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Introducción al algebra

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  • 1. Matemática y Tic INTRODUCCIÓN AL ALGEBRA Para trabajar en álgebra son necesarios ciertos conocimientos previos sobre operatoria en Números Enteros y Números Racionales. También deben conocerse las propiedades de las potencias. Los ejercicios deben desarrollarse de acuerdo a las operatorias que se realicen. Se pueden restar o sumar términos semejantes, multiplicar expresiones algebraicas o bien simplificarlas. Símbolos y términos específicos Entre los símbolos algebraicos se encuentran números, letras y signos que representan las diversas operaciones aritméticas. Los números son, por supuesto, constantes, pero las letras pueden representar tanto constantes como variables. Las primeras letras del alfabeto se usan para representar constantes y las últimas para variables. Operaciones y agrupación de símbolos La agrupación de los símbolos algebraicos y la secuencia de las operaciones aritméticas se basa en los símbolos de agrupación, que garantizan la claridad de lectura del lenguaje algebraico. Entre los símbolos de agrupación se encuentran los paréntesis ( ), corchetes [ ], llaves { } y rayas horizontales —también llamadas vínculos— que suelen usarse para representar la división y las raíces, como en el siguiente ejemplo: Los símbolos de las operaciones básicas son bien conocidos de la aritmética: adición (+), sustracción (-), multiplicación (×) y división (:). En el caso de la multiplicación, el signo ‘×’ normalmente se omite o se sustituye por un punto, como en a·b. Un grupo de símbolos contiguos, como abc, representa el producto de a, b y c. La división se indica normalmente mediante rayas horizontales. Una raya oblicua, o virgulilla, también se usa para separar el numerador, a la izquierda de la raya, del denominador, a la derecha, en las fracciones.Web profesor: http://matematicaytic.wordpress.com Hay que tener cuidado de agrupar los términos apropiadamente. Por ejemplo, ax + b/c - dy indica que ax y dy son términos separados, lo mismo que b/c, mientras que (ax + b)/(c – dy) representa la fracción: Profesor de cátedra: Víctor Huerta H. 1 Documentos para cátedra profematemáticaytic@gmail.com
  • 2. Matemática y Tic Prioridad de las operaciones Primero se hacen las multiplicaciones, después las divisiones, seguidas de las sumas y las restas. Los símbolos de agrupación indican el orden en que se han de realizar las operaciones: se hacen primero todas las operaciones dentro de un mismo grupo, comenzando por el más interno. Por ejemplo: Números Reales Los números que se utilizan en el álgebra son los números reales. Hay un número real en cada punto de la recta numérica. Los números reales se dividen en números racionales, números irracionales y números enteros los cuales a su vez se dividen en números negativos, números positivos y cero (0). Podemos verlo en esta tabla:Web profesor: http://matematicaytic.wordpress.com Un número real es racional si se puede representar como cociente a/b, donde a sea un entero y b sea un entero no igual a cero. Los números racionales pueden escribirse en forma decimal. Existen dos maneras para hacerlo: 1) como decimales finitos 2) como decimales que se repiten infinitamente Los números reales que no pueden ser expresados en la forma a/b, donde a y b son enteros se llaman números irracionales. Los números irracionales no tienen decimales finales ni decimales que se repiten infinitamente. Profesor de cátedra: Víctor Huerta H. 2 Documentos para cátedra profematemáticaytic@gmail.com
  • 3. Matemática y Tic Al hacer operaciones algebraicas, se asume que se cumplen las mismas propiedades que para la aritmética numérica. En aritmética, los números usados son sólo del conjunto de los números racionales. La aritmética, por sí sola, no puede ir más lejos, pero el álgebra y la geometría pueden incluir números irracionales, como la raíz cuadrada de 2 y números complejos. Repitiendo el concepto, el conjunto de todos los números racionales e irracionales constituye el conjunto de los números reales. Propiedades de los números reales Propiedades de la adición La suma de dos números reales a y b cualesquiera dará como resultado otro número real que se escribe a + b. Los números reales son uniformes para las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división; esto quiere decir que al realizar una de estas operaciones con números reales el resultado es otro número real. Propiedad Asociativa de la adición: Cualquiera que sea la forma en que se agrupan los términos de la adición, el resultado de la suma es siempre el mismo: (a + b) + c = a + (b + c). También Es la llamada propiedad asociativa de la adición. Un ejemplo aritmético: (4 + 2) + 9 = 4 + (2 + 9) Elemento neutro de la adición Dado un número real a cualquiera, existe el número real cero (0) conocido como elemento neutro