• Save

Loading…

Flash Player 9 (or above) is needed to view presentations.
We have detected that you do not have it on your computer. To install it, go here.

Like this presentation? Why not share!

Predavanje10 DMA - FUNKCIJE

on

  • 421 views

POGLAVLJE O FUNKCIJAMA PREDAVANJE 10,KORESPONDENCIJA,RELACIJE,KOMPOZICIJE PRESLIKVANJA,JEDNOZNACNOST

POGLAVLJE O FUNKCIJAMA PREDAVANJE 10,KORESPONDENCIJA,RELACIJE,KOMPOZICIJE PRESLIKVANJA,JEDNOZNACNOST

Statistics

Views

Total Views
421
Views on SlideShare
421
Embed Views
0

Actions

Likes
0
Downloads
0
Comments
0

0 Embeds 0

No embeds

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

Predavanje10 DMA - FUNKCIJE Predavanje10 DMA - FUNKCIJE Presentation Transcript

  • KorespondencijeKorespondencijeKorespondencijeNeka su A i B proizvoljni neprazni skupovi.Korespondencija iz skupa A u skup B definiˇse se kao proizvoljan pod-skup f Dekartovog proizvoda A × B.Pojmoviprva projekcija od f: pr1fdruga projekcija od f: pr2fdefiniˇsu se na slede´ci naˇcin:ABA × Bpr1 fpr2 ffxy (x, y)pr1fdef= {x ∈ A | (x, y) ∈ f za neki y ∈ B}pr2fdef= {y ∈ B | (x, y) ∈ f za neki x ∈ A}Diskretne strukture – 2 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 2 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 2 – Funkcije - I deo
  • Korespondencije i relacijeKorespondencije i relacijeKorespondencije i relacijePrimetimo da je korespondencija nije niˇsta drugo do relacija izmed¯uelemenata iz razliˇcitih skupova.Relacija na skupu A se moˇze tretirati kaokorespondencija iz skupa A u sebe samog.Obratno, i korespondencija se moˇze tre-tirati kao relacija na skupu (A ∪ B), pase mnogi pojmovi koje smo definisali zarelacije mogu preneti i na koresponden-cije.A BABA × A B × AA × B B × B(A ∪ B)2fDiskretne strukture – 3 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 3 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 3 – Funkcije - I deo
  • Grafiˇcko predstavljanje korespondencijaGrafiˇcko predstavljanje korespondencijaGrafiˇcko predstavljanje korespondencijaKorespondencija je zapravo ono ˇsto se u terminima teorije grafovanaziva bipartitan digraf.Radi se o takvom grafu kod koga je skup ˇcvorova podeljen u dve klaseA i B, pri ˇcemu svaka grana poˇcinje u klasi A a zavrˇsava se u klasi B.To je grafiˇcki prikazano na slede´coj slici:Diskretne strukture – 4 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 4 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 4 – Funkcije - I deo
  • Primeri korespondencijePrimeri korespondencijePrimeri korespondencijePrimer 1.1. a) Neka je A = {a, b, c, d} i B = {−1, 0, 1}.Korespondencija iz A u B je, na primer,f = {(a, −1), (a, 1), (c, 0), (d, 1)}.Ona je grafiˇcki prikazana na slede´coj slici:abcd−101A BOvde jepr1f = {a, c, d}pr2f = {−1, 0, 1}.Diskretne strukture – 5 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 5 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 5 – Funkcije - I deo
  • Primeri korespondencijePrimeri korespondencijePrimeri korespondencijeb) Neka je g ⊆ A × P(A), gde je A = {a, b, c, d} ig = {(a, {a, b}), (b, {b, c, d}), (c, {c}), (d, {b, c, d})}.Tada je g korespondencija koja svakom elementu pridruˇzuje nekipodskup koji ga sadrˇzi.Lako je odrediti projekcije.c) Svaka relacija ρ ⊆ A2je korespondencija iz A u A.Diskretne strukture – 6 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 6 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 6 – Funkcije - I deo
  • Kompozicija korespondencijaKompozicija korespondencijaKompozicija korespondencijaNeka su A, B i C neprazni skupovi i neka su date korespondencijef ⊆ A × B i g ⊆ B × C.Kompozicija ili proizvod korespondencija f i g je korespondencijaf ◦ g ⊆ A × C definisana saf ◦ g = {(x, z) ∈ A × C | (∃y ∈ B)((x, y) ∈ f ∧ (y, z) ∈ g)}.f gf ◦ gxyzABCDiskretne strukture – 7 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 7 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 7 – Funkcije - I deo
  • Primer kompozicijePrimer kompozicijePrimer kompozicijePrimer 1.2. Neka je A = {a, b, c, d}, B = {1, 2, 3} i C = {u, v, w},i neka su korespondencije f ⊆ A × B i g ⊆ B × C date saf = {(a, 1), (a, 3), (c, 2), (d, 3)}, g = {(3, u), (3, w), (1, v)}.Tada je f ◦ g = {(a, u), (a, v), (a, w), (d, u), (d, w)}.abcd123uvwABCf g31333abcduvwACf ◦ gDiskretne strukture – 8 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 8 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 8 – Funkcije - I deo
  • Funkcije (preslikavanja)Funkcije (preslikavanja)Funkcije (preslikavanja)Neka su A i B neprazni skupovi.Za korespondenciju f ⊆ A × B kaˇzemo da je preslikavanje ili funkcijaiz A u B ako uspunjava slede´ce uslove:(i) pr1f = A;(ii) ako je (x, y1) ∈ f i (x, y2) ∈ f, onda mora biti y1 = y2.Uslov (i) ˇcesto formuliˇsemo i sa: f je definisana na celom skupu A,ili oblast definisanosti za f je celi skup A.Uslov (ii) nazivamo uslov jednoznaˇcnosti.Oba uslova se mogu zajedno formulisati na slede´ci naˇcin:(⋆) za svaki x ∈ A postoji taˇcno jedan y ∈ B takav da je (x, y) ∈ f.Diskretne strukture – 9 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 9 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 9 – Funkcije - I deo
  • JednoznaˇcnostJednoznaˇcnostJednoznaˇcnostDakle, jednoznaˇcnost znaˇci da nije dozvoljena situacija prikazana naslede´coj slici:xy1y2ABDakle, da bi korespondencija bila jednoznaˇcna, onda niti iz jedne taˇckeskupa A ne smeju da polaze dve strelice ka elementima skupa B.Diskretne strukture – 10 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 10 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 10 – Funkcije - I deo
  • JednoznaˇcnostJednoznaˇcnostJednoznaˇcnostDakle, jednoznaˇcnost znaˇci da nije dozvoljena situacija prikazana naslede´coj slici:xy1y2ABDakle, da bi korespondencija bila jednoznaˇcna, onda niti iz jedne taˇckeskupa A ne smeju da polaze dve strelice ka elementima skupa B.Diskretne strukture – 10 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 10 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 10 – Funkcije - I deo
