Exerc´ıcios de c´alculo diferencial e integral de fun¸c˜oes
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Exerc´ıcios de c´alculo diferencial e integral de fun¸c˜oes

on

  • 961 views

 

Statistics

Views

Total Views
961
Views on SlideShare
961
Embed Views
0

Actions

Likes
0
Downloads
20
Comments
0

0 Embeds 0

No embeds

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

Exerc´ıcios de c´alculo diferencial e integral de fun¸c˜oes Document Transcript

  • 1. Exerc´ ıcios de C´lculo Diferencial e Integral de Fun¸˜es a co Definidas em Rn Diogo Aguiar Gomes, Jo˜o Palhoto Matos e Jo˜o Paulo Santos a a 24 de Janeiro de 2000
  • 2. 2
  • 3. Conte´ do u1 Introdu¸˜o ca 5 1.1 Explica¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 5 1.2 Futura introdu¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 52 Complementos de C´lculo Diferencial a 7 2.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1.1 Exerc´ ıcios suplementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1.2 Sugest˜es para os exerc´ o ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 C´lculo diferencial elementar . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2.1 Exerc´ ıcios suplementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2.2 Sugest˜es para os exerc´ o ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3 Derivadas parciais de ordem superior ` a primeira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3.1 Exerc´ ıcios suplementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3.2 Sugest˜es para os exerc´ o ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.4 Polin´mio de Taylor . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4.1 Exerc´ ıcios suplementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4.2 Sugest˜es para os exerc´ o ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 Extremos 27 3.1 Extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.1.1 Exerc´ ıcios suplementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.1.2 Sugest˜es para os exerc´ o ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2 Testes de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2.1 Exerc´ ıcios suplementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2.2 Sugest˜es para os exerc´ o ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434 Teoremas da Fun¸˜o Inversa e da Fun¸˜o Impl´ ca ca ıcita 47 4.1 Invertibilidade de fun¸˜es . . . . . . . . . . . . . . . co . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.1.1 Exerc´ ıcios Suplementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.1.2 Sugest˜es para os exerc´ o ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.2 Teorema do valor m´dio para fun¸˜es vectoriais . . . e co . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.3 Teorema da Fun¸˜o Inversa . . . . . . . . . . . . . . ca . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.3.1 Exerc´ ıcios Suplementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.3.2 Sugest˜es para os exerc´ o ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.4 Teorema da Fun¸˜o Impl´ ca ıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.4.1 Exerc´ ıcios suplementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.4.2 Sugest˜es para os exerc´ o ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67Bibliografia 69 3
  • 4. ´CONTEUDO24 de Janeiro de 2000 4
  • 5. Cap´ ıtulo 1Introdu¸˜o ca1.1 Explica¸˜o caEst´ a ler uma vers˜o parcial e preliminar de um texto em elabora¸˜o. Os autores agradecem a a caquaisquer notifica¸˜es de erros, sugest˜es,. . . , para ecdi@math.ist.utl.pt. Estima-se que o texto co ofinal ter´ uma extens˜o cerca de trˆs a quatro vezes maior e incluir´ cap´ a a e a ıtulos que nesta vers˜o aforam exclu´ıdos. A sec¸˜o seguinte desta introdu¸˜o tem car´cter preliminar e tem como pressuposto a existˆncia ca ca a edo material que aqui ainda n˜o foi inclu´ a ıdo. Partes deste texto foram distribu´ıdas separadamente por cada um dos autores no passado.Tendo descoberto que os diversos textos tinham car´cter algo complementar decidimos reuni-los. aA presente vers˜o idealmente n˜o mostra de uma maneira ´bvia as adapta¸˜es e correc¸˜es que a a o co coforam necess´rias para chegar ao formato actual. a Novas vers˜es deste texto ir˜o aparecendo sempre que os autores considerarem oportuno em o ahttp://www.math.ist.utl.pt/~jmatos/AMIII/temp.pdf. Para evitar a prolifera¸˜o de textos caobsoletos a maioria das p´ginas apresenta a data de revis˜o corrente em p´ de p´gina. a a e a1.2 Futura introdu¸˜o caEste texto nasce da nossa experiˆncia a leccionar a disciplina de An´lise Matem´tica III no Instituto e a aSuperior T´cnico. Por um lado reune um n´mero consider´vel de enunciados de problemas de e u aexame e por outro serve de propaganda ` nossa maneira de ver os assuntos aqui tratados. An´lise a aMatem´tica III ´ uma disciplina do primeiro semestre do segundo ano de todos os curr´ a e ıculos delicenciatura leccionados no Instituto Superior T´cnico (IST) excepto Arquitectura. e Se se perguntar a um aluno de um dos dois primeiros anos do IST que tipo de “folhas” maisdeseja que lhe sejam disponibilizadas pelos seus professores temos como resposta mais que prov´vel: a“folhas de exerc´ıcios resolvidos de An´lise Matem´tica”. No entanto tal resposta costuma suscitar a acomo reac¸˜o da parte dos docentes essencialmente preocupa¸˜o. De facto a resolu¸˜o de exerc´ ca ca ca ıciosde An´lise Matem´tica n˜o ´ geralmente unica e o processo de aprendizagem est´ mais ligado ` a a a e ´ a atentativa de resolu¸˜o dos mesmos quando se possui um conjunto de conhecimentos m´ ca ınimo doque ` absor¸˜o ac´fala de um n´mero finito de receitas. a ca e u O que se segue ´ uma tentativa de compromisso entre a procura e a oferta neste mercado esui generis. S˜o inclu´ a ıdos exerc´ ıcios de exame dos ultimos anos com modifica¸˜es do enunciado ´ coquando tal foi julgado conveniente e muitos outros com um car´cter mais ou menos trivial, ou de acomplemento de resultados citados, ou de coment´rio de uma resolu¸˜o de um exerc´ a ca ıcio, sugest˜oade extens˜es, etc. Por vezes um exerc´ o ıcio embora inclu´ numa sec¸˜o inclui uma quest˜o que ıdo ca as´ ´ tratada numa sec¸˜o posterior. Tais exerc´ oe ca ıcios est˜o assinalados com um asterisco *. Foram ainclu´ ıdos esbo¸os de resolu¸˜o e sugest˜es em n´mero consider´vel. c ca o u a 5
  • 6. CAP´ ¸˜ ITULO 1. INTRODUCAO O leitor dever´ ter em considera¸˜o que o programa de An´lise Matem´tica III tem variado a ca a a ´ao longo do tempo. E consensual no Departamento de Matem´tica do IST e na escola em geral aque a introdu¸˜o ` an´lise em Rn e o c´lculo diferencial em Rn dever˜o ser tratados em grande ca a a a aparte no primeiro ano do curso. Da´ a existˆncia de sec¸˜es correspondentes a revis˜o de material ı e co acoberto no primeiro ano do curso. Outro facto a ter em conta ´ a diferen¸a de programa para os cursos de Matem´tica Aplicada e c ae Computa¸˜o e Engenharia F´ ca ısica Tecnol´gica. Nestes cursos s˜o introduzidos o formalismo das o aformas diferenciais e a respectiva vers˜o do teorema fundamental do c´lculo em vez da formula¸˜o a a cacl´ssica do teorema de Stokes. Aconselha-se os alunos destes dois cursos a comparar os enunci- aados de exerc´ ıcios deste tema com as formula¸˜es cl´ssicas dos mesmos. Tais compara¸˜es est˜o co a co aindicadas em nota de p´ de p´gina. e a A nota¸˜o utilizada ´ cl´ssica tanto quanto poss´ ca e a ıvel, embora obviamente n˜o universal, e nem asempre ser´ isenta de incoerˆncias. Por exemplo: usaremos a nota¸˜o de Leibniz para derivadas a e ca 2parciais mas de acordo com a nota¸˜o geral para operadores, isto ´, ∂x∂y = ∂x ∂u ; usaremos ca e ∂ u ∂ ∂y , sempre que tal for considerado sugestivo. Citaremos os resultados essenciais de cada tema mas n˜o necessariamente com a sua formula¸˜o a camais geral remetida por vezes para observa¸˜es marginais ou problemas. O enunciado de tais resul- cotados por vezes ´ seguido de uma “demonstra¸˜o” que mais n˜o faz que relembrar sinteticamente e ca aa dependˆncia em rela¸˜o a outros resultados e os m´todos utilizados. e ca e Faz-se notar que n˜o seguimos a ordena¸˜o de material geralmente adoptada durante a ex- a caposi¸˜o dos cursos no IST devido devido a raz˜es como a conveniˆncia em apresentar problemas ca o esobre a introdu¸˜o do conceito de variedade como complemento do estudo do teorema da fun¸˜o ca caimpl´ ıcita. Um ultimo aviso: este texto n˜o pretende substituir os excelentes livros de texto dispon´ ´ a ıveissobre os assuntos aqui abordados. Diria mesmo que ´ provavelmente incompreens´ e ıvel se um oumais desses livros n˜o for consultado. Os textos adoptados no IST s˜o [6, 3, 5]. a a Lisboa, Outubro de 1999 DG, JPM, JPS24 de Janeiro de 2000 6
  • 7. Cap´ ıtulo 2Complementos de C´lculo aDiferencialO conceito de fun¸˜o diferenci´vel ´ uma das no¸˜es chave da an´lise. Por exemplo, se f : R → R ca a e co afor diferenci´vel em x0 , o c´lculo de f (x0 ) permite aproximar f pela f´rmula de Taylor perto de a a ox0 , i.e., f (x) = f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) + o(x − x0 ),onde limx→x0 o(x−x00 ) = 0. Esta f´rmula tem a seguinte interpreta¸˜o geom´trica: f (x0 ) ´ o x−x o ca e edeclive da recta tangente a f em x0 e y = f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) ´ a equa¸˜o dessa recta. e ca Outras aplica¸˜es do conceito de derivada familiares a um estudante que conhe¸a An´lise co c aMatem´tica ao n´ a ıvel de um primeiro ano de licenciatura s˜o, por exemplo, a determina¸˜o de a capontos de extremo: se f : R → R for diferenci´vel, os seus m´ximos ou m´ a a ınimos s˜o zeros de f 1 . aOutra aplica¸˜o que deve ser familiar ´ a mudan¸a de coordenadas na integra¸˜o atrav´s de: ca e c ca e b f −1 (b) g(x)dx = g(f (y))f (y)dy. a f −1 (a) Esta presen¸a ub´ c ıqua da diferencia¸˜o no estudo de fun¸˜es reais de vari´vel real faz com que ca co aseja natural, quando se estudam fun¸˜es de v´rias vari´veis, generalizar a no¸˜o de derivada. Para co a a cafun¸˜es de Rn em R, a interpreta¸˜o geom´trica da derivada ser´ o “declive” do “plano” tangente co ca e aao gr´fico da fun¸˜o, mais precisamente y = f (x0 ) + Df (x0 )(x − x0 ) ´ a equa¸˜o desse “plano” a ca e catangente2 . Neste cap´ıtulo resumiremos alguns resultados de c´lculo diferencial, para fun¸˜es reais de mais a codo que uma vari´vel real. Em particular trataremos quest˜es importantes sobre a continuidade e a odiferenciabilidade de fun¸˜es de Rn em Rm . Para al´m disso estudaremos a f´rmula de Taylor. co e o2.1 PreliminaresEsta sec¸˜o relembra alguns dos conceitos e resultados sobre fun¸˜es de Rn em Rm que se sup˜em ca co oconhecidos nas sec¸˜es seguintes. Aconselha-se o leitor a consultar [1] para relembrar, com detalhe, coos resultados, supostos j´ conhecidos, que a seguir se enumeram de uma forma necessariamente abreve. Tanto a defini¸˜o de continuidade como a de diferenciabilidade dependem do conceito de dis- catˆncia entre dois pontos, definida por sua vez ` custa da no¸˜o de norma: a a ca 1 Note, no entanto, que o facto de a derivada se anular num ponto, n˜o implica que este seja um m´ximo ou a am´ ınimo; pode ser ponto de sela! Veja o cap´ıtulo 3. 2 Designa¸˜es t´cnicas para um tal conjunto s˜o de um subespa¸o afim de dimens˜o n de Rn+1 ou hiperplano co e a c a 7
  • 8. CAP´ ´ ITULO 2. COMPLEMENTOS DE CALCULO DIFERENCIALDefini¸˜o 2.1.1 Seja η : Rn → R. Diz-se que η ´ uma norma se verificar as seguintes proprie- ca edades: i) η(x) > 0 se x = 0 e η(0) = 0; ii) η(λx) = |λ|η(x), ∀x ∈ Rn , ∀λ ∈ R;iii) η(x + y) ≤ η(x) + η(y), ∀x, y ∈ Rn . Para designarmos uma norma gen´rica utilizaremos a nota¸˜o x = η(x). Em Rn ´ usual e ca econsiderar a norma euclideana, definida por (x1 , . . . , xn ) = x2 + . . . + x2 . 1 nPor´m, em certas situa¸˜es, pode ser util trabalhar com normas diferentes. e co ´ ıcio 2.1.1 Prove que as seguintes fun¸˜es s˜o normas em R2 :Exerc´ co a 1. η(x, y) = |x| + |y| 2. η(x, y) = m´x {|x|, |y|} a 3. η(x, y) = 2 x2 + y 2 4. η(x, y, z) = |x| + y2 + z2 . ıcio 2.1.2 Mostre que η(x, y) = |x + y| n˜o ´ uma norma mas satisfaz ii e iii em 2.1.1.Exerc´ a eDefini¸˜o 2.1.2 Em Rn , a bola (aberta) centrada em x e de raio r, relativa ` norma ca a · ,´o econjunto B(x, r) (ou Br (x)) definido por B(x, r) = {y ∈ Rn : x − y < r}.Se a norma em quest˜o for a norma euclideana as bolas ser˜o “redondas”, caso contr´rio poder˜o a a a ater formatos mais ou menos inesperados, como se pode ver no exerc´ seguinte. ıcio ıcio 2.1.3 Esboce as bolas B1 (0) em R2 para as seguintes normas:Exerc´ 1. (x, y) = x2 + y 2 2. (x, y) = |x| + |y| 3. (x, y) = m´x{|x|, |y|} aExerc´ıcio 2.1.4 Mostre que uma bola ser´ sempre um conjunto convexo, isto ´, dados dois quais- a equer dos seus pontos, o segmento de recta que os une est´ contido na bola. a Daqui para a frente vamos sempre supor que a norma em Rn ´ a norma euclideana, a n˜o ser e aque seja dito algo em contr´rio. Al´m disso a nota¸˜o n˜o distinguir´ as normas euclidianas em a e ca a adiferentes espa¸os Rn para n ≥ 2. cDefini¸˜o 2.1.3 Diz-se que um conjunto A ⊂ Rn ´ aberto se verificar a seguinte propriedade: ca e ∀x ∈ A, ∃r > 0 : B(x, r) ⊂ A.Exemplo 2.1.1 O conjunto ]0, 1[ ⊂ R ´ aberto. Com efeito, para qualquer n´mero real 0 < x < 1 e utemos x > 1/2 ou x ≤ 1/2. No primeiro caso B(x, x/2) ⊂ ]0, 1[, no segundo B(x, (1−x)/2) ⊂ ]0, 1[.Exerc´ ıcio 2.1.5 Mostre que as bolas abertas s˜o conjuntos abertos. a24 de Janeiro de 2000 8
  • 9. 2.1. PRELIMINARES Temos reunidos todos os ingredientes ncess´rios ` defini¸˜o de fun¸˜o cont´ a a ca ca ınua:Defini¸˜o 2.1.4 Diz-se que uma fun¸˜o f : A ⊂ Rn → Rm ´ cont´ ca ca e ınua num ponto x ∈ A se: ∀ > 0 ∃δ > 0 tal que x − y < δ, y ∈ A ⇒ f (x) − f (y) < .Diz-se que f ´ cont´ e ınua num subconjunto do seu dom´ ınio se for cont´ ınua em todos os pontos desseconjunto.Exemplo 2.1.2 Suponhamos f (x, y) = x + y. Provemos que f ´ cont´ e ınua. Seja > 0 arbitr´rio. aReparemos que, para todo o (x1 , y1 ) e (x2 , y2 ), se tem |x1 + y1 − x2 − y2 | ≤ |x1 − x2 | + |y1 − y2 |,sendo que |x1 − x2 | ≤ (x1 , y1 ) − (x2 , y2 ) e |y1 − y2 | ≤ (x1 , y1 ) − (x2 , y2 ) . Portanto, fixando > 0, e escolhendo δ < 2 teremos: |x1 + y1 − x2 − y2 | ≤ 2δ < ,se (x1 , y1 ) − (x2 , y2 ) < δ. Logo f ´ cont´ e ınua.Exerc´ ıcio 2.1.6 Mostre que a fun¸˜o definida por ca 1, se x + y > 0, f (x, y) = 0, se x + y ≤ 0n˜o ´ cont´ a e ınua. Muitas vezes, para mostrar continuidade (ou a falta dela), utiliza-se a caracteriza¸˜o de conti- canuidade atrav´s de sucess˜es: e oTeorema 2.1.1 (Continuidade ` Heine) aSeja f : A ⊂ Rn → Rm . f ´ cont´ e ınua em x0 ∈ A se e somente se para toda a sucess˜o (xk )k∈N ⊂ A aque converge para x0 (isto ´, limk→+∞ xk − x0 = 0) a sucess˜o (f (xk ))k∈N converge para f (x0 ). e aExemplo 2.1.3 Seja f : Rn → Rm , g : Rm → Rp , f e g cont´ ınuas. Provemos que g ◦ f ´ e ınua. Seja x0 ∈ Rn e (xk ) ⊂ Rn uma sucess˜o convergente para x0 . Definindo yk = f (xk )cont´ aobtemos uma sucess˜o (yk ) ⊂ Rm que converge para y0 = f (x0 ), uma vez que f ´ cont´ a e ınua. Asucess˜o (zk ) ⊂ Rp , definida por zk = g(yk ), converge para z0 = g(y0 ), uma vez que g ´ cont´ a e ınua.Resta observar que zk = g ◦ f (xk ) → z0 = g ◦ f (x0 ), pelo que g ◦ f ´ cont´ e ınua.Exerc´ ıcio 2.1.7 Refa¸a o exemplo anterior usando a defini¸˜o 2.1.4. c caExerc´ ıcio 2.1.8 Prove o teorema 2.1.1. ıcio 2.1.9 Seja f : Rn → Rm . Prove que f ´ cont´Exerc´ e ınua se e somente se para todo o abertoA ⊂ R se tem f −1 (A) ⊂ Rn aberto, onde o conjunto f −1 (A) ´ definido como sendo: m e f −1 (A) = {x ∈ Rn : f (x) ∈ A}.Generalize este resultado para fun¸˜es definidas num subconjunto arbitr´rio de Rn . co aDefini¸˜o 2.1.5 Diz-se que um conjunto F ⊂ Rn ´ fechado se o seu complementar F c for aberto. ca eTeorema 2.1.2 (Caracteriza¸˜o dos fechados via sucess˜es) ca oF ⊂ Rn ´ fechado se e s´ se dada uma qualquer sucess˜o convergente de termos em F esta converge e o apara um elemento de F . 9 24 de Janeiro de 2000
  • 10. CAP´ ´ ITULO 2. COMPLEMENTOS DE CALCULO DIFERENCIALExerc´ıcio 2.1.10 Dˆ dois exemplos distintos de subconjuntos de Rn que sejam, cada um deles, esimultaneamente aberto e fechado (isto s´ se verifica para dois conjuntos muito especiais!). oDefini¸˜o 2.1.6 A uni˜o de todos os abertos contidos num conjunto A ser´ designada por interior ca a a `de A e abrevia-se int A. A intersec¸˜o de todos os fechados contendo A chamar-se-´ fecho de A e ca aabrevia-se A. A fronteira de A, ∂A, ´ definida por ∂A = A int A. eDefini¸˜o 2.1.7 Diz-se que um conjunto K ⊂ Rn ´ compacto se dada uma qualquer sucess˜o de ca e atermos em K esta possui uma subsucess˜o convergente para um elemento de K. aTeorema 2.1.3 (Caracteriza¸˜o dos compactos de Rn ) caK ⊂ Rn ´ compacto se e s´ se K ´ limitado e fechado. e o eExerc´ ıcio 2.1.11 O conjunto vazio ´ compacto? E o conjunto dos n´meros racionais de valor e uabsoluto menor que 1? ıcio 2.1.12 Dˆ um exemplo de uma fun¸˜o f : Rn → R tal queExerc´ e ca 1. {x ∈ Rn : f (x) ≤ 1} seja um conjunto compacto. 2. {x ∈ Rn : f (x) < 1} seja um conjunto compacto n˜o vazio. Observa¸˜o: se f for cont´ a ca ınua ent˜o este conjunto ´ necessariamente aberto (porquˆ?) portanto se escolher f cont´ a e e ınua o conjunto ser´ necessariamente vazio (porquˆ?). a e 3. Seja K um conjunto compacto. Construa uma fun¸˜o f tal que K = {x : f (x) = 1}. ca Escolhendo f n˜o cont´ a ınua o problema ´ trivial. No entanto pode tornar o problema bem e mais interessante tentando construir f cont´ ınua!2.1.1 Exerc´ ıcios suplementaresExerc´ıcio 2.1.13 Diz-se que duas normas em Rn , · α e · β, s˜o equivalentes se existirem aconstantes positivas, a e b tais que a x α ≤ x β ≤b x αpara todo o x ∈ Rn . Prove que as seguintes normas s˜o todas equivalentes entre si: a 1. (x1 , . . . , xn ) 1 = |x1 | + . . . + |xn | 2. (x1 , . . . , xn ) 2 = |x1 |2 + . . . + |xn |2 3. (x1 , . . . , xn ) ∞ = m´x{|x1 |, . . . , |xn |} aExerc´ ıcio 2.1.14 Prove que as seguintes fun¸˜es s˜o cont´ co a ınuas: 1. f (x) = 1 se −∞ < x ≤ 1 e f (x) = x se x ≥ 1; 2. qualquer polin´mio em n vari´veis. o aExerc´ ıcio 2.1.15 Prove que 0, se x < 0, f (x) = 1, se x ≥ 0,n˜o ´ cont´ a e ınua.Exerc´ ıcio 2.1.16 Diz-se que uma fun¸˜o f : J ⊂ Rn → R ´ semicont´ ca e ınua inferior se para todaa sucess˜o xk → x ∈ J se tem lim inf j→+∞ f (xk ) ≥ f (x) (recorde que o lim inf de uma sucess˜o a a(yk )k∈N ´ definido como sendo lim inf k→+∞ yk = limn→+∞ inf k>n {yk }). e24 de Janeiro de 2000 10
