SlideShare a Scribd company logo
1 of 25
Download to read offline
DANAMATH
www.toanhocdanang.com
www.facebook.com/ToanHocPhoThongDaNang
ĐẠI SỐ
11
GV:Phan Nhật Nam
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 2 www.toanhocdanang.com
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Đường tròn lượng giác :
1. Công thức cung liên kết :
1. Hai cung đối nhau (a , -a)
3. hai cung phụ nhau (a , a−
2
π
)
2. Hai cung bù nhau (a , a−π )
Trục Cot
Trục Sin
Trục Cos
Trục Tan
0
2
2
2
3
2
1
2
1
2
3
2
2
2
2
−
2
1
−
2
3
−
2
1
−
2
2
−
2
3
−
3
2π
3
π
4
π
6
π
4
3π
6
5π
6
7π
4
5π
3
4π
2
3π
3
5π
4
7π
6
11π
3
1
1
2
π
0π
3
3
1
33− 3
1
−
1−
3
1
−
1−
3−
1
1
1−
1−
aa
aa
aa
aa
cot)cot(
tan)tan(
cos)cos(
sin)sin(
−=−
−=−
=−
−=−
aa
aa
aa
aa
tan)
2
cot(
cot)
2
tan(
sin)
2
cos(
cos)
2
sin(
=−
=−
=−
=−
π
π
π
π
aa
aa
aa
aa
cot)cot(
tan)tan(
cos)cos(
sin)sin(
−=−
−=−
−=−
=−
π
π
π
π
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 3 www.toanhocdanang.com
4. Hai cung hơn kém nhau π (a , a+π ) 5. Hai cung hơn kém nhau
2
π
(a , a+
2
π
)
3. Công thức lượng giác cơ bản :
1. Công thức cộng cung :
2. Công thức nhân đôi :
3. Công thức nhân ba : 4. Công thức hạ bậc hai :
4. Công thức hạ bậc ba : 6. Công thức biến đổi tích thành tổng
7. ông thức biến đổi tổng thành tích :
aa
aa
aa
aa
cot)cot(
tan)tan(
cos)cos(
sin)sin(
=+
=+
−=+
−=+
π
π
π
π
aa
aa
aa
aa
tan)
2
cot(
cot)
2
tan(
sin)
2
cos(
cos)
2
sin(
−=+
−=+
−=+
=+
π
π
π
π
ba
ba
ba
bababa
bababa
tantan1
tantan
)tan(
sinsincoscos)cos(
sincoscossin)sin(


±
=±
=±
±=±
a
a
a
a
a
a
aaaaaCos
xxaaaaaSin
cot2
1cot
2cot
tan1
tan2
2tan
sin211cos2sincos2
)cos(sin11)cos(sincossin22
2
2
2222
22
−
=
−
=
−=−=−=
−−=−+==
a
aa
aTan
aaaCos
aaaSin
2
3
3
3
tan31
tantan3
3
cos3cos43
sin4sin33
−
−
=
−=
−=
a
a
aTan
a
aCos
a
aSin
2cos1
2cos1
2
2cos1
2
2cos1
2
22
+
−
=
+
=
−
=
4
3coscos3
4
3sinsin3
3
3
aa
aCos
aa
aSin
+
=
−
= [ ]
[ ]
[ ])sin()sin(
2
1
cos.sin
)cos()cos(
2
1
sin.sin
)cos()cos(
2
1
cos.cos
bababa
bababa
bababa
−++=
−−+−=
−++=
ba
ab
ba
ba
ba
ba
baba
ba
baba
ba
baba
ba
baba
ba
sin.sin
)sin(
cotcot
cos.cos
)sin(
tantan
2
sin.
2
cos2sinsin
2
cos.
2
sin2sinsin
2
sin.
2
sin2coscos
2
cos.
2
cos2coscos
±
=±
±
=±
−+
=−
−+
=+
−+
−=−
−+
=+
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 4 www.toanhocdanang.com
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
A. Tóm tắc lý thuyết :
I. Hàm số y = sinx :
• Miền xác định : D = R.
• siny x= là hàm số lẻ trên R {vì D là miền đối xứng và sin(-x) = - sinx}
• siny x= tuần hoàn với chu kỳ π2 . {vì sin(x + k π2 ) = sinx với Zk ∈∀ }
• Dựa vào đường tròn lượng giác ta có chiều biến thiên của hàm số y = sinx trên
khoảng (0 , π )
Đồ thị của : siny x=
II. Hàm số cosy x= :
• Miền xác định : D = R.
• cosy x= là hàm số chẵn trên R {vì D là miền đối xứng và cos(-x) = cosx}
• cosy x= tuần hoàn với chu kỳ π2 . {vì cos(x + k π2 ) = cosx với Zk ∈∀ }
• Dựa vào đường tròn lượng giác ta có chiều biến thiên của hàm số y = cosx trên
khoảng (0 , π )
Đồ thị của : cosy x=
x
2
π
0 π
1
00
y
3
2
π
− π−
2
π
− 0
2
π π 3
2
π 2π2π−
1
-1
x
y
y
x
0
2
π
2
π
−
ππ−
3
2
π
−
2π−
1
-1
x
y
π− 0 π
1
-1 -1
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 5 www.toanhocdanang.com
III. Hàm số y = tanx :
• Miền xác định : D = R






∈+ Zkk ,
2
π
π
.
• tany x= là hàm số lẻ trên R {vì D là miền đối xứng và tan(-x) = tanx}
• tany x= tuần hoàn với chu kỳ π . {vì tan(x + kπ ) =tanx với Zk ∈∀ }
• Dựa vào đường tròn lượng giác ta có chiều biến thiên của hàm số coty x= trên
khoảng (-
2
π
,
2
π
)
Đồ thị của: coty x=
III. Hàm số y = cotx :
• Miền xác định : D = R{ }Zkk ∈,π .
• coty x= là hàm số lẻ trên R {vì D là miền đối xứng và cot(-x) = cotx}
• coty x= tuần hoàn với chu kỳ π . {vì cot(x + kπ ) = cotx với Zk ∈∀ }
• Dựa vào đường tròn lượng giác ta có chiều biến thiên của hàm số coty x= trên
khoảng (0 , π )
Đồ thị của: coty x=
x
y
2
π
− 0
−∞
+∞
0
2
π
2
π
π
2
π
−
0π−
3
2
π
−
3
2
π
x
y
x
y
0 0
0
π
−∞
+∞
2
ππ−
2
π
−
0
y
x
3
2
π 2ππ
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 6 www.toanhocdanang.com
B. Các dạng toán :
1. Tìm tập xác định của hàm số ( )y f x= : Thực hiện theo một trong hai hướng sau.
• D là tập hợp tất cả các giá trị của x sao cho f(x) có nghĩa.
• Tìm tập hợp S của x để ( )f x không có nghĩa , từ đó có tập xác định là D = RS .
Chú ý :
+) với các hàm lượng giác cơ bản :
siny x= có miền xác định : D = R. cosy x= thì D = R.
tany x= có miền xác định : D = R






∈+ Zkk ,
2
π
π
coty x= thì D = R { }Zkk ∈,π .
+) f(x) cho bởi các đa thức đại số:
Nếu f(x) =
)(
)(
2
1
xf
xf
thì điều kiện f(x) có nghĩa là



≠ 0)(
~
..)...(..).(
2
21
xf
ainghcóxfvàxf
Nếu f(x) = k xf2
2 )( ).( Zk ∈ thì điều kiện f(x) có nghĩa là



≥ 0)(
~
..)..(
2
1
xf
ainghcóxf
Các ví dụ:
Ví dụ 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a.
2
sin
1
x
y
x
 
=  
− 
b. 2 siny x= − c. 2
1 cosy x= −
d.
1
sin 1
y
x
=
+
e. tan
6
y x
 
= − 
 
π
f. =
−
1
tan 1
y
x
g. siny x= h.
tan
2cos 1
x
y
x
=
−
i.
1 2 sin
cot 3
x
y
x
+
=
−
Hướng dẩn giải :
a. Hàm số
2
sin
1
x
y
x
 
=  
− 
xác định
2
1
x
x
⇔
−
có nghĩa 1 0 1x x⇔ − ≠ ⇔ ≠
Vậy hàm số có tập xác định là {1}D R=
b. Hàm số xác định 2 sin 0 sin 2x x⇔ − ≥ ⇔ ≤ đúng x R∀ ∈ (vì 1 sin 1,x x R− ≤ ≤ ∀ ∈ )
Vậy hàm số có tập xác định là D R=
c. Hàm số xác định 2 2
1 cos 0 sin 0x x⇔ − ≥ ⇔ ≥ đúng x R∀ ∈
Vậy hàm số có tập xác định là D R=
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 7 www.toanhocdanang.com
d. Hàm số xác định sin 1 0 sin 1 sin 1 2
2
x x x x k
π
π⇔ + > ⇔ > − ⇔ ≠ − ⇔ ≠ − +
(vì 1 sin 1,x x R− ≤ ≤ ∀ ∈ ). Vậy tập xác định của hàm số là
 2 |
2
D R k k Z
π
π
 
= − + ∈ 
 
e. Hàm số xác định
2
cos 0
6 6 2 3
x x k x k
π π π π
π π
 
⇔ − ≠ ⇔ − ≠ + ⇔ ≠ + 
 
Vậy tập xác định của hàm số là
2
 |
3
D R k k Z
π
π
 
= + ∈ 
 
f. Hàm số xác định
tan 1 4
cos 0
2
x k
x
x
x k
π
π
π
π

≠ +≠ 
⇔ ⇔ 
≠ = +

Vậy tập xác định của hàm số là , |
4 2
D k k k Z
π π
π π
 
= + + ∈ 
 
g. Hàm số xác định sin 0 2 2x k x kπ π π⇔ ≥ ⇔ ≤ ≤ +
(nữa đường tròn LG phía trên trục Ox)
Vậy tập xác định của hàm số là [ ]2 , 2D k kπ π π= + , k Z∀ ∈
h. Hàm số xác định
cos 0 1
cos
2cos 1 0 2
x
x
x
≠
⇔ ⇔ >
− >
2 2
3 3
k x k
π π
π π⇔ − + < < +
Vậy tập xác định của hàm số là
2 , 2
3 3
D k k
π π
π π
 
= − + +  
, k Z∀ ∈
i. Hàm số xác định
sin 0
cot 3
1
sin
2
x
x
x

 ≠

⇔ ≠

 ≥ −

6
3
2 2
4 4
3
2 2
4 4
x k
x k k x k
k x k
π
π
π π
π π π
π π
π π

≠ +

⇔ ≠ ⇔ − + ≤ ≤ − +

− + ≤ ≤ − +

Vậy hàm số có tập xác định là:
3
2 , 2
4 4
D k k
π π
π π
 
= − + − +  
, k Z∀ ∈
sin
cos
1
2
0
3
π
−
3
π
sin
cos
1
2
−
0
cot
3
6
π
6
π
−
3
4
π
− 4
π
−
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 8 www.toanhocdanang.com
Ví dụ 2:(Dạng nâng cao) Cho hàm số : 4 4
sin cos 2 sin cosy x x m x x= + −
Tìm tất cả các giá trị m để hàm số trên xác định x R∈ (trên toàn trục số)
Giải :
Ta có : ( ) ( )
2 24 4 2 2
( ) sin cos 2 sin cos sin cos sin 2g x x x m x x x x m x= + − = + −
( )
22 2 2 2 21
sin cos 2sin cos sin 2 1 sin 2 sin 2
2
x x x x m x x m x= + − − =− −
Đặt: [ ]sin 2 1,1t x t= ⇒ ∈ −
Hàm số xác định với mọi x R∈ ⇔ ( ) 0 ,g x x R≥ ∀ ∈
[ ]21
1 0, 1,1
2
t mt t⇔ − − + ≥ ∀ ∈ −
[ ]2
( ) 2 2 0, 1,1f t t mt t⇔ = + − ≤ ∀ ∈ −
Dễ thấy ( ) 0f t = có hai nghiệm 1 20t t< < (vì 1, 2a c= = − trái dấu)
Cách 1: sử dụng định lý viet
Khi đó ta có bảng xét dấu của ( )f t như sau :
Từ bảng xét dấu trên ta thấy :
[ ]
( )( )
( )( )
1 21 22
1 2
1 2 1 2
1 1 01 0 1
( ) 2 2 0, 1,1 1 1
1 0 1 1 1 0
t tt t
f t t mt t t t
t t t t
+ + ≤+ ≤ < + 
= + − ≤ ∀ ∈ − ⇔ ≤ − < ≤ ⇔ ⇔ 
− < ≤ − − − ≤ 
1 2 1 2
1 2 1 2
( ) 1 0 2 2 1 0 1 1
( ) 1 0 2 2 1 0 2 2
t t t t m
m
t t t t m
+ + + ≤ − − + ≤ 
⇔ ⇔ ⇔ − ≤ ≤ 
− + + ≤ − + + ≤
(theo viet cho ( ) 0f t = )
Vậy hàm số xác định trên toàn trục số khi
1 1
2 2
m− ≤ ≤
t
( )f t
−∞ 1t 2t +∞
0 0-+ +
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 9 www.toanhocdanang.com
Cách 2: Sử dụng tính chất đồ thị của Parabol
Vì 2
( ) 2 2f t t mt= + − có hệ số 1 0a= > nên đồ thị của ( )f t sẽ rơi vào 1 trong 3 dạng sau.
Do đó ta có:
[ ]1,1
( ) (1)Max f t f
−
= hoặc
[ ]1,1
( ) ( 1)Max f t f
−
= −
[ ] [ ]
2
1,1
( ) 2 2 0, 1,1 ( ) 0ycbt f t t mt t Max f t
−
⇔ = + − ≤ ∀ ∈ − ⇔ ≤
(1) 0 1 2 0 1 1
( 1) 0 1 2 0 2 2
f m
m
f m
≤ − + ≤ 
⇔ ⇔ ⇔ − ≤ ≤ − ≤ − − ≤ 
Bình luận: Ở cách giải 2, ta đã dùng cở sỏ lý thuyết sau: Với fS D⊂ ( fD : TXĐ của ( )f x )
• ( ) , ( )
S
f x m x S Max f x m≤ ∀ ∈ ⇔ ≤
• ( ) , ( )
S
f x m x S Min f x m≥ ∀ ∈ ⇔ ≥
• ( ) , ( )
S
f x m x S Min f x m≤ ∃ ∈ ⇔ ≤
• ( ) , ( )
S
f x m x S Max f x m≥ ∃ ∈ ⇔ ≥
Bài tập áp dụng :
Bài 1: Tìm tập xác định của hàm số :
a) y =
1cos2
1
−x
(ĐS: D = R , |
3 3
k k k Z
π π
π π
 
+ − + ∈ 
 
)
b) y =
)22)(sin1(tan
2
−− xx
(ĐS: D = R , |
2 4
k k k Z
π π
π π
 
+ + ∈ 
 
)
y
y y
ttt
(1)f
(1)f
(1)f
1 1 1-1 -1 -1
( 1)f −
( 1)f −
( 1)f −
0 0 0
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 10 www.toanhocdanang.com
Bài 2: Tìm tập xác định của hàm số :
a) y = 2
1 sinx cos x+ − (ĐS: D =
5
2 ; 2
6 6
k k
π π
π π
 
