Resolucion de circuitos

1
U.T.N. Facultad Regional Tucumán
Dispositivos Electrónicos
Departamento Electrónica
DISPOSITIVOS ELECTRÓNICOS
Tema 0: Introducción a la resolución de
circuitos eléctricos
Profesor: Ing. Emilio Monachesi
Introducción a la resolución de circuitos eléctricos
1. Magnitudes eléctricas básicas
2. Señales periódicas
3. Componentes básicos de los circuitos eléctricos
 Resistencias
 Condensadores
 Bobinas
 El transformador ideal
4. Teoremas básicospara la resolución de circuitos
5. Régimen permanente en circuitos con bobinas y condensadores
6. Régimen transitorio en circuitos RL y RC
1. Magnitudes eléctricas básicas
 Tensión V, v(t) (voltios)
 Corriente I, i(t) (amperios)
 Potencia P, p(t) (vatios)
P = V · I p(t) = v(t) · i(t)
 Energía E (julios)
  
2
1
t
t
dttpE
2. Señales periódicas
v(t) T
Se cumple:
v(t) = v(t+T)
T = periodo f = 1/T frecuencia (Hz)

2
2. Señales periódicas: definiciones
 Valor medio:
  
T
dttv
T
v
0
1
Ejemplo:
-20
10
v(t)
1 2 3 4 5 t(ms)
A este valor también se le llama
componente de continua
02010
103
1
3
3
3
103
102
102
0
3











 







dtdtv
A+
A-
Se dice que una señal es de alterna cuando su valor medio es nulo
2. Señales periódicas: definiciones
 Valor eficaz:
  
T
efi dttv
T
V
0
21
En inglés: rms (root-mean-square)
Es el valor más comúnmente empleado en circuitos con señales senoidales
-10
10
v(t)
1 2 3 4 5 t(ms)
Ejemplo:
  101010
104
1
3
3
3
104
102
2
102
0
2
3











 







dtdtVefi
2. Señales periódicas: señales senoidales
v(t) = A·sen( ·t)
A
T
t
A = amplitud (o valor de pico)
2·A = valor pico a pico
 = frecuencia angular
 2T 
T


2

f  2
Valor eficaz de una señal senoidal:
   
T
efi dttsenA
T
V
0
221

 t
  



2
0
22
2
1
dsenA
   
2
2cos12 


sen
 

2
22
1 2
A
2
A
2
A
Vefi 
2. Señales periódicas: señales senoidales
t
v1
v2 v1(t) = V1·sen(·t)
v2(t) = V2·sen(·t-)
v2 está retrasada un ángulo  respecto a v1
Definición de desfase en señales senoidales

3
Fuentes independientes de tensión
Fuentes independientes de corriente
+
v(t)
general
V
continua
+
senoidal
i(t) i(t)
Componentes pasivos fundamentales: resistencia
R
+
-
i
v
Comportamiento eléctrico: ley de Ohm
v = R · i
Potencia en una resistencia:
R = resistencia (ohmios Ω)
R
v
RiivP
2
2
··  siempre es positiva
En una resistencia la energía eléctrica se transforma en calor por efecto Joule
Asociación de resistencias en paralelo
R1 RnR2 Reqv
i
v
i
i1 i2 in
niiii  ...21
nR
v
R
v
R
v
 ...
21 eqR
v

n
eq
RRR
R
1
...
11
1
21


Asociación de resistencias en serie
nvvvv  ...21 nRiRiRi  ...21  nRRRi  ...21
neq RRRR  ...21
R1 R2 Rn Req
i
v v
i
v1 v2 vn

4
Componentes pasivos fundamentales: el condensador
El condensador está constituido por dos placas conductoras separadas por un
material dieléctrico.
d
V
r
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
d
S
C r  0
0 = 8,85·10-12 F/m
r (agua) = 81 r (aceite) = 5
donde  es la permitividad del dieléctrico
Comportamiento eléctrico
t
V
C
t
q
VCqVCq
d
d
d
d
dd 
t
V
Ci
d
d
 C = capacidad (faradios)
C
+
-
i
v
t
V
Ci
d
d
 Si la corriente se anula  V = cte
El condensador no permite cambios bruscos de la tensión. Para conseguir
un cambio instantáneo de la tensión sería preciso una corriente infinita.
ASPECTO FISICO
Cálculo de la energía almacenada en un condensador
C
+
-
i
v
t
V
Ci
d
d

   dttpEEnergía 
    dttitvdE 
    dt
dt
tdv
CtvdE 
   tdvCtvdE 
  CtvE 
2
2
1
C1 CnC2
Componentes pasivos fundamentales: condensador
Asociación de condensadores en paralelo
Ceq
v
i
v
i
i1 i2 in
niiii  ...21
dt
dv
C
dt
dv
C
dt
dv
C n  ...21
dt
dv
Ceq 
neq CCCC  ...21

