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Matrices 2x2 en Zp; p = # primo
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Matrices 2x2 en Zp; p = # primo Matrices 2x2 en Zp; p = # primo Document Transcript

  • Estructura Algebraica: Matrices (M2( p), p primo) Cuando A sea una matriz, simbolizaremos por A[i , j] al elemento de la matriz en la posición i, j. Recordemos que dos matrices son iguales, ssi, tienen igual tamaño y los elementos en posiciones correspondientes son iguales. Es decir que Am,n = Br,s , ssi, m=r ( igual numero de filas), n=s (igual numero de columnas) y para todo i, j tales que 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ n se cumple que A[i, j] = B[i, j]. Así también recordar que cuando A y B son dos matrices de igual tamaño, su suma A+B es la matriz de igual tamaño tal que (A+B):= A[i , j] + B[i , j]. Igualmente que el producto por el escalar α de la matriz A es (αA)[i, j] = αA[i, j]. Observamos una diferencia entre las matrices a las que estamos acostumbrados a trabajar. Normalmente al trabajar con matrices estamos dentro de una entrada de números reales. Ahora estudiaremos que sucede cuando las entradas son clases de equivalencia modulo p, esto es, entradas en p . ¿Acaso existirá alguna diferencia entre matrices con entrada en los reales y las matrices con entrada en p ? Comenzaremos nuestra discusión dando algunas definiciones para ir comprendiendo el concepto. Sabemos que estamos trabajando dentro de un modulo, el cual se llama p, p primo. Todos los valores que construyan las matrices deben de vivir dentro de el modulo que escogimos. 1. Suma de Matrices en p Empezaremos con la definición de suma de matrices y luego veremos como se calcula. Definición 1.1 (Suma de Matrices). Sean A = [aij]2x2 y B = [bkl]2x2 matrices. Denotaremos la suma de las matrices A y B como A + B. Usando la notación introducida al inicio, tenemos que (A+B)[i , j] = A[i , j] + B[i , j]. Forma General para la Suma de Matrices en p: Sea A= y B= , la suma A + B esta dada por: + = Note que la suma de matrices con entradas en p produce otra matriz con entradas en p , lo que implica que esta operación esta bien definida. De aquí obtenemos que la suma de números dentro de un modulo esta definida como sigue: Sean a, b p,
  • Ejemplo 1. Sea A = y sea B= . Si trabajamos dentro de 7 tenemos que la suma de A + B es: + = Vemos que esta suma también vive dentro de 7. Podemos preguntarnos, ¿Sera la suma de matrices en p conmutativa, será asociativa? ¿Tendrá elemento identidad y cada elemento tendrá elemento inverso? Veamos a continuación las respuestas a estas preguntas. Proposición 1.1 (Propiedades de la Suma de Matrices). Supongamos que la suma esta definida. La suma de de matrices tiene las siguientes propiedades: a) La suma es conmutativa, o sea que A + B = B + A. b) La suma es asociativa, o sea que A + (B+C) = (A+B) + C c) Existe un elemento neutro 0 tal que A+0 = 0+A = A, para cada elemento A M2( p) d) Si A es una matriz, denotaremos por el inverso de A con respecto a suma por –A. Entonces se cumple que A + (-A) = (-A) + A = 0 Demostración: a) Como esta definida la suma de matrices en p vemos que dos matrices A y B se suman de la siguiente forma: A+B = + = ¿Como seria la suma de B + A? Si calculamos esta suma obtenemos lo siguiente: B+A= + = = Esto es así ya que la suma en p es conmutativa. Por lo tanto: A+B = B+A, esto implica que la suma de matrices es Conmutativa. b) Ahora tenemos que A + B = . Sea C = . Para ver si la suma de matrices es Asociativa tenemos que ver lo siguiente: A + (B+C) = (A+B) + C
  • Vemos que A + (B+C) es + = Así también (A+B) +C + = Vemos que A +(B+C) = (A+B)+C Por lo tanto la suma de matrices en p es asociativa. c) Considerando la matriz A ya antes vista queremos encontrar cual seria la matriz identidad para matrices M2( p). Tenemos A = . Hay que encontrar una matriz tal que A+ 0 = 0 +A = A. De los cómputos obtenemos que 0 = Esto implica que 0 +A = = Por lo tanto es la matriz neutro con respecto a la suma en M2( p). Observación 1.1. En p, si p y1 entonces : d) Sea A = , tenemos que la matriz –A por la observacion 1.1 se puede escribir como -A = . Note que A + (-A) = + = . De igual manera se llega a que (-A) + A = 0
  • 2. Multiplicación de Matrices M2( p ), p primo Definición 2.1(Multiplicación de matrices). Sean A = [aij]2x2 y B = [bkl]2x2 matrices en M2( p). Llamaremos multiplicación de A por B a la matriz que denotaremos por A*B. Usando la notación introducida al inicio, tenemos que: (A*B)[i , j] = A[i , j] * B[i , j]. En forma general: Sean A= y B= matrices 2x2 con entrada en ( p), definiremos la multiplicación de matrices como: A*B = * = Proposición 2.1 (Propiedades de la Multiplicación de matrices) Supongamos que la multiplicación y la suma de matrices están definidas . La multiplicación de matrices tiene las siguientes propiedades: a) La multiplicación de matrices es distributiva, o sea que A*(B+C) = AB + AC b) La multiplicación por escalar existe, o sea que , para algun p c) La multiplicación no es conmutativa d) Sea A una matriz en M2( p), si se cumple que A*I = I*A = A, entonces I es la matriz identidad. Demostración: a) Sean A, B, C matrices M2( p), p primo Tenemos que A*(B+C) = *( + ) = *( ) =
  • Por otro lado AB + AC * + = + = = Por lo tanto la multiplicación de matrices en M2( p) es distributiva. b) Sea A = y p Tenemos que la multiplicación por escalar se define como ( A) = ( * )= = ( )= c) Sean A = yB= Ya hemos probado que A*B = Por otro lado, B*A = Vemos que en general A*B B*A Por lo tanto, la multiplicación de matrices M2( p), no es Conmutativa. d) Sea A = y sea I =
  • A*I = , así también I*A= Vemos que A*I = I*A = A Por lo tanto I es la matriz identidad con respecto a la multiplicación en M2( p). 3. Determinante Definición 3.1(Determinante de una matriz M2( p ), Sea A = p, el determinante de A esta definido como: det(A) = ( + )= Ejemplo 3.1. En 7, Sea A= El det(A) = ( = = + = + = + = Por lo tanto el det(A) = 4. Inversos multiplicativos Tenemos que preguntarnos si cada elemento p tiene elemento inverso multiplicativo. La contestación a esta pregunta esta dada por la siguiente observación.
