• Save
Predavanje1 DMA - ISKAZNA LOGIKA
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Predavanje1 DMA - ISKAZNA LOGIKA

on

  • 326 views

Aristotel,Lajbnic,Bul

Aristotel,Lajbnic,Bul

Statistics

Views

Total Views
326
Views on SlideShare
326
Embed Views
0

Actions

Likes
0
Downloads
0
Comments
0

0 Embeds 0

No embeds

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

Predavanje1 DMA - ISKAZNA LOGIKA Predavanje1 DMA - ISKAZNA LOGIKA Presentation Transcript

  • Logika. Matematiˇcka logikaLogika. Matematiˇcka logikaLogika. Matematiˇcka logikaLogika je kao nauka zasnovana u 4. veku p.n.e.u delu Organon grˇckog filozofa Aristotela.To delo predstavlja prvu kolekciju pravila de-duktivnog zakljuˇcivanja, koja su, po Aristotelu,trebala da budu orud¯e kojim bi se sluˇzile drugenauke.Aristotle384–322 BCInaˇce, i sam naziv “Organon” znaˇci “orud¯e”.Diskretne strukture – 2 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 2 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 2 – Iskazna logika - I deo
  • Logika. Matematiˇcka logikaLogika. Matematiˇcka logikaLogika. Matematiˇcka logikaNakon Aristotela, dugo vremena nije bilo nekog znaˇcajnog napretka urazvoju logike. Stagnacija logike trajala je viˇse od dve hiljade godina.Jedan od onih koji su najviˇse uˇcinili da se logikaizvuˇce iz stagnacije bio je nemaˇcki matematiˇcari filozof Gotfrid Lajbnic.Lajbnic je smatrao da osnovni uzrok stagnacijelogike leˇzi u jeziku kojim se ona koristiGottfried Wilhelm von Leibniz1596–1650Diskretne strukture – 3 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 3 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 3 – Iskazna logika - I deo
  • Logika. Matematiˇcka logikaLogika. Matematiˇcka logikaLogika. Matematiˇcka logikaLajbnic je tvrdio da prirodni jezik, kojim se logika do tada koristila, nijepogodan za dalji razvoj logike, i da logika treba da se koristi nekimspecijalnim simboliˇckim jezikom, sliˇcnim jeziku matematike.On je smatrao da bi se koriˇs´cenjem simbola proces deduktivnog zaklju-ˇcivanja mogao mehanizovati na sliˇcan naˇcin kao ˇsto je koriˇs´cenje alge-barske simbolike mehanizovalo proces raˇcunanja sa brojevima.Prema njemu, logiku bi, po uzoru na aritmetiku, trebalo organizovati utakav sistem, sa takvim pravilima, da funkcioniˇse kao raˇcun.Na ˇzalost, Lajbnic nije uspeo da realizuje te svoje ideje.One ˇcak nisu ni publikovane, i otkrivene su tek 1905. godine, kada jeproblem ve´c bio reˇsen, i to upravo na naˇcin koji je on predlagao.Diskretne strukture – 4 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 4 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 4 – Iskazna logika - I deo
  • Logika. Matematiˇcka logikaLogika. Matematiˇcka logikaLogika. Matematiˇcka logikaNeznaju´ci za Lajbnicove ideje, do sliˇcnih ideja je dva veka kasnije doˇsaobritanski matematiˇcar Dˇzordˇz Bul.Bul je pokrenuo logiku iz stagnacije prevevˇsi jena jezik matematike, odnosno na jezik algebre.Na taj naˇcin je stvorena nova matematiˇcka teo-rija koju danas zovemo matematiˇcka logika ilisimboliˇcka logika.George Boole1815–1864Diskretne strukture – 5 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 5 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 5 – Iskazna logika - I deo
  • Logika. Matematiˇcka logikaLogika. Matematiˇcka logikaLogika. Matematiˇcka logikaOd sredine 19. veka pa do danas, matematiˇcka logika se razvila u veomaznaˇcajnu matematiˇcku disciplinu, koja obezbed¯uje teoretske osnove zamnoge oblasti matematiˇckih i raˇcunarskih nauka.Na primer, u oblasti raˇcunarskih nauka, matematiˇcka logika predstavljateoretsku osnovut digitalne logike (koja se bavi dizajnom prekidaˇckih kola),t relacionih baza podataka,t teorije formalnih jezika, automata i izraˇcunljivosti,t veˇstaˇcke inteligencije,i mnogih drugih oblasti.Diskretne strukture – 6 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 6 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 6 – Iskazna logika - I deo
