Bab03 konsep probalitas

690 views
640 views

Published on

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
690
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
3
Actions
Shares
0
Downloads
43
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Bab03 konsep probalitas

  1. 1. Tujuan Pembelajaran• Mendefinisikan terminologi-terminologi penting dalam probabilitas dan menjelaskan bagaimana probabilitas kejadian sederhana ditentukan• Memahami dan menjelaskan konsep-konsep mengenai kejadian-kejadian bersyarat, bebas dan mutually exclusive• Menggunakan dengan benar dan tepat aturan perkalian dan penjumlahan dalam melakukan perhitungan probabilitas• Memahami dan menggunakan analisis kombinatorial untuk kejadian kompleks: permutasi dan kombinasi
  2. 2. AGENDA• Pendahuluan• Permutasi dan Kombinasi• Konsep Probabilitas
  3. 3. 1. Pendahuluan• Probabilitas – intepretasi keluaran peluang yang terjadi dalam suatu percobaan – Tingkat kepastian dari munculnya hasil percobaan statistik – Dilambangkan dengan P• Konsep probabilitas dari permainan yang dilakukan pengamatan untuk diperoleh fakta (empiris) kemudian diformulakan kedalam konsep dan dilakukan pengujian• Matematika permutasi dan kombinasi banyak digunakan
  4. 4. 2. Permutasi dan Kombinasi• Faktorial n! = n(n-1)(n-2)…3.2.1 0! = 1 dan 1! = 1• Permutasi susunan yang dibentuk dari anggota suatu himpunan dengan mengambil seluruh atau sebagian anggota himpunan dan memberi arti pada urutan anggota dari susunan n! nP = r (n − r) !
  5. 5. 2. Permutasi dan Kombinasi• Permutasi dari sebagian anggota yang sama. Banyaknya permutasi yang berlainan dari n sampel bila n1 berjenis I, n2 berjenis II, …, nk berjenis k  n  n!  n =  1 n2  nk  n1!n2 ! nk ! 
  6. 6. 2. Permutasi dan Kombinasi (Con’t)• Contoh Himpunan {a,b,c} diambil 3 anggota, diperoleh susunan: abc; acb; bac; bca; cab; cba 3! 3P = =6 3 ( 3 − 3) ! diambil 2 anggota, diperoleh susunan: ab; ba; bc; cb; ac; ca 3! 3P = =6 2 ( 3 − 2) !
  7. 7. 2. Permutasi dan Kombinasi (Con’t)• Kombinasi susunan yang dibentuk dari anggota suatu himpunan dengan mengambil seluruh atau sebagian anggota himpunan dan tanpa memberi arti pada urutan anggota dari susunan n n! n Cr =   =  r  r !( n − r ) !   Contoh: himpunan {a,b,c} diambil 2 anggota, diperoleh susunan: ab; bc; ca {Permutasi ab = ba; bc = cb; ca = ac}
  8. 8. 3. Konsep Probabilitas• Derajat/tingkat kepastian dari munculnya hasil percobaan statistik disebut probabilitas/peluang, P• Bila kejadian E terjadi dalam m cara dari seluruh n cara yang mungkin terjadi dan mempunyai kesempatan yang sama untuk muncul m P( E ) = n• Jika kejadian E terjadi sebanyak f kali dari seluruh pengamatan sebanyak n, dimana n mendekati tak berhingga, maka probabilitas kejadian E f P( E ) = lim n →∞ n
  9. 9. 3. Konsep Probabilitas• Definisi Klasik – Jika sebuah peristiwa A dapat terjadi dengan fA cara dari sejumlah total N cara yang mutually exclusive dan memiliki kesempatan sama untuk terjadi, maka probabilitas terjadinya peristiwa A dinotasikan dengan P(A) dan didefinisikan sebagai: fA P ( A) = N – Sedangkan probabilitas tidak terjadinya suatu peristiwa A atau komplemen A (sering disebut kegagalan A) dinyatakan sebagai: % N − fA f P ( A ) = P ( A) = P (~ A) = = 1 − A = 1 − P ( A) N N
  10. 10. 3. Konsep Probabilitas• Definisi Frekuensi Relatif – Seandainya pada sebuah eksperimen yang dilakukan sebanyak N kali dan kejadian A terjadi sebanyak fA kali, maka jika eksperimen tersebut dilakukan tak terhingga kali banyaknya (N mendekati tak hingga), nilai limit dari frekuensi relatif fA/N didefinisikan sebagai probabilitas kejadian A atau P(A). fA P ( A) = lim N →∞ N
  11. 11. 3. Konsep Probabilitas• Definisi Subyektif (Intuitif) – Dalam hal ini, probabilitas P(A) dari terjadinya peristiwa A adalah sebuah ukuran dari “derajat keyakinan” yang dimiliki seseorang terhadap terjadinya peristiwa A. Definisi ini mungkin merupakan definisi yang paling luas digunakan dan diperlukan jika sulit diketahui besarnya ruang sampel maupun jumlah event yang dikaji maupun jika sulit dilakukan pengambilan sampel (sampling) pada populasinya.
