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Matematica

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Principales ramas de la Matemática con un poco de historia.

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  • 1. MatemáticaPrincipales ramas PDF generado usando el kit de herramientas de fuente abierta mwlib. Ver http://code.pediapress.com/ para mayor información. PDF generated at: Thu, 20 Sep 2012 18:19:09 UTC
  • 2. ContenidosArtículos Álgebra 1 Geometría 7Referencias Fuentes y contribuyentes del artículo 10 Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 11Licencias de artículos Licencia 12
  • 3. Álgebra 1 Álgebra Para los usos matemáticos de la palabra álgebra como estructura algebraica, véase álgebra no asociativa, álgebra asociativa, álgebra sobre un cuerpo. El álgebra es la rama de las matemáticas que estudia las estructuras, las relaciones y las cantidades (en el caso del álgebra elemental). Es una de las principales ramas de la matemática, junto a la geometría, el análisis matemático, la combinatoria y la teoría de números. La palabra «álgebra» es de origen árabe, deriva del tratado escrito por el matemático persa Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi, titulado Kitab al-yabr wa-l-muqabala (en árabe ‫( )ﻛﺘﺎﺏ ﺍﻟﺠﺒﺮ ﻭﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻠﺔ‬que significa "Compendio de cálculo por el método de completado y balanceado"), el cual proporcionaba operaciones simbólicas para la solución sistemática de ecuaciones lineales y cuadráticas. Etimológicamente, la palabra «álgebra» ‫ ﺟﺒﺮ‬ŷabr, proviene del árabe y significa "reducción". Álgebra elemental Álgebra elemental es la forma más básica del álgebra. A diferencia de la aritmética, en donde sólo se usan los números y sus operaciones aritméticas (como +, −, ×, ÷), en álgebra los números son representados por símbolos (usualmente a, b, c, x, y, z). Esto es útil porque: • Permite la formulación general de leyes de aritmética (como a + b = b + a), y esto es el primer paso para una exploración sistemática de las propiedades de los números reales. • Permite referirse a números "desconocidos", formular ecuaciones y el estudio de cómo resolverlas. • Permite la formulación de relaciones Funcionales.
  • 4. Álgebra 2 Historia Si bien la palabra álgebra viene del vocablo árabe (al-Ŷabr, ‫ ,)ﺍﻟﺠﺒﺮ‬sus orígenes se remontan a los antiguos babilonios, que habían desarrollado un avanzado sistema aritmético con el que fueron capaces de hacer cálculos en una forma algebraica. Con el uso de este sistema fueron capaces de aplicar las fórmulas y soluciones para calcular valores desconocidos. Este tipo de problemas suelen resolverse hoy mediante ecuaciones lineales, ecuaciones de segundo grado y ecuaciones indefinidas. Por el contrario, la mayoría de los egipcios de esta época, y la mayoría de la India, griegos y matemáticos chinos en el primer milenio antes de Cristo, normalmente resolvían tales ecuaciones por métodos geométricos, tales como los descritos en la matemática Rhind Papyrus, Sulba Sutras, Elementos de Euclides, y los Nueve Capítulos sobre el Arte de las Matemáticas. El trabajo geométrico de los griegos, centrado en las formas, dio el marco para la generalización de las fórmulas más allá de la solución de los problemas particulares de carácter más general, sino en los sistemas de exponer y resolver ecuaciones. Las mentes griegas matemáticas de Alejandría y Diofanto siguieron las tradiciones de Egipto y Babilonia, pero el libro Arithmetica de Diophantus está en un nivel mucho Página del libro Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa-l-muqābala, de Al-Juarismi. más alto. Más tarde, los matemáticos árabes y musulmanes desarrollaron métodos algebraicos a un grado mucho mayor de sofisticación. Aunque los babilonios y Diophantus utilizaron sobre todo los métodos especiales ad hoc para resolver ecuaciones, Al-Khowarizmi fue el primero en resolver ecuaciones usando métodos generales. Él resolvió el indeterminado de ecuaciones lineales, ecuaciones cuadráticas, ecuaciones indeterminadas de segundo orden y ecuaciones con