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computação gráfica

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  • 1. UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO – UFRRJ INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS, DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CURSO DE MATEMÁTICA COMPUTAÇÃO GRÁFICA: UMA APLICAÇÃO NA EDUCAÇÃO E NA ENGENHARIA1 AUTOR: MARLUCIO BARBOSA ORIENTADOR: PROFESSOR DR. CARLOS ANDRÉS REYNA VERA-TUDELA Seropédica, 2008 1 Este trabalho foi desenvolvido como parte do Programa Primeiros Projetos com o apoio da FAPERJ e do Fundo Setorial deInfra-Estrutura (CT-INFRA) por intermédio do MCT/CNPq.
  • 2. UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO – UFRRJ INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS, DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CURSO DE MATEMÁTICA COMPUTAÇÃO GRÁFICA: UMA APLICAÇÃO NA EDUCAÇÃO E NA ENGENHARIA MARLUCIO BARBOSA Trabalho submetido ao Prêmio Beatriz Neves de Iniciação Científica.Orientador: Professor Dr. Carlos Andrés Reyna Vera-Tudela Seropédica, 2008
  • 3. DEDICATÓRIAA ti, minha Mãe, dedico essa minha última obraacadêmica enquanto graduando. Obra esta frutodo meu esforço, mas conseqüência de todo o seuinvestimento, investimento esse financeiro eprincipalmente afetivo em todos os meus anos devida.Obrigado Minha Mãe.
  • 4. AGRADECIMENTO À Deus pelo amparo nos momentosdifíceis. Aos amigos e parentes pelacompreensão de minha ausência. Aos meus colegas de Curso quedemonstraram interesse pelo meu trabalho, emespecial ao Marcos Alexandre Campos, LúcioRodrigues Duque Borges, Martiney Moura Júnior eEdivaldo Figueiredo Fontes Júnior por sua atenção egenerosidade quanto ao uso de seus hardwares,softwares e em algumas vezes de sua paciência. Ao Amigo e Professor Augusto que meapresentou à Computação Gráfica e contribuiqualitativamente para a elaboração desse texto. Ao Professor Aquiles Braga, amigo,incentivador que sempre buscou mostrar o caminhomais brando para vida cientifica e pessoal. Ao Professor Marcelo Almeida Bairralpor seu interesse e acessibilidade, cuja generosidade,amizade e experiência foram fundamentais naelaboração do software i-Complex. Ao Professor Carlos Andres ReynaVera-Tudela - influência marcante em minha formaçãoacadêmica - por sua atuação como orientador sempredisponível para aprimorar estudos em diversas áreas,fornecer e/ou indicar novas fontes bibliográficas,corrigir, revisar, sugerir e, sobretudo estimularaprofundamentos durante todo esse trabalho. Destacoseu papel como incentivador na produção de diversosartigos divulgados não só em eventos acadêmicoscomo também em publicações científicas. Carlos,obrigado pela amizade e por acreditar no projetoMEMEC.
  • 5. ResumoO campo da Visualização Científica vem se desenvolvendo de uma forma paralelaao dos computadores; a oferta maior de recursos permite que o usuário finalpossa exigir mais do seu trabalho assim como esperar programas maispoderosos, rápidos e que manipulem uma enorme quantidade de dados. Como nocapitalismo, a computação é movida pela lei da demanda. A crescentenecessidade de sistemas de Visualização Científica leva o desenvolvimento daComputação Gráfica como um todo e suas aplicações ficam inerentes em váriasas áreas do conhecimento. Nesse texto, são apresentados resultados do uso daComputação Gráfica, particularmente da Visualização Científica, em duasaplicações totalmente distintas em implementações, mas com um espaçogeométrico muito similar. As aplicações são feitas na Educação Matemática e naEngenharia Civil, tratando de problemas da geometria dos números complexos eda elasticidade linear respectivamente. A aplicação feita na Educação é dada pelaapresentação do software i-Complex e de suas possibilidades de uso no ensinode números complexos. A aplicação na Engenharia é apresentada através dosoftware MEMEC. O MEMEC é um software desenvolvido com base no métododos Elementos de Contorno para solucionar problemas oriundos da elasticidade.Conceitos empregados na construção do i-Complex são generalizados eaplicados no MEMEC buscando coerência Matemática e Experimental. Para issotécnicas de visualização científica foram desenvolvidas para tirar proveito dométodo numérico empregado e das geometrias comumente analisadas. Algunsexemplos são apresentados e, sempre que possível, confrontados com resultadosexistentes na literatura.Palavras Chave: Visualização Científica, Método dos Elementos de Contorno,Números Complexos. i
  • 6. Rol de Abreviaturas e Siglas𝑆1 , 𝑆2 , 𝑆3  tensões principais𝑆𝑒 limite de escoamento do material𝑆𝑥 tensão normal na direção x𝑆 𝑥𝑦 tensão cisalhante xy𝑆𝑦 tensão normal na direção y𝑓1 , 𝑓2 forças de campo𝑢𝑖 deslocamento na direção i 𝑣 ∗  solução fundamental[𝑖𝑛𝑡] representação de uma variável de número inteiro[𝑟𝑒𝑎𝑙] representação de uma variável de número realEAD Educação à Distância Grupo de Estudos e Pesquisas das Tecnologias daGEPETICEM Informação e Comunicação em Educação MatemáticaSciVis Visualização CientíficaSRO Sistema de Referência do ObjetoTIC Tecnologia da Informação e ComunicaçãoVTK Visualization Toolkitμ parâmetro geométrico da viga retangular de altura variável 𝐴 área da seção reta, constante 𝐵 Constante𝐼 Momento de Inércia𝐿, 𝑙 comprimento da viga 𝑀 momento fletor 𝑃 força resultante aplicada𝑆’, 𝑆 𝑒𝑞 tensão equivalente de Von Mises 𝑉 resultante do esforço cortante 𝑋 coordenada cartesiana 𝑌 coordenada cartesiana𝑍 coordenada cartesiana𝑏 largura unitária𝑐 distância do centróide da seção à fibra externa𝑖 índice inteiro 𝑛 coeficiente de segurança ii
  • 7. 𝑝 forças de superfície𝑞 esforço cortante distribuído𝑢 deslocamento na direção x𝑢. 𝐴 unidade de área𝑢. 𝑐. unidade de comprimento𝑣 deslocamento na direção y Módulo de Elasticidadeµ coeficiente de Poisson iii
  • 8. Lista de ImagensFigura 1: Paradigma dos quatro universos ............................................................. 6Figura 2: Diagrama do Método de Coordenadas .................................................... 8Figura 3: Diagrama do Método de Grupos de Transformação ................................ 9Figura 4: Produto Interno de x e y (a); Distância de x a y (b). ............................... 13Figura 5: Soma de ponto com vetor (a); combinação afim de pontos (b). ............. 15Figura 6: Representação afim do espaço Euclidiano ............................................ 18Figura 7: Fotografia de uma estrada ..................................................................... 19Figura 8: Projeção cônica ..................................................................................... 20Figura 9: Plano Projetivo ....................................................................................... 22Figura 10: Ponto ideal transformado em ponto real. ............................................. 27Figura 11: Transformação com dois pontos de fuga (D e B). ................................ 27Figura 12: Projeção paralela. ................................................................................ 28Figura 13: Projeção cônica.................................................................................... 29Figura 14: Exemplo de um objeto representado por uma malha de polígonos ..... 32Figura 15: Exemplo de SciVis gerada pelo software MEMEC .............................. 33Figura 16: Projeção de Cena 3D em imagem 2D.................................................. 36Figura 17: Diagrama dos Conjuntos Numéricos.................................................... 41Figura 18: Tela de abertura do i-Complex 2.1 ....................................................... 53Figura 19: Ambiente de trabalho do i-Complex ..................................................... 54Figura 20: Soma de números complexos .............................................................. 54Figura 21: Resultado de (5 + 2𝑖) − 1 + 4𝑖. ............................................................ 55Figura 22: Resultado de (3 + 2𝑖) ∙ 2 + 0𝑖. .............................................................. 57Figura 23: Resultado de (5+5𝑖) ∙ 𝑖 ........................................................................ 59Figura 24: Resultado de (3+3𝑖) ∙ (0 + 2𝑖) ............................................................. 60Figura 25: Resultado as da equação 𝒙3 − (3 + 4𝑖) = 0 ....................................... 62Figura 26: Cubo elementar de tensões ................................................................. 65Figura 27: Representação do cubo elementar de tensões para o estado plano detensões ................................................................................................................. 70Figura 28: Viga retangular em balanço. ................................................................ 78Figura 29: Viga em balanço. Representação dos eixos coordenados. ................. 79Figura 30: Viga em balanço. Representação dos eixos coordenados. ................. 79Figura 31: Viga de seção constante sujeita a um carregamento uniformementevariável. ................................................................................................................. 81Figura 32: Tela inicial do MEMEC ......................................................................... 85Figura 33: Representação física da barra engastada e tracionada ....................... 86Figura 34: Representação da discretização para a barra engastada .................... 87Figura 35: SciVis, em surface, do arquivo barra.txt gerada pelo MEMEC comtensão na direção 𝑋. ............................................................................................. 92Figura 36: Resultado numérico gerado para o arquivo barra.txt através doMEMEC. ................................................................................................................ 93Figura 37: SciVis, em wireframe, do arquivo barra.txt gerada pelo MEMEC comtensão na direção 𝑋. ............................................................................................. 94Figura 38: SciVis, em wireframe, de uma barra com 301 nós e 100 pontos internosgerada pelo MEMEC com tensão na direção 𝑋. ................................................... 95 iv
  • 9. Figura 39: Tipos de Malhas ................................................................................... 97Figura 40: Triangulação de um polígono. .............................................................. 99Figura 41: A triangulação de Delaunay sobre uma nuvem de pontos. ................ 100Figura 42: Triangulação de Delaunay sobre um conjunto de 10 pontos no plano............................................................................................................................ 101Figura 44: SciVis, em surface, de uma barra com duas extremidades fixas geradapelo MEMEC com tensões nas direções 𝑋 e 𝑌. .................................................. 104Figura 43: Barra com extremidades fixas e tracionada ao centro ....................... 104Figura 45: SciVis, em curvas de nível, de uma barra com duas extremidades fixasgerada pelo MEMEC com tensão na direção 𝑌. ................................................. 105Figura 46: SciVis, em wireframe, de uma barra com duas extremidades fixasgerada pelo MEMEC com tensão na direção 𝑌. ................................................. 106Figura 47: SciVis, em campo escalar, do arquivo barra.txt gerada pelo MEMECcom tensão na direção 𝑋 .................................................................................... 107Figura 48: Chapa com furo circular nos eixos de simetria .................................. 107Figura 49: SciVis de chapa com furo sobre o eixo de simetria ........................... 108 v
  • 10. SumárioRESUMO ............................................................................................................................................. IROL DE ABREVIATURAS E SIGLAS .............................................................................................. IILISTA DE IMAGENS ........................................................................................................................ IVCAPÍTULO 0. INTRODUÇÃO ..................................................................................................... 1CAPÍTULO 1. PRINCÍPIOS DE COMPUTAÇÃO GRÁFICA ..................................................... 3 1.1. ÁREAS QUE FORNECEM MÉTODOS E TÉCNICAS A COMPUTAÇÃO GRÁFICA ............................... 4 1.1.1. Modelagem ................................................................................................................... 4 1.1.2. Visualização ................................................................................................................. 4 1.1.3. Processamento de Imagens ......................................................................................... 5 1.1.4. Visão Computacional .................................................................................................... 5 1.1.5. Animação ...................................................................................................................... 5 1.2. PARADIGMAS DE ABSTRAÇÃO ............................................................................................... 5 1.3. GEOMETRIA ........................................................................................................................ 7 1.3.1. Metodologias para dividir a Geometria ......................................................................... 7 1.3.1.1. O método axiomático ........................................................................................................ 7 1.3.1.2. O método de coordenadas................................................................................................ 8 1.3.1.3. O método de grupos de transformação ............................................................................ 9 1.3.2. Transformações e a Computação Gráfica ................................................................. 10 1.3.3. Geometria Euclidiana ................................................................................................. 10 1.3.3.1. Transformações Lineares ............................................................................................... 11 1.3.3.2. Transformações ortogonais, Isometrias e grupo euclidiano ............................................ 12 1.3.4. Geometria Afim ........................................................................................................... 14 1.3.4.1. Transformações Afins ..................................................................................................... 16 1.3.4.2. Coordenadas Afins ......................................................................................................... 17 1.3.4.3. Representação Matricial ................................................................................................. 18 1.3.4.4. Teorema Fundamental da Geometria Afim ..................................................................... 19 1.3.5. Geometria Projetiva .................................................................................................... 19 1.3.5.1. O espaço projetivo .......................................................................................................... 20 1.3.5.2. Coordenadas homogêneas ............................................................................................. 22 1.3.5.3. Transformações projetivas .............................................................................................. 23 1.3.5.4. Anatomia de uma transformação projetiva plana ............................................................ 23 1.3.5.5. Projeção Paralela............................................................................................................ 28 1.3.5.6. Projeção cônica ou perspectiva ...................................................................................... 28 1.3.6. A Geometria da Computação Gráfica ........................................................................ 30 1.4. OUTRAS CONSIDERAÇÕES SOBRE COMPUTAÇÃO GRÁFICA ................................................. 31 1.4.1. Representação 3D ...................................................................................................... 31 1.4.2. Superfícies Paramétricas ........................................................................................... 32 1.4.3. Visualização Científica ............................................................................................... 33 1.4.3.1. Técnicas da Visualização Científica ................................................................................ 33 1.4.3.2. ToolKits de Visualização Científica ................................................................................. 34 1.4.4. Câmera ....................................................................................................................... 36 1.4.5. Iluminação e Cor ........................................................................................................ 37 1.4.6. Textura........................................................................................................................ 37CAPÍTULO 2. UM PROBLEMA NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA .......................................... 39 2.1. ENSINO DOS NÚMEROS COMPLEXOS .................................................................................. 39 2.2. UMA REVISÃO HISTÓRICA DOS NÚMEROS COMPLEXOS ........................................................ 40 2.2.1. O Aparecimento do Número .................................................................................. 40 2.2.2. As primeiras reações às raízes quadradas de números negativos ....................... 42 2.2.3. O aparecimento das raízes quadradas de números negativos ............................. 42 vi
  • 11. 2.2.4. A notação.................................................................................................................... 43 2.3. A IMPORTÂNCIA DA INFORMÁTICA NO ENSINO DA MATEMÁTICA ............................................. 44 2.4. NÚMEROS COMPLEXOS: O OBJETO MATEMÁTICO ................................................................ 44 2.4.1. Adição .................................................................................................................... 45 2.4.2. Multiplicação de um real por um complexo ............................................................ 45 2.4.3. Unitários, Argumento, Forma Trigonométrica ........................................................ 46 2.4.4. Multiplicação de complexos ................................................................................... 46 2.4.5. Conjugado, inverso e quociente............................................................................. 47 2.4.6. Os complexos como extensão dos reais e o número i .......................................... 48CAPÍTULO 3. COMPUTAÇÃO GRÁFICA NA EDUCAÇÃO ................................................... 51 3.1. I-COMPLEX ....................................................................................................................... 52 3.1.1. Introdução ao i-Complex ........................................................................................ 53 3.1.2. Soma e Subtração no i-Complex ........................................................................... 54 3.1.3. Multiplicação de um complexo por um real ............................................................ 56 3.1.4. Multiplicação por 𝑖 .................................................................................................. 58 3.1.5. Multiplicação........................................................................................................... 59 3.1.6. Radiciação.............................................................................................................. 61CAPÍTULO 4. UM PROBLEMA NA ENGENHARIA CIVIL ...................................................... 63 4.1. FUNDAMENTOS DA MECÂNICA DOS SÓLIDOS........................................................................ 64 4.1.1. Tensão ................................................................................................................... 64 4.1.2. Deformação ............................................................................................................ 64 4.1.3. Componentes de Tensão ....................................................................................... 64 4.1.4. Forças de Volume .................................................................................................. 65 4.1.5. Forças de Superfície .............................................................................................. 65 4.1.6. Estado Plano de Tensão ........................................................................................ 65 4.1.7. Estado Plano de Deformação ................................................................................ 66 4.2. FUNDAMENTOS DA MECÂNICA DOS SÓLIDOS........................................................................ 66 4.2.1. Teoria da Máxima Energia de Distorção ................................................................ 67 4.3. TEORIA DA ELASTICIDADE .................................................................................................. 68 4.3.1. Equações de equilíbrio ........................................................................................... 69 4.3.2. Equações de Compatibilidade ............................................................................... 70 4.3.3. Função das Tensões de Airy ................................................................................. 71 4.3.4. Princípio de Saint-Venant ...................................................................................... 72 4.4. INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO ................................................ 73 4.5. VIGA RETANGULAR DE SEÇÃO CONSTANTE ........................................................................ 77 4.5.1. Viga de Seção Constante em Balanço Sujeita a uma Flexão Simples ................. 77 4.5.2. Viga em Balanço com um Carregamento Uniformemente Distribuído ao Longo de seu Comprimento .................................................................................................................... 79 4.5.3. Viga Retangular em Balanço Submetida a um Carregamento Linearmente Distribuído ao Longo de seu Comprimento ............................................................................. 81CAPÍTULO 5. COMPUTAÇÃO GRÁFICA NA ENGENHARIA CIVIL ..................................... 83 5.1. HARDWARE ....................................................................................................................... 84 5.2. MEMEC ........................................................................................................................... 84 5.2.1. Entrada de Dados .................................................................................................. 85 5.2.2. Algoritmo de interpolação da SciVis ...................................................................... 96 5.2.2.1. Tipos de Malhas .............................................................................................................. 97 5.2.2.2. Propriedades desejáveis de uma malha e de geradores de malha ................................ 98 5.2.2.3. Triangulação de Delaunay .............................................................................................. 98CONSIDERAÇÕES FINAIS ........................................................................................................... 103REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................................................. 110 vii
  • 12. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 1Capítulo 0. Introdução O presente texto é baseado na Monografia de Final de Curso do Autor etem como objeto o estudo da Computação Gráfica, particularmente, de suageometria. A monografia descreve resultados obtidos na iniciação cientificarealizada e sua submissão ao Prêmio Beatriz Neves é motivada pelo fato doprêmio ser dedicado a modelagem matemática e suas aplicações, ambosrealizados nesse trabalho. A Computação Gráfica possui diversos aspectos e alguns deles serãodescritos ao longo do texto. Todavia não buscamos exaurir o tema, visto que esseé extremamente extenso e de relativa complexidade. Ao longo do texto são mostrados problemas e definições em ComputaçãoGráfica, Educação Matemática e Engenharia Civil. A escolha de áreas tãodistintas para serem tratadas junto à Computação Gráfica mostra suaversatilidade e a importância da Computação Gráfica como objeto de estudo. Cada vez mais temos a necessidade de uma interpretação visual dosfenômenos físicos, muito deles descritos a décadas de forma analítica. Com aevolução da tecnologia e o surgimento de novos métodos numéricos, uma ondacrescente de pesquisadores se interessam pela Computação Gráfica e, em nossocaso, pela Visualização Cientifica. Matematicamente, o interesse pela geometria da Computação Gráfica sejustifica pelo fato que não existe problema na área que não passe pelo problemade definir a geometria adequada ao problema. Diversas geometrias são tratadasaté a elaboração da geometria da Computação Gráfica e são inúmeras as vezesque nos deparamos com problemas com algoritmos para escolha de malhas oudo espaço topológico adequado para o problema.
  • 13. 2 O objetivo do texto é apresentar os softwares MEMEC e i-Complex tendocomo plano de fundo a geometria da Computação Gráfica e seus aspectosaplicados. Para tanto, principia–se, no Capítulo 1, tratando dos conceitos básicos doselementos que constituem a Computação Gráfica. No Capítulo 2, é apresentado oconjunto dos números complexos como objeto matemático. Nesse capítulo, éapresentada a modelagem do comportamento geométrico das operaçõesrealizadas sobre o corpo dos Números Complexos. No Capítulo 3, é apresentada uma aplicação da Computação Gráfica naEducação Matemática para trabalhar com o objeto definido no capítulo 2. Nessecapítulo, é apresentado o software i-Complex e exemplos de uso. No Capítulo 4, é apresentado aspectos da Teoria da Elasticidade e doMétodo dos Elementos de Contorno, tal como, a modelagem matemática deproblemas que serão utilizados como exemplos no Capítulo 5. No Capítulo 5, é apresentada uma aplicação da Computação Gráfica naEngenharia Civil para solucionar o problema descrito no capítulo 4. Nessecapítulo, é apresentado o software MEMEC (Mecânica Elastostática - Método deElementos de Contorno). São apresentados aspectos do software e exemplos de usocomo também características da construção do software. O presente texto se encerra com as Considerações Finais, nas quais sãoapresentados pontos conclusivos destacados, seguidos da estimulação àcontinuidade dos estudos e das reflexões sobre a Computação Gráfica e dasaplicações realizadas.
  • 14. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 3Capítulo 1. Princípios de Computação Gráfica Computação Gráfica é definida, comumente, como o ―conjunto de métodose técnicas para transformar dados em imagens através de um dispositivo gráfico‖(Gomes & Velho, 2003). Nesse sentido, temos o problema fundamental da área edesse projeto que é a transformação de dados em imagens. Em matemática aplicada, a solução de um problema está diretamenterelacionada com os diversos modelos matemáticos utilizados na suacompreensão. Desse modo, a linha divisória entre problemas resolvidos eproblemas em aberto é bem difusa do que ocorre no caso da matemática pura.Nessa última, soluções diferentes de um mesmo problema não trazem, em geral,grandes inovações do ponto de vista do avanço cientifico. Na matemáticaaplicada, soluções diferentes de um mesmo problema em geral sãoconseqüências do uso de novos modelos, e trazem informações extremamenteúteis nas diversas aplicações práticas. O objetivo, desse capitulo, é o de conceituar aspectos da ComputaçãoGráfica, particularmente, de sua geometria. Tais, conceituações serão aplicadasnos capítulos posteriores para a resolução de um problema na EducaçãoMatemática e de outro problema na Engenharia Civil. As aplicações em áreas tãodistintas justificam o fato de que a Computação Gráfica possui aplicações emtodas as grandes áreas do conhecimento. Esse capítulo é baseado nos trabalhos de (Gomes & Velho, 2003),(Manssour & Cohen, 2006) e (Battaiola & Erthal, 1998).