  • 11. 2.1. PRELIMINARES 1. Mostre que o lim inf existe sempre (eventualmente pode ser igual a −∞, quando?). 2. Mostre que qualquer fun¸˜o cont´ ca ınua ´ semicont´ e ınua inferior. 3. Dˆ um exemplo de uma fun¸˜o semicont´ e ca ınua inferior que n˜o seja cont´ a ınua. 4. Mostre que qualquer fun¸˜o semicont´ ca ınua inferior f definida num compacto K ´ limitada e inferiormente, isto ´ ∃C ∈ R tal que f (x) ≥ C sempre que x ∈ K. e 5. Mostre que uma fun¸˜o semicont´ ca ınua inferior definida num compacto tem sempre m´ ınimo. 6. Utilizando as ideias das al´ ıneas anteriores mostre que qualquer fun¸˜o cont´ ca ınua definida num compacto tem m´ximo e m´ a ınimo.Exerc´ıcio 2.1.17 As defini¸˜es de aberto e fun¸˜o cont´ co ca ınua dependem aparentemente de usarmosa norma euclidiana. Uma d´vida leg´ u ıtima ´ saber se tivessemos usado outra norma chegar´ e ıamos `s amesmas conclus˜es relativamente a que conjuntos s˜o abertos e que fun¸˜es s˜o cont´ o a co a ınuas. Mostreque: 1. Todas as normas em Rn s˜o cont´ a ınuas. 2. Qualquer norma em Rn tem um m´ ınimo positivo na fronteira da bola B(0, 1). 3. Todas as normas em Rn s˜o equivalentes. a 4. Conclua que as no¸˜es de aberto e fun¸˜o cont´ co ca ınua s˜o independentes da norma utilizada. a2.1.2 Sugest˜es para os exerc´ o ıcios2.1.13 Observe que ∀x ∈ Rn 1. x ∞ ≤ x 1 ≤ n x ∞; √ 2. x ∞ ≤ x 2 ≤ n x ∞.Usando 1 e 2 deduza as restantes desigualdades.2.1.14 Utilize a defini¸˜o 2.1.4 e o teorema 2.1.1. ca 12.1.15 Note que f − n → 0 = f (0).2.1.16 1. Note que a sucess˜o zn = inf k>n {yk } ´ mon´tona crescente. a e o e ınua e xk → x ent˜o f (xk ) → f (x). 2. Se f ´ cont´ a 3. Por exemplo 0 se x ≤ 0, f (x) = 1 se x > 0. 4. Se f n˜o fosse limitada inferiormente existiria uma sucess˜o xk ∈ K tal que f (xk ) → a a −∞. Como K ´ compacto poder-se-ia extrair uma subsucess˜o convergente xkj → x ∈ e a K. Consequentemente ter-se-ia −∞ = lim f (xkj ) = lim inf f (xkj ) ≥ f (x) > −∞ o que ´ e absurdo. 5. Seja f : K → R, onde K ⊂ Rn ´ compacto, semicont´ e ınua inferior. Note que, pela al´ ınea anterior, f ´ minorada. Defina-se m = inf y∈K f (y). Ent˜o existe uma sucess˜o xk ∈ K tal e a a que f (xk ) → m. Como K ´ compacto, existe uma subsucess˜o xkj que converge para algum e a x ∈ K. Por semicontinuidade inferior tem-se m = lim f (xkj ) = lim inf f (xkj ) ≥ f (x) j→+∞ j→+∞ mas por outro lado f (x) ≥ inf y∈K f (y) = m portanto f (x) = m. 11 24 de Janeiro de 2000
  • 12. CAP´ ´ ITULO 2. COMPLEMENTOS DE CALCULO DIFERENCIAL y y = f(x) b y = b + f(a)(x-a) a x Figura 2.1: A interpreta¸˜o geom´trica de derivada para fun¸˜es reais de vari´vel real. ca e co a ınua ent˜o f e −f s˜o semicont´ 6. Se f ´ cont´ e a a ınuas inferiores.2.2 C´lculo diferencial elementar aVamos come¸ar por definir fun¸˜o diferenci´vel . c ca aDefini¸˜o 2.2.1 Seja U ⊂ Rn um aberto. Diz-se que uma fun¸˜o f : U → Rm ´ diferenci´vel no ca ca e aponto x0 ∈ U se existir uma aplica¸˜o linear A de Rn em Rm , para a qual se tem ca f (x0 + h) − f (x0 ) − Ah lim = 0. h→0,h∈Rn h Ser´ ` aplica¸˜o linear A na defini¸˜o anterior que chamaremos derivada3 de f no ponto x0 . aa ca caNo entanto poderia existir mais do que uma aplica¸˜o linear nestas condi¸˜es. . . ca coProblema 2.2.1 Mostre que a aplica¸˜o linear A da defini¸˜o 2.2.1 se existir ´ unica. ca ca e´Defini¸˜o 2.2.2 A aplica¸˜o linear A da defini¸˜o 2.2.1 designa-se por derivada de f em x0 ca ca caescrevendo-se Df (x0 ). Esta defini¸˜o de derivada coincide com a defini¸˜o usual de derivada para fun¸˜es reais de ca ca covari´vel real. Para este caso, a aplica¸˜o linear A referida na defini¸˜o anterior ´ simplesmente a ca ca emultiplica¸˜o por um escalar. ca ıcio 2.2.1 Suponha f : U ⊂ Rn → Rm ´ diferenci´vel num ponto x0 ∈ int U . Prove queExerc´ e a f (x0 + h) = f (h0 ) + Df (x0 )(h) + o(h),onde limh→0,h∈Rm o(h) = 0. hDefini¸˜o 2.2.3 Diz-se que uma fun¸˜o f : U ⊂ Rn → Rm . Se U for aberto dizemos que f ´ ca ca ediferenci´vel em U se o for em todos os pontos do dom´ a ınio U . Se U n˜o for aberto dizemos que af ´ diferenci´vel em U se existir um prolongamento f de f a um aberto V contendo U tal que f e aseja diferenci´vel em V . a 3 Tal aplica¸˜o ser´ muitas vezes identificada com a matriz real m × n que a representa ou com um vector se n ca aou m for igual a 1. Se n = 1 ´ comum usar f (x0 ) em vez de Df (x0 ). e24 de Janeiro de 2000 12
  • 13. ´ 2.2. CALCULO DIFERENCIAL ELEMENTARExemplo 2.2.1 Seja f definida em R por f (x) = x3 . Mostremos que ela ´ diferenci´vel em e aqualquer ponto de x ∈ R e que a sua derivada ´ 3x2 . e Com efeito temos |(x + h)3 − x3 − 3x2 h| |3xh2 + h3 | lim = lim = 0. h→0 |h| h→0 |h| A verifica¸˜o da diferenciabilidade usando directamente a defini¸˜o pode ser, mesmo em casos ca casimples, penosa. Isso n˜o acontece, no entanto, no caso ilustrado no pr´ximo exerc´ a o ıcio. ıcio 2.2.2 Mostre que uma transforma¸˜o linear f : Rm → Rn , dada por f (x) = M x, ondeExerc´ caM ´ uma matriz n × m, ´ diferenci´vel e que Df = M . e e a As fun¸˜es diferenci´veis formam um subconjunto estrito das fun¸˜es cont´ co a co ınuas. Com efeito:Exerc´ ıcio 2.2.3 Mostre que qualquer fun¸˜o diferenci´vel ´ cont´ ca a e ınua. Consideremos uma fun¸˜o f : U ⊂ Rn → Rm e fixemos um vector v ∈ Rn . Dado um ponto cax0 ∈ U , podemos restringir a fun¸˜o f ` recta que passa por x0 e com sentido definido por v. A ca aderivada “ao longo” desta recta chama-se derivada dirigida:Defini¸˜o 2.2.4 Define-se a derivada dirigida da fun¸˜o f : U ⊂ Rn → Rm no ponto x0 ∈ U , ca casegundo o vector v ∈ Rn como sendo f (x0 + λv) − f (x0 ) Dv f (x0 ) = lim . λ→0 λse o limite existir. Este uma rela¸˜o simples entre derivadas dirigidas relativamente a vectores com a mesma cadirec¸˜o (qual?). Da´ “normalizarmos” as derivadas dirigidas considerando muitas vezes v como ca ısendo unit´rio. Nesse caso designamos a derivada dirigida como derivada direccional . a A defini¸˜o de derivada dirigida ´ mais fraca do que a defini¸˜o de fun¸˜o diferenci´vel. Com ca e ca ca aefeito h´ fun¸˜es que n˜o s˜o diferenci´veis num determinado ponto mas que admitem derivadas a co a a adirigidas. Pode mesmo acontecer que uma fun¸˜o admita algumas (ou todas!) as derivadas cadirigidas num determinado ponto mas que n˜o seja sequer cont´ a ınua nesse ponto.Exemplo 2.2.2 Consideremos a fun¸˜o definida por ca 1, se x ∈ Q, / f (x, y) = 0, se x ∈ Q.Claramente esta fun¸˜o n˜o ´ cont´ ca a e ınua. No entanto, ela admite derivada dirigida na direc¸˜oca(0, 1). Fixemos um ponto (x0 , y0 ). Se x0 for racional teremos f (x0 , y0 + h) = 0, para qualquerh ∈ R. Deste modo D(0,1) f (x0 , y0 ) = 0.Analogamente se x0 for irracional teremos f (x0 , y0 + h) = 1, para todo o h ∈ R. Pelo que tamb´m ese ter´ a D(0,1) f (x0 , y0 ) = 0. As derivadas direccionais de fun¸˜es f : U ⊂ Rn → R na direc¸˜o dos eixos coordenados e no co casentido crescente da coordenada s˜o frequentemente utilizadas e por isso tˆm um nome especial: a ederivadas parciais. 13 24 de Janeiro de 2000
  • 14. CAP´ ´ ITULO 2. COMPLEMENTOS DE CALCULO DIFERENCIALDefini¸˜o 2.2.5 Seja f : U ⊂ Rn → R. A derivada parcial de f em rela¸˜o a xi ´ definida, caso ca ca eo limite exista, por ∂f f (x + λei ) − f (x) (x) = Dei f (x) = lim , ∂xi h→0 λcom x = (x1 , . . . , xn ) e sendo ei o versor da direc¸˜o i. Por vezes usaremos a nota¸˜o Di f em ca ca ∂fvez de ∂xi . Analisando a defini¸˜o facilmente se conclui que, em termos pr´ticos, a derivada parcial de f ca aem ordem a xi ´ calculada coordenada a coordenada se m > 1, o que permite lidar s´ com fun¸˜es e o coescalares, e, para cada uma destas, fixando todas as vari´veis excepto xi e derivando cada fj em aordem a xi como se esta fosse uma fun¸˜o real de vari´vel real. ca aExemplo 2.2.3 Seja g(x, y) = (x2 y 2 , x). As derivadas parciais de g em ordem a x e y s˜o a ∂g ∂g = (2xy 2 , 1) = (2x2 y, 0). ∂x ∂yExerc´ ıcio 2.2.4 Calcule a derivada parcial em ordem a y das seguintes fun¸˜es co 1. f (x, y, z) = xyz; 2. f (x, y) = x2 + sen(xy); 3. f (x, y, z, w) = 0. Se uma fun¸˜o ´ diferenci´vel as derivadas parciais permitem construir facilmente a matriz ca e arepresentando a derivada.Proposi¸˜o 2.2.1 caSe uma fun¸˜o f : U ⊂ Rn → Rm ´ diferenci´vel em a ent˜o a derivada Df (a) satisfaz Df (a)(h) = ca e a aJf (a)h em que ´ a matriz jacobiana de f no ponto a definida por e  ∂f1 ∂f1  ∂x1 (a) ... ∂xm (a) Jf (a) =  . . . . .   . . ∂fn ∂fn ∂x1 (a) . . . ∂xm (a) A diferenciabilidade de uma fun¸˜o pode ser estabelecida facilmente ` custa da continuidade ca adas derivadas parciais:Defini¸˜o 2.2.6 Diz-se que uma fun¸˜o f : U ⊂ Rn → Rm com U aberto ´ de classe C 1 (U ) se ca ca eexistirem as derivadas parciais ∂fj , 1 ≤ j ≤ m, 1 ≤ i ≤ n ∂xi ınuas. Se U n˜o fˆr aberto dizemos que f ∈ C 1 (U ) se existir um aberto V ⊃ U e umae forem cont´ a ofun¸˜o g : V → Rm tal que g|U = f e g ∈ C 1 (V ). caExemplo 2.2.4 A fun¸˜o f (x, y) = x2 y 2 ´ de classe C 1 pois as suas derivadas parciais s˜o ca e acont´ ınuas (veja exemplo 2.2.3).Exemplo 2.2.5 Calculemos a derivada da fun¸˜o ca f (x, y, z, w) = (f1 , f2 , f3 ) = (x + y, x + y + z 2 , w + z).24 de Janeiro de 2000 14
  • 15. ´ 2.2. CALCULO DIFERENCIAL ELEMENTARAplicando os resultados e observa¸˜es anteriores temos co  ∂f ∂f1 ∂f1 ∂f1   1  ∂x ∂y ∂z ∂w 1 1 0 0 Jf =  ∂f2 ∂f2 ∂f2 ∂f2  = 1 1 2z 0   ∂x ∂y ∂z ∂w ∂f3 ∂f3 ∂f3 ∂f3 0 0 1 1 ∂x ∂y ∂z ∂wpelo que a fun¸˜o ´ C 1 , logo diferenci´vel e a derivada ´ representada pela matriz Jf . ca e a eProposi¸˜o 2.2.2 (C 1 implica diferenciabilidade) caUma fun¸˜o f : U ⊂ Rn → Rm de classe C 1 (U ) com U aberto ´ diferenci´vel em U . ca e aIdeia da demonstra¸˜o. Claro que basta supor m = 1. Al´m disso consideramos n = 2 pois tal ca epermite usar nota¸˜o mais simples e quando terminarmos ser´ ´bvio como generalizar para n > 2. ca ao Seja (x, y) ∈ U . Basta provar que f (x + h, y + k) − f (x, y) − h ∂f (x, y) − k ∂f (x, y) ∂x ∂y lim 1/2 = 0. (h,k)→(0,0) (h2 + k 2 )Para tal decompomos a diferen¸a f (x+h, y +k)−f (x, y) como uma soma de parcelas de diferen¸as c cde valores de f em que em cada parcela os argumentos de f s´ diferem numa coordenada. Uma oescolha poss´ ´ ıvel e f (x + h, y + k) − f (x, y) = [f (x + h, y + k) − f (x, y + k)] + [f (x, y + k) − f (x, y)].Podemos assim lidar separadamente com cada coordenada reduzindo o nosso objectivo a provar f (x + h, y + k) − f (x, y + k) − h ∂f (x, y) ∂x lim 1/2 = 0, (2.1) (h,k)→(0,0) (h2 + k 2 ) f (x, y + k) − f (x, y) − k ∂f (x, y) ∂y lim 1/2 = 0. (2.2) (h,k)→(0,0) (h2 + k 2 )Para lidar com (2.1) use o teorema de Lagrange, aplicado a g(t) = f (x + t, y + k) − f (x, y + k),para obter que existe θ, 0 < θ < 1, tal que f (x + h, y + k) − f (x, y + k) = h ∂f (x + θh, y + k) e ∂xuse a continuidade da derivada parcial. Para lidar com (2.2) pode usar um racioc´ ınio an´logo ou asimplesmente a defini¸˜o de derivada parcial. caProblema 2.2.2 Verifique que a demonstra¸˜o da proposi¸˜o 2.2.2 permite enunciar o resultado ca casob hip´teses mais gerais. Dˆ um exemplo de uma fun¸˜o que satisfa¸a tais hip´teses e n˜o seja o e ca c o aC 1 . Altere a demonstra¸˜o para obter o caso n > 2. caExerc´ ıcio 2.2.5 Mostre que s˜o diferenci´veis e calcule a derivada das seguintes fun¸˜es: a a co 1. f (x, y, z) = (x2 − y 2 , xy) 2. f (x, y) = (x − y, x + y, 2x + 3y) 3. f (x, y) = (sen(x + y), cos(x − y)) 4. f (x, y) = (ex+y+z , log(1 + ey ), z 2 + x) No caso de fun¸˜es escalares (m = 1) a derivada ´ representada por uma matriz linha que co ese identifica a um vector de Rn que merece um nome especial pela sua importˆncia no c´lculo a adiferencial e nas aplica¸˜es. co 15 24 de Janeiro de 2000
  • 16. CAP´ ´ ITULO 2. COMPLEMENTOS DE CALCULO DIFERENCIALDefini¸˜o 2.2.7 Suponha que uma fun¸˜o f : U ⊂ Rn → R possui todas as derivadas parciais ca canum ponto a ∈ U . Define-se o gradiente de f em a, f (a), via ∂f ∂f f (a) = (a), . . . , (a) . ∂x1 ∂xn ıcio 2.2.6 Verifique que se f : U ⊂ Rn → R ´ diferenci´vel em a ∈ U ent˜o:Exerc´ e a a 1. Df (a)(h) = Dh f (a) = f (a) · h; 2. sup h =1 Dh f (a) = f (a) .Exerc´ ıcio 2.2.7 Mostre que a derivada da composi¸˜o f ◦ g das transforma¸˜es lineares f (y) = ca coAy, g(x) = Bx, onde f : Rn → Rm , g : Rp → Rn e A, B s˜o matrizes reais m × n e n × p, arespectivamente, ´ a matriz AB. e O pr´ximo teorema fornece um m´todo de c´lculo da derivada de fun¸oes obtidas por com- o e a c˜posi¸˜o. Note que para aplica¸˜es lineares a demonstra¸˜o ´ trivial (exerc´ ca co ca e ıcio 2.2.7) e sugere oresultado geral: a derivada da composta ´ a composta das derivadas. Mais precisamente: eTeorema 2.2.3 (Deriva¸˜o da Fun¸˜o Composta ou Regra da Cadeia) ca caSejam f : V ⊂ Rn → Rm e g : U ⊂ Rp → Rn , fun¸˜es diferenci´veis, a ∈ U, f (a) ∈ V com U e V co aabertos. Ent˜o f ◦ g : U ∩ f −1 (V ) → Rm ´ diferenci´vel em a e verifica-se: a e a D(f ◦ g)(a) = Df (g(a)) ◦ Dg(a).Se f e g forem de classe C 1 ent˜o h ´ de classe C 1 . a eDe um ponto de vista de c´lculo as derivadas parciais da composta s˜o calcul´veis em termos das a a aderivadas parciais das fun¸˜es que definem a composi¸˜o usando o resultado anterior e o facto de ` co ca acomposi¸˜o de aplica¸˜es lineares corresponder o produto de matrizes que as representam. Assim ca co´ importante compreender exemplos cujo prot´tipo mais simples ´ do tipo seguinte:e o eExemplo 2.2.6 Seja f : R2 → R e g = (g1 , g2 ) : R → R2 . Se f e g forem diferenci´veis ent˜o a a d(f ◦ g) ∂f dg1 ∂f dg2 (t) = (g1 (t), g2 (t)) (t) + (g1 (t), g2 (t)) (t). dt ∂x1 dt ∂x1 dt Um outro exemplo do mesmo g´nero ´: e eExemplo 2.2.7 Seja f (x, y) = (x + y, x − y) e g(t1 , t2 , t3 ) = (t1 + 2t2 , t2 + 2t3 ). f e g s˜o adiferenci´veis. A derivada de f ◦ g ´ a e D(f ◦ g)(t1 , t2 , t3 ) =Df (g(t1 , t2 , t3 ))Dg(t1 , t2 , t3 ) = 1 1 1 2 0 1 3 2 = = . 1 −1 0 1 2 1 1 −2 Quando n˜o h´ risco de confus˜o sobre os pontos em que se calculam as diversas derivadas a a aparciais ´ comum abreviar uma f´rmula como a do exemplo 2.2.6 como segue: e o d ∂f dg1 ∂f dg2 (f ◦ g) = + dt ∂x1 dt ∂x2 dtou d ∂f dx1 ∂f dx2 (f ◦ g) = + . dt ∂x1 dt ∂x2 dtH´ risco de confus˜o em situa¸˜es como a seguinte: a a co24 de Janeiro de 2000 16
  • 17. ´ 2.2. CALCULO DIFERENCIAL ELEMENTARExerc´ ıcio 2.2.8 Suponha que f : R2 → R ´ diferenci´vel, f (0, 1) = 0 e f (1, 0) = 0. Seja e ag(x, y) = f (f (x, y), f (y, x)). Calcule ∂g (0, 1) ∂xem termos de derivadas parciais de f em pontos convenientes. Convir-lhe-´ usar a nota¸˜o Di f a capara evitar ambiguidades. ıcio 2.2.9 Calcule a derivada da composi¸˜o h = f ◦ g nos seguintes casos:Exerc´ ca 1. f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 e g(t) = (t, 2t, 3t) 2. f (x, y) = (xy 5 + y ch y 2 , x tg(sh x2 ) + 3y, x − y) e g(t) = (3, 4).Exerc´ıcio 2.2.10 Seja f : U ⊂ Rn → R e g : [a, b] → U diferenci´veis tais que f ´ constante no a econtradom´ınio de g. Mostre que f (g(t)) · g (t) = 0 para todo o t ∈ [a, b]. Interprete este resultadocomo significando que, para fun¸˜es diferenci´veis, o gradiente ´ ortogonal aos conjuntos de n´ co a e ıvelda fun¸˜o. ca O teorema de deriva¸˜o da fun¸˜o composta permite generalizar alguns resultados com facili- ca cadade ` custa de resultados j´ conhecidos para fun¸˜es reais de vari´vel real. Por exemplo o teorema a a co ade Lagrange para fun¸˜es escalares em que se relaciona a diferen¸a entre os valores de uma fun¸˜o co c caem dois pontos e a derivada no segmento de recta4 que os une.Teorema 2.2.4 (do valor m´dio ou de Lagrange) eSejam U ⊂ Rn um aberto e f : U → R uma fun¸˜o diferenci´vel. Se x, y ∈ U e L(x, y) ⊂ U ent˜o ca a aexiste θ ∈ ]0, 1[ tal que f (y) − f (x) = f (x + θ(y − x)) · (y − x).Exerc´ ıcio 2.2.11 Prove o teorema do valor m´dio. Sugest˜o: considere a fun¸˜o de vari´vel real e a ca ag(t) = f (x + t(y − x)) e aplique o teorema do valor m´dio para fun¸˜es a uma vari´vel. e co a2.2.1 Exerc´ ıcios suplementares ıcio 2.2.12 Seja f : R2 → R definida porExerc´ xy 2 f (x, y) = x2 +y 4 , se (x, y) = (0, 0) 0, se (x, y) = (0, 0). a) Determine justificadamente o maior subconjunto do dom´ ınio de f em que esta fun¸˜o ´ ca e cont´ ınua. b) Uma fun¸˜o H : R2 → R2 verifica H(0, 1) = (1, −1) ´ diferenci´vel em (0, 1) sendo a matriz ca e a jacobiana de H nesse ponto dada por 1 −1 JH (0, 1) = . 1 2 Calcule a derivada dirigida D(1,1) (f ◦ H)(0, 1). ıcio 2.2.13 Se f : R2 → R est´ definida por*Exerc´ a x3 −y 3 f (x, y) = x2 +y 2 , se (x, y) = (0, 0) 0, se (x, y) = (0, 0). 4 Dados x, y ∈ Rn define-se o segmento de recta unindo x a y como sendo o conjunto L(x, y) = {z = x+t(y−x) :t ∈ [0, 1]}. 17 24 de Janeiro de 2000
  • 18. CAP´ ´ ITULO 2. COMPLEMENTOS DE CALCULO DIFERENCIAL a) Calcule o valor m´ximo de Dh f (1, 2) quando h ´ um vector unit´rio. a e a b) Calcule a equa¸˜o do plano tangente ao gr´fico de f no ponto (x, y, z) = (1, 2, −7/5). ca a *c) Decida justificadamente se o gr´fico de f constitui ou n˜o uma variedade diferenci´vel. Se a a a optar pela negativa determine o maior subconjunto do gr´fico de f que efectivamente constitui a uma variedade diferenci´vel. Em qualquer caso determine justificadamente a dimens˜o da a a variedade e o espa¸o normal no ponto (1, 2, −7/5). cExerc´ ıcio 2.2.14 Calcule as derivadas parciais de primeira ordem de 1. f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 2. f (x, y) = sen(sen(sen(sen(x + y)))) x+y 2 3. f (x, y) = 0 e−s ds ∂f ıcio 2.2.15 Seja f (x, y) = y sen(x2 + arctg(y − cos(x))) + 2. CalculeExerc´ ∂x (0, 0).Exerc´ ıcio 2.2.16 Moste que as seguintes fun¸˜es s˜o diferenci´veis e calcule as suas derivadas: co a a 1. f (x, y) = (x2 + y, x − y) y x cos(s) 2. f (x, y) = (x 0 ecos(s) ds, y 0 e ds) ıcio 2.2.17 Calcule a derivada de f ◦ g nos seguintes casos:Exerc´ 1. f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 e g(t) = (sen(t), cos(t), 0); 2. f (x, y) = (x + y, x − y) e g(u, v) = (v, u); 2 +y 2 ) 3. f (x, y, z, w) = cos(e(x − z − w) e g(p, q) = (0, 1, 2, 3).2.2.2 Sugest˜es para os exerc´ o ıcios2.2.14 ∂fa) ∂x = 2x, ∂f = 2y e ∂f = 2z. Observe que o vector (2x, 2y, 2z) ´ ortogonal ` fronteira ∂y ∂z e a 2 2 2 das bolas centradas em 0, isto ´ `s esferas de equa¸˜o da forma x + y + z = c. Isto n˜o e a ca a ´ uma coincidˆncia mas sim uma consequˆncia do que foi aflorado no exerc´ e e e ıcio 2.2.10 e que retomaremos! ∂f ∂fb) ∂x = ∂y = cos(sen(sen(sen(x + y)))) cos(sen(sen(x + y))) cos(sen(x + y)) cos(x + y); ∂f ∂f 2c) ∂x = ∂y = e−(x+y) (observe que n˜o ´ necess´rio calcular o integral). a e a2.2.15 Observe que f (x, 0) = 2.2.2.16 Ambas as fun¸˜es s˜o de classe C 1 , pois as derivadas parciais s˜o cont´ co a a ınuas. Portanto: 2x 1 1. Df = . 1 −1 y 0 ecos(s) ds xecos(y) 2. Df = x cos(s) yecos(x) 0 e ds2.2.1724 de Janeiro de 2000 18
  • 19. ` 2.3. DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR A PRIMEIRA 1. Observe que (f ◦ g)(t) = 1 para qualquer t. 2. Pela regra da cadeia temos: 1 1 0 1 1 −1 D(f ◦ g) = Df Dg = = . 1 −1 1 0 1 1 3. Note que Dg = 0 pelo que D(f ◦ g) = 0.2.3 Derivadas parciais de ordem superior ` primeira aVamos considerar com derivadas parciais de ordem superior ` primeira que, no essencial, se definem arecursivamente.Defini¸˜o 2.3.1 Seja f : Rn → R. As derivadas parciais de segunda ordem, com respeito a xi e caxj , 1 ≤ i, j ≤ n, s˜o definidas por a ∂2f ∂ ∂f = , ∂xi ∂xj ∂xi ∂xj ∂2f ∂2fcaso a express˜o da direita esteja definida. Se i = j escreve-se a ∂xi ∂xi = ∂x2 . Procede-se de modo ian´logo para derivadas parciais de ordem superior ` segunda. a aExemplo 2.3.1 Uma nota¸˜o como ca ∂4u ∂x∂y 2 ∂zindica que a fun¸˜o u foi derivada sucessivamente em ordem ` vari´vel z, duas vezes em ordem a ca a ay e finalmente em ordem a x.Exemplo 2.3.2 Seja f (x, y) = x2 + 2y 2 + xy. Temos ∂2f ∂ ∂f ∂ = = (4y + x) = 1. ∂x∂y ∂x ∂y ∂xExemplo 2.3.3 Seja f (x, y, z) = sen(x + y + z) ∂5f ∂4 ∂3 = 2 (cos(x + y + z)) = − 2 (sen(x + y + z)) = ∂x2 ∂y∂z∂y ∂x ∂y∂z ∂x ∂y 2 ∂ ∂ = − 2 (cos(x + y + z)) = (sen(x + y + z)) = cos(x + y + z). ∂x ∂x ∂2fExerc´ıcio 2.3.1 Seja f (x, y) = x2 + 2y 2 + xy. Calcule ∂y∂x ; observe que o resultado ´ o mesmo edo exemplo 2.3.2.O resultado deste ultimo exerc´ ´ ıcio ser o mesmo do exemplo 2.3.2 n˜o ´ uma coincidˆncia mas a e esim a consequˆncia de um facto mais geral — o Teorema de Schwarz. Antes de o enunciarmos eprecisamos de uma defini¸˜o: caDefini¸˜o 2.3.2 Considere uma fun¸˜o f : U ⊂ Rn → R. ca ca • Se U for aberto diz-se que f ´ de classe C k em U , k ∈ N, ou abreviadamente f ∈ C k (U ), se e todas as derivadas parciais de ordem k de f existirem e forem cont´ ınuas em U . 19 24 de Janeiro de 2000
