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Sistema algébrico computacional
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Sistema algébrico computacional

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  • 1. Sistemas reticulados algébricos computacionalSistema algébrico computacional (computer algebra system) programa que facilita amatemática simbólica.Álgebra computacional ou computação algébrica é o nome datecnologia para a manipulação de fórmulas matemáticas por computadores digitais.A Álgebra computacional, também conhecida pelo termo computação simbólica pode serdefinida ainda como uma computação com símbolos representando objetos matemáticos. 1. Sistema algébrico linearSão inúmeros problemas de engenharia queEx: 2. Sistema algébrico simbólicoUm sistema de computação algébrica e simbólica CAS (Computer Algebra System) é umsoftware com a capacidade de manipular em forma simbólica expressões matemáticas erealizar cálculos numéricos. O principal objetivo de um CAS consiste em realizar em formaautomática a manipulação ou remanejamento algébrico de equações o qual pode ser umatarefa difícil e tediosa quando feita manualmente. A diferença entre um CAS e uma calculadorapode ser entendida destacando a major qualidade do CAS: o tratamento simbólico deexpressões matemáticas.A especificidade e a capacidade destes sistemas varia significativamente quando são utilizadosdiferentes softwares, embora o principal propósito seja o mesmo: a manipulação simbólica.Estes softwares disponibilizam, em geral, outras ferramentas computacionais como geração degráficos, programação, etc. Entre dos softwares mais populares merecem ser mencionados:Maxima, Maple, Mathematica, Matlab e MathCAD. Os CAS podem ser utilizados parasimplificar funções racionais, fatorar polinômios, achar soluções de equações, integrar ediferenciar em forma simbólica.
  • 2. 3. Álgebra BooleanaÁlgebra Booleana é definida como sendo um conjunto com duas operações binárias(join) e (meet), uma operação unária ’ e elementos distintos 0 e 1 satisfazendo asseguintes propriedades:I - a) x y = y xPropriedade Comutativab) x y = y xII - a) (x y) z = x (y z)Propriedade Associativab) (x y) z = x (y z)III - a) x (y z) = (x y) (x z)Propriedade Distributivab) x (y z) = (x y) (x z)IV - a) 0 x = xPropriedade Identidadeb) x 1 = xV - a) x x’ = 1b) x x’ = 0VI - a) x x = xb) x x = xVII - a) x 1 = 1Propriedade Identidadeb) x 0 = 0VIII - a) x (x y) = xPropriedade de Absorçãob) x (x y) = xIX - a) (x y)’ = x’ y’Propriedade DeMorganb) (x y)’ = x’ y’As propriedades ( I ) até (V) já foram provadas anteriormente.
  • 3. Teorema 1As propriedades de (VI) a (VIII) prosseguem da álgebra Booleana.Provando as propriedades citadas no teorema 1:VI - a) x x = x x x = (x x) 1 propriedade IV (b) = (x x) (x x’) propriedade V (a) =x (x x’) propriedade III (a) =x 0 propriedade V (b) =x propriedade IV (a)b) x x = x x x = (x x) 0 propriedade IV (a) = (x x) (x x’) propriedade V (b) =x (x x’) propriedade III (b) =x 1 propriedade V (a) =x propriedade IV (b)VII - a) x 1=1 x 1 = x (x x’) propriedade V (a) = (x x) x’ propriedade II (a) = x x’ propriedade VI (a) =1 propriedade V (a)b) x 0=0 x 0 = x (x x’) propriedade V (b) = (x x) x’ propriedade II (b)
  • 4. = x x’ propriedade VI (b) =0 propriedade V (b)VII - a) x (x y) = x x (x y) = (x 1) (x y) Propriedade IV (b) =x (1 y) Propriedade III (b) =x 1 propriedade VII (a) =x propriedade IV (b)b) x (x y) = x x (x y) = (x 0) (x y) propriedade IV (a) =x (0 y) propriedade III (a) =x 0 propriedade VII (b) =x propriedade IV (a)Teorema 2Reticulado Booleano é Álgebra Booleana e Álgebra Booleana é reticulado Booleano.Para provar o teorema 2, vamos partir das propriedades da Álgebra Booleana citadasacima.As propriedades ( I ), (II) e (VIII) são propriedades de reticulados algébricos e, portanto,mostram que a Álgebra Booleana é um reticulado algébrico. Mais especificamente, aspropriedades (III) até (V) mostram que a Álgebra Booleana é distributiva ecomplementar, logo, a Álgebra Booleana é um reticulado Booleano.Já a propriedade (IX), que também é uma das propriedades do reticulado Booleano,satisfaz a Álgebra Booleana. Portanto, também está provado que umreticulado Booleanoé uma Álgebra Booleana.Para explicar o motivo pela qual às vezes se chama reticulado Booleano ao invés deÁlgebra Booleana (e vice-versa):
  • 5. Quando a ênfase fundamental é a ordem parcial, chamamos RETICULADO BOOLEANO; Quando a ênfase são operações algébricas ( , , ’ ) , chamamos ÁLGEBRA BOOLEANA.Mas, vale ressaltar que reticulado Booleano é Álgebra Booleana e vice-versa (teorema2).Teorema 3Seja <A, , , ’ > uma álgebra Booleana finita e seja S = {a1, a2, ..., an} o conjunto deátomos de A. Todo elemento x pertencente a A pode ser escrito como join de átomosdistintos de A. x = ai1 ai2 ... ain( com ai1, ai2, ..., ain x )Se x = 0 ou se x é uma átomo, o teorema 3 já está concluído. Por outro lado, se existeum elemento k em A tal que 0 k x, então: x = x Ú k = (x Ú k) Ù (k Ú k) = (x Ù k) Ú kAlém disso, nós temos que x k x porque, de outro modo, x k = x, k x = x kk e k k = k, o que é impossível!Então, x é join de 2 elementos menores k e x k. Se k e x k são átomos, o teorema 3já está provado. Caso contrário, podemos decompor ambos em joins de elementosmenores, e assim sucessivamente. Como A é finito, este processo eventualmente pararáe nós teremos escrito x em join de átomos distintos. Portanto, o teorema 3 está provado.Teorema 4Se A é uma álgebra Booleana finita com o conjunto de átomos W={a1, a2,..., an} e se Bé uma álgebra Booleana com o conjunto de átomos Z = {b1, b2, ..., bn } então, existeuma correspondência bijetiva entre A e B onde ø(ai) = bi, para qualquer i.Segue as propriedades:(1) ø (x y) = ø(x) ø(y)(2) ø (x y) = ø(x) ø(y)(3) ø(x’) = ø(x)’(4) a x <==> ø (a) ø (x)qualquer que sejam x e y pertencentes a A.Todas as álgebras Booleanas que satisfazem essas quatro propriedades são ditasÁLGEBRAS BOOLEANAS ISOMÓRFICAS.

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