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  • 1. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE ELABORADO POR: Dr. RIBER DONOSO 1
  • 2. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJETodos los derechos reservados. Ninguna parte de este libro puede ser reproducida, trasmitida encualquier formato o por cualquier medio, sea electrónico, mecánico, fotocopia, grabación o de otramanera, o almacenado en un sistema de recuperación, sin el consentimiento previo y por escrito delautor. Esta publicación fue posible gracias al apoyo de:Fundación de Asistencia Social“NARCISA DE JESÚS”DeDicatoria 2
  • 3. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE¡Gracias a Dios por la vida que me hadado! ….De todo corazón a mi noblehija Mercedes, quien llena mi espíritude amor haciendo fácil mi caminarhacia el éxito.agraDecimiento: 3
  • 4. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEA mis padres, por la formación que mehan dado, la misma que me hapermitido caminar por la senda de laexcelencia y forjarme como un serhumano. introDUcciÓn 4
  • 5. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEE ste libro está dirigido a las personas que llevan la gestión de la enseñanza así como a sus pupilos, he incluso a universitarios y público en general; con un tono didáctico pero primando a la vez la enseñanza de la matemática moderna y con una finalidad aplicativa para que los niños desarrollen su talento en los diferentes métodos de aprender a aprender. En el documento se ubican didácticas que ayudan al proceso de enseñanza aprendizaje y que explican de manera divertida como resolver ejercicios y problemas de matemática; además incluye diapositivas que permitirán una explicación clara del contenido de texto. Por otra parte y, considerando que la motivación es parte importante en el proceso de enseñanza aprendizaje, ésta se expone de manera continuada, a fin de que el estudiante desarrolle no solamente aspectos didácticos relacionados con la Matemática, sino sus valores éticos y morales que le vayan perfeccionando como ser humano. La obra está adecuada para desarrollar la creatividad en el aula y en nuestra vida diaria, además de lograr la generación de ideas nuevas y el fortalecimiento de nuestra mente. LAS CICATRICES DE LOS CLAVOS 5
  • 6. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEEsta es la historia de un muchachito que tenía muy mal carácter. En una ocasión su padre ledio una funda de clavos y le dijo que cada vez que perdiera la paciencia, debería clavar unodetrás de la puerta.El primer día, el muchacho clavó algunos. Durante los días que siguieron, a medida queaprendía a controlar su temperamento, clavaba cada vez menos; descubriendo al final, que eramás fácil dominarse que clavar clavos detrás de la puerta.Llegó el día en que pudo controlar su carácter durante todo el día. Su padre le sugirió queretirara un clavo por cada día que lograrse dominarse.Los días pasaron, y pudo anunciar a su padre que no quedaban clavos para retirar. El hombrelo tomó de la mano, lo llevó hasta la puerta y le dijo: “Has trabajado duro, hijo mío, pero miraesos hoyos en la madera: nunca más será la misma. Cada vez que pierdas la paciencia, dejascicatrices como las que aquí ves; es decir, puedes insultar a alguien y retirar lo dicho, pero lacicatriz perdurará para siempre”Quizá muchos ya hayan leído esta historia, pero en eso consiste la vida, repetirse una y milveces si es necesario todo eso que a veces nos cuesta escuchar y asimilar, esta es una granlección, muy dura pero no pudo haberse hecho un mejor ejemplo el padre de este chiquillo,increíble, ustedes creen que a él se le olvidará, creo que no. DIDÁCTICA 6
  • 7. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEAprendiendo a sumar sin llevar.En los niños, cuando ejecutan una suma, se presenta el problema de que se olvidan de llevarcuando la suma de determinadas cifras en una columna da como resultado un número mayor anueve; entonces, resulta aplicable el siguiente procedimiento:EJERCICIO 1.Sume: 28 75 92 54 + 42 75 43 12 69 82ProcedimientoSume las cifras de las unidades y de las decenas ubicando los resultados en forma escalonadaluego del último número. En lo posible el maestro debe graficar el escalonamiento para que elestudiante no se equivoque. Al final los resultados escalonados se suman y se obtiene el resultadofinal Si utilizamos el método tradicional que tiene en cuenta que hay que llevar, tenemos que: 7
  • 8. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJESumo las cifras de las unidades y se obtiene 42; así escribo 2 y llevo 4.Sumo luego las cifras de las decenas obteniendo 57; que se escribe igual por no existir otras cifraspara la sumaEjercicio 2.Sume: 279 864 567 2458 + 639 725 668 222Si aplicamos el procedimiento del ejercicio anterior, tendremos:En la nueva suma que tendríamos que ejecutar, podemos observar que también se tiene quellevar; por lo tanto en estos casos debemos volver o aplicar el escalonamiento para que laoperación culmine con éxito; es decir: 8
  • 9. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE Si utilizamos el método conocido; tenemos: Sumando las cifras de las unidades se obtiene 52; por lo que escribo 2 y llevo 5 y así sucesivamente con las demásProblema 1.Los 5 hijos de Doña Mercedes deciden apoyarle económicamente para el pago de su operación(hernia discal); para lo cual aportan con las siguientes cantidades: $127; $130; $145; $172; $185.¿Qué capital juntaron los hijos de Doña Mercedes?Solución:El capital que se logro juntar es la suma de las cantidades que aportan cada uno de los hijos.ProcedimientoEs necesario sumar las cinco cantidades que se indicaron; es decir: Sin Llevar Llevando 9
  • 10. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE Respuesta: Entre todos los hermanos juntaron un capital de $759.Problema 2Don Tomás acaba de comprar en el supermercado para su restaurant, lo siguiente: $183 encompras; $125 en (arroz-azúcar- harina- maíz-lenteja-quaker, etc.); $ 65 en conservas; $73 enbebidas y $54 en útiles de oficina. ¿Cuánto gasto en total Don Tomás?Solución:El capital que gasta es la suma de las cantidades que se indican; es decir Sin llevar LlevandoRespuesta: Don Tomás hizo las compras en el supermercado para su restaurante, por la suma de $500.EJERCICIOS PROPUESTOS 10
  • 11. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE1.- Resuelva las siguientes sumas utilizando los métodos analizadosa)b)c) 11
  • 12. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEd)2.- Los miembros de una familia ganan los siguientes sueldos: $261, $310, $483, $634,$271, $423 y $723. ¿Cuánto perciben todos juntos? R=31053.- Los ingresos registrados durante 8 mese por una Empresa son los siguientes:$37.425, $72.764, $61.727, $87.247, $67.425, $17.343, $72.725 y $72324. Determinelos ingresos totales. 12
  • 13. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE R=488.980 Sé paciente. Te pasará, tarde o temprano: ¡la vida te abrirá la puerta, y te permitirá entrar y dar una gran fiesta!" Louis Brown JUEGOSitúa sobre los círculos de la serpiente los números del 1 al 9, de tal forma que cada líneahorizontal y vertical de 3 números sume 13. 13
  • 14. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJESOLUCIÓN: Se colocan los números 6, 7, 8, 9 en los círculos que se encuentran en línea inclinadadesde abajo hacia arriba. 9 8 7 6 3 9 8En la inclinación formada por 3 círculos se coloca los tres números que están abajo de 6; esto es el3, 4, 5 de arriba hacia abajo. 4 7 6 5 14
  • 15. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEFinalmente se colocarán los números restantes 1, 2 en la línea de círculos inclinado formado porespacios de arriba hacia abajo. 3 6 1 7 4 8 2 9 5 Da toDo Por QUien ameS 15
  • 16. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEHace muchos años, cuando trabajaba como voluntario en un Hospital de Stanford, conocí a unaniñita llamada Liz quien sufría de una extraña enfermedad. Su única oportunidad de recuperarseaparentemente era una transfusión de sangre de su hermano de 5 años, quien había sobrevividomilagrosamente a la misma enfermedad y había desarrollado anticuerpos necesarios paracombatirla. El doctor explicó la situación al hermano de la niña, y le preguntó si estaría dispuesto adar su sangre a su hermana. Yo lo vi dudar por solo un momento antes de tomar un gran suspiro ydecir:Si, lo haré, si eso salva a Liz.Mientras la transfusión continuaba, el estaba acostado en una cama al lado de la de su hermana, ysonriente mientras nosotros lo asistíamos a él y a su hermana, viendo retornar el color a lasmejillas de la niña.Entonces la cara del niño se puso pálida y su sonrisa desapareció. El miró al doctor y le preguntócon voz temblorosa ¿A qué hora empezaré a morirme?Siendo solo un niño, no había comprendido al doctor; él pensaba que le daría toda su sangre a suhermana. Y aún así se la daba. DIDÁCTICALos cuadros mágicos como herramienta práctica para desarrollar operaciones de suma denúmeros enteros, decimales o fraccionarios. 16
  • 17. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEUn cuadro mágico es un cuadrado que contiene cuadrículas en su interior que en número sepuede establecer de la siguiente manera 9, 16, 25, 36, etc. La característica que prevalece en laconstrucción de los mismos es que la suma de los números que se vayan ubicando en los mismossea la misma horizontal, vertical y diagonalmente. Por otra parte, cabe señalar que los númerosque vayan a ubicarse en el cuadro mágico deben corresponder a sucesiones en las que suselementos se encuentren a la misma distancia. Finalmente, los cuadros mágicos se los puedetrabajar con números enteros, fraccionarios y decimales, sean estos positivos o negativos.Ejercicio 1.Ubique números múltiplos de tres en las casillas del cuadro empezando desde el 6, de modo quela suma horizontal, vertical y diagonal sea la misma.Los números a colocarse serían 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30 todos ellos múltiplos de 3. Laaplicación de la condición estimularía un desarrollo de pensamiento al cual debe ser sometido elniño en un principio. En todo caso si hablamos de didácticas todos los niños tendrán el deseo deconocer un procedimiento de llenado adecuado que al final permita cumplir con el objetivo; porlo cual a continuación se pone a consideración el siguiente procedimiento: • Introduzca casilleros auxiliares en cada lado del cuadrado y ubique los números ordenados ascendentemente en las diagonales como indican las flechas 12 6 30 9 21 17 24
  • 18. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE 18 15 27Finalmente ubique dentro del cuadrado los números de los casilleros auxiliares según muestran lasfechas:Para verificar el cumplimiento de la condición, y a fin de ejercitarla suma se puede evacuaresta operación con los números dispuestos en la forma horizontal, vertical y diagonal; así: 9 30 15 9+24+21=54 + 24 + 18 + 12 30+18+6=54 21 6 27 54 54 54 18
  • 19. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE15+12+27=54 9 24 21 9+30+15=54 + 6 + 30 + 18 15 12 27 54 54 5424+18+12=54 21+6+27=54 9 15 9+18+27=54 + 18 + 1815+18+21=54 27 21 54 54Sugerencia: Usted en calidad de docente puede establecer las secuencias numéricas quedesarrollen el cuadro mágico cuidando que la distancia de número a número sea la misma.Ejercicio 2.Ubique los números decimales 0.375; 0.385; 0.395; 0.405; 0.415; 0.425; 0.435; 0.445; y0.455 en las casillas del cuadrado, de modo que la suma horizontal, vertical y diagonal seala misma. 19
  • 20. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEEjercicio 3.Ubique los números -12, -8,-4,0,4,8,12,16,20 en las casillas del cuadrado, de manera quela suma horizontal, vertical y diagonal sea la misma. 20
  • 21. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE(-8) + (12) + (8)=12(20) + (4) + (-12)=12(0) + (-4) + (16)=12(-8) + (20) + (0)=12(12) + (4) + (-4)=12(8) + (-12) + (+16)=12(-8) + (4) + (16)=12 (8) + (4) + (0)=12EJERCICIOS PROPUESTOS 21
  • 22. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE1.- Ubique las siguientes secuencias numéricas en cuadros mágicos, de tal manera quese cumple con la condición analizando anteriormente; es decir; que la sumahorizontal, vertical y diagonal de los números dispuestos sea la misma:A) 8 11 14 17 20 23 26 29 1; ; ; ; ; ; ; ; 5 5 5 5 5 5 5 5B) -17; -14; -11; -8; -5; -2; +1; +4;+ 7 22
  • 23. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEC) 0.27; 0.62; 0.97; 1.32; 1.67; 2.02; 2.37; 2.72; 3.07D) 7; 14; 21; 28; 35; 35; 42; 49; 56; 63 23
  • 24. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEE) 127; 165; 203; 241; 279; 317; 355; 393; 431F) -456;-200; 56; 312; 568: 824; 1.080; 1336; 1592 24
  • 25. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE El éxito es la habilidad de ir de fracaso a fracaso sin perder el entusiasmo. Winston Churchill JUEGOUna cada cuadrado con el triángulo que tiene la misma figura, tomando en cuenta que las líneasno pueden cruzarse ni salirse del diagrama. 25
  • 26. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJESOLUCIÓN: el EL MAESTRO 26
  • 27. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEUn día un maestro y su joven aprendiz salieron al campo, una vez que habían caminado muchodecidieron descansar en una morada muy humilde, en la que el maestro se percató que todos losindividuos que habitaban la casa eran extremadamente pobres, y que por lo general pasabandesocupados y sin hacer nada. El maestro preguntó qué hacían para sobrevivir, y el jefe del hogarle respondió que tenían una vaca que les daba varios litros de leche al día y que esa leche lautilizaban como alimento o la intercambiaban por otros productos. Al siguiente día el maestrodespués de despedirse de la familia dijo a su aprendiz que empujase a la vaca por un barranco,ante lo que este se opuso diciendo que su familia sobrevivía solo por esa vaca, el maestro con susilencio mostró su descontento y el aprendiz cedió y empujó a la vaca al vacío, tiempo después elaprendiz había regresado a la humilde vivienda a disculparse por lo que hizo, pero vio que laentrada era mucho más elegante había un amplio jardín y una casa bonita y el aprendiz pensó quea lo mejor los antiguos habitantes de la casa habían vendido la casa para poder alimentarse, peroal entrar a ella se dio cuenta de que todo los habitantes eran los mismos, el joven preguntó quéhabía pasado y el hombre respondió que al morir su vaca tuvieron que hacer otras cosas parasobrevivir y así acumularon mayor fortuna y se dieron cuenta de que debido al talento queposeían, dejaron de ser conformistas y que todos en la familia se habían superado. DIDÁCTICA Eres hábil para dibujar; pues aprende a multiplicar por el Método Gráfico. 27
  • 28. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE De hecho existen estudiantes que no logran memorizar las tablas de multiplicar haciéndose necesario utilizar un método de multiplicación que deje de lado el conocimiento de las tablas. De ahí que a través de los siguientes ejercicios el estudiante desarrolla un procedimiento de multiplicación que solo requiere saber contar. - Ejercicio 1 Multiplique 324 x 24 Solución:  Representamos el primer factor con líneas inclinadas hacia la derecha; es decir: 3 2 4  A continuación representamos el segundo factor con líneas inclinadas hacia la izquierda; es decir: 28
  • 29. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE • Advertencia: vigilar que se formen rombos perfectos.  Señalar en la figura los medios que posteriormente serán materia de conteo con flechas verticales.  Contamos los nudos estableciendo los resultados en la parte inferior de las flechas y tomando en cuenta los valores a llevarse; de la siguiente manera: 29
  • 30. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE  La comprobación puede llevarse a cabo aplicando la multiplicación normal: 324 X 24 1296 648 7776Es necesario que para empezar y si se trata de niños que no alcancen la memorización de tablas seutilice este método; pero al final el estudiante deberá resolver la multiplicación utilizando lastablas. Ejercicio 2. Multiplique 1200 x 320Cuando exista la presencia de ceros se requiere que la línea que los represente sea una líneapunteada de conformidad con el procedimiento que se establece a continuación: 0 2 30
  • 31. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE 3 1 2 0 0 • Advertencia: no se cuentan los enlaces entre líneas punteadas ni aquellas entre una línea punteada y una continua.Si efectuamos la multiplicación aplicando las tablas podríamos comprobar el resultadoobteniendo: 31
  • 32. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE 1200 X 320 24000 3600 384000TRUCOS PARA MULTIPLICAREJERCICIOS PROPUESTOS1.- Realizar las siguientes multiplicaciones por el método gráficoa) 2.731 X 324b) 207 X 1.275 32
  • 33. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEc) 313 X 1.200d) 4.155 X 2.784 33
  • 34. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEe) 123.456 X 27.984 Es duro fracasar, pero es todavía peor no haber intentado nunca triunfar. Theodore Roosevelt JUEGOEl docente indica. 34
  • 35. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE  El cuadrado que observas en la imagen ha sido dividido en 4 cuadrantes de igual tamaño  En la parte interna del cuadrado anterior ha sido diagramado otro cuadrado que se lo ha pintado de color verde.  A, B, C y D de acuerdo con lo ilustrado en la figura, representan los vértices del cuadrado B A C D  A continuación se te van a plantear 4 desafíos para que los resuelvas.Primer desafío.  Mentalmente, divide el área blanca del cuadrado A, de modo que resulten 2 piezas de igual tamaño. B A  Un estudiante pasa al frente y lo hace. C D 35
  • 36. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEEl docente motiva.  Bien…!!!  Reconoce que lo ha hecho en 5 segundos, ¿cierto?  ¿Vamos con el segundo desafío?Segundo desafío.  Mentalmente, divide el área blanca del cuadrante B, de modo que resulte 4 piezas de igual tamaño. B AEl docente dice: C D  ¿Qué te ha parecido ahora?  Muy fácil, ¿no?  Te estás preguntando si todo va a continuar así de sencillo…  ¿Mejor lo compruebas en el siguiente desafío?Tercer Desafío  Mentalmente, divide el área blanca del cuadrante C, de modo que resulten 4 piezas de igual tamaño.  Este ha sido un poco más difícil, ¿Verdad?  Si aún no sabes la solución, fíjate bien que la tienes delante de ti… B A 36 C D
  • 37. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE  Recuerda, tienes que dividir mentalmente el área blanca del cuadrante C, de modo que resulten 4 piezas de igual tamaño.  Aún no lo has visto?  Vamos a girar la figura inicial D A C B  Y sombramos el cuadrante D. Así nos queda la siguiente figura, identifica al cuadrante 37 C
  • 38. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE  Borramos un par de líneas que nos sobran… C  Luego la solución es: B A C D 38
  • 39. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE  Vamos por el último desafíoCuarto Desafío  Mentalmente, divide el área blanca del cuadrante D, de modo que resulten 5 piezas de igual tamaño.  Si ya has encontrado la solución al cuarto desafío sabrás entonces que…  La solución es: B A C D  Si al final no lo resolviste no te preocupes…  Casi nadie consigue resolverlo a pesar de lo sencillo que es.  Este juego es una forma de probar que el cerebro puede ser acondicionado a todo tipo de respuestas. viajar." sino u n mod estación o de de lleg "La felic ada, idad no 39 es una
  • 40. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE LA CASA IMPERFECTAUn maestro de construcción ya entrado en años estaba listo para retirarse a disfrutar su pensiónde jubilación. Le contó a su jefe acerca de sus planes de dejar el trabajo para llevar una vida másplacentera con su esposa y su familia. Iba a extrañar su salario mensual, pero necesitaba retirarse;ya se las arreglaría de alguna manera.El jefe se dio cuenta de que era inevitable que su buen empleado dejara la compañía y le pidió,como favor personal que hiciera el último esfuerzo: construir una casa más. El hombre accedió ycomenzó su trabajo, pero se veía a las claras que no estaba poniendo el corazón en lo que hacía.Utilizaba materiales de inferior calidad, y su trabajo, lo mismo que el de sus ayudantes, eradeficiente. Era una infortunada manera de poner punto final a su carrera.Cuando el albañil terminó el trabajo, el jefe fue a inspeccionar la casa y le extendió las llaves de lapuerta principal. “Esta es tu casa, querido amigo –dijo-. Es un regalo para ti”. 40
  • 41. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJESi el albañil hubiera sabido que le correspondía a su propia casa, seguramente la hubiera hechototalmente diferente. ¡Ahora que vivir en la casa imperfecta que había construido!Construimos nuestras vidas de manera distraída, y sin poner en esa actuación lo mejor denosotros. Muchas veces, ni siquiera hacemos nuestro mayor esfuerzo en el trabajo o en el estudio.La conclusión sería que debemos pensar como si estuviéramos construyendo nuestro destino.Construir con sabiduría es la única regla que podemos reforzar en nuestra existencia. La vida es elresultado de nuestras actitudes y elecciones en el pasado. La vida de nosotros será el resultadode nuestras actitudes y elecciones. DIDÁCTICALa multiplicación a través de la tabla de NepperUn procedimiento aplicable en la multiplicación, que otorga buenos resultados a nivel deniños es utilizar la tabla de Nepper que se expone a continuación: X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 4 6 8 0 2 4 6 8 3 0 1 1 1 2 2 2 3 6 9 2 5 8 1 4 7 4 1 1 2 2 2 3 3 4 8 2 6 0 4 8 2 6 5 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 0 5 0 5 0 5 0 5 6 0 1 1 2 3 3 4 4 5 6 2 8 4 0 6 2 8 4 7 0 1 2 2 3 4 4 5 6 7 4 1 8 5 2 9 6 3 8 0 1 2 3 4 4 5 1 7 8 6 4 2 0 8 6 4 2 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 7 6 5 4 3 2 1 41
  • 42. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEContando con este material concreto podríamos derivar el siguiente procedimiento parapoder ejecutar operaciones de multiplicación; así:Ejercicio 1Multiplicar 675 X 879Elaboramos la tabla que se señala a continuación ubicando al primer factor en formavertical y el segundo en forma horizontal. X 8 7 9 6 7 5Tomamos los valores resultantes de la multiplicación de cada par de números de la Tablade Nepper. X 8 7 9 6 4 4 5 8 2 4 7 5 4 6 6 9 3 5 4 3 4 0 5 5Sumamos las cantidades ubicadas en forma diagonal en la tabla anterior guiándome porlas fechas. X 8 7 9 6 5 4 4 5 +1 8 2 4 42
  • 43. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE 7 9 5 4 6 +2 6 9 3 5 4 3 4 3 +2 0 5 5 3 2 5 +1Leer el resultado siguiendo la flecha de la figura.675 X 879= 593325Si comprobamos a través de una multiplicación normal, tendremos: 6 7 5 x 8 7 9 6 0 7 5 4 7 2 5 5 4 0 0 5 9 3 3 2 5Ejercicio 2Multiplicar 67465 X 27980 43
  • 44. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJELeamos el resultado siguiendo la flecha: 67.465 x 279.800 = 18.876`707.000Comprobación: 2 7 9 8 0 0 x 6 7 4 6 5 1 3 9 9 0 0 0 1 6 7 8 8 0 0 1 1 1 9 2 0 0 1 9 5 8 6 0 0 1 6 7 8 8 0 0 1 8 8 7 6 7 0 7 0 0 0TRUCOS Y CURIOSIDADES DE MATEMÁTICAEJERCICIOS PROPUESTOS1.- Multiplicar utilizando la tabla de Nepper:a) 27 x 75 44
  • 45. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEb) 876 x 59c) 87.965 x 1.234 45
  • 46. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEd) 7.400 x 790.856 “El ser humano que hace más de aquello por lo que le pagan, pronto recibirá más de lo que hace”. Napoleón Hill 46
  • 47. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE JUEGO  Con 5 palitos de fósforo formar la figura de un hombre.  Ahora trate de desnudarlo "Estar contentos con lo que poseemos es la más segura y mejor de las riquezas."Cicerón 47
  • 48. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE UN DILEMAEstás conduciendo tu carro en una noche de tormenta terrible: Pasas por una parada yobservar a tres personas esperando el bus: 1. Una anciana que está a punto de morir. 2. Un viejo amigo que te salvo la vida una vez 3. La mujer de tus sueños¿A cuál llevarías, sabiendo que solo puedes llevar a un pasajero en tu automóvil?Piensa antes de seguir leyendo…… Piensa….Piensa….Ese es un dilema ético-moral que unavez se utilizó en una entrevista de trabajo.Podrías llevar a la anciana, porque va a morir y, por tanto, deberías salvarla primero; opodrías transportar al amigo; ya que él te salvo la vida una vez y esta sería la oportunidadperfecta de devolverle el favor. Sin embargo, tal vez nunca vuelvas a encontrar a la mujerde tus sueños….Piensa antes de seguir leyendo….Piensa….Piensa….El aspirante que fue contratado (de entre 200 aspirantes) no dudó al dar su respuesta. Meencantó y espero poder utilizarlo después en alguna entrevista. ¿Qué dijo? Simplementecontestó: “Le daría las llaves del coche a mi amigo y le dejaría que llevara a la anciana alhospital. Yo me quedaría y esperaría el autobús con la mujer de mis sueños”. Debemos 48
  • 49. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE superar las aparentes limitaciones que nos plantean los problemas y aprender a pensar creativamente. Un optimista ve una oportunidad en toda calamidad, un pesimista ve una calamidad en toda oportunidad. DIDÁCTICA Usando los dedos de las manos pase a multiplicar o aprender las tablas del 6 al 10. El método que se detalla a continuación es usado especialmente por los agricultores rusos y se sintetiza a partir del siguiente procedimiento: Ejercicio 1. Multiplique 7 x 7 Procedimiento  Numeramos los dedos de ambas manos desde el 6 hasta el 10 así: 8 8 9 9 Tomando en cuenta que: 0 7 7 0 0 0 0 0 6 dedo pulgar10 10 7 dedo anular 6 8 dedo medio 6 0 0 9 dedo índice 10 dedo meñique 49
  • 50. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE  Juntamos los dedos que contengan los números a multiplicar: Contamos ambos dedos unidos y los que hay por debajo de ellos, que para nuestro caso hacen untotal de cuatro y añadimos el cero. 10 10 9 9 8 8 7 7 6 6 1 2 3 4 40Contamos los dedos que hay por encima de los unidos, multiplicando el número de dedos que seestablece en cada mano; o sea: 3 x 3 = 9 50
  • 51. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE 10 10 9 10 10 9 8 8 9 7 9 7 6 8 8 7 6 7 6 6Sumamos ambos resultados, obteniendo de esta manera la respuesta 40 + 9 = 49 resultadode multiplicar 7 x 7.Ejercicio 2.Multiplicar 8 x 9Como se puede ver en la gráfica los dedos unidos y los que se encuentran debajo de ellos suman 7;que añadido el cero daría 70.Por otra parte sobre los dedos unidos se establecen los dedos en cada mano un 2 y 1 quemultiplicados darían 2.Sumados los valores obtenidos para encontrar el resultado final, nos daría: 51
  • 52. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE 70 + 2 = 72 resultado de multiplicar 8 x 9Sugerencia: Para ejercitar estas multiplicaciones utilice material didáctico; es decir prepare dosmanos de cartón, numere los dedos y proceda con los productos. JuegoEn la siguiente figura que tiene 9 círculos, ubica los dígitos del 1 al 9 sin repetir, de tal manera quesumado los dígitos de cada diagonal de cómo resultado 15.Procedimiento.Los números a colocarse son los siguientes: 1 2 3 4 5 6 7 8 9Y como es lógico el número central de acuerdo con lo necesario sería el 5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5Conectamos en secuencia de par en par el resto de números que pasa a ser parte de cadadiagonal. 1 2 6 3 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5 5 4 52 8 9
  • 53. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE "Somos poco felices con lo mucho que tenemos y vivimos muy tristes, por lo poquito que nos hace falta" Napoleon NO TE PUDE ESPERARUna vez un hombre muy afortunado había conseguido la mejor entrevista de su vida: Iba aentrevistar ni más ni menos que a Dios.Esa tarde el hombre llegó a su casa dos horas antes, se arregló con sus mejores ropas,lavó su automóvil e inmediatamente salió de su hogar. Manejó por la avenida principalrumbo a su cita, pero en el trayecto cayó un chubasco que produjo un embotellamientode tránsito y quedó parado. El tiempo transcurriría, eran las 7:30 y la cita era a las 8:00p.m.Repentinamente le tocaron el cristal de la ventanilla y al voltear vio a un chiquillo de unosnueve años ofreciéndole su cajita llena de chicles (goma de mascar). El hombre sacó algúndinero de su bolsillo y cuando lo iba a entregar al niño ya no lo encontró. Miró hacia elsuelo y ahí estaba, en medio de un ataque de epilepsia. El hombre abrió la portezuela eintrodujo al niño como pudo al automóvil. 53