  • 15. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 4 1.1. ÁREAS QUE FORNECEM MÉTODOS E TÉCNICAS A COMPUTAÇÃO GRÁFICA Seja qual for a área do conhecimento em que a Computação Gráfica estejasendo aplicada, ela irá explorar uma das três características:  A Computação Gráfica permite visualizar objetos que ainda se encontram em fase de projeto;  A Computação Gráfica permite visualizar objetos que estão fora do alcance de nossa percepção visual;  A Computação Gráfica permite visualizar objetos que fogem de nossa realidade tridimensional. Sendo assim, a Computação Gráfica abrange o conjunto de métodos etécnicas de diversas áreas: modelagem, visualização, processamento deimagens, visão computacional e animação. 1.1.1. MODELAGEM A modelagem geométrica trata do problema de descrever e estruturardados geométricos no computador. O principal problema da Computação Gráfica é o de transformar dados emimagens. De modo intuitivo, podemos pensar nos dados como sendo objetosgeométricos que representam modelos de objetos do mundo físico. Trabalhar como modelo geométrico adequado é importante na colocação e resolução doproblema tanto do ponto de vista teórico quanto do das implementaçõescomputacionais. 1.1.2. VISUALIZAÇÃO A área de visualização também é conhecida como Síntese de Imagens. Astécnicas dessa área utilizam dados gerados por um sistema de modelagem
  • 16. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 5geométrica e o produto final é uma imagem que pode ser exibida mediante o usode algum dispositivo de saída gráfica (monitor, impressora, etc.). 1.1.3. PROCESSAMENTO DE IMAGENS No Processamento de Imagens o sistema admite como entrada umaimagem que, após processada, produz outra imagem na saída. 1.1.4. VISÃO COMPUTACIONAL A área de Visão Computacional é também conhecida pelo nome de Análisede Imagens. Essa área tem por finalidade obter, a partir de uma ou váriasimagens (entrada), informações geométricas, topológicas ou físicas sobre osdados que a originaram. 1.1.5. ANIMAÇÃO O problema de visualizar o movimento de objetos é conhecido comoAnimação ou Visualização de Movimento. Esse problema surge quandointroduzimos o fator tempo, isto é, os dados variam com o tempo e além doproblema de modelar a geometria e a topologia dos dados, temos que fazertambém a modelagem do movimento que consiste em descrever o movimentodos objetos. O resultado de uma animação é uma seqüência de imagens (frames), queé chamada genericamente por vídeo. 1.2. PARADIGMAS DE ABSTRAÇÃO Em matemática aplicada necessitamos modelar os diversos objetos emestudo. Para se obter uma conceituação correta devemos criar uma hierarquia deabstrações, e para cada nível de abstração aplicamos o modelo matemático maisadequado. Em Computação Gráfica não é diferente. Um paradigma de abstração quese aplica em geral consiste em estabelecer quatro universos: o universo físico F,
  • 17. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 6o universo matemático M, o universo de representação R e, o universo deimplementação I. Figura 1: Paradigma dos quatro universos O universo físico contém os objetos do mundo real que pretendemosestudar; o universo matemático contém uma descrição abstrata dos objetos domundo físico; o universo da representação é constituído por descrições simbólicase finitas associadas a objetos do universo matemático; e no universo daimplementação associamos as descrições do universo da representação àsestruturas de dados, com a finalidade de obter uma representação do objeto nocomputador. O paradigma de abstração descrito é conhecido como paradigma dosquatro universos (Figura 1). Ele se baseia no fato de que para estudar umdeterminado fenômeno ou objeto do mundo real no computador, associamos aomesmo um modelo matemático, em seguida procuramos uma representação finitadesse modelo que seja passível de uma implementação computacional. O paradigma dos quatros universos será o paradigma adotado nessetrabalho.
  • 18. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 7 1.3. GEOMETRIA Para entendermos adequadamente a geometria adotada na ComputaçãoGráfica primeiro devemos compreender corretamente o que é uma geometria.Segundo Gomes e Velho (Gomes & Velho, 2003), podemos dividir a geometriaem três metodologias: o método axiomático, o método de coordenadas e ométodo de grupos de transformação. Nas seções subseqüentes, serão apresentados aspectos metodológicos dageometria, o papel das transformações na Computação Gráfica, uma breveintrodução a Geometria Euclidiana, a Geometria Afim, a Geometria Projetiva e aGeometria da Computação Gráfica. Para simplificar as definições, usaremos a seguinte notação utilizada porGomes e Velho (Gomes & Velho, 2003): Escalares: x, y, z, ...; Pontos: x, y, z, ...;Vetores: 𝒙, 𝒚, 𝒛, …. 1.3.1. METODOLOGIAS PARA DIVIDIR A GEOMETRIA Nas subseções posteriores, serão feitas algumasconsiderações, de forma sucinta, sobre as metodologias para divisão dageometria e se baseiam no texto de (Gomes & Velho, 2003). 1.3.1.1. O MÉTODO AXIOMÁTICO Nesse método definimos o espaço (conjunto dos pontos da geometria), osobjetos da geometria (retas, planos, etc.) e um conjunto de propriedades básicasque devem ser satisfeitas pelos objetos. Essas propriedades são chamadasaxiomas. A partir daí deduzimos as outras propriedades da geometria na forma deteoremas. Esse método foi introduzido pelo matemático grego Euclides paradefinir o que conhecemos hoje como Geometria Euclidiana. O método axiomático tem um grande poder de síntese, ao resumir em umconjunto de axiomas propriedades comuns a um grande número de espaços eobjetos distintos. Do ponto de vista computacional, método axiomático é muito
  • 19. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 8interessante para se buscar demonstração automática de teoremas, entretantoesse método tem a desvantagem de não determinar uma representação dageometria no computador. 1.3.1.2. O MÉTODO DE COORDENADAS O método de coordenadas, também conhecido como Geometria Analítica,foi introduzido pelo matemático e filosofo francês René Descartes. Esse métodoconsiste em definir um sistema de coordenadas no espaço da geometria de modoque as propriedades da geometria (axiomas e teoremas) são traduzidas emequações matemáticas. Um sistema de coordenadas é algo que traz muita redundância, com efeito,as coordenadas (x, y, z) de um ponto P ∈ ℝ3 indicam a distância de P aos trêsplanos coordenados. Desse modo, os conceitos de Geometria Analítica não sãointrínsecos ao objeto geométrico: sempre que definimos algo usando um sistemade coordenadas, precisamos mostrar que conceito independe do sistema decoordenadas utilizado. Entretanto o método é adequado para o uso de técnicascomputacionais mediante a correta representação do sistema de coordenadas: Figura 2: Diagrama do Método de Coordenadas Note, no entanto que os objetos passam a depender do sistema decoordenadas utilizado na representação (Figura 2). Isso dificulta odesenvolvimento de métodos automáticos para verificação semântica daspropriedades da geometria.
  • 20. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 9 1.3.1.3. O MÉTODO DE GRUPOS DE TRANSFORMAÇÃO O método de grupos de transformação (Figura 3) foi introduzido pelomatemático alemão Felix Klein. Nesse método, uma geometria consiste de umespaço 𝑆 (os pontos da geometria), e um grupo 𝐺 de transformações desseespaço. Ou seja, cada elemento 𝑇 ∈ 𝐺 é uma transformação 𝑇: 𝑆 → 𝑆 do espaço,e além disso (por ser um grupo) 𝐺 satisfaz as seguintes propriedades: a. Associatividade: Dados 𝑔, 𝑕, 𝑙 ∈ 𝐺, 𝑔𝑕 𝑙 = 𝑔 𝑕𝑙 ; b. Elemento neutro: Existe 𝑒 ∈ 𝐺 tal que 𝑔𝑒 = 𝑒𝑔 = 𝑔 para todo 𝑔 ∈ 𝐺; c. Elemento inverso: Para todo 𝑔 ∈ 𝐺, existe 𝑔−1 ∈ 𝐺 tal que 𝑔𝑔−1 = 𝑔−1 𝑔 = 𝑒. Nesse contexto, vamos introduzir algumas definições simples. Um objetogeométrico é um subconjunto de S. Uma propriedade geométrica é umapropriedade de uma figura geométrica que é invariante pela ação de G, ou seja,se um objeto geométrico O goza da propriedade P e g ∈ G, então g(O) tambémgoza da propriedade P. Dois objetos geométricos O1 e O2 são ditos congruentesse existir um elemento g ∈ G tal que g O1 = O2 . Um fato interessante dessa abordagem é que ela permite relacionardiferentes geometrias num mesmo espaço mediante o estudo da relação entregrupos. É claro que não existem axiomas e sim teoremas nesse método. Do ponto de vista computacional devemos buscar uma representação doespaço S e do grupo G de modo a implementar modelos da geometria: Figura 3: Diagrama do Método de Grupos de Transformação
  • 21. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 10 Além disso, em Computação Gráfica as transformações estão associadasao movimento de objetos do espaço. A abordagem por grupo de transformaçõesserá a base para a construção da geometria adequada para a ComputaçãoGráfica. 1.3.2. TRANSFORMAÇÕES E A COMPUTAÇÃO GRÁFICA O uso de transformações em geometria está relacionado com doisaspectos de grande importância em Computação Gráfica: a. Mudança de coordenadas – Os sistemas de coordenadas são utilizados para se obter a correta formulação analítica de um determinado problema. Através de um sistema de coordenadas podemos calcular posições, velocidades e outras grandezas associadas aos objetos do mundo físico. A mudança de coordenadas entre dois sistemas é feita por uma transformação do espaço. b. Deformação de objetos no espaço – Existem duas classes de deformação de objetos: deformações rígidas e deformações não- rígidas. As deformações rígidas mudam a posição dos objetos no espaço sem, no entanto, alterar suas relações métricas. Essas deformações são chamadas de isometrias ou movimentos rígidos. As deformações não-rígidas alteram as relações métricas dos objetos. 1.3.3. GEOMETRIA EUCLIDIANA Antes de definirmos a geometria euclidiana utilizando grupo detransformações vamos rever alguns conceitos da álgebra linear. Considere oespaço ℝ 𝑛 = 𝑥1 , … , 𝑥 𝑛 ; 𝑥 𝑖 𝜖ℝ e, definamos sobre esse espaço duas operações:  a soma: 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥 𝑛 + 𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦 𝑛 = 𝑥1 + 𝑦1 , 𝑥2 + 𝑦2 , … , 𝑥 𝑛 + 𝑦𝑛 e;  o produto: 𝜆 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥 𝑛 = 𝜆𝑥1 , 𝜆𝑥2 , … , 𝜆𝑥 𝑛 .
  • 22. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 11 1.3.3.1. TRANSFORMAÇÕES LINEARES As transformações que preservam a estrutura linear do ℝn são chamadasde transformações lineares. Dessa forma, uma transformação linear écaracterizada pelas propriedades: L: ℝn → ℝn L u + v = L u + L(v) e L λu = λL(u)para todo u, v ϵ ℝn , e λϵℝn . Portanto as transformações lineares preservam ossubespaços do espaço ℝn , que definem por sua vez os elementos básicos dageometria (retas, planos etc.). As transformações lineares invertíveis de ℝnformam um grupo, que será indicado por GL(n), chamado de grupo especial linearde ordem n. Para uso computacional devemos buscar uma representação adequadadas transformações lineares. Os n elementos e1 = 1, 0,0, … , 0 ; e2 = 0, 1,0, … , 0 ; ⋮ en = 0, 0,0, … , 1 constituem uma base de Rn . Se L: ℝn → ℝn é linear definimos os n vetoresa1 , a2 , … , an , por a1 = L e1 = a11 , a21 , a31 , … , an1 ; a2 = L e2 = a12 , a22 , a32 , … , an2 ; ⋮ an = L en = a1n , a2n , a3n , … , ann . Construímos agora uma matriz Le cujas colunas são, nessa ordem, osvetores a1 , a2 , … , an :
  • 23. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 12 a11 ⋯ a1n Le = ⋮ ⋱ ⋮ an1 ⋯ ann Um cálculo imediato mostra que se x = x1 , … , xn então L x = Le ∙ x,onde no lado direito temos o produto de matrizes. Estabelecemos assim umacorrespondência que associa a cada transformação linear L uma matriz Le demodo que o valor da transformação num vetor pode ser obtido multiplicando amatriz por esse vetor. Reciprocamente, se A é uma matriz de ordem n, definimosuma transformação L: ℝn → ℝn pondo a11 ⋯ a1n x1 L x =A∙x= ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ an1 ⋯ ann xn Temos assim uma correspondência biunívoca entre os espaço dastransformações lineares do espaço euclidiano n-dimensional e o conjunto dasmatrizes de ordem n. Essa correspondência é uma importante uma vez que elapreserva as operações nos dois espaços, isto é: TοL x = T L x = Te Le ∙ x; T + L x = T x + L x = (Te + Le ) ∙ x. Do ponto de vista computacional, a implementação de um sistema paramanipular transformações lineares se traduz na implementação de um sistema deefetuar operações com matrizes. Em particular, o grupo GL(n) das transformaçõeslineares invertíveis corresponde ao grupo das matrizes de ordem n que sãoinvertíveis. 1.3.3.2. TRANSFORMAÇÕES ORTOGONAIS, ISOMETRIAS E GRUPO EUCLIDIANO Para medir as distâncias em ℝn devemos definir uma métrica, para isso nintroduzimos o produto interno u, v = i=1 ui vi , onde u = (u1 , … , un ) e v =(v1 , … , vn ). Usando o produto interno , obtemos as noções de comprimento deum vetor, e de ângulo entre dois vetores:
  • 24. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 13 O comprimento ou norma de um vetor u é dado por u = u, u . u,v O ângulo θ entre dois vetores não nulos u e v é definido por cos θ = . u v Geometricamente, o produto interno é a medida da projeção do vetor xsobre o y ponderada pelo comprimento de y (Figura 4a). x-y x x θ y y (a) (b) Figura 4: Produto Interno de x e y (a); Distância de x a y (b). A partir da norma de um vetor, definimos a distancia d(x, y) entre os pontosx e y do espaço ℝn , pondo d x, y = x − y . Ou seja, a distância de x a y é anorma do vetor que liga o ponto x ao ponto y (Figura 4b). Uma transformação T: ℝn → ℝn que preserva o produto interno, isto éT u , T(v) = u, v , é dita ser uma transformação ortogonal. Uma transformaçãoortogonal preserva a norma do espaço e, portanto preserva também à distância,sendo, pois uma isometria. As isometrias modificam a posição de pontos eobjetos do espaço, entretanto mantém as relações métricas. Dois objetos 𝑂1 e 𝑂2 do espaço são ditos congruentes, se existe umaisometria 𝑇: ℝ 𝑛 → ℝ tal que 𝑇𝑂1 = 𝑂2 . Portanto, a relação de congruência édeterminada pelas isometrias do espaço. A congruência é o conceito básico dageometria Euclidiana: as propriedades da geometria Euclidiana são as que sereferem à preservação de congruência. Em outras palavras, o grupo detransformações 𝐸(𝑛) da geometria euclidiana, no sentido de Felix Klein, é o grupode isometrias do espaço ℝ 𝑛 . Da Álgebra Linear sabemos que uma transformação 𝑇: ℝ 𝑛 → ℝ 𝑛 , nãonecessariamente linear, é uma isometria se, e somente se, 𝑇 𝑢 = 𝐿 𝑢 + 𝑣0 ,onde 𝐿 é uma transformação linear ortogonal e 𝑣0 é um vetor fixo.
  • 25. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 14Geometricamente, a isometria é composta de uma transformação linear ortogonalseguida de uma translação. Temos assim, uma caracterização simples das isometrias do espaçoEuclidiano. Todavia, devemos ressaltar que a translação não é umatransformação linear, portanto não preserva as operações do espaço e nem fazparte da álgebra de transformações do espaço Euclidiano. 1.3.4. GEOMETRIA AFIM A geometria Euclidiana apresenta vários inconvenientes para ser utilizadaem Computação Gráfica. Dentre os quais podemos citar dois:  O grupo das transformações da geometria não tem uma álgebra natural associada, uma vez que a translação não é linear;  No espaço Euclidiano não há uma distinção clara entre ponto e um vetor. Como resolver a confusão entre ponto e vetor do espaço euclidiano? Asolução é trabalharmos com duas cópias de ℝ 𝑛 onde uma delas representapontos e a outra vetores. O objetivo é responder as seguintes perguntas:  Que operações são possíveis nesse espaço (ponto-ponto, ponto- vetor e vetor-ponto)?  Quais as transformações do espaço? Sendo assim, definimos o espaço afim como sendo um par (𝒫, 𝒱) onde 𝓟 éo espaço de pontos, e 𝓥 o espaço de vetores. O caso mais interessante é quando𝒫 = 𝓥 = ℝ 𝑛 e, portanto, daremos mais atenção a esse caso. Como 𝓥 é um espaço vetorial, ele admite a operação de combinação linear 𝑛de vetores, 𝑖=1 𝑎 𝑖 𝒖 𝒊 , 𝑎 𝑖 𝜖ℝ. 𝑛 Temos também as transformações lineares entre vetores, 𝑇 𝑖=1 𝑎𝑖 𝒖𝒊 = 𝑛 𝑖=1 𝑎 𝑖 𝑇(𝒖 𝒊 ) .
  • 26. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 15 Definimos a operação de soma (Figura 5a) de um ponto p com um vetor 𝒖, 𝒑 + 𝒖 = 𝒒 ∈ 𝓟, cujo resultado é um ponto q. A operação anterior motiva a definiruma operação de subtração de pontos como 𝒒 − 𝒑 = 𝒗 ⇔ 𝒒 = 𝒑 + 𝒗. Podemos generalizar a operação anterior como uma combinação linear 𝑛 𝑛arbitrária de pontos 𝑖=1 𝑎𝑖 𝒑𝒊 ∈ 𝒱 ⇔ 𝑖=1 𝑎 𝑖 = 0. 𝑎1 + 𝑎2 = 1 𝑎2 𝒒𝟐 𝒖 𝑎1 𝒑 𝒒 𝒒 𝒒𝟏 (a) (b) Figura 5: Soma deoperação descrita é semelhante à operação de (b). Observe que a ponto com vetor (a); combinação afim de pontos diferençaDeve-se observar que a operação de subtração descrita é semelhante àsubtração entre dois pontos (ou vetores?) que foi feita no espaço Euclidiano(Figura 4b). Entretanto a operação no ℝ 𝑛 não tem uma semântica clara. Emparticular a figura está errada uma vez que os vetores do espaço Euclidiano sãoponto e x – y deveria estar ―localizado‖ na origem. Vemos que a Geometria Afimintroduz de modo formal o conceito de vetor livre da Física, que pode serlocalizado em qualquer ponto. Definimos uma operação de interpolação (Figura 5b) de pontos 𝒒 = 1 − 𝑎 𝒒 𝟏 + 𝑎𝒒 𝟐 = 𝒒 𝟏 + 𝑎 𝒒 𝟐 − 𝒒 𝟏 , 𝑎 ∈ 0, 1, ou ainda, 𝒒 = 𝑎1 𝒒 𝟏 + 𝑎2 𝒒 𝟐 , com 𝑎1 , 𝑎2 𝜖 0, 1 , 𝑎1 + 𝑎2 = 1. A última forma de escrever a operação permite a sua generalização: 𝑛 𝑛 𝑖=1 𝑎𝑖 𝒒𝒊 ∈ 𝓟 ⇔ 𝑖=1 𝑎 𝑖 = 1.
  • 27. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 16 Essa soma é chamada de combinação afim de pontos. A equação de uma reta nos motiva a definir um invariante importante dageometria afim. Com efeito, a equação paramétrica de uma reta 𝑟 que passapelos pontos 𝒂 e b é um conceito afim. De fato, ela é dada por 𝒓 𝑡 = 𝒂 +𝑡 𝒃 − 𝒂 = 1 − 𝑡 𝒂 + 𝒃, 𝑡𝜖ℝ. Sendo assim, considere 𝒒, 𝒒 𝟏 e 𝒒 𝟐 pertencem auma reta r a razão afim é definida por 𝑞 − 𝑞1 𝑎2 = 𝑞 − 𝑞2 𝑎1 Em outras palavras, se um ponto 𝑞 divide um segmento 𝑞1 𝑞2 segmento narazão 𝑏2 : 𝑏1 , então 𝑏1 𝑞1 + 𝑏2 𝑞2 𝑞= , 𝑏1 + 𝑏2 ≠ 0. 𝑏1 + 𝑏2 Resumidamente a semântica das operações da geometria afim é: Vetores podem ser combinados (combinação linear); Pontos podem ser combinados em duas situações apenas: quando a somados coeficientes é 1 ou 0. No primeiro caso o resultado é um ponto, e no segundocaso o resultado é um vetor. 1.3.4.1. TRANSFORMAÇÕES AFINS Uma transformação 𝑇: 𝒜1 → 𝒜2 entre dois espaços afins, 𝒜1 = (𝒫1 , 𝒱1 ) e 𝒜2 = (𝒫2 , 𝒱2 ), é chamada de transformação afim se, e somente se, 1. 𝑇 preserva vetores, e além disso a restrição 𝑇|𝒱: 𝒱 → 𝒱 é uma transformação linear; 2. 𝑇 preserva pontos, e além disso 𝑇 𝒑 + 𝒗 = 𝑇 𝒑 + 𝑇(𝒗). A segunda propriedade pode ser generalizada: 𝑇 preserva combinaçãoafim de pontos, isto é
  • 28. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 17 𝑛 𝑛 𝑛 𝑎 𝑖 = 1 ⇒ 𝑇( 𝑎 𝑖 𝒑 𝒊) = 𝑎 𝑖 𝑇(𝒑 𝒊 ). 𝑖=1 𝑖=1 𝑖=1 As transformações rígidas, que constituem o grupo de transformações dageometria Euclidiana, são transformações afins. 1.3.4.2. COORDENADAS AFINS Seja 𝒜 um espaço afim de dimensão n, o um ponto do espaço, e{v1 , v2 , … , vn } uma base de 𝒜. A lista F = {o, v1 , v2 , … , vn } é um referencial de 𝒜. Um referencial define um sistema de coordenadas do espaço afim. Ouseja, considere um ponto p = o + v ϵ 𝒜. Como os vetores vi formam uma base de 𝒜, podemos escrever v = c1 v1 + c2 v2 + ⋯ + cn vne, portanto o ponto p pode ser escrito, de modo único, na forma p = o + c1 v1 + c2 v2 + ⋯ + cn vn Os n + 1 escalares 1, c1 , c2 , … , cn representam as coordenadas do ponto pno referencial. Essas coordenadas são indicadas pela lista (c1 , c2 , … , cn , 1), com oelemento 1 no final. Geometricamente, a representação afim do ℝn é obtidacolocando uma cópia de ℝn no hiperplano zn+1 = 1 do espaço ℝn+1 (Figura 6).Isso tira o privilégio gozado pela origem do ℝn que causa toda a confusão entreponto e vetor.
