2. THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -SSỐỐ PPHHỨỨCC
Gv: NNgguuyyễễnn VVăănn LLooaann –– ÔÔnn tthhii ccấấpp ttốốcc –– NNăămm hhọọcc 22001100 –– 22001111-- Trang 2
CCHHUUYYÊÊNN ĐĐỀỀ:: SSỐỐ PPHHỨỨCC
11.. ĐĐỊỊNNHH NNGGHHĨĨAA PPHHÉÉPP TTOOÁÁNN SSỐỐ PPHHỨỨCC
I> Khái niệm số phức:
Là biểu thức có dạng a + bi , trong đó a, b là những số thực và số i thoả 2
i = –1.
Kí hiệu là z = a + bi với a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo.
Tập hợp các số phức kí hiệu là = {a + bi / a, b và 2
i = –1}. Ta có .
Số phức có phần ảo bằng 0 là một số thực: z = a + 0.i = a
Số phức có phần thực bằng 0 là một số ảo: z = 0.a + bi = bi . Đặc biệt i = 0 + 1.i
Số 0 = 0 + 0.i vừa là số thực vừa là số ảo.
II> Số phức bằng nhau:
Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i . Ta có z = z
'
'
a a
b b
VD: Tìm các số thực x, y biết: (2x – 3) – (3y+1)i = (2y + 1) + (3x – 7)i (1)
(1)
2 3 2 1 2 2
3 1 3 7 2 0
x y x y x
y x x y y
III> Biểu diễn hình học của số phức:
Mỗi số phức z = a + bi được xác định bởi cặp số thực (a; b).
Trên mặt phẳng Oxy, mỗi điểm M(a; b) được biểu diễn bởi một số phức và ngược lại.
Mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức được gọi là mặt phẳng phức. Gốc tọa độ O biểu diễn số 0, trục
hoành Ox biểu diễn số thực, trục tung Oy biểu diễn số ảo.
VD: Các điểm A, B, C, D biểu diễn các số phức là:
Az = 1 + 4i , Bz = –3 + 0.i , Cz = 0 –2i , Dz = 4 – i
IV> Môđun của số phức:
Số phức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt
phẳng Oxy. Độ dài của véctơ OM
được gọi là môđun của số
phức z. Kí hiệu 2 2
z = a + bi = a + b
VD: z = 3 – 4i có 2 2
3 4 3 ( 4)z i = 5
Chú ý:
22 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 ( ) 4z a b abi a b a b a b z
V> Số phức liên hợp:
Cho số phức z = a + bi , số phức liên hợp của z là z a bi .
z = a + bi z = a - bi ; z z ,
z = z * Chú ý
iiiiZZ nn
;;)()(
Z là số thực ZZ
Z là số ảo ZZ
* Môđun số phức Z=a + b.i (a; b R) zzbaOMZ .22
Chú ý: ZZ z C
Hai điểm biểu diễn z và z đối xứng nhau qua trục Ox trên mặt phẳng Oxy.
VI> Cộng, trừ số phức:
Số đối của số phức z = a + bi là –z = –a – bi
Cho z a bi và ' ' 'z a b i . Ta có z ± z' = (a ± a')+ (b ± b')i
Phép cộng số phức có các tính chất như phép cộng số thực.
VII> Phép nhân số phức:
Cho hai số phức z a bi và ' ' 'z a b i . Nhân hai số phức như nhân hai đa thức rồi thay 2
i = –1
và rút gọn, ta được: z.z' = a.a' - b.b' + (a.b' + a'.b)i
k.z = k(a + bi ) = ka + kbi . Đặc biệt 0.z = 0 z
z. z = (a + bi )(a – bi ) hay
22 2
z.z = a + b = z
3. THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -SSỐỐ PPHHỨỨCC
Gv: NNgguuyyễễnn VVăănn LLooaann –– ÔÔnn tthhii ccấấpp ttốốcc –– NNăămm hhọọcc 22001100 –– 22001111-- Trang 3
VD: Phân tích 2
z + 4 thành nhân tử. 2
z + 4 = 2
z – 2
(2 )i = (z – 2i )(z + 2i ).
Phép nhân số phức có các tính chất như phép nhân số thực.
