Apuntes De Econometria Ii

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Apuntes De Econometria Ii

  1. 1. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRÍA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Página 1 31/01/2008 Fecha: 2007- 09- 06 Análisis de la regresión múltiple: problema de la estimación Se analiza el modelo de tres variables: una dependiente y dos explicativas; y con modelos lineales en los parámetros, que puedan ser o no lineales en las variables. “Cabe anotar que el texto de Damodar Gujarati, posee un diferenciación con la notación universal”. Modelo de tres variables: notación y supuestos La FRP: iiii uXXY  22110  en donde 21  y son los cocientes de regresión parcial. Los supuestos fundamentales son: Supuesto 1: El valor medio de las perturbaciones iu es igual a cero. iuE( ), 21 ii XX = 0 Se habla de las perturbaciones, es decir distancias. Supuesto 2: No existe autocorrelación entre las distribuciones iu . iuCov( )ju = 0 Cuando se habla de distribuciones queremos referirnos a una curva de distribuciones. Supuesto 3: Homoscedasticidad o igual varianza en las distribuciones de iu . )( iuVar = 2  Supuesto 4: La covarianza entre la distribución iu y cada variable X es igual a cero. ),( 1ii XuCov = ),( 2ii XuCov = 0 Supuesto 5 El modelo de regresión está correctamente especificado Supuesto 6 No hay multicolinealidad perfecta entre 1X y 2X . “Cuando hay multicolinealidad, el software no nos proporciona un resultado” “En matrices para obtener los reagresores hay que dividir para los determinares de esa matriz.”
  2. 2. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRÍA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Página 2 31/01/2008 Linealmente Independientes: Linealmente Dependientes: Cuando dos vectores utilizan la misma línea de acción los dos son linealmente dependientes. Multicolinealidad perfecta existe cuando las variables 1X y 2X son linealmente dependientes. 02211  ii XX  ii XX 2 1 2 1          Por ejemplo: si ii XX 12 2   iiii XXY   12110 2 1v 2v 2???1 vv 1v 2v 12 2vv  02 12  vv
  3. 3. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRÍA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Página 3 31/01/2008   iii iii iiii XY XY XXY       10 1210 12110 2 2 Donde  21 2  , no hay forma de estimar la influencia separada de iX1 y iX 2 sobre Y. En la práctica, en los datos para el análisis empírico siempre habrá un nivel de correlación entre las variables explicativas; lo que re requieres es que no sean exactas. Fecha: 2007- 09-11 Estimación de los Coeficientes de Regresión Parcial Traer el ejercicio de la tabla 6.4 La FRP en este caso es la siguiente: iiii uXXY  22110  “Notación Universal: 1 y 2 corresponden a la primera y segunda variable respectivamente. En el texto de Damodar Gujarati existe una diferencia, en cuanto a la notación”. La FRM es la siguiente: iiii uXXY ˆˆˆˆ 22110   , donde iii XXY 22110 ˆˆˆˆ   , y iii YYu ˆˆ  . Entonces, mediante la utilización del método de Gauss:              iii iii iii iii i iiiiii XXnY XXnY XXY XXY u XXYYYu 22110 22110 22110 22110 0 2 2 22110 22 ˆˆˆ 0ˆˆˆ 0)ˆˆˆ( 0)1)(ˆˆˆ(2 ˆ )ˆ( )ˆˆˆ()ˆ()ˆ(       Primera Ecuación Normal Es necesario igualar a cero.
  4. 4. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRÍA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Página 4 31/01/2008            iiiiii iiiiii iiii iiii i XXXXXY XXXXXY XXXY XXXY u 122 2 11101 122 2 11101 122110 122110 1 2 ˆˆˆ 0ˆˆˆ 0))(ˆˆˆ( 0))(ˆˆˆ(2 ˆ )ˆ(                 2 22211202 2 22211202 222110 222110 2 2 ˆˆˆ 0ˆˆˆ 0))(ˆˆˆ( 0))(ˆˆˆ(2 ˆ )ˆ( iiiiii iiiiii iiii iiii i XXXXXY XXXXXY XXXY XXXY u      Resolviendo el sistema de ecuaciones llegamos a: “En el semestre pasado teníamos dos ecuaciones con dos incógnitas, ahora tenemos tres ecuaciones y tres incógnitas su resolución es imposible. Para resolver se debe hacer desviaciones con respecto a la media.” 22110 ˆˆˆ XXY             2 21 2 2 2 1 212 2 21 1 ˆ iiii iiiiiii xxxx xxxyxxy                2 21 2 2 2 1 211 2 12 2 ˆ iiii iiiiiii xxxx xxxyxxy      Varianzas y errores estándar de los coeficientes de regresión parcial            2 2 21 2 2 2 1 2121 2 1 2 2 2 2 2 1 0 21 )ˆ(                iiii iiii xxxx xxXXxXxX n Var        2 2 21 2 2 2 1 2 2 1)ˆ(               iiii i xxxx x Var                2 2 2 1 2 212 12 ii ii xx xx r Segunda Ecuación Normal Tercera Ecuación Normal  2 2ix va a ser pasado a dividir.
  5. 5. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRÍA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Página 5 31/01/2008                                                           2 2 2 1 2 212 1 2 2 1 2 212 1 2 1 1* )ˆ( ii ii i i ii i xx xx x x xx x Var                2 12 2 1 2 1 1 )ˆ( rx Var i          2 2 21 2 2 2 1 2 1 2 )ˆ(               iiii i xxxx x Var              2 12 2 2 2 2 1 )ˆ( rx Var i                   2/12 2 2/12 1 2 12 22 12 21 )1( )ˆ,ˆ( ii xxr r Cov   )3( ˆ ˆ 2 2    n ui  Propiedades de los estimadores de MCO 1. La recta de regresión pasa por las medias de 21,, XXY ; en general: ikikii uXXXYi   ...22110 kk XXXY  ˆ...ˆˆˆ 22110  2. La media de Yˆ es igual a la media de los Y observados Y . ii XXiY 22110 ˆˆˆˆ   ii XXXXYiY 22112211 ˆˆ)ˆˆ(ˆ      222111 ˆˆˆ XXXXYiY ii   ii xxYiY 2211 ˆˆˆ     ii xxYniY 2211 ˆˆˆ  Es 3 por que tenemos tres regresores.
  6. 6. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRÍA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Página 6 31/01/2008 00 21   ii xx YniY  ˆ   YY n i ˆ1 Nota:   iii xxYY 2211 ˆˆˆ   iii xxy 2211 ˆˆˆ   iii uyy ˆˆ  iiii uxxy ˆˆˆ 2211   3. La media de los residuos iuˆ es cero.                        2 22110 2 iiiiii XXYYY    012 22110 0 2                        iii i XXY                 iii XXY 22110           0ii YY   0ˆiu
  7. 7. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRÍA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Página 7 31/01/2008 4. Los residuos iuˆ no están correlacionados con los residuos iX1 y iX2   02 122110 1 2                     iiii i XXXY u     0122110         iiii XXXY    01         iii XYY 01   ii Xu   02 222110 2 2                     iiii i XXXY u     0222110         iiii XXXY    02         iii XYY 02   ii Xu 5. Los residuos iuˆ no están correlacionados con  ii Yy ˆ  iii xxy 2211            iiiii xxy  2211    iiii xxy 2211  011   ix
  8. 8. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRÍA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Página 8 31/01/2008 022   ix 0  iiy  6. De las ecuaciones para obtener las varianzas de 21 ˆ,ˆ  se observa que a medida que 2 12r se acerca a 1, las varianzas aumentan y tienden hacia el infinito, que es el caso de la multicolinealidad perfecta. Fecha: 2007- 09-15 Coeficiente de Determinación R2 : Mide el porcentaje de explicación de las variables independientes sobre la dependiente, es decir indica cuán cerca está Yˆ de Y: STC = SEC +SRC   222 ˆˆ iii uyy   2 2 2 ˆ i i y y STC SEC R Si SRC = 0 SEC = STC 12 R Ajuste perfecto. Si SRC ≠ 0 SEC < STC 12 R Porcentaje de ajuste. 10 2  R     2 2 2 ˆ 11 i i y u STC SRC STC SRCSTC R )3( ˆ ˆ 2 2    n ui  22 ˆ)3(ˆ  nui )1( 2 2    n y Sy i 22 )1( Synyi  2 2 2 )1( ˆ)3( 1 Syn n R     La raíz cuadrada de R2 es el coeficiente de correlación, que es una medida del grado de asociación entre Y, y todas las variables explicativas conjuntamente, que en la práctica tiene poca importancia.
  9. 9. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRÍA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Página 9 31/01/2008 El R2 ajustado ( 2 R ) Una propiedad importante del R2 es que a medida que aumenta el número de variables explicativas, aumenta casi invariablemente hacia 1.   2 2 2 ˆ 11 i i y u STC SRC R La    22 YYy ii , es independiente del número de variables explicativas; es decir si en un modelo aumenta, la  2 iy permanece constante. Pero la  2 ˆiu a medida que aumenta el número de variables explicativas, disminuye. Para comparar dos R2 se debe tomar en cuenta el número de variables explicativas en el modelo; esto se puede hacer con el R2 ajustado ( 2 R ).      )1/( )/(ˆ 1 2 2 2 ny knu R i i Donde k es igual al número de regresores en el modelo incluyendo la intersección. El término ajustado significa ajustado por los grados de libertad. 2 2 2 ˆ 1 Sy R   Donde 2 ˆ es la varianza homocedástica de la regresión y 2 Sy es la varianza muestral de Y. )1/( )/()( 1 )1/( )/( 12       nSTC knSECSTC nSTC knSRC R                   kn n STC SEC R 1 112              kn n RR 1 11 22 Si k=1es decir el modelo sin intersección de la regresión simple 22 1 );0ˆ( RR 
  10. 10. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRÍA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Página 10 31/01/2008 Si k>1 a medida que aumenta el número de variables explicativas el 2 R aumenta menos que el R2 . En términos generales, la finalidad de un modelo de regresión no es maximizar el R2 . Un R2 elevado no es evidencia en favor del modelo, y un R2 bajo no es evidencia en su contra. Ejemplo: Considerando la información de la tabla 6.4: EQ01: MI C PIB TAF MI = 263,6416 – 0,005647PIB – 2,231586TAF (11,59318) (0,002003) (0,209947) 22,74109 -2,818703 -10,62927 R2 = 0,707665 2 R = 0,698081 Incrementos en el PIB y en el TAF ejercen impactos negativos en la MI. Si el PIB se incrementa en 100usd, manteniendo a la TAF constante, el número de muertes de niños menores de 5 años se reducirá 5,6 por cada 1000 nacimientos vivos. Si la TAF sube en un 1% manteniendo al PIB constante, el número de muertes de niños menores de 5 años disminuirían a 2,23 por cada 1000 nacimientos vivos. 1 y 2 se conocen como los coeficientes de regresión parcial, veamos como se puede visualizar. Eliminemos la influencia que TAF ejerce sobre la mortalidad infantil y el PIB. EQ02: MI C TAF MI = 263,8635 – 2,390496TAF (12,22499) (0,213263) 21,58395 -11,20917 R2 = 0,669590 2 R = 0,664261 EQ03: PIB C TAF PIB = -39,30328 + 28,14268TAF (734,9526) (12,82111) -0,053477 2,195027 R2 = 0,072108 2 R = 0,057142 Si ahora se hace la regresión de R02 SOBRE R03, que están purificadas de la influencia de TAF.