  • 54. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEInmediatamente buscó como salir del embotellamiento y lo logró, dirigiéndose al hospitalde la Cruz Roja más cercana. Ahí entregó al niño, y después de pedir que lo atendiesen dela mejor forma posible, se disculpó con el doctor y salió corriendo para tratar de llegar asu cita con Dios.Sin embargo, el hombre llegó 10 minutos tarde y Dios ya no estaba. El hombre se ofendióy le reclamó al cielo: “Dios mío, pero tú te diste cuenta, no llegué a tiempo por el niño, nome pudiste esperar. ¿Qué significan 10 minutos para un ser eterno como tú?Desconsolado se quedó sentado en su automóvil; de pronto lo deslumbró una luz y vio enella la carita del niño quien auxilió. Vestía el mismo suetercito deshilachado, pero ahoratenía el rostro iluminado de bondad.El hombre, entonces, escuchó en su interior una voz: Hijo mío no te pude esperar… y salí atu encuentro.“Nos quejamos de que nuestros días son muy cortos, pero actuamos como si fueraneternos” 54
  • 55. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE DIDÁCTICAEres hábil para dibujar y sabes contar y sumar; pues ahora realizaremos multiplicaciones en lasque no se necesita saber las tablas de multiplicar.Ejercicio 1Multiplicar 14 x 28ProcedimientoDibujamos dos círculos que representan al primer factor de acuerdo con el valor de la primeracifra y cuatro círculos que representan el valor de la segunda cifra de acuerdo a si mismo con elnúmero de cifras; así:PRIMER FACTORSEGUNDO FACTOR:Dividimos los círculos de la primera columna en dos partes y los círculos de la segunda columna en8 partes de conformidad en las cifras del segundo factor. 55
  • 56. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJETrazamos las rectas oblicuas tomando en cuenta la posición de los círculos.Colocamos puntos en cada porción determinada por las circunferencias.; así 56
  • 57. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEContamos los puntos de los círculos de cada diagonal empezando desde la parte inferior.El resultado se lee desde la parte superior 392 57
  • 58. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJESi comprobamos utilizando el método tradicional: 14 X28 112 28 392Ejercicio 2Multiplique 23 x 321 58 Resultado: 7383 8 3
  • 59. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEEJERCICIOS PROPUESTOS1.- Utilizando el método estudiado efectué los siguientes productos:a) 324 x 15b) 2.725 x 173 59
  • 60. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEc) 4.920 x 273d) 52 x 1.234 60
  • 61. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE JUEGOEn la siguiente figura coloca los números dígitos del 1 al 8 sin repetir; de tal manera que no seanconsecutivos ni horizontal, ni vertical, ni diagonalmente.Procedimiento  Ubicamos en secuencia los dígitos a ingresarse en la figura 1 2 3 4 5 6 7 8  Pensando primero en las dos cuadriculas centrales, ubiquemos los números más alejados 1 2 3 4 5 6 7 8 1 8 61
  • 62. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE  A continuación ubicamos asimismo los números que en secuencia son los más alejados en los lados horizontales cumpliendo la no consecutividad. 1 2 3 4 5 6 7 8 7 1 8 2  Así mismo en secuencia se debe ubicar el otro par de números en diagonal cuidando que se cumpla la condición del problema. 1 2 3 4 5 6 7 8 3 7 1 8 2 62 6
  • 63. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEY los últimos números en las cuadriculas sobrantes 1 2 3 4 5 6 7 8 3 5 7 1 8 2 4 6 “Las únicas limitaciones son aquellas que nos 63
  • 64. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE LA ESPERANZATomás es un chico de siete años que vive con su mamá, una pobre costurera, en su solo cuarto, enuna pequeña ciudad del norte de Escocia. La víspera de Navidad, en su cama, el chico espera,ansioso, la venida de Papá Noel.Según la costumbre de su país, ha colocado en la chimenea una gran media de lana, esperandoencontrarla, a la mañana siguiente, llena de regalos, pero su mamá sabe que no habrá regalos deNavidad para Tomás, por su falta de dinero, para evitar su desilusión, le explica que hay bienesvisibles, que se compran con dinero, y bienes invisibles, que no se compran, ni se venden, ni seven, pero que lo hacen a uno muy feliz: como el cariño de la mamá, por ejemplo.Al día siguiente, Tomás despierta, corre a la chimenea y ve su media vacía. 64
  • 65. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJELa recoge con emoción y alegría y se la muestra su mamá: “¡Está llena de bienes invisibles!”, ledice, y se le ve feliz.Por la tarde va Tomás al salón parroquial donde se reúnen los chicos, donde cada cual estámostrando orgulloso su regalo. “¿Y a ti, Tomás, qué te ha traído Papá Noel?” le preguntan. Tomásmuestra feliz su media vacía: “A mí me ha traído bienes invisibles”, contesta. Los chicos se ríen deél. Entre ellos Federico un niño consentido, tiene el mejor regalo pero no es feliz. Por envidia suscompañeros le hacen burla porque su lindo auto a pedal no tiene marcha atrás (reversa), yenfurecido destruye el valioso juguete.El papá de Federico se aflige, ¿Cómo dar el gusto a su hijo? En eso ve a Tomás sentado en unrincón, feliz con su media vacía. ¿Qué te ha traído Papá Noel?, a mí bienes invisibles, contesta antela sorpresa del papá de Federico, y le explica que no se ven, ni se compran, ni se venden, como elcariño de una mamá.El papá de Federico comprendió. Los muchos regalos vistosos no habían logrado la felicidad de suhijo. Tomas había descubierto, gracia a su mama, el camino de la felicidad. 65
  • 66. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE DIDÁCTICAAprendamos a restar en la recta numérica. Para ello el niño debe saber diagramar la rectanumérica.Ejercicio 1.Obtenga el resultado de 3 – 5Procedimiento  Realizamos una recta numérica -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4  Señalamos en la recta numérica el minuendo, a través de una circunferencia -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4  Recorremos el valor indicado por el sustraendo desde el valor ubicado como minuendo hacia la izquierda. -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 66
  • 67. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE  Registramos el resultado 3 – 5 = -2Ejercicio 2.Obtenga el resultado de 7 – 3 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7El Resultado de 7 – 3 = 4EJERCICIOS PROPUESTOS1.- Utilizando la recta numérica efectúe los siguientes rectasa) 9 -7b) 8 -13c) -7 -3d) 6 -15e) 9 -17 67
  • 68. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE VIDEO MOTIVACIONAL JUEGODe un solo trazoCon líneas tachar los puntos sin levantar el lapicero.Solución: 68
  • 69. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJECon 7 líneas tachar todos los puntos sin levantar el lapicero. Aprenderás Lecciones, estás inscrito en una escuela informal de tiempo completo llamada vidaSolución. 69
  • 70. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE MOTIVACIONAL LAS CICATRICES DE LOS CLAVOSEsta es la historia de un muchachito que tenía muy mal carácter. Su padre le dio una funda declavos y le dijo que cada vez que perdiera la paciencia, debería clavar uno detrás de la puerta.El primer día, el muchacho clavó. Durante los días que siguieron, a medida que aprendía acontrolar su temperamento, clavaba cada vez menos. Descubrió que era más fácil dominarse queclavar clavos detrás de la puerta.Llegó el día en que pudo controlar su carácter durante todo el día. Su padre le sugirió que retiraraun clavo por cada día que lograse dominarse.Los días pasaron, y pudo anunciar a su padre que no quedaban clavos para retirar. El hombre lotomó de la mano, lo llevó hasta la puerta y le dijo: “Haz trabajado duro, hijo mío, pero mira esoshoyos en la madera: nunca más será la misma. Cada vez que pierdes la paciencia, dejas cicatricescomo las que aquí ves. Puedes insultar a alguien y retirar lo dicho, pero la cicatriz perdurará parasiempre” 70
  • 71. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEQuizá muchos ya hayan leído esta historia, pero en eso consiste la vida, repetirse una mil veces sies necesario todo eso que a veces nos cuesta escuchar y asimilar, esta es una gran lección, muydura pero no pudo haberse hecho un mejor ejemplo el padre de este chiquillo, increíble, ustedescreen que a él se le olvidará, creo que no.Mi hermano mayor ha comprado un librito llamado “Tips para la vida” es de Hilda María Pedraza,sé que la historia no es de ella, porque el libro es la recopilación de muchas historias, lástima queno dice quien es el autor, pero bueno en todo caso la intención es lo que cuenta, aunque sé queasí no deben hacerse las cosas. DIDÁCTICAMultipliquemos utilizando el método ruso. Solamente necesitas saber sumar y saber la tabla del 2para duplicar cantidades y dividir para 2.Ejercicio 1Multiplicar 24 x 8Procedimiento:Colocamos los dos factores dispuestos en columnas de manera que el primero se va multiplicandopor dos y el otro se va dividiendo para 2 hasta que este último llegue a la unidad. 24 8 48 4 96 2 192 1La última cantidad de la primera columna será considerada como el resultado de la multiplicación. 24 X 8 = 1 9 2 71
  • 72. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEEjercicio 2Multiplicar 31 x 18 31 18 62 9 (8) 124 4 248 2 496 1De salir un número impar como el que observa en la tabla (9), se resta 1 para que sea par ycontinuamos con el método haciendo una marca en el reglón correspondiente y posteriormentese suma la cantidad marcada en el último número de la primera columna, siendo este elresultado. 6 2 X 4 9 6 5 5 8Por lo tanto 31 X 18 = 558Ejercicio 3.Multiplicar 31 x 18 115 23 (22) 230 11(10) 460 5(4) 920 2(10) 1840 1 72
  • 73. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE 1840 230 + 460 115 2645Es necesario tener en cuenta que por las cantidades impares que arroje la realización de esteejercicio lo hace más extenso pero en todo caso el resultado se registra. 115 X 23 = 2645EJERCICIOS PROPUESTOS1.- Realice los siguientes productos utilizando el método estudiado. a) 23 x 75 b) 247 x 46 73
  • 74. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE c) 2.946 x 325 d) 216 x 1.437 74
  • 75. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE VIDEO MOTIVACIONAL JUEGOAdivinando el día y el mes de nacimientoSolicitar a uno o varios estudiantes:Que escriba el número del día en que nació  Que a ese número le añada el cero a la derecha  Que el total multiplique por dos  Que agregue 73 a ese producto  Que este gran total sea multiplicado por 5  Finalmente que sume el número del mes de su nacimientoEste gran total lo recepta Usted e inmediatamente anunciará el signo, el mes, el día y la hora enque nació. Estos dos últimos datos casi nadie lo sabe. 75
  • 76. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEEJEMPLOSi una persona nació el 30 de Junio hará lo siguiente ante los pedidos formulados por Usted.- A 30 le agrega 0 300- El resultado multiplica por 2: 2 X 300 = 600- Luego suma 73, quedando 600 + 73 = 673- Multiplica por 5: 673 x 5 = 3365- Luego suma 6 que corresponde a Junio: 3365 + 6 = 3371- Anuncia el número- Ahora Usted a 3371 le resta 365 (siempre esa cantidad) 3371 – 365 = 3006 30 06 30 de Junio, signo cáncer ¿QUÉ TE IMPIDE VOLAR? DÍA MES la hora le pone usted, así como el día “El ser humano que hace más de aquello por lo que le pagan, pronto recibirá más de lo que 76
  • 77. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE EL REY Y EL HALCÓNUn rey recibió como obsequio, dos pequeños halcones, y los entregó al maestro de cetrería paraque los entrenara.Pasados unos meses, el maestro le informó al rey que uno de los halcones estaba perfectamentepero que al otro no sabía que le sucedía, no se había movido de la rama donde lo dejó desde el díaque llegó.El rey mandó llamar a curanderos y sanadores para que vieran al halcón, pero nadie pudo hacervolar el ave. Encargó entonces la misión a miembros de la corte, pero nada sucedió.Al día siguiente por la ventana, el monarca pudo observar, que el ave aún continuaba inmóvil.Entonces decidió comunicar a su pueblo que ofrecería una recompensa, a la persona que hicieravolar al halcón. 77
  • 78. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEA la mañana siguiente, vio al halcón volando ágilmente por los jardines. El rey le dijo a su corte,traedme al autor de ese milagro.Su corte rápidamente le presentó a un campesino.El rey le preguntó:¿Tú hiciste volar al halcón?, ¿Cómo lo hiciste?, ¿Eres mago?Intimidado el campesino le dijo al rey:Fácil mi rey, sólo corté la rama, y el halcón voló, se dio cuenta que tenía alas y se fue a volar.Tenemos sueños, queremos resultados, buscamos oportunidades, pero no siempre estamosdispuestos a correr riesgo, no siempre estamos dispuestos a transitar caminos difíciles.Nos conformamos con lo que tenemos, creemos que es lo único y posible, y aprendemos a vivirdesde la resignación.No puedes descubrir nuevos mares… a menos que tengas el coraje para volar. “La motivación nos impulsa a comenzar y el hábito nos permite continuar” Jim Ryum 78
  • 79. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE DIDÁCTICA CON MATERIAL DIDÁCTICOA multiplicar con la caja maquinder. El estudiante debe saber solo contar. Este proceso sirve para realizar operaciones que van desdeel uno hasta el doce.Materiales: • Vasos plásticos • SemillasEjercicio 1.Multiplique 4 X 6 • En la multiplicación el primer número me indica el número de vasos que voy a ocupar; en este ejemplo se va a utilizar 4 vasos. Número de vasos 4 X 6 • El segundo término indica la cantidad de semillas que voy a poner en cada envase; en este caso se pondrá 6 semillas. 79
  • 80. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE 4 X 6 Numero de semillas • Luego se procede a contar cada una de las semillas que están en los envases, pasándole al envase central. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1er Envase 2er Envase 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 3er Envase 4to Envase 4 X 6 = 24De este modo obtenemos de una manera entretenida la respuesta de la multiplicación que deseamos. Se sugiere que el método sea utilizado cuando el estudiante recién empieza a multiplicar y que las aplicaciones se las haga con factores de una sola cifra. EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Resuelva los siguientes productos utilizando el procedimiento que ha sido material de estudio. a) 7 x 35 80
  • 81. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE b) 4 x 6 c) 9 x 6 d) 3 x 8 e) 5 x 6 81
  • 82. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE VIDEO MOTIVACIONAL JUEGOAhora adivinemos el número de hermanos.Pídale a una o varias personas que: - Escriba el número de hermanos hombres que tenga - Sume a ese resultado el número de hermanas - Multiplique por 5 el resultado - Sume 20 a este último resultado - Multiplique a continuación por 20 - Sume al producto el número de hermanas que tiene - Sume finalmente 5 al resultado final.La persona a continuación da el resultado y usted rápidamente le dice el número de hermanos quetiene. 82
  • 83. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE EJEMPLOSi la persona tiene 1 hermano hombre y 3 hermanas mujeres harán lo siguiente: - Escribir 1 - Suma 3 : 1 + 3 = 4 - Multiplico el resultado por 5 : 5 x 4 = 20 - Sumo 20 : 20 + 20 = 40 - Multiplico por 2 : 40 x 2 = 80 - Sumo el número de hermanos : 80 + 3 = 83 - Sumo 5 a este último resultado : 83 + 5 = 88 - Este número le da a Usted.Recibido el número usted resta 75 (constante) Así 88 – 75 = 13La primera cifra del resultado representa a los hombres; ósea 1 y la segunda cifra representa alnúmero de mujeres; ósea 3 83
  • 84. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE "El hombre inteligente no es el que tiene muchas ideas, sino el que sabe sacar provecho de las pocas que tiene." Anónimo LA BARBERÍAUn hombre fue a una barbería a cortarse el cabello y recortarse la barba, como es costumbre enestos casos, entabló una amena conversación con la persona que lo atendía. Hablaban de tantascosas y tocaron muchos temas. De pronto, tocaron el tema de Dios. 84
  • 85. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEEl barbero dijo:Fíjese caballero que yo no creo que Dios exista, como usted dice.Pero, ¿por qué dice usted eso? preguntó el cliente.Pues es muy fácil, basta con salir a la calle para darse cuenta de que Dios no existe.O…. dígame, acaso si Dios existiera, ¿habría tantos enfermos?, ¿Habría niños abandonados?Si Dios existiera, no habría sufrimiento ni tanto dolor para la humanidad.Yo no puedo pensar que exista un Dios que permita todas estas cosas.El cliente se quedó pensando un momento, pero no quiso responder para evitar una discusión.El barbero terminó su trabajo y el cliente salió del negocio. Recién abandonaba la barbería, vio enla calle a un hombre con la barba y el cabello largo; al parecer hacía mucho tiempo que no se locortaba y se veía muy desarreglado. Entonces entró de nuevo a la barbería y le dijo al barbero:¿Sabe una cosa? Los barberos no existen¿Cómo que no existen? Preguntó el barbero. Si aquí estoy yo y soy barbero¡No! Dijo el cliente, no existen porque si existieran no habría personas con el pelo y la barba tanlarga como la de ese hombre que va por la calle.Ah, los barberos sí existen, lo que pasa es que esas personas no vienen hacia mí 85
  • 86. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE¡Exacto! Dijo el cliente. Ese es el puntoDios sí existe, lo que pasa es que las personas no van hacia él y no le buscan, por eso hay tantodolor y miseria. "En el camino de tu vida, no es tan importante la distancia a que has llegado, sino la dirección que llevas." Anónimo DIDÁCTICAQue fácil resulta multiplicar una cantidad por once o múltiplos de once, si utilizamos el siguienteproceso; para ello debes saber sumar.Ejercicio 1Multiplique 25.427 X 11Procedimiento.Colocamos ambos factores horizontalmente. 2 5 4 2 7 X 1 1A continuación y ocupando la posición que se indica se ubica la última cifra del primer factor. 2 5 4 2 7 X 1 1 7 86
  • 87. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJESe suma la cifra colocando más la penúltima cifra; luego la penúltima cifra más la antepenúltima yasí sucesivamente.Finalmente y al término de la columna se coloca la primera cifra del primer factor obteniéndosede esa manera el resultado, que debe ser leído desde abajo 2 5 4 2 7 X 1 1 7Si comprobamos la multiplicación por el 9 método tradicional 6 2 5 9 4 2 7 X 7 1 1 2 5 4 2 7 Resultado: 279.697 2 2 5 4 2 7 2 7 9 6 9 7Ejercicio 2Multiplicar 46.789 X 11 El resultado leído desde abajo es: 5 1 4. 6 7 9 87
  • 88. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEComprobando mediante la multiplicación tradicional tenemos:EJERCICIOS PROPUESTOS1.- Utilizando el método estudiado efectué las siguientes multiplicaciones: a) 27.845 x 11 4 6 7 8 9 X 1 1 4 6 7 8 9 4 6 7 8 9 R: 306.295 5 1 4 6 7 9 b) 9.876 x 11 88
  • 89. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE R: 108.636 c) 798.654 x 11 R: 8´785.194 d) 1´235.796 x 11 89
  • 90. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE R: 13´593.756 VIDEO MOTIVACIONAL JUEGOSiempre da 30Pida a un estudiante que escriba un dígito del 1 al 6 y usted haga lo mismo, de manera que alsumar las cantidades usted llegará siempre primero a 30, no importa quién empiece.Ahora si el empieza trate de formar usted primero la suma de nuevo y luego completar 7sucesivamente.Si Usted empieza, hágalo con el 1 o el 2 para alcanzar el 9 primero y luego seguir emparejando lossiete, hasta llegar primero a 30 90
  • 91. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE No hay nada en la vida que no contenga sus lecciones. Si estás vivo, siempre tendrás algo para aprender. EL VALOR DE LA AMISTADSe contaba en un colegio esta historia:Un día cuando era estudiante de secundaria, vi a un compañero de mi clase caminando de regresoa su casa. Se llamaba Carlos. Iba cargando todos sus libros y pensé: “¿Por qué estará llevandotodos sus libros el viernes? Debe ser un nerd.Yo ya tenía planes para todo el fin de semana: Fiestas y un partido de fútbol con mis amigos elsábado por la tarde, así que me encogí de hombros y seguí caminando. 91
  • 92. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEMientras caminaba, vi a un montón de chicos corriendo hacia él, y cuando lo alcanzaron, le tirarontodos sus libros y le hicieron una zancadilla que lo arrojó al suelo; sus anteojos volaron y cayeronen el paso como a tres metros de él. Miré hacia él y pude ver una tremenda tristeza en sus ojos.Mi corazón se estremeció, así que corrí hacia él gateaba buscando sus anteojos. Observé algunaslágrimas en sus ojos. Le acerqué a sus manos sus anteojos y le dije ¡Estos chicos son unos tarados,no deberían hacer esto!Me miró y me dijo: ¡Hola… gracias!Había una gran sonrisa en su cara. Lo ayude con sus libros pues vivía cerca de mi casa. Le preguntépor qué no lo había visto antes y me contó que se acababa de cambiar de una escuela privada.Caminamos hasta su casa. Le pregunté si quería jugar futbol el sábado, con mis amigos, y aceptó.Estuvimos juntos todo el fin de semana. Llegó el lunes por la mañana y ahí estaba Carlos con unanueva pila de libros. Me paré y le dije: Hola, vas a sacar músculos si cargas todos esos libros todoslos días.Se rió y me dio la mitad para que le ayudara.Durante los cuatro años siguientes, Carlos y yo nos convertimos en los mejores amigos.Cuando ya estábamos por terminar la secundaria, Carlos decidió ir a la Universidad de Georgetowny yo iría a la Duque. Sabía que seríamos amigos, que la distancia no sería un problema.El estudiaría medicina y yo administración, con una beca de fútbol.Carlos fue el orador de nuestra graduación. Yo lo fastidiaba todo el tiempo diciéndole que era unnerd. Llegó el gran día. El preparó el discurso. Y estaba feliz de no ser yo el que tenía que hablar.Carlos se veía realmente bien. Era de esas personas que se había encontrado a sí mismo en lasecundaria, había mejorado en todos los aspectos y se veía bien con sus anteojos. ¡Tenía más citascon chicas que yo y todas lo adoraban! ¡Caramba! Algunas veces me sentía celoso… 92
  • 93. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEPude ver que él estaba nervioso por el discurso, así que le di una palmadita en la espalda y le dije: - Vas a ver qué estarás genial, amigo.Me miró con una de esas miradas realmente de agradecimiento y me sonrió - Gracias me dijo. Limpió su garganta y comenzó el discurso:“La graduación es un buen momento para dar las gracias a todos aquellos que nos han ayudado através de estos años difíciles: tus padres, tus hermanos, quizás algún…pero principalmente a tusamigos. Yo estoy aquí para decirles a ustedes, que ser amigo de alguien es el mejor regalo quepodemos dar y recibir y, a propósito, les voy a contar una historia…”Yo miraba a mi amigo incrédulo cuando comenzó a contar la historia del día que nos conocimos.Aquél fin de semana él había tenido planeado suicidarse. Estaba solo, tenía grandes problemas.Habló de cómo había limpiado su casillero de la escuela y porque llevaba todos sus libros con él:Para que su mamá no tuviera que ir después a recogerlos.Me miraba fijamente y me sonreía.“Afortunadamente fui salvado. Un amigo me salvo de hacer algo irremediable”.Yo escuchaba con asombro cómo este apuesto y popular chico contaba a todos ese momento dedebilidad. Su padre también me miraba y me sonreía con muestras de gratitud. Recién en esemomento me di cuenta de lo profundo de sus palabras:Nunca subestimes el poder de tus acciones: con un pequeño gesto, puedes cambiar la vida de otrapersona, para bien o para mal.Los amigos son ángeles que nos llevan en sus brazos cuando nuestras alas tienen problemas pararecordar cómo volar. 93
  • 94. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE¿Sabemos y tenemos conciencia de las consecuencias de nuestros actos, para bien o para mal?No somos responsables de la felicidad o infelicidad de los demás, ¿pero si es cierto que a vecescontribuimos con la primera. DIDÁCTICAAmpliando figuras con el uso del factor multiplicativo.Ejercicio 1Construya un rompecabezas como el que figura a continuación pero más grande, de modo que laparte que mida 4cm en el dibujo mida 9cm en el nuevo rompecabezas. 94
  • 95. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE Procedimiento. Determinamos el factor multiplicativo que estaría compuesto por el valor ampliado sobre el valor a ampliarse; es decir: Multiplicamos cada medida por el factor multiplicativo; así: Establecemos medidas totales para cada uno de los dados Lado 1=+ L1 = L2 = L3 = L4 = 63/4 Realizamos el trazado de la nueva figura. 95
  • 96. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEEjercicio 2Realice una figura semejante a la siguiente, cambiando la medida 4cm por 6cm, cabe anotar que lafigura principal corresponde a un triangulo equilátero. (Lados y ángulos iguales).Factor Multiplicador: 6/4Medidas Ampliadas en sentido Horario: 96
  • 97. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJELa longitud de cada lado sería:6+ + = 97
  • 98. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE JUEGOAdivinando un número de tres cifrasSolicite a alguien que piense un número de 3 cifras (que no le indique); y que luego realice losiguiente:  Duplique su primera cifra (olvidándose por el momento de las otras 2)  Sume 5 al resultado  Lo obtenido multiplique por 5  Que añada la segunda cifra del número que pensó  Multiplique por 10 el resultado  Al número recién obtenido que le sume la tercera cifra del número que el pensó  Que enuncie lo que obtuvoAl final Usted. Recibe el número y le resta “250” y obtendrá el número que él o ella pensó.EJEMPLOSupongamos que el estudiante pensó el 387 - duplica : 2 x 3 = 6 - suma : 6 + 5 = 11 - Multiplica por 5 = 11 x 5 = 55 - Suma la segunda cifra : 55 + 8 = 63 - Multiplica por 10 : 10(63) = 630 - Suma la tercera cifra : 630 + 7 = 637 Finalmente Ud. en forma mental: 637 – 250 = 387 98
  • 99. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE "Una persona predestinada es la que construye un sólido edificio, con los ladrillos que le van tirando los que quieren voltearlo" David Brinkley HELADO PARA EL ALMALa semana pasada llevé a mis niños a un restaurante. Mi hijo de 6 años de edad preguntó si podíadar las gracias. Cuando inclinamos nuestras cabezas el dijo: “Dios es bueno, Dios es grande, graciaspor los alimentos, yo estaría aún más agradecido si mamá nos brindara helado para el postre.Libertad y Justicia para todos. Amén”Junto con las risas de los clientes que estaban cerca, escuché a una señora comentar: “Eso es loque está mal en este país, los niños de hoy en día no saben cómo orar, pedir a Dios helado….”¡Nunca había escuchado esto antes!” Al oír esto, mi hijo empezó a llorar y me preguntó: “¿Estáenojado Dios conmigo? 99
  • 100. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJESostuve a mi hijo y le dije que había hecho un estupendo trabajo y Dios seguramente no estaríaenojado con él.Un señor de edad se aproximó a la mesa. Guiñó su ojo a mi hijo y le dijo: “Llegué a saber que Diospensó que aquella fue una excelente oración”.¿En serio? Preguntó mi hijo. -¡por supuesto! Luego en un susurro dramático añadió, indicando a lamujer cuyo comentario había iniciado aquel asunto: “Muy mal, ella nunca pidió helado a Dios. Unpoco de helado, a veces es muy bueno para el alma”.Como era de esperar, compré a mis niños helados al final de la comida. Mi hijo se quedó mirandofijamente el suyo por un momento y luego hizo algo que nunca olvidaré por el resto de mi vida.Tomó su helado y sin decir una sola palabra avanzó hasta ponerlo frente a la señora.Con una gran sonrisa le dijo: “Tómelo, es para usted. El helado es bueno para el alma y mi alma yaestá bien”. DIDÁCTICAEncontremos la raíz cuadrada de números de cuatro cifras utilizando un método didáctico.Ejercicio 1EncontrarProcedimientoDibujamos cuatro cuadrados unificados y ubicamos diagonales sobre cada cuadrado.Escribimos el número 1296 de izquierda a derecha como se indica en la figura. 100
  • 101. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE 6 9 1 2En el segundo cuadro buscamos un cuadrado perfecto que termine en 6 por ejemplo el 36; y en eltercer cuadro buscamos el cuadrado perfecto que más se aproxime al número que está abajo eneste caso el 12; así:Sacamos los cuadrados de los números anteriores escritos en los cuadrados; así: 101
  • 102. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEMultiplicamos las cifras del número obtenido: 3 X 6 = 18Este número lo escribimos en los cuadros restantesLuego sumamos diagonalmente las cifras y la suma que se realice tiene que ser igual al númeroque queremos sacar la raíz cuadrada; si lo es, la respuesta en este caso sería 35; si no, tenemosque probar con otros cuadrados perfectos; así: 8 6 6=6 1 3 8 9 0 1 9=9 1=1 2=2Como la suma coincide la respuesta de la raíz es 36Ejercicio 2Determinar 1. 102