de la adición, tal que a + 0 = 0 + a = a. Elemento simétrico de la adición Dado un número real a cualquiera, existe otro número real (-a), llamado elemento simétrico de a (o elemento recíproco de la suma), tal que a + (-a) = 0.Web profesor: http://matematicaytic.wordpress.com Propiedad Conmutativa de la adición Cualquiera que sea el orden en que se realiza la operación, la suma es siempre la misma: a + b = b + a. También Es la llamada propiedad conmutativa de la adición. Un ejemplo aritmético: 4 + 2 = 2 + 4 Propiedades de la multiplicación Para la multiplicación se cumplen propiedades similares a las de la adición. Sin embargo, en la multiplicación hay que prestar especial atención al elemento neutro y al elemento recíproco o inverso. Profesor de cátedra: Víctor Huerta H. 3 Documentos para cátedra profematemáticaytic@gmail.com
  • 4. Matemática y Tic El producto de dos números reales a y b es otro número real, que se escribe a·b o ab. Propiedad Asociativa de la multiplicación Cualquiera que sea la forma de agrupar los términos de la multiplicación, el producto es siempre el mismo: (ab)c = a(bc). También Es la llamada propiedad asociativa de la multiplicación. Un ejemplo aritmético: Elemento neutro Dado un número real a cualquiera, existe el número real uno (1) llamado elemento neutro de la multiplicación, tal que a(1) = 1(a) = a. Elemento recíproco o inverso Dado un número real a distinto de cero, existe otro número (a–1 o 1/a), llamado elemento inverso (o elemento recíproco de la multiplicación), para el que a(a–1) = (a–1)a = 1. Propiedad Conmutativa de la multiplicación Cualquiera que sea el orden en que se realiza la multiplicación, el producto es siempre el mismo: ab = ba. También Es la llamada propiedad conmutativa de la multiplicación. Un ejemplo aritmético: Propiedad distributiva de multiplicación sobre adición: Otra propiedad importante del conjunto de los números reales relaciona la adición y la multiplicación de la forma siguiente:Web profesor: http://matematicaytic.wordpress.com a(b + c) = ab + ac también (b + c)a = ba + ca También Un ejemplo aritmético: Reglas de los Signos: 1. En una suma de números con signos iguales, se suman los números y el resultado lleva el mismo signo. Si los números tienen signos diferentes, se restan y el resultado lleva el signo del mayor. Ejemplo: Profesor de cátedra: Víctor Huerta H. 4 Documentos para cátedra profematemáticaytic@gmail.com
  • 5. Matemática y Tic 5 + 8 = 13 5 + –8 = –3 2. En resta de signos iguales el resultado lleva el signo del mayor. Si se restan signos diferentes, se suman los números y el resultado lleva el signo del mayor. Ejemplo: 5 – 8 = –3 5 – (–8) = 13 3. En multiplicación y división de números con signos iguales el resultado es positivo. Si los números son de signos opuestos, el resultado es negativo. Ejemplos: 5 x 8 = 40 5 x –8 = –40 Multiplicación de polinomios El siguiente ejemplo es el producto de un monomio por un binomio: 2 3 2 (ax + b) (cx ) = acx + bcx Este mismo principio —multiplicar cada término del primer polinomio por cada uno del segundo— se puede ampliar directamente a polinomios con cualquier número de términos. Por ejemplo, el producto de un binomio y un trinomio se hace de la siguiente manera: 3 2 4 3 3 2 2 (ax + bx – cx) (dx + e) = adx +aex + bdx + bex – cdx - cex Una vez hechas estas operaciones, todos los términos de un mismo grado se han de agrupar, siempre que sea posible, para simplificar la expresión:Web profesor: http://matematicaytic.wordpress.com 4 3 2 = adx + (ae + bd)x + (be – cd) x – cex Recta Numérica Para construir una recta numérica, primero se escoge un punto en la recta que será un punto arbitrario al que le llamaremos cero (0). Este punto es llamado el origen de la recta numérica. El origen separa la recta en dos partes, el lado positivo y el lado negativo. A la derecha del origen está el lado positivo y el negativo está a la izquierda. En el lado derecho van números enteros positivos (en orden sucesivo) y en el lado izquierdo se escriben los números enteros negativos (en orden sucesivo), estos se marcan en unidades equidistantes. Profesor de cátedra: Víctor Huerta H. 5 Documentos para cátedra profematemáticaytic@gmail.com
  • 6. Matemática y Tic Es importante recordar que para cualesquiera dos números reales diferentes a los que llamaremos a y b, siempre uno es mayor que el otro. · Si a – b es positivo, entonces a > b. · Si b – a es positivo, entonces a < b. Valor Absoluto La distancia de un número en la recta numérica desde cero (0) se llama valor absoluto. Se representa con el símbolo |x|. El valor absoluto de un número se calcula de la siguiente manera: · si el número es negativo, lo convertimos a positivo. · si el número es cero o positivo, se queda igual. Ejemplos: |7| = 7Web profesor: http://matematicaytic.wordpress.com |–7| = 7 Notación Exponencial La notación exponencial se usa para repetir multiplicaciones de un mismo número. Es la elevación a la enésima potencia (n) de una base (X). Ejemplos: Profesor de cátedra: Víctor Huerta H. 6 Documentos para cátedra profematemáticaytic@gmail.com
