GravitaçãO

PROBLEMAS RESOLVIDOS DE FÍSICA
Prof. Anderson Coser Gaudio
Departamento de Física – Centro de Ciências Exatas – Universidade Federal do Espírito Santo
http://www.cce.ufes.br/anderson
anderson@npd.ufes.br Última atualização: 04/10/2005 14:49 H

RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED.,
LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.

FÍSICA 2

Capítulo 16 - Gravitação

Problemas

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76

Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES

Problemas Resolvidos

17. A maior velocidade de rotação possível para um planeta é aquela em que a força gravitacional
sobre corpos no equador mal fornece força centrípeta necessária para rotação. (Por quê?) (a)
Mostre, então, que o período de rotação mais curto correspondente é dado por
3π
T=
Gρ
onde ρ é a densidade do planeta, supostamente homogêneo. (b) Calcule o período de rotação
supondo uma densidade de 3,0 g/cm3, típica de muitos planetas, satélites e asteróides. Nunca foi
encontrado um desses objetos com um período menor do que o encontrado nesta análise.
(Pág. 52)
Solução.
Para que a matéria presente no equador possa acompanhar o movimento de rotação do planeta, é
necessário que a força de atração gravitacional (F) seja igual à força centrípeta (FC) correspondente.
F = FC
GMm 4π 2
= mω R = m 2 R
2

R2 T
4π 2 R 3 4π R 3 3π V 3π
T = 2
= =
GM 3 GM M G
Na expressão acima, V é o volume do planeta, supostamente esférico. Identificando V/M como a
densidade do planeta, temos:
3π
T=
Gρ
(b)
T ≈ 1, 9 h

[Início]

20. Duas camadas esféricas concêntricas, de densidade uniforme, tendo massas M1 e M2, estão
dispostas conforme mostra a Fig. 39. Determine a força que atua sobre uma partícula de massa
m quando esta está localizada em (a) r = a, (b) r = b e (c) r = c. A distância r é medida a partir
do centro das camadas.

(Pág. 52)
Solução.

________________________________________________________________________________________________________ 2
a
Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 16 – Gravitação


A força de atração gravitacional entre uma partícula de massa m, localizada no exterior de uma
casca esférica de massa M é a mesma que ocorre entre duas partículas de massas m e M. Se a
partícula estiver localizada no interior da casca, a força gravitacional sobre ela será nula (teorema da
casca esférica de Newton).
(a) A partícula de massa m na posição a está sujeita às forças gravitacionais devidas às duas cascas
esféricas:
GM 1m GM 2 m
Fa = F1 + F2 = +
a2 a2
Gm
Fa = 2 ( M 1 + M 2 )
a
(b) Na posição b, a partícula sofre atração gravitacional apenas da casca M1:
GmM 1
Fb =
b2
(c) Na posição c, a partícula não sofre qualquer atração gravitacional:
Fc = 0

[Início]

22. Mostre que, no fundo de um poço de mina vertical de profundidade é D, o valor de g será
⎛ D⎞
g = g s ⎜1 − ⎟ ,
⎝ R⎠
onde gs é o valor na superfície. Suponha que a Terra seja uma esfera uniforme de raio R.
(Pág. 52)
Solução.
Considere o seguinte esquema da situação:
g0
D
g

RT - D

RT

A aceleração da gravidade na superfície da Terra (g0) vale:
GM T
g0 = (1)
RT2
Na Eq. (1), MT e RT são a massa e o raio da Terra, respectivamente. No fundo de um poço de
profundidade D, a aceleração da gravidade (g) vale:
GM
g= (2)
( RT − D )
2

Na Eq. (2), M é a massa da esfera de raio RT − D. Agora vamos aplicar a definição da densidade
para a Terra e para a esfera de raio RT − D:
________________________________________________________________________________________________________ 3
a


