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ALGEBRA          A S S W ELIO B A L D O R             CON GRAFICOS Y 6523 EJERCICIOS                                      ...
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REDUCCION M TERMINOS SEMEJANTES              •    21    13. — 2 x2y.          x y+                     23.     _ i x“y + £...
22   •       A LG iB R A11- -ja2b+-^a2b— a?b.                          23. jtP b —jifib + ja tb -a b .12. -a+8o+9a-15a.13....
VALOR NUMERICO   #   23           Tendremos:      -x4 + 3x4 — 0.3x4 = 3-iy-*                            2 i y4 + £y4 _ y 4...
24 •            ALOCUA ( 30) VALOR NUMERICO DE EXPRESIONES SIMPLES       Ejemplos         (1 ) H allar el v a lo r n um ér...
VALOR NUMERICO             •   25                   v/ i      , .   , 3a2 5crb         6                   1     1        ...
26   •         ALGEBRA12.   (2m+3n+4p)(8p+6n—   4wi)(9w+20p).                19.    3(c—¿) V 32m —2(d—o) Z l6^----- .     ...
NOTACION ALGEBRAICA     •   27  3- Siendo a un número entero, escríbanse los dos números enteros conse­        cutivos pos...
28   •      A IG C B R ANOTAS SOBRE EL CONCEPTO DE NUMERO       El concepto de número natural (véase Aritmética Teórico-Pr...
NOTAS SOBRE EL CONCEPTO DE NUMERO                      •   29      Podemos decir tam bién, que son núm eros fraccionarios ...
30   •       ALGEBRA      Como consecuencia de la introducción de los números irracionales, con­sideramos racionales el co...
NOTAS SOBRI EL CONCEPTO OI NUMERO                           #    3]         Los números y los símbolos literales negativos...
32    #        ALGEBRAla división, la potenciación, la logaritmación y la radicación. Conviene iradaptando la mentalidad d...
NOTAS SOBRE EL CONCEPTO DE NUMERO             # 3 3AXIOMA DE CONTINUIDAD      I.       Si tenem os dos conjuntos de número...
34   •          ALGEBRA         3) Suma de un número positivo y otro negativo         Regla      Para sumar un número posi...
NOTAS SOBRE EL CONCEPTO OI NUMERO                  •   35          4) Suma de cero y un número positivo o negativo        ...
36 •       ALGISRA       Para expresar la diferencia ( 4- 4) —(—8) = + 12, tendremos:                                     ...
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  1. 1. ALGEBRA A S S W ELIO B A L D O R CON GRAFICOS Y 6523 EJERCICIOS Y PROBLEMAS CON RESPUESTAS #Nfi)ADOR, DIRECTOR Y JE F E DE * CATEDRA DE MATEMATICAS COLEGIO BALDOR. ABjANA, CUBA. >• i • : DE LA CATEDRA DEJ 7 ÍE M ATICAS, S T E V E N SS t f lD E M Y . HOBOKEN,ÍW Í^ -JER SEY, U S A.f’ jiO FESO R DE MATEMATICAS.S ífoT P E T E R S C O L L E G E . ’ S E Y CITY, N EW -JERSEY D ÉCIM A S E X T A R E IM P R E S IÓ N M ÉX IC O , 1998ÍO ^ P A Ñ IA CU LTU RAL EDITORA Y DISTRIBUIDORA DE TEX T O S AMERICANOS. T " * (CCED TA) Y CO DICE AMERICA, S.A. MIAMI, FLORIDA; U S A PUBLICACIO NES CULTURAL, S.A. de C.V. MEXICO Ir PUBLICACIONES CULTURAL
  2. 2. ÁlgebraDerechos reservados:© 1983, Compañía Editora y Distribuidora de textos Americanos, S.A.(CCEDTA)Códice, Ediciones y Distribuciones, S.A.O CÓDICE AMÉRICADe esta edición:© 1983, PUBLICACIONES CULTURAL, S.A. de C.V.Renacimiento 180 Colonia San Juan TlihuacaDelegación Azcapotzalco, C.P. 02400, México, D.F.Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial.Registro núm. 129ISBN 84-357-0062-3 (Códice, América)ISBN 968-439-211 -7 (Publicaciones Cultural S.A. de C.V.)Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial delcontenido de la presente obra en cualesquiera formas, sean electrónicaso mecánicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor.Impreso en MéxicoPrinted in MéxicoPrimera edición: 1982Décima quinta reimpresión: 1997Décima sexta reimpresión: 1998 Esta obra se terminó de imprimir en enero de 1998 en los talleres de Compañía Editorial Ultra, S.A. de C.V. Centeno No. 162 Local 2, Col. Granjas Esmeralda C.P. 09810, México, D.F.
  3. 3. Para responder a la gentil deferencia que han tenido conesta obra los Profesores y Alumnos de la América Latina,hemos introducido, en la presente edición, una serie de mejorasque tienden a que este libro sea más eficaz e interesante. Hemos procurado que la presentación constituya por sisola una poderosa fuente de motivación para el trabajo esco­lar. El contenido ha sido cuidadosamente revisado y se hanintroducido diversos cuadros y tablas para un aprendizaje másvital y efectivo. El uso del color, en su doble aspecto estéticoy funcional, hacen de esta obra, sin lugar a dudas, el Algebramás pedagógica y novedosa de las publicadas hasta hoy enidioma español. Los Editores han estimado oportuno introducir algunos aña­didos que contribuyan a completar el contenido de los programasvigentes. Tales añadidos son, para enumerar sólo algunos, lasNotas sobre el Concepto de Número; Nota sobre las cantidadescomplejas e imaginarias y el Cuadro de los Tipos Básicos deDescomposición Factorial. Esperamos que el Profesorado de Hispanoamérica sepa aqui­latar el ingente esfuerzo rendido por todos los técnicos quehan intervenido en la confección de esta obra. Sólo nos quedareiterar nuestro más profundo agradecimiento por la acogidaque le han dispensado siempre. Los E ditores
  4. 4. Con acendrada devoción y justo orgullo, dedico esteesfuerzo editorial, a la inolvidable memoria de mi madre,Profesora Doña Ana Luisa Serrano y Poncet, que fueraPresidenta de esta Empresa durante los arios 1921 a 1926. Dr. José A. López Serrano
  5. 5. N CEPTO DE N U M ER O EN LOS PUEBLOS P R IM l- fio y el conteo del número de animales que poseían;OS (2 5 ,0 0 0 -5 / 0 0 0 A. C . ) Medir y contar fueron así surgió la Aritmética. El origen del Algebra es primeras actividad«* matemáticas del hombre pri- posterior. Pasaron cientos de siglos para que el hom-¡yo . Haciendo marcas en los troncos de los árboles bre alcanzara un concepto abstracto del número, base*aban# estos primeros pueblos, la medición del tiem- indispensable para la formación de la ciencia algebraica. PRELIMINARES O1 )) ALGEBRA es la ram a de la M atem ática que estudia la cantidad consi­ d e ra d a d el m odo más general posible. CARACTER DEL ALGEBRA Y SU DIFERENCIA CON LA ARITM ETICA E l co n cep to de la c a n tid ad en A lgebra es m ucho más am plio que en A ritm é tic a . E n A ritm é tic a las cantidades se rep resen tan por núm eros y éstos ex­ p re sa n valores d eterm in ad o s. Así, 20 expresa u n solo valor: veinte; para e x p re sa r u n v alo r m ayor o m en o r q u e éste h ab rá q u e escribir u n nú m ero d is tin to d e 20 . E n A lgebra, p ara log rar la generalización, las cantidades se rep resen ­ ta n p o r m ed io de letras, las cuales p u ed en re p re se n ta r todos los valores. A sí, a re p re se n ta el v alo r q u e nosotros le asignem os, y po r ta n to puede re ­ p re s e n ta r 20 o m ás d e 20 o m enos de 20 , a n u e stra elección, a u n q u e con­ v ie n e a d v e rtir q u e cu a n d o en u n p ro b lem a asignam os a u n a letra u n valor d e te rm in a d o , esa le tra n o p u ed e re p re se n tar, en el m ism o problem a, otro v a lo r d is tin to d el q u e le hem os asignado. ( T ) NOTACION A LGEBRAICA Los símbolos usados en A lg eb ra p ara re p re se n ta r las cantidades son los núm eros y las letras. 5
  6. 6. 6 • a lg eb ra Los números se emplean para representar cantidades conocidas y de­terminadas. Las letras se emplean para representar toda clase de cantidades, yasean conocidas o desconocidas. Las cantidades conocidas se expresan por las primeras letras del alfa­beto: a, b, c, d . .. Las cantidades desconocidas se representan por las últimas letras delalfabeto: u, v, w, x, y, z. Una misma letra puede representar distintos valores diferenciándolospor medio de comillas; por ejemplo: a a " , a", que se leen a prima, a se­gunda, a tercera, o también por medio de subíndices; por ejemplo: alt a2,(h, que se leen a subuno, a subdos, a subtres. 4 ) FORMULAS© . Consecuencia de la generalización que implica la representación delas cantidades por medio de letras son las fórmulas algebraicas. Fórmula algebraica es la representación, por medio de letras, de unaregla o de un principio general. Así, la Geometría enseña que el área de un rectángulo es A =bX igual al producto de su base por su altura; luego, llamando A _al área del rectángulo, b a la base y h a la altura, la fórmula representará de un modo general el área decualquier rectángulo, pues el área de un rec­tángulo dado se obtendrá con sólo sustituir A = b x h = S m X2 m = 6 m Jb y h en la fórmula anterior por sus valoresen el caso dado. Así, si la base de un rec- _tángulo es 3 m. y su altura 2 m., su área será: El área de otro rectángulo cuya /4 = 6 x /i= 8 m.x3^ m.=28 m.2.íbase fuera 8 m. y su altura 3£ m. sería: /* Q , +© SIGNOS DEL ALGEBRA Los signos empleados en Algebra son de tres clases: Signos de Ope­ración, Signos de Relación y Signos de Agrupación.( T ) SIGNOS DE OPERACION En Algebra se verifican con las cantidades las mismas operaciones queen Aritmética: Suma, Resta, Multiplicación, División, Elevación a Poten­cias y Extracción de Raíces, que se indican con los signos siguientes: El Signo de la Suma es +, que se lee más. Así a + b se lee “a más b”. ( ) En el Cap. XVI I I , pági na 270, se est udi a amp l i a me n t e t odo lo r el aci onado con lasf órmul as algebraicas.