  • Logiˇcka formaLogiˇcka formaLogiˇcka formaOsnovni koncept deduktivne logike je koncept logiˇcke forme ili formeargumentacije.Argumentacija je niz izjava ˇciji je zadatak da pokaˇze istinitost nekogtvrd¯enja. Poslednja izjava u tom nizu, ˇcija se istinitost dokazuje, nazivase zakljuˇcak (posledica, konsekvenca), a sve prethodne izjave u nizu senazivaju premise (pretpostavke, hipoteze).Argumentaciju obiˇcno predstavljamo na slede´ci naˇcin:PremisaPremisa. . . . . . . . .Premisa∴ ZakljuˇcakZnak ∴ ˇcitamo”prema tome” (”therefore”)Diskretne strukture – 7 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 7 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 7 – Iskazna logika - I deo
  • Logiˇcka formaLogiˇcka formaLogiˇcka formaRazmotrimo slede´ci primer logiˇcke argumentacije.Primer 1:Ako potraˇznja raste, onda se kompanije ˇsire.Ako se kompanije ˇsire, onda kompanije zapoˇsljavaju radnike.∴ Ako potraˇznja raste, onda kompanije zapoˇsljavaju radnike.Da li potraˇznja zaista raste? Da li se kompanije zaista ˇsire?Da li kompanije zaista zapoˇsljavaju radnike?Ovo su pitanja za ekonomiste, logika se ne bavi takvim pitanjima.Logiku zanima forma argumentacije, odnos izmed¯u premisa i zakljuˇcka,a ne njihov sadrˇzaj.Diskretne strukture – 8 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 8 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 8 – Iskazna logika - I deo
  • Logiˇcka formaLogiˇcka formaLogiˇcka formaNaime, u logici se forma argumentacije razdvaja od njenog sadrˇzaja.Zadatak logike je da izvrˇsi analizu forme argumentacije da bi se utvrdiloda li istinitost zakljuˇcka nuˇzno sledi iz istinitosti premisa.Drugim reˇcima, logika treba da utvrdi da li je taˇcno da ako su premiseistinite, onda mora biti istinit i zakljuˇcak.Za argumentaciju za koju to vaˇzi kaˇzemo da je ispravna argumentacija.U suprotnom, kaˇzemo da je to neispravna argumentacija.Da bi bolje shvatili ˇsta je to forma argumentacije, razmotri´cemo joˇsjedan primer.Diskretne strukture – 9 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 9 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 9 – Iskazna logika - I deo
  • Logiˇcka formaLogiˇcka formaLogiˇcka formaPrimer 2: Neka je n proizvoljan prirodan broj.Ako je n deljiv sa 6, onda je n deljiv sa 3.Ako je n deljiv sa 3, onda je zbir cifara od n deljiv sa 3.∴ Ako je n deljiv sa 6, onda je zbir cifara od n deljiv sa 3.Moˇzemo uoˇciti da obe argumentacije iz Primera 1 i 2 imaju istu formu:Ako (1) onda (2) .Ako (2) onda (3) .∴ Ako (1) onda (3) .Vide´cemo kasnije da ispravnost ovih argumentacija ne zavisi od znaˇcenja,odnosno istinitosti, izjava oznaˇcenih sa (1), (2) i (3), ve´c da proizilaziiz logiˇcke forme tih argumentacija.Diskretne strukture – 10 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 10 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 10 – Iskazna logika - I deo
  • Logiˇcka formaLogiˇcka formaLogiˇcka formaIz prethodnih primera argumentacija moˇze se joˇs uoˇciti da njihove pre-mise i zakljuˇci predstavljaju sloˇzene izjave (izjavne reˇcenice) – sastoje seod nekoliko delova, od kojih svaki za sebe takod¯e predstavlja izjavu.Primer 1: ”potraˇznja raste” i ”kompanije se ˇsire” su proste izjave pove-zane veznikom ako . . . onda . . . (engleski if . . . then . . . ).Primer 3:Program sadrˇzi ”bug” ili je ulaz pogreˇsan.Ulaz nije pogreˇsan.∴ Program sadrˇzi ”bug”.U Primeru 3, ”program sadrˇzi ”bug”” i ”ulaz je pogreˇsan” su prosteizjave povezane veznikom ili (engleski or).Diskretne strukture – 11 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 11 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 11 – Iskazna logika - I deo
