Distribuciones de Probabilidad (Variable Aleatoria Continua)
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  • 1. Distribución de Probabilidad Variables continuas Álvaro José Flórez 1Escuela de Estadística Facultad de Ingeniería Febrero - Junio 2014
  • 2. Variable aleatoria continua Se dice que una variable aleatoria es continua si puede tomar cualquier valor en un intervalo (números reales en un intervalo) Si X es una variable aleatoria continua, la probabilidad de que la variable tome un valor determinado siempre es cero. Para el caso continuo se está interesado no en probabilidad de exactamente un valor, sino en la probabilidad de que la variable aleatoria se encuentre dentro de un intervalo. La distribución de probabilidad de una v.a. continua está caracterizada por una función (f(x)) llamada función de densidad, por medio de la cual podemos calcular la probabilidad de un intervalo a ≤ X ≤ b.
  • 3. Función de densidad Sea X una variable aleatoria continua. Entonces una función de densidad de X es una función f(x) tal que para dos números cualesquiera a y b con a ≤ b, P(a ≤ X ≤ b) = b a f(x)dx Es decir, la probabilidad de que X tome un valor en el intervalo (a,b) es el área bajo la curva de la función de densidad. Además f(x) debe cumplir: f(x) ≥ 0 ∞ −∞ f(x)dx = 1
  • 4. Función de densidad
  • 5. Función acumulativa La función de distribución acumulativa de una v.a. continua X es la probabilidad de que X tome un valor menor o igual a x. Esto es, F(x) = P(X ≤ x) = x −∞ f(t)dt dado que P(X = x) = 0, entonces P(X ≤ x) = P(X < x) = F(x). Propiedades: • F(−∞) = 0, F(∞) = 1 • F(a < X < b) = F(b) − F(a) • dF(x) dx = f(x)
  • 6. Función acumulativa
  • 7. Ejemplo Sea X la variable aleatoria continua que denota el diámetro de un oricio perforado en una pieza de un componente metálico. Los datos históricos muestran que la distribución de X (en mm) puede ser modelada por la siguiente función de densidad: f(x) = 20e−20(x−12.5) x ≥ 12.5 f(x) es una función de densidad pues: f(x) ≥ 0 ∞ −∞ f(x)dx = 1
  • 8. Ejemplo Sea X la variable aleatoria continua que denota el diámetro de un oricio perforado en una pieza de un componente metálico. Los datos históricos muestran que la distribución de X (en mm) puede ser modelada por la siguiente función de densidad: f(x) = 20e−20(x−12.5) x ≥ 12.5 f(x) es una función de densidad pues: f(x) ≥ 0 ∞ −∞ f(x)dx = 1 Si una pieza con un diámetro superior a 12.6 mm se desecha, ¾Cuál es la probabilidad de que una pieza sea desechada?
  • 9. Ejemplo Si una pieza con un diámetro superior a 12.6 mm se desecha, ¾Cuál es la probabilidad de que una pieza sea desechada? P(X > 12.6) = 12.6 ∞ f(x)dx 12.5 12.6 12.7 12.8 12.9 13.0 05101520 mm Densidad
  • 10. Valor esperado y varianza Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad f(x). La media o el valor esperado de X, denotado como µ o E(X), es: E(X) = ∞ −∞ xf(x)dx La varianza de X, denotada como V (X) o σ2, es: V (X) = ∞ −∞ (x − E(X))2 f(x)dx = ∞ −∞ x2 f(x)dx − E(X)2 La desviación estándar de X es igual a V (X)
  • 11. Ejercicio La resistencia de una muestra de un deteminado material viene dado por una variable aleatoria X, con función de densidad, f(x) =    x si 0 < x ≤ 1 2x+1 8 si 1 < x ≤ 2 0 en otro caso • Si una muestra se encuentra en estado ideal de resistencia si ésta se encuentra entre 0.5 y 1.5, ¾Cuál es la probabilidad de que una muestra se encuentre en estado ideal? • Calcule la esperanza y la varianza de la variable aleatoria X.
  • 12. Percentiles de una distribución Sea p un número entre 0 y 1. El percentil (100p) de la distribución de una variable aleatoria X, está denido por: F(x ) = x −∞ f(y)dy = p x es el valor tal que P(X ≤ x ) = p. La mediana (Me) de una distribución continua es el percentil 50, es decir que satisface F(Me) = 0.5. Los cuartiles, denotados por Q1, Q2 y Q3, de una distribución corresponden a los percentiles 25, 50 y 75, respectivamente. Me = Q2.