+ +  
)
b) y =
3tan)13(tan
2
2
−+−− xx
(ĐS: D = ;
3 4
k k
π π
π π
 
− + − + 
 
)
Bài 3: Cho hàm số : 4 4
2 .y sin x cos x msinx cosx= + − .
Tìm giá trị của tham số m để hàm số xác định vơi Rx∈∀ (ĐS: –
2
1
≤m ≤
2
1
)
Bài 4: Tìm tập xác định của hàm số :
a) y =
1
1 2 1 2
cosx cosx
cosx cosx
−
−
+ −
HD: 2
1 1 1
1 2 1 2 1 4cos 2cos2 1
cosx cosx
cosx cosx x x
− −
− = =
+ − − +
Hàm số xác định
1
cos2
2
x⇔ > − ⇔
4 4
2 2
3 3
k x k
π π
π π− + < < +
b) y =
3cot
1
−x
ĐS:  , |
6
D R k k k R
π
π π
 
= + ∈ 
 
HD:
sin 0
cot 3
x
x
≠

≠
c) y = 2
1
4 5 2cosx sin x− −
ĐS:  2 , |
3 3
D R k k k R
π π
π π
 
= − + ∈ 
 
HD: 2 2 2
cos 2
4 5 2 0 4 5 2(1 cos ) 0 2cos 5cos 2 0 1
cos
2
x
cosx sin x cosx x x x
x
≠

− − ≠ ⇔ − − − ≠ ⇔ − + ≠ ⇔ 
≠
2. Xét tính tuần hoàn của hàm số :
Dạng 1:Chứng minh hàm số ( )y f x= có tính chất tuần hoàn .
• Đoán số thực T >0 ( có thể là chu kỳ của hàm số hoặc cũng có thể là bội nguyên của
chu kỳ).
• Chứng minh Dx∈∀ ta luôn có
( ) ( )
x T D và x T D
f x T f x
− ∈ + ∈

+ =
• Kết luận ( )y f x= là hàm số tuần hoàn .
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 11 www.toanhocdanang.com
Ví dụ: Chứng minh hàm số
2
( ) 2cos 2 1
3
y f x x
π 
= = − + 
 
là một hàm số tuần hoàn.
Giải
Ta có:
2
( ) 2cos 2 1 cos 4 2
6 3
y f x x x
π π   
= = − += − +   
   
có TXĐ: D = R.
Xét
2
T
π
= ta có:
2
x R x T x R
π
∀ ∈ ⇒ + = + ∈
( ) sin 4 2 sin 4 2 2
2 3 3
f x T x x
π π π
π
      
+= + − += − + +      
      
sin 4 cos2 cos 4 sin 2 2 sin 4 2 ( ) ,
3 3 3
x x x f x x R
π π π
π π
     
= − + − += − += ∀ ∈     
     
Vậy hàm số tuần hoàn {Dễ dàng chứng minh được chu kỳ chình là
2
T
π
= }
Dạng 2:Chứng minh TO là chu kỳ của hàm số ( )y f x= (Chứng minh phản chứng)
• Giả sử RT ∈∃ sao cho 0 < T < TO
(1)
thỏa mãn Dx∈∀ thì ( ) ( )f x T f x+ =
(2)
• Biến đổi đẳng thức (2) để có được mâu thuẫn với giả thiết (1).
• Mâu thuẫn trên chứng tỏ TO là số thực dương bé nhất thỏa mãn tính chất tuần hoàn của
hàm số
⇒ TO là chu kỳ của ( )y f x=
Ví dụ: Chứng minh hàm số ( ) sin 2y f x x= = có chu kỳ là T π=
Giải
Giả sử RT ∈∃ : (1)
0 T π< < thỏa mãn x R∀ ∈ thì ( ) ( )f x T f x+ =
Khi đó ta có: (*)
( ) ( ), sin(2 2 ) sin 2 ,f x T f x x R x T x x R+= ∀ ∈ ⇔ + = ∀ ∈
Xét
4
x
π
= ta có: sin 2 sin 1 2 2
2 2 2 2
T T k T k
π π π π
π π
 
+ = = ⇔ + = + ⇔ = 
 
mâu thuẫn với (1)vì k Z∈
Do đó không có số dương T nào nhỏ hơn π thỏa điều kiện ( ) ( )f x T f x+ = , x R∀ ∈
Vậy hàm số ( ) sin 2y f x x= = có chu kỳ T π=
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 12 www.toanhocdanang.com
Bình luận:Để có thể dẫn đến mâu thuẫn thì ta phải xét
4
x
π
= để sin 2 sin 1
2
x
π
= =
(tức là luôn chọn giá trị cho x để vế phải của (*) bằng 1
Dạng 3:Xác định chu kỳ của hàm số lượng giác bất kỳ.(sử dụng các chú ý sau)
Các chú ý cần nhớ về chu kỳ của hàm số lượng giác :
• Các hàm số y = sin(ax + b) + c và y = cos(ax + b) + c (với a ≠ 0)
tuần hoàn với chu kỳ T =
a
π2
• Các hàm số y = tan(ax + b) + c và y = cot(ax + b) + c (với a ≠ 0)
tuần hoàn với chu kỳ T =
a
π
• Giả sử ( )f x và ( )g x tuần hoàn với chu kỳ tương ứng là Tf , Tg .
⇒ ( ) ( ) ( )F x mf x ng x= + tuần hoàn với chu kỳ: T = BSCNN(Tf ,Tg)
• Trong trường hợp hám số chứa các số hạng chứa các hàm lượng giác bậc cao
hoặc có dạng tích ta cần dùng công thức hạ bậc hoặc công thức tích thành
tổng trước khi đi tìm chu kỳ.
• Nếu ( )f x tuần hoàn thì đồ thị của chúng cắt trục hoành (nếu có) tại những
điểm cách đều nhau.
Bài tập áp dụng :
Bài 1: Chứng minh rằng hàm số y = sinx tuần hoàn với chu kỳ T = 2π .
Bài 2: Hàm số nào sau đay có tính chất tuần hoàn .Xác định chu kỳ của nó (nếu có)
a) ( )f x = tan(3x -
6
π
) (ĐS: T =
3
π
) b) ( )f x = 2cos2
(2x +
3
π
) (ĐS: T =
2
π
)
c) ( )f x = sin2
x (ĐS: T = π )
Bài 3: Hàm số nào sau đay có tính chất tuần hoàn .Xác định chu kỳ của nó (nếu có)
a) ( )f x = sinx +
2
1
sin2x +
3
1
sin3x (ĐS: T = 2π )
b) f(x) = 2tan
2
x
– 3tan
3
x
(ĐS: T = 6π )
c) ( )f x = cosx + (1 + cos2x) + (cos3x – 3cosx) (ĐS: T = 2π )
d) ( )f x = sinx + sin(x 2 )
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 13 www.toanhocdanang.com
HD: không tuần hoàn vì 2 ∉Q nên không có khái niệm bội số chung
e) ( )f x = tan x
HD: nếu f tuần hoàn thì đồ thị của chúng cắt trục hoành tại những
điểm cách đều nhau
f) ( )f x = sin(x2
) (HD: tương tự câu e )
g) ( )f x = xtan (ĐS: T = π )
h) ( )f x = 2cos2
x + 3cos3
x + 8cos4
x (ĐS: T = 2π )
3. Xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác :
Phương pháp :
• Tìm tập xác định D và kiểm tra tính chất đối xứng của D.
+) Nếu Dx∈∃ ⇒ Dx∉− . Ta kết luận : Tập D không đối xứng nêu hàm số
không chẵn không lẻ
+) Nếu Dx∈∀ ⇒ – x ∈ D. Ta có : D là tập đối xứng , thực hiện tiếp bước 2.
• Xác định ( )f x−
+) Nếu ( ) ( )f x f x− = . Ta kết luận : ( )y f x= là hàm số chẵn.
+) Nếu ( ) ( )f x f x− =− . Ta kết luận : ( )y f x= là hàm số lẻ.
+) Nếu ( ) ( )f x f x− ≠ và ( ) ( )f x f x− ≠ − . Ta kết luận : y = f(x) là hàm số
không chẵn không lẻ
Chú ý : ( Tính chất đối xứng của hàm lượng giác cơ bản)
• y = sinx có vô số tâm đối xứng là Ik (kπ ; 0) và vô số trục đối xứng x =
2
π
+ kπ (k ∈Z)
• y = sinx có vô số tâm đối xứng là Ik (
2
π
+kπ ; 0) và vô số trục đối xứng x = kπ (k ∈Z)
• y = tanx có vô số tâm đối xứng là Ik ( k
2
π
; 0 ) ( với k ∈Z)
• y = cotx có vô số tâm đối xứng là Ik ( k
2
π
; 0 ) ( với k ∈Z)
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 14 www.toanhocdanang.com
Ví dụ 1: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số:
1
( )
2sin 3
y f x
x
= =
+
Giải
Tập xác đinh: D R=
Ta có : x R x R∀ ∈ ⇒ ∈
Xét
6
x
π
= ta có:
1 1 1
16 42sin 3 2. 3
6 2
f
π
π
 
= = = 
  + +
1 1 1
16 2
2sin 3 2. 3
6 2
f
π
π
 
−= = = 
     − + − +   
   
Do đó:
6 6
f f
π π   
− ≠ −   
   
đồng thời
6 6
f f
π π   
− ≠   
   
Vậy hàm số
1
2sin 3
y
x
=
+
không có tính chẵn , lẻ.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng đồ thị của hàm số
−
= =
+
sin tan
( )
2sin 3cot
x x
y f x
x x
nhận Oy làm trục
đối xứng.
Giải
Hàm số xác định
2
2
sin 0
2
cos 0 2
22
22cos 3cos 2 02sin 3cot 0
2sin 3cos 0 3
x k
x x k
x k
x x k
x kx xx x
x x
π π
π
π
π
π
π
≠ ≠  ≠ ≠   
⇔ ≠ ⇔ ≠ + ⇔ ⇔   
    ≠ ± +− + + ≠+ ≠   + ≠ 
TXĐ:
2
 , 2 |
2 3
D R k k k Z
π π
π
 
= ± + ∈ 
 
Do đó ta có: (1)
x D x D∀ ∈ ⇒ − ∈
x D∀ ∈ ta có
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
− − − − − −
−= =
− + − − + −
sin tan sin tan
( )
2sin 3cot 2 sin 3 cot
x x x x
f x
x x x x
( )
( )
− − −
= = =
+− +
(2)
sin tan sin tan
( )
2sin 3cot2sin 3cot
x x x x
f x
x xx x
{theo công thức đối}
Từ (1) và (2) ta có:
−
=
+
sin tan
2sin 3cot
x x
y
x x
là hàm số chẵn
Vậy đồ thị của hàm số
−
=
+
sin tan
2sin 3cot
x x
y
x x
nhận Oy là trục đối xứng.
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 15 www.toanhocdanang.com
Bài tập áp dụng :
Bài 1: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số :
( )f x = sin2009
x + cosnx với (n∈Z) ĐS: không chẳn,không lẻ
Bài 2: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số :
a) ( )f x =
xx
x
tansin
2
+
ĐS: Hàm số lẻ
b) ( )f x = x sinx ĐS: lẻ
c) ( )f x =
x
xn
cos
2009sin2008
+
(n∈Z) ĐS: Chẵn
Bài 2: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số :
a) 2sin 3y x= − ĐS: không chẵn ,không lẻ (vì 1
2
f
π 
= − 
 
, 5
2
f
π 
− =− 
 
)
b)
1
2sin 1
y
x
=
−
ĐS: không chẵn ,không lẻ
HD: TXĐ:
5
 2 , 2 |
6 6
D R k k k Z
π π
π π
 
= + + ∈ 
 
do đó ta có:
6
D
π
− ∈ mà
6
D
π
∉
c) sin cosy x x= + ĐS: không chẵn ,không lẻ (vì
3 1
3 2
f
π + 
= 
 
,
3 1
3 2
f
π − + 
− = 
 
)
d) tan coty x x= + ĐS: Hàm số lẻ
e) sin cosy x x= ĐS: Hàm số lẻ
f)
+
=
3
3
cos 1
sin
x
y
x
ĐS: Hàm số lẻ
g) = tany x ĐS: Hàm số chẵn
Bài 3: Chứng minh rằng đồ thị hàm số sau có trục đối xứng :
6 4 2
cos
( )
6 4 2 1
x
y f x
x x x
= =
+ + +
HD: Chứng minh ( )f x là hàm số chẵn ⇒ dfcm
Bài 4: Chứng minh rằng đồ thị hàm số sau có tâm đối xứng :
2008
cos 2009
( )
sin
n
x
y f x
x
+
= = HD: Chứng minh ( )f x là hàm số lẻ ⇒ dfcm
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 16 www.toanhocdanang.com
4. Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm lượng giác :
Chuyển hàm số y = f(x) về dạng các hàm số lượng giác cơ bản và xét chiều biến thiên theo
bảng( với k ∈Z).
SinU cosU tanU cotU
Đồng biến (-
2
π
+ k2π ,
2
π
+ k2π
)
Nữa ĐTLG có hoánh
độ >0
(-π + k2π , k2π )
Nữa ĐTLG có tung độ
> 0
R






∈+ Zkk ,
2
π
π
Cả miền xác
định
Nghịch
biến
(
2
π
+ k2π , 3
2
π
+ k2π
)
Nữa ĐTLG có hoánh
độ <0
(k2π , π + k2π )
Nữa ĐTLG có tung độ
> 0
R { }Zkk ∈,π
Cả miền xác
định
Ví dụ: Xét sự biến thiên củ hàm số 4sin cos sin 2
6 6
y x x x
π π   
= + − −   
   
trên 1 chu kỳ của nó.
Từ đó suy ra sự biến thiên trên toàn trục số.
Giải
Ta có : 4sin cos sin 2 2 sin 2 sin sin 2 sin 2 3
6 6 3
y x x x x x y x
π π π     
= + − − = + − ⇔ = +     
     
Do đó hàm số đã cho có chu kỳ T π= nên ta xét sự biến thiên trên [ ]0 , π
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta có:
Hàm số đồng biến trên các khoảng 0 ,
4
π 
 
 
và
3
,
4
π
π
 
 
 
Hàm số nghịch biến trên khoảng
3
,
4 4
π π 
 
 
x
2x
y
4
π
0 2
π 3
4
π
π
0
2
π π 3
2
π 2π
3
1 3+
3
1 3− +
3
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 17 www.toanhocdanang.com
Hàm số: 4sin cos sin 2
6 6
y x x x
π π   
= + − −   
   
sin 2 3y x⇔= + tuần hoàn với chu kỳT π=
Hàm số đồng biến trên các khoảng ,
4
k k
π
π π
 
+ 
 
và
3
,
4
k k
π
π π π
 
+ + 
 
Hàm số nghịch biến trên khoảng
3
,
4 4
k k
π π
π π
 
+ + 
 
với k Z∈
Bài tập áp dụng :
Bài 1: Xét sự biến thiên của hàm số sau trên một chu kỳ của nó
a) y = tan2x b) y = 1 – sinx.
Bài 2: Xét sự biến thiên của hàm số sau trên một chu kỳ của nó
y = sinx – cosx
Bài 3: Xét sự biến thiên của hàm số sau trên một chu kỳ của nó
a) y = cos2x b) y = cot3x
Bài 4: Vẽ đồ thị của các hàm số :
a) y = xcos b) y = xtan
c) y = cot(-x) d) y = 1 – sinx
Bài 5: Vẽ đồ thị của các hàm số :
a) y = sin(x –
4
π
) b) y = 1 + cosx
c) y = cot(x –
3
π
) d) y = tan(2x –
6
π
)
5. Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác :
Sử dụng tính bị chặn của hàm số lượng giác ( với k ∈Z).
• -1 ≤ sin2k+1
[f(x)] ≤ 1 [ ( )]sin f x ≤ 1 0 ≤ sin2k
[f(x)] ≤ 1
• -1 ≤ cos2k+1
[f(x)] ≤ 1 [ ( )]cos f x ≤ 1 0 ≤ cos2k
[f(x)] ≤ 1
Sử dụng tính chất của tam thức bậc hai .
• Nếu a < 0 thì 2
ax bx c+ + ≤ –
a4
∆
• Nếu a > 0 thì 2
ax bx c+ + ≥ –
a4
∆
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 18 www.toanhocdanang.com
• Nếu hàm số bật 2 mà có điều kiện không phải x R∀ ∈ thì ta phải lập bảng biến
thiên của Parabol tương ứng để tìm được GTLN hoặc GTNN.
Sử dụng tính chất của hàm số bậc nhất theo Sin , Cos
sin cosy a u b u= + ⇒ 2 2
2 2 2 2
sin cos
a b
y u u a b
a b a b
 
