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Caos y Wavelets
 

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    Caos y Wavelets Caos y Wavelets Document Transcript

    • An´lisis tiempo-frecuencia de secuencias ca´ticas mediante a o wavelets David Arroyo Guarde˜o n ´ Indice ´ Indice 1 1. Introducci´n o 2 2. Caracterizaci´n tiempo-frecuencia de secuencias ca´ticas o o 2 2.1. Wavelet anal´ıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2.2. Resoluci´n tiempo-frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . 2 2.3. Escalograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.4. Wavelets por modulaci´n de ventanas . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . 3 2.5. Crestas wavelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.6. Detecci´n de comportamiento ca´tico en una secuencia . . . o o . . . . . . . . . . . . . 4 3. Entrop´ ıa 6 3.1. Consideraciones previas sobre la transformada wavelet . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.1.1. An´lisis multiresoluci´n . . . . . . . . . . . . . . . . a o . . . . . . . . . . . . . 7 3.2. Entrop´ de Shannon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ıa . . . . . . . . . . . . . 9 3.3. Entrop´ de Tsallis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ıa . . . . . . . . . . . . . 9 3.4. Energ´ wavelet relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ıa . . . . . . . . . . . . . 9 3.5. Entrop´ wavelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ıa . . . . . . . . . . . . . 10 3.6. Entrop´ multiresoluci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ıa o . . . . . . . . . . . . . 11 3.6.1. Aplicaciones de la entrop´ multiresoluci´n . . . . . ıa o . . . . . . . . . . . . . 12 3.7. Entrop´ multiresoluci´n continua . . . . . . . . . . . . . . . ıa o . . . . . . . . . . . . . 15 3.7.1. Aplicaciones de la entrop´ multiresoluci´n continua ıa o . . . . . . . . . . . . . 17 4. Conclusiones 19 Referencias 20 1
    • 1. Introducci´n o El an´lisis de los sistemas ca´ticos se ha efectuado tradicionalmente mediante la determinaci´n a o o de invariantes como el exponente de Lyapunov, el exponente de Hurst, la entrop´ ıa... El objeto de este art´ ıculo es presentar las wavelets como una herramienta v´lida para la caracterizaci´n de aquel a o tipo de sistemas. De forma m´s concreta, se tratar´ de presentar un mecanismo mediante el cual a a concluir si una cierta se˜al manifiesta o no un comportamiento ca´tico. Tal objetivo ser´ cubierto en n o a la primera parte de trabajo mediante el c´lculo y an´lisis de crestas de wavelets. En la segunda parte a a del documento se recogen diversas propuestas ([1],[6]-[11]) que explotan la transformada wavelet como un veh´ ıculo para potenciar el an´lisis de entrop´ de un cierto sistema. La exposici´n que a ıa o aqu´ aparece referida constituye un primer acercamiento a las implicaciones de dichas propuestas. ı 2. Caracterizaci´n tiempo-frecuencia de secuencias ca´ticas o o En este apartado se van a mostrar los resultados obtenidos al trabajar con lo expuesto en [5]. All´ se presenta el an´lisis de crestas de wavelets como herramienta para detectar el comportamiento ı a ca´tico de una cierta secuencia. Lo primero ser´ mostrar el fundamento te´rico de las crestas de una o a o transformada wavelet. Por ello, se comienza la secci´n definiendo el concepto de wavelet anal´ o ıtica, pues sobre este tipo de transformada se construye la herramienta objeto del estudio que nos ocupa. El fin perseguido al explotar la transformada wavelet anal´ ıtica no es otro que el de conseguir una eficiente localizaci´n de tonos, de frecuencias. Esa localizaci´n lleva a la concreci´n de las llamadas o o o crestas de una transformada, que no son m´s que m´ximos locales del m´dulo de la transformada a a o wavelet. Se justificar´ por qu´ esos m´ximos locales sirven como elemento localizador de frecuencias. a e a 2.1. Wavelet anal´ ıtica Definici´n 2.1. Se dice que un funci´n fa ∈ L2 (R) es anal´ o o ıtica si su transformada de Fourier es nula para frecuencias negativas Fa (ω) = 0 ∀ω < 0 Corolario 2.2. Una funci´n anal´ o ıtica es necesariamente compleja y esta determinada enteramente ∗ por su parte real. En efecto, sea f (t) = fa (t) + fa (t) la parte real de la funci´n anal´ o ıtica fa (t). La transformada de Fourier de f (t) vendr´ dada por a ∗ Fa (ω) + Fa (−ω) F (ω) = , 2 lo que permite expresar 2F (ω) si ω ≥ 0 Fa (ω) = (1) 0 si ω < 0 En definitiva, la funci´n anal´ o ıtica fa (t) asociada a una cierta funci´n f (t) real se determinar´ cal- o a culando la inversa de la transformada de Fourier referida por (1) 2.2. Resoluci´n tiempo-frecuencia o La transformada wavelet de una cierta funci´n f (t) se determinada a partir de una wavelet o continua y seg´n la expresi´n: u o +∞ 1 t−u W f (u, s) = f, ψu,s = f (t) √ ψ ∗ dt (2) −∞ s s donde ψu,s (t) = ψ( t−u ). s 2 +∞ 2 Suponiendo que ψ(t) est´ centrada en 0, si σt = a −∞ t |ψ(t)| dt, se tiene que la dispersi´n o temporal de ψu,s es +∞ (t − u)2 |ψu,s (t)|2 dt = s2 σt 2 (3) −∞ Dado que ψ(t) es una funci´n anal´ o ıtica, la frecuencia central de su espectro se puede calcular como +∞ 1 2 η= ω |Ψ(ω)| dω (4) 2π 0 2
