SISTEMAS DE ECUACIONES<br />CYNDY ARGOTE SIERRA<br />MÉTODOS NUMERICOS<br />UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER<br />
METODOS GRAFICOS<br />REGLA DE CRAMER<br />	Para poder aplicar la regla de Cramer es buena idea se debe tener absolutament...
PASOS A SEGUIR…<br />Hallar la matriz ampliada asociada al sistema de ecuaciones, esto es: que la primera columna esté for...
Ejemplo<br />Sea el sistema de ecuaciones lineales formado por dos ecuaciones con dos incógnitas, encontrar los valores de...
El ultimo paso consiste en calcular las incógnitas<br />Al llegar a este punto hemos hallado nuestras incógnitas  de maner...
MÉTODOS DE ELIMINACIÓN<br />
MÉTODO DE GAUSS SIMPLE<br />Este método es también conocido como método de eliminación simple de Gauss, es una de las prim...
Sustitución hacia atrás.</li></li></ul><li>Ejemplo:<br />Aplicando el método de eliminación de Gauss, resuelva el sistema ...
Resto las ecuaciones 1 y 2<br />Obteniendo como resultado<br />Ahora procedemos  a realizar el mismo procedimiento desarro...
El resultado obtenido se le resta a la ecuación 3.<br />Obteniendo:<br />Ahora entra en juego la segunda fase, sustitución...
Reemplazamos el valor de X3 en la ecuación 2, hallando así X2<br />De igual forma en la primera ecuación para hallar el va...
METODOS ESPECIALES<br />
Este método surge como una simplificación de la factorización LU  sobre una matriz tridiagonal.<br />	Para este método  en...
Pasos a seguir<br />Identificar los vectores como se muestra a continuación<br />	a = Banda que se encuentra debajo de la ...
Ejemplo<br />Resolver el siguiente sistema por el método de Thomas.<br />                                                 ...
Para K=2<br />
   Para K=3<br />
Para K=4<br />
Ahora L*d=r<br />                                                                      *           =<br />Mediante una sus...
Finalmente U * x = d<br />                                                            *           =<br />Mediante una situ...
BIBLIOGRAFIA<br />
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Sistemas de ecuaciones

  1. 1. SISTEMAS DE ECUACIONES<br />CYNDY ARGOTE SIERRA<br />MÉTODOS NUMERICOS<br />UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER<br />
  2. 2.
  3. 3. METODOS GRAFICOS<br />REGLA DE CRAMER<br /> Para poder aplicar la regla de Cramer es buena idea se debe tener absolutamente claro como se hallan determinantes.<br /> La regla de Cramer es un proceso que ayuda a resolver sistemas de ecuaciones lineales que tengan la misma cantidad de ecuaciones e incógnitas, es un método que aplica los determinantes.<br />
  4. 4. PASOS A SEGUIR…<br />Hallar la matriz ampliada asociada al sistema de ecuaciones, esto es: que la primera columna esté formada por las entradas de los coeficientes de la primera incógnita de las ecuaciones; que la segunda columna la formen las variables de la segunda incógnita, y así hasta llegar a la ultima columna que estará constituida por las entradas de los términos independientes de las ecuaciones.<br />Calcular el determinante de la matriz dada.<br />Aplicar la regla de Cramer, que consiste en:<br />Ir sustituyendo la primera columna del determinante de la matriz, por los términos independientes<br />Dividir el resultado de esté determinante entre el determinante de la matriz para hallar el valor de la primera incógnita.<br />Continuar sustituyendo los términos independientes en las distintas columnas para hallar el resto de las incógnitas.<br />
  5. 5. Ejemplo<br />Sea el sistema de ecuaciones lineales formado por dos ecuaciones con dos incógnitas, encontrar los valores de X e Y.<br />3X – 2Y = 1<br /> x + 5Y = 3<br /> SOLUCIÓN<br />Hallando la matriz ampliada de A<br /> X Y b<br />Calcular el determinante de A<br />
  6. 6. El ultimo paso consiste en calcular las incógnitas<br />Al llegar a este punto hemos hallado nuestras incógnitas de manera sencilla y rápida, también aplica para sistemas de mayor banda.<br />
  7. 7. MÉTODOS DE ELIMINACIÓN<br />
  8. 8. MÉTODO DE GAUSS SIMPLE<br />Este método es también conocido como método de eliminación simple de Gauss, es una de las primeras técnicas empleadas por actuarios, mate máticos e ingenieros para la resolución de sistemas de ecuaciones. El método comprende dos fases:<br /><ul><li>Eliminación de las incógnitas hacia adelante: tiene el objetivo de reducir el sistema original a una forma triangular superior.