múltiples variables. La palabra "álgebra" es el nombre de la palabra árabe "Al-Jabr, ‫ "ﺍﻟﺠﺒﺮ‬en el título del libro al-Kitab al-muḫtaṣar fi al-Gabr ḥisāb wa-l-muqābala, ‫ ,ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺍﻟﻤﺨﺘﺼﺮ ﻓﻲ ﺣﺴﺎﺏ ﺍﻟﺠﺒﺮ ﻭﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻠﺔ‬el sentido del Resumen del libro se refiere a la transposición y Cálculo de la Reducción de un libro escrito por el matemático persa islámico, Muhammad ibn Musa Al-Khwārizmī (considerado el "padre del álgebra"), en 820. La palabra Al-Jabr significa "reducción". El matemático helenístico Diophantus ha sido tradicionalmente conocido como el "padre del álgebra", pero en tiempos más recientes, hay mucho debate sobre si al-Khwarizmi, que fundó la disciplina de Al-Jabr, título que se merece su lugar. Los que apoyan a Diophantus apuntan al hecho de que el álgebra que se encuentra en Al-Jabr es algo más elemental que el que se encuentra en el álgebra Arithmetica y que Arithmetica es sincopada mientras que Al-Jabr es totalmente retórica. Los que apoyan el punto de Al-Khwarizmi se basan sobre el hecho de que presenta los métodos de "reducción" y "equilibrio" (la transposición de términos restará al otro lado de una ecuación, es decir, la cancelación de términos a ambos lados de la ecuación), al cual el término Al-Jabr se refería originalmente, y que dio una explicación exhaustiva de la solución de ecuaciones cuadráticas, apoyada por las pruebas geométricas, mientras que el tratamiento de álgebra como una disciplina independiente en su propio derecho. Su álgebra ya tampoco trataría "con una serie de los problemas por resolver", sino con una "exposición que empieza con lo primitivo en el que las combinaciones deben dar todos los posibles prototipos de ecuaciones, que en adelante explícitamente constituyen el
  • 5. Álgebra 3 verdadero objeto de estudio". También estudió una ecuación para su propio bien y "de forma genérica, en la medida que no sólo surgen en el curso de la solución de un problema, sino que específicamente en la llamada para definir una infinidad de problemas de clase". El matemático persa Omar Khayyam desarrolló la geometría algebraica y encontró la solución geométrica de la ecuación cúbica. Otro matemático persa, Sharaf Al-Din al-Tusi, encontró la solución numérica y algebraica a diversos casos de ecuaciones cúbicas; también desarrolló el concepto de función. Los matemáticos indios Mahavirá y Bhaskara II, el matemático persa Al-Karaji, y el matemático chino Zhu Shijie, resolvieron varios casos de ecuaciones de grado tres, cuatro y cinco, así como ecuaciones polinómicas de orden superior mediante métodos numéricos. Otro acontecimiento clave en el desarrollo del álgebra fue la solución algebraica de las ecuaciones cúbicas y cuárticas, desarrollado a mediados del siglo XVI. La idea de un factor determinante fue desarrollada por el matemático japonés Kowa Seki en el siglo XVII, seguido por Gottfried Leibniz diez años más tarde, con el fin de resolver sistemas de ecuaciones lineales simultáneas utilizando matrices. Gabriel Cramer también hizo un trabajo sobre matrices y determinantes en el siglo XVIII. El álgebra abstracta se desarrolló en el siglo XIX, inicialmente centrada en lo que hoy se conoce como teoría de Galois y en temas de la constructibilidad.[1] Notación algebraica [2] Los números se emplean para representar cantidades conocidas y determinadas. Las letras se emplean para representar toda clase de cantidades, ya sean conocidas o desconocidas. Las cantidades conocidas se expresan por las primeras letras del alfabeto: a, b, c, d, … Las cantidades desconocidas se representan por las últimas letras del alfabeto: u, v, w, x, y, z. Signos del Álgebra [2] Los signos empleados en álgebra son tres clases: Signos de operación, signos de relación y signos de agrupación. Signos de operación En álgebra se verifican con las cantidades las mismas operaciones que en Aritmética: suma, resta, multiplicación, elevación a potencias y extracción de raíces, que se indican con los principales signos de aritmética excepto el signo de multiplicación. En