  • Korespondencije koje nisu funkcijeKorespondencije koje nisu funkcijeKorespondencije koje nisu funkcijeKorespondencija prikazana na slede´coj slici (iz Primera 1.1.(a) ) nezadovoljava nijedan od uslova (i) i (ii), pa nije funkcija.abcd−101ABDakle, f nije definisana za b i ne zadovoljava uslov jednoznaˇcnosti jerje element a u korespondenciji sa dva razliˇcita elementa.Diskretne strukture – 11 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 11 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 11 – Funkcije - I deo
  • Korespondencije koje nisu funkcijeKorespondencije koje nisu funkcijeKorespondencije koje nisu funkcijeKorespondencija prikazana na slede´coj slici nije definisana na celomskupu A (nije definisana za b), ali zadovoljava uslov jednoznaˇcnosti:abcd−101ABPrema tome, f nije funkcija iz A u B.Med¯utim, kako zadovoljava uslov jednoznaˇcnosti, f je funkcija iz skupa{a, c, d} u skup B.Diskretne strukture – 12 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 12 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 12 – Funkcije - I deo
  • Parcijalna funkcija (preslikavanje)Parcijalna funkcija (preslikavanje)Parcijalna funkcija (preslikavanje)Korespondenciju f ⊆ A × B koja zadovoljava uslov jednoznaˇcnostinazivamo parcijalno preslikavanje ili parcijalna funkcija iz A u B.Primetimo da parcijalna funkcija f iz skupa A u skup B jeste funkcijaiz skupa pr1f u skup B.Korespondencija iz prethodnog primera, prikazana na slici dole, je primerparcijalne funkcije:abcd−101ABDiskretne strukture – 13 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 13 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 13 – Funkcije - I deo
  • Primer funkcije (preslikavanja)Primer funkcije (preslikavanja)Primer funkcije (preslikavanja)Korespondencija prikazana na slede´coj slici zadovoljava oba uslova (i)i (ii) iz definicije funkcije, pa je funkcija iz A u B.abcd−101A BPrema uslovu (⋆) , da bi f bila funkcija iz A u B, za svaki x ∈ Amora da postoji taˇcno jedan y ∈ B takav da je (x, y) ∈ f.Med¯utim, to ne znaˇci da za svaki y ∈ B mora da postoji taˇcno jedanx ∈ A takav da je (x, y) ∈ f.Diskretne strukture – 14 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 14 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 14 – Funkcije - I deo
  • Primer funkcije (preslikavanja)Primer funkcije (preslikavanja)Primer funkcije (preslikavanja)Na primer, za element −1 ne postoji nijedan element iz A sa takvimsvojstvom, dok za 1 i 0 postoje po dva elementa iz A sa takvim svoj-stvom (a mogu´ce je da ih bude i viˇse).abcd−101ABDiskretne strukture – 15 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 15 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 15 – Funkcije - I deo
  • Primer funkcije (preslikavanja)Primer funkcije (preslikavanja)Primer funkcije (preslikavanja)Primer 1.3. Neka je A = {p, r, s, t} i B = {p, q, r, s, t}. Koja odslede´cih korespondencija u A × B je funkcija?(a) f1 = {(p, r), (r, p), (s, t)}(b) f2 = {(p, r), (r, p), (p, t), (s, s), (t, t)}(c) f3 = {(p, s), (r, p), (s, s), (t, t)}(d) f4 = {(s, r), (r, p), (s, s), (t, t)}Reˇsenje: (a) Kod f1 se element t ne javlja kao prva koordinata uparu, tj. pr1f1 = {p, r, s} = A, pa f1 nije funkcija.Moˇze se uoˇciti da je f1 jednoznaˇcna korespondencija, pa je parcijalnafunkcija, tj. funkcija iz skupa {p, r, s} u B.Diskretne strukture – 16 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 16 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 16 – Funkcije - I deo
  • Primer funkcije (preslikavanja)Primer funkcije (preslikavanja)Primer funkcije (preslikavanja)(b) Kod f2 = {(p, r), (r, p), (p, t), (s, s), (t, t)} se svaki element iz Apojavljuje kao prva koordinata u nekom paru, tj. pr1f2 = A.Med¯utim, p se pojavljuje dvaput kao prva koordinata, pa f2 nije jedno-znaˇcna korespondencija. Prema tome, ni f2 nije funkcija.(c) Kod f3 = {(p, s), (r, p), (s, s), (t, t)} se svaki element iz A pojav-ljuje taˇcno jednom kao prva koordinata, ˇsto znaˇci da je pr1f3 = A ida je f3 jednoznaˇcna korespondencija. Dakle, f3 je funkcija.(d) Kod f4 = {(s, r), (r, p), (s, s), (t, t)} se element p nijednom ne po-javljuje kao prva koordinata u nekom paru, dok se element s pojavljujedvaput.To znaˇci da f4 ne zadovoljava nijedan od uslova iz definicije funkcije.Dakle, ni f4 nije funkcija.Diskretne strukture – 17 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 17 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 17 – Funkcije - I deo
  • Funkcije – oznaˇcavanjeFunkcije – oznaˇcavanjeFunkcije – oznaˇcavanjeNeka je f funkcija iz skupa A u skup B.Ako je (x, y) ∈ f, onda se to beleˇzi sa f(x) = y.Kaˇzemo da se x slika u y, i x senaziva original, a y njegova slika.Skup A se zove domen ili oblast defi-nisanosti funkcije f, dok se B nazivakodomen.A Bf(A)Skupf(A)def= {y ∈ B | y = f(x), za neki x ∈ A}je podskup kodomena koji nazivamo skup slika ili slika skupa A.Diskretne strukture – 18 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 18 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 18 – Funkcije - I deo
  • Funkcije – oznaˇcavanjeFunkcije – oznaˇcavanjeFunkcije – oznaˇcavanjeU primeru na slici jef(A) = {1, 0}.abcd−101ABAko je f funkcija iz A u B, to beleˇzimo sa f : A → B, a koristi se ioznaka f : x → f(x) (za elemente).Diskretne strukture – 19 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 19 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 19 – Funkcije - I deo
  • Zadavanje funkcijaZadavanje funkcijaZadavanje funkcijaNeka su A i B konaˇcni skupovi, pri ˇcemu je A = {a1, a2, . . . , an}, ineka je f funkcija iz A u B.Tada se funkcija f moˇze predstaviti na slede´ci naˇcin:f =a1 a2 . . . anf(a1) f(a2) . . . f(an)Najˇceˇs´ce uzimamo da je A = {1, 2, . . . , n}, i u tom sluˇcaju umestof =1 2 . . . nf(1) f(2) . . . f(n)ponekad piˇsemo samof = f(1) f(2) . . . f(n)Diskretne strukture – 20 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 20 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 20 – Funkcije - I deo