  • 20. CAP´ ´ ITULO 2. COMPLEMENTOS DE CALCULO DIFERENCIAL y y +k y x x +h x Figura 2.2: Conven¸˜es na demonstra¸˜o da Proposi¸˜o 2.2.2 e do Teorema 2.3.1. co ca ca • Se U n˜o for aberto escrevemos f ∈ C k (U ), k ∈ N, se existir V aberto com V ⊃ U e uma a fun¸˜o g ∈ C k (V ) tal que a restri¸˜o de g a U seja igual a f . ca ca • f diz-se de classe C 0 (U ) se for cont´ ınua em U . • Adicionalmente, para U aberto, definimos C ∞ (U ) = ∩k∈N C k (U ) e para um conjunto n˜o a necessariamente aberto procedemos como anteriormente. Na maior parte das aplica¸˜es do c´lculo diferencial a hip´tese de uma fun¸˜o ser de classe C k co a o capara um certo k ´ natural. Certos resultados a citar a seguir ser˜o v´lidos sob hip´teses mais gerais e a a omas abstermo-nos-emos de dar importˆncia especial a tais hip´teses. Por vezes ser˜o remetidas a o apara problemas.Exerc´ıcio 2.3.2 Seja p(x1 , . . . xn ) um polin´mio em n vari´veis. Mostre que sen(p(x1 , . . . xn )) ´ o a euma fun¸˜o C ∞ (Rn ). caProblema 2.3.1 Verifique que se j < k ent˜o C k ⊂ C j . a O pr´ximo teorema ´ um resultado muito importante que permite reduzir o n´mero de c´lculos o e u anecess´rios para determinar as derivadas parciais de ordem superior ´ primeira. Ele diz-nos que, a asob certas condi¸˜es, a ordem pela qual se deriva uma fun¸˜o ´ irrelevante. co ca eTeorema 2.3.1 (Schwarz) ∂2f ∂2fSeja f : U ⊂ Rn → R, a um ponto interior a U , f ∈ C 2 (U ). Ent˜o a ∂xi ∂xj (a) = ∂xj ∂xi (a) para ındices 1 ≤ i, j ≤ n.quaisquer ´Ideia da demonstra¸˜o. Basta considerar n = 2 e convencionamos a = (x, y). Notamos que ca ∂2f [f (x + h, y + k) − f (x + h, y)] − [f (x, y + k) − f (x, y)] (x, y) = lim lim (2.3) ∂x∂y h→0 k→0 hk ∂2f [f (x + h, y + k) − f (x, y + k)] − [f (x + h, y) − f (x, y)] (x, y) = lim lim (2.4) ∂y∂x k→0 h→0 hkDesignemos o numerador das frac¸˜es dos segundos membros de (2.3-2.4) por D(h, k). Aplicando coo teorema de Lagrange ` fun¸˜o g(t) = f (x + t, y + k) − f (x + t, y) no intervalo [0, h] obtemos que a ca24 de Janeiro de 2000 20
  • 21. ` 2.3. DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR A PRIMEIRAexiste θ1 , 0 < θ1 < 1, tal que ∂f ∂f D(h, k) = h (x + θ1 h, y + k) − (x + θ1 h, y) . ∂x ∂xUma segunda aplica¸˜o do teorema de Lagrange permite obter que existe θ2 , 0 < θ2 < 1, tal que ca ∂2f D(h, k) = hk (x + θ1 h, y + θ2 k). ∂y∂xSubstitui¸˜o em (2.3) e justifica¸˜o de que ambos os limites iterados igualam lim(h,k)→(0,0) D(h, k) ca capermitem obter a igualdade pretendida.Problema 2.3.2 O ultimo passo da demonstra¸˜o da Proposi¸˜o 2.3.1 merece alguns coment´ri- ´ ca ca aos. Por um lado θ1 e θ2 s˜o fun¸˜es de h e k. Por outro a rela¸˜o entre um limite e um limite a co caiterado ´, em geral, mais complexa do que o leitor pode imaginar. Seja f : U ⊂ R2 → R e (x0 , y0 ) eum ponto interior de U . Mostre que: a) Pode existir lim(x,y)→(x0 ,y0 ) f (x, y) sem que exista limx→x0 limy→y0 f (x, y). b) Se lim(x,y)→(x0 ,y0 ) f (x, y) e limx→x0 limy→y0 f (x, y) existirem ent˜o s˜o iguais. a a ´ oProblema 2.3.3 E ´bvio da demonstra¸˜o da Proposi¸˜o 2.3.1 que a hip´tese f ∈ C 2 pode ser ca ca oaligeirada. Isto pode ser feito de v´rias formas. Formule e demonstre pelo menos dois resultados adeste tipo com hip´teses “m´ o ınimas” n˜o equivalentes. aExemplo 2.3.4 Seja f = 2xy. f ´ de classe C 2 uma vez que ´ um polin´mio, portanto temos a e e oseguinte igualdade ∂2f ∂2f = =2 ∂x∂y ∂y∂xExemplo 2.3.5 Se f ´ de classe C 3 tˆm-se as seguintes igualdades: e e ∂3f ∂3f ∂3f = = ∂x2 ∂y ∂x∂y∂x ∂y∂x2e ∂3f ∂3f ∂3f 2 ∂x = = . ∂y ∂y∂x∂y ∂x∂y 2Exerc´ıcio 2.3.3 Calcule as derivadas de todas as ordens de f (x, y, z) = 2x3 z+xyz+x+z (observeque s´ h´ um n´mero finito de derivadas n˜o nulas. Porquˆ?). o a u a e O conceito de derivada dirigida de ordem superior ` primeira permite formalizar o enunciado da af´rmula de Taylor de uma forma an´loga ao resultado j´ conhecido para fun¸˜es reais de vari´vel o a a co areal.Defini¸˜o 2.3.3 Seja f : U ⊂ Rn → R. As derivadas dirigidas de ordem superior ` primeira de ca a (1)f num ponto x ∈ U segundo h definem-se recursivamente, se existirem, por Dh f (x) = Dh f (x)e (j) (j−1) Dh f (x) = Dh (Dh f (x)), se j > 1. Relembra-se que para fun¸˜es diferenci´veis, e em particular de classe C 1 , temos Dh f (x) = co ah · f (x). 21 24 de Janeiro de 2000
  • 22. CAP´ ´ ITULO 2. COMPLEMENTOS DE CALCULO DIFERENCIALProblema 2.3.4 Verifique que para fun¸˜es de classe C j num aberto o c´lculo da derivada diri- co a (j) jgida Dh f corresponde a aplicar ` fun¸˜o f o operador diferencial (h · ) e consequentemente a ca (j)Dh f ´ um polin´mio homog´neo5 de grau j nas componentes do vector h. Se h = (h1 , h2 ) e o everifique que para n = 2 e j = 2 temos (2) ∂2f ∂2f 2 2∂ f Dh f = h2 1 2 + 2h1 h2 ∂x ∂x + h2 ∂x2 . ∂x1 1 2 2Em geral obtenha n n (j) ∂j f Dh f = ··· hi1 . . . h ij . i1 =1 ij =1 ∂xi1 . . . ∂xij Note que existem termos “repetidos” na f´rmula anterior. Calcular o n´mero de repeti¸˜es ´ o u co eum problema de c´lculo combinat´rio cuja solu¸˜o no caso n = 2 ´ bem conhecida. a o ca e2.3.1 Exerc´ ıcios suplementares ıcio 2.3.4 Seja f : R2 → R definida por:Exerc´ xy, se |y| > |x|, f (x, y) = 0, caso contr´rio. aMostre que: ∂2f ∂2f (0, 0) = 0 (0, 0) = 1. ∂x∂y ∂y∂xExplique porque ´ que isto n˜o contradiz o teorema 2.3.1. e a ıcio 2.3.5 Seja f : R2 → R uma fun¸˜o limitada (n˜o necessariamente cont´Exerc´ ca a ınua). Mostreque g(x, y) = x + y + (x2 + y 2 )f (x, y)´ diferenci´vel na origem. Calcule a sua derivada. Dˆ um exemplo de uma fun¸˜o f tal que g n˜oe a e ca aseja cont´ ınua no complementar da origem.Exerc´ıcio 2.3.6 Suponha f : Rn → Rn , f bijectiva, diferenci´vel e f −1 tamb´m diferenci´vel. a e a −1Mostre que Df −1 (f (x)) = [Df (x)] . Use esta observa¸˜o para, por exemplo, rededuzir a f´rmula ca oda derivada de arcsen.2.3.2 Sugest˜es para os exerc´ o ıcios2.3.4 O teorema 2.3.1 s´ se aplicaria se a fun¸˜o f fosse de classe C 2 . o ca2.3.5 Use a defini¸˜o de derivada para mostrar que g ´ diferenci´vel com derivada representada ca e apor g(0, 0) = (1, 1). Para a segunda parte um exemplo poss´ ´ ıvel e 1, se x ∈ Q, f (x, y) = 0, caso contr´rio. a2.3.6 Observe que f (f −1 (x)) = x. Diferencie esta express˜o. a d dy (arcsen y) =√ 1 . 1−y 2 5 Um polin´mio P de grau k diz-se homog´neo se P (λx) = λk P (x) para todo o λ ∈ R. o e24 de Janeiro de 2000 22
  • 23. ´ 2.4. POLINOMIO DE TAYLOR2.4 Polin´mio de Taylor oTal como no caso de fun¸˜es reais de vari´vel real podemos construir aproxima¸˜es polinomiais de co a cofun¸˜es de classe C k . coTeorema 2.4.1 (Taylor)Seja f : U ⊂ Rn → R uma fun¸˜o de classe C k (U ) com U um aberto e x0 ∈ U . Para cada j ≤ k caexiste um polin´mio em n vari´veis de grau j, unico, Pj : Rn → R tal que o a ´ f (x) − Pj (x) lim j = 0. (2.5) x→x0 |x − x0 |O polin´mio Pj ´ designado por polin´mio de Taylor de ordem j de f relativo ao ponto x0 e ´ o e o edado por j 1 (l) Pj (x) = f (x0 ) + D f (x0 ). (2.6) l! x−x0 l=1O erro Ej (x) da f´rmula de Taylor ´ dado por o e Ej (x) = f (x) − Pj (x).Ideia da demonstra¸˜o. Decorre do resultado j´ conhecido para n = 1 e do teorema de deriva¸˜o ca a cada fun¸˜o composta por considera¸˜o da fun¸˜o auxiliar g : [0, 1] → R definida por g(t) = f (t(x − ca ca cax0 ) + x0 ) em que x ∈ Br (x0 ) ⊂ U .Problema 2.4.1 Use o problema 2.3.4 para obter a f´rmula de Taylor na forma: o k 1 ∂pf f (x) = i i (x0 ) (x1 − x01 )i1 . . . (xn − x0n )in + Ek (x − x0 ). (2.7) p=0 i1 +...+in =p p! ∂y11 . . . ∂ynn O leitor ´ aconselhado a pensar no polin´mio de Taylor via a propriedade (2.5) e n˜o simples- e o amente como um polin´mio calcul´vel via (2.6) ou (2.7). o aProblema 2.4.2 Formule o Teorema de Taylor explicitando o resto da f´rmula de Taylor numa oforma an´loga a uma das conhecidas para fun¸˜es reais de vari´vel real. a co a Poder´ pensar-se que o c´lculo do polin´mio de Taylor para fun¸˜es de v´rias vari´veis e a a o co a apara uma ordem relativamente elevada ´ um pesadelo computacional. Nem sempre ser´ assim se e atirarmos partido, quando poss´ ıvel, de resultados j´ conhecidos para fun¸˜es de uma vari´vel. a co a Frequentemente em vez de escrevermos o termo de erro Ek (x − y), escrevemos o( x − y k ),com o mesmo significado.Exemplo 2.4.1 Se f (x, y) = xy + sen x, a f´rmula de Taylor de segunda ordem em torno de o(π, 0) ´: e ∂f ∂f 1 ∂2f f (x, y) =f (π, 0) + (x − π) + y++ (x − π)2 ∂x (π,0) ∂y (π,0) 2 ∂x2 (π,0) ∂2f 1 ∂2f + (x − π)y + y 2 + o( (x − π, y) 2 ), ∂x∂y (π,0) 2 ∂y 2 (π,0)ou seja f (x, y) = π − x + xy + o( (x − π, y) 2 ). 23 24 de Janeiro de 2000
  • 24. CAP´ ´ ITULO 2. COMPLEMENTOS DE CALCULO DIFERENCIALExemplo 2.4.2 Se f (x, y) = x2 + 2xy + y 2 ent˜o a sua expans˜o em f´rmula de Taylor at´ ` a a o e asegunda ordem, em torno de qualquer ponto, ´ x2 +2xy+y 2 . Com efeito, f (x, y)−x2 +2xy+y 2 = 0 epelo que (2.8) vale. Repare que isto evitou termos de calcular 5 derivadas!Exerc´ ıcio 2.4.1 Calcule a f´rmula de Taylor at´ ` terceira ordem das seguintes fun¸˜es: o ea co 1. f (x, y, z) = x + y 2 + z; 2. f (x, y, z) = 1 + x + y + z + xy + xz + yz + xyz; 3. f (x, y) = ex + xyz.Exerc´ıcio 2.4.2 Mostre que a f´rmula de Taylor de ordem k para um polin´mio de grau k coincide o ocom o polin´mio. oExerc´ıcio 2.4.3 Demonstre a parte correspondente a unicidade do teorema de Taylor. [Suponhaque existe um polin´mio p(x) para o qual (2.8) vale. Mostre que se existisse outro polin´mio o oq(x) = p(x), de grau menor ou igual ao grau de p obter´ ıamos uma contradi¸˜o.] ca Em certos casos podemos utilizar o conhecimento da expans˜o em potˆncias de uma fun¸˜o a e careal de vari´vel real para calcularmos a expans˜o em potˆncias de express˜es mais complicadas: a a e oExemplo 2.4.3 Queremos calcular a expans˜o de Taylor da fun¸˜o sen(x2 + y 4 ) at´ ` ordem 6 a ca eaem torno da origem. Sabemos que t3 sen t = t − + o(|t|3 ). 6Deste modo temos (x2 + y 4 )3 sen(x2 + y 4 ) = x2 + y 4 − + o((x2 + y 4 )3 ) 6pelo que x6 sen(x2 + y 4 ) = x2 + y 4 − + o( (x, y) 6 ), 6em que na ultima igualdade tivemos em aten¸˜o que (x2 + y 4 )3 = x6 + 3x4 y 4 + 3x2 y 8 + y 12 = ´ cax6 + o( (x, y) 6 ) e x2 + y 4 ≤ x2 + y 2 para (x, y) suficientemente pequeno.Exemplo 2.4.4 Seja g(x, y) = sen(x2 − y 2 ).e suponhamos que pretendemos obter o polin´mio de Taylor de s´tima ordem de g relativo a (0, 0). o e Sabemos que o seno ´ uma fun¸˜o inteira cuja s´rie de Taylor relativa a 0 (s´rie de Mac e ca e eLaurin) ´ e λ3 λ5 k+1 λ 2k−1 sen λ = λ − + − · · · + (−1) + ... 3! 5! (2k − 1)!Tal permite-nos ter um palpite `cerca do polin´mio de Taylor pretendido simplesmente por substi- a otui¸˜o formal de λ por x2 − y 2 na igualdade anterior e s´ considerando os termos de grau menor ca oou igual a sete. Obtem-se um polin´mio o 3 (x2 − y 2 ) Q(x, y) = (x2 − y 2 ) − 3!Resta provar que efectivamente se trata do polin´mio de Taylor pretendido. Para tal usa-se a ocaracteriza¸˜o (2.5) do polin´mio de Taylor. De facto ca o λ3 sen λ − λ + 3! lim =0 λ→0 λ424 de Janeiro de 2000 24
  • 25. ´ 2.4. POLINOMIO DE TAYLORdonde resulta g(x, y) − Q(x, y) lim 4 =0 (x,y)→(0,0) (x2 − y 2 )e usando |x2 − y 2 | ≤ x2 + y 2 obt´m-se e g(x, y) − Q(x, y) lim 4 = 0. (x,y)→(0,0) (x2 + y 2 )Assim Q ´ de facto o polin´mio de Taylor pretendido e inclusivamente ´ idˆntico ao polin´mio e o e e ode Taylor de oitava ordem. Note que obtivemos, por exemplo, que todas as derivadas parciais deordens 1, 3, 4, 5, 7 e 8 de g em (0, 0) s˜o nulas. a 2 2Exerc´ıcio 2.4.4 Desenvolva em f´rmula de Taylor f (x, y) = ex +y at´ ` terceira ordem. Tente o ean˜o calcular as derivadas directamente mas sim usar o facto de que o polin´mio de Taylor de a oordem k ´ o unico polin´mio de grau ≤ k tal que e ´ o |f (x) − p(x)| lim = 0. (2.8) x−y →0 x−y k ıcio 2.4.5 Calcule a expans˜o em potˆncias de x − 1 e y − 2 deExerc´ a e sen(x + y − 3)at´ ` quarta ordem. ea2.4.1 Exerc´ ıcios suplementaresExerc´ıcio 2.4.6 Calcule a expans˜o de Taylor em torno do ponto (1, 1, 1), at´ ` quinta ordem de a eaxy + xyz + x2 + y 2 + xyz. x ıcio 2.4.7 Seja f uma fun¸˜o C ∞ . DesenvolvaExerc´ ca 0 f (s)ds em s´rie de Taylor em torno de e0. 2 +sen((y−1)2 )Exerc´ıcio 2.4.8 Calcule a expans˜o em s´rie de Taylor da fun¸˜o ex a e ca at´ ` quarta e aordem em torno de x = 0 e y = 1.Exerc´ ıcio 2.4.9 Calcule a expans˜o em s´rie de Taylor de a e sen x1000 + y 1000 + z 1000at´ ` ordem 999 em torno da origem. ea ıcio 2.4.10 Suponha que f : R → R e v : R2 → R s˜o de classe C ∞ e satisfazemExerc´ a 2 ∂v ∂t= ∂xv ∂ 2 v(x, 0) = f (x).Desenvolva v em s´rie de Taylor em torno da origem. e 25 24 de Janeiro de 2000
  • 26. CAP´ ´ ITULO 2. COMPLEMENTOS DE CALCULO DIFERENCIAL2.4.2 Sugest˜es para os exerc´ o ıcios2.4.6 Neste caso a f´rmula de Taylor coincide com o pr´prio polin´mio xy + xyz + x2 + y 2 + xyz o o o(veja o teorema 2.4.1). x 2 n2.4.7 0 f (s)ds = f (0)x + f (0) x + . . . + f (n−1) (0) x + . . .. 2 n! 6 t22.4.8 Note que sen((y − 1)2 ) = (y − 1)2 + (y−1) + o(|y − 1|6 ) e que et = 1 + t + 6 2 + o(t3 ) pelo 2 2 2que ex +sen((y−1) ) = 1 + x2 + (y − 1)2 + x2 + (y − 1)2 + o( (x, y − 1) 4 ).2.4.9 Repare que sen(t) = t + o(t2 ) para t numa vizinhan¸a da origem. c ∂v ∂2f ∂2v ∂3f2.4.10 Note que, utilizando a equa¸˜o, se tem ca ∂t (0, 0) = ∂x2 (0), ∂t∂x (0, 0) = ∂x3 (0). Use om´todo de indu¸˜o. e ca24 de Janeiro de 2000 26
  • 27. Cap´ ıtulo 3ExtremosProblemas envolvendo maximiza¸˜o ou minimiza¸˜o de fun¸˜es envolvendo diversos parˆmetros ca ca co aest˜o entre os mais importantes em Matem´tica. Aparecem frequentemente em f´ a a ısica (por exemploa mecˆnica lagrangeana), engenharia (maximizar a resistˆncia de um mecanismo ou eficiˆncia a e ede um motor) ou economia (minimizar custos de produ¸ao ou optimizar investimentos). Neste c˜cap´ıtulo vamos estudar m´todos para determinar m´ximos e m´ e a ınimos de fun¸˜es definidas em cosubconjuntos de Rn com valores em R. O leitor j´ deve conhecer que, para fun¸˜es reais de vari´vel real, os candidatos a pontos de a co aextremo de entre os pontos interiores onde a fun¸˜o ´ diferenci´vel s˜o exactamente aqueles onde a ca e a aderivada se anula, chamados pontos de estacionaridade. A generaliza¸˜o deste facto para fun¸˜es ca code mais de uma vari´vel, a discutir mais ` frente, s˜o os pontos onde o gradiente da fun¸˜o se a a a caanula. Tal condi¸˜o estabelece o chamado sistema de estacionaridade cujas solu¸˜es ser˜o ainda ca co aconhecidas por pontos de estacionaridade. O teorema de Taylor ser´ utilizado para a classifica¸˜o de pontos de estacionaridade de uma a cafun¸˜o de classe C 2 quanto a serem pontos de m´ ca ınimo, m´ximo ou pontos de sela. Quanto a aeste ultimo ponto ´ de notar que, num caso concreto, os crit´rios baseados na f´rmula de Taylor ´ e e opoder˜o ser insuficientes por diversas raz˜es e tal ´ abundantemente exemplificado nos exerc´ a o e ıcios1 • Uma fun¸˜o pode ter um extremo num ponto onde n˜o est˜o definidas algumas das derivadas ca a a parciais de primeira ordem. • Uma fun¸˜o pode ter um extremo num ponto fronteiro do seu dom´ ca ınio. • Uma fun¸˜o pode ter um extremo num ponto de estacionaridade n˜o sendo de classe C 2 ca a numa qualquer vizinhan¸a desse ponto. c • Os crit´rios baseados na f´rmula de Taylor podem ser inconclusivos. e o Adicionalmente tais m´todos pressup˜em que o sistema de estacionaridade da fun¸˜o ´ expli- e o ca ecitamente resol´vel o que, dado a sua n˜o linearidade, ´ algo que em geral n˜o se verificar´. u a e a a Em tais casos uma sistematiza¸˜o de todos os poss´ ca ıveis m´todos de ataque ao problema de edetermina¸˜o dos pontos de extremo local de uma fun¸˜o ´ imposs´ ca ca e ıvel. Cremos no entanto que osracioc´ınios mais interessantes est˜o bem exemplificados a seguir. a e o ´ Alguns dos m´todos a utilizar pressup˜em alguns conhecimentos de Algebra Linear. Comoreferˆncia sugere-se [4]. e 1 Exemplos t´ ınio da fun¸˜o o intervalo [−1, 1]: x → |x|, ıpicos para fun¸˜es reais de vari´vel real com o dom´ co a ca 2 e−1/x se x = 0,x → x, x → |x|3/2 , x → 0 caso contr´rio. a 27
  • 28. CAP´ ITULO 3. EXTREMOS 0.2 0.3 0.2 0.1 0.1 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 -2 -1 1 2 -0.1 -0.1 -0.2 −x2 +x4 x3 Figura 3.1: Os gr´ficos de f (x) = a 4 − 6 e g(x) = x4 − x2 .3.1 ExtremosProvavelmente o leitor ter´ uma ideia intuitiva do que ´ um ponto de extremo de uma fun¸˜o, ou a e caseja, um ponto de m´ximo ou de m´ a ınimo. Come¸aremos portanto por formalizar estas ideias do cponto de vista matem´tico. A primeira defini¸˜o ´ a de m´ximo e m´ a ca e a ınimo local de uma fun¸˜o careal.Defini¸˜o 3.1.1 Seja f : A → R, com A ⊂ Rn . Um ponto x0 ∈ A ´ um ponto de m´ximo (resp. ca e am´ınimo) local e f (x0 ) m´ximo (resp. m´ a ınimo) local de f se existir uma vizinhan¸a2 V de x0 tal cque , ∀x ∈ V ∩ A, f (x) ≤ f (x0 ), (resp. f (x) ≥ f (x0 )).Note que, de acordo com a defini¸˜o anterior, uma fun¸˜o pode ter v´rios extremos locais cada ca ca aum deles ocorrendo em v´rios pontos de extremo local. aExemplo 3.1.1 Seja f a fun¸˜o definida em R, constante igual a 1. Ent˜o qualquer n´mero real ca a u´ um ponto de m´ximo (e tamb´m m´e a e ınimo) de f .O ultimo exemplo ilustra a necessidade de distinguir estes casos degenerados de outros mais inte- ´ressantes. Assim temos a seguinte defini¸˜o. caDefini¸˜o 3.1.2 O m´ximo (resp. m´ ca a ınimo) ´ estrito se a igualdade na defini¸˜o anterior s´ se e ca o a ınimo) ´ global (ou absoluto) se, ∀x ∈ Averificar para x = x0 . O m´ximo (resp. m´ e f (x) ≤ f (x0 ), (resp. f (x) ≥ f (x0 )). 2 4 3Exemplo 3.1.2 A fun¸˜o f (x) = −x 4+x − x tem um m´ximo local em x = 0, um m´ ca 6 a ınimo local 1em x = − 2 e um m´ ınimo absoluto em x = 1, como se pode observar na figura 3.1. A fun¸˜ocag(x) = x4 − x2 tem um m´ ınimo absoluto para x = 1. No entanto, este m´ınimo n˜o ´ unico pois a e´x = −1 ´ outro ponto de m´ e ınimo absoluto tendo-se g(1) = g(−1). Veja a figura 3.1.Exemplo 3.1.3 Provemos que a fun¸˜o f (x) = x2 tem um m´ ca ınimo absoluto estrito na origem.Tal decorre de f (0) = 0 < x2 = f (x) para x = 0.Exerc´ıcio 3.1.1 Seja f : A → R, com A = {a}, o conjunto s´ com um ponto. Justifique que ox = a ´ ponto de m´ e ınimo e ponto de m´ximo estrito simultaneamente. a Nem sempre dada uma fun¸˜o podemos garantir a existˆncia de m´ximos ou m´ ca e a ınimos, comose pode ver pelos exemplos seguintes: 2 Por exemplo, uma bola de raio centrada em x0 .24 de Janeiro de 2000 28