  9. 9. Sustitución hacia atrás.</li></li></ul><li>Ejemplo:<br />Aplicando el método de eliminación de Gauss, resuelva el sistema original a una forma triangular superior.<br />SOLUCIÓN<br />Para llevar igualar las ecuaciones 1 y 2 y eliminar una de sus incógnitas procedemos a multiplicar la primera ecuación por 0,1/3<br />1<br />2<br />3<br />
  10. 10. Resto las ecuaciones 1 y 2<br />Obteniendo como resultado<br />Ahora procedemos a realizar el mismo procedimiento desarrollado anteriormente entre las ecuaciones 1 y 2 pero ahora entre las ecuaciones 1 y 3, obteniendo como resultado<br />Una vez hecho lo anterior se procede a eliminar X2 de la ecuación 3 multiplicando la ecuación 2 por -0,19/7,0033.<br />1<br />2<br />2<br />3<br />
  11. 11. El resultado obtenido se le resta a la ecuación 3.<br />Obteniendo:<br />Ahora entra en juego la segunda fase, sustitución hacia atrás.<br />Cuando se tienen estos valores procedemos a hallar las demás incógnitas.<br />
  12. 12. Reemplazamos el valor de X3 en la ecuación 2, hallando así X2<br />De igual forma en la primera ecuación para hallar el valor de X1<br />
  13. 13. METODOS ESPECIALES<br />
  14. 14. Este método surge como una simplificación de la factorización LU sobre una matriz tridiagonal.<br /> Para este método encontramos cuatro ecuaciones fundamentales.<br /> * U11= b1<br /> * Uk,k= bk-Lk,k-1*Uk-1,k<br /> * Uk-1,k= Ck-1<br /> * Lk,k-1= a <br /> Uk-1,k-1<br />METODO DE THOMAS<br />
  15. 15. Pasos a seguir<br />Identificar los vectores como se muestra a continuación<br /> a = Banda que se encuentra debajo de la diagonal principal.<br /> b = Diagonal principal.<br /> c = Banda que se encuentra encima de la diagonal principal.<br /> r=Valores a los que esta igualada la ecuación.<br />Aplico las 4 ecuaciones fundamentales de Thomas para un K que varia, por ejemplo para un sistema de ecuaciones de 4*4 K varia desde 2 hasta 4.<br />Cuando hemos hallado los valores de L y U, y se realiza la siguiente operación L*d=r . (siendo r un vector de incógnitas).Mediante esta operación y una sustitución progresiva hallo los valores de d.<br />Finalmente realizo la operación U*X=d (X vector incógnitas). Mediante una sustitución regresiva hallo los valores de X.<br />
  16. 16. Ejemplo<br />Resolver el siguiente sistema por el método de Thomas.<br /> =<br />Identificar vectores<br />Aplicar las 4 ecuaciones fundamentales de Thomas<br /> Para K=1<br />
  17. 17. Para K=2<br />
  18. 18. Para K=3<br />
  19. 19. Para K=4<br />
  20. 20. Ahora L*d=r<br /> * =<br />Mediante una sustitución progresiva hallo los valores de d<br />
  21. 21. Finalmente U * x = d<br /> * =<br />Mediante una situación regresiva hallo valores de x<br />
  22. 22. BIBLIOGRAFIA<br />
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