lugar del signo x suele emplearse un punto entre los factores y también se indica a la multiplicación colocando los factores entre paréntesis. Así a⋅b y (a)(b) equivale a a x b. Signos de relación Se emplean estos signos para indicar la relación que existe entre dos cantidades. Los principales son: =, que se lee igual a. Así, a=b se lee “a igual a b”. >, que se lee mayor que. Así, x + y > m se lee “x + y mayor que m”. <, que se lee menor que. Así, a < b + c se lee “a menor que b + c”. Signos de agrupación Los signos de agrupación son: el paréntesis ordinario ( ), el paréntesis angular o corchete [ ], las llaves { } y la barra o vínculo ||. Estos signos indican que la operación colocada entre ellos debe efectuarse primero. Así, (a + b)c índica que el resultado de la suma a y b debe multiplicarse por c; [a – b]m indica que la diferencia entre a y b debe multiplicarse por m, {a + b} ÷ {c – d} índica que la suma de a y b debe dividirse entre la diferencia de c y d. El orden de estos signos son de la siguiente forma { [ ( ) ] }, por ejemplo: { [ (a + b) - c] ⋅ d} indica que el resultado de la suma de a + b debe restarse a c y el resultado de esto multiplicarse por d.
  • 6. Álgebra 4 Estructura algebraica En matemáticas, una estructura algebraica es un conjunto de elementos con unas propiedades operacionales determinadas; es decir, lo que define a la estructura del conjunto son las operaciones que se pueden realizar con los elementos de dicho conjunto y las propiedades matemáticas que dichas operaciones poseen. Un objeto matemático constituido por un conjunto no vacío y algunas leyes de composición interna definida en él es una estructura algebraica. Las estructuras algebraicas más importantes son: Estructura Ley interna Asociatividad Neutro Inverso Conmutatividad Magma Semigrupo Monoide Monoide abeliano Grupo Grupo abeliano Estructura (A,+,·) (A,+) (A,·) Semianillo Monoide abeliano Monoide Anillo Grupo abeliano Semigrupo Cuerpo Grupo abeliano Grupo abeliano • Módulo • Espacio vectorial Signos y símbolos En el álgebra se utilizan signos y símbolos -en general utilizados en la teoría de conjuntos- que constituyen ecuaciones, matrices, series, etc. Sus letras son llamadas variables, ya que se usa esa misma letra en otros problemas y su valor va variando. Aquí algunos ejemplos: Signos y Símbolos Expresión Uso + Además de expresar adición, también es usada para expresar operaciones binarias cók Expresan Términos constantes Primeras letras del Se utilizan para expresar cantidades conocidas abecedario a, b, c,... Últimas letras del abecedario Se utilizan para expresar incógnitas ...,x, y, z n Expresa cualquier número (1,2,3,4,...,n) Exponentes y subíndices Expresar cantidades de la misma especie, de diferente magnitud. [3]
  • 7. Álgebra 5 Simbología de Conjuntos Símbolo Descripción {} conjunto ∈ Es un elemento del conjunto o pertenece al conjunto. ∉ No es un elemento del conjunto o no pertenece al conjunto. ⎜ Tal que. n (C) Cardinalidad del conjunto C. U Conjunto Universo. Φ Conjunto Vacío. ⊆ Subconjunto de. ⊂ Subconjunto propio de. ⊄ No es subconjunto propio de. > Mayor que. < Menor que. ≥ Mayor o igual que. ≤ Menor o igual que. ∩ Intersección de conjuntos. ∪ Unión de Conjuntos. A Complemento del conjunto A. = Simbolo de igualdad. ≠ No es igual a. ... El conjunto continúa. ==> Entonces. ⇔ Si y sólo si. ∼ No (es falso que). ∧ Y ∨ O Lenguaje Algebraico [3]
  • 8. Álgebra 6 Lenguaje Algebraico Lenguaje Común Lenguaje Algebraico Un número cualquiera. m Un número cualquiera aumentado en siete. m+7 La diferencia de dos números cualesquiera. f-q El doble de un número excedido en cinco. 2x + 5 La división de un número entero entre su antecesor x/(x-1) La mitad de un número. d/2 El cuadrado de un número y^2 La semisuma de dos números (b+c)/2 Las dos terceras partes de un número disminuidos en cinco es igual a 12. 