= + + 
+ + 
Vì
2
22 







+ ba
a
+ = 1 ⇒ R∈∃α sao cho 2 2
cos
a
a b
α =
+
và 2 2
sin
b
x
a b
=
+
⇒ 2 2 2 2
(sin .cos cos .sin ) sin( )y a b u u y a b uα α α= + + ⇒ = + +
Vì -1 ≤ sin(u +α ) ≤ 1 ⇒ – 22
ba + ≤ y ≤ 22
ba +
 Mở rộng :
• a.sinx + b.cosx = c (1)
. ∃x thỏa (1) ⇔ – 22
ba + ≤ c ≤ 22
ba +
• [ ] [ ].sin ( ) cos ( )y a f x b f x c= + + ⇔ – 22
ba + + c ≤ y ≤ 22
ba + + c
Ví dụ 1: Cho hàm số 2
2cos 2 3sin cos 1y x x x= − +
a. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên
b. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn
7
0 ,
12
π 
  
.
Giải
2
2cos 2 3sin cos 1 cos2 3sin 2 2y x x x x x= − += − +
1 3
2 cos2 sin 2 2 2 cos2 cos sin 2 sin 2
2 2 3 3
y x x x x
π π   
⇔= − += − +       
2cos 2 2
3
y x
π 
⇔= + + 
 
a. Ta có: 1 cos 2 1,
3
x x R
π 
− ≤ + ≤ ∀ ∈ 
 
2 2cos 2 2
3
x
π 
⇔ − ≤ + ≤ 
 
, x R∀ ∈
0 2cos 2 2 4
3
x
π 
⇔ ≤ + + ≤ 
 
, x R∀ ∈
0 4y⇔ ≤ ≤ , x R∀ ∈
Vậy ( ) 4Max y = khi cos 2 1
3 6
x x k
π π
π
 
+ =⇔ =− + 
 
( ) 0Min y = khicos 2 1
3 3
x x k
π π
π
 
+ =− ⇔ = + 
 
2
22 







+ ba
b
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 19 www.toanhocdanang.com
b. 2cos 2 2
3
y x
π 
= + + 
 
7 7 3
0 , 0 2
12 12 3 3 2
x x x
π π π π π 
∀ ∈ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ + ≤  
Lập bảng biến thiên của hàm số 2cos 2 2
3
y x
π 
= + + 
 
trên đoạn
7
0 ,
12
π 
  
Từ bảng biến thiên ta thấy:
7
0 ,
12
( ) 0Min f x
π 
 
 
= Khi
3
x
π
=
7
0 ,
12
( ) 3Max f x
π 
 
 
= khi x = 0
Ví dụ 2: Tìm GTNN và GTLN của hàm số 4
sin cosy x x= −
Giải
Ta có:
4
4
0 sin 1
1 sin cos 1 1 1
0 cos 1
x
x x y
x
 ≤ ≤
⇒ − ≤ − ≤ ⇔ − ≤ ≤
≤ ≤
( ) 1Max y = khi
2
sin 1 2
2
cos 0 2
2
x k
x
x k
x
x k
π
π
π
π
π
π

= += 
⇔ ⇔ = + 
= = +

( ) 1Min y = − khi
sin 0
2
cos 1 2
x x k
x k
x x k
π
π
π
= = 
⇔ ⇔ = 
= = 
x
( )f x
2
3
x
π
+
3
π
2
π π 3
2
π
3
2
0
2
0 12
π
3
π 7
12
π
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 20 www.toanhocdanang.com
Bài tập áp dụng :
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của các hàm số .
a) y = 2sinx + 4 (ĐS: 6 và 2)
b) y = 1 – 2cosx – 2sin2
x (ĐS: 3 và
2
3
− )
c) y = sinx + 3 cosx (ĐS:2 và -2)
d) y =
3cossin2
3cos2sin
++
++
xx
xx
(ĐS:2 và
2
1
)
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của các hàm số .
a) y = 2(1 + sin2x.cos4x) –
2
1
(cos4x – cos8x) (ĐS: 5 và 1)
b) y = sin10
x + cos10
x (ĐS: 1 và
16
1
)
c) y =
2cossin
cos2
−+
+
xx
x
d) y =
4sincos2
3cos2sin
+−
++
xx
xx
e) y =
1cos
1coscos2 2
+
++
x
xx
f) y = 2sin2
x + 4sinx.cosx + 5
g) y = 1 +
x
x
cos2
sin3
+
h) y = 22
1
4
cos
1
2
sin
x
x
x
x
+
+
+
+ 1
Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số .
y =
xx cos
1
sin
1
+ (ĐS: 2 2 )
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số .
y = xxxx 2222
cos7sinsin7cos +++ (4 và 1 + 7 )
Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số .
y = xx cossin +
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 21 www.toanhocdanang.com
Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số .
a) y = sinx + 3sin2x
b) y = xx cos21sin21 +++
c) y = cos3x + 2sin2
2
x
Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của các hàm số .
a) y = xx sin21cos21 −+−
b) y = xx sin21cos21 +++
c) y =
xx
xx
24
24
cos4sin3
sin4cos3
+
+
Bài 8: Tìm m để giá trị nhỏ nhất của hàm số : y =
2cos
1sin.
+
+
x
xm
nhỏ hơn – 1 .
Bài 9: Cho hàm số : y =
2sincos
sin2
++
+
xx
mxm
.
a) Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số với m = 1.
b) Xác định m để giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 10: Cho hàm số : y =
2sincos
1cos2
++
++
xx
mxm
.
a) Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số với m = 1.
b) Xác định m để giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 11: Cho hàm số :
F(x) = cos2
2x + 2(sinx + cosx)2
– 3sin2x + m.
Tính theo m giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của F(x).Từ đó tìm m sao cho F2
(x)≤ 36 ,∀ x ∈R
Bài 12: Tìm giá trị nhỏ nhất của :
a.
1 1
sin cos
y
x x
= + với 0
2
x
π
< <
b.
9
4 siny x x
x
π
= + + với 0 x< < +∞
c. 2
2sin 4sin cos 5y x x x= + +
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 22 www.toanhocdanang.com
Bài 13: Tìm giá trị nhỏ nhất của :
a. sin cos cos siny x x x x= +
b. sin 3sin 2y x x= +
c. 2
cos 2 cosy x x= + −
6. Một số phép biến đổi đồ thị:
• Từ đồ thị hàm số y = f(x), suy ra đồ thị hàm số ( )y f x a= ± hoặc ( )y f x a= ± thì ta
thực hiện phép tịnh tiến như hình vẽ .
• Từ đồ thị y = f(x), suy ra đồ thị y = –f(x) bằng cách lấy đối xứng đồ thị y =
f(x) qua trục hoành.
• Từ đồ thị y = f(x), suy ra đồ thị y = f(-x) bằng cách lấy đối xứng đồ thị
y = f(x) qua trục tung.
• Đồ thị f x neáu f x
y f x
f x neáu f x
( ), ( ) 0
( )
( ), ( ) 0
 ≥
= = 
− <
được suy từ đồ thị y = f(x) bằng cách giữ
nguyên phần đồ thị y = f(x) ở phía trên Ox và bỏ phần đồ thị phía dưới Ox đồng thời
lấy đối xứng phần đồ thị y = f(x) nằm ở phía dưới Ox qua trục Ox.
• Đồ thị  ≥
= =  − <
( ), 0
( )
( ), 0
f x neáu x
y f x
f x neáu x
được suy từ đồ thị y = f(x) bằng cách giữ
nguyênphần đồ thị y = f(x) ở phía phải Oy ( 0x ≥ ) và bỏ phần đồ thị phía trái Oy
đồng thời lấy đối xứng phần đồ thị y = f(x) nằm ở phía phải Oy qua trục Oy.
• Đồ thị . ( )y k f x= được suy từ đồ thị y = f(x) bằng cách có ( 1k < ) giản ( 1k > ) theo
phương của trục tung (Oy) theo tỷ số k
• Đồ thị ( . )y f k x= được suy từ đồ thị y = f(x) bằng cách có ( 1k < ) giản ( 1k > ) theo
phương của trục hoành (Ox)theo tỷ số k
( )y f x=
( )y f x a= + (cùng chiều dương trục Oy)
a đơn vị
( )y f x a= − (ngược chiều dương trục Oy)
( )y f x a= + ( )y f x a= −
với 0a >
(cùng chiều dương trục Ox)
(ngược chiều dương trục Ox)
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 23 www.toanhocdanang.com
Ví dụ 1: Cho hàm số 3cos2y x=
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên .
b. Từ đồ thị của hàm số cos2y x= hãy suy ra đồ thị của 3sin 2 2
3
y x
π 
= + + 
 
Giải
a. TXĐ: D = R
Bảng biến thiên:
Hàm số ngịch biến trên các khoảng ,
2
k k
π
π π
 
+ 
 
Hàm số đồng biến trên các khoảng ,
2
k k
π
π π π
 
+ + 
 
,k Z∈ (vì hàm số có chu kỳT π= )
Đồ thị:
Nhận xét : Đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng , Hàm số tuần hoàn với chu kỳ T π=
b.
Bước 1: Bằng cách tịnh tiến (C): cos2y x= theo ngược chiều dương của trục
Ox
6
π
đơn vị ta có được đồ thị (C’): 3sin 2
3
y x
π 
= + 
 
vì ( ') : 3sin 2
6
C y x
π 
= + 
 
x
2x
( )f x
2π0
2
π π 3
2
π
0 4
π
2
π 3
4
π
π
3
0
-3
0
3
x
y
3
-3
0
4
π
2
π 3
4
π π 5
4
π
2
π
−
4
π
−π−
x
y
3
-3
0
12
π
3
π 7
12
π 5
6
π 13
12
π5
12
π
−
6
π
−2
3
π
−
7
6
π
−
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 24 www.toanhocdanang.com
Bước 2: Bằng cách tịnh tiến đồ thị (C’): 3sin 2
3
y x
π 
= + 
 
lên trên 2 đơn vị
(theo cùng chiều dương của trục Oy) ta có đồ thị ( ") : 3sin 2 2
3
C y x
π 
= + + 
 
Bước 3: Bằng cách giữ nguyên phần đồ thị (C”): 3sin 2 2
3
y x
π 
= + + 
 
nằm phía
trên trục Ox , và bỏ phần đồ thị phía dưới Ox đồng thời lấy đối xứng phần đồ thị
(C”) nằm ở phía dưới Ox qua trục Ox ta thu được đồ thị của hàm số :
3sin 2 2
3
y x
π 
= + + 
 
như hình vẽ sau:
Ví dụ 2: Tìm các phép biến hình để có thể biến đồ thị (C) thành (C’) sau đay:
a. ( ): sinC y x= ( ') : sin 1
3
C y x
π 
=− + + 
 
b. ( ) : 2tan
6
C y x
π 
= − 
 
( ') : 2tan 3
6
C y x
π 
= − − − 
 
c. ( ): cosC y x= ( ') : cos 3
4
C y x
π 
= − + 
 
d. ( ): cosC y x= ( '): 2cos 2C y x=− +
x
y
3
-1
0
3
π
5
6
π 13
12
π
6
π
−
2
3
π
−
7
6
π
−
x
y
3
-1
0
3
π
5
6
π 13
12
π
6
π
−2
3
π
−7
6
π
−
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 25 www.toanhocdanang.com
Giải
a. Để biến đổi (C) thành (C’) ta cần thực hiên lần lượt các bước sau:
Bươc 1: Tịnh tiến (C) sang trái
3
π
đơn vị ta có( )1 : sin
3
C y x
π 
= + 
 
(theo ngược chiều dương trục Ox )
Bươc 2: Đối xứng ( )1C qua trục Ox ta được ( )2 : sin
3
C y x
π 
=− + 
 
Bươc 3: Tịnh tiến ( )2C lên trên 1 đơn vị ta có ( )'C (theo chiều dương trục Oy )
b. Để biến đổi (C) thành (C’) ta cần thực hiên lần lượt các bước sau:
Bươc 1: Đối xứng ( )C qua trục Ox ta được ( )1 : 2tan
6
C y x
π 
= − − 
 
Bươc 2: Tịnh tiến ( )1C xuống dưới 3 đơn vị ta có ( )'C
(theo ngược chiều dương trục Oy )
c. Để biến đổi (C) thành (C’) ta cần thực hiên lần lượt các bước sau:
Bươc 1: Tịnh tiến (C) sang phải
4
π
đơn vị ta có( )1 : cos
4
C y x
π 
= − 
 
(theo chiều dương trục Ox )
Bươc 2:Giữ nguyên phần đồ thị ( )1C ở phía phải Oy ( 0x ≥ ) và bỏ phần đồ
thị phía trái Oy đồng thời lấy đối xứng phần đồ thị ( )1C nằm ở phía
phải Oy qua trục Oy, ta thu được đồ thị ( )2 : cos
4
C y x
π 
= − 
 
Bươc 3: Tịnh tiến ( )2C lên trên 3 đơn vị ta có được đồ thị ( )'C
(theo chiều dương trục Oy)
d. Để biến đổi (C) thành (C’) ta cần thực hiên lần lượt các bước sau:
Bươc 1: Thực hiện phép giản (C) 2 đơn vị ta thu được ( )1 : 2cosC y x=
Bươc 2: Đối xứng ( )1 : 2cosC y x= qua trục Ox ta thu được ( )2 : 2cosC y x= −
Bươc 3: Tịnh tiến ( )2 : 2cosC y x= − lên trên 2 đơn vị ta thu được ( '): 2cos 2C y x=− +
(theo chiều dương trục Oy)

More Related Content

What's hot

Hướng dẫn giải bài tập Đại Số Tuyến Tính
Hướng dẫn giải bài tập Đại Số Tuyến TínhHướng dẫn giải bài tập Đại Số Tuyến Tính
Hướng dẫn giải bài tập Đại Số Tuyến TínhNhóc Nhóc
 
chuyên đề cực trị GTLN và GTNN , rất chi tiết và đầy đủ
chuyên đề cực trị GTLN và GTNN , rất chi tiết và đầy đủ chuyên đề cực trị GTLN và GTNN , rất chi tiết và đầy đủ
chuyên đề cực trị GTLN và GTNN , rất chi tiết và đầy đủ Jackson Linh
 
9 phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên
9 phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên9 phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên
9 phương pháp giải phương trình nghiệm nguyênThấy Tên Tao Không
 
Cong thuc luong giac day du
Cong thuc luong giac  day duCong thuc luong giac  day du
Cong thuc luong giac day duLe Nguyen
 
Bai7 khai trien_taylor
Bai7 khai trien_taylorBai7 khai trien_taylor
Bai7 khai trien_taylorljmonking
 
kỹ thuật giải phương trình hàm
kỹ thuật giải phương trình hàmkỹ thuật giải phương trình hàm
kỹ thuật giải phương trình hàmljmonking
 
19 phương phap chứng minh bất đẳng thức
19 phương phap chứng minh bất đẳng thức19 phương phap chứng minh bất đẳng thức
19 phương phap chứng minh bất đẳng thứcThế Giới Tinh Hoa
 
