Canal de comunicación y caos

Aplicaciń de secuencias ca´ticas a la identificaciń del canal o o o de comunicacińo David Arroyo Guardeõ n ´ Indice ´ Indice 1 1. Introducciń o 2 2. Filtros de Wiener 2 3. Identificaciń del canal de comunicaciń v´ algoritmo LMS o o ıa 3 3.1. Algoritmo LMS: formulaciń y an´lisis de su estabilidad y convergencia . . . . . . o a 3 3.2. Aplicaciń del algoritmo LMS al problema de la identificaciń del canal de comuni- o o caciń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 7 3.3. Codificaciń ca´tica de seãles de voz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o o n 8 3.4. Identificaciń ciega del canal de comunicaciń: algoritmo DBD (Dynamic Based o o Deconvolution) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4. Simulaciones y conclusiones 10 4.1. Test del algoritmo LMS con codificaciń ca´tica para diferentes valores del par´metro o o a µ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4.1.1. Verificaciń de las prestaciones de la codificaciń ca´tica . . . . . . . . . . . o o o 11 4.1.2. Decisiń valor de µ ´ptimo para el caso de seãles de voz codificadas mediante o o n seãles ca´ticas de media cero: µ constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . n o 11 4.1.3. Decisiń valor de µ ´ptimo para el caso de seãles de voz codificadas mediante o o n seãles ca´ticas de media cero: esquema estoc´stico de iteraciń . . . . . . . n o a o 12 4.1.4. Decisiń valor de µ ´ptimo para el caso de seãles de voz codificadas mediante o o n seãles ca´ticas de media cero: esquema b´squeda-convergencia . . . . . . . n o u 12 4.1.5. Decisiń entre los tres valores ´ptimos obtenidos . . . . . . . . . . . . . . . o o 13 4.2. Test del algoritmo DBD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.2.1. Tasa de aprendizaje constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 4.3. Esquema estoc´stico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 15 4.4. Esquema b´squeda-convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u 15 4.5. Decisiń entre los tres valores ´ptimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o o 16 4.6. Test de los algoritmos LMS y DBD en presencia de ruido . . . . . . . . . . . . . . 16 Referencias 18 1

1. Introducciń o El objetivo ser´ desarrollar un m´todo para codificar mediante caos las seãles de voz, con el a e n objeto de mejorar las prestaciones del algoritmo LMS (Least Mean Square) a la hora de llevar a cabo una identificaciń del canal de comunicaciń([1]). Asimismo se presenta tambiń un segundo o o e m´todo basado en el algoritmo DBD -Dynamic Based Deconvolution- ([2],[3]), con el que se lle- e var´ a cabo una identificaciń ciega del canal. Se comenzar´ presentando someramente los filtros a o a de Wiener, tanto en cuanto el algoritmo LMS trata de aproximar tal filtro con el prop´sito de o implementar una realizaciń on-line. Hecha tal presentaciń, se desarrolla la teor´ vinculada con o o ıa el algoritmo LMS, especialmente aquellos aspectos de la misma relacionados con la estabilidad y convergencia del m´todo, ya que son estos factores los que justifican la utilizaciń de la codifi- e o caciń ca´tica de seãles de voz. Por ultimo, se desarrolla un m´todo que en lugar de partir del o o n ´ e conocimiento de la seãl enviada, aprovecha el conocimiento que se tiene respecto de la din´mi- n a ca de aquella. Tal m´todo es el DBD, el cual permite llevar a cabo la labor que aqu´ nos ocupa e ı sin necesidad de conocer la seãl que se env´ originalmente y, por ello, se dice que realiza una n ıo identificaciń ciega del canal. o 2. Filtros de Wiener Esta secciń pretende mostrar aquellos aspectos de los filtros de Wiener de inter´s para el o e posterior trabajo. Es decir, la descripciń aqu´ propuesta no es m´s que una introducciń, siendo o ı a o recomendable consultar [4] en caso de desear un mayor grado de detalle. Hecha esta primera puntualizaciń, el an´lisis comienza presentando el esquema a seguir (Figura 1). o a )n(d )n(x reneiW ed ortliF )z(W )n(e Figura 1: Esquema diseõ de un filtro de Wiener n ındice J = E [e(n)e∗ (n)], donde e(n) representa la diferencia entre la El objetivo es minimizar el ´ seãl deseada -d(n)- y la seãl estimada por el filtro de Wiener -dest (n)-. Aquel filtro que minimiza n n tal ´ındice se dice que es un filtro ´ptimo de Wiener. Para lograr el m´ o ınimo valor posible de J habr´ que trabajar con un filtro IIR no causal, lo cual es muy complejo en la prćtica. Es decir, ıa a la soluciń te´rica del problema no es satisfactoria para nuestros intereses, por lo que es preferible o o imponer restricciones al filtro a diseãr, de modo que finalmente se desarrollar´ un m´todo que n a e lleva a cabo la implementaciń del filtro de Wiener como un filtro FIR causal (1), o M −1 W (z) = wn z −n , (1) n=0 con lo que la seãl estimada por el filtro vendr´ dada por (2), mientras que (3) define el ´ n a ındice a minimizar. M −1 dest (n) = wi x(n − i), (2) i=0 J = E | e(n) |2 = E | d(n) − dest (n) |2 . (3) Dado que se desea minimizar (3), la siguiente operaciń ser´ diferenciar (3) con respecto a los o a coeficientes del filtro a diseãr e igualar a cero. Este proceso lleva a (4), que concreta el principio n de ortogonalidad o teorema de la proyecciń sobre el cual se construye el filtro de Wiener. o ∂J ∂e(n) = E 2e(n) = 0 ⇒ E [e(n)x(n − k)] ∂wk ∂wk M −1 ∂e(n) e(n) = d(n) − wi x(n − i) ⇒ = −x(n − k). (4) i=0 ∂wk 2

