇcan skup i B ⊆ A, tada i B mora biti konaˇcan. Naime, ako bi B bio beskonaˇcan, tada bi i A morao biti beskonaˇcan, prema tvrd¯enju pod a). Tvrd¯enja pod c) i d) se dokazuju jednostavno i ostavljaju se za veˇzbu. Primer 3. Skup Z celih i skup Q racionalnih brojeva su beskonaˇcni. Dokaz: Prema prethodnom tvrd¯enju, kao nadskupovi beskonaˇcnog skupa N. Diskretne strukture – 17 – KardinaliDiskretne strukture – 17 – KardinaliDiskretne strukture – 17 – Kardinali
  17. 17. Konaˇcni i beskonaˇcni skupoviKonaˇcni i beskonaˇcni skupoviKonaˇcni i beskonaˇcni skupovi Tvrd¯enje 1.3. Dokazati da se dodavanjem jednog elementa konaˇcnom skupu ponovo dobija konaˇcan skup. Dokaz: Neka je A konaˇcan skup, tj., A je ekvipotentan sa Nn, za neki n ∈ N, i neka je f : A → Nn proizvoljna bijekcija. Ako je skup B dobijen dodavanjem skupu A nekog novog elementa b, tada je sa g(x) = f(x) ako je x ∈ A n + 1 ako je x = b definisana bijekcija iz A na skup Nn+1. Ovim je dokazano da je B konaˇcan skup. Diskretne strukture – 18 – KardinaliDiskretne strukture – 18 – KardinaliDiskretne strukture – 18 – Kardinali
  18. 18. Konaˇcni i beskonaˇcni skupoviKonaˇcni i beskonaˇcni skupoviKonaˇcni i beskonaˇcni skupovi Tvrd¯enje 1.4. Dokazati da se oduzimanjem jednog elementa beskonaˇc- nom skupu ponovo dobija beskonaˇcan skup. Dokaz: Ovo sledi neposredno iz prethodnog zadatka. Naime, neka je A beskonaˇcan skup i neka je B skup nastao iz A odu- zimanjem jednog njegovog elementa a. Tada moˇzemo da kaˇzemo i da je A nastao dodavanjem elementa a skupu B, pa ako bi B bio konaˇcan, onda bi prema prethodnom zadatku i A morao biti konaˇcan. Odavde zakljuˇcujemo da B mora biti beskonaˇcan skup. Diskretne strukture – 19 – KardinaliDiskretne strukture – 19 – KardinaliDiskretne strukture – 19 – Kardinali
  19. 19. Prebrojivi skupoviPrebrojivi skupoviPrebrojivi skupovi Za skup A kaˇzemo da je prebrojiv ako je ili konaˇcan, ili je ekvipotentan skupu N prirodnih brojeva. Skupove koji nisu prebrojivi zovemo neprebrojivim skupovima, a skupove ekvipotentne skupu N prirodnih brojeva zovemo prebrojivo beskonaˇcnim. Ako je skup A prebrojivo beskonaˇcan, tj. postoji bijekcija f : N → A, onda obiˇsno koristimo slede´ce oznake: f(1) = a1, f(2) = a2, f(3) = a3, . . . , f(k) = ak, . . . pa skup A predstavljamo u obliku A = {a1, a2, . . . , ak, . . .}. Drugim reˇcima, elemente iz A smo nabrojali i svrstali u jedan besko- naˇcan niz, odakle i potiˇce naziv “prebrojiv skup”. Sliˇcno, konaˇcan skup se moˇze zapisati u obliku A = {a1, a2, . . . ak}, za neki prirodan broj k. Diskretne strukture – 20 – KardinaliDiskretne strukture – 20 – KardinaliDiskretne strukture – 20 – Kardinali
  20. 20. Prebrojivi skupoviPrebrojivi skupoviPrebrojivi skupovi Tvrd¯enje 1.5. Svaki beskonaˇcan podskup prebrojivo beskonaˇcnog sku- pa je takod¯e prebrojivo beskonaˇcan. Dokaz: Neka je B beskonaˇcan podskup prebrojivo beskonaˇcnog skupa A, gde A predstavljamo u obliku A = {a1, a2, . . . , ak, . . .}. Definiˇsimo sada podskup skupa B (tj. podniz niza A) na slede´ci naˇcin. Neka je n1 najmanji prirodan broj takav da je an1 ∈ B. Ovim je jednoznaˇcno odred¯en element an1 ∈ B. Potom uzimamo da je n2 najmanji prirodan broj takav da je an2 ∈ B {an1 }, ˇcime smo odredili element an2 ∈ B. Diskretne strukture – 21 – KardinaliDiskretne strukture – 21 – KardinaliDiskretne strukture – 21 – Kardinali