  • 29. 3.1. EXTREMOS 7.5 5 2.5 -15 -10 -5 5 10 15 -2.5 -5 -7.5 x Figura 3.2: O gr´fico de f (x) = a 2 + sen xExemplo 3.1.4 Seja f : ]0, 1[ → R definida por f (x) = x. Note que f n˜o tem m´ a ınimo nemm´ximo pois n˜o fazem parte do dom´ a a ınio os pontos 0 e 1 onde a fun¸˜o definida pela mesma caf´rmula mas cujo dom´ o ınio fosse o intervalo fechado [0, 1] atinge os seus valores extremos.Exemplo 3.1.5 Seja f : R → R definida por f (x) = x + sen x. Embora f tenha m´ximos e 2 am´ ınimos locais (ver figura 3.2) f n˜o tem nenhum m´ximo ou m´ a a ınimo global pois limx→+∞ f (x) =+∞ e limx→−∞ f (x) = −∞.Exemplo 3.1.6 Seja f (x) = x2 se x ∈ R {0}, f (0) = 1. Esta fun¸˜o n˜o tem nenhum m´ ca a ınimopois f nunca se anula embora f tome valores positivos arbitrariamente pequenos.Exerc´ ıcio 3.1.2 Seja f a fun¸˜o do exemplo 3.1.6. Mostre que f (0) ´ um m´ximo local mas n˜o ca e a aglobal. Antes de prosseguirmos conv´m sumarizar informalmente o que aprendemos nos 3 ultimos e ´exemplos. A fun¸˜o do exemplo 3.1.4 n˜o tem m´ximo nem m´ ca a a ınimo porque retir´mos os extremos aa um intervalo limitado e fechado fazendo com que os valores extremos da fun¸˜o n˜o sejam ca aatingidos nesses pontos. No exemplo seguinte n˜o encontramos extremos absolutos pois a fun¸˜o a ca´ ilimitada o que ´ poss´ gra¸as para uma fun¸˜o cont´e e ıvel c ca ınua se o dom´ınio n˜o ´ compacto (neste a ecaso n˜o ´ limitado). Finalmente no ultimo destes exemplos a fun¸˜o n˜o tem m´ a e ´ ca a ınimo porqueocorre uma descontinuidade no ponto onde o m´ ınimo deveria ocorrer. Estes exemplos sugerem que, para garantir a existˆncia de extremos, seja usual tentar lidar com efun¸˜es cont´ co ınuas definidas em conjuntos limitados e fechados (compactos). O pr´ximo teorema omostra que estas condi¸˜es s˜o efectivamente suficientes para garantir a existˆncia de extremos: co a eTeorema 3.1.1 (Weierstrass)Seja f : A ⊂ Rn → R cont´ ınua com A compacto. Ent˜o f tem m´ximo e m´ a a ınimo (globais) em A.Ideia da demonstra¸˜o.Veja o exerc´ 2.1.16. ca ıcioFicamos assim com um crit´rio abstracto para garantir a existˆncia de m´ximos e m´ e e a ınimos, inde-pendentemente da aparˆncia mais ou menos complicada da defini¸˜o da fun¸˜o: e ca ca sen(x+log(x+1))Exemplo 3.1.7 A fun¸˜o f : [0, 1] → R dada por f (x) = e 1+100x2 ca ´ cont´ e ınua e [0, 1].Portanto tem pelo menos um ponto de m´ximo e um ponto de m´ a ınimo globais em [0, 1].Exemplo 3.1.8 Consideremos o subconjunto K ⊂ R2 definido pela condi¸˜o |x| + |y| ≤ 1. Seja caf a fun¸˜o a´ definida por f (x, y) = x2 + y 2 . Como K ´ compacto (porque ´ limitado e fechado), ca ı e ef tem de ter m´ximo e m´ a ınimo. Reparando que f ´ o quadrado da distˆncia ` origem conclu´ e a a ımosque ocorre um m´ ınimo (global) na origem. Os pontos de m´ximo ser˜o os pontos do conjunto mais a aafastados da origem, que neste caso s˜o (±1, 0) e (0, ±1). a 29 24 de Janeiro de 2000
  • 30. CAP´ ITULO 3. EXTREMOS z = f (x , y) y0 y x0 xFigura 3.3: Fixar todas as vari´veis excepto uma define uma fun¸˜o de uma vari´vel. Se f tiver um a ca am´ximo local em (x0 , y0 ) e fixarmos a segunda vari´vel em y0 ent˜o tal fun¸˜o tem um m´ximo em x0 . a a a ca aExerc´ıcio 3.1.3 Diga em quais dos seguintes subconjuntos de R2 pode garantir a existˆncia de em´ınimos para qualquer fun¸˜o cont´ ca ınua f . No caso de a resposta ser negativa apresente umexemplo. 1. m´x{|x|, |y|} = 1 a 2. m´x{|x|, |y|} ≤ 1 a 3. m´x{|x|, |y|} ≥ 1 a 4. m´x{|x|, |y|} > 1 a 5. m´x{|x|, |y|} < 1 aExerc´ ıcio 3.1.4 Mostre que a fun¸˜o f (x) = x4 tem m´ ca ınimo e n˜o tem m´ximo no intervalo a a] − 1, 1[. Porque ´ que isto n˜o contradiz o teorema de Weierstrass? e a Em casos simples ´ poss´ seleccionar os candidatos a extremos utilizando racioc´ e ıvel ınios ad hoc.No exemplo 3.1.8, a fun¸˜o em quest˜o ´ a distˆncia ` origem e por isso tem um m´ ca a e a a ınimo em 0. Noentanto, conv´m ter um crit´rio, de aplica¸˜o f´cil, que permita reduzir o n´mero de candidatos a e e ca a upontos de m´ximo ou m´ a ınimo a serem analisados. O resultado do pr´ximo teorema permite fazer oisto, da´ a sua importˆncia. ı aDefini¸˜o 3.1.3 Seja f : A ⊂ Rn → R uma fun¸˜o diferenci´vel num ponto a ∈ int A. Diz-se ca ca aque a ´ um ponto de estacionaridade (ou ponto cr´ e ıtico) de f se f (a) = 0.Teorema 3.1.2Seja f : A ⊂ Rn → R uma fun¸˜o diferenci´vel num ponto x ∈ int A. Se x ´ ponto de extremo de ca a ef ent˜o ´ ponto de estacionaridade, ou seja f (x) = 0. a eIdeia da demonstra¸˜o. Seja (x1 , . . . , xn ) um ponto de extremo duma fun¸˜o f e considere ca ca gi (t) = f (x1 , . . . , t, . . . , xn ).gi tem um extremo em t = xi . Aplique o resultado conhecido em dimens˜o 1 a gi no ponto xi . a24 de Janeiro de 2000 30
  • 31. 3.1. EXTREMOSExemplo 3.1.9 Suponhamos que pretendemos encontrar os extremos da fun¸˜o f (x, y) = x2 + y 2 cano conjunto x2 + y 2 < 1. Como o conjunto ´ aberto todos os pontos de extremo de f (se existirem) eser˜o interiores, pelo que nestes pontos o gradiente de f ser´ nulo, isto ´ a a e ∂f ∂f f= , = (0, 0). ∂x ∂yDeste modo, resolvendo a equa¸˜o ca f = (2x, 2y) = (0, 0),podemos determinar todos os poss´ ıveis extremos de f . Conclu´ ımos portanto, que o unico ponto em ´que pode ocorrer um extremo ´ (x, y) = (0, 0). Como f (0, 0) = 0 e a fun¸˜o ´ sempre positiva em e ca etodos os outros pontos este ser´ necessariamente um m´ a ınimo (absoluto) de f .O teorema anterior e o teorema de Weierstrass implicam um crit´rio de detec¸˜o de pontos de e caextremo que sumarizamos no seguinte corol´rio: aCorol´rio 3.1.3 aSeja f : A → R, A compacto (limitado e fechado) e f cont´ınua. Ent˜o f tem pelo menos um aponto de m´ximo e um ponto de m´ a ınimo global. Para al´m disso, os unicos pontos que podem ser e ´extremos de f s˜o a 1. pontos na fronteira de A; 2. pontos onde f = 0; 3. pontos onde f n˜o ´ diferenci´vel. a e aExerc´ ıcio 3.1.5 Determine (se existirem) os m´ximos e m´ a ınimos das seguintes fun¸˜es: co 1. f (x, y) = x4 + y 4 em |x| + y 2 < 1. 2. f (x, y) = x2 − y 2 no conjunto x2 + y 2 < 1. 3. f (x, y) = xy em |x| + |y| < 1. 4. f (x, y) = x2 + y 2 em x2 + y 2 < 1. Por´m nem todos os pontos cr´ e ıticos de uma fun¸˜o s˜o m´ximos ou m´ ca a a ınimos. Isto motiva aseguinte defini¸˜o: caDefini¸˜o 3.1.4 Diz-se que um ponto de estacionaridade a ´ um ponto de sela de uma fun¸˜o ca e caf se qualquer que seja a vizinhan¸a de a existirem pontos nessa vizinhan¸a onde a fun¸˜o toma c c cavalores inferiores e superiores a f (a).Exemplo 3.1.10 Seja f (x) = x3 ent˜o 0 ´ um ponto de sela de f pois embora seja um ponto a e ıtico de f (f (x) = 3x2 anula-se na origem) n˜o se trata de um ponto de m´ximo ou m´cr´ a a ınimo(porque f (x) < f (0) para x < 0 e f (x) > f (0) para x > 0). ıcio 3.1.6 Verifique que (0, 0) ´ um ponto de sela3 de x2 − y 2 .Exerc´ e No exemplo 3.1.9 e no exerc´ıcio 3.1.5 os conjuntos onde as fun¸˜es estavam definidas eram coabertos. Consequentemente todos os pontos de extremo eram pontos de estacionaridade. N˜o ´ a eeste o caso do pr´ximo exemplo, onde nos temos de preocupar com a possibilidade de haver m´xi- o amos ou m´ ınimos que, por estarem na fronteira do dom´ınio, n˜o sejam pontos de estacionaridade. a 3 A express˜o ponto de sela ´ motivada pelos gr´ficos de fun¸˜oes em exemplos como este. Claro que acabamos a e a capor usar a express˜o em situa¸˜es mais gerais. a co 31 24 de Janeiro de 2000
  • 32. CAP´ ITULO 3. EXTREMOSExemplo 3.1.11 Suponhamos que queremos determinar os extremos da fun¸˜o ca f (x, y) = xy(1 − x2 − y 2 )no quadrado [−1, 1] × [−1, 1]. O gradiente de f ´ dado por e f = (y(1 − x2 − y 2 ) − 2x2 y, x(1 − x2 − y 2 ) − 2xy 2 ).Os pontos de estacionaridade estar˜o entre as solu¸˜es de a co y − 3x2 y − y 3 = 0 (3.1) x − 3xy 2 − x3 = 0no interior do quadrado, isto ´, verificando simultaneamente −1 < x < 1 e −1 < y < 1. O sistema e(3.1) admite como solu¸˜es: co 1. (x, y) = (0, 0); 2. x = 0, y = 0 e portanto 1 − y 2 = 0, ou seja (x, y) = (0, ±1); 3. x = 0, y = 0 e portanto 1 − x2 = 0, ou seja (x, y) = (±1, 0); 4. pontos que verifiquem x = 0, y = 0 e 3x2 + y 2 = 1 (3.2) x2 + 3y 2 = 1. O sistema 3.2 n˜o ´ linear em (x, y) mas ´ linear em (x2 , y 2 ) e tem como solu¸˜o a e e ca 1 1 x2 = y2 = . 4 4Deste modo (1/2, 1/2), (−1/2, 1/2), (1/2, −1/2) e (−1/2, −1/2) satisfazem o sistema de estacio-naridade. De entre as solu¸˜es de (3.1) as que s˜o pontos interiores do dom´ co a ınio fornecem a lista de poss´ ı-veis candidatos a extremos locais em pontos interiores: (0, 0), (1/2, 1/2), (−1/2, 1/2), (1/2, −1/2)e (−1/2, −1/2). Avaliando a fun¸˜o f nestes pontos obtemos f (0, 0) = f (±1, 0) = f (0, ±1) = 0, caf (±1/2, ±1/2) = 1/8 e f (±1/2, 1/2) = −1/8. Para avaliar o que se passa sobre a fronteira do dom´ ınio consideramos f (−1, y) = y 3 paray ∈ [−1, 1], f (1, y) = −y para y ∈ [−1, 1], f (x, 1) = −x para x ∈ [−1, 1], f (x, −1) = x3 para 3 3x ∈ [−1, 1]. Todas estas fun¸˜es de uma vari´vel real s˜o estritamente mon´tonas de maneira co a a oque basta considerar os valores da fun¸˜o nos v´rtices do quadrado: f (1, 1) = f (−1, −1) = −1 e ca ef (−1, 1) = f (1, −1) = 1. Portanto (1, 1) e (−1, −1) s˜o pontos de m´ a ınimo global e (1, −1) e (−1, 1) s˜o pontos de m´ximo a aglobal. Temos agora de estudar o que acontece nos outros pontos pois podem ser m´ximos ou m´ a ınimoslocais ou apenas pontos de sela. Quanto ao ponto (0, 0) ´ f´cil de verificar que xy assume valores e apositivos e negativos numa vizinhan¸a da origem. Por outro lado se (x, y) estiver suficientemente cpr´ximo de (0, 0) a fun¸˜o 1 − x2 − y 2 ´ positiva. Portanto f numa vizinhan¸a da origem assume o ca e cvalores positivos e negativos. Logo (0, 0) ´ um ponto de sela. e Quanto ao ponto (1/2, 1/2) classificamo-lo usando um racioc´ ınio ad hoc baseado na utiliza¸˜o cado teorema de Weierstrass. Note-se que (1/2, 1/2) ´ um ponto interior do conjunto compacto eA = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0}, que f vale 0 sobre ∂A e f > 0 no interior de A.O teorema de Weierstrass garante que f ter´ um m´ximo em A (global relativamente a A) que a aocorrer´ necessariamente num ponto interior. Tal ponto ´ ent˜o um ponto de estacionaridade. O a e a24 de Janeiro de 2000 32
  • 33. 3.1. EXTREMOS y 1 A 1/2 x -1 1/2 1 0.2 1 0 0.5 -0.2 -1 0 -0.5 0 -0.5 -1 0.5 -1 1Figura 3.4: Estudo de f (x, y) = xy(1 − x2 − y 2 ) quanto a existˆncia de pontos de extremo em [−1, 1] × e[−1, 1]. Tente identificar as propriedades deduzidas para a fun¸˜o com o que ´ evidenciado no gr´fico ca e agerado numericamente ` direita. aunico ponto de estacionaridade em int A ´ (1/2, 1/2) logo este ponto ´ um ponto de m´ximo local de´ e e af (relativamente ao quadrado [−1, 1] × [−1, 1]). Este racioc´ ınio vale para (1/2, −1/2), (−1/2, 1/2)e (−1/2, −1/2) chegando-se de maneira an´loga ` conclus˜o que (1/2, −1/2), (−1/2, 1/2) s˜o a a a apontos de m´ınimo local e (−1/2, −1/2) um ponto de m´ximo local (ou use o facto de a fun¸˜o ser a ca´ımpar em cada uma das vari´veis). aExerc´ ınimo local da fun¸˜o (x, y) → ıcio 3.1.7 Determine, se existirem, os pontos de m´ximo e m´ a caxy no quadrado m´x{|x|, |y|} ≤ 1. a Para terminar esta sec¸˜o vamos apresentar um exemplo em que usamos propriedades de casimetria e uma mudan¸a de vari´vel para determinar extremos c aExemplo 3.1.12 Seja f (x, y, z, w) = x2 + y 2 − z 2 − w2 + (x2 + y 2 )2 . Definindo r1 = x2 + y 2 e 2 2 2 2 2 2 4r2 = z + w temos f (x, y, z, w) = r1 − r2 + r1 . Portanto, determinando os m´ximos e m´ a ınimos 2 2 4de g(r1 , r2 ) = r1 − r2 + r1 , podemos recuperar os m´ximos e m´ a ınimos de f . 2 2 4Exerc´ ıcio 3.1.8 Determine os extremos de g(r1 , r2 ) = r1 − r2 + r1 . Utilize este resultado paracalcular os extremos de f (x, y, z, w) = x2 + y 2 − z 2 − w2 + (x2 + y 2 )2 .3.1.1 Exerc´ ıcios suplementaresExerc´ ıcio 3.1.9 Determine os pontos de extremo de: 1. f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 com |x| + |y| + |z| ≤ 1. 2. f (x, y) = x + y com x2 + y 2 ≤ 1. 3. f (x, y) = x2 + y 2 − (x2 + y 2 )2 . 4. f (x, y) = x3 y 3 (1 − x6 − y 6 ) para (x, y) ∈ [−1, 1] × [−1, 1]. 33 24 de Janeiro de 2000
  • 34. CAP´ ITULO 3. EXTREMOS ıcio 3.1.10 Seja f : R → R, cont´Exerc´ ınua, satisfazendo lim f (x) = +∞. x→±∞Prove que f tem pelo menos um m´ ınimo.Exerc´ıcio 3.1.11 (M´ınimos quadrados) O m´todo dos m´ e ınimos quadrados tem como objectivodeterminar a recta y = ax + b que “melhor aproxima” certos dados experimentais (xi , yi ), com1 ≤ i ≤ n. Uma fun¸˜o que permite medir quanto ´ que uma dada recta na forma y = ax + b ca eaproxima os pontos experimentais ´ e n g(a, b) = (axi + b − yi )2 . i=1Calcule os pontos de estacionariade de g para determinar que equa¸˜es ´ que a e b satisfazem co e(a prova de que o ponto de estacionaridade ´ mesmo um m´ e ınimo ´ deixada para um exerc´ e ıcioposterior).3.1.2 Sugest˜es para os exerc´ o ıcios3.1.9 1. Note que f ´ o quadrado da distˆncia ` origem. e a a 2. Como f n˜o tem pontos de estacionaridade em x2 + y 2 < 1 os seus extremos (que existem a pelo teorema de Weirstrass) tˆm de se encontrar na fronteira. Escreva os pontos da fronteira e com x = cos(θ) e y = sen(θ). Determine os extremos de cos(θ) + sen(θ) com θ ∈ [0, 2π]. 3. Determine os extremos de r2 − r4 com r ≥ 0. Fa¸a r2 = x2 + y 2 . c 4. Recorde o exemplo 3.1.11 substituindo x ↔ x3 e y ↔ y 3 .3.1.10 Utilize o teorema do valor m´dio. e3.1.11 Se g tiver m´ ınimo em (a, b) verifica-se g = 0. Portanto a e b satisfazem as equa¸˜es co n 2 n n i=1 xi i=1 xi a = i=1 xi yi . n n i=1 xi n b i=1 yi3.2 Testes de Segunda OrdemNesta sec¸˜o vamos estudar um m´todo que permite classificar os pontos de estacionaridade de ca efun¸˜es. No caso unidimensional, quando a segunda derivada n˜o se anula, um ponto de estaciona- co aridade de uma fun¸˜o ´ de m´ximo ou de m´ ca e a ınimo dependendo do sinal da segunda derivada. Parafun¸˜es f de Rn em R a segunda derivada de f ´ representada por uma forma blinear definida por co euma matriz chamada hessiana. Classificando a forma quadr´tica definida pela hessiana quanto a aser definida positiva, negativa, indefinida, semidefinida,. . . , ou de forma equivalente determinandoo sinal dos seus valores pr´prios, ´ poss´ o e ıvel estudar a classifica¸˜o de pontos de estacionaridade caquanto a serem pontos de m´ximo ou m´ a ` ınimo. A semelhan¸a do caso unidimensional quando a cderivada ´ nula, este teste pode n˜o ser conclusivo se a forma quadr´tica for semidefinida, isto ´ e a a etodos os valores pr´prios tiverem o mesmo sinal excepto alguns nulos. o Comecemos por precisar alguns dos termos usados no par´grafo anterior. a24 de Janeiro de 2000 34
  • 35. 3.2. TESTES DE SEGUNDA ORDEMDefini¸˜o 3.2.1 Seja A uma matriz sim´trica, ou seja A = AT e considere-se a forma quadr´tica ca e aQA definida por A via QA (x) = x · Ax para x ∈ Rn . 1. Diz-se que A ´ definida positiva (resp. negativa) se a forma quadr´tica QA for defininida e a positiva (resp. negativa), isto ´, QA (x) > 0 (resp. QA (x) < 0) para todo o x ∈ Rn {0}. e 2. Diz-se que A ´ semi-definida positiva4 (resp. negativa) se a forma quadr´tica QA for semi- e a defininida positiva (resp. negativa), isto ´, QA (x) ≥ 0 (resp. QA (x) ≤ 0) para todo o x ∈ Rn e e existe algum y = 0 tal que QA (y) = 0. 3. Caso nenhuma destas situa¸˜es se verifique diz-se que a matriz ´ indefinida esta situa¸˜o co e ca corresponde a QA ser indefinida, isto ´, existirem y, z ∈ Rn tais que QA (y) < 0 e QA (z) > 0. eA defini¸˜o anterior poderia ter sido feita em termos de valores pr´prios (consultar por exemplo ca o ıcio c a ´[4] ou resolver o exerc´ 3.2.2) gra¸as ao seguinte resultado b´sico de Algebra Linear.Proposi¸˜o 3.2.1 caSeja QA uma forma quadr´tica definida por uma matriz sim´trica A via QA (x) = x · Ax para a ex ∈ Rn . Ent˜o: a 1. QA ´ definida positiva (resp. negativa) se e s´ se todos os valores pr´prios de A forem e o o positivos (resp. negativos). 2. QA ´ semi-definida positiva (resp. negativa) se e s´ se todos os valores pr´prios de A forem e o o n˜o negativos (resp. positivos) e pelo menos um nulo. a 3. QA ´ indefinida se existir um valor pr´prio positivo e um valor pr´prio negativo. e o oExemplo 3.2.1 Seja   1 2 0 A = 2 4 0 . 0 0 1Os valores pr´prios de A s˜o definidos pela equa¸˜o o a ca   1−λ 2 0 det(A − λI) =  2 4−λ 0  = λ(1 − λ)(5 − λ) = 0, 0 0 1−λque tem como solu¸˜es λ = 0, 1, 5. Portanto conclu´ co ımos que A ´ semi-definida positiva. eExerc´ ıcio 3.2.1 Mostre que a unica matriz simultaneamente semidefinida positiva e semidefinida ´negativa ´ a matriz nula. eQue basta considerar matrizes sim´tricas ao lidar com formas quadr´ticas ´ uma das conclus˜es e a e odo exerc´ seguinte. ıcioExerc´ıcio 3.2.2 Em geral podemos definir forma quadr´tica QA associada a uma matriz A via aQA (x) = x · Ax. T 1. Mostre que QA = QA , onde A = A+A em que A ´ chamada a simetriza¸˜o de A. 2 e ca Portanto substituir A pela sua simetriza¸˜o n˜o altera QA . Sugere-se que antes de provar o ca a caso geral, conven¸a-se que este facto ´ verdadeiro com o exemplo c e 1 2 A= . 0 1 4 Esta defini¸˜o de forma semidefinida n˜o ´ a mesma de, por exemplo, [4] aonde uma forma ou matriz definida ca a e´ necessariamente semidefinida. Assim definida, indefinida e semidefinida s˜o termos mutuamente exclusivos.e a 35 24 de Janeiro de 2000
  • 36. CAP´ ITULO 3. EXTREMOS 2. Demonstre a proposi¸˜o 3.2.1. caCalcular valores pr´prios n˜o ´ uma tarefa trivial e ´ conveniente dispor de crit´rios mais f´ceis o a e e e ade aplicar.Proposi¸˜o 3.2.2 caSeja   a11 ··· a1n  . .  A= . . .  . an1 ··· annuma matriz n × n. Consideremos as submatrizes Ak que consistem nos elementos das primeiras klinhas e k colunas de A, isto ´, e a11 a12 A1 = a11 A2 = ··· a21 a22Ent˜o, a 1. A ´ definida positiva se e s´ se det Ai > 0 para todo o i. e o 2. A ´ definida negativa se e s´ se det Ai < 0 para i ´ e o ımpar e det Ai > 0 para i par.Exemplo 3.2.2 Seja   1 0 1 A = 0 2 0 . 1 0 4Portanto 1 0 A1 = 1 A2 = A3 = A 0 2e temos det A1 = 1 det A2 = 2 det A3 = 6.Como todos estes valores s˜o positivos conclu´ a ımos que A ´ definida positiva. eExerc´ ıcio 3.2.3 Prove a proposi¸˜o para matrizes diagonais. ca Para o caso de matrizes semi-definidas o crit´rio ´ ligeiramente mais complexo. Dada uma e ematriz A uma submatriz principal de A ´ qualquer matriz que se obt´m de A suprimindo linhas e ee colunas em pares correspondentes (e.g. a primeira e a terceira linhas e colunas).Exemplo 3.2.3 Seja   1 2 3 4 5 6 7 8 9 10   A = 11  12 13 14 15  16 17 18 19 20 21 22 23 24 25Suprimindo a primeira linha e primeira coluna obtemos a submatriz principal   7 8 9 10 12 13 14 15   17 18 19 20 22 23 24 25Suprimindo a segunda e terceira linhas e colunas obtemos a submatriz principal   1 4 5 16 19 20 . 21 24 2524 de Janeiro de 2000 36