  11. 11. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRÍA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Página 11 31/01/2008 EQ04: R02 R03 R02 = -0,005647R03 (0,001971) -2,864538 R2 = 0,115238 2 R = 0,115238 Que es el regresor del PIB en la regresión multivariada (EQ01). Por otro lado, eliminando la influencia que el PIB ejerce sobre la MI y TAF. EQ05: MI C PIB MI = 157,4244+ 0,011364PIB (9,845583) (0,003233) 15,98935 -3,515661 R2 = 0,166217 2 R = 0,152769 EQ06: TAF C PIB TAF = 47,59716 + 0,002562PIB (3,555330) (0,001167) 13,38755 2,195027 R2 = 0,072108 2 R = 0,057142 EQ07: R05 R06 R05 = -2,231586 R06 (0,206588) -10,80212 R2 = 0,649388 2 R = 0,649388 Que es el regresor de la TAF en el caso multivariado. Ya que la regresión de R05 sobre R06 están purificadas de la influencia del PIB. Fecha: 2007- 09 -18 Si realizamos el modelo con varaibles estandarizadas con el ejercicio 7.1, tenemos: series mi1=(mi-@mean(mi))/@stdev(mi) series pib1=(pib-@mean(pib))/@stdev(pib) series taf1=(taf-@mean(taf))/@stdev(taf)
  12. 12. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRÍA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Página 12 31/01/2008 EQ08: mi1 pib1 taf1 mi1= -0,0202570pib1 – 0,76388taf1 (0.071285) (0.071285) -2.841713 -10.71604 R2 = 0.707665 2 R = 0.702950 Si TAF permanece constante, un incremento de una desviación estándar del PIB, propicia una disminución de 0.02026 desviaciones estándar de MI, si PIB permanece constante; un incremento de una desviación estándar de TAF propicia una disminución de 0.7639 desviaciones estándar de MI. Volviendo a la regresión original EQ01.  2 2 2 2 2 97807.7563 )74780.41(61 1 )1( )3( 1      Syn n R  El numerador viene del S.E. of regresios y el denominador S.D.Dependent var. Examen con 5 cifras decimales. 707665.02 R 2 2 2 2 2 )97807.75( )74780.41( 11   Sy R  698081.0 2 R                  61 63 707665.011 )( )1( 11 22 kn n RR 698081.0 2 R . “Cobb Douglas, es una relación entre la remuneración del trabajador y la inversión en activos fijos” La única manera de obtener la elasticidad, es mediante la utilización de las funciones Cobb Douglas. Introducción al sesgo de especificación: Control de lectura Comparación de dos valores de R2 : Control de lectura, incluyendo el ejemplo 7.2 La función de producción COBB-DOUGLAS: i eXAXY iii  21 21
  13. 13. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRÍA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Página 13 31/01/2008 En donde Y= producto, 1X = trabajo, 2X = capital,  perturbación estocástica y e= base del logaritmo natural. Y X X Y X X Y Y EYX 1 1 1 */1      1 21 12 1 11 21 21       i i eXAX XeXXA ii iii Y X X Y X X Y Y EYX 2 2 2 2 *2       2 221 2221 ** ** 121 121        i u ii i u ii XeXAX XeXAX i i iiii uXXAY  2211 lnlnlnln  iiii uXXY  22110 lnlnln  1 es la elasticidad del producto respecto al insumo trabajo; mide el cambio porcentual en la producción debido a una variación del 1% en el insumo trabajo, manteniendo el insumo capital constante. 2 es la elasticidad del producto respecto al insumo capital, manteniendo constante al insumo trabajo. Por otro lado, si ( 1 + 2 )<1, rendimientos decrecientes; si ( 1 + 2 )=1, rendimientos constantes a escala; si ( 1 + 2 )>1, rendimientos crecientes. Ejemplo: Consideremos la información de la tabla 7.3. Y = 4874.204, X1 = 14.80656, X2 = 7335.481 EQ01: LY C LX1 LX2 LY = -3.337389 + 1.498783 LX1 + 0.48975 LX2 (2.453107) (0.540596) (0.102193) -1.360474 2.772465 4.79231 R2 = 0.888713 2 R = 0.870165 En el sector agrícola taiwanes, manteniendo constante el capital, un aumento del 1% en el trabajo condujo a un incremento de 1.5% del producto. De igual manera con el capital. La suma de las elasticidades es 1.9885. lo que ubica a Taiwán en la región de rendimientos crecientes. “Modelos de regresión polinomial: Control de lectura, incluyendo los ejemplos 7.4 y 7.5.”
  14. 14. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRÍA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Página 14 31/01/2008 FECHA: 2007- 09- 20 Coeficientes de Correlación Parcial Recordemos que el coeficiente de correlación es una medida del grado de asociación lineal entre dos (2) variables. En el modelo con tres variables se pueden obtener tres coeficientes de correlación: - 01r , entre Y y 1X (Y es la variable 0 y 1X la variable1) - 02r , entre Y y 2X (Y es la variable 0 y 2X la variable2) - 12r , entre 1X y 2X Si la definición es grado de definición es de forma binaria tengo tres coeficientes de correlación. Indicadores que se denominan coeficientes de correlación simple o de orden cero. Los coeficientes de correlación de orden cero pertenecen a la correlación simple. Los cuales permiten el cálculo de los coeficientes de correlación de primer orden (u órdenes mayores). Los coeficientes de correlación de orden cero poseen una utilidad práctica.       2/12 02 2 01 020112 0.12 2/12 12 2 01 120102 1.02 2/12 12 2 02 120201 2.01 )1)(1( )1)(1( )1)(1( rr rrr r rr rrr r rr rrr r          2.01r = coeficiente de correlación parcial entre Y y 1X manteniendo a 2X constante 1.02r = coeficiente de correlación parcial entre Y y 2X manteniendo a 1X constante 0.12r = coeficiente de correlación parcial entre 1X y 2X manteniendo a Y constante Ejemplo.- consideremos la información de la tabla 7.3       187343.0 )817428.01)(675718.01( )904117.0(822020.0486671.0 810445.0 )486671.01)(675718.01( )697618.0(822020.0904117.0 624858.0 )486671.01)(817428.01( )697618.0(904117.0822020.0 2/10.12 2/11.02 2/12.01             r r r En el examen final se debe hace grupo con el software e-views.
  15. 15. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRÍA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Página 15 31/01/2008 Además, se procede con: equation eq01.ls ly c lx2 Dependent Variable: LY Method: Least Squares Date: 09/20/07 Time: 09:15 Sample: 1958 1972 Included observations: 15 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 3.146467 0.911302 3.452714 0.0043 LX2 0.687405 0.090102 7.629200 0.0000 R-squared 0.817428 Mean dependent var 10.09660 Adjusted R-squared 0.803384 S.D. dependent var 0.207922 S.E. of regression 0.092196 Akaike info criterion -1.806242 Sum squared resid 0.110500 Schwarz criterion -1.711835 Log likelihood 15.54682 F-statistic 58.20470 Durbin-Watson stat 0.539611 Prob(F-statistic) 0.000004 equation eq02.ls lx1 c lx2 Dependent Variable: LX1 Method: Least Squares Date: 09/20/07 Time: 09:16 Sample: 1958 1972 Included observations: 15
  16. 16. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRÍA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Página 16 31/01/2008 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 4.326081 0.379931 11.38648 0.0000 LX2 0.131877 0.037564 3.510685 0.0038 R-squared 0.486671 Mean dependent var 5.659445 Adjusted R-squared 0.447185 S.D. dependent var 0.051697 S.E. of regression 0.038437 Akaike info criterion -3.556011 Sum squared resid 0.019207 Schwarz criterion -3.461604 Log likelihood 28.67008 F-statistic 12.32491 Durbin-Watson stat 0.514764 Prob(F-statistic) 0.003835 Nociones Básicas de Algebra Matricial (Leer el Apéndice B) Operaciones con vectores: 1. Dado un vector columna u de (m,1) el producto u’u es la suma de cuadrados de los elementos de u. Ejemplo: los residuos de MCO. A la sumatoria de los residuos al cuadrado sacamos la primera derivada e igualamos a cero. 2. Dado un vector columna u de (m, 1), el producto uu’ es una matriz simétrica de (m,m). Ejemplo: las perturbaciones estocásticas u.                               2 21 2 2 221 121 2 1 21 2 1 ...*´ nnn n n n n uuuuu uuuuu uuuuu uuu u u u uu       uu´ =                               22 2 2 1 2 1 21 .... n n n uuu u u u uuu   Propiedades de la transpuesta: 1) (A´ )´=A 2) (A+B)´= A´+B´ 3) (AB)´ = B´A´; (ABC)´=C´B´A´
  17. 17. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRÍA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Página 17 31/01/2008 4) Si A=A´ es una matriz simétrica. ),(),(),(),(),(),( ´*´´*)**( mnnppqqpPNnm ABCCBA  Propiedades de la inversa: 1)   AA   11 2)     1111111 ;   ABCABCABAB 3)   )´(´ 11   AA 4) Si una matriz no tiene inversa, se llama “singular”; el determinante de la matriz es igual a cero porque sus vectores filas o columnas son linealmente dependientes. 5) Si una matriz tiene inverso, se llama, “no singular”; el determinante de la matriz es diferente de cero porque sus vectores filas o columnas son linealmente independientes. Vectores dependientes son los que están en la misma línea de acción. Vectores independientes cuando utilizan distintas líneas de acción. 6) La inversa es: ).( )det( 11 Aadj A A  Derivación de matrices: Sea Y = nn XaXaXa  2211              n n a a a a  2 1 )1,(              n n X X X X  2 1 )1,( 1) Si Y = a X a X Y    ´ ´ a X Y    2) Si Y=X´X ´2´´ ´ XXX X Y    XXX X Y 2   ´ ´ X a Y    X a Y   
  18. 18. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRÍA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Página 18 31/01/2008 Sea:                              nmnmm n n n X X X aaa aaa aaa XXXAXX      2 1 21 22221 11211 21 ),...,,(´ 3) Si Y = X´AX A es simétrica : A = A´ AXAXAXAXAXAXAX X Y ´2´´´'´´)´(    AXAXAXXAAXAXAX X Y 2')'´( ´    FECHA: 2007- 09- 25 Enfoque Matricial en el Modelo de Regresión Lineal Modelo de Regresión de k variables explicativas La FRP con k variables explicativas: ikikiii uXXXY   .........22110 que es una expresión abreviada del siguiente conjunto de n ecuaciones simultaneas: nknknnn kk kk uXXXY uXXXY uXXXY       ......... .......................................................................... ......... ......... 22110 2222212102 1121211101 Que en forma matricial                                                   nk kn Esta matriz representa al sistema de ecuaciones. Donde k es el número de variables explicativas y (k+1) es el número de regresores. )1,()1,1)(1,()1( Ejemplo: Con la muestra 1 Si es que yo no incluyo la columna de unidades yo estoy haciendo un modelo que le estoy forzando a que pase por el origen. Si yo le quito la unidad.
