1. CALCULO DIFERENCIAL
Escuela Colombiana de Ingeniería
4.- Derivadas Funciones Trigonométricas
4.1. DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
Derivada de ( )y Sen x=
La derivada de )(xSeny = se puede obtener como:
0
( ) ( )
h
dy Sen x h Sen x
Lim
dx h→
+ −
=
Para calcular este límite se utilizan los siguientes conceptos previamente estudiados:
•
0
( )
1
h
Sen h
Lim
h→
= •
0
( ) 1
0
h
Cos h
Lim
h→
−
=
• )()()()()( hSenxCoshCosxSenhxSen +=+
Por lo tanto desarrollando el límite se tiene:
−+
=
→ h
xSenhxSen
Lim
dx
dy
h
)()(
0
Definición de derivada
−+
=
→ h
xSenhSenxCoshCosxSen
Lim
dx
dy
h
)()()()()(
0
Aplicando suma de arcos
+−
=
→ h
hSenxCoshCosxSen
Lim
dx
dy
h
)()()1)()((
0
Factorizando el numerador
+
−
=
→→ h
hSen
xCosLim
h
hCos
xSenLim
dx
dy
hh
)(
)(
1)(
)(
00
Suma de Limites
+
−
=
→→ h
hSen
LimxCos
h
hCos
LimxSen
dx
dy
hh
)(
)(
1)(
)(
00
Sacando las constantes fuera
del límite
)(1)(0)( xCosxCosxSen
dx
dy
=×+×= Por los límites conocidos
De donde: ( ) ( )
d
Sen x Cos x
dx
=

2. CALCULO DIFERENCIAL
Escuela Colombiana de Ingeniería
4.- Derivadas Funciones Trigonométricas
Si u es una función diferenciable de x, es posible aplicar la regla de la cadena así:
dx
du
du
dy
dx
dy
=
en donde uSeny = para obtener como resultado:
( )
d du
Sen u Cos u
dx dx
=
Ejemplos:
1. ( ) ( )2 2 2 2 2
d d
Sen x Cos x x Cos x
dx dx
= =
2. ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2
d d d
x Sen x x Sen x Sen x x x Cos x x Sen x
dx dx dx
= + = +
3.
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
d d
x Sen x Sen x xSen x xCos x Sen xd dx dx
dx x x x
− −
= =
4.
( )2
2
Sen xd
dx x
=
( )( ) ( ) ( )
( )
2 2 2 2
22
d d
x Sen x Sen x x
dx dx
x
−
=
( ) ( )( ) ( ) ( )2 2
4
2 2x Sen x Cos x x Sen x
x
−
= =
( ) ( ) ( )2 2
4
2 2x Sen x Cos x xSen x
x
−
= =
2 x
=
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )2 2
34
2xSen x Cos x Sen x xSen x Cos x Sen x
xx
− −
=
Derivada de ( )y Cos u=
Para obtener esta derivada hay que tener presente las siguientes identidades:

3. CALCULO DIFERENCIAL
Escuela Colombiana de Ingeniería
4.- Derivadas Funciones Trigonométricas
−=−= uCosuSenusenuCos
22
ππ
Luego:
dx
du
uSen
dx
du
uSen
u
dx
d
uusen
dx
d
uCos
dx
d
−=
−
=
=−−=−=
22
cos
2
πππ
De donde se puede concluir:
( )
dx
du
uSenuCos
dx
d
−=
Ejemplos:
1. ( ) ( )3 3 3 3 3
d d
Cos x Sen x x Sen x
dx dx
= − = −
2. ( )( ) ( ) ( )( ) ( )4 4 3
2 3 2 3 8 3
d d d
x Cos x x Cos x x Sen x
dx dx dx
+ = + = −
3. ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2
d d d
x Cos x x Cos x Cos x x x Sen x xCos x
dx dx dx
= + = − +
4.
( )
( )1
Sen xd
dx Cos x−
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( )
2
1 1
1
d d
Cos x Sen x Sen x Cos x
dx dx
Cos x
− − −
= =
−
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( )
2
1
1
Cos x Cos x Sen x Sen x
Cos x
− −
= =
−
( ) ( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )
2 2
2 2
1
1 1
Cos xCos x Cos x Sen x
Cos x Cos x
−− −
= = =
− −
( ) ( )( )1 1 Cos x− −
=
( )( )1 Cos x− ( )( ) ( )( )
1
11 Cos xCos x
=
−−
Derivada de ( )y Tan x=