  • Jednakost funkcijaJednakost funkcijaJednakost funkcijaFunkciju odred¯uju domen, kodomen i skup ured¯enih parova, pa se onamoˇze smatrati ured¯enom trojkom (A, B, f) gde je f korespondencijaiz A u B za koju vaˇze uslovi (i) i (ii) iz definicije funkcije.To znaˇci da su dve funkcije jednake ako imaju(1) iste domene,(2) iste kodomene, i(3) iste parove koji su u korespondenciji.Drugim reˇcima, funkcije f ⊆ A × B i g ⊆ C × D su jednake ako jeA = C, B = D i f = g.Diskretne strukture – 21 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 21 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 21 – Funkcije - I deo
  • Još primera funkcijaJoš primera funkcijaJoš primera funkcijaPrimer 1.4. a) Ured¯eni parovi realnih brojeva i njihovih kvadrata obra-zuju preslikavanje f : R → R+∪{0} iz skupa svih realnih brojeva u skupsvih nenegativnih realnih brojeva, koje se zadaje formulom f(x) = x2ili f : x → x2.Tako jef(−√2) = 2,f(0) = 0,f(−2) = 4,f(2) = 4, itd.x−2 −√2 0 2y024fDiskretne strukture – 22 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 22 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 22 – Funkcije - I deo
  • Još primera funkcijaJoš primera funkcijaJoš primera funkcijab) Neka je A = {−1, 1}. Ako se svakom racionalnom broju pridruˇzi1, a iracionalnom −1, onda se dobija funkcija iz R u A.c) Neka je A proizvoljan skup i B = {0, 1}. Ako je H ⊆ A, onda sekarakteristiˇcna funkcija podskupa H, u oznaci χH, koja slika A uB definiˇse sa:χH(x)def=1 ako x ∈ H0 ako x ∈ H.Svakom podskupu H skupa A odgovara jedna karakteristiˇcna funk-cija i obratno.Diskretne strukture – 23 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 23 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 23 – Funkcije - I deo
  • Restrikcija funkcijeRestrikcija funkcijeRestrikcija funkcijeAko je f : A → B i X je neprazan podskup skupa A, onda definiˇsemonovo preslikavanje f|X : X → B na slede´ci naˇcin: za svaki x ∈ X jef|X(x)def= f(x).Preslikavanje f|Xnazivamo restrikcijapreslikavanja f na X.ABff(A)X f|XDiskretne strukture – 24 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 24 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 24 – Funkcije - I deo
  • Proširenje funkcijeProširenje funkcijeProširenje funkcijeObratno, neka je f : A → B i neka je A ⊆ X.Za preslikavanje F : X → B kaˇzemo da je proˇsirenje ili ekstenzijapreslikavanja f na skup X ako za svaki x ∈ A vaˇzi F (x) = f(x).Drugim reˇcima, F je proˇsirenje od f na X ako se vrednosti preslikavanjaF i f poklapaju na A.Takod¯e, F je proˇsirenje od f na X ako i samo ako je f restrikcija odF na A.Diskretne strukture – 25 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 25 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 25 – Funkcije - I deo
  • Kompozicija funkcijaKompozicija funkcijaKompozicija funkcijaNeka su dati skupovi A, B i C, i preslikavanja f : A → B i g : B → C.Kako je skup B istovremeno domen preslikavanja g i kodomen presli-kavanja f, to se preslikavanje g moˇze nadovezati na preslikavanje f.Drugim reˇcima, moˇze se definisa-ti kompozicija ili proizvod presli-kavanja f i g, u oznaci f ◦ g, kaopreslikavanje iz A u C, definisanosaf ◦ g(x)def= g(f(x)).f gf ◦ gxf(x)g(f(x))ABCPrimetimo da je kompozicija preslikavanja poseban sluˇcaj kompozicijekorespondencija, a time i kompozicije relacija.Diskretne strukture – 26 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 26 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 26 – Funkcije - I deo
  • Primer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaPrimer 1.5. Neka je f : Z → N funkcija definisana sa f(x) = x2, ag : N → Q je funkcija definisana sa g(x) = x2.Tada je f ◦ g : Z → Q funkcija zadata sa(f ◦ g)(x) =x22.Naime, prema definiciji kompozicije funkcija imamo da je(f ◦ g)(x) = g(f(x)) = g(x2) =x22.Diskretne strukture – 27 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 27 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 27 – Funkcije - I deo
  • Primer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaPrimer 1.6. Neka su date funkcijef(x) = 3x + 4, g(x) = 3x2.Kojim od slede´cih izraza je predstavljena funkcija (f ◦ g)(x).(a) 9x3+ 4x2(b) 27x2+ 72x + 48(c) 9x2+ 4(d) 3x2+ 3x + 4(e) nijednim od njihReˇsenje:Diskretne strukture – 28 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 28 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 28 – Funkcije - I deo
  • Primer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaPrimer 1.6. Neka su date funkcijef(x) = 3x + 4, g(x) = 3x2.Kojim od slede´cih izraza je predstavljena funkcija (f ◦ g)(x).(a) 9x3+ 4x2(b) 27x2+ 72x + 48(c) 9x2+ 4(d) 3x2+ 3x + 4(e) nijednim od njihReˇsenje: Dokaza´cemo da je taˇcno (b).Diskretne strukture – 28 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 28 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 28 – Funkcije - I deo
  • Primer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaPrema definiciji kompozicije funkcija imamo da je(f ◦ g)(x) = g(f(x))= g(3x + 4)= 3 · (3x + 4)2= 3 · (9x2+ 24x + 16)= 27x2+ 72x + 48Dakle, (f ◦ g)(x) = 27x2+ 72x + 48, tj. taˇcno je (b).Diskretne strukture – 29 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 29 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 29 – Funkcije - I deo
  • Primer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaPrimer 1.7. Odrediti kompoziciju funkcija f i g zadatih sa:f =1 2 3 42 3 4 1 g =1 2 3 44 3 1 2Diskretne strukture – 30 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 30 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 30 – Funkcije - I deo
  • Primer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaReˇsenje: Postupak odred¯ivanja kompozicije f◦g prikazan je slede´comanimacijom:f =1 2 3 42 3 4 1g =1 2 3 44 3 1 2f ◦ g =1 2 3 4Diskretne strukture – 31 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 31 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 31 – Funkcije - I deo