  21. 21. Prebrojivi skupoviPrebrojivi skupoviPrebrojivi skupovi Pretpostavimo sada da smo odredili skup {an1 , an2 , . . . , ank } eleme- nata iz B. Tada je skup B {an1 , an2 , . . . , ank } neprazan, jer je B beskonaˇcan skup, pa postoji najmanji prirodan broj nk+1 takav da je ank+1 ∈ B {an1 , an2 , . . . , ank }, ˇcime smo odredili joˇs jedan element ank+1 ∈ B. Na ovaj naˇcin je odred¯en beskonaˇcan podskup C = {an1 , an2 , . . . , ank , . . .} skupa B, ˇciji su svi elementi med¯usobno razliˇciti. Diskretne strukture – 22 – KardinaliDiskretne strukture – 22 – KardinaliDiskretne strukture – 22 – Kardinali
  22. 22. Prebrojivi skupoviPrebrojivi skupoviPrebrojivi skupovi Definiˇsimo sada preslikavanje f : N → C sa f(k) = ank . Tada je f bijekcija iz N na C, tj. N ≃ C. Kako je, po pretpostavci, A ≃ N, to imamo da je A ≃ C, tj. A je ekvipotentan sa podskupom C skupa B. Sa druge strane, B je ekvipotentan sa podskupom B skupa A, pa prema ˇSreder-Bernˇstajnovoj teoremi (koju ´cemo navesti neˇsto kasnije) imamo da su i A i B ekvipotentni. To na kraju povlaˇci da je B ekvipotentan sa N. Tvrd¯enje 1.6. Svaki podskup prebrojivog skupa je prebrojiv. Dokaz: Sledi iz prethodnog tvrd¯enja. Diskretne strukture – 23 – KardinaliDiskretne strukture – 23 – KardinaliDiskretne strukture – 23 – Kardinali
  23. 23. Prebrojivi skupoviPrebrojivi skupoviPrebrojivi skupovi Tvrd¯enje 1.7. Svaki beskonaˇcan skup sadrˇzi prebrojivo beskonaˇcan podskup. Dokaz: Neka je A proizvoljan beskonaˇcan skup. Formirajmo niz {ak}k∈N elemenata iz A na slede´ci naˇcin. Najpre uzimamo proizvoljno a1 ∈ A. Ukoliko su ve´c odred¯eni elementi a1, a2, . . . , ak, za neko k ∈ N, tada uzimamo da je ak+1 ∈ A {a1, a2, . . . , ak} proizvoljan element. Takav element postoji jer je A = {a1, a2, . . . , ak}, zbog pretpostavke da je A beskonaˇcan skup. Diskretne strukture – 24 – KardinaliDiskretne strukture – 24 – KardinaliDiskretne strukture – 24 – Kardinali
  24. 24. Prebrojivi skupoviPrebrojivi skupoviPrebrojivi skupovi Na ovaj naˇcin smo formirali beskonaˇcan podskup A′ = {a1, a2, . . . , ak, . . .} skupa A. Njegovi elementi su, prema svojoj definicji, med¯usobno razliˇciti, pa funkcija f : N → A′ definisana sa f(k) = ak je bijekcija iz N na A′ . Prema tome, A′ je prebrojivo beskonaˇcan podskup od A. Diskretne strukture – 25 – KardinaliDiskretne strukture – 25 – KardinaliDiskretne strukture – 25 – Kardinali
  25. 25. Prebrojivi skupoviPrebrojivi skupoviPrebrojivi skupovi Tvrd¯enje 1.8. Unija prebrojivo beskonaˇcnog skupa i konaˇcnog skupa je prebrojivo beskonaˇcan skup. Dokaz: Neka je A prebrojivo beskonaˇcan a B konaˇcan skup. Pretpostavimo najpre da su A i B disjunktni skupovi. Predstavimo skupove A i B u obliku A = {a1, a2, . . . , ak, . . .} i B = {b1, b2, . . . , bn}, za neki n ∈ N, i definiˇsimo preslikavanje f : N → A ∪ B sa f(k) = bk ako je k n ak−n ako je k n . Diskretne strukture – 26 – KardinaliDiskretne strukture – 26 – KardinaliDiskretne strukture – 26 – Kardinali
