Integrali Singolari per istituti tecnici -- Gaudio Fabrizio

INTEGRALI SINGOLARI La logica illogica delle Equazioni Differenziali

COSA SONO? Dicasi integrale singolare (o di frontiera) qualunque curva integrale (o integrale particolare) che delimita la soglia dell’esistenza dell’integrale generale. Solitamente, l’integrale singolare non è ricavabile per qualsiasi valore della costante c. Umanamente parlando, la sua equazione è ottenibile dall’integrale generale, ma ciò renderebbe impossibile l’equazione differenziale.

LEARNING BY EXAMPLES Facciamo un piccolo esempio aiutandoci con lord Derive sesto. Si supponga di avere in esame l’equazione differenziale y 2 y E si calcoli l’integrale generale dy 2 y dx dy dx 2 y 1 dy dx 2 y

Osservando quest’ultima uguaglianza, notiamo che al denominatore appare la variabile dipendente y sotto una radice posta al denominatore. In questo caso, per dare un senso a questa scrittura si è obbligati a porre y ≥ 0 e di conseguenza y’ ≥ 0. Continuando la risoluzione, otteniamo che 1 1 2 y x c 2 1 2 y x c y x c 2 y x c

Osserviamo quindi che, teoricamente, y=0 è una soluzione dell’equazione differenziale (nel caso in cui c valga –x) ma, per la condizione d’esistenza espressa prima, non può essere accettata. Per tale motivo y = 0 rappresenta l’integrale singolare fra il semipiano delle y positive (ed accettabili) e quello delle y negative (non accettabili). Proviamo a verificare la tesi appena fatta disegnando l’inviluppo con derive creando un vettore di integrali particolari, con c compresa fra -10 e 10 e passo uguale a 1.

Non vi è nessuna curva nel semipiano delle y negative. CVD.

Verifichiamo, ora, che l’integrale particolare y = 0 sia veramente integrale singolare. Per far ciò, mettiamo in sistema l’equazione generale con l’asse delle x e calcoliamo l’inviluppo della nuova funzione y-c2=0 fra -10 e 10. Il risultato sarà esattamente quello che ci aspettavamo, [false, false, false, false, false, false, false, false, false, false, c = 0, c = -1 ∨ c = 1, c = - √2 ∨ c = √2, c = - √3 ∨ c = √3, c = -2 ∨ c = 2, c = - √5 ∨ c = √5, c = - √6 ∨ c = √6, c = - √7 ∨ c = √7, c = - 2·√2 ∨ c = 2·√2, c = -3 ∨ c = 3, c = - √10 ∨ c = √10] Ovvero che non esistono valori di c per cui y è negativa e che il valore che bipartisce la distribuzione poissoniana di accettabilità è c = 0 (e quindi, per la nuova equazione, y = 0).

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Integrali Singolari per istituti tecnici -- Gaudio Fabrizio

by darkgod90 on Apr 01, 2009

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