MT M
ρ= =
4 4
π RT π ( RT − D )
3 3

3 3
M ( R − D)
3

M = T T3 (3)
RT
Substituindo-se (3) em (2):
M T ( RT − D ) GM T ( RT − D ) GM T ⎛
3
G D⎞
g= = = ⎜1 − ⎟ (4)
( RT − D )
2 3 2 2
RT RT RT RT ⎝ RT ⎠
⎛ D⎞
g = g0 ⎜1 − ⎟
⎝ RT ⎠

[Início]

23. O problema seguinte foi apresentado na “Olimpíada” da Universidade Pública de Moscou, em
1946 (veja a Fig. 40): Numa esfera de chumbo de raio R, faz-se uma cavidade esférica de tal
modo que a sua superfície toca a superfície externa da esfera de chumbo e passa pelo centro
desta. A massa da esfera antes que a cavidade fosse feita era M. Com que força, de acordo com
a lei da gravitação universal, a esfera de chumbo irá atrair uma pequena esfera de massa m, que
está à distância d do centro da esfera de chumbo, sobre uma linha reta que une os centros das
esferas e da cavidade?

(Pág. 52)
Solução.
R d - R/2

m

F

R/2
A simetria esférica e o alinhamento dos corpos permitem a solução do problema por diferença. Ou
seja, podemos calcular a força gravitacional exercida pela esfera sem a cavidade (F1) e a força
________________________________________________________________________________________________________ 4
a


gravitacional (F2) que a cavidade exerceria caso fosse uma esfera de raio R/2, localizada a uma
distância d − R/2 da massa m. Logo:
F = F1 − F2 (1)
O módulo de F1 vale:
GMm
F1 = (2)
d2
Agora vamos calcular o módulo de F2. A massa M da esfera grande vale:
4
M = ρV = ρ π R 3
3
A massa M’ da esfera pequena vale:
3
4 ⎛R⎞ 4 1
M = ρ π ⎜ ⎟ = ρ π R3
'

3 ⎝2⎠ 3 8
M
M' =
8
Portanto:
⎛M ⎞
G⎜ ⎟m
F2 = ⎝ ⎠ 2 =
8 1 GMm
2
(3)
⎛ R⎞ 8⎛ R⎞
⎜ d− ⎟ ⎜ d− ⎟
⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠
Substituindo-se (2) e (3) em (1):
⎡ ⎤
⎢ ⎥
GMm 1 GMm ⎢1 − 1 ⎥
F= − = GMm 2
d2 8⎛ R⎞
2
⎢d ⎛ R⎞ ⎥
2

⎜d − ⎟ ⎢ 8⎜ d − ⎟ ⎥
⎝ 2⎠ ⎣ ⎝ 2⎠ ⎦
⎡ ⎤
⎢ ⎥
GMm ⎢ 1 ⎥
F= 1−
d2 ⎢ ⎛ R ⎞ ⎥
2

⎢ 8 ⎜1 − ⎟ ⎥
⎣ ⎝ 2d ⎠ ⎦

[Início]

29. Considere uma partícula num ponto P em algum lugar no interior de uma camada esférica
material. Suponha que a camada tenha espessura e densidade uniformes. Construa um cone
duplo estreito com vértice em P, interceptando as áreas dA1 e dA2, sobre a camada (Fig. 43). (a)
Mostre que a força gravitacional resultante exercida sobre a partícula em P pelos elementos de
massa interceptados é nula. (b) Mostre, então, que a força gravitacional resultante que a camada
inteira exerce sobre uma partícula no seu interior é nula. (Este método foi imaginado por
Newton.)