  • 103. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE 2. 3. 5 x 7 = 35 4. 5.Como la suma coincide, la respuesta de la raíz es 57.EJERCICIOS PROPUESTOS1.- Utilizando el método analizado, encuentra la raíz cuadrada de los siguientesnúmeros: 103
  • 104. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE a) 2.116 b) 1.444 c) 9.409 104
  • 105. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE d) 2.209 VIDEO MOTIVACIONAL JUEGOINGENIO MATEMÁTICOAntes de un examen de Matemática que se califique sobre 10 inicie incentivando a los estudiantesen el sentido de que todos pueden obtener nueve en Matemática.PROCEDIMIENTO - Solicite a un estudiante o a todos escriban su edad - A continuación que escriban el número de horas que duermen en la noche - Bajo las dos cantidades escriban lo que gastan en comida diariamente. - Pida luego que sumen las tres cantidades y luego los dígitos del resultado en forma horizontal - Luego que sumen los dígitos de la diferencia y escriba con número grande el resultado obtenido. - Finalmente felicite a todos por su gran dedicación hacia la asignatura, lo cual ha permitido que obtengan la calificación de NUEVE 105
  • 106. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEEJEMPLO 1. Edad 44 años Duermo 8 horas Gasto 4 dólares en comida TOTAL 56 2. Suma horizontal 5 + 6 = 11, La suma horizontal resta del total 56-11 =45 3. Sumo los dígitos de la diferencia y la respuesta es 9, que es el número obtenido por todos. AMOR SIN CONDICIÓNUn soldado que pudo haber regresado a casa después de haber peleado en la guerra de Vietnam,les hablo a sus padres desde San Francisco.“Mamá, Papá, Voy de regreso a casa, pero les tengo que pedir un favor:Traigo a un amigo que me gustaría que se quedara con nosotros”.“Claro, le contestaron, “Nos encantaría conocerlo”. 106
  • 107. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE“Hay algo que deben de saber”, continuó el hijo diciendo, “el fue herido en la guerra. Piso en unamina de tierra y perdió un brazo y una pierna. El no tiene a donde ir, y quiero que el se venga avivir con nosotros a casa”“Siento mucho el escuchar eso hijo. A lo mejor podemos encontrar un lugar en donde él se puedaquedar”“No, Mamá y Papá, yo quiero que el viva con nosotros”“Hijo, le dijo el padre, tú no sabes lo que estas pidiendo. Alguien que esté tan limitadofísicamente puede ser un gran peso para nosotros. Nosotros tenemos nuestras propias vidas quevivir, y no podemos dejar que algo como esto interfiera con nuestras vidas. Yo pienso que túdeberías de regresar a casa y olvidarte de esa persona. El encontrará la manera en la que puedavivir él solo”En ese momento el hijo colgó la bocina del teléfono. Los padres ya no volvieron a escuchar de él.Unos cuantos días después, recibieron una llamada telefónica de la policía de San Francisco. Suhijo había muerto después de que se había caído de un edificio, fue lo que les dijeron. La policíacreía que era un suicidio. Los padres destrozados por la noticia volaron a San Francisco y fueronllevados a la morgue de la ciudad a que identificaran a su hijo. Ellos lo reconocieron, pero para suhorror descubrieron algo que no sabían, su hijo tan sólo tenía un brazo y una pierna.Los padres de esta historia son como muchos de nosotros. Encontramos muy fácil el amar esaspersonas que son hermosas por afuera o que son entretenedoras, pero no nos gusta la gente quenos hace sentir alguna inconveniencia o que nos hace sentir incómodos. Preferimos estar alejadosde personas que no son muy saludables, hermosas o inteligentes como lo somos nosotros.Afortunadamente, hay una persona que no nos trata de esa manera. Alguien que nos ama con ungran amor, que siempre nos recibirá en su familia, no importa que tan destrozados estemos, físicao mentalmente. Esta noche, antes de que te metas en la cama para dormir, reza una oración aDios para que el te dé la fuerza para que puedas aceptar la gente tal y como es, y para que nosayude a ser más comprensivos de esas personas que son diferentes a nosotros. 107
  • 108. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE DIDÁCTICAAprendamos a resolver conjuntosSiguiendo un proceso didáctico que elimina en algo el grado de desarrollo de pensamiento queexige la resolución de un problema.Antes, es necesario que se haga conocer a l estudiante una interpretación de las regionessombreadas que son parte del Diagrama de Ven; elemento gráfico necesario para el desarrollo delos problemas. PARA DOS CONJUNTOS 108
  • 109. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE “Solo A” “exclusivamente A” o “únicamente A” “Ocurre A o B” “al menos uno de ellos” o “por lo menos uno de ellos “Ocurre A y B” “Ocurre ambos sucesos a la vez” O “Tanto A como B 109
  • 110. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE “No ocurre ni A ni B” “Ocurre A” “Ocurre B” TRES CONJUNTOS “Solamente A” “Solamente B” 110
  • 111. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE “Solamente C” “Solamente A y B” “Solamente A y C” “Solamente B y C” 111
  • 112. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE “Ocurre A, B y C” “Ocurre A” “Ocurre B” “Ocurre C” 112
  • 113. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE “Ocurre únicamente B o C” “Ocurre únicamente A o C” “Ocurre únicamente A o B” “No ocurre ni A, ni B ni C” 113
  • 114. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE “Ocurre A y B” “Ocurre B y C” “Ocurre A y C”Ejercicio 1Una investigación sobre la preferencia que tiene cierto grupo de personas hacia un medio dedifusión arroja el siguiente diagrama: U T: Televisión T R 5 2 R: Radio 1 7 P: Periódico 6 114 4 3 8 P
  • 115. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJERealice todas las lecturas posibles que presenta el diagrama.  7 personas prefieren los tres medios de difusión.  1+4+7+5=17 personas prefieren la televisión.  5+2+7+6=20 personas prefieren la radio.  4+7+6+3=20 personas prefieren el periódico.  8 personas no les gustan ninguno de los tres medios de difusión.  5+7=12 personas prefieren la televisión y la radio.  7+6=13 personas prefieren la radio y la prensa.  4+7=11 12 personas prefieren la televisión y la prensa.  5 personas prefieren solo la radio y la televisión.  6 personas prefieren solo la radio y la prensa  4 personas prefieren solo la televisión y la prensa  1 persona prefiere solo la televisión  2 personas prefieren solo la radio  3 personas prefieren solo la prensaEjercicio 2 115
  • 116. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEDe un grupo de 240 personas se conoce que 55 practican Baloncesto y 145 fútbol, mientras que28 practican ambos deportes. ¿Cuántos conjuntos son parte del problema y que contienen?Procedimiento: 1. Nos formulamos la pregunta ¿Cuantos conjuntos son parte del problema y que contiene? Son dos y contiene personas que practican fútbol y baloncesto. 2. Graficamos el diagrama de VEN. U F B 3. Ingresamos Valores empezando con la interrelación 28 Practican ambos deportes 4. Ahora ubicamos valores conocidos y desconocidos correspondientes al resto de la información. 116
  • 117. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE a. 55 practican Baloncesto de esto se deduce que: Solo practican Baloncesto 55-28=27 U F B 28 27 b. 145 practican fútbol de lo cual se deduce que: Solo practican Baloncesto 145-28=117 U F B 28 27 117 c. El valor faltante será x y corresponderá a quienes no practican ningún deporte. U F B 28 27 117 X 117
  • 118. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE 5. Luego de asegurarse de haber llenado todas las regiones del Diagrama de Ven sume todos los valores conocidos y desconocidos e iguale a la cantidad total de personas que fueron materia de investigación; ósea: 117+28+7+X=240 X=240-117-28-27 X=28Lo cual quiere decir que existen 8 personas que no practican ni fútbol ni baloncesto.Ejercicio 3En un salón de clases, 48 alumnos aprobaron Física, 42 Química y 52 Inglés. ¿Cuántos alumnos hayen el aula de clase, si 25 alumnos aprobaron los tres cursos y no hay alumnos que hayan aprobadoexactamente dos cursos y que logro desaprobar en los tres cursos?Procedimiento. 1. Formulamos la pregunta ¿Cuántos argumentos son parte del problema y que contienen? Son tres y contienen estudiantes que aprueban las asignaturas de Física, Química e inglés. 2. Graficamos el diagrama de Ven U F B 118 I
  • 119. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE 3. Ingresamos valores empezando con las intersecciones • 25 alumnos aprobaron los tres cursos. • No hay alumnos que hayan aprobado exactamente dos cursos. U F B 0 25 0 0 I 4. Ubicamos valores conocidos y desconocidos tomados del resto de la información. a) 42 aprueban Química de lo que se deduce que: Solo practican Química 42-25=17 119
  • 120. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE b) 48 aprueban Física; es decir solo aprueban Física. U 48-25=23 F Q 23 0 17 25 0 0 I 52-25=27 U c) 52 aprueban Inglés; es decir solo aprueban Inglés. F Q 23 17 0 25 0 0 27 120 I
  • 121. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE d) De acuerdo con los datos no hay alumnos que hayan reprobado los tres cursos. 52-25=27 U F Q 23 17 0 25 0 0 27 0 I 5. Para conocer cuántos alumnos hay en el aula de clase, solamente tenemos que sumar los datos conseguidos en el diagrama de VEN. 121
  • 122. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE U= 23+17+25+27 = 92 Son 92 estudiantes los que hay en el aula de clase.Ejercicio 4De 400 personas 220 prefieren torta de chocolate y a 75 no les gusta ni la torta de chocolate ni lasfresas con crema, Los que gustan solo de torta de chocolate son el triple de los que gustan ambospostres. ¿Cuántos gustan solo de las fresas con crema?Procedimiento.Actúan dos conjuntos que contienen las personas que les gusta la torta de chocolate y las fresascon crema.El gráfico que representa el diagrama de Ven es el siguiente:Los valores de acuerdo a los datos del programa son los siguientes: 122
  • 123. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE220 + 75 + y = 400Y = 105Lo cual quiere decir que solo 105 personas les gustan solo las fresas con crema. Todo aquello que puedas o sueñes hacer, comiénzalo. La audacia contiene en si misma genio, poder y magia. GoetheEJERCICIOS PROPUESTOS1.- De una encuesta a 18 personas sobre su preferencia en la práctica deportiva seobtuvieron los siguientes resultados: • 2 practican fútbol • 5 practican fútbol y tenis • 1 practica tenis y básquet • Entre tenis y básquet 11, sabiendo que los de básquet son 8¿Cuántas personas practican solo tenis o básquet? 123
  • 124. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE R: Solo tenis 3; solo básquet 72.- En un grupo de 28 personas, 13 hablan inglés, 15 francés, 13 español, 1 habla lostres idiomas y 2 inglés y español ¿Cuántas personas hablan francés y español? R: 33.- Se tienen 17 globos de colores, de los cuales: 5 son amarillos, 4 son rojos, 1 globotiene 3 colores (amarillo, azul, rojo) mientras que dos globos la mitad son rojos y laotra mitad son azules ¿Cuántos globos tienen color amarillo, azul y rojo?4.- Una heladería hace un pedido de 21 litros de helado con sabores puros y mezclados,de los cuales: 5 litros son de chocolate puro, 1 litro tiene dos sabores de mora y 124
  • 125. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEchocolate, 4 litros son de vainilla pura y 8 litros de mora y vainilla mezclado ¿Cuántoslitros de helado de mora pura han llegado? R: De mora pura son 35.- El Doctor de un Instituto ha reportado los siguientes datos estadísticos acerca de ungrupo de 30 estudiantes de dicho Instituto: 19 llevan Matemática, 17 llevan Música, 11llevan Historia, 12 Matemática y Música, 7 historia y Matemática, 2 Matemática,Historia y Música, y 2 sólo y exclusivamente música ¿Cuantos alumnos llevan Historia yMúsica? R: Son 5 125
  • 126. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE6.- En un encuentro realizado para analizar las preferencias del público por losproductos A, B, C, se obtuvo los siguientes resultados: • 60 prefieren A • 59 prefieren B • 50 prefieren C • 38 prefieren A y B • 25 prefieren B y C • 22 Prefieren A y C • 10 prefieren A, B y CSe pregunta: a) ¿Cuántas personas prefieren solo 2 productos? Rep.: 5 b) ¿Cuántas personas prefieren los productos A y B pero no C? Rep.: 28 c) ¿Cuántas personas prefieren los productos B y C pero no A? Rep.: 15 d) ¿Cuántas personas prefieren los productos A y C pero no B? Rep.: 12 e) ¿Si el número total de personas encuestadas son 100, ¿Cuántas personas no prefieren ninguno de los productos? Rep.: 6 f) ¿Cuántas personas prefieren solo A, solo B o solo C? Rep.: solo a 10; solo b 6; solo c 13 126
  • 127. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE JUEGOAdivinemos el número que corresponde a la suma de los 4 números sobrantes de una tablaPROCEDIMIENTO - Pido al estudiante que elabore una tabla con dieciséis casilleros en los que se ubican de manera ordenada del 1 al 16, de la siguiente manera: 127
  • 128. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 - Una vez escrita la tabla se procede al juego en el que la cantidad resultante de la suma de los cuatro números restantes sea 34. - Solicite a un estudiante que seleccione uno de los números escritos en el cuadro. Una vez seleccionado disponga que borre en cruz los números que están a la izquierda, derecha, arriba y abajo del número elegido. 1 3 4 66 9 11 12 13 15 16 128
  • 129. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE - A partir de los números que quedan, pida que se haga una nueva elección eliminando números de acuerdo al procedimiento indicado anteriormente. 1 4 6 6 1 13 16 - Ordene que repita el procedimiento anterior eligiendo otro número 4 6 6 1 13 1 - Finalmente disponga que suman los números sobrantes para que verifiquen que el resultado es 34 129
  • 130. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE 4 + 6 + 11 + 13 = 34 LOS DARDOSUna joven chica llamada Sally, relata una experiencia que ella tuvo en una clase dada, por suprofesor, Dr. Smith. A dicho profesor lo conocían por sus lecciones objetivas.Un día particular, Sally llegó a sus clases y sabía que iba a ser un día de diversión. En la paredestaba un blanco grande, y en una mesa próxima estaban muchos dardos. El Dr. Smith les dijo a losestudiantes que dibujaran una foto de una persona que no les gustara, o de alguien que los hayapuesto furiosos y él les dejaría tirar los dardos en la foto.La amiga de Sally dibujó una foto de una muchacha que le había robado al novio. Otra dibujo lafoto de su hermanito. Sally dibujó una foto de una muchacha que le había robado al novio. Otradibujó la foto de su hermanito. Sally dibujó una foto de un amigo anterior, poniendo muchos 130
  • 131. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEdetalles en su dibujo, hasta dibujó las espinillas de su cara. Sally estuvo satisfecha con el efectoalcanzado.Se alineó en la fila para tirar los dardos, algunos de los estudiantes lanzaron sus dardos con talfuerza que sus blancos fueron rasgados; Sally miraba adelante en espera de su turno, y entoncesse llenó de decepción cuando el Dr. Smith, debido a límites de tiempo, pidió que los estudiantesvolvieran a sus asientos.Cuando se sentó estaba muy enojada por que ella no tuvo ocasión de lanzar ningún dardo alblanco. Por su parte el profesor comenzó a quitar los blancos de la pared.Por debajo de los blancos estaba una foto de “JESÚS”. Un silencio cayó sobre el cuarto mientrasque cada estudiante vio la desmantelada foto de “JESÚS”; los agujeros y las marcas dentadascubrieron su cara, y sus ojos fueron perforados.El Dr. Smith dijo solamente estas palabras…..“Si a uno de tus semejantes les haces daño, me lo haces a mi” No había necesidad de otraspalabras, las lágrimas llenaron los ojos de los estudiantes. DIDÁCTICAOrganicemos nuestras ideas en base a un razonamiento lógico que aplica el método del cangerejo.El método en mención permite encontrar la solución a un problema en forma directa en base a larealización de operaciones inversas, empezando desde el final para llegar luego al inicioEs necesario que se distinga la diferencia entre operaciones directas e inversas, para lo queestablezcamos el siguiente ejemplo:OPERACIONES DIRECTAS 1. Número inicial 2. Multiplicamos por 5 3. Añadimos 7 4. Dividimos entre 4 5. y obtenemos 13 que es la cantidad final 131
  • 132. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEOPERACIONES INVERSAS4. La inversa de dividir entre 4 es la multiplicación por 4 Es decir 13 x 4 = 523. La inversa de añadir 7, es restar 7, ósea: 52 – 7 = 452. La inversa de multiplicar por 5 es dividir entre 5, ósea: 45 =9 5 El número inicial es 9Problema 1A un cierto número se le eleva al cuadrado, a este resultado se le resta 3, a este nuevo resultadose multiplica por 7, luego dividimos entre 14, a este nuevo resultado lo elevamos al cubo, luegole agregamos 9; finalmente extraemos la raíz cuadrado, obteniendo como resultado final 6. Hallardicho número.ProcedimientoA través de una lectura pausada y tomando en cuenta los signos de puntuación iremosdesglosando el problema y traduciéndole a una gráfica con elementos aritméticos de acuerdo conlo siguiente:“A un cierto número se le eleva al cuadrado,…..Cantidad inicial“……. A este resultado se le resta 3,……. 132
  • 133. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJECantidad inicial“…. A este nuevo resultado se multiplica por 7,…….”Cantidad inicial“….. Luego dividimos entre 14,….”Cantidad inicial“…. A este nuevo resultado lo elevamos al cubo,…”Cantidad inicial“….luego le agregamos 9,…”Cantidad inicial“Finalmente extraemos la raíz cuadrada, obteniendo como resultado final 6….” 133
  • 134. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJECantidad inicialUna vez representado en un esquema los datos y ubicada la cantidad final 6, hallamos lacantidad inicial empezando por la cantidad final mencionada y realizando el procesoinverso.Cantidad inicialEl número buscado es 3Problema 2Carolina multiplicó su edad por 4. Al producto le restó 8 y la diferencia obtenida la dividióentre 5. Si resulta 12, ¿Cuántos años tiene Rosa?PROCEDIMIENTOUbiquemos en un esquema los datos tomados de la lectura realizada en forma pausada,ubicando luego la cantidad final 12. Edad inicial -8 ÷5 X4 12 134
  • 135. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJELuego, hallamos la cantidad inicial empezando con la cantidad final y realizando el procesoinverso; es decir: Edad inicial -8 ÷5 X4 12 +8 X5 ÷4 68 12 17 60 Rosa tiene 17 añosProblema 3El Lunes, Roberto vendió la mitad de las camisetas que tenía; el martes, vendió 5camisetas; y el miércoles, la mitad de las que le quedaban. Si le quedaron 11, ¿cuántascamisetas tenía el lunes?Establecemos el esquema inicial de acuerdo con el texto del problema hasta fijar lacantidad final Nº de camisetas inicial -5 ÷2 ÷2 11Posteriormente, hallamos la cantidad inicial empezando por la cantidad final y utilizandoel proceso inverso; es decir: Nº de camisetas inicial -5 ÷2 ÷2 11 +5 54 135 X2 27 22 X2 11
  • 136. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE Reps.: El lunes Roberto tenía en su poder 54 camisetas Hasta que no te valores a ti mismo no valoraras tu tiempo. Y hasta que no valores tu tiempo no harás nada con él. M.Scott PeckEJERCICIOS PROPUESTOS 1. A un cierto número se eleva al cuadrado, a este resultado se le resta 3, a este nuevo resultado se le multiplica por 7, luego dividimos entre 14, a este nuevo resultado le elevamos al cubo, luego le agregamos 9, finalmente extraemos la raíz cuadrada, obteniendo como resultado final 6. Hallar el número. 136
  • 137. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE a) 1/3 b) 4 c) 6 d) 9 Respuesta: a 2. Con un cierto número realizo las siguientes operaciones: Lo elevo al cubo, el resultado le agrego 9 y le extraigo la raíz cuadrada, el número así obtenido lo divido entre 3 para luego restarle 1 y por último el resultado lo elevo al cuadrado obteniendo como resultado final 16. Hallar el número inicial. 137
  • 138. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 Respuesta: c 3. Un profesor entra a una iglesia donde un Santo Milagros. Cada vez que entra a la iglesia le triplico el dinero que lleva; con la condición que cada vez que le hace el milagro de triplicar su dinero le deje de limosna $25,00. Si después de haber entrado 2 veces sale con $359 dólares. ¿Cuál era su dinero inicialmente? 138
  • 139. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE a) 12 b) 15 c) 18 d) 16 e) N.a Rep.: es b) 139
  • 140. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE 4. A un número se le multiplico por 3, se le resta 6, se multiplica por 5, se le divide por 8, se le eleva al cuadrado, se le resta 171 y se le extrae la raíz cubica, obteniendo 9. ¿Cuántos es dicho número? a) 12 b) 24 c) 36 d) 18 e) N.A Rep.: es d) 140
  • 141. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE5.-Una vasija llena de agua pierde durante la primera hora 1/3 parte de su capacidad. Durante lasegunda hora la 1/3 parte del resto y así sucesivamente. Al cabo de 5 horas queda 32 litros en lavasija. ¿Cuál es la capacidad de esta? a) 486 litros b) 343litros c) 81litros d) 162 litros e) N.A 141
  • 142. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE Respuesta: es a)6.-El martes Jorge vendió la mitad de los pantalones que tenía; el miércoles, vendió 5 pantalones;y el jueves la mitad de los que quedaba. Si le quedaron 11. ¿Cuántos pantalones tenía el martes? a) 52 b) 53 c) 44 d) 54 Respuesta: es d)7.- A Juan le devuelven $11, gasta 12, regala $5 y al final se quedo con 9. ¿Cuánto dinero tenía alprincipio? 142
  • 143. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE a) 10 b) 18 c) 15 d) 17 El único límite a nuestros logros de mañana está en nuestras dudas de hoy. Franklin D. Roosevelt 143
  • 144. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE JUEGOLA ESFERA DEL RELOJSe trata de dividir esta esfera de reloj (véase el reloj) en seis partes, de la forma que usted desee,pero con la condición de que en cada parte, la suma de los números sea la misma. 12 11 1 10 2 9 3 8 4 7 5 6Este problema tiene por objeto comprobar más que su ingenio, su rapidez de comprensión.SoluciónComo la suma de todas las cifras inscritas en la esfera de reloj es igual a 78, el númerocorrespondiente a cada parte deberá ser 78:6=13. Esto facilita hallar la solución que se muestraen la figura de la página siguiente. 144
  • 145. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE 12 11 1 10 2 9 3 8 4 7 5 6 ERA HACE………..Hace muchos años, cuando trabajaba como voluntario en un Hospital de California conocí a unaniñita llamada Liz quien sufría de una extraña enfermedad. Su única oportunidad de recuperarseaparentemente era una transfusión de sangre de su hermano de 5 años, quien había sobrevividomilagrosamente a la misma enfermedad y había desarrollado anticuerpos necesarios paracombatir la enfermedad. El doctor explico la situación al hermano de la niña, y le pregunto siestaría dispuesto a dar su sangre a su hermana. Yo lo vi dudar por solo un momento antes detomar un gran suspiro y decir:Si, lo haré, si eso salva a Liz.Mientras la transfusión continuaba, el estaba acostado en una cama al lado de la de su hermana, ysonriente mientras nosotros lo asistíamos a él y a su hermana, viendo retornar el color a lasmejillas de la niña. 145
  • 146. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEEntonces la cara del niño se puso pálida y su sonrisa desapareció. El miró al doctor y le preguntócon voz temblorosa ¿A qué hora empezaré a morirme?Siendo solo un niño, no había comprendido al doctor; él pensaba que le daría toda su sangre a suhermana. Y aún así se la entrego. DIDÁCTICAUn método ordenado para razonar a través de la resolución de un test de decisiones planteadomediante un problema.Problema 1Se encuentran un Profesor, un Ingeniero, un Médico y un Periodista. Sus nombres aunque no en elmismo orden, son José, Orlando, Pedro y Máximo. Se sabe que José y el ingeniero se acaban deconocer; que Pedro se lleva muy bien con el periodista y el médico; que Orlando es primo delmédico y amigo del ingeniero; y que Pedro es profesor. ¿Quién es el periodista?ResoluciónDe la lectura pausada que puede efectuarse al texto del problema, se desprende que en este tipode problemas existen dos variables que para nuestro caso son los nombres y las profesiones. Deacuerdo con ellas, establecemos una tabla de doble entrada en la que se ubiquen dichas variablesen orden horizontal y vertical; así: JOSÉ ORLANDO PEDRO MÁXIMO INGENIERO PROFESOR 146
  • 147. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE MÉDICO PERIODISTALeemos pausadamente, el problema, con el objeto de ubicar información recabada en la tabla através de SI o NO de conformidad con el razonamiento que se acompaña para el llenado de latabla.“….Se sabe que José y el ingeniero se acaban de conocer;…”; esto quiere decir que José no es elingeniero JOSÉ ORLANDO PEDRO MÁXIMO INGENIERO NO PROFESOR MÉDICO PERIODISTA“….que Pedro se lleva muy bien con el periodista y el médico;….”; lo cual quiere decir que Pedro noes ni periodista ni médico JOSÉ ORLANDO PEDRO MÁXIMO INGENIERO NO PROFESOR MÉDICO NO PERIODISTA NO“….que Orlando es primo del médico y amigo del ingeniero;….”; lo cual quiere decir que Orlandono es ni médico ni ingeniero. JOSÉ ORLANDO PEDRO MÁXIMO INGENIERO NO NO PROFESOR MÉDICO NO NO PERIODISTA NO 147
  • 148. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE“….y que Pedro es Profesor….” JOSÉ ORLANDO PEDRO MÁXIMO INGENIERO NO NO PROFESOR SI MÉDICO NO NO PERIODISTA NODel último cuadro elaborado se desprenden los siguientes razonamientos:Si Pedro es Profesor quiere decir que los demás no son profesores JOSÉ ORLANDO PEDRO MÁXIMO INGENIERO NO NO PROFESOR NO NO SI NO MÉDICO NO NO PERIODISTA NOSi Orlando no es Ingeniero, profesor y médico; entonces es periodista JOSÉ ORLANDO PEDRO MÁXIMO INGENIERO NO NO PROFESOR NO NO SI NO MÉDICO NO NO PERIODISTA SI NO NOSi Orlando es el Periodista entonces los demás no lo son: JOSÉ ORLANDO PEDRO MÁXIMO INGENIERO NO NO PROFESOR NO NO SI NO MÉDICO NO NO PERIODISTA NO SI NO NOSi Pedro es Profesor, entonces no es ni Ingeniero, ni Médico ni Periodista JOSÉ ORLANDO PEDRO MÁXIMO 148
  • 149. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE INGENIERO NO NO NO PROFESOR NO NO SI NO MÉDICO NO NO PERIODISTA NO SI NO NOSi José, Orlando y Pedro no son Ingenieros, entonces Máximo lo es. JOSÉ ORLANDO PEDRO MÁXIMO INGENIERO NO NO NO SI PROFESOR NO NO SI NO MÉDICO NO NO PERIODISTA NO SI NO NOSi José no es ingeniero, ni profesor ni periodista; entonces es el médico. JOSÉ ORLANDO PEDRO MÁXIMO INGENIERO NO NO NO SI PROFESOR NO NO SI NO MÉDICO SI NO NO PERIODISTA NO SI NO NOPor último si el médico es José entonces Orlando, Pedro y Máximo no lo son JOSÉ ORLANDO PEDRO MÁXIMO INGENIERO NO NO NO SI PROFESOR NO NO SI NO MÉDICO SI NO NO NO PERIODISTA NO SI NO NOEs necesario indicar que llenada toda la tabla de doble entrada estaríamos en capacidad decontestar cualquier pregunta que plantee el Problema. Para nuestro caso solamente noslimitaremos a contestar que Orlando es el Periodista.Problema 2 149
  • 150. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEA una reunión asistieron tres amigos: Marcos, Hugo y Carlos; y tres damas: Pilar, Nora y Sara.Terminada la actividad, cada uno de ellos salió acompañado por una dama. Hugo salió con laamiga de Nora. Pilar, que no simpatiza con Nora, salió antes que Marcos.¿Quién acompañó a Sara y con quien salió Marcos?Resolución¡Atención!.... Vamos a resolver, de una manera sencilla, un problema de ingenio muy especial enbase al análisis de premisas que se encuentran en el texto del problema; así:“Hugo salió con la amiga de Nora”Se deduce que Hugo no salió con Nora, pudo haber salido con Pilar o Sara NORA PILAR SARA MARCOS HUGO NO CARLOS“Pilar no simpatiza con Nora”Se deduce que Pilar no es amiga de Nora, entonces Hugo no salió con Pilar (por el caso anterior).Luego, Hugo salió con Sara, lo cual señala que Sara no salió ni con Marcos ni con Carlos. NORA PILAR SARA MARCOS NO HUGO NO NO SI CARLOS NO“Pilar salió antes que Marcos”Se deduce que Pilar no salió con Marcos, tampoco con Hugo, pues este salió con Sara; entonces,ella salió con Carlos. NORA PILAR SARA MARCOS NO NO HUGO NO NO SI 150
  • 151. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE CARLOS SI NOFinalmente, Nora salió con Marcos. NORA PILAR SARA MARCOS SI NO NO HUGO NO NO SI CARLOS NO SI NOProblema 3Ricardo César, Percy y Manuel, tienen diferentes ocupaciones; Sabemos que: a. Ricardo y el carpintero están enojados con Manuel b. César es amigo del electricista c. El comerciante es familiar de Manuel d. El sastre es muy amigo de Percy y del Electricista. e. Ricardo desde muy joven se dedica a vender abarrotes¿Cuál es la ocupación de cada uno?Resolución  Comenzamos a construir un cuadro de decisión conveniente, así:De acuerdo a los datos del problema, se analiza lo siguiente:De (1): Como Ricardo y el carpintero están enojados con Manuel, esto quiere decir que ni Ricardoni Manuel es el carpintero, por lo tanto en el cuadro ponemos “NO” entre Ricardo y carpintero 151