  • 29. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 18 1 ℝ𝑛 Figura 6: Representação afim do espaço Euclidiano 1.3.4.3. REPRESENTAÇÃO MATRICIAL Como na Geometria Euclidiana, uma transformação afim pode serrepresentada matricialmente. Considere os dois referenciais 𝐹 = {𝒖 𝟏 , 𝒖 𝟐 , … , 𝒖 𝒏 , 𝒐} e 𝐺 = {𝒗 𝟏 , 𝒗 𝟐 , … , 𝒗 𝒏 , 𝒐′},um ponto 𝒙 = 𝑥1 𝒖 𝟏 + 𝑥2 𝒖 𝟐 + ⋯ + 𝑥 𝑛 𝒖 𝒏 + 𝒐 no espaço afim ℝ 𝑛 . Seja 𝑇 umatransformação linear e suponhamos que 𝑛 𝑛 𝑇 𝒖𝒋 = 𝑎 𝑖𝑗 𝒗 𝑖 e T(𝐨) = 𝑎 𝑖𝑛 +1 𝒗 𝑖 𝑖=1 𝑖=1 Um cálculo imediato permite escrever o valor de 𝑇(𝒙) no referencial 𝐺: 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝒙= 𝑥𝑗 𝒖 𝒋 + 𝒐 ⇒ 𝑇 𝒙 = 𝑥𝑗 𝑇(𝒖 𝒋 ) + 𝑇 𝒐 = 𝑎 𝑖𝑗 𝑥𝑗 + 𝑎 𝑖𝑛 +1 𝑣𝑖 𝑗 =1 𝑗 =1 𝑖=1 𝑗 =1 Ou seja, as coordenadas de 𝑇(𝒙) no referencial 𝐺 são dadas pelo produtode matrizes
  • 30. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 19 𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛 𝑎1𝑛+1 𝑥1 𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛 𝑎2𝑛+1 𝑥2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ . 𝑎 𝑛1 𝑎 𝑛2 ⋯ 𝑎 𝑛𝑛 𝑎 𝑛𝑛 +1 𝑥𝑛 0 0 … 0 1 1 Portanto, em termos matriciais, o grupo de transformações da GeometriaAfim é constituído pelas matrizes de ordem 𝑛 + 1 que sejam invertíveis. 1.3.4.4. TEOREMA FUNDAMENTAL DA GEOMETRIA AFIM Teorema: Uma transformação afim fica completamente determinada porseus valores numa base afim. Mais precisamente, se (𝑢0 , 𝑢1 , … , 𝑢 𝑛 ) e(𝑣0 , 𝑣1 , … , 𝑣 𝑛 ) são bases afins, se existe uma única transformação afim 𝐿 tal que𝐿 𝑢 𝑖 = (𝑣 𝑖 ), 𝑖 = 0, 1, … , 𝑛. 1.3.5. GEOMETRIA PROJETIVA A Geometria Afim seria uma boa escolha para a Geometria da ComputaçãoGráfica, pois as transformações afins incluem os movimentos rígidos daGeometria Euclidiana, e, além disso, são representadas por matrizes, queadmitem uma estrutura computacional simples. No entanto, essa geometriapossui alguns inconvenientes quando realizamos transformações de visualização.As transformações de visualização estão presentes em uma das etapas doprocesso de visualização de dados em Computação Gráfica. Considere a Figura 7a que representa a fotografia de uma vista área(ortogonal) de uma estrada retilínea em um terreno idealmente plano. A Figura 7bque representa uma fotografia da mesma estrada obtida a partir de umdeterminado ponto de vista próximo à estrada. P (a) (b) Figura 7: Fotografia de uma estrada
  • 31. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 20 Geometricamente, a imagem da Figura 7b corresponde a umatransformação dos objetos geométricos na Figura 7a. A transformação doprocesso fotográfico preserva os diversos objetos em cena, no entanto, ela não éuma transformação afim uma vez que as retas paralelas que delimitam a estradanão são paralelas na imagem fotográfica. Isso mostra uma deficiência em seutilizar a Geometria Afim para a Geometria da Computação Gráfica. A soluçãopara incluir a transformação de visualização, utilizada no processo de fotografia,no grupo de transformações nos leva a Geometria Projetiva. As subseções subseqüentes buscam caracterizar a geometria projetiva,mas não exauri-la, uma vez que a Geometria Projetiva, como as demais, é umcampo bastante extenso. Tais subseções baseiam-se no trabalho de JonasGomes e Luiz Velho (Gomes & Velho, 2003). 1.3.5.1. O ESPAÇO PROJETIVO Utilizaremos o conceito de visualização para motivar a definição do espaçoprojetivo. Do ponto de vista matemático, essa transformação é definida por umaprojeção cônica. Considere o ponto 𝑂 do espaço euclidiano ℝ 𝑛 +1 e um hiperplano∏ ⊂ ℝ 𝑛 +1 tal que 𝑂 ∉ ∏ (Figura 8). A projeção cônica de um ponto 𝑃 ∈ ℝ3 , 𝑃 ≠ 𝑂no plano ∏ é o ponto 𝑃′ onde a reta 𝑟 que passa por 𝑂 e 𝑃 intersecta o plano ∏. 𝑃 ∏ 𝑃′ 𝑄′ 𝑂 𝑄 Figura 8: Projeção cônica
  • 32. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 21 Note que todos os pontos da reta 𝑟 definida por 𝑂 e 𝑃, com exceção dopróprio ponto 𝑂, são projetados no mesmo ponto 𝑃′. Isso significa que comrelação à projeção cônica, todos os pontos da reta 𝑟 são iguais. Esse fato naturalconsidera a reta 𝑟, excluindo o ponto 𝑂, como sendo um ponto projetivo. Tomandoo ponto 𝑂 como sendo a origem de ℝ 𝑛+1 , definimos como o espaço projetivo dedimensão 𝑛 o conjunto das retas passando pela origem de ℝ 𝑛 +1 (eliminando-se aorigem). Desejamos que a Geometria Projetiva seja uma extensão natural daGeometria Afim pois a mesma possui diversas propriedades úteis a ComputaçãoGráfica. Indicamos esse espaço projetivo 𝑛-dimensional por ℝℙ 𝑛 . É comumrepresentar o ponto (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 ) desse espaço como (𝒙, 𝑥 𝑛+1 ), 𝒙 ∈ ℝ 𝑛 . Generalizando nosso modelo: os subespaços projetivos de dimensão 𝑚 emℝℙ 𝑛 , 𝑚 < 𝑛 são subespaços de dimensão 𝑚 + 1 em ℝ 𝑛 +1 . Em particular, as retasprojetivas são subespaços bidimensionais, ou seja, planos que passam pelaorigem. A correspondência natural de pontos do espaço afim com pontos doespaço projetivo determina uma partição dos pontos de ℝℙ 𝑛 em dois conjuntos ℝℙ 𝑛 = 𝒙, 1 ∪ 𝒙, 0 , 𝒙 ≠ 0. Os pontos da forma (𝒙, 1) são os pontos do plano euclidiano 𝑧 = 1. Eles são chamados de pontos afins do plano projetivo (Figura 9). Os pontos do tipo (𝒙, 0) são chamados de pontos ideais ou pontos do infinito.
  • 33. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 22 𝑃 1 𝑃′ ℝ𝑛 Figura 9: Plano Projetivo 1.3.5.2. COORDENADAS HOMOGÊNEAS Com base no nosso modelo de ℝℙ 𝑛 no qual cada ponto é uma reta emℝ 𝑛 +1 − {0} passando pela origem podemos definir as coordenadas projetivas.Dado um ponto 𝒑 ∈ ℝℙ 𝑛 , tomamos o ponto 𝒑′ ∈ ℝ 𝑛 +1 na reta 𝑟 que representa oponto 𝒑. Se 𝒑′ = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛 +1 ), então tomamos as coordenadas euclidianas(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛 +1 ) como sendo as coordenadas projetivas do ponto 𝒑. Ocorre quese 𝜆 ∈ ℝ é um número não nulo, 𝜆𝒑′ representa o mesmo ponto projetivo 𝒑. Dessemodo, 𝜆(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛 +1 ) também representam coordenadas de 𝒑. Ou seja, ascoordenadas projetivas de um ponto são determinadas a menos de umamultiplicação por um escalar não nulo, e por isso são chamadas de coordenadashomogêneas. Os hiperplanos projetivos de ℝℙ 𝑛 são definidos pela equação linearhomogênea 𝑎1 𝑥1 + 𝑎2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎 𝑛+1 𝑥 𝑛+1 = 0. Do ponto de vista do modelo proposto do espaço projetivo, um hiperplano éum subespaço 𝑛-dimensional de ℝ 𝑛 +1 , ou seja, um hiperplano de ℝ 𝑛 +1 quepassam pela origem. No caso do plano projetivo, 𝑛 = 2, o hiperplano de ℝ3 , dadopela equação
  • 34. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 23 𝑎1 𝑥1 + 𝑎2 𝑥2 + 𝑎3 𝑥3 = 0. 1.3.5.3. TRANSFORMAÇÕES PROJETIVAS Uma transformação projetiva 𝑇: ℝℙ 𝑛 → ℝℙ 𝑛 deve transformar pontos doespaço projetivo, portanto do ponto de vista euclidiano, 𝑇 deve transformar umareta pela origem de ℝ 𝑛 +1 noutra reta que também passa pela origem. Sendoassim, concluímos que 𝑇 deve ser uma transformação linear invertível 𝑇: ℝ 𝑛 +1 →ℝ 𝑛 +1 , do espaço euclidiano ℝ 𝑛 +1 . Daí decorre que uma transformação projetiva ℝℙ 𝑛 preserva os elementoslineares do espaço projetivo e, além disso, é representada por uma matriz (deordem 𝑛 + 1). Observe que se 𝑇: ℝℙ 𝑛 → ℝℙ 𝑛 é uma transformação projetiva e 𝜆 ∈ ℝ, 𝜆 ≠0, então usando a linearidade de 𝑇 temos 𝜆𝑇 𝑃 = 𝑇 𝜆𝑃 = 𝑇(𝑃). Ou seja, umatransformação projetiva fica definida de forma a menos de um produto por umescalar não nulo. 1.3.5.4. ANATOMIA DE UMA TRANSFORMAÇÃO PROJETIVA PLANA O objetivo dessa seção é de fornecer e compreender a anatomia dessatransformação. Uma transformação projetiva T: ℝℙ2 → ℝℙ2 do plano projetivo é dada poruma transformação linear invertível T: ℝ3 → ℝ3 . Portanto ele é representado poruma matriz M de ordem 3 invertível. A importância do estudo da anatomia, isto é,de sua compreensão se evidência nas aplicações realizadas no capítulo 3 e 5.Essa seção está baseada no capítulo de Geometria do livro Introdução àComputação Gráfica de Jonas Gomes e Luiz Velho (Gomes & Velho, 2003). Para isso, considere a matriz M da transformação abaixo dividida em 4blocos,
  • 35. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 24 a c | t1 b d | t2 A T 𝑀= = , − − | − P S p1 p2 | sonde a c t A= , P = p1 p2 , T = 1 e S = s . b d t2 Suponha que 0 P= 0 0 T= ,e S = 1 . 0 Ou seja, a matriz da transformação é dada por 𝑎 𝑐 0 𝑏 𝑑 0 . 0 0 1 Nesse caso, aplicando a transformação a um ponto do infinito (𝑥, 𝑦, 0),temos 𝑎 𝑐 0 𝑥 𝑎𝑥 + 𝑐𝑦 𝑏 𝑑 0 𝑦 = 𝑏𝑥 + 𝑑𝑦 . 0 0 1 0 0 Portanto o ponto resultante também é um ponto do infinito (dizemos que atransformação deixa a reta do infinito invariante). Por outro lado, se (𝑥, 𝑦, 1) é um ponto afim do plano projetivo, a suaimagem pela transformação é dada por 𝑎 𝑐 0 𝑥 𝑎𝑥 + 𝑐𝑦 𝑏 𝑑 0 𝑦 = 𝑏𝑥 + 𝑑𝑦 . 0 0 1 1 1 Isso mostra que o ponto resultante também é um ponto afim. Ou seja, oplano projetivo também é deixado invariante pela transformação. Além disso, nosdois casos acima as coordenadas afins do ponto transformado são dados por
  • 36. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 25 𝑎 𝑐 𝑥 𝑎𝑥 + 𝑐𝑦 𝑏 𝑑 𝑦 = 𝑏𝑥 + 𝑑𝑦 . Os resultados acima mostram que a transformação projetiva ésimplesmente uma transformação linear do plano euclidiano cuja matriz é o bloco 𝐴. Portanto o grupo das transformações projetivas do plano contém, de modonatural, o grupo das transformações lineares do plano euclidiano (e em particularo grupo dos movimentos rígidos da Geometria Euclidiana Plana). É fato de que o grupo das transformações projetivas contém o grupo dastransformações lineares do plano euclidiano. Com efeito, sabemos que a matriz 𝑎 𝑐 t1 𝑏 𝑑 t2 0 0 1representa uma transformação linear do plano seguida de uma translação (verseção de Geometria Afim). Para ver isso, considere as matrizes a seguir: 1 0 A= ,P = 0 0 ,e S = 1 . 0 1 Obtemos então 1 0 t1 x x + t1 M x, y, 1 = 0 1 t 2 y = y + t2 . 0 0 1 1 1 Portanto a ação da transformação no plano afim é a translação pelo vetor(t1 , t 2 ). O efeito do elemento 𝑠, que constitui o bloco 𝑆 da matriz, corresponde auma homotetia2 do plano afim de fator 1 𝑠 , 𝑠 ≠ 0. De fato,2 Homotetia significa ampliação ou redução das distâncias dos pontos de um espaço em relação aum ponto fixo. Uma homotetia é definida pelo seu centro O e pela razão k de homotetia e é aaplicação afim tal que a cada ponto P faz corresponder o ponto P tal que: OP′ = k . OP.
  • 37. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 26 1 0 0 x x x s 0 1 0 y = y = y s . 0 0 s 1 s 1 Dos casos estudados, podemos concluir que o grupo das transformaçõesprojetivas contém o grupo das transformações afins (e, portanto os movimentosrígidos da geometria Euclidiana). A T Analisemos agora o bloco 𝑃 da matriz 𝑀 = . Para isso, tomemos o P Sbloco 𝐴 como sendo a matriz identidade, o bloco 𝑇 nulo e 𝑠 = 1. Aplicando atransformação em um ponto afim com coordenadas (𝑥, 𝑦, 1), obtemos 1 0 0 x x 0 1 0 y = y . p1 p2 1 1 p1 x + p2 y + 1 Se 𝑝1 ≠ 0 ou 𝑝2 ≠ 0, a equação p1 x + p2 y + 1 = 0 possui uma infinidade desoluções. Isso mostra que pontos 𝑥, 𝑦, 1 , do plano afim, são transformados empontos do infinito (𝑥, 𝑦, 0) do plano projetivo. Por outro lado, aplicando a transformação a um ponto ideal (𝑥, 𝑦, 0), obtém-se: 𝑀 𝑥, 𝑦, 0 = 𝑥, 𝑦, p1 x + p2 y . Tomando na equação acima pontos (𝑥, 𝑦) de modo que 𝑝𝑥 + 𝑞𝑦 ≠ 0,concluímos que pontos do infinito do plano projetivo são transformados em pontosdo plano afim. Geometricamente, se um ponto ideal é transformado em um ponto 𝑃0 doplano afim, então a família de retas paralelas, que se intersectam nesse pontoideal, é transformada em uma família de retas incidentes no ponto 𝑃0 (Figura 10).O ponto 𝑃0 é chamado de ponto de fuga da transformação.
  • 38. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 27 𝑃0 Figura 10: Ponto ideal transformado em ponto real. Um ponto de fuga correspondendo a uma direção paralela a um dos eixoscoordenados de ℝ 𝑛 é chamado ponto de fuga principal. Como no plano afimexistem no máximo duas direções ortogonais, podem-se ter transformaçõesprojetivas com no máximo dois pontos de fuga principais. Cada um desses pontosde fuga é a imagem do ponto ideal que corresponde às direções (𝑥, 0,0) e (0, 𝑦, 0). A existência dos pontos de fuga é controlada pelos elementos 𝑝1 e 𝑝2 , namatriz 𝑀 da transformação projetiva. Se 𝑝1 ≠ 0 e 𝑝2 = 0, temos apenas um pontode fuga correspondente ao eixo-𝑥; se 𝑝1 = 0 e 𝑝2 ≠ 0, temos apenas um ponto defuga correspondente ao eixo-𝑦; se ambos 𝑝1 e 𝑝2 são não nulos temos doispontos de fuga principais. A Figura 11 mostra uma transformação projetiva de umretângulo com dois pontos de fuga. Note que a imagem do retângulo é umquadrilátero. Esse tipo de comportamento foi utilizado na aplicação descrita nocapitulo 5 para criar efeitos de deformação em objetos. 𝐶 𝐷 𝐶 𝐷 𝐵 𝐴 𝐵 𝐴 Figura 11: Transformação com dois pontos de fuga (D e B).
  • 39. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 28 Ao definir Geometria Projetiva, utilizamos como motivação a projeçãocônica de uma fotografia. Nas seções seguintes estaremos retornando essa linhade raciocínio para mostrar que as projeções são de fato transformaçõesprojetivas. 1.3.5.5. PROJEÇÃO PARALELA Dados os planos Π e Π′ do espaço projetivo, e uma reta 𝑟 não paralela anenhum deles, definimos uma projeção paralela 𝑇: Π → Π′ do seguinte modo:dado 𝑃 ∈ Π, seja 𝑠 a reta que passa pelo ponto 𝑃 e é paralela à reta 𝑟, então𝑇 𝑃 = 𝑠 ∩ Π′ (Figura 12). P′ P 𝑠 r Π′ Π Figura 12: Projeção paralela. Quando a reta 𝑠 é ortogonal ao plano Π′, a projeção é chamada deprojeção ortogonal. Não é difícil mostrar que a projeção paralela é umatransformação afim do plano Π no plano Π′. Na realidade, se os planos foremparalelos a projeção paralela define uma isometria entre eles. 1.3.5.6. PROJEÇÃO CÔNICA OU PERSPECTIVA Essa projeção que nos motivou ao estudo da Geometria Projetiva. Ela édefinida do seguinte modo: considere um ponto 𝑂 e dois planos projetivos Π e Π′no espaço projetivo ℝℙ3 (Figura 13). Para todo ponto 𝑃 ∈ Π, a reta projetiva 𝑂𝑃intersecta o plano Π′ em um ponto P′. Definimos 𝑇: Π → Π′, pondo T P = P′
  • 40. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 29conforme ilustrado na Figura 13. O ponto 𝑂 é chamado de centro de projeção. Asretas 𝑂𝑃 são chamadas de retas de projeção. P′ P 𝑂 𝑄 𝑄′ Π′ Π Figura 13: Projeção cônica Queremos mostrar que a projeção cônica 𝑇 é uma transformação projetiva.Para isso, tomemos uma transformação projetiva 𝐿 do espaço que transforma ocentro de projeção 𝑂 em um ponto do infinito do espaço projetivo. Todas as retas de projeção são transformadas por 𝐿 em retas paralelas.Portanto a transformação composta 𝐿𝜊𝑇 da projeção cônica 𝑇 com atransformação projetiva 𝐿 é uma projeção paralela 𝑇′ entre os planostransformados 𝐿(Π) e 𝐿(Π′ ). Segue-se daí que a projeção cônica é dada por𝑇 = 𝐿−1 𝜊𝑇′. Ou seja, ela é a composta de uma projeção paralela, que é afim, coma transformação projetiva 𝐿−1 , sendo pois uma transformação projetiva. As projeções são importantes em Computação Gráfica como modelos detransformações devido a transformação da câmera virtual. Como a imagem daprojeção é o plano Π′, ela pode ser pensada como uma transformação de ℝ3 emℝ2 , ou, mais precisamente, de ℝℙ3 em ℝℙ2 . Desse ponto de vista, a projeçãomais genérica possível é uma transformação projetiva 𝑇: ℝℙ3 → ℝℙ2 que, emcoordenadas homogêneas, é dada por
  • 41. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 30 𝑥1 𝑦1 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎14 𝑥2 𝑦2 = 𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎24 𝑥3 . 𝑦3 𝑎31 𝑎32 𝑎33 𝑎34 𝑥4 Temos 11 graus de liberdade para definir uma câmera virtual ou sintéticausando essa transformação, e diversos tipos de câmeras possíveis. Dentre elaspodemos citar: câmera de perspectiva (que usa a projeção cônica), câmera defuro (―pinhole camera‖), câmera afim (projeção paralela), câmera de perspectivafraca (―weak-perspective‖) e a câmera ortográfica. O estudo de câmeras não é o objeto principal desse texto e, portanto, nãoterá ênfase nesse texto, todavia uma prévia será feita na seção 1.4.4. 1.3.6. A GEOMETRIA DA COMPUTAÇÃO GRÁFICA Nas seções anteriores, definimos alguns conceitos para determinar qualseria a geometria mais adequada para a Computação Gráfica. Como vimos aGeometria Projetiva é a mais adequada porque tanto a Geometria Euclidianaquanto a Geometria Afim não possuíam estrutura geométrica ou Algébrica parasuportar algumas operações importantes para a Computação Gráfica. Na verdadeo espaço projetivo ainda tem suas limitações, principalmente do ponto de vistaalgébrico. Os aspectos computacionais da geometria não foram considerados nessecapítulo introdutório. Aspectos computacionais da Geometria Afim são tratados naGeometria Computacional e é um tópico de grande importância na ComputaçãoGráfica, todavia, ele não será tratado aqui, mas será utilizado em grande escalanas aplicações apresentadas nos capítulos 3 e 5.
  • 42. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 31 1.4. OUTRAS CONSIDERAÇÕES SOBRE COMPUTAÇÃO GRÁFICA 1.4.1. REPRESENTAÇÃO 3D Em geral, a forma de representação determina a estrutura de dados a serutilizada, o custo do processamento de um objeto através do pipeline devisualização 3D, a aparência final de um objeto e a facilidade para alterar a suaforma. Na literatura, encontramos geralmente quatro formas de representação, deacordo com a importância e freqüência de utilização: (1)malha de polígonos; (2)superfícies paramétricas; (3) Geometria Sólida Construtiva (CSG); (4)enumeração de ocupação espacial. As representações 1 e 4 consistem numaaproximação da forma do objeto que está sendo modelado. A 2 e a 3, por sua vez, são representações exatas. Por outro lado, a 1 e a 2representam apenas a superfície do objeto, sendo o volume inteiro representadopela 3 e pela 4. A forma mais comum de representar modelos 3D é através de uma malhade polígonos. Ou seja, define-se um conjunto de vértices no espaço (geometria) ecomo esses vértices devem ser ligados para formarem polígonos fechados,chamados de face (topologia), que podem ser triângulos ou quadrados. Oarmazenamento desse tipo de estrutura é usualmente realizado através devetores de estruturas, matrizes ou listas. Por exemplo, a Figura 14 apresenta alista de vértices e faces necessárias para desenhar uma casa simplificada.
  • 43. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 32 Vértices (geometria) Faces (topologia) 𝑣1 1 𝑥1 𝑦1 𝑧1 1 𝑣1 𝑣4 𝑣5 𝑣3 𝑣4 2 𝑥2 𝑦2 𝑧2 2 𝑣1 𝑣5 𝑣2 3 𝑥3 𝑦3 𝑧3 3 𝑣1 𝑣2 𝑣3 𝑣2 𝑣5 4 𝑥4 𝑦4 𝑧4 4 𝑣1 𝑣3 𝑣4 𝑣7 5 𝑥5 𝑦5 𝑧5 5 𝑣4 𝑣3 𝑣7 𝑣8 𝑣8 6 𝑥6 𝑦6 𝑧6 6 𝑣5 𝑣4 𝑣8 𝑣9 7 𝑥7 𝑦7 𝑧7 7 𝑣2 𝑣5 𝑣9 𝑣6 𝑣6 𝑣9 8 𝑥8 𝑦8 𝑧8 8 𝑣3 𝑣2 𝑣6 𝑣7 9 𝑥9 𝑦9 𝑧9 9 𝑣6 𝑣9 𝑣8 𝑣7 Figura 14: Exemplo de um objeto representado por uma malha de polígonos 1.4.2. SUPERFÍCIES PARAMÉTRICAS Superfícies paramétricas são usadas quando se necessita trabalhar comsuperfícies suaves na modelagem de objetos de forma livre (Free Form Objects).Neste caso, uma representação muito utilizada são os patches paramétricosbicúbicos, que permitem calcular as coordenadas de todos os pontos que formamuma superfície curva através da definição de 16 pontos de controle e da utilizaçãode três equações, uma para x, uma para y e uma para z. Cada equação possuiduas variáveis (ou parâmetros) e termos para todo domínio dos parâmetros até oseu cubo (daí as expressões bi e cúbico). Em outras palavras, o patch é uma superfície curva na qual cada um dospontos que a formam deve ser processado. Para isto, inicialmente devem serdefinidos 16 pontos 3D, chamados pontos de controle. Quatro destes pontos quedeterminam a forma do patch pertencem aos seus cantos. A partir daespecificação dos pontos de controle, são usadas três funções para calcular osvalores intermediários que, simplificadamente, são resultantes de umainterpolação. Através de parâmetros passados para as funções, é possíveldeterminar a quantidade de valores intermediários calculados. Além disso,sempre que um ponto de controle é alterado, os pontos que formam a superfíciedevem ser gerados novamente.
  • 44. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 33 1.4.3. VISUALIZAÇÃO CIENTÍFICA Visualização Científica (Scientific Visualization ou SciVis), está relacionadacom a exploração de dados e informação de modo a haver ganho decompreensão e percepção dos dados. O objetivo da Visualização Científica épromover um nível mais profundo de entendimento dos dados sob investigação,confiando na habilidade dos humanos de visualizar. Em muitos casos, asferramentas e técnicas de visualização têm sido usadas para analisar e mostrargrandes volumes de dados multidimensionais, freqüentemente variantes notempo, de modo a permitir ao usuário extrair características e resultados rápida efacilmente. A Figura 15 mostra uma SciVis, em isolinhas(vide comentários emConsiderações Finais), de uma barra trapezoidal com tensões na direção 𝑋. ASciVis foi gerada pelo software MEMEC que será objeto de estudo no Capítulo 5. Figura 15: Exemplo de SciVis gerada pelo software MEMEC 1.4.3.1. TÉCNICAS DA VISUALIZAÇÃO CIENTÍFICA Existem diversas técnicas aplicadas pela SciVis. Algumas são específicaspara tratar dados escalares, como temperatura, outras dados vetoriais, comodeslocamento, e outras ainda, tensoriais, como tensor de tensões.