    • La transformada de Fourier de ψu,s es √ Ψu,s (ω) = sΨ(sω)e−jωu (5) y, en consecuencia, su frecuencia central ser´ η/s. Por otro lado, se tiene a +∞ 2 1 2 σω = (ω − η)2 |Ψu,s (ω)| dω, (6) 2π 0 de modo que la dispersi´n de potencia en el caso de ψu,s es o +∞ 2 1 η 2 2 σω ω− |Ψu,s (ω)| dω = (7) 2π 0 s s2 En definitiva, la transformada wavelet anal´ ıtica corresponde a una caja de Heisenberg centrada en (u, η/s), con amplitud en el eje del tiempo s2 σt , mientras que la amplitud en el eje de las 2 frecuencias σω /s. De este modo, el ´rea de la caja ser´ constante e igual a σt σω , aunque la resoluci´n a a o en tiempo y frecuencia depende del valor de escala s: A frecuencias mayores, menor valor de escala, mayor resoluci´n temporal o A frecuencias menores, mayor valor de escala, mayor resoluci´n en frecuencia o 2.3. Escalograma Definici´n 2.3. Se define el escalograma como la densidad de energ´ encerrada en una caja de o ıa Heisenberg ligada a una transformada wavelet anal´ ıtica. Matem´ticamente vendr´ dada como a a 2 2 η PW f (u, ξ) = |W f (u, s)| = W f u, (8) ξ 2.4. Wavelets por modulaci´n de ventanas o Las wavelets con las que se trabajara, se van a obtener como resultado de la modulaci´n de o una ventana real y sim´trica g e ψ(t) = g(t)eiηt (9) Al ser g(t) real, su espectro es sim´trico y tiene valor m´ximo en ω = 0. Por tanto, Ψ(ω) alcanza e a su valor m´ximo en ω = η y estar´ centrado en ω = η. Para que la funci´n obtenida mediante 3.12 a a o sea anal´ ıtica, es preciso que G(ω) = 0 ∀ |ω| > η En adelante se considerar´ que g(t) es una ventana gaussiana definida a 1 2 /(2σ 2 ) g(t) = e−t (10) (σ 2 π)1/4 La transformada de Fourier de la ventana es 2 ω 2 /2 G(ω) = (4πσ 2 )1/4 e−σ (11) 2.5. Crestas wavelet Sea g(t) una ventana sim´trica que es distinta de cero s´lo en [−1/2, 1/2]. Sea ∆ω el ancho de e o banda de G(ω). Si se define ψ(t) = g(t)e(iηt) , y adem´s se cumple que η > ∆ω entonces a ∀ω < 0, Ψ(ω) = G(ω − η) << 1. ψ no es estrictamente anal´ ıtica, pues su transformada de Fourier no es estrictamente nula para frecuencias negativas. 1 t−u ψu,s (t) = ψ( ) = gu,s,ξ (t)e−iξu , (12) (s) s donde ξ = η/s y t − u iξt gs,u,ξ (t) = (s)g( )e . (13) s La transformada de wavelet queda W f (u, s) = f, ψu,s = f, gs,u,ξ eiξu (14) 3
    • Si se tiene f (t) = a(t)cosφ(t), (15) en [3] se demuestra que (s) f, gs,u,ξ = a(u)ei[φ(u)−ξu] (G(s[ξ − φ (u)]) + (u, ξ)) , (16) 2 donde (u, ξ) es un t´rmino correctivo que puede despreciarse si a(t) y φ (t) presentan pocas e variaciones en el intervalo de definici´n de φu,s y si se cumple φ (u) ≥ ∆ω/s. o El escalograma normalizado de la se˜al a partir de la wavelet anal´ n ıtica definida es 2 ξ |W f (u, s)| PW f (u, ξ) = para ξ = η/s, (17) η s √ s iφ(u) y dado que (14) y (16) llevan a W f (u, s) = 2 a(u)e (G(s[ξ − φ (u)]) + (u, ξ)), se tiene que 2 2 ξ |W f (u, s)| 1 φ (u) PW f (u, ξ) = = a2 (u) G η 1 − + (u, ξ) para ξ = η/s. (18) η s 4 ξ Dado que |G(ω)| es m´ximo para ω = 0 , si se desprecia el t´rmino correctivo (u, ξ), el escalograma a e es m´ximo para a η = ξ(u) = φ (u) (19) s(u) Definici´n 2.4. Se denominan crestas wavelet a los puntos (u, ξ(u)) en los que el escalograma o presenta m´ximos locales. a 2.6. Detecci´n de comportamiento ca´tico en una secuencia o o El c´lculo de crestas wavelet va a ser una herramienta de gran utilidad a la hora de identificar a una determinada secuencia como ca´tica. De los resultados expuestos hasta ahora, se tiene que si o una cierta secuencia es estacionaria y peri´dica, la funci´n de m´ximos locales (las crestas de la o o a transformada wavelet anal´ ıtica) es constante. Si esa secuencia no es estrictamente peri´dica, sino o que lo es en determinados intervalos de tiempo, el an´lisis de crestas de la transformada wavelet a permitir´ localizar en tiempo y en frecuencia tal comportamiento. Supongamos que la secuencia es a tal que los valores de la misma est´n contenidos en un determinado intervalo. Supongamos que dicha a secuencia no es peri´dica, y que la probabilidad de determinar a partir de un valor dado el siguiente o es aproximadamente 1/2. Supongamos, adem´s, que los valores que la secuencia toma a lo largo del a tiempo recorren completamente el intervalo de definici´n. Bajo estas hip´tesis, la determinaci´n o o o de crestas de la transformada wavelet anal´ ıtica dar´ lugar a una funci´n con un gran n´mero de a o u discontinuidades a lo largo del tiempo. Es decir, la secuencia presenta comportamiento peri´dicoo en intervalos de tiempo de muy corta duraci´n y, adem´s, la frecuencia, el per´ o a ıodo asociado a cada uno de esos intervalos es distinto. Pues bien, esto es lo que ocurre con las secuencias ca´ticas. La o representaci´n de los m´ximos locales de la transformada wavelet en el caso de estos sistemas es o a una funci´n totalmente discontinua, definida a puntos, ya que las secuencias generadas a partir de o tal tipo de sistemas “se comportan como” una secuencia de ruido blanco y, por tanto, presentan un espectro frecuencial cuasiplano. A modo de ejemplo, vamos a realizar una serie de simulaciones con el mapa logistico: xn+1 = λxn (1 − xn ) ∀n ≥ 0, (20) donde 0 ≤ λ ≤ 4 con el objeto de que la secuencia est´ acotada (0 ≤ xn ≤ 1 ∀n ≥ 0). Sobre este e sistema se van a calcular las crestas de la transformada wavelet anal´ ıtica para distintos valores del par´metro din´mico λ, y empleando la funci´n wavelet de tipo Morlet: a a o 2 ψ(t) = πFb e−i2πFc t e−t /Fb . (21) En las figuras 1 y 3 se recogen los resultados de las simulaciones efectuadas. En las figuras 2 y 4 aparecen representados los histogramas del mapa log´ ıstico para el conjunto de valores de λ que se han estudiado. Se observa que para aquellos histogramas con un n´mero discreto de elementos, la u funci´n de crestas es constante. Es decir, en los casos en los que el par´metro din´mico da lugar a o a a secuencias con una tasa alta de repetici´n de valores, el c´lculo de crestas de la transformada wavelet o a indica la existencia de un comportamiento peri´dico. Por el contrario, si el histograma presenta un o 4
    • conjunto no discreto de valores, esto es, si el histograma presenta dispersi´n de valores, la funci´n o o de crestas wavelet es totalmente discontinua. Es m´s, no se obtiene sino un conjunto de puntos a que evidencian el car´cter psuedoaleatorio de la secuencia analizada. Adem´s, cuanto m´s ca´tica a a a o es una secuencia, m´s dispersi´n presentan la funci´n de m´ximos locales del valor absoluto de la a o o a transformada wavelet. λ=2.5 λ=3.5 λ=3.65 1 1 1 0.8906 0.8906 0.8906 0.7813 0.7813 0.7813 0.6719 0.6719 0.6719 ξ / 2π 0.5625 0.5625 0.5625 0.4531 0.4531 0.4531 0.3438 0.3438 0.3438 0.2344 0.2344 0.2344 0.125 0.125 0.125 0.0156 0.0156 0.0156 0 1000 2000 0 1000 2000 0 1000 2000 Parámetro temporal Parámetro temporal Parámetro temporal λ=3.82 λ=3.829 λ=3.92 1 1 1 0.8906 0.8906 0.8906 0.7813 0.7813 0.7813 0.6719 0.6719 0.6719 0.5625 0.5625 0.5625 ξ / 2π 0.4531 0.4531 0.4531 0.3438 0.3438 0.3438 0.2344 0.2344 0.2344 0.125 0.125 0.125 0.0156 0.0156 0.0156 0 1000 2000 0 1000 2000 0 1000 2000 Parámetro temporal Parámetro temporal Parámetro temporal Figura 1: C´lculo de crestas mediante wavelet tipo Morlet: Fb = 3, Fc = 2 a λ=2.5 λ=3.5 λ=3.65 2500 600 25 2000 500 20 400 1500 15 300 1000 10 200 500 100 5 0 0 0 0.5 0.6 0.7 0 0.5 1 0 0.5 1 λ=3.82 λ=3.829 λ=3.92 25 700 30 600 25 20 500 20 15 400 15 10 300 10 200 5 5 100 0 0 0 0 0.5 1 0 0.5 1 0 0.5 1 Figura 2: Histogramas del mapa log´ ıstico para distintos valores del par´metro din´mico a a 5