  • 152. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEDe (2): César es amigo del electricista, quiere decir que César no es electricista, por lo tanto en elcuadro ponemos “no” entre Manuel y el electricista.De (3): El comerciante es familiar de Manuel, quiere decir no es comerciante, por lo tanto en elcuadro ponemos “NO” entre Manuel y el comerciante.De (4): El sastre es muy amigo de Percy y el electricista, esto quiere decir que Percy no es ni sastreni electricista; por lo tanto en el cuadro ponemos “NO” entre Percy y electricista: Percy y sastre.De (5): Ricardo es muy joven vende abarrotes, quiere decir que Ricardo es el comerciante; por lotanto en el cuadro ponemos “SI” entre Ricardo y comerciante.De acuerdo a lo que se ha analizado del cuadro queda de esta manera:  Ahora apliquemos la siguiente regla: “Tanto en los casilleros horizontales como verticales debe existir uno solo “SI”, se observará en el cuadro hay un si en la primera fila, luego los demás casilleros se complementan con “NO”  En los casilleros de la segunda columna y a tenemos “3NO”al casillero que falta completar con “SI”. 152
  • 153. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE  En la cuarta fila hay “un “SI” el casillero que falta debe ser “NO”  En la cuarta columna observamos que hay “3NO” entonces el casillero que falta es “SI”.  En la segunda fila ya hemos conseguido el SI, luego los dos casilleros que faltan deben ser “NO”  En la primera columna ya tenemos “3nNO", el casillero que falta será “SI”  En la tercera fila ya hemos conseguido el “SI”, luego el casillero que falta será “NO”. Ahora como se observará ya hemos completado todo el cuadro de decisiones. Veamos: Ocupación Carpintero Electricista Comerciante Sastre Nombre Ricardo NO NO SI NO César NO NO NO SI Percy SI NO NO NO Manuel NO SI NO NORespuesta: 153
  • 154. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEDe acuerdo a este último cuadro, deducimos que: Percy es el Carpintero Manuel es elElectricista Ricardo es el Comerciante, César es el Sastre.Ejercicios Propuestos 1. En una sala de reuniones se encuentran un ingeniero, un contador, un abogado y un médico; Los nombres de ellos aunque no en el mismo orden son: Pedro, Darío, Juan y Luis Se sabe que Pedro y el contador no se llevan bien, Juan se lleva muy bien con el médico, Darío es pariente del abogado el ingeniero es muy amigo de Luis y del Médico. ¿Qué ocupación tiene Juan? 154
  • 155. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE Reps.: Juan es ingeniero 2. En un bar se encuentra 4 amigos sus nombres son: Marcelo, Jorge, Ruiz y Eliceo; estos a su vez son: atleta, futbolista, obrero, ingeniero, aunque no necesariamente en este orden. 155
  • 156. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE El atleta que es primo de Marcelo es el más joven de todos y siempre va al siempre con Jorge o Ruiz, que es el mayor de todos, es vecino del futbolista, quien a su vez es millonario, Marcelo que es pobre es cinco años menor que el ingeniero. ¿Cuál es la ocupación de Ruiz? Reps.: Ruiz es ingeniero 3. Los profesores Salvador, Horeto y Suárez enseñan Matemáticas, Historia, Geografía, no necesariamente en ese orden. a) El profesor de Geografía, que es el mejor amigo de Honeto, es el menor. b) El profesor Suárez es mayor que el profesor de Historia 156
  • 157. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE Indicar las proposiciones correctas. I. Suárez es menor que el profesor de Matemática II. Salvador es el profesor de Geografía III. Honeto no es profesor de Historia Reps.: Solo II 4. Germán, José, Abel y Carlos son trabajadores de una empresa. Se sabe que Carlos no es gerente ni publicista; Germán no es publicista ni administrador; y Abel es el encargado de la contabilidad. ¿Quine es el publicista? 157
  • 158. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE a) Germán b) José c) Abel d) Carlos 5. Miguel, José, Silvia y Victoria participan en diferentes talleres: pintura, danza, teatro y ajedrez. Se sabe que Victoria no le gusta el ajedrez; a Silvia no le agrada ni la pintura ni el ajedrez; y José participa en Teatro ¿En qué taller participa Miguel? 158
  • 159. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE a) Ajedrez b) Teatro c) Pintura d) Danza JUEGOLa rueda con númerosLas cifras del 1 al 9 hay que distribuirlas en la rueda de la figura: una cifra debe ocupar el centrodel círculo y las demás, los extremos de cada diámetro de manera que las tres cifras de cada filasumen siempre 15. 159
  • 160. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJESolución:El modo de resolver este problema se indica a continuación. VIDEO ENTREVISTA CON DIOS MOTIVACIONAL 160
  • 161. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEUna vez un hombre muy afortunado había conseguido la mejor entrevista de su vida: Iba aentrevistar ni más ni menos que a Dios.Esa tarde el hombre llegó a su casa dos horas antes, se arregló con sus mejores ropas, lavó suautomóvil e inmediatamente salió de su hogar. Manejó por la avenida principal rumbo a su cita,pero en el trayecto cayó un chubasco que produjo un embotellamiento de tránsito y quedóparado. El tiempo transcurriría, eran las 7:30 y la cita era a las 8:00 p.m.Repentinamente le tocaron el cristal de la ventanilla y al voltear vio a un chiquillo de unos nueveaños ofreciéndole su cajita llena de chicles (goma de mascar). El hombre sacó algún dinero de subolsillo y cuando lo iba a entregar al niño ya no lo encontró. Miró hacia el suelo y ahí estaba, enmedio de un ataque de epilepsia.El hombre abrió la portezuela e introdujo al niño como pudo al automóvil.Inmediatamente buscó como salir del embotellamiento y lo logró, dirigiéndose al hospital de laCruz Roja más cercana. Ahí entregó al niño, y después de pedir que lo atendiesen de la mejorforma posible, se disculpó con el doctor y salió corriendo para tratar de llegar a su cita con Dios.Sin embargo, el hombre llegó 10 minutos tarde y Dios ya no estaba. El hombre se ofendió y lereclamó al cielo: “Dios mío, pero tú te diste cuenta, no llegué a tiempo por el niño, no me pudisteesperar. ¿Qué significan 10 minutos para un ser eterno como tú?Desconsolado se quedó sentado en su automóvil; de pronto lo deslumbró una luz y vio en ella lacarita del niño a quien auxilió. Vestía el mismo suetercito deshilachado, pero ahora tenía el rostroiluminado de bondad.El hombre, entonces, escuchó en su interior una voz:Hijo mío no te pude esperar… y salí a tu encuentro. DIDÁCTICAAprendamos a sumar jugando con un dado 161
  • 162. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEResulta claro que es mejor que un niño aprenda cuando está motivado y la mejor manera queesto se cumpla es plantear un juego a través del cual el niño no perciba que está sumando sinodivirtiéndose. Es así que a continuación presentamos una tabla numérica que viene a ser elmaterial concreto con el que ejecutamos esta didáctica; así: INICIO 2 3 4 5 6 7 8 1 16 15 14 13 12 11 10 9 17 18 19 20 21 22 23 24 32 31 30 29 28 27 26 25 33 34 35 36 37 38 39 40 48 47 46 45 44 43 42 41 49 50 51 52 53 54 55 56 64 63 62 61 60 59 58 57PROCEDIMIENTO- El niño lanza el dado y por ejemplo sale 5. La primera suma será el número obtenido más el 1.Entonces contamos desde el 1 si tomamos en cuenta 5 espacios; esto es el equivalente a sumar 1+5 que es igual a 6- Enseguida el niño lanza nuevamente el dado y obtiene 4. Asimismo el niño desde el número 6cuenta 4 más enunciando el 6,7,8,9,10 siendo el resultado este último número 6 + 4 = 10.- De esta manera vamos jugando y sumando sucesivamente para que el niño aprenda, comprenday se divierta de manera fácil. JUEGOLA ESTRELLA DE OCHO PUNTASHay que dispone los números del 1 al 16 en los puntos de intersección de las líneas de la figura demodo que la suma de los cuatro números que se hallan en cada lado de los dos cuadrados sea 34 y 162
  • 163. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEque la suma de los cuatro números que se encuentran en los vértices de cada cuadrado seatambién 34Solución: SI DIOS FUERA PROGRAMADOR 163
  • 164. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEPregunta: ¿Creo Dios realmente el mundo en siete días?Respuesta: Bueno, casi; El estuvo trabajando en el mundo duranteseis días con sus seis noches, trabajando continuamente, sin parar, mientras sobrevivía a base de CocaColas y MacDonalds. En el séptimo día El fue a visitar a sus amigos y todos le decían que se estabamatando de trabajo, que no podía seguir así, que eso le hacía daño, que clase de vida era esa... y claro,nunca acabo de escribir el programa.Pregunta: ¿Cuándo interviene Dios en los asuntos terrestres?Respuesta: Si es un error crítico lo que ha ocurrido, el sistema le envía un beeper automáticamente y El seconecta con su módem desde su casa para tratar de arreglarlo. De otro modo, lo que sea puede esperarhasta mañana.Pregunta: ¿Realmente el "Tiempo de Milagros" termino?Respuesta: Esa era la fase de desarrollo del proyecto, cuando había que corregir los errores a mano. Ahoraestá en la fase de mantenimiento.Pregunta: ¿Porque Dios permite la maldad?Respuesta: Dios pensó que había eliminado la maldad en una de las versiones anteriores del mundo, perosiguen habiendo algunos errores que serán eliminados en el próximo mundo.Pregunta: ¿Quién es Satán?Respuesta: Es un hacker que se dedica a explotar errores en el mundo para conseguir mayor prioridad. Seadjudica mas poderes de los que realmente tiene para meterle miedo a los que no saben programar. Diospiensa que Satán es irritante pero irrelevante.Pregunta: ¿Cómo me puedo proteger de la maldad?Respuesta: No use el nombre de Dios como password, no introduzca datos falsos, no use trucos fuera delos procedimientos habituales, no aborte procesos corrientes, no desee los programas del prójimo.Pregunta: Si yo le rezo a Dios, El me escucha?Respuesta: Si, pero El tiene demasiado trabajo como para hacer todas las correcciones a mano. Lo mejorque usted puede hacer es dejarle saber el error y buscar usted mismo una solución adecuada a susproblemas leyendo el manual de instrucciones, y dejándole tiempo a Dios para que siga programando.Pregunta: Hay gente que afirma que oye la voz de Dios. ¿Es cierto?Respuesta: Es mucho más probable que reciban otro tipo de mensajes.Pregunta: ¿Es cierto que se acerca el fin del mundo?Respuesta: Es posible, pero no se preocupe, Dios hace un backup cada milenio. DIDÁCTICAUN MÉTODO PRÁCTICO PARA RESOLVER REGLAS TRES DIRECTA E INVERSA 164
  • 165. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEEntendamos primero que la regla de tres es una operación aritmética que consiste en calcular elcuarto término de una proporción conocidos los otros tres. Si en una regla de tres intervienen dosmagnitudes se dice que la regla de tres es simple.En una regla de tres, los datos de la parte que resulta conocida del problema se denominansupuesto, mientras que los datos de la parte que contiene lo incógnita recibe el nombre depregunta.Si 6 pelotas cuestan 8 dólares, ¿cuánto costarán 16 pelotas? Aquí el supuesto está constituido por6 pelotas y 8 dólares y la pregunta por 16 pelotas y x dólares.Ejercicio 1Si 4 agendas cuestan 8 dólares, ¿cuánto costarán 15 agendas?PROCEDIMIENTO  Determinamos los elementos que van a ser parte de la regla de tres y a qué corresponde lo que se busca.  Formulamos la regla de tres, cuidando de colocar la incógnita al final ; ósea,  Ubicamos el supuesto y la pregunta correspondientes 165
  • 166. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE  En la primera columna nos encontraron con dos números uno mayor y otro menor a los cuales colocaremos los signos + y - respectivamente  Interpretamos la primera fila - Menos agendas tienden a menos costo + Más agendas tienden a más costoEs decir;  Determinamos si la regla de tres es directa o inversa. Si los valores en las filas van de - a - o de + a + la regla de tres es directa. Caso contrario si los valores en las filas van de + a – o de - a +, la regla de tres es inversa.En nuestro ejercicio la regla de tres sería directa  Realizar la multiplicación y división final de acuerdo con el siguiente diagramaLo anterior se interpreta de la siguiente manera: Si 4 agendas cuestan 8 dólares, 1 agenda costará4 veces menos: 8 4 =2, y obviamente 15 agendas costarán 15 veces más: 2 X 15=30 dólares.Ejercicio 2 166
  • 167. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJECuatro obreros hacen una obra en 12 días. ¿En cuántos días lo harían 7 obreros?PROCEDIMIENTO    Obreros Días Supuesto 4 12 Pregunta 7 X  Obreros Días - Supuesto 4 12 + Pregunta 7 XLo anterior se interpreta así:  A menos obreros más días de trabajo.  A más obreros menos días de trabajo 167
  • 168. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE  Se trata de una regla de tres inversa y por lo tanto las operaciones se llevarán delante de la siguiente manera.Resultado que se interpreta de la siguiente manera:Si cuatro obreros lo terminan en 12 días, 1 tardaría 4 veces más: 4 X 12= 48 días y 7 tardarán 7veces menos.Ejercicio 3.Jugando baloncesto, Kevin gasta 130 calorías en 12 minutos. Al mismo ritmo, ¿Cuántas caloríasgasta, si juega 40 minutos?PROCEDIMIENTO.  Minutos Calorías X  Minutos Calorías 12 130 40 X  Minutos Calorías Supuesto 12 130 Pregunta 40 X 168
  • 169. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE  Minutos Calorías - Supuesto 12 130 + Pregunta 40 X  A menos minutos menos calorías A más minutos más calorías Minutos Calorías + Supuesto 12 4 - + - Pregunta 7 X  Se trata de un regla de tres directaSi en 12 minutos existe un consumo de 130 calorías; en un minuto se consumirán 12 veces menos:1 y obviamente en 40 minutos se consumirán 40 veces más calorías: X 40 = caloríasEjercicio 4Viajando a 100km/h, Jorge tarda 6 horas en ir de una ciudad a otra. ¿Cuánto tiempo le tomaríallegar si viajara a 70 km/h?PROCEDIMIENTO 169
  • 170. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE   Velocidad Tiempo Supuesto 100 6 Pregunta 70 X  Minuto Calorías - Supuesto 100 7 + Pregunta 70 X  A más velocidad menos tiempo A menos velocidad más tiempo Velocidad Tiempo Supuesto + 4 - 12 Pregunta + - 7 X  Se trata de una regla de tres inversas. 170
  • 171. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE Se interpreta en el sentido de que viajando a 100km/h voy de una ciudad a otra en 6 horas; viajando a 1 km/h tardaría 100 veces menos 100 X 6 = 600 horas y viajando a 70 km/h tardarían 70 veces menos.EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Cuatro pintores pintan una casa en 60 horas. ¿Cuántas horas demorarán 7 pintores en hacer el mismo trabajo?. 2. Un motociclista recorre un camino a 70 km/h demorando 2 horas en ir de una ciudad a otra. ¿Cuánto tiempo tardará en cubrir el mismo trayecto a una velocidad de 45 km/h? 171
  • 172. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE 3. Se contrató a 8 obreros para construir una casa en 120 días. Como se quiere terminar en menos tiempo, se contratarán 20 obreros más. ¿En cuántos días se acabará la obra? 4. Anita paga 18 dólares de 5 kg de pollo. ¿Cuánto nos pagará si desea comprar 12 kg? Reps.: 34 2 7 172
  • 173. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE 5. 25 cajas contienen 425 latas de gaseosa. ¿Cuántas latas hay en 45 cajas? 6. Roxana utilizo 4Kg de coco en hacer 120 dulces. ¿Cuántos Kg de coco necesita para hacer 225 dulces iguales? 173
  • 174. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE 7. Por llamadas telefónicas al extranjero, Ana paga $ 0.60 por minuto. ¿Cuánto pagó si hizo una llamada de hora y media VIDEO MOTIVACIONAL 174
  • 175. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE JUEGONada de cambio“Deme cambio de un dólar, por favor, dijo el cliente.“Lo siento, dijo la señorita cajera, después de buscar cuidadosamente en la caja, pero no puedohacerlo con las monedas que tengo”“Puede entonces cambiarme medio dólar”. “La señorita cajera negó con la cabeza. En realidad,dijo, ¡No tengo para cambiar ni veinticinco, ni diez, ni cinco centavos!“No tiene ninguna moneda?”, pregunto el cliente.Oh, sí dijo la señorita cajera. Tengo 1.24 en monedas.¿Cuáles eran exactamente las monedas que había en la caja registradora?Solución:Si la cajera no podía cambiar un dólar, entonces no podía haber en la caja más de un medio dólar.Si no podía cambiar medio dólar, la caja no podía tener más de una moneda de veinticinco y nomás de cuatro de diez: Que no tuviera cambio de 10 centavos significa que no tenía más que unamoneda de cinco, y que no tuviera cambio de cinco centavos significa que no tenía más de cuatromonedas de un centavo, Así que la caja registradora no podía tener más que: 1 medio dólar $ 0.50 1 de veinticinco centavos 0.25 4 de a diez centavos 0.40 175
  • 176. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE 1 de cinco centavos 0.05 4 de un centavo 0.04 $ 1.24 UN ÁNGELDicen que un ebrio en un automóvil se pasó una luz roja. Causó un accidente múltiple de seisautos en la calle 109.Muchos cuerpos tendidos estaban por doquier y sangre regada por todos lados las sirenaspululaban, la muerte estaba en el aire.Una madre atrapada dentro de su auto, fue escuchada; su ruego casi rompe el aire: ¡Oh, Dios, porfavor salva a mis niños!Ella trataba de liberar sus manos atrapadas, pero el metal torcido la mantuvo cautiva.Su mirada llena de terror se enfocó en donde el asiento trasero había estado, pero todo lo que viofue vidrio roto y dos sillas de niños destruidas. Sus gemelos no se veían por ningún lado; ella no losescuchaba llorar. Y luego, ella rogó para que sus hijos hayan sido arrojados fuera del vehículo. ¡OhDios, no los dejes morir! Los bomberos llegaron y la liberaron, pero cuando buscaron en la partetrasera, no encontraron niños, aunque los cinturones de seguridad estaban intactos. 176
  • 177. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEEllos pensaron, que la mujer estaba loca y que había en el auto sola, pero cuando trataron deinterrogarla descubrieron que había desaparecido. Los policías la vieron corriendo sin rumbogritando más fuerte que el ruido de las ambulancias suplicando desesperadamente. Por favorayuda para encontrar mis niños.Ellos tienen cuatro años de edad y visten camisa y jeans azules para hacer juego. Un policía hablo,manifestando que los niños estaban en su auto y no tenían ningún rasguño. Ellos dicen que supapá los puso ahí, y les dio a cada uno una paleta de dulce, luego les dijo que debían esperar a quesu mamá regresara para que los lleve a casa. El policía dijo que busco por todos lados pero que nologró encontrar al padre. Probablemente dejo el área, supongo, y eso es muy malo. La Madreabrazó a los gemelos y dijo, mientras se limpiaba las lágrimas; el no pudo haber dejado el área, yaque murió hace un año.El policía pareció confundido y preguntó, ¿Cómo puede ser eso verdad? Los niños dijeron, mami,papi vino y dijo que te diéramos un beso por él. Él dijo que no debíamos preocuparnos y que túestarías bien, y luego nos puso en este auto con las luces brillantes y bonitas.Queríamos que él se quedara con nosotros porque lo extrañamos mucho, pero él nos abrazó muyfuerte y dijo que tenía que irse. El dijo que algún día entenderíamos y pidió que nos portáramosbien, y que te dijéramos que el siempre nos está cuidando. La madre supo sin lugar a dudas que loque ellos decían era verdad, ella recordó las últimas palabras del padre antes de morir: Yo loscuidaré.El reporte de los bomberos no pudo explicar como el auto había sido totalmente destruido yninguno de los tres tenía heridas. Pero en el reporte de la Policía estaba escrito en letras muypequeñas: Un Ángel salvó la noche en la autopista 109.La oración de 7 segundos, solo repita esta frase y vea como Dios actúa.......Señor, te quiero y te necesito, ven a mi corazón, bendice mi familia, mi casa, mis amigos y a mí. 177
  • 178. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEAmén Aquél que tiene mil amigos no tiene un amigo a quien no corresponder.Esta mañana cuando el Señor abrió una ventana al paraíso, él me vio y pregunto: "Hijo mío, cuál estu mas grande deseo para hoy?" Yo respondí: Señor, por favor cuida a la persona que está leyendoeste mensaje, a su familia y sus amigos especiales. Ellos se lo merecen y los quiero mucho". DIDÁCTICARazona a través de las tablas ordenadoras de información.Ejercicio 1.Carlos, Jorge, Luis y Marco viven en un edificio de 6 pisos cada uno en un piso diferente. Se sabeque el tercer piso está desocupado; que Luis vive a un piso de Marco y Carlos; y que Alejandro viveen el primer piso. ¿Quién vive en el segundo piso?PROCEDIMIENTO 1. En base a la lectura del problema recabe datos que hagan precisiones, ubíquelo en un esquema como el siguiente: • Alejandro vive en el primer piso • Se sabe que el tercer piso está desocupado 1 ALEJANDRO 2 3 DESOCUPADO Edificio de seis pisos 4 5 6Luis vive a un piso de Marco y Carlos. El único espacio del edificio en el que podría representarselo anterior sería en el 4º, 5º y 6º pisos, presentándose para el efecto 2 alternativas de la siguientemanera. 178
  • 179. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE 1 ALEJANDRO 2 3 DESOCUPADO 4 MARCO 5 LUIS 6 CARLOS 1 ALEJANDRO 2 3 DESOCUPADO 4 MARCO 5 LUIS 6 CARLOSAl quedarnos un solo piso se asume que en él vive Jorge, lo cual contestaría la pregunta planteadapor el problema. En cuanto a los últimos pisos; su ocupación se definirá en cuanto a orden en basea una mayor información pero en todo caso como estos no están involucrados en la pregunta delproblema, podrían tomar cualquiera de las posiciones planteadas; así: 1 ALEJANDRO 2 JORGE 3 DESOCUPADO 4 MARCO 5 LUIS 6 CARLOSEjercicio 2.Cinco amigos participaron en una competencia. Se sabe que Martha llegó antes que Diana; Karla,antes que Miriam; Martha después que Brenda; y, Karla, después que Diana. ¿Quién ganó lacarrera?PROCEDIMIENTO  Al no existir precisiones analizamos el problema desde el principio 1 2 MARTA 3 DIANA 4 KARLA 5 179
  • 180. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE  Martha llegó antes que Diana, afirmación que se analiza con Karla, después que Diana; con lo que se establecen las siguientes posibilidades: 1 MARTA 2 DIANA 3 KARLA 4 5 1 2 3 MARTA 4 DIANA 5 KARLA  Karla antes que Miriam y Martha después de Brenda. Con estas afirmaciones, la segunda posibilidad es la única que permitiría cumplir con lo indicado. 1 BRENDA 2 MARTA 3 DIANA 4 KARLA 5 MIRYAM  Concluyendo que Brenda es quien ganó la carrera.Ejercicio 3.Seis chicos están escalando una montaña. Carla está más abajo que Juana quien se encuentra unlugar más abajo que María, Fernando está más arriba que Carla, pero un lugar más abajo quePaola, quien está más abajo que Rosa, esta última se encuentra entre Juan y Paola ¿Quién está enel cuarto lugar del ascenso?PROCEDIMIENTO  Se podría utilizar un esquema vertical para ir representando las partes del texto que están inmersas en el problema, así: 180
  • 181. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE  “Carla está más abajo que Juan, quien se encuentra un lugar más abajo que María” “…Fernando está más arriba que Carla, pero un lugar más abajo que Paola quien está más abajoque Rosa, ésta última se encuentra entre Juana y Paola…” 181
  • 182. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEEsta sería la posición final, deducida de las conclusiones anterioresLuego: Paola está ubicada en el cuarto lugar del ascenso.Ejercicio 4.En una carrera de 5 amigos, Diana llegó antes de Demetrio, este último llegó en cuarto lugar. SiDenis llegó inmediatamente después que Daniel y Danilo, quien es el otro participante; paradeterminar el orden exacto de llegada de los cinco amigos ¿Cuál de las siguientes informaciones esnecesario conocer? I. Daniel llegó antes que Danilo II. Dennis llegó antes que DinoPROCEDIMIENTO  Ubique la precisión que hace el problema: “Demetrio llegó en cuarto lugar”. Me ta 5⁰ 4⁰ 3⁰ 2⁰ 1⁰ DEMETRIO  Analicemos ahora: “Dennis” llegó inmediatamente después que Daniel. Para ubicarlo se establece las siguientes posibilidades.1ra Posibilidad Me ta 5⁰ 4⁰ DEMETRIO 3⁰ DENIS 2⁰ DANIEL 1⁰2da Posibilidad Me ta 182 5⁰ 4⁰ 3⁰ 2⁰ DANIEL 1⁰ DEMETRIO DENNIS
  • 183. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE  El orden de los dos corredores es consecutiva; por lo que ninguno de ellos ocupa el 5° lugar ni el 4° lugar ya que está ocupado por Demetrio; entonces Dennis y Daniel ocupan dos de los tres primeros lugares, es por ello que hay dos posibilidades. “Dino llegó antes que Demetrio”Para ubicar lo anterior tomamos la 2da posibilidad,5° 4° 3° 2° 1° Me ta Demetrio Dino Dennis DanielY si tomamos la primera posibilidad tendríamos: Me5° 4° 3° 2° 1° ta Demetrio Dennis Daniel Dino“Danilo es el otro participante”1ra Posibilidad 5° 4° 3° 2° 1° Me taDanilo Demetrio Dennis Daniel Dino2da Posibilidad Me ta 5° 4° 3° 2° 1°Danilo Demetrio Dino Dennis Daniel 183
  • 184. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJELa primera información “Daniel llegó antes que Danilo “solo confirma ambas posibilidadesmostradas y no descarta ninguna de ellas.La segunda información “Dennis llegó antes que Dino” es determinante y descarta la segundaposibilidad, quedándonos tan solo lo primero posibilidad como válida.Luego: el orden final será5° 4° 3° 2° 1° Me taDanilo Demetrio Dino Dennis DanielEs necesario conocer la segunda informaciónEJERCICIOS PROPUESTOS 1. Seis amigas están escalando una montaña, Carla está más abajo que Juana, quien se encuentra un lugar más abajo que María. Daniela está más arriba que Carla pero un lugar más abajo que Tania, quien está más abajo que Rosa; que se encuentra entre Juana y Tania ¿Quién está en el cuarto lugar del ascenso? a) MARÍA b) JUANA c) TANIA d) CARLA e) DANIELA 184
  • 185. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE 2. Se tiene un edificio con cuatro pisos y en cada piso vive una familia. La familia Martínez vive un piso más arriba que la familia González. La familia Dávila vive más arriba que la familia Pravia, y la familia Martínez más debajo que la familia Pravia, ¿en qué piso vive la familia Martínez? a) 1er piso b) 2do piso d) 4to piso e) 3er piso f) 5to piso 185
  • 186. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE 3. Se colocan en un estante seis libros de razonamiento matemático, aritmético, álgebra, física, historia y geometría; si:  El libro de aritmética está junto y a la izquierda del de Algebra.  El libro de historia está junto y a la izquierda del de Geometría.  El libro de razonamiento matemático está a la izquierda del de álgebra. De derecha a izquierda, el cuarto libro es de: a) Razonamiento matemático b) Física c) Algebra d) Aritmética e) Geometría 186
  • 187. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE 4. En cierto examen, Rosa obtuvo menos puntos que María, Laura menos puntos que María, Laura menos puntos que Lucía, Nohemí el mismo puntaje que Sara; Rosa más que Sofía; Laura el mismo puntaje que María y Nohemí más que Lucía. ¡Quien obtuvo más puntaje? a) Lucía b) María c) Rosa d) Sofía e) Sara 5. Cinco personas rinden un examen si se sabe que: 187
  • 188. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE - B obtuvo un punto más que D - D obtuvo un punto más que C - E obtuvo un punto más que D - B obtuvo un punto más que A Ordenando en forma decreciente: a) ABDCE d) ECDBA b) EDCBA e) BCDEA c) EDBAC 188
  • 189. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE 6. En un edifico de tres pisos hay dos departamentos por piso, en el que viven 6 amigos ocupando cada uno un departamento. María, Marco y Nelly y utilizan siempre el ascensor para subir a sus departamentos. Rosa utiliza el ascensor o la escalera solo cuando visita a una de sus amigas. Joel vive en el mismo piso que Marco. Nelly y Juan no viven en pisos adyacentes. ¿Quienes viven en el segundo piso? a) Rosa y Juan b) Marco y Joel c) Juan y MARCO d) Juan y Joel e) Marco y maría 7. Timoteo es el alumno más alto de un aula del colegio en el mismo salón, Bricio es más alto que Carlos y más Bajo que Darío. De estas afirmaciones se pueden decir que: I. Bricio, Carlos y Darío son más bajos que Timoteo II. Darío es más bajo que Bricio y más alto que Carlos. III. Darío es más bajo que todos 8. Se sabe que Roberto es mayor que Ana; y que Jorge es menor que Carlos; y que Ana es 189
  • 190. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE a) Ana b) Jorge c) Roberto d) Carlos 190