________________________________________________________________________________________________________ 5
a


(Pág. 53)
Solução.

dA1 dA1 α
dA1n dA1n
α

r1 r1

dΩ dΩ

(a) Para um cone definido pelo ângulo sólido dΩ e cuja altura é r1, a área da base (dA1n) é dada por:
dA1n = r12 d Ω (1)
Para um segundo cone que partilha do mesmo ângulo sólido com o primeiro cone temos:
dA2 n = r22 d Ω (2)
O elemento de área dA1 (superfície da camada esférica) faz um ângulo α com o elemento de área
dA1n (o ângulo entre dA2 e dA2n também é α). Logo:
dA1n = dA1 cos α (3)
dA2 n = dA2 cos α (4)
Igualando-se (1) e (3):
r12 d Ω
dA1 = (5)
cos α
Igualando-se (2) e (4):
r22 d Ω
dA2 = (6)
cos α
Seja σ a densidade superficial da camada esférica:
dm1 = σ dA1 (7)
dm2 = σ dA2 (8)
________________________________________________________________________________________________________ 6
a


σ r12 d Ω
dm1 = (9)
cos α
σ r22 d Ω
dm2 = (10)
cos α
A razão entre as forças gravitacionais exercidas pelas camadas superficiais dA1 e dA2 sobre uma
partícula de massa m localizada em P vale:
Gmdm1
dF1 r12
= (11)
dF2 Gmdm2
r22
dF1 Gmσ r12 d Ω cos α r22
= =1
dF2 cos α r12 Gmσ r22 d Ω
dF1 = dF2

[Início]

33. Um foguete é acelerado até a velocidade v = 2[gRT]1/2, perto da superfície da Terra e, então,
segue para cima. (a) Mostre que ele escapará da Terra. (b) Mostre que, muito longe da Terra,
sua velocidade é V = [2gRT]1/2.
(Pág. 54)
Solução.
(a) Nas proximidades da superfície da Terra a aceleração da gravidade vale (ver Problema 22):
GM T
g= (1)
RT2
Substituindo-se este valor na expressão da velocidade inicial do foguete fornecida no enunciado:
1/ 2
⎡⎛ GM ⎞ ⎤
v = 2 ⎢⎜ 2 T ⎟ RT ⎥
⎣⎝ RT ⎠ ⎦
1/ 2
⎛ GM T ⎞
v = 2⎜ ⎟ (2)
⎝ RT ⎠
A velocidade mínima de escape (vesc)da Terra vale:
1/ 2
⎛ GM T ⎞
vesc =⎜ ⎟
⎝ RT ⎠
Logo:
v = 2vesc
Portanto o foguete não mais retornará à Terra.
(b) Aplicando-se o princípio da conservação da energia mecânica à superfície da Terra e ao infinito,
teremos:
ET = E∞
________________________________________________________________________________________________________ 7
a


KT + U T = K ∞ + U ∞
1 2 GM T m 1
mv − = mV 2 + 0
2 RT 2
2GM T
V 2 = v2 − (3)
RT
4GM T 2GM T 2GM T 2GM T
V2 = − = = RT (4)
RT RT RT RT2
V = ( 2 gRT )
1/ 2

[Início]

36. Um projétil é atirado verticalmente da superfície da Terra, com uma velocidade inicial de 9,42
km/s. Desprezando o atrito com o ar, a que altura acima da superfície terrestre ele chegará?
(Pág. 54)
Solução.
h

mT mP

v0 v=0
RT

Pode-se resolver este problema por meio da aplicação do princípio da conservação da energia
mecânica, onde os índices P e T referem-se ao projétil e à Terra, respectivamente:
E0 = E
K P 0 + KT 0 + U TP 0 = K P + KT + U TP
1 GmT mP GmT mP
mP v0 + 0 −
2
= 0+0−
2 RT RT + h
2
GmT GmT v0
= −
RT + h RT 2
1 1 v2
= − 0
RT + h RT 2GmT
1
h= − RT = 1,54879 m
⎛ 1 v2 ⎞
⎜ − 0 ⎟
⎝ RT 2GmT ⎠
h ≈ 1,55 m

[Início]