  • Primer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaReˇsenje: Postupak odred¯ivanja kompozicije f◦g prikazan je slede´comanimacijom:f =1 2 3 42 3 4 1g =1 2 3 44 3 1 2f ◦ g =1 2 3 4Biramo argument 1 u tabeli funkcije f ◦ gDiskretne strukture – 31 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 31 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 31 – Funkcije - I deo
  • Primer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaReˇsenje: Postupak odred¯ivanja kompozicije f◦g prikazan je slede´comanimacijom:f =1 2 3 42 3 4 1g =1 2 3 44 3 1 2f ◦ g =1 2 3 4Prelazimo na taj isti argument u tabeli funkcije fDiskretne strukture – 31 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 31 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 31 – Funkcije - I deo
  • Primer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaReˇsenje: Postupak odred¯ivanja kompozicije f◦g prikazan je slede´comanimacijom:f =1 2 3 42 3 4 1g =1 2 3 44 3 1 2f ◦ g =1 2 3 4Nalazimo vrednost f(1) u tabeli funkcije fDiskretne strukture – 31 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 31 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 31 – Funkcije - I deo
  • Primer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaReˇsenje: Postupak odred¯ivanja kompozicije f◦g prikazan je slede´comanimacijom:f =1 2 3 42 3 4 1g =1 2 3 44 3 1 2f ◦ g =1 2 3 4Nalazimo vrednost f(1) med¯u argumentimau tabeli funkcije gDiskretne strukture – 31 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 31 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 31 – Funkcije - I deo
  • Primer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaReˇsenje: Postupak odred¯ivanja kompozicije f◦g prikazan je slede´comanimacijom:f =1 2 3 42 3 4 1g =1 2 3 44 3 1 2f ◦ g =1 2 3 4Nalazimo vrednost g(f(1)) u tabeli funkcije gDiskretne strukture – 31 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 31 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 31 – Funkcije - I deo
  • Primer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaReˇsenje: Postupak odred¯ivanja kompozicije f◦g prikazan je slede´comanimacijom:f =1 2 3 42 3 4 1g =1 2 3 44 3 1 2f ◦ g =1 2 3 43Vrednost g(f(1)) zapisujemo na odgovaraju´ce mestou tabeli funkcije f ◦ gDiskretne strukture – 31 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 31 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 31 – Funkcije - I deo
  • Primer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaReˇsenje: Postupak odred¯ivanja kompozicije f◦g prikazan je slede´comanimacijom:f =1 2 3 42 3 4 1g =1 2 3 44 3 1 2f ◦ g =1 2 3 43Ponavljamo isti postupak za argument 2u tabeli funkcije f ◦ g . . .Diskretne strukture – 31 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 31 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 31 – Funkcije - I deo
  • Primer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaReˇsenje: Postupak odred¯ivanja kompozicije f◦g prikazan je slede´comanimacijom:f =1 2 3 42 3 4 1g =1 2 3 44 3 1 2f ◦ g =1 2 3 43Diskretne strukture – 31 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 31 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 31 – Funkcije - I deo
  • Primer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaReˇsenje: Postupak odred¯ivanja kompozicije f◦g prikazan je slede´comanimacijom:f =1 2 3 42 3 4 1g =1 2 3 44 3 1 2f ◦ g =1 2 3 43Diskretne strukture – 31 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 31 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 31 – Funkcije - I deo
  • Primer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaReˇsenje: Postupak odred¯ivanja kompozicije f◦g prikazan je slede´comanimacijom:f =1 2 3 42 3 4 1g =1 2 3 44 3 1 2f ◦ g =1 2 3 43Diskretne strukture – 31 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 31 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 31 – Funkcije - I deo
  • Primer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaReˇsenje: Postupak odred¯ivanja kompozicije f◦g prikazan je slede´comanimacijom:f =1 2 3 42 3 4 1g =1 2 3 44 3 1 2f ◦ g =1 2 3 43Diskretne strukture – 31 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 31 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 31 – Funkcije - I deo
  • Primer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaReˇsenje: Postupak odred¯ivanja kompozicije f◦g prikazan je slede´comanimacijom:f =1 2 3 42 3 4 1g =1 2 3 44 3 1 2f ◦ g =1 2 3 43 1Diskretne strukture – 31 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 31 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 31 – Funkcije - I deo
  • Primer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaReˇsenje: Postupak odred¯ivanja kompozicije f◦g prikazan je slede´comanimacijom:f =1 2 3 42 3 4 1g =1 2 3 44 3 1 2f ◦ g =1 2 3 43 1Diskretne strukture – 31 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 31 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 31 – Funkcije - I deo
  • Primer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaReˇsenje: Postupak odred¯ivanja kompozicije f◦g prikazan je slede´comanimacijom:f =1 2 3 42 3 4 1g =1 2 3 44 3 1 2f ◦ g =1 2 3 43 1Diskretne strukture – 31 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 31 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 31 – Funkcije - I deo
  • Primer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaReˇsenje: Postupak odred¯ivanja kompozicije f◦g prikazan je slede´comanimacijom:f =1 2 3 42 3 4 1g =1 2 3 44 3 1 2f ◦ g =1 2 3 43 1Diskretne strukture – 31 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 31 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 31 – Funkcije - I deo
  • Primer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaReˇsenje: Postupak odred¯ivanja kompozicije f◦g prikazan je slede´comanimacijom:f =1 2 3 42 3 4 1g =1 2 3 44 3 1 2f ◦ g =1 2 3 43 1Diskretne strukture – 31 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 31 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 31 – Funkcije - I deo
