Matematika Teknik 1: Matriks

  • 13,322 views
Uploaded on

 

  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Be the first to comment
No Downloads

Views

Total Views
13,322
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0

Actions

Shares
Downloads
632
Comments
0
Likes
3

Embeds 0

No embeds

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
    No notes for slide

Transcript

  • 1. Matematika Teknik I:Matriks, Inverse, dan DeterminanOleh:Dadang Amir Hamzah, S.Si., M.Si.STT DR. KHEZ MUTTAQIEN2012Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 1 / 33
  • 2. Outline1 MatriksDadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 2 / 33
  • 3. Outline1 Matriks2 Operasi MatriksDadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 2 / 33
  • 4. Outline1 Matriks2 Operasi Matriks3 Transpos MatriksDadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 2 / 33
  • 5. Outline1 Matriks2 Operasi Matriks3 Transpos Matriks4 Inverse MatriksDadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 2 / 33
  • 6. Outline1 Matriks2 Operasi Matriks3 Transpos Matriks4 Inverse Matriks5 Determinan MatriksEkspansi KofaktorMatriks Kofaktor dan Matriks AdjoinDadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 2 / 33
  • 7. Outline1 Matriks2 Operasi Matriks3 Transpos Matriks4 Inverse Matriks5 Determinan MatriksEkspansi KofaktorMatriks Kofaktor dan Matriks Adjoin6 Aturan CramerDadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 2 / 33
  • 8. Outline1 Matriks2 Operasi Matriks3 Transpos Matriks4 Inverse Matriks5 Determinan MatriksEkspansi KofaktorMatriks Kofaktor dan Matriks Adjoin6 Aturan Cramer7 Soal-soal LatihanDadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 2 / 33
  • 9. Outline1 Matriks2 Operasi Matriks3 Transpos Matriks4 Inverse Matriks5 Determinan MatriksEkspansi KofaktorMatriks Kofaktor dan Matriks Adjoin6 Aturan Cramer7 Soal-soal Latihan8 ReferensiDadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 2 / 33
  • 10. Outline1 Matriks2 Operasi Matriks3 Transpos Matriks4 Inverse Matriks5 Determinan MatriksEkspansi KofaktorMatriks Kofaktor dan Matriks Adjoin6 Aturan Cramer7 Soal-soal Latihan8 ReferensiDadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 3 / 33
  • 11. Definisi MatriksMatriks adalah bilangan yang disusun dalam baris dan kolomberbentuk segi empat. Bilangan-bilangan dalam suatu matriksdinamakan entri.Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 4 / 33
  • 12. Definisi MatriksMatriks adalah bilangan yang disusun dalam baris dan kolomberbentuk segi empat. Bilangan-bilangan dalam suatu matriksdinamakan entri.Berikut ini adalah contoh Matriks1 23 0−1 4 , 2 1 0 −3 ,e π −√20 12 10 0 0 , (4).Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 4 / 33
  • 13. Definisi MatriksMatriks adalah bilangan yang disusun dalam baris dan kolomberbentuk segi empat. Bilangan-bilangan dalam suatu matriksdinamakan entri.Berikut ini adalah contoh Matriks1 23 0−1 4 , 2 1 0 −3 ,e π −√20 12 10 0 0 , (4).Bilangan yang menyatakan banyaknya baris dan kolom dalamsuatu matriks dinamakan ordo matriks atau ukuran matriks. Ordomatriks ditulis jumlah baris × jumlah kolom. Pada contoh diatasordo matriksnya adalah 3 × 2, 2 × 1, 3 × 3, dan 1 × 1.Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 4 / 33