4. CALCULO DIFERENCIAL
Escuela Colombiana de Ingeniería
4.- Derivadas Funciones Trigonométricas
( )=
xCos
xSen
dx
d
xTan
dx
d
Definición función tangente
( )
( ) ( )
xCos
xCos
dx
d
xSenxSen
dx
d
xCos
xTan
dx
d
2
−
=
Derivada de un cociente
( )
xCos
xSenxSenxCosxCos
xTan
dx
d
2
−
= Resolviendo la derivada
( ) xSec
xCosxCos
xSenxCos
xTan
dx
d 2
22
22
1
==
−
= Agrupando términos
De manera que si u es una función diferenciable de x, aplicando la regla de la cadena a
la función uy tan= se puede concluir:
dx
du
uSecuTan
dx
d 2
=
Ejemplos :
1. ( ) ( ) ( )2 2
5 5 5 5 5
d d
Tan x Sec x x Sec x
dx dx
= =
2. ( )( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 2d d d
x Tan x x Tan x Tan x x
dx dx dx
= + =
( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 2 2
2 2x Sec x Tan x x x xSec x Tan x+ = +
3. ( )( ) ( ) ( )( ) ( )2
1
d d d
x Tan x x Tan x Sec x
dx dx dx
− + = − + = − +
4. ( )( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 21 1 1d d d
x Tan x Tan Tan x
x x xdx dx dx
= + =
( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 1 1 2
d
x Sec Tan x
x x xdx
+ =
2
x( ) 2
1
x
( ) ( ) ( )2 1 12Sec x Tan
x x
+ =
( ) ( ) ( )2 1 12Sec x Tan
x x
+

5. CALCULO DIFERENCIAL
Escuela Colombiana de Ingeniería
4.- Derivadas Funciones Trigonométricas
5. ( )( ) ( ) ( )2
1 1 1
d d
Tan x Sec x x
dx dx
π π π+ = + + =
( ) ( ) ( )( )2 2
1 1Sec x Sec xπ π π π+ = +
Derivada de ( )y Cot u=
=
xSen
xCos
dx
d
xCot
dx
d
Definición de Cotangente
( ) ( )
xSen
xSen
dx
d
xCosxCos
dx
d
xSen
xCot
dx
d
2
−
=
Derivada de un cociente
xSen
xCosxCosxSenxSen
xCot
dx
d
2
−−
= Resolviendo la derivada
( ) xCsc
xSenxSen
xCosxSen
xCot
dx
d 2
22
22
1
−=
−
=
−−
= Factorizando y Simplifando
De manera que si u es una función diferenciable de x, aplicando la regla de la cadena a
la función uCoty = se puede concluir:
dx
du
uCscuCot
dx
d 2
−=
Ejemplos :
1. ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )2 2
2 2
d d
Cot x Cot x Cot x Cot x Csc x
dx dx
= = − =
( ) ( )2
2Cot x Csc x−
2. ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )2 2
5 2 5 5 2 5 5 5
d d d
Cot x Cot x Cot x Cot x Csc x x
dx dx dx
= = − =
( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )2 2
2 5 5 5 10 5 5Cot x Csc x Cot x Csc x− = −
3.
( )
( ) ( )2
2
3 1
1
3
d
Ctg x
dxd
dx Ctg x
=
( ) ( )( )
( )( )
0
2
2
2
1 3
3
d
Ctg x
dx
Ctg x
−
=