5
C1 CnC2
Componentes pasivos fundamentales: condensador
Asociación de condensadores en serie
nvvvv  ...21
nC
i
C
i
C
i
dt
dv
 ...
21 eqC
i

Ceq
i
v v
i
v1 v2 vn
n
eq
CCC
C
111
1
21


...
dt
dv
dt
dv
dt
dv
dt
dv n
 ...21
Componentes pasivos fundamentales: inductancia
Una inductancia está constituida por un cierto número de espiras devanadas
sobre un material magnético (elevada permeabilidad).
i

+
-
i
v
Si la tensión se anula  i = cte
Una inductancia no permite cambios bruscos de la corriente. Para conseguir
un cambio instantáneo de la corriente sería preciso una tensión infinita.
L
Símbolo
t
i
Lv
d
d

Ecuación característica
L = inductancia (Henrios)
Cálculo de la energía almacenada en una inductancia
   dttpEEnergía 
    dttvtidE 
    dt
dt
tdi
LtidE 
   tdiLtidE 
  LtiE 
2
2
1
+
-
i
v L
t
i
Lv
d
d

L1 LnL2
Asociación de inductancias en paralelo
Leq
v
i
v
i
i1 i2 in
niiii  ...21
nL
v
L
v
L
v
dt
di
 ...
21 eqL
v

n
eq
LLL
L
111
1
21


...
dt
di
dt
di
dt
di
dt
di n
 ...21

6
L1 L2 Ln Leq
i
v v
i
v1 v2 vn
Asociación de inductancias en serie
nvvvv  ...21
dt
di
L
dt
di
L
dt
di
L n  ...21
dt
di
Leq 
neq LLLL  ...21
Componentes pasivos fundamentales: el transformador ideal
Balance de potencia en el transformador ideal
Transformador
ideal
v1 v2
i2i1





02211
1221
NiNi
NvNv









1
2
21
2
1
21
N
N
ii
N
N
vv
111 ivp  





 2
1
2
2
2
1
i
N
N
v
N
N
22 iv  2p
potencia de entrada = potencia de salida
Transformador  convierte tensiones de alterna transfiriendo toda la potencia de
entrada a la salida
4. Teoremas básicos para la resolución de circuitos
Leyes de Kirchoff
1.- La suma de las tensiones en cualquier malla cerrada de un circuito
eléctrico es siempre nula
+
v1
v2 v3
v4
04321  vvvv
2.- La suma de las corrientes entrantes en cualquier punto de un circuito
es siempre igual a la suma de las corrientes salientes
i1
i2
i3
i4
i5
52431 iiiii 
Leyes de Kirchoff
Ejemplo 1: determinar las corrientes que circulan por el siguiente circuito
36V
6 3
10 i1
i2 i3
321 iii 
21 61036 ii 
31 31036 ii 
Ai 31 
Ai 12 
Ai 23 
Ejemplo 2: divisor de tensión
+
v1
v2
R2
R1
i
21
1
RR
v
i


