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Aplicação do Cálculo Diferencial e Integral no Estudo de Vigas Isostáticas
 

Aplicação do Cálculo Diferencial e Integral no Estudo de Vigas Isostáticas

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Material Didático Produzido Pelo Prof. Assistente VII Daniel Caetano de Figueiredo Para Estudantes de Engenharia Civil e Tecnólogos da Construção Civil.

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    Aplicação do Cálculo Diferencial e Integral no Estudo de Vigas Isostáticas Aplicação do Cálculo Diferencial e Integral no Estudo de Vigas Isostáticas Presentation Transcript

    • Universidade Estadual Vale do Acaraú – U.V.A. CCET – Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Engenharia Civil e Ambiental Aplicação do Cálculo Diferencial eIntegral no Estudo de Vigas Isostáticas Sobral - Ce – 2012
    • 2SUMÁRIOCONTEÚDO PÁGINAINTRODUÇÃO 03CONVENÇÃO DE SINAIS ADOTADA 04UNIDADES ADOTADAS 04VIGA BIAPOIADA COM CARGA 04UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDAVIGA BIAPOIADA COM CARGA 07CONCENTRADAVIGA COM UM ENGASTE E CARGA 09CONCENTRADA NA EXTREMIDADE
    • 3VIGA COM UM ENGASTE E CARGA 10UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDAVIGA COM UM ENGASTE E CARGA 12TRIANGULARCONCLUSÃO 13BIBLIOGRAFIA 14
    • 4INTRODUÇÃO Podemos afirmar que o Cálculo Diferencial e Integral e asEngenharias – Civil, Elétrica, Mecânica e outras - estão intimamenteassociados. No dimensionamento de uma viga, por exemplo, a determinação dosesforços de Momento Fletor e Esforço Cortante têm importânciafundamental. Podemos dizer de uma forma sucinta que o Momento Fletorsubmete as seções transversais de uma viga comum a esforços detração e compressão enquanto que o Esforço Cortante solicita citadasseções a Tensões de Cisalhamento. Portanto, ao efetuarmos o dimensionamento de uma viga, quer sejaesta feita de concreto, aço, madeira, alumínio ou outro materialapropriado, devemos dividir esta tarefa em duas etapas.
    • 5 A primeira etapa é constituída pelo cálculo dos esforços principais queatuam na estrutura; em outras palavras: devemos achar o maior valor doMomento Fletor assim como o maior valor da Força Cortante que atuamna viga devido os diversos tipos de carregamento. A segunda etapa éfazer o dimensionamento da viga propriamente dita, onde devem serverificadas quais são as dimensões necessárias da mesma para resistiraos esforços solicitantes. O Cálculo Diferencial e Integral nos permite encontrar as funções doMomento Fletor e da Força Cortante em qualquer seção da viga.Encontrada a função que possibilita calcular o Momento Fletor paradeterminado trecho de uma viga, ao derivarmos esta funçãoencontraremos outra f(x) que nos dá, desta vez, o Esforço Cortante para otrecho considerado. Este estudo, no qual o Autor usou quantidade mínima de bibliografia,porque preferiu, antes, buscar os conhecimentos adquiridos nos bancosescolares da Universidade de Fortaleza no início da Década de 1980, visadar aos estudantes do Curso de Engenharia Civil da UniversidadeEstadual Vale do Acaraú mais uma a opção de material didático. Foram abordadas cinco tipos de vigas comumente encontradas.
    • 6Omnia mecum porto. Sobral, Ce, maio de 2012, Daniel Caetano de Figueiredo (*)(*) O Autor é Engenheiro Civil formado pela Universidade de Fortaleza em Dezembro de 1982 eProfessor Concursado da Universidade Estadual Vale do Acaraú.