Chuyen de toan logic roi rac li thuyet to hop
Chuyen de toan logic  roi rac li thuyet to hopChuyen de toan logic  roi rac li thuyet to hop
Chuyen de toan logic roi rac li thuyet to hoplephucduc06011999
 
200 Bài Tập Tích Phân Hay Và Khó
200 Bài Tập Tích Phân Hay Và Khó200 Bài Tập Tích Phân Hay Và Khó
200 Bài Tập Tích Phân Hay Và KhóAnh Thư
 
Bài tập tích phân suy rộng.
Bài tập tích phân suy rộng.Bài tập tích phân suy rộng.
Bài tập tích phân suy rộng.Van-Duyet Le
 
Chuyên đề phương tích và ứng dụng
Chuyên đề phương tích và ứng dụngChuyên đề phương tích và ứng dụng
Chuyên đề phương tích và ứng dụnglovemathforever
 
Tính toán khoa học - Chương 5: Tính gần đúng đạo hàm và tích phân
Tính toán khoa học - Chương 5: Tính gần đúng đạo hàm và tích phânTính toán khoa học - Chương 5: Tính gần đúng đạo hàm và tích phân
Tính toán khoa học - Chương 5: Tính gần đúng đạo hàm và tích phânChien Dang
 
13 ki-thuat-giai-phuong-trinh-ham (1)
13 ki-thuat-giai-phuong-trinh-ham (1)13 ki-thuat-giai-phuong-trinh-ham (1)
13 ki-thuat-giai-phuong-trinh-ham (1)ljmonking
 
Công thức lượng giác cần nhớ
Công thức lượng giác cần nhớCông thức lượng giác cần nhớ
Công thức lượng giác cần nhớDoan Hau
 
Chuyên đề tìm giới hạn nâng cao
Chuyên đề tìm giới hạn nâng caoChuyên đề tìm giới hạn nâng cao
Chuyên đề tìm giới hạn nâng caoBống Bình Boong
 
Bồi dưỡng nâng cao HSG Toán lớp 7 qua 16 chuyên đề - Thầy Thích
Bồi dưỡng nâng cao HSG Toán lớp 7 qua 16 chuyên đề - Thầy ThíchBồi dưỡng nâng cao HSG Toán lớp 7 qua 16 chuyên đề - Thầy Thích
Bồi dưỡng nâng cao HSG Toán lớp 7 qua 16 chuyên đề - Thầy ThíchBồi dưỡng Toán lớp 6
 

What's hot (20)

Hướng dẫn giải bài tập Đại Số Tuyến Tính
Hướng dẫn giải bài tập Đại Số Tuyến TínhHướng dẫn giải bài tập Đại Số Tuyến Tính
Hướng dẫn giải bài tập Đại Số Tuyến Tính
 
chuyên đề cực trị GTLN và GTNN , rất chi tiết và đầy đủ
chuyên đề cực trị GTLN và GTNN , rất chi tiết và đầy đủ chuyên đề cực trị GTLN và GTNN , rất chi tiết và đầy đủ
chuyên đề cực trị GTLN và GTNN , rất chi tiết và đầy đủ
 
9 phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên
9 phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên9 phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên
9 phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên
 
Cong thuc luong giac day du
Cong thuc luong giac  day duCong thuc luong giac  day du
Cong thuc luong giac day du
 
Bai7 khai trien_taylor
Bai7 khai trien_taylorBai7 khai trien_taylor
Bai7 khai trien_taylor
 
kỹ thuật giải phương trình hàm
kỹ thuật giải phương trình hàmkỹ thuật giải phương trình hàm
kỹ thuật giải phương trình hàm
 
19 phương phap chứng minh bất đẳng thức
19 phương phap chứng minh bất đẳng thức19 phương phap chứng minh bất đẳng thức
19 phương phap chứng minh bất đẳng thức
 
Chuyen de toan logic roi rac li thuyet to hop
Chuyen de toan logic  roi rac li thuyet to hopChuyen de toan logic  roi rac li thuyet to hop
Chuyen de toan logic roi rac li thuyet to hop
 
200 Bài Tập Tích Phân Hay Và Khó
200 Bài Tập Tích Phân Hay Và Khó200 Bài Tập Tích Phân Hay Và Khó
200 Bài Tập Tích Phân Hay Và Khó
 
Bài tập tích phân suy rộng.
Bài tập tích phân suy rộng.Bài tập tích phân suy rộng.
Bài tập tích phân suy rộng.
 
chuyen de so sanh hai luy thua
chuyen de so sanh hai luy thuachuyen de so sanh hai luy thua
chuyen de so sanh hai luy thua
 
Đồng dư thức
Đồng dư thứcĐồng dư thức
Đồng dư thức
 
Chuyên đề phương tích và ứng dụng
Chuyên đề phương tích và ứng dụngChuyên đề phương tích và ứng dụng
Chuyên đề phương tích và ứng dụng
 
Tính toán khoa học - Chương 5: Tính gần đúng đạo hàm và tích phân
Tính toán khoa học - Chương 5: Tính gần đúng đạo hàm và tích phânTính toán khoa học - Chương 5: Tính gần đúng đạo hàm và tích phân
Tính toán khoa học - Chương 5: Tính gần đúng đạo hàm và tích phân
 
Bài tập hàm biến phức
Bài tập hàm biến phứcBài tập hàm biến phức
Bài tập hàm biến phức
 
13 ki-thuat-giai-phuong-trinh-ham (1)
13 ki-thuat-giai-phuong-trinh-ham (1)13 ki-thuat-giai-phuong-trinh-ham (1)
13 ki-thuat-giai-phuong-trinh-ham (1)
 
Công thức lượng giác cần nhớ
Công thức lượng giác cần nhớCông thức lượng giác cần nhớ
Công thức lượng giác cần nhớ
 
Dãy số namdung
Dãy số namdungDãy số namdung
Dãy số namdung
 
Chuyên đề tìm giới hạn nâng cao
Chuyên đề tìm giới hạn nâng caoChuyên đề tìm giới hạn nâng cao
Chuyên đề tìm giới hạn nâng cao
 
Bồi dưỡng nâng cao HSG Toán lớp 7 qua 16 chuyên đề - Thầy Thích
Bồi dưỡng nâng cao HSG Toán lớp 7 qua 16 chuyên đề - Thầy ThíchBồi dưỡng nâng cao HSG Toán lớp 7 qua 16 chuyên đề - Thầy Thích
Bồi dưỡng nâng cao HSG Toán lớp 7 qua 16 chuyên đề - Thầy Thích
 

Similar to HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Dap an4 thanhtung
Dap an4 thanhtungDap an4 thanhtung
Dap an4 thanhtungHuynh ICT
 
BỘ ĐỀ THI QUỐC GIA DANAMATH
BỘ ĐỀ THI QUỐC GIA DANAMATHBỘ ĐỀ THI QUỐC GIA DANAMATH
BỘ ĐỀ THI QUỐC GIA DANAMATHDANAMATH
 
TÀI LIỆU CHUYÊN ĐỀ ÔN LUYỆN THI TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN
TÀI LIỆU CHUYÊN ĐỀ ÔN LUYỆN THI TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN TÀI LIỆU CHUYÊN ĐỀ ÔN LUYỆN THI TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN
TÀI LIỆU CHUYÊN ĐỀ ÔN LUYỆN THI TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN Hoàng Thái Việt
 
Tích phân hàm phân thức hữu tỷ (part 1)
Tích phân hàm phân thức hữu tỷ (part 1)Tích phân hàm phân thức hữu tỷ (part 1)
Tích phân hàm phân thức hữu tỷ (part 1)Oanh MJ
 
Tai lieu luyen thi mon toan de thi dh mon toan khoi a - nam 2008
Tai lieu luyen thi mon toan   de thi dh mon toan khoi a - nam 2008Tai lieu luyen thi mon toan   de thi dh mon toan khoi a - nam 2008
Tai lieu luyen thi mon toan de thi dh mon toan khoi a - nam 2008Trungtâmluyệnthi Qsc
 
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Tiếp tuyến của đồ thị hàm sốTiếp tuyến của đồ thị hàm số
Tiếp tuyến của đồ thị hàm sốMinh Thắng Trần
 
Tai lieu on thi tn thpt mon toan www.mathvn.com
Tai lieu on thi tn thpt mon toan   www.mathvn.comTai lieu on thi tn thpt mon toan   www.mathvn.com
Tai lieu on thi tn thpt mon toan www.mathvn.comtrongphuckhtn
 
07 nguyen ham luong giac p6
07 nguyen ham luong giac p607 nguyen ham luong giac p6
07 nguyen ham luong giac p6Huynh ICT
 
Chuyen de ptlgiac
Chuyen de ptlgiacChuyen de ptlgiac
Chuyen de ptlgiacMrNgo Ngo
 
Cach giai-va-cac-dang-bai-toan-phuong-trinh-luong-giac
Cach giai-va-cac-dang-bai-toan-phuong-trinh-luong-giacCach giai-va-cac-dang-bai-toan-phuong-trinh-luong-giac
Cach giai-va-cac-dang-bai-toan-phuong-trinh-luong-giacgiaoduc0123
 
07 nguyen ham luong giac p4
07 nguyen ham luong giac p407 nguyen ham luong giac p4
07 nguyen ham luong giac p4Huynh ICT
 
[Www.toan capba.net] bt toan 11 day du
[Www.toan capba.net] bt toan 11 day du[Www.toan capba.net] bt toan 11 day du
[Www.toan capba.net] bt toan 11 day duHoang Tu Duong
 
Thi thử toán THPT Lý Thái Tổ BN lần 1 2014
Thi thử toán THPT Lý Thái Tổ BN lần 1 2014Thi thử toán THPT Lý Thái Tổ BN lần 1 2014
Thi thử toán THPT Lý Thái Tổ BN lần 1 2014dlinh123
 

Similar to HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC (20)

Dap an4 thanhtung
Dap an4 thanhtungDap an4 thanhtung
Dap an4 thanhtung
 
BỘ ĐỀ THI QUỐC GIA DANAMATH
BỘ ĐỀ THI QUỐC GIA DANAMATHBỘ ĐỀ THI QUỐC GIA DANAMATH
BỘ ĐỀ THI QUỐC GIA DANAMATH
 
694449747408
694449747408694449747408
694449747408
 
TÀI LIỆU CHUYÊN ĐỀ ÔN LUYỆN THI TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN
TÀI LIỆU CHUYÊN ĐỀ ÔN LUYỆN THI TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN TÀI LIỆU CHUYÊN ĐỀ ÔN LUYỆN THI TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN
TÀI LIỆU CHUYÊN ĐỀ ÔN LUYỆN THI TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN
 
Tích phân hàm phân thức hữu tỷ (part 1)
Tích phân hàm phân thức hữu tỷ (part 1)Tích phân hàm phân thức hữu tỷ (part 1)
Tích phân hàm phân thức hữu tỷ (part 1)
 
Lượng giác
Lượng giác Lượng giác
Lượng giác
 
Lượng giác
Lượng giácLượng giác
Lượng giác
 
Luong giac
Luong giacLuong giac
Luong giac
 
Tai lieu luyen thi mon toan de thi dh mon toan khoi a - nam 2008
Tai lieu luyen thi mon toan   de thi dh mon toan khoi a - nam 2008Tai lieu luyen thi mon toan   de thi dh mon toan khoi a - nam 2008
Tai lieu luyen thi mon toan de thi dh mon toan khoi a - nam 2008
 
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Tiếp tuyến của đồ thị hàm sốTiếp tuyến của đồ thị hàm số
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
 
Tai lieu on thi tn thpt mon toan www.mathvn.com
Tai lieu on thi tn thpt mon toan   www.mathvn.comTai lieu on thi tn thpt mon toan   www.mathvn.com
Tai lieu on thi tn thpt mon toan www.mathvn.com
 
07 nguyen ham luong giac p6
07 nguyen ham luong giac p607 nguyen ham luong giac p6
07 nguyen ham luong giac p6
 
Chuyen de ptlgiac
Chuyen de ptlgiacChuyen de ptlgiac
Chuyen de ptlgiac
 
Cach giai-va-cac-dang-bai-toan-phuong-trinh-luong-giac
Cach giai-va-cac-dang-bai-toan-phuong-trinh-luong-giacCach giai-va-cac-dang-bai-toan-phuong-trinh-luong-giac
Cach giai-va-cac-dang-bai-toan-phuong-trinh-luong-giac
 
De thi thử 2013-2014
De thi thử 2013-2014De thi thử 2013-2014
De thi thử 2013-2014
 
Bộ đề thi thử Đại học môn Toán có đáp án chi tiết
Bộ đề thi thử Đại học môn Toán có đáp án chi tiếtBộ đề thi thử Đại học môn Toán có đáp án chi tiết
Bộ đề thi thử Đại học môn Toán có đáp án chi tiết
 
07 nguyen ham luong giac p4
07 nguyen ham luong giac p407 nguyen ham luong giac p4
07 nguyen ham luong giac p4
 
[Www.toan capba.net] bt toan 11 day du
[Www.toan capba.net] bt toan 11 day du[Www.toan capba.net] bt toan 11 day du
[Www.toan capba.net] bt toan 11 day du
 
Thi thử toán THPT Lý Thái Tổ BN lần 1 2014
Thi thử toán THPT Lý Thái Tổ BN lần 1 2014Thi thử toán THPT Lý Thái Tổ BN lần 1 2014
Thi thử toán THPT Lý Thái Tổ BN lần 1 2014
 
Ds10 c6a
Ds10 c6aDs10 c6a
Ds10 c6a
 

More from DANAMATH

SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁSƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁDANAMATH
 
LIÊN HỢP NGƯỢC DẤU & TỶ SỐ TRONG OXY
LIÊN HỢP NGƯỢC DẤU & TỶ SỐ TRONG OXYLIÊN HỢP NGƯỢC DẤU & TỶ SỐ TRONG OXY
LIÊN HỢP NGƯỢC DẤU & TỶ SỐ TRONG OXYDANAMATH
 
DÃY SỐ - CẤP SỐ
DÃY SỐ - CẤP SỐDÃY SỐ - CẤP SỐ
DÃY SỐ - CẤP SỐDANAMATH
 
TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ CÁC ỨNG DỤNG
TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ CÁC ỨNG DỤNGTÍCH VÔ HƯỚNG VÀ CÁC ỨNG DỤNG
TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ CÁC ỨNG DỤNGDANAMATH
 
TÍCH PHÂN VÀ CÁC ỨNG DỤNG
TÍCH PHÂN VÀ CÁC ỨNG DỤNGTÍCH PHÂN VÀ CÁC ỨNG DỤNG
TÍCH PHÂN VÀ CÁC ỨNG DỤNGDANAMATH
 
HÀM SỐ MŨ & LOGARIT
HÀM SỐ MŨ & LOGARITHÀM SỐ MŨ & LOGARIT
HÀM SỐ MŨ & LOGARITDANAMATH
 
ĐẠI SỐ TỔ HỢP
ĐẠI SỐ TỔ HỢPĐẠI SỐ TỔ HỢP
ĐẠI SỐ TỔ HỢPDANAMATH
 
GIẢI TAM GIÁC TRONG TỌA ĐỘ PHẲNG
GIẢI TAM GIÁC TRONG TỌA ĐỘ PHẲNGGIẢI TAM GIÁC TRONG TỌA ĐỘ PHẲNG
GIẢI TAM GIÁC TRONG TỌA ĐỘ PHẲNGDANAMATH
 