En efecto, si expresamos el error e(n) como la diferencia entre la seãl deseada y la seãl estimada n n por el filtro, (4) desemboca en (5): M −1 M −1 E d(n) − wi x(n − i) x(n − k) = E [d(n)x(n − k)] − wi E [x(n − i)x(n − k)] = 0 i=0 i=0 M −1 rdx (k) − wi rx (k − i) = 0, (5) i=0 expresiń que, asumiendo d(n) y x(n) son procesos estacionarios en sentido amplio, lleva finalmente o a la conocida como ecuaciń de Wiener-Hopf (6). o M −1 wi rx (k − i) = rdx (k). (6) i=0 Esta ecuaciń puede ser expresada matricialmente (7) de forma muy simple asumiendo que x(n) o es un proceso real, lo cual implica que la funciń de auto-correlaciń (rx (k) = E [x(n)x(n − k)]) o o para x(n) es sim´trica par respecto del origen (rx (k) = rx (−k)). e   rx (0) rx (1) rx (2) · · · rx (M − 1)  w0   rdx (0)   rx (1) rx (0) rx (1) · · · rx (M − 2)   w1   rdx (1)   . . .. .. .. . .   w2        . . . . .  = rdx (2)    .   .   .. .. ..  .   .  (7)  rx (M − 2) . . . rx (1)  . . rx (M − 1) · · · rx (2) rx (1) rx (0) wM −1 rdx (M − 1) ⇓ ⇓ ⇓ W r dx Rx Es decir, los coeficientes del filtro de Wiener vendrń dados por: a W = R−1 rdx . x (8) 3. Identificaciń del canal de comunicaciń v´ algoritmo o o ıa LMS 3.1. Algoritmo LMS: formulaciń y an´lisis de su estabilidad y conver- o a gencia Dado que la soluciń aportada en el apartado anterior constituye aquella para la cual el ´ o ındice J es el m´ ınimo posible, cuando el filtro es FIR y causal, parece l´gico pensar que el diseõ o o n b´squeda de un m´todo alternativo no tiene sentido. Sin embargo, la obtenciń de los coeficientes u e o del filtro a partir de la ecuaciń de Wiener-Hopf lleva asociada una gran carga computacional, o tanto en cuanto implica la inversiń de la matrix Rx , operaciń que, desde el punto de vista o o computacional, es compleja y cada vez m´s compleja a medida que crece el n´mero de coeficientes a u del filtro a diseãr, ya que dicha matriz suele estar mal condicionada. Por otro lado, a la hora n de obtener la ecuaciń de Wiener-Hopf se asumi´ que los procesos aleatorios involucrados eran de o o carćter estacionario en sentido amplio. Ahora bien, a la hora de tratar con seãles prćticas reales, a n a como las seãles de voz, nos encontramos con que tal hip´tesis no es aplicable. En el caso de las n o seãles de voz se puede pensar en la posibilidad de segmentar la seãl de voz, de modo que cada n n uno de los segmentos resultantes permitan ser considerados como procesos aleatorios estacionarios en sentido amplio. No obstante, tal segmentaciń no es recomendable en general, ya que puede o que los estad´ ısticos asociados a la seãl original cambien muy r´pidamente, factor que obligar´ n a ıa a disminuir el tamaõ de los distintos segmentos (con lo que aumenta el n´mero de segmentos), n u circunstancia que puede alterar considerablemente las caracter´ ısticas espectrales del proceso. En definitiva, parece m´s conveniente plantear un esquema alternativo al sintetizado en la ecuaciń de a o Wiener-Hopf (6), de modo que se llegue a un nuevo m´todo que nos lleva a una soluciń aceptable e o (pero no ´ptima), y haga posible trabajar con procesos de carćter no estacionario, determinando o a los coeficientes del filtro a diseãr on-line y evitando posibles dificultades algebraicas semejantes a n las previamente citadas. El m´todo a desarrollar va a implementar un filtro adaptativo, es decir, e los par´metros libres del filtro se van a adaptar a las variaciones que experimentan los estad´ a ısticos 3

de las seãles que constituyen el medio con el que se va a trabajar. En el caso particular que nos n ocupa, el esquema a seguir aparece en la siguiente figura (Figura 2). ) n( d x(n) Filtro transversal W n )n(e Mecanismo de control adaptativo de los pesos del filtro Figura 2: Esquema del algoritmo LMS El algoritmo LMS se construye a partir de los valores instantńeos de la funciń de coste o de a o penalizaciń: o J(n) = 1/2e2 (n). (9) La derivada de dicho ´ ındice con respecto a los pesos del filtro adaptativo a crear es ∂J(n) ∂e(n) = e(n) . (10) ∂W ∂W El error en cada instante viene dado por e(n) = d(n) − xT (n)W (n), (11) donde (x)(n) = [x(n) x(n − 1) . . . x(n − M + 1)]T y W (n) = [w0 (n)w1 (n) . . . wM −1 (n)]T . En consecuencia, se tiene que ∂J(n) = −x(n)e(n), (12) ∂W expresiń que constituye una estimaciń del gradiente de la funciń de coste. Dicho gradiente deter- o o o mina un vector cuya direcciń indica la direcciń en la que J(n) experimenta un mayor crecimiento. o o Dado que nuestro objetivo es minimizar J(n), el algoritmo LMS va a actualizar los valores de los coeficientes del filtro haciendo que en cada instante estos se desplacen una cierta cantidad en la direcciń opuesta a la indicada por (12). De forma anal´ o ıtica esta idea queda concretada en W (n + 1) = W (n) + µx(n)e(n), (13) donde µ es la tasa de aprendizaje. Dado que se lleva a cabo una realimentaciń de los pesos o (es decir, para calcular los pesos en el instante n + 1 se precisan los pesos en el instante n), el algoritmo LMS sintetiza un filtro paso bajo en el sentido que tiende a atenuar las componentes de alta frecuencia del error dejando pasar las de baja frecuencia. Con el objeto de resaltar tal comportamiento se presenta en la figura 3 el diagrama de flujo asociado al algoritmo LMS, el cual se obtiene expresando (13) como W (n + 1) = W (n) + µx(n)[d(n) − xT (n)W (n)] = [I − µx(n)xT (n)]W T (n) + µx(n)d(n), (14) siendo I la matriz identidad, y teniendo en cuenta que W (n) = z −1 [W (n + 1)], (15) donde z −1 es el operador retraso unidad, que lleva ´ ımplicito el almacenamiento de valores previos de pesos. A la vista del diagrama de flujo, se concluye que µ representa la inversa de la constante de tiempo asociada al filtrado previamente reseãdo, es decir, pequeõs valores de µ implican un n n proceso adaptativo lento, lo cual implica que una mayor cantidad de la informaciń pasada es o “recordada” por el algoritmo LMS, efecto que en ultima instancia se traduce en un filtrado de ´ 4