  • 191. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE JUEGOCanicas de coloresHay diez canicas rojas y diez canicas azules mezcladas en un cajón. Las veinte canicas sonexactamente iguales, salvo por el color. El cuarto está absolutamente a oscuras y tú quieres doscanicas del mismo color. ¿Cuál es el menor número de canicas que debes sacar del cajón paraestar seguro de que tienes un par del mismo color?Solución:Mucha gente al tratar de resolver este acertijo, se dice: “Supongamos que la primera canica quesaco es roja. Necesito otra roja para hacer par, pero el próximo puede ser azul, y el próximo, y elpróximo, y así hasta sacar del cajón las diez canicas azules.La siguiente canica tiene que ser roja, así que la respuesta debe ser doce canicas.Pero este razonamiento pasa por alto. No es necesario que el par sea de canicas rojas. Solo esnecesario que dos canicas sean de igual color. Si las dos primeras no son iguales, es seguro que latercera será igual a una de las otras dos, de modo que la respuesta correcta es tres canicas. 191
  • 192. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE LAS COSAS NO SON LO QUE PARECENDos Ángeles viajeros se pararon para pasar la noche en el hogar de una familia muy adinerada. Lafamilia era ruda y no quiso permitirles a los ángeles que se quedaran en la habitación dehuéspedes de la mansión.En vez de ser así, a los ángeles les dieron un espacio pequeño en el frío sótano de la casa. Amedida que ellos preparaban sus camas en el duro piso, el ángel más viejo vio un hueco en lapared y lo reparó. Cuando el ángel más joven preguntó ¿por qué?, el ángel más viejo le respondió,"Las cosas no siempre son lo que parecen."La siguiente noche, el par de Ángeles vino a descansar en la casa de un señor y una señora, muypobres, pero el señor y su esposa eran muy hospitalarios. Después de compartir la poca comidaque la familia pobre tenía, la pareja le permitió a los ángeles que durmieran en su cama dóndeellos podrían tener una buena noche de descanso. Cuando amaneció, al siguiente día, los ángelesencontraron bañados en lágrimas al señor y a su esposa. La única vaca que tenían, cuya lechehabía sido su única entrada de dinero, yacía muerta en el campo. El ángel más joven estaba furiosoy preguntó al ángel más viejo, ¿cómo pudiste permitir que esto hubiera pasado? 192
  • 193. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEEl primer hombre lo tenía todo, sin embargo tú lo ayudaste; el ángel más joven le acusaba. Lasegunda familia tenía muy poco, pero estaba dispuesta a compartirlo todo, y tú permitiste que lavaca muriera."Las Cosas no siempre son lo que parecen," le replicó el ángel más viejo."Cuando estábamos en aquel sótano de la inmensa mansión, yo noté que había oro almacenadoen aquel hueco de la pared. Debido a que el propietario estaba tan obsesionado con la avaricia yno dispuesto a compartir su buena fortuna, yo sellé el hueco, de manera tal que nunca loencontraría.""Luego, anoche mientras dormíamos en la cama de la familia pobre, el ángel de la muerte vino enbusca de la esposa del agricultor. Y yo le di a la vaca en su lugar. Las Cosas no siempre son lo queparecen."Algunas veces, eso es exactamente lo que pasa cuando las cosas no salen como uno espera quesalgan. Si tú tienes fe, solamente necesitas confiar en que cualesquiera que fueran las cosas quevengan, serán siempre para tu ventaja. 193
  • 194. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE DIDÁCTICADesarrollemos la capacidad de analizar a través de la observación.El objetivo será averiguar el número exacto de figuras, por lo general, la máxima cantidad de ellas,que tiene ciertas características o son de un tipo determinado, que puedan identificarse en unafigura principal. Dicha figura se encuentra dividida por puntos o líneas que determinan figurassecundarias de diversas formas y tamaños. Por ejemplo, observemos la siguiente figura yformulemos la siguiente pregunta:Ejercicio 1¿Cuántos pentágonos como máximo hay en la siguiente figura?PROCEDIMIENTO:1ºForma: Observamos con mucha atención la figura y buscamos en ella visualmente las formas dela figura pedida:”un pentágono”; De seguro veremos los siguientes casos:Por lo tanto, en la figura dada, encontraremos 3 pentágonos como máximo.2ºForma: Imaginemos la figura principal como un rompecabezas de tres piezas, y a cada una deellas podemos asignarle una letra o un número. La nueva figura sería: 194
  • 195. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJERecordemos que cada una de las partes o piezas es una figura simple. Ahora buscamospentágonos combinando los números de las piezas; pero haciéndolo en estricto orden:Pentágonos formados por una sola pieza: No hay →0………………………………………..0Pentágonos formados por dos piezas: (1.2);(1.3);(2,3) →3…………………………..3 ₊Pentágonos formados por tres piezas: No hay →0………………………………………..0En conclusión, el número total de pentágonos es 0+3+0=31º Método. Conteo directoEl conteo directo se realiza visualmente o por “simple inspección”, mientras que si enumeramoslas figuras simples que conforman la figura principal; el conteo es “por combinación”.Conteo por simple inspección esHay problemas en los cuales basta observar minuciosamente la figura principal y las figurassimples que la componen buscando las características que satisfagan las condiciones requeridaspor la pregunta; veamos: Ejercicio 2.En la figura mostrada:¿Cuántas figuras simples hay?¿En cuántas figuras simples hay 2 asteriscos? 195
  • 196. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEPROCEDIMIENTO:Observemos atentamente la figura principal y contemoscada una de las figuras simples que la componen.(Podemos ayudarnos con lápices de colores e ir delineandocon un color bordes o coloreando el interior de cada figurasimple. Así, tenemos:Como podemos apreciar, hay 8 regiones simples.Hay 3 regiones simples en las cuales hay 2 asteriscos.Ejercicio 3.Dada la siguiente figura:¿Cuántas figuras simples hay?¿En cuántas figuras simples hay a lo mucho 2 asteriscos?¿En cuántas figuras simples hay más de uno o menos de 4 asteriscos?PROCEDIMIENTOMira con mucha atención y encontrarás 9 regiones simples“La frase… a lo mucho 2 asteriscos” debemos entenderla bien.Significa que tenemos que buscar figuras simples que tenga como máximo 2 asteriscos oun asterisco o ningún asterisco.Luego:Figuras simples con “0” asteriscos: 3 Figura donde hay a loFiguras simples con “1” asterisco: 1 Total: 3+1+2=6 más 2 asteriscosFiguras simples con “2” asteriscos: 2 196
  • 197. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEInterpretando la frase:”…más de uno pero menos de cuatro asteriscos”, concluiremos queel número de asteriscos que debe estar dentro de cada figura simple es 2 o 3; por lo tanto:Figuras simples con “2” asteriscos: 2 Figuras con más de uno peroFiguras simples con “3” asteriscos: 2 Total: 2+2=4 menos de cuatro asteriscos2do. Método. Por combinaciónLa figura que se muestra a continuación es un rompecabezas muy sencillo, conformadopor 8 piezas; si sacamos estas piezas, lo que nos queda será la figura del centro.Veamos:Tomando en cuenta la figura que estamos estudiando en el dibujo mostrado, cada una desus piezas ha sido enumerada.En realidad, dada una figura compuesta, lo que hacemos esasignar letras y/o dígitos a todas las figuras simples y luegoprocedemos a anotar todas las combinaciones quecorresponde a la formación de la figura solicitada o a lacondición requerida por el ejercicio.Se aconseja hacer esto de la manera más adecuada posible, es decir, tratando de que losdígitos y/ o letras estén dispuestos en forma secuencial y no muy alejados uno de otro ensu ubicación de la gráfica, para que al momento de hacer el conteo este resulte fácil derealizar.Por ejemplo, en el esquema simplificado que representa a nuestro rompecabezaspodríamos preguntar ¿Cuántos cuadriláteros hay? y lo que haríamos sería lo siguiente 197
  • 198. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJECuadriláteros formados por 1 figura simple: (8)………………….………………….. 1Cuadriláteros formados por 2 figuras simples: (14);(26);(34) (45);(56);(67) …………………………6Cuadriláteros formados por 3 figuras simples: (134);(267);(456)……………………..3Cuadriláteros formados por 4 figuras simples: No hay……………………………………..0Cuadriláteros formados por 5 figuras simples: No hay……………………………………..0Cuadriláteros formados por 6 figuras simples: (345678)…..……………………………..1Cuadriláteros formados por 7 figuras simples: No hay……………………………………..0Cuadriláteros formados por 8 figuras simples: No hay……………………………………..0 Luego, el número total de cuadriláteros es: 11Ejercicio 4.¿Cuántos triángulos hay en total en la siguiente figura?ProcedimientoEnumeramos la figura dada: 198
  • 199. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJETriángulos que se forman con 1 figura simple: 1;2;3;5……………….……………………….4Triángulos que se forman con 2 figuras simples: (12); (13); (34)…………………………….3Triángulos que se forman con 3 figuras simples: (245);(345) ………………………………….2Triángulos que se forman con 4 figuras simples: No hay …….………………………………….0Triángulos que e forman con 5 figuras simples: (12345)…….………………………………….1 TOTAL 10Luego, hay 10 triángulos en totalEjercicio 5.Indique el número total de cuadriláteros que hay en la siguiente figura:Procedimiento:Luego de enumerar la figura, hay 5 regiones simples.Cuadriláteros que se forman con 1 región simple: 2, 3, 4, 5……………………………….4Cuadriláteros que se forman con 2 regiones simples: 12, 14, 23, 4…………….……… 4Cuadriláteros que se forman con 3 regiones simples: 123………..……………….………. 1Cuadriláteros que se forman con 4 regiones simples: No hay…..……………….………. 4Cuadriláteros que se forman con 4 regiones simples: (12345)...……………….………. 1 TOTAL 10Luego, en la figura mostrada hay 10 cuadriláteros. Preocúpate más por tu carácter que por tu reputación. Tu carácter es lo que realmente eres, mientras quePROPUESTOS es solo lo que los otros EJERCICIOS tu reputación creen que tú eres. (Dale Carnegie) 199
  • 200. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEEJERCICIOS PROPUESTOS 1. ¿Cuántos triángulos hay? a) 10 b) 14 c) 16 d) 17 2. a) 10 b) 7 c) 8 200
  • 201. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE d) 9 2. ¿Cuántos Cuadriláteros hay? a) 16 b) 18 c) 13 d) 20 201
  • 202. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 202
  • 203. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE 3. ¿Cuantos triángulos tienen dos caras? a) 4 b) 3 c) 5 d) 6 203
  • 204. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE 4. ¿Cuántos triángulos pueden contar? 204
  • 205. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE a) 18 b) 20 c) 22 d) 23 5. Calcula la cantidad total de hexágonos en la figura. a) 3 b) 2 c) 4 d) 5 e) 1 6. Halla el número total de triángulos. 205
  • 206. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE a) 40 b) 37 c) 35 d) 32 e) 34 6. Dada la siguiente figura: 206
  • 207. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEEncuentre:¿Cuántas regiones simples tiene?¿Cuántas figuras geométricas básicas se han tomado en consideración para construirlo?¿Cuántos asteriscos hay en total?¿En cuántas regiones simples no hay, más de un asterisco?¿Cuántos asteriscos se encuentran en los rectángulos excistentes en la figura? JUEGOProblema de PesoSi una pelota de básquet pesa ½ kilo más la mitad de su propio peso. ¿Cuánto pesa?Solución:Habrá un peso de ½ kilo en un platillo y media pelota de básquet en el otro, de modo que mediapelota de básquet debe pesar ½ kilo y la pelota entera debe pesar el doble o sea un kilo.En realidad sin saberlo, hemos resuelto el problema sin utilizar algebra. Pero si lo hacemospodríamos plantear la siguiente ecuación para solucionarlo; encontrado de esa manera el pesosolicitado: 207
  • 208. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJESi se quita la misma cantidad de ambos lados de esta ecuación, seguirá equilibrada. Así si quitamosuna x de cada lado, nos queda: ½=xRecordemos que representaba la mitad de la pelota de básquet. Si media pelota pesa ½ kilo,entonces la pelota entera pesa un kilo. EL MAESTRO Y SU APRENDIZUn día un maestro y su joven aprendiz salieron al campo, una vez que habían caminadomucho decidieron descansar en una morada muy humilde, en la que el maestro sepercató que todos los individuos que habitaban la casa eran extremadamente pobres, yque por lo general pasaban desocupados y sin hacer nada.El maestro le preguntó qué hacía para sobrevivir, y el jefe del hogar le respondió quetenían una vaca que les daba varios litros de leche al día y que esa leche la utilizaban comoalimento o la intercambiaban por otros productos, al siguiente día el maestro después dedespedirse de la familia dijo a su aprendiz que empujase a la vaca por un barranco, ante loque el aprendiz se opuso diciendo que esa familia sobrevivía solo por esa vaca. 208
  • 209. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEEl maestro con su silencio mostró su descontento y el aprendiz cedió y empujó a la vaca alvacío, tiempo después el aprendiz había regresado a la humilde vivienda a disculparse porlo que hizo, pero vio que la entrada era mucho más elegante había un amplio jardín y unacasa bonita y el aprendiz que a lo mejor los antiguos habitantes de la casa habían vendidola casa para poder alimentarse, pero al entrar a la casa se dio cuenta de que todo loshabitantes eran los mismos, el joven preguntó qué había pasado y el hombre respondióque al morir su vaca tuvieron que hacer otras cosas para sobrevivir y así acumularonmayor fortuna y se dieron cuenta de que talento poseían dejando de ser conformistas ysiendo más capaces todo en la familia se habían superado. DIDÁCTICAAprenda a trazar figuras bajo ciertos condicionamientosCon el objeto de transmitir esta destreza, es necesario que primeramente el estudiante tengaconocimiento de las cosas que se presentan con respecto a este tema y que los podemos sintetizaren los siguientes:Caso 1Para que una figura pueda construirse sin levantar el lápiz ni repetir el trazo por segunda vez. Esnecesario que los puntos de intersección sean pares.Caso 2Para que una figura se pueda construir sin levantar el lápiz ni repetir el trazo por segunda vez, esnecesario que existan en las figuras solo dos puntos impares, siendo los demás puntos pares.Ejercicio 1Trace las figuras que se establecen a continuación de un solo trazo sin levantar el lápiz, ni repetir eltrazo por segunda vez. a) 209
  • 210. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEProcedimiento  Comprobamos el caso 1 o el caso 2Como se puede observar se cumple con el primer caso y por lo tanto la figura puede ejecutarse sinlevantar el lápiz ni repetir el trazo por segunda vez.Para ejecutar la figura, puede construirse empezando por cualquier punto par, como se muestra acontinuación.b)La figura cumple con el 1 caso y se lo puede construir de un solo trazo pues todos los puntos deintersección son pares. 210
  • 211. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJESeguidamente podemos construir la figura empezando por cualquier punto par como veremos acontinuación.Ejercicio 2Trace las figuras siguientes de un solo trazo y sin levantar el lápiz. a)Procedimiento.-  Comprobemos el caso 1 o el caso 2Concluimos en que la figura si se puede construir de un solo trazo, pues tiene dos puntos impares. Punto impar: hay cinco líneas que se encuentran. Punto impar: hay cinco líneas que se encuentran. 211
  • 212. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE  Ejecutamos la figura empezando por cualquiera de los dos puntos impares, como se muestra a continuación 7 2 6 5 10 4 1 3 9 8 b)La figura puede construirse de un solo trazo pues tiene dos puntos impares Punto impar Punto impar 212
  • 213. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEDe tal manera que cumple realizarse el trazado empezando desde cualquiera de los puntosindicadosEJERCICIOS PROPUESTOS 1. ¿Qué figura (s) se puede (n) realizar con un trazo continuo y sin pasar dos veces por el mismo trazo, pudiendo cruzarse los trazos? 213
  • 214. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE Solo I b) Solo II c) Solo III d) Los tres e) II y III 2. Decir que figura(s) se puede (n) construir sin levantar el lápiz del papel, ni repetir el trazo por segunda vez. 214
  • 215. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEa) Solo I b) Solo II c) I y II d) I y III e) Ninguno (II) (III) 3. ¿Que figura(s) se puede (n) realizar con un trazo, pudiendo cruzarse los trazos?a) Solo II b) Solo III c) II y III d) I y III e) I y II 215
  • 216. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE 4. De las figuras que se muestran a continuación ¿Cuántas se pueden realizar con un trazo continuo y sin pasar dos veces por el mismo trazo; pudiendo cruzarse los trazos? a) II b) III c) IV d) I e) N.A 216
  • 217. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE 5. ¿Qué figuras se puede trazar en forma continua sin levantar el lápiz de papel?a)I y II b) II y III c) I y III d) Solo I e) Las tres 6. ¿Cuáles de las figuras, se puede realizar de un solo trazo? a) Solo I b) Solo II c) Solo III d) I y II e) I y III 217
  • 218. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE a) Solo I b) Solo II c) Solo III d) I y II e) II y III El triunfo del verdadero hombre surge de las cenizas del error. Pablo Neruda LA HISTORIA DEL ESCARABAJOUn gusano y un escarabajo eran amigos y se pasaban charlando largas horas. El escarabajo eraconsciente de que su amigo el gusano era muy limitado en movilidad, tenía visión muy restringiday era muy tranquilo y pasivo comparado con los escarabajos. El gusano, por su parte, era muyconsciente de que su amigo el escarabajo venía de otro ambiente, y de que, en comparación conlos gusanos de su especie, comía cosas desagradables, era muy acelerado, tenía una imagengrotesca y hablaba con mucha rapidez.Un día, la compañera de vida del escarabajo le cuestionó a éste su amistad con el gusanopreguntándole cómo era posible que caminara tanto para ir al encuentro de un ser tan inferior, unser tan limitado en sus movimientos y por qué seguía siendo amigo de alguien que ni siquiera ledevolvía los saludos efusivos que el escarabajo le hacía desde lejos. Pero el escarabajo eraconsciente de que, debido a lo limitada visión, el gusano muchas veces ni siquiera veía que 218
  • 219. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEalguien lo saludaba y, si acaso llegaba a notarlo, no distinguía si era o no el escarabajo, y por ellono contestaba el saludo. Sin embargo, el escarabajo calló para no discutir con su compañera.Fue tanta la insistencia de la escarabaja y tantos sus argumentos cuestionando la mistad que sucompañero mantenía con el gusano que el escarabajo decidió poner a prueba esta amistadalejándose del gusano para esperar a que éste lo buscara.Pasó el tiempo y un día llegó la noticia de que el gusano estaba muriendo, pues su organismo sehabía resentido por los esfuerzos de que cada día hacía para ir a ver a su amigo el escarabajo y, nolo conseguía durante toda una jornada diurna, el gusano tenía que devolverse sobre sus pasospara pasar la noche en el refugio de su propia casa.Al saber esto, el escarabajo, sin preguntar a su compañera, decidió ir a ver al gusano. En el caminose cruzó con varios insectos que le contaron de las diarias e infructuosas peripecias del gusanopara ir a ver a su amigo el escarabajo y averiguar qué le había pasado. Le contaron de cómo seexponía día para ir a buscarlo, pasando cerca del nido de los pájaros. De cómo sobrevivió al ataquede las hormigas y así sucesivamente.Llegó hasta el árbol donde yacía el gusano esperando ya el momento final. Y al verlo a su lado, elgusano, apenas con un hilo de vida, le dijo al escarabajo cuándo le alegraba ver que se encontrarabien. Sonrió por última vez y se despidió de su amigo sabiendo que nada malo le había pasado aéste. El escarabajo sintió vergüenza por haber permitido que las opiniones de otros minaran suamistad con el gusano y sintió dolor por haber perdido las muchas horas de regocijo que laspláticas con su amigo le proporcionaban y, sobre todo, por haberte puesto en una situación que lecausó la muerte.Al final entendió que el gusano tan diferente, tan limitado y tan distinto de lo que él era, era suamigo, a quien respetaba y quería porque, a pesar de pertenecer a otra especie, le había ofrecidosu amistad. Y así aprendió varias lecciones ese día.La amistad está en ti y no en los demás. Si la cultivas en tu propio ser, encontrarás el gozo delamigo.El tiempo y la distancia no son los factores que destruyen una amistad. La destruyen las dudas ynuestros temores.Cuando pierdes un amigo, una parte de ti se va con él. Las frases, los gestos, los temores, lasalegrías, las ilusiones, todo lo que ambos compartieron en el tiempo, se va con él.El escarabajo murió poco después. Nunca se lo escuchó quejarse de quien mal lo aconsejó, puesfue decisión suya el prestar oídos a las críticas sobre su amigo. 219
  • 220. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJESi tienes un amigo no pongas en tela de juicio lo que él es, pues sembrando dudas cosecharásmores. No te fijes demasiado en cómo habla, cuánto tiene, qué cómo o qué hace, pues con elloestarás echando en saco roto tu confianza. Reconoce la riqueza de quien es diferente a ti y, aun asíestá dispuesto a compartir contigo sus ideas y temores. La esencia del gusano y el escarabajo sevolvieron una sola en el plano más allá de esta vida.No sé si eres el gusano y yo el escarabajo, o al revés, pero seguro que somos distintos y que nosmovemos en planos diferentes. Yo, aunque sea gusano, te seguiré buscando día a día; pero sifuera escarabajo, no prestaré oído a las críticas, vengan donde vengan.Si fuera gusano, ignoraré lo grotesco que me puedas parecer.Si fuera escarabajo, haré uso de mis habilidades para servirte.Dijo la madre Teresa: “Voy a pasar por esta vida una sola vez. Cualquier cosa buena que yo puedahacer o alguna amabilidad que pueda hacer a algún humano, debo hacerla ahora, porque nopasaré de nuevo por aquí”. DIDÁCTICADesarrollando nuestra habilidad visual a través de la manipulación de cerillas.Una estrategia importante en el desarrollo del pensamiento constituye la observación; y,recesivamente a través de esta didáctica que implica movimiento de material didáctico podemoslograr esta defensa.Es importante compañero docente, que para poner en práctica lo anterior, utilice palitos defósforos pero quitándoles la cabeza, para evitar cualquier inconveniente a nivel de sus educandos.Ejercicio 1En la figura nueva sólo tres palitos para que el pez nade en sentido contrario 220
  • 221. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJESoluciónTrasladando las cerillas tenemos que:Ejercicio 2Mueva siete palitos de fósforo y forme cuatro cuadradosSoluciónEjercicio 3¿Cuántos palitos como mínimo se debe agregar para que se lea uno?Solución 221
  • 222. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEEs necesario agregar cuatro cerillas “Cuando hables, piensa, pero cuando pienses, no hables”EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Se tienen cerillas dispuestas en cuatro cuadrados pequeños como sigue: a) Retira dos cerillas, dejando dos cuadrados. b) Retira cuatro cerillas, dejando dos cuadrados. c) Mueve tres cerillas, para hacer tres cuadrados del mismo tamaño. d) Mueve cuatro cerillas, para hacer tres cuadrados del mismo tamaño. e) Mueve dos cerillas para hacer siete cuadrados de tamaños diferentes. f) Mueve cuatro cerillas para hacer diez cuadrados, no todos del mismo tamaño. 222
  • 223. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE 2. Observa l siguiente esquema: a. Mueve dos cerillas y forma una figura equivalente al área de 5 cuadritos juntos. b. Mueve tres cerillas y forma una figura con un área equivalente a la de tres cuadritos juntos. c. Mueve cuatro cerillas y forma una figura con un área equivalente a la de tres cuadritos juntos 223
  • 224. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE 3. Retirando once cerillas, deja seis 4. En la disposición de la figura siguiente, es sencillo dejar sólo dos triángulos equiláteros, retirando cuatro cerillas asimismo eliminando tres. ¿Pero sabrá el lector suprimir sólo dos cerillas y dejar dos triangulo equiláteros? (no deben quedar cerillas sueltas). 224
  • 225. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE 5. Moviendo solamente una cerilla debemos lograr una igualdad verdadera. No es válido tachar el signo “igual” con una cerilla y obtener una desigualdad verdadera la expresión final debe ser una auténtica igualdad. 6. Cambiando la posición de dos cerillas hay que reducir, de 5 a 4, el número de cuadrículas unitarias de la figura. No es lícito dejar “cabos sueltos”- es decir, cerillas no utilizadas como lados de un cuadrado. Una notable característica de este clásico problema es que, incluso una vez resuelto, podemos ponerlo al revés volverlo cabeza abajo, o ambas cosas y seguirá siendo casi tan difícil de resolver como era inicialmente 225
  • 226. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE 7. Moviendo solamente una cerilla hay que formar un cuadro. (La vieja broma de deslizar uno o dos milímetros hacia arriba la cerilla central superior, y dejar en el centro de la cruz un minúsculo hueco cuadrado no es válida. La solución también es humorística, pero la broma va ahora por distinto camino) 8. Como se ve, las ocho cerillas formadas en este caso catorce cuadros 226
  • 227. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE Retira dos cerillas y deja sólo tres cuadrados. 9. Cambia de lugar cuatro cerillas en esta especial para construir tres cuadrados 10. Se ha conseguido una casa utilizando 10 cerillas. Cambiar en ella la posición de dos cerillas, de tal forma que la casa aparezca de otro costado 227
  • 228. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE 11. En la figura apreciamos una flecha construida con dieciséis cerillas a. Mueve siete cerillas de manera que se formen cinco figuras de cuatro lados. b. Mueve diez cerillas de la flecha, de manera que se formen ocho triángulos iguales. 12. La llave está hecha con diez cerillas, cambiar de lugar cuatro cerillas de tal forma que resulten tres cuadrados 228
  • 229. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE 13. Una balanza, compuesta por nueve cerillas se halla en un estado de desequilibrio. Es preciso cambiar la posición de cinco cerillas, de tal forma que la balanza quede en equilibrio. 14. Hay que cambiar de sitio catorce cerillas de esta “reja” para lograr formar tres cuadrados 229
  • 230. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE Soluciones ¿Qué tal te fue con los ejercicios?..., ¿bien?, ¿más o menos?..., ¿qué tan bien?... No te preocupes; recién estamos comenzando. Comprueba, ahora tus respuestas: 1.- 230
  • 231. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE 2.- Observa que las áreas de las figuras pedidas se calculan por diferencia de áreas 3.- 4.- 5.- 6.- 7.- 231
  • 232. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE 8.- 9.- 10.- 11.- 12.- 232
  • 233. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE13.-14.- “El arte de superarse es el arte de reeducarse y rectificarse” 233
  • 234. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE EL LADRILLOUn joven y exitoso ejecutivo paseaba a toda velocidad sin ninguna precaución por una colina en laparte vieja de su ciudad en su nuevo auto deportivo, un flamante Porsche.De repente, sintió un estruendoso golpe en la puerta, se detuvo, al bajarse, vio que un ladrillo lehabía estropeado la pintura, carrocería y vidrio de la puerta de su lujoso auto.Se subió nuevamente, pero esta vez lleno de enojo, dio un brusco giro de 180 grados, y regresó atoda velocidad al lugar donde vio salir el ladrillo que acababa de desgraciar su exitoso auto.Salió del auto de un brinco, y agarro por los brazos a un chiquillo, y empujándolo hacia su auto legritó:-“¿Qué rayos fue eso? ¿Quién eres tú? ¿Qué crees que haces con mi auto?”.Enfurecido, casi echando humo por la nariz y las orejas, continuó gritándole al chiquillo:-“Es un auto nuevo, y ese ladrillo que lanzaste va a costarte muy caro. ¿Por qué hiciste eso?” 234
