Exposicion cap 7

DIFERENCIACIÓN E INTEGRACIÓN NUMERICA
MÉTODOS NUMERICOS EN INGENIERIA
JULIAN FRANCISCO GUTIERREZ
CYNDY ARGOTE SIERRA

Diferenciación numérica

SERIES DE TAYLOR
Las series de Taylor proveen un medio para predecir el valor de una función en un punto, en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto. Estas se basan en ir haciendo operaciones según una ecuación general y mientras más operaciones tenga la serie másexacto será el resultado que se esta buscando.
Dicha ecuación es la siguiente:
Donde es el error de truncamiento.

SERIES DE TAYLOR
PROGRESIVA
Lo que se trata de hacer mediante esta Serie es encontrar un polinomio que se aproxime a la función real y que permita predecir el valor de la función en un punto cualquiera x, en términos de la propia función y de sus derivadas en el punto xi.

Como se obtiene la primera derivada?
Ecuación general:
Truncando la ecuación en estos puntos y despejando la primera derivada tenemos:
De una manera similar se obtienen la segunda y tercera derivada.

HALLANDO LA SEGUNDA DERIVADA
Para hallar la segunda derivada se sigue el mismo procedimiento realizado en el caso anterior, para este caso se debe tener presente que la primera derivada se trunca en la tercera derivada al igual que la segunda como se puede observar.

Para la primera y segunda derivada se tiene:
Se debe tener claro que la segunda derivada no debe quedar en función de la primera derivada, por lo que se recurre a emplear el valor que hallamos anteriormente para que este quede en función de sus imágenes en determinados puntos.
Se tiene que 2f’(xi)*h es igual a:

Con este valor se procede a hallar la segunda derivada empleando sustitución en la ecuación general.
Simplificando términos semejantes se tiene para la segunda derivada:

HALLANDO LA TERCERA DERIVADA
Al igual que en el caso anterior se procede a hallar la tercera derivada, constatándose que esta este en función de determinadas imágenes, para ello se halla la primera y la segunda derivada , pero se trunca en la cuarta derivada obteniendo:

Ecuación general para la tercera derivada:
Reemplazando la primera y segunda derivada se tiene que:
De la misma manera se pueden obtener las demás derivadas como son la regresiva, progresiva y centrada par cada derivada.

EMPLEANDO EL TRIANGULO DE PASCAL
De una manera mas sencilla se pueden obtener estas mismas derivadas, para ello se recurre al triangulo de pascal.
Para emplearlo de la manera correcta se alternan signos empezando con el signo mas y siguiendo con el menos como se ilustra a continuación

PROGRESIVA REGRESIVA
Cuales valores obtendríamos para la y derivada?

EJEMPLO
Hallar la primera, segunda y tercera derivada de la siguiente función por los métodos regresivos progresivos y centrada.
Con un paso de 0,001 halle las 3 primeras iteraciones.
SOLUCION
Primera derivada Progresiva, Regresiva y Centrada

Segunda derivada Progresiva, Regresiva y Centrada
Finalmente se halla la tercera derivada Progresiva, Regresiva y Centrada

Integración numérica

INTEGRACION NUMERICA
La derivada sirve como el principal vehículo para la diferenciación, representa la razón de cambio de una variable dependiente con respecto a una variable independiente.
El proceso inverso a la diferenciación es la integración. Integrar significa juntar partes de un todo. Matemáticamente se representa por:

Formas que debe tener
Está debe ser una función continua simple, como un polinomio, una función exponencial o una función trigonométrica.
Una función continua complicada que es difícil o imposible de integrar directamente.
Una función tabulada donde los valores de x y f(x) están dados como un conjunto discreto de puntos. "caso en el que se tienen datos experimentales o de campo "

Xi
Xi-1
REGLA DEL TRAPECIO

REGLA DEL TRAPECIO
La regla del trapecio es la primera de las formulas cerradas de integración de Newton Cotes. Corresponde al caso donde el polinomio de la ecuación es de primer grado.
Donde :
Obteniendo:

Ejemplo
Realice la integración numérica para la siguiente ecuación por el método de trapecio, evaluándola en el intervalo [0 ; 0,8]
SOLUCION
El valor de h se halla con el intervalo inicial
El Error con la siguiente ecuación

Ejemplo
Se obtiene el valor de la integral en la 10 iteración con un valor de 1,62432256

Xi+1
Xi
Xi-1
METODO DE SIMPSON 1/3

EJEMPLO
Realice la integración numérica para la siguiente ecuación por el método de Simpson 1/3, evalué el intervalo [0 ; 0,8]
SOLUCION

ejemplo

Xi+1
Xi
Xi-1
Xi+2
METODO DE SIMPSON 3/8

EJEMPLO
Realice la integración numérica para la siguiente ecuación por el método de trapecio, evaluándola en el intervalo [0 ; 0,8]
SOLUCION

ejemplo

BIBLIOGRAFIA
CHAPRA, Steven C. y CANALE, Raymond P.: Métodos Numéricos para Ingenieros. McGraw Hill 2002.
ENLACES
http://www.scribd.com/doc/17731394/Metodos-Numericos
http://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/moodle/mod/resource/view.php?inpopup=true&id=24480

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