)n(W I1-z )1+n(W )n(d)n(xµ )n(Tx)n(xµ Figura 3: Actualizaciń de pesos segń el algoritmo LMS o u mayor precisiń. En otras palabras, la inversa de la tasa de aprendizaje es una medida de la o memoria del algoritmo LMS. La siguiente labor consiste en analizar la convergencia, as´ como la estabilidad del algoritmo ı LMS. Sin embargo, antes de emprender tal tarea es necesario realizar una serie de aclaraciones respecto del modo en que se actualizan los pesos del filtro objeto de diseõ. Dicha actualizaciń n o qued´ plasmada en (13) y provoca que el vector de pesos W (n) no siga una trayectoria definida en o el espacio de pesos, sino que dicha trayectoria es aleatoria, por lo que se dice que la aproximaciń o que aqu´ se realiza del gradiente es de carćter estoc´stico. A medida que el n´mero de iteraciones ı a a u se aproxima al infinito, el algoritmo LMS hace que los pesos calculados mediante (13) definan una trayectoria aleatoria entorno a la soluciń de Wiener (Wopt ). Pero lo m´s importante aqu´ es o a ı que esta aproximaciń a la soluciń ´ptima del problema se realiza sin necesidad de conocer los o o o estad´ısticos asociados a las seãles involucradas. Hechas las oportunas aclaraciones, se emprende n el an´lisis de la convergencia del algoritmo LMS. De teor´ de control se sabe que la estabilidad a ıa de un sistema realimentado est´ determinada por los par´metros involucrados en el bucle de real- a a imentaciń. Si observamos la figura 3, se comprueba que es el bucle de realimentaciń inferior el o o que permite controlar la convergencia del sistema, tanto en cuanto el bucle superior no presenta par´metro ajustable alguno. Dos son los elementos que participan en el bucle de realimentaciń a o inferior y que, por consiguiente, definen la transmitancia de dicho bucle: la tasa de aprendizaje µ y el vector de entradas x(n). Es decir, la convergencia del algoritmo LMS vendr´ condicionada tanto a por caracter´ ısticas estad´ ısticas de la entrada como por el par´metro µ, siendo este ultimo el unico a ´ ´ factor controlable para un entorno de trabajo dado. En consecuencia, el objetivo es determinar aquellos valores de µ que aseguran una buena convergencia. Ahora bien, para hallar tales valores se ha de decidir cual ha de ser el criterio de convergencia a exigir. Dos son las posibilidades: Convergencia en media: E[W (n)] → Wopt cuando n → ∞. Este criterio de convergencia no es de carćter prćtico tanto en cuanto cualquier secuencia aleatoria de vectores de media a a cero converge en este sentido. Convergencia en media cuadr´tica: E[e2 (n)] → valor constante cuando n → ∞. Este es el a verdadero criterio de carćter prćtico. El problema es que un an´lisis en profundidad de la a a a convergencia del algoritmo LMS en este sentido, encierra una gran complejidad, con lo que nos vemos abocados a realizar las siguientes hip´tesis (teor´ de la independencia: Widrow y o ıa otros,1976): • Las sucesivos vectores de entradas x(1), x(2) . . . son estad´ ısticamente independientes. • Para el instante de tiempo n el vector de entradas x(n) es independiente de todas las muestras anteriores de respuesta deseada del sistema, esto es, d(1), d(2) . . . , d(n − 1). • Para el instante de tiempo n la respuesta deseada d(n) es estad´ ısticamente independiente respecto x(n) y respecto de los valores anteriores de la respuesta deseada. • El vector de entradas x(n) y la respuesta deseada d(n) presentan una funciń de dis- o tribuciń gaussiana. o Estas hip´tesis permiten expresar la matriz de correlaciones de entradas como Rx = x(n)xT (n) y o el vector de correlaciones entre entradas y respuestas deseadas como rdx = x(n)d(n). Asimismo aquellas hip´tesis implican que, cuando n tiende a infinito, la soluciń dada por el algoritmo LMS o o 5