  • Primer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaReˇsenje: Postupak odred¯ivanja kompozicije f◦g prikazan je slede´comanimacijom:f =1 2 3 42 3 4 1g =1 2 3 44 3 1 2f ◦ g =1 2 3 43 1Diskretne strukture – 31 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 31 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 31 – Funkcije - I deo
  • Primer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaReˇsenje: Postupak odred¯ivanja kompozicije f◦g prikazan je slede´comanimacijom:f =1 2 3 42 3 4 1g =1 2 3 44 3 1 2f ◦ g =1 2 3 43 1 2Diskretne strukture – 31 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 31 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 31 – Funkcije - I deo
  • Primer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaReˇsenje: Postupak odred¯ivanja kompozicije f◦g prikazan je slede´comanimacijom:f =1 2 3 42 3 4 1g =1 2 3 44 3 1 2f ◦ g =1 2 3 43 1 2Diskretne strukture – 31 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 31 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 31 – Funkcije - I deo
  • Primer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaReˇsenje: Postupak odred¯ivanja kompozicije f◦g prikazan je slede´comanimacijom:f =1 2 3 42 3 4 1g =1 2 3 44 3 1 2f ◦ g =1 2 3 43 1 2Diskretne strukture – 31 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 31 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 31 – Funkcije - I deo
  • Primer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaReˇsenje: Postupak odred¯ivanja kompozicije f◦g prikazan je slede´comanimacijom:f =1 2 3 42 3 4 1g =1 2 3 44 3 1 2f ◦ g =1 2 3 43 1 2Diskretne strukture – 31 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 31 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 31 – Funkcije - I deo
  • Primer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaReˇsenje: Postupak odred¯ivanja kompozicije f◦g prikazan je slede´comanimacijom:f =1 2 3 42 3 4 1g =1 2 3 44 3 1 2f ◦ g =1 2 3 43 1 2Diskretne strukture – 31 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 31 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 31 – Funkcije - I deo
  • Primer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaReˇsenje: Postupak odred¯ivanja kompozicije f◦g prikazan je slede´comanimacijom:f =1 2 3 42 3 4 1g =1 2 3 44 3 1 2f ◦ g =1 2 3 43 1 2Diskretne strukture – 31 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 31 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 31 – Funkcije - I deo
  • Primer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaReˇsenje: Postupak odred¯ivanja kompozicije f◦g prikazan je slede´comanimacijom:f =1 2 3 42 3 4 1g =1 2 3 44 3 1 2f ◦ g =1 2 3 43 1 2 4Diskretne strukture – 31 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 31 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 31 – Funkcije - I deo
  • Primer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaPrimer kompozicije funkcijaReˇsenje: Postupak odred¯ivanja kompozicije f◦g prikazan je slede´comanimacijom:f =1 2 3 42 3 4 1g =1 2 3 44 3 1 2f ◦ g =1 2 3 43 1 2 4Diskretne strukture – 31 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 31 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 31 – Funkcije - I deo
  • Komutativni dijagramKomutativni dijagramKomutativni dijagramAko jef : A → B, g : B → C i h : A → C,onda se to predstavlja dijagramom kao na slici.A BCfh gAko je pri tome h = f ◦ g, kaˇze se da dijagram komutira.Diskretne strukture – 32 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 32 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 32 – Funkcije - I deo
  • Asocijativnost kompozicije funkcijaAsocijativnost kompozicije funkcijaAsocijativnost kompozicije funkcijaKompozicija funkcija moˇze se tretirati kao poseban sluˇcaj kompozicijekorespondencija, a ova se dalje moˇze posmatrati kao poseban sluˇcajkompozicije relacija.Kako je kompozicija relacija asocijativna operacija, to zakljuˇcujemo dasu takve i kompozicije korespondencija i funkcija.Med¯utim, da´cemo i direktan dokaz za to.Diskretne strukture – 33 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 33 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 33 – Funkcije - I deo
  • Asocijativnost kompozicije funkcijaAsocijativnost kompozicije funkcijaAsocijativnost kompozicije funkcijaTvrd¯enje 1:Neka je f : A → B, g : B → C i h : C → D. Tada jef ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h.Dokaz: Domen obe funkcije, f ◦ (g ◦ h) i (f ◦ g) ◦ h, je skup A, akodomen je D.Dalje, za proizvoljan x ∈ A jef ◦ (g ◦ h)(x) = g ◦ h(f(x)) = h(g(f(x))),(f ◦ g) ◦ h(x) = h(f ◦ g(x)) = h(g(f(x))),pa je jednakost dokazana.Diskretne strukture – 34 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 34 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 34 – Funkcije - I deo
  • Asocijativnost kompozicije funkcijaAsocijativnost kompozicije funkcijaAsocijativnost kompozicije funkcijaAsocijativnost kompozicije funkcija moˇze se objasniti i slede´cim dija-gramom:A BCDfghg◦hf◦g(f ◦ g) ◦ h=f ◦ (g ◦ h)Diskretne strukture – 35 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 35 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 35 – Funkcije - I deo
  • Identiˇcka funkcijaIdentiˇcka funkcijaIdentiˇcka funkcijaIdentiˇcko preslikavanje ili identiˇcka funkciju na skupu A je preslikavanjeIA : A → A definisano sa:IA(x)def= x, za svaki x ∈ A.Tvrd¯enje 2: Neka je f : A → B. Tada jeIA ◦ f = f ◦ IB = f.Dokaz: Domen funkcije IA ◦ f je oˇcito A, a kodomen B.Dalje je IA ◦ f(x) = f(IA(x)) = f(x), tj. IA ◦ f = f.Dokaz druge jednakosti je sliˇcan.Diskretne strukture – 36 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 36 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 36 – Funkcije - I deo