  • 235. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE-“Lo siente mucho señor. No sé qué hacer”, suplicó el chiquillo. “Le lancé el ladrillo porque nadiese detenía”. Las lágrimas bajaban por sus mejillas hasta el suelo, mientras señalaba cerca de dondeestaba el auto estacionado.-“Es mi hermano”, le dijo. “Se descarrió su silla y se cayó al suelo y no puedo levantarlo”.Sollozando, el chiquillo le preguntó al ejecutivo:-“¿Puede usted, por favor, ayudarme a sentarlo en su silla? Está golpeado y pesa mucho para mísolito. Soy muy pequeño”.Visiblemente impactado por las palabras del chiquillo, el ejecutivo se tragó el grueso nudo que sele formó en su garganta.Indescriptiblemente emocionado por lo que acababa de pasarle, levantó al joven del suelo, losentó nuevamente en su silla y sacó su pañuelo de seda para limpiar un poco las cortaduras delhermano de aquel chiquillo tan especial.Luego de verificar que se encontraba bien, miró al chiquillo, y este le dio las gracias con una gransonrisa indescriptible.-“Dios lo bendiga señor, y muchas gracias”, le dijo.El hombre vio como se alejaba el chiquillo empujando trabajosamente la pesada silla de ruedas desu hermano, hasta llegar a su humilde casita.El ejecutivo no reparó la puerta del auto, manteniendo la hendidura que le hizo el ladrillazo, pararecordarle que no debe ir por la vía tan distraído y tan de prisa que alguien tenga que lanzarte unladrillo para que preste atención.¿Cuántas veces en nuestra vida nos tienen que dar un ladrillazo para despertar y cambiar el rumbode nuestras vidas y de nuestro destino?Dios normalmente nos susurra en el alma y en el corazón, pero hay veces que tiene que lanzarnosun ladrillo a ver si le prestamos atención. 235
  • 236. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE¿Escucharás el susurro o el ladrillazo? DIDÁCTICACalculamos áreas sombreadas en basé a fórmulas de áreas conocidasLos métodos que se establecen a continuación y que sirven para afectar el cálculo de áreassombreadas de permitirán al estudiante desarrollar su pensamiento ya que será él quienestablezca fórmulas que le facilitaran solucionar este tipo de problemas.Para ello es necesario que recordemos las fórmulas para calcular de áreas de figuras conocidascomo son:CuadradoRectánguloTriángulo 236
  • 237. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJECírculoSector circularEn el cálculo de las áreas de figuras geométricas se hace útil cuando debemos el área de unaregión no convencional; es decir; cuya forma no es geométricamente tradicional como loscuadriláteros, triángulos, círculos y polinomios en general.Algunas áreas a calcular se muestran a continuaciónAdemás de las figuras para calcular áreas de la figura geométricas planas más costumbres, esnecesario que tenga en cuenta las siguientes áreas circularesCuadranteSegmento circular 237
  • 238. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEEmbecaduraEjercicio 1En el cuadrado ABCD de lado 2. Hallar el área de la región sombreadaProcedimientoUn método que permite el cálculo de áreas sombreadas es el de traslado; el mismo que consisteen establecer una sola figura geométrica conocida en base al movimiento de otras; la cual sepuede visualizar a continuaciónAhora se puede observar únicamente un triangulo sombreado, figura de la cual si podemoscalcular el área, para lo cual ubicamos las medidas correspondientes. 2 x1 A= 2 A = 1µ 2 238
  • 239. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEEjercicio 2Hallar el área de la región sombreadaProcedimientoRealizamos los traslados respectivos, buscando la formación de una sola figura geométricaconocidaDe lo cual resulta que:Concluyendo que: 8* 4 A= 2 A =16m 2Ejercicio 3Determine el área sombreada:Procedimiento 239
  • 240. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJELa resta de áreas es otro método que puede utilizarse para encontrar áreas sombreadas como lapropuesta. En nuestro caso, el área con nombre sería igual a: Área sombrada es igual a: Área del circulo menor área del cuadradoEs decir: Am = π .r 2 − l 2El área del círculo es posible calcular porque conocemos el radio; mientras que para el cuadradonecesitamos calcular el lado, que conseguiremos de la siguiente manera:Aplicando el teorema de PitágorasCon lo cual Am = π .(4m) 2 − 32m 2 Am = 16πm 2 − 32m 2 Am = 16(π − 2)m 2Ejercicio 4Calcule el área de la región sombreada; si el radio de cada círculo es 2m 240
  • 241. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEProcedimientoOtro método implica fraccionar la figura principal y aplicar posteriormente uno de las formulasestablecidas al iniciar el estudio, es decir:Con lo que calcularemos el área de una embecadura, asea:Como r= 2m , entonces: π ( 2 m) 2 A = ( 2 m) 2 − 4 4πm 2 A = 4m 2 − 4 A = 4m − πm 2 2 A = (4 − π )m 2Pero como son cuatro embecaduras el área sombreada final sería: “Si leer poco, actuarás como muchos; si lees mucho actuarás 241 como pocos”
  • 242. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEEJERCICIOS PROPUESTOSDetermine las siguientes áreas sombreadas 1. Rep. 32m2 2. 242
  • 243. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE Resp. 8π 3. Rep. 1m2 4. 243
  • 244. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE Resp. 8π 5. Resp. 9m2 6. 244
  • 245. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE Resp. 4( 4 − π ) 7. En el cuadrado ABCD de lado 4 Hallar el área de la región sombreada Resp. 8( π − 2) µ 2 8. La superficie sombreada es : 245
  • 246. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE a) 16(1- π ) b) 8( π -4) c) 8(4- π ) d) 8(2- π ) e) 4(2- π ) JUEGORamiro, Roberto, Marcelo y Pepe fueron a una reunión de trabajo en compañía de sus esposas. Enla oficina se sentaron alrededor de una mesa de manera que:  Ningún marido quedó al lado de su esposa  Al frente de Ramiro se sentó Roberto  A la derecha de la esposa de Ramiro se sentó Roberto  No había dos hombres juntos  ¿Quién se sentó entre Ramiro y Pepe?Solución 246
  • 247. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE EL SOL BRILLANDO... i Y YO CIEGO!Estas palabras me las comentó hace muchos años un cieguito en un parque de Los Ángeles, dondeyo, como joven, me senté a pasar las horas del día sintiéndome muy triste y solo. El cieguito, yamuy anciano, se entretenía en dar de comer a las palomas y entablamos conversación.Le comenté hasta cierto punto algo de lo que estaba sintiendo y el ancianito me preguntó:-¿Has visto lo lindo que brilla el sol?Sin darme cuenta que a quien me hablaba no podía ver, le contesté:En realidad ni me había fijado. 247
  • 248. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEEl anciano me contestó: -“ EL SOL BRILLANDO Y TU CIEGO...” Han pasado muchos años de aquel encuentro y muchos años para darme cuenta que muchasveces vamos por la vida “CIEGOS”. Nos levantamos con el “PROBLEMA” y caminamos todo el díacon el “PROBLEMA” y el sol y la vida brillando a nuestro alrededor y no lo vemos.No permitas que pase tu día sin mirar aquello hermoso que te rodea. No pierdas ni un minutomás oscureciendo tu vida la de otros a tu alrededor. Todos tenemos problemas, pero recuerdaque éstos son nuestra oportunidad para aprender y crecer. QUE NO PASE UN DÍA MÁS DONDE TERMINES DICIENDO: “EL SOL BRILLANDO...¡Y YO CIEGO!” DIDÁCTICAMuchos problemas de lógica re recreativa nos presentan situaciones de relación de tiempo en loscuales, por lo general, se presentan se aprecian enunciados de difícil expresión por lo “enredado”de su todo, por este motivo se requiere de una atención adecuada para llevar a cabo el procesológico-deductivo que nos conduzca a la solución. Hay que señalar que el procedimiento que se da a conocer a continuación, a través de ejemplos,amerita que el estudiante tenga conocimiento de operaciones de suma y resta combinadas y rectanumérica.Ejemplo 1Si el anteayer del mañana de pasado mañana es martes, ¿Qué día fue el ayer del ayer deanteayer?Procedimiento  Creamos una recta numérica que contenga los números enteros positivos y negativos; hayamos como punto de partida el cero que comprende a hoy y señalamos otros términos de acuerdo a nuestra lógica; así: 248
  • 249. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE -∞ -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 +∞ ayer hoy anteayer mañana pasado después de 4 días mañana hace tres díasAnalizamos la propuesta presentada  Si el anteayer del mañana del pasado mañana es martes -2 1 2Y sumamos los valores presentados -2+1+2= 1 → MartesAnalizar la preguntaAyer del ayer de anteayerSumamosRetornamos a la recta numérica y en base a los resultados obtenidos anteriormente solucionamosel problema. La respuesta es jueves 249
  • 250. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEEjemplo 2Si el anteayer de dentro de 5 días es domingo. ¿Qué día será el pasado mañana del ayer de hacetres días del pasado mañana de mañana?.Propuesta -2+5=3→DomingoPregunta +2-1-3+2+1=1Contestación a pregunta -∞ 5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 +∞ S D L M M J V S Domingo L M La respuesta es ViernesEjemplo 3Cuando el miércoles el pasado mañana de ayer. ¿Qué día será la mañana del anteayer de pasadomañana?Propuesta 2-1=1 →MiércolesPregunta 1-2+2=1Contestación a pregunta -∞ 5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 +∞ J V S D L M Miércoles J V S DLa respuesta es miércolesEjercicios propuestos1.- si el ayer de pasado mañana es lunes, ¿qué día será el mañana del ayer de anteayer? 250
  • 251. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEa) Lunes b) miércoles c) viernes d) jueves2.- Si hoy es Domingo, ¿Qué día será el ayer del pasado mañana de hace dos días?a) jueves b) viernes c) sábado b) domingo e) martes3.- Si el anteayer de mañana es lunes, ¿Qué día será el mañana de anteayer?a) Lunes b) martes c) domingo d) sábado e) martes 251
  • 252. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE4.- Si el anteayer del mañana de pasado mañana es Viernes, ¿Qué día fue ayer?a) Miércoles b) lunes c) sábado d) jueves e) martes5.- Si el ayer del anteayer de mañana es lunes, ¿Qué día será el pasado mañana del mañana deanteayer? 252
  • 253. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEa) lunes b) sábado c) miércoles c) lunes e) domingo JUEGOAdivinando el día y el mes de nacimientoSolicitar a uno o varias personas-que escriba el numero del día en que nació-que a ese número le agregue el cero a la derecha-Que al total multiplique por dos-que agregue 73 a ese producto-que este gran total sea multiplicado por 5-finalmente que sume al número del mes de su nacimientoEste gran total lo resta usted e inmediatamente anunciara el signo, el mes, el día y la hora en quenació. Estos dos últimos datos casi nadie lo sabeEjemploSi una persona nació el 30 de junio, haré lo siguiente ante los pedidos formulados por usted.-a 30 agregare 0→300- el resultado multiplico por 2: 2x300=600-luego sumo 73, quedando: 600+73=673 253
  • 254. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE-Lo multiplico por 5: 673x5=3365-luego sumo 6 que corresponde a Junio: 3365+6=3371-Anuncio el número-ahora usted a 3371 le resta 365(siempre esa cantidad) →3371-365=300630 06Día mes30 de junio, signo cáncer, la hora le pone usted, así como el día DIDÁCTICAAprendamos a dividir sin saber las tablas de multiplicar.Para poder dividir dos números sin tener que saber las tablas de multiplicar hace falta sabersumar, restar y multiplicar por 2.Le pido compañero maestro que tenga confianza porque, si bien al principiopuede parecer complicado, es en realidad muchísimo más fácil que dividir en laforma convencional. Y aunque sea solo por eso, porque ofrece una alternativa alo que uno aprende en la escuela y se corre de lo clásico, vale la pena prestarleatención.El método consiste en fabricar cuatro columnas de números a partir de los dosnúmeros que uno tiene como datos.Ejercicio 1Divida 712 para 31  Para dividir 712 por 31, completo en primer lugar la primera columna y luego la cuarta: 31 1 254
  • 255. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE 62 2 12 4 4 24 8 8 49 16 6 71 2Para obtener la primera columna, empiezo con el número por el que queremos dividir; en estecaso, el 31. A partir del, en forma descendente, multiplico por 2 en cada paso. ¿ por que pare en el496? Porque si multiplico el 496 por 2, obtendría un numero (992) mayor que 712 (el numero queoriginariamente quería dividir). Por eso, en lugar de poner el 992, anoto 712. Es decir que paragenerar la primera columna, solo hace falta saber multiplicar por 2 y estar atento para terminar elproceso en el paso anterior a superar nuestro segundo número.La cuarta columna se obtiene igual que la primera, solo que en lugar de empezar con el 31,empiezo con el numero 1. Como se advierte, irán apareciendo las distintas potencias del numero2. Detengo el proceso en el mismo lugar en que me detuve en la primera columna. Hasta aquí,todo lo que uno necesita saber es multiplicar por 2.  ¿Cómo se completan las dos columnas del medio? Así: 31 30 1 62 30 2 12 92 4 4 24 21 8 8 6 49 21 16 6 6 71 2Para realizar este paso, lo que necesita saber es restar. Empiezo de abajo hacia arriba, restando elnumero que tenemos para dividir (el 712) menos el anteúltimo numero de la columna uno (496).Al resultado, lo anoto en la columna dos, y así aparece el 216. Ahora comparo el 216 con el 248.Como no lo podemos restar (por que 216 es menor que 248, y solo trabajamos con númerospositivos), guardamos el 216 en la columna tres. 255
  • 256. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEAhora sigo hacia arriba (comparando siempre con la primera columna): como 216 es mayor que124, entonces el resto. El resultado (92) va en la segunda columna. Un paso más: como 92 esmayor que 62, los resto nuevamente y obtengo 30. Otra vez lo pongo en la segunda columna. Yaquí, como 30 es menor que 31, no lo puedo restar y lo vuelvo a anotar en la tercera columna.3.- A continuación lo que hay que hacer es sumar los números de la cuarta columna que tengan uncompañero en la segunda. Es decir: 2+4+16 = 22Y obtenemos el número que estábamos buscando.El resultado de dividir 712 por 31 es 22, y sobra el número 30, que figura en la columna tres,donde paré el proceso.Ejercicio 2Dividir 1354 para 129Para dividir 1354 por 129, escribo la tabla directamente: 129 64 1 258 64 2 516 32 4 2 103 32 8 2 2 135 4El número 322 que figura en la columna dos resulta de restar 1354 – 1032. Como 322 es menorque 516, lo tuve que poner en la columna tres. Como 322 es mayor que 258, os reste y elresultado, 64, lo puse en la columna dos. Como 64 es menor que 129, lo puse en la columna tres. Yahí termine de construir la tabla.Lo único que falta, entonces, es calcular el cociente y el resto. El cociente lo obtiene sumando losnúmeros de la cuarta columna que tienen un compañero en la segunda (es decir, cuando no haquedado un lugar vacio). El cociente en este caso es: 2+8 = 10El resto es el primer número de la columna tres, es decir: 64.Hemos descubierto de esta manera que, si uno divide 1354 por 129, el cociente es 10 y el resto, 64Verifíquelo. 256
  • 257. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEEjercicio 3Ahora dividamos 13275 por 91.Primero construyo la tabla como en los ejemplos anteriores: 91 80 1 12 171 2 364 171 4 728 171 8 1456 171 16 2912 162 32 7 5824 162 64 7 1164 162 128 8 7 1327 5Con la tabla conseguimos, entonces, el cociente y el resto. El cociente, de sumar los números de lacuarta columna que tengan un compañero en la columna dos. Es decir: 1+16+128 =145Para determinar el resto miramos lo que sobra donde paré el proceso. En este caso, el numero 80.Verificación: 145 x 91 = 13.195 13.195 + 80 = 1.327 JUEGOCierta cárcel existen 72 presos en 8 celdas distribuidas como en el gráfico, es decir, con 9detenidos en cada una. 257
  • 258. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJECada hora el guardia recorría y contaba en cada pabellón conformado por 3 celdascontinuas, ubicadas al norte, sur, este y oeste 27 presos, sin contar necesariamente 9 porcada celda, sino que estén 27 en el mismo corredor, de manera que podrían estar 11 enuna celda, 3 en otra y 13 en la tercera al cambiarse de lugar.Los presos consiguieron las copias de las llaves y decidieron evadirse 4 cada noche demanera que el guardia pueda seguir contando 27 presos.¿Cómo se distribuyeron los presos en cada celda y en cuántas noches les fue posiblehacerlo, antes que el guardia se diera cuenta de la fuga?SoluciónPrimera nocheSegunda Noche 11 5 11 5 5 11 5 11Tercera Noche 12 3 12 3 3 12 3 12Cuarta Noche 13 1 13 1 1 13 1 13 258
  • 259. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJELa cuarta noche fue la última fuga que pudieron realizar, quedando prisioneras 56personas, que es cuando el celador se dio cuenta de la fuga sistemática. Si encomiendas a un hombre más de lo que puede hacer, lo hará. Si solamente le encomiendas lo que puede hacer… no hará nada R. Kipling L ESTRATEGIAS MATEMÁTICAS CALCULO MENTAL1. Multiplicación por un número dígito¿Cómo haría para calcular mentalmente? 1. 36 x 7 2. 54 x 8 259
  • 260. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJESolución:Se descompone el número en sus decenas y unidades, luego se multiplica dicha descomposiciónpor el factor dígito. Finalmente se suman los resultados. 1. 36 x 7 =(30 + 6)x 7=210 +42 =252 2. 54 x 8 =400+32 =4322. Otra multiplicación¿Cómo haría para calcular mentalmente? 1. 123 x 6 2. 186 x 7Solución:Esta operación se realiza más fácil si Ud. Aprende de memoria la tabla de multiplicar hasta 19x9. 1. 123 x 6 = (120 + 3)x 6 =720+18 =738 2. 186 x 7 =(180+6)x 7 = 1260 + 42 =13023. Multiplicación si los dos factores tienen dos cifras¿Cómo haría para calcular mentalmente? 1. 12 x 13 2. 18 x 17Solución: 260
  • 261. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE 1. Se toman las cifras de las unidades de los factores y se procede así : 1=1 2+3=5 2x3=6 12 x 13 = 1561° Se multiplica y se escribe el producto2° Se suman y se escribe su suma3° Se coloca el “1” del multiplicando 2. En este caso: 18 x 17 = 3061° Se multiplican y solo se escribe la cifra de las unidades del producto y la otra se arrastra.Así: 7 x 8 = 56. Pongo 6, llevo 52° Se suman estas cifras y se apoya la cifra de arrastre.Así: 7 + 8 = 15; 15 + 5 = 20. Pongo 0, llevo 23° La cifra de arrastre se agrega al “1” del multiplicando.Así: 1+2=34. Otra multiplicaciónEfectuar rápidamente los siguientes productos: 261
  • 262. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE 1. 123 x 12 2. 327 x 17Solución: 1. En este caso se aprovecha la descomposición de factores de cualquiera de los factores dados: 123 x 12 = 123 x 6 x2 = 738 x 2 = 1476 2. En este caso se procede así: 327 x 17 = 559 Operación rápida: 327 x 17 2289 55515. Multiplicación por 4 y Multiplicación por 8¿Cómo puede multiplicar mentalmente los siguientes números? 1. 116 x 4 2. 325 x 8 Solución: 1. Para multiplicar, mentalmente, un numero por 4, se duplica dos veces 116 x 4 = 116 x 2 x 2 = 232 x 2 = 464 2. Para multiplicar, mentalmente, un numero por 8, se duplica tres veces: 325 x 8 = 325 x 2 x 2 x 2 = 650 x 2 = 2600Nota: 262
  • 263. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEPara multiplicar, mentalmente por 8 también se puede agrupar un cero al multiplicar y restarle suduplo.Así: 325 x 8 = 3250 – 650 = 2600 325 x 8 = 3250 – 650= 2600Otro artificio cómodo: 325 x 8 = (300 + 25) (8) = 300 x 8 + 25 x 8 = 2400 + 200 = 26006. División por 4 y División por 8¿Cómo podrá dividir mentalmente los siguientes números? 1. 156 : 4 2. 344 : 8Solución: 1. Para dividir, mentalmente, un número por 4, se divide 2 veces por dos. 156: 4 = 156 78 = 39 2 2 2. Para dividir, mentalmente, un número por 8, se divide tres veces por dos. 344: 8 = 344 172 86 = 43 2 2 2Nota:Estos son especiales. En el caso (1) el número tiene que ser divisible por 4, y en el caso (2) elnúmero tiene que ser divisible por 8. 263
  • 264. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE7. Multiplicación por 5 ¿Cómo efectuara mentalmente la siguiente multiplicación? 3 824 x 5Solución:Para multiplicar, mentalmente, un número por 5, al número se le agrega un cero y se le toma lamitad. Así: 3 824 x 5 = 38240 = 19 120 2Nota:En este caso, ya que el número es par es más fácil primero dividirlo por 2 y después multiplicarlopor 10. Así: 3824 x 5 = 3824 x 10 = 19 120 28. Multiplicación por 15Efectúe rápidamente la multiplicación siguiente: 29 x 15Solución:Para multiplicar, mentalmente, un número por 15, solo se le agrega su mitad y a este resultado, sele multiplica por 10. Así: 29 x 15 = (29 + 14,5) x 10 = 4359. Multiplicación por 125Efectúe rápidamente la multiplicación siguiente: 37 x 125Solución: 264
  • 265. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEPara multiplicar, mentalmente, un numero por 125, al número se le agrega dos ceros y, a esteresultado, se le suma su cuarta parte. Así: 37 x 125 = 3700 + 3700 = 3700 + 925 = 4 625 410. Multiplicación por 75¿Cómo efectuara mentalmente la siguiente operación? 47 x 75Solución:Para multiplicar, mentalmente, un número por 75, al número se le agrega dos ceros, y a esteresultado, se le resta su cuarta parte. Así: 47 x 75 = 4700 - 4700 = 4700 – 1175 = 3 525 411. Multiplicación por 9¿Cómo efectuará mentalmente la siguiente multiplicación? 87 x 9Solución:Para multiplicar mentalmente, un número por 9, se le agrega un cero al número y se le resta elmismo número. Así: 87 x 9 = 870 – 87 = 78312. División por 5 265
  • 266. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEEfectuar la siguiente división mentalmente: 357 : 75Solución:Para dividir, mentalmente, un número por 5, se divide por 10 al doble del número. Así: 357 = 2 x 357 = 714 = 71,4 5 10 1013. División por 1½¿Cómo podrá hacer mentalmente la siguiente división? 48: 1½Solución:Para dividir un número por 1½ mentalmente, se divide por 3 el duplo del número. Así: 48 = 2 x 48 = 96 = 32 1½ 3 3La excelencia en la educación de un país, selogrará sólo cuando todos tengan acceso a unaeducación de calidad.14. División por 15Efectuar la siguiente división mentalmente: 270: 15Solución: 266
  • 267. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEPara dividir un número por 15, mentalmente, se divide por 30 el duplo de dicho número. Así: 270 = 2 x 270 = 540 = 18 15 30 3015. Cuadrado de un número que termine en 5¿Cómo haría, para calcular mentalmente el cuadrado de un número de dos cifras que acabe en 5?Por ejemplo: 85; 135, etc.Solución:El método más rápido consiste en multiplicar la primera cifra por la inmediata superior a ella, y alresultado juntarle, por la derecha, el numero 25.Un ejemplo lo aclarará mejor. Supongamos que queremos hallar el cuadrado de 85.Multiplicaremos 8 x 9 (cifra inmediata superior) y al resultado, 72, la juntamos por la derecha 25,obteniendo así: 85² = 7 225La justificación es fácil. El número propuesto es de la forma: 10a + 5Y su cuadrado (10 a + 5) ² = 100a² +100a + 25 = 100a (a + 1) + 2516. Cuadrado de un número de dos cifras¿Cómo haría para calcular mentalmente los siguientes ejercicios? 1. 23² 2. 76²Solución: 267
  • 268. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE 1 23² = 529¿Cómo se hizo?1° Se elevo al cuadrado el 3: 3² = 92° Se efectuó el duplo del producto de 2 y 3: 2 x 2 x3 = 12. “Se colocó el “2” delante del “9” y se arrastro el “1”.3° Se efectuó el cuadrado de 2: 2² = 4 Se agrego a 4 el “1” de arrastre que es 5 que se colocó delante del 29.2.1° 62 = 36. Pongo 6, llevo 32° 2 x 7 x 6 = 84; 84 + 3 = 87 Pongo delante del 3 el 7 y llevo 83° 7² + 8 = 49 + 8 = 57 Pongo el 57 delante del 73 75² = 577617. Multiplicación de dos números de dos cifras¿Cómo haría, para calcular mentalmente el siguiente producto? 47 x 58Solución: 47 x 58 268
  • 269. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE1° Se multiplican las cifras de las unidades de los números.2° Las cifras de los números se multiplica en aspa, se suman los resultados y se agrega lo que searrastra.Pongo el 2 delante del 6, llevo 73° Se multiplican las cifras de las decenas de los números, se agrega lo que se lleva o arrastre y eltotal se escribe delante del 26.Resultado: 47 x 58 = 36418. Multiplicación de dos números de tres cifras¿Cómo haría, para multiplicar mentalmente el siguiente producto? 527 x 364Solución: 257 x 364Esta multiplicación es una ampliación del caso anterior. 269
  • 270. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE 1. 2. 3. 4. 5. 270
  • 271. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEEscritura del producto:De abajo arriba, se escribe el 19 seguido de los números que son unidades de los númerossiguientes: 191.828Nota:Cuando un numero tiene 3 cifras, y el otro, solo 2 se completa con un cero a la izquierda para quetenga tres cifras.19. Multiplicación de dos números que termina en 5Efectuar mentalmente las siguientes multiplicaciones: 1. 95 x 135 2. 65 x 145Solución:En este caso, cuando las cifras preceden al 5, en los factores, forman números pares o impares, elresultado termina en 25. 95 X 135 1. Se separa las cifras del 5, luego se multiplican las cantidades. A este resultado se le añade la semi-suma de dichas cantidades. 9 x 13 = 17 271
  • 272. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE Suma: 128 Luego: 95 x 135 = 12 825 2. Al resultado anterior se le pone 25 a su derecha y se obtiene el producto buscado. Así: 65 x 145 6 x 14 + 6 + 14 = 84 + 10 = 94 2 Luego: 65 x 145 = 9 42520. Otra multiplicaciónEfectuar mentalmente la siguiente multiplicación: 85 x 135Solución:En este caso cuando las cifras preceden al 5, en un factor es número par y en el otro impar, elresultado termina en 75. 85 x 351. Se procede igual que el 1° paso del problema anterior.2. El resultado de la operación precedente siempre se aproxima al número entero inmediatosuperior.3. Al resultado hallado se le pone 75 a su derecha.Así: 272
  • 273. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE 85 x 135 = 8 x 13 + 8 + 13 = 104 + 10,5 = 114,5 2Se aproxima 114,5 al inmediato superior: 115Luego: 85 x 135 = 1157521. Multiplicación por 25¿Cómo haría para multiplicar mentalmente lo siguiente? 172 x 25Solución:Para multiplicar un número por 25, se saca la cuarta parte del número y se multiplica por 100.Así:22. Cuadrado de un número formado por sólo cifras “1”Efectuar mentalmente: 1 111 111²Solución:Se obtiene escribiendo la serie natural “1” hasta el número indicado por la cantidad de cifras delnúmero, y luego regresando hasta la unidad.Esta regla solo se cumple hasta el cuadrado de un numero formado por nueve cifras uno. Así: 1² = 1 11² = 121 273
  • 274. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE 111² = 12321 1111² = 1234321 11111² = 123454321 111111² = 12345654321 1111111² = 1234567654321 11111111² = 123456787654321 111111111² = 1234567898765432123. Producto de un numero por otro formado por solo cifras “9”Multiplicar mentalmente: 7 645 x 99 999Solución:Se pone a la derecha del número tantos ceros como nueves tenga el otro y, en seguida, al númeroasí obtenido se le resta el numero así obteniendo se le resta el numero original.Así:24. Multiplicación de un número por “11”Multiplicar mentalmente: 782 956 x 11Solución:La cifra de las unidades del resultado es la misma cifra de las unidades del número.Luego se van sumando las cifras del número, así:Unidades más decenas. Luego, decenas más centenas. Enseguida, centenas mas millares. 274
  • 275. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEY así sucesivamente, hasta llegar a la primera cifra de la izquierda que, al no tener con quiensumarse, solo se agrega la cifra de arrastre (lo que se llevo de la operación anterior).Veamos: 782 956 x 11Las cifras de las unidades se repite: escribió 66 + 5 = 11, pongo 1, llevo 1 : escribo 15 + 9 + 1 = 15 pongo 5, llevo 1 : escribo 59 + 2 + 1 = 12 pongo 2, llevo 1 : escribo 22 + 8 + 1 = 11 pongo 1, llevo 1 : escribo 18 + 7 + 1 = 16 pongo 6, llevo 1 : escribo 67+1=8Luego: 782956 x 11 = 861251625. Producto de un número por otro que termine en “1” (n por 11, 21,31,….etc.)Multiplicar mentalmente: 384 576 x 61Solución:El método es muy sencillo:1° Se multiplica el “1” del multiplicador por la cifra de las unidades del multiplicando.2° Se multiplica la cifra de las decenas del multiplicador por cada una de las cifras delmultiplicando, y se agrega la cifra que ocupa el inmediato superior.3° A partir de aquí se hace las operaciones como indica el ejemplo añadiéndole la cifra de arrastre. 275
  • 276. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEAsí: 384 576 x 611x6 =6 pongo 66x6+7 = 43 pongo 3, llevo 46 x 7 + 5 + 4 = 51 pongo 1, llevo 56 x 5 + 4 + 5 = 39 pongo 9, llevo 36 x 4 + 8 + 3 = 35 pongo 5, llevo 36 x 8 + 3 + 3 = 54 pongo 4, llevo 56x3+5 = 23 pongo 23Luego: 384 576 x 61 = 23 459 13626. Cuadrado de un numero formado solo por “n” cifras “3”.Efectuar mentalmente: (33 333 333) ²Solución:Forma general:Se escribe de izquierda a derecha (n - 1) cifras “1”, después solo una cifra cero seguida de (n – 1)cifras 8, y al final, la cifra 9. Así:27. Cuadrado de un numero formado solo por “n” cifras “6”.Efectuar mentalmente: (6 666 666) ² 276
  • 277. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJESolución:Forma general:(666……6)² = 444…….43555…….56 n (n – 1) (n – 1) cifras cifras cifrasLuego:(6666666)² = 44444435555556 7 cifras 6 cifras 6 cifras28° Cuadrado de un numero formado solo por “n” cifras “9”.Efectuar mentalmente: (99 999 999) ²Solución:Forma general:(999……9)² = 999…….98000…….01 n (n – 1) (n – 1) cifras cifras cifrasLuego:(99999999)² = 9999999800000001 8 cifras 7 cifras 7 cifras EJERCICIOS DE INTRODUCCIÓN 277