________________________________________________________________________________________________________ 8
a


41. Duas estrelas de nêutrons estão separadas pela distância centro-a-centro de 93,4 km. Cada uma
tem massa de 1,56 × 1030 kg e raio de 12,6 km. Elas estão inicialmente em repouso, uma em
relação à outra. (a) A que velocidade elas estarão se movendo quando a separação entre elas
houver diminuído até a metade do seu valor inicial? (b) A que velocidade elas estarão se
movendo pouco antes de colidirem? Ignore efeitos relativísticos.
(Pág. 54)
Solução.
M M
v0 = 0 v0 = 0
R R
A

d

v1 -v1
B

d/2

v2 -v2
C

2R
(a) Aplicando-se o princípio da conservação da energia mecânica aos estados A e B:
E A = EB
U A + K A = UB + KB
GM 2 GM 2 ⎛1 ⎞
− +0= − + 2 ⎜ Mv12 ⎟
d d ⎝2 ⎠
2
2GM GM
v12 = −
d d
GM
v1 = = 3,3377 × 107 m/s
d
v1 ≈ 33, 4 × 103 km/s ≈ 0,11 c
(b) Aplicando-se o princípio da conservação da energia mecânica aos estados A e C:
E A = EB
GM 2 GM 2 ⎛1 2⎞
− +0= − + 2 ⎜ Mv2 ⎟
d 2R ⎝2 ⎠

________________________________________________________________________________________________________ 9
a


⎛ 1 1⎞
v2 = GM ⎜ − ⎟ = 5, 4909 ×107 m/s
⎝ 2R d ⎠
v2 ≈ 54,9 × 103 km/s ≈ 0,18 c

[Início]

42. Diversos planetas (os gigantes gasosos Júpiter, Saturno, Urano e Netuno) possuem anéis
aproximadamente circulares em torno de si, provavelmente constituídos de material que não
conseguiu formar um satélite. Além disso, muitas galáxias contém estruturas semelhantes a
anéis. Considere um anel homogêneo de massa M e raio R. (a) Encontre uma expressão para a
força gravitacional exercida pelo anel sobre uma partícula de massa m localizada à distância x
do centro do anel, ao longo do seu eixo? Veja a Fig. 45. (b) Suponha que a partícula caia a partir
do repouso, como resultado da atração do anel. Encontre uma expressão para a velocidade com
que ela passa através do centro do anel.

(Pág. 54)
Solução.
(a) Considere o seguinte esquema da situação:
Rdθ

dM
dθ R dF
dF y
α
x dF x dF z
y

z x
O elemento de massa dM exerce uma força dF sobre a massa m. Esta força vale:
dF = dFx i + dFy j + dFz k
A força total F que o anel exerce sobre m é a integral de dF:
F = ∫ dF = ∫ dFx i + ∫ dFy j + ∫ dFz k
A simetria envolvida na situação indica que as integrais em j e k serão nulas devido à distribuição
simétrica de pares de elementos dM nas coordenadas positiva e negativa dos eixos y e z. Logo:
F = ∫ dFx i = ∫ dF cos α i
Como estamos interessados apenas no módulo da força:
________________________________________________________________________________________________________ 10
a


F = ∫ dF cos α

⎛ GmdM ⎞ x Gmx
F = ∫⎜ 2 2 ⎟
=∫ dM (1)
⎝ R + x ⎠ ( R2 + x2 ) ( R2 + x2 )
1/ 2 3/ 2

A expressão do elemento dM pode ser extraída da definição da densidade linear de massa do anel:
M dM
ρ= =
2π R Rdθ
Mdθ
dM = (2)
2π
Gmx Mdθ GMmx 2π
F =∫ = 3/ 2 ∫0
dθ
( R 2 + x 2 ) 2π 2π ( R 2 + x 2 )
3/ 2

GMmx
F=
(R + x2 )
2 3/ 2

Para pontos onde x >> R, esta expressão se reduz a:
GMmx GMmx GMm
F≈ = =
( x2 )
3/ 2
x3 x2

Que corresponde à força gravitacional entre duas massas pontuais m e M. Para x = 0 (centro do
anel), a força é zero devido à simetria da distribuição de massa em torno de m (o numerador da
expressão de F é nulo).
(b) A energia potencial da massa m à distância ortogonal x ao centro do anel (Ux) vale:
GmdM
U x = ∫ dU x = − ∫ (3)
( R2 + x2 )
1/ 2