6. CALCULO DIFERENCIAL
Escuela Colombiana de Ingeniería
4.- Derivadas Funciones Trigonométricas
( )( ) ( )
( )
( )( )( )
( )
( )( )
( )
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
3 3 3 6 6 3
3 3 3
d
Csc x x Csc x x x Csc x
dx
Ctg x Ctg x Ctg x
− −
= =
4. ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )2 2
1 1
d d d
x Ctg x x Ctg x Csc x Csc x
dx dx dx
− + = − + = − + − = − −
5. ( )( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 21 1 1d d d
x Ctg x Ctg Ctg x
x x xdx dx dx
= + =
( )( ) ( ) ( ) ( )2 2 21 1 1d d
x Csc Ctg x
x x xdx dx
+ =
2
x ( )( )2
2
1 1Csc
x x
− ( )( )1 2Ctg x
x
+ =
( ) ( ) ( )2 1 12Csc x Ctg
x x
+
Derivada de ( )y Sec u=
( )( )
( )
1d d
Sec x
dx dx Cos x
= Definición de Secante
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )2
1 1
d d
Cos x Cos x
d dx dxSec x
dx Cos x
−
= Derivada de un cociente
( )( )
( )( )
( )2
1 Sen xd
Sec x
dx Cos x
− −
= Resolviendo la derivada
( )( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )2
1Sen x Sen xd
Sec x Tan x Sec x
dx Cos x Cos x Cos x
−
= = = Simplificando y factorizado
De manera que si u es una función diferenciable de x, aplicando la regla de la cadena a
la función uSecy = se puede concluir:
( ) ( ) ( )
d du
Sec u Tan u Sec u
dx dx
=
Ejemplos :

7. CALCULO DIFERENCIAL
Escuela Colombiana de Ingeniería
4.- Derivadas Funciones Trigonométricas
1. ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )2
2 2
d d
Sec x Sec x Sec x Sec x Sec x Tan x
dx dx
= = =
( ) ( )2
2Sec x Tan x
2. ( )( ) ( )( ) ( )( )2
5 2 5 5
d d
Sec x Sec x Sec x
dx dx
= =
( )( ) ( ) ( )( )2 5 5 5 5
d
Sec x Sec x Tan x x
dx
=
( )( ) ( ) ( )( )( )2 5 5 5 5Sec x Sec x Tan x =
( )( ) ( )( )2
10 5 5Sec x Tan x
3.
( )
( ) ( )2
2
1
1
d
Sec x
dxd
dx Sec x
=
( ) ( )( )
( )( )
0
2
2
2
1
d
Sec x
dx
Sec x
−
=
( ) ( )( ) ( )
( )( )
2 2 2
2
2
d
Sec x Tan x x
dx
Sec x
−
=
( ) ( )( )( )
( )( )
2 2
2
2
2Sec x Tan x x
Sec x
−
=
( ) ( )2
2x Sec x− ( )( )
( )( )
2
2
2
Tan x
Sec x
=
( ) ( )
( )
2
2
2x Tan x
Sec x
−
=
4. ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 2
2
d d d
x Sec x x Sec x x Sec x Tan x
dx dx dx
+ = + = +
5. ( )( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 2
3 3 3
d d d
x Sec x x Sec x Sec x x
dx dx dx
= + =