  26. 26. Prebrojivi skupoviPrebrojivi skupoviPrebrojivi skupovi To znaˇci da elemente iz skupa A∪B nabrajamo tako ˇsto najpre nabra- jamo sve elemente iz konaˇcnog skupa B, a potom nastavljamo sa nabra- janjem elemenata iz A. 1 2 . . . n n + 1 n + 2 n + 3 . . . ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ b1 b2 . . . bn a1 a2 a3 . . . Neposredno se proverava da je f bijekcija iz N na A ∪ B, ˇsto znaˇci da je A ∪ B prebrojivo beskonaˇcan skup. Sa druge strane, ako A i B nisu disjunktni, stavimo da je C = B A. Tada su A i C disjunktni, A ∪ B = A ∪ C i C je konaˇcan, pa pre- ma dokazanom u prethodnom sluˇcaju, A ∪ B = A ∪ C je prebrojivo beskonaˇcan skup. Diskretne strukture – 27 – KardinaliDiskretne strukture – 27 – KardinaliDiskretne strukture – 27 – Kardinali
  27. 27. Prebrojivi skupoviPrebrojivi skupoviPrebrojivi skupovi Tvrd¯enje 1.9. Unija dva prebrojivo beskonaˇcna skupa je prebrojivo beskonaˇcan skup. Dokaz: Neka su A i B dva prebrojivo beskonaˇcna skupa. Dokaza- ´cemo da je A ∪ B takod¯e prebrojivo beskonaˇcan skup. Razmotrimo najpre sluˇcaj kada su A i B disjunktni skupovi. Kako su A i B prebrojivo beskonaˇcni, to postoje bijekcije f : N ∼ A i g : N ∼ B. Definiˇsimo funkciju h : N → A ∪ B na slede´ci naˇcin f(n) = ak ako je n = 2k − 1, za neki k ∈ N ak ako je n = 2k, za neki k ∈ N Diskretne strukture – 28 – KardinaliDiskretne strukture – 28 – KardinaliDiskretne strukture – 28 – Kardinali
  28. 28. Prebrojivi skupoviPrebrojivi skupoviPrebrojivi skupovi To znaˇci da elemente iz skupa A ∪ B nabrajamo tako ˇsto naizmeniˇcno nabrajamo po jedan element iz skupova A i B. 1 2 3 4 . . . 2k − 1 2k . . . ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ a1 b1 a2 b2 . . . ak bk . . . Neposredno se proverava da je h bijekcija iz N na A ∪ B. Diskretne strukture – 29 – KardinaliDiskretne strukture – 29 – KardinaliDiskretne strukture – 29 – Kardinali
  29. 29. Prebrojivi skupoviPrebrojivi skupoviPrebrojivi skupovi Sa druge strane, ukoliko A i B nisu disjunktni, tada stavljamo da je C = B A, pa dobijamo da je A ∪ B = A ∪ C, pri ˇcemu su A i C disjunktni i C je ili konaˇcan ili prebrojivo beskonaˇcan skup. Ukoliko je C konaˇcan, tada primenjujemo tvrd¯enje iz prethodnog za- datka, a ako je C prebrojivo beskonaˇcan, tada primenjujemo prvi sluˇcaj u ovom zadatku. U oba ova sluˇcaja dobijamo da je A∪B prebrojivo beskonaˇcan skup. Diskretne strukture – 30 – KardinaliDiskretne strukture – 30 – KardinaliDiskretne strukture – 30 – Kardinali
  30. 30. Prebrojivi skupoviPrebrojivi skupoviPrebrojivi skupovi Tvrd¯enje 1.10. Unija konaˇcno mnogo prebrojivo beskonaˇcnih skupova je prebrojivo beskonaˇcan skup. Dokaz: Dokazuje se indukcijom po broju ˇclanova unije, koriste´ci prethodno tvrd¯enje. Primer 4. Skup Z celih brojeva je prebrojivo beskonaˇcan. Dokaz: Sledi iz ˇcinjenice da su skup svih pozitivnih celih brojeva Z+ i skup svih negativnih celih brojeva Z− prebrojivi, jer su ekvipotentni sa N, i Z = Z+ ∪ Z− ∪ {0}. Diskretne strukture – 31 – KardinaliDiskretne strukture – 31 – KardinaliDiskretne strukture – 31 – Kardinali