PHÉP QUAY & PHÉP VỊ TỰ
PHÉP QUAY & PHÉP VỊ TỰPHÉP QUAY & PHÉP VỊ TỰ
PHÉP QUAY & PHÉP VỊ TỰDANAMATH
 
THAM SỐ HÓA TRONG TỌA ĐỘ PHẲNG
THAM SỐ HÓA TRONG TỌA ĐỘ PHẲNGTHAM SỐ HÓA TRONG TỌA ĐỘ PHẲNG
THAM SỐ HÓA TRONG TỌA ĐỘ PHẲNGDANAMATH
 
PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC VÀ ĐỐI XỨNG TÂM
PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC VÀ ĐỐI XỨNG TÂMPHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC VÀ ĐỐI XỨNG TÂM
PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC VÀ ĐỐI XỨNG TÂMDANAMATH
 
CHUYÊN ĐỀ :TỌA ĐỘ PHẲNG - PHƯƠNG PHÁP VECTƠ
CHUYÊN ĐỀ :TỌA ĐỘ PHẲNG - PHƯƠNG PHÁP VECTƠCHUYÊN ĐỀ :TỌA ĐỘ PHẲNG - PHƯƠNG PHÁP VECTƠ
CHUYÊN ĐỀ :TỌA ĐỘ PHẲNG - PHƯƠNG PHÁP VECTƠDANAMATH
 
SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH TRONG LƯỢNG GIÁC
SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH TRONG LƯỢNG GIÁCSƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH TRONG LƯỢNG GIÁC
SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH TRONG LƯỢNG GIÁCDANAMATH
 
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BẬC MỘT THEO SIN ,COS
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BẬC MỘT THEO SIN ,COSPHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BẬC MỘT THEO SIN ,COS
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BẬC MỘT THEO SIN ,COSDANAMATH
 
CÁC DẠNG TOÁN TRONG VECTƠ
CÁC DẠNG TOÁN TRONG VECTƠCÁC DẠNG TOÁN TRONG VECTƠ
CÁC DẠNG TOÁN TRONG VECTƠDANAMATH
 
PHÉP NHÂN MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ
PHÉP NHÂN MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠPHÉP NHÂN MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ
PHÉP NHÂN MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠDANAMATH
 
VECTƠ VÀ CÁC ỨNG DỤNG
VECTƠ VÀ CÁC ỨNG DỤNGVECTƠ VÀ CÁC ỨNG DỤNG
VECTƠ VÀ CÁC ỨNG DỤNGDANAMATH
 

More from DANAMATH (17)

SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁSƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
 
LIÊN HỢP NGƯỢC DẤU & TỶ SỐ TRONG OXY
LIÊN HỢP NGƯỢC DẤU & TỶ SỐ TRONG OXYLIÊN HỢP NGƯỢC DẤU & TỶ SỐ TRONG OXY
LIÊN HỢP NGƯỢC DẤU & TỶ SỐ TRONG OXY
 
DÃY SỐ - CẤP SỐ
DÃY SỐ - CẤP SỐDÃY SỐ - CẤP SỐ
DÃY SỐ - CẤP SỐ
 
TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ CÁC ỨNG DỤNG
TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ CÁC ỨNG DỤNGTÍCH VÔ HƯỚNG VÀ CÁC ỨNG DỤNG
TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ CÁC ỨNG DỤNG
 
TÍCH PHÂN VÀ CÁC ỨNG DỤNG
TÍCH PHÂN VÀ CÁC ỨNG DỤNGTÍCH PHÂN VÀ CÁC ỨNG DỤNG
TÍCH PHÂN VÀ CÁC ỨNG DỤNG
 
HÀM SỐ MŨ & LOGARIT
HÀM SỐ MŨ & LOGARITHÀM SỐ MŨ & LOGARIT
HÀM SỐ MŨ & LOGARIT
 
ĐẠI SỐ TỔ HỢP
ĐẠI SỐ TỔ HỢPĐẠI SỐ TỔ HỢP
ĐẠI SỐ TỔ HỢP
 
GIẢI TAM GIÁC TRONG TỌA ĐỘ PHẲNG
GIẢI TAM GIÁC TRONG TỌA ĐỘ PHẲNGGIẢI TAM GIÁC TRONG TỌA ĐỘ PHẲNG
GIẢI TAM GIÁC TRONG TỌA ĐỘ PHẲNG
 
PHÉP QUAY & PHÉP VỊ TỰ
PHÉP QUAY & PHÉP VỊ TỰPHÉP QUAY & PHÉP VỊ TỰ
PHÉP QUAY & PHÉP VỊ TỰ
 
THAM SỐ HÓA TRONG TỌA ĐỘ PHẲNG
THAM SỐ HÓA TRONG TỌA ĐỘ PHẲNGTHAM SỐ HÓA TRONG TỌA ĐỘ PHẲNG
THAM SỐ HÓA TRONG TỌA ĐỘ PHẲNG
 
PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC VÀ ĐỐI XỨNG TÂM
PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC VÀ ĐỐI XỨNG TÂMPHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC VÀ ĐỐI XỨNG TÂM
PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC VÀ ĐỐI XỨNG TÂM
 
CHUYÊN ĐỀ :TỌA ĐỘ PHẲNG - PHƯƠNG PHÁP VECTƠ
CHUYÊN ĐỀ :TỌA ĐỘ PHẲNG - PHƯƠNG PHÁP VECTƠCHUYÊN ĐỀ :TỌA ĐỘ PHẲNG - PHƯƠNG PHÁP VECTƠ
CHUYÊN ĐỀ :TỌA ĐỘ PHẲNG - PHƯƠNG PHÁP VECTƠ
 
SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH TRONG LƯỢNG GIÁC
SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH TRONG LƯỢNG GIÁCSƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH TRONG LƯỢNG GIÁC
SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH TRONG LƯỢNG GIÁC
 
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BẬC MỘT THEO SIN ,COS
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BẬC MỘT THEO SIN ,COSPHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BẬC MỘT THEO SIN ,COS
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BẬC MỘT THEO SIN ,COS
 
CÁC DẠNG TOÁN TRONG VECTƠ
CÁC DẠNG TOÁN TRONG VECTƠCÁC DẠNG TOÁN TRONG VECTƠ
CÁC DẠNG TOÁN TRONG VECTƠ
 
PHÉP NHÂN MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ
PHÉP NHÂN MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠPHÉP NHÂN MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ
PHÉP NHÂN MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ
 
VECTƠ VÀ CÁC ỨNG DỤNG
VECTƠ VÀ CÁC ỨNG DỤNGVECTƠ VÀ CÁC ỨNG DỤNG
VECTƠ VÀ CÁC ỨNG DỤNG
 

Recently uploaded

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THAM KHẢO KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤ...
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THAM KHẢO KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤ...HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THAM KHẢO KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤ...
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THAM KHẢO KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤ...Nguyen Thanh Tu Collection
 
TỔNG HỢP HƠN 100 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT TOÁN 2024 - TỪ CÁC TRƯỜNG, TRƯỜNG...
TỔNG HỢP HƠN 100 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT TOÁN 2024 - TỪ CÁC TRƯỜNG, TRƯỜNG...TỔNG HỢP HƠN 100 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT TOÁN 2024 - TỪ CÁC TRƯỜNG, TRƯỜNG...
TỔNG HỢP HƠN 100 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT TOÁN 2024 - TỪ CÁC TRƯỜNG, TRƯỜNG...Nguyen Thanh Tu Collection
 
ĐỀ KIỂM TRA THEO UNIT TIẾNG ANH GLOBAL SUCCESS 11 - HK2 (BẢN HS-GV) (3 TESTS ...
ĐỀ KIỂM TRA THEO UNIT TIẾNG ANH GLOBAL SUCCESS 11 - HK2 (BẢN HS-GV) (3 TESTS ...ĐỀ KIỂM TRA THEO UNIT TIẾNG ANH GLOBAL SUCCESS 11 - HK2 (BẢN HS-GV) (3 TESTS ...
ĐỀ KIỂM TRA THEO UNIT TIẾNG ANH GLOBAL SUCCESS 11 - HK2 (BẢN HS-GV) (3 TESTS ...Nguyen Thanh Tu Collection
 
Day tieng Viet cho nguoi nuoc ngoai.pptx
Day tieng Viet cho nguoi nuoc ngoai.pptxDay tieng Viet cho nguoi nuoc ngoai.pptx
Day tieng Viet cho nguoi nuoc ngoai.pptxngothevinhs6lite
 
lịch sử đảng cộng sản việt nam chương 1.ppt
lịch sử đảng cộng sản việt nam chương 1.pptlịch sử đảng cộng sản việt nam chương 1.ppt
lịch sử đảng cộng sản việt nam chương 1.pptLinhPham480
 
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY MÔN VẬT LÝ 11 CẢ NĂM (SÁCH KẾT NỐI TRI THỨC) THEO CÔ...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY MÔN VẬT LÝ 11 CẢ NĂM (SÁCH KẾT NỐI TRI THỨC) THEO CÔ...GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY MÔN VẬT LÝ 11 CẢ NĂM (SÁCH KẾT NỐI TRI THỨC) THEO CÔ...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY MÔN VẬT LÝ 11 CẢ NĂM (SÁCH KẾT NỐI TRI THỨC) THEO CÔ...Nguyen Thanh Tu Collection
 
BÀI TẬP BỔ TRỢ TIẾNG ANH LỚP 8 CẢ NĂM CÓ TEST ÔN TẬP ĐỊNH KÌ + NÂNG CAO - FRI...
BÀI TẬP BỔ TRỢ TIẾNG ANH LỚP 8 CẢ NĂM CÓ TEST ÔN TẬP ĐỊNH KÌ + NÂNG CAO - FRI...BÀI TẬP BỔ TRỢ TIẾNG ANH LỚP 8 CẢ NĂM CÓ TEST ÔN TẬP ĐỊNH KÌ + NÂNG CAO - FRI...
BÀI TẬP BỔ TRỢ TIẾNG ANH LỚP 8 CẢ NĂM CÓ TEST ÔN TẬP ĐỊNH KÌ + NÂNG CAO - FRI...Nguyen Thanh Tu Collection
 
SÁNG KIẾN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ LÀM MÔ HÌNH KHI TÌM HIỂU KIẾN THỨC “THẠCH QU...
SÁNG KIẾN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ LÀM MÔ HÌNH KHI TÌM HIỂU KIẾN THỨC “THẠCH QU...SÁNG KIẾN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ LÀM MÔ HÌNH KHI TÌM HIỂU KIẾN THỨC “THẠCH QU...
SÁNG KIẾN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ LÀM MÔ HÌNH KHI TÌM HIỂU KIẾN THỨC “THẠCH QU...Nguyen Thanh Tu Collection
 
IELTS READING - Earth’s lakes are under threat.pptx
IELTS READING - Earth’s lakes are under threat.pptxIELTS READING - Earth’s lakes are under threat.pptx
IELTS READING - Earth’s lakes are under threat.pptxNguynHn870045
 
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY SINH HỌC 10 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂ...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY SINH HỌC 10 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂ...GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY SINH HỌC 10 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂ...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY SINH HỌC 10 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂ...Nguyen Thanh Tu Collection
 
40 ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TIẾNG ANH NĂM HỌC 2024 - 2025 SỞ GIÁO...
40 ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TIẾNG ANH NĂM HỌC 2024 - 2025 SỞ GIÁO...40 ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TIẾNG ANH NĂM HỌC 2024 - 2025 SỞ GIÁO...
40 ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TIẾNG ANH NĂM HỌC 2024 - 2025 SỞ GIÁO...Nguyen Thanh Tu Collection
 
CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 11 CHUNG 3 BỘ SÁCH NĂM 2024 HỆ THỐNG BÀI TẬP B...
CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 11 CHUNG 3 BỘ SÁCH NĂM 2024 HỆ THỐNG BÀI TẬP B...CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 11 CHUNG 3 BỘ SÁCH NĂM 2024 HỆ THỐNG BÀI TẬP B...
CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 11 CHUNG 3 BỘ SÁCH NĂM 2024 HỆ THỐNG BÀI TẬP B...Nguyen Thanh Tu Collection
 
14 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN VẬT LÝ 8 - NĂM 2024 (4...
14 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN VẬT LÝ 8 - NĂM 2024 (4...14 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN VẬT LÝ 8 - NĂM 2024 (4...
14 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN VẬT LÝ 8 - NĂM 2024 (4...Nguyen Thanh Tu Collection
 
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN 7 + 8 CHƯƠNG TRÌNH GDPT M...
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN 7 + 8 CHƯƠNG TRÌNH GDPT M...CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN 7 + 8 CHƯƠNG TRÌNH GDPT M...
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN 7 + 8 CHƯƠNG TRÌNH GDPT M...Nguyen Thanh Tu Collection
 
BÀI TẬP – BÀI GIẢI HÓA HỮU CƠ – TẬP 1 DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỈNH VÀ QU...
BÀI TẬP – BÀI GIẢI HÓA HỮU CƠ – TẬP 1 DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỈNH VÀ QU...BÀI TẬP – BÀI GIẢI HÓA HỮU CƠ – TẬP 1 DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỈNH VÀ QU...
BÀI TẬP – BÀI GIẢI HÓA HỮU CƠ – TẬP 1 DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỈNH VÀ QU...Nguyen Thanh Tu Collection
 
40 ĐỀ LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM ...
40 ĐỀ LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM ...40 ĐỀ LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM ...
40 ĐỀ LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM ...Nguyen Thanh Tu Collection
 
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ MINH HỌA KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤC MÔN...
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ MINH HỌA KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤC MÔN...HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ MINH HỌA KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤC MÔN...
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ MINH HỌA KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤC MÔN...Nguyen Thanh Tu Collection
 

Recently uploaded (17)

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THAM KHẢO KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤ...
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THAM KHẢO KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤ...HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THAM KHẢO KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤ...
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THAM KHẢO KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤ...
 
TỔNG HỢP HƠN 100 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT TOÁN 2024 - TỪ CÁC TRƯỜNG, TRƯỜNG...
TỔNG HỢP HƠN 100 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT TOÁN 2024 - TỪ CÁC TRƯỜNG, TRƯỜNG...TỔNG HỢP HƠN 100 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT TOÁN 2024 - TỪ CÁC TRƯỜNG, TRƯỜNG...
TỔNG HỢP HƠN 100 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT TOÁN 2024 - TỪ CÁC TRƯỜNG, TRƯỜNG...
 
ĐỀ KIỂM TRA THEO UNIT TIẾNG ANH GLOBAL SUCCESS 11 - HK2 (BẢN HS-GV) (3 TESTS ...
ĐỀ KIỂM TRA THEO UNIT TIẾNG ANH GLOBAL SUCCESS 11 - HK2 (BẢN HS-GV) (3 TESTS ...ĐỀ KIỂM TRA THEO UNIT TIẾNG ANH GLOBAL SUCCESS 11 - HK2 (BẢN HS-GV) (3 TESTS ...
ĐỀ KIỂM TRA THEO UNIT TIẾNG ANH GLOBAL SUCCESS 11 - HK2 (BẢN HS-GV) (3 TESTS ...
 
Day tieng Viet cho nguoi nuoc ngoai.pptx
Day tieng Viet cho nguoi nuoc ngoai.pptxDay tieng Viet cho nguoi nuoc ngoai.pptx
Day tieng Viet cho nguoi nuoc ngoai.pptx
 
lịch sử đảng cộng sản việt nam chương 1.ppt
lịch sử đảng cộng sản việt nam chương 1.pptlịch sử đảng cộng sản việt nam chương 1.ppt
lịch sử đảng cộng sản việt nam chương 1.ppt
 
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY MÔN VẬT LÝ 11 CẢ NĂM (SÁCH KẾT NỐI TRI THỨC) THEO CÔ...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY MÔN VẬT LÝ 11 CẢ NĂM (SÁCH KẾT NỐI TRI THỨC) THEO CÔ...GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY MÔN VẬT LÝ 11 CẢ NĂM (SÁCH KẾT NỐI TRI THỨC) THEO CÔ...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY MÔN VẬT LÝ 11 CẢ NĂM (SÁCH KẾT NỐI TRI THỨC) THEO CÔ...
 