  • Levo i desno oznaˇcavanjeLevo i desno oznaˇcavanjeLevo i desno oznaˇcavanjeFunkcije se u praksi oznaˇcavanju na dva naˇcina: postoji levo oznaˇcavanjei desno oznaˇcavanje.Kod levog oznaˇcavanja, znak funkcije se piˇse levo od argumenta, naprimer f(x), kako smo to i do sada ˇcinili.Ukoliko funkcije oznaˇcimo grˇckim slovima ϕ, ψ itd, a argumente nakoje one deluju latiniˇcnim slovima x, y, z, . . . , a, b, c, . . . , tada nemoramo uvek pisati zagrade: umesto ϕ(x) moˇzemo pisati samo ϕx.Kod desnog oznaˇcavanja, znak preslikavanja se piˇse desno od argu-menta, na primer xϕ.Takvo oznaˇcavanje se ponegde zove joˇs i Poljska notacija, jer ju je uveoPoljski matematiˇcar - logiˇcar Lukaˇsijeviˇc.Diskretne strukture – 37 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 37 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 37 – Funkcije - I deo
  • Levo i desno oznaˇcavanjeLevo i desno oznaˇcavanjeLevo i desno oznaˇcavanjeU sluˇcaju levog oznaˇcavanja preslikavanja, kompozicija preslikavanjaϕ : A → B i ψ : B → C je preslikavanje ϕ ◦ ψ : A → C definisano sa(ϕ ◦ ψ)xdef= ψ(ϕx).U sluˇcaju desnog oznaˇcavanja preslikavanja, kompozicija preslikavanjaϕ : A → B i ψ : B → C je preslikavanje ϕ ◦ ψ : A → C definisano sax(ϕ ◦ ψ)def= (xϕ)ψ.Dakle, ovde nema ”izvrtanja” simbola ϕ i ψ.Leva notacija kod nas preovladava samo iz navike, uglavnom u matema-tiˇckoj analizi.Prednost je, inaˇce, na strani desne notacije, i ona se u algebri, naprimer, koristi viˇse nego leva notacija.Diskretne strukture – 38 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 38 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 38 – Funkcije - I deo
  • Injektivne ("1-1") funkcijeInjektivne ("1-1") funkcijeInjektivne ("1-1") funkcijeZa preslikavanje f : A → B kaˇzemo da je injektivno, ”1–1” (to ˇcitamo”jedan-jedan”), ili da je injekcija, ako za sve x1, x2 ∈ A vaˇzix1 = x2 ⇒ f(x1) = f(x2),ˇsto je ekvivalentno saf(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2.Drugim reˇcima, nije mogu´ca situacija prikazana na slede´coj slici:fx1x2yA BDiskretne strukture – 39 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 39 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 39 – Funkcije - I deo
  • Injektivne ("1-1") funkcijeInjektivne ("1-1") funkcijeInjektivne ("1-1") funkcijeZa preslikavanje f : A → B kaˇzemo da je injektivno, ”1–1” (to ˇcitamo”jedan-jedan”), ili da je injekcija, ako za sve x1, x2 ∈ A vaˇzix1 = x2 ⇒ f(x1) = f(x2),ˇsto je ekvivalentno saf(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2.Drugim reˇcima, nije mogu´ca situacija prikazana na slede´coj slici:fx1x2yA BDiskretne strukture – 39 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 39 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 39 – Funkcije - I deo
  • Sirjektivne ("na") funkcijeSirjektivne ("na") funkcijeSirjektivne ("na") funkcijeZa preslikavanje f : A → B kaˇzemo da je sirjektivno, ”na” (tj. daslika A na B), ili da je sirjekcija ako vaˇziza svaki y ∈ B postoji x ∈ A tako da je f(x) = y,tj. ako je f(A) = B.Diskretne strukture – 40 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 40 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 40 – Funkcije - I deo
  • Sirjektivne ("na") funkcijeSirjektivne ("na") funkcijeSirjektivne ("na") funkcijeZa preslikavanje f : A → B kaˇzemo da je sirjektivno, ”na” (tj. daslika A na B), ili da je sirjekcija ako vaˇziza svaki y ∈ B postoji x ∈ A tako da je f(x) = y,tj. ako je f(A) = B.Ova definicija moˇze se vizualizovati na slede´ci naˇcin:A BDiskretne strukture – 40 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 40 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 40 – Funkcije - I deo
  • Sirjektivne ("na") funkcijeSirjektivne ("na") funkcijeSirjektivne ("na") funkcijeZa preslikavanje f : A → B kaˇzemo da je sirjektivno, ”na” (tj. daslika A na B), ili da je sirjekcija ako vaˇziza svaki y ∈ B postoji x ∈ A tako da je f(x) = y,tj. ako je f(A) = B.Ova definicija moˇze se vizualizovati na slede´ci naˇcin:A Bza svaki y ∈ BDiskretne strukture – 40 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 40 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 40 – Funkcije - I deo
  • Sirjektivne ("na") funkcijeSirjektivne ("na") funkcijeSirjektivne ("na") funkcijeZa preslikavanje f : A → B kaˇzemo da je sirjektivno, ”na” (tj. daslika A na B), ili da je sirjekcija ako vaˇziza svaki y ∈ B postoji x ∈ A tako da je f(x) = y,tj. ako je f(A) = B.Ova definicija moˇze se vizualizovati na slede´ci naˇcin:A By za svaki y ∈ BDiskretne strukture – 40 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 40 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 40 – Funkcije - I deo
  • Sirjektivne ("na") funkcijeSirjektivne ("na") funkcijeSirjektivne ("na") funkcijeZa preslikavanje f : A → B kaˇzemo da je sirjektivno, ”na” (tj. daslika A na B), ili da je sirjekcija ako vaˇziza svaki y ∈ B postoji x ∈ A tako da je f(x) = y,tj. ako je f(A) = B.Ova definicija moˇze se vizualizovati na slede´ci naˇcin:A By za svaki y ∈ Bpostoji x ∈ ADiskretne strukture – 40 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 40 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 40 – Funkcije - I deo
  • Sirjektivne ("na") funkcijeSirjektivne ("na") funkcijeSirjektivne ("na") funkcijeZa preslikavanje f : A → B kaˇzemo da je sirjektivno, ”na” (tj. daslika A na B), ili da je sirjekcija ako vaˇziza svaki y ∈ B postoji x ∈ A tako da je f(x) = y,tj. ako je f(A) = B.Ova definicija moˇze se vizualizovati na slede´ci naˇcin:A Bx y za svaki y ∈ Bpostoji x ∈ ADiskretne strukture – 40 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 40 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 40 – Funkcije - I deo
  • Sirjektivne ("na") funkcijeSirjektivne ("na") funkcijeSirjektivne ("na") funkcijeZa preslikavanje f : A → B kaˇzemo da je sirjektivno, ”na” (tj. daslika A na B), ili da je sirjekcija ako vaˇziza svaki y ∈ B postoji x ∈ A tako da je f(x) = y,tj. ako je f(A) = B.Ova definicija moˇze se vizualizovati na slede´ci naˇcin:A Bx y za svaki y ∈ Bpostoji x ∈ Atako da je f(x) = yDiskretne strukture – 40 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 40 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 40 – Funkcije - I deo