tiende a la ´ptima, es decir, la soluciń dada por Wiener (Wo pt). Por tanto, (13) ahora queda como o o W n+1 = (I − µRx )W n + µrdx , (16) expresiń que, restando en ambos lados la soluciń ´ptima de Wiener y con el cambio de variable o o o Dn = W n − W opt , da lugar a Dn+1 = (I − µRx )Dn . (17) Por otro lado, la matriz de correlaciones de entradas puede ser descompuesta mediante una descomposiciń SVD de modo que o Rx = V Λ V T , (18) donde los autovectores que constituyen la matriz V forma una base ortonormal (es decir, V V T = I). Como resultado de esto obtenemos Dn+1 = V (I − µΛ)V T Dn , (19) que multiplicando por la izquierda a ambos lados de la igualdad, y haciendo v n = V T Dn , permite expresar v n+1 = (I − µΛ)v n . (20) Dado que la matriz Λ es diagonal (con elementos iguales a los autovalores de la matriz de correlaciones de las entradas), podemos decir que vn (k) = (1 − µλk )vn (k). (21) Tras n iteraciones a partir de un cierto valor inicial v0 (k), nos queda vn (k) = (1 − µλk )n v0 (k). (22) Por tanto el sistema converge siempre que para todo k se cumpla que | 1 − µλk | < 1. (23) De este modo, la convergencia del sistema exige la siguiente condiciń con respecto a la tasa o o par´metro de aprendizaje: a 2 0<µ< , (24) λmax siendo λmax el mayor autovalor de la matriz de correlaciones Rx . Ahora bien, dicho autovalor no M −1 siempre se puede determinar, por lo que, teniendo en cuenta que λmax ≤ k=0 λk = tr(Rx ) = Traza de la matriz Rx = Suma de los elementos diagonales de Rx =M · rx (0)=suma de los valores cuadr´ticos del vector de entradas xn , una condiciń equivalente, aunque m´s restrictiva ser´ a o a ıa 2 0<µ< (25) M · rx (0) Por tanto si elegimos µ tal que se cumple (25), el algoritmo presenta convergencia cuadr´tica y con- a vergencia en media, ya que la primera convergencia implica la segunda, si bien no se da la relaciń o rec´ ıproca. Es decir, un sistema que converge en media puede que no converga cuadr´ticamente. a Hasta punto se han reseãdo las circunstancias que determinan la convergencia del algoritmo LMS, n lo que queda, pues, es determinar la rapidez de tal convergencia. Precisamente este es el principal problema del algoritmo LMS, ya que, por lo general, se requiere un n´mero de iteraciones cercano u a 10 veces la dimensiń del espacio de entradas para alcanzar un r´gimen estable. El problema se o e hace mayor a medida que aumenta la dimensiń del vector de entradas (es decir, el n´mero de o u coeficientes del filtro adaptativo) y a medida que el n´mero de condiciń de la matriz Rx aumenta, u o siendo el n´mero de condiciń el cociente entre el autovalor mayor y el autovalor menor de dicha u o matriz. Adem´s, la tasa de convergencia del algoritmo LMS es especialmente sensible a los cambios a que el entorno de trabajo provoca en el citado n´mero de condiciń. Un an´lisis detallado de la u o a transcendencia del n´mero de condiciń de la matriz Rx puede verse en [4],[5]. u o 6

3.2. Aplicaciń del algoritmo LMS al problema de la identificaciń del o o canal de comunicaciń o En este punto se pretende establecer un mecanismo de identificaciń del canal de comunicaciń o o basado en el algoritmo LMS. Para ello se transmite una cierta seãl conocida a trav´s del canal de n e comunicaciń, de modo que el receptor recibir´ el resultado de la convoluciń de la seãl original o a o n con la respuesta impulsiva del canal, es decir, se asume que el canal es lineal e invariante con el tiempo. Pues bien, la identificaciń del canal de comunicaciń se efectuar´ diseãndo un filtro o o a n adaptativo FIR mediante el algoritmo LMS, de modo que la respuesta de dicho filtro, cuando la entrada es la seãl original enviada a trav´s del canal, sea la seãl recibida. Por tanto el modelo a n e n aplicar ser´ el que aparece en la figura , donde v(n) es un ruido aditivo gaussiano de media cero a (AWGN). )n(v )z(H ) n( x aicnerefsnart nóicnuF nóic acinumoc ed lanac nóicatpadA nW setneicifeoc ortlif Figura 4: Modelo transmisiń para identificaciń del canal de comunicaciń o o o De forma gen´rica tenemos e ∞ −i ∞ i=0 ai z H(z) = ∞ −j = hk z −k , (26) 1− j=1 bj z k=0 es decir, se asume que el canal es causal. El filtro adaptativo a construir es de orden M − 1, es decir, hay que determinar M coeficientes, con lo que el esquema propuesto aproxima s´lo los Mo primeros coeficientes de la respuesta impulsiva del canal. Teniendo en cuenta que la seãl deseada n d(n) = hT x(n) + v(n), donde h = [h0 h1 . . . h∞ ]T , y expresando b = [h0 h1 . . . hM −1 ]T , tenemos d(n) = bT x(n) + ξ(n) + v(n). (27) De este modo el vector de correlaciones cruzadas entra la seãl de entrada y la deseada , teniendo n en cuenta que la seãl de entrada y el ruido estń incorrelados, vendr´ dado por n a a     rdx (0) E xT (n)h(n) + v(n) x(n)  rdx (1)   E xT (n)h(n) + v(n) x(n − 1)      rdx =  .  =  . =  . .   . .  rdx (M − 1) T E x h(n) + v(n) x(n − M + 1)   E xT (n)b(n) + ξ(n) x(n)  E xT (n)b(n) + ξ(n) x(n − 1)    =  .   . .  E xT (n)b(n) + ξ(n) x(n − M + 1) rdx = Rx b + E [ξ(n)x(n)] . (28) Expresiń que, considerando que M es lo suficientemente grande como para despreciar el efecto o de la correlaciń entre el t´rmino residual ξ(n) y el vector de entradas, queda reducida al primer o e sumando, es decir W opt ≈ b. (29) Por su parte la din´mica del algoritmo LMS vendr´ determinada por la ecuaciń (13), donde a a o e(n) = (W T (n) − b)x(n) + ξ(n) + v(n) ≈ (W T (n) − b)x(n) + v(n) (30) 7

