La teoría de colas proporciona relaciones exactas o aproximadas para valores de interés como el número medio de clientes y el tiempo medio de espera en sistemas con colas. Se aplica a problemas con estructura especial como sistemas con esperas en bancos, hospitales y aeropuertos. Permite calcular valores medios y distribuciones para cantidades como el número de clientes y tiempos, en función de las características de llegada y servicio.

1. Teoría de colas
 Teoría de colas
 Alternativa a estudios de simulación
 Aplicación a problemas con estructura especial
 Sistemas con esperas
 Relaciones exactas para valores de interés
 Si la variabilidad tiene formas determinadas
 En otros casos, aproximaciones
 Eficiencia computacional
 Aún cuando se tengan relaciones aproximadas
1M.A.B.D

2. Teoría de colas
 Conceptos básicos:
 Cola, sistema al que
 Llegan clientes (aleatoriamente),
 que son servidos (con duración aleatoria)
 Capacidad limitada
 Si está totalmente ocupada, clientes esperan
 Distintos órdenes de atención a clientes
 Se puede escoger el orden para los que estén esperando
2M.A.B.D

3. Teoría de colas
 Ejemplos:
 Empresas de servicios:
 Colas en un banco
 Hipermercados
 Hospitales
 Administración
 Transporte
 Aterrizaje de aviones
 Trenes
 Congestión de carreteras
 Telecomunicaciones
3M.A.B.D

4. Teoría de colas
 Tratamiento:
 Cola simple
 Información necesaria:
 Tiempo entre llegadas, Ti
 Tiempo de servicio, Si , y número de servidores n
 Disciplina de servicio
4
n
M.A.B.D

5. Teoría de colas
 Cantidades de interés
 Relacionadas con clientes
 Número de clientes en el sistema, N
 Número de clientes esperando, N
 Relacionadas con tiempos
 Tiempo de paso por el sistema, S
 Tiempo de espera, W
 Medidas de capacidad del sistema
 Tiempo desocupado de servidores, I
5M.A.B.D

6. Teoría de colas
 Resultados para estado estacionario
 Comportamiento estable de la cola
 Si se observa pasado un tiempo muy largo
 Si se inicia la cola con la distribución adecuada, esta no
cambia
 Resultados para régimen transitorio
 Más complejos
 Ecuaciones diferenciales (Khinchine-Pollacek)
 Menos útiles
6M.A.B.D

7. Teoría de colas
 Relaciones básicas
 Relación entre tiempos medios y número medio de clientes
 Ley de Little:
E [N ] =  E [W ]
donde  es la tasa de llegadas externas
 Aplicaciones
7M.A.B.D

8. Teoría de colas
 Objeto del estudio
 Relaciones para obtener valores de salida
 Valores medios y distribuciones de
 Números de clientes
 Tiempos
 En función de valores de entrada
 Valores medios y distribuciones de
 Tiempos entre llegadas
 Tiempos de servicio
8M.A.B.D

9. Teoría de colas
 Relaciones
 Más generales
 Entre varios valores de salida
 Ley de Little: números de clientes y tiempos
 Independientes de la distribución
 Más específicas
 Valores de salida en función de valores de entrada
 Dependientes de la distribución
9M.A.B.D

10. Teoría de colas
 Ley de Little
 Justificación:
 Se observa una cola durante un tiempo largo, t
 En ese tiempo, se tienen nT llegadas al sistema,
nT   t
 Tiempo de paso acumulado de todas las llegadas,
v = i Pi
 Promedio v/nT  E [S ]
 Promedio v/t  E [N ]
10M.A.B.D

11. Teoría de colas
 Resultados más detallados
 Bajo hipótesis sobre cola
 Caso más simple (cola M/M/1):
 Tiempos entre llegadas con distribución exponencial, E [T ] =
1/
 Tiempos de servicio con distribución exponencial, E [S ] = 1/
 1 servidor
 Disciplina: FCFS (se atiende primero a quien primero llega)
11M.A.B.D

12. Teoría de colas
 Resultados:
 Probabilidad de tener n clientes en la cola:
(1 - )  n ,  = /
 Número medio de clientes en la cola:
E [N ] = /(1 - )
 Tiempo medio de espera:
E [W ] = (1/) 2/(1 - )
12M.A.B.D

13. Teoría de colas
 Justificación para N:
 Balance de probabilidad
 Tasas de salida de un estado iguales a tasas de entrada
P(N = k)( + ) = P(N = k+1) + P(N = k-1)
P(N = 0) = P(N = 1)
 Despejando recursivamente
P(N = 1) = P(N = 0), P(N = 2) = 2P(N = 0), ...
 Condición adicional, k P(N = k) = 1
 Única solución del sistema (infinito)
13M.A.B.D

14. Teoría de colas
 Justificación para W:
 W = 0 si al llegar el cliente la cola está vacía (N = 0)
 Probabilidad 1 - 
 W = i Si si N > 0 (vars. independientes)
 Empleando funciones características
 Condicionada a que se produzca espera:
 Exponencial con parámetro (1 - )
14M.A.B.D

