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Números Complexos

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Números Complexos Números Complexos Presentation Transcript

  • Números Complexos   Uma abordagem histórica
  • Como surgiram os Números Complexos? Quando confrontadas com esta questão, a maioria das pessoas responde que os números complexos surgiram para resolver as equações de 2º grau da forma x 2  + a =0, a > 0. No entanto, esta ideia está  errada ! Apesar da abordagem aprofundada dos números complexos ter sido feita a partir do séc. XVIII, esse problema já tinha sido percebido por outros matemáticos antes dessa época. No entanto, dada à incompreensão e o desconhecimento destes números, tais matemáticos abandonaram o seu estudo.
  • Até onde se sabe, o primeiro matemático que enfrentou um problema envolvendo números complexos foi Héron de Alexandria (séc. I dC) no livro  Stereometrica . Este pretendia resolver    mas como não havia o domínio atual sobre estes números, abandonou o seu cálculo. Por volta do ano 275 dC, ao resolver um problema, Diophanto (200-284 aprox.) deparou-se com a equação 24x 2  - 172x + 336 = 0 Como concluiu que não tinha soluções reais, não viu necessidade de dar sentido à raiz  .
  • Na Índia, por volta do ano 850, Mahavira (800-870 aprox.) escrevia:  "(...) como na natureza das coisas um negativo não é um quadrado, ele não tem, portanto, raiz quadrada." Ou seja, negou à partida, a existência de números negativos cuja raiz quadrada devolve um outro número. Bhaskara(1114-1185 aprox.), um dos indianos que mais perto chegou das ideias da álgebra moderna (conhecia a regra "menos por menos dá mais", trabalhava com coeficientes negativos, etc.) reconhecia que a equação  x 2  - 45x = 250 era satisfeita por dois valores x = 5 e x = -5, mas dizia que não considerava a segunda, pois as pessoas não "apreciavam" raízes negativas.
  • Gerônimo Cardano (1501-1576) considerava que o aparecimento de raízes quadradas de números negativos na resolução de um problema indicava que o mesmo não tinha solução. No entanto, foi Cardano que, em 1545, mencionou pela primeira vez os números complexos. Na sua obra  Ars Magna de Cardano , falava do seguinte problema: "Determinar dois números cuja soma seja 10 e o produto seja 40". Para tal, considerou as expressões Cardano ficou por aqui, não dando significado a estas expressões, pondo de lado a "tortura mental" envolvida, mas, teve o mérito de ter sido o primeiro a considerá-las, até porque neste tempo os números negativos eram evitados.
  • A partir disto é possível derrubar a ideia errada de que os números complexos surgiram com as equações do segundo grau. Os números complexos apareceram sim, a partir das equações de terceiro grau. Mas, foram preciso cerca de 25 anos para este tema ser de novo considerado, por Raffaelle Bombelli (1526-1572) numa obra de nome  Algebra .
  • Ao resolver a equação x 3  = 15x + 4, Bombelli utilizou a "fórmula de Cardano" obtendo a seguinte solução (em notação moderna): Ele achou estranho este resultado porque conhecia todas as raízes da equação, entre as quais x = 4. Teve então a estranha ideia de procurar  a  e  b  positivos tais que:  Com alguma manipulação algébrica, usando as mesmas regras que usava para os números reais, mais a propriedade , chegou ao resultado a = 2 e b = 1, donde sai x = 4.
  • O próprio Bombelli não estava bem seguro do que havia criado. Para os demais matemáticos da época, os números complexos eram vistos com suspeita e quanto muito tolerados, na falta de melhor coisa. É de referir que alguns matemáticos da época procuraram maneiras de evitar o uso de tais números. Entre eles, Cardano foi o que mais tentou evitar as "torturas mentais" envolvidas no uso de raízes quadradas de negativos. No seu livro  De Regula Aliza , de 1570, procurou artifícios que contornassem o uso de tais raízes na resolução de equações de 3º grau obtendo, somente, resultados vagos. 
  • Raffaelle Bombelli apresentou na sua obra  Algebra  as leis algébricas que regiam os cálculos entre números da forma .  Em particular, mostrou que as 4 operações aritméticas sobre números complexos produzem números desta forma. Ou seja, o conjunto dos complexos é  fechado  para estas operações.
  • Em 1629, Albert Girard (1595-1632) utiliza, efetivamente, o símbolo    quando enuncia as relações entre raízes e coeficientes de uma equação. Um grande passo no estudo dos números complexos foi a sua representação visual. Em 1797, o dinamarquês Caspar Wessel (1745-1818) representou, pela primeira vez, geometricamente os números complexos, estabelecendo uma correspondência bijectiva entre estes e os pontos do plano. Este trabalho foi levado ao esquecimento, talvez por ter sido publicado em dinamarquês e só por volta de 1806, quando publicado em francês por Jean Argand (1768-1822) ganhou o devido respeito. Por este motivo, esta representação ficou, indevidamente, ligada ao nome de Argand.
  • O símbolo  i , para a representação de   ,   foi criado por Leonard Euler mas, só após o seu uso por Gauss (1777-1855), em 1801, é que foi aceito. A expressão  número   complexo  foi introduzida em 1832,  por Gauss. É possível dizer que, apesar da sua história ser recente, os números complexos envolveram o trabalho de vários matemáticos, continuando, ainda hoje, com muitas questões em aberto.
  • Referência:  http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/euler/complexoshistoria.htm Daiana A. de Siqueira Canello.