  7. 7. FR IL IM M A K “ # 7 El Signo de la R esta es — q u e se lee menos. Así, a —b se lee “a me­ ,nos b El Signo de la M ultiplicación es X, que se lee m ultiplicado por. Así,a x b se lee “a m ultip licad o por b* En lugar del signo X suele emplearse u n p u nto entre los factores ytam bién se indica la m ultiplicación colocando los factores entre paréntesis.Así, a .b y (<a)(b) equivalen a a x b . E n tre factores literales o entre u n factor num érico y uno literal elsigno de m ultiplicación suele om itirse. Así abe equivale a a x b x c ; 5xyequivale a 5 X x X y . El Signo de la D ivisión es -r, q u e se lee dividido entre. Así, a + b selee “a d iv id id o en tre b ’ T a m b ié n se indica la división separando el di­videndo y el divisor p o r u n a raya horizontal. Así, equivale a m -^ n . El Signo de la Elevación a Potencia es el exponente,q u e es u n nú m ero pequeño colocado arriba y a la de- az = aaa* b6 = bbbbbrecha de u n a cantidad, el cual indica las veces que dicha ,cantidad, llam ada base, se tom a como factor. Así,-------- C uan d o una letra no tiene exponente, su exponente es la unidad.Así, a equivale a a1; m n x equivale a m 1n 1x 1. El Signo de R aíz es v 7 llam ado signo radical, y bajo este signo se co­loca la can tid ad a la cual se le extrae la raíz. Así, T á equivale a raíz cua­d ra d a d e a, o sea, la cantidad q u e elevada al cuadrado reproduce la can­tid ad a; W equivale a raíz cúbica de b, o sea la cantidad que elevadaal cu b o reproduce la cantidad b . ü n ei producto de dos factores, cualquiera de los factores es llamadocoeficiente del otro factor. Así, en el producto 3a el factor 3 es coeficiente del factor a e indicaq u e el factor a se tom a com o sum ando tres veces, o sea 3a = a + a + a; enel p ro d u cto 5b, el factor 5 es coeficiente de b e indica que 5b=b+b-*-b+b+b.Estos son coeficientes num éricos. E n el pro d u cto ab, el factor a es coeficiente del factor b , e indica queel factor b se tom a como sum ando a veces, o sea ab = b + b + b + b . . . aveces. Este es u n coeficiente literal. En el producto de más de dos factores, un o o varios de ellos son elcoeficiente de los restantes. Así, en el producto abed, a es el coeficientede bed; ab es el coeficiente de cd; abe es el coeficiente de d. C uando una cantidad no tiene coeficiente num érico, su coeficientees la u nidad. Así, b equivale a Ib; abe equivále a labe.
  8. 8. 8 • ÁLGEBRA( T ) SIGNOS DE RELACION Se emplean estos signos para indicar la relación que existe entre dos cantidades. Los principales son:=, que se lee igual a. Así, a = b se lee “a igual a b”.>, que se lee mayor que. Así, x + y > m se lee “x + y mayor que ra”.<, que se lee menor que. Así, a < b + c se lee “a menor que &•+ c”.( V ) SIGNOS DE AGRUPACION Los signos de agrupación son: el paréntesis ordinario ( )j el parénte­ sis angular o corchete [ ], las llaves j j y la barra o vínculo Estos signos indican que la operación colocada entre ellos debe efec­ tuarse primero. Así, (a + b)c indica que el resultado de la suma de a y b debe multiplicarse por c; [a — b]m indica que la diferencia entre a y b debe multiplicarse por ra; {a + ¿> -^ {c —d }indica que la suma de a y b debe di­ ) - vidirse entre la diferencia de c y d. MODO DE RESOLVER LOS PROBLEMAS EN ARITMETICA Y EN ALGEBRA Exponemos a continuación un ejemplo para hacer notar la difeienciaentre el método aritmético y el algebraico en la resolución de problemas,fundado este último en la notación algebraica y en la generalización queésta implica. Las edades de A y B suman 48 años. Si la edad de B es 5 veces laedad de A, ¿qué edad tiene cada uno? METODO ARITMETICO Edad de A más edad de 5 = 48 años.Como la edad de B es 5 veces la de A, tendremos: Edad de A más 5 veces la edad de A —48 años.O sea, 6 veces la edad de A = 48 años;luego, Edad de A = 8 años. R. Edad de 3 = 8 años X 5 = 40 años. R. METODO ALGEBRAICO Como la edad de A es una cantidad desconocida la represento por x. Sea x = edad de A . Entonces 5x = edad de B. Como ambas edades suman 48 años, tendremos: x + 5x = 48 años;o sea, 6x = 48 años.
  9. 9. CANTIDADES POSITIVAS Y NEGATIVAS # 9 Si 6 veces x equivale a 48 años, x valdrá la sexta parte de 48 años, o sea x = 8 años, edad de A . R. Entonces 5x = S años X 5 = 40 años, edad de B . R. CANTIDADES POSITIVAS Y NEGATIVAS En Algebra, cuando se estudian cantidades que pueden tomarse en dos sentidos opuestos o q u e son de condición o de modo de ser opuestos, se expresa el sentido, condición o modo de ser (valor relativo) de la canti­ dad por m edio de los signos + y — anteponiendo el signo + a las cantida­ , des tom adas en u n sentido determ inado (cantidades positivas) y anteponien­ do el signo — a las cantidades tomadas en sentido opuesto al anterior (can­ tidades negativas). Así, el hab er se designa con el signo + y las deudaj con el signo — . Para expresar que u na persona tiene $100 de haber, diremos que tiene + $100, y para expresar q u e debe $100, diremos que tiene —$100 . Los grados sobre cero del term óm etro se designan con el signo + y los grados bajo cero con el signo — Así, para indicar que el term óm etro . m arca 10 ° sobre cero escribirem os + 10 ° y para indicar que marca 8 o bajo cero escribirem os —8 o El cam ino recorrido a la derecha o hacia arriba de u n p u nto se desig­ na con el signo + y el cam ino recorrido a la izquierda o hacia abajo de u n p u n to se representa con el signo — Así, si hemos recorrido 200 m. . a la derecha de un p u n to dado, diremos que hemos recorrido + 2 0 0 m.,y si recorrem os 300 m . a la izquierda de un punto escribiremos —300 m. El tiem po transcurrido después de Cristo se considera positivo y eltiem p o transcurrido antes de Cristo, negativo. Así, +150 años significa150 años D. C. y —78 años significa 78 años A. C. E n u n poste introducido en el suelo, representam os con el signo + laporción q u e se halla del suelo hacia arriba y con el signo — la porción quese halla del suelo hacia abajo. Así, para expresar que la longitud del pos­te q u e se halla del suelo hacia arriba m ide 15 m., escribiremos + 1 5 m.,y si la porción intro d u cid a en el suelo es de 8 m., escribiremos —8 m. L a la titu d n o rte se designa con el signo + y la la titu d sur con el sig­no —; la lo n g itu d este se considera positiva y la longitud oeste, negativa.P o r lp tanto, u n p u n to de la T ie rra cuya situación geográfica sea: + 4 5 °de lo n g itu d y —15° de la titu d se hallará a 45° al este del prim er m eridia­n o y a 15° bajo el Ecuador.(2 ) ELECCION DEL SENTIDO POSITIVO La fijación del sentido positivo en cantidades que pueden tomarse endos sentidos opuestos es arb itraria, depende de nuestra voluntad; es decir,
  10. 10. 1o • ALGEBRA que podemos tomar como sentido positivo el que queramos; pero una vezfijado el sentido positivo, el sentido opuesto a éste será el negativo. Así, si tomamos como sentido positivo el camino recorrido a la dere­cha de un punto, el camino recorrido a la izquierda de ese punto seránegativo, pero nada nos impide tomar como positivo el camino recorridoa la izquierda del punto y entonces el camino recorrido a la derecha delpunto sería negativo. Así, si sobre el segmento A B tomamos como positivo el sentido de Ahacia B, el sentido deB hacia A sería nega- + +tivo, pero si fijamos ------------ * *---------como sentido positivo A -----------------------------B A -------------------------de B hacia A , el senti- — ~do de A hacia B sería <------------ ------------ *negativo. No obstante, en la práctica se aceptan generalmente los sentidos posi­tivos de que se trató en el número anterior. CERO es la ausencia de cantidad. Así, representar el estado económi co de una persona por 0 equivale a decir que no tiene haber ni deudas. Las cantidades positivas son mayores que 0 y las negativas menoresque 0. Así, + 3 es una cantidad que es tres unidades mayor que 0 ; + 5 esuna cantidad que es cinco unidades mayor que 0, mientras que —3 es unacantidad que es tres unidades menor que 0 y —5 es una cantidad que escinco unidades menor que 0 . De dos cantidades positivas, es mayor la de mayor valor absoluto; así,+ 5 es mayor que -1-3, mientras que de dos cantidades negativas es mayorla de menor valor absoluto: —3 es mayor que —5; —9 es menor que —4.EJERCICIOS SOBRE CANTIDADES POSITIVASY NEGATIVAS 1) Un hombre cobra $130. Paga una deuda de $80 y luego hace com­pras por valor de $95. ¿Cuánto tiene? Teniendo $130, pagó $80; luego, se quedó con $50. Después hace ungasto de $95 y como sólo tiene $50 incurre en una deuda de $45. Por lotanto, tiene actualmente —$45. R.p. EJERCICIO 1 1. Pedro debía 60 bolívares y recibió 320. Expresar su estado económico. 2. Un hombre que tenía 1170 sucres hizo una compra por valor de 1515. Expresar su estado económico. 3 . Tenía $200. Cobré $56 y pagué deudas por $189. ¿Cuánto tengo?
  11. 11. CANTIDADES POSITIVAS Y NEGATIVAS # 11 4. Compro ropas por valor de 665 soles y alimentos por 1178. Si después recibo 2280, ¿cuál es mi estado económico? 5. Tenía $20. Pagué $15 que debía, después cobré $40 y luego hice gastos por $75. ¿Cuánto tengo? 6 Enrique hace una compra por $67; después recibe $72; luego hace otra compra por $16 y después recibe $2. Expresar su estado económico. 7. Después de recibir 200 colones hago tres gastos por 78, 81 y 93. Recibo entonces 41 y luego hago un nuevo gasto por 59. ¿Cuánto tengo? 8. Pedro tenía tres deudas de $45, $66 y $79 respectivamente. Entonces recibe $200 y hace un gasto de $10. ¿Cuánto tiene? 2 ) A las 6 a. m. el term óm etro marca —4°. A las 9 a. m. ha subido7° y desde esta h o ra hasta las 5 p. m. ha bajado 11°. Expresar la tem pe­ra tu ra a las 5 p. m. A las 6 a. m. m arca —4 o. Como a las 9 a. m. ha subido 7o, contamossiete divisiones de la escala desde —4 o hacia arriba y tendrem os 3o sobrecero ( + 3 ° ) ; como desde esta hora hasta las 5 p. m. ha bajado 11°, contando11 divisiones de la escala desde + 3 ° hacia abajo llegaremos a —8 o. Lue­go, a las 5 p. m. la tem p eratu ra es de —8 o. R. EJERCICIO 21. A las 9 a. m. el termómetro marca + 12 ° y de esta hora a las 8 p. m. ha bajado 15°. Expresar la temperatura a las 8 p. m.2. A las 6 a. m. el termómetro marca — 3o. A las 10 a. m. la temperatura es 8 o más alta y desde esta hora hasta las 9 p. m. ha bajado 6 o. Expresar la tem peratura a las 9 p. m.3. A la 1 p. m. el termómetro marca -fl5° y a las 10 p. m. marca — 3o. ¿Cuántos grados ha bajado la temperatura?4>. A las 3 a. m. el termómetro marca — o y al mediodía + 5°. ¿Cuántos 8 grados ha subido la temperatura?5. A las *8 a. m. el termómetro marca — 4o; a las 9 a. m. ha subido 7o; a las 4 p. m. ha subido 2o más y a las 11 p. m. ha bajado 11 °. Expresar la tem peratura a las 11 p. m.6. A las 6 ‘a.m . el termómetro marca — °. De las 6 a. m. a las 11 a.m. 8 sube a razón de 4 o por hora. Expresar la temperatura a las 7 a.m., a las 8 a.m . y a las 11 a.m .7. A las 8 a. m. el termómetro marca — o. De las 8 a. m. a las 11 a. m. baja I a razón de 2o por hora y de 11 a.m . a 2 p.m . sube a razón de 3o por hora. Expresar la tem peratura a las 10 a. m., a las 11 a. m., a las 12 a. m. y a las 2 p. m.8. El día 10 de diciembre un barco se halla a 56° al oeste del primer meridiano. Del día 10 al 18 recorre 7o hacia el este. Expresar su lon­ gitud este día.9. El día primero de febrero la situación de un barco es: 71° de longitud oeste y 15° de latitud sur. Del día primero al 26 ha recorrido 5 o hacia el este y su latitud es entonces de 5o más al sur. Expresar su situación el día 26.