15. Teoría de colas
 Cola M/M
 Más de un servidor, M/M/n
 La misma justificación sigue siendo válida
 Probabilidades para el número en cola, N:
si k < n entonces C (n)k/k!
si k  n entonces C knn /n!
 Constante C se determina para que las probabilidades sumen 1
15M.A.B.D

16. Teoría de colas
 Aplicación:
 Cola de supermercado:
 80 clientes/h.
 Servicio: 40 s./cliente
 Número medio de clientes
80/60 
 =  = 0,89 E [N ] =  = 8
60/40 1 - 
16M.A.B.D

17. Teoría de colas
 Ejemplo: supermercado
 Tiempo medio de espera:
1 2 1 (8/9)2
E [W ] =   =   = 5,33 min
 1- 80/60 1-8/9
 Con dos cajeros en operación:
 Doble cola y clientes se reparten (40cl./h.)
40/60
 =  = 0,44 E [N ] = 0,8 E [W ] = 0,53
60/40
17M.A.B.D

18. Teoría de colas
 Ejemplo: supermercado
 Estrategia más eficiente: cola simple y los clientes son
atendidos por el primer cajero disponible
 = 0,44 E [N ] = 1,11 E [W ] = 0,16
 Se ahorran las esperas en un cajero cuando el otro está vacío
18M.A.B.D

19. Teoría de colas
 Redes de colas
 En muchos casos prácticos, colas no aisladas, sino
interconectadas (redes)
 Situación típica en producción, cadenas de distribución,
etc.
 En general, procesos que requieran más de una etapa
19M.A.B.D

20. Teoría de colas
 Redes de colas
 Llegadas y servicios exponenciales
 Resultado básico
 Cada cola actúa como si fuese independiente de las demás
 Información necesaria:
 Llegadas a cada cola, 
 Diferentes de las llegadas externas, 
20M.A.B.D

21. Teoría de colas
 Cálculo de tasa de llegadas a cada cola
 Balance en la red
 Dada la matriz de rutas R
 Probabilidad de ir a otra cola desde una dada
 Llegadas a una cola:
 Suma de llegadas externas y llegadas desde otras colas
 Llegadas a cada cola: solución de
 =  + R 
21M.A.B.D

22. Teoría de colas
 Redes de colas
 Se forman la matriz R y el vector 
 Se calcula la tasa de llegadas a cada cola,
 =  + R 
 Se calcula el dato deseado de cada cola,
1 i i
E [W ] =   i = 
i 1-i i
22M.A.B.D

23. Teoría de colas
 Redes de colas. Ejemplo:
 Llegadas: 50 h-1, servicios: 60 h-1, 65 h-1
0 0 50 50
R =  =  =
1 0 0 50
1 5/6 1 1 50/65 2
E [W1 ] =   =  h-1 , E [W2 ] =   =  h-1
60 1-5/6 12 65 1-50/65 39
23
n1 n2
M.A.B.D

24. Teoría de colas
 ¿Qué sucede si las distribuciones no son exponenciales?
 Servicios no exponenciales:
Necesitamos la varianza (variabilidad)
2 1+Cs
2 s
E [N ] =  +   Cs = 
1- 2 E [S ]
1  2 1+Cs
2
E [W ] =   
 1- 2
24M.A.B.D

25. Teoría de colas
 Ejemplo: supermercado
 Supongamos que Cs = 0,5
E [N ] = 6,22 E [W ] = 4
 Al reducir la variabilidad, se reduce proporcionalmente el
tiempo de espera y el número de clientes en la cola
(Distribución exponencial, C = 1)
25M.A.B.D

26. Teoría de colas
 Tiempos entre llegadas no exponenciales
 1 
E [N ] =  E [W ] =  
1-  1-
pero ahora  se tiene que calcular resolviendo la ecuación
 = T * (  -   )
 No depende sólo de la varianza
26M.A.B.D

27. Teoría de colas
 Ejemplo: supermercado
 80 llegadas/h. Uniformemente
2a   (1 -  ) = 1 - exp(-2a  (1 -  ))
donde a = 0,75 min (tiempo medio entre llegadas), y  =
1,5 min-1
 Solución:
 = 0,84 E [W ] = 3,5
27M.A.B.D

28. Teoría de colas
 Distribuciones generales.
 Si tiempos de servicios y entre llegadas siguen
distribuciones generales
 No existen fórmulas exactas
 Alternativas:
 Simulación
 Fórmulas aproximadas para casos especiales
28M.A.B.D

29. Teoría de colas
 Caso general. Fórmulas aproximadas
1  1
E [W ]    (Cs
2 +  Ct
2 )
 2(1-)  2
válida si   1
 Simulación: ineficiente si   1
 Proceso muy lento para alcanzar un error determinado
29M.A.B.D

30. Teoría de colas
 Ejemplo. Supermercado
 Servicios uniformes entre 0 y 80 s.
 80 llegadas/h. uniformemente
 Resultados aproximados:
C2 = 4/3 E [W ]  8,06
 Simulación (6900 replicaciones):
E [W ] = 2,06  0,2
30M.A.B.D

