Lei De Gauss

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  • 1. PROBLEMAS RESOLVIDOS DE FÍSICA Prof. Anderson Coser Gaudio Departamento de Física – Centro de Ciências Exatas – Universidade Federal do Espírito Santo http://www.cce.ufes.br/anderson anderson@npd.ufes.br Última atualização: 30/08/2005 13:24 H RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996. FÍSICA 3 Capítulo 29 - Lei de Gauss Problemas 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51
  • 2. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES Problemas Resolvidos 47. Uma esfera sólida não condutora, de raio R possui uma distribuição de cargas não uniforme, a densidade de cargas sendo dada por ρ = ρe r/R, onde ρe é constante e r é a distância ao centro da esfera. Mostre que (a) a carga total na esfera é Q = πρeR3 e (b) o campo elétrico dentro da esfera é determinado por 1 Q 2 E= r 4πε 0 R 4 (Pág. 53) Solução. (a) Considere o esquema abaixo: + E + dA + r + + + + Q R q + + + + + Carga total na esfera: dq r ρ= = ρ0 dV R r 4πρ0 3 dq = ρ0 .4π r 2 dr = r dr (1) R R 4πρ0 R 4πρ0 R 4 Q = ∫ dq = ∫ r dr = 3 R 0 R 4 Q = πρ0 R3 (b) Carga no interior da esfera de raio r, partindo-se de (1): 4πρ0 r 4πρ0 r 4 q= R ∫ 0 r 3dr = R 4 πρ0 r 4 ⎛ R3 ⎞ πρ0 R3r 4 Qr 4 q= ×⎜ 3 ⎟ = = 4 (2) R ⎝R ⎠ R4 R Aplicação da lei de Gauss à superfície esférica de raio r: q ∫ E.dA = ε 0 (3) Substituindo-se (2) em (3): Qr 4 E.4π r 2ε 0 = R4 1 Qr 2 E= 4πε 0 R 4 [Início] ________________________________________________________________________________________________________ 2 a Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 29 – Lei de Gauss
  • 3. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES 50. A Fig. 38 mostra o modelo de Thomson para o átomo de hélio (Z = 2). Dois elétrons em repouso estão enterrados dentro de uma esfera uniforme de carga positiva 2e. Determine a distância dentre os elétrons para que a configuração fique em equilíbrio. (Pág. 53) Solução. (a) Considere o esquema abaixo: E+ + F− dA + F+ + + + + R + d/2 + + + Para que haja equilíbrio eletrostático nesse sistema, a resultante das forças sobre cada elétron deve ser nula. Cada elétron está sujeito a duas forças: repulsão devido ao outro elétron e atração devido à camada esférica de cargas positivas de raio d/2. As cargas positivas da camada esférica com raio maior do que d/2 não exercem força sobre os elétrons. F+ + F− = 0 (1) Repulsão elétron-elétron: 1 e2 F− = r (2) 4πε 0 d 2 Atração esfera-elétron: F+ = −eE+ (3) Carga positiva na esfera de raio r = d/2: q q 2e ρ= = 3 = V 4 ⎛d ⎞ 4 3 π⎜ ⎟ πR 3 ⎝2⎠ 3 ed 3 q= 3 (4) 4R Campo produzido pela esfera de raio r = d/2 em sua superfície (lei de Gauss): q ∫ E.dA = ε 0 2 ⎛d ⎞ E+ .4π ⎜ ⎟ ε 0 = q ⎝2⎠ ________________________________________________________________________________________________________ 3 a Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 29 – Lei de Gauss
  • 4. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES E+ .4π d 2ε 0 = q (5) Substituindo-se (4) em (5): ed 3 1 E+ = . 2 4R π d ε 0 3 1 ed E+ = . 4πε 0 R3 Em termos vetoriais: 1 ed E+ = . r (6) 4πε 0 R3 Substituindo-se (6) em (3): 1 e2 d F+ = − r. (7) 4πε 0 R3 Substituindo-se (2) e (7) em (1): 1 e2 d 1 e2 − . r+ r=0 4πε 0 R3 4πε 0 d 2 d=R [Início] ________________________________________________________________________________________________________ 4 a Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 29 – Lei de Gauss