8. CALCULO DIFERENCIAL
Escuela Colombiana de Ingeniería
4.- Derivadas Funciones Trigonométricas
( ) ( )( ) ( ) ( )( )2
3 3 3 3 2
d
x Sec x Tan x x Sec x x
dx
+ =
( ) ( )( )( ) ( ) ( )2
3 3 3 2 3x Sec x Tan x x Sec x+ =
( ) ( )( ) ( ) ( )2
3 3 3 2 3x Sec x Tan x x Sec x+
Derivada de ( )y Csc u=
( )
( )
1d d
Csc x
dx dx Sen x
= Definición de la Cosecante
( )
( ) ( ) ( )( )
( )2
1 1
d d
Sen x Sen x
d dx dxCsc x
dx Sen x
−
= Derivada de un Cociente
( )
( )( )
( )2
1 Cos xd
Csc x
dx Sen x
−
= Resolviendo la derivada.
( )
( )
( )
( )
( ) ( )2
1Cos x Cos xd
Csc x
dx Sen x Sen x Sen x
− −
= = =
( ) ( ) ( )
d
Csc x Cot x Csc x
dx
= − Simplificando y factorizando
De manera que si u es una función diferenciable de x, aplicando la regla de la cadena a
la función ( )y Csc u= se puede concluir:
( ) ( ) ( )
d du
Csc u Cot u Csc u
dx dx
= −
Ejemplos :
1. ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )2
2 2
d d
Csc x Csc x Csc x Csc x Csc x Ctg x
dx dx
= = − =
( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )2
2 2Csc x Csc x Ctg x Csc x Ctg x− = −
2. ( )( ) ( )( ) ( )( )2 3 3 3
2
d d
Csc x Csc x Csc x
dx dx
= =

9. CALCULO DIFERENCIAL
Escuela Colombiana de Ingeniería
4.- Derivadas Funciones Trigonométricas
( )( ) ( ) ( )( ) ( )3 3 3 3
2
d
Csc x Csc x Ctg x x
dx
− =
( )( ) ( ) ( )( )( )3 3 3 2
2 3Csc x Csc x Ctg x x− =
( )( ) ( )( ) ( )
( )
( )
3
2 2 3 3 2
2 3 3
1
6 6
Cos x
x Csc x Ctg x x
Sen x Sen x
− = −
( )
( )
3
2
3 3
6
Cos x
x
Sen x
−
3.
( )
( ) ( )1
1
d
Csc x
dxd
dx Csc x
=
( ) ( )( )
( )( )
0
2
1
d
Csc x
dx
Csc x
−
=
( ) ( ) ( )( )
( )( )
( ) ( )
2
11 Csc xCsc x Ctg x
Csc x
−−
=
( )( )
( )( )
2
Ctg x
Csc x
( )( )
( )( )
( )
( )
Ctg x Cos x
Csc x Sen x
− −
=
( )Sen x
( )
1
Cos x= −
4. ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )d d d
x Csc x x Csc x x Csc x Ctg x
dx dx dx
+ = + = +
5. ( )( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 2
3 3 3
d d d
x Csc x x Csc x Csc x x
dx dx dx
= + =
( ) ( )( ) ( ) ( )( )2
3 3 3 3 2
d
x Csc x Ctg x x Csc x x
dx
− + =
( ) ( )( )( ) ( )( )2
3 3 3 3 2x Csc x Ctg x Csc x x− + =
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2
3 3 3 2 3x Csc x Ctg x x Csc x− + =
Ejercicios Propuestos :
Encontrar la derivada de las siguientes expresiones:
1. ( )3y x Sen x= − 2. ( ) ( )2y Cos x Tan x= −
3. ( )3
y t Cos t= 4. ( ) ( )4y Sec t Tan t= +

10. CALCULO DIFERENCIAL
Escuela Colombiana de Ingeniería
4.- Derivadas Funciones Trigonométricas
5.
( )Tan x
y
x
= 6.
( )
( )1
sen x
y
Cos x
=
+
7.
( ) ( )
x
y
Sen x Cos x
=
+
8.
( )
( )
1Tan x
y
Sec x
−
=
9.
( )
2
Sen x
y
x
= 10.
( )2
Sen x
y
x
=
11. ( )( ) ( )( )y x Cos x Sen x= 12. ( )3
2y Sen x=
13. ( ) ( )2 2
y Sen x Cos x= + 14.
( )
2
1x
y
xSen x
+
=
15. ( )4 2
3y sen x x= + 16. ( )2
2y xSen x=
17. ( )( )3
y Sen Cos t= 18. ( )( )2
y Sen Cos x=
19. ( )2 5
2y x Sen x= 20. ( ) ( )y Sec x Sen x=