  • 37. 3.2. TESTES DE SEGUNDA ORDEMProposi¸˜o 3.2.3 caUma matriz A ´ semi-definida positiva se e s´ se todas as submatrizes principais de A tˆm deter- e o eminantes n˜o negativos e pelo menos um ´ nulo. Uma matriz A ´ semi-definida negativa se e s´ se a e e otodas as submatrizes principais de A tˆm determinantes n˜o negativos ou n˜o positivos conforme e a ao n´mero de linhas ou colunas da submatriz ´ par ou ´ u e ımpar e pelo menos um ´ nulo. eExemplo 3.2.4 Seja   0 0 0 A = 0 2 1 . 0 1 −5Retirando a primeira e terceira linhas e colunas obtemos a submatriz 2 cujo determinante ´ epositivo. Retirando a primeira e segunda linhas e colunas obtemos a submatriz −5 cujo determi-nante ´ negativo. Portanto conclu´ e ımos que a matriz n˜o pode ser nem semidefinida positiva nem asemidefinida negativa pelo que ´ indefinida. eExemplo 3.2.5 Seja   0 0 0 A = 0 2 1 . 0 1 5O determinante de A ´ zero pelo que a matriz n˜o pode ser nem definida positiva nem definida e anegativa. O mesmo acontece ao determinante de qualquer submatriz obtida de A n˜o retirando a aprimeira linha e coluna. Portanto basta analisar 3 submatrizes; retirando a primeira e segundalinhas e colunas obtemos a submatriz 5 cujo determinante ´ positivo; retirando a primeira e eterceira linhas e colunas obtemos a submatriz 2 cujo determinante ´ positivo; retirando a primeira elinha e coluna obtemos a submatriz 2 1 1 5cujo determinante ´ 9 e portanto tamb´m positivo. Portanto conclu´ e e ımos que a matriz ´ semidefi- enida positiva.Exerc´ ıcio 3.2.4 Classifique a matriz A dada por   3 0 0 A = 0 2 1 0 1 5quanto a ser definida ou semidefinida positiva, negativa ou indefinidaExerc´ ıcio 3.2.5 Classifique a matriz A dada por   0 2 1 A = 0 2 1 0 1 5quanto a ser definida ou semidefinida positiva, negativa ou indefinida Depois destas defini¸˜es preliminares vamos definir a matriz hessiana5 . coDefini¸˜o 3.2.2 Seja f : Rn → R de classe C 2 . A matriz hessiana de f , H(f ), ´ dada por ca e  ∂2f ∂2f  ∂x2 · · · ∂x1 ∂xn 1 H(f ) =  . . .   . . .  .  ∂2f ∂2f ∂xn ∂x1 ··· ∂x2 n 5A matriz hessiana H define uma forma bilinear (x, y) → x · Hy que desempenha o papel de segunda derivadade uma fun¸˜o de Rn em R. N˜o desenvolveremos este assunto neste texto. ca a 37 24 de Janeiro de 2000
  • 38. CAP´ ITULO 3. EXTREMOSExemplo 3.2.6 Seja f (x, y) = x2 + y 2 . A sua matriz hessiana ´ e 2 0 H(f ) = . 0 2Exerc´ ıcio 3.2.6 Calcule a matriz hessiana de f (x, y, z) = xyz.Exerc´ ıcio 3.2.7 1. Defina uma fun¸˜o cuja matriz hessiana seja, em qualquer ponto ca a b . b c 2. Ser´ que a fun¸˜o que encontrou na al´ a ca ınea anterior ´ unica? Se n˜o for tente encontrar uma e´ a f´rmula geral para esta fam´ de fun¸˜es. o ılia co 3. Em que condi¸˜es ´ que a matriz co e a b d c ´ a hessiana de alguma fun¸˜o de classe C 2 ? e ca O resultado b´sico para classificar pontos de estacionaridade usando o termo de segunda ordem ada f´rmula de Taylor ´ o eTeorema 3.2.4Sejam U ⊂ Rn um aberto, f : U → R uma fun¸˜o de classe C 2 (U ) e x0 ∈ U um ponto de caestacionaridade de f . (2) i) Se Dh f (x0 ) > 0 para todo o h = 0 ent˜o x0 ´ um ponto de m´ a e ınimo local; (2) (2) ii) Se Dh f (x0 ) ≥ 0 para todo o vector h e existe um vector k = 0 tal que Dk f (x0 ) = 0 ent˜o a x0 n˜o ´ um ponto de m´ximo local; a e a (2) iii) Se Dh f (x0 ) < 0 para todo o h = 0 ent˜o x0 ´ um ponto de m´ximo local; a e a (2) (2) iv) Se Dh f (x0 ) ≤ 0 para todo o vector h e existe um vector k = 0 tal que Dk f (x0 ) = 0 ent˜o a x0 n˜o ´ um ponto de m´ a e ınimo local; (2) (2) v) Se existem h, k ∈ Rn tais que Dh f (x0 ) < 0 e Dk f (x0 ) > 0 ent˜o x0 ´ um ponto de sela. a eIdeia da demonstra¸˜o. Para provar (ii), (iv) e (v) basta considerar as restri¸˜es de f `s rectas ca co apassando por x0 e nas direc¸˜es de h ou k e usar os resultados conhecidos6 para dimens˜o 1. Para co aprovar (i) ou (iii) devemos estudar o sinal de f (x) − f (x0 ) provando que se mant´m constante enuma bola de raio suficientemente pequeno centrada em x0 . Isto ´ equivalente a estudar o sinal ede f (x0 + h) − f (x0 ) 1 (2) Ef (x0 , h) 2 = Dh/|h| f (x0 ) + 2 |h| 2 |h|em que a ultima parcela do segundo membro tende para 0 quando h → 0 de acordo com o teorema ´de Taylor. Para completar a demonstra¸˜o, por exemplo no caso (i), basta mostrar que para ca (2)h = 0 temos Dh/|h| f (x0 ) minorado por um n´mero m > 0 e que existe uma bola centrada em x0 u E (x ,h)tal que a´ f |h|0 ı 2 > −m. O ultimo destes dois factos segue da defini¸˜o de limite e o primeiro ´ capode ser justificado usando resultados de ´lgebra linear sobre formas quadr´ticas ou o teorema de a a (2)Weierstrass aplicado ` fun¸˜o7 S n−1 η → Dη f (x0 ). a ca 6 Obviamente pode refazer-se a demonstra¸˜o mas queremos acentuar que n˜o existe nenhuma ideia essencial- ca amente nova em jogo. 7 S n−1 ≡ {x ∈ Rn : |x| = 1}.24 de Janeiro de 2000 38
  • 39. 3.2. TESTES DE SEGUNDA ORDEM O teorema anterior pode ser enunciado usando a terminologia de ´lgebra linear referente a a (2)formas quadr´ticas. Com efeito Dh f (x0 ) ´ a forma quadr´tica definida pela matriz hessiana de a e a ∂2f (2)f no ponto x0 , Hf (x0 ) ≡ ∂xi ∂xj (x0 ) , isto ´, Dh f (x0 ) = h · Hf (x0 )h. As situa¸˜es e co i,j=1,...,n(i-v) no enunciado do teorema correspondem respectivamente a esta forma quadr´tica8 ser defi- anida positiva, semidefinida positiva n˜o nula, definida negativa, semidefinida negativa n˜o nula e a aindefinida.Corol´rio 3.2.5 aSeja f : U ⊂ Rn → R uma fun¸˜o de classe C 2 numa vizinhan¸a um ponto de estacionaridade em ca cx0 . Ent˜o: a 1. Se H(f )(x0 ) = 0 o teste ´ inconclusivo. e 2. Se H(f )(x0 ) for definida positiva (resp. negativa) ent˜o x0 ´ um ponto de m´ a e ınimo (resp. m´ximo) local. a 3. Se H(f )(x0 ) for semi-definida positiva (resp. negativa) mas n˜o nula ent˜o x0 n˜o ´ um a a a e ponto de m´ximo (resp. m´ a ınimo) local, isto ´, pode ser ponto de m´ e ınimo (resp. m´ximo) a local ou ponto de sela. 4. Se H(f )(x0 ) for indefinida ent˜o x0 ´ um ponto de sela. a eO teorema e o corol´rio n˜o podem ser melhorados, atrav´s de informa¸˜o s´ relativa a derivadas a a e ca ode segunda ordem e de maneira a fornecer informa¸˜o adicional para os casos em que a forma caquadr´tica ´ semidefinida, devido aos exemplos triviais que se seguem (3.2.8, 3.2.9). a eExemplo 3.2.7 Seja f (x, y) = x2 +y 2 . O ponto (0, 0) ´ um ponto de estacionaridade (verifique!). eA matriz hessiana de f no ponto (0, 0) ´ e 2 0 H(f ) = , 0 2que ´ definida positiva (os valores pr´prios s˜o positivos). Portanto (0, 0) ´ um ponto de m´ e o a e ınimolocal.Exemplo 3.2.8 Seja f (x, y) = x2 +y 4 . O ponto (0, 0) ´ um ponto de estacionaridade (verifique!). eA matriz hessiana de f no ponto (0, 0) ´ e 2 0 H(f ) = , 0 0que ´ semi-definida positiva (os valores pr´prios s˜o n˜o negativos). Portanto (0, 0) n˜o ´ um e o a a a e ´ aponto de m´ximo local. E f´cil verificar que (0, 0) ´ um ponto de m´ a e ınimo local e n˜o um ponto de asela. Com efeito, basta observar que, se (x, y) = (0, 0), se tem f (x, y) > f (0, 0) = 0.Exemplo 3.2.9 Seja f (x, y) = x2 −y 4 . O ponto (0, 0) ´ um ponto de estacionaridade (verifique!). eA matriz hessiana de f no ponto (0, 0) ´ e 2 0 H(f ) = , 0 0que ´ semi-definida positiva (os valores pr´prios s˜o n˜o negativos). Portanto (0, 0) n˜o ´ um e o a a a eponto de m´ximo local. No entanto (0, 0) n˜o ´ um ponto de m´ a a e ınimo local; com efeito, temosf (0, 0) = 0 mas f (0, y) = −y 4 < 0 para y = 0 pelo que conclu´ ımos que (0, 0) ´ um ponto de sela. e 8 Esta terminologia relativa a formas quadr´ticas usa-se tamb´m para as matrizes que as definem. a e 39 24 de Janeiro de 2000
  • 40. CAP´ ITULO 3. EXTREMOSExemplo 3.2.10 Seja f (x, y) = x2 − y 2 . O ponto (0, 0) ´ um ponto de estacionaridade (verifi- eque!). A matriz hessiana de f no ponto (0, 0) ´ e 2 0 H(f ) = , 0 −2que ´ indefinida (um dos valores pr´prios ´ positivo e outro ´ negativo). Portanto (0, 0) ´ um e o e e eponto de sela.Exerc´ıcio 3.2.8 Prove que (0, 0) ´ um ponto de estacionaridade de f e classifique-o quanto a ser eponto de m´ximo, ponto de m´ a ınimo ou ponto de sela quando f ´ definida em R2 por: e 1. f (x, y) = 2x2 + y 2 ; 2. f (x, y) = xy; 3. f (x, y) = x2 + 2xy + y 2 ; 4. f (x, y) = y 4 − x4 ; 5. f (x, y) = x3 ; 6. f (x, y) = y 2 .Problema 3.2.1 Elabore um crit´rio para classificar formas quadr´ticas definidas por uma matriz e a2 × 2 da forma a c em fun¸˜o do sinal de d = ac − b2 e do sinal de a. b b ca Os exemplos de aplica¸˜o do crit´rio de segunda ordem at´ agora apresentados s˜o no essencial ca e e atriviais e poderiam ser analisados por outros processos. Destinavam-se a definir situa¸˜es t´ co ıpicase balizar as limita¸˜es do resultado. O exemplo seguinte j´ tem um car´cter menos trivial. co a aExemplo 3.2.11 Considere-se a fun¸˜o f : R2 → R definida por f (x, y) = xy + x2 y 3 − x3 y 2 . caTentemos estud´-la quanto ` existˆncia de extremos. a a e Come¸amos por notar que gra¸as a f ser um polin´mio reconhecemos imediatamente que f c c ocoincide com o seu desenvolvimento de Taylor de ordem igual ou superior ao seu grau. Tal ´ ver- edadeiro em particular relativamente a (0, 0) que reconhecemos como um ponto de estacionaridade(ausˆncia de termos de primeira ordem) que ´ um ponto de sela (termo de segunda ordem xy). e e Para determinar outros pontos de estacionaridade consideramos o sistema de estacionaridade   ∂f  ≡ y + 2xy 3 − 3x2 y 2 = 0 ∂x   ∂f   ≡ x + 3x2 y 2 − 2x3 y = 0 ∂yque pode ser escrito de forma equivalente como y(1 + 2xy 2 − 3x2 y) = 0 x(1 + 3xy 2 − 2x2 y) = 0.Da´ decorre que a unica solu¸˜o sobre os eixos coordenados ´ (0, 0) que j´ foi estudada. Podemos ı ´ ca e aent˜o limitarmo-nos a analisar a 1 + 2xy 2 − 3x2 y = 0 1 + 3xy 2 − 2x2 y = 0.Subtraindo termo a termo obtemos xy 2 + x2 y = 0 ou seja xy(y + x) = 0. Assim eventuais solu¸˜es coadicionais do sistema de estacionaridade encontrar-se-iam ou sobre os eixos coordenados (hip´tese oj´ estudada) ou sobre a recta y = −x. Substituindo y por −x na primeira equa¸˜o obtemos a ca24 de Janeiro de 2000 40
  • 41. 3.2. TESTES DE SEGUNDA ORDEM1 + 5x3 = 0 o que fornece um segundo e ultimo ponto de estacionaridade: (−5−1/3 , 5−1/3 ). Para ´classific´-lo calculamos a ∂2f = 2y 3 − 6xy 2 ∂x2 ∂2f = 6x2 y − 2x3 ∂y 2 ∂2f = 1 + 6xy 2 − 6x2 y ∂x∂ypelo que 8/5 7/5 Hf (−5−1/3 , 5−1/3 ) = 7/5 8/5uma matriz definida positiva pelo que este ponto de estacionaridade ´ um ponto de m´ e ınimo localsendo o m´ınimo local f (−5−1/3 , 5−1/3 ) = − 3 5−2/3 . 5 Considerando, por exemplo, limλ→+∞ f (1, λ) = +∞, limλ→+∞ f (λ, 1) = −∞ verifica-se queesta fun¸˜o n˜o tem extremos absolutos. ca a O teorema 3.2.4 ´ pass´ de v´rias generaliza¸˜es. Aconselha-se no entanto o aluno a come¸ar e ıvel a co cpor dominar o crit´rio de segunda ordem e as ideias na sua demonstra¸˜o pois s˜o a base de e ca aqualquer uma dessas generaliza¸˜es. Mais geralmente um polin´mio homog´neo de grau k designa- co o ese por forma de grau k. Uma generaliza¸˜o imediata do resultado anterior ´ ca eProblema 3.2.2 Seja f : D ⊂ Rn → R uma fun¸˜o de classe C k (D) e x0 um ponto interior a D ca (j) n (k)tal que Dh f (x0 ) = 0 para j < k e h ∈ R e a forma de grau k Q definida por Q(h) = Dh f (x0 )´ definida positiva. Prove que x0 ´ um ponto de m´e e ınimo local de f . Formule e demonstre outrasgeneraliza¸˜es do mesmo tipo do teorema 3.2.4. coGeneraliza¸˜es deste tipo poder˜o ser encontradas por exemplo em [2] (ver tamb´m o exerc´ co a e ıcio3.2.12 e o problema 3.2.4). Factos triviais mas muito uteis s˜o ´ aProblema 3.2.3 a) Seja Q uma forma n˜o nula de grau ´ a ımpar. Prove que Q ´ uma forma indefinida. e b) Seja P um polin´mio de grau ´ o ımpar. Prove que P n˜o ´ limitado superior ou inferiormente. a eExemplo 3.2.12 Considere-se a fun¸˜o g : R2 → R definida por ca 2 −y 2 g(x, y) = ex + y2 .e tentemos classificar o ponto de estacionaridade (0, 0). De maneira an´loga ao exemplo 2.4.4 obtemos a partir da s´rie de Taylor da exponencial a e ∞ (x2 − y 2 )j g(x, y) = 1 + x2 + j=2 j!para todo o (x, y) ∈ R2 . Note-se que a an´lise atrav´s do termo de segunda ordem da f´rmula de a e oTaylor s´ nos permite afirmar que (0, 0) n˜o ´ um ponto de m´ximo devido ` forma quadr´tica se o a e a a aanular na direc¸˜o do eixo dos y’s. Podemos tentar compreender o que se passa usando os termos cade ordem superior da f´rmula de Taylor naquela direc¸˜o. O primeiro desses termos que n˜o se o ca aanula ´ de ordem 4, mais precisamente, e 2 (x2 − y 2 ) g(x, y) = 1 + x2 + + E(x, y) 2 41 24 de Janeiro de 2000
  • 42. CAP´ ITULO 3. EXTREMOS E(x,y) ´em que (x2 +y2 )2 → 0 quando (x, y) → 0. E de suspeitar que (0, 0) ´ um ponto de m´ e ınimo etentaremos prov´-lo usando o mesmo racioc´ a ınio da demonstra¸˜o do teorema 3.2.4 em que a caminimiza¸˜o do termo de segunda ordem por um n´mero positivo ´ substitu´ pela minimiza¸˜o ca u e ıda casimultˆnea dos termos de segunda e quarta ordem. A ideia natural ´ usar o termo de quarta a eordem para direc¸˜es “pr´ximas” da do eixo dos y’s e o termo de segunda ordem para as restantes. co oComo o termo de quarta ordem se anula para |x| = |y| e o de segunda ordem para x = 0 tentamoscaracterizar tais direc¸˜es respectivamente por |x| < 1 |y| e |x| ≥ 1 |y|. co 2 2 1 Seja ent˜o |x| < 2 |y|. Obtemos a 1 1 (2) 1 (4) 2 D g(0, 0) + D(x,y) g(0, 0) (x2 + y 2 ) 2 (x,y) 4! 2 1 (x2 − y 2 ) 1 (x4 − 2x2 y 2 + y 4 ) 8 x4 − 1 y 4 + y 4 4 = 2 x2 + > 2 > 2 > . (x2 + y2 ) 2 ( 5 y2 ) 2 25 y4 25 4 1Por outro lado para |x| ≥ 2 |y| obt´m-se e 1 1 (2) 1 (4) 2 D(x,y) g(0, 0) + D(x,y) g(0, 0) (x2 + y2 ) 2 4! 2 1 (x2 − y 2 ) x2 x2 + y 2 1 = 2 x2 + > 2 ≥ 2 = . (x2 + y2 ) 2 (x2 + y2 ) 4(x2 + y 2 ) 4(x2 + y 2 )Agora j´ ´ poss´ aplicar um racioc´ ae ıvel ınio idˆntico ao do teorema 3.2.4 para concluir que (0, 0) ´ e eefectivamente um ponto de m´ ınimo. O leitor poder´ ter considerado a resolu¸˜o do exerc´ a ca ıcio 3.2.12 algo ad hoc e suspeitado queexiste um resultado abstracto que poderia ter sido usado. De facto assim ´ embora a maior parte edas ideias relevantes j´ conste da resolu¸˜o do exerc´ a ca ıcio.Problema 3.2.4 Sejam f : D ⊂ Rn → R, f ∈ C k (D), x0 um ponto interior a D. Suponha-se (j)que existe l < k tal que Dh f (x0 ) = 0 para todo o j < l e todo o h ∈ Rn , e que h → Ql (h) ≡ (l)Dh f (x0 ) ´ semidefinida positiva. Designamos os vectores unit´rios que anulam Ql como direc¸˜es e a co (j)singulares. Suponha-se ainda que Dη f (x0 ) = 0 para toda a direc¸˜o singular η e l < j < k e que ca (k)Qk (η) ≡ Dη f (x0 ) > 0 para toda a direc¸˜o singular η. Mostre que: ca a) O conjunto formado por todas as direc¸˜es singulares ´ um subconjunto fechado de S n−1 que co e desigamos por F . b) Qk tem um m´ ınimo m2 sobre S n−1 . ınimo m1 > 0 sobre F e um m´ m1 c) Existe um aberto A ⊃ F tal que Qk (η) > 2 para todo o η ∈ S n−1 ∩ A. ınimo m3 > 0 sobre S n−1 A. d) Ql tem um m´ e) Valem as estimativas m3 E (x0 ,x−x ) f (x) − f (x0 ) l!|x−x0 |k−l + m2 + f|x−x |k 0 k! se x−x0 |x−x0 | ∈ A, k ≥ m1 E (x0 ,x−x ) 0 x−x0 |x − x0 | 2k! + f|x−x |k 0 se |x−x0 | ∈ A, 0 Ef (x0 ,x−x0 ) em que |x−x0 |k → 0 quando x → x0 . f ) x0 ´ um ponto de m´ e ınimo local de f . Para terminar conv´m referir mais uma vez que os testes baseados na f´rmula de Taylor podem e oser inconclusivos devido `s raz˜es apontadas na introdu¸˜o a este cap´ a o ca ıtulo e a´ exemplificadas com ıfun¸˜es reais de vari´vel real. co a24 de Janeiro de 2000 42
  • 43. 3.2. TESTES DE SEGUNDA ORDEM3.2.1 Exerc´ ıcios suplementares ıcio 3.2.9 Considere a fun¸˜o f : R3 → R definida porExerc´ ca 2 3 f (x, y, z) = 2 − z − x2 + y 2 + z− x2 + y 2 . a) Determine os respectivos pontos de extremo local e absoluto e, se tais pontos existirem, classifique-os quanto a serem pontos de m´ximo ou de m´ a ınimo. b) Determine um polin´mio de grau menor ou igual a dois, P (x, y, z), tal que o f (x, y, z) − P (x, y, z) lim 2 2 = 0, (x,y,z)→(1,1,0) (x − 1) + (y − 1) + z 2 ou justifique que tal polin´mio n˜o existe. o a ıcio 3.2.10 Considere a fun¸˜o g : R3 → R definida porExerc´ ca g(x, y, z) = x3 (y 2 + z 2 ) 1 − x − y2 + z2 .Estude g quanto ` existˆncia de extremos relativos e absolutos. Determine tais extremos se exis- a etirem e os pontos onde ocorrem. Sugest˜o: Considere primeiro h(x, ρ) = x3 ρ2 (1 − x − ρ). a ıcio 3.2.11 Seja f : R2 → R definida porExerc´ xy 5 f (x, y) = x2 +y 4 , se (x, y) = (0, 0) 0, se (x, y) = (0, 0). a) Determine justificadamente o maior subconjunto do dom´ ınio de f em que existem e s˜o a ∂2f ∂2f iguais as derivadas parciais ∂x∂y e ∂y∂x . b) Determine e classifique os pontos de estacionaridade de f quanto a serem pontos de extremo ou pontos de sela. c) Determine o m´ximo e o m´ a ınimo da restri¸˜o de f ao conjunto A = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ ca 2 2 y , y ≤ −x } e os pontos em que ocorrem esses extremos. ıcio 3.2.12 Considere a fun¸˜o f : R2 → R definida porExerc´ ca f (x, y) = (y + x2 )(x − y 2 ) + 1.Determine, se existirem, os pontos de estacionaridade de f e classifique-os quanto a serem pontosde extremo relativo ou pontos de extremo absoluto.3.2.2 Sugest˜es para os exerc´ o ıcios3.2.9 ca e ıcies de equa¸˜o z − x2 + y 2 = α, α ∈ R a) A fun¸˜o ´ constante sobre cada uma das superf´ ca pelo que basta estudar a fun¸˜o R α → 2 − α + α3 . Conclui-se facilmente que f tem um ca 2 m´ximo para z − x2 + y 2 = 0 e um m´ a ınimo para z − x2 + y 2 = 2/3. Tais extremos n˜o a s˜o absolutos. a b) Tal polin´mio existe e ´ obviamente o polin´mio de Taylor de segunda ordem de f relativo o e o ao ponto (1, 1, 0). 43 24 de Janeiro de 2000
  • 44. CAP´ ITULO 3. EXTREMOS ¢ z ¢ z ¢ z ¢ z   y ¡ xFigura 3.5: Esta figura acompanha a sugest˜o de solu¸˜o do exerc´ 3.2.9. A fun¸˜o f ´ constante sobre a ca ıcio ca ecada uma das folhas de cone z − x2 + y 2 = α.3.2.10 J´ vimos no exerc´ a ıcio 3.2.9 as vantagens em, quando poss´ ıvel, usar simetrias da fun¸˜o caa estudar para estudar um problema equivalente em dimens˜o inferior. Naquele caso acab´mos a aestudando um problema unidimensional. No caso presente podemos estudar, usando a sugest˜o, aum problema bidimensional do qual recuperaremos o problema original por rota¸˜o em torno do caeixo dos x’s. Vamos ent˜o estudar quanto ` existˆncia de extremos a fun¸˜o g : {(x, ρ) ∈ R2 : ρ ≥ 0} → R a a e cadefinida por g(x, ρ) = x3 ρ2 (1 − x − ρ). Algo que conv´m fazer antes de iniciar qualquer tipo ede c´lculo ´ tentar identificar linhas de n´ a e ıvel da fun¸˜o. A intersec¸˜o num ponto interior de ca catais linhas de n´ formando um ˆngulo n˜o nulo fornece-nos imediatamente a localiza¸˜o de um ıvel a a caponto de estacionaridade9 . Tal ´ particularmente f´cil para g pois esta fun¸˜o anula-se sobre o e a caeixo dos x’s, sobre o eixo dos ρ’s e sobre a recta 1 − x − ρ = 0. Isto identifica como ponto deestacionaridade (x, ρ) = (1, 0) e se consider´ssemos a fun¸˜o estendida para ρ < 0 usando a mesma a ca o ´ af´rmula o mesmo se poderia dizer dos pontos (0, 1) e (0, 0). E f´cil de verificar por an´lise do sinal ade g que todos estes pontos s˜o pontos de sela. Uma observa¸˜o adicional que se obt´m dessa a ca ean´lise ´ o facto de g ser positiva no interior do triˆngulo T limitado pelas rectas atr´s referidas, a e a aisto ´, e T = {(x, ρ) ∈ R2 : x ≥ 0, ρ ≥ 0, x + ρ ≤ 1}.Como T ´ limitado e fechado h´-de existir no interior de T pelo menos mais um ponto de m´ximo e a ade g que ser´ portanto mais um ponto de estacionaridade de g. Eventualmente existir˜o outros a apontos de estacionaridade. Todos estes factos servir˜o para verificar a resolu¸˜o do sistema de a caestacionaridade de g ∂g 2 2 ∂x ≡ x ρ (3(1 − x − ρ) − x) = 0 ∂g 3 ∂ρ ≡ x ρ(2(1 − x − ρ) − ρ) = 0.Verificamos imediatamente que todos os pontos sobre os eixos s˜o pontos de estacionaridade. aTodos os pontos sobre o eixo dos ρ’s s˜o pontos de sela por an´lise do sinal de g. Sobre o eixo dos a a 9 Enunciado e justifica¸˜o rigorosa desta afirma¸˜o s˜o algo que n˜o pretendemos apresentar neste momento. ca ca a aVeja mais ` frente o problema ??. a24 de Janeiro de 2000 44
