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Sistemas de equações lineares

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  • 1. 1 Sistemas de equações LinearesEquação LinearToda equação do tipo: a11x1 + a12x2 + ..............+ a1nxn = b a11, a12, ....... , a1n são os coeficientes;Onde: x1, x2, ......, xn são as incógnitas; b é o termo independente.Ex.: 3a + 4b – c + 2d = 1 5x – y + 3z = 0- Equação Linear homogênea – quando o termo independente é nulo (b = 0)- Uma equação linear não apresenta termos x2, x1.x2, ... , cada termo tem uma única incógnita com expoente 1.Solução de uma equação linear:A sequência ordenada ( α1, α2, ......, αn ) é uma solução sea11(α1) + a12(α2) + ..............+ a1n(αn) = b for sentença verdadeira.Ex.: Dada a equação x - 3y + 2z – t = -8A seqüência ( 2, 1, -1, 5 ) é solução pois (2) – 3(1) + 2(-1) – (5) = -8.Sistema LinearConjunto de m (m≥1) equações lineares: a11x1 + a12x2 + ..............+ a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + ..............+ a2nxn = b2 ......................................................... am1x1 + am2x2 + ..............+ amnxn = bm  a11 a12 ... a1n   x1   b1  a  21 a22 ... a2n  x2  b2  ⋅  =  Sua apresentação na forma matricial:  ... ... ... ...   ...   ...        am1  am2 ... amn  xn  bm        x + 3y = 1 1 3   x   1 Ex.: a)   4 −1 ⋅  y  =  −2  4x − y = −2        x − x + 2 y − z = 1  −1 2 −1    1 b)   2 −1 5  ⋅  y  = 0  2x − y + 5z = 0   z    Solução de um sistema:A sequência ordenada ( α1, α2, ... , αn ) será solução do sistema,se for solução de todas equações envolvidas no mesmo.
  • 2. 2Sistemas EquivalentesSão sistemas que admitem a mesma solução.Ex.: Determine m e n, de modo que sejam equivalentes os sistemas:x − y = 1 mx − ny = −1 e 2 x + y = 5 nx + my = 2Sistema HomogêneoQuando os termos independentes de todas equações envolvidas no sistema forem nulos. x+ y−z=0Ex.: 5x − y + z = 0 Obs.: A sequência ( α1, α2, ... , αn ) onde αi = 0 sempre será solução de um sistema homogêneo, chamada deSolução Trivial.Classificação de um sistema linear quanto ao número de soluções: Sistema Linear Possível Impossível (SI) Determinado Indeterminado (SPD) (SPI)Onde:• SPD Admite solução única (compatível)• SPI Admite infinitas soluções• SI Não admite solução (incompatível)Ex.: Sem perda de generalidade, usaremos sistemas no R2 para representar os 3 casos. 2x − y = 0  x + 3y = 6  x − 3y = 1 a) x + 3y = 7 b) 2x + 6y = 12 c) − 2x + 6y = 3    y y S= todos pontos y S= ∅ da reta S= (1,2) 2 x 1 x x Retas concorrentes Retas coincidentes Retas paralelasObs.: A idéia é similar para outras dimensões.
  • 3. 3Métodos de resolução:- Método de CramerSeja um sistema linear quadrado na forma matricial. Considerando D o determinante da matriz doscoeficientes das incógnitas e Di o determinante da matriz modificada através da troca da i-ésima coluna pelacoluna dos termos independentes, podemos achar o conjunto solução fazendo: Di det Ai αi = D ∀i ∈ {1,2,3,..., n } onde D ≠ 0 (ou αi = ) det AAssim temos: se detA ≠ 0 → SPD detA = 0 e detAi = 0 → SPI detA = 0 e detAi ≠ 0 → SI x+y+z = 6  x − y − z = −4Ex.:   2x − y + z = 1 - Método da matriz inversaVimos que todo sistema linear, quando exposto na forma matricial, apresenta o seguinte formato: A X BOnde: A = Matriz dos coeficientes (quadrada) X = Matriz das incógnitas B = Matriz dos termos independentesPodemos achar a matriz X, fazendo: B -1 Ou melhor X A B X AAssim podemos achar as incógnitas, usando o produto da matriz inversa de A pela matriz dos termosindependentes.  x + 2y = 1Ex.: − x + 3y = 4 - Método de GaussPrecisamos ver alguns conceitos com antecedência:Matriz escalonadaDada a matriz A=(aij)mxn, dizemos que A é uma matriz escalonada se o números de zeros que precedem oprimeiro elemento não nulo de uma linha aumenta, linha por linha, até que restem eventualmente apenaslinhas nulas.
  • 4. 4Ex.: 3 4 1 0 2 4 3 5 −1 5 1 −2 0      0 2 − 1 0 0 0 5 1 3  A = 0 − 2 8 3  B= C= 0 0 5 0 0 0 0 0 4 0 0 1 7       0  0 0 0  0  0 0 0 0Matriz linha equivalenteDizemos que a matriz A’ é linha equivalente à matriz A, se ela for obtida através de uma sequência finita deoperações elementares sobre linhas:• Troca de posição de duas linhas;• Multiplicação de uma linha qualquer por um número k≠0;• Substituição de uma linha, pela soma desta com outra qualquer.O método de Gauss se apoia no princípio de formar um sistema equivalente simplificado através da leiturada matriz ampliada escalonada , que possibilita a determinação das incógnitas do sistema.Ex.:x+y+z+t =1x − y + z + t = −1 y − z + 2t = 2 2x + z − t = −1Exercícios 3x + y = k 2 − 91) Determine k para que o sistema  , seja homogêneo Resp.: (k = -3) x − 2 y = k + 3 x − y = 0 ax + by = 12) Determine a e b, de modo que sejam equivalentes:  e  Resp.: ( 0,1) x + y = 2 bx − ay = 13) Identifique os tipos de sistemas e determine uma de suas soluções se possível. x + y − z + t = 0 a + b + c = 12 x − y + z − t = 2   a) 3a − b + 2c = 14 Resp.: SI b)  Resp.: SPD ( 1, -2, 3, 4) 2a − 2b + c = −3  − x + y + z − t = −4   x − y − z − t = −4  4 x − 3 y + z = 3  c) 3x + y + 4 z = −1 Resp.: SPI (-z, -1-z, z) 5 x − 2 y + 3z = 2  x + y − z = 0 4) Para o sistema homogêneo, determine uma solução não nula 2 x − 3 y + z = 0 x − 4 y + 2z = 0  2 z 3z Resp.: ( , , z) 5 5
  • 5. 55) Determine os valores de a, de modo que o seguinte sistema na incógnitas x, y e z tenha: a) nenhuma solução, b) mais de uma solução, c) solução única. x + y − z = 1 SI − a = −3i) 2 x + 3 y + az = 3  Resp.: S = SPI − a = 2   x + ay + 3z = 2 SPD − a ≠ −3 e a≠2    x + y + az = 1 SI − a = −2ii)  x + ay + z = 1  Resp.: S = SPI − a = 1  ax + y + z = 1 SPD − a ≠ −2 e a ≠1  6) Estabelecer a condição que deve ser satisfeita pelos termos independentes para que sejam possíveis os sistemas: 2 x + 2 y + 4 z = a a) 6 x + 11 y + 8 z = b Resp.: (2a – b + c = 0) 2 x + 7 y = c  x + y − z = a b) − x + 2 z = b Resp.: (c – b – a = 0) y + z = c 

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