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函數程式語言: Haskell 基礎

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  • 1. 函數程式語 言: Haskell 基礎 黃耀賢 起頭 (Beginning) Lambda Calculus 有型態的 Lambda Calculus (Typed) Haskell 基礎 (Basics) 小結 (Subtitle) 參考文獻 (Bibliography) 函數程式語言: Haskell 基礎 黃耀賢 edward@tc.program.com.tw 微程式技術研討會 October 22, 2008 1 / 30
  • 2. 函數程式語 言: Haskell 基礎 黃耀賢 起頭 (Beginning) Lambda Calculus 有型態的 Lambda Calculus (Typed) Haskell 基礎 (Basics) 小結 (Subtitle) 參考文獻 (Bibliography) Outline 1 起頭 (Beginning) 2 Lambda Calculus 3 有型態的 Lambda Calculus (Typed) 4 Haskell 基礎 (Basics) 5 小結 (Subtitle) 6 參考文獻 (Bibliography) 2 / 30
  • 3. 函數程式語 言: Haskell 基礎 黃耀賢 起頭 (Beginning) Lambda Calculus 有型態的 Lambda Calculus (Typed) Haskell 基礎 (Basics) 小結 (Subtitle) 參考文獻 (Bibliography) Leibniz 的理想 1 通用語言:創造一種語言,使能描述各種問題。 Frege 和 Russell 等數學家,以初階述語邏輯所描述的集 合論形式解決。 2 決策問題:找到一種決策法,將所有以通用語言描述的 問題解決。 為一哲學問題:「能夠以通用語言解答所有難題嗎?」,號稱為 Entscheidungsproblem /Ent"S2IdUNspô6bl@m/ (德語,意為「決策問 題」)。 3 / 30
  • 4. 函數程式語 言: Haskell 基礎 黃耀賢 起頭 (Beginning) Lambda Calculus 有型態的 Lambda Calculus (Typed) Haskell 基礎 (Basics) 小結 (Subtitle) 參考文獻 (Bibliography) Entscheidungsproblem 求解 同時由 Church 與 Turing 各自證為否定。為了證明,需要下 列工具 • Lambda calculus:Alonzo Church 在 1936 年發明的正式 系統,並定義可執行函數的標記法。 • Turing machines:Alan Turing 在 1936 年 7 月發明的機 器類型,並定義可執行函數的標記法。 同年,Turing 證明二種模型有同樣強度,是由於定義了相同的可執 行函數。 4 / 30
  • 5. 函數程式語 言: Haskell 基礎 黃耀賢 起頭 (Beginning) Lambda Calculus 有型態的 Lambda Calculus (Typed) Haskell 基礎 (Basics) 小結 (Subtitle) 參考文獻 (Bibliography) Turing machines 的發展 Figure: Turing Machine 的藝術式圖現。1 • Von Neumann 計算機以 Turing machine 概念為基礎。 • 命令程式語言,包括組合語言、 Fortran 、 Pascal 等等 都根據 Turing machine 接受指令的方式而出現。 1 圖摘自 http://en.wikipedia.org/wiki/Turing machine gallery 5 / 30
  • 6. 函數程式語 言: Haskell 基礎 黃耀賢 起頭 (Beginning) Lambda Calculus 有型態的 Lambda Calculus (Typed) Haskell 基礎 (Basics) 小結 (Subtitle) 參考文獻 (Bibliography) Lambda calculus 的發展 • Alonzo Church 在 1936 年提出 lambda calculus 正式系 統,並定義可執行函數的標記法。 • Haskell Brookes Curry 和 Alonzo Church 先後在 1934 年 和 1940 年介紹有型態的 lambda calculus 。 • 函數程式語言,包括 Miranda 、 ML 、 Haskell 等等都 根據 lambda calculus 而出現。 • Lisp 是較早期的例子,但混雜一些其他概念。 • Reduction machines 由函數程式的執行而出現。 6 / 30