  12. 12. 12 # ALGEBRA }Q. El día 5 de mayo la situación de un viajero es 18° de longitud este y 65° de latitud norte. Del día 5 al 31 ha recorrido 3o hacia el este y se ha acercado 4o al Ecuador. Expresar su situación el día 31. 11. Una ciudad fundada el año 75 A. C. fue destruida 135 años después. Expresar la fecha de su destrucción. 3) Un móvil recorre 40 m. en línea recta a la derecha de un p u n ­to A y luego retrocede en la misma dirección a razón de 15 m. por segun­do. Expresar a qué distancia se halla del punto A al cabo del 1?, 29, 39y 49 segundo. El móvil ha recorrido 40 m. a la derecha del punto A; luego, su po­sición es + 40 m., tomando como positivo el sentido de izquierda a derecha. Entonces empieza a moverse de la derecha hacia la izquierda (sentidonegativo) a razón de 15 m. por segundo; luego, en el prim er segundo seacerca 15 m. al punto A y como estaba a 40 m. de ese punto, se halla a40 —15 = 25 m. a la derecha de A; luego, su posición es +25 m. R. En el 29 segundo se acerca otros 15 m. al punto A; luego, se hallaráa 25 —15 = 10 m. a la derecha de A; su posición ahora es + 10 m. R. En el 3er- segundo recorre otros 15 m. hacia A, y como estaba a10 m. a la derecha de A , habrá llegado al punto A (con 10 m.) y recorri­do 5 m. a la izquierda de A, es decir, 10 —15 = —5 m. Su posición ahoraes — m. R. 5 En el 49 segundo recorre otros 15 m. más hacia la izquierda y comoya estaba a 5 m. a la izquierda de A, se hallará al cabo del 49 segundo a20 m. a la izquierda de A , o sea —5 —15 = —20 m.; luego, su posiciónahora es —20 m. R.m* EJERCICIO 3 (SENTIDO POSITIVO: DE IZQUIERDA A DERECHA Y DE ABAJO A A R R IB A ). 1. Expresar que un móvil se halla a 32 m. a la derecha del punto A; a 16 m. a la izquierda de A. 2. Expresar que la parte de un poste que sobresale del suelo es 10 m. y tiene enterrados 4 m. 3. Después de caminar 50 m. a la derecha del punto A recorro 85 m. en sentido contrario. ¿A qué distancia me hallo ahora de A? 4. Si corro a la izquierda del punto B a razón de 6 m. por segundo, ¿a qué distancia de B me hallaré al cabo de 11 segs.? fy Dos corredores parten del punto A en sentidos opuestos. El que corre hacia la izquierda de A va a 8 m. por seg. y el que corre hacia la derecha va a 9 m. por seg. Expresar sus distancias del punto A al cabo de 6 seg. 8 . Partiendo de la línea de salida hacia la derecha un corredor da dos vueltas a una pista de 400 m. de longitud. Si yo parto del mismo punto y doy 3 vueltas a la pista en sentido contrario, ¿qué distancia hemos recorrido? 7. Un poste de 40 pies de longitud tenía 15 pies sobre el suelo. Días después se introdujeron 3 pies más. Expresar la parte que sobresale y la enterrada.
  13. 13. CAN TID AD « POftlTIVAS Y M16ATIVAS • 13 8. Un móvil recorre 55 m. a la derecha del punto A y luego en la misma dirección retrocede 52 m. iA qué distancia se halla de A? 9. Un móvil recorre 32 m. a la izquierda del punto A y luego retrocede en la misma dirección 15 m. ¿A qué distancia se halla de A} 10. Un móvil recorre 35 m. a la derecha de B y luego retrocede en la misma dirección 47 ni. ¿A qué distancia se halla de B? 11. Un móvil recorre 39 m. a la izquierda de M y luego retrocede en la misma dirección 56 m. ¿A qué distancia se halla de Ai? 12. A partir del punto B una persona recorre 90 ni. a la derecha y retro­ cede, en la misma dirección, primero 58 m. y luego 36 m. ¿A qué distancia se halla de B ? 13. Un móvil recorre 72 m. a la derecha de A y entonces empieza a retro­ ceder en la misma dirección, a razón de 30 m. por seg. Expresar su distancia del punto A al cabo del 1$, 2^, 39 y 4^ seg. ^.4. Un auto recorre 120 Km. a la izquerda del punto M y luego retrocede a razón de 60 Km. por hora. ¿A qué distancia se halla del punto M al cabo de la 1?, 2*, 3* y 4^ hora? VALOR ABSOLUTO Y RELATIVO V alor absoluto de una cantidad es el núm ero que representa la can­tid ad prescindiendo del signo o sentido de la cantidad, y valor relativo esel sentido de la cantidad, representado por el signo. Así, el valor absoluto de + $8 es $8, y el valor relativo haber, expre­sado p o r el signo + ; el valor absoluto de —$20 es $20 , y el valor relativod euda, expresado por el signo — . Las cantidades 4-7° y —7o tienen el mismo valor absoluto, pero suvalor relativo es opuesto, pues el prim ero expresa grados sobre cero y elsegundo bajo cero; —8 o y —11 ° tienen el mismo valor relativo (gradosbajo cero) y distinto valor absoluto. El valor absoluto de una cantidad algebraica cualquiera se representacolocando el núm ero que corresponda a dicho valor entre dos líneas ver­ticales. Así, el valor absoluto de + 8 se representa | 8 |. ARITMETICAS Y ALGEBRAICAS u c jo ex p u e sto an terio rm en te se deduce la diferencia entre cantida­des aritm éticas y algebraicas. Cantidades aritméticas son las que expresan solam ente el valor abso­lu to de las cantidades representado por los núm eros, pero no nos dicen elsentido o valor relativo de las cantidades. Así, cuando en A ritm ética escribimos que una persona tiene $5, te­nemos solam ente la idea del valor absoluto $5 de esta cantidad, pero conesto no sabemos si la persona tiene $5 de haber o de deuda. Escribiendoq u e el term óm etro m arca 8 o, no sabemos si son sobre cero o bajo cero.
  14. 14. 14 • AL0KBRA Cantidades algebraicas son las que expresan el valor absoluto de las cantidades y además su sentido o valor relativo por medio del signo. Así, escribiendo que una persona tiene 4- $5 expresamos el valor ab­ soluto $5 y el sentido o valor relativo (haber) expresado por el signo +; escribiendo —$8 expresamos el valor absoluto $8 y el sentido o valor rela­ tivo (deuda) expresado por el signo — escribiendo que el termómetro mar­ ; ca + 8 ° tenemos el valor absoluto 8 o y el valor relativo (sobre cero) expre­ sado por el signo +, y escribiendo —9o tenemos el valor absoluto 9 o y el valor relativo (bajo cero) expresado por el signo — . Los signos + y — tienen en Algebra dos aplicaciones: una, indicar las operaciones de suma y resta, y otra, indicar el sentido o condición de las cantidades. Esta doble aplicación se distingue porque cuando los signos 4 - 0 —tienen la significación de suma o resta, van entre términos o expresiones in­cluidas en paréntesis, como por ejemplo en ( 4. 8) + (— 4) y en (— 7) — ( 4- 6 ).Cuando van precediendo a un término, ya sea literal o numérico, expresan elsentido positivo o negativo, como por ejemplo en — a, 4- b, 4- 7, — 8 REPRESENTACION GRAFICA DE LA SERIE© ALGEBRAICA DE LOS NUMEROS Teniendo en cuenta que el 0 en Algebra es la ausencia de la canti­dad, que las cantidades positivas son mayores que 0 y las negativas meno­res que 0, y que las distancias medidas hacia la derecha o hacia arriba deun punto se consideran positivas y hacia la izquierda o hacia abajo de unpunto negativas, la serie algebraica de los números se puede representarde este modo: -5 -4 -3 -2 -1 0 + 1 + 2 3 +4 + 5 • • - I |— |— I i— — — h H — I I I- • • — —NOMENCLATURA ALGEBRAICA( Í 7 )EXPRESION ALGEBRAICA es ]a representación de un símbolo alge- braico o de una o más operaciones algebraicas. Ejemplos ____ (5x —3y)cr a, 5x, Í4a, (o 4- b)c , ---- ----- jr. TERMINO es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios símbolos no separados entre sí por el signo + o — Así, .a, 3b, 2xyf ---- son términos. 7 3x
  15. 15. NOMENCLATURA A IG EM A IC a • 15 Los elem entos de u n térm ino son cuatro: el signo, el coeficiente, laparte literal y el grado. Por el signo, son térm inos positivos los que van precedidos del sig­no + y negativos los q u e van precedidos del signo Así, + a, + 8x, + 9abson térm inos positivos y —x , — bbc y — son térm inos negativos. El signo + suele om itirse delante de los términos positivos. Así,a equivale a + a; 3ab equivale a + 3ab. P or tanto, cuando u n térm ino no va precedido de ningún sign^ «positivo. El coeficiente, como se dijo antes, es uno cualquiera, generalm ente elprim ero, de los factores del térm ino. Así, en el térm ino 5a el coeficientees 5; en —3a2x z el coeficiente es —3. La p a rte literal la constituyen las letras que haya en el térm ino. Así, 3x *y* x 8y 4en 5x y la parte literal es xy; en ■ - — la parte literal es — — .M 9 y EL GRADO DE UN TERMINO puede ser de dos clases: absoluto y con relación a u n a letra. G rad o absoluto de u n térm ino es la suma de los exponentes de susfactores literales. Así, el térm ino 4a es de prim er grado porque el expo­n en te del factor literal a es 1 ; el térm ino ab es de segundo grado porquela sum a de los exponentes de sus factores literales es 1 + 1 = 2 ; el térm inoa2b es de tercer grado porque la suma de los exponentes de sus factoresliterales es 2 + 1 = 3; 5a*b3c2 es de noveno grado porque la suma de los ex­ponentes d e sus factores literales es 4 + 3 + 2 = 9. El grado de u n térm ino con relación a una letra es el exponente ded icha letra. Así el térm ino b x 8 es de prim er grado con relación a b y detercer grado con relación a x; 4x 2y4 es de segundo grado con relación a xy de cu arto grado con relación a y.(zo)< SES JCLA DE TERMINOSV T é r m i n o entero es el q ue no tiene denom inador literal como 5a, —^ 2a ^ T é rm in o fraccionario es el que tiene denom inador literal como — r~. b T é rm in o racional es el q u e no tiene radical, como los ejemplos anté- 3briores, e irracional el q u e tiene radical, como fa b , - ■ . — <TTa T érm in o s hom ogéneos son los que tienen el mismo grado absoluto. Así, 4x 4y y 6x2y3 son homogéneos porque ambos son de quinto gradoabsoluto. T érm in o s heterogéneos son los de distinto grado absoluto, como 5a,q u e es de p rim er grado, y 3a2, que es de segundo grado.