  31. 31. Prebrojivi skupoviPrebrojivi skupoviPrebrojivi skupovi Primer 5. Skup N × N je prebrojivo beskonaˇcan. Dokaz: Definiˇsimo preslikavanje f : N × N → N sa f(a, b) = 2a−1 · (2 · (b − 1) + 1). Da bi dokazali njegovu injektivnost, uzmimo da je f(a, b) = f(c, d), za neke a, b, c, d ∈ N, odnosno (1) 2a−1 · (2 · (b − 1) + 1) = 2c−1 · (2 · (d − 1) + 1). Ako je a c i ako podelimo jednakost (1) sa 2c−1 , dobijamo da je 2a−c · (2 · (b − 1) + 1) = 2 · (d − 1) + 1. Sa desne strane je neparan broj, odakle sledi da mora biti a = c. Sliˇcno, i u sluˇcaju c a dobijamo da je a = c. Diskretne strukture – 32 – KardinaliDiskretne strukture – 32 – KardinaliDiskretne strukture – 32 – Kardinali
  32. 32. Prebrojivi skupoviPrebrojivi skupoviPrebrojivi skupovi Dalje, iz a = c, skra´civanjem jednakosti (1) dobijamo 2 · (b − 1) + 1 = 2 · (d − 1) + 1, ˇsto povlaˇci b = d. Dakle, dobili smo da je (a, b) = (c, d), ˇcime smo dokazali da f injekcija. Da bi dokazali da je f sirjektivno preslikavanje, razmotrimo proizvoljan prirodan broj n. Neka je 2k najve´ci stepen broja 2 koji deli n (ako je n neparan, tada je k = 0). Tada se n moˇze zapisati u obliku n = 2k · m, gde je m neparan broj, tj. m = 2 · r + 1, za neki r ∈ N0 = 0. Prema tome, n = 2k · (2 · r + 1), pa je f(k + 1, r + 1) = n. Time smo dokazali da je f sirjektivno preslikavanje. Diskretne strukture – 33 – KardinaliDiskretne strukture – 33 – KardinaliDiskretne strukture – 33 – Kardinali
  33. 33. Prebrojivi skupoviPrebrojivi skupoviPrebrojivi skupovi Primer 6. Skup Q racionalnih brojeva je prebrojivo beskonaˇcan. Dokaz: Najpre uoˇcavamo da je Q+ ∼ N × N, gde je Q+ skup svih pozitivnih racionalnih brojeva. To je stoga ˇsto se a ∈ Q+ moˇze na jedinstven naˇcin predstaviti u obliku razlomka a = p/q, gde su p, q ∈ N uzajamno prosti brojevi, tj. u obliku neskrativog razlomka. Dakle, prema prethodnom primeru, Q+ ∼ N. Takod¯e, Q+ ∼ Q− , gde je Q− skup negativnih racionalnih brojeva, pa je Q− ∼ N. Konaˇcno, Q = Q+ ∪Q− ∪{0}, odakle sledi da je Q prebrojivo beskonaˇcan. Diskretne strukture – 34 – KardinaliDiskretne strukture – 34 – KardinaliDiskretne strukture – 34 – Kardinali
  34. 34. Neprebrojivi skupoviNeprebrojivi skupoviNeprebrojivi skupovi Skupovi N, Z i Q su bili primeri prebrojivo beskonaˇcnih skupova. Sada dajemo primere i neprebrojivih skupova, i dokaza´cemo da je skup R realnih brojeva upravo takav. To ˇcinimo tako ˇsto najpre dokazujemo da je neprebrojiv otvoreni interval (0, 1) skupa realnih brojeva. Tvrd¯enje 1.11. Interval (0, 1) skupa realnih brojeva je neprebrojiv. Dokaz: Najpre prime´cujemo da proizvoljan realan broj x ∈ (0, 1) ima decimalni zapis oblika x = 0.x1x2x3 . . ., gde su xk ∈ {0, 1, 2, . . . , 9}, ali takav zapis ne mora biti jedinstven. Na primer, 1/4 = 0.2500000 . . . i 1/4 = 0.249999 . . .. Diskretne strukture – 35 – KardinaliDiskretne strukture – 35 – KardinaliDiskretne strukture – 35 – Kardinali
  35. 35. Neprebrojivi skupoviNeprebrojivi skupoviNeprebrojivi skupovi Da bi se dobio jedinstven zapis, dogovori´cemo se da se svaki broj koji ima konaˇcan broj k nenula decimala (racionalan broj), umesto u obliku 0.x1x2 . . . xk0000 . . . predstavi u obliku 0.x1x2 . . . x′ k9999 . . . gde je x′ k = xk − 1. Drugim reˇcima, zadnja nenula decimala se smanjuje za 1 a umesto nula koje idu za njom se ubacuju devetke. Brojevi zapisani na taj naˇcin imaju jedinstven zapis, ˇsto znaˇci da ako je x = 0.x1x2x3 . . . i y = 0.y1y2y3 . . ., pri ˇcemu je xk = yk, bar za jedno k ∈ N, tada je x = y. Diskretne strukture – 36 – KardinaliDiskretne strukture – 36 – KardinaliDiskretne strukture – 36 – Kardinali