  • 45. 3.2. TESTES DE SEGUNDA ORDEM ¡ x ¡ x 1 1 – x+ ρ + = 1 ρ   1 £ z 1 + 1 – ¢ yFigura 3.6: Esta figura acompanha o exerc´ 3.2.10. A fun¸˜o f exibe simetria radial relativamente ao ıcio caeixo dos x’s. No gr´fico da direita indicam-se os zeros e sinais de g. ax’s a situa¸˜o ´ mais complexa: (x, 0) ´ um ponto de m´ ca e e ınimo se 0 < x < 1, um ponto de m´ximo ase x < 0 ou 1 < x, e um ponto de sela se x = 0 ou x = 1. Pontos de estacionaridade que n˜o se aencontrem sobre os eixos dever˜o satisfazer a 3(1 − x − ρ) − x = 0 2(1 − x − ρ) − ρ = 0.Este sistema linear tem uma unica solu¸˜o: (1/2, 1/3), a solu¸˜o no interior de T cuja existˆncia ´ ca ca ej´ tinha sido garantida e que sabemos tratar-se de um ponto de m´ximo. a a ´ a E f´cil verificar que g e consequentemente f n˜o tˆm extremos absolutos. a e Podemos concluir que f possui pontos de m´ximo local nos pontos da circunferˆncia definida a epor x = 1/2, y 2 + z 2 = 1/9 onde f vale 1/432, outros pontos de m´ximo local nos pontos (x, 0, 0) acom x < 0 ou x > 1 onde f vale 0, e pontos de m´ ınimo local nos pontos (x, 0, 0) com 0 < x < 1onde f vale 0.3.2.11 y 1 x A -1 x = y2 y= - x2 Figura 3.7: Esta figura acompanha os esbo¸os de resolu¸˜o dos Exerc´ c ca ıcios 3.2.11 e 3.2.12. a) No complementar da origem f ´ uma fun¸˜o de classe C ∞ pelo que a´ verifica-se a igualdade e ca ı ∂2f ∂2f ∂x∂y = ∂y∂x . Resta-nos investigar o que se passa na origem. Como a fun¸˜o se anula sobre ca 45 24 de Janeiro de 2000
  • 46. CAP´ ITULO 3. EXTREMOS os eixos coordenados decorre da defini¸˜o de derivada parcial que ca ∂f ∂f (0, 0) = (0, 0) = 0. ∂x ∂y Al´m disso se (x, y) = / = (0, 0) temos e ∂f y 5 (x2 + y 4 ) − 2x2 y 5 y 9 − x2 y 5 (x, y) = 2 = 2 ∂x (x2 + y 4 ) (x2 + y 4 ) ∂f 5xy 4 (x2 + y 4 ) − 4xy 8 xy 8 + 5x3 y 4 (x, y) = 2 = 2 ∂y (x2 + y 4 ) (x2 + y 4 ) donde decorre usando a defini¸˜o de derivada parcial ca ∂2f ∂2f (0, 0) = 1 (0, 0) = 0 ∂y∂x ∂x∂y pelo que o conjunto pretendido ´ R2 {(0, 0)}. e b) Do c´lculo das derivadas parciais de primeira ordem sabemos que (0, 0) ´ um ponto de a e estacionaridade e outros pontos de estacionaridade ser˜o solu¸˜es de a co y 9 − x2 y 5 =0 xy 8 + 5x3 y 4 =0 donde todos os pontos sobre o eixo dos x’s s˜o pontos de estacionaridade. Outros pontos de a estacionaridade dever˜o satisfazer a y 4 − x2 =0 xy 4 + 5x3 = 0. Da primeira equa¸˜o deste sistema eventuais solu¸˜es adicionais devem satisfazer y 4 = x2 . ca co Por substitui¸˜o na segunda equa¸˜o obt´m-se unicamente a solu¸˜o (x, y) = (0, 0). Estabe- ca ca e ca lecemos ent˜o que o conjunto dos pontos de estacionaridade ´ o eixo dos x’s. Por an´lise do a e a sinal da fun¸˜o na sua vizinhan¸a verificamos que todos s˜o pontos de sela. ca c a c) Os extremos absolutos de f restringida a A ocorrem nalgum ponto de A pois trata-se de um conjunto limitado e fechado. Se ocorressem em pontos interiores tais pontos seriam pontos de extremo local o que da al´ınea anterior n˜o acontece. Assim estudamos a restri¸˜o de f ` a ca a fronteira de A (veja a figura 3.7). Definimos g(y) = f (y 2 , y) = y 3 /2 para −1 ≤ y ≤ 0. Temos −1/2 = g(−1) < g(y) < g(0) = 0 sempre que −1 < y < 0. Definimos h(x) = f (x, −x2 ) = 8 6 x9 )−6x14 14 8 − 1+x6 para 0 ≤ x ≤ 1. Como h (x) = − 9x (1+x 6 )2 (1+x = − 3x +9x < 0 para 0 < x < 1 (1+x6 )2 temos −1/2 = h(1) < h(x) < h(0) = 0 para 0 < x < 1. As fun¸˜es g e h d˜o-nos os valores co a de f sobre a fronteira de A. Podemos concluir que −1 = f (1, −1) < f (x, y) < f (0, 0) = 0 para todo os (x, y) ∈ A {(0, 0), (1, −1)}.3.2.12 O conjunto de zeros de f est´ esbo¸ado na figura 3.2.11. Observe que (0, 0) e (1, −1) s˜o a c anecessariamente pontos de sela e que existir´ pelo menos um ponto de extremo local na regi˜o √ a adefinida por − x ≤ y ≤ −x2 . A solu¸˜o do sistema de estacionaridade permite obter com efeito caque os unicos pontos de estacionaridade s˜o (0, 0), (1/2, −1/2) e (1, −1). Por an´lise do sinal de f ´ a aconclui-se que (1/2, −1/2) ´ um ponto de m´ e ınimo local. A fun¸˜o n˜o tem extremos absolutos. ca a24 de Janeiro de 2000 46
  • 47. Cap´ ıtulo 4Teoremas da Fun¸˜o Inversa e da caFun¸˜o Impl´ ca ıcitaNeste cap´ıtulo vamos estudar condi¸˜es que permitem assegurar a existˆncia da inversa de fun¸˜es co e code Rn → Rn , bem como condi¸˜es que garantam a resolubilidade de equa¸˜es da forma f (x, y) = 0 co code modo a obtermos uma das vari´veis em fun¸˜o da outra. Em casos simples conseguimos inverter a caas fun¸˜es ou resolver as equa¸˜es explicitamente; no entanto, na maioria dos casos, tal tarefa ´ co co ecomplexa se n˜o imposs´ a ıvel. Os resultados gerais que obteremos (teoremas 4.3.1 e 4.4.1) assegurama resolu¸˜o destas quest˜es num sentido local a precisar. ca oExerc´ ıcio 4.0.13 Conven¸a-se da dificuldade de resolver problemas do tipo mencionado tentanto cinverter a fun¸˜o f : R+ × R+ → R2 definida por ca f (x, y) = (xy, x2 − y 2 ).Note que a an´lise deste problema pode ser feita de uma forma simples! a4.1 Invertibilidade de fun¸˜es coComecemos por recordar a defini¸˜o de fun¸˜o injectiva ca caDefini¸˜o 4.1.1 Diz-se que uma fun¸˜o f : A → B, onde A e B s˜o conjuntos arbitr´rios, ´ ca ca a a einjectiva se, sempre que x = y (x, y ∈ A), se tenha f (x) = f (y). Observe que a defini¸˜o anterior ´ equivalente a dizer que se f (x) = f (y) ent˜o necessariamente ca e a ´se verifica x = y. E tamb´m equivalente a mostrar que a equa¸˜o f (x) = a, para a ∈ B, tem, e caquando muito, uma solu¸˜o. caExerc´ ıcio 4.1.1 Prove estas duas ultimas afirma¸˜es. ´ co Consideremos agora o seguinte exemplo:Exemplo 4.1.1 Seja f : R2 → R+ × R+ a fun¸˜o definida por ca f (x, y) = (ex , ex+y ).Provemos que ela ´ injectiva. Suponhamos que f (x1 , y1 ) = f (x2 , y2 ). Ent˜o e a ex1 = ex2 ex1 +y1 = ex2 +y2 .A primeira equa¸˜o implica x1 = x2 . Utilizando este resultado na segunda equa¸˜o obtemos ca cay1 = y2 pelo que f ´ injectiva. e 47
  • 48. CAP´ ITULO 4. TEOREMAS DA FUNCAO INVERSA E DA FUNCAO IMPL´ ¸˜ ¸˜ ICITA 1 0.5 0.5 1 1.5 2 -0.5 -1 Figura 4.1: Rectas x = 1 e x + y = 1Exerc´ ıcio 4.1.2 Prove que a fun¸˜o identidade de Rn em Rn , isto ´, f : Rn → Rn definida por ca ef (x) = x, ´ injectiva. ePoder´ ıamos ter resolvido o exemplo anterior utilizando o m´todo gr´fico que veremos de seguida: e aExemplo 4.1.2 Seja (a, b) com a, b > 0 um ponto no contradom´ ınio de f . Queremos mostrarque o sistema ex = a e ex+y = bs´ tem uma solu¸˜o. Graficamente, as solu¸˜es v˜o ser a intersec¸˜o das rectas da forma x = o ca co a calog a ≡ c e x + y = log b ≡ d. Como se pode ver na figura 4.1 (para c = d = 1) estas rectasintersectam-se num unico ponto uma vez que n˜o s˜o paralelas. Assim, como para cada par (a, b) ´ a aexiste no m´ximo uma pr´-imagem,1 conclu´ a e ımos que a fun¸˜o ´ injectiva. ca e Este exemplo sugere que ´ poss´ e ıvel, utilizando apenas argumentos de natureza geom´trica, everificar a injectividade de uma fun¸˜o. Sistematizemos este processo. Seja f uma fun¸˜o cont´ ca ca ınua,f : R2 → R2 , com f = (f1 , f2 ). Suponhamos que queremos estudar a injectividade de f bem comocaracterizar o seu contradom´ ınio. 1 2 Consideremos Ca , conjunto de n´ ıvel de f1 , definido por f1 (x, y) = a e Cb , definido porf2 (x, y) = b, conjunto de n´ ıvel de f2 , sendo a e b reais fixos. Podemos (em princ´ ıpio), paracada par (a, b), desenhar estes dois conjuntos; estudando o n´mero de pontos de intersec¸˜o destas u cacurvas para valores de a e b arbitr´rios podemos tirar conclus˜es importantes sobre a injectividade a oe contradom´ ınio de f , tal como afirma a pr´xima proposi¸˜o (observe a figura ). o caProposi¸˜o 4.1.1 caSeja f : A ⊂ R2 → R2 (f = (f1 , f2 )) uma fun¸˜o cont´ ca ınua. Defina-se 1 2 Ca = {(x, y) ∈ A : f1 (x, y) = a} e Cb = {(x, y) ∈ A : f2 (x, y) = b} .Ent˜o: a ınio de f ´ o conjunto de pontos (a, b) ∈ R2 tais que Ca ∩ Cb = ∅; 1. o contradom´ e 1 2 2. a fun¸˜o ´ injectiva sse para qualquer par (a, b) ∈ R2 , o conjunto Ca ∩ Cb tiver no m´ximo ca e 1 2 a um elemento.Exerc´ ıcio 4.1.3 Demonstre a proposi¸˜o anterior. ca ıcio 4.1.4 Decida se a fun¸˜o f (x, y) = (x + y, x2 + y 2 ) ´ ou n˜o injectiva.Exerc´ ca e a Este m´todo, sendo bastante geral para o caso de fun¸˜es de R2 → R2 , n˜o ´ f´cil de aplicar, e co a e apelo menos directamente, no caso mais geral de fun¸˜es com mais de 2 vari´veis, visto que o co adesenho de superf´ıcies em R3 ´ bastante dif´ e em Rn , n ≥ 4, praticamente imposs´ e ıcil ıvel. Noentanto, nalguns casos particulares ainda ´ poss´ e ıvel utilizar ideias semelhantes, como podemosverificar no exemplo seguinte. 1A pr´-imagem de (a, b) ´ o conjunto de todos os pontos x do dom´ e e ınio de f tais que f (x) = (a, b).24 de Janeiro de 2000 48
  • 49. ¸˜ 4.1. INVERTIBILIDADE DE FUNCOES T -1 f |T f |T -1 f |S f |S S linhas de nível de f2 linhas de nível de f1Figura 4.2: O m´todo gr´fico para analisar invertibilidade de aplica¸˜es de R2 em R2 e invertibilidade e a colocal versus invertibilidade global. As curvas de n´ ıvel de f1 e f2 intersectam-se em dois pontos pelo que(f1 , f2 ) n˜o ´ injectiva. No entanto a restri¸˜o a S ou a T ´ injectiva. a e ca eExemplo 4.1.3 Consideremos a fun¸˜o f : R3 → R3 definida por ca f (x, y, z) = (x2 + y 2 + z 2 , x + y + z, x − y).Mostremos que ela n˜o ´ injectiva. Seja (a, b, c) um ponto no contradom´ a e ınio de f . Podemos tomar,por exemplo, b = c = 0 e a > 0. A equa¸˜o ca f (x, y, z) = (a, 0, 0)tem como solu¸˜o os pontos que est˜o na intersec¸˜o da esfera centrada na origem definida por ca a ca x2 + y 2 + z 2 = a(note que esta equa¸˜o define uma esfera pois a > 0) com a recta definida por ca x+y+z =0 x−y =0 (4.1)(a equa¸˜o x + y + z = 0 define um plano que intersecta o plano x − y = 0 numa recta). Esta carecta, que passa pela origem ((x, y, z) = (0, 0, 0) satisfaz o sistema 4.1), intersecta qualquer esferacentrada na origem em dois pontos distintos. Desta observa¸˜o conclu´ ca ımos imediatamente que fn˜o pode ser injectiva. a A complexidade de exemplos como os anteriores n˜o ocorre para transforma¸˜es lineares. Nesse a cocaso a injectividade local garante invertibilidade global.Exerc´ ıcio 4.1.5 Seja T uma transforma¸˜o linear de Rn em Rn . Justifique que o contradom´ ca ıniode T ´ Rn sse T ´ injectiva numa vizinhan¸a de 0 sse T ´ invert´ e e c e ıvel. 49 24 de Janeiro de 2000
  • 50. CAP´ ITULO 4. TEOREMAS DA FUNCAO INVERSA E DA FUNCAO IMPL´ ¸˜ ¸˜ ICITA A pr´xima proposi¸˜o relaciona a injectividade com a possibilidade de invertermos uma fun¸˜o. o ca caProposi¸˜o 4.1.2 caSeja f uma fun¸˜o de A ⊂ Rn em B ⊂ Rn . Se f for injectiva, existe uma fun¸˜o g : f (A) ⊂ B → A ca catal que (g ◦ f )(x) = x para todo o x ∈ A. A esta fun¸˜o g chama-se inversa de f e designa-se por caf −1 .Nota: A fun¸˜o inversa ter´ como dom´ ca a ınio a imagem por f de A, ou seja o conjunto f (A) = {y ∈B : y = f (x), x ∈ A} e n˜o o conjunto B a n˜o ser que f seja sobrejectiva (isto ´ f (A) = B). a a eExemplo 4.1.4 Vamos calcular a inversa da fun¸˜o f : [π, 2π] → R definida porf (x) = cos x. caSabemos que neste intervalo a fun¸˜o cos ´ injectiva (desenhe o gr´fico do coseno!). Tamb´m ca e a esabemos que o contradom´ ınio de f ´ o intervalo [−1, 1] pelo que a inversa ser´ uma fun¸˜o f −1 : e a ca ca e ´ aA ⊂ [−1, 1] → [π, 2π]. A fun¸˜o arccos x ´ a inversa do coseno mas no intervalo [0, π]. E f´cil −1verificar que a inversa de f ´ dada por f (y) = 2π − arccos y. e ıcio 4.1.6 Calcule a inversa da fun¸˜o fn (x) = sen x, onde fn : [(n − 1/2)π, (n + 1/2)π] →Exerc´ caR.4.1.1 Exerc´ ıcios SuplementaresExerc´ ıcio 4.1.7 Diga se as seguintes fun¸˜es s˜o ou n˜o injectivas: co a a 1. f : {(x, y) ∈ R2 : y = 0} → R+ × R+ definida por f (x, y) = ex/y , x2 + y 2 . 2. f : R2 → R2 definida por f (x, y) = (xy, x2 − y 2 ). 3. f : R2 → R2 definida por f (x, y) = (x2 + 2y 2 , 2x2 + y 2 ). 4. f : R2 → R definida por f (x, y) = x2 + y 2 .Exerc´ ıcio 4.1.8 Mostre que a composi¸˜o de fun¸˜es injectivas ´ uma fun¸˜o injectiva. ca co e ca ıcio 4.1.9 Dˆ uma condi¸˜o para que uma transforma¸˜o linear de Rn → Rn seja injectiva.Exerc´ e ca caExerc´ ıcio 4.1.10 1. Seja f : R → R uma fun¸˜o estritamente mon´tona. Justifique que f ´ injectiva. ca o e 2. Dˆ um exemplo de uma fun¸˜o mon´tona n˜o injectiva. e ca o a 3. Dˆ um exemplo de uma fun¸˜o n˜o mon´tona injectiva. e ca a oExerc´ ıcio 4.1.11 Prove que uma fun¸˜o real de vari´vel real mon´tona mas n˜o estritamente ca a o amon´tona n˜o ´ injectiva. o a eExerc´ ıcio 4.1.12 Seja f : R → R, cont´ınua. Prove que f ´ estritamente mon´tona sse for e oinjectiva. Dˆ um exemplo de um conjunto A ⊂ R e de uma fun¸˜o f : A → R cont´ e ca ınua tal que fn˜o seja mon´tona mas seja injectiva. a oExerc´ıcio 4.1.13 Mostre que a fun¸˜o f (v) = ca √ v com v ∈ ] − 1, 1[ ´ injectiva e determine o e 1−v 2seu contradom´ınio.Exerc´ ıcio 4.1.14 Mostre que uma fun¸˜o real de vari´vel real par nunca ´ injectiva. ca a e24 de Janeiro de 2000 50
  • 51. ¸˜ 4.1. INVERTIBILIDADE DE FUNCOESExerc´ıcio 4.1.15 Mostre que uma fun¸˜o real de vari´vel real diferenci´vel ´ injectiva se a sua ca a a ederivada for sempre positiva ou sempre negativa. ıcio 4.1.16 Consideremos a fun¸˜o f : R3 → R+ × R2 definida porExerc´ ca f (x, y, z) = ex+z , (x + y)3 , (x − y)5 .Mostre que ela ´ injectiva. e ıcio 4.1.17 Considere a fun¸˜o f : R3 → R3 definida porExerc´ ca f (x, y, z) = (4x2 + y 2 + 2z 2 , (x + y − z)2n+1 , (x − y)4n+3 )para n ∈ N. Determine se ela ´ injectiva. Determine se a restri¸˜o de f a R+ × R+ × R+ ´ ou e ca en˜o injectiva. a ıcio 4.1.18 Mostre que se uma fun¸˜o f : Rn → Rn verificar para todos os pontos x, yExerc´ ca f (x) − f (y) ≥ c x − y p ,para alguns p, c > 0 ent˜o f ´ injectiva. a eExerc´ ıcio 4.1.19 Prove que a fun¸˜o f : {(x, y) ∈ R2 : x > 0, 0 ≤ y < 2π} → R definida por caf (x, y) = (x cos y, x sen y) ´ injectiva e determine a sua inversa. e4.1.2 Sugest˜es para os exerc´ o ıcios4.1.7 x 1. Repare que para a, b > 0, as curvas de n´ definidas por ıvel = a s˜o as rectas definidas por a y 2 2 √ x = ay e as curvas definidas por x + y = b s˜o circunferˆncias de raio b. a e 2. Repare que para a, b = 0, as curvas de n´ definidas por xy = a s˜o hip´rboles bem como ıvel a e as definidas por x2 − y 2 = (x + y)(x − y) = b s˜o tamb´m hip´rboles. a e e 3. Ambas as curvas de n´ s˜o elipses. ıvel a 4. f (1, 0) = f (0, 1). Tente descobrir geometricamente porque ´ que f n˜o ´ injectiva. e a e4.1.8 f (g(x)) = f (g(y)) ⇒ g(x) = g(y) ⇒ x = y.4.1.9 A equa¸˜o Ax = y tem solu¸˜o unica em Rn sse det A = 0. ca ca ´4.1.10 1. f ´ estritamente mon´tona sse x < y ent˜o f (x) < f (y) ou f (x) > f (y). e o a 2. Por exemplo f (x) = 1 para x ∈ R. 3. Por exemplo f (x) = 1/x para x ∈ R {0}, f (0) = 0.4.1.11 Escreva a defini¸˜o de fun¸˜o estritamente mon´tona e compare com a defini¸˜o de fun¸˜o ca ca o ca camon´tona. o4.1.12 Recorde o que fez no exerc´ anterior e utilize as propriedades das fun¸˜es cont´ ıcio co ınuas.4.1.13 A fun¸˜o ´ estritamente crescente e portanto injectiva. O seu contradom´ ca e ınio ´ R. e4.1.14 Se f ´ par ent˜o f (x) = f (−x). e a 51 24 de Janeiro de 2000
  • 52. CAP´ ITULO 4. TEOREMAS DA FUNCAO INVERSA E DA FUNCAO IMPL´ ¸˜ ¸˜ ICITA4.1.15 Se a derivada for sempre positiva ou sempre negativa a fun¸˜o ´ mon´tona. ca e o4.1.16 Repare que a fun¸˜o ´ a composi¸˜o da transforma¸˜o linear (x, y, z) → (x + z, x + y, x − y) ca e ca cacom a fun¸˜o (x, y, z) → (ex , y 3 , z 5 ). Se ambas as fun¸˜es forem injectivas f tamb´m ser´. ca co e a Alternativamente poder´ aplicar o m´todo gr´fico. a e a4.1.17 As solu¸˜es da equa¸˜o f (x, y, z) = (a, b, c) est˜o sobre a intersec¸˜o de um elips´ide com co ca a ca odois planos.4.1.18 Se f (x) = f (y) temos 0 ≥ f (x) − f (y) ≥ c x − y p o que implica x = y.4.1.19 Repare que a inversa pode ter de ser escrita “por ramos” (veja o exemplo 4.1.4).4.2 Teorema do valor m´dio para fun¸˜es vectoriais e coVai ser necess´rio, em particular ao iniciar o estudo do teorema da fun¸˜o inversa, estimar dis- a catˆncias no contradom´ a ınio de uma fun¸˜o em termos de distˆncias no dom´ ca a ınio, isto ´, estimar e F (x) − F (y) em termos de x − y . Para tal necessitaremos doLema 4.2.1 (Teorema do valor m´dio) eSeja F : U ⊂ Rn → Rm uma fun¸˜o de classe C 1 (S). Sejam x, y ∈ S e tais que o segmento de carecta que une x a y est´ contido em S. Ent˜o a a F (x) − F (y) ≤ sup DF (tx + (1 − t)y)(x − y) . t∈[0,1]Ideia da demonstra¸˜o. Mais uma vez recorremos ao teorema do valor m´dio para fun¸˜es escalares ca e coatrav´s de uma fun¸˜o auxiliar. Seja g(t) = (F (x) − F (y)) · F (tx + (1 − t)y). Aplique-se o teorema e cado valor m´dio a g no intervalo [0, 1] e estime-se usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz. e Este resultado ainda n˜o tem a forma pretendida. Para isso introduzimos aDefini¸˜o 4.2.1 (Norma de aplica¸˜es lineares e de matrizes) Seja L : Rn → Rm uma ca coaplica¸˜o linear. Definimos a norma de L como sendo ca L ≡ sup L(x) . x =1Seja A ∈ Mm×n . Definimos a norma de A atrav´s de e A = LA .em que LA ´ a aplica¸˜o linear definida canonicamente pela matriz A via LA (x) = Ax. Por vezes e ca √consideraremos outras normas para matrizes reais como A 2 = tr AT A ou A ∞ = m´xi,j |aij | aem que A = (aij )i,j=1,...,n . Continua a valer nesta situa¸˜o a observa¸˜o feita para normas em Rn ca cade que todas estas normas s˜o equivalentes. O problema seguinte formaliza isso de alguma forma. aProblema 4.2.1 Seja E um espa¸o vectorial real ou complexo. Designe-se K = R ou K = C cconforme o caso. Uma fun¸˜o η : E → R diz-se uma norma em E se verifica as propriedades caenumeradas na defini¸˜o 2.1.1 substituindo Rn ↔ E e x ∈ R ↔ x ∈ K. ca 1. Verifique que as normas de aplica¸˜es lineares e matrizes da defini¸˜o 4.2.1 s˜o normas co ca a nesta acep¸˜o geral. ca 2. Verifique que quaisquer duas normas num espa¸o vectorial de dimens˜o finita s˜o equivalen- c a a tes (adapte o enunciado e solu¸˜o do exerc´ ca ıcio 2.1.13). 3. Quais s˜o as melhores contantes na equivalˆncia entre as normas de matrizes mencionadas a e na defini¸˜o 4.2.1? ca24 de Janeiro de 2000 52