  • Logiˇcka formaLogiˇcka formaLogiˇcka formaDa bi jasnije videli koja je argumentacija ispravna a koja nije, mi skra´cu-jemo proste izjave zamenivˇsi ih slovima p, q, r, . . .t Slovo p moˇze oznaˇciti izjavu ”potraˇznja raste”.t Slovo q moˇze oznaˇciti izjavu ”kompanije se ˇsire”.t Slovo r moˇze oznaˇciti izjavu ”kompanije zapoˇsljavaju radnike”.Tako dobijamo argumentaciju opˇsteg oblikaAko p onda qAko q onda r∴ Ako p onda rArgumentacija ovakve formenaziva se hipotetiˇcki silogizam.Diskretne strukture – 12 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 12 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 12 – Iskazna logika - I deo
  • Logiˇcka formaLogiˇcka formaLogiˇcka formaArgumentacija iz Primera 3 moˇze se zapisati u slede´cem opˇstem oblikup ili qNije q∴ pOvakva argumentacija naziva sedisjunktivni silogizam.Vaˇzan vid argumentacije je i argumentacija oblikaAko p onda qp∴ qOvakva argumentacija naziva semodus ponens.Diskretne strukture – 13 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 13 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 13 – Iskazna logika - I deo
  • IskaziIskaziIskaziDrugi vaˇzan koncept deduktivne logike je koncept iskaza.Iskaz se obiˇcno definiˇse kao izjava koja ima svojstvo da jeistinita (taˇcna) ilineistinita (netaˇcna),i to samo jedno od toga.Pri tome, iskazi se zadaju reˇcenicama (izjavnim reˇcenicama).Na primer, jedan iskaz je zadat reˇcenicom”3 je delitelj broja 18”Ovakva definicija iskaza je ipak neformalna i nedovoljno operativna.Diskretne strukture – 14 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 14 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 14 – Iskazna logika - I deo
  • IskaziIskaziIskaziNaime, za datu reˇcenicu nije uvek lako odrediti da li je njome zadatiskaz ili ne. Na primer, reˇcenicom”Izjava koju upravo izgovaram je laˇz”nije zadat iskaz, iako na prvi pogled izgleda suprotno.Naime, na osnovu forme ove reˇcenice bi se lako moglo zakljuˇciti da senjome neˇsto tvrdi. Med¯utim, to nije taˇcno.Ako je ta izjava zaista laˇzna, to znaˇci da smo rekli istinu, i obratno,ako je ta izjava istinita, to znaˇci da smo zaista rekli laˇz.Prema tome, ta izjava ne moze imati svojstvo da je ili istinita ili neisti-nita, i to samo jedno od toga.Zbog ovoga u iskaznoj logici pojam iskaza koristimo kao osnovni pojam,pojam koji se ne definiˇse.Diskretne strukture – 15 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 15 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 15 – Iskazna logika - I deo
  • Iskazne promenljive, istinitosne vrednostiIskazne promenljive, istinitosne vrednostiIskazne promenljive, istinitosne vrednostiU iskaznoj logici proste iskaze oznaˇcavamo slovimap, q, r, . . . , p1, q1, r1, . . .Ova slova nazivamo iskazna slova ili iskazne promenljive.Iskaznim slovima mogu se pridruˇziti istinitosne vrednosti1 – ”taˇcno”0 – ”netaˇcno”Ponegde se ”taˇcno” oznaˇcava sa ⊤, a ”netaˇcno” sa ⊥.Med¯utim, mi ´cemo koristiti gornje oznake 1 i 0, pre svega zato ˇsto se 1i 0 bolje razlikuju od ⊤ i ⊥, ali i zato ˇsto logika bitova (binarnih cifara1 i 0) predstavlja osnovu funkcionisanja danaˇsnjih raˇcunara.Diskretne strukture – 16 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 16 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 16 – Iskazna logika - I deo
  • Logiˇcki vezniciLogiˇcki vezniciLogiˇcki vezniciOd prostih iskaza grade se sloˇzeniji iskazi, upotrebom logiˇckih veznika,koji se oznaˇcavaju posebnim simbolima.logiˇcki veznik oznakanije ¬i ∧ili ∨ako . . . onda . . . ⇒ako i samo ako ⇔Znaˇcenje ovih veznika precizira se u nastavku.Najpre ´cemo razmatrati negaciju, konjunkciju i disjunkciju.Diskretne strukture – 17 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 17 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 17 – Iskazna logika - I deo
  • NegacijaNegacijaNegacijaNegacija iskaza p je iskaz ”nije p”.Ovaj iskaz oznaˇcava se sa ¬p, ˇsto se izgovara i ”ne p”.Negacija taˇcnog iskaza je netaˇcan iskaz i obratno, negacija netaˇcnogje taˇcan iskaz.Istinitosna vrednost negacije iskaza moˇze se prikazati i takozvanomistinitosnom tablicom:p ¬p1 00 1Diskretne strukture – 18 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 18 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 18 – Iskazna logika - I deo