    • 7CONVENÇÃO DE SINAIS ADOTADA Para uma determinada seção S de uma viga, perpendicular ao eixoda mesma, o Momento Fletor será considerado positivo se a força, queresteja esta à esquerda ou à direita da seção, tende a imprimir à vigaconcavidade para cima; caso contrário, qual seja, se a força tende aimprimir à viga concavidade para baixo, o Momento Fletor seráconsiderado negativo.Ao colocarmos os valores encontrados no D.M.F.(Diagrama do Momento Fletor), teremos, por convenção, Momento Fletorcom valor negativo acima do eixo x e com valor positivo abaixo do eixo x. Com relação ao Esforço Cortante para uma determinada seçãoperpendicular ao eixo de uma viga , se a força tende a deslocar para cimaa parte da viga que fica à esquerda da seção, neste caso Q seráconsiderado positivo, o mesmo ocorrendo se a força tentar deslocar parabaixo a parte da viga que fica à direita da seção. Em ambos os casos ovalor de Q será positivo; se a força, contudo, tentar deslocar para baixo a
    • 8parte da viga que fica à esquerda da seção, ou deslocar para cima aparte da viga que está à direita da seção, neste caso, então, o EsforçoCortante Q será considerado negativo. Na elaboração do D.E.C. osvalores positivos de Q ficam acima do eixo x e os valores negativos ficamabaixo de do eixo x.UNIDADES ADOTADAS Sabemos que a força que atua em um corpo de massa 1,0 mquilograma e lhe imprime uma aceleração igual a 1,0 s na mesma direção e 2sentido da força, equivale a 1,0 Newton. Considerando que um corpo de massa 1,0 kg tem peso igual a 9,8 N mem um local onde a aceleração da gravidade vale 9,8 s (valor médio aceito 2para toda a superfície da Terra) podemos, para efeitos didáticos e porpraticidade, substituírmos a unidade Newton(unidade de força) por
    • 9kg(unidade de massa), já que na superfície da Terra um corpo de massa1,0 kg pesa 1,0 Kgf. Com relação à unidade de comprimento, adotamos o metro,comumente usado em Engenharia Civil para medir o vão de vigas. Veremos, a seguir, o estudo relativo a cinco tipos distintos de vigascomumente usadas.VIGA BIAPOIADA COM CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA
    • 10 Seja a viga abaixo com vão igual a l metros, carga uniformemente kgdistribuída de q m e apoiada em A e B Para o cálculo das reações de apoio, aplicamos primeiramente aequação ∑ M = 0 e encontramos o valor de R ; em seguida aplicamos ΣF = 0 A B V qle encontramos a reação R ; os valores das duas reações são iguais a 2 , Acomo era de se esperar(o carregamento é simétrico em relação a umaseção tomada no meio da viga). A direção das reações é a direção verticale o sentido das mesmas é de baixo para cima. Consideremos agora uma seção perpendicular ao eixo da viga edistante x metros do apoio A.
    • 11Nesta seção da viga, assim como nas demais, o valor do momento fletor é 2 qxdado pela função M ( x) = R x − 2 que é uma função do segundo grau em x. A Derivando esta f(x) obtemos a função do Esforço Cortante, que serádo primeiro grau e a mesma nos permitirá calcular o Esforço Cortante emqualquer seção distante x metros do apoio A. Sendo assim, teremos:dM ( x) = Q( x) = R A − qx dx l Devemos notar que esta função Q(x) se anula em x= 2 e também dQ( x)convém ressaltar que dx = −q . Em outras palavras: a função derivada deQ(x) nos fornece o carregamento que atua na viga. É evidente quepodemos, também, percorrermos o caminho inverso, qual seja, dadas ascargas encontramos a função Q(x) por integração; integrando esta,obtemos M(x). Conforme nos ensina o Cálculo Diferencial e Integral, o ponto onde aderivada primeira de uma determinada função se anula ou deixa de existir,
    • 12constitui um ponto crítico desta função(ponto de máximo, ponto demínimo, ponto de inflexão ou a função inexiste neste ponto crítico). Derivando mais uma vez M (x) encontramos a sua derivada desegunda ordem. Pelo Teste da Derivada Segunda, sabemos então que nomeio da viga teremos um valor máximo(positivo) para o momento fletor e 2 2 ql qleste valor será igual a 8 . Citado valor( 8 ) foi encontrado ao calcularmos lM( ) 2 . Devemos observar que na seção central da viga o valor do EsforçoCortante é nulo. Temos ainda de ressaltar os valores nos extremos daviga, onde o Momento Fletor é nulo; e onde o Esforço Cortante é ql qlmáximo, possuindo valores iguais a 2 e − 2 , nos pontos A e B,respectivamente. Abaixo seguem os gráficos das funções que representam o MomentoFletor e o Esforço Cortante para o caso estudado. Para entendermosestes gráficos devemos recorrer à convenção usualmente adotada pararepresentá-los.
    • 13DIAGRAMA DO ESFORÇO CORTANTE(D.E.C.)DIAGRAMA DO MOMENTO FLETOR(D.M.F.)
    • 14 Analisaremos em seguida o caso de uma viga biapoiada sujeita auma carga concentrada.VIGA BIAPOIADA COM CARGA CONCENTRADA
    • 15 Seja agora a viga abaixo , apoiada em A e B, com l metros decomprimento e possuindo um carregamento de P kg aplicado no pontosituado a distancia igual a b metros do apoio B e a metros do apoio A,conforme a figura. Pa Aplicamos a equação ∑ M A =0 e encontramos RB = l ; em seguida Pbfazemos ∑ F = 0 e encontramos R = l . A direção das reações é a direção V Avertical e o sentido das mesmas é de baixo para cima.