  • 53. ¸˜ 4.3. TEOREMA DA FUNCAO INVERSACorol´rio 4.2.2 aSob as mesmas hip´teses do lema 4.2.1 vale o F (x) − F (y) ≤ m´x DF (tx + (1 − t)y) x − y . a (4.2) t∈[0,1]Mais geralmente se F ∈ C 1 (K), com K um conjunto limitado, fechado e convexo2 , ent˜o para atodos os x, y ∈ K temos |F (x) − F (y)| ≤ m´x DF (tx + (1 − t)y) x − y . a t∈[0,1]Ambos os m´ximos atr´s referidos s˜o finitos (porquˆ?). a a a eProblema 4.2.2 Conv´m notar que n˜o existe uma vers˜o do teorema do valor m´dio para fun- e a a eco¸˜es vectoriais an´loga ` conhecida para fun¸˜es escalares e que envolva uma igualdade da forma a a cof (b) − f (a) = Df (a + θ(b − a))(b − a). Com efeito, pode verificar que para a fun¸˜o g : R → R2 cadefinida por g(t) = (cos t, sen t) n˜o existe θ ∈ ]0, 2π[ tal que g(2π) − g(0) = Dg(θ)(2π) embora a adesigualdade 4.2.Problema 4.2.3 Seja A ∈ Mn×n e LA a aplica¸˜o linear definida canonicamente por A como cadefinido anteriormente. Obtenha uma express˜o para o valor de LA em termos dos valores apr´prios de AT A. o4.3 Teorema da Fun¸˜o Inversa caEm primeira aproxima¸˜o o teorema da fun¸˜o inversa diz respeito ` resolu¸˜o de sistemas de ca ca a caequa¸˜es n˜o lineares da forma co a F (x) = y (4.3)em que x, y ∈ Rn . Pretende-se obter, sob condi¸˜es apropriadas, a garantia de existˆncia de uma co efun¸˜o que nos dˆ x em fun¸˜o de y satisfazendo a equa¸˜o, avaliar da regularidade de tal fun¸˜o ca e ca ca cae relacionar a derivada da inversa com a derivada de F . Tais objectivos s´ s˜o exequ´ o a ıveis sobcondi¸˜es particulares e desde que entendamos a existˆncia de inversa num sentido local, isto ´, co e edado um ponto x0 no dom´ ınio de F estabelece-se a existˆncia de vizinhan¸as V de x0 e W de e cF (x0 ) e de uma fun¸˜o G : W → V tal que para todo o x ∈ V temos G(F (x)) = x. Nota-se que cas˜o casos particulares j´ conhecidos os seguintes: a aExemplo 4.3.1 (Caso linear) Suponha-se que A ∈ M, em que M designa as matrizes reaisn × n, e b ∈ Rn . Considere-se F (x) ≡ Ax + b.Ent˜o o sistema (4.3) ´ sol´vel se e s´ se det A = 0 e nesse caso podemos obter explicitamente a e u o x = A−1 (y − b) ≡ F −1 (y).Note-se que neste caso DF = A, F −1 ´ diferenci´vel e (DF )−1 = A−1 . e aExemplo 4.3.2 (Dimens˜o 1) Seja f : ]a, b[ → R, f ∈ C 1 (]a, b[) , a < x0 < b, y0 ≡ f (x0 ), af (x0 ) = 0. Ent˜o f mant´m o seu sinal numa vizinhan¸a V de x0 e consequentemente f ´ a e c eestritamente mon´tona em V . Assim a restri¸˜o de f a V , f |V , ´ invert´ o ca e ıvel, diferenci´vel e se a −1 −1g ≡ (f |V ) temos g (y0 ) = [f (x0 )] . Nesta situa¸˜o podemos abdicar de alguma regularidade de f , supondo f unicamente diferen- caci´vel em vez de C 1 desde que suponhamos que f mant´m o seu sinal num intervalo J contendo a ex0 . Podemos ent˜o concluir que f ´ invert´ em J. a e ıvel 2 Um subconjunto de um espa¸o vectorial diz-se convexo se cont´m qualquer segmento de recta definido por um c epar dos seus pontos. 53 24 de Janeiro de 2000
  • 54. CAP´ ITULO 4. TEOREMAS DA FUNCAO INVERSA E DA FUNCAO IMPL´ ¸˜ ¸˜ ICITA A segunda parte do exemplo anterior deve ser contrastado comProblema 4.3.1 Considere a aplica¸˜o3 R2 (x, y) → (ex cos y, ex sen y). Verifique que o deter- caminante da matriz jacobiana desta fun¸˜o mant´m o sinal em R2 e no entanto a fun¸˜o n˜o ´ ca e ca a einvert´ ıvel. No entanto, dado um ponto existe uma vizinhan¸a tal que a restri¸˜o da fun¸˜o a essa c ca cavizinhan¸a ´ invert´ c e ıvel. Basta ter em conta o caso linear descrito no exemplo 4.3.1 para constatar que a generaliza¸˜o cado teorema da fun¸˜o inversa que procuramos n˜o ter´ entre as suas hip´teses DF (x0 ) = 0 por ca a a oesta hip´tese n˜o ser suficiente para garantir invertibilidade. O caso linear sugere fortemente que o auma hip´tese a considerar seja DF (x0 ) invert´ e, de facto, assim ´. Uma forte sugest˜o de que o ıvel e aassim ser´ decorre tamb´m do seguinte problema a eProblema 4.3.2 Considere uma fun¸˜o F definida num aberto, diferenci´vel e que possui inversa ca adiferenci´vel. a a) Verifique a rela¸˜o (DF )−1 = D(F −1 ). ca b) Verifique que se F ∈ C 1 ent˜o F −1 ∈ C 1 . a A importˆncia do teorema da fun¸˜o inversa vai decorrer n˜o s´ do resultado em si mas tamb´m a ca a o edos m´todos a aplicar na demonstra¸˜o serem suscept´ e ca ıveis de generaliza¸˜o a outras ´reas de ca aMatem´tica4 . Por isso vamos dedicar algum tempo a motivar e descrever as principais ideias da asua demonstra¸˜o. No entanto, antes de iniciar a discuss˜o do teorema propriamente dito conv´m ca a enotar algus factos elementares. A ideia base consiste na constru¸˜o da inversa local atrav´s dum limite de aproxima¸˜es su- ca e cocessivas sendo cada aproxima¸˜o constru´ atrav´s da resolu¸˜o dum problema linear em que um ca ıda e cados dados ´ o termo anterior da sucess˜o. Designaremos tal sucess˜o por (xi )i∈N e a aplica¸˜o e a a caque associa a cada termo da sucess˜o o termo seguinte por Ty , isto ´ Ty (xi−1 ) = xi para i ∈ N. a eO dom´ ınio de Ty ser´ uma vizinhan¸a V de x0 e y ∈ W uma vizinhan¸a de y0 ≡ F (x0 ). Tais a c cvizinhan¸as ser˜o escolhidas suficientemente pequenas de maneira a a´ se verificarem condi¸˜es que c a ı cogarantam a convergˆncia da sucess˜o (xi )i∈N . Existem pelo menos duas hip´teses naturais para e a oa escolha de Ty via a substitui¸˜o de F por uma sua aproxima¸˜o linear e resolu¸˜o do sistema ca ca calinear correspondente: −1 Ty (x) = x + DF (x) (y − F (x)) (4.4)ou −1 Ty (x) = x + DF (x0 ) (y − F (x)). (4.5)O significado de cada uma destas duas escolhas ´ ilustrado para o caso unidimensional na figura 4.3. eEmbora a primeira possa parecer mais natural a segunda tem a vantagem de n˜o ser necess´rio ter a ade controlar a varia¸˜o da derivada DF (x) o que permitir´ alguma simplifica¸˜o do argumento 5 . ca a caConsideramos ent˜o que Ty est´ definida por (4.5) com x e y em vizinhan¸as a especificar de x0 a a ce y0 . 0 k k−1 Convencionamos que Ty ≡ Ty e Ty ≡ Ty ◦ Ty . Pretendemos provar que a inversa local, G,´ dada pore k G(y) = lim Ty (x0 ). (4.6) k→∞Exerc´ ıcio 4.3.1 Experimente aplicar o algoritmo descrito ao problema de determinar zeros def (x) = x − x2 come¸ando com x0 = 1/2. E com x0 = 4? c 3 Verificaremosmais tarde que se identificarmos R2 a C da maneira habitual esta aplica¸˜o ´ simplesmente ca eC z → ez . 4 Para a maioria dos alunos tais exemplos ser˜o encontrados ao estudar An´lise Num´rica e Equa¸˜es Diferenciais a a e coOrdin´rias. a 5 A op¸˜o pela segunda hip´tese ´ tamb´m natural do ponto de vista do m´todo num´rico, conhecido por m´todo ca o e e e e ede Newton, a que corresponde, pois evita recalcular e inverter uma matriz em cada itera¸˜o ca24 de Janeiro de 2000 54
  • 55. ¸˜ 4.3. TEOREMA DA FUNCAO INVERSA ¡ y0 ¡ y0 ¡ y ¡ y   x2   x1   x0   x2 x1     x0Figura 4.3: Duas hip´teses para a determina¸˜o de ra´ o ca ızes de uma equa¸˜o n˜o linear por itera¸˜es ca a cosucessivas. Claro que uma hip´tese necess´ria para que estas ideias funcionem ser´ exigir que DF (x0 ) seja o a ainvert´ ou de forma equivalente que o determinante da matriz jacobiana em x0 seja n˜o nulo. ıvel a Primeiro verificaremos que o limite em 4.6 existe e s´ depois que o limite ´ a solu¸˜o pretendida. o e caFinalmente verificar-se-´ a regularidade da inversa local constru´ a ıda. Resumindo, os passos essenciais da demonstra¸˜o do teorema da fun¸˜o inversa s˜o: ca ca a 1. Mostrar que a sucess˜o de aproxima¸˜es sucessivas (xk )k∈N ´ convergente. a co e 2. Mostrar que o limite da sucess˜o define uma inversa local. a 3. Mostrar que a inversa local ´ de classe C 1 . e Comecemos ent˜o por tentar provar que a sucesss˜o de aproxima¸˜es sucessivas ´ convergente. a a co eTal ser´ feito ` custa de um desenvolvimento “telesc´pico” dos termos da sucess˜o da seguinte a a o aforma i xi = x0 + (xj − xj−1 ). j=1Tal permite reduzir o estudo da convergˆncia da sucess˜o ao estudo da convergˆncia da s´rie e a e e xj − xj−1 . Para isso iremos utilizar +∞ +∞Problema 4.3.3 Seja k=1 xk uma s´rie de termo geral em Rn . Prove que se a s´rie e e k=1 xk´ convergente em R ent˜o a s´rie ´ convergente6 .e a e ePara provar a convergˆncia da s´rie j xj −xj−1 tentaremos estabelecer condi¸˜es que garantem e e coque o seu termo geral ´ majorado pelo de uma s´rie geom´trica convergente. Isto equivale a exigir e e eque xj+1 − xj ≤ ρ xj − xj−1para alguma constante ρ, com 0 ≤ ρ < 1. Ora xj+1 − xj = Ty (xj ) − Ty (xj−1 )pelo que tal objectivo estar´ garantido se a aplica¸˜o Ty verificar para todo o x, z ∈ V e todo o a cay∈W Ty (x) − Ty (z) ≤ ρ x − z . (4.7) 6 Nestas condi¸˜es diz-se que a s´rie ´ absolutamente convergente. co e e 55 24 de Janeiro de 2000
  • 56. CAP´ ITULO 4. TEOREMAS DA FUNCAO INVERSA E DA FUNCAO IMPL´ ¸˜ ¸˜ ICITA U   f W V ¡ y0 ¢ x0 –1 (f|V ) Figura 4.4: Algumas das conven¸˜es na demonstra¸˜o do teorema da fun¸˜o inversa. co ca caCom efeito Ty (x) − Ty (z) = x − z − DF (x0 )−1 (F (x) − F (z)) = DF (x0 )−1 (F (x) − F (z) − DF (x0 )(x − z)) ≤ M (F (x) − F (z) − DF (x0 )(x − z)) ≤ Mα x − z ,em que M = DF (x0 )−1 e na ultima passagem usou-se o teorema do valor m´dio aplicado ` ´ e afun¸˜o H(x) = F (x) − DF (x0 )(x − x0 ) sendo α = supx∈V DH(x) e exigindo que V seja caconvexa (uma bola). Notando que DH(x0 ) = 0 e usando a continuidade das derivadas parciais deF , conclu´ ımos que podemos fazer M α < 1 desde que V seja suficientemente pequena (uma bolacom raio suficientemente pequeno B (x0 )). Provamos agora que os termos das sucess˜es e os seus limites pertencem ` vizinhan¸a V de o a cx0 desde que W e V sejam escolhidas suficientemente pequenas. Isto completar´ a justifica¸˜o da a caconvergˆncia da sucess˜o de aproxima¸˜es sucessivas. Para isso estimamos e a co Ty (x) − x0 = x − x0 + DF (x0 )−1 (y − F (x0 ) + F (x0 ) − F (x)) ≤ DF (x0 )−1 (y − F (x0 )) + x − x0 + DF (x0 )−1 (F (x0 ) − F (x)) ≤ M y − F (x0 ) + M (F (x0 ) − F (x)) − DF (x0 )(x0 − x) ≤ M y − F (x0 ) + M α x0 − xde oonde podemos concluir que, se escolhermos > 0 de maneira a que x0 −x < garanta M α <1/3, podemos escolher tamb´m y−F (x0 ) < r de maneira a M r < /3, donde Ty (x)−x0 < 2 . e 3Logo todos os termos das sucess˜es e os seus limites estar˜o em B 2 (x0 ) ⊂ B (x0 ) ≡ V . o a 3 Notamos tamb´m que G(y) satisfaz F (G(y)) = y se Ty (G(y)) = G(y). Esta ultima igualdade e ´decorre da continuidade de Ty que por sua vez decorre da desigualdade (4.7). Assim G satisfazF (G(y)) = y. Ainda n˜o prov´mos que numa vizinhan¸a suficientemente pequena de x0 a fun¸˜o F ´ injectiva. a a c ca eA n˜o injectividade corresponderia ` existˆncia de x, z, x = z tais que F (x) = F (z) = y. Ter´ a a e ıamosent˜o tamb´m Ty (x) = Ty (z). Assim x − z = Ty (x) − Ty (z) ≤ ρ x − z com 0 < ρ < 1, para a ex, z ∈ B (x0 ), o que ´ imposs´ a n˜o ser que x = z. e ıvel a Resta agora estabelecer propriedades da inversa local. Note-se que, se estabelecermos quea inversa local ´ diferenci´vel com derivada dada por DG(F (x)) = (DF (x))−1 , a continuidade e ade DF mais a f´rmula expl´ o ıtica para a matriz jacobiana de G estabelecem que DG ∈ C 17 . A 7 De forma an´loga se F ∈ C k ent˜o G ∈ C k com k ≥ 2 ou k = ∞ a a24 de Janeiro de 2000 56
  • 57. ¸˜ 4.3. TEOREMA DA FUNCAO INVERSAunicidade local da inversa permite limitarmo-nos a analisar a diferenciabilidade em y0 = F (x0 ).Para tal, convencionando F (x) = y e x = x0 , considera-se E ≡ G(y) − G(y0 ) − DF (x0 )−1 (y − y0 ) = x − x0 − DF (x0 )−1 (F (x) − F (x0 )) = x − x0 − DF (x0 )−1 (DF (x0 )(x − x0 ) + o( x − x0 )) = − DF (x0 )−1 (o( x − x0 )) ≤ DF (x0 )−1 o( x − x0 ) .Demonstrar a diferenciabilidade de G em y0 com derivada DF (x0 )−1 corresponde a mostrar queE/ y − y0 → 0 quando y → y0 o que a desigualdade anterior permite reduzir a mostrar que x−x0 y−y0 ´ limitado para x numa vizinhan¸a de x0 e que G ´ cont´ e c e ınua em x0 (o que garante queE/ x − x0 → 0 quando y → y0 ). Quanto ` primeira destas quest˜es observamos que a o x − x0 x − x0 1 = ≤ −1 y − y0 DF (x0 )(x − x0 ) + o( x − x0 ) 2 DF (x0 ) o( x−x0 )em que no ultimo passo escolheu-se x numa vizinhan¸a de x0 de forma a termos ´ c x−x0 ≤ 1 Ax 12 DF (x0 ) e usou-se a estimativa −1 ≥ x v´lida para um operador linear n˜o singular a A−1 a n nA : R → R (demonstre-a!). Quanto ` continuidade de G em y0 deixamos ao cuidado do leitor aestabelecer que estimativas j´ obtidas permitem afirmar que dado > 0 existem com 0 < < ae r > 0 tais que y − y0 < r e x − x0 < implicam Ty (x) − x0 < . Consequentemente, kpor indu¸˜o obt´m-se que Ty (x0 ) − x0 < para todo o k ∈ N e por passagem ao limite ca e G(y) − G(y0 ) < . Provou-se assim:Teorema 4.3.1 (Fun¸˜o Inversa) caSeja F : U ⊂ Rn → Rn uma fun¸˜o de classe C 1 (U ) em que U ´ um aberto e seja x0 ∈ U tal que ca eDF (x0 ) ´ n˜o singular, isto ´, e a e det DF (x0 ) = 0.Ent˜o a i) existem vizinhan¸as V de x0 e W de F (x0 ) tais que F ´ uma bijec¸˜o de V sobre W e portanto c e ca −1 F|V : W → V est´ bem definida; a −1 ii) G = F|V ∈ C 1 (W ); −1iii) a derivada da fun¸˜o G = F|V no ponto y = f (x) verifica ca D(G)(y) = (DF (x))−1 , para todo o x ∈ V ou todo o y ∈ W . Adicionalmente se F ∈ C k (U ) com k ∈ N ou k = ∞ ent˜o G ∈ C k (W ). a Conv´m acentuar que o teorema da fun¸˜o inversa n˜o garante invertibilidade global e n˜o ´ e ca a a esuscept´ de ser melhorado nesse sentido devido a exemplos como o do problema 4.3.1. ıvelExemplo 4.3.3 Consideremos a fun¸˜o f : R2 {(0, 0)} → R2 definida por ca f (x, y) = xy, y 2 − x2 .O seu jacobiano8 ´ dado por e ∂f1 ∂f1 y x det ∂x ∂f2 ∂y ∂f2 = det = 2(x2 + y 2 ). ∂x ∂y −2x 2y 8 Jacobiano ´ uma abreviatura de determinante da matriz jacobiana. e 57 24 de Janeiro de 2000
  • 58. CAP´ ITULO 4. TEOREMAS DA FUNCAO INVERSA E DA FUNCAO IMPL´ ¸˜ ¸˜ ICITAComo este valor ´ sempre positivo (notemos que a origem foi exclu´ do dom´ e ıda ınio), o teorema dafun¸˜o inversa garante a invertibilidade local desta fun¸˜o. No entanto f (1, 1) = f (−1, −1) e logo ca caa fun¸˜o n˜o pode ser globalmente invert´ por n˜o ser injectiva. ca a ıvel a ıcio 4.3.2 Seja f : R2 {(0, 0)} → R2 definida porExerc´ f (x, y) = (xy, y 6 − x6 )Mostre que f ´ localmente injectiva mas n˜o globalmente injectiva. e aExerc´ ıcio 4.3.3 Mostre que f : R → R2 definida por f (θ) = (cos θ, sen θ) ´ localmente mas n˜o e aglobalmente injectiva ( n˜o utilize o teorema da fun¸˜o inversa para provar injectividade local mas a casim um racioc´ ınio ad hoc).O teorema da fun¸˜o inversa n˜o s´ garante, em determinadas condi¸˜es, a existˆncia da inversa ca a o co ede uma fun¸˜o f , como tamb´m permite calcular, gra¸as ` garantia de diferenciabilidade numa ca e c avizinhan¸a, todas as derivadas de f −1 at´ ` ordem m, o grau de diferenciabilidade de f . O exemplo c easeguinte ilustra este facto:Exemplo 4.3.4 Seja f (x) = x + x2 . O teorema da fun¸˜o inversa garante que f ´ invert´ ca e ıvelnuma vizinhan¸a de x = 0. Seja g a inversa de f . Ent˜o temos g(0) = 0 e c a f (g(y)) = g(y) + g(y)2 = y.Diferenciando a identidade anterior obtemos ∂g ∂g (y) + 2g(y) (y) = 1. (4.8) ∂y ∂yPortanto em y = 0 temos ∂g (0) = 1. ∂yDiferenciando a identidade 4.8 obtemos ∂2g ∂g ∂2g 2 (y) + 2 (y)2 2g(y) 2 (y) = 0 ∂y ∂y ∂yde onde se tira ∂2g (0) = −2. ∂y 2Exerc´ ıcio 4.3.4 Calcule a inversa da fun¸˜o f (x) = x + x2 e confirme o resultado do exemplo caanterior.Exemplo 4.3.5 Seja f : R → R uma fun¸˜o C ∞ . Se f (x) = 0, ent˜o ´ poss´ calcular todas ca a e ıvelas derivadas de f −1 no ponto y = f (x) usando o m´todo seguinte: e Consideremos a identidade f f −1 (y) = y.Derivando ambos os membros da express˜o anterior obtemos, pela regra da deriva¸˜o da fun¸˜o a ca cacomposta, ∂f −1 ∂f −1 f (y) (y) = 1. (4.9) ∂x ∂yDa equa¸˜o anterior obtemos ca ∂f −1 1 (y) = ∂f . ∂y ∂x (f −1 (y))24 de Janeiro de 2000 58
  • 59. ¸˜ 4.3. TEOREMA DA FUNCAO INVERSA ∂ 2 f −1Para o c´lculo de a ∂y 2 (y) derivamos novamente (4.9), obtendo 2 ∂ 2 f −1 ∂f −1 ∂f −1 2 ∂ 2 f −1 f (y) (y) + f (y) + (y) = 0, ∂x2 ∂y ∂x ∂y 2de onde conclu´ ımos 2 −1 2 ∂ f ∂ 2 f −1 ∂x2 f −1 (y) ∂f (y) ∂y (y) = − . ∂y 2 ∂f (f −1 (y))2 ∂xAssim, calculando sucessivamente as diversas derivadas de f −1 podemos desenvolver esta fun¸˜o caem f´rmula de Taylor em torno do ponto y e portanto, numa vizinhan¸a suficientemente pequena, o caproxim´-la com precis˜o arbitr´ria. a a aExerc´ ıcio 4.3.5 Utilizando as ideias do exemplo anterior calcule ∂ 3 f −1 (y). ∂y 3 Aplicando o exemplo anterior a uma fun¸˜o podemos obter a f´rmula de Taylor de f −1 (y) em ca otorno de um ponto ıcio 4.3.6 Seja f (x) = x + ex .Exerc´ 1. Prove que f ´ injectiva e portanto a inversa f −1 existe. e 2. Calcule o desenvolvimento de Taylor de f −1 (y), em torno de y = f (0) = 1 at´ ` terceira e a ordem. Para o c´lculo de primeiras derivadas da inversa de uma fun¸˜o o teorema da fun¸˜o inversa a ca cad´-nos uma express˜o expl´ a a ıcita, que pode ser aplicada directamente.Exemplo 4.3.6 Seja f : R2 → R2 a fun¸˜o dada por ca f (x, y) = x + y + x3 y − xy + 1, x − y + x4 ch y .Sabemos que f (0, 0) = (1, 0). Podemos facilmente provar que a fun¸˜o f admite inversa local cadefinida numa vizinhan¸a do ponto (1, 0), sendo f −1 (1, 0) = (0, 0). De facto temos c 1 + 3x2 y − y 1 + x3 − x Jf = . 1 + 4x3 ch y −1 + x4 sh yNo ponto (x, y) = (0, 0) obtemos 1 1 Df (0, 0) = . 1 −1 −1 −1Assim, como det Df = −2 = 0 e a fun¸˜o ´ de classe C ∞ existe inversa f −1 = (f1 , f2 ) tamb´m ca e e ∞C numa vizinhan¸a de (u, v) = (1, 0) e verificando c −1 −1 ∂f1 ∂f1 −1 −1 ∂u ∂v 1 1 1/2 1/2 Df (1, 0) = −1 −1 = = . ∂f2 ∂f2 1 −1 1/2 −1/2 ∂u ∂v (u,v)=(1,0) Podemos tamb´m aplicar ideias semelhantes `s do exemplo (4.3.5) para fun¸˜es de Rn em Rn . e a coUtilizando um procedimento an´logo, resolva ent˜o o seguinte exerc´ a a ıcio: ∂ 2 f −1Exerc´ ıcio 4.3.7 Determine ∂u2 (u, v) com (u, v) = f (x, y) = xy, x2 − y 2 . 59 24 de Janeiro de 2000
  • 60. CAP´ ITULO 4. TEOREMAS DA FUNCAO INVERSA E DA FUNCAO IMPL´ ¸˜ ¸˜ ICITA Com o teorema da fun¸˜o inversa tamb´m podemos dar uma condi¸˜o de injectividade local ca e casobre fun¸oes de Rn → Rm , com m ≥ n, como se pode verificar no exemplo seguinte: c˜Exemplo 4.3.7 Se car[Df ] = n (isto ´ a caracter´ e ıstica de Df ou seja o n´mero de linhas ou ucolunas linearmente independentes de Df for n) ent˜o a fun¸˜o f ´ localmente injectiva. a ca e Seja f : Rn → Rm , com f (x) = (f1 (x), . . . , fm (x). Se car[Df ] = n no ponto x0 ent˜o existem a´ındices i1 , . . . , in tais que a matriz  ∂f ∂f 1  i1 ∂x1 . . . ∂xin  . . .  . .   . .  ∂fin ∂fin ∂x1 . . . ∂xntem determinante n˜o nulo. Ent˜o, pelo teorema da fun¸˜o inversa a fun¸˜o g(x) = (fi1 , . . . , fin ) a a ca ca´ localmente injectiva, pelo que f tamb´m ser´ localmente injectiva.e e aExerc´ıcio 4.3.8 Mostre, usando o exemplo anterior, que a aplica¸˜o R ca x → (sen x, cos x) ´ elocalmente injectiva.4.3.1 Exerc´ ıcios SuplementaresExerc´ ıcio 4.3.9 Considere o sistema de equa¸˜es co u= xy + sen(x + y), v= e−x+y−2 + x . yMostre que existem vizinhan¸as de (u, v) = (−1, 0) e de (x, y) = (−1, 1) tais que o sistema define c(x, y) como uma fun¸˜o C 1 de (u, v) desde que as vari´veis estejam nessas vizinhan¸as. Calcule ca a c∂x∂u (−1, 0).Exerc´ ıcio 4.3.10 Considere o sistema de equa¸˜es n˜o lineares co a u = x2 y 3 + sen(x + y) − 1, v = sen(xy) + x − y + 1. a) Mostre que existem vizinhan¸as de (x, y) = (0, 0) e de (u, v) = (−1, 1) tais que aquele sistema c define (x, y) como uma fun¸˜o C ∞ de (u, v) em tais vizinhan¸as. ca c b) Calcule a matriz jacobiana da fun¸˜o cuja existˆncia garantiu na al´ ca e ınea anterior no ponto (−1, 1).Exerc´ ıcio 4.3.11 Considere a fun¸˜o real de vari´vel real definida por f (x) = cos x. ca a 1. Qual a maior vizinhan¸a V do ponto −π/4 tal que f|V ´ injectiva? Calcule a inversa de f c e em V . 2. Existe alguma vizinhan¸a de π na qual a fun¸˜o f seja injectiva? c ca −1 −1 π 3. Calcule uma inversa local de f , fπ/2 , tal que fπ/2 (0) = 2. −1 −1 3π 4. Calcule uma inversa local de f , f3π/2 , tal que f3π/2 (0) = 2 .Exerc´ ıcio 4.3.12 Mostre que a fun¸˜o f : R2 {(0, 0)} → R2 {(0, 0)} ´ localmente mas n˜o ca e aglobalmente injectiva f (x, y) = (xy, 2x2 − 5y 2 ).24 de Janeiro de 2000 60