    • λ=3.828 λ=3.8282 λ=3.8284 1 1 1 0.8906 0.8906 0.8906 0.7813 0.7813 0.7813 0.6719 0.6719 0.6719 ξ / 2π 0.5625 0.5625 0.5625 0.4531 0.4531 0.4531 0.3438 0.3438 0.3438 0.2344 0.2344 0.2344 0.125 0.125 0.125 0.0156 0.0156 0.0156 0 1000 2000 0 1000 2000 0 1000 2000 Parámetro temporal Parámetro temporal Parámetro temporal λ=3.8286 λ=3.8288 λ=3.829 1 1 1 0.8906 0.8906 0.8906 0.7813 0.7813 0.7813 0.6719 0.6719 0.6719 ξ / 2π 0.5625 0.5625 0.5625 0.4531 0.4531 0.4531 0.3438 0.3438 0.3438 0.2344 0.2344 0.2344 0.125 0.125 0.125 0.0156 0.0156 0.0156 0 1000 2000 0 1000 2000 0 1000 2000 Parámetro temporal Parámetro temporal Parámetro temporal Figura 3: Crestas con wavelet Morlet Fb = 3, Fc = 2 λ=3.828 λ=3.8282 λ=3.82824 60 120 250 50 100 200 40 80 150 30 60 100 20 40 10 20 50 0 0 0 0 0.5 1 0 0.5 1 0 0.5 1 λ=3.82826 λ=3.82828 λ=3.8289 700 700 700 600 600 600 500 500 500 400 400 400 300 300 300 200 200 200 100 100 100 0 0 0 0 0.5 1 0 0.5 1 0 0.5 1 Figura 4: Histogramas del mapa log´ ıstico para diversos valores del par´metro din´mico a a 3. Entrop´ ıa Dado que la entrop´ es una medida del grado de desorden en el seno de un determinado sistema, ıa se nos muestra como una herramienta de gran utilidad en el estudio de la din´mica de sistemas en a general y, por supuesto, de los sistemas ca´ticos en especial. En esta secci´n se presentan diversas o o v´ a trav´s de las cuales efectuar la medici´n de ese grado de incertidumbre. Adem´s se incorpora ıas e o a el uso de los wavelets como un alternativa a los sistemas cl´sicos de c´lculo de la entrop´ Mediante a a ıa. los wavelets se puede realizar un an´lisis de la entrop´ a distintos niveles de resoluci´n, esto es, es a ıa o viable analizar la evoluci´n del “grado de desorden” vinculado a una componente frecuencial a lo o largo del tiempo. Se va a trabajar sobre dos caracterizaciones de la entrop´ La primera es la definida en el ıa. sentido cl´sico de Shannon. La segunda fue propuesta por Tsallis. El examen multiresoluci´n de a o la entrop´ se llevar´ a cabo mediante esas medidas de la entrop´ y el aprovechamiento de las ıa a ıa virtudes de la transformada wavelet. 6
    • 3.1. Consideraciones previas sobre la transformada wavelet En el apartado anterior se ha trabajo exclusivamente con la transformada wavelet continua (CWT). Ahora, adem´s, vamos a llevar cabo una discretizaci´n del espacio de escalas y de tiempo. a o Para ello, en (2) hacemos s = 2−j y u = k · 2−j con j = 1, 2, . . ., con lo que se tendr´ una trans- a formada wavelet di´dica (DWT). La DWT emplea un conjunto de ventanas de tama˜o variable y a n proporcional a 2−j , con el objeto de extraer informaci´n respecto a las estructuras de datos “em- o plazadas” en las distintas escalas. Imponiendo una serie de condiciones a ψ(t), esta transformada puede ser invertida y es posible reconstruir la se˜al original. n Hay una clase de DWT que puede ser implementada utilizando algoritmos muy eficientes [2]. Estos tipos de transformada wavelet est´n asociados con estructuras matem´ticas llamada apro- a a ximaciones multiresoluci´n de L2 (R)(MRA) [2],[3]. o 3.1.1. An´lisis multiresoluci´n a o Definici´n 3.1. Una secuencia {Vj }j∈Z de subespacios cerrados de L2 (R), es una aproximaci´n o o multiresoluci´n de f (t) si se satisfacen las siguientes propiedades: o ∀(j, k) ∈ Z2 , f (t) ∈ Vj ⇔ f (t − 2j k) ∈ Vj , (22) ∀j ∈ Z, Vj+1 ⊂ Vj , (23) t ∀j ∈ Z, f (t) ∈ V ⇔ f ∈ Vj+1 , (24) 2 +∞ l´ Vj = ım Vj = {0}. (25) j→+∞ j=−∞ +∞ l´ Vj = ım Vj es denso en L2 (R) (26) j→−∞ j=−∞ La idea es obtener una secuencia de aproximaciones sucesivas de la se˜al a trav´s de proyec- n e ciones reiteradas de la misma sobre subespacios Vj de L2 (R), los cuales son generados mediante translaciones de una funci´n de escalado φ(t): o Vj = cj (k)φj,k (t) , (27) k∈Z donde φj,k (t) = 2j/2 φ(2j t − k) son dilataciones (o reducciones) y translaciones de la funci´n φ(t). o Adem´s, para un valor dado de j, el conjunto {φj,k (t), k ∈ Z} debe ser una base incondicional de a Vj . En definitiva, la aproximaci´n multiresoluci´n puede ser interpretada como una “escalera” de o o espacios incrustados unos en otros. En base a (22)-(26), la funci´n de escalado φ(t) no puede ser o escogida de cualquier modo. Dado que V1 ⊂ V0 , 21/2 φ(t/2) ∈ V1 y φ(t) ∈ V0 , y teniendo en cuenta que {φ(t − n)}n∈Z es una base ortonormal de V0 , podemos expresar +∞ 1 t √ φ = h[n]φ(t − n), (28) 2 2 n=−∞ con 1 t h[n] = √ φ , φ(t − n) . (29) 2 2 Aplicando la transformada de Fourier a ambos lados de la ecuaci´n (28), se tiene o 1 Φ(2ω) = √ H(ω)Φ(ω), (30) 2 ecuaci´n que, para p ≥ 0, conduce a o 1 Φ(2−p+1 ω) = √ H(2−p ω)Φ(2−p ω) (31) 2 Por sustituci´n, se tiene o P H(2−p ω) Φ(ω) = √ Φ(2−P ω) (32) p=1 2 7