  • KonjunkcijaKonjunkcijaKonjunkcijaKonjunkcija iskaza p i q je iskaz ”p i q”, u oznaci p ∧ q.Iskaz p ∧ q je taˇcan samo u sluˇcaju kada su i p i q taˇcni iskazi.U ostalim sluˇcajevima konjunkcija je netaˇcan iskaz.To se moˇze prikazati slede´com istinitosnom tablicomp q p ∧ q1 1 11 0 00 1 00 0 0Diskretne strukture – 19 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 19 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 19 – Iskazna logika - I deo
  • DisjunkcijaDisjunkcijaDisjunkcijaDisjunkcija iskaza p i q je iskaz ”p ili q”, u oznaci p ∨ q.Iskaz p ∨ q je taˇcan ako je bar jedan od iskaza p i q taˇcan, a netaˇcanje samo ako su oba iskaza p i q netaˇcni.To se moˇze prikazati na slede´ci naˇcin:p q p ∨ q1 1 11 0 10 1 10 0 0Diskretne strukture – 20 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 20 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 20 – Iskazna logika - I deo
  • Iskljuˇciva disjunkcijaIskljuˇciva disjunkcijaIskljuˇciva disjunkcijaU svakodnevnom ˇzivotu veznik ”ili” ˇcesto ima iskljuˇcivi smisao – iskaz”p ili q” je taˇcan ako je taˇcan iskaz p ili q, i to samo jedan od njih.Takva disjunkcija se naziva ekskluzivna disjunkcija ili iskljuˇciva dis-junkcija, i piˇse se ”ili p ili q”, u oznaci p XOR q ili p ⊕ q.Iskljuˇciva disjunkcija zadata je slede´com istinitosnom tablicomp q p ⊕ q1 1 01 0 10 1 10 0 0Diskretne strukture – 21 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 21 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 21 – Iskazna logika - I deo
  • PrimeriPrimeriPrimeriPrimer 4: Neka su iskazi p i q zadati sap : ”√2 je racionalan broj”,q : ”√2 je broj koji je ve´ci od nule”.Iskaz ¬p je zadat sa√2 nije racionalan broji on je taˇcan (jer je p netaˇcan iskaz).Iskaz ¬q je zadat sa√2 nije broj koji je ve´ci od nulei on je netaˇcan.Prema gornjim definicijama, p ∧ q je netaˇcan, a p ∨ q taˇcan iskaz.Diskretne strukture – 22 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 22 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 22 – Iskazna logika - I deo
  • PrimeriPrimeriPrimeriPrimer 5: Neke oznake za nejednakosti ukljuˇcuju veznike ”i” i ”ili”.Na primer, ako su x, a i b realni brojevi, tadax a znaˇci x < a ili x = aa x b znaˇci a x i x b.Dakle, 2 x 1 nije zadovoljeno ni za jedan realan broj jer2 x 1 znaˇci 2 x i x 1,pa je iskaz 2 x 1 neistinit, bez obzira na to koju vrednost uzmerealan broj x.Diskretne strukture – 23 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 23 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 23 – Iskazna logika - I deo
  • PrimeriPrimeriPrimeriPrimer 6: Neka je x realan broj. Sa p, q i r oznaˇcimo redom iskaze”0 < x”, ”x < 3” i ”x = 3”. Zapisati slede´ce nejednakosti kao iskaze:(a) x 3(b) 0 < x < 3(c) 0 < x 3Reˇsenje:(a) q ∨ r(b) p ∧ q(c) p ∧ (q ∨ r)Diskretne strukture – 24 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 24 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 24 – Iskazna logika - I deo
  • PrimeriPrimeriPrimeriPrimer 7: Mnogi pretraˇzivaˇci Interneta omogu´cavaju koriˇs´cenje”and”, ”or” i ”not” operatora da bi se ostvarilo finije pretraˇzivanje.Na primer, zamislimo da traˇzimo web strane na kojima se nudi posaou oblasti matematike ili informatike, ali koji nije vezan za finansije ilimarketing.Tada ´cemo u polje za pretraˇzivanje ukucati izrazJob AND (mathematics OR computer science)AND NOT (finance OR marketing)Diskretne strukture – 25 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 25 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 25 – Iskazna logika - I deo