  • 7. 函數程式語 言: Haskell 基礎 黃耀賢 起頭 (Beginning) Lambda Calculus 有型態的 Lambda Calculus (Typed) Haskell 基礎 (Basics) 小結 (Subtitle) 參考文獻 (Bibliography) 算式的構成 • Lambda calculus 的算式都表達為函數,由 Lambda Term (lambda 詞彙) 構成。 • 任意變數就是 lambda term 。 例如: x x′ • 一些 lambda term 放在一起,也是 lambda term。 例如: x x′ (x x′) y z • 以“λ 變變變數數數. lambda term”格式構成的詞彙,也是 lambda term。 例如: λx. x (lambda abstraction , lambda 抽象 化) λx y. x y 7 / 30
  • 8. 函數程式語 言: Haskell 基礎 黃耀賢 起頭 (Beginning) Lambda Calculus 有型態的 Lambda Calculus (Typed) Haskell 基礎 (Basics) 小結 (Subtitle) 參考文獻 (Bibliography) 算式的性質 • 範圍: “λ x. M”格式的 lambda term ,存在於 M 中的 x 都是「受限制的」(bound)。例如: x ((λx. x + 1)y) z′ x 是受受受限限限制制制的的的變變變數數數。 • 不受限制的變數稱為自自自由由由變變變數數數(free variable)。 • 封封封閉閉閉的的的 lambda 詞詞詞彙彙彙:若一則 lambda 詞彙中沒有自由 變數(意思是所有的變數都受限制),是封閉 lambda 詞彙(closed λ term)。 • 不是封閉 lambda 詞彙的,是開開開放放放的的的 lambda 詞詞詞彙彙彙(open λ term)。 8 / 30
  • 9. 函數程式語 言: Haskell 基礎 黃耀賢 起頭 (Beginning) Lambda Calculus 有型態的 Lambda Calculus (Typed) Haskell 基礎 (Basics) 小結 (Subtitle) 參考文獻 (Bibliography) Combinator • 如果一則 lambda 詞彙是封閉的,就是一個 combinator 。 • Identity combinator I ≡ λx. x。 • K ≡ λxy. x。 • K∗ ≡ λxy. y。 • S ≡ λxyz. x z (y z)。 • Fixpoint combinator Y ≡ λf . (λx. f (x x)) (λx. f (x x)) 使 ∀F. F(Y F) = Y F。 9 / 30
  • 10. 函數程式語 言: Haskell 基礎 黃耀賢 起頭 (Beginning) Lambda Calculus 有型態的 Lambda Calculus (Typed) Haskell 基礎 (Basics) 小結 (Subtitle) 參考文獻 (Bibliography) Reduction (簡化、約化) • 令E為構成一函數程式的式子,E可以有一些改寫規則。 Reduction 是將P,E的一部份,根據改寫規則取代為另 一個式子P′,簡列為: E[P] → E[P′] • 可可可化化化簡簡簡的的的式式式子子子: λ 開頭的式子和其他參數放在一起,如 (λv.M)N,就可以化簡。 • 例如: (λxy. s x y) u v −→ s x y[x := u, y := v] ≡ s u v 10 / 30
  • 11. 函數程式語 言: Haskell 基礎 黃耀賢 起頭 (Beginning) Lambda Calculus 有型態的 Lambda Calculus (Typed) Haskell 基礎 (Basics) 小結 (Subtitle) 參考文獻 (Bibliography) 完全化約 (Full Reduction) • 完完完全全全化化化約約約(full reduction)任何可化簡的式子可在任何時 候化簡。 • 例如: id(id(λz.id z)) → id(λz.id z) → id(λz.z) → λz.z → 11 / 30
  • 12. 函數程式語 言: Haskell 基礎 黃耀賢 起頭 (Beginning) Lambda Calculus 有型態的 Lambda Calculus (Typed) Haskell 基礎 (Basics) 小結 (Subtitle) 參考文獻 (Bibliography) 一般化約 (Normal Order Strategy Reduction) • 一一一般般般化化化約約約(normal order strategy)最外邊、最左邊的可 化簡式先化簡。 • 例如: id(id(λz.id z)) → id(λz.id z) → λz.id z → λz.z → 12 / 30
  • 13. 函數程式語 言: Haskell 基礎 黃耀賢 起頭 (Beginning) Lambda Calculus 有型態的 Lambda Calculus (Typed) Haskell 基礎 (Basics) 小結 (Subtitle) 參考文獻 (Bibliography) Call By Name • Call by name較嚴格,不容許在抽象化的 lambda 詞 彙(即 λ 開頭的 lambda 詞彙)中做化約。 • 例如: id(id(λz.id z)) → id(λz.id z) → λz.id z → • Call by name又稱為 lazy evaluation。 • Haskell採用優化的 lazy evaluation,所有相同的 lambda 詞彙,第一個已經化簡的就儲存起來,後續的詞彙直接 參考第一個化簡的結果,而節省重複的化簡動作。 13 / 30