BÀI TẬP BỔ TRỢ TIẾNG ANH LỚP 8 CẢ NĂM CÓ TEST ÔN TẬP ĐỊNH KÌ + NÂNG CAO - FRI...
BÀI TẬP BỔ TRỢ TIẾNG ANH LỚP 8 CẢ NĂM CÓ TEST ÔN TẬP ĐỊNH KÌ + NÂNG CAO - FRI...BÀI TẬP BỔ TRỢ TIẾNG ANH LỚP 8 CẢ NĂM CÓ TEST ÔN TẬP ĐỊNH KÌ + NÂNG CAO - FRI...
BÀI TẬP BỔ TRỢ TIẾNG ANH LỚP 8 CẢ NĂM CÓ TEST ÔN TẬP ĐỊNH KÌ + NÂNG CAO - FRI...
 
SÁNG KIẾN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ LÀM MÔ HÌNH KHI TÌM HIỂU KIẾN THỨC “THẠCH QU...
SÁNG KIẾN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ LÀM MÔ HÌNH KHI TÌM HIỂU KIẾN THỨC “THẠCH QU...SÁNG KIẾN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ LÀM MÔ HÌNH KHI TÌM HIỂU KIẾN THỨC “THẠCH QU...
SÁNG KIẾN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ LÀM MÔ HÌNH KHI TÌM HIỂU KIẾN THỨC “THẠCH QU...
 
IELTS READING - Earth’s lakes are under threat.pptx
IELTS READING - Earth’s lakes are under threat.pptxIELTS READING - Earth’s lakes are under threat.pptx
IELTS READING - Earth’s lakes are under threat.pptx
 
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY SINH HỌC 10 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂ...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY SINH HỌC 10 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂ...GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY SINH HỌC 10 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂ...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY SINH HỌC 10 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂ...
 
40 ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TIẾNG ANH NĂM HỌC 2024 - 2025 SỞ GIÁO...
40 ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TIẾNG ANH NĂM HỌC 2024 - 2025 SỞ GIÁO...40 ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TIẾNG ANH NĂM HỌC 2024 - 2025 SỞ GIÁO...
40 ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TIẾNG ANH NĂM HỌC 2024 - 2025 SỞ GIÁO...
 
CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 11 CHUNG 3 BỘ SÁCH NĂM 2024 HỆ THỐNG BÀI TẬP B...
CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 11 CHUNG 3 BỘ SÁCH NĂM 2024 HỆ THỐNG BÀI TẬP B...CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 11 CHUNG 3 BỘ SÁCH NĂM 2024 HỆ THỐNG BÀI TẬP B...
CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 11 CHUNG 3 BỘ SÁCH NĂM 2024 HỆ THỐNG BÀI TẬP B...
 
14 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN VẬT LÝ 8 - NĂM 2024 (4...
14 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN VẬT LÝ 8 - NĂM 2024 (4...14 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN VẬT LÝ 8 - NĂM 2024 (4...
14 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN VẬT LÝ 8 - NĂM 2024 (4...
 
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN 7 + 8 CHƯƠNG TRÌNH GDPT M...
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN 7 + 8 CHƯƠNG TRÌNH GDPT M...CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN 7 + 8 CHƯƠNG TRÌNH GDPT M...
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN 7 + 8 CHƯƠNG TRÌNH GDPT M...
 
BÀI TẬP – BÀI GIẢI HÓA HỮU CƠ – TẬP 1 DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỈNH VÀ QU...
BÀI TẬP – BÀI GIẢI HÓA HỮU CƠ – TẬP 1 DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỈNH VÀ QU...BÀI TẬP – BÀI GIẢI HÓA HỮU CƠ – TẬP 1 DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỈNH VÀ QU...
BÀI TẬP – BÀI GIẢI HÓA HỮU CƠ – TẬP 1 DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỈNH VÀ QU...
 
40 ĐỀ LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM ...
40 ĐỀ LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM ...40 ĐỀ LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM ...
40 ĐỀ LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM ...
 
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ MINH HỌA KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤC MÔN...
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ MINH HỌA KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤC MÔN...HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ MINH HỌA KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤC MÔN...
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ MINH HỌA KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤC MÔN...
 