  • Iskazne formuleIskazne formuleIskazne formuleViˇsestrukom primenom logiˇckih veznika dobijamo joˇs sloˇzenije iskaze.Kada te sloˇzene iskaze predstavimo simboliˇcki, upotrebom iskaznih slovai logiˇckih veznika, tada takvo simboliˇcko predstavljanje iskaza nazivamoiskazna formula, ili samo formula, ako se podrazumeva o ˇcemu se radi.U izrazima u kojima se koriste veznici ¬, ∧ i ∨, prihvatamo konvencijuo redosledu operacija, po kojoj se prvo primenjuje ¬, a potom ∧ i ∨.To nam omogu´cava da pojedine iskazne formule pojednostavimo brisa-njem zagrada tamo gde to brisanje ne´ce poremetiti smisao formule.Na primer, umesto (¬p)∧q moˇzemo pisati ¬p∧q, jer smo se dogovorilida prvo primenjujemo negaciju, a potom konjunkciju.Primetimo da u formuli ¬(p ∧ q) nije dozvoljeno obrisati zagrade, jerbi se dobila formula ¬p ∧ q, koja ima drugaˇcije logiˇcko znaˇcenje.Diskretne strukture – 26 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 26 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 26 – Iskazna logika - I deo
  • Iskazne formuleIskazne formuleIskazne formulePrema konvenciji o redosledu operacija, konjunkcija i disjunkcija suravnopravne u odnosu na redosled primene, tako da, na primer, izrazp ∧ q ∨ r ne bi bio iskazna formula, jer je viˇsesmislen.Da bi taj izraz imao jedinstveno logiˇcko znaˇcenje, on mora biti zapisanili kao (p ∧ q) ∨ r ili kao p ∧ (q ∨ r).Kasnije ´cemo videti da te dve formule imaju razliˇcito logiˇcko znaˇcenje.Takod¯e, kasnije ´cemo govoriti i o joˇs nekim konvencijama koje namomogu´cavaju brisanje zagrada.Diskretne strukture – 27 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 27 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 27 – Iskazna logika - I deo
  • Istinitosne tabliceIstinitosne tabliceIstinitosne tabliceIstinitosna tablica date iskazne formule je tablica kojom je prikazanaistinitosna vrednost te formule za sve mogu´ce kombinacije istinitosnihvrednosti iskaznih slova koja se javljaju u toj formuli.Primer 8: Istinitosna tablica formule (p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q) jep q p ∨ q p ∧ q ¬(p ∧ q) (p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q)1 1 1 1 0 01 0 1 0 1 10 1 1 0 1 10 0 0 0 1 0Uoˇcimo da se formula (p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q) gradi polaze´ci od iskaznihslova p i q, potom se redom grade formule p ∨ q, p ∧ q i ¬(p ∧ q), ina kraju cela ta formula, pa se na taj naˇcin formira i njena tablica.Diskretne strukture – 28 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 28 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 28 – Iskazna logika - I deo
  • Istinitosne tabliceIstinitosne tabliceIstinitosne tablicePrimer 9: Istinitosna tablica formule (p ∧ q) ∨ ¬r jep q r p ∧ q ¬r (p ∧ q) ∨ ¬r1 1 1 1 0 11 1 0 1 1 11 0 1 0 0 01 0 0 0 1 10 1 1 0 0 00 1 0 0 1 10 0 1 0 0 00 0 0 0 1 1Diskretne strukture – 29 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 29 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 29 – Iskazna logika - I deo
  • Istinitosne tabliceIstinitosne tabliceIstinitosne tablicePrimetimo da ako formula sadrˇzi n razliˇcitih iskaznih slova, onda svakakombinacija istinitosnih vrednosti iskaznih slova predstavlja binarni niz(niz nula i jedinica) duˇzine n.Kako takvih nizova ima 2n, to znaˇci da svih mogu´cih kombinacija ima2n, odnosno da istinitosna tablica ima 2nvrsta.Primetimo da su vrste u istinitosnim tablicama u Primerima 8 i 9 pore-d¯ane u odnosu na vrednosti iskaznih slova, i to u takozvanom leksiko-grafskom poretku.Iako to nije neophodno, ipak je uobiˇcajeno da se to radi.Diskretne strukture – 30 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 30 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 30 – Iskazna logika - I deo
  • Logiˇcka ekvivalentnostLogiˇcka ekvivalentnostLogiˇcka ekvivalentnostRazmotrimo iskaze(1) Milan je pobedio i Inter je izgubio.(2) Inter je izgubio i Milan je pobedio.Jasno je da su to dva razliˇcita naˇcina da se kaˇze ista stvar. Takod¯e,logiˇcke forme ova dva iskaza su povezane tako da su oni ili oba istiniti,ili oba neistiniti.To se moˇze jasno videti ako se iskaz ”Milan je pobedio” oznaˇci sa p, aiskaz ”Inter je izgubio” sa q, i saˇcini istinitosna tablica za p ∧ q i q ∧ p.p q p ∧ q q ∧ p1 1 1 11 0 0 00 1 0 00 0 0 0Diskretne strukture – 31 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 31 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 31 – Iskazna logika - I deo