  • Sirjektivne ("na") funkcijeSirjektivne ("na") funkcijeSirjektivne ("na") funkcijeZa preslikavanje f : A → B kaˇzemo da je sirjektivno, ”na” (tj. daslika A na B), ili da je sirjekcija ako vaˇziza svaki y ∈ B postoji x ∈ A tako da je f(x) = y,tj. ako je f(A) = B.Ova definicija moˇze se vizualizovati na slede´ci naˇcin:A Bfx y za svaki y ∈ Bpostoji x ∈ Atako da je f(x) = yDiskretne strukture – 40 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 40 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 40 – Funkcije - I deo
  • Sirjektivne ("na") funkcijeSirjektivne ("na") funkcijeSirjektivne ("na") funkcijeDrugim reˇcima, f je sirjektivna funkcija ako nije mogu´ca situacijaprikazana na slede´coj slici:A Bf(A)fDiskretne strukture – 41 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 41 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 41 – Funkcije - I deo
  • Sirjektivne ("na") funkcijeSirjektivne ("na") funkcijeSirjektivne ("na") funkcijeDrugim reˇcima, f je sirjektivna funkcija ako nije mogu´ca situacijaprikazana na slede´coj slici:A Bf(A)fDiskretne strukture – 41 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 41 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 41 – Funkcije - I deo
  • Primeri "1-1" i "na" funkcijaPrimeri "1-1" i "na" funkcijaPrimeri "1-1" i "na" funkcijaDiskretne strukture – 42 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 42 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 42 – Funkcije - I deo
  • Primeri "1-1" i "na" funkcijaPrimeri "1-1" i "na" funkcijaPrimeri "1-1" i "na" funkcijaA BfDiskretne strukture – 42 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 42 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 42 – Funkcije - I deo
  • Primeri "1-1" i "na" funkcijaPrimeri "1-1" i "na" funkcijaPrimeri "1-1" i "na" funkcijaA BfPrimer ”1-1” funkcijeDiskretne strukture – 42 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 42 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 42 – Funkcije - I deo
  • Primeri "1-1" i "na" funkcijaPrimeri "1-1" i "na" funkcijaPrimeri "1-1" i "na" funkcijaA BfPrimer ”1-1” funkcijeA BfDiskretne strukture – 42 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 42 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 42 – Funkcije - I deo
  • Primeri "1-1" i "na" funkcijaPrimeri "1-1" i "na" funkcijaPrimeri "1-1" i "na" funkcijaA BfPrimer ”1-1” funkcijeA BfPrimer funkcijekoja nije ”1-1”Diskretne strukture – 42 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 42 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 42 – Funkcije - I deo
  • Primeri "1-1" i "na" funkcijaPrimeri "1-1" i "na" funkcijaPrimeri "1-1" i "na" funkcijaA BfPrimer ”1-1” funkcijeA BfPrimer funkcijekoja nije ”1-1”Diskretne strukture – 42 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 42 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 42 – Funkcije - I deo
  • Primeri "1-1" i "na" funkcijaPrimeri "1-1" i "na" funkcijaPrimeri "1-1" i "na" funkcijaA BfPrimer ”1-1” funkcijeA BfPrimer funkcijekoja nije ”1-1”ABfDiskretne strukture – 42 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 42 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 42 – Funkcije - I deo
  • Primeri "1-1" i "na" funkcijaPrimeri "1-1" i "na" funkcijaPrimeri "1-1" i "na" funkcijaA BfPrimer ”1-1” funkcijeA BfPrimer funkcijekoja nije ”1-1”ABfPrimer ”na” funkcijeDiskretne strukture – 42 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 42 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 42 – Funkcije - I deo
  • Primeri "1-1" i "na" funkcijaPrimeri "1-1" i "na" funkcijaPrimeri "1-1" i "na" funkcijaA BfPrimer ”1-1” funkcijeA BfPrimer funkcijekoja nije ”1-1”ABfPrimer ”na” funkcijeA BfDiskretne strukture – 42 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 42 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 42 – Funkcije - I deo
  • Primeri "1-1" i "na" funkcijaPrimeri "1-1" i "na" funkcijaPrimeri "1-1" i "na" funkcijaA BfPrimer ”1-1” funkcijeA BfPrimer funkcijekoja nije ”1-1”ABfPrimer ”na” funkcijeA BfPrimer funkcijekoja nije ”na”Diskretne strukture – 42 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 42 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 42 – Funkcije - I deo
  • Primeri "1-1" i "na" funkcijaPrimeri "1-1" i "na" funkcijaPrimeri "1-1" i "na" funkcijaA BfPrimer ”1-1” funkcijeA BfPrimer funkcijekoja nije ”1-1”ABfPrimer ”na” funkcijeA BfPrimer funkcijekoja nije ”na”Diskretne strukture – 42 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 42 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 42 – Funkcije - I deo
  • Bijektivne funkcijeBijektivne funkcijeBijektivne funkcijeZa preslikavanje koje je istovremeno i injektivno i bijektivno kaˇzemo daje bijektivno ili da je bijekcija iz A u (na) B.Identiˇcka funkcija IA na proizvoljnom skupu A je bijekcija iz A u A.Ako skup A ima bar dva elementa, onda sigurno ima i drugih bijekcijaiz A u A.Bijekcija iz skupa A u sebe samog naziva se permutacija tog skupa.A BfPrimer permutacijeDiskretne strukture – 43 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 43 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 43 – Funkcije - I deo
  • Primeri – injekcije, sirjekcije, bijekcijePrimeri – injekcije, sirjekcije, bijekcijePrimeri – injekcije, sirjekcije, bijekcijePrimer 4:a) Funkcija f : R → R, definisana sa f(x) = 2x, je injektivna, jer izx1 = x2 sledi 2x1= 2x2, ali nije sirjektivna, jer negativni brojevi,kao ni nula, ne mogu biti stepeni sa pozitivnom osnovom.Ako se kodomen R zameni sa R+, onda je ova funkcija takod¯e isirjektivna, tj. bijekcija je.b) Funkcija f : R → R+∪{0}, definisana sa f(x) = x2, je sirjektivna,jer svaki nenegativan realan broj a jeste kvadrat realnog broja√a.Budu´ci da se u a preslikava i −√a, ova funkcija nije injektivna.Diskretne strukture – 44 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 44 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 44 – Funkcije - I deo