  • 45. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 34 Entre as que operam com dados escalares, há os gráficos de funções,isolinhas e isosuperfícies, mapeamento de cores, renderização volumétrica,desenho de superfícies elevadas, entre outras. Algumas técnicas trabalham comdados dimensionais, enquanto outras trabalham com bi ou mesmotridimensionais. O mapeamento de cores, por exemplo, que consiste em associaruma gama de cores a uma variação do valor do dado, pode ser usado emanálises em duas ou três dimensões. Outras técnicas trabalham com dados vetoriais, como por exemplo, aslinhas e fitas de corrente, o uso de setas, e o desenho da posição das partículas.Essas técnicas trabalham geralmente em duas ou três dimensões. Não existem muitas técnicas eficientes para representar tensores. Amaioria delas usa glifos, ou ícones, para tentar representar os componentes dostensores. Entretanto, o que tem se mostrado mais eficiente, é a representaçãodos componentes dos tensores de forma separada, utilizando técnicas para dadosescalares. O mesmo pode ser feito com dados vetoriais. As diversas técnicas modernas de visualização nada mais são do quevariações das tradicionais. No entanto, as técnicas usadas precisam de algunscuidados para sua aplicação, e não apenas o uso simples dos algoritmos. 1.4.3.2. TOOLKITS DE VISUALIZAÇÃO CIENTÍFICA As diversas técnicas da SciVis foram freqüentemente desenvolvidas ereunidas em bibliotecas ou toolkits (pacotes) gráficos, como por exemplo, AVS,VTK, OpenDX, VisAD, IRIS Explorer. O AVS (Advanced Visual Systems), criado em 1989, é um dos pacotespara visualização de dados mais antigos. Ele permite a utilização tanto porprogramadores experientes quanto por usuários diretos, pois possui um ambientegráfico de desenvolvimento. Possui métodos de visualização para problemas emdiversos campos, incluindo ciências, administração, engenharia, medicina,telecomunicações e meio ambiente
  • 46. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 35 Outro pacote, ou biblioteca é o VisAD, constituído de uma série decomponentes para visualização interativa e colaborativa e análise numérica dedados. O nome VisAD é um acrônimo para Visualization for AlgorithmDevelopment (Visualização para Desenvolvimento de Algoritmo) (VISAD HomePage, 2007). Um pacote bastante utilizado é o Open Visualization Data Explorer(OpenDX). Ele é uma versão de código aberto do produto da IBM VisualizationData Explorer. Existe há vários anos, e possui um conjunto de ferramentas paramanipulação, transformação, processamento, renderização e animação de dados.Possui integrada uma interface gráfica orientada a objetos (IBM ResearchVisualization Data Explorer, 2005). O IRIS Explorer é uma ferramenta desenvolvida pelo NAG (NumericalAlgorithms Group) para desenvolvimento de aplicações de visualização. Possuium ambiente de desenvolvimento visual (NUMERICAL ALGORITHMS GROUP,2005). O Visualization ToolKit (VTK) é um sistema gratuito de código aberto paracomputação gráfica 3D, processamento de imagem e visualização muito usado.Ele consiste de uma biblioteca de classes na linguagem de programação C++, ealgumas camadas de interface incluindo Tcl/Tk, Java e Python. Com diversastécnicas, é influenciado pelo princípio da Orientação a Objetos (KITWARE, 2005). O VTK provê uma variedade de representações de dados incluindoconjuntos de pontos desorganizados, dados poligonais, imagens, volumes, etambém malhas estruturadas, retilíneas e não-estruturadas. Existem, ainda, diversos outros pacotes de SciVis. Alguns deles sãoespecíficos para determinadas áreas, enquanto outros são bastante genéricos.
  • 47. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 36 1.4.4. CÂMERA Um dos objetos mais importantes na construção de uma cenatridimensional é a câmera sintética, que possibilita a visão de qualquer outroobjeto. Portanto, pelo menos uma câmera precisa ser definida em cada cena. Uma câmera sintética pode ser caracterizada de diversas maneiras, comopor exemplo, como um ponto de visão e centro de interesse que define o centroda imagem da câmera. Outra idéia é associar o ponto de visão com uma direção.A Figura 16 mostra uma representação da projeção de uma imagem em uma tela2D, de acordo com a câmera. Figura 16: Projeção de Cena 3D em imagem 2D O movimento de câmera é o mais utilizado para representar o observadorem sistemas gráficos e de visualização. O posicionamento e a animação deobjetos se dão tanto pela alteração da posição do objeto em relação a um sistemade coordenadas global da cena, como pela alteração pura e simples da posiçãoda câmera. As projeções mais comuns, para a criação de uma imagem, são aperspectiva e a paralela.
  • 48. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 37 1.4.5. ILUMINAÇÃO E COR A maior parte do processo físico de iluminação pode ser simulado nocomputador. Entretanto, sua utilização na obtenção de imagens de alta qualidadeimplica em altos custos computacionais. A iluminação, de forma direta, não émuito importante em análises numéricas. Mas, de forma indireta, pelo efeito desombreamento ou tonalização, ela pode dar a impressão de tridimensionalidade,facilitando a análise de modelos 3D. A cor é de fundamental importância na aplicação realizada no capítulo 5. Aaplicação mais comum consiste em associar cores a valores de dados. Porexemplo, associar uma gama de cores, variando do vermelho ao azul, com osvalores de tensão em uma direção, da máxima tração à máxima compressão.Além dessa aplicação, a utilização de cores é item obrigatório em aplicações deComputação Gráfica O processo de calcular a iluminação para cada ponto de uma superfície édenominado tonalização (shading). Para superfícies coloridas, a intensidade decada componente da luz (vermelha, verde e azul, ou RGB), deve ser calculadaindividualmente. Isso porque, em Computação Gráfica, a maioria dos sistemasgráficos trabalha com o modelo de cores RGB, que é o mais próximo do hardwaregráfico, que trabalha com fósforo destas três cores. Esse modelo assume que acor de um pixel é determinada pela soma dos componentes vermelho, verde eazul da cor, sendo que a quantidade de cada componente é expressa no intervalo[0,1] ou [0,255]. 1.4.6. TEXTURA Objetos reais não são suficientemente caracterizados apenas por suageometria tridimensional, mas necessitam de informação adicional de suasuperfície. No caso mais simples, a superfície do objeto é coberta com uma corconstante. Como regra, as superfícies de objetos não são desestruturadas, maspossuem variação de cor dependente de posição, transparência, rugosidade, etambém geometria, que dão a característica de aparência de materiais. Essaspropriedades são sumarizadas no termo textura.
  • 49. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 38 O objetivo de simulação de texturas em Computação Gráfica é gerarimagens de textura num dispositivo visual final, que evoca uma sensação detextura similar à causada pela original. Em Computação Gráfica, além de representar objetos reais, as texturassão usadas para dar suporte a aplicações científicas, para percepção do espaço eforma de objetos tridimensionais, e como primitivas básicas de conjunto de dadosde visualização com parâmetros múltiplos. As texturas são tratadas comoparâmetros de aparência, como por exemplo, cor, rugosidade, reflexão e brilho.
  • 50. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 39Capítulo 2. Um problema na Educação Matemática A educação ainda está fortemente ligada à sala de aula e, infelizmente,muitas escolas ainda não têm se beneficiado pelas novas tecnologias dainformação e comunicação, visto que a capacitação docente enfrenta enormesdificuldades neste campo. Infelizmente recursos financeiros e humanos impossibilitam a implantaçãomaciça de TIC3s na educação para a melhoria de sua qualidade. No entanto, mesmo com algumas limitações existem profissionais dediversas áreas pesquisando e trabalhando para construir ambientesinformatizados que possibilitem ao educador uma gama de ferramentas em prolda melhoria do ensino de matemática Nesse capítulo é apresentado o Conjunto dos Números Complexos, sãoapresentados fatores históricos dos números complexos e os números complexoscomo objeto matemático, além de reflexões sobre o processo de ensino-aprendizagem sobre os números complexos. Esse capítulo é baseado nos textosde José Paulo (Carneiro, 2000) e, Marcos Alexandre Campos, Marlucio Barbosa eMarcelo Almeida Bairral (Campos, Barbosa, & Bairral, 2007). 2.1. ENSINO DOS NÚMEROS COMPLEXOS Analisando os livros didáticos que trazem o conteúdo dos númeroscomplexos, podemos observar que a maioria propõe a equação do 2º grau paraser resolvida, como por exemplo, x2 + 1 = 0, e dão como solução um número i talque i2 = -1. Essa maneira de abordar esses números dá-nos a impressão de quena Matemática, tudo surge da inspiração de algumas pessoas que ―inventam‖ osconceitos. Além disso, as equações do segundo grau não motivaram osurgimento dos complexos, uma vez que quando a resolução de uma equação do3 TIC – Tecnologia da Informação e Comunicação
  • 51. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 40segundo grau, proveniente de problema, apresentava um discriminante negativo,isso apenas indicava que tal problema não tinha solução (Rosa, 1998). Novos estudos vêm elaborando novas propostas para o ensino dosnúmeros complexos, dentre essas propostas, temos o ensino dos NúmerosComplexos através da geometria que será explicitada no Capítulo 3. 2.2. UMA REVISÃO HISTÓRICA DOS NÚMEROS COMPLEXOS 2.2.1. O Aparecimento do Número O conceito de número tem sido preocupação constante para matemáticos efilósofos, chegando a considerar-se que a complexidade de uma civilização sereflete na complexidade dos seus números. Embora a idéia de número sejaanterior à criação da palavra para designá-lo, pode dizer-se que odesenvolvimento da idéia caminhou a par com o da respectiva linguagem. Foiapós longa evolução que o Homem desenvolveu a técnica que consiste em fazercorresponder a cada elemento de um conjunto, um elemento de outro conjunto.Para os antigos Hindus a lua ou a terra representavam o número 1, as asas deum pássaro o número 2, as folhas de um trevo o número 3, as patas de um cão onúmero 4, os dedos da mão o números 5, o que reflete também a ligação dacriação de número com a própria Natureza. Segundo Bento de Jesus Caraça:―Esta operação de "fazer corresponder" (...) é, sem dúvida, uma das idéiasbasilares da matemática‖. A numeração impôs-se desde o momento em que o homem primitivoprecisou contar às peças que apanhava da caça e os filhos que tinha. Nasceassim o conceito de número natural (1, 2, 3,...). No conjunto dos números naturaispodem definir-se duas operações, soma e produto, mas não divisão ou subtração,que só teria solução nos casos em que o diminuendo fosse menor que o
  • 52. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 41diminuidor: não existe nenhum número natural que seja igual a 3 menos 5. Foipreciso criar outra classe de números que resolvesse este problema: os númerosinteiros (0, 1, -1, 2, -2,...). Observe que no conjunto dos números inteiros ficamincluídos os naturais. Mas no conjunto dos inteiros só é possível à divisão quandoo dividendo é múltiplo do divisor. Daí a necessidade de introduzir os númerosfracionários. A reunião de inteiros e fracionários forma o conjunto dos números 3racionais. Neste conjunto só não é possível à radiciação: 3e 2 são exemplosde raízes que não têm sentido nos números racionais. Aos números deste tipochamamos-lhes irracionais. Fica assim completo o campo dos números reais (aunião dos racionais com os irracionais). Só fica por resolver o caso das raízes deíndice par dos números negativos. Por isso há que introduzir a noção de númeroscomplexos. O digrama da Figura 17 representa os conjuntos numéricos com suasrelações de inclusão. Complexos Reais Racionais Inteiros Irracionais Naturais Figura 17: Diagrama dos Conjuntos Numéricos
  • 53. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 42 2.2.2. As primeiras reações às raízes quadradas de números negativos Aproximadamente em 850 DC Mahavira afirma: ―... como na natureza dascoisas um negativo não é um quadrado, ele não tem, portanto, raiz quadrada‖.Bhaskara (1114-1185 aprox.) afirma: ―O quadrado de um afirmativo [positivo] éum afirmativo; e a raiz quadrada de um afirmativo é dupla: positiva e negativa.Não há raiz quadrada de um negativo; pois ele não é um quadrado‖. O matemático Luca Paccioli (1445-1514) publica em 1494 que a equaçãox2 + c = bx é solúvel se b2/4  c e o francês Nicola Chuquet (1445-1500) fazobservações semelhantes sobre "soluções impossíveis" em publicação de 1484. Gerônimo Cardano (1501-1576) considerava que o aparecimento de raízesquadradas de números negativos na resolução de um problema indicava que omesmo não tinha solução. O primeiro exemplo de raiz quadrada de número negativo foi publicado,aproximadamente em 75 DC por Heron, num cálculo sobre o desenho de umapirâmide onde surge o número 81 − 144, que não provocando problemas demaior o trocou por 144 − 81. À volta do ano 275 DC Diophanto ao resolver um problema depara-se coma equação 24x2 - 172x + 336 = 0, cujo descriminante é negativo, não tendo assimraízes reais e portanto não vendo necessidade de dar sentido a −167. 2.2.3. O aparecimento das raízes quadradas de números negativos Não podemos esquecer que nesta altura (sécs. XVI e XVII) nem osirracionais nem os negativos tinham adquirido esta dignidade numérica. Qualquermatemático desta altura classificaria as equações do tipo x2 + 1 = 0 ou x2 – 2 = 0como absurdas, obviamente impossíveis, sem solução, não perderiam tempo comelas. Os números negativos e os números complexos apareceram mais ou menossimultaneamente.
  • 54. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 43 Um grande passo no estudo dos números complexos, z = a + bi, foi a suarepresentação visual. O dinamarquês Caspar Wessel, em 1797, foi o primeiro arepresentar geometricamente os números complexos, estabelecendo umacorrespondência bijetiva entre números complexos e pontos do plano, que, decerta forma, segue a linha da representação dos números reais numa reta. Esta representação de Wessel vai um pouco mais além da simplesrepresentação cartesiana, pois toma um eixo (regra geral o eixo das ordenadas)como o eixo onde se encontram todos os imaginários puros. Este trabalho deWessel foi votado ao esquecimento, por ter sido publicado em dinamarquês, e sóanos depois, à volta de 1806, agora publicado em francês por Jean RobertArgand que criava a mesma representação cuja glória, indevida, ficou ligada aoseu nome até aos nossos tempos. Ao homem de hoje as raízes quadradas de números negativos nãoprovocam nenhuma dificuldade de aceitação, ao contrário dos algebristas do séc.XVI que, sugestionados pelo aspecto, as consideravam como um artifício e algofora das possibilidades numéricas, e não lhes conferiam qualquer dignidadenumérica. Este modo de ver instalou-se de tal maneira no espírito dos algebristasque, já no séc. XVII, Descartes chamou imaginários a estes novos números. As raízes quadradas de números complexos aparecem na resolução decúbicas e não na resolução de equações de segundo grau tal como, por vezes,falaciosamente, se considera. É a obra de Cardano, Ars Magna, que despoleta oaparecimento dos números imaginários. Esta obra basicamente tratava, entresoutros assuntos, das resolventes da cúbica e da quártica. Consideremos oseguinte problema constante da Ars Magna "Determinar dois números cuja somaseja 10 e o produto seja 40.". A resolução deste problema levou Cardano aconsiderar as expressões 5 + −5 e 5 − −5 como soluções do problema e talcomo pensou "Pondo de lado a tortura mental envolvida" não lhes dandosignificado. A partir de um trabalho de Bombelli os números complexoscomeçaram a ser usados, apesar de se duvidar da sua existência. 2.2.4. A notação
  • 55. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 44 Em 1629 Albert Girard utiliza, efetivamente, o símbolo −1 quandoenuncia as relações entre raízes e coeficientes de uma equação. O símbolo 𝑖 foiusado pela primeira vez em 1794 por Leonard Euler para representar −1,tornando-se aceite após o seu uso por Gauss em 1801. Os termos real e imaginário foram empregues pela primeira vez em 1637por René Descartes; a expressão número complexo foi introduzida por Gauss em1832. 2.3. A IMPORTÂNCIA DA INFORMÁTICA NO ENSINO DA MATEMÁTICA Os computadores são instrumentos utilizados para diversos fins, desde ouso mais simples como as máquinas de calcular à uso mais complexos como abusca de solução para equações que levariam décadas ou até mesmo milêniospara serem resolvidas manualmente. Outra característica dos computadores é o de instrumento de lazer, de fácilmanipulação e de aprendizagem fácil e prazerosa. Nesse sentido, o uso decomputadores no ensino de matemática busca motivar o aluno, retirando deleatividades repetitivas que demandariam enorme tempo, fazendo com que assim oaluno tenha mais tempo disponível para se dedicar aos seus pensamentos eobservações de suas idéias através de modelos matemáticos prontos ou a seremgerados pelo aluno. 2.4. NÚMEROS COMPLEXOS: O OBJETO MATEMÁTICO Um número complexo é um par ordenado (𝑎; 𝑏) de números reais. Oconjunto ℂ dos números complexos coincide, portanto, com o conjunto ℝ2 detodos os pares ordenados de números reais e geometricamente, um complexopode ser visto como um ponto plano cartesiano. Por outro lado, existe uma
  • 56. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 45correspondência perfeita entre cada ponto 𝑃 do plano e o vetor definido pelosegmento orientado 𝑶𝑷, onde 𝑂 é a origem. Assim, identificamos: ponto 𝑷 =(𝑎; 𝑏), número complexo (𝑎; 𝑏), e vetor 𝑶𝑷 = (𝑎; 𝑏). Comumente representa-seum elemento do conjunto ℂ na forma 𝑎 + 𝑏𝑖, onde 𝑎 e 𝑏 são reais, por ora, pode-se pensar em 𝑎 + 𝑏𝑖 como (𝑎; 𝑏). Portanto, 𝑖 se identifica com o ponto (0; 1), oucom o vetor que vai da origem a (0; 1). O módulo, ou valor absoluto de um complexo, como para qualquer vetor noplano, é sua distância à origem, isto é: se 𝒛 = (𝑥; 𝑦), então |𝑧| = 𝑥2 + 𝑦2.Veremos, no capítulo 3, através do software i-Complex como é fácil verificar omódulo de um número complexo. 2.4.1. Adição A adição de complexos é a adição usual de vetores no plano, ou seja: pordefinição, (𝑎; 𝑏) + (𝑐; 𝑑) = (𝑎 + 𝑐; 𝑏 + 𝑑). Observemos que geometricamente, esta adição traduz a chamada ―regrado paralelogramo‖. Em outros termos, se a for um complexo fixo, a transformaçãodo plano em sim mesmo que a cada complexo (ponto) 𝒛 associa o complexo(ponto) 𝒂 + 𝒛 é a translação definida pelo vetor (ou ponto, ou complexo) 𝒂. Comoserá observado, no capitulo 3, o i-Complex utiliza a translação para somar doisnúmeros complexos quaisquer. 2.4.2. Multiplicação de um real por um complexo Se 𝑟 ∈ ℝ e z = a; b ∈ ℂ, então se define: 𝑟𝒛 = (𝑟𝑎, 𝑟𝑏). O complexo 𝑟𝒛 é transformado de 𝒛 pela homotetia4 de centro na origem erazão (ou fator) 𝑟.4 Homotetia significa ampliação ou redução das distâncias dos pontos de um espaço em relação aum ponto fixo. Uma homotetia é definida pelo seu centro 𝑂 e pela razão k de homotetia e é aaplicação afim tal que a cada ponto 𝑷 faz corresponder o ponto 𝑷′ tal que: 𝐎𝐏′ = k . 𝐎𝐏.
  • 57. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 46 2.4.3. Unitários, Argumento, Forma Trigonométrica Sendo 𝒛 um complexo não nulo (isto é, diferente de (0; 0)), o complexo𝒛 / |𝑧| têm módulo 1. Se pensado como vetor, 𝒛 / |𝑧| tem a mesma direção esentido que 𝒛. Se pensado como ponto, está na semi-reta de origem (0; 0) e quecontém 𝒛. Qualquer complexo de módulo 1 é chamado unitário. Dado um complexonão nulo 𝒛, o complexo 𝒛 / |𝑧| é o unitário de 𝒛. Todo complexo unitário pertence ao circulo de centro na origem e raio 1, e,portanto é da forma (cos 𝜃; 𝑠𝑒𝑛 𝜃). A este ângulo 𝜃 se chama um argumento de 𝒛.Qualquer outro ângulo da forma 𝜃 + 2𝑘𝜋 (em radianos) é também um argumentodo mesmo 𝒛. 𝒛 Para todo complexo não nulo 𝒛, pode-se, portanto escrever: = |𝑧|(cos 𝜃 ; 𝑠𝑒𝑛 𝜃) ou 𝒛 = 𝑧 (cos 𝜃; 𝑠𝑒𝑛 𝜃) = ( 𝑧 cos 𝜃 ; 𝑧 𝑠𝑒𝑛 𝜃), onde 𝜃 é umargumento de 𝒛. Cada uma destas expressões é chamada forma trigonométricaou forma polar do número complexo 𝒛. 2.4.4. Multiplicação de complexos Cada complexo unitário (cos 𝜃; 𝑠𝑒𝑛 𝜃) define uma rotação de centro naorigem, de amplitude α. Por definição, multiplicar dois complexos unitáriosequivale a compor as rotações que eles definem isto é somar seus ângulos.Portanto, o produto de dois complexos unitários é um novo complexo unitário cujoargumento é a soma dos argumentos dos dois fatores:(cos 𝛼; 𝑠𝑒𝑛 𝛼) ∙ (cos 𝛽; 𝑠𝑒𝑛 𝛽) = (cos 𝛼 + 𝛽 ; 𝑠𝑒𝑛(𝛼 + 𝛽)) = (cos 𝛼 cos 𝛽 −𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑠𝑒𝑛 𝛽; 𝑠𝑒𝑛 𝛼 cos 𝛽 + cos 𝛼 𝑠𝑒𝑛 𝛽) . Em termos algébricos, a definição de produto de complexos unitáriosequivale, portanto, à fórmula: (𝑎; 𝑏) ∙ (𝑐; 𝑑) = (𝑎𝑐 – 𝑏𝑑; 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐).
  • 58. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 47 Por outro lado, o produto de dois números complexos não nulos quaisquer𝒛 𝑒 𝒘 se obtém, por definição, multiplicando seus módulos e seus unitários. Assim,o módulo do produto 𝒛𝒘 é o produto dos módulos de cada fator, e o unitário doproduto 𝒛𝒘 é o produto dos unitários dos fatores 𝒛 e 𝒘. Sendo então 𝒛 = 𝑧 (cos 𝛼; 𝑠𝑒𝑛 𝛼) e 𝒘 = 𝑤 (cos 𝛽; 𝑠𝑒𝑛 𝛽), tem-se, por definição:𝒛𝒘 = 𝑧𝑤 . 𝑢𝑛𝑖𝑡á𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝒛𝒘 = 𝑧 𝑤. 𝑢𝑛𝑖𝑡á𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝒛 . 𝑢𝑛𝑖𝑡á𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝒘 = 𝑧 𝑤 (cos 𝛼; 𝑠𝑒𝑛 𝛼) . (cos 𝛽; 𝑠𝑒𝑛 𝛽) = 𝑧 𝑤 (cos 𝛼 + 𝛽 ; 𝑠𝑒𝑛 (𝛼 + 𝛽)) . Em palavras: o modulo do produto é o produto dos módulos dos fatores, eum argumento do produto é a soma dos argumentos dos fatores. Em termos algébricos, se 𝒛 = (𝑎; 𝑏) e 𝒘 = (𝑐; 𝑑), teremos: 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑎𝑐 − 𝑏𝑑 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 𝒛𝒘 = 𝑧 𝑤 ; . ; = 𝑧 𝑤 ; = (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑; 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐) 𝑧 𝑧 |𝑤 𝑤 𝑧 𝑤 𝑧 𝑤 Esta expressão, válida inicialmente para unitários, vale também paraquaisquer complexos não nulos. Por isto, vamos torná-la como definição geral doproduto de dois complexos (inclusive se um deles for nulo, ou ambos o forem): Definição: O produto de dois complexos quaisquer é definido por: 𝑎; 𝑏 . 𝑐; 𝑑 = (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑; 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐). Pode-se verificar algebricamente que a multiplicação de complexos écomutativa, associativa e distributiva em relação à adição. O fato de que amultiplicação de complexos não nulos equivale a multiplicar os módulos e somaros argumentos dos fatores, sugere que (1; 0), que tem módulo 1 e argumentozero, seja o elemento neutro para a multiplicação. E de fato, isto pode serverificado pela definição geral. 2.4.5. Conjugado, inverso e quociente Sendo 𝒛 = (𝑎; 𝑏), o complexo 𝐳 = (a; −b) se chama o conjugado de(𝑎; 𝑏). Geometricamente 𝐳 é o simétrico de 𝒛 em relação ao eixo 𝑋.