  • Logiˇcka ekvivalentnostLogiˇcka ekvivalentnostLogiˇcka ekvivalentnostPrema tome, za svaku kombinaciju istinitosnih vrednosti promenljivihp i q, iskazne formule koje odgovaraju iskazima (1) i (2) imaju isteistinitosne vrednosti.Na taj naˇcin smo doˇsli do slede´ce definicije:Za dve iskazne formule P i Q kaˇzemo da su logiˇcki ekvivalentne akoza svaku mogu´cu kombinaciju istinitosnih vrednosti iskaznih slova kojase u njima javljaju, formule P i Q imaju iste istinitosne vrednosti.Ako su iskazne formule P i Q logiˇcki ekvivalentne, onda to oznaˇcavamosa P ≡ Q.Takod¯e, za dva iskaza kaˇzemo da su logiˇcki ekvivalentni ako se mogupredstaviti logiˇcki ekvivalentnim iskaznim formulama.Diskretne strukture – 32 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 32 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 32 – Iskazna logika - I deo
  • Logiˇcka ekvivalentnostLogiˇcka ekvivalentnostLogiˇcka ekvivalentnostDa li su iskazne formule P i Q logiˇcki ekvivalentne, moˇze se proveritina slede´ci naˇcin:1. Formira se zajedniˇcka istinitosna tablica za formule P i Q.2. Proverava se vrsta po vrsta te tablice, i upored¯uju se istinitosnevrednosti za P i Q u tim vrstama.2.1. Ako u svakoj vrsti P i Q imaju iste vrednosti, onda su teformule logiˇcki ekvivalentne.2.2. Ako u nekoj vrsti P i Q imaju razliˇcite vrednosti, ondaone nisu logiˇcki ekvivalentne.Diskretne strukture – 33 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 33 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 33 – Iskazna logika - I deo
  • Logiˇcka ekvivalentnostLogiˇcka ekvivalentnostLogiˇcka ekvivalentnostPrimer 10: Zakon dvojne negacije: ¬(¬p) ≡ pIskazne formule ¬(¬p) i p su logiˇcki ekvivalentne, ˇsto se vidi iz slede´ceistinitosne tablice:p ¬p ¬(¬p)1 0 10 1 0Diskretne strukture – 34 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 34 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 34 – Iskazna logika - I deo
  • Logiˇcka ekvivalentnostLogiˇcka ekvivalentnostLogiˇcka ekvivalentnostPrimer 11: Dokazati da formule ¬(p ∧ q) i ¬p ∧ ¬q nisu logiˇckiekvivalentne.Imamo slede´cu istinitosnu tablicu:p q ¬p ¬q p ∧ q ¬(p ∧ q) ¬p ∧ ¬q1 1 0 0 1 0 = 01 0 0 1 0 1 = 00 1 1 0 0 1 = 00 0 1 1 0 1 = 1Dakle, istinitosne vrednosti formula ¬(p ∧ q) i ¬p ∧ ¬q razlikuju se udrugoj i tre´coj vrsti, pa one nisu logiˇcki ekvivalentne.Diskretne strukture – 35 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 35 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 35 – Iskazna logika - I deo
  • Logiˇcka ekvivalentnostLogiˇcka ekvivalentnostLogiˇcka ekvivalentnostPrimer 12: De Morganovi zakoni: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬qDa vaˇzi ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q dokazujemo slede´com tablicomp q ¬p ¬q p ∧ q ¬(p ∧ q) ¬p ∨ ¬q1 1 0 0 1 0 = 01 0 0 1 0 1 = 10 1 1 0 0 1 = 10 0 1 1 0 1 = 1Na isti naˇcin dokazujemo ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q.Diskretne strukture – 36 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 36 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 36 – Iskazna logika - I deo
  • Logiˇcka ekvivalentnostLogiˇcka ekvivalentnostLogiˇcka ekvivalentnostPrimer 13: Primena De Morganovih zakonaOdrediti negaciju svakog od slede´cih iskaza:(a) Petar je visok 2 metra i teˇzak 100 kilograma.(b) Autobus je kasnio ili je Milanov sat kasnio.Reˇsenje:(a) Petar nije visok 2 metra ili nije teˇzak 100 kilograma.(b) Autobus nije kasnio i Milanov sat nije kasnio.Primetimo da u obiˇcnom govoru ˇcesto kaˇzemo i(b) Niti je autobus kasnio niti je Milanov sat kasnio.Diskretne strukture – 37 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 37 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 37 – Iskazna logika - I deo