  36. 36. Neprebrojivi skupoviNeprebrojivi skupoviNeprebrojivi skupovi Pretpostavimo sada da je interval (0, 1) prebrojiv, tj. da se moˇze pred- staviti u obliku niza {x1, x2, x3, . . . , xk, . . .}. Svaki element iz ovog niza ima decimalni zapis napravljen u skladu sa prethodno donetim dogovorom, pa imamo slede´cu ˇsemu x1= 0,a11 a12 a13. . .a1n. . . x2= 0,a21 a22 a23. . .a2n. . . x3= 0,a31 a32 a33. . .a3n. . . ... ... xn= 0,an1an2an3. . .ann. . . ... ... Uoˇcimo niz brojeva na dijagonali: a11, a22, a33, . . . , ann, . . . Diskretne strukture – 37 – KardinaliDiskretne strukture – 37 – KardinaliDiskretne strukture – 37 – Kardinali
  37. 37. Neprebrojivi skupoviNeprebrojivi skupoviNeprebrojivi skupovi Formirajmo sada broj x sa decimalnim zapisom x = 0, a1a2a3 . . . an . . . , gde je ak = 5 ako je akk = 5 1 ako je akk = 5 Ovaj broj se ne nalazi u gornjoj ˇsemi, jer je an = ann, za svaki n ∈ N, pa je x = xn, za svaki n ∈ N. Med¯utim, x ∈ (0, 1), pa smo dobili kontradikciju. Na osnovu svega ovog zakljuˇcujemo da je bila pogreˇsna pretpostavka da je (0, 1) prebrojiv, pa zakljuˇcujemo da je (0, 1) neprebrojiv. Diskretne strukture – 38 – KardinaliDiskretne strukture – 38 – KardinaliDiskretne strukture – 38 – Kardinali
  38. 38. Neprebrojivi skupoviNeprebrojivi skupoviNeprebrojivi skupovi Metod koriˇs´cen u prethodnom dokazu poznat je pod nazivom Kantorov dijagonalni postupak. Kantor je, inaˇce, i prvi dokazao prethodno tvrd¯enje, pa se ono naziva i Kantorova teorema. Kako je, kao ˇsto smo ranije dokazali, skup R realnih brojeva ekvipoten- tan svakom svom otvorenom intervalu, to dobijamo slede´ce tvrd¯enja, koje zapravo predstavlja glavni rezultat ovog poglavlja. Tvrd¯enje 1.12. Skup R realnih brojeva je neprebrojiv. Dokaz: Sledi iz prethodnog tvrd¯enja. Diskretne strukture – 39 – KardinaliDiskretne strukture – 39 – KardinaliDiskretne strukture – 39 – Kardinali
  39. 39. Neprebrojivi skupoviNeprebrojivi skupoviNeprebrojivi skupovi Primer 7. Skup I iracionalnih brojeva je neprebrojiv. Dokaz: Skup R realnih brojeva se moˇze napisati u obliku R = Q ∪ I. Kako je Q prebrojivo beskonaˇcan, to bi eventualna prebrojiva besko- naˇcnost skupa I povukla za sobom i prebrojivu beskonaˇcnost skupa R, ˇsto, kao ˇsto smo dokazali, nije sluˇcaj. Prema tome, I ne moˇze biti prebrojivo beskonaˇcan. Diskretne strukture – 40 – KardinaliDiskretne strukture – 40 – KardinaliDiskretne strukture – 40 – Kardinali
  40. 40. Kardinalni broj skupaKardinalni broj skupaKardinalni broj skupa Neka je svakom skupu A pridruˇzen objekat, oznaˇcen sa |A| (ili card A), tako da su zadovoljeni slede´ci uslovi: (i) |A| = 0 ako i samo ako je A = ∅. (ii) Ako je A neprazan konaˇcan skup i A ≃ Nk, za neko k ∈ N, tada je |A| = k. (iii) Ako su A i B proizvoljni skupovi, tada je |A| = |B| ako i samo ako je A ≃ B. U tom sluˇcaju |A| nazivamo kardinalnim brojem (”glavni broj”), kardi- nalom ili kardinalnoˇs´cu skupa A. Kardinalne brojeve konaˇcnih skupova nazivamo konaˇcnim kardinalima, a kardinalne brojeve beskonaˇcnih skupova transfinitnim kardinalima. Diskretne strukture – 41 – KardinaliDiskretne strukture – 41 – KardinaliDiskretne strukture – 41 – Kardinali