VIII> Phép chia số phức:
Số nghịch đảo của số phức z a bi 0 là -1
2
1 z
z = =
z z
hay 2 2
1 a - bi
=
a + bi a + b
Cho hai số phức z a bi 0 và ' ' 'z a b i thì 2
' '.z z z
z z
hay 2 2
a' + b'i (a' + b'i)(a - bi)
=
a + bi a + b
VD: Tìm z thoả (1 + 2i )z = 3z – i .
Ta có (3 – 1 – 2i )z = i z =
2 2
i
i
(2 2 ) 2 2 1 1
4 4 8 4 4
i i i
z z z i
IX> Lũy thừa của đơn vị ảo: Cho k N
4k 4k+1 4k+2 4k+3
i = 1; i = i; i = -1; i = -i
VD: Tìm phần thực và ảo của số phức: z = 13
(2 2 )i
62 6 6 6 19 19
(2 2 ) (2 2 ) (8 ) (2 2 ) 8 .2 8 .2 2 2z i i i i i i
Phần thực a = 19
2 , phần ảo b = 19
2
22..BBÀÀII TTẬẬPP PPHHÉÉPP TTOOÁÁNN SSỐỐ PPHHỨỨCC..
1) Tìm các số thực x, y biết:
a) (3x –2) + (2y +1)i = (x + 1) – (y – 5)i; c) (1 – 2x) – i 3 = 5 + (1 – 3y)i;
b) (2x + y) + (2y – x)i = (x – 2y + 3) + (y + 2x +1)i;
Hướng dẫn: a) x =
3
2
, y =
4
3
c) x =
1 5
2
, y =
1 3
3
b) x = 0, y = 1.
2) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức z thỏa:
a) Phần thực của z bằng –2;
b) Phần ảo của z bằng 3;
c) Phần thực của z thuộc khoảng (–1; 2);
d) Phần ảo của z thuộc đoạn [1; 3];
e) Phần thực và phần ảo của z đều thuộc đoạn [–2; 2].
Hướng dẫn:
a) Là đường thẳng x = –2;
b) Là đường thẳng y = 3;
c) Là miền trong giới hạn bởi hai đường thẳng song song x = –1 và x = 2 không tính biên;
d) Là miền trong giới hạn bởi hai đường thẳng song song y = 1 và y = 3 tính cả biên;
e) Là miền trong giới hạn bởi bốn đường thẳng đôi một song song x = –2, x = 2 và y = –2, y = 2
tính cả biên.
3) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức z thỏa:
a) |z| = 1; b) |z| 1 c) 1 < |z| 2 d) |z| = 1 và phần ảo của z bằng 1.
Hướng dẫn:
a) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa 2 2
1a b , là đường tròn tâm O, bán kính R = 1;
b) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa 2 2
1a b , là hình tròn tâm O, bán kính R = 1 tính cả biên;
c) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa 2 2
1 2a b , là hình vành khăn tâm O, bán kính r = 1 không
tính biên, bán kính lớn R = 2 tính biên;
4)Thực hiện các phép tính sau:
b) 2i(3 + i)(2 + 4i) c)
2 3
(1 ) (2 )
2
i i
i
5)Giải phương trình sau:
c) (3 – 2i)z + (4 + 5i) = 7 + 3i; b) (1 + 3i)z – (2 + 5i) = (2 + i)z c) (2 3 ) 5 2
4 3
z
i i
i
4. THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -SSỐỐ PPHHỨỨCC
Gv: NNgguuyyễễnn VVăănn LLooaann –– ÔÔnn tthhii ccấấpp ttốốcc –– NNăămm hhọọcc 22001100 –– 22001111-- Trang 4
Hướng dẫn: a) z = 1 b) z =
8 9
5 5
i c) z = 15 – 5i.
6)Xác định các số phức biểu diễn bởi các đỉnh của một lục giác đều có tâm là gốc tọa độ O trong mặt
phẳng phức, biết rằng một đỉnh biểu diễn số i.
Hướng dẫn:Gọi A là điểm biểu diễn số phức i thì D biểu diễn số –i. cos ;sin
6 6
F
nên F
biểu diễn số
3 1
2 2
i . C đối xứng F qua O nên C biểu diễn số
3 1
2 2
i . E đối xứng F qua Ox
nên E biểu diễn số
3 1
2 2
i . B đối xứng E qua O nên B biểu diễn số
3 1
2 2
i
7)Cho
1 3
2 2
z i . Hãy tính: 2 3 21
; ; ;( ) ;1z z z z z
z
.