  • Logiˇcka ekvivalentnostLogiˇcka ekvivalentnostLogiˇcka ekvivalentnostPrimer 14: Primena De Morganovih zakona – nejednakostiNeka su x i y realni brojevi.Negaciju iskaza x < y oznaˇcavamo sa x ≮ y, negaciju iskaza x y sax y, negaciju od x > y sa x ≯ y, a negaciju od x y sa x y.Kako su ”x < y ili x y” i ”x > y ili x y” taˇcni iskazi, to vaˇzix ≮ y je ekvivalentno sa x yx ≯ y je ekvivalentno sa x yx y je ekvivalentno sa x > yx y je ekvivalentno sa x < yDiskretne strukture – 38 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 38 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 38 – Iskazna logika - I deo
  • Logiˇcka ekvivalentnostLogiˇcka ekvivalentnostLogiˇcka ekvivalentnostPrimer 15: Primena De Morganovih zakona – nejednakostiKoriˇs´cenjem De Morganovih zakona odrediti negaciju iskaza−1 < x 4.Reˇsenje: Znamo da je ovaj iskaz ekvivalentan sa−1 < x i x 4,i prema De Morganovim zakonima, negacija ovog iskaza je−1 ≮ x ili x 4,ˇsto je ekvivalentno sa−1 x ili x > 4,odnosnox −1 ili x > 4.Diskretne strukture – 39 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 39 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 39 – Iskazna logika - I deo
  • Logiˇcka ekvivalentnostLogiˇcka ekvivalentnostLogiˇcka ekvivalentnostNapomena: Prema De Morganovim zakonima, negacija iskazap: Petar je visok i Petar je mrˇsavje¬p: Petar nije visok ili Petar nije mrˇsavMed¯utim, u obiˇcnom govoru se umesto p najˇceˇs´ce kaˇzep′: Petar je visok i mrˇsava negacija toga se iskazuje kao¬p′: Petar nije visok i mrˇsavˇsto izgleda kao da je u suprotnosti sa De Morganovim zakonima.Med¯utim, to nije problem za logiku, gde veznike ”i” i ”ili” smemo dakoristimo samo izmed¯u potpunih iskaza, a ne njihovih fragmenata.Diskretne strukture – 40 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 40 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 40 – Iskazna logika - I deo
  • Tautologije i kontradikcijeTautologije i kontradikcijeTautologije i kontradikcijeIskaznu formulu koja je taˇcna za sve mogu´ce kombinacije istinitosnihvrednosti iskaznih slova koja se u njoj javljaju nazivamo tautologija.Iskaznu formulu koja je netaˇcna za sve mogu´ce kombinacije istinitosnihvrednosti iskaznih slova koja se u njoj javljaju nazivamo kontradikcija.Za proizvoljnu iskaznu formulu P je relativno jednostavno utvrditi da lije ona tautologija, ili da li je kontradikcija.1. Formira se istinitosna tablica za formulu P .2. Proverava se kolona te tablice koja odgovara formuli P .2.1. Ako su sve vrednosti u toj koloni jednake 1, onda je Ptautologija.2.2. Ako su sve vrednosti u toj koloni jednake 0, onda je Pkontradikcija.Diskretne strukture – 41 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 41 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 41 – Iskazna logika - I deo
  • Tautologije i kontradikcijeTautologije i kontradikcijeTautologije i kontradikcijePrimer 16: Zakon iskljuˇcenja tre´ceg: p ∨ ¬pFormula p ∨ ¬p je tautologija, ˇsto se vidi iz njene istinitosne tablicep ¬p p ∨ ¬p1 0 10 1 1Primer 17: Formula p ∧ ¬p je kontradikcijaOvo se moˇze proveriti formiranjem istinitosne tablice za p ∧ ¬p, ali semoˇze zakljuˇciti i iz toga ˇsto, prema De Morganovim zakonima i Zakonudvojne negacije, vaˇzip ∧ ¬p ≡ ¬(p ∨ ¬p).Diskretne strukture – 42 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 42 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 42 – Iskazna logika - I deo
  • Tautologije i kontradikcijeTautologije i kontradikcijeTautologije i kontradikcijePrimer 17: Neka je t proizvoljna tautologija, c je proizvoljnakontradikcija i p je iskazno slovo. Tada vaˇzip ∧ t ≡ p, p ∨ t ≡ t, p ∧ c ≡ c, p ∨ c ≡ p.Zaista, to se vidi iz slede´ce istinitosne tablicep t c p ∧ t p ∨ t p ∧ c p ∨ c1 1 0 1 1 0 10 1 0 0 1 0 0Ako iskazna formula P jeste tautologija, onda to simboliˇcki oznaˇcavamosa |= P .Diskretne strukture – 43 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 43 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 43 – Iskazna logika - I deo