  • 61. ¸˜ 4.3. TEOREMA DA FUNCAO INVERSA 1 0.5 -2 2 4 6 -0.5 -1 Figura 4.5: Gr´fico do coseno a ıcio 4.3.13 Mostre que a fun¸˜o f : R3 → R3 , definida porExerc´ ca f (x, y, z) = (sen(x + y), sen(x − y), z 3 − z 5 ),´ localmente injectiva em torno (0, 0, 0) mas que n˜o ´ globalmente injectiva.e a eExerc´ ıcio 4.3.14 Considere o sistema de equa¸˜es co u= xy + sen(x + y), v= e−x+y−2 + x . yMostre que existem vizinhan¸as de (u, v) = (−1, 0) e de (x, y) = (−1, 1) tais que o sistema define c(x, y) como uma fun¸˜o C 1 de (u, v) desde que as vari´veis estejam nessas vizinhan¸as. Calcule ca a c∂x∂u (−1, 0).Exerc´ıcio 4.3.15 Seja f : A → Rn uma fun¸˜o de classe C 1 , onde A ´ um conjunto aberto. ca eProve que para cada conjunto compacto C, C ⊂ A onde Jf = 0 existe um n´mero finito de uconjuntos abertos Ui tais que C ⊂ ∪Ui e f ´ invert´ em cada Ui . Sugest˜o: Utilize o teorema e ıvel ade Heine-Borel.Exerc´ ıcio 4.3.16 Considere a fun¸˜o ca f (x, y) = (sen x arccotg y, cos x arccotg y).Prove que 1. Jf (x, y) = 0 para todo o x e y. 2. f n˜o ´ injectiva. a e4.3.2 Sugest˜es para os exerc´ o ıcios4.3.11 1. Observe a figura 4.5 e repare que a restri¸˜o da fun¸˜o cos x ao intervalo [−π, 0] ´ injectiva. ca ca e 2. Utilize a figura 4.5. 3. Uma inversa poss´ ser´ arccos x, para x ∈ [−1, 1]. ıvel a 4. Uma inversa nas condi¸˜es requeridas ´ 2π − arccos x, para x ∈ [−1, 1]. co e 61 24 de Janeiro de 2000
  • 62. CAP´ ITULO 4. TEOREMAS DA FUNCAO INVERSA E DA FUNCAO IMPL´ ¸˜ ¸˜ ICITA4.3.12 Temos y x Df = 4x −10ye portanto det Df = −10y 2 − 4x2 = 0 para x, y = 0. Deste modo o teorema da fun¸˜o inversa cagarante a injectividade local de f . Temos tamb´m que f (1, 1) = f (−1, −1) pelo que f n˜o ´ e a einjectiva.4.3.13 Repare que a fun¸˜o (sen(x + y), sen(x − y)) ´ localmente injectiva numa vizinhan¸a da ca e corigem. ´ tamb´m f´cil verificar que numa vizinhan¸a de z = 0 a fun¸˜o z 3 − z 5 ´ injectiva. e e a c ca eCom estes resultados ´ f´cil provar que f ´ localmente injectiva em torno da origem. f (x, y, 0) = e a ef (x, y, 1), pelo que f n˜o pode ser injectiva. a4.3.14 Definindo f (x, y) = (xy + sen(x + y), e−x+y−2 + x ), temos y 2 0 Df (−1, 0) = . 0 2Como o determinante desta matriz ´ n˜o nulo a fun¸˜o ´ localmente invert´ e e a ca e ıvel 1/2 0 Df −1 (−1, 1) = . 0 1/24.3.15 Como o jacobiano n˜o se anula, para cada ponto existe uma vizinha¸a Ux onde a fun¸˜o a c ca´ invert´e ıvel. O conjunto de todas estas vizinhan¸as ´ uma cobertura de C. Como este conjunto ´ c e ecompacto podemos extrair uma subcobertura finita (pelo teorema de Heine-Borel).4.3.16 O primeiro resultado obtem-se pelo m´todo usual, sendo o jacobiano dado por e arccotg y Jf = − , 1 + y2que nunca se anula. Note que a fun¸˜o arccotg n˜o est´ definida na origem. ca a a4.4 Teorema da Fun¸˜o Impl´ ca ıcitaFrequentemente necessitamos de resolver equa¸˜es na forma co f (x, y) = 0,em ordem a x ou y. Por´m, mesmo para express˜es simples, esta tarefa pode ser extremamente e odif´ ıcil. Para se convencer disto. . .Exerc´ ıcio 4.4.1 Tente resolver a equa¸˜o ca y + sen y − x = 0 (4.10)de modo a obter y em fun¸˜o de x. Aparentemente n˜o existe solu¸˜o expl´ ca a ca ıcita elementar masnunca se sabe. . .No entanto, conhecemos uma solu¸˜o da equa¸˜o 4.10, nomeadamente y = x = 0. Para al´m ca ca edisso numa vizinhan¸a da origem, a fun¸˜o x = y + sen y tem inversa pois ´ injectiva. Portanto, c ca eaplicando o teorema da fun¸˜o inversa, poder´ ca ıamos mostrar a existˆncia de uma fun¸˜o y(x) tal e caque y(x) + sen(y(x)) − x = 0.Exerc´ ıcio 4.4.2 Confirme as afirma¸˜es anteriores. co24 de Janeiro de 2000 62
  • 63. 4.4. TEOREMA DA FUNCAO IMPL´ ¸˜ ICITA   y A   y= 1 - x2 ¡ - 1 - x2 ¢   y= ¡ ¡ x B   y= - 1 - x2 ¡Figura 4.6: A por¸˜o da circunferˆncia x2 + y 2 − 1 = 0 ampliada em A n˜o ´ um gr´fico de uma fun¸˜o ca e a e a cada forma y = g(x). O mesmo acontece com a intersec¸˜o da circunferˆncia com uma qualquer vizinhan¸a ca e cde (1, 0). Nesta sec¸˜o estudaremos um teorema que nos d´ condi¸˜es suficientes para se poder resolver ca a coequa¸˜es f (x, y) = 0, uma vez conhecidos pontos x0 e y0 para os quais f (x0 , y0 ) = 0 e que ´ co econhecido por teorema da fun¸˜o impl´ ca ıcita. Este teorema ´ um resultado intimamente ligado ao eteorema da fun¸˜o inversa. De facto s˜o equivalentes e o estabelecer essa equivalˆncia ´ relativa- ca a e emente f´cil embora mostrar que o teorema da fun¸˜o impl´ a ca ıcita ´ uma consequˆncia do teorema da e efun¸ao inversa possa parecer, numa primeira an´lise, pouco natural. c˜ a Comecemos por algumas observa¸˜es ainda n˜o inteiramente precisas para estabelecer um co aprimeiro paralelismo entre os dois resultados. De um ponto de vista de solu¸˜o de equa¸˜es n˜o ca co alineares, o teorema da fun¸˜o inversa lida, como vimos, com a solu¸˜o local de equa¸˜es da forma ca ca coy = F (x) em ordem a x, em que F ∈ C 1 e uma certa aplica¸˜o linear (a derivada de F ) ´ n˜o ca e asingular num ponto x0 em torno do qual a invertibilidade local ´ assegurada. De forma an´loga, o e ateorema da fun¸˜o impl´ ca ıcita lida com a solu¸˜o local de equa¸˜es da forma F (x, y) = 0 em ordem ca coa y, em que F ∈ C 1 e uma certa aplica¸˜o linear relacionada com a derivada de F ´ n˜o singular ca e anum ponto (x0 , y0 ) em torno do qual a resolubilidade fica assegurada. Come¸amos por ilustrar cum tal problema numa situa¸˜o em que se pode explicitamente chegar `s mesmas conclus˜es e as ca a odimens˜es dos espa¸os envolvidos s˜o as mais baixas poss´ o c a ıveis.Exemplo 4.4.1 (Caso particular em dimens˜o 2) Considere-se a equa¸˜o da circunferˆncia a ca ex2 + y 2 − 1 = 0. Na vizinhan¸a de que pontos em que ´ verificada ´ que esta equa¸˜o define c e e cay como fun¸˜o de x? Resolvendo a equa¸˜o em ordem a y, ou melhor ainda esbo¸ando o seu ca ca cgr´fico (ver a fig. 4.6), facilmente se reconhece que qualquer que seja o ponto sobre o gr´fico desta a acircunferˆncia, excepto os pontos (−1, 0) e (1, 0), ´ poss´ e e ıvel escolher uma vizinhan¸a suficiente c √pequena desse ponto cuja intersec¸˜o com o conjunto definido pela equa¸˜o verifica y = 1 − x2 √ ca ca ´ou y = − 1 − x2 . E o que se ilustra na fig. 4.6 em B. Por outro lado numa vizinhan¸a de um cdos dois pontos excepcionais tal ´ sempre imposs´ e ıvel, ´ o que se ilustra na fig. 4.6 em A. e O car´cter excepcional dos pontos (1, 0) e (−1, 0) obviamente tem a ver com o facto da tangente aa` circunferˆncia nestes pontos ser vertical ou, se recordarmos que o gradiente de uma campo e 63 24 de Janeiro de 2000
  • 64. CAP´ ITULO 4. TEOREMAS DA FUNCAO INVERSA E DA FUNCAO IMPL´ ¸˜ ¸˜ ICITA e a ıvel, com o facto de designando f (x, y) = x2 + y 2 − 1 temosescalar ´ ortogonal `s suas linhas de n´∂f∂y (1, 0) = ∂f (−1, 0) = 0. ∂y Uma outra fonte de inspira¸˜o para compreender este tipo de problemas ´ a ´lgebra linear. ca e aExemplo 4.4.2 (Caso linear) Seja T uma transforma¸˜o linear de Rm+n em Rm , com n, m ≥ ca1. Suponhamos que T (x) = Ax onde A ´ uma matriz m × (m + n). Se car A = m (recorde que ea caracter´ ıstica de A, car A, ´ o n´mero de linhas ou colunas linearmente independentes) ent˜o a e u aequa¸˜o T (x) = 0 permite definir m coordenadas de x em fun¸˜o das restantes n. ca ca Observemos agora alguns factos. Primeiro, temos T (0) = 0. Segundo, se car A = m ent˜o aexistem m colunas linearmente independentes. Podemos, sem perda de generalidade, supor que s˜oaas m primeiras (se isto n˜o fosse verdade seria sempre poss´ permutar as colunas da matriz, a ıvelfazendo uma mudan¸a de vari´veis). A matriz A pode ser escrita como c a   a11 . . . a1m . . . a1 m+n A= . . .  . . . .  . . . am1 ... amm ... am m+nA derivada de T em ordem `s primeiras m vari´veis, (x1 , . . . , xm ), ´ representada pela matriz a a e   a11 . . . a1m ˜= . A  . .  .  . . am1 . . . amm ˜ ˜e det A = 0. Note que ´ o facto de A ter determinante n˜o nulo que permite determinar as e aprimeiras m coordenadas em fun¸˜o das n − m restantes. caExerc´ ıcio 4.4.3 Resolva o sistema   x 1 1 −1   0 y = 1 1 1 0 zde modo a obter x e z como fun¸˜o de y. ca O teorema da fun¸˜o impl´ ca ıcita, que enunciamos de seguida, generaliza (de um forma bastantepoderosa) o exemplo anterior. Vai ser conveniente no seu enunciado e para c´lculos posteriores a ∂(f ,f ,...,f )introduzir a nota¸˜o ∂(xj1 ,xji2 ,...,xjik ) , com 1 ≤ j1 < j2 < · · · < jk ≤ m, 1 ≤ i1 < i2 < · · · < ik ≤ n, ca i1 2 lpara representar a derivada de uma fun¸˜o que se obt´m de uma fun¸˜o dada f : A ⊂ Rn → Rm ca e cas´ considerando k das suas componentes fj1 , fj2 , . . . , fjk e fixando n − l das suas vari´veis, ou o aseja considerando-a s´ como fun¸˜o de l vari´veis xi1 , xi2 , . . . , xil . Tal derivada ´ representada o ca a epela submatriz da matriz jacobiana correspondente a considerar as colunas de ´ ındices i1 , i2 , . . . , ike as linhas de ´ ındices j1 , j2 , . . . , jk a que tamb´m nos referiremos usando a mesma nota¸˜o. No e caexemplo 4.4.2 pod´ ˜ ıamos ter escrito A = ∂(x1∂T n ) . ,...,xTeorema 4.4.1 (Fun¸˜o Impl´ ca ıcita)Seja f : U ⊂ Rn × Rm → Rm uma fun¸˜o de classe C p (int U ). Suponha-se que, no ponto ca(x0 , y0 ) ∈ int U (x0 ∈ Rn e y0 ∈ Rm ) verifica-se f (x0 , y0 ) = 0 e ∂f det (x0 , y0 ) = 0. ∂yEnt˜o, existe uma vizinhan¸a V de x0 na qual a equa¸˜o a c ca f (x, y) = 024 de Janeiro de 2000 64
  • 65. 4.4. TEOREMA DA FUNCAO IMPL´ ¸˜ ICITA ¡ y v=f(x,y) ¢ f(x,y) = 0 F -1 F   x   x F(x,y) = (x,f(x,y))Figura 4.7: Na demonstra¸˜o do teorema da fun¸˜o impl´ ca ca ıcita pelo processo sugerido note que a fun¸˜o ca´ constru´ pela composi¸˜o das fun¸˜es x → (x, 0), F −1 e (x, y) → y por esta ordem. Claro que F −1e ıda ca codesigna uma inversa local.define uma unica fun¸˜o g ∈ C p (V ), g : V ⊂ Rn → Rm , para a qual ´ ca f (x, g(x)) = 0para todo o x ∈ V . Adicionalmente, a derivada de g em V satisfaz −1 ∂f ∂f Dg(x) = − (x, g(x)) (x, g(x)). (4.11) ∂y ∂x Notemos que o resultado do teorema ´ local, ao contr´rio do exemplo 4.4.2 que ´ global, isto e a e´ se car A = m, podemos sempre resolver a equa¸˜o Ax = 0 em ordem a m coordenadas. Noe caentanto, isto s´ ´ v´lido porque o sistema naquele exemplo ´ linear. Em geral n˜o temos nenhuma oe a e agarantia de que possamos resolver uma equa¸˜o da forma F (x, y) = 0 em ordem, por exemplo, caa y, para qualquer valor de x, mesmo que num dado ponto sejam verificadas as condi¸˜es do coteorema da fun¸˜o impl´ ca ıcita (o teorema apenas garante a existˆncia de solu¸˜es na vizinhan¸a do e co cponto). O teorema da fun¸˜o impl´ ca ıcita pode ser demonstrado de uma forma an´loga ` do teorema a a ca ca co ´da fun¸˜o inversa por lineariza¸˜o e aproxima¸˜es sucessivas. E, no entanto, muito mais simplesdemonstr´-lo ` custa do teorema da fun¸˜o inversa. a a caProblema 4.4.1 Demonstre o teorema da fun¸˜o impl´ ca ıcita. Para tal, usando as conven¸˜es codo enunciado do teorema, considere a aplica¸˜o F : U ⊂ Rn × Rm → Rn × Rm definida por caF (x, y) = (x, f (x, y)) e aplique-lhe o teorema da fun¸˜o inversa relativamente ao ponto (x0 , y0 ). caExemplo 4.4.3 Consideremos a equa¸˜o f (x, y) = x2 + y + sen(x2 + y 2 ) = 0. Ent˜o como ca af (0, 0) = 0 e ∂f (0, 0) = 1 = 0, existe uma fun¸˜o g(x), definida para |x| suficientemente pequeno ∂y catal que f (x, g(x)) = 0. Para al´m disto temos e ∂f ∂g ∂x (0, 0) (0) = − ∂f = 0. ∂x ∂y (0, 0)Exemplo 4.4.4 Consideremos o sistema x + y + xyz = 0, x − y + xz + yz = 0. 65 24 de Janeiro de 2000
  • 66. CAP´ ITULO 4. TEOREMAS DA FUNCAO INVERSA E DA FUNCAO IMPL´ ¸˜ ¸˜ ICITAVamos agora estudar a existˆncia de fun¸˜es X(z) e Y (z) tais que X(0) = Y (0) = 0 e para z e conuma vizinhan¸a da origem, (x, y, z) = (X(z), Y (z), z) seja solu¸˜o do sistema. Defininido c ca f (x, y, z) = (f1 (x, y, z), f2 (x, y, z)) = (x + y + xyz, x − y + xz + yz),temos ∂f1 ∂f1 ∂x (0, 0, 0) ∂y (0, 0, 0) 1 1 A= ∂f2 ∂f2 = . ∂x (0, 0, 0) ∂y (0, 0, 0) 1 −1Como det A = 0 o teorema da fun¸˜o impl´ ca ıcita garante a existˆncia das fun¸˜es X(z) e Y (z). Se e coestivermos interessados em calcular as derivadas de X e Y a express˜o para estas ser´ a a −1 ∂f1 X (0) 1 1 ∂z (0, 0, 0) = ∂f2 . Y (0) 1 −1 ∂z (0, 0, 0)Exerc´ ıcio 4.4.4 Mostre que a equa¸˜o ca sen x + sen y + sen z 0 = sen x − sen y + sen3 z 0admite uma solu¸˜o da forma (x, y, z) = (X(z), Y (z), z), para |z| suficientemente pequeno, onde caX(z) e Y (z) s˜o fun¸˜es convenientes que verificam X(0) = Y (0) = 0. Calcule a co ∂X (0). ∂zExerc´ ıcio 4.4.5 Mostre que a equa¸˜o sen x + y = 0 n˜o tem solu¸˜o x(y) definida para to- ca a cados valores de y. Porque que ´ que isto n˜o contradiz o teorema da fun¸˜o impl´ e a ca ıcita apesar ded sen x dx |x=0 = 0 e sen 0 + 0 = 0? O facto de n˜o serem cumpridas as condi¸˜es do teorema da fun¸˜o impl´ a co ca ıcita n˜o implica que ana vizinhan¸a de um ponto n˜o exista solu¸˜o (ou que ela n˜o seja unica) de uma determinada c a ca a ´equa¸˜o, tal como se pode verificar pelo exemplo seguinte: caExemplo 4.4.5 Consideremos a equa¸˜o ca f (x, y) = x3 − y 3 = 0.´ ´E facil verificar que f (0, 0) = 0. E tamb´m imediato que ∂f (0, 0) = ∂f (0, 0) = 0. Assim n˜o e a ∂x ∂yestamos nas condi¸˜es do teorema da fun¸˜o impl´ co ca ıcita. No entanto a equa¸˜o tem solu¸˜o global, ca caunica e diferenci´vel x = y.´ aO seguinte exerc´ mostra que ´ poss´ generalizar ligeiramente o teorema da fun¸˜o impl´ ıcio e ıvel ca ıcitade modo a tratar casos semelhantes ao anterior.Exerc´ ıcio 4.4.6 Seja f : R2 → R uma fun¸˜o de classe C 1 , g, h : R → R fun¸˜es cont´ ca co ınuasbijectivas. Mostre que se f (0, 0) = 0, h(0) = g(0) = 0 e ∂f (0, 0) = 0 ent˜o para x numa ∂y avizinhan¸a da origem a equa¸˜o c ca f (g(x), h(y)) = 0pode ser unicamente resolvida em ordem a y, sendo a solu¸˜o da forma y = j(x) com j : R → R cauma fun¸˜o real de vari´vel real. ca a24 de Janeiro de 2000 66
  • 67. 4.4. TEOREMA DA FUNCAO IMPL´ ¸˜ ICITA4.4.1 Exerc´ ıcios suplementaresExerc´ ıcio 4.4.7 Considere o sistema de equa¸˜es co sen(x + y + z) = z 4 x − y + z = sen(x4 + y 4 + z 4 ). 1. Prove que existem fun¸˜es reais e diferenci´veis gx (z) e gy (z), definidas para |z| suficien- co a temente pequeno, tais que gx (0) = gy (0) = 0 e (x, y, z) = (gx (z), gy (z), z)) ´ solu¸˜o do e ca sistema. 2. Calcule gx (0) e gy (0). 3. Desenvolva gx em s´rie de Taylor at´ ` terceira ordem. e ea ıcio 4.4.8 Seja α ∈ R e considere as fun¸˜es fα : R3 → R definidas porExerc´ co fα (x, y, z) = αz ch(x + y + z) − x2 ey 1. Determine para que valores de α a equa¸˜o fα (x, y, z) = 0 define implicitamente, numa ca vizinhan¸a da origem, uma fun¸˜o z = Ψα (x, y) c ca 2. Verifique que as fun¸oes Ψα tˆm um ponto de estacionaridade na origem, isto ´, c e e Ψα (0, 0) = 0.Exerc´ ıcio 4.4.9 Considere a equa¸˜o ca x 2 Ax = f (x, )onde x ∈ Rn , ∈ Rk , A ´ uma matriz n × n n˜o singular e f : Rn+k → Rn uma fun¸˜o C ∞ . e a caMostre que se se verificar f (x, ) lim lim =0 →0 x →0 x 3a primeira equa¸˜o define x como fun¸˜o diferenci´vel de ca ca a para (x, ) numa vizinhan¸a de (0, 0). cExerc´ ca ıcita Topol´gica) Seja f : R2 → R, cont´ ıcio 4.4.10 (Fun¸˜o Impl´ o ınua. Suponha quepara cada x fixo se tem lim f (x, y) = −∞ lim f (x, y) = +∞. y→−∞ y→+∞ 1. Prove que existe pelo menos uma fun¸˜o y(x) tal que f (x, y(x)) = 0 para todo o x ∈ R. ca 2. Dˆ um exemplo em que a fun¸˜o y(x) n˜o seja unica e ca a ´ 3. Dˆ um exemplo em que a fun¸˜o y(x) n˜o seja cont´ e ca a ınua.4.4.2 Sugest˜es para os exerc´ o ıcios4.4.7 1. Defina u(x, y, z) = sen(x + y + z) − z 4 e v(x, y, z) = x − y + z − sen(x4 + y 4 + z 4 ). Observe que u(0, 0, 0) = v(0, 0, 0) = 0 e que ∂u ∂u ∂x (0, 0, 0) ∂y (0, 0, 0) 1 1 ∂v ∂v = ∂x (0, 0, 0) ∂y (0, 0, 0) 1 −1 tem determinante n˜o nulo. Portanto podemos aplicar o teorema da fun¸˜o impl´ a ca ıcita. 67 24 de Janeiro de 2000
  • 68. CAP´ ITULO 4. TEOREMAS DA FUNCAO INVERSA E DA FUNCAO IMPL´ ¸˜ ¸˜ ICITA 2. gx (0) = −1 e gy (0) = 0 3. gx (z) = −z + O(z 4 ).4.4.9 Aplique o teorema da fun¸˜o impl´ ca ıcita ` equa¸˜o a ca f (x, ) Ax = x 2e mostre que este problema ´ equivalente ao original. e4.4.10 1. Utilize o teorema de Bolzano. 2. Escolha f de modo a que para cada x tenha pelo menos dois zeros, y1 (x) e y2 (x), distintos. 3. Utilize a fun¸˜o da al´ ca ınea anterior e defina y1 (x) se x > 0, y(x) = y2 (x) caso contr´rio. a24 de Janeiro de 2000 68
  • 69. Bibliografia[1] J. Campos Ferreira. Introdu¸˜o ` An´lise em Rn . AEIST, 1978. ca a a[2] F. R. Dias Agudo. Li¸˜es de An´lise Infinitesimal: I. C´lculo Diferencial em Rn . 1977. co a a[3] Lu´ Torres Magalh˜es. Integrais M´ltiplos. Texto Editora, Lisboa, 2a edi¸˜o, 1996. ıs a u ca ıs a ´[4] Lu´ Torres Magalh˜es. Algebra Linear. Texto Editora, Lisboa, 1985.[5] Lu´ Torres Magalh˜es. Integrais em Variedades. Texto Editora, Lisboa, 1994. ıs a[6] Lu´ Torres Magalh˜es. Complementos de C´lculo Diferencial em Rn . AEIST, Lisboa, 1983. ıs a a 69
  • 70. ´Indiceaberto, 8 definida negativa, 39aproxima¸˜es sucessivas, 54 co definida positiva, 39 hessiana, 34, 39classe indefinida, 39 C 1 , 14 jacobiana, 14 C ∞ , 20 semidefinida negativa, 39 C k , 19 semidefinida positiva, 39compacto, 10convexo, 53 norma, 52 de um vector de Rn , 7derivada, 12 de uma aplica¸˜o linear, 52 ca direccional, 13 de uma matriz, 52 dirigida, 13 normas equivalentes, 10 de ordem superior ` primeira, 21 a parcial, 13 polin´mio o de ordem superior ` primeira, 19 a de Taylor, 23diferenciabilidade, 12 homog´neo, 22 edirec¸˜es singulares, 42 co ponto cr´ ıtico, 30f´rmula o de estacionaridade, 30 de Taylor, ver teorema de Taylor de sela, 31fechado, 9 pr´-imagem, 48 efecho, 10forma resto da f´rmula de Taylor, 23 o de grau k, 41 quadr´tica a s´rie e definida negativa, 39 absolutamente convergente, 55 definida positiva, 39 Schwarz, 20 indefinida, 39 sistema de estacionaridade, 27, 40 semidefinida negativa, 39 semidefinida positiva, 39 Taylor, 23fronteira, 10 teoremafun¸˜o ca da fun¸˜o inversa, 53 ca diferenci´vel, 7, 12 a de Lagrange, ver teorema do valor m´dio e impl´ıcita, 63 de Schwarz, 20 inversa, 50 de Taylor, 23 do valor m´dio egradiente, 16 para fun¸˜es vectoriais, 52 co para fun¸˜es escalares, 17 cointerior, 10inversa local, 54 Weierstrass, 29jacobiano, 57m´todo de Newton, 54 ematriz 70