Apostila matrizes 2º edição

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  • 1. MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSITICA APOSTILA DE MATRIZES PROF. VINICIUS 1. Matrizes 1.1 Matrizes Definição (matriz): Dados , chama-se matriz n por m (escreve-se matriz ) toda tabela formada por números reais distribuídos em linhas e colunas. Usualmente, utilizam-se as letras e para representar matrizes, embora outras letras possam ser eventualmente utilizadas. Exemplos: (matriz nula) (matriz identidade)
  • 2. 2.2 Operações entre Matrizes Adição: Dadas duas matrizes e (onde representa o elemento da i-ésima linha e j-ésima coluna em uma matriz ), chama-se soma de A e B (escreve-se ) a matriz tal que . Exemplos: Observação: A subtração é inteiramente análoga a operação de adição, resultando na matriz diferença . Exemplo: Multiplicação por escalar: A multiplicação por escalar é uma operação que associa a um número e uma matriz , uma matriz tal que . Exemplos:
  • 3. Multiplicação de matrizes: Dadas duas matrizes e , chama-se produto de A e B (escreve-se ) a matriz tal que e . Exemplos: 1.3 Matriz Transposta Definição (matriz transposta): Dada uma matriz , chama-se transposta de A a matriz tal que . Exemplos: A transposta de é . A transposta de é .
  • 4. A transposta de é . 1.4 Matriz Simétrica Definição (matriz simétrica): Chama-se Mariz simétrica toda matriz quadrada ( tal que . Exemplos: 1.5 Matriz Triangular Definição (matriz triangular inferior): Uma matriz é dita ser uma matriz triangular inferior quando , para todos tais que . Exemplos:
  • 5. Definição (matriz triangular superior): Uma matriz é dita ser uma matriz triangular superior quando , para todo tais que . Exemplos: 1.6 Determinantes Definição (determinante ): Se uma matriz tem dimensões (matriz de ordem , então o determinante de é o seu único elemento . Isto é, . Exemplos: Definição (determinante ): . Exemplos:
  • 6. Definição (determinante ): Exemplos: Definição (menor complementar): Consideremos uma matriz de ordem . Seja um elemento de . Definimos o menor complementar do elemento (e denotamos por ), como sendo o determinante da matriz que se obtém suprimindo a linha e a coluna de . Exemplos:
  • 7. Definição (cofatores): Consideremos uma matriz de ordem . Seja um elemento de . Definimos como cofator de (e escrevemos ) o número . Exemplo: Definição (definição geral de determinante): Seja uma matriz de ordem . Definimos o determinante de ( ) de forma recorrente: Fixemos uma coluna . Se , então . Se, porém, , com , então . Exemplos:
  • 8. . 1.7 Propriedades dos Determinantes P1: Se é uma matriz , então . Exemplo: P2: Se os elementos de uma fila (linha ou coluna) de uma matriz forem todos nulos, então . Exemplo:
  • 9. P3: Seja uma matriz e uma nova matriz obtida multiplicando-se uma fila qualquer de por um número . Então . Exemplo: Considere . Logo, . Agora considere , que é obtida multiplicando a segunda coluna de por 5. Nota-se que , ou seja , . P4: Seja uma matriz de ordem . Se trocarmos de posição duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas), obteremos uma nova matriz tal que . Exemplo: e . P5: Se uma matriz de ordem tem duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas) formadas por elementos respectivamente proporcionais, então . Exemplo: P6 (teorema de Binet): Se são matrizes quadradas de ordem , então . Exemplo: ,
  • 10. 1.9 Matriz Inversa Definição (matriz inversa): Seja uma matriz . Chamamos de matriz inversa a matriz tal que , onde é a matriz identidade (conforme a ordem). Exemplo: Se , então , pois . Definição (matriz dos cofatores): Seja uma matriz . Chamamos de matriz dos cofatores de A (escreve-se ) a matriz que se obtém de , substituindo cada elemento de por seu respectivo cofator. Exemplo: Se , então , , , e . Definição (matriz adjunta): Seja uma matriz . Chamamos de matriz adjunta ( a matriz . Exemplo: Se , então e . Teorema (teorema da matriz inversa): Se é uma matriz e , então a inversa de é . Exemplo: Se , então , , e assim, De fato, .
  • 11. 1.10 Exercícios sobre Matrizes 1) Dadas e , calcule e também . 2) Dadas , e . Calcule . 3) Dadas e , calcule e também . 4) Calcule os seguintes produtos de matrizes: e 5) Calcule os determinantes das seguintes matrizes: , , , . 6) Calcule a matriz dos cofatores ( ) da matriz . 7) Encontre a matriz transposta das seguintes matrizes: e .
  • 12. 8) Calcule a matriz a adjunta das matrizes e . 9) Encontre as matrizes inversas das matrizes e . 10) Sabendo que , responda, sem fazer nenhum cálculo, qual o determinante da matriz . 11) Responda, sem realizar cálculos, qual o determinante da matriz . 12) Sabendo que , sem fazer cálculos, escreva o . 13) Sabendo que e são matrizes quadradas, que e que , encontre . 14) Calcule . 15) Calcule . Respostas: 1) e ; 2) ; 3) e ; 4) e ; 5) , , , ; 6) ; 7) e
  • 13. ; 8) e ; 9) e ; 10) ; 11) ; 12) ; 13) ; 14) ; 15) . Vinicius Carvalho Beck Email: vonoco@gmail.com 2º edição 2011