  41. 41. Kardinalni broj skupaKardinalni broj skupaKardinalni broj skupa Kardinalni broj konaˇcnog skupa jednak je broju njegovih elemenata. Odatle se vidi da je pojam kardinalnog broja skupa u stvari proˇsirenje pojma broja elemenata skupa. Kardinalni broj skupa A zapravo jeste klasa svih skupova koji su ekvi- valentni sa A. Kardinalni broj skupa N prirodnih brojeva oznaˇcava se sa ℵ0 (ˇcita se alef nula – to je prvo slovo hebrejske azbuke). Oˇcito, ako je A proizvoljan prebrojiv skup, onda je |A| = ℵ0. Kardinalni broj skupa realnih brojeva naziva se kontinuum i oznaˇcava se sa c. Za svaki skup koji je ekvivalentan sa R kaˇze se da ima mo´c kontinuuma. Diskretne strukture – 42 – KardinaliDiskretne strukture – 42 – KardinaliDiskretne strukture – 42 – Kardinali
  42. 42. Ure ¯denje kardinalnih brojevaUre ¯denje kardinalnih brojevaUre ¯denje kardinalnih brojeva Neka su A i B skupovi. Za kardinalni broj |A| skupa A kaˇzemo da je manji ili jednak kardinal- nom broju |B| skupa B, ako je skup A ekvipotentan nekom podskupu od B, tj. ako postoji injekcija iz A u B. To simboliˇcki oznaˇcavamo sa |A| |B|, Ako je |A| |B| i |A| = |B|, tada piˇsemo |A| < |B|, i kaˇzemo da je kardinalni broj |A| strogo manji od kardinalnog broja |B|. Ako je |A| |B|, tada takod¯e piˇsemo i |B| |A|, i kaˇzemo da je kardinalni broj |B| ve´ci ili jednak kardinalnom broju |A|. Ako je |A| < |B|, tada piˇsemo i |B| > |A| i kaˇzemo da je kardinalni broj |B| strogo ve´ci od kardinalnog broja |A|. Diskretne strukture – 43 – KardinaliDiskretne strukture – 43 – KardinaliDiskretne strukture – 43 – Kardinali
  43. 43. Ure ¯denje kardinalnih brojevaUre ¯denje kardinalnih brojevaUre ¯denje kardinalnih brojeva Tvrd¯enje 1.13. Neka su A, B i C proizvoljni skupovi. Tada vaˇzi: (1) A A. (2) A B ∧ B A ⇒ A ∼ B. (3) A B ∧ B C ⇒ A C. Dokaz: (1) Sledi iz ˇcinjenice da je A ∼ A. (3) Sledi iz ˇcinjenice da je kompozicija dve injekcije takod¯e injekcija. Dokaz tvrd¯enja (2) je priliˇcno komplikovan, pa ´ce biti izostavljen. Tvrd¯enje (2) je poznato kao ˇSreder-Bernˇstajnova teorema. Na primer, |N| < |R|. Diskretne strukture – 44 – KardinaliDiskretne strukture – 44 – KardinaliDiskretne strukture – 44 – Kardinali
  44. 44. Ure ¯denje kardinalnih brojevaUre ¯denje kardinalnih brojevaUre ¯denje kardinalnih brojeva Tvrd¯enje 1.14. (Kantorova teorema) Za proizvoljan skup A je |A| < |P(A)|. Dokaz: Ako je A = ∅, tada je |∅| = 0 < 1 = |P(∅)|. Uzmimo dalje da je A = ∅. Tada preslikavanje g : A → P(A) definisano sa g(a) = {a} je injekcija iz A u P(A), pa je |A| |P(A)|. Preostaje da se dokaˇze da je |A| = |P(A)|. Pretpostavimo suprotno, da postoji bijekcija f : A → P(A). Diskretne strukture – 45 – KardinaliDiskretne strukture – 45 – KardinaliDiskretne strukture – 45 – Kardinali