Gm Mdθ GMm 2θ GMm
U x = −∫ =− ∫ dθ = − (4)
( R 2 + x 2 ) 2π 2π ( R 2 + x 2 ) (R + x2 )
1/ 2 1/ 2 0 2 1/ 2

Aplicando-se o princípio da conservação da energia mecânica aos pontos localizados em x (Ex) e no
centro do anel (Ec):
Ex = Ec
K x + U x = Kc + U c
GMm 1 2 GMm
0− = mvc −
(R 2
+x )
2 1/ 2 2 R

2GM 2GM
= vc2 −
(R 2
+x )
2 1/ 2 R

⎡ ⎤
vc = 2GM ⎢1 − 1 ⎥
⎢ R ( R 2 + x 2 )1/ 2 ⎥
⎣ ⎦

________________________________________________________________________________________________________ 11
a


[Início]

43. Duas partículas de massas m e M estão inicialmente em repouso a uma distância infinita uma da
outra. Mostre que, em cada instante, a sua velocidade de aproximação relativa, devido à atração
gravitacional, é [2G(M + m)/d]1/2, onde d é a separação entre elas em cada instante.
(Pág. 54)
Solução.
m v V M

x
d
A velocidade relativa das partículas (vrel) quando separadas pela distância d é dada pela diferença de
suas velocidades nessas posições:
vrel = v1 − v2 = v − ( −V )
vrel = v +V (1)
Precisamos calcular v e V para determinar a velocidade relativa à distância d. Seja E0 a energia
mecânica inicial do sistema e E(d) a energia mecânica em função da distância de separação d dos
corpos. Admitindo-se que o sistema é conservativo, a energia mecânica do sistema não varia:
E0 = E(d )
U 0 + K0 = U (d ) + K(d )
GMm 1 1
0+0 = − + MV 2 + mv 2
d 2 2
2GMm
MV 2 + mv 2 = (2)
d
Aplicando-se a conservação do momento linear:
P0 = P(d )
p M 0 + pm 0 = p M ( d ) + p m ( d )
0 + 0 = mv + MV
m
V =− v (3)
M
M
v=− V (4)
m
2
⎛ m ⎞ 2GMm
M ⎜ − v ⎟ + mv 2 =
⎝ M ⎠ d
m 2 2 2GM
v +v =
M d
2GM 2
v2 = (5)
(m + M ) d
Substituindo-se (4) em (2), obtemos:

________________________________________________________________________________________________________ 12
a


2Gm 2
V2 = (6)
(m + M ) d

vrel =
2GM 2
(m + M ) d
+
2Gm 2
(m + M ) d
=
2G
(m + M ) d ( M 2 + m2 )
2G
vrel = ( M + m)
(m + M ) d
2G ( m + M )
vrel =
d

[Início]

50. Considere dois satélites A e B, ambos de massa m, movendo-se na mesma órbita circular de raio
r, em torno da Terra T, mas em sentidos de revolução opostos, e, portanto, em rota de colisão
(veja a Fig. 47). (a) Em termos de G, MT, m e r, determine a energia mecânica total do sistema
constituído pelos dois satélites mais a Terra, antes da colisão. (b) Se a colisão for
completamente inelástica, de modo que os destroços permaneçam como uma única peça de
material retorcido, determine a energia mecânica total imediatamente após a colisão. (c)
Descreva o movimento subseqüente dos destroços.

(Pág. 55)
Solução.
(a) Considere o seguinte esquema da situação:
vA vB
d
θ
r r

Terra

A energia mecânica total é a soma das energias mecânicas dos satélites A e B:
ET = E A + EB = K A + U AT + K B + U BT + U AB
GmM T GmM T GmM T GmM T Gmm
ET = − + − −
2r r 2r r d (θ )
O termo UAB é desprezível, pois Gmm << GmMT. Logo:
________________________________________________________________________________________________________ 13
a


GmM T
ET = −
r
(b) A colisão entre os satélites é completamente inelástica. Aplicando-se o princípio da conservação
do momento linear aos instantes imediatamente antes (Pi) e imediatamente após o impacto (Pf),
teremos:
Pi = Pf
mvAi + mvBi = mvAf + mvBf = ( m + m ) v f = 2mv f
No instante imediatamente anterior à colisão temos vA = −vB. Logo:
B

vf = 0
Portanto, o corpo resultante da colisão, cuja massa é 2m, somente possuirá energia potencial
gravitacional:
2GmM T
ET = −
r
(c) Como os destroços não possuem velocidade tangencial (orbital), cairão verticalmente para o
solo.