  16. 16. 16 • ALGEBRA m* EJERCICIO 4 1. Dígase qué cla*e de térmtíios sotí los siguientes atendiendo al signo, a si tier^íen o tío denominador y a si tienes o no radical: a u 2a 562 r- *nrní ^ **2l>8 ~ T T ^ ü 7’ “ W 2. Dígase el gradoo absoluto de los términos siguientes: 5a, —6á*b, a-b2, —5asb4c, 8x6y6, 4m2n3, —xyz5 3. Dígase el grado de los términos siguientes respecto a cada uno de sus factores literales* — 5 y3, 6a2bxz, — a3b¿, — x4 4abcy2, 10m2n 364c5 4. De los términos siguientes escoger cuatro que sean homogéneos y tres heterogéneos: — 4alib2, 6ab8, — x5, 6x4y, —2a8x4, —ab5, 4abcx2, —2ac 5. Escribir tres términos enteros; dos fraccionarios; dos positivos, enteros y racionales; tres negativos, fraccionarios e irracionales. 6. Escribir un término de cada uno de los grados absolutos siguientes: de tercer grado, de quinto grado, de undécimo grado, de décimo quinto grado, de vigésimo grado. 7. Escribir un término de dos factores literales que sea de cuarto grado con relación a la x; otro de cuatro factores literales que sea de séptimo grado con relación a la y; otro de cinco factores literales que sea de décimo grado con relación a la b.CLASIFICACION DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS MONOMIO es una expresión algebraica 3a, — 5b, -j-j.© que consta de un solo término, com o______________ / 2 2 j POLINOMIO es una expresión algebraica que consta de más de un término, como a + b, a + x —y, x 3 4- 2x2 + x + 7. a,2 5mx4 Binomio es un polinomio que a + b , x —y, —— -consta de dos términos, c o m o :______ ___________ / a T rinom io es un polinomio que a+ 6 + xz—5x 6, a + b+ c, x 2—5x + 6, 5x2—6y*+consta de tres términos, co m o _________ Z 1 o EL GRADO de un polinomio puede ser absoluto y con relación a una© letra. Grado absoluto de un polinomio es el grado de su térm ino de mayorgrado. Así, en el polinomio x 4 —5x3 + x2 —3x el prim er térm ino es decuarto grado; el segundo, de tercer grado; el tercero, de segundo grado, yel último, de prim er grado; luego, el grado absoluto del polinomio es elcuarto.
  17. 17. NOMCNCLATURA ALG tBRA IC A £ ~J G rado de un polinom io con relación a una letra es el mayor ex po­nente de dicha letra en el polinom io. Así, el polinom io a6 + a4x 2 - a2x 4 esde sexto grado con relación a la a y de cuarto grado con relación a la x. » EJERCICIO 5 1 . Dígase el grado absoluto de los siguientes polinomios: a) x 3+ x 2+x. c) a? ,b—a2b2+ab3—b4. b) 5fl— 2+4a 4— . 3a 6 d) x 5— x 4y3— 6 ±a2b+x,¿y*—3y6. 2. Dígase el grado de los siguientes polinomios con relación a cada una de sus letras: a) a*+a2—ab3. cj 4tf2x+a¿>9— a 368x6. 5 b) x 4+ 4 x 3— X2)»4— x y 6 4 d) m4n2— 6+m x 4y8— 8-f)>ls— mn x m11.^ 4^ CLASES DE POLINOMIOS ^ U n polin o m io es entero cuando ninguno de sus térm inos tiene deno- x2 x 1m in ad o r literal como x 2 + 5x —6 ; --------- 1 ; fraccionario cuando alguno — 2 3 5 a2 bde sus térm inos tiene letras en el denom inador como —H ------ 8 ; racional b ccuando no contiene radicales, como en los ejemplos anteriores; irracionalc u an d o contiene radical, como Va+/tT—VF—Vabc; homogéneo cuando to­dos sus térm inos son del mismo grado absoluto, como 4a3+ oa2b-i- 6afr2+ fr3,y heterogéneo cuando sus térm inos no son del mismo grado, comox 3 + x 2 + x —6 . P o lin o m io com pleto con relación a una letra es el que contiene todoslos exponentes sucesivos de dicha letra, desde el más alto al más bajo quetenga dich a letra en el polinom io. Así, el polinom io x 5 + x 4 —x 8 + x 2 —3xes com pleto respecto de la x, porque contiene todos los exponentes sucesi­vos de la x desde el más alto 5, hasta el más bajo 1, o sea 5, 4, 3, 2, 1; elp o lin o m io a4 —a3b + a2b2 —ab 8 + b 4 es com pleto respecto de a y b. P olinom io ordenado con respecto a una letra es un polinom io en elcual los exponentes de u na letra escogida, llamada letra ordenatriz, vana u m en tan d o o dism inuyendo. Así, el polinom io x 4 —4x 8 + 2x 2 —5x + 8 está ordenado en orden des­cendente con relación a la letra ordenatriz x; el polinom io a? —2a4b + 6a 362—5a 2fr8 + 3ab4 —b 6 está o rdenado en orden descendente respecto de la letraordenatriz a y en orden ascendente respecto de la letra ordenatriz b.( 2 5 J O rd e n a r u n polinom io es escribir sus térm inos de modo que los expo- nentes de una letra escogida como letra ordenatriz queden en orden des­ cendente o ascendente. Así, ordenar el polinom io — 8-hxB 3x+ x 4— 2+6 en 5x — x orden descendente con relación a x será escribir x 5+ x 4—5x 3—x 2—3x + 6. O rd en ar el polinom io x 4y —7x2y3 —5x 6 + 6xy4 + y6 —x 3y2 en orden as­cendente con relación a x será esc rib irlo :------- - ^ yc + 6xyi - 7 x V - x y - H x 4)>-5x8.
  18. 18. 18 # ALGEBRA Termino independiente de un polinomio con relación a una letra es el término que no tiene dicha letra. Así, en el polinomio a8 —a2 + 3a —5 el término independiente conrelación a la a es 5 porque no tiene a; en x4 — 6x 3 + 8x2 —9x + 20 el térmi­no independiente es 20 ; en a 8 —a2b + 3ab2 + bs el término independientecon relación a la a es b y el término independiente con relación a la bes a8 El término independiente con relación a una letra puede considerarse .que tiene esa letra con exponente cero, porque como se verá más adelante,toda cantidad elevada a cero equivale a 1. Así, en el primer ejemplo anterior, —5 equivale a —5a°, y en el últi­mo ejemplo, b3 equivale a a°b8.» EJERCICIO 6 1 Atendiendo a si tienen o no denominador literal y a si tienen o no radi­ cal, dígase de qué ciase son los polinomios siguientes: a) a3+ 2a2— 3a. c) V7T f Vb~—2c -f íd. a* cfi a2 /fl* b) — —— + — —a. d) 4a + — — 66 + 4. 2 3 2 2 2 Escribir un polinomio de tercer grado absoluto; de quinto grado abso­ luto; de octavo grado absoluto: de décimoquinto grado absoluto. 3 . Escribir un trinomio de segundo grado respecto de la x; un polinomio de quinto grado respecto de la a; un polinomio de noveno grado res­ pecto de la m. 4 . De los siguientes polinomios: a) 3aa+4fl?-5&8. d) 4a-5bA-Qc2-8 d 3-6. b) a4— a*b±á22 2+ah*. J e) y?— ay4+a2 .— y?— ^ i-b ^ y3 ji3 a c) x3— bx4+abj>c3+ab3x2. £) — b4— 6a3 5^fíh+8akb5—b7 . escoger dos que sean homogéneos y dos heterogéneos. 5. De los siguientes polinomios: a) a4—a2+a—a3. d) m5— ra4-f ??t3— +5. m b) 5x4— x2+x— . 8 6 e) y7—by4+b2y3—b3y2+b4y. > c) x4y—x3y2+x2 y4. y3— dígase cuáles son completos y respecto de cuáles letras. 6. Escribir tres polinomios homogéneos de tercer grado absoluto; cuatro de quinto grado absoluto; dos polinomios completos. 7. Ordenar los siguientes polinomios respecto de cualquier letra en orden descendente: a) m2+ 6m— 3+m4. m b) 6ax2—5a3+2a2x+x3. c) — a2b3+a4b+a3b2— ab*. d) o4— 5a+6a3— 24-6. 9a e) — 8y2+x 10-f3x4y6— y + x 2 8. x x ) f) —3m15n2+ 4 m 12n3—8 to6ti5—10m3n6+ n 7—7m®n4-f m 18n. 8. Ordenar los siguientes polinomios respecto de cualquier letra en orden ascendente: a) a2— 3+6a. 5a d) a2& +fl4& - a 6& +a 8í?+¿>». 4 3 2 b) x— 3+6x 2+9x4. 5x e) yU-x°yn+x1 y*-x*y10. 2 c) 2y4+4y{-0y-l-2y2+5y3. 5
  19. 19. REDUCCION DE TERMINOS SEMEJANTES 27) TERMINOS SEMEJANTES© Dos o más términos son semejantes cuando tienen la misma parte lite­ral, o sea, cuando tienen iguales letras afectadas de iguales exponentes. 2o y o; - 2 b y 8b, - 5 o V y -8a*b*; x“ +l y Los térm inos 4ab y —6a?b no son semejantes, porque au n q u e tieneniguales letras, éstas no tienen los mismos exponentes, ya que la a del p ri­m ero tiene de exponente 1 y la a del segundo tiene de exponente 2 . Los térm inos —b x A y ab 4 no son semejantes, p o rque a u n q u e tienen losmismos exponentes, las letras no son iguales.(28) REDUCCION DE TERMINOS SEMEJANTES es u n a operación q u e tie- ne p o r objeto convertir en u n solo térm ino dos o más térm inos se­ mejantes. En la reducción de térm inos sem ejantes pueden o c u rrir los tres casossiguientes: 1) Reducción de dos o más términos semejantes del mismo signo. REGLA Se suman los coeficientes, poniendo delante de esta suma el mismosigno que tienen todos y a continuación se escribe la parte literal. Ejemplos (1) 3a + 2a = 5a. R. (6 ) ~ab + ^ab = ^ab. R. * o 6 (2) —5b —7b = — 12b. R. 1 2 ( 7 ) — - * y —- * y = - x y . R. (3 ) —a* — 9o2 = — 10o2. R. (8 ) 5x 4- x + 2x = 8x. R. (4) 3ax~2 -f 5ax 2 = 8a x“2. R. ( 9 ) ~ m — 3m — 6m — Sm = — 15m. (5 ) - 4 a “ *1 - 7 a m+1 = - lio " 1 1. * R. (1 0 ) -xfy + ^x2y + i x 2y = ¿x2y. R. Reducir: 1. x+2x. 6 , -9 m -7 m . 2. 8a+9a. 7 , 4ax+5ax. 11 . T a+ 7 a‘ 3. Ilfr-f9 fr. g. 6ax +1+8a* +i 4 4. —b -5 b . 9. - m x+ i - 5mx+i 12 7 ab+Toab- 5 10 - 5. —8m—m. 1 0. -3 a x~2- a*~2 7 13. 16.