Hướng dẫn: Ta có 1z nên
1 1 3
2 2
i z
z
; 2 1 3
2 2
z i ; 3 2
. 1z z z ; 2
1 0z z
8)Chứng minh rằng:
a) Phần thực của số phức z bằng
1
2
z z , phần ảo của số phức z bằng
1
2
z z
i
b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi z z .
c) Số phức z là số thực khi và chỉ khi z z .
d) Với mọi số phức z, z, ta có ' ', ' . 'z z z z zz z z và nếu z 0 thì
' 'z z
z z
Hướng dẫn: ,z a bi z a bi (1)
a) Lấy vế cộng vế Phần thực của số phức z bằng
1
2
z z . Lấy vế trừ vế phần ảo của số phức
z bằng
1
2
z z
i
.
b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi phần thực bằng 0 0z z z z .
c) Số phức z là số thực khi và chỉ khi phần ảo bằng 0 0z z z z .
d) 2 2
; ' ' ' ;z a bi z a b i z z a b là số thực
' ( ') ( ') ( ') ( ') ( ) ( ' ' ) 'z z a a b b i a a b b i a bi a b i z z
' ( ' ') ( ' ' ) ( ' ') ( ' ' ) ( )( ' ' ) . 'zz aa bb ab a b i aa bb ab a b i a bi a b i z z
' '. '. '. '
. . .
z z z z z z z z
z z z z z z z z
9)Chứng minh rằng với mọi số nguyên m > 0, ta có 4 4 1 4 2 4 3
1; ; 1;m m m m
i i i i i i
Hướng dẫn: Ta có 4 2 2
. 1i i i
4 4 4 4 1 4 1 4 2 4 2 4 3
1 1 . 1. . . 1 . 1.
m m m m m m m m m
i i i i i i i i i i i i i i i i i
10)Chứng minh rằng:
e) Nếu u
của mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thì | | | |u z
và từ đó nếu hai điểm 1 2,A A theo
thứ tự biểu diễn số phức 1 2,z z thì 1 2 2 1A A z z
;
f) Với mọi số phức z, z, ta có |z.z| = |z|.|z| và khi z 0 thì
'' zz
z z
g) Với mọi số phức z, z, ta có ' 'z z z z
Hướng dẫn:
5. THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -SSỐỐ PPHHỨỨCC
Gv: NNgguuyyễễnn VVăănn LLooaann –– ÔÔnn tthhii ccấấpp ttốốcc –– NNăămm hhọọcc 22001100 –– 22001111-- Trang 5
a) z a bi thì 2 2
z a b , u
biểu diễn số phức z thì u
= (a; b) 2 2
u a b
do đó
| | | |u z
1 2,A A theo thứ tự biểu diễn số phức 1 2,z z thì 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1A A OA OA z z A A z z
b) z a bi , ' ' 'z a b i , . ' ' ' ' 'z z aa bb ab a b i , 2 2 2 2
, ' ' 'z a b z a b
Ta có 2 2 2 2 2 2
. ' ' 'z z a b a b
Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
. ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 'z z aa bb ab a b aa bb ab a b a b a b
Vậy |z.z| = |z|.|z|
Khi z 0 ta có 2 2
' . ' . '' '.
.
z z z z zz z z
z z z zz z
c) u
biểu diễn z, 'u
biểu diễn z thì 'u u
biểu diễn z + z và ' 'z z u u
Khi , ' 0u u
, ta có
22 2 22 2
' ' 2 ' cos , ' ' 2 ' 'u u u u u u u u u u u u u u
' 'u u u u
do đó ' 'z z z z
11)Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện sau:
h) 1z i b) 1
z i
z i
c) 3 4z z i
Hướng dẫn: Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức.
a) Với z x yi
22 2 2
1 ( 1) 1 ( 1) 1 1 1z i x y i x y x y
Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I(0; 1) bán kính R = 1.
b) Với z x yi
2 22 2
1 ( 1) ( 1) 1 1 0
z i
x y i x y i x y x y y
z i
Tập hợp các điểm M là trục thực Ox.
c) Với z x yi 2 2 2 2
3 4 ( 3) (4 ) ( 3) (4 )z z i x yi x y i x y x y
6 8 25 0x y . Tập hợp các điểm M là đường thẳng 6 8 25 0x y
12)Chứng minh rằng với mọi số phức z 1, ta có
10
2 9 1
1 ...