  • 13. Distribuciones de probabilidad En el caso continuo algunas distribuciones de probabilidad son: • Exponencial • Normal • Weibull • Uniforme • Gamma
  • 14. Distribución exponencial La variable aleatoria X que describe la distancia entre dos suceso sucesivos de un proceso poisson es una variable aleatoria exponencial con parámetro λ. La función de densidad X esta dada por: f(x) = λe−λx 0 ≤ x < ∞ 0 2 4 6 8 0.00.20.40.60.81.0 x Densidad λ=2 λ=1 λ=0.5 Si la variable aleatoria X tiene una distribución exponencial con parámetro λ, entonces: E(X) = 1 λ V (X) = 1 λ2
  • 15. Ejemplo La amplia experiencia con ventiladores de cierto tipo utilizados en motores diesel, indica que la distribución exponencial proporciona un buen modelo para la variable aleatoria X el tiempo hasta que se presenta una falla. Suponga que el valor espero de X es de 25.000 horas. 1 ¾Cuál es la probabilidad de que un ventilador seleccionado dure entre 20.000 y 30.000 horas? 2 Los productores quieren determinar el tiempo de garantía de los ventiladores teniendo en cuenta que están dispuestos a recibir por garantía a no más del 15 % de los ventiladores producidos, ¾Cuál debería ser el tiempo estipulado de garantía? Suponga que el número de kilómetros que puede recorrer un automóvil antes de que se le acabe la batería está distribuido exponencialmente con un valor promedio de 10000km. Si una persona quiere realizr un viaje de 5000km, ¾Cuál es la probabilidad de que llegue al nal de su viaje sin tener que cambiar la batería?
  • 16. Ejercicio Sea la variable aleatoria X el tiempo, en horas, necesario para reparar una pieza de equipo, en un proceso de manufactura, es una variable aleatoria exponencial con λ = 1/5. 1 Cuál es la probabilidad de que para reparar una pieza sea necesario más de 5 horas. 2 Determinar los cuartiles de la variable X. 3 Si la perdida de dinero es igual al cuadrado del número de horas necesarias para llevar a cabo la reparación, determine el valor esperado de las pérdidas por reparación
  • 17. Distribución Normal La distribución normal es una de las distribuciones más importantes y de uso más frecuente en la estadística, puesto que gran parte de la teoría fue desarrollada inicialmente para variables con esta distribución. La gran mayoría de variables aleatorias que se estudian en experimentos físicos (alturas, pesos) son aproximadamente modelados por una distribución normal. Muchas distribuciones de probabilidad, incluyendo discretas, pueden ser aproximadas por esta distribución (si se cumplen ciertas condiciones). Aunque una variable no se distribuya normal, las sumas y promedios de las variables, si se cumplen ciertas condiciones, tendrán una distribución normal aproximada (Teorema Central del Límite)
  • 18. Distribución Normal Una variable aleatoria X tiene distribución normal con parámetros µ (media) y σ2 (varianza) si su función está dada por: f(x) = 1 √ 2πσ2 e− 1 2σ2 (x−µ)2 σ > 0, −∞ < x < ∞ −6 −4 −2 0 2 4 6 0.00.10.20.30.4 x Densidad N(0,1) N(0,2) N(3,1)
  • 19. Ejemplo La resistencia a la compresión de muestras de cemento puede ser modelada por una distribución normal con media de 6000Kg/cm2 y una desviación estándar de 100Kg/cm2. ¾Cuál es la probabilidad de que la resistencia a la compresión de una muestra sea inferior a 6250Kg/cm2? P(X < 6250) = 6250 −∞ 1 2π(100)2 e − 1 2(100)2 (x−6000)2 dx
  • 20. Ejemplo La resistencia a la compresión de muestras de cemento puede ser modelada por una distribución normal con media de 6000Kg/cm2 y una desviación estándar de 100Kg/cm2. ¾Cuál es la probabilidad de que la resistencia a la compresión de una muestra sea inferior a 6250Kg/cm2? P(X < 6250) = 6250 −∞ 1 2π(100)2 e − 1 2(100)2 (x−6000)2 dx Ninguna de las técnicas estándar se pueden usar para evaluar la expresión anterior. En vez de eso, para µ = 0 y σ = 1 (normal estándar) se han evaluado numéricamente y tabulado ciertos valores. A partir de estas tablas se puede usar para calcular probabilidades para cualquier µ y σ
  • 21. Distribución normal Si X tiene una distribución normal con media µ y desviación estándar σ, entonces: Z = X − µ σ Tiene una distribución normal estándar. Así, P(a ≤ X ≤ b) = P( a − µ σ ≤ Z ≤ b − µ σ ) = P(Z < b − µ σ ) − P(Z < a − µ σ ) Al estandarizar, cualquier probabilidad en la que interviene X se puede expresar como una probabilidad asociada a una variable aleatoria Z (Normal Estándar)
  • 22. Ejercicio Una prestigiosa universidad de la región tiene como estrategia de selección la aplicación de una prueba de conocimientos, sobre cuyos resultados escoge al 20 % de los estudiantes, quienes deben tener los mayores puntajes en dicho examen. Si las calicaciones de este examen siguen una distribución normal con media 65 y desviación estándar 20. Determine: • La calicación mínima que debe obtener un estudiante para ser seleccionado. • Si se decide otorgar una beca a los estudiantes que presentan un puntaje superior a 98 puntos, que proporción de estudiantes serian becados? • ¾Cuál es la probabilidad de que una calicación se encuentre alejada de su media en mas de dos desviaciones estándar?