  • 278. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEAsí como hay ejercicios físicos específicos para un atleta, cuando empieza su entrenamiento,análogamente, empezaremos el curso desarrollando algunos ejercicios sencillos en los cualesusted deberá pensar en la forma de resolverlos sin emplear teoremas y fórmulas, pues estosejercicios están diseñados para iniciarte en el razonamiento matemático; luego abordaremostemas con un mayor grado de abstracción.EJERCICIO 1El piso de la cocina tiene cuatro ángulos, en cada ángulo esta un gato además, frente a cada gatohay tres gatos. En cada rabo está sentado un gato ¿Cuántosgatos hay como mínimo en la cocina?EJERCICIO 2Si el planeta A tarda 4 años (terrestres) en dar una vuelta completa al soly el planeta B tarda dos años. ¿Cuántos años deberá transcurrir, comomínimo, para que los dos tomen la posición inicial? 278
  • 279. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEEJERCICIO 3En una reunión familiar se encuentran las siguientes relaciones deparentesco entre los presentes: padre, madre, hijo, hija, tío, tía,hermano, hermana, primo, prima, sobrino, sobrina; sin embargo, solohabían 4 personas ¿Cómo puede ser posible? 279
  • 280. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEEJERCICIO 4Tres personas A, B, y C deben repartirse 21 vasos iguales, de loscuales 7 están llenos, 7 medios llenos y 7 vacios. Si a cada unodebe corresponderle la misma cantidad de líquido y el mismonúmero de vasos. ¿Cuál es el número de vasos vacios que lecorresponde a la persona que tiene tres vasos llenos?EJERCICIO 5Calcular la medida del ángulo formado por las líneas punteadas:EJERCICIO 6 280
  • 281. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEEJERCICIO 7Distribuir los dígitos del 1 al 6 en los círculos de la siguiente figura (un digito en cada círculo), de talmanera que la suma de los dígitos en cada uno de los lados del triangulo sea 9. ACERTIJOS ENGAÑOSOS1. ¿Puedes poner diez terrones de azúcar en tres tazas vacías de modo que en cada taza haya un número impar de terrones?. Solución 281
  • 282. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE Hay quince soluciones diferentes para este problema. Pero todas ellas involucran el mismo truco. Por ejemplo: pon siete terrones en una taza, dos en otra y uno en la tercera. Ahora pon siete terrones en una taza, dos en otra y uno en la tercera. Ahora pon la última dentro de la segunda. ¡La segunda contendrá entonces tres terrones!2. En la ferretería local, Jones se enteró que 1 le costaría 50 centavos, 12 le costarían $1,00 y que el precio de 144 era $1,50. ¿Qué era lo que Jones estaba comprando? Solución: Jones estaba comprando números sueltos de metal.3. Observa con cuanta rapidez puedes anotar los dígitos de 9 a 1 de atrás para adelante, luego controla la respuesta para ver si has seguido bien las instrucciones. Solución: Los dígitos de 9 a 1 de atrás para adelante son 1-2-3-4-5-6-7-8-94. ¿Con cuánta rapidez puedes hallar el producto de los siguientes números? 256x3x45x3.961x77x488x2.809x0 Solución: ¿Viste ese cero al final antes de multiplicar? Si lo ves, sabrás inmediatamente que la respuesta final tiene que ser cero.5. Laringitis, un orador griego, nació el 14 de julio del 30 A.C. Murió el 14 de julio del 30 D.C. ¿Qué edad tenía cuando murió? Solución: Laringitis tenía 60 años (no hubo ningún año cero).6. Juntos perro y gato pesan 15 kilos. Si el peso del can es un número impar, y si el macho pesa el doble que la hembra, ¿Cuánto pesa cada uno? 282
  • 283. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE Solución: El perro, una pequeña Pomerania llamada Henrietta, pesa 5 kilos, y el enorme gatazo llega a los 10. Si supiste que el perro era “él” y el gato “ella”, probablemente no llegaste a ningún lado.7. Después de una serie de experimentos, un químico descubrió que una determinada reacción química demoraba 80 minutos en producirse siempre que él usaba una corbata verde, y que la misma reacción demoraba una hora y veinte cuando él usaba corbata roja. ¿Se te ocurre alguna razón para ello? Solución: No hay nada que explicar porque 80 minutos es lo mismo que una hora y “veinte minutos”8. Un matemático se fue a acostar se a las ocho de la noche, puso el despertador para las 9 de la mañana y se fue a dormir de inmediato. ¿Cuántas horas había dormido cuando el despertador lo despertó? Solución: El matemático sólo tuvo una hora de sueño. La alarma del reloj lo despertó a las nueve de esa misma noche.9. Divide 30 por ½ y suma 10. ¿Cuál es el resultado? Solución: treinta dividido por ½ es 60, así que cuando se le suma 10 da 70, que es la respuesta.10. Un chico tenía cinco manzanas y se comió todas salvo tres. ¿Cuántas manzanas quedaron? Solución: Quedaron tres manzanas11. ¿Cuáles dos números enteros (no fracciones) dan el número de la mala suerte, 13 cuando son multiplicados entre sí? 283
  • 284. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE Solución: 13x1=1312. Un lector de este libro estaba enojado por no poder hallar las respuestas de todos los problemas; por lo que arrancó las páginas 6, 7, 84,111 y 112. ¿Cuántas hojas arrancó en total? Solución: Sólo arrancó cuatro hojas de papel; porque las páginas 111 y 112 son ambas caras de una misma hoja.13. Si a un reloj le lleva cinco segundos dar las 6, ¿Cuánto tiempo le llevará dar las 12? Solución: Al reloj le llevará 11 segundos dar las 12. Hay un segundo entre cada campanada.14. Un triángulo tiene de lados 17, 35, y 52 cm. ¿Cuál es su superficie en cm cuadrados? Solución: Un “triángulo” con esos lados sería una línea recta (los matemáticos a veces lo llaman “triángulo degenerado”), de modo que no tendría ninguna superficie. Es verdad que se mostraba un triángulo en la ilustración, pero solo era para desconcentrarte; ese triángulo sin duda no podía tener los lados que se indican15. ¿Puedes trazar dos líneas rectas sin levantar el lápiz del papel, que pasen por las seis pelotas de beisbol que aparecen en la ilustración?. Solución: Como las pelotas de beisbol son puntos más grandes, todas ellas pueden cruzarse trazando dos líneas que se unen en la extrema derecha, tal como se ve en la ilustración. 284
  • 285. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE16. Cada libro de los que se ven en la ilustración tienen cinco centímetros de grosor. Esa medida incluye las tapas, que tienen un grosor de ¼ de centímetro. Si una polilla que come papeles empieza por la primera página del volumen 1 y se abre camino hasta la última página del volumen 4, ¿Qué distancia habrá recorrido? Solución: La primera página del volumen 1 está a la derecha del libro cuando los volúmenes están colocados en el estante, y la última página del volumen 4 está a la izquierda del libro. En consecuencia, la polilla solo tiene que pasar por la tapa del volumen 1, recorrer todo el volumen 2 y el volumen 3, y la tapa del volumen 4, o que totaliza una distancia de 10cm y ½.17. ¿Puedes elegir seis dígitos de los que se ven en la ilustración que sumados de 21? Solución: Invierte el libro y marca con círculos tres 6 y tres 118. Demuestra de qué manera se puede cortar un panqueque en ocho partes con tres cortes rectos de cuchillo. Solución: Dos cortes en ángulo recto dividirán el panqueque en cuatro partes. Apílalos y córtalos por la mitad con el tercer corte para hacer ocho partes iguales19. Un insecto se arrastra a lo largo de una regla desde la marca de los 10 centímetros de un extremo hasta la marca de los 5 centímetros que está en el centro. Ese trayecto le lleva 10 segundos. Siguiendo su camino, se desplaza desde la marca de los 5 centímetros hasta la marca de 1 centímetro, pero ese recorrido le lleva solamente ocho segundos. ¿Se te ocurre alguna buena razón que justifique esa diferencia de tiempo? 285
  • 286. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE Solución: El insecto se mueve a una velocidad constante de un centímetro cada segundo. ¿Se te ocurrió pensar que la distancia desde el centro de la regla hasta la marca de 1 centímetro es de solo cuatro centímetros?20. ¿En qué se basa el orden en que se han dispuesto esto diez dígitos? 0-5-4-2-9-8-6-7-3-1 Solución: Los dígitos están dispuestos de tal manera que sus nombres quedan en orden alfabético.21. Si hay doce estampillas de un centavo en una docena ¿Cuántas estampillas de dos centavos habrá en una docena? Solución: Doce22. Coloca una moneda en cada uno de los sitios que muestra la ilustración adjunta. ¿Puedes cambiar la posición de sólo una moneda y formar dos filas rectas que contengan cuatro monedas cada una? Solución: Recoge la moneda inferior y colócala encima de la moneda de la esquina 286
  • 287. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE23. Un lógico se encontró en una pequeña ciudad que sólo tenía dos peluqueros, cada uno de ellos con su propia peluquería. Como necesitaba corte de pelo, miró hacia el interior de una de las peluquerías y vio de inmediato que era extremadamente sucia. El mismo peluquero necesitaba una afeitada, sus ropas estaban sucias, su pelo descuidado y mal cortado. La otra peluquería resultó ser impecable. El barbero estaba reciñen afeitado, impecablemente vestido y tenía el pelo prolijamente cortado. El lógico pensó un momento y luego regresó a la primera peluquería para hacerse cortar el pelo. ¿Por qué? Solución: Como en la ciudad había solo dos peluqueros, cada uno de ellos tiene que haber cortado el pelo al otro. El lógico eligió al peluquero que le hizo el mejor corte de pelo a su rival.24. Cuando los dos desconocidos con los que se habían citado a ciegas llegaron para llevarlas a un partido de fútbol, Katy y Susan quedaron atónitas al ver que los dos jóvenes eran exactamente iguales. “Sí, somos hermanos”, explicó uno de ellos. “Nacimos el mismo día del mismo años y tenemos los mismos padres”. “Pero no somos mellizos”, dijo el otro. Katy y Susan quedaron perplejas. ¿Puedes explicar la situación? Solución: Los dos jóvenes pertenecían a un conjunto de trillizos.25. Multiplicar 10 metros por 10 metros da 100 metros cuadrados. ¿Cuánto da diez dólares por diez dólares? Solución: La pregunta no tiene sentido. Los dólares pueden sumarse entre sí o restarse entre sí, pero no pueden multiplicarse o dividirse por algo que no sea un número puro.26. Cuando el joven pagó su desayuno a la cajera, ella advirtió que él había dibujado un triángulo en el reverso de la cuenta. Debajo del triángulo había anotado 13x2=26. La cajera sonrió: “Veo que eres marinero” dijo: Como supo la cajera que el joven era marinero? 287
  • 288. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE Solución: ¡El joven tenía puesto un traje de marinero! 288
  • 289. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE 289
  • 290. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE 290
  • 291. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE Mezclar el agua y el Remueve el aceite Agrega la anilina Llena el gotero con alcohol en el frasco hasta que adquiera al aceite aceite grande una tonalidad rojiza Introduce el alambre Gira el alambre con un Observa el Deposita tres gotasde aceite en la mezcla 291 hasta tocar una gota ligero movimiento de las de aceite yemas de los dedos fenómeno
  • 292. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE 292
  • 293. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEPinta de negro el interior de la cajaTraza una diagonal en el interior de la cajaHas dos perforaciones sobre la diagonal, una a 10cm del vértice y otraal centroClava cada alambre a una pelotaInserta los extremos de los alambres a las perforaciones de la tapa, lapelota pequeña; luna en la primera perforación, pelota grande: tierraen el centro). Procura que quede en la misma altura.Realiza dos aberturas, una cuadrada de 3 cm por lado, al centro del frente de la caja, otra circular de 2 cmde diámetro en la arista señalada en la figura, al mismo nivel de las pelotas.Proyecta la luz de la lámpara (SOL) , por la abertura de la aristaObserva el fenómeno por la abertura del frente de la caja. 293
  • 294. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE 294
  • 295. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE Unta aceite a Acomoda el o los Disuelve el yeso contoda la superficie elementos que vas agua hasta formarinterna de la tapa a fosilizar una pasta espesa Deja secar el Vierte la pastayeso sobre la tapa Con mucho Unta con la brocha cuidado saca tu o grasa para zapatos a tu tus fósiles fósil y lústralo 295
  • 296. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE 296
  • 297. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE Coloca la placa de asbesto sobre una mesa Forma un montículo con dicromato de amonio sobre la placa Moja con alcohol el papel filtro Pon en la cima del montículo el papel filtro Enciéndelo Observa el espectáculo 297
  • 298. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE Vacía el bicarbonato de sodio dentro de la botella Humedece el concho con agua Vierte el vinagre dentro de la botella Tapa rápidamente la botella con el corcho Sujeta la botella Observa la reacción 298
  • 299. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE Tabla de Adición + 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 8 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 9 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Tabla de Multiplicación x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 3 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 4 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 6 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 7 0 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84 8 0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 96 9 0 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99 10810 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10 11 120 299
  • 300. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE 0 011 0 11 22 33 44 55 66 77 88 99 11 12 132 0 112 0 12 24 36 48 60 72 84 96 10 12 13 144 8 0 2 IDEAS PARA ENSEÑAR MATEMÁTICAS¿Cómo podemos convertirnos en verdaderos maestros creativos?Para ser creativos en cualquier expresión artística, como en pintura por ejemplo, se debe tener unamplio dominio de la técnica, del manejo de materiales y mucha experiencia. En la misma forma,el arte de enseñar matemáticas requiere de un dominio de las matemáticas, de las técnicas deenseñanza y del manejo de los materiales disponibles. Claro está que uno no se convierte en unmaestro del arte sin la debida práctica o la debida experiencia.Para enseñar matemáticas, primeramente debemos motivar a nuestros alumnos para que ellosdeseen aprender. Si no existe este deseo, no habrá un aprendizaje significativo. Por esto esimportante que tengamos confianza y mostremos alegría de trabajar la matemática con nuestrosalumnos.Diferentes maneras de enseñar Matemáticas.Para decidir cómo enseñar matemáticas debemos recordar queel método que usemos depende del objetivo que deseemoslograr. En nuestras clases de matemáticas generalmentetratamos de lograr algunos de los siguientes:Conocimiento de hechos, conceptos o procesos matemáticostales como la obtención de la raíz cuadrada de un número.Habilidad en el cálculo numérico, en la resolución de problemas, como por ejemplo la solución deecuaciones.Aplicaciones de conceptos y procesos en la solución de teoremas.Formación de cualidades mentales como actitudes, imaginación o un espíritu creador. 300
  • 301. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEDesarrollo de hábitos de estudio personales basados en la curiosidad, la confianza e interesesvocacionales.Algunos tipos de lecciones que se utilizan en la enseñanza de las matemáticas:1.- La forma tradicional. La manera más común de presentar una lección es la siguiente: Revisiónde la tarea, aclarando dudas. Presentación del tema. Tarea.Esta manera tradicional es útil si todo se hace bien. Los maestros la aplican para obtener todaclase de objetivos pero no debe ser la única forma que se utilice para presentar una clase, senecesita que estemos atentos a las preguntas de los alumnos y que las usemos como base paracualquier explicación correctiva o aclaratoria. La comunicación con los alumnos debe ser clara,simple y entusiasta.Aquello que aparentemente es obvio para nosotros no siempre lo es para nuestros alumnos. Aveces es necesario escribir las palabras o símbolos en el pizarrón para que todas las expresionesque utilicemos sean comprendidas y analizadas visualmente. Debemos asegurarnos que nuestrosalumnos reaccionen ante nuestros estímulos. El aprendizaje de las matemáticas no es deportepara espectadores.Hacer preguntas y asignar tareas son necesarios para crear sentimientos de éxito y decooperación.Algunas veces es apropiado emplear horas de trabajo, preparadas de antemano, para que losalumnos puedan disponer de materiales diferentes a los que exponen en el libro de texto.Debemos utilizar los errores cometidos en la resolución de problemas o en respuestas a preguntassimples, no para criticar o avergonzar a los alumnos, sino para corregirlos aceptando al mismotiempo, en forma abierta, nuestros propios errores o las dificultades que se presenten en laenseñanza. Debemos pedir ayuda a nuestros alumnos para poder enseñar mejor.De ser posible introducir un tema en forma dramática, con una anécdota, datos históricos o conantecedentes que nos permitan hacer que la clase sea importante.Es recomendable presentarles a los alumnos siempre el objetivo general de la clase para que elloscomprendan su importancia y cómo se relaciona a otros temas. Al finalizar el trabajo siempre es conveniente hacer un resumen de los puntos sobresalientes, lo cual a la vez nos servirá como base para futuras lecciones. El éxito del trabajo depende de cómo lo hemos preparado. La presentación y solución de problemas o demostraciones sencillas son también necesarias, anote preguntas claves que 301
  • 302. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEdesee hacer y encuentre el material que añada significado a las explicaciones que aparezcan en ellibro de texto.2.- Un segundo tipo de trabajo es aquel llamado Sesión de laboratorio o Taller de Matemáticas.Aquí el alumno puede realizar experimentos, mediciones, diseños, dobleces, coleccionar datos,hacer modelos, o aplicar principios matemáticos a problemas de la vida real, problemas que sepresenten fuera del salón de clase. Estas actividades generalmente se describen en una hoja detrabajo ya sea individual o de grupo. Algunas veces requieren de un experimento presentadoprimero por el maestro. El objetivo es describir conceptos nuevos, fórmulas, operaciones oaplicaciones. Por ello es el más apropiado para el aprendizaje de conceptos nuevos. El éxitodepende de la adquisición del material adecuado y de guías de trabajo que dirijan al alumno a laobtención de una correcta generalización.Una tercera manera de presentar la clase es aquella en que el alumno la expone.Uno de los alumnos actúa como el instructor de toda la clase, o en algún tema de la misma, estealumno aprende mejor la lección al estarla preparando y al presentarla dominará aún más losconceptos. En algunas ocasiones él puede obtener mejores resultados que el maestro, debido aque percibe mejor las dificultades que presenta el aprendizaje, emplea un lenguaje más similar alque utilizan sus compañeros y podrá tener mejor aceptación que el maestro. Al realizar estaactividad el alumno acrecienta su habilidad para comunicarse, desarrolla su capacidad para dirigirun grupo, aprende a aceptar su responsabilidad, comprende los problemas de aprendizaje de suscompañeros y empieza a comprender los problemas a los que se enfrenta su maestro.La enseñanza individualizada es el cuarto tipo de trabajo.Es esta situación los alumnos trabajan a su propio ritmo. Seles dan instrucciones de lo que deben aprender, lasexplicaciones que deben repasar, los problemas a resolver ylas pruebas que deberán presentar, al completar un tema ypasar la prueba continuará la siguiente lección, si no pudiesepasar la prueba recibe explicaciones adicionales y deberápresentar otra prueba. Esto significa, que es necesario el usode mucho material didáctico tales como textos programados,filminas, películas, grabaciones, programas tutoriales de computadora, etc. La justificación para elempleo de este método estriba en que nos ayuda a resolver el problema de las diferenciasindividuales, refuerza las repuestas apropiadas, corrige errores y proporciona material correctivo.Por ello es el método más adecuado para enseñarles habilidades. Sin embargo este tipo de trabajopresenta serias dificultades. No proporciona interacción entre los alumnos y el maestro no tienetiempo suficiente para dar a todos la atención que requieren para corregir sus errores. Aquellos 302
  • 303. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEalumnos que han obtenido el menor aprovechamiento y que son los que necesitan mayoratención individual no pueden funcionar plenamente en este sistema, dado que su comprensiónde la lectura es pobre y no están motivados para trabajar de la manera independiente. A menudoel maestro utiliza este sistema para evitar el trabajo de preparar y presentar una lección. No esmanera adecuada para desarrollar la habilidad en la resolución de problemas o el dominio deconceptos. Estudios estadísticos en investigaciones realizadas en los Estados Unidos nos informanque no han obtenido éxito con su utilización.Un quinto tipo de lección, que resulta interesante, es el uso de juegos de competencia enresolución de problemas.Las actividades de estos juegos son particularmente apropiadas para formar actitudes positivashacia la matemática, practicando habilidades y destrezas y desarrollando soluciones a problemas.Participar en una competencia requiere de una empresa diligente en actividades de aprendizaje,ya que el participante aprende a relacionar ideas al tratar de resolver los problemas que seplantean, la competencia requiere que el alumno trabaje rápida y efectivamente. También debeaceptar la responsabilidad de seguir las reglas del juego e interactuar con otros participantes. Unacompetencia será efectiva en la medida en que sea usada apropiadamente. La competencia debeinvolucrar ideas o problemas que sean parte del trabajo regular de clase y debe de aprovecharsepara ir distinguiendo el tipo de actitudes que tienen los estudiantes para resolver problemas yhacerles notar los errores cometidos. 303
  • 304. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE EDUCACIÓN MATEMÁTICA AL INICIO DEL TERCER MILENIO UN VIAJE AL PASADO, PARA ENTENDER EL PRESENTELa ciudad de Konigsberg está situada a orillas del río Pregel y sobre dos de sus islas, las diversaspartes de la ciudad se conectan entre sí por medio de siete puentes. Un turista quiere dar unpaseo por la ciudad, pero desea partir de un punto cualquiera, atravesar una sola vez por cada unode los puentes, y regresar al punto de partida. ¿Es posible realizar este paseo?Este acertijo, en apariencia creado solo para aguzar el ingenio, cautivó la atención de le célebrematemático suizo Leonhard Euler quien en 1736 publicó una memoria en la cual le daba solución,las nuevas ideas que Euler planteó en la solución al acertijo dieron comienzo a lo que hoyconocemos como Teoría de grafos, una rama de la matemática discreta que tiene ampliasaplicaciones en diferentes campos del quehacer humano, desde problemas de transporte, hasta laasignación de horarios de trabajo en cadenas comerciales. En otro país, y en otro tiempo, unjugador empedernido Antoine de Gambaud, caballero de Meré, ha estado jugando con un amigoel siguiente juego: Se lanza una moneda. Gambaud gana si sale cara, su amigo gana si sale cruz. Elprimero que gane cinco veces cobrará el pozo de 4200 francos franceses. El juego tuvo que 304
  • 305. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEdetenerse después de siete lanzamientos, en ese momento Gambaud ha ganado 4 veces y suoponente sólo 3. ¿Cómo deberá repartirse el premio?. Un reparto proporcional no consideraría elhecho que a Gambaud le falta sólo un punto, mientras que a su oponente dos. Intrigado, elcaballero de Meré envió este problema a su amigo Blas Pascal.Esta comunicación inició la investigación de la incertidumbre y el azar. Las cartas que sobre esteproblema intercambiaron Pascal y el matemático Pierre de Fermat sentaron las bases de la teoríade probabilidades, de tanta importancia en el mundo moderno. Como hemos apreciado en los dosejemplos mostrados la matemática avanzada gracias a que la realidad nos plantea desafíos porenfrentar, problemas por resolver, son ellos los que la revitalizan, los que le dan el impulsonecesario, los que ayudan a movilizar el gran y complejo engranaje mental en las mentes creativasde los matemáticos de todos los tiempos.Muchos nuevos conceptos y formas nuevas de pensamiento, aparecen en los intentos por resolveruna situación, algunas veces hay que elaborar una nueva teoría, y esta a su vez generará nuevosproblemas por resolver. Vemos entonces que la matemática es una ciencia dinámica en continuaexpansión donde las situaciones abiertas pueden surgir a la vuelta de la esquina. Demás está decirque existen muchos problemas que aún hoy no han podido ser resueltos, algunos son muy elementales en su enunciado, sin embargo su solución parece entrever complicaciones de gran nivel. Un ejemplo de ello es la Conjetura de Twhites: Tome un número cualquiera, si el número es impar multiplíquelo por tres y luego agregue 1, si es par divídalo por dos, continúe haciéndolo, la conjetura de Twhitwes dice que en algún momento de este proceso se llegará al ciclo 4;2;1;4;2;1;4;…. Veamos por ejemplo con tres: La serie obtenida es: 3; 10; 5;16; 8; 4; 2; 1; 4; 2; 1; …Este problema aparentemente muy sencillo ha venido a todos aquellos que intentaronenfrentársele. Sin embargo, aún los intentos frustrados hacen avanzar la matemática, algunasnuevas ideas que surgen de estos intentos, solucionan otros problemas o ayudan a la mejorcomprensión de otros aspectos de la disciplina.MATEMÁTICA: UNA AVENTURA INTELECTUALEn sí la matemática durante el proceso de creación tiene mucho de intuitivo y experimental, elmatemático ensaya caminos, los prueba, los evalúa y decide continuar por él o variar su enfoque,algunas veces logra el camino adecuado, pero otras no, en todo este proceso el matemático haexperimentado diversas emociones, a veces de frustración otras de alegría. Quién no ha 305
  • 306. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEexperimentado una gran satisfacción cuando resolvemos un enigma, o un rompecabezas que senos ha planteado. Y es que la matemática es una interesante aventura del pensamiento humano,que vehicula múltiples emociones, que forma nuestra mente, y que hoy es el medio más eficaz decomunicación de ideas científicas. Llegamos así al centro de nuestro planteamiento, ¿en quéconsiste la matemática realmente? ¿para qué es útil?.Ya lo dijo sabiamente el matemático Paúl Halmos: ¿Consiste la matemática en aprender axiomas,como el de las paralelas? ¿Teoremas?, ¿definiciones?, ¿teorías?, ¿fórmulas?, ¿métodos?. Lasmatemáticas no podrían existir sin estos ingredientes; son esenciales, sin embargo, es posibleargüir que ninguno de ellos está en el corazón del tema y que la principal razón para la existenciade los matemáticos es para que resuelvan problemas y que esto, por consiguiente, es en lo querealmente consiste la matemática: problemas y soluciones.Por todo lo dicho anteriormente creemos que una educación matemática de calidad debe llevar alsalón de clase el verdadero quehacer matemático, saber matemáticas es hacer matemáticas. Laactividad del matemático está asignada por la búsqueda, la experimentación, la conjetura,posterior a esto el matemático empieza a formalizar sus resultados, a expresarlo mediantesímbolos, a depurarlo. Presentar en una clase estos resultados inmaculados, perfectos, aniquilan lacreatividad, y matan la aventura, pues todo lo hermoso del período de búsqueda es ocultado en la trastienda, es como leer un relato policial sabiendo de antemano la solución del enigma. El acercamiento intuitivo y experimental es pues lo esencial si queremos que los estudiantes desarrollen competencias matemáticas, es ésta la forma como un profesor debería llevar su case, partiendo de situaciones que motiven a sus estudiantes a investigar, proponiéndoles desafíos que los cuestionen sobre su conocimiento ya adquirido, y de allí partir para adquirir los nuevos conocimientos, en una constante comunicación con el grupo y con el maestro que guiará eficientemente el trabajo.UN CAMINO DIFÍCIL:La didáctica de la matemática ha pasado por diversos momentos que han sugerido cambios en loscontenidos y la forma de enseñarlas. El formalismo del grupo Bourbaki, quienes se habíandedicado a la elaboración de una obra magna sobre los fundamentos de la materia, tuvo muchainfluencia en la forma cómo se llevó a cabo la educación matemática en la década de los sesenta.Este movimiento reformista al que se le conoció como la matemática moderna, recomendaba darmayor énfasis a las estructuras, al lenguaje formal y los métodos de demostración. El resultado:muchos alumnos repetían de memoria las propiedades de los sistemas numéricos sin comprendersu significado, ni poder operar eficientemente. En la siguiente década, la preocupación estuvocentrada en desarrollar en los alumnos técnicas y rutinas básicas, el movimiento se denominó 306