2/3 (x-5) = 12 Tres números naturales consecutivos. x, x + 1, x + 2. La parte mayor de 1200, si la menor es w 1200 - w El cuadrado de un número aumentado en siete. b^2 + 7 Las tres quintas partes de un número más la mitad de su consecutivo equivalen a tres. 3/5 p + 1/2 (p+1) = 3 El producto de un número positivo con su antecesor equivalen a 30. x(x-1) = 30 El cubo de un número más el triple del cuadrado de dicho número. x^3 + 3x^2 Referencias [1] " The Origins of Abstract Algebra (http:/ / www. math. hawaii. edu/ ~lee/ algebra/ history. html)". University of Hawaii Mathematics Department. [2] Álgebra Aurelio Baldor (2003) [3] Álgebra Arturo Aguilar (2009) Bibliografía • Aguliar, A., Bravo, F. V., Gallegos, H. A., Cerón, M., & Reyes, R. (2009). Álgebra. México, D. F.: Prentice Hall. • Baldor, A. (2007). Álgebra. México, D. F.: Grupo Editorial Patria. Enlaces externos • Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Álgebra. Commons • Wikiquote alberga frases célebres de o sobre Álgebra. Wikiquote • Wikcionario tiene definiciones para álgebra.Wikcionario • Wikiversidad alberga proyectos de aprendizaje sobre Álgebra.Wikiversidad • Videos de Algebra (http://www.videosdematematicas.com/web/videos/002 Algebra/000 Algebra.htm)
  • 9. Geometría 7 Geometría La geometría (del latín geometrĭa, que proviene del idioma griego γεωμετρία, geo tierra y metria medida), es una rama de la matemática que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras geométricas en el plano o el espacio, como son: puntos, rectas, planos, politopos (incluyendo paralelas, perpendiculares, curvas, superficies, polígonos, poliedros, etc.). Es la base teórica de la geometría descriptiva o del dibujo técnico. También da fundamento a instrumentos como el compás, el teodolito, el pantógrafo o el sistema de posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinación con el análisis matemático y sobre todo con las ecuaciones diferenciales). Sus orígenes se remontan a la solución de problemas concretos relativos a medidas. Tiene su aplicación práctica en física aplicada, mecánica, arquitectura, cartografía, astronomía, náutica, topografía, balística, etc. Y es útil en la preparación de diseños e incluso en la elaboración de artesanías. Alegoría de la Geometría. Historia La geometría es una de las ciencias más antiguas. Inicialmente constituida en un cuerpo de conocimientos prácticos en relación con las longitudes, áreas y volúmenes. En el Antiguo Egipto estaba muy desarrollada, según los textos de Heródoto, Estrabón y Diodoro Sículo. Euclides, en el siglo III a. C. configuró la geometría en forma axiomática, tratamiento que estableció una norma a seguir durante muchos siglos: la geometría euclidiana descrita en «Los Elementos». El estudio de la astronomía y la cartografía, tratando de determinar las posiciones de estrellas y planetas en la esfera celeste, sirvió como importante fuente de resolución de problemas geométricos durante más de un milenio. René Descartes desarrolló simultáneamente el álgebra y la geometría, marcando una nueva etapa, donde las figuras geométricas, tales como las curvas planas, podrían ser representadas analíticamente, es decir, con funciones y ecuaciones. La geometría se enriquece con el estudio de la estructura intrínseca de los entes geométricos que analizan Euler y Gauss, que condujo a la creación de la topología y la geometría diferencial. Axiomas, definiciones y teoremas La geometría se propone ir más allá de lo alcanzado por la intuición. Por ello, es necesario un método riguroso, sin errores; para conseguirlo se han utilizado históricamente los sistemas axiomáticos. El primer sistema axiomático lo establece Euclides, aunque era incompleto. David Hilbert propuso a principios del siglo XX otro sistema axiomático, éste ya completo. Como en todo sistema formal, las definiciones, no sólo pretenden describir las propiedades de los objetos, o sus relaciones. Cuando se axiomatiza algo, los objetos se convierten en entes abstractos ideales y sus relaciones se denominan modelos. Esto significa que las palabras "punto", "recta" y "plano" deben perder todo significado material. Cualquier conjunto de objetos que verifique las definiciones y los axiomas cumplirá también todos los teoremas de la geometría en cuestión, y sus relaciones serán virtualmente idénticas al del modelo tradicional.