  • 7. Matemática y Tic 2 x =x·x 22 = 2 · 2 34 = 3 · 3 · 3 · 3 Término algebraico Término algebraico es el producto de una o más variables y una constante numérica o literal. Ej: 7xy3 –2mnp2 π r2 En todo término algebraico hay: Signo: positivo o negativo Coeficiente numérico: es el número que va al comienzo del término algebraico Factor literal: son las letras y sus exponentes Grado: corresponde al mayor exponente dentro de los términos Término algebraico Signo Coeficiente Factor literal Grado numérico 2 5 2 5 2m n Positivo 2 mn 5 3 6 8 3 6 8 5a b c Positivo 5 abc 8 5 5 - 1/3 zhk Negativo 1/3 zhk 5Web profesor: http://matematicaytic.wordpress.com Expresiones Algebraicas Expresión algebraica es el resultado de combinar, mediante la operación de adición, uno o más términos algebraicos. Las expresiones algebraicas se clasifican según su número de términos. monomio = un solo término. Profesor de cátedra: Víctor Huerta H. 7 Documentos para cátedra profematemáticaytic@gmail.com
  • 8. Matemática y Tic 2 Por ejemplo: 3x binomio = suma o resta de dos monomios. 2 Por ejemplo: 3x + 2x trinomio = suma o resta de tres monomios. 2 Por ejemplo: 3x + 2x – 5 polinomio = suma o resta de cualquier número de monomios. Monomio Binomio Trinomio Polinomio 8 x3y4 3 a2b3 + 8z a – b9 + a3b6 2/3 a2 + bc + a2b4c6– 2 x2 z5 +32 x3 9a – b2 + c3 ab – a6b3c + 8 – 26a Reglas de los Exponentes: · Para multiplicar factores exponenciales que tienen la misma base y los exponentes son enteros positivos diferentes. Ejemplo: x2 . x4 = x2+4 = x6 · Para multiplicar factores que tienen base diferente y exponentes iguales, el exponente se queda igual. 2 4 2+4 6 Ejemplo: (x ) = x =xWeb profesor: http://matematicaytic.wordpress.com · En división, si tienen la misma base y los exponentes son enteros positivos diferentes, se restan los exponentes. Las variables m y n son enteros positivos, m > n. Ejemplo: (xy)2 = x2 y2 · En suma y resta, solo se procede si son términos similares, en otras palabras lo que difiere es su coeficiente numérico. Profesor de cátedra: Víctor Huerta H. 8 Documentos para cátedra profematemáticaytic@gmail.com
  • 9. Matemática y Tic Productos Notables 1. Por ejemplo: 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.Web profesor: http://matematicaytic.wordpress.com Expresiones fraccionales Una fracción es una expresión en la forma: Una expresión fraccional esta simplificada cuando el numerador y el denominador no tienen factores comunes. Por ejemplo: Profesor de cátedra: Víctor Huerta H. 9 Documentos para cátedra profematemáticaytic@gmail.com
  • 10. Matemática y Tic Multiplicación de expresiones algebraicas Para multiplicar expresiones fraccionales, se multiplican los numeradores y se multiplican los denominadores. Por ejemplo:Web profesor: http://matematicaytic.wordpress.com División de expresiones algebraicas Para dividir se multiplica por el recíproco y luego se factoriza y se simplifica el resultado. Por ejemplo: Profesor de cátedra: Víctor Huerta H. 10 Documentos para cátedra profematemáticaytic@gmail.com
  • 11. Matemática y Tic Suma y resta de expresiones algebraicas En suma y resta cuando los denominadores son los mismos, se suman o restan los numeradores y se mantiene el mismo denominador. Por ejemplo: Exponentes enteros Reglas básicas para trabajar los exponentes: Regla: Ejemplo:Web profesor: http://matematicaytic.wordpress.com Profesor de cátedra: Víctor Huerta H. 11 Documentos para cátedra profematemáticaytic@gmail.com
  • 12. Matemática y Tic Radicales (Raíces) Un radical es una expresión en la forma: que se lee "raíz n de b" Cada parte de un radical lleva su nombre,Web profesor: http://matematicaytic.wordpress.com El índice debe ser un entero positivo. Para una raíz cuadrada, el índice 2 es usualmente omitido. Propiedades de los Radicales (de las raíces) Ejemplo: Profesor de cátedra: Víctor Huerta H. 12 Documentos para cátedra profematemáticaytic@gmail.com
  • 13. Matemática y Tic Ejemplo: Ejemplo: Ejemplo: Ejemplo:Web profesor: http://matematicaytic.wordpress.com Suma y Resta de Radicales (de raíces) Cuando tenemos radicales "semejantes", podemos resolver la suma o la resta usando la propiedad distributiva y agrupando los términos semejantes. Los radicales "semejantes" son los que tienen el mismo radicando. Ejemplos: Profesor de cátedra: Víctor Huerta H. 13 Documentos para cátedra profematemáticaytic@gmail.com
  • 14. Matemática y Tic Si los radicales no son semejantes, la suma o la resta sólo puede ser indicada. Se puede agrupar los términos semejantes del radical. Ejemplo:Web profesor: http://matematicaytic.wordpress.com Profesor de cátedra: Víctor Huerta H. 14 Documentos para cátedra profematemáticaytic@gmail.com

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