  • Tautologije i kontradikcijeTautologije i kontradikcijeTautologije i kontradikcijeTeorema 1: Neka su p, q i r iskazne promenljive, t je tautologija ic je kontradikcija. Tada vaˇze slede´ce logiˇcke ekvivalencije:1. Zakoni komutativnosti:p ∧ q ≡ q ∧ p p ∨ q ≡ q ∨ p2. Zakoni asocijativnosti:(p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r) (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r)3. Zakoni distributivnosti:p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)4. Zakoni identiteta (jedinice):p ∧ t ≡ p p ∨ c ≡ p5. Zakoni negacije:p ∨ ¬p ≡ t p ∧ ¬p ≡ cDiskretne strukture – 44 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 44 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 44 – Iskazna logika - I deo
  • Tautologije i kontradikcijeTautologije i kontradikcijeTautologije i kontradikcije6. Zakon dvostruke negacije:¬(¬p) ≡ p7. Zakoni idempotentnosti:p ∧ p ≡ p p ∨ p ≡ p8. Zakoni univerzalne granice:p ∨ t ≡ t p ∧ c ≡ c9. De Morganovi zakoni:¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q10. Zakoni apsorpcije:p ∨ (p ∧ q) ≡ p p ∧ (p ∨ q) ≡ p11. Negacije od t i c:¬t ≡ c ¬c ≡ tDiskretne strukture – 45 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 45 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 45 – Iskazna logika - I deo
  • Uproš´cavanje izrazaUproš´cavanje izrazaUproš´cavanje izrazaPrimer 18: Kao ˇsto znamo, aritmetiˇcki izrazi se mogu transformisatijedni u druge u skladu sa izvesnim algebarskim zakonimakakvi su, na primer,zakon komutativnosti – x + y = y + x,zakon distributivnosti – x · (y + z) = x · y + x · z,i drugi. Na primer, izraz (x+y)2moˇze se transformisati u x2+2xy+y2,na slede´ci naˇcin:(x + y)2= (x + y) · (x + y) (definicija stepena za ·)= (x + y) · x + (x + y) · y (zakon distributivnosti)= (x · x + y · x) + (x · y + y · y) (zakon distributivnosti)= x · x + y · x + x · y + y · y (zakon asocijativnosti za +)= x · x + x · y + x · y + y · y (zakon komutativnosti za ·)= x2+ 2xy + y2(definicije stepena za · i +)Diskretne strukture – 46 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 46 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 46 – Iskazna logika - I deo
  • Uproš´cavanje izrazaUproš´cavanje izrazaUproš´cavanje izrazaSliˇcne transformacije se mogu vrˇsiti i sa logiˇckim izrazima, ali se ovdeumesto algebarskih zakona koriste logiˇcke ekvivalencije.Primer 19: Dokaza´cemo da je ¬(¬p ∧ q) ∧ (p ∨ q) ≡ pZaista¬(¬p ∧ q) ∧ (p ∨ q) ≡ (¬(¬p) ∨ ¬q) ∧ (p ∨ q) (De Morganov zakon)≡ (p ∨ ¬q) ∧ (p ∨ q) (Zakon dvojne negacije)≡ p ∨ (¬q ∧ q) (Zakon distributivnosti)≡ p ∨ (q ∧ ¬q) (Zakon komutativnosti)≡ p ∨ c (Zakon negacije)≡ p (Zakon identiteta)odakle dobijamo da je ¬(¬p ∧ q) ∧ (p ∨ q) ≡ p.Diskretne strukture – 47 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 47 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 47 – Iskazna logika - I deo
  • Uproš´cavanje izrazaUproš´cavanje izrazaUproš´cavanje izrazaZakoni prikazani u Teoremi 1 mogu se koristiti za dokazivanje logiˇckeekvivalentnosti iskaznih formula, onako kako je to uˇcin jeno i u prethod-nom primeru.Med¯utim, ovi zakoni se ne mogu upotrebiti kada dokazujemo da dveformule nisu logiˇcki ekvivalentne.Nasuprot tome, istinitosne tablice se mogu koristiti i u jednu i u drugusvrhu, kao ˇsto smo ve´c videli u ranijim primerima.Ipak, tablice moˇzemo formirati na naˇcin na koji smo to radili u ranijimprimerima samo kada je broj promenljivih mali (2, 3 ili 4).Za ve´ci broj promenljivih istinitosne tablice bi se mogle formirati pomo´curaˇcunara, ali i tu imamo problem eksponencijalnog rasta broja vrsti (zan promenljivih imamo 2nvrsti), pa formiranje istinitosnih tablica zaveliki broj promenljivih moˇze zahtevati priliˇcno vremena.Diskretne strukture – 48 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 48 – Iskazna logika - I deoDiskretne strukture – 48 – Iskazna logika - I deo