[Início]

51. O centro do Sol está em um dos focos da órbita da Terra. A que distância ele se encontra do
outro foco? Expresse sua resposta em termos do raio do Sol RS = 6,96 × 108 m. A excentricidade
da órbita da Terra é 0,0167 e o semi-eixo maior mede 1,50 × 1011 m.
(Pág. 55)
Solução.

ea

Sol
d

a
De acordo com o esquema acima, a distância procurada vale:
d = 2ea = 5, 01× 109 m
Em termos de raios solares (RS), a distância entre os focos da órbita elíptica da Terra vale:
d 5, 01×109 m
= = 7,198
RS 1,50 ×1011 m
d ≈ 7, 2 RS

[Início]

________________________________________________________________________________________________________ 14
a


52. Use a conservação da energia e a Eq. 27 para a energia total e demonstre que a velocidade v de
um objeto numa órbita elíptica satisfaz a relação
⎛2 1⎞
v 2 = GM ⎜ − ⎟ .
⎝r a⎠
(Pág. 55)
Solução.
A Eq. 27 citada no enunciado é a energia mecânica total de um objeto de massa m em órbita circular
em torno da Terra (massa M), em que r é o raio da órbita:
GMm
E=− (27)
2r
No caso de órbitas elípticas, vale a relação em que a é o comprimento do semi-eixo maior da
trajetória elíptica:
GMm
E=−
2a
A energia mecânica do sistema é dada por:
E = K +U
GMm 1 2 GMm
− = mv −
2a 2 r
GM 2GM
− = v2 −
a r
2GM GM
v2 = −
r a
⎛2 1⎞
v = GM ⎜ − ⎟
⎝r a⎠

[Início]

53. Um cometa move-se em uma órbita de excentricidade igual a 0,880 e tem velocidade de 3,72
km/s quando está o mais distante possível do Sol. Determine a sua velocidade quando estiver no
ponto mais próximo do Sol.
(Pág. 55)
Solução.
RP RA

ea
vA y

vP Sol z x

a a
________________________________________________________________________________________________________ 15
a


Sejam RP o vetor posição do cometa no periélio e RA no afélio, em relação ao Sol, e pP e pA os
momentos lineares do cometa no periélio e afélio, respectivamente. Vamos aplicar a conservação do
momento angular do cometa no periélio (lP) e no afélio (lA), considerando-se o Sol em repouso:
lP = lA
R P × pP = R A × pA
Na coordenada z:
RP MvP = RA MvA
RA
vP = vA (1)
RP
Observando-se o esquema, podemos perceber as seguintes relações, onde a é o raio maior da órbita
elíptica do cometa e e a excentricidade da órbita:
RA = a + ea = a (1 + e ) (2)
RP = a − ea = a (1 − e ) (3)
a (1 + e )
vP = v A = 58, 28 km/s
a (1 − e )
vP ≈ 58,3 km/s

[Início]

61. Um determinado sistema triplo de estrelas consiste em duas estrelas, cada uma de massa m, que
giram em torno de uma estrela central de massa M, na mesma órbita circular. As duas estrelas
situam-se nos extremos opostos de um diâmetro da órbita circular; veja a Fig. 49. Deduza uma
expressão para o período de revolução das estrelas; o raio da órbita é r.

(Pág. 55)
Solução.