  12. 12. 3. Konsep Probabilitas– Contoh: Suatu strategi perang memilih salah satu di antara dua alternatif yang masing-masing memberikan akibat berbeda, yaitu menjatuhkan bom atau tidak menjatuhkan bom ke daerah musuh. Karena masing-masing alternatif itu tidak bisa diuji coba secara eksperimen untuk mengetahui bagaimana musuh akan memberikan reaksi, maka kita harus percaya pada “penilaian dari ahli (expert judgement)” untuk menentukan probabilitas dari akibat yang akan muncul. Situasi yang sama terjadi pula misalnya dalam meramalkan siapa yang akan menjuarai suatu turnamen sepakbola. Dalam hal ini, interpretasi klasik dan frekuensi dari probabilitas tidak akan banyak gunanya, dan suatu penilaian yang subyektif dari pengamat sepak bola yang handal lebih diperlukan.
  13. 13. 3. Konsep Probabilitas• Himpunan semua hasil yang mungkin terjadi pada suatu percobaan statistik disebut ruang sampel,S; anggota dari S disebut sampel – Pada pelemparan mata uang S={m,b} – Pada pelemparan dadu S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} – Untuk ruang sampel yang besar dinyatakan dengan pernyataan atau aturan• Himpunan dari hasil yang muncul pada suatu percobaan statistik disebut kejadian (event), A; Anggota dari A disebut titik sampel
  14. 14. 3. Konsep Probabilitas• Diagram Venn S A AKonsep Probabilitas Teori Himpunan- Ruang sampel, S - Himpunan semesta S- Kejadian, A - Himpunan bagian A- Titik sampel - Anggota himpunan
  15. 15. 3. Konsep Probabilitas• Bila kejadian A terjadi dalam m cara pada ruang sampel S yang terjadi dalam n cara, maka probabilitas kejadian A adalah n( A) m P ( A) = = n( S ) n• Sifat probabilitas kejadian A – 0 < P(A) < 1 – Bila A = 0, maka P(A) = 0 – Bila A = S, maka P(A) = 1
  16. 16. 3. Konsep Probabilitas• A ∩ B = daerah 1 dan 4• B ∩ C = daerah 1 dan 3 4 A 5 6 B• A ∩ C = daerah 1 dan 2 2 1 3• A ∪ B = daerah 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 7• B ∪ C = daerah 1, 2, 3, 4, 6, dan 7 C S• A ∪ C = daerah 1, 2, 3, 4, 5, dan 7•A ∩ B ∩ C = daerah 1• B ∩ A = daerah 2 dan 5• ( A ∪ B) ∩ C = daerah 4, 5, dan 6
  17. 17. 3. Konsep Probabilitas• Aksioma teori himpunan
  18. 18. 3. Konsep Probabilitas• Probabilitas A ∪ B dan A ∩ B A A B A B A A∪ B A∩ B A P( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B )
  19. 19. 3. Konsep Probabilitas• De-Morgan Law A∪ B = A∩ B ; A∩ B = A∪ B A B A B A B A B A∪ B A∪ B A∩ B
  20. 20. 3. Konsep Probabilitas• Dua Kejadian Mutually Exclusive (ME) Dua kejadian ME terjadi bila A dan B dua kejadian sembarang pada S dan berlaku A ∩ B = 0. A & B saling meniadakan; terjadinya A akan mencegah terjadinya B, dan sebaliknya. A B P( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) A ∩B =φ
  21. 21. 3. Konsep Probabilitas• Dua Kejadian Saling Bebas Dikatakan saling bebas jika kejadian A tidak mempengaruhi kejadian B dan sebaliknya kejadian B tidak mempengaruhi kejadian A P( A ∩ B ) = P( A) ⋅ P( B)
  22. 22. 3. Konsep Probabilitas• Axioms of Probability• For any event A, we assign a number P(A), called the probability of the event A. This number satisfies the following three conditions that act the axioms of probability. (i) P ( A) ≥ 0 (Probability is a nonnegative number) (ii) P (Ω) = 1 (Probability of the whole set is unity) (iii) If A ∩ B = φ , then P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ).• (Note that (iii) states that if A and B are mutually exclusive (M.E.) events, the probability of their union is the sum of their probabilities.)