  45. 45. Ure ¯denje kardinalnih brojevaUre ¯denje kardinalnih brojevaUre ¯denje kardinalnih brojeva Razmotrimo skup S = {a ∈ A | a /∈ f(a)}. Kako je S ∈ P(A) i f je bijekcija, to postoji element e ∈ A takav da je f(e) = S. Za takvo e imamo dve mogu´cnosti: e ∈ S i e /∈ S. Ako je e ∈ S, onda e /∈ f(e) = S, a ako e /∈ S, onda je e ∈ f(e) = S, oba puta prema definiciji skupa S. Dakle, dobili smo kontradikciju, pa zakljuˇcujemo da ne postoji bijekcija iz A na P(A), ˇsto znaˇci da je |A| < |P(A)|. Diskretne strukture – 46 – KardinaliDiskretne strukture – 46 – KardinaliDiskretne strukture – 46 – Kardinali
  46. 46. Sabiranje kardinalnih brojevaSabiranje kardinalnih brojevaSabiranje kardinalnih brojeva Neka je a = |A| i b = |B|. Kako bi smo definisali zbir a + b? Kakav je sluˇcaj kod konaˇcnih kardinala? Ako je m = |A| i n = |B|, ˇsta je onda m + n? Odgovor je: m + n = |A ∪ B|, ali samo ako su A i B disjunktni. Prema tome, uzimamo da je a + b def = |A ∪ B|, gde su A i B disjunktni skupovi takvi da je a = |A| i b = |B|. Ukoliko A i B nisu disjunktni, onda jedan od njih uvek moˇzemo zameniti ekvipotentnim skupom koji je disjunktan sa drugim. Na primer, moˇzemo zameniti B sa B × {1}, koji je disjunktan sa A. Diskretne strukture – 47 – KardinaliDiskretne strukture – 47 – KardinaliDiskretne strukture – 47 – Kardinali
  47. 47. Sabiranje kardinalnih brojevaSabiranje kardinalnih brojevaSabiranje kardinalnih brojeva Da li je ova definicija dobra? Ovo pitanje znaˇci: ako imamo drugi par A′ , B′ disjunktnih skupova, takav da je a = |A′ | i b = |B′ |, da li ´ce onda biti i |A∪B| = |A′ ∪B′ |? Odgovor na ovo pitanje je pozitivan – definicija je dobra. Zadatak: Dokazati da iz |A| = |A′ | i |B| = |B′ | sledi |A ∪ B| = |A′ ∪ B′ |. Diskretne strukture – 48 – KardinaliDiskretne strukture – 48 – KardinaliDiskretne strukture – 48 – Kardinali
  48. 48. Množenje kardinalnih brojevaMnoženje kardinalnih brojevaMnoženje kardinalnih brojeva Ako je a = |A| i b = |B|, kako definisati proizvod a · b? Kakvu sugestiju pruˇza sluˇcaj konaˇcnih kardinala? Ako je m = |A| i n = |B|, koji skup, dobijen nekim operacijama iz skupova A i B, ima kardinalnost m · n? Naravno, skup A × B! Dakle, uvodimo definiciju ab def = |A × B|, gde su A i B skupovi takvi da je a = |A| i b = |B|. Ova definicija je dobra, jer vaˇzi |A| = |A′ | ∧ |B| = |B′ | ⇒ |A × B| = |A′ × B′ |. Zadatak: Dokazati ovu implikaciju. Diskretne strukture – 49 – KardinaliDiskretne strukture – 49 – KardinaliDiskretne strukture – 49 – Kardinali
  49. 49. Stepenovanje kardinalnih brojevaStepenovanje kardinalnih brojevaStepenovanje kardinalnih brojeva Ako je a = |A| i b = |B|, kako definisati stepen ba ? Kakvu sugestiju ovde pruˇza sluˇcaj konaˇcnih kardinala? Ako je m = |A| i n = |B|, koji skup, dobijen nekim operacijama iz skupova A i B, ima nm elemenata? Odgovor je: nm elemenata ima skup BA svih preslikavanja iz A u B! Motivisano time, definiˇsemo ba def = |BA |, gde su A i B skupovi takvi da je a = |A| i b = |B|. Ova definicija je dobra, jer vaˇzi |A| = |X| ∧ |B| = |Y | ⇒ |BA | = |Y X |. Zadatak: Dokazati ovu implikaciju. Diskretne strukture – 50 – KardinaliDiskretne strukture – 50 – KardinaliDiskretne strukture – 50 – Kardinali