  • Observación 4.1. Sea p, tiene inverso multiplicativo si ( , p)=1, esto es que sean relativamente primos. ¿Por qué ( , p)=1? Porque esto nos asegura que ese elemento tenga inverso. Si no fueran relativamente primos entonces ese elemento podría ser un múltiplo de otro elemento de la clase de equivalencia. Proposición 4.1. (Inversa). Una matriz A = en M2( p) es invertible si y solo si det(A) . Si esto se cumple entonces la matriz inversa esta dada por: A-1 = (det A) -1 . 5. Ahora queremos hallar * tal que satisfaga las siguientes tres condiciones: a. (A*)* = A b. (A+B)* = A* + B* c. (AB)*= B*A* Demostración: a. Sea A = y sea * la operación definida por la traspuesta de una matriz. Demostraremos que (A*)* = A. Sabemos por la definición de traspuesta que AT = . Si volvemos a aplicar la traspuesta tenemos que (AT)T = = A. Por lo tanto hemos probado que (AT)T = A.
  • b. Sean A = yB= Demostraremos que (A+B)T = AT + BT Por la definición de traspuesta tenemos que (A+B)T =( )T = Así también AT + BT = + = Por lo tanto (A+B)T = AT + BT c. Sean A = yB= Debemos probar que (AB)T= BTAT Tenemos que (AB)T = ( )T = Así también BTAT = ( )T = ( )T = = (AB)T= BTAT Por lo tanto * es igual a la traspuesta. 6. ¿Es posible que M2( p) llegue a ser un espacio vectorial?
  • Proposición 6.1 (Espacio Vectorial) Un conjunto se le llama espacio vectorial si cumple con las siguientes propiedades: a. Es cerrado con respecto a la suma b. Es cerrado con respecto a la multiplicación c. Es cerrado con respecto a la multiplicación por escalar Ya vimos que las matrices en M2( p) son cerradas bajo la suma, multiplicación y multiplicación por escalar. Por lo tanto forman un espacio vectorial. Observación 6.1. El espacio de escalares que forman las matrices M2( p) es el espacio de todos los elementos que vivan dentro del conjunto, esto es: p 7. Anillo y Cuerpo ¿Es M2x2( p ) un anillo? Primero tenemos que definir lo que es un anillo. Proposición 7.1. Un anillo es una estructura algebraica la cual cumple con las siguientes condiciones: a. La suma es asociativa, conmutativa, tiene elemento unidad, tiene opuesto aditivo. b. La multiplicación es asociativa y distributiva con respecto a la suma. Ya hemos probado anteriormente que la suma es asociativa, conmutativa, tiene elemento unidad y cada elemento p tiene inverso si ese elemento si ( , p)=1. Así también hemos ya probado que la multiplicación es asociativa y distributiva con respecto a la suma. Por lo tanto esto demuestra que M2( p) es un anillo. ¿Es M2x2( p ) un cuerpo? Un cuerpo es una estructura que cumple con la siguiente condición: a. Es un anillo conmutativo y con división. Vemos que M2( p) no es un cuerpo ya que es un anillo pero no conmutativo con respecto al producto y la división no esta definida. 8. Grupos, Subgrupos
  • ¿Existe un grupo, subgrupo con respecto a la multiplicación en M2( p)?, si es que si, ¿Cuál? Un subgrupo de M2( p ) es el conjunto de las matrices M x2( p)= {A M x2x2( p): det A } Referencias
  • Hernández ,T.R.(2006-2008). Algebra Superior (2nd ed.). (pp. 229-232). Universidad de Puerto Rico en Cayey. Gilbert, L. & Gilbert, J.(2009). Elements of Modern Algebra (7th ed.). Brooks/ Cole. Leon, S.J.(2002). Linear Algebra With Applications(6th ed.). Prentice Hall.