    • Si Φ(ω) es continua en ω = 0, entonces ım Φ(2−P ω) = Φ(0), con lo que l´ P →+∞ +∞ H(2−p ω) Φ(ω) = √ Φ(0). (33) p=1 2 El siguiente teorema [3] da las condiciones necesarias y suficientes que debe satisfacer H(ω) para que (33) sea la transformada de Fourier de la funci´n de escalado. o Teorema 3.2. Sea φ ∈ L2 (R) una funci´n de escalado integrable. La transformada de Fourier de o h[n] = 2−1/2 φ(t(2), φ(t − n) satisface ∀ω ∈ R, |H(ω)|2 + |H(ω + π)|2 = 2, (34) y √ H(0) = 2. (35) Por otro lado, si H(ω) es 2π peri´dica y continuamente diferenciable en un entorno de ω = 0, se o satisface (34) y (35)y si ´ ınf |H(ω)| > 0 (36) ω∈[−π/2,π/2] entonces +∞ H(2−p ω) Φ(ω) = √ (37) p=1 2 es la transformada de Fourier de una funci´n de escalado φ ∈ L2 (R). o Definici´n 3.3. Los filtros discretos que satisfacen (34) son denominados filtros espejo conjugados. o Las aproximaciones de f (t) en las escalas 2j y 2j−1 son, respectivamente,su proyecci´n ortogonal o sobre Vj y Vj−1 . Se nota Wj el complemento ortogonal de Vj en Vj−1 : Vj−1 = Vj ⊕ Wj . (38) La proyecci´n ortogonal de f sobre Vj−1 puede ser expresada como la suma de las proyecciones o ortogonales sobre Vj y Wj : PVj−1 f = PVj f + PWj f (39) Dado que la proyecci´n sobre Vj representa la aproximaci´n en la escala 2j , la proyecci´n sobre el o o o subespacio complementario constituyen los detalles de la se˜al f (t) presentes en la escala 2j pero n que desaparecen en 2j+1 . El siguiente teorema [3] prueba que es factible construir una base de Wj mediante escalado y translaci´n de una funci´n wavelet ψ. o o Teorema 3.4. Sea φ una funci´n de escalado y h el filtro espejo conjugado asociado. Sea ψ la o funci´n cuya transformada de Fourier es o 1 ω ω Ψ(ω) = √ G Φ √ , (40) 2 2 2 con G(ω) = eiω H ∗ (ω + π). (41) Sea 1 t − 2j k ψj,k (t) = √ ψ . (42) 2j 2j Para cualquier escala 2j , {ψj,k }k∈Z es una base ortonormal de Wj . Para todas las escalas, {ψj,k }(j,k)∈Z2 es una base ortonormal de L2 (R). La demostraci´n del teorema [3] muestra que G(ω) es la transformada de Fourier de o 1 t g[n] = √ ψ , φ(t − k) , (43) 2 2 que son los coeficientes de la descomposici´n de o +∞ 1 t √ ψ = g[k]φ(t − k). (44) 2 2 k=−∞ 8
    • La proyecci´n ortogonal de una se˜al f en un espacio de “detalles” Wj es obtenida, pues, como o n una expansi´n parcial en su base wavelet o +∞ PWj f = f, ψj,k ψj,k . (45) k=−∞ La expansi´n de una se˜al en base wavelet ortogonal puede ser, por tanto, interpretada como una o n agregaci´n de detalles a todas las escalas 2j o +∞ +∞ +∞ f= PWj f = f, ψj,k ψj,k . (46) j=−∞ j=−∞ k=−∞ El teorema 3.4 aporta la v´ a trav´s de la cual dise˜ar un base wavelet ortogonal. Ahora bien, ıa e n ¿toda base wavelet ortogonal est´ asociada a una aproximaci´n multiresoluci´n y a un filtro espejo a o o conjugado? Si imponemos que ψ tenga soporte compacto, en [12] se demuestra que ψ necesaria- mente corresponde a una aproximaci´n multiresoluci´n. En este trabajo el an´lisis multiresoluci´n o o a o de se˜ales se llevar´ a cabo mediante funciones wavelet de este tipo. De modo m´s concreto, se n a a utilizar´n funciones wavelet Battle-Lemari´ de orden 3. Esta clase de funciones efect´a una aproxi- a e u maci´n mutiresoluci´n mediante splines y es bastante adecuada para el an´lisis de se˜ales de caos o o a n ([6],[7]). 3.2. Entrop´ de Shannon ıa Definici´n 3.5. Sea pj la probabilidad de que un determinado sistema se encuentre en un cierto o estado j. La entrop´ en el sentido de Shannon vendr´ dada por ıa a M SE = − pj log(pj ), (47) j=1 donde M representa el n´mero total de estados en los que se puede encontrar el sistema en cuesti´n. u o 3.3. Entrop´ de Tsallis ıa Definici´n 3.6. Sea pj la probabilidad de que un determinado sistema se encuentre en un cierto o estado j. La entrop´ en el sentido de Tsallis vendr´ dada por ıa a M T Eq = (q − 1) −1 pj − pq . j (48) j=1 3.4. Energ´ wavelet relativa ıa Dado que la familia {ψj,k (t)} constituye una base ortonormal en L2 (R), el concepto de ener- g´ estar´ ligado con las nociones derivadas de la teor´ de Fourier. Dada una se˜al s(t), se ıa a ıa n muestrea con un tiempo de muestreo Ts , obteni´ndose un conjunto S de M elementos (S = e {s(0), s(Ts ), . . . , s((M −1)·Ts )}). Si se obtienen los coeficientes wavelet de S como Cj (k) = S, ψj,k , la energ´ asociada a cada nivel de resoluci´n j = 1, 2, . . . , N , con N = log2 (M ), ser´ la energ´ ıa o a ıa promedio de la se˜al de detalle: n 1 Ej = |Cj (k)|2 , (49) Nj k siendo Nj el n´mero de coeficientes en la escala j. La energ´ total se obtendr´ como u ıa a Etot = ||S||2 = |Cj (k)|2 = Ej . (50) j<0 k j<0 Definici´n 3.7. La energ´ wavelet relativa (RWE) es el cociente entre la energ´ asociada a cada o ıa ıa escala de resoluci´n y la energ´ total: o ıa Ej pj = (51) Etot para j = 1, 2, . . . , N . Es decir, la energ´ wavelet relativa representa la funci´n de distribuci´n probabil´ ıa o o ıstica de la energ´ Se cumple, en consecuencia, j pj = 1, y la distribuci´n {pj } puede ser interpretada como ıa. o una funci´n de densidad tiempo-escala. o 9
    • 3.5. Entrop´ wavelet ıa La entrop´ seg´n Shannon proporciona un criterio v´lido para analizar y comparar distribu- ıa u a ciones de probabilidad, ya que proporciona una medida de la informaci´n de cualquier distribuci´n. o o Definici´n 3.8. A partir de la entrop´ seg´n el criterio de Shannon y (51), se define la entrop´ o ıa u ıa wavelet (WE) como SW T ≡ SW T (p) = − pj · ln[pj ] (52) j<0 WE es una medida del grado de orden/desorden de una se˜al, por lo que permitir´ inferir n a informaci´n sobre la din´mica del proceso subyacente. As´ un proceso determinista, esto es, con o a ı, un alto grado de orden, puede ser interpretado como una se˜al peri´dica pura, de un solo tono. n o La representaci´n wavelet de tal tipo de se˜al se caracterizar´ por la existencia de m´ximos sobre- o n a a salientes en una determinada escala o, lo que es lo mismo, todas las energ´ wavelet relativas ser´n ıas a casi cero excepto para el nivel de resoluci´n wavelet que incluye las componentes frecuenciales sig- o nificativas de la se˜al. Para este nivel especial la energ´ wavelet relativa estar´ pr´xima a 1 y, en n ıa a o consecuencia, WE estar´ pr´xima a cero. Una se˜al generada por un proceso totalmente aleatorio a o n puede ser considerada como muestra de un comportamiento totalmente desordenado. Este tipo de se˜al presentar´ valores significativos para todas las escalas de su representaci´n wavelet. Es n a o m´s, es esperable que la contribuci´n energ´tica de los distintos niveles sea del mismo orden. De a o e este modo, la energ´ wavelet relativa ser´ aproximadamente igual para todas las escalas, y WE ıa a tomar´ valores m´ximos. a a Las virtudes de