iRv  22
1
21
2
2 v
RR
R
v 


Ejemplo 3: divisor de corriente
R1 R2i
i2i1
i
RR
RR
v 



21
21
1
1
R
v
i 
i
RR
R
i 


21
2
1

7
Principio de superposición
La respuesta de un circuito lineal que contenga
varias fuentes independientes puede hallarse
considerando por separado cada generador y
sumando luego las respuestas individuales.
Debe hacerse notar que para que deje de actuar un
generador de tensión debe anularse su tensión
(V=0), es decir, se ha de cortocircuitar en serie con
su resistencia interna; mientras que para anular un
generador de corriente (I=0), se debe sustituir por un
circuito abierto en paralelo con su resistencia interna.
Principio de superposición
En un circuito lineal (compuesto por fuentes independientes, fuentes
dependientes, resistencias, bobinas y condensadores) la corriente o la tensión en
cualquier elemento del circuito se puede obtener como la suma de las tensiones
o corrientes debidas a cada una de las fuentes independientes por separado.
Ejemplo:
100
100
100
200
12V 15V
120mA
i?
100
100
100
200
12V
iA
Efecto de la fuente de 12V
Fuente de 12V: iA = 40mA
100
100
100
200
15V
iB
Efecto de la fuente de 15V
100
100
100
200
120mA
i?
Efecto de la fuente de 120mA
Fuente de 15V: iB = 50mA Fuente de 120mA: iC = 40mACorriente total: i = iA + iB + iC = 130 mA
Teorema de Thèvenin
Cualquier red lineal puede sustituirse, respecto a
un par de terminales, por un generador de tensión
VTh (igual a la tensión en circuito abierto) en serie
con la resistencia RTh vista desde esos terminales.
Red Lineal
a
b
R
b
a
RVTh
RTh
Reglas de aplicación:Reglas de aplicación:
1.1.-- Para determinar RTh deben cortocircuitarse todas las fuentes de tensión y
sustituir por circuitos abiertos las fuentes de corriente.
2.2.-- La tensión VTh se determina calculando la ddp entre los terminales a y b
cuando se aísla la red lineal del resto del circuito (ddp entre a y b en circuito
abierto)
Teorema de Thevenin
Cualquier circuito lineal activo de dos terminales puede ser sustituido por una
única fuente de tensión y una impedancia en serie.
VTh  se calcula como la tensión en vacío del circuito
RTh  se calcula como la resistencia vista desde los terminalesA y B
i
v
A
B
i
v
VTh
RTh
A
B
VTh=5V
RTh=50100
100
10V
A
B
A
B
Ejemplo:

8
Teorema de Norton
Cualquier red lineal puede sustituirse, respecto a
un par de terminales, por un generador de
corriente, IN (igual a la corriente de cortocircuito)
en paralelo con la resistencia RN vista desde esos
terminales.
Red Lineal
a
b
R
a
b
RRN
IN
Reglas de aplicación:Reglas de aplicación:
11..-- Para determinar RN se procede exactamente igual que para calcular RTh. De
hecho, RTh = RN
22..-- Para determinar IN se establece un cortocircuito entre los terminales a y b y se
calcula la corriente de cortocircuito Icc resolviendo el sistema correspondiente.
Entonces IN = Icc
Teorema de Norton
Cualquier circuito lineal activo de dos terminales puede ser sustituido por una
única fuente de corriente y una impedancia en paralelo.
In  se calcula como la corriente de cortocircuito
Rn  se calcula como la resistencia vista desde los terminalesA y B
i
v
A
B
A
B
i
v
In
Rn
Ejemplo:
10
10
10V
1A
A
B
In=1A
Rn=20
A
B
alimentados en continua
R1
L1
R2
L2
V
IC
Si todas las fuentes del circuito son de continua, todas las tensiones y corrientes
tienden a hacerse constantes después de un cierto tiempo.
En bobinas:
dt
di
Lu L
L 
iL = cte.
uL (t)= 0 CORTOCIRCUITO
t  
En condensadores:
dt
du
Ci C
C 
uC = cte.
iC (t)= 0 CIRCUITO ABIERTO
t  
R1
L1
R2
L2
V
IC
alimentados en continua
Ejemplo:
R1
R2
V
I
t  
Circuito equivalente en régimen permanente

9
Circuito RL
V
R
uLL
i
dt
di
LuL 
LuiRV 
dt
di
LiRV  Ecuación diferencial
de 1er orden
Solución de la ecuación homogénea:
dt
di
LiR 0
raíz
L
R
r   
t
L
R
h ekti

 Solución homogénea
Solución particular: (se suele emplear la solución de régimen permanente)
V
R ip
t  
R
V
ip 
         
t
etitititi

 0
Interpretación de la expresión general:
i(t=0)
i(t )
 A mayor  más lento es el circuito
Para t > 5· se tiene un valor muy próximo al valor final (menos de un 1% de desviación)
Se considera que el circuito alcanza el régimen permanente para t > 5·
Circuito RC
V
R
uCC
i
   
dt
tdu
Cti C

   tutiRV C
   tu
dt
tdu
CRV C
C

(····)
         
t
CCCC etutututu

 0
CR Siendo:
Conclusión
         
t
etxtxtxtx

 0
En circuitos RL ó RC las tensiones y corrientes tienen evoluciones exponenciales
que corresponden a la siguiente expresión general:
 Donde x es cualquier tensión o corriente del circuito
 La constante de tiempo  se calcula:
CR  Para un circuito RC
R
L
 Para un circuito RL

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