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  • 1. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAISINTRODUÇÃO A FÍSICA QUÂNTICA BELÉM-PA
  • 2. INTRODUÇÃO Veremos como mais detalhe nesse trabalho sobre a Introdução a MecânicaQuântica é uma teoria baseada no uso do conceito de uma unidade quantum paradescrever as propriedades dinâmicas de partículas subatômicas e as suas interações.Começaremos a falar sobre a radiação do corpo Negro, efeito fotoelétrico e o efeitoCompton. E como a mecânica quântica foi importante para suas explicações como foiiniciado pelo físico alemão Max Planck que postulou em 1900 que a energia só pode seremitida ou absorvida em pequenas unidades chamadas quanta. Também fundamental aodesenvolvimento de Teoria Quântica é o Princípio de Incerteza formulado pelo físicoalemão Werner Heisenberg em 1927: é impossível determinar com precisão absoluta, nomesmo instante, a posição e o momento de uma partícula. Quanto mais precisãobuscarmos em um aspecto, mais prejudicado vai ficar outro. Nos 18o e 19o séculos, a mecânica clássica (Newtoniana) parecia descreverprecisamente o movimento dos corpos. No final do 19o e início do 20o séculos, porém,achados experimentais elevaram dúvidas sobre a perfeição de teoria Newtoniana. Entreas observações mais novas estavam as linhas que aparecem nos espectros de luzemitidas por gases aquecidos, ou gases nos quais descargas elétricas acontecem. Um dos aspectos principais da mecânica quântica é o seu caráter probabilístico,que contrasta fortemente com o determinismo da física clássica. A impossibilidade de seobter uma informação exata e completa a respeito de um sistema impressionou muitoquando a mecânica quântica foi descoberta.
  • 3. Radiação Térmica. A radiação emitida por um corpo devido à sua temperatura é chamada radiaçãotérmica. Todo corpo emite esse tipo de radiação para o meio que o cerca, e dele oabsorve. A matéria em estado condensado emite um espectro contínuo de radiação, que épraticamente independente do material particular do qual o corpo é composto, masdependem bastante da temperatura. Determinado tipo de corpo quente que emite espectros térmicos de caráteruniversal, onde suas superfícies absorvem toda radiação térmica incidem sobre ele édenominado corpo negro. A distribuição espectral da radiação do corpo negro é especificada pela quantidadeRT (ν) chamada radiância espectral, que é definida de forma que RT (ν) d ν seja igual àenergia emitida por unidade de tempo em radiação de freqüência compreendida nointervalo de ν a ν + d ν por unidade de área de uma superfície a temperatura absolutaT. Um exemplo de corpo negro pode ser considerado como um objeto que contémuma cavidade ligada ao exterior por um pequeno orifício. A radiação térmica que incidesobre o orifício vindo do exterior entra na cavidade e é refletida repetida vezes pela suasparedes e eventualmente por elas absorvidas. Define-se densidade de energia ρT(ν), proporcional a radiância espectral RT (ν),como a energia contida em um volume unitário da cavidade a temperatura T nointervalo de freqüência ν a ν + d ν. No início do século XX, Rayleigh e jeans, fizeram o cálculo da densidade deenergia da radiação do corpo negro, que mostrou uma série divergência entre a físicaclássica e física Moderna os resultados experimentais obtiveram a equação: ρT(ν)dν = 8.π. ν2 . K. T dν / C3 (1) O gráfico abaixo representa (Linha pontilhada) previsão de Rayleig – Jeans e osresultados experimentais.
  • 4. Fig.1 Resultado experimental e clássico. O físico Max Planck apresentou seu artigo no ano de 1900, intitulado “Sobre ateoria da Lei de distribuição de energia do espectro Normal”. Com ele, deu sua grandecontribuição, inaugurando à quântica. Para resolver este problema da radiação, do corponegro, considerou a energia como se ele fosse uma variável discreta em vez de umavariável contínua. Com isso, verificou a proporcionalidade entre a variação de energia∆E e a sua freqüência ν da radiação de acordo com a equação. ∆E = h. ν (2) Onde h é a constante de proporcionalidade denominada de constante de Planck,cujo valor experimental vale h = 6,63 x 1034 J.s. A equação obtida por Planck para energia total média: Ē = h.ν / eh.ν/ kT – 1 (3) E para densidade de energia: ρT(ν)dν = 8.π. ν2 .h. ν. Dν / C3. (eh.ν/ kT – 1) (4) Que estão em total acordo com os dados experimentais.