  20. 20. 20 • a lg ebr a17. 8a+9a+Ga. 29. —2 x y—8x2 - 9 x 2 — y y 20x2y.18. 15x+20x+x. 30. -3 a m—5/zm 6 a m - —9am.19. ~7m—8m— 9m. i . 1 i„ Y a+ 7 a+ —a+a. 31.20. — a2b—a¿b— 3a2b. 2 l l l 32. T «x+ -«x+ -ax+ -ax.21. ax+3ax+8ax. 33. 0.5m-t-0.6m+0.7m+0.8m.22. -5 a ‘ +1-3a* +1-5 a * +1. ■1 , 2 34. ——ab— -a b ——-ab—ab.23. 7 14 28 a+ T a+ T a- 2 1 35. ~ T x8y _ T x8y _24. —X——X----X. 3 0 36. a&2+a&2+7a&2+9a62+21fl¿>2.25. T flx + “0 37. — m— m— 8m— 7m—3m. 5 1r0x4-ax. — +*— +1— + 5xa+x—x a+V xa 8xa 4xa 38.26. ——a2x ——a2x — . 4 8 a2x i i . i , i . i 39. -2a+ —a4* 4 — 3 “T 5 027. lla + 8 a + 9 a + lla .28. rax +1+3mx +1+4mx+1+6mx+1. 40. ——ab^- —ab——ab——ab——ab. 3 6 2 12 0 2) Reducción de dos términos semejantes de distinto signo. REGLA Se restan los coeficientes, poniendo delante de esta diferencia el signodel mayor y a continuación se escribe la parte literal. Ejemplos (5 ) 25ax+1 —54ox+1 = —29ax+1. C (1) R. o II 0 1 N 1 (2) 18x — 11x = 7x. R. (6 ) (3) —20ab + llab = - 9ab. R. (7 ) -~ a 2b + a2b = - 7a*b. R. (4) - 8ax + 13ax = 5ax. R. (8 ) -a x+1 + “Cx+1 = —12 6 4 r De la regla anterior se deduce que dos términos semejantes de ¡guales coefi­ cientes y de signo contrario se anulan. Así: -8 a b + 8ab = 0. R. j x 2y - j * í y = 0. R. EJERCICIO 8 Reducir: 1- 8a—6a. 2a— 2a. 9. 40x3y-5 1 x> . 2. 6a— 8a. -76+ 76. 10. — 2n+ 6m2n. m 3. 9ab-15ab. -14xy+32xy. 11. ~15xy-f40xy. 4. I5ab— dab. 8. — 25x2y+32x2y. 12. 55a862—81a362.
  21. 21. REDUCCION M TERMINOS SEMEJANTES • 21 13. — 2 x2y. x y+ 23. _ i x“y + £x-’ y. 33. 14. —9ab2+9ab2. OA ® ® 34- — 15. 7x2y—7x2y. ¿4- —am---- am. 16. — lülmn-f-118mn. 35 . —ûrn +1— - a 1 +1 — +l---L/jin /jrn 1 25 —a w - f—am. G 12 17. 502a6— 405a6. 5 7 36. 4a2—- a 2. 18. -1024x+1018x. 26. —mn---- mn. 3 19. -15a6+15a&. 27. -a*b+^a*b. 37- —5 m n + - mn. 420. 28. 3.4rt4^ -5 .rm 463. 38. 8ax +2bx +3—25ax +2bx 8 1 29. -1.2yz+3.4yz. 21 . —a ——a. 30. 4ax—2ax. 39. ——am6n-fam> ¿ n. 4 2 8 31. —8«x +1+8flx +1. 22. —a?b— - a 2b. 32. 25ma_1—32ma_1. 40. 0.85m xy——mxy. 6 12 Reducción de más de dos términos semejantes d<? signos distintos. REGLA Se redu cen a u n solo térm ino todos los positivos, se reducen a u n solotérm in o todos los negativos y a los dos resultados obtenidos se aplica la re­gla del caso anterior. Ejemplos (1 ) Reducir 5a — 8a + a — 6a + 21a. Reduciendo los positivos: 5a -f- a 4- 21a = 27a. Reduciendo los negativos: — 8a — 6a = — 14a. Aplicando a estos resultados obtenidos, 27a y — 14a, la regla del caso ante­ rior, se tiene: 27a — 14a = 13a. R. Esta reducción también suele hacerse término a término, de esta manera: 5a — 8a = — 3a; — 3a + a = —2a; —2a — 6a = — 8a; — 8a + 21 a = 13a. R. (2 ) Reducir —-bx2 + zbx2 + 4 bx2 — 4bx2 -f bx2. ó a Reduciendo los positivos: ¡|bx2 + ^fax2 + bx2 = ^ bx2. Reduciendo los negativos: — jb x 2 — 4bxz = — ~¡~hx2. Tendremos: ^bx* - f b x 2 = - | b x 2. R.» EJERCICIO 9 Reducir: 1 . 9a—3a+5a. 5. 19m— lOm-f 6m. 2 . —8x+9x— x. 6. -Ila6-15a¿>+26afc. 9- f y + T y - y . 3. 12mn-~23rnn—omn. 7. — 5ax-f9ax— 35ax. 4. -x -fl9 x -1 8 x . 8. -2 4 a x+2-1 5 a x+2+39a x+2 10. ---- m -f—-ra- 5 4
  22. 22. 22 • A LG iB R A11- -ja2b+-^a2b— a?b. 23. jtP b —jifib + ja tb -a b .12. -a+8o+9a-15a.13. 7ab-Uab+20ab-Zlab. 24. -l*b *-± -a b *+ a b l¡- 28r ab*. 6 614. 25x2— 50x2+ llx 2+14x2. 25. — a+8fl— lla+ 15a— 75a.15. — 8xy— xy— 19xy+40xy. 26. - 7 c4-21c+14c-3 0 c+82c.16. 7ab+21ab— 80ab. ab— 27. ~mn-|-14mn— 31mn—mn+20mn.17- —25xy2+llxy2+60xy2— 82*y2. 28. a2 7a2 93a2 y— y— y+51a2 y+48a2)>.18. -72ax+87ax-101ax+243ux.19. -826x-71frx-536x+206fcx. 29. ~a+a— a+a— 3a+6a.20. 105a3— 464a8+58a3+301a8. 31. - 2 x + - jx + ± x + x ~ x . 32. 7ax— 30ax— 41ax— 9ax-f-73flx. 33. — a*+1+7a*+ lla x+1—20ax+1+26ax+1. 34. a+6a-20a+150a-80a+31a. 35. — 96-116— 176—816— 6+1106. 36. —a26+15a26+a26—85fl26—131a26+39a26. 37. 84m2x-501m2x-604m2x~715m2x+231m2x+165ra2x. 38. -ja*b2+ Y a*b2— 7«362- - V 6 2+4a862. 39. 40a-81a+130a+41a-83fl-91a+16a. 40 — 21a6+52a6— 60a6+84a6— 31a6— 23a6. a6— REDUCCION DE UN POLINOMIO QUE CONTENGA TERMINOS SEMEJANTES DE DIVERSAS CLASES Ejemplos ( 1 ) Reducir el polinomio 5a —6b + 8c + 9a —20c —b + 6b —c. Se reducen por separado los de cada dase: 5a + 9a = 14a. - 6b - b + 6b = - b. 8c —20c —c = — 13c. Tendremos: 14a —b —13c. R. (2) Reducir el polinomio: 8a*b2 + 4a4b8 + 6a8b2 —a W —9a4b8 —15 —5ab5 + 8—6ab5. Se reducen por separado los de cada clase: 4a4b3 - 9a4b3 = - 5a4b8. 8a8b2 + 6a8b* - a3b2 = 13a3b2. - 5ab5 - 6abs = - 1lab5. - 1 5 + 8 = - 7. tendremos: —5a4b* + 13o*b* — 1lab5 —7. R. (3) Reducir el polinomio: jx 4 - ;x*y + 3x4 - y4 + y* - 0.3x4 - jx*y - 6 + *»y - 14 + 2¡y4.
  23. 23. VALOR NUMERICO # 23 Tendremos: -x4 + 3x4 — 0.3x4 = 3-iy-* 2 i y4 + £y4 _ y 4 = 2 *y4 - 6 - 1 4 = -2 0 . 3 T5x 4 ~ I 5 x V + 2 ¿ y * - 2 0 . R. EJERCICIO 10 Reducir los polinomios siguientes: 1 Ta—9b+Qa—46. 2 a+b—c—6 — c+2c—a. 3 5x— ll;y-9+ 20x— y. 1— 4 —6m-f8n+5— n — m— . m— 6 11 5- — + 6 + 2 6 — a 2c+3a+2c— 36. 6 -8lx+19y-30z+6;y+80x+x-25:y. 7 15a2— 6a6— 8fla+20— 5fl6— 314-fl2— a6. 8 . -3 a + 4 6 -6 a + 8 1 6 -1 1 4 6 + 3 1 a -a -6 . 9. — 71a3b— 84a462+50a36+84a462— 45a86+18a36. 10. — + 6 — ¿ c+8+2a+26— 19— 3a— 36+3c. 2c— 3— 11- m2+71m n— 14m2— 65mn+m3— m2— 115m2+6m3. 12 . x*y—x 3y2+x2y —8x4y—x2y-10+x*y---7x¿y2- ( +21x*y-y¿+50. J 13. 5 «* +i- 3 6 x+2—8cx+3- 5 ax+* - 50+46* +2-6 5 -6 * ^ 2+í)0+cx+3+7cx+3. 14. am+2— +8- 5 + 8 - 3 a m+2+ 5xm+3- 6 + ara+2- 5 x ,n+8. xm 15- 0.3a+0.46+0.5c-0.6a-0.7¿>-0.9c+3a-36-3c. 16. -La4.i-6.+2a— 2 3 36-*T a"“T ^ + ^— * • 4 6 4 — 2 17. i5m 2- 2m n + ~ m 2—-m n + 2 mn— m2. 10 8 2 18. _ ± a2+ l . afc_±«)2+ 2 Í « 2 - i.a 6 + L¿)2_i.¿,2_2a6. 19 0.4*2 + 3 1 + 0 . 6 y 3 y * 2 — y — ? 0.2*y2+ ~ys— . 6 20. a ra- i - - b m- 2 - 0 . 2 a m~1+ — b m- 2. 25 50 5 20 6VALOR NUMERICO V alor num érico de una expresión algebraica es el resultado que seobtiene al sustituir las letras por valores num éricos dados y efectuar despuéslas operaciones indicadas.