3.3. Codificaciń ca´tica de se˜ ales de voz o o n En esta secciń se presenta un m´todo de codificaciń de las seãles de voz de modo que o e o n la seãl resultante posea un espectro plano, ya que, segń recoge [5], los autovalores asociados n u a la matriz de correlaciones Rx , construida a partir de la seãl codificada, estń limitados por n a los valores m´ximo y m´ a ınimo del espectro de potencia de dicha seãl. Dicho de otro modo, un n n´mero de condiciń unitario para la matriz Rx significa un espectro plano para la seãl x(n). u o n Una de las principales caracter´ısticas de las seãles ca´ticas es el “carćter plano” de su espectro n o a de potencia. Esta circunstancia sugiere que un buen veh´ ıculo para lograr una secuencia adecuada para la identificaciń del canal de comunicaciń, es algń tipo de codificaciń de la seãl original o o u o n de voz mediante caos. El esquema aqu´ propuesto codifica la seãl de voz escalńdola, en primer ı n a lugar, de modo que est´ dentro del intervalo [-1,1] y, a continuaciń, modifica en funciń de la seãl e o o n de voz escalada, el valor del par´metro que controla la din´mica de la secuencia ca´tica concreta a a o considerada. En lo que sigue se trabajar´ con el mapa log´ a ıstico. La din´mica del sistema viene dada por a xk+1 = rk xk (1 − xk ), (31) de modo que rk se escoge rk = r0 + ∆Ik . (32) Es decir, se busca un valor del par´metro din´mico r0 de modo que el comportamiento del sistema a a definido por 31 sea ca´tico para todo valor de k. Tal y como se comento m´s arriba, la seãl de o a n informaciń ha de estar normalizada (| Ik |≤ 1 ∀k). Los valores de los par´metros considerados son o a r0 = 3.9757 y ∆r = 0.029. A la vista de la figura 5 se concluye que, en efecto, la codificaciń ca´tica o o esparce el espectro de la seãl original de voz, de modo que la diferencia entre el valor m´ximo y n a el m´ınimo del espectro de potencia se ve reducida. Sin embargo, tal y como se observa en la figura 5, la seãl codificada ca´ticamente posee una alta componente de baja frecuencia, debido a que n o posee un cierto valor medio. Por tanto, un mecanismo para reducir ań m´s el esparcimiento de u a los autovalores de Rx , consiste en restar a la anterior seãl su valor medio. La disminuciń del n o esparcimiento de los autovalores, fruto de la codificaciń y de la posterior sustracciń del valor o o medio, se refleja en la tabla 3.3, la cual ha sido obtenida trabajando con la seãl de voz de la figura n 5. λmax /λmin Seãl Original n 5270 Seãl codificada n 987.84 Seãl cod. media 0 n 5.1 Tabla 1: Relaciń entre autovalor m´ximo y m´ o a ınimo 8

Figura 5: Ensanchamiento de espectro mediante codificaciń ca´tica o o 3.4. Identificaciń ciega del canal de comunicaciń: algoritmo DBD (Dy- o o namic Based Deconvolution) El m´todo de identificaciń del canal de comunicaciń propuesto en la secciń 3.2 part´ del e o o o ıa conocimiento de la seãl enviada a trav´s del canal. Ahora lo que se trata es de plantear un nuevo n e esquema que evite la necesidad de saber qu´ seãl fue enviada a trav´s del canal de comunicaciń, e n e o motivo por el cual este nuevo m´todo se dice que lleva a cabo la identificaciń de forma ciega. El e o m´todo que se va a utilizar se basa en el conocimiento de la din´mica de la seãl transmitida. Por e a n otro lado, el procedimiento es cuestiń va a tratar de hallar la inversa de la funciń de transferencia o o del canal de comunicaciń. Por estas dos circunstancias, tal esquema de identificaciń se dice es o o un m´todo de deconvoluciń basado en la din´mica de las seãles transmitidas (en ingl´s dinamic- e o a n e based deconvolution o, abreviadamente, DBD). kv ks n ói c a cifi d o C ed lana C a cit ó a c n ói c a ci n u m o c n ói c u l o v n o c e D kc er lanac kx 1- nóicareneG z ocitóac apam Figura 6: Esquema de funcionamiento del algoritmo DBD El esquema a seguir es el presentado en la figura 6. La seãl de voz a transmitir es codificada n siguiendo el esquema planteado en el apartado anterior. El canal de comunicaciń se asume causal, o lineal e invariante en el tiempo y viene representado mediante un modelo AR tal que 1 H(z) = p . (33) 1 − i=1 bi z −i Pues bien, el bloque de deconvoluciń del canal viene caracterizado por una funciń de transferencia o o G(z), que es un filtro FIR de orden M (es decir, M + 1 coeficientes), siendo M mayor o igual que p. Se pretende que G(z) sea la inversa de la funciń de transferencia del canal de comunicaciń. o o Es decir, se desea que [G(z) ◦ H(z)] = 1, (34) 9