  23. 23. The following conclusions follow from these axioms:a. Since A ∪ A = S , we have using (ii) P( A ∪ A) = P (Ω =1.) But A ∩A ∈φ , and using (iii), P( A ∪ A) = P ( A) + P( A) = 1 or P( A) = 1 − P ( A). (1-10)b. Similarly, for any A, A ∩{ φ} = { φ} . Hence it follows that P ( A ∪{ φ}) = P ( A) + P (φ) . But A ∪{ φ} = A, and thus P{ φ} = 0. (1-11)c. Suppose A and B are not mutually exclusive (M.E.)? How does one compute P ( A ∪B ) = ? PILLAI
  24. 24. To compute the above probability, we should re-express A ∪B in terms of M.E. sets so that we can make use ofthe probability axioms. From Fig.1.4 we have A ∪B = A ∪ AB, (1-12) A ABwhere A and AB are clearly M.E. events. A ∪BThus using axiom (1-9-iii) Fig.1.4 P ( A ∪B ) = P ( A ∪ AB ) = P ( A) + P ( AB ). (1-13)To compute P( AB ), we can express B as B = B ∩ S = B ∩ ( A ∪ A) = ( B ∩ A) ∪ ( B ∩ A) = BA ∪ B A (1-14)Thus P ( B ) = P ( BA) + P ( B A), (1-15)since BA = AB and B A = AB are M.E. events. PILLAI
  25. 25. From (1-15), P ( AB ) = P ( B ) − P ( AB ) (1-16)and using (1-16) in (1-13) P ( A ∪ B ) = P( A) + P ( B ) − P ( AB ). (1-17) PILLAI
  26. 26. 3. Konsep Probabilitas• Probabilitas Bersyarat probabilitas terjadinya kejadian A bila kejadian B telah terjadi P( A ∩ B) P( A B ) = atau P ( A ∩ B ) = P ( A B ) ⋅ P ( B ) P( B)• Untuk dua kejadian saling bebas P ( A B ) = P( A) dan P( B A) = P ( B)
  27. 27. Properties of Conditional Probability:a. If B ⊂ A, AB = B, and P ( AB ) P ( B ) P( A | B) = = =1 (1-36) P( B) P( B)since if B ⊂ A, then occurrence of B implies automaticoccurrence of the event A. As an example, but A = {outcome is even}, B ={outcome is 2},in a dice tossing experiment. Then B ⊂ A, and P( A | B ) = 1.b. If A ⊂ B, AB = A, and P ( AB ) P ( A) P( A | B ) = = > P ( A). (1-37) P( B ) P( B) PILLAI
  28. 28. We have P ( AB ) ≥ 0(i) P( A | B ) = ≥ 0, (1-32) P( B ) > 0(ii) P (ΩB ) P ( B ) since S B = B. P( S | B) = = = 1, (1-33) P( B) P( B)(iii) Suppose A ∩C = 0. Then P (( A ∪ C ) ∩ B ) P ( AB ∪ CB ) (1-34) P( A ∪ C | B) = = . P( B) P( B )But AB ∩ AC = φ , hence P( AB ∪ CB ) = P( AB ) + P(CB ). P ( AB ) P (CB ) P( A ∪ C | B) = + = P ( A | B ) + P (C | B ), (1-35) P( B) P( B )satisfying all probability axioms in (1-9). Thus (1-31)defines a legitimate probability measure. PILLAI
  29. 29. (In a dice experiment, A = {outcome is 2}, B ={outcome is even},so that A ⊂ B. The statement that B has occurred (outcomeis even) makes the odds for “outcome is 2” greater thanwithout that information).c. We can use the conditional probability to express theprobability of a complicated event in terms of “simpler”related events.Let A1 , A2 ,, An are pair wise disjoint and their union is Ω.Thus Ai Aj = φ , and n (1-38)  Ai =Ω . i=1Thus B = B ( A1 ∪ A2 ∪ ∪ An ) = BA1 ∪ BA2 ∪ ∪ BAn . (1-39) PILLAI