  • 10. Geometría 8 Axiomas En geometría euclidiana, los axiomas y postulados son proposiciones que relacionan conceptos, definidos en función del punto, la recta y el plano. Euclides planteó cinco postulados y fue el quinto (el postulado de paralelismo) el que siglos después –cuando muchos geómetras lo cuestionaron al analizarlo– originará nuevas geometrías: la elíptica (geometría de Riemann) o la hiperbólica de Nikolái Lobachevski. En geometría analítica, los axiomas se definen en función de ecuaciones de puntos, basándose en el análisis matemático y el álgebra. Adquiere otro nuevo sentido hablar de puntos, rectas o planos. puede definir cualquier función, llámese recta, circunferencia, plano, etc. Tipos de geometría Entre los tipos de geometría más destacables se encuentran: • Geometría euclidiana • Geometría plana • Geometría del espacio • Geometría no euclidiana • Geometría algebraica • Geometría analítica • Geometría clásica • Geometría de dimensiones bajas • Geometría descriptiva • Geometría diferencial • Geometría de curvas y superficies • Geometría de Riemann • Geometría diferencial de curvas • Geometría diferencial de hipersuperficies • Geometría diferencial de superficies • Geometría diferencial de variedades • Geometría diferencial discreta • Geometría proyectiva Otros tipos de geometría • Geometría absoluta • Geometría afín • Geometría computacional • Geometría constructiva de sólidos • Geometría conforme • Geometría convexa • Geometría de incidencia • Geometría discreta • Geometría elíptica • Geometría esférica • Geometría finita • Geometría fractal • Geometría hiperbólica • Geometría molecular
  • 11. Geometría 9 • Geometría molecular angular • Geometría molecular bipiramidal pentagonal • Geometría molecular bipiramidal trigonal • Geometría molecular cuadrada plana • Geometría molecular de balancín • Geometría molecular en forma de T • Geometría molecular lineal • Geometría molecular octaédrica • Geometría molecular piramidal cuadrada • Geometría molecular piramidal pentagonal • Geometría molecular piramidal trigonal • Geometría molecular tetraédrica • Geometría molecular trigonal plana • Geometría ordenada • Geometría sagrada • Geometría sintética Enlaces externos • Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Geometría. Commons • Wikiversidad alberga proyectos de aprendizaje sobre Geometría.Wikiversidad • Wikiquote alberga frases célebres de o sobre Geometría. Wikiquote • Wikcionario tiene definiciones para geometría.Wikcionario
  • 12. Fuentes y contribuyentes del artículo 10 Fuentes y contribuyentes del artículo Álgebra  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=59814262  Contribuyentes: Acne12345, Adrruiz, Agguizar, Airunp, Akhram, AleMC, Aleposta, AlfonsoERomero, Alinero, Allforrous, Amadís, Anarbati, Andre Engels, Andreasmperu, Angel GN, Antonorsi, Antur, Arcibel, Ariel ulloa, Ascánder, Atalanta86, Açipni-Lovrij, Balderai, Banfield, Bcoto, BlackBeast, Boatbadly, Bucho, BuenaGente, CTS