  19. 19. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRÍA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Página 19 31/01/2008                                                                                                       nu u         1 1 0 ˆ ˆ 2601 2401 2201 2001 1801 1601 1401 1201 1001 801 150 155 140 120 115 110 95 90 65 70   (10,1) (10,2) (2,1) (10,1) (10,1) Supuestos del Modelo. 1. El valor esperado del vector de perturbaciones u es cero. Algebraicamente: 0)( iuE La expectativa de E ( iu )=  iu n 1 Matricialmente: 0)( uE  0 0 0 0 )( )( )( *)( 2 1 2 1                                   nn uE uE uE u u u EuE Nota: 1u en el primer nivel de ingreso, 2u en el segundo nivel de ingreso. El promedio de las perturbaciones estocásticas en todos los niveles de ingreso es igual a cero. Los promedios están sobre la función de regresión poblacional, si tenemos un promedio igual a cero, ese punto está sobre la regresión de población. 2. Ausencia de “autocorrelación” entre las perturbaciones y presencia de la homoscedasticidad: Algebraicamente: 0);();(  jiji uuEuuCov 22 )()(  ii uEuVar Matricialmente: IuuE 2 )',(  La varianza de las distribuciones de las perturbaciones se define como:     )',()()()( ' uuEuEuuEuEuVar 
  20. 20. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRÍA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Página 20 31/01/2008   IuuEuVar I uEuuEuuE uuEuEuuE uuEuuEuE uuuuu uuuuu uuuuu Euuu u u u EuuE uuEuVar nnn n n nnn n n n n 2 22 2 2 2 2 21 2 2 221 121 2 1 2 21 2 2 221 121 2 1 21 2 1 )',()( 100 010 001 00 00 00 )()()( )()()( )()()( )',( )',()(                                                                                                Es la matriz de varianza covarianza de las distribuciones de las perturbaciones. Es la matriz de var-cov de las distribuciones de las perturbaciones iu 3. Se establece que la matriz X consta de números fijos. 4. Las columnas de la matriz X son linealmente independientes, es decir no hay multicolinealidad perfecta. Puede existir multicolinealidad casi perfecta. Estimación del Modelo: Los regresores: La transpuesta de una suma es la suma de las transpuestas. En matrices, no se aplica el enunciado algebraico sobre el orden de los factores no altera al producto. Se debe mantener el orden de multiplicaciones. La función de regresión de la muestra con k variables explicativas: ikikiii XXXY  ˆ...22110     XY    XY Para obtener los regresores:
  21. 21. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRÍA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Página 21 31/01/2008 Alg: minimizar   2 i Mat: minimizar  '                XYXY ´ '                         XYXY ' ''                XYXY '''' Nota: el orden es importante, no equivocarse.          XXYXXYYY '''''''   0)´´´ˆ(ˆ´´)´´( ˆ ˆ´ˆ    XXXXYXXY uu   0ˆ´ˆ´´´   XXXXYXYX 0ˆ´2´2  XXYX ˆ´´ XXYX         YXXXXXXX ´´ˆ´´ 11      YXXXI ´´ˆ 1     YXXX ´´ˆ 1  )´)(´.( )´det( 1 YXXXAdj XX    La Matriz Var (β) El promedio de todos los ˆ es igual a  . )´()´( 1 YXXX    uXY     uXXXXXXXuXXXX ´)´()´()´(´)´( 111     Identidad
  22. 22. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRÍA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Página 22 31/01/2008 uXXX ´)´( 1     uXXXEEuXXXEE ´)´()(´)´()( 11           )(´)´()( 1 uEXXXE        )(E                         )()()(  EEEVar                          uXXXuXXXEVar ´)´(´)´()( 11       uXXXuXXXEVar ´)´(´)´()( 11         ´11 ´´´´ˆ   XXXUUXXXEVar  Nota:         111 ´´´´   XXXXXX       11 ´´´´ˆ   XXXUUXXXEVar          11 ´´´´ˆ   XXXUUEXXXVar        121 ´´´ˆ   XXXXXXVar         112 ´´´ˆ   XXXXXXVar      12 ´ˆ   XXVar  kn       ' 2 Donde n es el número de observaciones y k es el número de regresores, no de variables explicativas, cambia la dimensión de la k. O
  23. 23. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRÍA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Página 23 31/01/2008                                                                                     kkk k k VarCovCov CovVarCov CovCovVar Var     ... ... ... 10 1110 0100  FECHA: 2007-09-27 Ejemplo: Con la muestra uu ˆ'ˆ .        322001700 170010 )´( XX        205500 1110 )´( YX Det (X´X)=330000                  0000303.00051515.0 0051515.09757575.0 10700.1 700.1322000 330000 1 )´( XX                                 1 0 508485.0 457575.24 205500 1110 0000303.00051515.0 0051515.09757575.0    XY 5085.0457575.24  493.615909.42 8 2727.337' 2          kn                        001278.0217183.0 0217183.13705.41 0000303.00051515.0 0051515.09757575.0 45909.42var  Var( )ˆ( o =41.13705 ee )ˆ( o =6.413817 Var( )ˆ( 1 =0.001278 ee )ˆ( 1 =0.035743 Cov )ˆ,ˆ( 10  =0.217183 Propiedades de los residuos:
  24. 24. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRÍA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Página 24 31/01/2008 La FRP: uXY   La FRM:   uXY    XYu   XY   XY 1.- Los errores estimados son ortogonales (perpendiculares) a las variables explicativas. 0)ˆ()ˆ(  XuuX )())((ˆ)ˆ(ˆ 1 YXXXXXYXXXYXXYXuX    YXYXuX ˆ 0ˆ uX XXXYXXYXXYXu   ˆ)ˆ()ˆ(ˆ      )()(ˆ 11 XXXXXYXYXXYXXXXYXu     0ˆ  XYXYXu SRCSECSTCSECSTCSRC  **** .2 ˆˆˆˆXY uYu     ˆˆ´ˆ´ˆ)ˆˆ()ˆˆ(YY' ' uYuYuYuY  uuuu ˆ'ˆYˆ'ˆˆYˆYˆ'YˆYY' '  uˆˆuˆ)ˆ(uˆY' ´´´ XX   = 0 0ˆuˆYuˆ ´´  X uuYYYY ˆˆˆˆ´ ´´  3.-SRC = STC – SEC STC = SEC + SRC uXY ˆˆ   ˆXY    uYYuXXYY ˆ)ˆ(ˆˆˆ        uuYYYYYYYY ˆˆˆˆ)ˆ( ´´´  Para el examen: Al final del apéndice C, existe un ejercicio con tres variables. In sesgados quiere decir que son simétricos. 4) ** SECSTCSECSTCSRC 
  25. 25. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRÍA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Página 25 31/01/2008 ))(())(()()()()( _ '' _ ''' _ ' _ '   YYYYYYYYYYYYYYYY __ ' _ ' _ '' __ ' _ ' _ ''' YYYYYYYYYYYYYYYY                              YYYYYYYYYYYYYYYYYYYY _ ' _' '' _ ' _ '''''     _ ' _ '''' YYYYYY 0ˆˆˆ  XuYu 0ˆ''ˆˆ)ˆ(ˆ   uXuXuY  YYYYuu ˆˆˆˆ  *NOTA: el orden es importante, no cambiarlo. Propiedades de los estimadores de MCO: 1.- Son lineales con la variable Y: Por definición: )()(ˆ 1 YXXX    2.-Son insesgados: YXXX  1 )(ˆ uXY   uXXXXXXXuXXXX   111 )()()()()(ˆ  uXXX  1 )(ˆ           0''''         EEXXXXXXEE         E 3.-GAUSS MARKOV.- los estimadores de MCO son eficientes, es decir, tienen varianza mínima Supongamos que * es cualquier otro estimador lineal de  .  YCXXX   ')'(* 1  Donde C es una matriz de constantes, y recordando que uXY      CuCXuXXX CuCXuXXXXXXX uXCXXX          ')'(* ')'(')'(* ')'(* 1 11 1
  26. 26. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRÍA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Página 26 31/01/2008 Para que * sea un estimador insesgado de  debe darse que CX=0 porque:         CuuXXX E uCECXEuEXXXE CuECXEuXXXEEE CuCXuXXXEE          ')'(* *)( )()()(')'(*)( ')'()(*)( ')'(*)( 1 1 1 1      Ahora se analiza la varianza                   ')ˆ(*)( ')'(*)( 0)'('' '')'(''')'(')'(')'('*)( ')'('')'()'(')'(*)( ')'()'()'(')'(')'()'()'(')'(*)( '')'('''')'()'('')'(*)( '')'('')'(*)( '')'(')'(*)( '')'(')'(*)( *)(**)(**)( 2 212 21212112 21221121 1111 1111 11 11 11 ' CCVarVar CCXXVar CXCX CCXXCXCXXXXXXXXXVar CCXXXCCXXXXXXXXXVar CuuCEXXXuuCECuuEXXXXXXuuEXXXVar CCuuXXXcuuCuuXXXXXXuuXXXEVar CuXXXuCuuXXXEVar CuuXXXCuuXXXEVar CuuXXXCuuXXXEVar EEEVar                              )ˆ(*)(  VarVar  SEGUNDA PARTE FECHA: 2007 - 10 - 02 Análisis de regresión múltiple: el problema de la inferencia Aunque los conceptos desarrollados en los capítulos anteriores pueden ser aplicados al modelo de regresión múltiple estos modelos poseen características adicionales que le son únicas. Se mantiene el supuesto que los i sigue la distribución normal con media cero y varianza constante 2  . Con el supuesto de normalidad, se asegura que  210 ,,  también están normalmente distribuidos.