  24. 24. 24 • ALOCUA ( 30) VALOR NUMERICO DE EXPRESIONES SIMPLES Ejemplos (1 ) H allar el v a lo r n um érico d e 5 crb p a ra a — 1, 6 — 2 . Sustituim os la a p or su v a lo r 1, y la b p or 2 , y ten d rem os: 5 a b = 5 X 1 X 2 = 10. R. (2) V alor num érico d e a 2b 3c 4 p ara a = 2 , b —3, c — —. o W = 2 2 X 3 3 X (¿ )4 = 4 X 2 7 X ^ = 6; R. (3 ) V alor n um érico d e 3 a c V 2 ab p ara 0 = 2 , b= 9{ c =^. 3a c Z~2ab = 3 X 2 X ^ X V 2 X 2 X 9 = 2 X > / 36 = 2 X 6 = 12 . R. 4o 2b 3 i 1 ( 4 ) V alor num érico d e ----------p ara o — - , b = - , c = 2 , d = 3 . 5 cd 2 3 4o 2b 3 _ 4 X | j ) 2 X ( j )3 _ 4 X j X ¿ 1 / 27 _ 1 5 cd 5 X 2 X 3 30 30 810 EJERCICIO 11 Hallar el valor numérico de las expresiones siguientes para i i a = 1, 6 = 2, c = 3, 7 = —, 1 m = T 3 P= T 1. 3 ab. 7. m bncp &. bb2m 2 24mra 2. 5 a2b3c. 13. 16. 8. —ab_1m c_2. np 2 V n2p 2 3. b2mn. 6 4. 2 4 m 2n 3p . 9. V2ÒC2. f¿>3 3 $ 64 tee* 10. 14. 17. 4m 126c2. 2m ¡k5"’ 5. —a4b2m 3. 11. mn / 8 fl463. 3 4a 2m § / ap b 2 12. 15. 18. 6. —c*p2m. 12 r 3bc f s / ì 256m( 7 ? ) VALOR JMERICO DE EXPRESIONES COMPUESTAS Ejemplos ( 1 ) Hallar el valor numérico de o2 —5ab + 3b3 para a = 3, b —4, o2 - 5a b + 3 b 3 = 32 - 5 X 3 X 4 + 3 X 48 = 9 - 6 0 + 192 = l 4 l . R.
  25. 25. VALOR NUMERICO • 25 v/ i , . , 3a2 5crb 6 1 1 (Z ) Valor numérico d e ------------ 1 ----- para a — 2 b = — x = — 4 x ax 3# 6* 3a2 5ob ^ b _ 3 X 2* 5 X 2 X j ¿ _ j ¿ 4 x ox ~ 4 ¡ + 2 * i ~ 3~ i + j = 3-20+ 1 =-16. R.m- EJERCICIO 12 H allar el valor numérico de las expresiones siguientes para a = 3, b = 4, c = d = y , ra = 6, n =a2-2a¿> + ¿ 2. > 7- — +— 13. . a+ b _ ^ ± m . n d m c d<? + 2cd + dK 8. VF+ Vñ+ V6m . 14. ± = 1 + Z?Z± + 5a. n d- + 4 9 c V 3 Í - d V Í 6 P + nV8d. 15- ^ Z £ __1 6 n -a_ 1 C a 2b m d 1 c rrr- VSa V 6 mÍ - - + 2. la 3T- 16. V?Fh---- -------------- . d n d 3 6a 2 b2 m 2 3c2 ^ 4 n2 17 /F + /2 d V & + V sd 3 2 6 * 4 m 2__ 4_* r _ _ ¿ , + 2 d. 10 . ___ + _ -----i. 12 4íP , 16«* , 11R ». 2 V ------+ ----- --------- ------ ^P 3V 2P (3) Valor numérico de 2(2a —b) (x2+ y) — (a2 -■ (b —a) para + b) o = 2, b = 3, x = 4, y = j . Las operaciones indicadas 2(2a - b ) = 2 X ( 2 X 2 - 3 ) = 2 X ( 4 “ 3) = 2 X l = 2 c/enfro de los paréntesis de- — ^ r 1 —i z - l 1 —w 1 ben efectuarse antes que _ x •" y — 4 + 2 2 2 ninguna ofra, así: ------ -— a2 + b = 22 + 3 = 4 + 3 = 7 b —a = 3 —2 = l Tendremos: 2 ( 2 a - b ) ( x 2 + y ) - ( a 2 + b ) ( b - a ) = 2 X 1 6 - i - 7 x l = 2 x f - 7 = 3 3 - 7 = 26. Rm- EJERCICIO 13 H allar el valor numérico de las expresiones siguientes para 0 = 1, b = 2, c = 3, d = 4, m = y , /t = -p p - > x = 0. ✓8 m 16f> x 1* (a + 6 )c—d. 5. (4ra-t-8p)(a 2+fr2)(6n— d). 9. — |---- r ~ ) G* 2. (a+6)(6-a ). 6. ( c - 6)(d -c)(ft-a) ( « - f ) . 10. j L ab+dJ c*). 3. (¿?~m)(c~n)-f4a2. 7. b2(c+d)—a2(m+n)+ 2x. 4 (m+p) a 2-f &2 4. (2m+3n)(4/H-&2), & 2mx+6(6 2+c 2)-4 d 2. 1L ------------•
  26. 26. 26 • ALGEBRA12. (2m+3n+4p)(8p+6n— 4wi)(9w+20p). 19. 3(c—¿) V 32m —2(d—o) Z l6^----- . n13. d2(m +p )+b 2(n-rpy y/6abc VZmn cdnpU. /^ L + J _ W 2V8b 2(b-á) abe * V a Vd a2+b215. (4/>+26)(18n—24£)+2(8m4-2)(40/>-t-a). 21 +3(a+6)(2a+3& ) d 2 a+— 5+—-16. — A x ------ 2 Í . d— b p2 2 -(M N K M M )* 2 23 (2m +3n)(4p+ 2c)—4m2n2.17. (a+6) V c2+ 8 6 — VíF. m ¿2- - > / V a+c V 6ñ , f4 _18 24. 2ab—m b—m [32J EJERCICIOS SOBRE NOTACION ALGEBRAICA Con las cantidades algebraicas, representadas por letras, pueden ha­ cerse las mismas operaciones que con los números aritméticos. Como la representación de cantidades por medio de símbolos o letras suele ofrecer dificultades a los alumnos, ofrecemos a continuación algunos ejemplos. Ejemplos (1) Escríbase la suma del cuadrado de a con el cubo de b. a2 + b8. R. (2) Un hombre tenía $a; después recibió $8 y después pagó una cuenta de $c. ¿Cuánto le queda? Teniendo $a recibió $8 luego tenía $(a + 8). Si entonces gasta $c le quedan $fa + 8 —c). R. (3) Compré 3 libros a $a cada uno; 6 sombreros a $b cada uno y m trajes a $x cada uno. ¿Cuánto he gastado? 3 libros a $a importan $3a. 6 sombreros a $b importan $6b. m trajes a $x importan $mx. Luego el gasto total ha sido de $(3a + 6b + mx). R. (4) Compro x libros iguales por $m. ¿Cuánto me ha costado cada uno? Cada libro ha costado $— R. . x (5) Tenía $9 y gasté $x. ¿Cuánto me queda? Me quedan $(9 —x). R. EJERCICIO 14 E scríbase la su m a de a, b y m. E scríbase la su m a del c u a d ra d o de m, el c u b o de b y la c u a rta p o te n ­ cia de x.
  27. 27. NOTACION ALGEBRAICA • 27 3- Siendo a un número entero, escríbanse los dos números enteros conse­ cutivos posteriores a a. 4- Siendo x un número entero, escríbanse los dos números consecutivos anteriores a x. 5- Siendo y un número entero par, escríbanse los tres números pares con­ secutivos posteriores a y. 6 . Pedro tenía $a, cobró $x y le regalaron $m. ¿Cuánto tiene Pedro? 7 Escríbase la diferencia entre m y n. 8 - Debía x bolívares y pagué 6. ¿Cuánto debo ahora? 9- De una jornada de x Km. ya se han recorrido m Km. ¿Cuánto falta por andar?10* Recibo $x y después $a. Si gasto %m, ¿cuánto me queda?11* Tengo que recorrer m Km. El lunes ando a Km., el martes b Km. y el. miércoles c Km. ¿Cuánto me falta por andar?12. Al vender una casa en $n gano $300. ¿Cuánto me costó la casa?13- Si han transcurrido x días de un año, ¿cuántos días faltan por transcurrir?14. Si un sonjbrero cuesta % ^cuánto importarán 8 sombreros; 15 sombre­ a, ros; m sombreros?15 Escríbase la suma del duplo de a con el trillo de b y la mitad de c.16. Expresar la superficie de una sala rectangular que mide a m. de largo y b m. de ancho.17. Una extensión rectangular de 23 m. de largo mide n m. de ancho. Ex­ presar su superficie.18. ¿Cuál será la superficie de un cuadrado de x m. de lado?19. Si un sombrero cuesta Ja y un traje %b, ¿cuánto importarán 3 sombreros y 6 trajes?, ¿x sombreros y m trajes?28. Escríbase el producto de a -f b por x + y.21. Vendo (x + 6) trajes a $8 cada uno. ¿Cuánto importa la venta?22. Compro (a —8) caballos a (x + 4) bolívares cada uno. ¿Cuánto importa la compra?23. Si x lápices cuestan 75 sucres; ¿cuánto cuesta un lápiz?24. Si por $a compro m kilos de azúcar, ¿cuánto importa un kilo?25- Se compran (n —1) caballos por 3000 colones. ¿Cuánto importa cada caballo?26 Compré a sombreros por x soles. ¿A cómo habría salido cada sombrero si hubiera comprado 3 menos por el mismo precio?27 La superficie de un campo rectangular es m m .2 y el largo mide 14 m. Expresar el ancho.28. Si un tren ha recorrido x + 1 Km. en a horas, ¿cuál es su velocidad por hora?29. T enía $a y cobré $b. Si el dinero que tengo lo empleo todo en comprar (m —2) libros, ¿a cómo sale cada libro?30 En el piso bajo de un hotel hay x habitaciones. En el segundo piso hay doble número de habitaciones que en el primero; en el tercero la mitad de las que hay en el primero. ¿Cuántas habitaciones tiene el hotel?31. Pedro tiene a sucres; Juan tiene la tercera parte de lo de Pedro; Enrique la cuarta parte del duplo de lo de Pedro. La suma de lo que tienen los tres es menor que 1000 sucres. ¿Cuánto falta a esta suma para ser igual a 1000 sucres?