    • 16 Consideremos agora uma seção S1 perpendicular ao eixo da viga,distante x metros do apoio A e compreendida entre o apoio A e o ponto deaplicação da força P. Nesta seção, assim como nas demais do trecho em questão, o valordo momento fletor é dado pela função M ( x) = R x que é uma f(x) do primeiro Agrau em x. Assim, a representação do D.M.F. será representado porsegmentos de retas inclinadas em relação ao eixo x. Derivando M(x) obtemos a função do Esforço Cortante, Q( x) = R sendo Aesta de grau zero(função constante) e nos permitirá calcular o esforçocortante em qualquer seção distante x metros do apoio A, no trechocompreendido entre A e o ponto de aplicação da força P. Sabemos portanto que:dM ( x) = Q( x) = R A dx Convém notar que as funções acima são aplicáveis apenas no trechocompreendido entre entre o apoio A e o ponto de aplicação da força P.
    • 17 Por ser uma função constante, o diagrama do esforço Cortante serádado por segmentos paralelos ao eixo x. No caso em questão devemos também analisar o trechocompreendido entre a carga P e o apoio B.Neste trecho em qualquer seção distante x metros de A temos queM ( x) = R A x − P( x − a) Derivando esta função encontramos a Q(x) para o Esforço CortanteQ( x) = R − P , ou seja, será igual a − R A B No ponto onde a força P é aplicada, a função que representa oEsforço Cortante possui uma descontinuidade e o Momento Fletor neste Pabponto alcança seu valor máximo, igual a l . Queremos com istoressaltar que o Momento Fletor de uma viga não é necessariamentemáximo no local onde o esforço Cortante é nulo. No caso em questãoocorre no ponto onde o valor do Esforço Cortante também é máximo. Masdevemos atentar para o fato de que, neste ponto, o gráfico da funçãoQ(x) dá um salto de descontinuidade. Teremos a seguir os Diagramas do Momento Fletor e da ForçaCortante.
    • 18DIAGRAMA DO MOMENTO FLETOR (D.M.F.)DIAGRAMA DO ESFORÇO CORTANTE(D.E.C.)
    • 19 Analisaremos em seguida o caso de uma viga isostáticasimplesmente engastada e sujeita a uma carga concentrada em suaextremidade livre.
    • 20VIGA COM UM ENGASTE E COM CARGA CONCENTRADA EM SUAEXTREMIDADE Seja agora a viga abaixo , simplesmente engastada em A e com aextremidade B em balanço, com l metros de comprimento e possuindoum carregamento de P kg aplicado no ponto B situado à uma distanciaigual a l metros do apoio A, de acordo com a figura. Para calcularmos as reações em A, reações estas que serãoconstituídas por um momento e uma força vertical, aplicaremos
    • 21primeiramente a equação ΣF = 0 , encontrando R = P ; em seguida usaremos V A∑ M = 0 encontrando M = Pl kg.m no sentido anti-horário. A reação R possui A A Aa direção vertical e sentido para cima. Assim, como no caso das vigasanteriores, as reações de apoio horizontais serão nulas porque não existenenhuma componente horizontal de carga atuante que solicite a viga. Peguemos agora uma seção S distante x metros do apoio A.Nesta seção genérica, a função M(x) do Momento Fletor será dada porM ( x ) = − M + R x , ou M ( x) = − Pl + Px . A A Derivando M(x) encontraremos a função do Esforço Cortante, dadapor Q( x) = + P . Por ser uma função constante, o D.E.C. será representado porsegmento paralelo ao eixo x. Com relação à função que representa o Momento da viga, em Ateremos o valor máximo para o Momento Fletor. Por ser M(x) do primeirograu, o D.M.F. será representado por um segmento inclinado em relaçãoao eixo x, variando do valor M ao valor 0 em B, conforme a figura abaixo. AA registrar que o gráfico do Esforço Cortante comporta-se de maneiraanáloga nos pontos A e B. Em A o Momento Fletor é máximo e em B éigual a zero. De qualquer forma, em A existe um ponto dedescontinuidade no gráfico de Q(x), onde o Momento é máximo.