  • 14. Definisi MatriksMatriks adalah bilangan yang disusun dalam baris dan kolomberbentuk segi empat. Bilangan-bilangan dalam suatu matriksdinamakan entri.Berikut ini adalah contoh Matriks1 23 0−1 4 , 2 1 0 −3 ,e π −√20 12 10 0 0 , (4).Bilangan yang menyatakan banyaknya baris dan kolom dalamsuatu matriks dinamakan ordo matriks atau ukuran matriks. Ordomatriks ditulis jumlah baris × jumlah kolom. Pada contoh diatasordo matriksnya adalah 3 × 2, 2 × 1, 3 × 3, dan 1 × 1.Variabel untuk menyatakan matriks menggunakan huruf besardan untuk menyatakan entri-entri pada matriks menggunakanhuruf kecil.Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 4 / 33
  • 15. Definisi MatriksBerikut ini adalah penulisan matriks secara umum. Entri-entrinyaditulis aij dengan i menyatakan baris dan j menyatakan kolom.a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n.........am1 am2 . . . amnA =Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 5 / 33
  • 16. Definisi MatriksBerikut ini adalah penulisan matriks secara umum. Entri-entrinyaditulis aij dengan i menyatakan baris dan j menyatakan kolom.a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n.........am1 am2 . . . amnA =Apabila i = j, matriks A dinamakan matriks persegi kemudianbagian berwarna merah dinamakan diagonal utama.Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 5 / 33
  • 17. Outline1 Matriks2 Operasi Matriks3 Transpos Matriks4 Inverse Matriks5 Determinan MatriksEkspansi KofaktorMatriks Kofaktor dan Matriks Adjoin6 Aturan Cramer7 Soal-soal Latihan8 ReferensiDadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 6 / 33
  • 18. Penjumlahan dan PenguranganDefinisiJika A dan B adalah matriks berukuran sama maka penjumlahanA + B adalah matriks yang didapat dari menjumlahakan entri-entrimatriks A dengan entri-entri matriks B yang seletak. Penguranganmatriks A − B adalah matriks yang didapat dari mengurangkanentri-entri matriks A dengan entri-entri matriks B yang seletak. Matriksyang berukuran beda tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan.Tentukan A + B dan A − B dariA =2 1 0 3−1 0 2 44 −2 7 0 B =−4 3 5 12 2 0 −13 2 −4 5Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 7 / 33
  • 19. Perkalian SkalarDefinisiMisalkan A adalah sembarang matriks dan c adalah sembarangskalar. Perkalian cA adalah matriks yang didapat dari mengalikansetiap entri matriks A dengan c. Matriks cA disebut perkalian skalardari matriks A.Jika c = −1 dan A =2 1 0−1 0 24 −2 7 tentukan cADadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 8 / 33
  • 20. Perkalian MatriksDefinisiMisalkan A adalah matriks berukuran m × r dan B adalah matriksberukuran r × n. Perkalian matriks AB adalah matriks berukuranm × n. Entri ke aij pada matriks AB didapat dengan cara mengalikanentri dari baris ke i pada matriks A dengan entri yang seletak di kolomke j pada matriks B kemudian jumlahkan semua hasil perkaliannya.Perkalian matriks A dan B terdefinisi jika dan hanya jika banyakkolom pada matriks A sama dengan banyak baris pada matriks B.Ordo dari matriks hasil perkalian AB adalah banyaknya barispada matriks A × banyaknya kolom pada matriks B.Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 9 / 33
  • 21. Perkalian MatriksPerhatikan matriks berikutA =1 2 42 6 0, B =4 1 4 30 −1 3 12 7 5 2Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 10 / 33
  • 22. Perkalian MatriksPerhatikan matriks berikutA =1 2 42 6 0, B =4 1 4 30 −1 3 12 7 5 2Perkalian matriks AB terdefinisi karena banyaknya kolom padamatriks A sama dengan banyaknya baris pada matriks B. KarenaA berukuran 2 × 3 dan B berukuran 3 × 4 jadi AB berukuran 2 × 4.Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 10 / 33