  • 23. Ejemplo Una empresa productora está interesada en conocer el gasto promedio semanal en cierto tipo de alimento de las familias de estrato socioeconómico medio, con el n de diseñar una estrategia de mercado para promover la demanda en el mercado. Si se supone que el gasto promedio semanal en cierto tipo de alimento de las familias de estrato socioeconómico medio se distribuye Normal con media 61.73 y desviación estándar 10.3. ¾Cuál es la probabilidad de que una familia gaste más de $75000 en ese tipo de alimento? Si la empresa quiere determinar el valor de su producto teniendo en cuenta que mínimo el 60 % de la población tenga capacidad de comprarlo. Basándose en la distribución de probabilidad de los datos ¾Cuál debería ser el valor del nuevo producto?
  • 24. Distribución Weibull La distribución Weibull sirve para modelar tiempos de falla de diferentes sistemas físicos, sobretodo cuando la probabilidad de que un elemento falle cambia en el tiempo. Una variable aleatoria X tiene una distribución Weibull si su función de densidad es, f(x) = α βα xα−1 e − x β α Donde α > 0 (parámetro de forma) y β > 0 (parámetro de escala). Su valor esperado y varianza es, E(X) = βΓ 1 + 1 α V (X) = β2 Γ 1 + 2 α −β2 Γ 1 + 1 α 2
  • 25. Distribución Weibull 0 1 2 3 4 5 6 0.00.10.20.30.40.5 X f(x) Fig: Distribución weibull. α = 2, β = 2 (negro), α = 1, β = 2 (rojo), α = 2, β = 3 (azul)
  • 26. Función Gamma La función gamma está denida como: Γ(r) = ∞ 0 xr−1 e−x dx, para r > 0 Se puede demostrar que: Γ(r) = (r − 1)Γ(r − 1) Por lo tanto, si r es un entero positivo, Γ(r) = (r − 1)!
  • 27. Ejemplo Si el tiempo de vida (en horas) de cierto componente expuesto a gases corrosivos tiene una distribución de probabilidad con α = 3 y β = 900. Entonces: • Determine la vida media y la varianza del componente. • ¾Cuál es la probabilidad de que el componente falle antes de 500? • ¾Cuál es la probabilidad de que falle después de 700 horas?
  • 28. Algunos ejercicios El diámetro de un punto producido por una impresora se distribuye normal con media de 0.0002 pulgadas. Suponga que las especicaciones requieran que el diámetro del punto esté entre 0.0014 y 0.0026 pulgadas. Si la probabilidad de que un punto cumpla con las especicaciones debe ser de 0.9973, Qué valor de la desviación estándar es necesario?
  • 29. Algunos ejercicios El diámetro de un punto producido por una impresora se distribuye normal con media de 0.0002 pulgadas. Suponga que las especicaciones requieran que el diámetro del punto esté entre 0.0014 y 0.0026 pulgadas. Si la probabilidad de que un punto cumpla con las especicaciones debe ser de 0.9973, Qué valor de la desviación estándar es necesario? La resistencia última (ksi) a -200 grados F de un tipo de acero que exhibe fragilidad al frio a bajas temperaturas se puede modelar por medio de una distribución Weibull con parámetros α = 20 y β = 100. • ¾Cuál es la probabilidad de que el acero presente una resistencia superior a 105 ksi? • ¾Para qué valor X se encuentra el 10 % de las resistencias más bajas?