    • 22DIAGRAMA DO MOMENTO FLETORDIAGRAMA DO ESFORÇO CORTANTE
    • 23 A seguir veremos o caso de uma viga com um engaste apenas sóque, desta vez, seu carregamento será uniformemente distribuído.VIGA COM UM ENGASTE E COM CARGA UNIFORMEMENTEDISTRIBUIDA
    • 24 Seja agora a viga acima ,engastada na extremidade A, também decomprimento igual a l metros e submetida ao carregamento uniforme de qkg/m ao longo de seu vão. Usando as equações da Estática determinamos as reações de apoio.Assim, fazendo ∑ M = 0 encontramos a reação (Momento) no ponto A , cujo A 2 qlvalor será igual a 2 no sentido anti-horário. A reação horizontal H , a Aexemplo de todos os casos anteriores, não existe, por não existir,conforme já afirmado anteriormente, carregamento que possuacomponente de força atuando na direção horizontal. Fazendo ΣF = 0 Vencontramos a reação vertical que atua no ponto A da viga engastada, e
    • 25que possui o valor R = ql kg, com direção vertical e sentido de baixo para Acima. Em uma seção S qualquer, distante x metros do ponto A, a função do − ql 2 2 qxMomento Fletor é dada por M ( x) = 2 + qlx − 2 . Vemos que esta função é dosegundo grau e possui um máximo.Derivando esta função M(x), encontramos a função que nos dá o EsforçoCortante ao longo da viga, qual seja Q( x) = ql − qx Na elaboração do gráfico do Momento Fletor, para encontrarmos osvalores mais importantes (no apoio, no meio e no final da viga), basta lencontrarmos M(0), M( 2 ),e M(l). Ao fazermos isto, encontramos os valores − ql 2 l − ql 2M (0) =, M ( 2 ) = 8 e M (l ) = 0 . 2 Levando em consideração que o gráfico de M(x) é uma parábola,conforme já dito, podemos elaborar o diagrama seguinte:DIAGRAMA DO MOMENTO FLETOR
    • 26 Na elaboração do D.E.C, visto abaixo, sabemos que Q(x) é uma f(x)de primeiro grau, portanto o diagrama em questão será representado por lsegmentos inclinados em relação ao eixo x. Calculando Q(0), Q( 2 ) e Q(l) qlencontramos respectivamente os valores ql, 2 e 0. Convém ressaltar que,para este tipo de viga, ao usarmos semelhança de triângulos, concluímosque o valor do esforço Cortante no meio da viga será sempre igual àmetade do valor do Esforço Cortante máximo(no apoio).
    • 27DIAGRAMA DO ESFORÇO CORTANTEVIGA COM UM ENGASTE E COM CARGA TRIANGULAR
    • 28 Seja a viga engastada em A e submetida a um carregamento de qkg/m em A, carregamento este que vai diminuindo linearmente até sernulo em B. 2 ql Aplicando as equações ∑ M = 0 e F = 0 obtemos os valores de M = 6 e A V A qlRA = . Convém notar que o valor de R é numericamente igual à área do 2 Atriângulo de base l e altura q ou seja, igual ao carregamento total queatua na viga. Carregamento este que poderia ser substituído por uma lforça concentrada à uma distância 3 de A(Centro de Gravidade doTriângulo).
    • 29 Para facilitar os nossos cálculos, façamos a origem do eixo x coincidircom o ponto B. Portanto em uma determinada seção S distante x metros do apoio A, qxa altura do triângulo será igual a uma carga q = l , já que o triângulo maior 1de altura igual a q e base l é semelhante ao triângulo menor de altura igual q la q e base x ( 1 q1 = ). xSendo assim, em qualquer seção S distante x metros de B teremos: 3 2 qx qxM ( x) = − 6l e Q( x) = − 2l , sendo esta última função obtida ao derivarmos M(x). A função Mx) é do terceiro grau e seu gráfico será uma parábolacúbica. Q(x), por outro lado, é do segundo grau. Derivando Q(x) qxencontramos − l que é o valor de q a uma distância x do ponto B, como 1era de se esperar. Teremos no ponto A, neste caso, os valores máximos para o esforçoCortante e o Momento Fletor. Estes valores serão, respectivamente, ql 2 qliguais a − 6 e 2 conforme já visto. No meio da viga o valor do Momento
    • 30 ql 2 − ql lFletor será − 48 e valor de Q será 8 , encontrados ao calcularmos M.( 2 ) e lQ ( 2)DIAGRAMA DO ESFORÇO CORTANTEDIAGRAMA DO MOMENTO FLETOR
    • 31CONCLUSÃO Esperamos ter contribuído para a difundir o assunto abordado.
    • 32 Para carregamentos mais complexos, que são uma combinação doscarregamentos vistos neste estudo, podemos usar o Principio daSuperposição dos Efeitos. Os desenhos encontrados neste trabalho foram feitos pelo autor, quefez uso do programa Auto-CAD 2000 para confeccioná-los.BIBLIOGRAFIA-NASH, William A., Resistência dos Materiais, 2ª. Edição, ColeçãoSchaum, Editora McGraw- Hill