  27. 27. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRÍA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Página 27 31/01/2008 Pruebas de hipótesis: coeficiente individual de regresión parcial ikikiii XXXY   ...22110                 i ii i ee t   Lo que se desea probar es la hipótesis de que iX , manteniendo el resto de las variables explicativas constantes no tiene influencia alguna sobre Y: 0: 10 H 0: 11 H          i i i ee t   Si 2t : se rechaza 0H , se acepta 1H Si 2t : no se rechaza 0H Prueba de significación global de la regresión: Examina la significación de todas las pendientes en conjunto, simultáneamente; la intersección, queda fuera de la prueba. ikikiii uXXXY   22110 0: 210  kH   0: 210  kH   )( )1( ... ... kn SRC k SEC ldeg SRC ldeg SEC F    Donde k= #de regresores Si F> valor crítico de de la tabal F, se rechaza 0H y se acepta 1H . Si F< valor crítico de de la tabal F se acepta 0H . En otras palabras, la prueba F mide si Y está relacionada o no linealmente con 1X y 2X simultáneamente. El valor P, tiene el mismo significado que en el caso de la t de Student.
  28. 28. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRÍA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Página 28 31/01/2008 )1(1 )( )1)(( )( )1( )(                k STC SEC kn STC SEC kSECSTC knSEC kSRC knSEC F )( )1( )1( 2 2 kn R k R F     La F tiene relación con el 2 R , de donde se deduce que la prueba F también mide la significación de 2 R ; en consecuencia: 0: 2 0 RH 0: 2 1 RH Si 02 R F=0 Si 2 R = 1 F= Cuanto mayor sea el 2 R , mayor será el valor de la F. Lo anterior saca a relucir una importante observación empírica respecto a los datos transversales, donde por lo general se obtiene un 2 R bajo; si pasa la prueba F no se debe preocupar. En una regresión con series de tiempo por lo general se tiene un 2 R alto, ahí viene la importancia de esta prueba, si se hace la prueba F y si no pasa (por lo geneal no suele pasar por el problema de la auto correlación). En los cortes transversales, por lo general el 2 R es bajo, si pasa la prueba F el 2 R está bien. La contribución “incremental” de una var. Explic. En la mayoría de las investigaciones empíricas, el investigador no puede estar seguro si se justifica agregar una variable X al modelo. Lo que se desea es saber si al añadir una variable al modelo se aumenta la SEC (y por tanto 2 R ) significativamente en relación con la SRC; es lo que se denomina la contribución incremental tal de una var.explic. )( )( kn SRC m SECSEC F n Vn    Donde m= #de nuevas variables y (n-k)= g. de l. del nuevo modelo.
  29. 29. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRÍA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Página 29 31/01/2008   )( kn STC SECSTC m STC SEC STC SEC F n vn           F= )( )1( )( 2 22 kn R m RR n vn    Ejemplo: consideremos el caso de la M.I MI= 263.8635 – 2.390496(TAF) (12.22499) (0.213263) 20.58395 -11.20917 2 R = 0.669590 F=125.6455 MI= 157.4244 – 0.011364(PIB) (9.845583) (0.003233) 15.98935 -3.515661 2 R =0.166217 F=12.35987 MI= 263.6416 – 0.005647(PIB) – 2.231586(TAF) (11.59318) (0.002003) (0.209947) 22.74109 -2.818703 -10.62927 2 R =0.707665 61 )707665498.01( 2 707665498.0  F =73.83254 El valor crítico de la F al 95% con 2 y 6.1 g. de l. es 3,15; se aceptan 1H . La contribución incremental de TAF es: 61 )707665498.01( )166216985.0707665498.0(   F Que es justamente: 9814.112)62927.10( 2  La contribución del PIB es:
  30. 30. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRÍA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Página 30 31/01/2008 61 )707665498.01( 1 )669589717.0707665498.0(   F Que es justamente: 9451.7)818703.2( 2  En ambos casos, el valor crítico de la F al 95% con 61 g. de l. es 4,00; el aumento de la nueva variable es significativo. FECHA: 2007-10-09 Pruebas de igualdad de los coeficientes iiiii uXXXY  3322110  320 :  H   032   321 :  H   032   Por ejemplo si Y= cantidad demandada de un bien, 1X =precio del bien; 2X =ingreso del consumidor y 3X =riqueza del consumidor; la 0H significa que los coeficientes de ingreso y riqueza son los mismos. Si Y y los X s están expresadas en forma logarítmica, la 0H implicaría que las elasticidades son iguales. Para probar la 0H , recordemos que:   2 1                               i ii i ii i Var ee t       2 1 32 32 2 1 32 3232                                                   VarVar t         32 Var =        2Var +        3Var -2cov        32 ,
  31. 31. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRÍA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Página 31 31/01/2008 Si :2t se rechaza 0H , se acepta 1H Se :2t no se rechaza 0H Ejemplo: consideremos la información de la tabla 7.4: P = Producción, CT= Costo Total P2 = 3^2 3^ PPP  CT = 141.7667 + 63.47766(P) – 12.96154( 2 P ) + 0.939588( 3 P ) (6.375322) (4.778607) (0.985665) (0.059106) 22.23678 13.28372 -13.15005 15.89677 998339.02 R “A medida que aumentan los regresores el 2 R tiene a 1”      5.0 057642.02003493.0971535.0 939588.096154.12   t t = -12.81082 Se rechaza 0H , se acepta 1H : son diferentes Dependent Variable: CT Method: Least Squares Date: 10/08/07 Time: 07:54 Sample: 1 10 Included observations: 10 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 141.7667 6.375322 22.23678 0.0000 P 63.47766 4.778607 13.28372 0.0000 P2 -12.96154 0.985665 -13.15005 0.0000 P3 0.939588 0.059106 15.89677 0.0000 R-squared 0.998339 Mean dependent var 276.1000 Adjusted R-squared 0.997509 S.D. dependent var 65.81363 S.E. of regression 3.284911 Akaike info criterion 5.505730 Sum squared resid 64.74382 Schwarz criterion 5.626764 Log likelihood -23.52865 F-statistic 1202.220 Durbin-Watson stat 2.700212 Prob(F-statistic) 0.000000
  32. 32. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRÍA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Página 32 31/01/2008 Prueba sobre restricciones lineales i eXAXY iii  21 21 iiii XXAY   2211 lnlnlnln iiii XXY   22110 lnlnln No Restringida. Y= producción capitalXtrabajoX  21 Si existe rendimientos constates a escala   121   El método de la prueba t: Se estima la regresión con MCO, lo que se llama “regresión no restringida” y se realiza la siguiente prueba de hipótesis: 1: 210  H 1: 211  H   2 1 21 21 2 1 21 2121 1                                                   VarVar t                           212121 ,cov2  VarVarVar Si 2t : se rechaza la 0H , se acepta 1H Si 2t : no se rechaza 0H . El método de la prueba f: La idea es incorporar la restricción en la estimación de la regresión original: 21 1   12 1   i2i21i20 uXln)lnX1(ln  iY i1i2i21i0 u)XlnlnX(lnXln  iY Restringida i1i2i201i u)XlnlnX()lnX(ln  iY i1i2i201i u)X/X(ln)/Xln(  iY
  33. 33. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRÍA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Página 33 31/01/2008 Donde, )/X( 1iiY es la razón producto/trabajo, que son indicadores económicos importantes. Una vez que se estima 2 , 1 es de fácil acceso. Este procedimiento es conocido como “mínimos cuadrados restringidos” y tiene la cualidad de asegurar que la suma de las elasticidades es igual a 1. La suma total de cuadrados no tienes nada que ver con las variables explicativas.    kn SRC m SRCSRC F NR NRR            knSECSTC mSECSTCSECSTC F NR NRR    / /      knSECSTC mSECSTCSECSTC F NR NRR    / /      knSECSTC mSECSEC F NR RNR    / /  kn STC SEC m STC SEC STC SEC F NR RNR                /1 /      knR mRR F NR RNR    /1 / 2 22 Donde 22 RRNR  de la regresión no restringido. 22 RRR  de la regresión restringida m=k de restricciones lineales (n-k)= g de l de la regresión no restringida Si F> valor crítico de la F, se rechaza 0H , se acepta 1H Si F< valor crítico de la F, se acepto 0H (se confirma que la sumatoria de las 2 elasticidades es igual a 1)
  34. 34. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRÍA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Página 34 31/01/2008 FECHA: 2007-10-16 Consideremos la información de la tabla 8.8: P= Producto interno bruto, T= trabajo, K= capital LP = -1.652419 + 0.339732 (LT) + 0.845997 (LK) (0.606198) (0.185692) (0.093352) -2.725873 1.829548 9.062488 R2 = 0.995080 SRC = 0.013604 2/1 )]017034.0(2008715.0034481.0[ 1)845997.0339732.0(   t t = 1.943981 equation eq01.ls lp c lt lk Dependent Variable: LP Method: Least Squares Date: 10/15/07 Time: 07:26 Sample: 1955 1974 Included observations: 20 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C -1.652419 0.606198 -2.725873 0.0144 LT 0.339732 0.185692 1.829548 0.0849 LK 0.845997 0.093352 9.062488 0.0000 R-squared 0.995080 Mean dependent var 12.22605 Adjusted R-squared 0.994501 S.D. dependent var 0.381497 S.E. of regression 0.028289 Akaike info criterion -4.155221 Sum squared resid 0.013604 Schwarz criterion -4.005861 Log likelihood 44.55221 F-statistic 1719.231 Durbin-Watson stat 0.425667 Prob(F-statistic) 0.000000 Lo que quiere decir que no se rechaza la Ho; es decir, estadísticamente la suma de las dos elasticidades es 1. Existen rendimientos constantes a escala. iuKT  lnlnlnP 210  iuKT  lnln)1(lnP 220 