  • 14. 函數程式語 言: Haskell 基礎 黃耀賢 起頭 (Beginning) Lambda Calculus 有型態的 Lambda Calculus (Typed) Haskell 基礎 (Basics) 小結 (Subtitle) 參考文獻 (Bibliography) Call By Value • Call by value由最外邊的可化約式,並要先將參數化 約。 • 例如: id(id(λz.id z)) → id(λz.id z) → λz.id z → • Call by value又稱為 strict evaluation。 • (λbfg. if b then f else g) b f g 的化約不能做 call-by-value ,必須做 call-by-name 。 14 / 30
  • 15. 函數程式語 言: Haskell 基礎 黃耀賢 起頭 (Beginning) Lambda Calculus 有型態的 Lambda Calculus (Typed) Haskell 基礎 (Basics) 小結 (Subtitle) 參考文獻 (Bibliography) 建立數字計算系統 1 定義 true ≡ K 和 false ≡ K∗ 。 2 定義選擇結構 [M, N] ≡ λz. z M N ,其中 z M N 表示 if B then M else N。於是, [M, N] true = M [M, N] false = N Proof. [M, N] true ≡ (λz. z M N) (λxy. x) = z M N[z := (λxy. x)] ≡ (λxy. x) M N = x[x := M, y := N] ≡ M 15 / 30
  • 16. 函數程式語 言: Haskell 基礎 黃耀賢 起頭 (Beginning) Lambda Calculus 有型態的 Lambda Calculus (Typed) Haskell 基礎 (Basics) 小結 (Subtitle) 參考文獻 (Bibliography) 建立數字計算系統(續) 3 遞迴定義數字,將每個自然數 n 的數字定義為 n : 0 = I n + 1 = [false, n ] 4 定義零和前後關係: S+ n = n + 1 P− n + 1 = n Zero 0 = true Zero n + 1 = false Proof. S+ ≡ λx. [false, x] P− ≡ λx. x false Zero ≡ λx. x true 16 / 30
  • 17. 函數程式語 言: Haskell 基礎 黃耀賢 起頭 (Beginning) Lambda Calculus 有型態的 Lambda Calculus (Typed) Haskell 基礎 (Basics) 小結 (Subtitle) 參考文獻 (Bibliography) 建立數字計算系統(續) • 想定義加法運算如 Add(0, y) = y Add(x+1, y) = 1+Add(x, y) • 意思和這個 lambda 詞彙相同: Add x y = if Zero x then y else S+ (Add (P− x) y) • 用 Y combinator 製作遞迴: Add ≡ Y(λaxy. if Zero x then y else S+ (a (P− x) y)) 17 / 30
  • 18. 函數程式語 言: Haskell 基礎 黃耀賢 起頭 (Beginning) Lambda Calculus 有型態的 Lambda Calculus (Typed) Haskell 基礎 (Basics) 小結 (Subtitle) 參考文獻 (Bibliography) 簡單型態系統 • 型態系統由 H. B. Curry 在 1934 年介紹,之後 1958 年 和 1972 年做了一些改變,用自然的方式推導 lambda term 的型態。 • T 為型態的集合。 • 任何 lambda term M 都可以被指派為一個型態 σ ,只要 σ ∈ T。 • 函數套用: M : σ → τ N : σ M N : τ • 函數抽象化: x : σ ... M : τ λx. M : σ → τ 18 / 30
  • 19. 函數程式語 言: Haskell 基礎 黃耀賢 起頭 (Beginning) Lambda Calculus 有型態的 Lambda Calculus (Typed) Haskell 基礎 (Basics) 小結 (Subtitle) 參考文獻 (Bibliography) Haskell 簡介 1 發明於 1987 年,以 Haskell Brookes Curry 為名。 2 Haskell 98 標準之後,舊版語言已拋棄。 3 Haskell 是有有有型型型態態態的函函函數數數式式式程式語言。 4 以 standard prelude 為預設標準函式庫。 5 有關資訊請參考 http://haskell.org 。2 2 http://haskell.org/ghc 為 GHC (一種 Haskell 98 的實作) 發佈的 網站,提供了 Windows 、 Linux 、 Solaris 和 Mac OS 版本的安裝程式。 19 / 30