YY, Camilo, Cantero, Carlosvaldepeñas, Cheveri, Chocopija, Chumbi1233, Cobalttempest, Correogsk, Ctrl Z, Dangelin5, Daniel ASA, David0811, Davius, Diegusjaimes, Digigalos, Dodo, Dorieo, Dossier2, Draxtreme, Dreitmen, Edmenb, Eduardonajarro, Eduardosalg, Ejmeza, Elliniká, Emiduronte, Emijrp, Ernesto Alejandro Lòpez Alvarez, Erodrigufer, Escudero, Especiales, Esque13, Eufrosine, FCPB, Fabscr, Faelomx, FedericoMP, Ferdinand, Fmariluis, Foundling, FrancoGG, GNM, Gagax, Gaijin, Galandil, Gengiskanhg, GermanX, Ggenellina, Gmagno, Greek, Gusgus, HUB, Halcón, Halfdrag, Helmy oved, Hugo Mosh, Humberto, Igna, Ignacio Icke, Ignacioerrico, Ingenioso Hidalgo, Investigadoreswtt009, Isha, Izmir2, J.M.Domingo, J.delanoy, JMCC1, Jarisleif, Javierito92, Jcaraballo, Jerowiki, Jkbw, Joaquin Jimenez Godoy, Jorge 2701, Jorge c2010, JorgeGG, Jorgechp, Joseaperez, Joselarrucea, José Antonio Otero, Jugones55, Kathyalicona, Kismalac, Kojie, Kved, Lagalag, Lak-lukor, Laura Fiorucci, Lauranrg, Lcsrns, Lema, Leonpolanco, Lfgg2608, Llull, Lourdes Cardenal, Lucien leGrey, MARC912374, Mafanufuelfe, Magister Mathematicae, Mahadeva, Mansoncc, Mar del Sur, MarcoAurelio, Marvelshine, Masashi Kishi, Matdrodes, Mecamático, Mel 23, Moriel, Muro de Aguas, NARECASA, NaSz, Nachosan, Netito777, NicolasAlejandro, Nicop, Nsimean, Oquitzin azcatl, Pabloallo, Paintman, Pan con queso, PasabaPorAqui, Pececito, Pekeño humano, Pepito leches, Petruss, PhJ, Poco a poco, Pólux, Rayulian, Relleu, Rigenea, Rodrigoq, Romanovich, Romero Schmidtke, Rosarino, Rovnet, RoyFocker, Rubpe19, Ruy Pugliesi, Rαge, Sabbut, Saposabio, Savh, Sebrev, Shooke, Soulreaper, Spirit-Black-Wikipedista, SuperBraulio13, SuperJoe, Supernaturalist, Superzerocool, Tano4595, Technopat, Tirithel, Tista, Tomatejc, Tostadora, UA31, Unf, Valentin estevanez navarro, Vandal Crusher, Veon, Vic Fede, Vitamine, Vivero, Wewe, Wikisilki, Wilfredor, Yix, Yrithinnd, Zanaqo, Zeval, Érico Júnior Wouters, 768 ediciones anónimas Geometría  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=59843048  Contribuyentes: 1horozco, 213-98-205-182.uc.nombres.ttd.es, 3coma14, AFLastra, Abece, Adrruiz, Airunp, Alex Filth, Alfredobi, Alhen, Allforrous, Andreoliva, Angel GN, AntBiel, Antonorsi, Antur, Arcibel, Areftipu, Arkimedes, Armando-Martin, Arular, AstroF7, Açipni-Lovrij, BF14, Bachi 2805, Baiji, Balderai, Banfield, Bedwyr, Belascoaran mx, Belb, Beramendi, Bethan 182, Beto29, Brindys, Bucephala, Bucho, BuenaGente, Byron olea duran, CASF, Capo Di Corleone, Carmin, Cesarabad, Chespeluche, Chewie, Chriswarrior, ChuckNorrisTrollFace, Cinabrium, Cobalttempest, Cookie, Corrector1, DJ Nietzsche, Daimond, Dark Bane, David0811, Davius, Diegusjaimes, Digigalos, Dodo, Draxtreme, Ecemaml, Edslov, Edsonlaura, Eduardosalg, Edub, El Hoy, Elisardojm, Elliniká, Elsenyor, Emiduronte, Equi, Er Komandante, Erfil, Ernesto Bueno, Ernesto Graf, Farisori, Fedego, Felipe-nico, Filipo, Folkvanger, Fonsi80, Forgeby, Foundling, FrancoGG, Frandzi.rangel, GMSraykagesnake, Gafotas, Gaius iulius