las figuras que acaban de ser citadas, pueden verificarse mediante la observaci´n o de las gr´ficas recogidas en la figura 5. La primera de estas gr´ficas corresponde a una se˜al a a n puramente peri´dica. La se˜al de partida es muestreada a una frecuencia de muestreo de 250Hz, o n de modo que sobre la secuencia resultante se calculan tanto la RWE como la WE. Los resultados obtenidos corresponden a la gr´fica (a) de la figura 5. La gr´fica en cuesti´n evidencia que las a a o componentes de alta frecuencia (valores bajos de escala, esto es, valores peque˜os de j) contienen n la mayor parte de la informaci´n asociada a la se˜al en cuesti´n. En efecto, la se˜al analizada o n o n presenta un unico tono frecuencia en 75Hz y, dado que la frecuencia de muestreo es de 250Hz, la ´ mayor parte de la energ´ se localizar´ en j = 1 y j = 2, esto es, en los valores de escala 2 y 4, pues ıa a la escala asociada al nivel j engloba las frecuencias 2−j Fs ≤ |f | ≤ 2−(j−1) Fs . De forma m´s precisa, a la componente principal del espectro se emplazar´ en la escala de nivel j = 2, mientras la escala de ıa nivel j = 1 recoge los valores de frecuencia que son m´ltiplos de la principal. Dicho de otro modo, u el examen efectuado identifica el tono de 75Hz, pero tambi´n identifica tonos en 150Hz y 225Hz. e Las restantes gr´ficas de la figura 5 constituyen un an´lisis del mapa log´ a a ıstico. Vemos que, tal y como cabr´ esperar, a medida que aumenta la complejidad del sistema, crece el valor de entrop´ ıa ıa wavelet (WE). Asimismo, se comprueba que a medida que el sistema muestra mayor car´cter a ca´tico, el diagrama de energ´ wavelet relativa (RWE) presenta una mayor dispersi´n, esto es, o ıa o todas las escalas tienen asociada energ´ En definitiva, conforme aumenta la complejidad del mapa ıa. log´ıstico, tambi´n crece su car´cter aleatorio. Por tanto, las figuras que se han introducido en este e a apartado, esto es, la WE y la RWE se constituyen en un m´todo v´lido para medir la complejidad de e a un sistema din´mico, adem´s de mostrarse con una buena alternativa a otras variantes empleados a a para este menester, como son el exponente de Lyapunov, el exponente de Hurst o las dimensiones de correlaci´n, pues reduce considerablemente la carga computacional y es un m´todo libre de o e par´metros ([1],[6],[13]). a 10
    • coseno(2⋅ π ⋅ 75 ⋅ t) Mapa Logistico λ=3.92 Mapa Logistico λ=3.82 WE=1.760655 WE=2.066894 WE=2.065143 0.45 0.35 0.25 0.4 0.3 0.35 0.2 Energía wavelet relativa Energía wavelet relativa Energía wavelet relativa 0.25 0.3 0.15 0.25 0.2 0.2 0.15 0.1 0.15 0.1 0.1 0.05 0.05 0.05 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112 Niveles de resolución Niveles de resolución Niveles de resolución (a) (b) (c) Mapa Logistico λ=2.5 Mapa Logistico λ=3.5 Mapa Logistico λ=3.829 WE=1.181521 WE=1.471527 WE=1.181753 0.7 0.5 0.7 0.6 0.6 0.4 Energía wavelet relativa Energía wavelet relativa Energía wavelet relativa 0.5 0.5 0.3 0.4 0.4 0.3 0.3 0.2 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112 Niveles de resolución Niveles de resolución Niveles de resolución (d) (e) (f) Figura 5: Energ´ wavelet relativa para un tono puro y el mapa log´ ıa ıstico 3.6. Entrop´ multiresoluci´n ıa o En [7] se presenta una nuevo m´todo para el c´lculo de la entrop´ explotando las cualidades e a ıa de la transformada wavelet. De nuevo se har´ uso de una transformada wavelet discreta (DWT) en a base a funciones wavelet madre de tipo spline c´bico. Aprovechando las buenas caracter´ u ısticas de las wavelets spline, en cuanto a localizaci´n en el plano tiempo-frecuencia (tienen soporte compacto o y n´mero suficientemente elevado de momentos nulos), se llevar´ a cabo una medici´n del grado u a o de desorden de los coeficientes determinados (Cj (k) = S, ψj,k ). Supondremos que la longitud de la secuencia sobre la que se calcula la transformada DWT es una potencia de dos, es decir, si M es la longitud de la secuencia, se cumple que M = 2N , donde N ser´ el n´mero de niveles que se a u analizar´n en la transformada DWT. De este modo, debido al efecto de decimaci´n, el n´mero de a o u coeficientes wavelet en el nivel j (Kj ) es aproximadamente 2N −j . Otro concepto importante en este an´lisis de entrop´ es el de ventana deslizante. a ıa Definici´n 3.9. Sea w ∈ N (entero par) la anchura de la ventana, y ∆ ∈ N el par´metro de o a deslizamiento. La ventana deslizamiento queda definida como W j (m; w, ∆) = {Cj (k), k = 1 + m∆, 2 + m∆, . . . , w + m∆}, m = 0, 1, . . . , mj max (53) donde ∆ y w son seleccionados de modo que w ≤ Kj y (Kj − w)/∆ ∈ N. El centro de la ventana est´ ubicado en m = w/2 + m∆. a Una vez se tiene la ventana deslizante para cada nivel, se divide el espacio de valores de los coeficientes contenidos en la ventana en L subespacios. Si Cmax es el coeficiente de m´ximo valor a 11
    • de entre los contenidos en la ventana W j (m; w, ∆), y Cmin el coeficiente de m´ ınimo valor de entre los contenidos en esa misma ventana, se divide el intervalo [Cmin , Cmax ] en L subintervalos de tama˜o t = |Cmax − Cmin |/L: n m Ij,1 = [Cmin , Cmin + t) , m Ij,2 = [Cmin + t, Cmin + 2 · t) , ··· m Ij,L = [Cmin + (L − 1) · t, Cmax ] . (54) Construidos estos subintervalos, es tiempo de llevar a cabo una estimaci´n de la funci´n de dis- o o tribuci´n de los valores de coeficientes asociadas a una cierta ventana W j (m; w, ∆). Para ello se o m calcula la probabilidad p(Ij,l ) de que un coeficiente contenido en dicha ventana pertenezca al in- m tervalo Ij,l , para 1 ≤ l ≤ L. En base a esta funci´n de distribuci´n probabil´ o o ıstica se definen la entrop´ multiresoluci´n seg´n el criterio de Shannon o de Tsallis. ıa o u Definici´n 3.10. Se define la entrop´ multiresoluci´n de Shannon asociada a la escala 2j (MREj) o ıa o como L j m m HS (m) = − p(Ij,l ) log(p(Ij,l )), m = 0, 1, . . . , mj max . (55) l=1 Definici´n 3.11. Se define la entrop´ multiresoluci´n de Tsallis asociada a la escala 2j (MRETj) o ıa o como L q Hq (m) = (q − 1)−1 j m m p(Ij,l ) − p(Ij,l ) , m = 0, 1, . . . , mj max . (56) l=1 j j Si se representan los puntos (w/2 + m∆, Hx (m)) ( siendo Hx la entrop´ bien de Shannon, bien ıa j de Tsallis para la escala 2 ) obtendremos un sistema equivalente a las wavelets splines en lo que ata˜e a la localizaci´n de detalles en el plano frecuencia-tiempo. De este modo, las propiedades n o de localizaci´n del esquema, unidas al an´lisis estad´ o a ıstico que se lleva a cabo, permiten detectar con precisi´n cambios en la din´mica del sistema. Hay que tener en cuenta, no obstante, que o a la localizaci´n temporal est´ superditada a la imprecisi´n subyacente al examen mediante o a o ventana deslizante. En efecto, la entrop´ es representada con respecto a la posici´n central de ıa o dicha ventana, de modo que entre dos muestras de entrop´ existe una diferencia de w muestras ıa temporales reales. En definitiva, existe una imprecisi´n temporal del orden de w/2, a lo que hay o que unir la derivada del c´lculo di´dico de la transformada wavelet (en el nivel de escala j existen a a la mitad de coeficientes que en el nivel j − 1: la resoluci´n temporal se reduce aproximadamente a o la mitad). 3.6.1. Aplicaciones de la entrop´ multiresoluci´n ıa o Con el objeto de verificar las propiedades del an´lisis multiresoluci´n de la entrop´ se van a a o ıa, analizar dos sistemas ca´ticos. El primero es un mapa de Henon en el que se introducen variaciones o en el valor de unos de los dos par´metros din´micos que lo controlan. El mapa de Henon viene a a definido como 2 xn = 1 + yn−1 − an yn−1 , yn = bxn−1 . (57) Sobre el mapa de Henon se construyen dos sistemas: 1. an constante e igual a 1.023718384 2. an variable seg´n el esquema u   a1 si n < n1, an = a1 + [(n − n1 )(a2 − a1 )/(n2 − n1 )] si n1 ≤ n ≤ n2 , (58)  a2 si n > n2 , con a1 = 1.062371838, a2 = 1.080744879, n1 = 812, n2 = 1842 y b = 0.3 en ambos casos. En la figura 6 se recogen los resultados del an´lisis de entrop´ de la primera componente xn a ıa del mapa de Henon en el sentido de Shannon y de Tsallis. Estas gr´ficas se obtuvieron empleando a el modelo de ventana deslizante sobre los valores de secuencia directamente en lugar de emplear los 12
    • coeficientes de la transformada wavelet. En las figuras 7 y 8 se lleva a cabo este mismo examen pero utilizando, en esta ocasi´n, el enfoque multiresoluci´n para j = 1, 2, 3 . En las tres figuras citadas o o se puede detectar f´cilmente cuando se produce el cambio en la din´mica del sistema. En el caso de a a la entrop´ en el sentido de Tsallis, el enfoque multiresoluci´n mejora considerablemente las presta- ıa o ciones, pues la determinaci´n cl´sica de entrop´ no hace pensar que se haya producido cambio o a ıa alguno en la din´mica del sistema. Con respecto al enfoque seg´n Shannon, la ´ptica multiresolu- a u o ci´n, adem´s de permitir localizar en tiempo y en frecuencia la modificaci´n de par´metros, ayuda o a o a a eliminar influencias negativas propiciadas por presencia de ruido en las muestras de la se˜al, n gracias a que la transformadas wavelet act´a como un filtro paso banda. u Un segundo ejemplo al respecto de las prestaciones de las figuras MRE y MRET se va a desarrollar con el mapa log´ıstico(20). Se considerar´ un sistema tal que el par´metro din´mico λ a a a evoluciona seg´n: u   λ1 si n < n1, λn = λ1 + [(n − n1 )(λ2 − λ1 )/(n2 − n1 )] si n1 ≤ n ≤ n2 , (59)  λ2 si n > n2 , con λ1 = 3.5, λ2 = 3.8123, n1 = 1182 y n2 = 1634. En las figuras 9, 10 y 11 aparecen los resultados del an´lisis de entrop´ del mapa log´ a ıa ıstico con par´metro din´mico seg´n se acaba de referir. Los experimentos efectuados permite comprobar el a a u buen comportamiento del an´lisis multiresoluci´n, pues es f´cilmente localizable el instante en el a o a cual el sistema deja de comportarse como un sistema peri´dico para, paulatinamente, convertirse o en un sistema ca´tico. Este cambio es perceptible en todas las gr´ficas, pero la localizaci´n en o a o frecuencia es m´s precisa en el caso de emplear un an´lisis multiresoluci´n en el sentido de Tsallis. a a o En resumen, el an´lisis multiresoluci´n de entrop´ es una herramienta interesante, en la medida a o ıa que permite inferir la complejidad de un determinado sistema de forma menos onerosa que un esquema sustentado en la determinaci´n de par´metros como el exponente de Lyapunov, dimensi´n o a o de correlaci´n...Adem´s permite identificar con facilidad cambios producidos en la din´mica de un o a a sistema y confiere mayor inmunidad frente a ruido subyacente a la toma de muestras del sistema a examinar, esto es, las figuras MRE y MRET presentan mayor inmunidad frente al ruido que un esquema cl´sico de determinaci´n de entrop´ a o ıa. Entropia Shannon w=204 , ∆=4, L=16 1.05 1 0.95 0.9 0.85 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 Entropia Tsallis,q=5 , w=204, ∆=4 , L=16 0.26 Henon parametros constantes 0.255 Henon parametros variables 0.25 0.245 0.24 0.235 0.23 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 Figura 6: An´lisis de entrop´ para mapa de Henon con par´metros constantes y variables a ıa a 13
    • MRE1 w=204 , ∆=4, L=16 1.4 Henon parametro constante 1.2 Henon parametro variable 1 0.8 0.6 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 MRE2 w=204 , ∆=4, L=16 1.5 Henon parametro constante Henon parametro variable 1 0.5 0 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 MRE3 w=204 , ∆=4, L=16 1.4 Henon parametro constante 1.2 Henon parametro variable 1 0.8 0.6 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 Figura 7: An´lisis de entrop´ multiresoluci´n seg´n criterio de Shannon para el mapa de Henon a ıa o u con par´metros constantes y variables a MRET1 w=204 , ∆=4, L=16 , q=5 0.25 Henon parametro constante Henon parametro variable 0.245 0.24 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 MRET2 w=204 , ∆=4, L=16 , q=5 0.26 Henon parametro constante Henon parametro variable 0.25 0.24 0.23 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 MRET3 w=204 , ∆=4, L=16 , q=5 Henon parametro constante 0.25 Henon parametro variable 0.249 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 Figura 8: An´lisis de entrop´ multiresoluci´n seg´n criterio de Tsallis para el mapa de Henon con a ıa o u par´metros constantes y variables a Entropia Shannon w=82.00 , ∆=2.00, L=5.00 0.7 λ=3.50 0.65 λ=3.81 λ variable 0.6 0.55 0.5 0.45 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 Entropia Tsallis,q=5.00 , w=82.00, ∆=2.00 , L=5.00 0.25 λ=3.50 0.248 λ=3.81 λ variable 0.246 0.244 0.242 0.24 0.238 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 Figura 9: An´lisis de entrop´ para mapa log´ a ıa ıstico con par´metros constantes y variables a 14