lo cual exige que a0 = 1, ai = −bi i = 1, 2, . . . , p y ai = 0 para i > p, siendo aj los coeficientes que definen el filtro G(z), esto es M G(z) = ai z −i . (35) i=0 Si denominamos xest a la salida del filtro en el instante k tenemos que k p M xest − xk = (a0 reck − reck ) + k (ai + bi )reck−i + ai reck−i . (36) i=1 i=p+1 Suponiendo que G(z) realiza de forma adecuada la deconvoluciń, cabr´ esperar que la trayectoria o ıa descrita por la secuencia a la salida de este filtro, sea la misma que describe la secuencia original xk . Asumiendo que el mapa log´ ıstico se utiliz´ en la codificaciń, la funciń de error a emplear en o o o la b´squeda de los coeficientes de G(z) es u ek = xest − rest xest (1 − xest ), k k−1 k−1 (37) est donde r es una estimaciń del par´metro de control de la din´mica del mapa ca´tico o un cierto o a a o valor medio. Dado que dicho par´metro va a estar fluctuando en torno a r0 , se considerar´ que a a rest = r0 = 3.9757. Al igual que se procedi´ con el algoritmo LMS, las sucesivas actualizaciones de o los pesos del filtro a construir, vienen dadas por desplazamientos en la direcciń contraria a la del o gradiente del error cuadr´tico respecto de los coeficientes del filtro, siendo ´ste a e 2 ak e k = 2ek (reck − rest reck−1 (1 − 2xest )). k−1 (38) La ley de actualizaciń de pesos ser´ o a ak+1 = ak − µek (reck − rest reck−1 (1 − 2xest )), k−1 (39) siendo µ el par´metro que determina la convergencia del algoritmo: si µ es demasiado pequeõ a n la convergencia del algoritmo DBD se lleva a cabo de forma lenta, mientras que si es demasiado grande el sistema se desestabiliza. Para analizar las prestaciones del m´todo propuesto previamente e es preciso establecer cu´les son los pesos ´ptimos del filtro objeto de diseõ, es decir, debemos a o n determinar la soluciń ´ptima de Wiener aopt . Haciendo uso de la ecuaciń de Wiener-Hopf en o o o forma matricial (7), teniendo en cuenta que la entrada del sistema xk ahora es reck + vk y que la seãl deseada es dk = xk queda n Rentrada = E (reck + v k )T (reck + v k ) = Rrec + Rv , rdx (k) = E [xn (recn−k + vn−k )] = E [xn recn−k ] = E recn−k recT bext , n −1 a opt = [R rec + R v] R rec b ext . (40) En el an´lisis prćtico se supondr´ Rv = 0 (caso ideal sin ruido), con lo que a a a a opt ≈b ext , (41) T siendo b ext = [1 − b1 − b2 . . . − bp ] . 4. Simulaciones y conclusiones 4.1. Test del algoritmo LMS con codificaciń ca´tica para diferentes o o valores del par´metro µ a El objetivo de este apartado es el de verificar el comportamiento del algoritmo LMS utilizando diversos valores para la tasa de convergencia µ. Asimismo se comprobar´ la mejora experimenta- a da al utilizar codificaciń ca´tica. El primer paso consistir´ en definir una cierta figura que nos o o a permita juzgar la precisiń del modelo. Una buena figura es la denominada desajuste del modelo o (Model Misadjustment - MM-) respecto a la soluciń ´ptima de Wiener . A continuaciń se anal- o o o izan diversas situaciones (en todas ellas se considera ausencia de ruido) presentńdose las gr´ficas a a que concretan los resultados obtenidos. En dichas gr´ficas se representa en decibelios la figura a MM normalizada respecto al desajuste del modelo inicial. La respuesta impulsiva del canal de comunicaciń viene dada por o 1 2 1 + cos( 2π (n − 2)) , n = 1, 2, 3 3 hn = , 0 , e.o.c. mientras que el filtro a diseãr presenta 128 coeficientes (M = 128). n 10

4.1.1. Verificaciń de las prestaciones de la codificaciń ca´tica o o o Se pretende mostrar la conveniencia de emplear la codificaciń ca´tica como herramienta para o o aumentar la tasa de convergencia del algoritmo LMS aplicado a la identificaciń del canal de o comunicaciń. Esta circunstancia se aprecia sin m´s que observar la figura 8. A la vista de dicha o a gr´fica se concluye que la forma m´s conveniente de llevar a cabo la identificaciń del canal es a a o por medio de codificaciń ca´tica con seãles de media cero, es decir, antes de enviar la seãl a o o n n trav´s del canal conviene substraerle su valor medio, pues de este modo el espectro de la seãl e n resultante no presenta una delta en el origen, lo que se traduce en un espectro de potencia plano y, en consecuencia, un n´mero de condiciń bajo para la matriz Rx . u o Amplitud normalizada N´ mero de muestra u Figura 7: Seãl empleada en los experimentos n MM (dBs) N´ mero de iteraciones u Figura 8: Test LMS para µ = 0.02 sin ruido 4.1.2. Decisiń valor de µ ´ptimo para el caso de se˜ ales de voz codificadas mediante o o n se˜ ales ca´ticas de media cero: µ constante n o Se pretende determinar un valor adecuado de µ para el caso de codificaciń ca´tica con seãles o o n de media cero y siendo µ constante en las sucesivas iteraciones del algoritmo LMS. Los resultados obtenidos aparecen en la figura 9, a la vista de la cual se concluye que 0.07 es un valor adecuado para µ. 11

MM (dBs) N´ mero de iteraciones u Figura 9: B´squeda de valor ´ptimo para la tasa de aprendizaje u o 4.1.3. Decisiń valor de µ ´ptimo para el caso de se˜ ales de voz codificadas mediante o o n se˜ ales ca´ticas de media cero: esquema estoc´stico de iteraciń n o a o El par´metro µ en cada iteraciń n viene descrito por a o µ(0) µ(n) = n = 1, 2, . . . (42) n La elecciń de µ(0) determina la convergencia del algoritmo siendo crucial la elecciń de un valor o o para el mismo no muy pequeõ (convergencia lenta) ni demasiado grande (inestabilizaciń del n o sistema), tal y como refiere [6]. En el caso que nos ocupa, los resultados m´s satisfactorios se ob- a tuvieron para µ(0) = 10 (mirar figura 10). MM (dBs) N´ mero de iteraciones u Figura 10: Resultados para esquema estoc´stico de iteraciń a o 4.1.4. Decisiń valor de µ ´ptimo para el caso de se˜ ales de voz codificadas mediante o o n se˜ ales ca´ticas de media cero: esquema b´ squeda-convergencia n o u En este caso µ es µ(0) µ(n) = n = 1, 2 . . . , (43) 1 + (n/τ ) 12