  35. 35. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRÍA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Página 35 31/01/2008 Nota= Mas adelante se revisará la prueba F, en ella hay un rango de tres a cinco, en caso de tener se tiene una gran número de observaciones caso contrario si es cercana a cinco hay número pequeño de observaciones. io uTKTP  )ln(lnlnln 2 io uTKTP  )ln(ln)ln(ln 2 iuTKTP  )/ln()/ln( 20  LPT=log(P/T) LKT=log(K/T) LPT=-0.494718+1.015301(LKT) (0.121816) (0.036124) -4.061175 28.10564 977721.02 R SRC=0.016629 equation eq02.ls LPT C LKT Dependent Variable: LPT Method: Least Squares Date: 10/16/07 Time: 09:27 Sample: 1955 1974 Included observations: 20 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C -0.494718 0.121816 -4.061175 0.0007 LKT 1.015301 0.036124 28.10564 0.0000 R-squared 0.977721 Mean dependent var 2.923680 Adjusted R-squared 0.976483 S.D. dependent var 0.198200 S.E. of regression 0.030395 Akaike info criterion -4.054470 Sum squared resid 0.016629 Schwarz criterion -3.954897 Log likelihood 42.54470 F-statistic 789.9271 Durbin-Watson stat 0.306521 Prob(F-statistic) 0.000000 Para la prueba F no podemos utilizar la relación que involucra al 2 R porque la variable dependiente de la regresión no restringida es diferente a la de la restringida; por tanto, usamos la que involucra a las SRC.   780138.3 17/013604.0 1/013604.0016629.0   F El valor critico de la F con 1 g. de l en el numerador y 17 grados de libertad en el denominador es 4.45 al 96% de confianza. 5 pocas observaciones 3 muchas
  36. 36. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRÍA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Página 36 31/01/2008 observaciones. En consecuencia, se acepta 0H , estadísticamente la suma de las dos elasticidades es 1, existen rendimientos constantes a escala. Prueba F global: control de lectura Econometría de series de tiempo: algunas ideas básicas El Problema: 1) El trabajo empírico como series de tiempo supone que éstas son estacionarias; de no ser el caso, las pruebas de hipótesis es una regresión Notas Extra: Estacionalidad= es un fenómeno que se encuentra persistentemente en fenómenos de cada año, por ejemplo las ventas en febrero, mayo y las fechas de entrega de obsequios. No se debe confundir estacionalidad con estacionariedad. En el trabajo para la tercera nota debemos revisar más de tres años de información. El año 2000 es el año de transición la información estadística no sirve para nada. Desde el 2002 a la fecha se debe tomar en cuenta. El tercer parcial se debe hacer aplicaciones desde el tema del problema. La primera hora de clase del 2008 debe ser entregado el trabajo. Se debe buscar información mensual de una empresa. 2) La autocorrelación se origina debido a que las series de tiempo involucradas son no estacionarias. 3) En las regresiones con series de tiempo con frecuencia se obtiene un R2 muy elevado, superior a 0.9, aunque no haya una relación significativa entre ellas. Situación que se conoce como el problema de la regresión espuria. 4) Los modelos de regresión con series de tiempo se utilizan para pronósticos; por tanto se desea saber si tal predicción es válida, cunado dichas series son no estacionarias. Producto Interno Bruto (PIB) = 630.0349 Ingreso Personal Disponible (IPD) = 477.3675 Gasto Consumo Personal (GCP) = 463.1134 Ganancias Corporativas después de impuestos (GCP) = 463.1134 Dividendos Corporativos Netos ( DIV) = 38.36447 En los exámenes se debe hacer ejercicios del GAN y el DIV. FECHA: 2007-10-23 Procesos Estocásticos Un proceso estocástico es una colección de variables aleatorias ordenadas en el tiempo.
  37. 37. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRÍA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Página 37 31/01/2008 Si Y es una variable aleatoria continua se denota como )(tY ; ejemplo, un electrocardiograma. Si Y es una variable aleatoria discreta, se denota como tY ; ejemplo el PIB. Si Y representa al PIB, entonces se tiene 8887321 ,........,, YYYYY ; cada una de estas Y es una variable aleatoria. El PIB o cualquiera de las variables macroeconómicas, es un proceso estocástico porque cada valor de cada trimestre es la realización particular de una infinidad de posibilidades económicas y políticas. La distinción entre un proceso estocástico y su realización es semejante a la diferencia entre población y muestra en datos transversales. Si en datos transversales, la muestra sirve para inferir en la población, de la misma forma, en las series de tiempo se emplea la realización para inferir respecto al proceso estocástico subyacente. Proceso Estocástico Estacionario Se dice que un proceso estocástico es estacionario si su media, su varianza y su autocovarianza (en los diferentes rezagos) permanecen iguales sin importar el momento en el cual se midan; caso contrario el proceso estocástico es no estacionario. Vamos a usar las imperfecciones de las series estacionarias para armar los modelos, posteriormente. La media y la varianza oscilan entren valores. Covarianza = correlación. Autocovarianza = autocorrelación. Sea tY una serie de tiempo estocástica: Media:   uYE t )( Varianza:     22 )()(  uYEYVar tt Autocovarianza:    uYuYE kttk  )( Si k = 0, 2 0   La autocovarianza es el producto de dos desviaciones con respecto a la media. Donde k , es la autocovarianza al rezago k, y es la covarianza entre los valores de tY y ktY  ; es decir, entre dos valores Y que están separados k periodos. El problema de las series de tiempo no estacionarias es que solo se puede estudiar su comportamiento durante ese periodo particular y no se puede generalizar para los otros periodos. Para propósitos de pronósticos, las series de tiempo no estacionarias tendrán un valor práctico insignificante.
  38. 38. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRÍA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Página 38 31/01/2008 Un proceso puramente aleatorio o “ruido blanco” es aquel que tiene una media igual a cero, una varianza constante 2  y no está autocorrelacionada. Si el término de error tu del modelo de una regresión lineal es ruido blanco, se dice que dicha regresión no adolece de autocorrelación y está correctamente estimada. Trabajo: 1.-Antecedentes, descripción de la variable macroeconómica, parte de que es. Explicación de la variable (al menos dos páginas). En el caso de ser una empresa se debe poner en contexto el marco de la empresa visión, misión, objetivos, entre otras. 2.- Marco teórico, todas las fórmulas. 3.-Marco empírico. No se escribe las fórmulas. Cuadros y gráficos analizados. La explicación (muy importante). 4.- Conclusiones. Comparación entre septiembre, octubre, noviembre comparación con el campo real. Diciembre, octubre y febrero proscripción. Revisar capítulo 21 y 22 para la realización del trabajo. Notas:  Para le prueba hay un entrelazamiento entre el e-views y el Excel.  Es mejor obtener la primera y segunda diferencia en el software Excel.  Una serie no estacionaria es una serie que aumenta paulatinamente o que disminuye paulatinamente.  Si una serie va disminuyendo también es no estacionario.
  39. 39. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRÍA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Página 39 31/01/2008 Ejemplo de una serie no estacionaria: La serie no estacionaria está plagada de autocorrelación. 2800 3200 3600 4000 4400 4800 5200 70 72 74 76 78 80 82 84 86 88 90 PIB
  40. 40. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRÍA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Página 40 31/01/2008 Ejemplo de una serie estacionaria: No hay gran oscilación de la media de los valores. Otra serie más estacionaria: -120 -80 -40 0 40 80 120 70 72 74 76 78 80 82 84 86 88 90 D1PIB -120 -80 -40 0 40 80 120 70 72 74 76 78 80 82 84 86 88 90 D2PIB
  41. 41. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRÍA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Página 41 31/01/2008 Media 70Q1-74Q4 75Q1-79Q4 80Q1-84Q4 85Q1-89Q4 PIB 3091,78 3527,21 3886,98 4555,94 D1PIB 18,61 29,41 18,98 32,27 D2PIB -0,01 0,99 1,04 -0,68 Varianza PIB 161,24 219,46 152,23 211,8 D1PIB 32,75 36,95 50,03 17,53 D2PIB 43,99 47,52 55,03 24,1 FECHA: 2007-10-25 Pruebas de Estacionariedad: Prueba Gráfica: El primer paso para analizar una serie de tiempo, es el gráfico, lo cual, proporciona una clave inicial sobre naturaleza de esa serie. Función de autocorrelación y correlograma: Una prueba sencilla de estacionariedad está la basada en la “función de de autocorrelación muestral”. La ACF muestral al rezago K es: ianza arianzaauto YY YYYY t kttk k var cov )( ))(( ˆ ˆ ˆ 2 0           Donde kˆ = coeficiente de autocoerrelación kˆ = autocovarianza y 0 ˆ = varianza y Y = media muestral. PAC= Promedios móviles. Ejemplo: En el correlograma del PIB está plagada de barras grises es decir de autocorrelación. Los d1 y d2 PIB, no existe correlación. La primera es no estacionaria, mientras la segunda y tercera son estacionarias.