  • 59. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 48 É imediato verificar que |z| = |z| e que se 𝜃 for um argumento de 𝒛, então𝜃 é um argumento de 𝐳. O complexo nulo (0; 0) não tem inverso multiplicativo, já que seu produtopor qualquer outro complexo dá (0; 0), não podendo dar (1; 0). Se, porém, 𝒛 forum complexo não nulo, com argumento 𝜃, e 𝒘 o complexo que tem módulo 1/|𝑧|e argumento – 𝜃, é claro que 𝒛𝒘 tem um argumento 1 e argumento zero, ou seja,𝒛𝒘 = (1; 0) e, portanto, 𝒘 é o inverso de 𝒛 para a multiplicação. Chamaremos𝒘 = 1/𝒛. Pelo exposto, |𝑧|2 𝒘 tem módulo |z| e argumento – 𝜃, ou seja, é o 1 𝐳conjugado de 𝒛. Logo: = . De um modo geral, a inversão em relação a uma 𝐳 z2circunferência 𝐾 de centro 𝑂 é a transformação que a cada ponto 𝑃 (distinto de 𝑂)associa o ponto 𝑷’ situado na semi-reta 𝑂𝑃 tal que |𝑂𝑃′ | = |𝑂𝑃 | = 𝑅 2 , onde 𝑅 é oraio de 𝐾. Portanto, no plano complexo, a inversão em relação à circunferênciaunitária (de centro na origem e raio 1) transforma o complexo não nulo 𝒛 em 1 𝒛,ou seja, transforma 𝒛 em 1 𝒛. 𝐳 O quociente de complexos (sendo 𝒛 ≠ 0) é definido como o produto de 𝒛 𝐰 𝐳 𝐳𝐰pelo inverso de 𝒘. Portanto, = |w|2 . 𝐰 2.4.6. Os complexos como extensão dos reais e o número i No conjunto ℂ dos números complexos, já definimos as operações deadição e multiplicação, de acordo com as regras: (a; b) + (c; d) = (a + b; b +d) e (a; b) . (c; d) = (ac – bd; ad + bc). Pode-se verificar que estas operaçõespossuem as seguintes propriedades: são associativas e comutativas; amultiplicação é distributiva em relação à adição; (0; 0) é neutro para a adição,(1; 0) é neutro para a multiplicação; todo complexo 𝒛 = (𝑎; 𝑏) tem simétrico– 𝒛 = (−𝑎; −𝑏) para a adição e, se for não nulo, tem inverso para a multiplicação1 𝒛 = 𝒛 |𝑧|2 . Matematicamente, dizemos que ℂ munido das operações de adiçãoe multiplicação, isto é, (ℂ, +,∙) é um corpo (para mais detalhes sobre corpo veja(Domingues & Iezzi, 2003)).
  • 60. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 49 Se considerarmos agora os complexos situados no eixo 𝑋, isto é, os daforma (𝑥; 0), pelas definições das operações, temos: 𝑎; 0 + 𝑏; 0 = 𝑎 + 𝑏; 0 +0 = (𝑎 + 𝑏; 0) e 𝑎; 0 . 𝑏; 0 = 𝑎𝑏 − 0; 0𝑎 + 0𝑏 = (𝑎𝑏; 0). Daí se vê que: (i) o eixo 𝑋 é fechado para as operações de adição emultiplicação de complexos; (ii) os neutros (0; 0) e (1; 0) pertencem ao eixo 𝑋; (iii)o simétrico (-a; 0) do complexo (a; 0) do eixo 𝑋 continua pertencendo ao eixo 𝑋;(iv) o inverso 1 𝑎;0 do complexo não nulo (𝑎; 0) do eixo 𝑋 continuapertencendo ao eixo 𝑋. Ou seja, o eixo 𝑋 é um subcorpo de ℂ. Além disto, se 𝑓: 𝑋 → ℝ for a função definida por 𝑓 𝑎; 0 = 𝑎, então 𝑓 éuma bijeção de 𝑋 sobre ℝ tal que: 𝑓 𝑧 + 𝑤 = 𝑓 𝑧 + 𝑓(𝑤) e 𝑓 𝑧𝑤 = 𝑓 𝑧 𝑓(𝑤),ou seja, 𝑓 é um isomorfismo do corpo 𝑋 sobre o corpo ℝ. Ou ainda: 𝑋 e ℝ sãoisomorfos através da correspondência a; 0 ↔ a. Isto significa que o eixo 𝑋 é,algebricamente, uma cópia perfeita do corpo dos reais, por isto mesmo chamadade eixo real. Em vez de dizer ―ℂ contém uma cópia perfeita de ℝ‖, diz-se, porabuso de linguagem: ℂ contém ℝ, isto é, põe-se a cópia no lugar do original. Comisto, identificamos o eixo 𝑋 com ℝ e, conseqüentemente, de agora em diante, ocomplexo (𝑎; 0) passa a ser identificado com o real a. Com a identificação (a; 0) = a, obtém-se, em particular, (0; 0 ) = 0 e(1; 0) = 1, ou seja, os neutros da adição e da multiplicação de complexos são,felizmente os mesmos dos reais. O número 𝑖 é definido como: 𝑖 = (0; 1), ou seja, é o complexo de módulo 1e argumento 𝜋/2. Portanto, multiplicar um complexo por 𝑖 significa girá-lo de umângulo reto (positivo). Em particular, 𝑖 2 tem módulo 1 e argumento 𝜋, isto é:𝑖 2 = −1; 0 = −1, como também pode ser verificado diretamente pela definiçãoda multiplicação. Por outro lado, para qualquer complexo 𝑎; 𝑏 = 𝑎; 0 + 0; 𝑏 =𝑎 1; 0 + 𝑏 0; 1 = 𝑎 + 𝑏𝑖. Aqui recuperamos aquilo que às vezes é tomado como definição denúmero complexo: todo número complexo (𝑎; 𝑏) pode ser escrito como 𝑎; 𝑏 =
  • 61. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 50𝑎 + 𝑏𝑖, onde 𝑖 2 = −1. Esta é a chamada forma algébrica do número complexo (a;b), muito útil para deduzir e utilizar diversas propriedades do corpo doscomplexos. Por razões históricas, usam-se os seguintes nomes: eixo 𝑋 = eixo real; eixo𝑌 = eixo imaginário; a = 𝑅𝑒(a + bi) = parte real do complexo 𝑎 + 𝑏𝑖; b = parteimaginária do complexo 𝑎 + 𝑏𝑖. Um complexo da forma 𝑏𝑖 (onde 𝑏 ∈ ℝ) é dito―imaginário puro‖.
  • 62. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 51Capítulo 3. Computação Gráfica na Educação Como vimos no capítulo 2, os Números Complexos possuem um grandeapelo geométrico. Todavia essa característica não explorada, na maioria dasvezes, no processo de ensino dos Números Complexos. O conjunto dos números complexos possui destaque na 3ª série do EnsinoMédio e, a sua abordagem, na maioria das vezes, é de caráter puramentealgébrico. Diante desse quadro, uma nova proposta educacional para os NúmerosComplexos está sendo desenvolvida no GEPETICEM5. Essa proposta constitui nodesenvolvimento de um software de geometria que se baseia no comportamentogeométrico dos Números Complexos. O i-Complex é um software de Geometria que possibilita ao aluno dedicar-se aos seus pensamentos e observações de suas idéias através de modelosmatemáticos prontos ou a serem gerados por ele, no contexto dos NúmerosComplexos. O i-Complex está sendo desenvolvido por Marlucio Barbosa e Marcos A.Campos sobre a orientação do Prof. Marcelo A. Bairral. Na sua versão atual (2.1)é possível visualizar a representação geométrica das raízes complexas, dosconceitos de rotação, preservação de ângulo e módulo, soma, subtração,multiplicação e da representação de um número complexo no Plano Argand-Gauss. O uso do i-Complex no ensino de números complexos para alunos doensino médio tem-se mostrado bastante promissor, uma vez que, o uso dosoftware não está condicionado, a priori, a uma construção algébrica da teoria dosnúmeros complexos. Na manipulação do software, os alunos conseguem5 Grupo de Estudos e Pesquisas das Tecnologias da Informação e Comunicação em EducaçãoMatemática
  • 63. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 52determinar o comportamento geométrico de determinadas operações quepoderão ser enriquecidas, posteriormente, através de uma abordagem teórica.(Barbosa, Campos, & Bairral, 2007) Por outro lado, o uso do i-Complex com alunos que já possuemconhecimento sobre a teoria dos números complexos faz com que os alunospercebam fatos que antes passaram despercebidos devido a uma ênfaseexcessiva em definições e cálculos, tornando assim, o processo de ensino-aprendizagem mais completo e construtivo. Nesse sentido, o i-Complex visadinamizar a conceituação de um Número Complexo baseando-se no pensamentode que o uso de computadores tornar-se-á o processo de ensino-aprendizagem,dos números complexos, mais lúdico e dinâmico. (Barbosa, Campos, & Bairral,2007) Nas próximas seções estaremos mostrando o i-Complex do ponto de vistada Educação Matemática como também da Computação Gráfica. 3.1. I-COMPLEX O i-Complex (Figura 18) é desenvolvido na linguagem C++ e utiliza da APIOpenGL para geração de representações gráficas. Diversas bibliotecasgráficas(VTK, VisAD, JAVA3D, GLUT) e linguagens (JAVA, C, TCL) foramtestadas antes da escolha da Linguagem C++ e da OpenGL em sua forma nativa,todavia a escolha se deve ao fato de ser necessário gráficos que fossem geradosdinamicamente de forma eficiente e bem elaborada e, também, visando aportabilidade da aplicação. O i-Complex possui compilações para os sistemas operacionais MicrosoftWindows XP (e posteriores) e para MAC OS. Uma versão para web está emdesenvolvimento para possibilitar o uso do i-Complex integrado a plataformas deEAD6.6 Educação à Distância
  • 64. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 53 Figura 18: Tela de abertura do i-Complex 2.1 3.1.1. Introdução ao i-Complex Na Figura 19, vemos o ambiente de trabalho do i-Complex. O layout do i-Complex é bastante simples, objetivando que usuários com poucosconhecimentos de informática possam utilizá-lo sem dificuldades. Todas as operações no i-Complex se iniciam definindo um ComplexoInicial. Um Complexo Inicial é o objeto que sofrerá todas as transformações deacordo com as operações que o usuário definir. Para definir o Complexo Inicial,coloca-se a parte real do Número Complexo na entrada R e a parte imaginária naentrada I de Número complexo Inicial e clica-se no botão Definir Complexo Inicial.Após definir o Complexo Inicial, é necessário definir o Complexo para operação.Para definir o Complexo para operação procedesse da mesma forma que paradefinir o Complexo Inicial. Após definir o complexo pra operação escolhe-se o tipode operação (multiplicar por 𝑖, somar, subtrair, multiplicar, raiz). O i-Complex fora estruturado assim, para que o educador pudessetrabalhar com os mais diversos elementos do Conjunto ℂ e, também para facilitar
  • 65. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 54a implementação do grupo de transformações sobre esse conjunto. Dentre astransformações implementadas temos: rotação, translação e escala. Figura 19: Ambiente de trabalho do i-Complex 3.1.2. Soma e Subtração no i-Complex Para ilustrar a soma no i-Complex, consideremos 𝒛 𝟏 e 𝒛 𝟐 𝜖 ℂ tal que𝒛 𝟏 = 5 + 2𝑖 e 𝒛 𝟐 = 1 + 4𝑖 e, tomemos a soma 𝐳 𝟏 + 𝐳 𝟐 (a) (b) Figura 20: Soma de números complexos
  • 66. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 55 Na Figura 20a, temos a definição de 𝐳 𝟏 = 5 + 2i como Complexo Inicial ena Figura 20b temos o resultado de 𝐳 𝟏 + 𝐳 𝟐 = 6 + 6i. O módulo de soma do i-Complex foi desenvolvido para que o aluno seambiente com o software e para a apresentação do Plano Argand-Gauss. Emtermos de Computação Gráfica, a operação de soma, no i-Complex, realiza umatransformação de translação sobre o objeto. No nosso exemplo, o objetotransformado é o ponto (ou vetor) 𝐳 𝟐 . De fato, dado o complexo 𝐳 𝟏 associa-se uma operação 𝑇1 𝒛 = 𝒛 + 𝐳 𝟏 , estaoperação claramente define uma translação no ponto 𝒛. Em particular, 𝐳 𝟏 + 𝐳 𝟐 éobtido transladando 𝐳 𝟐 de 𝐳 𝟏 , isto é, 𝐳 𝟏 + 𝐳 𝟐 é o transformado de 𝐳 𝟐 definido pelatransformação 𝑇1 . A subtração no i-Complex é realizada de forma semelhante à soma. A Figura 21, mostra o resultado de (5 + 2𝑖) − 1 + 4𝑖 . Figura 21: Resultado de (5 + 2𝑖) − 1 + 4𝑖 . Pode-se verificar visivelmente que a operação da soma e da subtração denúmeros complexos constitui a regra do paralelogramo. Portanto, o i-Complex
  • 67. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 56pode ser também utilizado para exercícios com soma e subtração de vetores doℝ2 e evidência que as operações geométricas no i-Complex são realizadasatravés de transformações de ℂ → ℝ2 . Ou ainda, se ℂ for tomado como o conjuntode pares ordenados, podemos considerar que as transformações realizadas no i-Complex são definidas de ℝ2 → ℝ2 . 3.1.3. Multiplicação de um complexo por um real Em termos de Computação Gráfica, a operação de multiplicar um complexopor um real constitui uma situação de homotetia como visto no capítulo 2. No i-Complex é realizada uma transformação de escala sobre o objeto. A transformação de escala consiste da alteração do tamanho do modelo. Afórmula de "escalamento" de um ponto é a seguinte: 𝑥𝑟 = 𝑥 𝑜 ∗ 𝐸𝑥 𝑦𝑟 = 𝑦𝑜 ∗ 𝐸 𝑦 Onde 𝐸 𝑥 e 𝐸 𝑦 são respectivamente os fatores de escala em relação aoseixos X e Y. Sobre a transformação de escala é importante ressaltar algumascaracterísticas:  a escala ocorre sempre em torno da origem do SRO7. Isto quer dizer que todo o ponto que estiver sobre a origem, no SRO, permanece nesta posição após a escala. Por outro lado, os pontos que não estão sobre a origem sofrem um deslocamento em relação a esta após a operação de escala. Este fato deve ser considerado na construção do modelo, pois pode causar translações indesejáveis quando da criação de instâncias;7 Sistema de Referência do Objeto – espaço de coordenadas adequado para a criação do objeto
  • 68. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 57  fatores de escala maiores do que 1 (um) aumentam o tamanho do modelo enquanto que fatores menores que 1 e maiores que 0 (zero) diminuem este tamanho. Fatores de escala negativos "invertem" o modelo em relação aos eixos coordenados. Tomemos o ponto (ou vetor) 𝐳 𝟏 = 3 + 2i definido na seção anterior e onúmero real 2. Sendo assim ao realizarmos a operação de multiplicação por umreal 𝐳 𝟏 ∙ 2 (Figura 22) no i-Complex, na verdade, estamos realizando umatransformação de escala sobre o objeto 𝐳 𝟏 onde a razão de homotetia, nessecaso, é 2. Em outras palavras, tomamos xo = 3 e yo = 2 e os fatores de escala Exe Ey são iguais a razão de homotetia, ou seja, Ex = Ey = 2. Para realizar a operação 𝐳 𝟏 ∙ 2 no i-Complex define-se 𝐳 𝟏 como ComplexoInicial e 2 + 0i como Complexo para Operação e executa-se a operação demultiplicar. Figura 22: Resultado de (3 + 2𝑖) ∙ 2 + 0𝑖 .
  • 69. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 58 3.1.4. Multiplicação por 𝑖 A operação de multiplicação por 𝑖 motivou a construção do software i-Complex. A operação de multiplicação por 𝑖 foi elaborada para a apresentação daunidade imaginária. Em termos de Computação Gráfica, a multiplicação por 𝑖 érealizada através de uma transformação de rotação. A transformação de rotação define a orientação do modelo no universo. A fórmula de rotação de um ponto (𝑥0 , 𝑦0 ) de um ângulo de 𝛼 é dada por: 𝑥 𝑟 ∶= 𝑥0 ∗ 𝑐𝑜𝑠 (𝛼) − 𝑦0 ∗ 𝑠𝑖𝑛 (𝛼) 𝑦 𝑟 ∶= 𝑦0 ∗ 𝑐𝑜𝑠 (𝛼) + 𝑥0 ∗ 𝑠𝑖𝑛 (𝛼) Nesta fórmula deve-se dar especial atenção ao fato de que a maioria daslinguagens possui funções trigonométricas operando em radianos. Da mesma forma que ocorre com a transformação de escala a rotaçãotambém se processa em torno da origem. Evidenciemos que a operação de multiplicação por i é realizada através de 𝜋uma rotação de 90° (ou 𝑟𝑎𝑑) no sentido anti-horário, como pode ser observado 2na Figura 23. Realizando operações no i-Complex, podemos verificar que multiplicar umnúmero complexo 𝒛 por 𝑖 2 é idêntico a multiplicar 𝒛 por −1. Isto é, podemosverificar a relação de 𝑖 2 = −1 e portanto 𝑖 = −1.
  • 70. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 59 Figura 23: Resultado de (5+5𝑖) ∙ 𝑖 3.1.5. Multiplicação A operação de multiplicação de números complexos fora definida na seção2.4.4. Conforme apresentado a multiplicação de dois números complexosconstitui em um novo número complexo que pode ser obtido pela soma dosargumentos e pelo produto dos módulos dos complexos envolvidos na operação.O objetivo do i-Complex ao realizar multiplicação de complexos é de evidenciaresse fato. Considere 𝒛 𝟏 = 3 + 3𝑖 e 𝒛 𝟐 = 0 + 2𝑖 e, tomemos o produto 𝒛 𝟏 ∙ 𝒛 𝟐 (Figura24). Podemos observar através do i-Complex que o módulo do novo complexo é oproduto dos módulos e que seu ângulo é a soma dos ângulos.
  • 71. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 60 Figura 24: Resultado de (3+3𝑖) ∙ (0 + 2𝑖) Para obter esse resultado, o i-Complex faz uso de uma composição detransformações. De fato, sejam 𝒛 e 𝒘 dois números complexos quaisquer não nulos. Paracalcular 𝒛𝒘, o i-Complex primeiro realiza uma transformação 𝑇1 (𝒛, 𝒘) que retornaum unitário. A transformação 𝑇1 rotaciona o unitário de 𝒛 pelo argumento dounitário de 𝒘. Em outras palavras, 𝑇1 resulta em um complexo 𝒓 = (𝑥 𝑟 , 𝑦 𝑟 )definido como se segue: 𝑥 𝑟 ∶= 𝑢𝑥 𝑧 ∗ 𝑐𝑜𝑠 (𝛼) − 𝑢𝑦 𝑧 ∗ 𝑠𝑖𝑛 (𝛼) 𝑦 𝑟 ∶= 𝑢𝑦 𝑧 ∗ 𝑐𝑜𝑠 𝛼 + 𝑢𝑥 𝑧 ∗ 𝑠𝑖𝑛 𝛼onde uxz e uyz são respectivamente a parte real e a parte imaginária do unitáriode z e α é o argumento de w. Posteriormente, a transformação T2 (z, w, r) realizauma transformação de escala sobre r.
  • 72. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 61 A transformação de escala T2 tem fatores de escala = Ex = Ey = z w e édefinida como T2 z, w, r = z| w|r. Sendo assim, a composta T2 ∘ T1 define oproduto complexo. Para ilustrar, tomemos 𝒛 𝟏 = 3 + 3𝑖 e 𝒛 𝟐 = 0 + 2𝑖. Então 𝑇1 𝒛 𝟏 , 𝒛 𝟐 = −0,8 +0,6𝑖. Tomemos agora T2 𝒛 𝟏 , 𝒛 𝟐 , 𝑇1 𝒛 𝟏 , 𝒛 𝟐 , isto é, T2 𝒛 𝟏 , 𝒛 𝟐 , 𝑇1 𝒛 𝟏 , 𝒛 𝟐 =|𝒛 𝟏 | ⋅ |𝒛 𝟐 | ⋅ 𝑇1 𝒛 𝟏 , 𝒛 𝟐 = 5 ⋅ 2 ⋅ −0,8 + 0,6𝑖 = −8 + 6𝑖. Com efeito, 𝒛 𝟏 𝒛 𝟐 = 3; 4 ⋅ 0; 2 = 3 ⋅ 0 − 4 ⋅ 2; 3 ⋅ 2 + 4 ⋅ 0 = (−8; 6), istoé 𝒛 𝟏 𝒛 𝟐 = −8 + 6𝑖. 3.1.6. Radiciação A álgebra demonstra-nos que qualquer polinômio de grau 𝑛 em ℂ tem 𝑛soluções. A equação 𝐱 n − 1 = 0 admite 1 como solução, e, se desenharmos noplano complexo um polígono regular com 𝑛 lados centrado na origem, com umvértice no ponto 1, os números complexos que correspondem aos demais vérticessão as soluções da equação 𝑥 𝑛 − 1 = 0, essas soluções são as raízes de índice 𝑛da unidade. Aos números que são solução da equação chamamos de númerosde Moivre. De um modo geral as soluções da equação 𝒙 𝑛 − 𝒘 = 0 onde 𝑛 é umnúmero natural e 𝒘 um número complexo dado, formam um polígono regular de 𝑛lados centrado na origem. Na Figura 25, podemos observar as 3 raízes da equação 𝒙3 − (3 + 4𝑖) = 0.Note que se ligarmos as raízes através de retas, obtemos um polígono comcentro na origem.
  • 73. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 62 Figura 25: Resultado as da equação 𝒙3 − (3 + 4𝑖) = 0 No i-Complex, as raízes são calculadas através da fórmula de Moivre. Istoé, seja z = ρ(cos θ + isen(θ)) as raízes índice n de z são dadas por: n θ 2kπ θ 2kπ zk = ρ cos + + i sen + , k ∈ {0,1,2, … , n − 1} n n n n Em termos de Computação Gráfica, após calcular z0 as demais raízes sãoobtidas através de 𝑛 − 2 rotações de z0 .
  • 74. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 63Capítulo 4. Um problema na Engenharia Civil Problemas na Engenharia geralmente são acompanhados por soluções,quando essas existem, com uma densa quantidade de dados numéricos. Dessaforma, nem sempre se tem uma fácil interpretação física do problema real atravésdos dados numéricos. A área de Visualização da Computação Gráfica é de grande valia nainterpretação visual de dados numéricos. Todavia, implementações de sistemasde Visualização não são nada triviais. Esse capítulo apresenta um problema na Engenharia Civil, problema esseque já fora trabalhado por André Bulcão (Bulcão, 1999) através do Método deElementos de Contorno. Esse problema será o objeto de estudo do Capítulo 5,onde apresentaremos um software para a interpretação visual dos resultadosobtidos por André Bulcão. Bulcão (Bulcão, 1999) apresenta em seu trabalho soluções analíticas paraproblemas no estudo de Tensões em Viga retangular de seção constante, Vigaretangular de altura variável e Barra trapezoidal. Nós iremos trabalhar em cima doproblema de Tensões em uma Viga retangular de seção constante. Todavia, osresultados apresentados no Capitulo 5 podem ser aplicados aos outros problemasque foram estudados por Bulcão. Ao estudar tensões em uma viga retangular de seção constanteanalisamos a distribuição de tensões em algumas seções ao longo de uma vigaretangular em balanço, sujeita a diversos tipos de carregamento. Os objetivosdesta análise são: a verificação da hipótese das seções planas permaneceremplanas após a flexão da viga, adotada em Resistência dos Materiais; acomparação dos perfis de tensões obtidos usando o Método dos Elementos deContorno e as soluções analíticas existentes via Resistência dos Materiais eTeoria da Elasticidade; e a comprovação, através dos perfis de tensõeslevantados para determinado caso, da validade do princípio de Saint-Venant.