    • MRE1 w=82.00 , ∆=2.00, L=5.00 0.6 λ=3.50 λ=3.81 0.4 λ variable 0.2 0 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 MRE2 w=82.00 , ∆=2.00, L=5.00 0.6 λ=3.50 λ=3.81 0.4 λ variable 0.2 0 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 MRE3 w=82.00 , ∆=2.00, L=5.00 0.6 λ=3.50 λ=3.81 0.4 λ variable 0.2 0 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 Figura 10: An´lisis de entrop´ multiresoluci´n seg´n criterio de Shannon para el mapa log´ a ıa o u ıstico con par´metros constantes y variables a MRET1 w=82.00 , ∆=2.00, L=5.00 , q=5.00 λ=3.50 λ=3.81 0.2 λ variable 0.1 0 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 MRET2 w=82.00 , ∆=2.00, L=5.00 , q=5.00 0.3 λ=3.50 λ=3.81 0.2 λ variable 0.1 0 −0.1 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 MRET3 w=82.00 , ∆=2.00, L=5.00 , q=5.00 0.3 λ=3.50 λ=3.81 0.2 λ variable 0.1 0 −0.1 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 Figura 11: An´lisis de entrop´ multiresoluci´n seg´n criterio de Tsallis para el mapa log´ a ıa o u ıstico con par´metros constantes y variables a 3.7. Entrop´ multiresoluci´n continua ıa o Otra posibilidad ser´ utilizar la transformada wavelet continua (CWT) como sustento para ıa efectuar una evaluaci´n del grado de desorden presente en un cierto sistema. Esto es lo que se o lleva a cabo en [8]-[11]. La idea es la misma que la esbozada en 3.6, pero ahora se utilizan los coeficientes de la transformada CWT en lugar de los de la DWT. En el caso de que se emplee una wavelet compleja, como la Morlet, en lugar de utilizar los coeficientes, se emplea el cuadrado de su m´dulo. La selecci´n de tipo de wavelet a emplear depender´ del tipo de se˜al. Si nos interesa o o a n trabajar con una wavelet que tenga buenas propiedades de localizaci´n, podr´ o ıamos optar por una de tipo sombrero mejicano. Si lo que se quiere es detectar singularidades, una buena elecci´n ser´ o ıa un wavelet de tipo Morlet. Sea s(t) la se˜al sobre la que se va a llevar a cabo el estudio de entrop´ Se muestrea la se˜al n ıa. n a una tasa de Ts segundos, obteni´ndose un total de M muestras. Sea s[n], para n = 0, . . . , M − 1, e 15
    • el conjunto resultante de muestras. Los coeficientes wavelet vendr´n dados por: a N −1 j ∗ Ws[n, 2 ] = s[m]ψj [m − n], m=0 −j n ψj [n] = 2 ψ . (60) 2j Con el objeto de que el an´lisis sea lo m´s general posible se trabajar´ con el cuadrado del a a a m´dulo de los coeficientes: o d(i, j) = Ws[i, 2j ] j = 1, 2, . . . , N ; i = 0, 1, . . . , M − 1. (61) El conjunto de todos estos coeficientes da lugar a una matriz de dimensiones M xN . A continuaci´n, o para cada escala, esto es, para cada columna de la matriz se define la ventana deslizante: Definici´n 3.12. Dados w entero par y ∆ ∈ Z tales que w ≤ M y (M − w)/∆ ∈ N, la ventana o de deslizamiento asociada a cada escala j es W j (m; w, ∆) = {d(k, j), k = 1 + m∆, 2 + m∆, . . . , w + m∆} m = 0, 1, . . . , mmax , (62) M −w donde mmax = ∆ . Esta ventana deslizante puede ser interpretada como la uni´n de una serie de L intervalos dis- o ın{d(i, j) ∈ W j (m; w, ∆)}, m´x{d(i, j) ∈ W j (m; w, ∆)}] juntos obtenidos dividiendo el intervalo [m´ a en L partes de igual tama˜o: n L W j (m; w, ∆) = m Ij,l , l=1 m [dj min + (l − 1) · t, dj + l · t) min para l=1,. . . ,L-1 , Ij,l = [dj min + (L − 1) · t, dmax ] para l=L , dj = m´ min ın{d(i, j) ∈ W j (m; w, ∆)} , dj j max = m´x{d(i, j) ∈ W (m; w, ∆)} , a j t = (dj max − dmin )/L . (63) m Definici´n 3.13. Se define p(Ij,l ) como la funci´n distribuci´n probabil´ o o o ıstica de los coeficientes wavelet asociados a la ventana deslizamente W j (m; w, ∆). Representa la probabilidad de que un m elemento de la ventana en cuesti´n pertenezca al intervalo Ij,l . Se calcula como el cociente en- o m tre el n´mero de elementos de W (m; w, ∆) contenidos en Ij,l y el n´mero total de coeficientes u u pertenecientes a esta ventana. Con los conceptos introducidos hasta este punto, estamos en condiciones de definir las matrices CME y CMEq. Definici´n 3.14. Sea s(t) una se˜al que es muestreada a una tasa de Ts segundos, obteniendo la o n secuencia s[n] de longitud M . En base a (60), (61) y las definiciones 3.12,3.13, se define la matriz CME o de an´lisis multiresoluci´n continuo de entrop´ Shannon asociada a s[n] como: a o ıa L CM E(m, j) = − p(Ij,l ) log pm (Ij,l ) , m m (64) l=1 para j = 1, . . . , N y m = 0, 1, . . . , mmax . Definici´n 3.15. Sea s(t) una se˜al que es muestreada a una tasa de Ts segundos, obteniendo la o n secuencia s[n] de longitud M . En base a (60), (61) y las definiciones 3.12,3.13, se define la matriz CMEq o de an´lisis multiresoluci´n continuo de entrop´ Tsallis asociada a s[n] como: a o ıa L q CM Eq (m, j) = (q − 1)−1 m m p(Ij,l ) − p(Ij,l ) , (65) l=1 para j = 1, . . . , N y m = 0, 1, . . . , mmax . 16