  • 5. Efeito Fotoelétrico. O efeito fotoelétrico é caracterizado pela emissão de elétrons pelas superfícieslivres de determinado metais, quando sujeitos à radiação de certos comprimentos deonda. Fig.2 Efeito Fotoelétrico. Ao incidirmos um feixe de luz no catodo, os elétrons são liberados pela lâmina eatraídos pelo anodo, é proporcional à intensidade da radiação monocromática que atingeo catodo. O gráfico abaixo representa a variação de corrente fotoelétrica em função dopotencial V do catodo.
  • 6. Fig3. Variação de corrente fotoelétrica em função do potencial V Einstein deu uma interpretação das leis do efeito fotoelétrico, supondo umaestrutura corpuscular de energia h.ν, os fótons ou quanta de luz, que podem sercompletamente absorvidos pelos átomos da lâmina metálica. A energia de cada fótonabsorvido por um átomo é transformada em energia interna deste. Se h.ν for muitogrande, um elétron pode ser libertar do átomo, havendo emissão fotoelétrica. Opotencial Vo corresponde ao limiar da emissão fotoelétrica e permite determinaraenergia cinética máxima dos elétrons emitidos pelo metal. A equação abaixo éinterpretada, então, supondo uma estrutura corpuscular da luz. e.Vo = h.ν – W (5) A energia cinética K = e.Vo com qual um elétron escapa do metal deve ser aenergia do fóton, h.ν, diminuída do trabalho necessário para que o elétron escape do seumeio. Einstein, então, generalizou a idéia de Planck. Já que a quantização é necessáriapara levar em conta a radiação do corpo negro e os calores específicos dos sólidos.Efeito Compton. Uma confirmação do conceito do fóton como um pacote concentrada foi fornecidaem 1923 por A.H Compton, que recebeu em 1927 o prêmio Nobel por esse trabalho.Compton fez incidir um feixe de luz monocromática de raios-X, de comprimento deonda λ bem definida, em um bloco de grafita e mediu a intensidade dos raios-X emfunção do seu comprimento de onda em diversos ângulos de espalhamento. A figura mostra o dispositivo experimental usado por Compton. Os comprimentosde onda são medidos, observando-se as reflexões de Bragg. Sua intensidade sãomedidas por meio de um detector, como, por exemplo, uma câmera de ionização.
  • 7. Fig.4 Efeito Compton. Nota-se que embora o feixe incidente consista, essencialmente, de um únicocomprimento de onda λ, os raios X espalhados pela grafita apresentam picos deintensidade em dois comprimentos de onda; um deles coincide com o feixe incidente; ooutro λ’ supera o primeiro de um valor ∆λ, chamada desvio de Compton, varia com oângulo segundo o qual se observam os raios X espalhados e é fornecido pela seguinteequação: Logo, o desvio de Compton, ∆λ, depende apenas do ângulo de espalhamento θ e,não do comprimento de onda inicia λ. A existência de uma onda espalhada, de comprimento de onda λ’, não poderá serexplicada se os raios X incidentes forem considerados como ondas eletromagnéticas dateoria de Maxwell. Compton conseguiu explicar os seus resultados experimentais, postulando que ofeixe incidente de raios X não se comportava como uma onda, mas como um conjuntode fótons de energia E = h.ν e que esses fótons sofriam colisões, do tipo das bolas debilhar, com os elétrons livres do bloco de espalhamento. Os fótons “de recuo”,emergentes do bloco constituíam a radiação espalhada. Como o fóton incidente transfereparte de sua energia ao elétron com que colide, o fóton espalhado terá uma menor E’.Deverá ter, portando, uma freqüência menor ν´ = E’/ h, o que implica apresentar um
  • 8. maior comprimento de onda λ´= c / ν´. Essa explicação nos conduz, então, a diferençaentre os comprimentos de onda ∆λ. A figura a seguir, mostra um fóton, de comprimento de onda λ chocando-se comum elétron em repouso. Na colisão, o fóton é espalhado de um ângulo θ e adquire umcomprimento de onda maior de λ´, enquanto o elétron se desloca com uma velocidade Vna direção dada pelo ângulo φ Fig5. Colisão do fóton.Postulado de de Broglie e Dualidade Onda Partícula. Broglie foi um físico experimental Frances que apoiou o ponto de vista deCompton em relação à natureza corpuscular da radiação. Em sua tese de doutorado,propôs a existência de ondas de matéria, onde cinco anos mais tarde recebeu o PrêmioNobel em Física. A hipótese de de Broglie era do que o comportamento dual, isto é, onda-partículada radiação também se aplicava à matéria. Assim como um fóton tem associado a eleuma onda luminosa que governa seu movimento, também uma partícula material (umelétron, por exemplo) tem associada uma onda de matéria que governa seu movimento. Ele propôs que os aspectos ondulatórios de matéria fossem relacionados com seusaspetos corpuscular, exatamente de forma quantitativa com que esses aspectos sãorelacionados para a radiação Então, a energia total E está relacionada à freqüência ν,tanto para matéria quanto para a radiação, dada pela equação: E = h.ν (7) E o momento p está associado do comprimento de onda λ, de acordo com:
  • 9. P=h/λ (8) A natureza ondulatória da matéria pode ser verificada pelos fiscos Elasser,Thomson, Davisson e Gernir. Niels Bohr resumiu a situação onda-partícula em seu princípio dacomplementaridade. Os modelos corpusculares e ondulatórios são complementares, seuma medida prova o caráter ondulatório da radiação onda matéria, então é impossívelprovar o caráter corpuscular na mesma medida, vice-versa. A escolha de que modelousar é determinado pela natureza medida. Além disso, nossa compreensão da radiaçãoonda matéria está incompleta a menos que levemos em consideração tanto as medidasque revelem os aspectos ondulatórios quanto os que revelem os corpusculares. Portanto,a radiação e matéria não são apenas ondas ou apenas partículas. A complementaridade implica então em compreender a dualidade onda-partículacomo a necessidade do recurso as duas representações, excludentes em uma dadaexperiência, para descrever exaustivamente as ações pode detecções da radiação e damatéria.O princípio da Incerteza. Heisenberg e Bohr mostraram que a interpretação probabilística é fundamental emmecânica quântica e deve-se abandonar o determinismo.Este princípio também chamado princípio de indeterminação afirma que umaexperiência não pode determinar simultaneamente o valor exato de uma componente demomento (px, por exemplo) de uma partícula e também o valor exato da coordenadacorrespondente, x. Em vez disso, a precisão de nossa medida está em si, de tal formaque: ∆px .∆x ≥ ħ / 2 (9) Logo, nenhuma componente de movimento de um elétron (partícula), livre ouligado, poderá ser avaliado com precisão ilimitado. A constante de Planck, h, provavelmente não apareceu em qualquer outra fórmulade com um significado mais profundo do que a equação acima. Se fosse igual a zero, emvez de h, estariam corretas as noções clássicas sobre a partícula e órbitas. Seria possível,então, medir-se com precisão ilimitada a posição e o momento. O aparecimento de h
  • 10. significa que as idéias clássicas são incorretas; o valor de h informa sob quecircunstâncias devem ser substituídas os conceitos clássicos pelos quânticos. A relação de incerteza revela por que e possível, tanto para a luz quanto para amatéria, possuir uma natureza dualística de onda e corpuscular. E porque ambos osconceitos, tão obviamente contraditórios, nunca poderão ser confrontados em umamesma experiência. Se criar uma situação que obrigue o elétron a revelar fortemente oseu caráter ondulatório, a sua natureza corpuscular tornar-se-á inerentemente indistintas.Modificando – se as condições, de modo a evidenciar mais fortemente seu carátercorpuscular, a sua natureza ondulatório ficará necessariamente distintas. A matéria e aluz comportam-se como moedas, capazes que são de mostrar uma face de cada vez, masnão as duas ao mesmo tempo.Modelos Atômicos.i) Modelo de Thomson. J.J Thomson, por volta de 1910, propôs uma tentativa de descrição, ou modelo, deum átomo, segundo o qual os elétrons carregados negativamente estariam localizados nointerior de uma distribuição contínua de carga positiva, conhecida como “pudim compassas”. Em um átomo que esteja em seu estado de energia possível, os elétrons estariamfixos em suas posições de equilíbrio. Em átomos excitados, os elétrons vibrariam emtorno de suas posições de equilíbrio. Como a teoria do eletromagnetismo prevê umcorpo carregado acelerado, como um elétron vibrando, emite radiação eletromagnética,era possível entender qualitativamente a emissão de radiação por átomos excitados. Noentanto, esse modelo não estava em concordância quantitativa como os dadosexperimentais.ii) Modelo de Rutherford Na estrutura do átomo, todas as cargas positivas, e conseqüentemente toda suamassa, são suposta concentradas em uma pequena região no centro chamado núcleocom elétrons girando ao seu redor.