  • 75. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 64 Este capítulo está estruturado da seguinte forma: Fundamentos daMecânica dos Sólidos, Critérios de Resistência, Teoria da Elasticidade, Introduçãoao Método dos Elementos de Contorno e a Apresentação do Problema. O texto baseia-se nos trabalhos de André Bulcão (Bulcão, 1999) e EdivaldoF. Fontes Junior, Marlucio Barbosa e Carlos Andres Reyna Vera-Tudela (FontesJr, Barbosa, & Vera-Tudela, 2007). 4.1. FUNDAMENTOS DA MECÂNICA DOS SÓLIDOS Nessa seção apresentamos alguns conceitos em mecânica dos sólidos.Esses conceitos são importantes para a compreensão das seções subseqüentes. 4.1.1. Tensão Tensão é a grandeza que define a intensidade e a direção das forçasinternas de um corpo, num ponto particular, agindo em determinado plano. 4.1.2. Deformação Deformação é uma razão que mede a variação de distância entre pontosde um corpo, ocasionada pela ação de esforços externos, entre duasconfigurações de equilíbrio. 4.1.3. Componentes de Tensão O estado de tensão em um cubo elementar é um diádico (tensor de 2 aordem). Então, apresenta 9 componentes, sendo que, por simetria, 3 delas sãoiguais, ficando, assim, reduzido a 6 componentes, como pode-se observar naFigura 26. Através da notação indicial, temos que 𝑆 𝑖𝑗 significa tensão no plano 𝑖 ena direção 𝑗.
  • 76. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 65 Figura 26: Cubo elementar de tensões 4.1.4. Forças de Volume Forças de Volume são forças continuamente distribuídas no interior dovolume de um corpo. Têm-se como exemplos: as forças gravitacionais,magnéticas e de inércia. 4.1.5. Forças de Superfície Forças de superfície são forças distribuídas sobre a superfície de umcorpo. Tem-se como exemplo a ação mecânica de um corpo sobre o outro. 4.1.6. Estado Plano de Tensão O cubo elementar de tensões não possui tensões em um determinadoplano coordenado. Assim, tem-se na representação matricial, as seguintescomponentes, como indicado abaixo: 𝑆 𝑥𝑥 𝑆 𝑥𝑦 0 𝑆= 𝑆 𝑦𝑥 𝑆 𝑦𝑦 0 (𝐸𝑞. 4.1 − 1) 0 0 0
  • 77. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 66 Na prática, para um problema estrutural ser enquadrado como um caso deEstado Plano de Tensões ele deve possuir: (1) Características de chapa(elemento estrutural que possui duas dimensões de mesma ordem, muito maioresdo que a terceira); (2) Carregamento situado no plano das maiores dimensões edistribuído de forma suave. 4.1.7. Estado Plano de Deformação O tensor das deformações não possui componentes em um determinadoplano, semelhante ao estado plano de tensão. Ressalta-se que a inexistência dedeformação em um determinado plano não implica necessariamente na ausênciade tensões neste plano. Têm-se a seguir alguns exemplos de problemas destetipo: um muro de arrimo com pressão lateral, um conduto de um túnel, um tubocilíndrico com pressão interna, etc. A representação mais simples deste caso é: 𝑆 𝑥𝑥 𝑆 𝑥𝑦 0 𝑆= 𝑆 𝑦𝑥 𝑆 𝑦𝑦 0 (𝐸𝑞. 4.1 − 2) 0 0 𝑆 𝑧𝑧 4.2. FUNDAMENTOS DA MECÂNICA DOS SÓLIDOS Os critérios de resistência têm por finalidade relacionar a resistência de ummaterial, levantada através de testes feitos para tal fim - principalmente, o teste detração, onde o corpo de prova é submetido a um estado uniaxial de tração, emque a carga é aplicada gradualmente e há tempo para o desenvolvimento dedeformações - com a resistência de uma peça, qualquer que seja o estado detensão ou a situação de carregamento a que ela esteja submetida. Existem vários critérios de resistência, sendo uns maisapropriados para os materiais dúcteis e outros para materiais frágeis. Dentre elesdestacam-se os seguintes: a) Teoria da Máxima Tensão Normal - indicado para materiais frágeis;
  • 78. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 67 b) Teoria da Tensão Cisalhante Máxima - indicado para materiais dúcteis; c) Teoria da Máxima Energia de Distorção - indicado para materiais dúcteis. Durante o curso desenvolvimento da aplicação descrita noCapítulo 5, utilizou-se a Teoria da Máxima Energia de Distorção para obter-se atensão equivalente ao estado de tensão da peça a ser analisada por diferentesmétodos de análise. 4.2.1. Teoria da Máxima Energia de Distorção É também conhecida por teoria da Máxima Energia de Cisalhamento eteoria de Von Mises-Hencky. É empregada para definir o início do escoamento ebaseia-se na observação de que os materiais dúcteis tensionadoshidrostaticamente (tração ou compressão iguais) possuem limites de escoamentomuito acima dos valores dados pelos testes de tração. Este fato pode ser explicado, pois o escoamento não é um simplesfenômeno de tração ou compressão, mas, ao contrário, está relacionado de algummodo a distorção do elemento tensionado. O princípio deste critério é considerara energia total de deformação e subtrair dela qualquer energia usada somentepara produzir uma variação de volume. Assim, a energia resultante será a queproduz a deformação angular responsável pelo início do escoamento. Relacionando-se então as equações de energia (Shigley, 1984), chega-seas seguintes equações abaixo, onde s’ é a tensão equivalente de Von Mises e sisão as tensões principais. Para o estado triaxial de tensões tem-se: S′ = 2 2 2 S1 + S2 + S3 − S1 S2 − S1 S3 − S2 S3 (𝐸𝑞. 4.2 − 1)
  • 79. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 68 Simplificando-se esta equação chega-se a uma outra para o estado biaxialde tensões, dada por: S′ = 2 2 2 S1 + S2 + S3 − S1 S2 (𝐸𝑞. 4.2 − 2) Substituindo-se as equações das tensões principais, em função dastensões nas direções dos eixos coordenados, para o estado biaxial, a tensãoequivalente de Von Mises é dada de acordo com a equação abaixo: S′ = 2 2 2 Sx + Sy − Sx Sy + 3Sxy (𝐸𝑞. 4.2 − 3) Então se prevê a falha por escoamento, por meio da teoria da máximaenergia de distorção, sempre que a tensão equivalente de Von Mises igualar-seao limite de escoamento do material, conforme a equação: 𝑆′ = 𝑆 𝑒 O coeficiente de segurança pode ser relacionado de acordo com aexpressão abaixo: 𝑆𝑒 𝑆′ = 𝑛 4.3. TEORIA DA ELASTICIDADE As análise feitas a partir da Teoria da Elasticidade fornecem informaçõesmais detalhadas e mais precisas a respeito do estado de tensão, deformação edistorção em qualquer ponto do corpo, do que a teoria simplificada da Resistênciados Materiais. Entretanto, é necessário lidar com equações e problemasmatemáticos muito mais complexos na Teoria da Elasticidade do que aquelesencontrados na Resistência dos Materiais.
  • 80. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 69 A Teoria da Elasticidade oferece excelentes resultados para analisar oestado de tensão e deformação na vizinhança de pequenos furos, entalhes ecortes em um corpo elástico. Obviamente, tais efeitos não podem ser tratadospela abordagem da Resistência dos Materiais. O estudo das concentrações detensões devido a furos ou outras irregularidades locais, é um aspecto importanteda Teoria da Elasticidade. A solução de um problema via Teoria da Elasticidade consiste emdeterminar componentes de tensões que satisfaçam às equações diferenciais doequilíbrio, tensões e deformações que satisfaçam às condições decompatibilidade, além das condições de contorno do problema. Como será visto,trata-se de uma questão de complexidade matemática considerável. 4.3.1. Equações de equilíbrio Um dos aspectos importantes desta teoria é levar em consideração avariação das tensões entre as faces de um elemento diferencial, separadas poruma distância infinitesimal. A Teoria da Elasticidade baseia-se em condições deequilíbrio deste elemento infinitesimal (Figura 27). Aplicando as Leis de Newtonchega-se às seguintes equações: ∂S11 ∂S21 + − f1 = 0 (Eq. 4.3.1 − 1) ∂x1 ∂x2 ∂S21 ∂S12 + − f2 = 0 (Eq. 4.3.1 − 2) ∂x2 ∂x1 Pode-se demonstrar, através da imposição do equilíbrio no somatório demomentos, que as tensões cisalhantes S21 são iguais a S12 .
  • 81. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 70 𝛛𝐒 𝟐𝟐 𝐒 𝟐𝟐 + 𝐝𝐱 𝟐 𝛛𝐱 𝟐 𝛛𝐒 𝟐𝟏 𝐒 𝟐𝟏 + 𝐝𝐱 𝟐 𝛛𝐱 𝟐 𝛛𝐒 𝟏𝟐 𝐟𝟐 𝐒 𝟏𝟐 + 𝐝𝐱 𝟏 𝐒 𝟏𝟏 𝛛𝐱 𝟏 𝝏𝑺 𝟏𝟏 𝐟𝟏 𝑺 𝟏𝟏 + 𝒅𝒙 𝟏 𝝏𝒙 𝟏 𝐒 𝟏𝟐 𝐒 𝟐𝟏 𝑺 𝟐𝟐 Figura 27: Representação do cubo elementar de tensões para o estado plano de tensões As equações de equilíbrio precisam ser satisfeitas em todos os pontos docorpo considerado. As componentes de tensão variam ao longo do volume docorpo e, quando chega-se ao contorno, as tensões precisam estar em equilíbriocom as forças externas. As forças externamente aplicadas podem ser vistascomo continuações das tensões internas determinadas pela Teoria daElasticidade. Em certos problemas, não se consegue satisfazer precisamente a todas ascondições de contorno fornecidas e, em alguns problemas, a solução obtidaindica a presença de pequenas forças adicionais, aplicadas nas fronteiras docorpo, além das forças realmente aplicadas. Entretanto, se estas forçasadicionais são equivalentes à zero no seu conjunto, sua presença não afetasignificantemente o perfil da distribuição de tensões, a não ser na vizinhançaimediata de seus pontos de aplicação. Esta idéia dá origem ao Princípio de Saint-Venant. 4.3.2. Equações de Compatibilidade
  • 82. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 71 No problema bidimensional é necessário resolver as equações diferenciaisde equilíbrio e sua solução precisa ser tal que satisfaça às condições de contornodo problema. Estas equações são obtidas pela aplicação das equações daestática e, contendo as três componentes 𝑆11 , 𝑆22 e 𝑆12 , não são suficientes parasua determinação, pois trata-se de um sistema estaticamente indeterminado.Para obter-se sua solução, a deformação elástica do sólido deve ser tambémconsiderada. Para problemas bidimensionais, têm-se três componentes de deformação,dadas por: 𝜕𝑢 𝜕𝑣 𝜕𝑢 𝜕𝑣 𝜀𝑥 = 𝜀𝑦 = 𝛾 𝑥𝑦 = + (𝐸𝑞. 4.3.2 − 1) 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑥 Estas três componentes de deformação são expressas por duas funções 𝑢e 𝑣; elas não podem ser tomadas de forma arbitrária, pois estão relacionadas deacordo com seis equações de derivadas parciais. Para o caso de estado plano,apenas uma delas permanece necessária, sendo dada a seguir: 𝜕2 𝜀 𝑥 𝜕2 𝜀 𝑦 𝜕 2 𝛾 𝑥𝑦 + = (𝐸𝑞. 4.3.2 − 2) 𝜕𝑦 2 𝜕𝑥 2 𝜕𝑥𝜕𝑦 Esta equação diferencial é denominada condição de compatibilidade,precisa ser satisfeita pelas componentes de deformação para assegurar aexistência das funções 𝑢 e 𝑣. Usando-se a lei de Hooke, esta equação pode sertransformada numa relação entre as componentes de tensão. 4.3.3. Função das Tensões de Airy Sabe-se que a solução de problemas bidimensionais, via Teoria daElasticidade, se reduz à integração das equações diferenciais de equilíbrio demodo a atender às equações de compatibilidade e às condições de contorno. Este problema de satisfazer as equações de equilíbrio e de compatibilidadepode ser simplificado introduzindo uma função, chamada função de Airy, definida
  • 83. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 72de tal maneira que o equilíbrio é automaticamente satisfeito, restando apenas ascondições de compatibilidade. Definindo-se duas funções 𝜓 e Δ tais que: 𝜕𝜓 𝜕𝜓 𝜕Δ 𝜕Δ 𝜎11 = 𝜎12 = − 𝑒 𝜎22 = 𝜎12 = − (𝐸𝑞. 4.3.3 − 1) 𝜕𝑥2 𝜕𝑥1 𝜕𝑥1 𝜕𝑥2 Daí, conclui-se que: 𝜕𝜓 𝜕Δ = (𝐸𝑞. 4.3.3 − 2) 𝜕𝑥1 𝜕𝑥2com base nesta última relação, adota-se uma função Φ, onde Φ é chamadafunção de tensão de Airy, tal que: 𝜕Φ 𝜕Φ =Δ =ψ (Eq. 4.3.3 − 2) 𝜕𝑥1 𝜕𝑥2daí, tira-se que: 𝜕2Φ 𝜕2Φ 𝜕2Φ 𝑆11 = 2 𝑆22 = 2 𝑆12 =− (𝐸𝑞. 4.3.3 − 3) 𝜕𝑥2 𝜕𝑥1 𝜕𝑥1 𝜕𝑥2substituindo-se estas expressões nas equações de equilíbrio, encontra-se achamada de equação biarmônica: 𝜕4Φ 𝜕4Φ 𝜕4Φ 4 +2 2 2+ 4 =0 (𝐸𝑞. 4.3.3 − 4) 𝜕𝑥1 𝜕𝑥1 𝜕𝑥2 𝜕𝑥2 4.3.4. Princípio de Saint-Venant Considere-se um certo número de sistemas estaticamente equivalentesque atuam sobre uma pequena parte da superfície de um corpo elástico. Ossistemas equivalentes têm mesma resultante e mesmo momento. O princípio deSaint-Venant afirma que, apesar de esses sistemas terem diferentes efeitoslocais, todos têm essencialmente o mesmo efeito sobre as distribuições de
  • 84. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 73tensões em pontos cuja distância é grande se comparada às dimensões dasuperfície onde as forças são aplicadas. A solução de qualquer problema via teoria da elasticidade é exata somentese as forças superficiais têm, efetivamente, a distribuição indicada pela soluçãopor ela proposta. Se as forças realmente aplicadas não tiverem essa distribuição,a solução pode ainda ser utilizada, mas para pontos afastados das vizinhançasimediatas dos pontos de aplicação das forças externas, devido ao princípio deSaint-Venant, acima anunciado. 4.4. INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO O Método dos Elementos de Contorno (MEC) é uma técnica numérica quetrata da obtenção de soluções aproximadas, com elevado grau de precisão, paraproblemas de campo vetorial ou escalar. O MEC é um método que compõe aclasse das denominadas técnicas de contorno, pois a discretização é feitasomente no contorno da geometria a ser modelada. A modalidade aquiempregada, denominada de formulação direta do MEC, emprega funções deponderação assemelhada com o tipo de problema examinado e tem comoparâmetros nodais as variáveis físicas do problema. Comparando-se o MEC em relação aos principais métodos numéricos,como o Método das Diferenças Finitas, das Características, dos Volumes Finitos eElementos Finitos (MEF), dentre as principais vantagens têm-se: menor entradade dados; análise de regiões infinitas; captação precisa dos efeitos deconcentração de tensões; simplicidade na elaboração de problemas com fronteiravariável; maior correção no cálculo de tensões e deformações; cálculo simultâneode tensões e deslocamentos. Como principais desvantagens: maiorcomplexidade matemática; menor versatilidade para solução de problemassetorialmente não-homogêneos; e, pequena difusão pela sua recentidade.
  • 85. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 74 A dedução da formulação do MEC para problemas elásticos pode ser feitade três formas, que evidentemente se equivalem: via equação de equilíbrio; viateorema de Betti (reciprocidade); e, via método dos resíduos ponderados. Éapresentada a seguir a dedução do MEC via equação de equilíbrio. Considere inicialmente um corpo elástico - de domínio  e contorno  - emestado de equilíbrio, sob a ação de cargas e deslocamentos prescritos. Aequação de equilíbrio desprezando-se a atuação das forças de campo, emnotação indicial, deste problema é: 𝑆 𝑖𝑗 ,𝑖 = 0 (𝐸𝑞. 4.4 − 1)onde 𝑆 𝑖𝑗 são as componentes de tensão. A formulação tradicional do MEC consiste em ponderar a equação anteriorpor uma função 𝑢∗ , com características especiais, a solução fundamental (que é asolução de um problema correlato, onde as forças de corpo são açõesconcentradas no domínio, atuando nas direções coordenadas), e integrá-la nodomínio  : (𝑆 𝑖𝑗 ,𝑖 )𝑢∗ 𝑑Ω 𝑗 (𝐸𝑞. 4.4 − 2) Ω Através da aplicação de integrações por partes, do teorema da divergênciana equação 4.4-2 e da estratégica transformação de 𝑢∗ para a forma diádica 𝑢∗ , 𝑗 𝑖𝑗chega-se assim, à seguinte expressão: 𝑢𝑖 𝜉 + 𝑢 𝑗 𝑝∗ 𝑑Γ = 𝑖𝑗 𝑝 𝑗 𝑢∗ 𝑑Γ 𝑖𝑗 (𝐸𝑞. 4.4 − 3) Γ Γonde: 𝑝 𝑖 - forças de superfícies; 𝑢 𝑖 - deslocamento na direção i;
  • 86. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 75  - ponto fonte. Transformou-se a equação 4.4-2, onde a incógnita é integrada em todo odomínio , para a equação 4.4-3, onde a incógnita é integrada somente nocontorno , o que justifica a denominação do método. Uma expressão mais genérica pode ser estabelecida levando-se emconsideração a posição relativa do ponto fonte  em relação ao contorno e aodomínio do problema. Deste modo a equação 4.4-3 transforma-se em: 𝐶 𝜉 𝑢𝑖 𝜉 + 𝑢 𝑗 𝑝∗ 𝑑Γ − 𝑖𝑗 𝑝 𝑗 𝑢∗ 𝑑Γ = 0 𝑖𝑗 (𝐸𝑞. 4.4 − 4) Γ Γonde 𝐶() para contornos suaves é dado de acordo com: 1, 𝑠𝑒 𝜉 ∈ Ω 1 𝐶 𝜉 = , 𝑠𝑒 𝜉 ∈ Γ 2 0, 𝑠𝑒 𝜉 ∉ Γ + Ω Obtida a equação integral, Equação 4.4-4, a etapa seguinte baseia-se naformulação do MEC como técnica numérica propriamente dita. Isto consiste nadiscretização desta equação integral e na formulação de um sistema matricialpreparado para sua posterior solução computacional. A discretização de uma geometria considera o contorno  composto porelementos distintos, sobre os quais são definidas variações para o deslocamentoe a tensão em função de valores em determinados pontos (denominados nós oupontos nodais). Estes pontos podem variar em sua quantidade e em seuposicionamento, dependendo do nível de refinamento desejado, da ordem deinterpolação, da geometria do elemento e de outros aspectos. Matematicamente, essas interpolações dos valores nodais sobre cadaelemento podem ser caracterizadas por: 𝑢 𝑖 = 𝑁 𝑢(𝑛) 𝑒 𝑝 𝑗 = 𝑁 𝑝(𝑛 )
  • 87. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 76onde 𝑁 contém as funções de interpolação e 𝑛 indica o ponto nodal ao longo doelemento 𝑖. Aplicando-se estas considerações na equação 4.4-4 e admitindo-se que ocontorno  tenha sido discretizado em 𝑀 elementos, chega-se à seguinteexpressão: 𝑀 𝑀 𝐶 𝜉 𝑢𝑖 𝜉 + 𝑝∗ 𝑖𝑗 𝑁 𝑑Γ 𝑢 (𝑛) − 𝑢∗ 𝑁 𝑑Γ 𝑝 (𝑛) − 𝑖𝑗 𝑓𝑖 𝑢∗ 𝑑Ω 𝑖𝑗 𝑗 =1 Γ𝑗 𝑗 =1 Γ𝑗 Γ =0 (𝐸𝑞. 4.4 − 5) Expandindo-se esta equação através da aplicação dos pontos  comosendo coincidentes com todos os pontos nodais, pode-se escrever matricialmenteo seguinte sistema de equações lineares: 𝐻 𝑢𝑖 = 𝐺 𝑝𝑗 (Eq. 4.4 − 6) Como em cada ponto do contorno encontra-se bem definido o valor dodeslocamento ui ou do vetor tensão 𝑝 𝑖 , pode-se rearranjar o sistema de equações2.4-6 para expressá-lo de uma forma mais simples, onde tem-se apenas um únicovetor de incógnitas (deslocamentos ou tensões). E finalmente, este sistema deequações pode ser resolvido através dos diversos métodos de resolução desistema de equações lineares. Para a determinação dos valores das incógnitas nos pontos internos aocontorno, aplica-se novamente a equação 4.4-4, considerando-os como pontofonte (). Destaca-se que agora já se encontram calculados os deslocamentos etensões em todo o contorno. Analisando-se o MEC sobre o enfoque do Método dos ResíduosPonderados, no cálculo dos valores para os pontos internos está sendo realizadauma nova ponderação dos resultados, razão pela qual estes resultadosapresentam uma maior precisão, se comparados aos valores obtidos para ocontorno da geometria.
  • 88. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 77 4.5. VIGA RETANGULAR DE SEÇÃO CONSTANTE André Bulcão (Bulcão, 1999) faz a análise da distribuição de tensões emalgumas seções ao longo de uma viga retangular em balanço, sujeita a diversostipos de carregamento. Essa seção reproduz as soluções analíticas presentes no trabalho deBulcão. Essas soluções analíticas servirão de base para a construção softwareMEMEC apresentado no Capítulo 5. A obtenção dos perfis de tensões foi feita através da aplicação do Métododos Elementos de Contorno na simulação de uma viga retangular em balanço,isto é, com um bordo da viga engastado. Adota-se a viga em balanço, pois setivesse sido admitida a viga bi apoiada, ter-se-iam problemas para discretizaçãoda região dos apoios, setor que apresentaria uma elevada concentração detensões, devido à característica pontual do apoio. 4.5.1. Viga de Seção Constante em Balanço Sujeita a uma Flexão Simples As equações da Resistência dos Materiais, que são apresentadas nestetópico, são válidas apenas para o problema de uma viga de seção constante embalanço sujeita a uma flexão simples, isto é, momento fletor e esforço cortantepresentes ao longo da viga. Tem-se que: 𝑀𝑦 3 𝑉 𝑦2 𝑆𝑥 = 𝑆 𝑥𝑦 = 1− 2 (𝐸𝑞. 4.5.1 − 1) 𝐼 2 𝐴 𝑐onde a expressão das tensões cisalhantes 𝑆 𝑥𝑦 já se encontra particularizada parao caso de a peça possuir uma seção reta retangular. Considerando o caso particular de uma viga retangular, em balanço,submetida a uma força resultante 𝑃 aplicada em sua extremidade livre, conformeFigura 28. As equações das tensões 𝑆 𝑥 e 𝑆 𝑥𝑦 para este caso são (Johnston Jr. &Beer, 1995):
  • 89. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 78 𝑃𝑥𝑦 3 𝑉 𝑦2 𝑆𝑥 = 𝑆 𝑥𝑦 = 1− 2 (𝐸𝑞. 4.5.1 − 2) 𝐼 2 𝐴 𝑐 Figura 28: Viga retangular em balanço. A teoria simplificada da Resistência dos Materiais apresenta tensões 𝑆 𝑦nulas ao longo da viga. Pode-se observar, de acordo com as equações expostas (Eqs. 4.5.1-2),que a expressão da tensão 𝑆 𝑥 é a equação de uma reta passando pelo centróideda seção, e que a expressão da tensão 𝑆 𝑥𝑦 é a equação de uma parábolacentrada na seção. O mesmo caso de uma viga em balanço possuindo uma seção transversalretangular delgada de largura unitária e fletida sob a ação de uma força 𝑃aplicada em sua extremidade livre, analisado via Teoria da Elasticidade(Timoshenko & Goodier, 1980), formula-se a partir do estabelecimento da funçãode Airy; 𝐴 Φ= 𝑥 ∙ 𝑦 3 + 𝐵𝑥 ∙ 𝑦 (𝐸𝑞. 4.5.1 − 3) 6tem-se, então, as seguintes equações para os perfis das tensões: 𝐴 2 𝑆 𝑥 = 𝐴𝑥 ∙ 𝑦 𝑆𝑦 = 0 𝑆 𝑥𝑦 = −𝐵 − ∙ 𝑦 (𝐸𝑞𝑠. 4.5.1 − 4) 2onde A e B são constantes definidas pelas condições de contorno do problema; aorientação dos eixos é dada de acordo com a Figura 29.