  • 307. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEback to the basic, y daba mayor importancia al manejo deoperaciones fundamentales y procedimientos algorítmicos;sin embargo, este regreso a lo básico tampoco mejoró elaprovechamiento de los estudiantes, ya que aún cuandoalgunos estudiantes eran capaces de hacer operacionesmuchas veces no entendían el significado o sentido de lasrespuestas que obtenían. Y si un alumno no puede asignarsignificado a lo que está aprendiendo pronto recurrirá apatrones nemotécnicos para tener éxito en su empresa. Enla década de los ochenta, una evaluación del currículo enUSA puso de manifiesto que los estudiantes no sabían aplicar sus conocimientos a la resolución deproblemas de la vida real, ello dio lugar a que el National Council of Teachers of Mathematicsdeclarara que la resolución de problemas debía ser el centro de la enseñanza-aprendizaje de lamatemática. En los noventa se profundiza el enfoque desde la resolución de problemas, yaparecen otras tendencias como la Modelización, o el Problem Based Leaming en todos ellos elénfasis está puesto en el manejo de estrategias heurísticas, en el desarrollo de habilidadesmentales, en mejorar los procesos típicamente útiles en la solución de situaciones problemas.Todos reconocen que el estudio de la matemática, la actividad de resolver y formular problemasdesempeña un papel muy importante cuando se discuten las estrategias y el significado de lassoluciones. En estas corrientes actuales de la Educación Matemática, que se ha dado en llamarMatemática para el siglo XXI se señala que la matemática es, sobre todo, saber hacer, es unaciencia en la que el método claramente predomina sobre el contenido, que conocer matemáticaes hacer matemática, y que ellas son un eficaz medio de comunicación. Citaré aquí un párrafo delDr. Miguel Guzmán que resume magistralmente las consideraciones anteriores. En la situación decambios en que nos encontramos, es claro que los procesos verdaderamente eficaces depensamiento que no se vuelven obsoletos con tanta rapidez, es lo más valioso que podemosproporcionar a nuestros alumnos. En nuestro mundo científico e intelectual tan rápidamentemutante vale mucho más hacer acopio de procesos de pensamiento útiles que de contenidos querápidamente se convierten en lo que Whitehead llamó “ideas inertes”, ideas que forman unpesado lastre, que no son capaces de combinarse con otras para formar constelaciones dinámicas,capaces de abordar los problemas del presente.EN EL VALLE DEL SILENCIO:En un mundo donde los avances tecnológicos son el pan de cada día, la escuela no puede estar almargen de ellos. Actualmente el uso inteligente de las calculadoras y computadores proveen alestudiante de herramientas específicas de cálculo, que le permiten dedicar más tiempo al procesode búsqueda crítica de caminos de solución a situaciones propuestas, que a las operacionesrepetitivas. 307
  • 308. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJELas calculadoras en el aula son un medio eficaz de representación externa que brinda al estudiantela posibilidad de explorar, comprobar conjeturas, buscar regularidades, de manera rápida yeficiente. Además permiten resolver problemas por ensayo y error e introducir conceptos. Laliteratura sobre actividades matemáticas usando la computadora crece día a día, en la internet sebrinda software educativo gratuito, para graficar funciones, para explorar lugares geométricos,para simular experimentos aleatorios etc. Un profesor moderno debería conocer y manejar estosprogramas con el fin de diseñar actividades de aprendizajes que permitan el uso de lascomputadoras como medio de resolución de situaciones problemáticas. La ubicuidad de lascomputadoras, es un punto más a favor de privilegiar el desarrollo de habilidades matemáticasversus el completar contenidos programáticos. Hasta hace unas décadas saber calcular abría laspuertas de los trabajos, hoy eso no será suficiente, pues las máquinas lo hacen más rápido ymucho mejor que nosotros.LA UNIÓN HACE LA FUERZA;Actualmente es muy difícil, sino imposible, ser unPitágoras, o un Arquímedes, la épocas en que loscientíficos trabajaban en solitario, sin interacción con lacomunidades científicas son cosa del pasado basta verlas revistas especializadas en investigación científica ycomprobar que la mayoría de trabajos de envergadurason realizados por grupos multidisciplinarios, en uncontexto más próximo podemos afirmar que para lograréxito en un empleo es fundamental tener habilidadessociales y aprender a trabajar en grupo compartiendo elconocimiento, siendo tolerante sabiendo apreciar otrasformas de razonamiento, poniendo al servicio del colectivo nuestras potencialidades ycomplementándolas con las del resto. Hace unos años las clases de matemática se realizaban en elmás absoluto silencio y con cada alumno perfectamente ubicado en su carpeta, sin posibilidad decomentar sus ideas e intercambiar experiencias, hoy la mayoría de los investigadores recomienday promueve el uso del aprendizaje cooperativo que resulta más eficiente que el trabajo individualpor varias razones, citaremos algunas de ellas para la reflexión: El trabajo grupal reduce realmenteel tamaño de clase, si la típica clase tuviese 40 estudiantes, con grupos de cuatro constará de diezestudiantes. Cuando una mano se levanta, sabremos que hay cuatro interesados oyentesesperando una orientación. A través de la verbalización ellos aprenden cómo hacer preguntas deexploración: aprenden también cómo explicar sus propios procesos de razonamiento. Muchosestudiantes, quienes nunca hubieran podido plantear una pregunta frente a cuarenta personas,son motivados, se deciden a preguntar dentro de su grupo: esto es, el grupo promueve el 308
  • 309. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJErazonamiento creativo y cada uno se siente seguro de usar métodos de ensayo y error, y diversasestrategias para resolver la situación que se está explorando.Este ambiente abierto y de apoyo reduce fuertemente la ansiedad. Los estudiantes y el profesorentran rápidamente en un proceso de retroalimentación, el profesor de este modo se conviertetambién en un aprendiz de su propia pedagogía.¡HAGAN JUEGO, SEÑORES!Jugar es una actividad universal, la cual ha estado siempre presente en todas las culturas yacompaña el desarrollo de la humanidad Platón decía “enseñadles a través de jugos”, tal consejoha sido involucrado muchas veces por educadores, quienes han tratado de introducirsistemáticamente actividades en la educación formal. En todos los niveles educativos debemosaprovechar las ventajas que ofrece el uso de juegos, pues general un contexto emocional yafectivo muy propicio para el desarrollo de ideas matemáticas, crear un clima de actividad en elaula y puede llevar sutilmente a los alumnos a investigar nuevas técnicas para resolver problemas,proponer temas de investigación, elaborar conjeturas, etc. El juego es activo y participativo pornaturaleza favorece la comunicación horizontal, despierta la curiosidad y el interés por lainvestigación, desarrolla habilidades concretas de pensamiento estratégico, planificación, toma dedecisiones, estimación y demostración, además brinda oportunidades para aprender y así obtenerreconocimiento y autoestima. Los juegos adecuadamente utilizados, pueden reemplazarventajosamente algunos trabajos prácticos rutinarios en el desarrollo de la matemática, lainvestigación de algunos de ellos, han llevado a la creación de importantes teorías, no es puessorprendente, entonces, el interés que matemáticos de renombre mostraron por el estudio de losrompecabezas, paradojas, juegos de estrategias y otras manifestaciones lúdicas de la matemática.A modo de reflexión, creemos interesante citar aquía Martín Gardner, gran divulgador matemático einventor de juegos, quien señala en uno de suslibros: “El mejor método para mantener atento a unestudiante es seguramente proponerle un juegomatemático intrigante, un rompecabezas, un trucomágico, una chanza, una paradoja, un modelo ocualquiera de esas mil cosas que provee la matemática recreativa y que algunos profesores seriosy aburridos rechazan por considerarlas frivolidades.¿CÓMO SURGIERON LAS COSAS? 309
  • 310. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJELa historia de la matemática está llena de anécdotas, de problemas interesantes que puedenmotivar a los jóvenes a estudiarla y desarrollar actitudes positivas hacia ella, el uso de tópicos dehistoria de la matemática, de biografías de matemáticos, permite acercarnos a esta ciencia desdeun punto de vista humano, ayuda también a que los estudiantes comprendan que la matemáticaes simplemente una actividad creada por seres humanos iguales a ellos, que desarrollaron ideascreativas y resolvieron situaciones que en su tiempo eran importantes, pero que en otrosmomentos sufrieron frustración, y desengaño al no poder resolver los problemas que seplantearon, o porque la sociedad no estaba preparada para sus ideas renovadoras, o porque,como en el caso de las mujeres matemáticas, sufrieron la marginación de las comunidadescientíficas de la época. Es sumamente útil explorar con nuestros alumnos los inicios de unconcepto, las dificultades con las que tuvieron que enfrentarse estos investigadores y las ideas quesurgieron al enfrentar una situación nueva, todos estos hechos encarnan una verdadera aventuraintelectual que muchas veces se deja de lado en las clases tradicionales donde un tema aparecepresentado de manera acabada e inerte, sin posibilidad de descubrimiento, ni crítica.FINALMENTE….De estos comentarios podemos inferir que lo que un profesor debe conseguir en sus alumnos esque desarrollen habilidades de pensamiento útiles en la solución de problemas, que razonenlógicamente, que puedan comunicarse haciendo uso del lenguaje matemático, y que establezcanconexiones con las otras disciplinas. Todo ello en una permanente actitud reflexiva, de indagacióny búsqueda, sin perder de vista el medio en el cual se desarrollan. En el diseño curricular básico delárea de matemática de la Nueva Secundaria, se han incorporado estas tendencias innovadoras,creemos que es un buen aporte, aunque quizá estos nuevos enfoques y metodologías debanmadurar más en nuestro país. Es cierto que para algunos puede ser mucho más sencillo escribir enla pizarra símbolos extraños y que los alumnos desde una posición subordinada copien estossímbolos, muchas veces sin comprender su significado; pero creo que el esfuerzo de muchosdocentes peruanos que actualmente laboran en el sistema público y que han hecho suyas estasideas renovadoras logrará encaminar el futuro de la educación matemática en el Perú hacia undesarrollo sostenido, en el que nuestros niños y jóvenes sean los principales beneficiarios de estanueva visión. 310
  • 311. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE IDEAS PARA ENSEÑAR MATEMÁTICAS¿Cómo podemos convertirnos en verdaderos maestros creativos?Para ser creativos en cualquier expresión artística, como en pintura por ejemplo, se debe tener unamplio dominio de la técnica, del manejo de materiales y mucha experiencia. En la misma forma,el arte de enseñar matemáticas requiere de un dominio de las matemáticas, de la técnica deenseñanza y del manejo de los materiales disponibles. Claro está que uno no se convierte en unmaestro del arte sin la debida práctica o la debida experiencia.Para enseñar matemáticas, primeramente debemos motivar a nuestros alumnos para que ellosdeseen aprender. Si no existe este deseo, no habrá un aprendizaje significativo. Por esto esimportante que tengamos confianza y mostremos alegría de trabajar la matemática con nuestrosalumnos.Diferentes maneras de enseñar matemáticas.Para decidir cómo enseñar matemáticas debemos recordar que el método que usemos dependedel objetivo que deseemos lograr. En nuestras clases de matemáticas generalmente tratamos delograr algunos de los siguientes: 1. Conocimiento de hechos, conceptos o procesos matemáticos tales como la obtención de la raíz cuadrada de un número. 2. Habilidad en el cálculo numérico, en la resolución de problemas, como por ejemplo la solución de ecuaciones. 3. Aplicación de conceptos y procesos en la solución de teoremas. 4. Formación de cualidades materiales como actitudes, imaginación o un espíritu creador. 5. Desarrollo de hábitos de estudio personales basados en la curiosidad, la confianza e intereses vocacionales.Algunos tipos de lecciones que se utiliza en la enseñanza de las matemáticas 311
  • 312. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE 1. La formación tradicional, la manera más común de presentar una lección es la siguiente: Revisión de la tarea, aclarando dudas. Presentación del tema. Tarea.Esta manera tradicional es útil si todo se hace bien. Losmaestros la aplican para obtener toda clase de objetivospero no debe ser la única forma que se utilice parapresentar una clase, se necesita que estemos atentos a laspreguntas de los alumnos y que las usemos como base para cualquier explicación correctiva oaclaratoria. La comunicación con los alumnos debe ser clara, siempre y entusiasta.Aquello que aparentemente es obvio para nosotros no siempre lo es para nuestros alumnos. Aveces es necesario escribir las palabras o símbolos en el pizarrón para que todas las expresionesque utilicemos sean comprendidas y analizadas visualmente. Debemos asegurarnos que nuestrosalumnos reaccionen ante nuestros estímulos. El aprendizaje de las matemáticas no es deportepara espectadores.Hacer preguntas y asignar tareas son necesarios para crear sentimientos de éxito y decooperación.Algunas veces es apropiado emplear horas de trabajo, preparadas de antemano, para que losalumnos puedan dispones de materiales diferentes a los que se exponen en el libro de texto.Debemos utilizar los errores cometidos en la resolución de problemas o en respuestas a preguntassimples, no para criticar o avergonzar a los alumnos, sino para corregirlos aceptando al mismotiempo, en forma abierta, nuestros propios errores a las dificultades que se presenten en laenseñanza. Debemos pedir ayuda a nuestros alumnos para poder enseñar mejor.De ser posible introducir un tema en forma dramática, con una anécdota, datos históricos o conantecedentes que nos permitan hacer que la clase sea importante.Es recomendable presentarles a los alumnos siempre el objetivo general de las clases para queellos comprendan su importancia y como se relaciona aotros temas. Al finalizar el trabajo siempre esconveniente hacer un resumen de los puntossobresalientes, lo cual a la vez nos servirá como basepara futuras lecciones.El éxito del trabajo depende de cómo lo hemospreparado. La presentación y solución de problemas odemostraciones sencillas son también necesarias, anotepreguntas claves que desee hacer y encuentre elmaterial que añada significado a las explicaciones queaparezcan en el libro de texto. 312
  • 313. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE 2. Sesión de laboratorio o taller de matemáticas. Aquí el alumno puede realizar experimentos, mediciones, diseños, dobleces, coleccionar datos, hacer modelos, o aplicar principios matemáticos a problemas de la vida real, problemas que se presenten fuera del salón de clase. Estas actividades generalmente se describen en una hoja de trabajo ya sea individual o de grupo. Algunas veces requieren de un experimento presentado primero por el maestro. El objetivo es describir conceptos nuevos, formulas, operaciones o aplicaciones. Por ello es el más apropiado para el aprendizaje de conceptos nuevos. El éxito depende de la adquisición del material adecuado y de guías de trabajo que dirijan al alumno a la obtención de una correcta generalización. 3. Una tercera manera de presentar la clase es aquella en que el alumno la expone. Uno de los alumnos actúan como el instructor de toda clase, o en algún tema de la misma, este alumno aprende mejor la lección al estarla preparando y al presentarla dominará aún más los conceptos. En algunas ocasiones él puede obtener mejores resultados que el maestro, debido a que percibe mejor las dificultades que presentan el aprendizaje, emplea un lenguaje más similar al que utilizan sus compañeros y podrá tener mejor aceptación que el maestro. Al realizar esta actividad el alumno acrecienta su habilidad para comunicarse, desarrolla su capacidad para dirigir un grupo, aprende a aceptar su responsabilidad, comprende los problemas de aprendizaje de sus compañeros y empieza a comprender los problemas a los que enfrenta su maestro. 4. La enseñanza individualizada es el cuarto tipo de trabajo. Es esta situación los alumnos trabajan a su propio ritmo. Se les dan instrucciones de lo que deben aprender, las explicaciones que deben repasar, los problemas a resolver y las pruebas que deberán presentar, al completar un tema y pasar la prueba continuara la siguiente lección, si no pudiese pasar la prueba recibe explicaciones adicionales y deberá presentar otra `prueba. Esto significa, que es necesario el uso de mucho material didáctico tales como los textos programados, filminas, películas, grabaciones, programas tutoriales de computadora, etc. La justificación para el empleo de este método escriba en que nos ayuda a resolver el problema de las diferencias individuales, refuerza las respuestas apropiadas, corrige errores y proporciona material correctivo. Por ello es el método más adecuado para enseñarles habilidades. Sin embargo este tipo de trabajo presenta serias dificultades. No proporciona interacción entre los alumnos y el maestro no tiene tiempo suficiente para dar a todos la atención que requieren para corregir sus errores. Aquellos alumnos que han obtenido el menor 313
  • 314. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE aprovechamiento y que son los que necesitan mayor atención individual no pueden funcionar plenamente en este sistema, dado que su comprensión de la lectura es pobre y no están motivados para trabajar de la manera independiente. A menudo el maestro utiliza este sistema para evitar el trabajo de preparar y presentar una lección. No es manera adecuada para desarrollar la habilidad en la resolución de problemas o el dominio de conceptos. Estudios estadísticos en investigaciones realizadas en los Estados Unidos nos informan que no han obtenido éxito con su utilización. 5. Un quinto tipo de lección, que resulta interesante, es el uso de juegos de competencia en resolución de problemas. Las actividades de estos juegos son particularmente apropiadas para formar actitudes positivas hacia la matemática, practicando habilidades y destrezas y desarrollando soluciones a problemas. Participar en una competencia requiere de una empresa diligente en actividades de aprendizaje, ya que el participante aprende a relacionar ideas al tratar de resolver los problemas que se emplean, la competencia requiere que el alumno trabaje rápida y efectivamente. También debe aceptar la responsabilidad de seguir las reglas del juego e interactuar con otros participantes. Una competencia será efectiva en la medida en que sea usada apropiadamente. La competencia debe involucrar ideas o problemas que sean parte del trabajo regular de clase y debe de aprovecharse para ir distinguiendo el tipo de actitudes que tiene los estudiantes para resolver problemas y hacerles notar los errores cometidos. TRUCOS DE MATEMÁTICASTrucos para resolver una sumaEste truco sirve para impresionar a los amigos en una reunión.Se pide a alguien que escriba un numero de cuatro cifras, por ejemplo, 6258A continuación se pide a otra persona que escriba debajootro número de cuatro cifras. Por ejemplo, 3253El tercer numero lo escribes tú completando cada cifra delsegundo numero hasta nueve, es decir, si el segundo número esde 3253 escribirás 6746 (es decir, 3+6=9, 2+7=9, 5+4=9 y3+6=9).Se repite otra vez la operación pidiéndole a alguien queescriba otro número de cuatro cifras y tú escribes otrocompletando hasta nueve con el anterior.Por ejemplo, si escriben 2785 tú escribes 7214.Por último pide que resuelvan la suma.Tú para terminar muestras el resultado que has escrito previamente en un papel o adivinas elresultado. 314
  • 315. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJETrucoPara calcular fácilmente el resultado al primer número se le retan 2 unidades y se le pone un 2delante.ExplicaciónLos números 2o-3o y 4o-5o suman lo mismo, es decir,9999, por lo que los cuatro números suman 19.998. Esdecir, 19.998=20.000-2.Es lo mismo que sumar al primer número 20000 yrestarle dos unidades, es decir, restarle 2 y poner un 2delante. En ejemplo (6258) el resultado de la suma será26256.Este truco tiene muchas variantes añadiendo másnúmeros o utilizando números con más cifras.Trucos para adivinar un número.-Se pide a un amigo que escriba, sin mostrarlo, unnumero de dos dígitos (por ejemplo,45). Acontinuación se le indica que agregue un cero a laderecha (450) y que reste a esa cifra cualquier numero de la tabla del 9(9, 18,27,…81), porejemplo, 36.Le pedimos que nos diga el resultado. En el ejemplo 414.Si a los dos dígitos de la izquierda (41) se suma el de la derecha (4), se obtiene el número secreto(45).-son múltiplos de 7 los números capicúas de tres cifras cuya cifra central y una de los lateralessume 7 (por ejemplo: 161,252,343,434,525,616) ó 14(por ejemplo:595,686,777,868,959).-son múltiplos de 11 los capicúas de numero par de cifras, por ejemplo 241142. También sonmúltiplos de 11 la siguiente serie de números: 66, 616, 6116,61116….-son múltiplos de 13 los números capicúas de 3 cifras cuya cifra central y una de las laterales sume13 (por ejemplo: 494, 585, 676, 767, 858,949).-al multiplicar cualquier número de dos cifras (siempre que la suma de sus dos cifras sea nueve)por 11 se obtiene un numero de 3 cifras en el que la primera y la última cifra son las del númeroque multiplicamos y la del centro la suma de ambas.Por ejemplo: 23x11=253-el cuadrado de cualquier número terminado en 5 está formado por el producto de la cifra de lasdecenas (n) x (n+1) y la terminación 25. Si el número es menor de 100 se calcula fácilmente con lastablas d 315
  • 316. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJEe multiplicar.Por ejemplo: para calcular 252multiplicamos la cifra de las decenas (2) por (2+1), es decir 2x3=6 yañadimos 25. Por lo tanto 252=625.Otro ejemplo: 752 se calcularía 7x8=56 y se añade 25, es decir 752=5625-para recordar los decimales del número Pi (31,1415926535…) puede utilizarse la siguiente reglamnemotécnica: “Sol y Luna y Cielo proclaman al Divino Autor del Cosmo”, en la que el numero deletras de cada palabra representa la secuencia ordenada de los primeros decimales del número. CURIOSIDADES MATEMÁTICAS ALGUNAS PIRÁMIDES DE NÚMEROS: 1x9+2=11 9x9+7=88 12x9+3=111 98x9+6=888 123x9+4=1111 987x9+5=8888 1234x9+5=11111 9876x9+4=88888 12345x9+6=111111 98765x9+3=888888 123456x9+7=1111111 987654x9+2=8888888 1234567x9+8=11111111 9876543x9+1=88888888 12345678x9+9=111111111 98765432x9+0=888888888 123456789x9+10=1111111111 1x8+1=9 12=1 12x8+2=98 112 =121 123x8+3=987 1112 =12321 1234x8+4=9876 11112 =1234321 12345x8+5=98765 111112 =123454321 123456x8+4=987654 1111112 =12345654321 1234567x8+3=9876543 11111112 =1234567654321 12345678x8+2=98765432 111111112 =123456787654321 123456789x8+2=987654321 1111111112 =12345678987654321 316
  • 317. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJENúmeros especiales: el 37 Números especiales: el 101 37x3=111 101x11=1111 37x6=222 101x22=2222 37x9=333 101x33=3333 37x12=444 101x44=4444 37x15=555 101x55=5555 37x21=666 101x66=6666 37x24=777 101x77=7777 37x27=888 101x88=8888 101x99=9999 Números especiales: el 271 271x41=11111 271x82=22222 271x123=33333 271x164=44444 271x205=55555 271x246=66666 271x287=77777 271x328=88888 271x369=99999 Números especiales: el 15873 1x7x15873=111111 2x7x15873=222222 3x7x15873=333333 4x7x15873=444444 5x7x15873=555555 6x7x15873=666666 7x7x15873=777777 8x7x15873=888888 9x7x15873=999999 317
  • 318. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE Números especiales: el 12345679 1x9x12345679=111111111 2x9x12345679=222222222 3x9x12345679=333333333 4x9x12345679=444444444 5x9x12345679=555555555 6x9x12345679=666666666 7x9x12345679=777777777 8x9x12345679=888888888 9x9x12345679=999999999 ¿Cuál es el número menor de 1000 con más letras? Cuatrocientos cincuenta y cuatro (454) ,29 letras. 318
  • 319. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE ÍNDICE Dedicatoria 3 Agradecimiento 4 Introducción 5Capitulo 1 Motivación Cicatrices de los Clavos 6 Didáctica Aprendiendo a sumar sin llevar 7 Ejercicios Propuestos 11 Juego 14Capitulo 2 Motivación Da todo por quien Ames 16 Didáctica Cuadros mágicos para la suma 17 Ejercicios Propuestos 22 Juego 26Capitulo 3 Motivación El Maestro 27 Didáctica Multiplicar por el Método Grafico 28 Ejercicios Propuestos 32 Juego 35Capitulo 4 Motivación La Casa Imperfecta 40 Didáctica Multiplicar por medio de la Tabla de Nepper 41 Ejercicios Propuestos 44 Juego 47Capitulo 5 Motivación Un Dilema 48 Didáctica Usando los dedos para multiplicar desde la tabla del 6 al 10 49 319
  • 320. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE Juego 52Capitulo 6 Motivación No Te Puede Esperar 53 Didáctica Multiplicar sin saber las tablas de multiplicar 55 Ejercicios Propuestos 59 Juego 61Capitulo 7 Motivación La Esperanza 64 Didáctica Resta en la Recta Numérica 65 Ejercicios Propuestos 67 Juego 68Capitulo 8 Motivación Las Cicatrices de los Clavos 70 Didáctica Método Ruso 71 Ejercicios Propuestos 73 Juego 75Capitulo 9 Motivación El Rey y el Halcón 77 Didáctica Didáctica con material Didáctico 79 Ejercicios Propuestos 80 Juego 82Capitulo 10 Motivación La Barbería 84 Didáctica Es fácil multiplicar por 11 86 Ejercicios Propuestos 88 Juego 90Capitulo 11 Motivación El Valor de la Amistad 91 Didáctica Aplicando figuras con el uso del factor multiplicativo 94 Juego 97Capitulo 12 Motivación Helado para el Alma 99 Didáctica 320
  • 321. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE Raíz cuadrada de cuatro cifras 100 Ejercicios Propuestos 103 Juego 105Capitulo 13 Motivación Amor sin Condición 106 Didáctica Aprenda a resolver Conjuntos 108 Ejercicios Propuestos 122 Juego 126Capitulo 14 Motivación Los Dardos 129 Didáctica Método del Cangrejo 130 Ejercicios Propuestos 135 Juego 139Capitulo 15 Motivación Era Hace 140 Didáctica Test de Decisiones 141 Ejercicios Propuestos 149 Juego 153Capitulo 16 Motivación Entrevista con Dios 154 Didáctica Aprendiendo a Sumar con un Dado 155 Juego 156Capitulo 17 Motivación Si Dios Fuera Programador 157 Didáctica Método para resolver reglas de Tres Directa e Indirecta 158 Ejercicios Propuestos 164 Juego 168Capitulo 18 Motivación Un Ángel 169 Didáctica Razonar a través de las tablas ordenadoras de información 171 Ejercicios Propuestos 177 Juego 182 321
  • 322. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJECapitulo 19 Motivación Las Cosas no son lo que parecen 184 Didáctica Analizar a través de la observación 186 Ejercicios Propuestos 192 Juego 198Capitulo 20 Motivación El maestra y su Aprendiz 199 Didáctica Figuras bajo ciertos condicionamientos 200 Ejercicios Propuestos 204Capitulo 21 Motivación La historia del Escarabajo 209 Didáctica Habilidad visual 211 Ejercicios Propuestos 213Capitulo 22 Motivación El Ladrillo 224 Didáctica Áreas Sombreadas 226 Ejercicios Propuestos 232 Juego 236Capitulo 23 Motivación El sol brillando y yo ciego! 237 Didáctica Situaciones de relación de tiempo 238 Ejercicios Propuestos 240 Juego 243Capitulo 24 Motivación Didáctica Dividir sin saber las tablas de multiplicar 244 Juego 247Capitulo 25 ESTRATEGIAS MATEMÁTICAS 249 Ejercicios de Introducción 267Capitulo 26 ACERTIJOS ENGAÑOSOS 271Capitulo 27 EXPERIMENTOS 276Capitulo 28 IDEAS PARA ENSEÑAR MATEMÁTICAS 286 Didáctica Perfeccionamos conteos en base a un esquema organizado 289 322
  • 323. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE EDUCACIÓN MATEMÁTICA AL INICIO DELCapitulo 30 TERCER MILENIO 290Capitulo 31 IDEAS PARA ENSEÑAR MATEMÁTICAS 297 Trucos de Matemáticas 300 Curiosidades matemáticas Pirámides de Números 302 ÍNDICE 305 323
  • 324. LIBRO DIDÁCTICO PARA UN BUEN APRENDIZAJE Diseñado por: Mercedes Donoso 324 Fanny Zúñiga