  • 11. Criou esse modelo através de sua experiência do espalhamento de partículas α emuma lâmina de ouro.iii) Modelo de Bohr Em 1913, Niels Bohr, baseado em investigações do espectro do átomo dehidrogênio, desenvolveu um modelo que apresentava concordância qualitativa com osdados espectroscópios. Elaborou quatro postulados para explicar seu modelo atômico. Estes postuladossão: 1- Um elétron em uma átomo se move em uma órbita circular em torno de um núcleo sob influencia da atração colombiana entre o elétron e o núcleo, obedecendo às leis da mecânica clássica L = n. ħ n=1,2,3 ... 2- Em vez da infinidade de órbita que seriam possíveis, segunda a mecânica clássica, um elétron só pode se mover em uma órbita na qual seu momento angular orbital L é um múltiplo inteiro de ħ. 3- Apesar de estar constantemente acelerado, um elétron que se move em uma dessas órbitas possíveis não emite radiação eletromagnética. Portando sua energia total E permanece constante. 4- É emitida radiação eletromagnética se um elétron, que se move inicialmente sobre uma órbita total Ei, muda seu movimento descontinuamente de forma a se mover em uma órbita de energia total Ef. A freqüência da radiação emitida ν é igual à quantidade (Ei – Ef ) devida a constante de Planck h.Logo, A freqüência ν é função dos estados quânticos inicia (ni) e final (nf ).
  • 12. O modelo de Bohr consegue prever as séries espectrais de Lymon (nf = 1), Balmer(nf = 2) e Paschen (nf = 3 ). Fig.6 Séries Espectrais.O Princípio da correspondência.Estes princípios enunciados por Bohr em 1923 constituem. 1- As previsões da teoria quântica para o comportamento de qualquer sistema físico devem corresponder às previsões da física clássica no limite no qual os números quânticos que especificam o estado de um sistema se tornam muito grandes. 2- Uma regra e seleção são validas para todos números quânticos possíveis. Portando, todas as regras de seleção que são necessárias para obter a correspondência exigida no limite clássico (n grande) também se aplicam no limite quântico (n pequeno).
  • 13. Teoria de SchrÖdinger da Mecânica Quântica. A teoria Schrödinger propõe um método para a descrição em um caso mais geral,do comportamento de partículas em qualquer sistema microscópico, através da idéia dosestados estacionária dos átomos correspondentes a onda, estacionário de matéria. A grandeza mais importante na descrição de Schrödinger (Mecânica Ondulatória)é a função de onda Ψ, que mede a “perturbação” ondulatória das ondas matéria. A função Ψ = Ψ(x,t) em uma dimensão é a solução da equação de Schrödinger,descrita abaixo. Onde V(x,t) é a energia potencial da partícula. Devido a solução de a equação serimaginária, Max Born em 1926 foi o primeiro a sugerir que , o valor da probabilidadeP(x,t) = Ψ*(x,t) Ψ(x,t) = Ψ2 (x,t) exprimiria a probabilidade de partícula estar nesseponto, pois no leva a um número real. Mas exatamente, considerando- se um elementode volume dV que contenha esse ponto. Esta interpretação de Ψ fornece uma relaçãoestatística entre a partícula e a onda associada, diz-nos onde a partícula provavelmenteestará e não onde de fato está. O colapso do pacote de onda e o gato de Scrödinger. Desde 1927, Heisenberg e Born tinha introduzida a idéia do que se tornamos umapartícula descrita quanticamente por um “pacote de onda”, durante um processo demedição de posição dessa partícula ocorre uma redução deste “pacote de onda”. O matemático Jhon Von Neuman realizou um estudo sobre as estruturasmatemática mais geral compatíveis com os diversos formalismos da teoria quântica.Com isso ele evidenciou o problema do espalhamento do “pacote de onda”. Ele analisou o processo da medição na nova teoria, tratando o aparelho demedição como um objeto descrito pela teoria quântica e obteve o acoplamento entre osestados do aparelho e do sistema-acoplamento descrito por uma superposição de autos-estado e mostrou a necessidade de admitir que, durante um processo de medição o
  • 14. processo sofre uma evolução descontinua, logo não descrita pela equação deSchrödinger, sendo reduzido “colapso” a um dos autos estados. A experiência conhecida como “O gato de Schrödinger” descrever a situação decolapso proposta anteriormente. Imaginemos uma caixa fechada, onde um sistemaquântico (um átomo radioativo, por exemplo) com 50% de chance de emitir, ou não,após um certo intervalo de tempo, uma determinação da partícula, é acoplada (atravésde um contador Geiger, por exemplo) a um disparador capaz de deflagrar a quebra deum frasco onde há uma substância letal. Dentro da caixa temos também um gato, que alifoi colocado vivo. Schrödinger então nos pergunta pelo estado do sistema macroscópico(caixa,gato, substância letal e sistema quântica), decorrido aquele certo intervalo detempo. A solução de Von Nwmann descrever o estado como a combinação linear “gatovivo” e “gato morto”. Este estado quântico será reduzido (colapso) a uma das hipótesesquando um observador abrir a caixa. Fig7. O gato de Schrödinger.