  • 23. Perkalian MatriksPerhatikan matriks berikutA =1 2 42 6 0, B =4 1 4 30 −1 3 12 7 5 2Perkalian matriks AB terdefinisi karena banyaknya kolom padamatriks A sama dengan banyaknya baris pada matriks B. KarenaA berukuran 2 × 3 dan B berukuran 3 × 4 jadi AB berukuran 2 × 4.MisalkanAB =a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24untuk menentukan nilai aij kalikan baris ke i dengan kolom ke jkemudian jumlahkan semua perkaliannya. Mislkan untuk i = 1dan j = 2 maka a12 = 2.1 + 6.(−1) + 0.7 = −4.Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 10 / 33
  • 24. Perkalian MatriksPerhatikan matriks berikutA =1 2 42 6 0, B =4 1 4 30 −1 3 12 7 5 2Perkalian matriks AB terdefinisi karena banyaknya kolom padamatriks A sama dengan banyaknya baris pada matriks B. KarenaA berukuran 2 × 3 dan B berukuran 3 × 4 jadi AB berukuran 2 × 4.MisalkanAB =a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24untuk menentukan nilai aij kalikan baris ke i dengan kolom ke jkemudian jumlahkan semua perkaliannya. Mislkan untuk i = 1dan j = 2 maka a12 = 2.1 + 6.(−1) + 0.7 = −4.Tentukan semua entri matriks AB?Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 10 / 33
  • 25. Outline1 Matriks2 Operasi Matriks3 Transpos Matriks4 Inverse Matriks5 Determinan MatriksEkspansi KofaktorMatriks Kofaktor dan Matriks Adjoin6 Aturan Cramer7 Soal-soal Latihan8 ReferensiDadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 11 / 33
  • 26. Transpos MatriksDefinisiMisalkan A adalah matriks berukuran m × n. Transpos dari matriks Aditulis At adalah matriks berukuran n × m yang dihasilkan darimenukarkan baris dengan kolom dari matriks A, yakni baris pertamaAt adalah kolom pertama A kemudian baris kedua At adalah kolomkedua A dan seterusnya.Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 12 / 33
  • 27. Transpos MatriksDefinisiMisalkan A adalah matriks berukuran m × n. Transpos dari matriks Aditulis At adalah matriks berukuran n × m yang dihasilkan darimenukarkan baris dengan kolom dari matriks A, yakni baris pertamaAt adalah kolom pertama A kemudian baris kedua At adalah kolomkedua A dan seterusnya.Jika A =a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33 maka At =a11 a21 a31a12 a22 a32a13 a23 a33Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 12 / 33
  • 28. Transpos MatriksDefinisiMisalkan A adalah matriks berukuran m × n. Transpos dari matriks Aditulis At adalah matriks berukuran n × m yang dihasilkan darimenukarkan baris dengan kolom dari matriks A, yakni baris pertamaAt adalah kolom pertama A kemudian baris kedua At adalah kolomkedua A dan seterusnya.Jika A =a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33 maka At =a11 a21 a31a12 a22 a32a13 a23 a33Tentukan transpos dari matriks-matriks berikutA =1 23 0−1 4 , B = 2 1 0 −3 , C =e π −√20 12 10 0 0 ,Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 12 / 33
  • 29. Outline1 Matriks2 Operasi Matriks3 Transpos Matriks4 Inverse Matriks5 Determinan MatriksEkspansi KofaktorMatriks Kofaktor dan Matriks Adjoin6 Aturan Cramer7 Soal-soal Latihan8 ReferensiDadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 13 / 33
  • 30. Pengertian Inverse MatriksDefinisiMisalkan A dan B adalah matriks persegi berukuran sama. JikaAB = BA = I maka A disebut dapat diinverskan atau invertibel dan Badalah inverse dari A. Jika tidak ada matriks B yang memenuhi makaA dikatakan matriks singular atau tidak punya inverse.Inverse dari matriks A ditulis A−1.I disebut Matriks Identitas. Matriks identitas dapat juga ditulissebagai In. Berikut ini adalah contoh matriks identitasI2 =1 00 1, I3 =1 0 00 1 00 0 1 , In1 0 . . . 00 1 . . . 0............0 0 . . . 1Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 14 / 33