  • 20. 函數程式語 言: Haskell 基礎 黃耀賢 起頭 (Beginning) Lambda Calculus 有型態的 Lambda Calculus (Typed) Haskell 基礎 (Basics) 小結 (Subtitle) 參考文獻 (Bibliography) 資料值 (Value) 和型態 • Haskell 預設下列資料型態: • 5 :: Integer • ’K’ :: Char • False :: Bool • [3,2,1] :: [Integer] • (’b’, True) :: (Char, Bool) • id :: a -> a id x = x • 測測測定定定型型型態態態(Typing):“:: Type ” 是「有· · · 型態」的意 思,會做型態的建立和檢查。 20 / 30
  • 21. 函數程式語 言: Haskell 基礎 黃耀賢 起頭 (Beginning) Lambda Calculus 有型態的 Lambda Calculus (Typed) Haskell 基礎 (Basics) 小結 (Subtitle) 參考文獻 (Bibliography) 基本型態 • Bool • Char:用單引號圍起的字母。 • String:即一列 Char 資料,用雙引號圍起的許多字 母。 ”Hello” 就是 [’H’,’e’,’l’,’l’,’o’] 。 • Int:固定精確度的整數,值介 −231 ∼ 231 − 1 之間。 • Integer:任意精確度的整數。 • Float:單精確度的浮點數。 • List 型態:用方括號包含型態標記為指定型態,構成 list 型態。 [Int] 是整數型態的 list 型態。 • Tuple 型態:用圓括號包含逗點分隔的多個型態,構成 tuple 型態。 (Int, Int) 是一對整數型態的 tuple 型 態。 • 函數型態:用 -> 箭頭連接多個型態,構成函數型態。 Int -> Int 是從一個整數型態對應到另一個整數型態 的函數型態。 21 / 30
  • 22. 函數程式語 言: Haskell 基礎 黃耀賢 起頭 (Beginning) Lambda Calculus 有型態的 Lambda Calculus (Typed) Haskell 基礎 (Basics) 小結 (Subtitle) 參考文獻 (Bibliography) 自訂型態 • 語法: data Type-constructor = Data-constructors • 定義「顏色」型態: data Color = Red | Orange | Yellow | Green | Blue | Indigo | Violet • 定義「點」型態:只有一個 data constructor ,必須參考 其他型態來建立型態。 data Point a = Pt a a 22 / 30
  • 23. 函數程式語 言: Haskell 基礎 黃耀賢 起頭 (Beginning) Lambda Calculus 有型態的 Lambda Calculus (Typed) Haskell 基礎 (Basics) 小結 (Subtitle) 參考文獻 (Bibliography) 「樹」資料結構 • data Tree a = Leaf a | Branch (Tree a) (Tree a) • flatten :: Tree a -> [a] flatten (Leaf x) = [x] flatten (Branch x y) = flatten x ++ flatten y • 練習: 1 將上述「樹」展平程式打字輸入在文字檔 test.hs ,存檔。 2 確定 GHC 已安裝。 3 在命令列模式視窗中,切換到 test.hs 所存放位置,執行 ghci 。 4 在 GHCi 環境輸入 :l test.hs 載入程式。若回應錯誤訊息請 檢查程式碼。 5 在 GHCi 環境輸入 flatten (Branch (Branch (Leaf ’a’) (Leaf ’b’)) (Leaf ’c’)) 並觀察結果。 6 在 GHCi 環境輸入 :q 關閉 GHCi 環境。 23 / 30
  • 24. 函數程式語 言: Haskell 基礎 黃耀賢 起頭 (Beginning) Lambda Calculus 有型態的 Lambda Calculus (Typed) Haskell 基礎 (Basics) 小結 (Subtitle) 參考文獻 (Bibliography) 效能瓶頸 • (++) :: [a] -> [a] -> [a] []++ys = ys (x:xs)++ys = x:(xs++ys) • data Tree a = Leaf a | Branch (Tree a) (Tree a) • flatten :: Tree a -> [a] flatten (Leaf x) = [x] flatten (Branch x y) = flatten x ++ flatten y • 計算複雜度是 O2。 24 / 30
  • 25. 函數程式語 言: Haskell 基礎 黃耀賢 起頭 (Beginning) Lambda Calculus 有型態的 Lambda Calculus (Typed) Haskell 基礎 (Basics) 小結 (Subtitle) 參考文獻 (Bibliography) 減少 ++ 的計算量 • 利用累累累積積積變變變數數數(accumulating argument)減少 ++ 的計 算量。 • 令 flatten′ t acc = flatten t ++ acc , • flatten′ (Leaf x) acc = { 由 flatten′ 的定義, } flatten (Leaf x) ++ acc = { 套用 flatten } [x] ++ acc = { 套用 ++ } x:acc 25 / 30
