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Conjuntos

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  • 1. Matemática Discreta Mirele Moutinho Sistemas de Informação
  • 2. Bibliografia <ul><li>Fundamentos Matemáticos p/ a Ciência da Computação – Gersting, Judith. Ed. LTC. </li></ul><ul><li>Matemática Discreta – Scheinerman, Edward. Ed. Thomson. </li></ul><ul><li>Álgebra Moderna – Iezzi, Gelson. Ed. Atlas. </li></ul>
  • 3. Conteúdo Programático <ul><li>Conjuntos </li></ul><ul><li>Relações </li></ul><ul><li>Funções </li></ul><ul><li>Números inteiros: divisibilidade, congruência, PBO, PIF. </li></ul><ul><li>Estrut. algébricas: grupos, anéis, corpos. </li></ul><ul><li>Grafos e árvores </li></ul>
  • 4. Conjuntos <ul><li>Uma coleção de objetos. </li></ul><ul><li>Notação: A, B, etc.(letras maiúsculas). </li></ul><ul><li>a  A , ou seja a pertence A </li></ul><ul><li>Descrição dos elementos de um conj.: </li></ul><ul><li>Listar (parcial)seus elementos. </li></ul><ul><li>Usar recorrência pra indicar como gerar seus elementos. </li></ul><ul><li>Descrever uma propriedade P que caracteriza seus elementos. </li></ul>
  • 5. Exemplos <ul><li>A = {1,3 5,7,9,11, ...} </li></ul><ul><li>B = { n | n é um inteiro positivo ímpar}. </li></ul><ul><li>C é tal que </li></ul><ul><li>1  C e se n  C então n + 2  C </li></ul>
  • 6. Exemplos conhecidos <ul><li>IN = conj. dos inteiros não-negativos </li></ul><ul><li>Z = conj. de todos os inteiros </li></ul><ul><li>Q = conj. dos números racionais </li></ul><ul><li>IR = conj. dos números reais </li></ul>
  • 7. <ul><li>A = { x |  y , y  {0,1,2} e x = y 3 } </li></ul><ul><li>Dessa forma, A = {0,1,8}. </li></ul><ul><li>B = { x | x  IN e  y , y  IN e x ≤ y } </li></ul><ul><li>B = IN </li></ul><ul><li>Se definirmos </li></ul><ul><li>B = { x | x  IN e  y , y  IN  x ≤ y } </li></ul><ul><li>então B = {0} </li></ul><ul><li>B = { x | x  IN e  y , y  IN  x < y }, </li></ul><ul><li>então B =  ou B ={ } </li></ul>
  • 8. Exerc.: Descreva os conj. abaixo, listando seus elementos <ul><li>A = { x | x  IN e  y , y  {2,3,4,5}  x  y } </li></ul><ul><li>B ={ x |  y ,  z, y  {1,2}, z  {2,3} e x = y+z } </li></ul><ul><li>C = { x | x  IN e  y , y par  x  y } </li></ul>
  • 9. Exerc.: Descreva os conj. abaixo, definindo uma propriedade <ul><li>A = {1,2,3,4,5}. </li></ul><ul><li>B = {1,3,5,7,9,11,...} </li></ul><ul><li>C = {0,1,10,11,100,101,110,111,1000,...} </li></ul>
  • 10. Relações entre Conjuntos <ul><li>A é um subconjunto de B se </li></ul><ul><li> x, x  A  x  B </li></ul><ul><li>Notação: A  B </li></ul><ul><li>Se B tem algum elemento que não está </li></ul><ul><li>em A , ou seja A  B, então A é </li></ul><ul><li>subconjunto próprio de B. Notação: A  B </li></ul><ul><li>Cardinalidade : Quantidade de elementos de um conjunto. </li></ul>
  • 11. Conjuntos de Conjuntos <ul><li>Dado um conjunto A , podemos formar o conjunto de todos os subconjuntos de A, dito conjunto das partes de A . </li></ul><ul><li>Notação:  ( A ). </li></ul><ul><li>Exemplo: A = { 0, 1} </li></ul><ul><li> ( A ) = {  , {0}, {1}, {0,1}}. </li></ul><ul><li>Obs.:  ( A ) tem cardinalidade 2 n quando A tem n elementos. </li></ul>
  • 12. Operações entre Conjuntos Dados A e B : <ul><li>A  B = { x | x  A ou x  B }, dito união. </li></ul><ul><li>A  B = { x | x  A e x  B }, interseção. </li></ul><ul><li>São ditos disjuntos os conj. Que têm </li></ul><ul><li>A  B =  </li></ul><ul><li>Dado A  S, denotamos por A’, o </li></ul><ul><li>complemento de A em S : </li></ul><ul><li>A’ = { x | x  S e x  A }. </li></ul>
  • 13. <ul><li>Dados A , B  S , definimos a diferença entre conjuntos como: </li></ul><ul><li>A – B = { x | x  A e x  B }. </li></ul><ul><li>O produto cartesiano de A e B é: </li></ul><ul><li>A x B = {( x,y) | x  A e y  B }. </li></ul><ul><li>Atividades: </li></ul><ul><li>Pesquise sobre as propriedades básicas dos conjuntos. </li></ul><ul><li>Resolva os exercícios 9, 10, 11 da pág. 142 do livro texto. </li></ul>
  • 14. Mais Operações <ul><li>Uma operação  num conjunto A é binária se, para todo par de elementos de A, ( x,y ), tivermos x  y  A e único . </li></ul><ul><li>Ex.: A subtração não é uma operação binária em IN, pois se x = 1 e y = 2, temos que x – y  IN. </li></ul>
  • 15. Mais Operações <ul><li>Para que # seja uma operação unária em um conjunto A , x # tem que existir e ser único em A. </li></ul><ul><li>Ex . : Se x # = - x , para x  1 e x # = x para x ≤ 1 então não temos uma operação unária por 2 motivos. Descubra-as. </li></ul>

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