  • 31. Penggunaan Inverse Dalam SPLJika A adalah matriks invertibel makaA−1=1det (A)(Adj(A))Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 15 / 33
  • 32. Penggunaan Inverse Dalam SPLJika A adalah matriks invertibel makaA−1=1det (A)(Adj(A))Contoh: Misalkan A =a bc dmaka A−1 = 1ad−bcd −b−c a.Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 15 / 33
  • 33. Penggunaan Inverse Dalam SPLJika A adalah matriks invertibel makaA−1=1det (A)(Adj(A))Contoh: Misalkan A =a bc dmaka A−1 = 1ad−bcd −b−c a.Misalkan A adalah matriks invertible dan A−1 adalah inverse dariA. Jika Ax = b adalah suatu SPL yang punya solusi tunggal makasolusi dari SPL Ax = b adalah x = A−1b.Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 15 / 33
  • 34. Penggunaan Inverse Dalam SPLJika A adalah matriks invertibel makaA−1=1det (A)(Adj(A))Contoh: Misalkan A =a bc dmaka A−1 = 1ad−bcd −b−c a.Misalkan A adalah matriks invertible dan A−1 adalah inverse dariA. Jika Ax = b adalah suatu SPL yang punya solusi tunggal makasolusi dari SPL Ax = b adalah x = A−1b.Matriks persegi A punya inverse jika dan hanya jika det (A) = 0.Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 15 / 33
  • 35. Penggunaan Inverse Dalam SPLJika A adalah matriks invertibel makaA−1=1det (A)(Adj(A))Contoh: Misalkan A =a bc dmaka A−1 = 1ad−bcd −b−c a.Misalkan A adalah matriks invertible dan A−1 adalah inverse dariA. Jika Ax = b adalah suatu SPL yang punya solusi tunggal makasolusi dari SPL Ax = b adalah x = A−1b.Matriks persegi A punya inverse jika dan hanya jika det (A) = 0.Bandingkan solusi dari SPLx + 2y = 52x + y = 1dengan metode substitusi dan inverse.Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 15 / 33
  • 36. Outline1 Matriks2 Operasi Matriks3 Transpos Matriks4 Inverse Matriks5 Determinan MatriksEkspansi KofaktorMatriks Kofaktor dan Matriks Adjoin6 Aturan Cramer7 Soal-soal Latihan8 ReferensiDadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 16 / 33
  • 37. Pengertian DeterminanDefinitionMisalkan M adalah himpunan semua matriks persegi, kemudianA ∈ M. Determianan dari matriks A adalah fungsi yang memetakanAn×n ke bilangan x ∈ R. Determinan dari matriks yang tidak persegitidak didefinisikan.Determinan dari matriks A ditulis det(A) atau |A|.Determinan dari matriks A =a bc ddet (A) = deta bc d= ad − bc.Bagaimana dengan determinan dari matriks 3 × 3 ?Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 17 / 33
  • 38. Skema SarusPierre Fr´ed´eric Sarrus (10 March 1798, Saint-Affrique - 20November 1861) seorang matematikawan asal Perancis. Sarrusadalah profesor di universitas Strasbourg, Perancis (1826-1856)dan anggota akademi sains di Perancis (1842). Sarusmenemukan aturan mnemonic untuk menyelesaikan determinanuntuk matriks berukuran 3 × 3 yang dinamakan skema Sarrus.Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 18 / 33
  • 39. Skema SarusPierre Fr´ed´eric Sarrus (10 March 1798, Saint-Affrique - 20November 1861) seorang matematikawan asal Perancis. Sarrusadalah profesor di universitas Strasbourg, Perancis (1826-1856)dan anggota akademi sains di Perancis (1842). Sarusmenemukan aturan mnemonic untuk menyelesaikan determinanuntuk matriks berukuran 3 × 3 yang dinamakan skema Sarrus.Misalkan A =a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 18 / 33