  • 26. 函數程式語 言: Haskell 基礎 黃耀賢 起頭 (Beginning) Lambda Calculus 有型態的 Lambda Calculus (Typed) Haskell 基礎 (Basics) 小結 (Subtitle) 參考文獻 (Bibliography) 減少 ++ 的計算量(續) • flatten′ (Tree x y) acc = { 由 flatten′ 的定義 } flatten (Tree x y) ++ acc = { 套用 flatten } (flatten x ++ flatten y) ++ acc = { 由 ++ 的結合律 } flatten x ++ (flatten y ++ acc) = { 將 x 歸納 } flatten′ x (flatten y ++ acc) = { 將 y 歸納 } flatten′ x (flatten′ y acc) 26 / 30
  • 27. 函數程式語 言: Haskell 基礎 黃耀賢 起頭 (Beginning) Lambda Calculus 有型態的 Lambda Calculus (Typed) Haskell 基礎 (Basics) 小結 (Subtitle) 參考文獻 (Bibliography) 減少 ++ 的計算量(末) • 於是, flatten′ :: Tree a -> [a] -> [a] flatten′ (Leaf x) acc = x:acc flatten′ (Tree x y) acc = flatten′ x (flatten′ y acc) 27 / 30
  • 28. 函數程式語 言: Haskell 基礎 黃耀賢 起頭 (Beginning) Lambda Calculus 有型態的 Lambda Calculus (Typed) Haskell 基礎 (Basics) 小結 (Subtitle) 參考文獻 (Bibliography) 小結和摘要 本次討論,我們知道了: • 函數語言的源頭是 lambda calculus ,相對於命令式語言 的源頭是 Turing machines. • Lambda calculus 定義了詞彙的構成與化簡規則。藉此可 以建立數學計算系統。 • Lambda 詞彙可以附加型態,並有合理的型態推導規 則。 • Lambda calculus 的化簡有幾種策略,包括完全化簡、一 般化簡、 call-by-name 和 call-by-value 。 • Haskell 是有型態的函數語言。從基本的資料值開始,每 個詞彙都可以合理地推導型態。 • Haskell 容許以關鍵字 data 自訂型態。 28 / 30
  • 29. 函數程式語 言: Haskell 基礎 黃耀賢 起頭 (Beginning) Lambda Calculus 有型態的 Lambda Calculus (Typed) Haskell 基礎 (Basics) 小結 (Subtitle) 參考文獻 (Bibliography) 將來的內容 將來會談論的項目有: • 運算元。 • 類別。 • Haskell 的標準函式庫 (standard prelude) 。 • 以 lambda 詞彙方式撰寫 Haskell 程式。 • 以數學方式撰寫 Haskell 程式。 • 區域變數。 • 高階函數。 • 輸入和輸出。 29 / 30
  • 30. 函數程式語 言: Haskell 基礎 黃耀賢 起頭 (Beginning) Lambda Calculus 有型態的 Lambda Calculus (Typed) Haskell 基礎 (Basics) 小結 (Subtitle) 參考文獻 (Bibliography) 參考文獻 1 Benjamin C. Pierce. Types and Programming Language. MIT, 2002. 2 Graham Hutton. Programming in Haskell. Cambridge, 2007. 3 Henk Barendregt and Erik Barendsen. Introduction to Lambda Calculus. [Online] Available: ftp://ftp.cs.kun.nl/pub/CompMath.Found/lambda.pdf (Oct, 2008). 4 Hal Daum´e III. Yet another Haskell tutorial. [Online] Available: http://www.cs.utah.edu/ hal/docs/daume02yaht.pdf (Oct, 2008). 5 Paul Hudak, John Peterson, and Joseph Fasel. A gentle introduction to Haskell: Version 98. [Online] Available: http://www.haskell.org/tutorial/ (Oct, 2008). 30 / 30

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