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

  • 2. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 2 www.toanhocdanang.com KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Đường tròn lượng giác : 1. Công thức cung liên kết : 1. Hai cung đối nhau (a , -a) 3. hai cung phụ nhau (a , a− 2 π ) 2. Hai cung bù nhau (a , a−π ) Trục Cot Trục Sin Trục Cos Trục Tan 0 2 2 2 3 2 1 2 1 2 3 2 2 2 2 − 2 1 − 2 3 − 2 1 − 2 2 − 2 3 − 3 2π 3 π 4 π 6 π 4 3π 6 5π 6 7π 4 5π 3 4π 2 3π 3 5π 4 7π 6 11π 3 1 1 2 π 0π 3 3 1 33− 3 1 − 1− 3 1 − 1− 3− 1 1 1− 1− aa aa aa aa cot)cot( tan)tan( cos)cos( sin)sin( −=− −=− =− −=− aa aa aa aa tan) 2 cot( cot) 2 tan( sin) 2 cos( cos) 2 sin( =− =− =− =− π π π π aa aa aa aa cot)cot( tan)tan( cos)cos( sin)sin( −=− −=− −=− =− π π π π
  • 3. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 3 www.toanhocdanang.com 4. Hai cung hơn kém nhau π (a , a+π ) 5. Hai cung hơn kém nhau 2 π (a , a+ 2 π ) 3. Công thức lượng giác cơ bản : 1. Công thức cộng cung : 2. Công thức nhân đôi : 3. Công thức nhân ba : 4. Công thức hạ bậc hai : 4. Công thức hạ bậc ba : 6. Công thức biến đổi tích thành tổng 7. ông thức biến đổi tổng thành tích : aa aa aa aa cot)cot( tan)tan( cos)cos( sin)sin( =+ =+ −=+ −=+ π π π π aa aa aa aa tan) 2 cot( cot) 2 tan( sin) 2 cos( cos) 2 sin( −=+ −=+ −=+ =+ π π π π ba ba ba bababa bababa tantan1 tantan )tan( sinsincoscos)cos( sincoscossin)sin(   ± =± =± ±=± a a a a a a aaaaaCos xxaaaaaSin cot2 1cot 2cot tan1 tan2 2tan sin211cos2sincos2 )cos(sin11)cos(sincossin22 2 2 2222 22 − = − = −=−=−= −−=−+== a aa aTan aaaCos aaaSin 2 3 3 3 tan31 tantan3 3 cos3cos43 sin4sin33 − − = −= −= a a aTan a aCos a aSin 2cos1 2cos1 2 2cos1 2 2cos1 2 22 + − = + = − = 4 3coscos3 4 3sinsin3 3 3 aa aCos aa aSin + = − = [ ] [ ] [ ])sin()sin( 2 1 cos.sin )cos()cos( 2 1 sin.sin )cos()cos( 2 1 cos.cos bababa bababa bababa −++= −−+−= −++= ba ab ba ba ba ba baba ba baba ba baba ba baba ba sin.sin )sin( cotcot cos.cos )sin( tantan 2 sin. 2 cos2sinsin 2 cos. 2 sin2sinsin 2 sin. 2 sin2coscos 2 cos. 2 cos2coscos ± =± ± =± −+ =− −+ =+ −+ −=− −+ =+
  • 4. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 4 www.toanhocdanang.com HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A. Tóm tắc lý thuyết : I. Hàm số y = sinx : • Miền xác định : D = R. • siny x= là hàm số lẻ trên R {vì D là miền đối xứng và sin(-x) = - sinx} • siny x= tuần hoàn với chu kỳ π2 . {vì sin(x + k π2 ) = sinx với Zk ∈∀ } • Dựa vào đường tròn lượng giác ta có chiều biến thiên của hàm số y = sinx trên khoảng (0 , π ) Đồ thị của : siny x= II. Hàm số cosy x= : • Miền xác định : D = R. • cosy x= là hàm số chẵn trên R {vì D là miền đối xứng và cos(-x) = cosx} • cosy x= tuần hoàn với chu kỳ π2 . {vì cos(x + k π2 ) = cosx với Zk ∈∀ } • Dựa vào đường tròn lượng giác ta có chiều biến thiên của hàm số y = cosx trên khoảng (0 , π ) Đồ thị của : cosy x= x 2 π 0 π 1 00 y 3 2 π − π− 2 π − 0 2 π π 3 2 π 2π2π− 1 -1 x y y x 0 2 π 2 π − ππ− 3 2 π − 2π− 1 -1 x y π− 0 π 1 -1 -1
  • 5. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 5 www.toanhocdanang.com III. Hàm số y = tanx : • Miền xác định : D = R       ∈+ Zkk , 2 π π . • tany x= là hàm số lẻ trên R {vì D là miền đối xứng và tan(-x) = tanx} • tany x= tuần hoàn với chu kỳ π . {vì tan(x + kπ ) =tanx với Zk ∈∀ } • Dựa vào đường tròn lượng giác ta có chiều biến thiên của hàm số coty x= trên khoảng (- 2 π , 2 π ) Đồ thị của: coty x= III. Hàm số y = cotx : • Miền xác định : D = R{ }Zkk ∈,π . • coty x= là hàm số lẻ trên R {vì D là miền đối xứng và cot(-x) = cotx} • coty x= tuần hoàn với chu kỳ π . {vì cot(x + kπ ) = cotx với Zk ∈∀ } • Dựa vào đường tròn lượng giác ta có chiều biến thiên của hàm số coty x= trên khoảng (0 , π ) Đồ thị của: coty x= x y 2 π − 0 −∞ +∞ 0 2 π 2 π π 2 π − 0π− 3 2 π − 3 2 π x y x y 0 0 0 π −∞ +∞ 2 ππ− 2 π − 0 y x 3 2 π 2ππ
  • 6. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 6 www.toanhocdanang.com B. Các dạng toán : 1. Tìm tập xác định của hàm số ( )y f x= : Thực hiện theo một trong hai hướng sau. • D là tập hợp tất cả các giá trị của x sao cho f(x) có nghĩa. • Tìm tập hợp S của x để ( )f x không có nghĩa , từ đó có tập xác định là D = RS . Chú ý : +) với các hàm lượng giác cơ bản : siny x= có miền xác định : D = R. cosy x= thì D = R. tany x= có miền xác định : D = R       ∈+ Zkk , 2 π π coty x= thì D = R { }Zkk ∈,π . +) f(x) cho bởi các đa thức đại số: Nếu f(x) = )( )( 2 1 xf xf thì điều kiện f(x) có nghĩa là    ≠ 0)( ~ ..)...(..).( 2 21 xf ainghcóxfvàxf Nếu f(x) = k xf2 2 )( ).( Zk ∈ thì điều kiện f(x) có nghĩa là    ≥ 0)( ~ ..)..( 2 1 xf ainghcóxf Các ví dụ: Ví dụ 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau: a. 2 sin 1 x y x   =   −  b. 2 siny x= − c. 2 1 cosy x= − d. 1 sin 1 y x = + e. tan 6 y x   = −    π f. = − 1 tan 1 y x g. siny x= h. tan 2cos 1 x y x = − i. 1 2 sin cot 3 x y x + = − Hướng dẩn giải : a. Hàm số 2 sin 1 x y x   =   −  xác định 2 1 x x ⇔ − có nghĩa 1 0 1x x⇔ − ≠ ⇔ ≠ Vậy hàm số có tập xác định là {1}D R= b. Hàm số xác định 2 sin 0 sin 2x x⇔ − ≥ ⇔ ≤ đúng x R∀ ∈ (vì 1 sin 1,x x R− ≤ ≤ ∀ ∈ ) Vậy hàm số có tập xác định là D R= c. Hàm số xác định 2 2 1 cos 0 sin 0x x⇔ − ≥ ⇔ ≥ đúng x R∀ ∈ Vậy hàm số có tập xác định là D R=
  • 7. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 7 www.toanhocdanang.com d. Hàm số xác định sin 1 0 sin 1 sin 1 2 2 x x x x k π π⇔ + > ⇔ > − ⇔ ≠ − ⇔ ≠ − + (vì 1 sin 1,x x R− ≤ ≤ ∀ ∈ ). Vậy tập xác định của hàm số là 2 | 2 D R k k Z π π   = − + ∈    e. Hàm số xác định 2 cos 0 6 6 2 3 x x k x k π π π π π π   ⇔ − ≠ ⇔ − ≠ + ⇔ ≠ +    Vậy tập xác định của hàm số là 2 | 3 D R k k Z π π   = + ∈    f. Hàm số xác định tan 1 4 cos 0 2 x k x x x k π π π π  ≠ +≠  ⇔ ⇔  ≠ = +  Vậy tập xác định của hàm số là , | 4 2 D k k k Z π π π π   = + + ∈    g. Hàm số xác định sin 0 2 2x k x kπ π π⇔ ≥ ⇔ ≤ ≤ + (nữa đường tròn LG phía trên trục Ox) Vậy tập xác định của hàm số là [ ]2 , 2D k kπ π π= + , k Z∀ ∈ h. Hàm số xác định cos 0 1 cos 2cos 1 0 2 x x x ≠ ⇔ ⇔ > − > 2 2 3 3 k x k π π π π⇔ − + < < + Vậy tập xác định của hàm số là 2 , 2 3 3 D k k π π π π   = − + +   , k Z∀ ∈ i. Hàm số xác định sin 0 cot 3 1 sin 2 x x x   ≠  ⇔ ≠   ≥ −  6 3 2 2 4 4 3 2 2 4 4 x k x k k x k k x k π π π π π π π π π π π  ≠ +  ⇔ ≠ ⇔ − + ≤ ≤ − +  − + ≤ ≤ − +  Vậy hàm số có tập xác định là: 3 2 , 2 4 4 D k k π π π π   = − + − +   , k Z∀ ∈ sin cos 1 2 0 3 π − 3 π sin cos 1 2 − 0 cot 3 6 π 6 π − 3 4 π − 4 π −
  • 8. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 8 www.toanhocdanang.com Ví dụ 2:(Dạng nâng cao) Cho hàm số : 4 4 sin cos 2 sin cosy x x m x x= + − Tìm tất cả các giá trị m để hàm số trên xác định x R∈ (trên toàn trục số) Giải : Ta có : ( ) ( ) 2 24 4 2 2 ( ) sin cos 2 sin cos sin cos sin 2g x x x m x x x x m x= + − = + − ( ) 22 2 2 2 21 sin cos 2sin cos sin 2 1 sin 2 sin 2 2 x x x x m x x m x= + − − =− − Đặt: [ ]sin 2 1,1t x t= ⇒ ∈ − Hàm số xác định với mọi x R∈ ⇔ ( ) 0 ,g x x R≥ ∀ ∈ [ ]21 1 0, 1,1 2 t mt t⇔ − − + ≥ ∀ ∈ − [ ]2 ( ) 2 2 0, 1,1f t t mt t⇔ = + − ≤ ∀ ∈ − Dễ thấy ( ) 0f t = có hai nghiệm 1 20t t< < (vì 1, 2a c= = − trái dấu) Cách 1: sử dụng định lý viet Khi đó ta có bảng xét dấu của ( )f t như sau : Từ bảng xét dấu trên ta thấy : [ ] ( )( ) ( )( ) 1 21 22 1 2 1 2 1 2 1 1 01 0 1 ( ) 2 2 0, 1,1 1 1 1 0 1 1 1 0 t tt t f t t mt t t t t t t t + + ≤+ ≤ < +  = + − ≤ ∀ ∈ − ⇔ ≤ − < ≤ ⇔ ⇔  − < ≤ − − − ≤  1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 1 0 2 2 1 0 1 1 ( ) 1 0 2 2 1 0 2 2 t t t t m m t t t t m + + + ≤ − − + ≤  ⇔ ⇔ ⇔ − ≤ ≤  − + + ≤ − + + ≤ (theo viet cho ( ) 0f t = ) Vậy hàm số xác định trên toàn trục số khi 1 1 2 2 m− ≤ ≤ t ( )f t −∞ 1t 2t +∞ 0 0-+ +
  • 9. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 9 www.toanhocdanang.com Cách 2: Sử dụng tính chất đồ thị của Parabol Vì 2 ( ) 2 2f t t mt= + − có hệ số 1 0a= > nên đồ thị của ( )f t sẽ rơi vào 1 trong 3 dạng sau. Do đó ta có: [ ]1,1 ( ) (1)Max f t f − = hoặc [ ]1,1 ( ) ( 1)Max f t f − = − [ ] [ ] 2 1,1 ( ) 2 2 0, 1,1 ( ) 0ycbt f t t mt t Max f t − ⇔ = + − ≤ ∀ ∈ − ⇔ ≤ (1) 0 1 2 0 1 1 ( 1) 0 1 2 0 2 2 f m m f m ≤ − + ≤  ⇔ ⇔ ⇔ − ≤ ≤ − ≤ − − ≤  Bình luận: Ở cách giải 2, ta đã dùng cở sỏ lý thuyết sau: Với fS D⊂ ( fD : TXĐ của ( )f x ) • ( ) , ( ) S f x m x S Max f x m≤ ∀ ∈ ⇔ ≤ • ( ) , ( ) S f x m x S Min f x m≥ ∀ ∈ ⇔ ≥ • ( ) , ( ) S f x m x S Min f x m≤ ∃ ∈ ⇔ ≤ • ( ) , ( ) S f x m x S Max f x m≥ ∃ ∈ ⇔ ≥ Bài tập áp dụng : Bài 1: Tìm tập xác định của hàm số : a) y = 1cos2 1 −x (ĐS: D = R , | 3 3 k k k Z π π π π   + − + ∈    ) b) y = )22)(sin1(tan 2 −− xx (ĐS: D = R , | 2 4 k k k Z π π π π   + + ∈    ) y y y ttt (1)f (1)f (1)f 1 1 1-1 -1 -1 ( 1)f − ( 1)f − ( 1)f − 0 0 0
  • 10. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 10 www.toanhocdanang.com Bài 2: Tìm tập xác định của hàm số : a) y = 2 1 sinx cos x+ − (ĐS: D = 5 2 ; 2 6 6 k k π π π π   + +   ) b) y = 3tan)13(tan 2 2 −+−− xx (ĐS: D = ; 3 4 k k π π π π   − + − +    ) Bài 3: Cho hàm số : 4 4 2 .y sin x cos x msinx cosx= + − . Tìm giá trị của tham số m để hàm số xác định vơi Rx∈∀ (ĐS: – 2 1 ≤m ≤ 2 1 ) Bài 4: Tìm tập xác định của hàm số : a) y = 1 1 2 1 2 cosx cosx cosx cosx − − + − HD: 2 1 1 1 1 2 1 2 1 4cos 2cos2 1 cosx cosx cosx cosx x x − − − = = + − − + Hàm số xác định 1 cos2 2 x⇔ > − ⇔ 4 4 2 2 3 3 k x k π π π π− + < < + b) y = 3cot 1 −x ĐS: , | 6 D R k k k R π π π   = + ∈    HD: sin 0 cot 3 x x ≠  ≠ c) y = 2 1 4 5 2cosx sin x− − ĐS: 2 , | 3 3 D R k k k R π π π π   = − + ∈    HD: 2 2 2 cos 2 4 5 2 0 4 5 2(1 cos ) 0 2cos 5cos 2 0 1 cos 2 x cosx sin x cosx x x x x ≠  − − ≠ ⇔ − − − ≠ ⇔ − + ≠ ⇔  ≠ 2. Xét tính tuần hoàn của hàm số : Dạng 1:Chứng minh hàm số ( )y f x= có tính chất tuần hoàn . • Đoán số thực T >0 ( có thể là chu kỳ của hàm số hoặc cũng có thể là bội nguyên của chu kỳ). • Chứng minh Dx∈∀ ta luôn có ( ) ( ) x T D và x T D f x T f x − ∈ + ∈  + = • Kết luận ( )y f x= là hàm số tuần hoàn .
  • 11. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 11 www.toanhocdanang.com Ví dụ: Chứng minh hàm số 2 ( ) 2cos 2 1 3 y f x x π  = = − +    là một hàm số tuần hoàn. Giải Ta có: 2 ( ) 2cos 2 1 cos 4 2 6 3 y f x x x π π    = = − += − +        có TXĐ: D = R. Xét 2 T π = ta có: 2 x R x T x R π ∀ ∈ ⇒ + = + ∈ ( ) sin 4 2 sin 4 2 2 2 3 3 f x T x x π π π π        += + − += − + +              sin 4 cos2 cos 4 sin 2 2 sin 4 2 ( ) , 3 3 3 x x x f x x R π π π π π       = − + − += − += ∀ ∈            Vậy hàm số tuần hoàn {Dễ dàng chứng minh được chu kỳ chình là 2 T π = } Dạng 2:Chứng minh TO là chu kỳ của hàm số ( )y f x= (Chứng minh phản chứng) • Giả sử RT ∈∃ sao cho 0 < T < TO (1) thỏa mãn Dx∈∀ thì ( ) ( )f x T f x+ = (2) • Biến đổi đẳng thức (2) để có được mâu thuẫn với giả thiết (1). • Mâu thuẫn trên chứng tỏ TO là số thực dương bé nhất thỏa mãn tính chất tuần hoàn của hàm số ⇒ TO là chu kỳ của ( )y f x= Ví dụ: Chứng minh hàm số ( ) sin 2y f x x= = có chu kỳ là T π= Giải Giả sử RT ∈∃ : (1) 0 T π< < thỏa mãn x R∀ ∈ thì ( ) ( )f x T f x+ = Khi đó ta có: (*) ( ) ( ), sin(2 2 ) sin 2 ,f x T f x x R x T x x R+= ∀ ∈ ⇔ + = ∀ ∈ Xét 4 x π = ta có: sin 2 sin 1 2 2 2 2 2 2 T T k T k π π π π π π   + = = ⇔ + = + ⇔ =    mâu thuẫn với (1)vì k Z∈ Do đó không có số dương T nào nhỏ hơn π thỏa điều kiện ( ) ( )f x T f x+ = , x R∀ ∈ Vậy hàm số ( ) sin 2y f x x= = có chu kỳ T π=
  • 12. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 12 www.toanhocdanang.com Bình luận:Để có thể dẫn đến mâu thuẫn thì ta phải xét 4 x π = để sin 2 sin 1 2 x π = = (tức là luôn chọn giá trị cho x để vế phải của (*) bằng 1 Dạng 3:Xác định chu kỳ của hàm số lượng giác bất kỳ.(sử dụng các chú ý sau) Các chú ý cần nhớ về chu kỳ của hàm số lượng giác : • Các hàm số y = sin(ax + b) + c và y = cos(ax + b) + c (với a ≠ 0) tuần hoàn với chu kỳ T = a π2 • Các hàm số y = tan(ax + b) + c và y = cot(ax + b) + c (với a ≠ 0) tuần hoàn với chu kỳ T = a π • Giả sử ( )f x và ( )g x tuần hoàn với chu kỳ tương ứng là Tf , Tg . ⇒ ( ) ( ) ( )F x mf x ng x= + tuần hoàn với chu kỳ: T = BSCNN(Tf ,Tg) • Trong trường hợp hám số chứa các số hạng chứa các hàm lượng giác bậc cao hoặc có dạng tích ta cần dùng công thức hạ bậc hoặc công thức tích thành tổng trước khi đi tìm chu kỳ. • Nếu ( )f x tuần hoàn thì đồ thị của chúng cắt trục hoành (nếu có) tại những điểm cách đều nhau. Bài tập áp dụng : Bài 1: Chứng minh rằng hàm số y = sinx tuần hoàn với chu kỳ T = 2π . Bài 2: Hàm số nào sau đay có tính chất tuần hoàn .Xác định chu kỳ của nó (nếu có) a) ( )f x = tan(3x - 6 π ) (ĐS: T = 3 π ) b) ( )f x = 2cos2 (2x + 3 π ) (ĐS: T = 2 π ) c) ( )f x = sin2 x (ĐS: T = π ) Bài 3: Hàm số nào sau đay có tính chất tuần hoàn .Xác định chu kỳ của nó (nếu có) a) ( )f x = sinx + 2 1 sin2x + 3 1 sin3x (ĐS: T = 2π ) b) f(x) = 2tan 2 x – 3tan 3 x (ĐS: T = 6π ) c) ( )f x = cosx + (1 + cos2x) + (cos3x – 3cosx) (ĐS: T = 2π ) d) ( )f x = sinx + sin(x 2 )
  • 13. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 13 www.toanhocdanang.com HD: không tuần hoàn vì 2 ∉Q nên không có khái niệm bội số chung e) ( )f x = tan x HD: nếu f tuần hoàn thì đồ thị của chúng cắt trục hoành tại những điểm cách đều nhau f) ( )f x = sin(x2 ) (HD: tương tự câu e ) g) ( )f x = xtan (ĐS: T = π ) h) ( )f x = 2cos2 x + 3cos3 x + 8cos4 x (ĐS: T = 2π ) 3. Xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác : Phương pháp : • Tìm tập xác định D và kiểm tra tính chất đối xứng của D. +) Nếu Dx∈∃ ⇒ Dx∉− . Ta kết luận : Tập D không đối xứng nêu hàm số không chẵn không lẻ +) Nếu Dx∈∀ ⇒ – x ∈ D. Ta có : D là tập đối xứng , thực hiện tiếp bước 2. • Xác định ( )f x− +) Nếu ( ) ( )f x f x− = . Ta kết luận : ( )y f x= là hàm số chẵn. +) Nếu ( ) ( )f x f x− =− . Ta kết luận : ( )y f x= là hàm số lẻ. +) Nếu ( ) ( )f x f x− ≠ và ( ) ( )f x f x− ≠ − . Ta kết luận : y = f(x) là hàm số không chẵn không lẻ Chú ý : ( Tính chất đối xứng của hàm lượng giác cơ bản) • y = sinx có vô số tâm đối xứng là Ik (kπ ; 0) và vô số trục đối xứng x = 2 π + kπ (k ∈Z) • y = sinx có vô số tâm đối xứng là Ik ( 2 π +kπ ; 0) và vô số trục đối xứng x = kπ (k ∈Z) • y = tanx có vô số tâm đối xứng là Ik ( k 2 π ; 0 ) ( với k ∈Z) • y = cotx có vô số tâm đối xứng là Ik ( k 2 π ; 0 ) ( với k ∈Z)