31. Teoría de colas
 Redes de colas.
 Servicios o llegadas no exponenciales: se aproximan a
partir de la variabilidad de los datos (aproximaciones con
segundos momentos)
 Alternativa: simulación
 Códigos de ordenador especializados
31M.A.B.D

32. Ejercicio 1
 Una cola (una pista de aterrizaje)
 Distribuciones:
S  Unif[2,5] T  exp()
 Objetivo: E [W ]  5
 Relación:
1  1+Cs
2 Var(S )
1
E [W ] =    , Cs
2 =  , 
= 
 1- 2 E [S ]2
E [S ]
32M.A.B.D

33. Ejercicio 1
 Coeficiente de variación:
a +b 1 b
E [S ] =  , E [S 2] =   x 2 dx = (b 2+ab +a
2)/3
2 b -a a
Var(S ) 3/4
Var(S ) = E [S 2] - E [S ]2 = 3/4 , Cs
2 =  = 
= 3/49
E [S ]2
(7/2)2
 Tasa de llegadas:
 = 10/87 = 0,115 min-1 = 6,9 h-1
33M.A.B.D

34. Ejercicio 1
 Dos pistas de aterrizaje:
 Colas separadas: tomar S igual a la mitad (sólo cambia ),
 = 5/12 = 0,417 min-1 = 25 h-1
 Cola común,  = /(m )
(m  )k
P (N = k ) = p0  si k < m
k !
m m  k
= p0  si k  m
m !
34M.A.B.D

35. Ejercicio 1
 Cola común

p0 (1 + 2 + 2   k ) = 1, p0 = (1- )/(1+ )
k=2

E [N ] = 2p0  (k - 2)  k = 2p0  3/(1- )2
k=2
 Ley de Little:
E [N ] = E [W ]
 = (5/(1+5))½,  = 2 = 0,438 min-1 =
26,3 h-1
35M.A.B.D

36. Ejercicio 2
 Supongamos ritmo no aleatorio
 Condiciones:
n1 + n2 + n3 + n4 = N
r1 n1 = r2 n2 = r3 n3 = r4 n4
 Asignación:
1/ri
ni = N 
j 1/rj
n1 = 2 , n2 = 5 , n3 = 10 , n4 = 7
36M.A.B.D

37. Ejercicio 2
 Ritmo máximo de procesamiento:
mini ri ni = 75 dec./h
 Caso aleatorio:
 Ritmos medios no varían
 Tiempo medio de paso por el sistema
S = i Si = i E [Ni ] / 
37M.A.B.D

38. Ejercicio 2
 Tiempo medio de procesamiento
 Tasa de llegadas: 70 dec./h
Tasa común a todas las etapas
 Supongamos en cada etapa colas independientes para cada
servidor
 1 i
i =  , E [Wi ] =  
ni i i 1-i
38M.A.B.D

39. Ejercicio 2
 Resultados:
1 = 0,875 2 = 0,933 3 = 0,875 4 =
0,833
E [S1] = 0,2 E [S2] = 1 E [S3] = 1 E [S4] =
0,5
E [S ] = 2,7 h
 Modificaciones:
min i i
s.a i =  / i (ni + i )
i i / i (1-i )  W
i  0 , entera
39M.A.B.D

40. Ejercicio 2
 Solución: (2 = 1)
1 = 0,875 2 = 0,778 3 = 0,875 4 = 0,833
E [S1] = 0,2 E [S2] = 0,3 E [S3] = 1 E [S4] =
0,5
 Para un tiempo de proceso de 1 h.
1 = 1 2 = 2 3 = 3 4 = 1
1 = 0,875 2 = 0,933 3 = 0,875 4 = 0,833
E [S1] = 0,2 E [S2] = 1 E [S3] = 1 E [S4] = 0,5
40M.A.B.D

41. Ejercicio 2
 Colas comunes a todos los servidores:
1 = 0,875 2 = 0,778 3 = 0,875 4 = 0,833
E [S1] = 0,107 E [S2] = 0,234 E [S3] = 0,185 E [S4] = 0,123
El tiempo de paso se cumple sin añadir nuevos funcionarios
41M.A.B.D

42. Ejercicio 2
 Probabilidad de volver atrás
 Cambios en las tasas de llegada:
70 0 0 0 0.08
76.6
0 1 0 0 0.04
79.9
 =  + R  ,  = , R = , = 0 0 1 0 0.0382.4
0 0 0 1 0
82.4
 Las tasas son mayores
 Se aplica el mismo procedimiento con los nuevos valores
42M.A.B.D

43. Ejercicio 2
 Resultados:
 Colas individuales (3,7,13,8):
1 = 0,64 2 = 0,76 3 = 0,79 4 = 0,86
E [S1] = 0,07 E [S2] = 0,28 E [S3] = 0,60 E [S4] = 0,59
 Cola única por etapa (2,6,11,7):
1 = 0,96 2 = 0,84 3 = 0,94 4 = 0,98
E [S1] = 0,30 E [S2] = 0,14 E [S3] = 0,26 E [S4] = 0,67
43M.A.B.D