  • 15. Conclusão. Concluímos, portanto, que a Mecânica Quântica, é uma teoria usada em casos queenvolvem corpos microscópicos e velocidades altas, como os elétrons e prótons. Suasprincipais conclusões são que, em estados ligados, a energia se troca de mododescontínuo; e que é impossível atribuir ao mesmo tempo uma posição e umavelocidade exatas a uma partícula. E que a participação de Albert Einstein, Max Planck,Louis de Broglie e Thomas Young, entre outros físicos, foram expressivas para odesenvolvimento da Física Quântica, uma teoria que representou uma revolução namaneira de ver o mundo.
  • 16. APÊNDICEEquação do Efeito Compton A energia de um fóton incidente de raio-X vale: E = h.ν (1) A energia total relativística de uma partícula (elétron) em termos da massa derepouso mo e sua velocidade v é: E = mo. c2 / (1- v2/c2 )1/2 (2) O momento do fóton pode ser calculado da relação geral de energia relativísticatotal E. E2 = c2. p2 + (mo .c2 )2 (3) Para o fóton mo = 0, então a equação (3) reduz-se a:c = p = E / c = h.ν / c (4) Ou p=h/λ (5)
  • 17. A conservação do momento para a colisão do fóton e do elétron, conforme a figuravale: po = p1.cosθ + p.cosφ (6) p1.senθ = p.senφ (7) Elevando (6) e (7) ao quadrado, temos: (po - p1.cosθ)2 = p2.cos2φ (8) p12.sen2θ = p2.sen2φ (9) Desenvolvendo e somando (8) e (9): po2 - p12.cos2 θ – 2. po.p1cosθ = p2.cos2φ + p1 - p1.cos2 θ = p2 - p2cos2φ Então: po2 - p12 – 2. po.p1cosθ = p2 (10) Pela figura, a energia do fóton Eo antes da colisão pode ser escrita como: Eo = k + E1 k = Eo - E1
  • 18. ou k = c ( po - p1) (11) 2Aplicando E = k + mo.c em (3), temos: ( k + mo. c2 )2 = c2 . p2 + (mo. c2 )2 k2 + mo .c4 + 2.k.mo .c2 = c2 .p2 + mo .c4p2 = k2 / c2 + 2. k. mo = [c (po – p1 )]2 / c2 + 2.c.( (po – p1 ). mo (12)Comparando (12) e (10), obtemos. po2 - p12 – 2. po.p1cosθ = po2 + p12 – 2. po.p1 + 2.c. ( po - p1 ).mo - 2. mo.c.( po - p1 ) = - 2. po - p1 + 2. po.p1cosθ - 2. mo.c.( po - p1 ) = 2. po p1 (1 – cosθ) po - p1 / po .p1 = (1 - cosθ)/ mo.c 1/p1 – 1/p0 = (1 - cosθ)/ mo.c xh h/p1 – h/p0 = h.(1 - cosθ)/ mo.c ∆λ = λ1 – λo = h.(1 - cosθ)/ mo.c CQD
  • 19. Cálculo do operador :Temos que,Onde,Assim,Portanto,Propriedade do comutador entre Sx e Sy :Portanto,Cálculo dos coeficientes das matrizes :Seja a matriz,Onde,Assim,
  • 20. Portanto,Seja a matriz,Onde,Assim,
  • 21. Logo,

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