1
z
z z z
z
Hướng dẫn:
Với z 1, 2 9 2 9 10 2 9 10
1 ... 1 ... 1 ... 1z z z z z z z z z z z z
Chia hai vế cho z – 1 hằng đẳng thức được chứng minh.(Cấp số nhân)
13)Hỏi mỗi số sau đây là số thực hay số ảo (z là số phức tùy ý sao cho biểu thức xác định)?
2 2
( )z z 3 3
( )
z z
z z
2 2
( )
1
z z
zz
Hướng dẫn: Ta có ,z a bi z a bi , 2 2 2 2 2 2
( ) 2 , ( ) 2 ,z a b abi z a b abi
Và 3 3 2 2 3 3 3 2 2 3
( 3 ) (3 ) , ( 3 ) (3 )z a ab a b b i z a ab a b b i
Vậy 2 2 2 2
( ) 2( )z z a b là số thực; 3 3 3 2
( ) 3
z z b
i
z z a ab
là số ảo;
2 2
2 2
( ) 4
1 . 1
z z ab
i
z z a b
là số
ảo.
13)Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện sau:
i) 2
z là số thực âm; b) 2
z là số ảo ; c) 2 2
( )z z d)
1
z i
là số ảo.
Hướng dẫn: M(x; y) biểu diễn z thì 2 2 2 2 2 2
2 ; 2z x yi z x y xyi z x y xyi
a) 2
z là số thực âm khi xy = 0 và 2 2
0x y x = 0 và y 0. Tập hợp các điểm M là trục Oy trừ
O
6. THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -SSỐỐ PPHHỨỨCC
Gv: NNgguuyyễễnn VVăănn LLooaann –– ÔÔnn tthhii ccấấpp ttốốcc –– NNăămm hhọọcc 22001100 –– 22001111-- Trang 6
b) 2
z là số ảo khi 2 2
0x y y = x. Tập hợp các điểm M là 2 đường phân giác của gốc tọa độ.
c) 2 2
( )z z khi xy = 0 x = 0 hoặc y = 0. Tập hợp các điểm M là 2 trục tọa độ.
d)
1
z i
= 2 2
1 ( 1)
( 1) ( 1)
x y i
x y i x y
là số ảo khi x = 0, y 1. Tập hợp M là trục Oy bỏ điểm M(0;
14).Tìm nghiệm phức của phương trình sau:
j) 2 0iz i c) 2 4 0i z e) 2
4 0z
k) 2 3 1i z z d) 1 3 2 3 0iz z i z i
Hướng dẫn:
a) 1 2z i b)
1 3
10 10
z i c)
8 4
5 5
z i d) ; 3 ; 2 3i i i e) 2z i
2) Tìm :
15) Cho số phức z x yi (x, yR). Khi z 1, hãy tìm phần thực và phần ảo của số phức
z i
z i
b) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện
z i
z i
là số
thực dương.
Hướng dẫn:
a) Phần thực là
2 2
2 2
1
( 1)
x y
x y
, phần ảo 2 2
2
( 1)
x
x y
b) Là số thực dương khi 0x và 2 2
1 0x y Tập hợp là trục Oy bỏ đoạn IJ với I, J là điểm
biểu diễn hai số phức ,i i .
16)a) Trong mặt phẳng phức cho 3 điểm A, B, C không thẳng hàng theo thứ tự biểu diễn số
phức 1 2 3, ,z z z . Hỏi trọng tâm ABC biểu diễn số phức nào?
b) Xét 3 điểm A, B, C của mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn số phức 1 2 3, ,z z z thỏa 1 2 3z z z .
Chứng minh rằng A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác đều khi và chỉ khi 1 2 3 0z z z
Hướng dẫn:
a) Gọi G là trọng tâm ABC, ta có 1 2 3
1 1
3 3
OG OA OB OC z z z
vậy G biểu diễn số
phức 1 2 3
1
3
z z z z
b) Vì OA OB OC
nên A, B, C thuộc đường tròn tâm O. Tam giác ABC đều khi trọng tâm G
trùng O hay 1 2 3 0z z z .