  42. 42. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRÍA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Página 42 31/01/2008 Si se grafica k   frente a k se obtiene el correlograma muestral. La elección del número de rezagos es totalmente empírica, una buena costumbre es escoger un valor entre el tercio o cuarto de la longitud de la serie de tiempo. En nuestro ejemplo, escogemos 25 que se encuentra entre 22 y 29. La significación estadística de cualquier k   puede juzgarse mediante su error estándar.Según Barlet los coeficientes de autocorrelación muestrales son aproximadamente. )1,0( N Nk   Donde u es el tamaño de la muestra; al 95% del nivel de confianza. 2 1 2 1 )1(96.1)1(96.1 nn k    2 1 2 1 ) 88 1(96.1) 88 1(96.1   k 209.0209.0   k 0:0   kH  0:1   kH  Si k   esta dentro del intervalo se acepta 0H ; no hay autocorrelación. Si k   está fuera del intervalo se acepta la 1H ; hay autocorrelación.
  43. 43. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRÍA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Página 43 31/01/2008     2 1 2 1 87 196.1 87 196.1   k 210.0210.0   k     2 1 2 1 86 196.1 86 196.1   k 211.0211.0   k El coeficiente de Bartlett es la diferencia entre la línea central y la línea segmentada. Si la franja no cruza la línea entrecortada no hay autocorrelación. En la primera diferencia el coeficiente varia por que no disminuye en 1. En la segunda diferencia se pierden dos observaciones y por eso varia de nuevo el coeficiente de Bartlett. FECHA: 2007- 10 - 30 Análisis de LJUN-BOX Si se desea probar la hipótesis conjunta de que todos los kˆ son simultáneamente iguales a cero, se recurre al estadígrafo LJUN-BOX:          m k k LB kn nnQ 1 2 ˆ )2(  Donde n es el tamaño de la muestra y m es la longitud del rezago. LBQ es aproximadamente una distribución 2  con g de l. H0: todos los 0k H1: todos los 0k Si LBQ > valor crítico de la tabla 2  , se acepta H1, la serie es no estacionaria. Si LBQ < valor crítico de la tabla 2  , se acepta H0, la serie es estacionaria. - El PAC mide los promedios móviles . - El q stat es el Ljun Box. -Mientras se disminuye el valor deL Ljung Box sube el valor probabilístico de igual forma que con la F.
  44. 44. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRÍA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Página 44 31/01/2008 6114.142 %95,25  LBQ LBQ PIB 891.25 No estacionaria IPD 940.50 No estacionaria D(PIB) 38.406 No estacionaria 1era IPD 28.130 No estacionaria D (PIB,2) 54.861 No estacionaria 2da IPD 65.266 No estacionaria La diferencia entre 38.406 y 14.6114 es reducida. Por lo que podemos tener la idea de que tiene niveles de estacionariedad. En software e - views se visualiza de la siguiente manera en el caso del PIB: Prueba de Raíz Unitaria Dickey-Fuller desarrollaron la prueba de raíz unitaria; el punto de inicio es el proceso estocástico de raíz unitaria.
  45. 45. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRÍA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Página 45 31/01/2008 ttt uYY  1 Si 1 se dice que tY tiene problema de raíz unitaria, y por tanto la serie es no estacionaria. Sin embargo, para concluir que 1 , el estadígrafo t no tiene una distribución normal asintótico; por tanto, Mac-Kimmer construyó el estadígrafo Tau )( a cuyos valores hay que referirse. H0: 1 H1: todos los 1 Si   crítico, se acepta Ho; hay problemas de raíz unitaria y la serie es no estacionaria. Pero si hay la sospecha de que la serie es estacionaria, se sigue la prueba usual de la t de Student. EQ01 PIB PIB (-1) no estacionara RPIB = PIB (-1) EQ02 D (PIB) D (PIB (-1)) estacionara R1PIB = D (PIB (-1)) EQ03 D (PIB,2) D(PIB(-1),2) estacionara R2PIB = D (PIB(-1),2) EQ04 IPD IDP (-1) no estacionaria EQ05 D (IPD) D (IDP (-1)) estacionaria EQ06 D (IPD, 2) D (IDP (-1),2) estacionaria FECHA: 2007-10-31 Por razones teóricas, Dickey y Fuller dan un paso adelante, se resta 1tY , en ambos lados de la ecuación anterior. ttt uYY  1 ttttt uYYYY   111)(  ttt uYY  1 1  m=1 45° Yt-1 Yt
  46. 46. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRÍA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Página 46 31/01/2008 0: Ho 0:1 H Si  >  crítico, se acepta la 0: Ho , 1 hay problemas de raíz unitaria y la serie es no estacionaria. Pero si se sospecha de que la serie es estacionaria se sigue la prueba de la t student. Hacer Gráficos PIB RPIB D1PIB R1PIB D2PIB R2PIB Si se le obliga a pasar por el origen los mínimos cuadrados no se cumplen. Esa la razón para que la prueba de hipótesis este distorsionada. Se deben considerara los procesos no estocásticos que se debe incluir en el marco teórico de la investigación. En el ejemplo: Analizando el PIB: d(pib) pib(-1) no estacionaria equation eq01.ls d(pib) pib(-1) Dependent Variable: D(PIB) Method: Least Squares Date: 10/31/07 Time: 09:03 Sample (adjusted): 1970Q2 1991Q4 Included observations: 87 after adjustments Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. PIB(-1) 0.005765 0.000994 5.798077 0.0000 R-squared -0.015192 Mean dependent var 22.93333 Adjusted R-squared -0.015192 S.D. dependent var 35.93448 S.E. of regression 36.20640 Akaike info criterion 10.02778 Sum squared resid 112737.7 Schwarz criterion 10.05612 Log likelihood -435.2083 Durbin-Watson stat 1.340574 Vamos ahora a revisar la estacionariedad de la primera diferencia: d(pib,2) d(pib(-1)) Por lo tanto es estacionaria. Asi que -5.181149 es estadísticamente significativo, es decir verdadero y representa a la T student. No hay necesidad de irse al Unit Root Test.
  47. 47. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRÍA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Página 47 31/01/2008 equation eq02.ls d(pib,2) d(pib(-1)) Dependent Variable: D(PIB,2) Method: Least Squares Date: 10/31/07 Time: 09:13 Sample (adjusted): 1970Q3 1991Q4 Included observations: 86 after adjustments Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. D(PIB(-1)) -0.479621 0.092570 -5.181149 0.0000 R-squared 0.239996 Mean dependent var 0.206977 Adjusted R-squared 0.239996 S.D. dependent var 42.04441 S.E. of regression 36.65355 Akaike info criterion 10.05246 Sum squared resid 114196.1 Schwarz criterion 10.08100 Log likelihood -431.2557 Durbin-Watson stat 2.192062 Existe la sospecha de estacionariedad. Ahora a revisaremos la estacionariedad de la tercera diferencia: equation eq03.ls d(pib,3) d(pib(-1),2) Como el estadígrafo no es cero tenemos una t de Student. Dependent Variable: D(PIB,3) Method: Least Squares Date: 10/31/07 Time: 09:20 Sample (adjusted): 1970Q4 1991Q4 Included observations: 85 after adjustments Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. D(PIB(-1),2) -1.396111 0.099348 -14.05278 0.0000 R-squared 0.701542 Mean dependent var -0.770588 Adjusted R-squared 0.701542 S.D. dependent var 70.42644 S.E. of regression 38.47489 Akaike info criterion 10.14958 Sum squared resid 124346.7 Schwarz criterion 10.17832 Log likelihood -430.3573 Durbin-Watson stat 2.113405 Con respecto al IPD: equation eq04.ls d(IPD,2) IPD(-1) es no estacionaria. Dependent Variable: D(IPD)
  48. 48. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRÍA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Página 48 31/01/2008 Method: Least Squares Date: 10/31/07 Time: 09:26 Sample (adjusted): 1970Q2 1991Q4 Included observations: 87 after adjustments Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. IPD(-1) 0.006115 0.001072 5.705903 0.0000 R-squared -0.026675 Mean dependent var 17.89540 Adjusted R-squared -0.026675 S.D. dependent var 27.92843 S.E. of regression 28.29847 Akaike info criterion 9.534920 Sum squared resid 68869.09 Schwarz criterion 9.563264 Log likelihood -413.7690 Durbin-Watson stat 2.054157 Es no estacionaria. El delta es cero, por lo tanto es  . Analizando con los calores críticos de MacKinnon. Advertimos que los valores críticos dependen de los valores de confianza. Con el UNIT ROOT TEST Null Hypothesis: IPD has a unit root Exogenous: None Lag Length: 0 (Fixed) t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic 5.705903 1.0000 Test critical values: 1% level -2.591813 5% level -1.944574 10% level -1.614315 *MacKinnon (1996) one-sided p-values. Con respecto al IPD2 equation eq05.ls d(IPD,2) D(IPD(-1)) es estacionaria. Dependent Variable: D(IPD,2) Method: Least Squares Date: 10/31/07 Time: 09:31 Sample (adjusted): 1970Q3 1991Q4 Included observations: 86 after adjustments Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
  49. 49. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRÍA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Página 49 31/01/2008 D(IPD(-1)) -0.745190 0.104404 -7.137588 0.0000 R-squared 0.374723 Mean dependent var -0.254651 Adjusted R-squared 0.374723 S.D. dependent var 40.66999 S.E. of regression 32.15957 Akaike info criterion 9.790857 Sum squared resid 87910.24 Schwarz criterion 9.819396 Log likelihood -420.0069 Durbin-Watson stat 2.112660 Con respecto al IPD3 equation eq06.ls d(IPD,2) D(IPD(-1)) es estacionaria Dependent Variable: D(IPD,3) Method: Least Squares Date: 10/31/07 Time: 09:33 Sample (adjusted): 1970Q4 1991Q4 Included observations: 85 after adjustments Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. D(IPD(-1),2) -1.502741 0.094321 -15.93217 0.0000 R-squared 0.751357 Mean dependent var 0.110588 Adjusted R-squared 0.751357 S.D. dependent var 70.92066 S.E. of regression 35.36399 Akaike info criterion 9.980960 Sum squared resid 105051.4 Schwarz criterion 10.00970 Log likelihood -423.1908 Durbin-Watson stat 2.437722 Por razones de inconsistencia en las dos pruebas de hipótesis anteriores Dickey y Fuller introducen dos cambios: 1.-Inclusión de la intersección: ttt uYY  11  2.- El acerca de la tendencia: ttt uYTY  121  Y para ambos casos: 1,0:  Ho 0: Ho ; 1 Si  >  crítico, se acepta la 1H , no hay problemas de raíz unitaria y la serie es estacionaria.