segń recoge [6]. A la vista de (43) se concluye que para valores de n pequeõs respecto de la u n constante de tiempo τ , µ es aproximadamente igual a µ(0). Por consiguiente, eligiendo un valor elevado para µ(0) hacemos que los pesos del filtro se actualicen de forma que se sitén cerca de u su valor ´ptimo, es decir, en esta fase se lleva a cabo una b´squeda del ´rea entorno a la soluciń o u a o o ´ptima. Cuando el n´mero de iteraciones es considerablemente elevado, µ(n) es aproximadamente u igual a τ µ(0)/n . Es en esta fase cuando los pesos del filtro convergen hacia su valor ´ptimo, de o ah´ que se hable de fase de convergencia. Para nuestro caso particular los resultados obtenidos para ı diversos valores de los par´metros involucrados en (43) aparecen en la figura 11, concluyńdose a e que la mejor elecciń es µ(0) = 0.09 y τ = 4000. o MM (dBs) N´ mero de iteraciones u Figura 11: B´squeda del valor ´ptimo de µ mediante esquema b´squeda-convergencia u o u 4.1.5. Decisiń entre los tres valores ´ptimos obtenidos o o Ahora es tiempo de decidir que esquema es el m´s adecuado a la hora de realizar una iden- a tificaciń del canal de comunicaciń v´ algoritmo LMS. Para ello representamos conjuntamente o o ıa las soluciones ´ptimas obtenidas m´s arriba (figura 12), concluyendo que los mejores resulta- o a dos se obtienen aplicando codificaciń ca´tica son se˜ ales de media cero y un esquema de o o n b´ squeda-convergencia para el par´metro µ, ya que, si bien para un n´mero pequeõ de itera- u a u n ciones la b´squeda estoc´stica proporciona los mejores resultados, a medida que crece el n´mero de u a u iteraciones las prestaciones del m´todo de b´squeda-convergencia supera a las de los otros m´to- e u e dos, siendo especialmente reseãble el caso de la b´squeda estoc´stica, ya que para n´mero de n u a u iteraciones superior a 1000 la mejora experimentada al seguir iterando es muy pequeã. Es decir, n el algoritmo se “estanca”, incrementńdose cada vez m´s la diferencia entre el MM de este m´todo a a e y el aportado por el mecanismo de b´squeda-convergencia. u 4.2. Test del algoritmo DBD Se considerar´ que el canal viene descrito mediante a 1 H(z) = (44) 1 − 0.1106z −1 + 0.2309z −2 + 0.5839z −3 La figura ha utilizar ser´ de nuevo MM y se considera que no hay ruido en el canal. Los valores a iniciales de los pesos del filtro vienen dados por el resultado de aplicar, para un n´mero pequeõ de u n iteraciones, el algoritmo de identificaciń del canal basado en el m´todo LMS a una seãl ca´tica o e n o pura generada a partir del mapa log´ ıstico para r = 3.9757. De nuevo todos los resultados obtenidos, que aparecen sintetizados en las siguientes gr´ficas, se encuentran normalizados respecto al MM a determinado por los pesos iniciales anteriormente citados. Adem´s, el resultado de tal normalizaciń a o se expresa en decibelios. El ultimo punto a aclarar antes de mostrar las gr´ficas es el referido a la ´ a elecciń del orden del filtro a diseãr. Es decir, en el receptor se ha de suponer un cierto orden o n para el filtro a construir, teniendo que ser dicho orden igual o superior al orden del filtro AR que 13

MM (dBs) N´ mero de iteraciones u Figura 12: Comparaciń entre valores ´ptimos de µ o o modela el canal. Hechas todas las aclaraciones oportunas, pasamos a analizar el comportamiento del algoritmo DBD para las 3 implementaciones del par´metro µ presentadas en la secciń anterior. a o 4.2.1. Tasa de aprendizaje constante Suponiendo que conocemos a ciencia cierta el orden del filtro AR que modela el canal, y que en este caso es 3 (esto es, el canal tiene 4 coeficientes), se analiza la calidad del m´todo DBD e para diversos valores de µ, siendo ´ste constante a lo largo de las diversas iteraciones. La primera e consecuencia destacable tras analizar la figura 13, son las oscilaciones que los coeficientes del filtro construido presentan una vez se ha alcanzado la adaptaciń. Esto es resultado de que se intenta o aproximar la din´mica de un sistema cótico, de modo que pequeõs cambios en los pesos del a a n filtro se traducen en “grandes” diferencias entre las trayectorias predichas para dos instantes de tiempo diferentes (recordar que una de los rasgos principales de un comportamiento ca´tico era que o trayectorias inicialmente pr´ximas tienden a separarse exponencialmente con el tiempo). Es decir, o en r´gimen permanente los cambios en los pesos del filtro generado mediante el algoritmo DBD e se ven amplificados. La siguiente conclusiń es relativa al valor del par´metro de convergencia. Se o a observa que para valores de µ inferiores a 0.01 el sistema es excesivamente lento, mientras que a medida que µ crece por encima de 0.01 y se acerca a 0.06 las oscilaciones en r´gimen permanente e son mayores, de modo que para µ mayor que 0.06 el sistema se inestabiliza. En definitiva, parece que µ = 0.01 da lugar a un comportamiento aceptable. 14

MM (dBs) N´ mero de iteraciones u Figura 13: B´squeda de valor ´ptimo de µ para DBD y esquema de iteraciń constante u o o 4.3. Esquema estoc´stico a El valor que da mejores resultados es, teniendo en cuenta la figura 14, µ = 0.3. De dicha gr´fi- a ca se desprende, adem´s, que el esquema estoc´stico para µ hace que en r´gimen permanente el a a e sistema no oscile, debido a que para n suficientemente grande µ presenta valores pequeõs que n casi no amplifican los cambios experimentados en los pesos del filtro. Por el contrario, la robustez en cuanto a estabilidad que se gana se traduce en una convergencia m´s lenta, es decir, existe un a compromiso entre precisiń y rapidez. o MM (dBs) N´ mero de iteraciones u Figura 14: B´squeda de valor ´ptimo de µ para DBD y esquema de iteraciń estoc´stico u o o a 4.4. Esquema b´ squeda-convergencia u En los diversos experimentos realizados, algunos de los cuales aparecen representados en la figura 15, se observ´ que para un valor de µ(0) superior a 0.08 los pesos del filtro crecen demasiado o para las primeras iteraciones del algoritmo, lo cual no conviene, pues empeora la tasa de convergencia. Por ello se asumi´ µ(0) = 0.08 como un valor adecuado. A continuaciń se realizaron o o diversos experimentos con µ(0) = 0.08 y τ variable, concluyńdose que, para µ(0) fijo, a medida e que τ aumenta las oscilaciones en r´gimen permanente se acentán, debido a que µ(n) mantiene e u un valor elevado para un mayor n´mero de iteraciones. Por esta circunstancia se elige τ = 100 y u µ(0) = 0.05 como un conjunto de valores que determinan un comportamiento satisfactorio. 15

