Integrali Singolari per istituti tecnici -- Gaudio Fabrizio
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Spiegazione sugli integrali singolari con l'ausilio di Derive VI

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    y' > 0 e non >=
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Integrali Singolari per istituti tecnici -- Gaudio Fabrizio Integrali Singolari per istituti tecnici -- Gaudio Fabrizio Presentation Transcript

  • INTEGRALI SINGOLARI La logica illogica delle Equazioni Differenziali
  • COSA SONO? Dicasi integrale singolare (o di frontiera) qualunque curva integrale (o integrale particolare) che delimita la soglia dell’esistenza dell’integrale generale. Solitamente, l’integrale singolare non è ricavabile per qualsiasi valore della costante c. Umanamente parlando, la sua equazione è ottenibile dall’integrale generale, ma ciò renderebbe impossibile l’equazione differenziale.
  • LEARNING BY EXAMPLES Facciamo un piccolo esempio aiutandoci con lord Derive sesto. Si supponga di avere in esame l’equazione differenziale y 2 y E si calcoli l’integrale generale dy 2 y dx dy dx 2 y 1 dy dx 2 y
  • Osservando quest’ultima uguaglianza, notiamo che al denominatore appare la variabile dipendente y sotto una radice posta al denominatore. In questo caso, per dare un senso a questa scrittura si è obbligati a porre y ≥ 0 e di conseguenza y’ ≥ 0. Continuando la risoluzione, otteniamo che 1 1 2 y x c 2 1 2 y x c y x c 2 y x c
  • Osserviamo quindi che, teoricamente, y=0 è una soluzione dell’equazione differenziale (nel caso in cui c valga –x) ma, per la condizione d’esistenza espressa prima, non può essere accettata. Per tale motivo y = 0 rappresenta l’integrale singolare fra il semipiano delle y positive (ed accettabili) e quello delle y negative (non accettabili). Proviamo a verificare la tesi appena fatta disegnando l’inviluppo con derive creando un vettore di integrali particolari, con c compresa fra -10 e 10 e passo uguale a 1.
  • Non vi è nessuna curva nel semipiano delle y negative. CVD.
  • Verifichiamo, ora, che l’integrale particolare y = 0 sia veramente integrale singolare. Per far ciò, mettiamo in sistema l’equazione generale con l’asse delle x e calcoliamo l’inviluppo della nuova funzione y-c2=0 fra -10 e 10. Il risultato sarà esattamente quello che ci aspettavamo, [false, false, false, false, false, false, false, false, false, false, c = 0, c = -1 ∨ c = 1, c = - √2 ∨ c = √2, c = - √3 ∨ c = √3, c = -2 ∨ c = 2, c = - √5 ∨ c = √5, c = - √6 ∨ c = √6, c = - √7 ∨ c = √7, c = - 2·√2 ∨ c = 2·√2, c = -3 ∨ c = 3, c = - √10 ∨ c = √10] Ovvero che non esistono valori di c per cui y è negativa e che il valore che bipartisce la distribuzione poissoniana di accettabilità è c = 0 (e quindi, per la nuova equazione, y = 0).