  • 40. Skema SarusPerhatikan matriks dibawah+ + +a11 a12 a13 a11 a12a21 a22 a23 a21 a22a31 a32 a33 a31 a32− − −a11 a12 a13 a11 a12a21 a22 a23 a21 a22a31 a32 a33 a31 a32Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 19 / 33
  • 41. Skema SarusPerhatikan matriks dibawah+ + +a11 a12 a13 a11 a12a21 a22 a23 a21 a22a31 a32 a33 a31 a32− − −a11 a12 a13 a11 a12a21 a22 a23 a21 a22a31 a32 a33 a31 a32det (A) =a11a22a33 +a12a23a31 +a13a21a32 −a13a22a31 −a12a21a33 −a11a23a32Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 19 / 33
  • 42. Skema SarusPerhatikan matriks dibawah+ + +a11 a12 a13 a11 a12a21 a22 a23 a21 a22a31 a32 a33 a31 a32− − −a11 a12 a13 a11 a12a21 a22 a23 a21 a22a31 a32 a33 a31 a32det (A) =a11a22a33 +a12a23a31 +a13a21a32 −a13a22a31 −a12a21a33 −a11a23a32Tentukan determinan dari A =2 1 0−1 0 24 −2 7Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 19 / 33
  • 43. Determinan MatriksBagaimana mencari determinan matriks berukuran n × n untukn > 3 ?Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 20 / 33
  • 44. Determinan MatriksBagaimana mencari determinan matriks berukuran n × n untukn > 3 ?Bagaimana mencari adjoin dari matriks berukutan n × n untukn > 3?Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 20 / 33
  • 45. Determinan MatriksBagaimana mencari determinan matriks berukuran n × n untukn > 3 ?Bagaimana mencari adjoin dari matriks berukutan n × n untukn > 3?DefinisiMisalkan A adalah matriks persegi. Minor entri aij dinotasikan denganMij yakni determinan dari submatriks yang tersisa setelah baris ke-idan kolom ke-j dihapus dari matriks A. Bilangan (−1)i+jMij yangdinotasikan dengan Cij disebut entri kofaktor dari aij.Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 20 / 33
  • 46. ContohMisalkanA =3 1 42 5 61 4 8Minor entri a11 adalah3 1 42 5 61 4 8M11 =5 64 8= = 16keterangan: Angka berwarna biru dihapus.Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 21 / 33
  • 47. ContohMisalkanA =3 1 42 5 61 4 8Minor entri a11 adalah3 1 42 5 61 4 8M11 =5 64 8= = 16keterangan: Angka berwarna biru dihapus.Kofaktor a11 adalahC11 = (−1)1+1M11 = 16Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 21 / 33
  • 48. ContohMisalkanA =3 1 42 5 61 4 8Minor entri a11 adalah3 1 42 5 61 4 8M11 =5 64 8= = 16keterangan: Angka berwarna biru dihapus.Kofaktor a11 adalahC11 = (−1)1+1M11 = 16Tentukan minor entri dan kofaktor untuk entri-entri lainnya?Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 21 / 33
  • 49. Outline1 Matriks2 Operasi Matriks3 Transpos Matriks4 Inverse Matriks5 Determinan MatriksEkspansi KofaktorMatriks Kofaktor dan Matriks Adjoin6 Aturan Cramer7 Soal-soal Latihan8 ReferensiDadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 22 / 33
  • 50. Ekspansi KofaktorDengan menggunakan minor entri dan kofaktor kita dapatmenuliskan determinan dari matriks A =a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33 yangberukuran 3 × 3 yaitudet (A) = a11M11 + a12−M12 + a12M13= a11C11 + a12C12 + a13C13Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 23 / 33
  • 51. Ekspansi KofaktorDengan menggunakan minor entri dan kofaktor kita dapatmenuliskan determinan dari matriks A =a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33 yangberukuran 3 × 3 yaitudet (A) = a11M11 + a12−M12 + a12M13= a11C11 + a12C12 + a13C13Coba bandingkan dengan skema Sarus.Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 23 / 33