MM (dBs) N´ mero de iteraciones u Figura 15: B´squeda de valor ´ptimo de µ para DBD y esquema de iteraciń b´squeda-convergencia u o o u 4.5. Decisiń entre los tres valores ´ptimos o o Si representamos las soluciones ´ptimas obtenidas para cada uno de los esquemas de generaciń o o del par´metro de aprendizaje del algoritmo DBD (figura 16), hemos de elegir como mejor opciń a o la representada por un diseõ de µ segń el modelo de b´squeda-convergencia de Moody y Darken, n u u ya que es para esta situaciń cuando se alcanza una r´pida convergencia y,adem´s, en r´gimen o a a e permanente las oscilaciones de los pesos del filtro implementado casi no son apreciables. MM (dBs) N´ mero de iteraciones u Figura 16: Comparaciń entre los diversos esquemas iterativos para el algoritmo DBD o 4.6. Test de los algoritmos LMS y DBD en presencia de ruido El canal de comunicaciń ser´ modelada segń (44). Al igual que se hizo en el apartado 4.1, se o a u supone que el filtro a diseãr mediante el algoritmo LMS posee 128 coeficientes. Las simulaciones n obtenidas aparecen en la figura 17 y la figura 18, habińdose obtenido ambas segń los diseõs e u n “´ptimos” para cada algoritmo. La primera gr´fica (figura 17) nos lleva a concluir que el algoritmo o a DBD presenta un comportamiento aceptable cuando la relaciń seãl a ruido (SNR) es cercana o o n superior a 20 dB. Adem´s el comportamiento del algoritmo, en el caso de trabajar en las condiciones a reciń reseãdas, es aceptable ań cuando el orden del filtro a diseãr no coincide con el orden de la e n u n 16

funciń de transferencia que modela al canal. Es m´s, la tasa de convergencia del algoritmo DBD o a - tabla 2- para SN R = 20dB es mayor que la presenta el algoritmo LMS - tabla 3 - con seãles n ca´ticas de media cero, si bien se observ´ que para ´rdenes del filtro a implementar superiores o o o o iguales a 8 durante las primeras iteraciones del algoritmo DBD no existe convergencia alguna, esto es, los pesos del filtro se alejan de la soluciń ´ptima, aunque este comportamiento s´lo existe o o o durante un r´gimen transitorio. Para concluir, es necesario reseãr la importancia de seleccionar e n un valor no excesivamente elevado para la tasa de aprendizaje inicial en el caso del algoritmo DBD, pues a dicha tasa amplifica los efectos perjudiciales del ruido. De este modo, experimentalmente se comprob´ que conven´ o ıa µ(0) ≤ 10−7 , τ = 10 para 0 ≤ SN R < 10 dBs (45) µ(0) ≤ 10−4 , τ = 100 para 10 ≤ SN R ≤ 15 dBs (46) µ(0) ≤ 0.02, τ = 200 para 15 < SN R ≤ 25 dBs (47) Tasa de convergencia aproximadas para el algoritmo DBD orden del filtro 3 4 6 8 SNR<20 dBs 0.11dB/100 iter. 0.09 dB/100 iter. 0.37 dB/100 iter. 0.27dB/100 iter. SNR≥20 dBs 13 dB/100 iter. 13 dB /100 iter. 6 dB/100 iter. 3 dB/100 iter. Tabla 2: Convergencia para DBD MM (dBs) N´ mero de iteraciones u N´ mero de iteraciones u (a) Orden filtro=3 (b) Orden filtro=4 MM (dBs) N´ mero de iteraciones u N´ mero de iteraciones u (c) Orden filtro=6 (d) Orden filtro=8 Figura 17: Simulaciones para el algoritmo DBD en presencia de ruido 17

MM (dBs) N´ mero de iteraciones u Figura 18: An´lisis algoritmo LMS en presencia de ruido a Tasa de convergencia aproximada para el algoritmo LMS SNR < 20 dBs 2 dB/100 iter. SNR ≥ 20 dBs 4 dB /100 iter. Tabla 3: Convergencia LMS en presencia de ruido Referencias [1] J.M.H. Elmirghani, S.H. Milner, R.A. Cryan, Experimental evaluation of echo path modelling with chaotic coded speech, IEEE Trans. Signal Processing, vol. 45, pp. 2600-2604, Oct. 1997. [2] A.M¨ller, J.M.H. Elmirghani, Blind channel estimation and echo cancellation using chaotic u coded signals, IEEE Communications Letters, vol 3, No. 3, pp. 72-74, Mar. 1999. [3] A.M¨ller, J.M.H. Elmirgani, A chaotic spreading code and its application to blind channel es- u timation, Proc. IEEE Global Telecommunications Conference, GLOBECOM’01, San Antonio, pp. 186-190, Nov. 2001. [4] S. Haykin, Adaptive Filter Theory, Third Edition, Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, Signal Processing Series, 1985. [5] B. Widrow, S.D. Stearns, Adaptive signal Processing, Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, Signal Processing Series, 1985. [6] C. Darken, J. Moody, Towards faster stochastic gradient search, Advances in Neural Informa- tion Processing Systems, vol. 4, pp. 1009-1016, San Mateo, CA: Morgan Kauffman, 1992. [7] Miguel Romera, Tćnica de los sistemas din´micos discretos, Consejo Superior de Investiga- e a ciones Cient´ ıficas, 1997. [8] C. Fernńdez P´rez, F.J. V´zquez Hernńdez, J.M. Vegas Montaner, Ecuaciones diferenciales a e a a y en Diferencias. Sistemas Din´micos, Thomson, Madrid 2003. a 18

Canal de comunicación y caos

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