  50. 50. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRÍA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Página 50 31/01/2008 Si  <  crítico, se acepta la 0H , hay problemas de raíz unitaria y la serie es no estacionaria. Siguiendo con el ejemplo:  equation eq07.ls d(pib) c pib(-1) se acepta la hipótesis nula, es decir la serie es no estacionara. Dependent Variable: D(PIB) Method: Least Squares Date: 10/31/07 Time: 09:47 Sample (adjusted): 1970Q2 1991Q4 Included observations: 87 after adjustments Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 28.20542 24.36532 1.157605 0.2503 PIB(-1) -0.001368 0.006242 -0.219165 0.8270 R-squared 0.000565 Mean dependent var 22.93333 Adjusted R-squared -0.011193 S.D. dependent var 35.93448 S.E. of regression 36.13503 Akaike info criterion 10.03512 Sum squared resid 110987.9 Schwarz criterion 10.09181 Log likelihood -434.5278 F-statistic 0.048033 Durbin-Watson stat 1.351998 Prob(F-statistic) 0.827047 Null Hypothesis: PIB has a unit root Exogenous: Constant Lag Length: 0 (Fixed) t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -0.219165 0.9310 Test critical values: 1% level -3.507394 5% level -2.895109 10% level -2.584738 *MacKinnon (1996) one-sided p-values. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(PIB) Method: Least Squares Date: 10/31/07 Time: 09:47 Sample (adjusted): 1970Q2 1991Q4 Included observations: 87 after adjustments
  51. 51. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRÍA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Página 51 31/01/2008 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. PIB(-1) -0.001368 0.006242 -0.219165 0.8270 C 28.20542 24.36532 1.157605 0.2503 R-squared 0.000565 Mean dependent var 22.93333 Adjusted R-squared -0.011193 S.D. dependent var 35.93448 S.E. of regression 36.13503 Akaike info criterion 10.03512 Sum squared resid 110987.9 Schwarz criterion 10.09181 Log likelihood -434.5278 F-statistic 0.048033 Durbin-Watson stat 1.351998 Prob(F-statistic) 0.827047  equation eq08.ls d(pib,2) c d(pib(-1)) es estacionaria. Dependent Variable: D(PIB,2) Method: Least Squares Date: 10/31/07 Time: 09:50 Sample (adjusted): 1970Q3 1991Q4 Included observations: 86 after adjustments Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 16.00498 4.396717 3.640211 0.0005 D(PIB(-1)) -0.682762 0.102975 -6.630339 0.0000 R-squared 0.343552 Mean dependent var 0.206977 Adjusted R-squared 0.335737 S.D. dependent var 42.04441 S.E. of regression 34.26717 Akaike info criterion 9.929234 Sum squared resid 98636.06 Schwarz criterion 9.986311 Log likelihood -424.9570 F-statistic 43.96140 Durbin-Watson stat 2.034425 Prob(F-statistic) 0.000000  equation eq09.ls d(pib,3) c d(pib(-1),2) estacionaria Dependent Variable: D(PIB,3) Method: Least Squares Date: 10/31/07 Time: 09:54 Sample (adjusted): 1970Q4 1991Q4 Included observations: 85 after adjustments Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C -0.203950 4.198389 -0.048578 0.9614 D(PIB(-1),2) -1.396064 0.099948 -13.96796 0.0000 R-squared 0.701550 Mean dependent var -0.770588 Adjusted R-squared 0.697955 S.D. dependent var 70.42644
  52. 52. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRÍA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Página 52 31/01/2008 S.E. of regression 38.70543 Akaike info criterion 10.17308 Sum squared resid 124343.1 Schwarz criterion 10.23056 Log likelihood -430.3561 F-statistic 195.1039 Durbin-Watson stat 2.113539 Prob(F-statistic) 0.000000  Analizando el IPD, tenemos: IPD no estacionaria. D(IPD) estacionaria. D(IPD,2) estacionaria. Continuando con el ejercicio: D(PIB) C T(-1) PIB(-1) PIB No estacionaria. D (PIB) No estacionaria. D (PIB, 2) estacionaria. IPD No estacionaria. D (IPD) No estacionaria. D (IPD, 2) No estacionaria. FECHA: 2007-11-06 Si el término de error tu sigue autocorrelacionado, la última ecuación se modifica y toma el nombre de Dickey-Fuller Aumentada. tttt YYTY    11121 ttttt YYYTY    2211121 El número de términos en diferencia rezagadas se determina empíricamente hasta que el término de error sea ruido blanco. La prueba de hipótesis es la misma que la anterior. El Dikey F. es menor que todos los valores críticos de Mackinnon. En el ejercicio: Lag Length: 4 (Fixed)    m i ttitt YYTY 1 1121 
  53. 53. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRÍA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Página 53 31/01/2008 t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -3.407420 0.0574 Test critical values: 1% level -4.073859 5% level -3.465548 10% level -3.159372 *MacKinnon (1996) one-sided p-values. Quiere decir que existe hasta el 95% del nivel de confianza estacionariedad PIB: 0 -0.685320 1 0.085875 2 -0.035363 3 -0.090404 4 -0.027794 * 2.735240 Serie no estacionaria. ))4(())3(())2(())1(()1()( 43221  PIBDPIBDPIBDPIBDPIBPIBD  D (PIB): 0 0.035932 1 -0.055398 2 -0.096699 3 -0.054741 4 0.000229 * 3,407420 Estacionaria hasta el 90 % de confianza. )2),4(()2),3(()2),2(()2),1(())1(()2,( 43221  PIBDPIBDPIBDPIBDPIBPIBD  D (PIB, 2): 0 0.113511 1 -0.009876 * 9.104147 estacionaria 2 0.011534 3 0.033473 4 0.018194 Estacionaria hasta el 90 % de confianza. )3),1(()2),1(()3,( 21  PIBDPIBDPIBD 
  54. 54. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRÍA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Página 54 31/01/2008 FECHA: 2007-11-08 EL PROBLEMA: 1) ¿Cómo se diseña un modelo con una serie de tiempo estacionaria? 2) ¿Cómo se utiliza el modelo para fines de pronóstico? Enfoques para la predicción económica: - Modelos de alisamiento exponencial: ajustan una curva apropiado a datos históricos de una serie de tiempo. Este tipo de ecuaciones tiene aplicaciones microeconómicas. - Modelos uniecuacionales: Tienen el problema que los errores de predicción aumentan rápidamente en el futuro. Es un modelo con una regresión. Solo sirve para obtener estadígrafos. No sirve para pronóstico. - Modelos de ecuaciones simultáneas: Tuve vigencia hasta la crítica de Lucas. Además su apogeo perduró a lo largo de las décadas de los sesenta y setenta. Cuando la economía se calienta = La tasa de inflación al alza. Los parámetros de un modelo econométrico dependen de la política prevaleciente y cambiaran s hay un cambio de política los parámetros no son constantes ante cambios de política. La crítica de Lucas se pone en vigencia con los cambios estructurales. -Metodología de Box-Jenkins: Sus propulsores son llamadas “ateórico”. También es conocida como ARIMA, enfatiza el análisis de las propiedades probabilísticas de las series de tiempo bajo la filosofía de permitir que la información hable por si misma. Yt puede ser explicada por valores rezagados de si mismo y por términos estocásticos de error (am) por esta razón, reciben el nombre de modelos “a-teóricos”. Por enfatizar la estadística. - Metodología VAR: Propuesta por Cristopher Sims, que considera diversas variables endógenas de manera conjunta. ; pero cada variable endógena es explicada por sus valores agregados de las demás varables endógenas. No hay variables exógenas en el modelo. Enuncio acerca de: y=f(x) x=f(y) Además critico al análisis con la de t Student. Elaboración de los modelos de Proceso autoregresivo: Elaboración de los modelos Proceso autoregresivo (AR)
  55. 55. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRÍA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Página 55 31/01/2008 Si tY es una serie de tiempo estacionaria y se puede modelar como:     ttt YY   11 Donde  es la media de tY y t es el vector de errores no correlacionados con media cero y varianza 2  (ruido blanco); entonces, tY sigue un proceso autoregresivo de 1er orden, AR (1).   ttt YY   1111 Si tY es una serie de tiempo estacionaria se puede modelar como:       tttt YYY    2211 tttt uYYY    22211 tttt uYYY   221121 )1(  En general: tptpttt uYYYY   )()()()( 2211   tY sigue un proceso autorregresivo de valores p,AR(p). tppttpt uYYYY   1221121 )1(   Ejercicio de E views: D(PIB) k=1 k=8 k=8 equation eq01.ls d(pib) c d(pib(-1)) d(pib(-8)) d(pib(-12)) )3:884:88(ˆ)3:894:89(ˆ)2:913:91(ˆˆ)3:914:91( 321  O )3:884:88(ˆ)3:894:89(ˆ)2:913:91(ˆˆ)3:91()4:91( 321  O )4:881:89(ˆ)4:891:90(ˆ)3:914:91(ˆˆ)4:91()1:92( 321  O (92:1)=4868.0+28.19371+0.342768(4868.0-4862.7)-0.299466(4880.8-4859.7)-0.264371(4809.8-4779.7) (92:1)=4883.734 D(PIB) C AR(1) AR(8) AR(12)
  56. 56. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRÍA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Página 56 31/01/2008 Dependent Variable: D(PIB) Method: Least Squares Date: 11/08/07 Time: 09:35 Sample (adjusted): 1973Q2 1991Q4 Included observations: 75 after adjustments Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 28.19371 5.576752 5.055578 0.0000 D(PIB(-1)) 0.342768 0.098794 3.469531 0.0009 D(PIB(-8)) -0.299466 0.101599 -2.947523 0.0043 D(PIB(-12)) -0.264371 0.098582 -2.681742 0.0091 R-squared 0.293124 Mean dependent var 21.52933 Adjusted R-squared 0.263256 S.D. dependent var 36.55936 S.E. of regression 31.38030 Akaike info criterion 9.782096 Sum squared resid 69915.33 Schwarz criterion 9.905695 Log likelihood -362.8286 F-statistic 9.813965 Durbin-Watson stat 1.766317 Prob(F-statistic) 0.000017 Variables significativas 3.469531 -2.947523 -2.681742 FECHA: 2007-11-13 EQUATION EQ01.LS D(PIB) C AR(1) AR(8) AR(12) Cambiamos la fecha:
  57. 57. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRÍA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Página 57 31/01/2008 Dependent Variable: D(PIB) Method: Least Squares Date: 11/13/07 Time: 08:50 Sample (adjusted): 1973Q2 1991Q4 Included observations: 75 after adjustments Convergence achieved after 3 iterations Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 23.08936 2.980356 7.747181 0.0000 AR(1) 0.342768 0.098794 3.469531 0.0009 AR(8) -0.299466 0.101599 -2.947523 0.0043 AR(12) -0.264371 0.098582 -2.681742 0.0091 R-squared 0.293124 Mean dependent var 21.52933 Adjusted R-squared 0.263256 S.D. dependent var 36.55936 S.E. of regression 31.38030 Akaike info criterion 9.782096 Sum squared resid 69915.33 Schwarz criterion 9.905695 Log likelihood -362.8286 F-statistic 9.813965 Durbin-Watson stat 1.766317 Prob(F-statistic) 0.000017 Inverted AR Roots .92-.28i .92+.28i .61-.59i .61+.59i .31+.87i .31-.87i -.25+.88i -.25-.88i -.57-.59i -.57+.59i -.85+.28i -.85-.28i Observamos a las celdas vacías Last updated: 11/13/07 - 08:52 1970Q1 2872.8 1970Q2 2860.3 1970Q3 2896.6 1970Q4 2873.7 1971Q1 2942.9 1971Q2 2947.4 1971Q3 2966 1971Q4 2980.8 1972Q1 3037.3 1972Q2 3089.7 1972Q3 3125.8 1972Q4 3175.5 1973Q1 3253.3 1973Q2 3267.6 1973Q3 3264.3 1973Q4 3289.1 1974Q1 3259.4 1974Q2 3267.6
  58. 58. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRÍA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Página 58 31/01/2008 1974Q3 3239.1 1974Q4 3226.4 1975Q1 3154 1975Q2 3190.4 1975Q3 3249.9 1975Q4 3292.5 1976Q1 3356.7 1976Q2 3369.2 1976Q3 3381 1976Q4 3416.3 1977Q1 3466.4 1977Q2 3525 1977Q3 3574.4 1977Q4 3567.2 1978Q1 3591.8 1978Q2 3707 1978Q3 3735.6 1978Q4 3779.6 1979Q1 3780.8 1979Q2 3784.3 1979Q3 3807.5 1979Q4 3814.6 1980Q1 3830.8 1980Q2 3732.6 1980Q3 3733.5 1980Q4 3808.5 1981Q1 3860.5 1981Q2 3844.4 1981Q3 3864.5 1981Q4 3803.1 1982Q1 3756.1 1982Q2 3771.1 1982Q3 3754.4 1982Q4 3759.6 1983Q1 3783.5 1983Q2 3886.5 1983Q3 3944.4 1983Q4 4012.1 1984Q1 4089.5 1984Q2 4144 1984Q3 4166.4 1984Q4 4194.2 1985Q1 4221.8 1985Q2 4254.8 1985Q3 4309 1985Q4 4333.5 1986Q1 4390.5 1986Q2 4387.7 1986Q3 4412.6 1986Q4 4427.1
  59. 59. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRÍA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Página 59 31/01/2008 1987Q1 4460 1987Q2 4515.3 1987Q3 4559.3 1987Q4 4625.5 1988Q1 4655.3 1988Q2 4704.8 1988Q3 4734.5 1988Q4 4779.7 1989Q1 4809.8 1989Q2 4832.4 1989Q3 4845.6 1989Q4 4859.7 1990Q1 4880.8 1990Q2 4900.3 1990Q3 4903.3 1990Q4 4855.1 1991Q1 4824 1991Q2 4840.7 1991Q3 4862.7 1991Q4 4868 1992Q1 1992Q2 1992Q3 1992Q4 Y obtenemos una serie PIB F.
  60. 60. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRÍA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Página 60 31/01/2008 Hacemos un grupo con el PIB Y EL PIB F y completamos las cuatro predicciones. Nota: La aplicaciones de “Dynamic” son para convergencia. El test de convergencia no es infalible. En el static se utiliza los valores digitados. Según Chistopher Sims el 1.79 es válido EL CASO DEL ipd. El mejor es el promedio. D(PIB) C AR(1) AR(8) AR(12) D(PIB,2) C AR(1) AR(8) AR(12) D(IPD) C AR(25) D(IPD) C AR(5) D(IPD) C AR(21) AR(25) D(IPD) D(IPD,2) AR(25) AR(5) AR(21,25) AR(1) AR(20) AR(25) Q1 3566,306 3574,018 3561,018 Q2 3591,854 3599,857 3588,737 Q3 3618,695 3616,657 3601,634 Q4 3629,643 3638,328 3617,329
  61. 61. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRÍA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Página 61 31/01/2008 D(PIB) D(PIB,2) AR(1,8,12) AR(1,8,12) Q1 4883,734 4877,902 Q2 4905,506 4889,48 Q3 4936,774 4909,662 Q4 4986,392 4947,918 FECHA: 2007-11-20 Proceso de Media Móvil Si tY es una serie de tiempo estacionaria, y se puede modelar como: 110  ttt uuY  Donde  es una constante y tu es el vector de errores estocásticos, ruido blanco, se dice que tY sigue un proceso de media móvil de primer orden, MA (1). Si tY es una serie de tiempo estacionaria, y se puede modelar como: 22110   tttt uuuY  Se dice que tY sigue un proceso de media móvil de segundo orden MA (2). En general: ktktttt uuuuY    ........22110 Se dice que tY sigue un proceso de media móvil de q orden MA (q). EQ01: D(PIB) c MA(1) MA(8) MA(12) EQ02: D(PIB,2) c MA(1) MA(2) MA(8) MA(12) MA(24) EQ03: (PIB,2) c MA(1) MA(8) MA(24) FECHA: 2007-11-27 Proceso Autorregresivo y de Media Móvil (ARMA) Se debe tomar en cuenta que el análisis es al nivel cuando es estacionaria.
  62. 62. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRÍA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Página 62 31/01/2008 En ocasiones una serie de tiempo tY es estacionaria al nivel y puede tener características de AR y MA, simultáneamente; entonces es un proceso ARMA. Si tY es una serie de tiempo estacionaria al nivel y se puede modelar como: 11011   tttt uuYY  tY sigue un proceso autorregresivo de 1er orden y media móvil de 1er orden ARMA (1,1). En general, en un proceso ARMA (p, q) habrá p términos autorregresivos y q términos de media móvil. Proceso Autorregresivo Integrado de Media Móvil (ARIMA) La diferencia entre el ARMA y el ARIMA consiste en que en el segundo se trabaja con la primera y la segunda diferencia. Se incerta la d, para conocer si se trata de la primera o la segunda diferencia. Si tY es una serie de tiempo que en (d) diferencias se vuelve estacionaria, se dice que la original es ARIMA (p, d, q), un proceso autorregresivo integrado de media móvil donde p es el número de términos autorregresivos, (d) es el número de veces que debe ser diferenciada para volverse estacionaria y (q) es el número de términos de media móvil. El objetivo de Jenkins es identificar un modelo estadístico que pueda ser interpretado como generador de la información muestral. Si ese modelo se utiliza para predicción, se debe suponer que sus características son estables o constantes en el tiempo, especialmente en el futuro. Si tenemos una serie descendente o ascendente es no estacionaria. Si la serie va ascendiendo sabemos que las características de cada trama son cambiantes, por lo tanto no podemos trabajar de ese modo. En el caso de que sea estacionara los estadígrafos probabilísticas son semejantes y las características en el futuro se van a mantener. FECHA: 2007-11-29 Vectores Autorregresivos (VAR): En los modelos uniecuacionales y de ecuaciones simultáneas las variables deben ser identificadas como endógenas o exógenas, decisión que según Christopher Sims, a menudo es subjetiva y más bien no debe haber ninguna distinción.
  63. 63. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRÍA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Página 63 31/01/2008 “Toda teoría económica responder a una decisión política”. “Las diferentes personas que trabaja en un tema pueden tener criterios encontrados” En los modelos VAR el término autorregresivo se refiere a la aparición de los valores rezagados de la variable dependiente en el lado derecho de la regresión. Supongamos el caso de GCP e IPD. t i iti i itit uIPDGCPGCP       4 1 4 1 1  t i iti i itit uIPDGCPIPD       4 1 4 1 2  En los modelos VAR no cuenta la significación individual (t de student), solamente la conjunta, es decir, la prueba F. Los valores críticos de la F, es de 3 a 5. En el ejemplo: VAR (GCP-IPD) Los modelos ARIMA son totalmente separados de los modelos autoregresivos. Con diez informaciones no se debe hacer un VAR, ya que con cinco grados libertad no se hace nada. Con veinte informaciones se hace con dos rezagos. Con más de treinta se hace con cuatro rezagos.
  64. 64. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRÍA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Página 64 31/01/2008 GCP IPD PIB Var(GCP-IDP) VAR(GCP-IPD) VAR(IPD-PIB) Q1 3283,89 3558,195 4884,667 Q2 3298,663 3574,498 4897,425 Q3 3314,122 3590,785 4911,712 Q4 3329,653 3607,223 4926,612 VAR(GCP-PIB) VAR(IPD-PIB) VAR(GCP-PIB) Q1 3286,835 3563,151 4881,596 Q2 3302,772 3575,642 4899,013 Q3 3315,812 3585,408 4920,299 Q4 3331,637 3597,378 4940,254 En el caso del PIB: Nota Adicional: Friedman expone a las expectativas adaptativas. Sin embargo Sims realiza algunas modificaciones llegando a:
  65. 65. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRÍA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Página 65 31/01/2008 ...)2()1(...)2()1( 23210  iiiii YYXXY 

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