  28. 28. 28 • A IG C B R ANOTAS SOBRE EL CONCEPTO DE NUMERO El concepto de número natural (véase Aritmética Teórico-Práctica, 33),que satisface las exigencias de la Aritmética elemental no responde a la gene­ralización y abstracción características de la operatoria algebraica. En Algebra se desarrolla un cálculo de validez general aplicable a cual­quier tipo especial de número. Conviene pues, considerar cómo se ha ampliadoel campo de los números por la introducción de nuevos entes, que satisfacenlas leyes que regulan las operaciones fundamentales, ya que, como veremosmás adelante, el número natural (1) no nos sirve para efectuar la resta y ladivisión en todos los casos. Baste por el momento, dado el nivel matemáticoque alcanzaremos a lo largo de este texto, explicar cómo se ha llegado alconcepto de número real. Para hacer más comprensible la ampliación del campo de los números,adoptaremos un doble criterio. Por un lado, un criterio histórico que nos hagaconocer la gradual aparición de las distintas clases de números; por otro, uncriterio intuitivo que nos ponga de manifiesto cómo ciertas necesidades mate­riales han obligado a los matemáticos a introducir nuevos entes numéricos.Este doble criterio, justificable por la índole didáctica de este libro, permitiráal principiante alcanzar una comprensión clara del concepto formal (abstracto)de los números reales.EL NUMERO ENTERO Y IL NUMERO FRACCIONARIO Mucho antes de que los griegos (Eudoxio, Euclides, Apolonio, etc.) rea­lizaran la sistematización de los conocimientos matemáticos, los babilonios(según muestran las tablillas cuneiformes que datan de 2000-1800 A.C.) y losegipcios (como se ve en el papiro de Rhind) conocían las fracciones. La necesidad de medir magnitudes continuas tales como la longitud, elvolumen, el peso, etc., llevó al hombre a introducir los números fraccionarios. Cuando tomamos una unidad cualquiera, por ejemplo, la vara, paramedir una magnitud continua (magnitud escalar o lineal), puede ocurrir unade estas dos cosas: que la unidad esté contenida un número entero de veces,o que no esté contenida un número entero de veces. (2) En el primer caso,representamos el resultado de la medición con un número entero. En el se­gundo caso, tendremos que fraccionar la unidad elegida en dos, en tres, o encuatro partes iguales; de este modo, hallaremos una fracción de la unidadque esté contenida en la magnitud que tratamos de medir. El resultado de estaúltima medición lo expresamos con un par de números enteros, distintos decero, llamados respectivamente numerador y denominador. El denominadornos dará el número de partes en que hemos dividido la unidad, y el nume­rador, el número de subunidades contenidas en la magnitud que acabamosde medir. Surgen de este modo los números fraccionarios. Son números frac­cionarios 1/2, 1/3. 3/5, etc. (I) P. L. G. D irichlet (alemán, 1805-1859). ha sostenido que no es necesariam ente indis­pensable am pliar el concepto de núm ero natural, ya que — según él— cualquier principiode la más alta m atem ática puede dem ostrarse por medio de los núm eros naturales. (;) En la práctica y hablando con rigor, ninguna m edida resulta exacta, en razón delo imperfecto de nuestros instrumento* de medida y de nuestros sentidos.
  29. 29. NOTAS SOBRE EL CONCEPTO DE NUMERO • 29 Podemos decir tam bién, que son núm eros fraccionarios los que nos per­m iten expresar el cociente de u n a división inexacta, o lo que es lo mismo, unadivisión en la cual el dividendo no es m últiplo del divisor. Com o se ve, en oposición a los núm eros fraccionarios tenemos los n ú ­meros enteros, que podem os defin ir como aquellos que expresan el cocientede una división exacta, como por ejem plo, 1, 2 , 3 , etc. 5|5 8L i_ 6 2 = 3. 0 1 0 2EL NUMERO RACIONAL Y EL NUMERO IRRACIONAL Siguiendo el orden histórico que nos hemos trazado, vamos a ver ahoracuándo y cómo surgieron los núm eros irracionales. Es in d u d ab le que fueron los griegos quienes conocieron prim ero los n ú ­meros irracionales. Los historiadores de la m atem ática, están de acuerdo ena trib u ir a Pitágoras de Samos (540 A.C.), el descubrim iento de estos números,al establecer la relación entre el lado de un cuadrado y la diagonal del mismo.Más tard e, T eo d o ro de Cirene (400 A.C.), m atem ático de la escuela pitagó­rica, dem ostró geom étricam ente que y/3, V 5 , V T , etc., son irracionales.Euclides (300 A.C.), estudió en el Libro X de sus “Elementos", ciertasm agnitudes que al ser m edidas no encontram os ningún núm ero entero nifraccionario que las exprese. Estas m agnitudes se llam an inconm ensurables, ylos núm eros que se originan al m edir tales m agnitudes se llam an irracionales. (3)Ejem plos de tales m agnitudes son la relación del lado de un cuadrado conla diagonal del mismo, que se expresa con el núm ero irracional Va* + S5;y la relación de la circunferencia, al diám etro que se expresa con la letra* = 3 .141592... FIGURA 1 C =circunferencia D =diámetro d =Va 2+ b 2 ÍL = D (y,) Al e x p o n e r sistem áticam en te los n ú m ero s irracionales, E uclides los llam ó asym m etros,y a los racio n ales los llam ó sym m etros, p ala b ra s q u e significan sin m ed id a y con m edida.P ara se ñ alar el h ech o d e q u e estos n ú m ero s (los irracionales) no te n ía n expresión los designabacon la voz alogoé. Boecio (475-554 D. C.), al tra d u c ir em pleó co m m en su rab ilis e incom m en-su rab itis. Sin em b arg o , G e ra rd o de C rem ona (1114-1187), en u n a trad u cció n de un co m en tarioá ra b e so b re E uclides, utilizó e rró n e a m e n te ra d o n a lis e irra tio n a lis, al to m ar logos y alogoscom o razón y no en la acepción d e p a la b ra (v erb u m ), usada p o r E uclides. Este e rro r sed ifu n d ió a lo larg o d e to d a la E d ad M edia, prevaleciendo en n u estro s d ías el n o m b re den ú m ero s irracionales.
  30. 30. 30 • ALGEBRA Como consecuencia de la introducción de los números irracionales, con­sideramos racionales el conjunto de los números fraccionarios y el conjuntode los números enteros. Definimos el número racional como aquel númeroque puede expresarse como cociente de dos enteros. Y el número irracional comoaquel número real que no puede expresarse como el cociente de dos enteros. Llamamos número reales al conjunto de los números racionales e irra­cionales.LOS NUMEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS Los números negativos no fueron conocidos por los matemáticos de laantigüedad, salvo en el caso de Diofanto (siglo III D.C.?), que en su Aritmética,al explicar el producto de dos diferencias, introduce un número con signo -KEn el siglo VI, los hindúes Bráhmagupta y Bháskara usan los números negativosde un modo práctico, sin llegar a dar una definición de ellos. Durante laEdad Media y el Renacimiento los matemáticos rehuyeron usar los númerosnegativos, y fue Newton el primero en comprender la verdadera naturaleza deestos números. Posteriormente Harriot (1560*1621) introdujo los signos + y —para caracterizar los números positivos y negativos. La significación de los números relativos o con signos (positivos y nega­tivos) se comprende claramente, cuando los utilizamos para representar elresultado de medir magnitudes relativas, es decir, magnitudes cuyas cantidadespueden tomarse en sentidos opuestos, tal como sucede cuando tratamos demedir la longitud geográfica de una región determinada; o de expresar elgrado de temperatura de un lugar dado. En el primer caso, podemos hablarde longitud este u oeste con respecto a un meridiano fijado arbitrariamente(Greenwich). En el segundo caso, podemos referirnos a grados sobre cero ogrados bajo cero. Convencionalmente fijamos los números positivos o consigno + en una dirección, y los números negativos o con signo — en la direc­ ,ción opuesta. Si sobre una semirrecta fijamos un punto cero, a partir del cual, hada laderecha, señalamos puntos que representan una determinada unidad, nos re­sultan los puntos A, B, C, etc. Si sobre esa misma semirrecta, a partir del puntocero (llamado origen), procedemos del mismo modo hacia la izquierda, tendre­mos los puntos a, b, c, etc. Si convenimos en que los puntos de la semirrecta indi­cados a la derecha del punto cero representan números positivos (A, B, C, etc.);los puntos señalados a la izquierda (a, b, c, etc.), represenfarán númerosnegativos. • • • c ------- b ------—a---------} , A .... B C .............. ... • • • -3 —2 -1 o +1 +2 4 3 Históricamente, los números negativos surgen para hacer po­sible la resta en todos los casos. De este modo, la resta se convierte en unaoperación inversa de la suma, y se hace posible restarle a un minuendo menorun sustraendo mayor.