________________________________________________________________________________________________________ 16
a


-v
m

M

r
Fmm
m Fmm
v

A força centrípeta do movimento orbital de cada massa m é igual à resultante das forças
gravitacionais que agem sobre cada uma:
∑F = F C

Na coordenada radial:
mv 2
FMm + Fmm =
r
GMm Gmm mω 2 r 2
+ =
r2 4r 2 r
G⎛ m ⎞ 4π 2
⎜M + ⎟ = 2 r
r2 ⎝ 4⎠ T
4π r 3/ 2
T=
G ( 4M + m )
Pode-se notar que se fizermos m = 0, a expressão final igualar-se-á à terceira lei de Kepler:
4π 2 r 3
T2 =
GM

[Início]

64. Um sistema de estrelas binárias consiste em duas estrelas, cada uma com massa igual à do Sol,
que giram em torno do seu centro de massa. A distância entre elas é igual à distância entre a
Terra e o Sol. Qual é o seu período de revolução, em anos?
(Pág. 56)
Solução.

________________________________________________________________________________________________________ 17
a


-v
M

-Fg
CM

d

M Fg
v

A força centrípeta (Fc) do movimento orbital das estrelas em torno do centro de massa do sistema é
a força gravitacional (Fg) que uma estrela exerce sobre a outra:
Fc = Fg
GM 2
Mω2R =
d2
4π 2 d GM
= 2
T2 2 d
2π 2 d 3
T= = 2, 24033 × 107 s
GM
T ≈ 259 dias

[Início]

68. A órbita da Terra em torno do Sol é quase circular. As distâncias maior e menor são 1,47 × 108
km e 1,52 × 108 km, respectivamente. Determine as variações máximas (a) na energia potencial,
(b) na energia cinética, (c) na energia total, e (d) na velocidade orbital resultantes da variação na
distância Terra-Sol, no curso de um ano. (Sugestão: Aplique a conservação da energia e do
momento angular.)
(Pág. 56)
Solução.
rp ra

rp ra va

vp Sol

a

________________________________________________________________________________________________________ 18
a


(a) Seja Up a energia potencial do sistema Terra-Sol no periélio (ponto de maior proximidade entre
Sol e Terra) e Ua a energia potencial no afélio (ponto de maior afastamento). A variação da energia
potencial entre o periélio e o afélio (ΔU) vale:
GM T M S ⎛ GM T M S ⎞
ΔU = U a − U p = − −⎜− ⎟
ra ⎜ rp ⎟
⎝ ⎠
⎛1 1⎞
ΔU = GM T M S ⎜ − ⎟ = 1, 776 × 1032 J
⎜r r ⎟
⎝ p a⎠
ΔU ≈ 1, 78 ×1032 J

(b) Num sistema conservativo, como o sistema Terra-Sol, vale a seguinte relação:
ΔK + ΔU = 0
ΔK = −ΔU
ΔK ≈ −1, 78 ×1032 J
(c) A energia mecânica do sistema Terra-Sol vale:
GM S M T
E=−
2a
Nesta expressão, a é o comprimento do semi-eixo maior da trajetória elíptica. Como o sistema
Terra-Sol é conservativo, não há variação em sua energia mecânica.
ΔE = 0
(d) No periélio, a Terra apresenta sua maior velocidade orbital devido à proximidade máxima do
Sol. No afélio ocorre o inverso, com a Terra em sua menor velocidade orbital. A variação na
velocidade orbital entre o periélio e o afélio vale:
Δ v = va − v p (1)
Para determinar va e vp vamos utilizar a variação da energia cinética:
1 1
ΔK = K a − K p = M T va − M T v 2
2
p
2 2
2 ΔK
va − v 2 =
2
p (2)
MT
Agora vamos aplicar o princípio da conservação do momento angular:
La = L p
ra × p a = rp × p p
π π
ra pa sen = rp p p sen
2 2
ra M T va = rp M T v p
rp v p
va = (3)
ra
2
⎛ rp v p ⎞ 2ΔK
⎟ − vp =
2
⎜
⎝ ra ⎠ MT
________________________________________________________________________________________________________ 19
a