  • 14. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 14 www.toanhocdanang.com Ví dụ 1: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số: 1 ( ) 2sin 3 y f x x = = + Giải Tập xác đinh: D R= Ta có : x R x R∀ ∈ ⇒ ∈ Xét 6 x π = ta có: 1 1 1 16 42sin 3 2. 3 6 2 f π π   = = =    + + 1 1 1 16 2 2sin 3 2. 3 6 2 f π π   −= = =       − + − +        Do đó: 6 6 f f π π    − ≠ −        đồng thời 6 6 f f π π    − ≠        Vậy hàm số 1 2sin 3 y x = + không có tính chẵn , lẻ. Ví dụ 2: Chứng minh rằng đồ thị của hàm số − = = + sin tan ( ) 2sin 3cot x x y f x x x nhận Oy làm trục đối xứng. Giải Hàm số xác định 2 2 sin 0 2 cos 0 2 22 22cos 3cos 2 02sin 3cot 0 2sin 3cos 0 3 x k x x k x k x x k x kx xx x x x π π π π π π π ≠ ≠  ≠ ≠    ⇔ ≠ ⇔ ≠ + ⇔ ⇔        ≠ ± +− + + ≠+ ≠   + ≠  TXĐ: 2 , 2 | 2 3 D R k k k Z π π π   = ± + ∈    Do đó ta có: (1) x D x D∀ ∈ ⇒ − ∈ x D∀ ∈ ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − − − − − − −= = − + − − + − sin tan sin tan ( ) 2sin 3cot 2 sin 3 cot x x x x f x x x x x ( ) ( ) − − − = = = +− + (2) sin tan sin tan ( ) 2sin 3cot2sin 3cot x x x x f x x xx x {theo công thức đối} Từ (1) và (2) ta có: − = + sin tan 2sin 3cot x x y x x là hàm số chẵn Vậy đồ thị của hàm số − = + sin tan 2sin 3cot x x y x x nhận Oy là trục đối xứng.
  • 15. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 15 www.toanhocdanang.com Bài tập áp dụng : Bài 1: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số : ( )f x = sin2009 x + cosnx với (n∈Z) ĐS: không chẳn,không lẻ Bài 2: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số : a) ( )f x = xx x tansin 2 + ĐS: Hàm số lẻ b) ( )f x = x sinx ĐS: lẻ c) ( )f x = x xn cos 2009sin2008 + (n∈Z) ĐS: Chẵn Bài 2: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số : a) 2sin 3y x= − ĐS: không chẵn ,không lẻ (vì 1 2 f π  = −    , 5 2 f π  − =−    ) b) 1 2sin 1 y x = − ĐS: không chẵn ,không lẻ HD: TXĐ: 5 2 , 2 | 6 6 D R k k k Z π π π π   = + + ∈    do đó ta có: 6 D π − ∈ mà 6 D π ∉ c) sin cosy x x= + ĐS: không chẵn ,không lẻ (vì 3 1 3 2 f π +  =    , 3 1 3 2 f π − +  − =    ) d) tan coty x x= + ĐS: Hàm số lẻ e) sin cosy x x= ĐS: Hàm số lẻ f) + = 3 3 cos 1 sin x y x ĐS: Hàm số lẻ g) = tany x ĐS: Hàm số chẵn Bài 3: Chứng minh rằng đồ thị hàm số sau có trục đối xứng : 6 4 2 cos ( ) 6 4 2 1 x y f x x x x = = + + + HD: Chứng minh ( )f x là hàm số chẵn ⇒ dfcm Bài 4: Chứng minh rằng đồ thị hàm số sau có tâm đối xứng : 2008 cos 2009 ( ) sin n x y f x x + = = HD: Chứng minh ( )f x là hàm số lẻ ⇒ dfcm
  • 16. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 16 www.toanhocdanang.com 4. Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm lượng giác : Chuyển hàm số y = f(x) về dạng các hàm số lượng giác cơ bản và xét chiều biến thiên theo bảng( với k ∈Z). SinU cosU tanU cotU Đồng biến (- 2 π + k2π , 2 π + k2π ) Nữa ĐTLG có hoánh độ >0 (-π + k2π , k2π ) Nữa ĐTLG có tung độ > 0 R       ∈+ Zkk , 2 π π Cả miền xác định Nghịch biến ( 2 π + k2π , 3 2 π + k2π ) Nữa ĐTLG có hoánh độ <0 (k2π , π + k2π ) Nữa ĐTLG có tung độ > 0 R { }Zkk ∈,π Cả miền xác định Ví dụ: Xét sự biến thiên củ hàm số 4sin cos sin 2 6 6 y x x x π π    = + − −        trên 1 chu kỳ của nó. Từ đó suy ra sự biến thiên trên toàn trục số. Giải Ta có : 4sin cos sin 2 2 sin 2 sin sin 2 sin 2 3 6 6 3 y x x x x x y x π π π      = + − − = + − ⇔ = +            Do đó hàm số đã cho có chu kỳ T π= nên ta xét sự biến thiên trên [ ]0 , π Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên ta có: Hàm số đồng biến trên các khoảng 0 , 4 π      và 3 , 4 π π       Hàm số nghịch biến trên khoảng 3 , 4 4 π π      x 2x y 4 π 0 2 π 3 4 π π 0 2 π π 3 2 π 2π 3 1 3+ 3 1 3− + 3
  • 17. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 17 www.toanhocdanang.com Hàm số: 4sin cos sin 2 6 6 y x x x π π    = + − −        sin 2 3y x⇔= + tuần hoàn với chu kỳT π= Hàm số đồng biến trên các khoảng , 4 k k π π π   +    và 3 , 4 k k π π π π   + +    Hàm số nghịch biến trên khoảng 3 , 4 4 k k π π π π   + +    với k Z∈ Bài tập áp dụng : Bài 1: Xét sự biến thiên của hàm số sau trên một chu kỳ của nó a) y = tan2x b) y = 1 – sinx. Bài 2: Xét sự biến thiên của hàm số sau trên một chu kỳ của nó y = sinx – cosx Bài 3: Xét sự biến thiên của hàm số sau trên một chu kỳ của nó a) y = cos2x b) y = cot3x Bài 4: Vẽ đồ thị của các hàm số : a) y = xcos b) y = xtan c) y = cot(-x) d) y = 1 – sinx Bài 5: Vẽ đồ thị của các hàm số : a) y = sin(x – 4 π ) b) y = 1 + cosx c) y = cot(x – 3 π ) d) y = tan(2x – 6 π ) 5. Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác : Sử dụng tính bị chặn của hàm số lượng giác ( với k ∈Z). • -1 ≤ sin2k+1 [f(x)] ≤ 1 [ ( )]sin f x ≤ 1 0 ≤ sin2k [f(x)] ≤ 1 • -1 ≤ cos2k+1 [f(x)] ≤ 1 [ ( )]cos f x ≤ 1 0 ≤ cos2k [f(x)] ≤ 1 Sử dụng tính chất của tam thức bậc hai . • Nếu a < 0 thì 2 ax bx c+ + ≤ – a4 ∆ • Nếu a > 0 thì 2 ax bx c+ + ≥ – a4 ∆
  • 18. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 18 www.toanhocdanang.com • Nếu hàm số bật 2 mà có điều kiện không phải x R∀ ∈ thì ta phải lập bảng biến thiên của Parabol tương ứng để tìm được GTLN hoặc GTNN. Sử dụng tính chất của hàm số bậc nhất theo Sin , Cos sin cosy a u b u= + ⇒ 2 2 2 2 2 2 sin cos a b y u u a b a b a b   = + +  + +  Vì 2 22         + ba a + = 1 ⇒ R∈∃α sao cho 2 2 cos a a b α = + và 2 2 sin b x a b = + ⇒ 2 2 2 2 (sin .cos cos .sin ) sin( )y a b u u y a b uα α α= + + ⇒ = + + Vì -1 ≤ sin(u +α ) ≤ 1 ⇒ – 22 ba + ≤ y ≤ 22 ba +  Mở rộng : • a.sinx + b.cosx = c (1) . ∃x thỏa (1) ⇔ – 22 ba + ≤ c ≤ 22 ba + • [ ] [ ].sin ( ) cos ( )y a f x b f x c= + + ⇔ – 22 ba + + c ≤ y ≤ 22 ba + + c Ví dụ 1: Cho hàm số 2 2cos 2 3sin cos 1y x x x= − + a. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên b. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn 7 0 , 12 π     . Giải 2 2cos 2 3sin cos 1 cos2 3sin 2 2y x x x x x= − += − + 1 3 2 cos2 sin 2 2 2 cos2 cos sin 2 sin 2 2 2 3 3 y x x x x π π    ⇔= − += − +        2cos 2 2 3 y x π  ⇔= + +    a. Ta có: 1 cos 2 1, 3 x x R π  − ≤ + ≤ ∀ ∈    2 2cos 2 2 3 x π  ⇔ − ≤ + ≤    , x R∀ ∈ 0 2cos 2 2 4 3 x π  ⇔ ≤ + + ≤    , x R∀ ∈ 0 4y⇔ ≤ ≤ , x R∀ ∈ Vậy ( ) 4Max y = khi cos 2 1 3 6 x x k π π π   + =⇔ =− +    ( ) 0Min y = khicos 2 1 3 3 x x k π π π   + =− ⇔ = +    2 22         + ba b
  • 19. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 19 www.toanhocdanang.com b. 2cos 2 2 3 y x π  = + +    7 7 3 0 , 0 2 12 12 3 3 2 x x x π π π π π  ∀ ∈ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ + ≤   Lập bảng biến thiên của hàm số 2cos 2 2 3 y x π  = + +    trên đoạn 7 0 , 12 π     Từ bảng biến thiên ta thấy: 7 0 , 12 ( ) 0Min f x π      = Khi 3 x π = 7 0 , 12 ( ) 3Max f x π      = khi x = 0 Ví dụ 2: Tìm GTNN và GTLN của hàm số 4 sin cosy x x= − Giải Ta có: 4 4 0 sin 1 1 sin cos 1 1 1 0 cos 1 x x x y x  ≤ ≤ ⇒ − ≤ − ≤ ⇔ − ≤ ≤ ≤ ≤ ( ) 1Max y = khi 2 sin 1 2 2 cos 0 2 2 x k x x k x x k π π π π π π  = +=  ⇔ ⇔ = +  = = +  ( ) 1Min y = − khi sin 0 2 cos 1 2 x x k x k x x k π π π = =  ⇔ ⇔ =  = =  x ( )f x 2 3 x π + 3 π 2 π π 3 2 π 3 2 0 2 0 12 π 3 π 7 12 π
  • 20. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 20 www.toanhocdanang.com Bài tập áp dụng : Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của các hàm số . a) y = 2sinx + 4 (ĐS: 6 và 2) b) y = 1 – 2cosx – 2sin2 x (ĐS: 3 và 2 3 − ) c) y = sinx + 3 cosx (ĐS:2 và -2) d) y = 3cossin2 3cos2sin ++ ++ xx xx (ĐS:2 và 2 1 ) Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của các hàm số . a) y = 2(1 + sin2x.cos4x) – 2 1 (cos4x – cos8x) (ĐS: 5 và 1) b) y = sin10 x + cos10 x (ĐS: 1 và 16 1 ) c) y = 2cossin cos2 −+ + xx x d) y = 4sincos2 3cos2sin +− ++ xx xx e) y = 1cos 1coscos2 2 + ++ x xx f) y = 2sin2 x + 4sinx.cosx + 5 g) y = 1 + x x cos2 sin3 + h) y = 22 1 4 cos 1 2 sin x x x x + + + + 1 Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số . y = xx cos 1 sin 1 + (ĐS: 2 2 ) Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số . y = xxxx 2222 cos7sinsin7cos +++ (4 và 1 + 7 ) Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số . y = xx cossin +
  • 21. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 21 www.toanhocdanang.com Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số . a) y = sinx + 3sin2x b) y = xx cos21sin21 +++ c) y = cos3x + 2sin2 2 x Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của các hàm số . a) y = xx sin21cos21 −+− b) y = xx sin21cos21 +++ c) y = xx xx 24 24 cos4sin3 sin4cos3 + + Bài 8: Tìm m để giá trị nhỏ nhất của hàm số : y = 2cos 1sin. + + x xm nhỏ hơn – 1 . Bài 9: Cho hàm số : y = 2sincos sin2 ++ + xx mxm . a) Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số với m = 1. b) Xác định m để giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 10: Cho hàm số : y = 2sincos 1cos2 ++ ++ xx mxm . a) Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số với m = 1. b) Xác định m để giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 11: Cho hàm số : F(x) = cos2 2x + 2(sinx + cosx)2 – 3sin2x + m. Tính theo m giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của F(x).Từ đó tìm m sao cho F2 (x)≤ 36 ,∀ x ∈R Bài 12: Tìm giá trị nhỏ nhất của : a. 1 1 sin cos y x x = + với 0 2 x π < < b. 9 4 siny x x x π = + + với 0 x< < +∞ c. 2 2sin 4sin cos 5y x x x= + +
  • 22. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 22 www.toanhocdanang.com Bài 13: Tìm giá trị nhỏ nhất của : a. sin cos cos siny x x x x= + b. sin 3sin 2y x x= + c. 2 cos 2 cosy x x= + − 6. Một số phép biến đổi đồ thị: • Từ đồ thị hàm số y = f(x), suy ra đồ thị hàm số ( )y f x a= ± hoặc ( )y f x a= ± thì ta thực hiện phép tịnh tiến như hình vẽ . • Từ đồ thị y = f(x), suy ra đồ thị y = –f(x) bằng cách lấy đối xứng đồ thị y = f(x) qua trục hoành. • Từ đồ thị y = f(x), suy ra đồ thị y = f(-x) bằng cách lấy đối xứng đồ thị y = f(x) qua trục tung. • Đồ thị f x neáu f x y f x f x neáu f x ( ), ( ) 0 ( ) ( ), ( ) 0  ≥ = =  − < được suy từ đồ thị y = f(x) bằng cách giữ nguyên phần đồ thị y = f(x) ở phía trên Ox và bỏ phần đồ thị phía dưới Ox đồng thời lấy đối xứng phần đồ thị y = f(x) nằm ở phía dưới Ox qua trục Ox. • Đồ thị  ≥ = =  − < ( ), 0 ( ) ( ), 0 f x neáu x y f x f x neáu x được suy từ đồ thị y = f(x) bằng cách giữ nguyênphần đồ thị y = f(x) ở phía phải Oy ( 0x ≥ ) và bỏ phần đồ thị phía trái Oy đồng thời lấy đối xứng phần đồ thị y = f(x) nằm ở phía phải Oy qua trục Oy. • Đồ thị . ( )y k f x= được suy từ đồ thị y = f(x) bằng cách có ( 1k < ) giản ( 1k > ) theo phương của trục tung (Oy) theo tỷ số k • Đồ thị ( . )y f k x= được suy từ đồ thị y = f(x) bằng cách có ( 1k < ) giản ( 1k > ) theo phương của trục hoành (Ox)theo tỷ số k ( )y f x= ( )y f x a= + (cùng chiều dương trục Oy) a đơn vị ( )y f x a= − (ngược chiều dương trục Oy) ( )y f x a= + ( )y f x a= − với 0a > (cùng chiều dương trục Ox) (ngược chiều dương trục Ox)
  • 23. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 23 www.toanhocdanang.com Ví dụ 1: Cho hàm số 3cos2y x= a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên . b. Từ đồ thị của hàm số cos2y x= hãy suy ra đồ thị của 3sin 2 2 3 y x π  = + +    Giải a. TXĐ: D = R Bảng biến thiên: Hàm số ngịch biến trên các khoảng , 2 k k π π π   +    Hàm số đồng biến trên các khoảng , 2 k k π π π π   + +    ,k Z∈ (vì hàm số có chu kỳT π= ) Đồ thị: Nhận xét : Đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng , Hàm số tuần hoàn với chu kỳ T π= b. Bước 1: Bằng cách tịnh tiến (C): cos2y x= theo ngược chiều dương của trục Ox 6 π đơn vị ta có được đồ thị (C’): 3sin 2 3 y x π  = +    vì ( ') : 3sin 2 6 C y x π  = +    x 2x ( )f x 2π0 2 π π 3 2 π 0 4 π 2 π 3 4 π π 3 0 -3 0 3 x y 3 -3 0 4 π 2 π 3 4 π π 5 4 π 2 π − 4 π −π− x y 3 -3 0 12 π 3 π 7 12 π 5 6 π 13 12 π5 12 π − 6 π −2 3 π − 7 6 π −
  • 24. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 24 www.toanhocdanang.com Bước 2: Bằng cách tịnh tiến đồ thị (C’): 3sin 2 3 y x π  = +    lên trên 2 đơn vị (theo cùng chiều dương của trục Oy) ta có đồ thị ( ") : 3sin 2 2 3 C y x π  = + +    Bước 3: Bằng cách giữ nguyên phần đồ thị (C”): 3sin 2 2 3 y x π  = + +    nằm phía trên trục Ox , và bỏ phần đồ thị phía dưới Ox đồng thời lấy đối xứng phần đồ thị (C”) nằm ở phía dưới Ox qua trục Ox ta thu được đồ thị của hàm số : 3sin 2 2 3 y x π  = + +    như hình vẽ sau: Ví dụ 2: Tìm các phép biến hình để có thể biến đồ thị (C) thành (C’) sau đay: a. ( ): sinC y x= ( ') : sin 1 3 C y x π  =− + +    b. ( ) : 2tan 6 C y x π  = −    ( ') : 2tan 3 6 C y x π  = − − −    c. ( ): cosC y x= ( ') : cos 3 4 C y x π  = − +    d. ( ): cosC y x= ( '): 2cos 2C y x=− + x y 3 -1 0 3 π 5 6 π 13 12 π 6 π − 2 3 π − 7 6 π − x y 3 -1 0 3 π 5 6 π 13 12 π 6 π −2 3 π −7 6 π −
  • 25. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 25 www.toanhocdanang.com Giải a. Để biến đổi (C) thành (C’) ta cần thực hiên lần lượt các bước sau: Bươc 1: Tịnh tiến (C) sang trái 3 π đơn vị ta có( )1 : sin 3 C y x π  = +    (theo ngược chiều dương trục Ox ) Bươc 2: Đối xứng ( )1C qua trục Ox ta được ( )2 : sin 3 C y x π  =− +    Bươc 3: Tịnh tiến ( )2C lên trên 1 đơn vị ta có ( )'C (theo chiều dương trục Oy ) b. Để biến đổi (C) thành (C’) ta cần thực hiên lần lượt các bước sau: Bươc 1: Đối xứng ( )C qua trục Ox ta được ( )1 : 2tan 6 C y x π  = − −    Bươc 2: Tịnh tiến ( )1C xuống dưới 3 đơn vị ta có ( )'C (theo ngược chiều dương trục Oy ) c. Để biến đổi (C) thành (C’) ta cần thực hiên lần lượt các bước sau: Bươc 1: Tịnh tiến (C) sang phải 4 π đơn vị ta có( )1 : cos 4 C y x π  = −    (theo chiều dương trục Ox ) Bươc 2:Giữ nguyên phần đồ thị ( )1C ở phía phải Oy ( 0x ≥ ) và bỏ phần đồ thị phía trái Oy đồng thời lấy đối xứng phần đồ thị ( )1C nằm ở phía phải Oy qua trục Oy, ta thu được đồ thị ( )2 : cos 4 C y x π  = −    Bươc 3: Tịnh tiến ( )2C lên trên 3 đơn vị ta có được đồ thị ( )'C (theo chiều dương trục Oy) d. Để biến đổi (C) thành (C’) ta cần thực hiên lần lượt các bước sau: Bươc 1: Thực hiện phép giản (C) 2 đơn vị ta thu được ( )1 : 2cosC y x= Bươc 2: Đối xứng ( )1 : 2cosC y x= qua trục Ox ta thu được ( )2 : 2cosC y x= − Bươc 3: Tịnh tiến ( )2 : 2cosC y x= − lên trên 2 đơn vị ta thu được ( '): 2cos 2C y x=− + (theo chiều dương trục Oy)