  • 90. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 79 Figura 29: Viga em balanço. Representação dos eixos coordenados. Os resultados das equações obtidas coincidem completamente com assoluções elementares encontradas via Resistência dos Materiais. Entretanto, aTeoria da Elasticidade garante uma distribuição de tensões compatíveis com asequações acima, aplicando-se o carregamento de acordo com a soluçãoproposta; para tal, aplica-se às tensões cisalhantes 𝑆 𝑥𝑦 com uma distribuiçãoparabólica. Se a distribuição das forças na extremidade não possuir uma distribuiçãoparabólica, como previsto nas equações, isto é, são distribuídas de outra forma,as equações apresentadas não são corretas; mas, em virtude do princípio deSaint-Venant, estas equações podem ser consideradas satisfatórias para seçõestransversais não muito próximas das extremidades da viga. 4.5.2. Viga em Balanço com um Carregamento Uniformemente Distribuído ao Longo de seu Comprimento São apresentadas as expressões das tensões, propostas pela Resistênciados Materiais, para o caso particular de uma viga em balanço com umcarregamento uniformemente distribuído ao longo de seu comprimento, de acordocom a Figura 30. Figura 30: Viga em balanço. Representação dos eixos coordenados.
  • 91. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 80 Levando-se em conta o referencial dos eixos coordenados adotado deacordo com a figura Figura 30, as equações para o esforço cortante e o momentofletor ao longo da viga tornam-se: 𝑞 𝑉= 𝑞 𝑙− 𝑥 𝑀= (𝑙 − 𝑥)2 (𝐸𝑞𝑠. 4.5.2 − 1) 2sendo 𝑙 o comprimento total da viga. Substituindo-se estas expressões nas equações gerais para o caso de umaviga em balanço sujeita a uma flexão simples (Eqs. 4.5.1-1), e organizando-as deforma adequada, chegam-se às seguintes equações, para este caso particular, deuma viga sob um carregamento uniformemente distribuído ao longo de seucomprimento: 𝑞 𝑞 𝑆 𝑥𝑦 = 𝑙− 𝑥 𝑐2 − 𝑦2 𝑆𝑥 = 𝑙− 𝑥 2 𝑦 (𝐸𝑞𝑠. 4.5.2 − 2) 2𝐼 2𝐼 Aplicando-se a expressão de 𝑆 𝑥𝑦 na equação de equilíbrio, (vide seção4.3.1, equação 4.3.1-2), e as condições de contorno para o problema, chega-se àseguinte equação para a tensão normal 𝑆 𝑦 : 𝑞 𝑦3 2𝑐 3 𝑆𝑦 = − + 𝑐2 𝑦 − (𝐸𝑞. 4.5.2 − 3) 2𝐼 3 3 Este mesmo caso de uma viga em balanço possuindo uma seçãotransversal retangular constante sujeita a um carregamento vertical distribuído aolongo de seu comprimento, sob o enfoque da Teoria da Elasticidade - segundoTimoshenko (mais detalhes em (Timoshenko & Goodier, 1980)) - as tensõesnuma seção transversal situada a uma considerável distância das extremidadespodem ser calculadas aproximadamente pelas seguintes expressões: 𝑀𝑦 𝑦3 3𝑦 𝑞 3𝑦 𝑦3 𝑆𝑥 = + 𝑞 3 − 𝑆𝑦 = − + 𝑞 − 3 𝐼 2𝑐 10𝑐 2 4𝑐 4𝑐 𝑄 2 𝑆 𝑥𝑦 = 𝑐 − 𝑦2 (𝐸𝑞𝑠. 4.5.2 − 4) 2𝐼
  • 92. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 81onde: 𝑀 e 𝑄 são o momento fletor e a força cortante calculados pelo métodousual e 𝑞 é a intensidade do carregamento distribuído na seção considerada. 4.5.3. Viga Retangular em Balanço Submetida a um Carregamento Linearmente Distribuído ao Longo de seu Comprimento Para o caso particular de uma viga retangular em balanço submetida a um carregamento linearmente distribuído ao longo de seu comprimento, como indicado na Figura 31, tem-se que, as equações para o esforço cortante e o momento fletor atuando em uma seção da viga são: 1 2 𝑞𝑥 3 𝑉= 𝑞𝑥 𝑀= (𝐸𝑞𝑠. 4.5.3 − 1) 2 6 Figura 31: Viga de seção constante sujeita a um carregamento uniformemente variável. Substituindo-se estas expressões (Eqs. 4.5.3-1) nas equações gerais parao caso de uma viga em balanço sujeita a uma flexão simples (Eq. 4.5.1-1) e,organizando-as de forma adequada, chegam-se as seguintes equações daResistência dos Materiais, para este caso particular: 𝑞𝑥 3 𝑦 3𝑞𝑥 2 2 𝑆𝑥 = 𝑆𝑦 = 𝑐 − 𝑦2 (𝐸𝑞𝑠. 4.5.3 − 2) 4𝑏𝑐 3 8𝑏𝑐 3 Adotando-se um procedimento semelhante ao realizado anteriormente paraa determinação da expressão para a tensão normal 𝑆 𝑦 , chega-se a seguinteequação: 3 𝑞𝑥 𝑦3 2 2𝑐 3 𝑆𝑦 = − − + 𝑐 𝑦+ (𝐸𝑞𝑠. 4.5.3 − 3) 4 𝑏𝑐 3 3 3
  • 93. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 82 O caso de uma viga engastada de seção constante sujeita a umcarregamento continuamente variável pode ser resolvido pela Teoria daElasticidade aumentando-se os graus dos polinômios, função de Airy, querepresentam soluções do problema bidimensional. Para o caso da viga sujeita aum carregamento triangular, como mostrado na Figura 31, chega-se a soluçãoconsiderando-se uma solução na forma de um polinômio do sexto grau, ecombinando-se convenientemente com outras soluções elementares para o casoda viga engastada (Timoshenko & Goodier, 1980). Pode-se demonstrar que o sistema de tensões apresentado a seguirsatisfaz às condições de equilíbrio sobre os bordos longitudinais da vigaengastada sujeita a um carregamento triangular: 𝑞𝑥 3 𝑦 𝑞 6 𝑞𝑥 𝑦 3 3𝑦 𝑆𝑥 = 3 + 3 −2𝑥𝑦 3 + 𝑐 2 𝑥𝑦 𝑆 𝑦 = − + 𝑞𝑥 − 4𝑐 4𝑐 5 2 4𝑐 3 4𝑐 3𝑞𝑥 2 2 𝑞 𝑞 3 𝑆𝑥 = 𝑐 − 𝑦2 − 3 𝑐4 − 𝑦4 + 3 𝑐2 𝑐2 − 𝑦2 (𝐸𝑞𝑠. 4.5.3 − 4) 8𝑐 3 8𝑐 4𝑐 5 Onde nestas expressões, q é o peso por unidade de comprimento, de talforma que a carga atuante a uma distância 𝑥 é 𝑞𝑥 e a força cortante e o momento 𝑞𝑥 2 𝑞𝑥 3fletor, nesta mesma distância, são 2e 6, respectivamente. Verifica-se que os primeiros termos das expressões de 𝑆𝑥 e 𝑆 𝑥𝑦correspondem a valores de tensão calculados pelas fórmulas elementares usuais.Embora as tensões cisalhantes 𝑆 𝑥𝑦 não sejam nulas sobre o bordo em 𝑥 = 0,apresentam valores muito pequenos e têm resultante nula, o que permite,aproximadamente, considerar esta expressão válida para representar o bordolivre da ação de forças externas.
  • 94. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 83Capítulo 5. Computação Gráfica na Engenharia Civil Nos capítulos anteriores, foram apresentados conceitos de ComputaçãoGráfica e sua aplicação na Educação Matemática através do Software i-Complex.Ao descrever aspectos sobre o software i-Complex foi dada ênfase a geometriada Computação Gráfica e algumas particularidades. Esse capítulo irá apresentaro software MEMEC (Mecânica Elastostática - Método de Elementos de Contorno)desenvolvido na Universidade Federal Rural do Rio Janeiro por Carlos AndresReyna Vera-Tudela, Edivaldo Figueiredo Fontes Junior e Marlucio Barbosa. O MEMEC tem como base o software BEMEL desenvolvido por AndréBulcão (Bulcão, 1999) em linguagem FORTRAN com base na introdução teóricaapresentada no Capítulo 4. O software BEMEL é baseado no software BIZEPescrito por José Cláudio de Faria Telles (Brebbia, Telles, & Wrobel, 1984) queutiliza integração seletiva e possui muitos aspectos interessantes do ponto devista teórico do Método dos Elementos de Contorno. O MEMEC utiliza a eficiênciado BIZEP com novos aspectos utilizados na sua nova versão BEMEL, tendo comoagregado à melhoria da eficiência computacional (onde se entende eficiência porotimizar tempo de CPU, memória e recursos gráficos), implementação deproblemas não suportadas e de algoritmos para SciVis, além de uma tentativa desuportar geometrias gerais no âmbito de problemas da elasticidade. No processo de desenvolvimento do MEMEC, várias frentes de trabalhoforam formadas objetivando a melhor geometria, a correta adaptação do BEMELe do BIZEP a linguagem JAVA e novas implementações eficientes, a melhorToolkit para desenvolvimento da SciVis entre outros aspectos de grandeimportância na elaboração do software, tais como, complexidade das operações erecursos de hardware. Como foi feito no Capítulo 3, iremos nos ater mais a parte da Geometria daComputação Gráfica ao descrever o MEMEC. Muitos outros aspectos poderiamser explorados sobre o software e serão descritos em trabalhos futuros, todavia
  • 95. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 84alguns desses aspectos podem ser encontrados em (Fontes Jr, Barbosa, & Vera-Tudela, 2007). Esse capítulo está organizado da seguinte forma. Inicialmente sãoapresentados detalhes de hardware para a execução do software.Posteriormente, é apresentado o software MEMEC e detalhes da entrada dedados, da geometria, da SciVis e do algoritmo de interpolação utilizado na SciVis. 5.1. HARDWARE Em Computação Gráfica o uso do hardware correto é tão importantequanto à escolha dos algoritmos a serem utilizados. Sendo assim, para o uso doMEMEC recomenda-se um computador com processador a partir de 1400 MHz,com 512MB de RAM (recomendável 1,5GB se utilizado Microsoft Windows Vista®)e placa de vídeo com 256MB de DDR2 e DirectX® 9.0 Shader Model 3.0 e aomenos 4 Pixels per clock(peak) e RAMDACs de 400 MHz. Para a elaboração desse texto foi utilizado um computador comprocessador AMD® Atlhon® 1.8 GHz com 2GB de RAM, Sistema OperacionalWindows XP Professional SP2® e placa de vídeo Nvidia® GeForce 6200. 5.2. MEMEC A importância da SciVis na engenharia é reconhecida e de consensocomum. Muitas das vezes, interpretar um problema físico através de dadosnuméricos é dispendioso e algumas vezes pouco qualitativo. A SciVis aplicada aengenharia busca amenizar esse processo e dar uma interpretação maisqualitativa a resultados obtidos por modelos analíticos. O MEMEC (Figura 32) é uma tentativa nesse sentido. O MEMEC buscaaliar resultados numéricos a algoritmos sofisticados de Computação Gráfica paraa construção de uma SciVis para o problema em estudo.
  • 96. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 85 O MEMEC está em sua versão 1.0 e está sendo desenvolvido emlinguagem JAVA com o auxilio da biblioteca gráfica VTK. Uma breveapresentação da biblioteca VTK foi feita na seção 1.4.3.2, todavia, mais detalhessobre essa biblioteca gráfica pode ser encontrado em (KITWARE, 2005). Figura 32: Tela inicial do MEMEC O programa encontra-se estruturado com elementos retilíneos com umainterpolação linear entre os valores calculados nos seus extremos (pontos nodais)conforme descrito no Capítulo 4. 5.2.1. Entrada de Dados A entrada de dados no MEMEC é feita através de um arquivo de texto deextensão .txt que pode ser elaborado em qualquer editor de texto que utilize ocódigo ASCII ou UNICODE. Qualquer outra extensão de arquivo que esteja
  • 97. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 86padronizado nas codificações citadas também é suportado pelo MEMEC desdeque o arquivo possua sua estrutura montada corretamente. O arquivo busca descrever a geometria do objeto em estudo. Conformevisto no Capítulo 4, estamos interessados, a principio, na discretização docontorno do objeto. Entretanto, pontos interiores também podem ser fornecidospara que seja gerada uma malha mais refinada. Cabe salientar, que em MEC, ospontos internos não fazem parte do sistema matricial global, os valorescorrespondentes aos pontos internos (ou interiores) são calculados diretamenteatravés da identidade Somigliana, mais detalhes pode ser obtido em (Brebbia,Telles, & Wrobel, 1984). Para a compreensão da entrada de dados, observe a Figura 33. 𝐹𝑋 Figura 33: Representação física da barra engastada e tracionada A Figura 33, representa uma barra engastada e tracionada ao longo do seulado. Em termos de Computação Gráfica, a Figura 33, representa o UniversoFísico do problema. Estamos interessados em estudar o comportamento dastensões ao longo da barra. O estudo analítico foi feito no Capítulo 4, esse será oUniverso Matemático. Sendo assim, para termos o paradigma das quatro fasestemos que formular o Universo da Representação e da Implementação. Como vimos no Capítulo 4 a discretização de uma geometria considera ocontorno  composto por elementos distintos, sobre os quais são definidasvariações para o deslocamento e a tensão em função de valores emdeterminados pontos (denominados nós ou pontos nodais). Nesse sentido,estamos interessados em discretizar o contorno da barra.
  • 98. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 87 11 10 9 8 7 12 13 6 1 2 3 4 5 Figura 34: Representação da discretização para a barra engastada A Figura 34 mostra uma discretização da barra em 12 nós, 1 ponto interiore 12 elementos de conectividade. O elemento de conectividade que une o ponto 𝒂ao 𝒃 pode ser visto como um vetor que tem origem em 𝒂 e destino em 𝒃. Comodito, estamos interessados na discretização do contorno, mas pontos interioresajudam a suavizar a malha no processo de Visualização. Sendo assim, temos onosso Universo da Representação. Apresentemos agora o Universo da Implementação, isto é, a estrutura daentrada de dados para o correto processamento pelo software MEMEC. A seguirsão apresentadas as etapas para a construção do arquivo de entrada de dados:1ª. Etapa - PARÂMETROS - 𝐼𝑁𝐹𝐵, 𝑁𝐸, 𝑁𝑁, 𝑁𝑃, 𝐼𝑃𝐿, 𝐼𝐷𝑆𝑌𝑀, 𝐸, 𝑃𝑂; onde: 𝐼𝑁𝐹𝐵 - indicativo do tipo de domínio (finito = 0; infinito = 1) [𝑖𝑛𝑡] 𝑁𝐸 - número de elementos de contorno [𝑖𝑛𝑡] 𝑁𝑁 - número de nós do contorno [𝑖𝑛𝑡] 𝑁𝑃 - número de pontos internos [𝑖𝑛𝑡] 𝐼𝑃𝐿 - indicador do tipo de estado: [𝑖𝑛𝑡]  estado plano de tensão = 1;  estado plano de deformação = 2 𝐼𝐷𝑆𝑌𝑀 - indicador de simetria: [𝑖𝑛𝑡]  não existe simetria = 0  simetria em relação ao eixo 𝑋 =1  simetria em relação ao eixo 𝑌 = 2  simetria em relação aos eixos 𝑋 e 𝑌 =3 𝐸 - módulo de elasticidade [𝑟𝑒𝑎𝑙]
  • 99. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 88 𝑃𝑂 - coeficiente do Poisson [𝑟𝑒𝑎𝑙]2ª. Etapa - COORDENADAS DOS NÓS - 𝑘, 𝑋(𝑘), 𝑌(𝑘), 𝐼𝐷𝑈𝑃(𝑘), 𝐼𝑆𝑌𝑀(𝑘);onde: 𝑘 - número do nó sobre o contorno [𝑖𝑛𝑡] 𝑋𝑘), 𝑌(𝑘) - coordenadas X e Y do nó K [𝑟𝑒𝑎𝑙] 𝐼𝐷𝑈𝑃(𝑘) - número do nó que é no duplo com o nó K: [𝑖𝑛𝑡]  se o nó é nó-simples = 0  no caso de nó duplo, só deve ser colocado o número do outro nó, se este já foi definido anteriormente ao nó 𝑘 = (n0 do nó que é duplo de 𝑘) 𝐼𝑆𝑌𝑀(𝑘) - indica o posicionamento do nó 𝑘 sobre os eixos de simetria:[int]  nó 𝑘 não está sobre nenhum eixo de simetria = 0  nó 𝑘 está sobre eixo 𝑋 de simetria = 1  nó 𝑘 esta sobre eixo 𝑌 de simetria = 2  nó 𝑘 esta sobre os eixos 𝑋 e 𝑌 de simetria = 33ª. Etapa - COORDENADAS DOS PONTOS INTERNOS - 𝑘, 𝑋(𝑘), 𝑌(𝑘),𝐼𝑆𝑌𝑀(𝑘); onde: K - número do ponto interno [𝑖𝑛𝑡] 𝑋(𝑘), 𝑌(𝑘) - coordenadas do ponto interno 𝑘 [𝑟𝑒𝑎𝑙] 𝐼𝑆𝑌𝑀(𝑘) - indica o posicionamento do ponto interno 𝑘 sobre os eixos de simetria, os valores são os mesmos do item anterior.4ª. Etapa - CONETIVIDADE - 𝑗, 𝐼𝑁𝐶(𝑗, 1), 𝐼𝑁𝐶(𝑗, 2); onde: 𝑗 - número do elemento de contorno 𝐼𝑁𝐶(𝑗, 1) - número do nó inicial do elemento 𝑗 𝐼𝑁𝐶(𝑗, 2) - número do nó final do elemento 𝑗5ª. Etapa - NÚMERO DE NÓS COM CONDIÇÕES PRESCRITAS - 𝑁𝐹𝐼𝑃,𝑁𝐷𝐹𝐼𝑃; onde: 𝑁𝐹𝐼𝑃 - número de nós com condição de deslocamento prescrito. [𝑖𝑛𝑡] 𝑁𝐷𝐹𝐼𝑃 - número de nós somente com condições de tensão prescrita. [𝑖𝑛𝑡] OBS. - se um nó possui deslocamento prescrito numa direção e tensão prescrita na outra, deve ser computado como 𝑁𝐹𝐼𝑃.
  • 100. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 896ª. Etapa - NÓS COM CONDIÇÕES DE DESLOCAMENTO PRESCRITOS: 𝑘,𝑃1 (𝑘), 𝑃2 (𝑘), 𝐼𝐹𝐼𝑃1 (𝑘), 𝐼𝐹𝐼𝑃2 (𝑘); onde: 𝑘 - número de nó com condições de deslocamento prescritas [𝑖𝑛𝑡] 𝑃1 (𝑘) - valor prescrito na direção 𝑋. [𝑟𝑒𝑎𝑙] 𝑃2 (𝑘) - valor prescrito na direção 𝑌. [𝑟𝑒𝑎𝑙] 𝐼𝐹𝐼𝑃1 (𝑘) - indica o tipo de prescrição na direção 𝑋. [𝑖𝑛𝑡] 𝐼𝐹𝐼𝑃2 (𝑘) - indica o tipo de prescrição na direção 𝑌. [𝑖𝑛𝑡] OBS. - onde: 𝐼𝐹𝐼𝑃 = 0  tensão prescrita. 𝐼𝐹𝐼𝑃 = 1  deslocamento prescrito.7ª. Etapa - NÓS COM CONDIÇÕES DE TENSÕES PRESCRITAS: 𝑘, 𝑃1 (𝑘),𝑃2 (𝑘); onde: 𝑘 - número de nó com condições de tensão prescritas [𝑖𝑛𝑡] 𝑃1 (𝑘) - valor da tensão prescrito na direção 𝑋. [𝑟𝑒𝑎𝑙] 𝑃2 (𝑘) - valor da tensão prescrito na direção 𝑌. [𝑟𝑒𝑎𝑙] Voltemos ao nosso caso de estudo, isto é, a barra engastada e tracionada.Com base na discretização da Figura 34 vamos montar o nosso arquivo deentrada. Considere além da discretização que a barra possua dimensões 20unidades de comprimento por 10 unidades de altura e espessura desprezível.Considere também que, o Módulo de Elasticidade seja igual a 1, o Coeficiente dePoisson igual a 0.5 e que a força aplicada seja de um Newton. A distância dosnós, exceto o ponto interior, é definida de forma que eles fiquem igualmenteespaçados em cada lado da barra. O ponto interior está centralizado na barra. Dessa forma, a Tabela 1 mostra a estrutura arquivo barra.txt. Devemossalientar que o separador de colunas (delimitador) é a vírgula (,) para o arquivo deentrada de dados do MEMEC. Salientamos também que números inteiros são convertidosautomaticamente para ponto flutuante se for necessário, mas o contrário não éverdade. Sendo assim, a construção do arquivo de entrada deve ser feita deforma criteriosa e cautelosa. Pois em arquivos muito densos, encontrar o erro é
  • 101. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 90oneroso. Devido a esse problema, o MEMEC possui rotinas que buscam detectarerros comuns na montagem do arquivo de leitura e informar onde eles seencontram, normalmente, as rotinas implementadas são suficientes para amaioria dos erros encontrados na montagem de arquivos. Recomenda-se que na construção dos arquivos que se elabore os dadosem algum aplicativo de planilha eletrônica ou banco de dados e que depoisexporte para o formato .txt.Tabela 1: Exemplo de arquivo de Entrada de Dados para o MEMEC Arquivo barra.txt Descrição dos Parâmetros PARÂMETROS - 𝐼𝑁𝐹𝐵, 𝑁𝐸, 𝑁𝑁, 𝑁𝑃, 𝐼𝑃𝐿,0 12 12 1 1 0 1 0.50 𝐼𝐷𝑆𝑌𝑀, 𝐸, 𝑃𝑂;1 0 0 0 02 5 0 0 03 10 0 0 04 15 0 0 05 20 0 0 06 20 5 0 0 COORDENADAS DOS NÓS - 𝑘, 𝑋(𝑘), 𝑌(𝑘), 𝐼𝐷𝑈𝑃(𝑘), 𝐼𝑆𝑌𝑀(𝑘)7 20 10 0 08 15 10 0 09 10 10 0 010 5 10 0 011 0 10 0 012 0 5 0 0 COORDENADAS DOS PONTOS INTERNOS -13 10 5 0 𝑘, 𝑋(𝑘), 𝑌(𝑘), 𝐼𝑆𝑌𝑀(𝑘)1 1 2 CONETIVIDADE - 𝑗, 𝐼𝑁𝐶(𝑗, 1), 𝐼𝑁𝐶(𝑗, 2);2 2 3
  • 102. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 913 3 44 4 55 5 66 6 77 7 88 8 99 9 1010 10 1111 11 1212 12 1 NÚMERO DE NÓS COM CONDIÇÕES3 3 PRESCRITAS - 𝑁𝐹𝐼𝑃, 𝑁𝐷𝐹𝐼𝑃11 0 0 1 1 NÓS COM CONDIÇÕES DE DESLOCAMENTO12 0 0 1 1 PRESCRITOS: 𝑘, 𝑃1 (𝑘), 𝑃2 (𝑘), 𝐼𝐹𝐼𝑃1 (𝑘), 𝐼𝐹𝐼𝑃2 (𝑘)1 0 0 1 15 1 0 NÓS COM CONDIÇÕES DE TENSÕES6 1 0 PRESCRITAS: 𝑘, 𝑃1 (𝑘), 𝑃2 (𝑘)7 1 0 Utilizando como entrada para o MEMEC o arquivo barra.txt geradoobtemos, a SciVis representada na Figura 35.