33.. CCĂĂNN BBẬẬCC HHAAII CCỦỦAA SSỐỐ PPHHỨỨCC && PPHHƯƯƠƠNNGG TTRRÌÌNNHH BBẬẬCC HHAAII..
I> Căn bậc hai của số phức:
Cho số phức w, mỗi số phức z = a + bi thoả 2
z = w được gọi là căn bậc hai của w.
w là số thực: w = a
a = 0: Căn bậc hai của 0 là 0
a > 0: Có hai căn bậc hai đối nhau là a và – a
a < 0: Có hai căn bậc hai đối nhau là .a i và – .a i
w là số phức: w = a + bi (a, b , b 0) và z = x + y.i là 1 căn bậc hai của w khi
2
z w
2 2
2 x - y = a
(x + yi) = a + bi
2xy = b
Mỗi số phức đều có hai căn bậc hai đối nhau.
VD: Tính căn bậc hai của w = –3 + 4i .
Gọi z = x + yi là căn bậc hai của w. Ta có
2 2
2 2 3
( ) 3 4
2 4
x y
z w x yi i
xy
7. THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -SSỐỐ PPHHỨỨCC
Gv: NNgguuyyễễnn VVăănn LLooaann –– ÔÔnn tthhii ccấấpp ttốốcc –– NNăămm hhọọcc 22001100 –– 22001111-- Trang 7
2 2 4 2 2
3 3 4 0 4
2 2 2
x y y y y
x x x
y y y
2
1
y
x
hoặc
2
1
y
x
.
Vậy có 2 căn bậc hai của w là 1z = 1 + 2i , 2z = –1 – 2i .
II> Phương trình bậc hai:
1) Phương trình bậc hai với hệ số a,b,c là số thực: 2 2
0 ( 0), 4ax bx c a b ac .
0: Phương trình có 2 nghiệm thực 1,2
2
b
x
a
< 0: Phương trình có 2 nghiệm phức 1,2
| |.
2
b i
x
a
VD: Giải phương trình 3
8 0x
3 3 3 2
2
2
8 0 2 0 ( 2)( 2 4) 0
2 4 0 (1)
x
x x x x x
x x
(1) có = 1 – 4 = –3 =
2
3.i nên có 2 nghiệm phức 1,2 1 3.x i .
Do đó phương trình có 3 nghiệm 1 2 31 3. , 1 3. , 2x i x i x
2) Phương trình bậc hai với hệ số phức: 2 2
0 ( 0), 4Ax Bx C A B AC , a bi
= 0: Phương trình có nghiệm kép
2
B
x
A
0: Phương trình có 2 nghiệm 1,2
2
B
x
A
với là 1 căn bậc hai của .
VD: Giải phương trình: a) 2
1 02z iz ; b) 2
(3 2 ) 5 5 0z i z i
a) 2
1 02z iz có = –1 – 8 = – 9 = 2
(3 )i .
Phương trình có 2 nghiệm phức 1
3
4
i i
z i
, 2
3 1
4 2
i i
z i
b) 2
(3 2 ) 5 5 0z i z i có = 2 2
(3 2 ) 4(5 5 ) 9 12 4 20 20 15 8i i i i i i =
2
(1 4 )i Phương trình có 2 nghiệm phức 1
3 2 1 4
1 3
2
i i
z i
;
2
3 2 1 4
2
2
i i
z i
44..BBÀÀII TTẬẬPP PPHHƯƯƠƠNNGG TTRRÌÌNNHH BBẬẬCC HHAAII
1) Giải các phương trình sau trên tập phức:
a) 2
3 2 1 0z z b) 2
7 3 2 0z z ; c) 2
5 7 11 0z z
Hướng dẫn:
a)
1 2
3
i
b)
3 47
14
i
c)
7 171
10
i
2) Giải các phương trình sau trên tập phức:
a) 4 2
6 0z z b) 4 2
7 10 0z z
Hướng dẫn:
a) 2; 3i b) 2; 5i i
3) Cho a, b, c R, a 0, 1 2,z z là hai nghiệm phương trình 2
0az bz c . Hãy tính 1 2z z và 1 2z z
theo các hệ số a, b, c.
Hướng dẫn: 1 2z z =
b
a
, 1 2z z =
c
a
4) Cho z = a + bi là một số phức. Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận z, z làm
nghiệm.