  • 52. Ekspansi KofaktorDengan menggunakan minor entri dan kofaktor kita dapatmenuliskan determinan dari matriks A =a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33 yangberukuran 3 × 3 yaitudet (A) = a11M11 + a12−M12 + a12M13= a11C11 + a12C12 + a13C13Coba bandingkan dengan skema Sarus.Secara umum determinan dari matriks M berukuran n × n adalahdet (M) = a11C11 + a12C12 + · · · + a1nC1nMetode ini dinamakan ekspansi kofaktor sepanjang baris pertamamatriks M.Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 23 / 33
  • 53. Outline1 Matriks2 Operasi Matriks3 Transpos Matriks4 Inverse Matriks5 Determinan MatriksEkspansi KofaktorMatriks Kofaktor dan Matriks Adjoin6 Aturan Cramer7 Soal-soal Latihan8 ReferensiDadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 24 / 33
  • 54. Matriks Kofaktor dan Matriks AdjoinDefinisiMisalkan A adalah matriks berukuran n × n dan Cij adalah kofaktordari aij. Matriks C11 C12 . . . C1nC21 C22 . . . C2n............Cn1 Cn2 . . . Cnndisebutmatriks kofaktor dari A. Transpos dari matriks ini disebutadjoin dari A dan dinotasikan oleh Adj(A).Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 25 / 33
  • 55. Outline1 Matriks2 Operasi Matriks3 Transpos Matriks4 Inverse Matriks5 Determinan MatriksEkspansi KofaktorMatriks Kofaktor dan Matriks Adjoin6 Aturan Cramer7 Soal-soal Latihan8 ReferensiDadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 26 / 33
  • 56. Aturan CramerTeoremaMisalkan Ax = b adalah sistem persamaan linear atas n persamaandan n variabel sedemikian sehingga det (A) = 0. Sistem Ax = bmempunyai solusi tunggal yaitux1 = det (A1det (A) , x2 = det (A2det (A) , . . . , xn = det (Andet (A)dimana Aj adalah matriks yang didapat dari mengganti entri-entripada kolom ke j pada matriks A dengan matriksb =b1b2...bnDadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 27 / 33
  • 57. Outline1 Matriks2 Operasi Matriks3 Transpos Matriks4 Inverse Matriks5 Determinan MatriksEkspansi KofaktorMatriks Kofaktor dan Matriks Adjoin6 Aturan Cramer7 Soal-soal Latihan8 ReferensiDadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 28 / 33
  • 58. 1 Tentukan nilai a, b, c dari kesamaan matriks berikuta − b b + c3d + c 2a − 4d=8 17 62 MisalkanA =3 −2 76 5 40 4 9 dan B =6 −2 40 1 37 7 5Tentukana. Baris pertama dari AB.b. Kolom ketiga dari AB.c. Baris ketiga dari AA.d. Kolom ketiga dari AA.Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 29 / 33
  • 59. 3. Misalkan A adalah matriks berukuran m × n dan 0 adalah matriksbarukuran m × n yang entri-entrinya nol. Tunjukkan jika kA = 0maka k = 0 atau A = 0.4. Misalkan A dan B adalah sebarang matriks sedemikan sehinggaperkalian AB terdefinisi. Tunjukkan jika A mempunyai satu barisyang semua entrinya nol maka AB juga mempunyai baris nol.5. MisalkanA =1 3 1 12 5 2 21 3 8 91 3 2 2Tentukan A−1.Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 30 / 33
  • 60. 6. Gunakan Aturan Cramer untuk menyelesaikan SPL berikuta.7x1 − 2x2 = 33x1 + x2 = 5.b.x1 − 3x2 + x3 = 42x1 − x2 = −24x1 −x3 = 0.c.−x1 − 4x2 + 2x3 + x4 = −322x1 − x2 + 7x3 + 9x4 = 14−x1 + x2 + 3x3 + x4 = 11x1 − x2 + x3 − 4x4 = −4.7. Buktikan aturan Cramer.Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 31 / 33
  • 61. Outline1 Matriks2 Operasi Matriks3 Transpos Matriks4 Inverse Matriks5 Determinan MatriksEkspansi KofaktorMatriks Kofaktor dan Matriks Adjoin6 Aturan Cramer7 Soal-soal Latihan8 ReferensiDadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 32 / 33
  • 62. ReferensiH. Anton, C. Rores. Elementary Linear Algebra 8th Edition,John Wiley and Sons, New York2000.Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 33 / 33