  • 103. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 92 Figura 35: SciVis, em surface, do arquivo barra.txt gerada pelo MEMEC com tensão na direção 𝑋. A tensão está orientada da cor azul para a vermelha, isto é, azul representatensão menos significativa e vermelha representa tensão mais significativa. Podemos observar que, embora a SciVis represente corretamente o objetoe sua deformação, a deformação não possui um aspecto muito esclarecedor e,mais, pode dar a impressão de que a barra se rompe nas pontas. Estamostrabalhando sobre a elasticidade dos objetos, isto é, em situações em que quandocessado a força de deformação o objeto volte às condições inicias. Mas por que a SciVis pode causar uma interpretação errônea? Aexplicação é simples. A utilização de uma quantidade pequena de pontos nadiscretização do objeto ou até mesmo o fornecimento de dados incorreto podelevar a situações como a ilustrada na Figura 35. Todavia, o resultado numérico(Figura 36) gerado pelo software é correto e pode sanar interpretações errôneas.
  • 104. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 93Figura 36: Resultado numérico gerado para o arquivo barra.txt através doMEMEC. O MEMEC gera Visualizações em três estilos: surface, wireframe e pontos.Em wireframe é apresentada a malha do objeto. Em surface é apresentado àdistribuição da tensão ao longo do objeto. Em pontos são apresentados adiscretização do objeto. Além disso, a tensão pode ser observada de três formas:tensão na direção 𝑋, tensão na direção 𝑌, tensão equivalente. Todas as tensõesapresentam os três estilos de visualização. Além disso, pode ser observar astensões e deformações através de curvas de níveis ou isolinhas e campo escalar. O objetivo de estruturar o MEMEC dessa forma é o de sanar, ou diminuir,interpretações incorretas devido a uma má discretização do objeto. A Figura 37mostra uma SciVis da barra através da malha gerada. Pode-se observar quealguns dos pontos tracionados ficam, visualmente, alinhados e, é isso que leva aum interpretação incorreta da SciVis. Uma discretização mais detalhada do objetoresolveria esse problema.
  • 105. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 94Figura 37: SciVis, em wireframe, do arquivo barra.txt gerada pelo MEMEC comtensão na direção 𝑋. A Figura 38 mostra uma barra, de dimensão 100 x 50 unidades de medida,discretizada com 301 nós e 100 pontos internos. Evidentemente, a malha estámuito melhor estruturada do que a da Figura 37. E mostra, claramente, adistribuição da tensão na direção 𝑋 no objeto. Note, também, que os valores dasfiguras nos pontos extremos da figura são bem representados nas duas malhasapresentadas e fica evidente que o erro geométrico influencia significativamentena visualização das tensões. Técnicas de visualização estão sendo desenvolvidaspara tirar proveito da precisão numérica do MEC mesmo trabalhando com errosgeométricos significativos.
  • 106. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 95Figura 38: SciVis, em wireframe, de uma barra com 301 nós e 100 pontos internosgerada pelo MEMEC com tensão na direção 𝑋. Aspectos dos resultados numéricos gerados pelo software MEMEC nãoserão tratados nesse texto (mais detalhes em (Fontes Jr, Barbosa, & Vera-Tudela,2007)), entretanto façamos algumas colocações. Dentre os resultados apresentados após processamento pelo MEMECencontram-se: o deslocamento dos nós (𝑈 = deslocamento em 𝑋 e 𝑉 =deslocamento em 𝑌), as forças no contorno (𝑃𝑋 = força na direção 𝑋 e 𝑃𝑌 = forçana direção 𝑌), tensões nos nós e pontos internos (𝑆𝑋 = tensão na 𝑋, 𝑆𝑌 = tensãona direção 𝑌, 𝑆𝑋𝑌 = tensão em 𝑋𝑌, 𝑆𝑍 = tensão na direção 𝑍 e 𝑆𝐸𝑄 = tensãoequivalente) e a posição final dos nós após o deslocamento. O MEMEC possibilita a análise de geometria simétrica, problemas comsingularidades e problemas infinitos ou em meio-infinito utilizando eficientementeo MEC. Em caso de simetria o MEC não inclui aproximações de domínio como écomum em outros métodos, como o Método dos Elementos Finitos (ver (Brebbia,Telles, & Wrobel, 1984)). Para problemas singularidades o recurso do uso de nós
  • 107. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 96duplos melhora, ou corrige, significativamente os resultados obtidos sem omesmo. 5.2.2. Algoritmo de interpolação da SciVis O método numérico utilizado no MEMEC fornece informação da tensão noobjeto através do contorno, todavia, para a SciVis necessitamos mais que isso.Precisamos construir uma malha para que através dela possam ser distribuídosos escalares de tensão com o mapeamento correto de cores. O método numéricogera resultados sobre pontos e não malhas. Sendo assim, como gerar a malhaadequada que represente o interior do objeto e que sirva para o processo decoloração? A resposta a essa pergunta chama-se triangulação. Mas antes dedescrever o que seria a triangulação façamos alguns questionamentos. Osobjetos do mundo real cujos fenômenos físicos se pretendem simular possuempeculiaridades importantes, como formato irregular, lacunas e estrutura materialheterogênea. Para possibilitar a construção automática da malha, esses objetos sãomodelados por polígonos ou grafos planares de linhas retas — PSLG. A geraçãode malhas é um procedimento complexo e custoso que resolve o problema dedecompor um domínio geométrico qualquer em partes menores denominadas deelementos. Assim, a dificuldade computacional inerente à construção da malha sejustifica, sobretudo, em virtude de ela ocorrer como que proliferando e ajustandoelementos geométricos, circunscritos às fronteiras do polígono e sob outrasrestrições impostas pelas características do objeto real, que lhe foram, de algummodo, transferidas. As seções seguintes forneceram elementos necessários à compreensão doporque da triangulação ser escolhida para gerar malhas no MEMEC.
  • 108. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 97 5.2.2.1. TIPOS DE MALHAS Existem três tipos de malhas: estruturadas, não-estruturadas e híbridas. Uma malha estruturada (Figura 39 (a)) em duas dimensões é muitas vezesuma grade quadrada deformada por algumas transformações de coordenadas.Cada vértice da malha, exceto aqueles das bordas, tem uma vizinhança localisomórfica. Em três dimensões, uma malha estruturada é normalmente uma gradecúbica deformada. Não é estritamente necessário armazenar os valores dascoordenadas dos nós, pois eles podem ser implicitamente conhecidos pelonúmero de cada elemento. Uma malha não-estruturada (Figura 39 (b)) é, na maioria dos casos, umatriangulação com vizinhança local variável. ( a ) estruturada ( b ) não-estruturada ( c ) híbrida Figura 39: Tipos de Malhas Uma malha híbrida (Figura 39 (c)) é aquela resultante da combinação demalhas estruturadas e não-estruturadas. As malhas estruturadas oferecem certas vantagens e desvantagens sobreas não-estruturadas. Elas são mais simples e também mais convenientes parauso em métodos das diferenças finitas menos complexas. Elas requerem menosmemória de computador, pois suas coordenadas podem ser calculadas em vez deexplicitamente armazenadas.
  • 109. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 98 A maior desvantagem de uma malha estruturada é a falta de flexibilidadeem ajustar-se a um domínio com forma complicada. 5.2.2.2. PROPRIEDADES DESEJÁVEIS DE UMA MALHA E DE GERADORES DE MALHA Na prática, quando um domínio de entrada e uma condição numérica sãodados, a geração de malha segue três passos (Teng, 1999): 1. Converter a geometria de entrada em uma representação padrão, como PSLG; 2. Gerar uma malha construindo seu conjunto de pontos e elementos; 3. Aplicar um algoritmo de melhoramento e refinamento da malha como uma maneira de aprimorar a qualidade da malha construída no Passo 2. O Passo 3 tem por objetivo melhorar a qualidade da malha e reduzir o errona aproximação provida pelo método dos elementos finitos e o mesmo pode serdito para o método dos elementos de contorno. Esse erro evolui com o tamanhodo elemento e está relacionado aos ângulos mínimo e máximo. Por essa razão, otamanho do elemento e dos ângulos mínimo e máximo são uma importantemedida de qualidade tanto para geração de malha como para interpolação desuperfície. 5.2.2.3. TRIANGULAÇÃO DE DELAUNAY A triangulação de um conjunto de pontos consiste em encontrar segmentosde reta que conectem estes pontos de tal modo que nenhum desses segmentoscruze com nenhum outro e que cada ponto seja vértice de pelo menos umtriângulo formado por esses segmentos. Esses segmentos particionam o conjuntode pontos em triângulos, daí o nome Triangulação.
  • 110. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 99 A triangulação de Delaunay, semelhante às técnicas de integração aosegmentar a área sob a curva produzida por uma função, particiona a regiãointerna de um polígono. Na integral, os fragmentos são retângulos ou trapézios;na triangulação, esses fragmentos são triângulos. Para um polígono ser decomposto deverá ter mais de três vértices (Figura40), ou seja, ter no mínimo uma diagonal. Desse modo, o polígono seráparticionado em triângulos pela adição de uma ou mais diagonais. Figura 40: Triangulação de um polígono. Por outro lado, se a entrada para o algoritmo de triangulação for umconjunto de pontos no plano (Figura 41), a quantidade de triângulos e arestas édada como segue (Berg, 2002): Seja 𝑃 um conjunto de 𝑛 pontos no plano, nãotodos colineares, e 𝑘 o número de pontos em 𝑃 que estão sobre a fronteira docasco convexo de 𝑃. Então, em qualquer triangulação de 𝑃 há 2𝑛 − 2 − 𝑘triângulos e 3𝑛 − 3 − 𝑘 arestas.
  • 111. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 100 Figura 41: A triangulação de Delaunay sobre uma nuvem de pontos. De fato, essas propriedades são interessantes. Mas qual é a importânciada triangulação de Delaunay para a geração de malhas no MEMEC? Primeiro, a maioria dos polígonos que descreve objetos do mundo real temformato irregular e regiões pertencentes a diferentes domínios de interesse.Nesse contexto, a triangulação de Delaunay, conceitualmente, pode ser vistacomo uma estratégia de decompor um domínio em triângulos, respeitando suascaracterísticas geométricas, como um passo inicial do processo de discretização.Desse modo, a triangulação de Delaunay funciona como uma espécie de gabaritopara delimitar o espaço de ocupação, o qual, posteriormente, será decompostoaté que sejam atendidos todos os critérios de qualidade referentes à área emedida angular para cada triângulo. Segundo, a triangulação de Delaunay contribui para a qualidade da malhafinal, visto que, dado um conjunto de vértices, maximiza o ângulo mínimo entretodas as maneiras possíveis de triangular aquele conjunto (Moura, 2006). Formalmente, uma triangulação de um conjunto 𝑉 de vértices é umconjunto 𝑇 de triângulos cujos vértices coletivamente são 𝑉, cujos interiores nãointerceptam um ao outro e cuja união é o fecho convexo de 𝑉 e cada triângulo queintercepta 𝑉 o faz somente nos vértices do triângulo.
  • 112. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 101 A triangulação de Delaunay 𝐷 de 𝑉, introduzida, em 1934, pelo matemáticorusso Boris Nikolaevich Delone — depois chamado Boris Delaunay —, é um grafodefinido como segue. Qualquer círculo no plano é tido como vazio se não cercanenhum vértice de 𝑉. Vértices são permitidos sobre o círculo. Sejam 𝑢 e 𝑣 doisvértices de 𝑉. Um círculo-circundante da aresta 𝑣𝑤 é qualquer círculo que passaatravés de 𝑢 e 𝑣. A aresta 𝑢𝑣 está em 𝐷 se e somente se existe um círculo-circundante de 𝑢𝑣. Uma aresta que satisfaz essa propriedade é dita ser Delaunay.Na Figura 42, é ilustrada uma triangulação de Delaunay sobre um conjunto de dezpontos no plano. Figura 42: Triangulação de Delaunay sobre um conjunto de 10 pontos no plano Cada aresta que conecta um vértice ao seu vizinho mais próximo éDelaunay. Se 𝑤 é o vértice mais próximo a 𝑣, o menor círculo que passa por 𝑣 e𝑤 não circunda quaisquer outros vértices. A definição de um triângulo de Delaunay servirá para garantir que oconjunto de arestas de Delaunay de um conjunto de vértices coletivamente forme
  • 113. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 102uma triangulação. O círculo-circundante de um triângulo é o único círculo quepassa através de todos os seus três vértices. Um triângulo é dito ser de Delaunayse somente se seu círculo-circundante tem seu interior vazio. Essa definiçãocaracterística dos triângulos de Delaunay, ilustrada na Figura 42, é chamadapropriedade do círculo-circundante vazio (Moura, 2006). Existem diversos algoritmos para implementar triangulação de Delaunaycom diversas complexidades. Esses algoritmos não serão apresentados nessetexto, mas alguns podem ser encontrados em (Moura, 2006). O algoritmo utilizado no MEMEC é nativo do VTK e possui comportamentobastante satisfatório para o problema trabalhado. Algoritmos incorporados abiblioteca VTK são, por natureza, ótimos ou próximos do ótimo. Dessa forma, sefez desnecessário uma nova implementação. O que é feito de forma continua é aadaptação dos algoritmos implementados para o uso em problemas e métodosespecíficos, tais como, problemas inerentes do estudo da Elasticidade eaproveitamento das particularidades do Método dos Elementos de Contorno.
  • 114. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 103Considerações Finais A visualização por meio do computador apoiada em técnicas deComputação Gráfica tem proporcionado inúmeros benefícios para as maisdiversas áreas. Benefícios como o aumento de produtividade e maior eficiência natomada de decisões baseadas na análise de grandes conjuntos de dados. Nesse texto, foram apresentadas duas propostas para aplicação daComputação Gráfica. Uma proposta buscou integrar Computação Gráfica eEducação Matemática através do software i-Complex. A outra buscou integrarComputação Gráfica e Engenharia Civil através do software MEMEC. No Capítulo 2, foi apresentado o conjunto dos números complexos sobreum olhar geométrico. Tal olhar não é comum em se encontrar no processo deensino-aprendizagem o que justifica os esforços para o desenvolvimento denovas ferramentas de ensino. No Capítulo 3, apresentamos o software i-Complex, uma alternativa aoensino dos Números Complexos e sua geometria. No capítulo 4, é apresentado o problema de elasticidade linear descritocom uma visão sobre a engenharia civil. Foram feitas descrições analíticas sobreo problema e a apresentação do método de elementos de contorno. Nos Capítulos 5, apresentamos o software MEMEC que mostra aversatilidade da Computação Gráfica e sua importância como objeto de estudonos dias atuais. A busca por algoritmos eficientes é constante e sua demanda setorna cada vez maior. Uma das causas é a crescente número de áreas quebuscam auxilio na Computação Gráfica para resolução de problemas reais. Tanto o i-Complex quanto o MEMEC são software em estado inicial e temmuito a crescer. Nesse sentido, trabalhos futuros são importantes para melhoriade algoritmos e para tratamento de situações novas.
  • 115. 104 Por exemplo, considere a situação (Figura 43) de uma barra com ambas asextremidades fixas sendo tracionada para baixo. 𝐹𝑋 Figura 43: Barra com extremidades fixas e tracionada ao centro Discretizando o objeto em 301 pontos e 100 pontos interiores. E utilizandocomo dados de material o Módulo de Elasticidade igual a 1 e o Coeficiente dePoisson igual 0.5. Aplicando uma força igual a -1 N temos a SciVis gerada peloMEMEC na Figura 44.Figura 44: SciVis, em surface, de uma barra com duas extremidades fixas geradapelo MEMEC com tensões nas direções 𝑋 e 𝑌.
  • 116. 105 Apesar da visualização, em surface, das tensões nas direções 𝑋 e 𝑌 sercoerente fisicamente e expressar o processamento numérico, a visualização emcurvas de nível (Figura 45) não apresenta a mesma qualidade.Figura 45: SciVis, em curvas de nível, de uma barra com duas extremidades fixasgerada pelo MEMEC com tensão na direção 𝑌. Observe, na Figura 45, que as isolinhas do objeto não estão claras e oaspecto não é suficientemente esclarecedor. Nesse sentido, é necessáriodesenvolver novos algoritmos ou aperfeiçoar os existentes para tratar esse tipo deproblema. Salientamos que esse tipo de situação ocorre apenas em algunsobjetos. Embora as curvas de nível não apresentem uma solução aceitável para oproblema da Figura 43, o resultado numérico gerado pelo MEMEC e os outrosestilos de visualização (como as tensões nas direções 𝑋 e 𝑌 em wireframe (Figura46)) descreve uma solução para o problema e a visualização em surface dá umarepresentação aceitável da distribuição das tensões. A visualização de Isolinhas é um recurso valioso na visualização decampos escalares, particularmente para o caso bidimensional onde o traçado deisolinhas (isosuperfícies), em geral, fornece boa noção do comportamento docampo. Para o caso 3D tem-se a dificuldade adicional da sobreposição visual desuperfícies o que pode exigir rotações ou mudanças de ponto de vista paramelhor compreensão do resultado.
  • 117. 106Figura 46: SciVis, em wireframe, de uma barra com duas extremidades fixasgerada pelo MEMEC com tensão na direção 𝑌. Além das isolinhas, o MEMEC permite a visualização de campo deescaleres, essa visualização permite o mapeamento do campo escalar de tensãono objeto, visualizando assim como a tensão está distribuída. A Figura 47 mostrao campo escalar do arquivo barra.txt descrito no Capítulo 5.
  • 118. 107Figura 47: SciVis, em campo escalar, do arquivo barra.txt gerada pelo MEMECcom tensão na direção 𝑋 O uso de simetria e nós duplos tem se mostrado de grande valia pararedução do custo computacional e análise de tensões em um corpo comsingularidade. Para ilustrar considere o problema na Figura 48 descrito em(Timoshenko & Goodier, 1951): 𝒒 𝒎 𝒏 𝟐𝒓 𝒅Figura 48: Chapa com furo circular nos eixos de simetria 1 Conforme discutido em (Timoshenko & Goodier, 1951), se 2𝑟 = 2 𝑑 então atensão na direção 𝑋 é 𝑆 𝑥 = 0,75𝑞 no ponto 𝑚. Sendo assim, se fizermos 𝑞 = 1,𝑑 = 4 e portanto 𝑟 = 0,5 temos que por (Timoshenko & Goodier, 1951) a tensão
  • 119. 108na direção 𝑋 no ponto 𝑚 deve ser igual a 0,75. Com apenas 40 elementos nocontorno e utilizando a simetria da geometria o MEMEC nos fornece 𝑆 𝑥 = 0,75137no ponto 𝑚. A SciVis para esse problema pode ser vista na Figura 49. Cabesalientar que os resultados foram obtidos discretizando somente o contorno,orientando a malha de forma que a normal em cada elemento aponte para fora dodomínio.Figura 49: SciVis de chapa com furo sobre o eixo de simetria Em se falando do i-Complex, situações como potência de complexos aindanão estão implementadas e fazem parte de estudos futuros. Para trabalhos futuros, estaremos desenvolvendo algoritmos para sanarproblemas ainda não resolvidos no software MEMEC, como o algoritmo parageração de malhas não-estruturadas e problemas com malhas hibridas. A técnica de isosuperfícies pode ser enriquecida pela utilização conjunta derecursos para visualização de campos vetoriais ou mesmo pela utilização detraçado de raios para mapear o comportamento de um campo escalar (Figura 47)
  • 120. 109sobre uma isosuperfície de outro campo escalar. Para trabalhos futuros,pretendemos, também, trabalhar mais as isosuperfícies no MEMEC.
  • 121. Computação Gráfica: Uma aplicação na Educação e na Engenharia 110Referências BibliográficasBarbosa, M., Campos, M. A., & Bairral, M. A. (2007). Sobre os NúmerosComplexos. In: Anais do VII ESFEM. Vassouras: Universidade Severino Sombra.Battaiola, A. L., & Erthal, G. (1998). Projeções e o seu uso em ComputaçãoGráfica. São Paulo, Brasil.Berg, M. d. (2002). Computational Geometry: Algorithms and Applications (2ªEdição ed.). Berlim: Springer.Brebbia, C. A., Telles, J., & Wrobel, L. (1984). Boundary Element Techniques:Theory and Applications in Engineering. Berlin: Springer-Verlag.Bulcão, A. (1999). Formulação do Método dos Elementos de Contorno com DuplaReciprocidade Usando Elementos de Ordem Superior Aplicada a Problemas deCampo Escalar Generalizado. Espírito Santo: Universidade Federal do EspíritoSanto.Campos, M. A., Barbosa, M., & Bairral, M. A. (2007). i-Complex: Um ambientedinamizador para o ensino de Números Complexos. In: Anais da XII Jornada deIniciação Científica da Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro. Seropédica:Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro.Carneiro, J. P. (2000). Aplicaciones geométricas de los Números Complejos - conCabri. In: Anais da XXV Jornadas de Resolución de Problemas. San Martin de losAndes.Domingues, H. H., & Iezzi, G. (2003). Álgebra Moderna. Atual Editora.Fontes Jr, E. F., Barbosa, M., & Vera-Tudela, C. A. (2007). A VisualizaçãoCientífica em um problema resolvido com o Método dos Elementos de Contorno eo VTK. In: Anais do X Encontro de Modelagem Computacional. Nova Friburgo/RJ:UERJ.Gomes, J., & Velho, L. (2003). Fundamentos da Computação Gráfica. Rio deJaneiro: IMPA.IBM Research Visualization Data Explorer. (02 de 02 de 2005). Acesso em 10 de12 de 2007, disponível em IBM Research Visualization Data Explorer.:http://www.research.ibm.com/dx
  • 122. 111Johnston Jr., E. R., & Beer, F. P. (1995). Resistência de Materiais. São Paulo:Makron Books.KITWARE. (2005). Acesso em 10 de 12 de 2007, disponível em VTK home page:http://www.vtk.orgManssour, I. H., & Cohen, M. (2006). Introdução à Computação Gráfica. RITA ,Volume XIII (Número 2 ).Moura, A. L. (2006). Uma Proposta para a Triangulação de Delaunay 2D eLocalização Planar de Pontos em OCaml. Tese de Doutorado, UniversidadeFederal de Uberlândia, Brasil.NUMERICAL ALGORITHMS GROUP. (2005). Acesso em 10 de 12 de 2007,disponível em IRIS explorer center: http://www.nag.co.ukRosa, M. S. (1998). Números Complexos: ―Uma Abordagem Histórica paraaquisição do Conceito". São Paulo: PUC.Shigley, J. E. (1984). Elementos de Máquinas. Rio de Janeiro: LTC - LivrosTécnicos e Científicos Editora S.A.Teng, S.-H. (1999). Unstructured Mesh Generation: Theory, Practice, andPerspective. International Journal of Computational Geometry & Applications.World Scientific Publishing Company.Timoshenko, S. P., & Goodier, J. (1980). Teoria da Elasticidade. Rio de Janeiro:Guanabara Dois.Timoshenko, S., & Goodier, J. N. (1951). Theory of Elasticity. New York: McGraw-Hill Book Company.VISAD Home Page. (2007). Acesso em 10 de 12 de 2007, disponível em VISADHome Page: http://www.ssec.wisc.edu/~billh/visad.html