    • 3.7.1. Aplicaciones de la entrop´ multiresoluci´n continua ıa o Seg´n muestran [8]-[11], la principal ventaja aportada por las figuras CME y CMEq es el de u la localizaci´n de cambios en la din´mica de un sistema. En dichas referencias, se desarrolla un o a m´todo que es capaz de inferir cambios en los par´metros que regulan la din´mica de un cierto e a a sistema. El m´todo en cuesti´n, en primera instancia, lleva a cabo la determinaci´n de la evoluci´n e o o o temporal de la componente principal asociada bien a CME, bien a CMEq. De forma m´s precisa, a se determina el autovalor de valor m´ximo asociado a cada una de las matrices dadas por a {P Cp } = {CM E(m, j)} m = w − 1 + (p − 1), . . . , 2w + (p − 1) , j = 1, . . . , N , p = 1, . . . , (mmax − w + 1). (66) Es decir, se analiza la componente principal de matrices de entrop´ asociadas a intervalos de w ıa muestras temporales. La representaci´n del autovalor m´ximo de cada una de esas matrices da una o a idea de como evoluciona la din´mica del sistema. El estudio de esa evoluci´n, mediante el m´todo a o e CUSUM o mediante redes neuronales autosintonizables (SOM), permite inferir si se ha producido cambio alguno en la din´mica del sistema, seg´n se demuestra en [8]-[11]. a u En la figura 12 se representan los coeficientes de la matriz CMEq para el caso de una secuencia obtenida a partir del mapa log´ ıstico con valores del par´metro λ seg´n el esquema expuesto en (59), a u mientras que la figura 14 se muestra la matriz CMEq para un sistema basado en el mapa de Henon siguiendo el planteamiento referido en (58). Para el mapa log´ ıstico se aprecia f´cilmente que existe a un cambio en la din´mica del mismo, pues se pasa de un comportamiento peri´dico (λ = 3.5) a un a o comportamiento ca´tico (λ = 3.8123). De este modo, el an´lisis de la componente principal (figura o a 13) claramente alude a ese cambio, pues en el entorno de n = 800 la componente manifiesta un cambio brusco. Lo mismo ocurre para n ≈ 1400, aunque es cierto que existen cambios bruscos para otros instantes. Por tanto, la capacidad de detectar los cambios de modo riguroso, depender´ bien a del establecimiento de un umbral adecuado en el caso de emplear el algoritmo CUSUM, bien de un buen entrenamiento en el caso de optar por las redes SOM con m´todo autom´tico de detecci´n e a o de cambios bruscos. Adem´s, hemos de tener en cuenta la imprecisi´n a la la hora de localizar a o los cambios en el tiempo, debido a al error inmanente a la utilizaci´n de ventanas deslizantes y o coeficientes wavelet calculados mediante DWT (en la escala 2j existen aproximadamente la mitad de coeficientes que en la escala 2j−1 , i.e., se ha reducido la resoluci´n temporal casi a la mitad). En o el caso del sistema basado en el mapa de Henon, la situaci´n es similar. El an´lisis de componente o a principal (15) claramente se˜ala la existencia de una modificaci´n en la din´mica para n ≈ 800 y n o a otra en el entorno de n = 1500, lo que coincide, siempre de forma aproximada, con lo que cabr´ ıa esperar. w=80,∆=16,L=5,q=90,wavelet=Morlet con Fb=4, Fc=2 60 2 50 4 40 6 Nivel de escala j 30 8 20 10 10 12 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 w/2+m∆ Figura 12: Matriz CMEq para el mapa log´ ıstico con λ desde 3.5 a 3.8123 17
    • 55 50 45 40 Componente principal 35 30 25 20 15 10 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 Parámetro temporal Figura 13: An´lisis de componente principal asociada a la matriz CMEq para mapa log´ a ıstico con λ variable de 3.5 a 3.8123 w=80, ∆=16, L=5,wavelet=Morlet Fb=4, Fc=2 250 2 200 4 150 Nivel de escala 6 j 8 100 10 50 12 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 w/2+m∆ Figura 14: Matriz CMEq para el mapa de Henon con el par´metro a variable a 18
    • 38 36 34 32 Componente principal 30 28 26 24 22 20 18 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 Parametro temporal Figura 15: An´lisis de componente principal asociada a la matriz CMEq para el mapa de Henon a con el par´metro a variable a 4. Conclusiones El trabajo llevado a cabo ha permitido apreciar las virtudes fundamentales de la transformada wavelet en su aplicaci´n al an´lisis de la din´mica de sistemas. Se ha demostrado que la deter- o a a minaci´n de crestas wavelet es una herramienta v´lida para caracterizar el grado de complejidad o a de un determinado sistema din´mico. El an´lisis de m´ximos locales de una transformada wavelet a a a anal´ıtica se mostr´ como un indicador del comportamiento ca´tico de una determinada secuencia. o o Por otro lado, la utilizaci´n de la transformada wavelet discreta (DWT) ha permitido elaborar o diversos criterios de medida de la entrop´ del grado de desorden de un sistema. A este respecto, se ıa, introdujeron la entrop´ wavelet o WE y los an´lisis multiresoluci´n de entrop´ (MRE y MRET). ıa a o ıa Mediante WE se comprob´ que se obten´ una buena medida del grado complejidad de un sistema, o ıa mostr´ndose, dado el escaso coste computacional que lleva asociado su c´mputo, como una alter- a o nativa a tener cuenta respecto a otras medidas de complejidad como el exponente de Lyapunov, el exponente de Hurst o las dimensiones de correlaci´n. Por su parte, tanto la MRE como la MRET o nos permitieron detectar cambios en la din´mica de un sistema, gracias a que efect´an una medi- a u ci´n de la evoluci´n temporal de la complejidad, a diferentes escalas frecuenciales, de un cierto o o sistema din´mico. En este punto, hemos de recordar que la localizaci´n en tiempo de tales cambios a o ten´ asociada una cierta imprecisi´n, debido a la p´rdida de resoluci´n impl´ ıa o e o ıcita en un esquema di´dico de c´lculo de coeficientes wavelet, y debido, tambi´n, al uso de ventanas deslizantes. a a e Por ultimo, se introdujo el concepto de entrop´ multiresoluci´n continua. En este punto se ´ ıa o habl´ de las matrices de entrop´ CME y CMEq, las cuales se obtuvieron mediante un an´lisis de o ıa a entrop´ basado en modelo de ventana deslizante y sobre los coeficientes resultado del c´lculo de la ıa a transformada wavelet continua o CWT de la secuencia analizada. En el caso de CME se hizo uso del concepto de entrop´ seg´n Shannon (47), mientras que CMEq se basa en la interpretaci´n de ıa u o Tsallis (48). Las pruebas efectuadas demostraron que una an´lisis de componente principales sobre a CMEq permite detectar cambios bruscos en la din´mica de un sistema. No obstante, la indagaci´n a o en mecanismos de detecci´n autom´ticos de tales cambios queda como l´ o a ınea de investigaci´n futura. o 19
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