  50. 50. Stepenovanje kardinalnih brojevaStepenovanje kardinalnih brojevaStepenovanje kardinalnih brojeva Tvrd¯enje 1.15. Za proizvoljan skup A je |P(A)| = {0, 1}|A| . Dokaz: Neka je B = {0, 1}. Proizvoljnom podskupu E skupa A pridruˇzujemo preslikavanje χE : A → B definisano na slede´ci naˇcin: χE(a) = 1 ako je a ∈ E 0 ako a /∈ E . To preslikavanje se naziva karakteristiˇcna funkcija skupa E. Diskretne strukture – 51 – KardinaliDiskretne strukture – 51 – KardinaliDiskretne strukture – 51 – Kardinali
  51. 51. Stepenovanje kardinalnih brojevaStepenovanje kardinalnih brojevaStepenovanje kardinalnih brojeva Dokaza´cemo da preslikavanje χ : E → χE jeste bijekcija iz P(A) na BA . Neka je χE = χF , za neke E, F ∈ P(A). Ako je a ∈ E, tada χE(a) = 1, odakle sledi da je χF (a) = 1, jer je χE = χF , ˇsto znaˇci da je a ∈ F . Prema tome, dokazali smo da je E ⊆ F . Na potpuno isti naˇcin dobijamo da je F ⊆ E, ˇcime smo dokazali da je E = F . Dakle, χ je injektivno preslikavanje. Diskretne strukture – 52 – KardinaliDiskretne strukture – 52 – KardinaliDiskretne strukture – 52 – Kardinali
  52. 52. Stepenovanje kardinalnih brojevaStepenovanje kardinalnih brojevaStepenovanje kardinalnih brojeva Da bi smo dokazali da je χ sirjektivno preslikavanje, uoˇcimo proizvoljan element f ∈ BA , tj. neko preslikavanje f : A → B. Neka je E = {a ∈ A | f(a) = 1}. Neposredno se proverava da je f = χE, ˇcime smo dokazali da je χ sirjektivno preslikavanje. Sumiraju´ci ono ˇsto smo do sada dokazali zakljuˇcujemo da je χ bijekcija iz P(A) na BA , tj. da je |P(A)| = |BA | = {0, 1}|A| . Diskretne strukture – 53 – KardinaliDiskretne strukture – 53 – KardinaliDiskretne strukture – 53 – Kardinali
  53. 53. Stepenovanje kardinalnih brojevaStepenovanje kardinalnih brojevaStepenovanje kardinalnih brojeva Tvrd¯enje 1.16. 2ℵ0 = c. Dokaz: Neka je f : R → P(Q) preslikavanje definisano sa f(a) = {x ∈ Q | x < a}, za proizvoljno a ∈ R. Ovo preslikavanje je injektivno. Naime, ako su a, b ∈ R razliˇciti brojevi, recimo a < b, tada postoji q ∈ Q takav da je a < q < b, jer je skup Q svuda gust podskup od R. Prema tome, f(a) = {x ∈ Q | x < a} ⊂ {x ∈ Q | x < b} = f(b), pa f(a) = f(b). Dakle, f je doista injektivno preslikavanje. Diskretne strukture – 54 – KardinaliDiskretne strukture – 54 – KardinaliDiskretne strukture – 54 – Kardinali
  54. 54. Stepenovanje kardinalnih brojevaStepenovanje kardinalnih brojevaStepenovanje kardinalnih brojeva Ovim smo dokazali da je c |P(Q)| = 2|Q| = 2ℵ0 , jer je, kao ˇsto smo ranije dokazali, Q ∼ N, tj. |Q| = ℵ0. Obratno, neka je F : {0, 1}N → R preslikavanje definisano na slede´ci naˇcin: Za proizvoljno α ∈ {0, 1}N , tj. za proizvoljno preslikavanje α : N → {0, 1}, neka je F (α) = 0.α1α2 . . . αk . . . , gde je αk = α(k) i ovaj zapis je decimalni zapis realnog broja (ne binarni, iako se javljaju samo dve cifre). Diskretne strukture – 55 – KardinaliDiskretne strukture – 55 – KardinaliDiskretne strukture – 55 – Kardinali
  55. 55. Stepenovanje kardinalnih brojevaStepenovanje kardinalnih brojevaStepenovanje kardinalnih brojeva Za razliˇcite α, β ∈ {0, 1}N imamo da su decimale koje odred¯uju brojeve F (α) i F (β) razliˇcite, ˇsto znaˇci da je F (α) = F (β). Ovim smo dokazali da je F injekcija iz {0, 1}N u R, pa je 2ℵ0 = |{0, 1}N | |R| = c. Dakle, dokazali smo da je 2ℵ0 = c. Diskretne strukture – 56 – KardinaliDiskretne strukture – 56 – KardinaliDiskretne strukture – 56 – Kardinali

×