  30. 30. But Ai ∩ Aj = φ ⇒ BAi ∩ BAj = φ , so that from (1-39) n n P ( B ) = ∑ ( BAi ) = ∑ ( B | Ai ) P ( Ai ). P P (1-40) i=1 i=1With the notion of conditional probability, next weintroduce the notion of “independence” of events.Independence: A and B are said to be independent events,if P ( AB ) = P ( A) ⋅ P ( B ). (1-41)Notice that the above definition is a probabilistic statement,not a set theoretic notion such as mutually exclusiveness. PILLAI
  31. 31. Suppose A and B are independent, then P ( AB ) P ( A) P ( B ) P( A | B) = = = P ( A). (1-42) P( B ) P( B )Thus if A and B are independent, the event that B hasoccurred does not shed any more light into the event A. Itmakes no difference to A whether B has occurred or not.An example will clarify the situation:Example 1.2: A box contains 6 white and 4 black balls.Remove two balls at random without replacement. Whatis the probability that the first one is white and the secondone is black?Let W1 = “first ball removed is white” B2 = “second ball removed is black” PILLAI
  32. 32. We need P(W1 ∩ B2 ) = ? We have W1 ∩ B2 = W1B2 = B2W1.Using the conditional probability rule, P (W1 B2 ) = P ( B2W1 ) = P ( B2 | W1 ) P (W1 ). (1-43)But 6 6 3 P (W1 ) = = = , 6 + 4 10 5and 4 4 P ( B2 | W1 ) = = , 5+4 9and hence 5 4 20 P (W1B2 ) = ⋅ = ≈ 0.25. 9 9 81 PILLAI
  33. 33. Are the events W1 and B2 independent? Our common sensesays No. To verify this we need to compute P(B2). Of coursethe fate of the second ball very much depends on that of thefirst ball. The first ball has two options: W1 = “first ball iswhite” or B1= “first ball is black”. Note that W1 ∩ B1 = φ ,and W1 ∪ B1 = Ω. Hence W1 together with B1 form a partition.Thus (see (1-38)-(1-40)) P ( B2 ) = P ( B2 | W1 ) P (W1 ) + P ( B2 | R1 ) P ( B1 ) 4 3 3 4 4 3 1 2 4+2 2 = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = = , 5 + 4 5 6 + 3 10 9 5 3 5 15 5and 2 3 20 P ( B2 ) P (W1 ) = ⋅ ≠ P ( B2W1 ) = . 5 5 81As expected, the events W1 and B2 are dependent. PILLAI
  34. 34. From (1-31), P ( AB ) = P ( A | B ) P ( B ). (1-44)Similarly, from (1-31) P ( BA) P ( AB ) P ( B | A) = = , P ( A) P ( A)or P ( AB ) = P ( B | A) P ( A). (1-45)From (1-44)-(1-45), we get P ( A | B ) P ( B ) = P ( B | A) P ( A).or P ( B | A) P( A | B ) = ⋅ P ( A) (1-46) P( B )Equation (1-46) is known as Bayes’ theorem. PILLAI
  35. 35. Although simple enough, Bayes’ theorem has an interestinginterpretation: P(A) represents the a-priori probability of theevent A. Suppose B has occurred, and assume that A and Bare not independent. How can this new information be usedto update our knowledge about A? Bayes’ rule in (1-46)take into account the new information (“B has occurred”)and gives out the a-posteriori probability of A given B.We can also view the event B as new knowledge obtainedfrom a fresh experiment. We know something about A asP(A). The new information is available in terms of B. Thenew information should be used to improve ourknowledge/understanding of A. Bayes’ theorem gives theexact mechanism for incorporating such new information. PILLAI