  • Primeri – injekcije, sirjekcije, bijekcijePrimeri – injekcije, sirjekcije, bijekcijePrimeri – injekcije, sirjekcije, bijekcijePrimer 1.8. Neka je A = {p, r, s, t} i B = {p, q, r, s, t}. Koja odslede´cih korespondencija u A × B je funkcija koja nije ni injektivna nisirjektivna?(a) {(p, r), (r, p), (s, s), (t, t)}(b) {(p, s), (r, p), (s, s), (t, t)}(c) {(s, r), (r, p), (s, s), (t, t)}(d) nijedna od njihReˇsenje: Dokaza´cemo da je taˇcno (b).Diskretne strukture – 45 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 45 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 45 – Funkcije - I deo
  • Primeri – injekcije, sirjekcije, bijekcijePrimeri – injekcije, sirjekcije, bijekcijePrimeri – injekcije, sirjekcije, bijekcije(a) Korespondencija {(p, r), (r, p), (s, s), (t, t)}, ispunjava oba uslovaiz definicije funkcije:– svaki element iz A se bar jednom pojavljuje kao prva koordinata,– nijedan element iz A se ne javlja dvaput kao prva koordinata.Ta funkcija nije sirjektivna, jer se u drugoj vrsti ne javlja element q.Med¯utim, funkcija je injektivna, jer se u drugoj vrsti nijedan elementne javlja dvaput.Prema tome, ova korespondencija ne ispunjava traˇzene uslove.Diskretne strukture – 46 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 46 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 46 – Funkcije - I deo
  • Primeri – injekcije, sirjekcije, bijekcijePrimeri – injekcije, sirjekcije, bijekcijePrimeri – injekcije, sirjekcije, bijekcije(b) Korespondencija {(p, s), (r, p), (s, s), (t, t)} ispunjava oba uslovaiz definicije funkcije:– svaki element iz A se bar jednom pojavljuje kao prva koordinata,– nijedan element iz A se ne javlja dvaput kao prva koordinata.Ova funkcija nije injektivna, jer se s javlja dvaput kao druga koordinata.Takod¯e, ova funkcija nije ni sirjektivna, jer se u drugoj vrsti ne javljajuelementi q i r.Dakle, ova funkcija ima traˇzena svojstva.(c) Korespondencija {(s, r), (r, p), (s, s), (t, t)} nije funkcija, jer– kao prva koordinata se ne javlja p, pa nije definisana na celom A,– element s se javlja dvaput kao prva koordinata, pa nije jednoznaˇcna.Diskretne strukture – 47 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 47 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 47 – Funkcije - I deo
  • PermutacijePermutacijePermutacijeNeka je funkcija f : A → B, gde je A = {1, 2, . . . , n}, zadata saf =1 2 . . . nf(1) f(2) . . . f(n)Kod ovakvog predstavljanja se na jednostavan naˇcin moˇze uoˇciti da lije f injektivna ili sirjektivna funkcija.Naime:t f je injektivna funkcija ako i samo ako su sve vrednosti u drugojvrsti ove matrice med¯usobno razliˇcite.t f je sirjektivna funkcija ako i samo ako se u drugoj vrsti gornjematrice pojavljuju svi elementi iz kodomena B.Diskretne strukture – 48 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 48 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 48 – Funkcije - I deo
  • PermutacijePermutacijePermutacijeZadatak 1.1. Neka je A konaˇcan skup i f : A → A. Dokazati da suslede´ci uslovi ekvivalentni:(i) f je bijekcija; (ii) f je injekcija; (iii) f je sirjekcija.Reˇsenje: Dovoljno je dokazati ekvivalentnost uslova (ii) i (iii).Neka je A = {1, 2, . . . , n}. Posmatrajmo niz vrednostif(1), f(2), . . . , f(n)Ako je f injekcija, tada su svi ˇclanovi ovog niza med¯usobno razliˇciti,pa kako niz ima n ˇclanova, to su u njemu zastupljeni svi elementi iz A,ˇsto znaˇci da je f sirjekcija.Obratno, ako je f sirjekcija, onda su u gornjem nizu zastupljeni svielementi iz A, i kako niz ima isto onoliko ˇclanova koliko i skup A, toznaˇci da su svi njegovi ˇclanovi razliˇciti, odakle sledi da je f injekcija.Diskretne strukture – 49 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 49 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 49 – Funkcije - I deo
  • Svojstva injekcija i sirjekcijaSvojstva injekcija i sirjekcijaSvojstva injekcija i sirjekcijaTvrd¯enje 3: Neka je f : A → B i g : B → C.(a) Ako su f i g injekcije, onda je i f ◦ g injekcija.(b) Ako su f i g sirjekcije, onda je i f ◦ g sirjekcija.Dokaz: (a) Neka su f i g injekcije i x1, x2 ∈ A. Tadaf ◦ g(x1) = f ◦ g(x2) ⇒ g(f(x1)) = g(f(x2)) (definicija kompozicije)⇒ f(x1) = f(x2) (injektivnost za g)⇒ x1 = x2 (injektivnost za f),ˇsto znaˇci da je i f ◦ g injekcija.Diskretne strukture – 50 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 50 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 50 – Funkcije - I deo
  • Svojstva injekcija i sirjekcijaSvojstva injekcija i sirjekcijaSvojstva injekcija i sirjekcija(b) Neka su f i g sirjekcije i neka je z ∈ C.Tada, zbog sirjektivnosti za g, postoji y ∈ B tako da je z = g(y), azbog sirjektivnosti za f, postoji x ∈ A tako da je y = f(x).Odatle je z = g(y) = g(f(x)), tj. z = f ◦ g(x), pa je i f ◦ gsirjekcija.Posledica: Kompozicija bijekcija je takod¯e bijekcija.Diskretne strukture – 51 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 51 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 51 – Funkcije - I deo
  • Svojstva injekcija i sirjekcijaSvojstva injekcija i sirjekcijaSvojstva injekcija i sirjekcijaTvrd¯enje 4: Neka je f : A → B i g : B → C.(a) Ako je f ◦ g injekcija, onda je i f injekcija.(b) Ako je f ◦ g sirjekcija, onda je i g sirjekcija.Dokaz: (a) Neka je f ◦ g injekcija neka su x1, x2 ∈ A elementi takvida je f(x1) = f(x2).Tada je g(f(x1)) = g(f(x2)), zbog jednoznaˇcnosti za g, tj.f ◦ g(x1) = f ◦ g(x2),odakle je x1 = x2, zbog injektivnosti za f ◦ g.Ovim smo dokazali injektivnost za f.Diskretne strukture – 52 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 52 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 52 – Funkcije - I deo
  • Svojstva injekcija i sirjekcijaSvojstva injekcija i sirjekcijaSvojstva injekcija i sirjekcija(b) Neka je f ◦ g sirjekcija i z ∈ C.Tada postoji x ∈ A, tako da je f ◦ g(x) = z, odnosno g(f(x)) = z.S obzirom da je f(x) = y ∈ B, to sledi da za z ∈ C postoji y ∈ B,tako da bude z = g(y), pa je g sirjekcija.Diskretne strukture – 53 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 53 – Funkcije - I deoDiskretne strukture – 53 – Funkcije - I deo