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control de un sistema Ball & Beam

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    Ball and beam Ball and beam Document Transcript

    • UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA Y TECNOLÓGICA DE COLOMBIA FACULTAD SEDE SOGAMOSO ESPECIALIZACIÓN EN AUTOMATIZACIÓN INDUSTRIAL Modelamiento y sistema de control para un sistema Ball & Beam de Viga soportada en el eje central Danny Mauricio Mesa Danny3m@hotmail.com Jairo Hernando Rojas Jairohrojasp@gmail.com Especialización en Automatización Industrial UPTCAbstractThe ball and beam system is also called ‘balancing a ball on a beam’. It is generally linked to real controlproblems such as horizontally stabilizing an airplane during landing and in turbulent airflow. There aretwo degrees of freedom in this system. One is the ball rolling up and down the beam, and the other is beamrotating through its central axis. The aim of the system is to control the position of the ball to a desiredreference point, and reject disturbances such as a push from a finger. The control signal can be derived byfeeding back the position information of the ball. The control voltage signal goes to the DC motor via apower amplifier,then the torque generated from the motor drives the beam to rotate to the desired angle.Thus, the ball can be located at the desired position.Resumen: lazo abierto el sistema es inestable por tanto se requieren técnicas de control que permitanEl sistema de bola y viga también llamada “pelota estabilizar el sistema.en equilibrio”. En general se relaciona conproblemas reales de control, tales como estabilizar Hay dos configuraciones para apoyar la viga. Unahorizontalmente un avión durante el aterrizaje y en configuración se muestra en la Figura 1.1, queel flujo de aire turbulento. Hay dos grados de ilustra que la viga está soportada en el medio, ylibertad en este sistema. Uno de ellos es el gira contra su eje central. La mayoría de estosbalanceo de la bola hacia arriba y abajo de la viga, sistemas utiliza este tipo de configuración. Lay el otro es la viga que gira sobre su eje. El ventaja de este es que es fácil de construir, y elobjetivo del sistema es el control de la posición de modelo matemático es relativamente simple. Lala pelota a un punto de referencia deseado, y otra configuración se muestra en la figura 1.2. Larechazar perturbaciones tales como el empuje de viga está soportada en ambos lados por dos brazosun dedo. La señal de control puede ser derivada de nivel. Uno de los brazos de nivel se consumía,por la realimentación de la información de la y el otro está acoplado al engranaje de salida. Laposición de la bola. La señal de voltaje de control desventaja de esta configuración es una mayorva al motor de CC a través de un amplificador de consideración de partes mecánicas, y esto puedepotencia, entonces el par generado desde el motor añadir dificultades para derivar un modeloacciona el haz para girar en el ángulo deseado. Por matemático. La ventaja de este sistema es quelo tanto, la pelota puede estar situada en la utiliza un motor relativamente pequeño debido alposición deseada. efecto de apalancamiento. 1. Introducción:El sistema del "Ball and Beam" consiste de unaviga sostenida por un motor y una bola situadasobre la viga. Este sistema tiene como propósitolograr mantener la bola en una posición deseada.Por tal razón requiere que se controle tanto elángulo de la viga como la posición de la bola. En figura 1.1 Viga soportada en el centro Especialización en Automatización Industrial
    • UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA Y TECNOLÓGICA DE COLOMBIA FACULTAD SEDE SOGAMOSO ESPECIALIZACIÓN EN AUTOMATIZACIÓN INDUSTRIAL figura 2. Esquema del servomotorFigura 1.2 Viga soportada en ambos extremos. El par T desarrollado por el motor es proporcional a la corriente de la armadura, y al flujo magnéticoEn este documento nos centraremos en el sistema en el entrehierro, el que a su vez es proporcional ade Viga soportada en el centro. la corriente del campo. O bien donde Kf es una constante. El par T se puede escribir entonces 𝑻 = 𝐾 𝑓 𝑖 𝑓 𝐾𝑙 𝑖 𝑎2. Modelado y Linealización del Sistema comoA continuación se presenta el modelo matemáticodel sistema del servo motor y de la viga Si la corriente del campo es constante , el flujo también es constante, y el par es directamente2.1 Modelado del Servomotor 𝑻 = 𝐾𝑖 𝑎 proporcional a la corriente de la armadura, de modo queUn Servo es un dispositivo pequeño que tiene uneje de rendimiento controlado. Este puede serllevado a posiciones angulares específicas al Donde K es una constante del par motriz. Nóteseenviar una señal codificada. Con tal de que una que si el signo de la corriente se invierte , tambiénseñal codificada exista en la línea de entrada, el se invierte el signo del par T, lo que se manifiestaservo mantendrá la posición angular del engranaje. en la inversión del sentido rotación del eje delCuando la señala codificada cambia, la posición motor.angular de los piñones cambia. En la práctica, seusan servos para posicionar superficies de control Cuando la armadura está girando, se induce encomo el movimiento de palancas, por eso la ella una tensión proporcional al producto del flujoutilidad de este dispositivo en este estudio. por la velocidad angular. Para un flujo constante, la tensión inducida eb es directamente 𝑑𝜃Analizaremos el esquema de un servomotor de cd proporcional a la velocidad angular dt/dθ, o 𝑒 𝑏 = 𝐾𝑏controlado por armadura, como el que aparece en 𝑑𝑥la figura 3. En ese mismo esquema tenemos lossiguientes parámetros:Ra = resistencia de la armadura, en ohmios (Ω) Donde Kb es la constante de fuerzaLa = inductancia de la armadura, en henrios (H) contraelectromotriz. La velocidad de unia = corriente de la armadura (amperios, A) servomotor de cd controlado por armadura, seif = corriente del campo (A) controla mediante la tensión de la armadura. La 𝜃 = desplazamiento angular del eje del motor, en 𝑑𝑖 𝑎ea = tensión aplicada en la armadura, (V) ecuación diferencial del circuito de armadura es 𝐿𝑎 + 𝑅𝑎𝑖𝑎 + 𝑒𝑏 = 𝑒𝑎eb= fuerza contra-electromotriz (V) entonces.radianes (rad) 𝑑𝑡T = par desarrollado por el motor, en Newton-metro (N-m) La corriente de la armadura produce un torque queJ = momento de inercia del motor y carga con 𝑑2 𝜃 𝑑𝜃 se aplica a la inercia y la fricción. 𝐽 + = 𝑇 = 𝐾𝑖 𝑎referencia al eje del motor, en kg-m2 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡b = coeficiente de viscosidad del motor, con cargareferida al eje del motor, en N-m/rad/seg Especialización en Automatización Industrial
    • UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA Y TECNOLÓGICA DE COLOMBIA FACULTAD SEDE SOGAMOSO ESPECIALIZACIÓN EN AUTOMATIZACIÓN INDUSTRIALAhora aplicando la transformada de Laplace a las 𝐾 𝑏 𝑆𝜃(𝑆) = 𝐸 𝑏 (𝑆)tres ecuaciones anteriores se obtiene: 2.2 modelado de la bola en la viga(𝐿 𝑎 𝑆 + 𝑅 𝑎 )𝐼 𝑎 (𝑆) + 𝐸 𝑏 (𝑆) = 𝐸 𝑎 (𝑆) La figura5 describe el modelo de sistema básico(𝐽𝑆 2 + 𝑏𝑆)𝜃(𝑆) = 𝑇(𝑆) = 𝐾𝐼 𝑎 (𝑆) del que se deriva el modelo matemático. Esta derivación consiste en el equilibrio de la fuerza de la bola y el equilibrio de par de la viga. 𝜃(s) como la salida, se obtiene el siguienteConsiderando al sistema Ea(s) como la entrada y adiagrama de bloques.figura 2.1 Diagrama de bloques del modelo del motorSe notará que es un sistema retroalimentado. Elefecto de la fuerza contraelectromotriz es una figura 2.3 Esquema del sistema de la vigaretroalimentación proporcional a la velocidad delmotor. Reduciendo se tiene que la función de La siguiente ecuación se puede derivar de untransferencia es: 𝜃(𝑆) 𝐾 análisis de la fuerza de equilibrio, de la bola = 2 + (𝐿 𝑏 + 𝑅 𝐽)𝑆 2 + (𝑅 𝑏 + 𝐾𝐾 )𝑆 𝐸 𝑎 (𝑆) 𝐿 𝑎 𝐽𝑆 empleando la ley de Newton. � 𝐹 𝑏 = 𝑀 𝑏𝑎𝑙𝑙 𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃 − 𝐹𝑟 = 𝑀 𝑏𝑎𝑙𝑙 𝑥̈ + 𝑏1 𝑥̇ 𝑎 𝑎 𝑎 𝑏Si la inductancia del circuito de la armadura es Donde 𝑀 𝑏𝑎𝑙𝑙 es la masa de la bola, g es lapequeña, generalmente se desprecia, por lo que Ec2.2 𝜃(𝑆) 𝐾𝑚nuestra función de transferencia queda de estaforma. 𝐸 𝑎 (𝑆) 𝑆(𝑇 𝑚 𝑆 + 1) aceleración de la gravedad, x es la distancia entre el centro de la bola y el centro del eje, b1 la fricción de la bola cuando rueda en el canal de laEc 2.1 viga, θ es el ángulo de inclinación de la viga desde la posición horizontal, Fr representa laDónde: fuerza aplicada externamente. 𝐾𝑚 = 𝐾 (𝑅 𝑎 𝑏+𝐾𝐾 𝑏 ) =constante de ganancia del motor. La posición de la bola es igual al ángulo de𝑇𝑚 = rotación de la bola gira a través de, α, 𝑅𝑎𝐽 (𝑅 𝑎 𝑏+𝐾𝐾 𝑏 ) multiplicado por el radio de rotación de la bola, = constante de tiempo del motor. 𝑥 =∝ 𝑋 𝑎1 a1:Con estos resultados obtenidos, el diagrama debloques del servomotor se reduce a: Ec2.3 Donde a1 es la distancia vertical entre el centro de la bola y el punto de contacto con la viga: La ecuación de torque de la bola se expresa como: Especialización en Automatización Industrial
    • UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA Y TECNOLÓGICA DE COLOMBIA FACULTAD SEDE SOGAMOSO ESPECIALIZACIÓN EN AUTOMATIZACIÓN INDUSTRIAL � 𝜏 𝑏 = 𝐹𝑟 𝑎1 = 𝐽 𝑏𝑎𝑙𝑙 𝛼̈ 4. Función de transferenciaDonde 𝛼̈ es la aceleración angular de la bola,Ec 2.4 Para encontrar la función de transferencia del∑ 𝜏 𝑏 =Es la suma de torques en la bola 𝑋(𝑆) 𝜃(𝑆) 𝑋(𝑆) sistema se toma la ecuación 2.1 y 3.2 . = = 𝐻(𝑆)𝐽 𝑏𝑎𝑙𝑙 = Es el momento de inercia de la bola, y 𝜃(𝑆) 𝐸 𝑎 (𝑆) 𝐸 𝑎 (𝑆) 𝐾𝑚 𝑔 2 𝐻(𝑆) = .esta dada por: 𝐽 𝑏𝑎𝑙𝑙 = 𝑀 𝑅2 𝑆(𝑇 𝑚 𝑆 + 1) 𝑆(𝐶1 𝑆 + 𝐶2 ) Ec 4.1 5 𝑏𝑎𝑙𝑙 𝑏 Ec 4.2Ec 2.5 4.1 Espacios de estadoDonde Rb es el radio de la bola. El modelo representado en espacio de estado 2 𝑅𝑏 2 𝑏1 𝑥̇De la ecuación 2.2 y 2.5 se obtiene: �1 + � � � 𝑥̈ + = 𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃 quedaría de la siguiente manera: 5 𝑎1 𝑀 𝑏𝑎𝑙𝑙Ec 2.63. Punto de equilibrio y LinealizacionEs evidente que el modelo de la ecuación 2.6 esno lineal. Claramente el punto de equilibrio setiene cuando θ es pequeño o tiende a cero (a) 𝜃 ≈ 𝑠𝑖𝑛𝜃 … 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 (𝜃 ≪ 1)Por ello, la ecuacion 2.6 puede ser linealizada de 2 𝑅𝑏 2 𝑏1 𝑥̇la siguiente manera. �1 + � � � 𝑥̈ + = 𝑔𝜃 5 𝑎1 𝑀 𝑏𝑎𝑙𝑙Ec 3.1 (b) 𝑋(𝑆) 𝑔Aplicando transformada de Laplace se tiene: figura 4.1. a) espacio de estados no lineal, b) espacio de = estados lineal 𝜃(𝑆) 𝐶1 𝑆 2+ 𝐶 𝑆 2 4.2 Definición de parámetros: Ec 3.2 Se eligieron los siguientes parámetros para simulación: 2 𝑅𝑏 2Donde 𝐶1 = �1 + � � � 5 𝑎1 parámetro simbolo unidad valor 𝑏1 1 constante del par motriz K Nm/A 4.91 𝐶2 = 𝑀 𝑏𝑎𝑙𝑙 2 resistencia de la armadura Ra ohms 4.7 3 coeficiente de viscosidad b Nm/(rad/s) 1.5 del motor Especialización en Automatización Industrial
    • UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA Y TECNOLÓGICA DE COLOMBIA FACULTAD SEDE SOGAMOSO ESPECIALIZACIÓN EN AUTOMATIZACIÓN INDUSTRIAL4 Constante de fuerza Kb volts/(rad/s) 4.77 5. Discretización del modelo contraelectromotriz.5 momento de inercia del J kg*m^2 0.043 Para obtener un modelo digital a partir de uno motor continuo es deseable que la respuesta transitoria6 radio de la bola. Rb m 0.01 (respuesta impulso, escalón, nº polos y ceros,..) y7 momento de inercia de la Jball kg*m^2 0.019 la respuesta frecuencial(margen de fase, ganancia, bola ...) de ambos sean similares8 radio de rotación de la a1 m 0.005 bola, a1: Ts=.05;9 gravedad g m/s^2 9.8 num1=Km;1 fricción de la bola sobre la b1 Ns/m no den1=[Tm 1 0] 𝑇𝑓 = 0.160 viga medibl tf(num1,den1) e, muy 0.0066𝑆 2 +𝑆 pequeñ Transfer function o [NUMd1,DENd1] = 2DM(num1,den1,Ts,zoh)Tabla 1. Definicion de parámetros.Reemplazando estos valores se tiene que: NUMd1 = 0 0.0069 0.0011 DENd1 = 1.0000 -1.0005 0.0005Km = 0,16Tm = 0,0066 num2 = gC1 = 2,6 den2=[C1 0 0]C2 =0 𝑇𝑓 = 9.8 tf(num2,den2) 2.6𝑆 2La ecuacion 4.2 se convierte en: Transfer function [NUMd2,DENd2] = 2DM(num2,den2,Ts,zoh) NUMd2 = 0 0.0047 0.0047 DENd2 = 1 -2 1El espacio de estados de la figura 4.1(b) generalas siguientes matrices:A= figura 5.1. Función de transferencia discreta 0 1 0 0 0 0 3.7 0 0 0 0 1 0 0 0 -151.5B= 0 0 0 24.2C= 1 0 0 0 0 0 1 0 Figura 5.2 simulación ante una perturbación del punto de equilibrio Especialización en Automatización Industrial
    • UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA Y TECNOLÓGICA DE COLOMBIA FACULTAD SEDE SOGAMOSO ESPECIALIZACIÓN EN AUTOMATIZACIÓN INDUSTRIAL qué trayectoria se siga, o qué entrada se use. La [𝐵 𝐴𝐵 𝐴2 𝐵 … 𝐴 𝑛−1 𝐵] 6. Analisis de Estabilidad condición para que un sistema sea controlable es Sea de rango 𝑛, esto significa que debe tener 𝑛 que la matrizEn análisis dinámico de sistemas en el dominio dela frecuencia, además de emplearse los diagramasy el criterio de Bode, se utilizan las vectores linealmente independientesrepresentaciones de las funciones de transferenciasinusoidales en coordenadas polares que sirven de Por otro lado, un sistema es completamentebase para otros criterios de estabilidad como son observable si cada variable de estado del sistemael de Nyquist y el de Nichols afecta alguna de las salidas. Un sistema es [𝐶 𝑇 𝐴 𝑇 𝐶 𝑇 (𝐴 𝑇 )2 𝐶 𝑇 … (𝐴 𝑇 ) 𝑛−1 𝐶 𝑇 ] observable si puede construirse una matriz de la tal que el rango de esta sea igual a 𝑛nu=1.56 formade0=[0.017 C1 0 0 0]gtf=tf(nu,de0) 6.2 Estudio de la controlabilidad yTransfer function:𝑔𝑡𝑓 = 1.56 observabiliodad del sistema. 0.017𝑆 4 +2.6𝑆 3 Para verificar la controlabilidad, se usa el comando CTRB de Matlab de la siguientenyquist(gtf) manera: M=ctrb(A,B) N=Rank(M) Para determinar el rango, que para este caso debe ser de 4, ya que hay cuatro vectores LI en nuestro espacio de estados. M=ctrb(A,B) M = 1.0e+007 * 0 0 0 0.0000Diagrama de Nyquist 0 0 0.0000 -0.0014 0 0.0000 -0.0004 0.0555margin (gtf) 0.0000 -0.0004 0.0555 -8.4150 n=rank(M) n= 4 De esta manera concluimos que el sistema es Controlable. Para determinar la Observabilidad se utilizan los comandos Ob=obsv(A,C) N=Rank(M)Diagrama de Bode Ob=obsv(A,C)6.1 Controlabilidad y Observabilidad N=Rank(M) Ob = 1.0e+004 *La Controlabilidad es la propiedad de llevar unsistema de cualquier estado inicial al cualquierestado final en un tiempo finito, no importando 0.0001 0 0 0 0 0 0.0001 0 Especialización en Automatización Industrial
    • UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA Y TECNOLÓGICA DE COLOMBIA FACULTAD SEDE SOGAMOSO ESPECIALIZACIÓN EN AUTOMATIZACIÓN INDUSTRIAL 0 0.0001 0 0 8 Diseño De Controladores 0 0 0 0.0001 0 0 0.0004 0 Para controlar adecuadamente el sistema, se requiere 0 0 0 -0.0152 de un controlador en cascada como el que se muestra 0 0 0 0.0004 en la figura 8, un controlador dedicado al motor y otro 0 0 0 2.2952 para la dinámica total.N= 4De esta manera concluimos que el sistema esObservable. Figura 8. controlador en cascada7 Simulación: 8.1 Sintonización PD1Como se ve en la función de transferencia, estarelaciona el voltaje de entrada con la posición de labola con respecto al eje central, por ende al dar unavariación de voltaje en la entrada del motor, la vigadebe sufrir una inclinación y la bola se debe alejarde manera exponencial del centro de la viga(a) Figura 8.1. Herramienta Tune Inicialmente se sintonizó PD1 mediante la herramienta “TUNE” que esta incorporada en la función PID de Matlab como se muestra en la figura 8.1, desde allí se puede ajustar el comportamiento deseado y la interfaz arroja los valores de controlador automáticamente. Como se observa, en las figuras 8.2 (a) y (b) los valores obtenidos son: P = 6.3 ; I = 0.8 y D = 3.8(b)figura 7.1.(a) Función de transferencia, (b) simulaciónante una perturbación del punto de equilibrio Figura 8.2.(a) Sintonización del controlador mediante Matlab Interfaz de sintonización Especialización en Automatización Industrial
    • UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA Y TECNOLÓGICA DE COLOMBIA FACULTAD SEDE SOGAMOSO ESPECIALIZACIÓN EN AUTOMATIZACIÓN INDUSTRIAL Figura 8.3.(b) Sintonización del controlador mediante Matlab Interfaz de sintonizaciónFigura 8.2.(b) Sintonización del controlador mediante MatlabInterfaz de sintonización En la figura 8.4 (Anexo1) se muestra el esquema completo del sistema con su respectivo lazo de 8.2 Sintonización PD2 control, es de aclarar que ambos controladores PID fueron ajustados para no sobrepasar el 100%El controlador abarca toda la dinámica del de salida del actuador. En la figura 8.5 (anexo1)sistema, tanto el modelo del motor, el controlador (a) se aprecia el comportamiento de la señal dePD1 y la dinámica de la esfera control del PD2, (b) comportamiento del eje del motor (Θ)Para ello también se utilizó esta herramienta desintonización que se aprecia en la figura 8.3 a y b 8.3 Controlador discreto De igual manera que para el control continuo, se sintonizaron los controladores PD1D y PD2D utilizando la herramienta de sintonización de matlab. La sintonización del controlador PD1D se muestra en la figura 8.6 (a)y la de PD2D en la figura 8.7 (b) El modelo de control general discreto se muestra en la figura 8.8 (anexo1)Figura 8.3(a) Sintonización del controlador mediante MatlabInterfaz de sintonización Figura 8.6(a) Sintonización del controlador mediante Matlab Interfaz de sintonización Especialización en Automatización Industrial
    • UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA Y TECNOLÓGICA DE COLOMBIA FACULTAD SEDE SOGAMOSO ESPECIALIZACIÓN EN AUTOMATIZACIÓN INDUSTRIAL 10 Conclusiones • El diseño del controlador PD en cascada mejora las falencias del PID tradicional, sintonizado en un solo punto de funcionamiento de la planta, ya que se asegura que la respuesta del sistema sea comparable en todo el rango de funcionamiento del sistema.Figura 8.6.(b) Sintonización del controlador mediante Matlab • Un inconveniente que se presenta a nivelInterfaz de sintonización mecánico es la fricción entre la bola y la viga, lo cual hace que aún cuando la viga esté inclinada la bola sigue pegada, por la fricción estática, y cuando se vence esa fricción, entonces el ángulo de inclinación es muy grande y hace que la bola vaya rápido hacia el extremo más bajo. Este es uno de los aspectos más importantes que se deben tener en cuenta en trabajos posteriores.Figura 8.7(a) Sintonización del controlador mediante MatlabInterfaz de sintonización • El controlador PD1 al ser sintonizado fuera de la dinámica es estable, peroal incluirse dentro de la dinámica global se inestabiliza, por lo que es necesario sintonizarlo dentro de la dinámica general Referencias:Figura 8.7(b) Sintonización del controlador mediante Matlab [1] S. Boyd, L. Ghaoui, E. Feron, and V.Interfaz de sintonización Balakrishna, Linear Matrix Inequalities in Systems and Control Theory. Philadelphia, PA:9 Ceros no Minifase SIAM, 1994. [2] T. Hu, Z. Lin, W. Jiang, and P. E. Allaire,Los sistemas que no poseen ceros en el semiplano “Constrained control designderecho, se conocen como sistemas de fase [3] Abhilash P Mmínima, o simplemente minifase. Graduate student, Department of Electrical EngineeringPara este sistema no se presentaron ceros de fase Indian Institute of Technology Madrasminima por lo que no se realizo ningún for magnetic bearing systems,” ASME Journal oftratamiento Dynamic Systems, [4]http://www.youtube.com/watch?v=p5umi2X3F -I [5] T. Hu and Z. Lin, “On enlarging the basin of attraction for linear systems Especialización en Automatización Industrial
    • UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA Y TECNOLÓGICA DE COLOMBIA FACULTAD SEDE SOGAMOSO ESPECIALIZACIÓN EN AUTOMATIZACIÓN INDUSTRIALunder saturated linear feedback,” Systems and [9] A. Isidori, Nonlinear Control Systems. NewControl Letters, vol. 40, York: Springer Verlag, 1995.pp. 59–69, 2000.[6] F. Blanchini, “Set invariance in control - asurvey,” Automatica, vol. 35,pp. 1747–1767, 1999.[7] A. D. Mahindrakar and V. Sankaranarayanan,“ State-constrained stabilizationof beam-balance systems,” International Journalof Robust andNonlinear Control, vol. 18, pp. 333–350, February2008.[8] Y. Aoustin and A. M. Formal’sky, “Anoriginal circular ball-and-beamsystem: stabilization strategy under saturatingcontrol with large basinof attraction,” in Proceedings of the EuropeanControl Conference 2007,(Kos, Greece), pp. 4833–4838, July 2007. Especialización en Automatización Industrial
    • UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA Y TECNOLÓGICA DE COLOMBIA FACULTAD SEDE SOGAMOSO ESPECIALIZACIÓN EN AUTOMATIZACIÓN INDUSTRIALAnexo 1Figura 8.4 (a) Esquema completo del sistema con su respectivo lazo de controlFigura 8.4 (b) Esquema del controlador en cascada y dinámica del sistema controlado. Especialización en Automatización Industrial
    • UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA Y TECNOLÓGICA DE COLOMBIA FACULTAD SEDE SOGAMOSO ESPECIALIZACIÓN EN AUTOMATIZACIÓN INDUSTRIALFigura 8.5 (anexo1) (a) se aprecia el comportamiento de la señal de control del PD2figura 8.5 (b) comportamiento del eje del motor (Θ) Especialización en Automatización Industrial
    • UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA Y TECNOLÓGICA DE COLOMBIA FACULTAD SEDE SOGAMOSO ESPECIALIZACIÓN EN AUTOMATIZACIÓN INDUSTRIALFigura 8.8 modelo de control general discretoFigura 8.9 Comportamiento de la salida digital Especialización en Automatización Industrial