  36. 36. A more general version of Bayes’ theorem involvespartition of Ω. From (1-46) P ( B | Ai ) P ( Ai ) P ( B | Ai ) P ( Ai )P ( Ai | B ) = = n , (1-47) P( B ) ∑P( B | A ) P( A ) i=1 i iwhere we have made use of (1-40). In (1-47), Ai , i = 1 → n,represent a set of mutually exclusive events withassociated a-priori probabilities P ( Ai ), i = 1 → n. With thenew information “B has occurred”, the information aboutAi can be updated by the n conditional probabilitiesP( B | Ai ), i = 1 → n, using (1 - 47). PILLAI
  37. 37. Example 1.3: Two boxes B1 and B2 contain 100 and 200light bulbs respectively. The first box (B1) has 15 defectivebulbs and the second 5. Suppose a box is selected atrandom and one bulb is picked out.(a) What is the probability that it is defective?Solution: Note that box B1 has 85 good and 15 defectivebulbs. Similarly box B2 has 195 good and 5 defective bulbs.Let D = “Defective bulb is picked out”.Then 15 5 P ( D | B1 ) = = 0.15, P ( D | B2 ) = = 0.025. 100 200 PILLAI
  38. 38. Since a box is selected at random, they are equally likely. 1 P ( B1 ) = P ( B2 ) = . 2Thus B1 and B2 form a partition as in (1-39), and using(1-40) we obtain P ( D ) = P ( D | B1 ) P ( B1 ) + P ( D | B2 ) P ( B2 ) 1 1 = 0.15 × + 0.025 × = 0.0875. 2 2Thus, there is about 9% probability that a bulb picked atrandom is defective. PILLAI
  39. 39. (b) Suppose we test the bulb and it is found to be defective.What is the probability that it came from box 1? P ( B1 | D ) = ? P ( D | B1 ) P ( B1 ) 0.15 ×1 / 2 P ( B1 | D ) = = = 0.8571. (1-48) P( D) 0.0875Notice that initially P( B1 ) = 0.5; then we picked out a boxat random and tested a bulb that turned out to be defective.Can this information shed some light about the fact that wemight have picked up box 1?From (1-48), P ( B1 | D) = 0.857 > 0.5, and indeed it is morelikely at this point that we must have chosen box 1 in favorof box 2. (Recall box1 has six times more defective bulbscompared to box2). PILLAI
  40. 40. 3. Konsep Probabilitas S A2 A1 A3 B = ( B ∩ A1 ) ∪ ( B ∩ A2 ) ∪ ( B ∩ A3 )P( B) = P( B A1 ) ⋅ P( A1 ) + P ( B A2 ) ⋅ P ( A2 ) + P ( B A3 ) ⋅ P ( A3 )
  41. 41. 3. Konsep Probabilitas P( B ∩ A1 ) P ( B A1 ) P( A1 ) P ( B A1 ) = = P( B) ∑ P( B Ai ) P( Ai ) P( B ∩ A2 ) P( B A2 ) P ( A2 ) P ( B A2 ) = = P( B) ∑ P( B Ai ) P( Ai ) P( B ∩ A3 ) P( B A3 ) P ( A3 ) P ( B A3 ) = = P( B) P ( B ∩ Ai ) ∑PP(B A i))P((Ai )) BA P A ( i P ( B Ai ) = = i P( B) ∑ P( B Ai ) P( Ai )

×