⎛ rp2 ⎞ 2 2ΔK
⎜ 2 − 1⎟ v p =
⎜r ⎟
⎝ a ⎠ MT

⎛ r 2 ⎞ 2ΔK
vp = ⎜ 2 a 2 ⎟ = 30.297 m/s
⎜ r −r ⎟ M
⎝ p a ⎠ T
Substituindo-se o valor de vp em (3):
va = 29.301 m/s
Agora podemos resolver (1):
Δv ≈ −996 m/s

[Início]

69. Suponha que um satélite de comunicações geossíncrono esteja em órbita na longitude de
Chicago. Você está em Chicago e deseja captar os seus sinais. Em que direção você deveria
apontar o eixo da sua antena parabólica? A latitude de Chicago é 47,5o.
(Pág. 56)
Solução.

Terra
Chicago
MT RT x
φ
θ α m
Equador R0 Fg

Eixo de rotação
Neste esquema, φ é o ângulo de visada, acima do horizonte, que deve ser utilizado para direcionar a
antena. Em primeiro lugar vamos determinar o raio orbital do satélite (RO) por meio da força
centrípeta (força gravitacional) que age sobre o satélite:
mv 2
F=
RO
GM T m mω 2 RO
2

2
=
RO RO
GM T 4π 2
3
= 2
RO T
1/ 3
⎛ GM T T 2 ⎞
RO = ⎜ ⎟ = 42.250.474,31 m
⎝ 4π
2
⎠
________________________________________________________________________________________________________ 20
a


Análise do ângulo α:
⎛π ⎞
α = π −θ − ⎜ + φ ⎟
⎝2 ⎠
π
α = −θ −φ (1)
2
Observando-se o esquema, podemos notar que:
⎛π ⎞
sen ⎜ + φ ⎟
sen α ⎝2 ⎠
= (2)
RT RO
⎛π ⎞ ⎛π ⎞
sen ⎜ − θ − φ ⎟ sen ⎜ + φ ⎟
⎝2 ⎠= ⎝2 ⎠
RT RO
cos (θ + φ ) cos φ
=
RT RO
cos θ cos φ − sen θ sen φ RT
=
cos φ RO
RT
cos θ − sen θ tan φ =
RO
⎛ RT ⎞
φ = tan −1 ⎜ cot θ − ⎟ = 35, 444
⎝ RO sen θ ⎠
φ ≈ 35, 4
A antena deverá ser apontada para 35,4o acima do horizonte, na direção sul.

[Início]

72. Um satélite meteorológico está em órbita geossíncrona, pairando sobre Nairobi, que está situada
bem perto do equador. Se o raio da sua órbita for aumentado em 1,00 km, a que velocidade e em
que direção o seu ponto de referência, que estava inicialmente estacionário, irá se mover sobre a
superfície da Terra?
(Pág. 56)
Solução.

[Início]

73. Três estrelas idênticas, de massa M, estão localizadas nos vértices de um triângulo eqüilátero de
lado L. A que velocidade elas devem se mover, preservando o triângulo eqüilátero, sabendo-se
que todas elas giram sob a influência gravitacional umas das outras, numa órbita circular
circunscrita?
(Pág. 56)
Solução.

________________________________________________________________________________________________________ 21
a


M v3

L L

FC CM
F31
v1

M L M
F21
v2

Como o triângulo formado pelas estrelas 1, 2 e 3 é eqüilátero, o ângulo θ que aparece no esquema é
π/6. Considerando-se a simetria envolvida no problema temos v1 = v2 = v3. Vamos calcular a força
centrípeta do movimento orbital da estrela 1:
FC = F13 + F12
Na direção radial:
FC = F13 cos θ + F12 cos θ
Mv12 GM 2 3 GM 2 3
= 2 + 2
R L 2 L 2
Mas:
3
R= L
3
Logo:
3Mv12 GM 2 3
=
L 3 L2
GM
v12 =
L
GM
v1 = v2 = v3 =
L

[Início]

________________________________________________________________________________________________________ 22
a

GravitaçãO

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