  31. 31. NOTAS SOBRI EL CONCEPTO OI NUMERO # 3] Los números y los símbolos literales negativos se distinguen por el signo — que llevan antepuesto. Los números positivos y su representación literal llevan el signo + , siempre que no inicien una expresión algebraica. El número cero. Cuando tratamos de aprehender el concepto de número natural, vemos cómo éste surge de la comparación de conjuntos equivalentes o coordinables entre sí. Por extensión llamamos conjunto al que tiene un solo ^elemento y que se representa por el número 1. Ahora, consideramos el número cero como expresión de un conjunto nulo o vacío, es decir, un conjunto que carece de elementos. Por otra parte, el cero representa un elemento de separación entre los números negativos y positivos, de modo que el cero es mayor que cualquier número negativo y menor que cualquier número positivo. £1 siguiente diagrama nos aclarará las distintas clases de números con los cuales vamos a trabajar: NUMEROS REALES I « 1. N e g a tiv o s . C ero P o sitiv o s i 1 i 1 R a c io n a le s Irracion ales R a cio n a le s Irracio: 1 í iE n teros F r a ccio n a rio s E n teros lra cc io n a rio s LEY ES FO RM A LES DE LAS O PERA CIO N ES FUND AM EN TALES CON NUM EROS REALES Hemos visto sumariamente cómo a través del curso de la historia de las matemáticas, se ha ido ampliando sucesivamente el campo de los números, hasta llegar al concepto de número real. El camino recorrido ha sido, unas veces, el geométrico, que siempre desemboca en la Aritmética pura, formal; otras veces, el camino puro, formal ha iniciado el recorrido para desembocar en lo intuitivo, en lo geométrico. Como ejemplos del primer caso, tenemos los números irracionales, introducidos como razón de dos segmentos con el propósito de representar magnitudes inconmensurables, y que hacen posible la expresión del resultado de la radicación inexacta. Y también, los números fraccionarios que surgen para expresar el resultado de medir magnitudes con­ mensurables, y que hacen posible la división inexacta, Como ejemplo del segundo caso, están los números negativos que aparecen por primera vez como raíces de ecuaciones, y hacen posible la resta en todos los casos, ya que cuando el minuendo es menor que el sustraendo esta operación carece de sentido cuando trabajamos con números naturales. Más tarde, estos números negativos (relativos) servirán para expresar los puntos a uno y otro lado de una recta indefinida. Sin pretensiones de profundizar prematuramente en el campo numérico, vamos a exponer las leyes formales (esto es, que no toman en cuenta la natu­ raleza de los números) de la suma y de la multiplicación, ya que las demás ope­ raciones fundamentales pueden explicarse como inversas de éstas, así, la resta,
  32. 32. 32 # ALGEBRAla división, la potenciación, la logaritmación y la radicación. Conviene iradaptando la mentalidad del principiante al carácter formal (abstracto) de estasleyes, pues ello contribuirá a la comprensión de los problemas que ulteriormentele plantearán las matemáticas superiores. Por otra parte, el conjunto de estasleyes formales constituirá una definición indirecta de los números reales y delas operaciones fundamentales. Estas leyes que no requieren demostración, puesson de aprehensión inmediata, se llaman axiomas.IG U ALD A D I. Axioma de identidad: a = a. II. Axioma de reciprocidad: si a — b, tenemos que b — a. III. Axioma de transitividad: si a — b y b = c, tenemos que a = c.SUM A O A D IC IO N I. Axioma de uniformidad: la suma de dos números es siempre igual,es decir, única; así, si a = b y c = d, tenemos que a 4- c = b 4- d. II. Axioma de conmutatividad: a 4- b = b 4- a. III. Axioma de asociatividad: (a 4- b) 4- c = a 4- (b 4* c). IV. Axioma de identidad, o módulo de la suma: hay un número y sóloun número, el cero, de modo que a--0 = 0 + a = a¡ para cualquier valor de a.De ahí que el cero reciba el nombre de elemento idéntico o módulo de la suma.M U LT IP LIC A C IO N I. Axioma de uniformidad: el producto de dos números es siempre igual,es decir, único, así si a = b y c = d, tenemos que ac = bd. II. Axioma de conmutatividad: ab = ba. III. Axioma de asociatividad: (ab) c = a (be). IV. Axioma de distributividad: con respecto a la suma tenemos quea (b 4- c) = ab 4- ac. V. Axioma de identidad, o módulo del producto: hay un número y sóloun número, el uno (1), de modo que a . 1 = 1 .a = a, para cualquier valor de a. VI. Axioma de existencia del inverso: para todo número real a ¥* 0(a distinto de cero) corresponde un número real, y sólo uno, x, de modo queax = 1. Este número x se llama inverso o recíproco de a, y se representa por l/a .A X IO M A S DE ORDEN I. Tricotomía: Si tenemos dos números reales a y b íólo puede haber unarelación, y sólo una, entre ambos, que a > b ; a — b o a < b . II. Monotonía de la suma: si a > b tenemos que a + c > b 4- c. III. Monotonía de la multiplicación: si a> b y c> 0 tenemos que ac > be.
  33. 33. NOTAS SOBRE EL CONCEPTO DE NUMERO # 3 3AXIOMA DE CONTINUIDAD I. Si tenem os dos conjuntos de números reales A y B, de modo que todon úm ero de A es m enor que cualquier núm ero de B, existirá siempre un núm eroreal c con el que se verifique a ^ c z. b, en que a es un núm ero que estádentro del con ju n to A, y b es un núm ero que está dentro del conjunto B.OPERACIONES FUNDAMENTALES CON LOS NUMEROS RELATIVOSSUMA DE NUMEROS RELATIVOS En la sum a o adición de núm eros relativos podemos considerar cuatrocasos: sum ar dos núm eros positivos; sum ar dos números negativos; sum ar unpositivo con otro negativo, y sum ar el cero con un núm ero positivo o negativo. 1) Suma de dos números positivos Regla Para sum ar dos núm eros positivos se procede a la suma (+ 4) + (+ 2) = + 6aritm ética de los valores absolutos de ambos números, y alresultado obten id o se le antepone el signo -K Así tenemos: —y Podem os representar la suma de dos números positivos del siguiente modo: ----------- 1 ¿ ,—---------- >, 1 ----- * 1 ------- -----+4----------- >j— + 2--- *{ 1 1 ,-------,---- « ..... i.. _ i *■ —r — 3 +5 +6 FIGURA 2 2 ) Suma de dos números negativos Regla P ara sum ar dos núm eros negativos se procede a la suma (— 4) + (—2) = — 6aritm ética de los valores absolutos de ambos, y al resultadoo b ten id o se le antepone el signo —. Así teñemos:-------------------- / Podem os representar la suma de dos números negativos del siguientem odo: -2 -r<- ** 6 S -4 —3 -2 -1 +2 +3 +4 FIGURA 3
  34. 34. 34 • ALGEBRA 3) Suma de un número positivo y otro negativo Regla Para sumar un número positivo y un número negativo (+ 6) + ( - 2 ) = + 4se procede a hallar la diferencia aritmética de los valores (~ 6) + (+ 2) = — 4absolutos de ambos números, y al resultado obtenido se leantepone el signo del número mayor. Cuando los dos núme­ (~ 6) + (+ 6) ■ 0 =ros tienen igual valor absoluto y signos distintos la suma es (+ 6) + (— 6) = 0cero. Así ten em o s:____________________________________ Podemos representar la suma de un número positivo y otro negativo delos siguientes modos: Representación gráfica de la suma de un número positivo y un númeronegativo, en que el número positivo tiene mayor valor absoluto que el negativo: ♦ 4- +6 -2 ----- : 2 - 1 0 + 1 +2 +3 + 4 FIGURA 4 Representación gráfica de la suma de un número positivo y un númeronegativo, en que el número negativo tiene mayor valor absoluto que el positivo: -4 - 6- ♦ 2- 5 - 4 - 3 - 2 ♦1 ♦3 FIGURA 5 Representación gráfica de la suma de un número positivo y un númeronegativo, en que el valor absoluto de ambos números es igual. 6 - 5 2 + 3 4 5 + 6- - *- FIGURA 6
  35. 35. NOTAS SOBRE EL CONCEPTO OI NUMERO • 35 4) Suma de cero y un número positivo o negativo Regla La suma de cero con cualquier número positivo o negativo nos dará el mismo número positivo o negativo.V A, (+ 4 )4 ’ 0 = + 4 A sí tenemos:---------------- » ¡ _ 4¡ + 0 = _ 4 En general: ____________> a + 0 = 0 + a = a En que a puede ser positivo, negativo o nulo. SUSTRACCION DE NUMEROS RELATIVOS Llamamos opuesto de un número al mismo número con (+ m) -f (—m) = 0 signo contrario. Así, decimos que —m es opuesto de +???. Ya vimos en un caso de la suma que: _ __________________ 7^ _ La sustracción es una operación inversa de la suma queconsiste en hallar un número x (llamado diferencia), tal que, x + m —n (i)sumado con un número dado m, dé un resultado igual a otronúmero né de modo que se v erifiq u e:______________________ y 7 1 Llamando m al opuesto de m, podemos determinar , ,la diferencia x, sumando en ambos miembros de la x + m + m —n + m (2)igualdad (1), el número m en efecto:_____________ Si observamos el primer miembro de esta igualdad (2), x = « + m (3)veremos que aplicando el axioma de asociatividad tenemos:m + m* = 0 , y como x + 0 = x, tendremos: _ ___ _ . ____ /*que es lo que queríamos demostrar, es decir, que para hallar la diferenciaentre n y m basta sumarle a n el opuesto de m (m ). Y como hemos visto quepara hallar el opuesto de un número basta cambiarle el signo, podemos enun­ciar la siguiente Regla _________________________________ Para hallar la diferencia entre dos nú­ < + 8 )- (+ 4 ) = (+ 8 ) + (-4 ) = +4meros relativos se suma al minuendo el sus- (+ 8) - ( - 4) = (+ 8) + (+ 4) = +12traendo, cambiándole el signo. < - 8 )- (+ 4 ) = (-8 ) + < -4 ) = -12 Así:.......................... ............ ....... ................. (— 8) — ( — 4) = (— 8) 4- (+ 4) = —4REPRESENTACION GRAFICA DE LA SUSTRACCION DE NUMEROS RELATIVOS Por medio de la interpretación geométrica de la sustracción de númerosrelativos, podemos expresar la distancia, en unidades, que hay entre el puntoque representa al minuendo y el punto que representa al sustraendo, así comoel sentido (negativo o positivo) de esa distancia.
  36. 36. 36 • ALGISRA Para expresar la diferencia ( 4- 4) —(—8) = + 12, tendremos: 12- - 8 -7 -6 -5 - 4 -3 -2 -1 0 *1 *2 + 3 **-4 Para expresar la diferencia (—8) —(4- 4) = —12, tendremos: -12 -7 -ó -5 -4 -3 -2 -1 +1 FIGURA 8MULTIPLICACION DE NUMEROS RELATIVOS Regla El producto de dos números relativos se halla multiplicando los valoresabsolutos de ambos. El producto hallado llevará signo positivo (4-), si lossignos de ambos factores son iguales; llevará signo negativo (— si los fac­ ),tores tienen signos distintos. Si uno de los factores es 0 el producto será 0. Cuando operamos con símbolos literales (+ 2 ) ( + 3) = + 6 (0) ( + 3 ) = 0el producto es siempre indicado, bien en la ( _ 2) ( - 3) = + 6 ( 0) (—3 ) = 0forma a x b bien en la forma a .b ; y más Í + 2W —^ = —6 0 0=0usualmente ab. ; ; c A s í : _______________________________ / ( - 2 ) (+ 3) = - 6 El siguiente cuadro es un medio de re- 4* por 4- da + + por — da —cordar fácilmente la ley de los signos en la — por — da 4- — por 4- da —multiplicación de los números relativos.... y*REPRESENTACION GRAFICA DEL PRODUCTO DE DOS NUMEROS RELATIVOS El producto de dos números relativos puede expresarse geométricamentecomo el área de un rectángulo cuyo largo y cuyo ancho vienen dados porambos números. A esta área podemos atribuirle un valor positivo o negativo,

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