caesar, Galandil, Geoher95, Ginés90, Gizmo II, Greek, Grizzly Sigma, Guillelink, Götz, HUB, Halfdrag, Helmy oved, HiTe, Hidoy kukyo, Hosg, Humberto, Ialad, Igna, Ignacio Icke, Ingenioso Hidalgo, Isha, JMCC1, JMPerez, Jarisleif, Jarke, Javierito92, Jcaraballo, Jkbw, Jmvkrecords, Jomra, Jorge c2010, JorgeGG, Joseaperez, Josejames44, Josell2, Jsanchezes, Jtico, Juan Marquez, Juan saltillo pedrero, Julie, Katze Canciola, Kiekvogel, Kokoo, Lagalag, Larocka, Latiniensis, Lawrence McWallen, Lcarp92, Leonpolanco, Lew XXI, Lobo, MARC912374, Madalberta, Magister Mathematicae, Maldoror, Maleiva, Marsal20, Matdrodes, Maveric149, Maxsienn, McOil, Mecamático, Mel 23, MercurioMT, MiguelAngelCaballero, Mindeye, Mister, Moriel, Mortadelo2005, Máximo de Montemar, Netito777, Nicop, Nioger, Nixón, OLM, PACO, Palica, Pedro Lozano Barroso, Petruss, Pgimeno, Pilaf, Platonides, Poco a poco, Prietoquilmes, Pólux, Queninosta, Rastrojo, Raulshc, Rigenea, Rondador, Rovnet, Rsg, Rubpe19, Ruy Pugliesi, Sanbec, Satanás va de retro, Savh, Sebaspapi, Siabef, Simon perez, Skadia, Srruly, SuperBraulio13, Superzerocool, Taichi, Tano4595, Technopat, TheRandyAlex, Tirithel, Tomatejc, UA31, UDCONGO, Ulises Sarry, Unnio, Uruk, Valentin estevanez navarro, VanKleinen, Vitamine, Vivero, Vyk2rr, Wewe, Wikisilki, Wilfredor, Yix, Youssefsan, Yufradt, Zetaru, Zulucho, conversion script, 877 ediciones anónimas
  • 13. Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 11 Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes Archivo:Image-Al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala.jpg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Image-Al-Kitāb_al-muḫtaṣar_fī_ḥisāb_al-ğabr_wa-l-muqābala.jpg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: Mo7amedsalim, Polarlys, Spm, ZxxZxxZ, 9 ediciones anónimas Archivo:Yes check.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Yes_check.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: SVG by Gregory Maxwell (modified by WarX) Archivo:Commons-logo.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Commons-logo.svg  Licencia: logo  Contribuyentes: SVG version was created by User:Grunt and cleaned up by 3247, based on the earlier PNG version, created by Reidab. Archivo:Spanish Wikiquote.SVG  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Spanish_Wikiquote.SVG  Licencia: logo  Contribuyentes: James.mcd.nz Archivo:Wiktionary-logo-es.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Wiktionary-logo-es.png  Licencia: logo  Contribuyentes: es:Usuario:Pybalo Archivo:Wikiversity-logo-Snorky.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Wikiversity-logo-Snorky.svg  Licencia: desconocido  Contribuyentes: - Archivo:Geometria (Geometry).jpg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Geometria_(Geometry).jpg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: Scan by Nick Michael
  • 14. Licencia 12 Licencia Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported //creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/