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  • 1. Clício Freire da Silva Cláudio Barros VitorArnaldo Barbosa Lourenço Manaus 2006
  • 2. FICHA TÉCNICA Governador Eduardo Braga Vice-Governador Omar Aziz Reitor Lourenço dos Santos Pereira Braga Vice-Reitor Carlos Eduardo S. Gonçalves Pró-Reitor de Planej. e Administração Antônio Dias Couto Pró-Reitor de Extensão e Assuntos Comunitários Ademar R. M. Teixeira Pró-Reitor de Ensino de Graduação Carlos Eduardo S. Gonçalves Pró-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa Walmir de Albuquerque BarbosaCoordenador Geral do Curso de Matemática (Sistema Presencial Mediado) Carlos Alberto Farias Jennings NUPROM Núcleo de Produção de Material Coordenador Geral João Batista Gomes Projeto Gráfico Mário Lima Editoração Eletrônica Helcio Ferreira Junior Horácio Martins Mário Lima Revisão Técnico-gramatical João Batista Gomes Silva, Clício Freire da. S586m Matemática elementar II / Clício Freire da Silva, Cláudio Barros Vitor, Arnaldo Barbosa Lourenço. – Manaus/AM: UEA, 2006. – (Licenciatura em Matemática. 2. Período) 120 p.: il. ; 29 cm. Inclui bibliografia 1. Matemática – Estudo e ensino. I. Vitor, Cláudio Barros. II. Lourenço, Arnaldo Barbosa. III. Título. CDU (1997): 51 CDD (19.ed.): 510
  • 3. SUMÁRIOPalavra do Reitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 07UNIDADE I – Conjuntos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 09TEMA 01 – Conjunto dos números reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11TEMA 02 – Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15UNIDADE II – Produtos notáveis e fatoração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21TEMA 03 – Produtos notáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23TEMA 04 – Cubo da soma de dois termos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24TEMA 05 – Fatoração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27TEMA 06 – Fatoração do trinômio quadrado perfeito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29TEMA 07 – Frações algébricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31TEMA 08 – Cálculo do mmc e do mdc de polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32UNIDADE III – Potências e radicais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37TEMA 09 – Potenciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39TEMA 10 – Usando potências de 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40TEMA 11 – Radicais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42TEMA 12 – Equações do 1.º grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47TEMA 13 – Equações literais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50TEMA 14 – Equações fracionárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55UNIDADE IV – Inequações e sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59TEMA 15 – Inequação do 1.º grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61TEMA 16 – Sistemas de equações e inequações do 1.º grau com duas variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63TEMA 17 – Representação gráfica de uma inequação do 1.º grau com duas variáveis . . . . . . . . . . . . . . . 69UNIDADE V – Equação do 2.º grau e intervalos em IR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75TEMA 18 – Equação do 2.º grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77TEMA 19 – Relação entre os coeficientes e as raízes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82TEMA 20 – Intervalo reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86UNIDADE VI – Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89TEMA 21 – Função ou aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91TEMA 22 – Domínio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95TEMA 23 – Função do 1.º grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96TEMA 24 – Raiz ou zero da função do 1.º grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97TEMA 25 – Função do 2.º grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100TEMA 26 – Inequação do 2.º grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104TEMA 27 – Inequação do “tipo” quociente e do “tipo” produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107Respostas de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
  • 4. PERFIL DOS AUTORES Clício Freire da Silva Licenciado em Matemática – UFAM Bacharel em Matemática – UFAMPós-graduado em Instrumentação para o Ensino da Matemática – UFF Mestrando em Matemática (Geometria Diferencial) – UFAM Cláudio Barros Vitor Licenciado em Matemática – UFAMPós-graduado em Didática e Metodologia do Ensino Superior - UNESC Arnaldo Barbosa Lourenço Licenciado em Matemática - UFPA Licenciado em Ciências Contábeis - UFAM Pós-graduado em Ensino da Matemática - UFAM
  • 5. PALAVRA DO REITORA realidade amazônica, por si só, é um desafio à educação tradicional, aquela que teima em ficar arraigadaà sala de aula, na dependência única dos métodos triviais de ensino. A Universidade do Estado doAmazonas já nasceu consciente de que o ensino presencial mediado é a única estratégia capaz de respon-der aos anseios de um público que, por estar disperso, tem de ser atendido por projetos escudados emdinamismo técnico-científico.Assim, a Licenciatura Plena em Matemática, ancorada no Sistema Presencial Mediado, nasceu para ofere-cer aos discentes as habilidades necessárias para que eles venham a construir seus próprios objetivos exis-tenciais, estimulando-lhes a ousadia de aceitar o novo e de criar novas possibilidades de futuro, dando-lhesuma visão multifacetada das maneiras de educar.Os livros-textos em que o curso se apóia são produzidos com o rigor didático de quem sabe que a históriada educação, no nosso Estado, está sendo reescrita. Os agentes desse processo têm visão crítica e apos-tam na formação de novos professores que saberão aliar inteligência e memória, não permitindo que o ensi-no em base tecnológica ganhe a conotação de “um distanciado do outro”.A autonomia de agir que cada um está aprendendo a conquistar virá, em breve, como resposta aos desafiosque se impõem hoje. Lourenço dos Santos Pereira Braga Reitor da Universidade do Estado do Amazonas
  • 6. UNIDADE IConjuntos Numéricos
  • 7. Matemática Elementar II – Conjuntos Numéricos do lado do quadrado não era um número TEMA 01 racional, pois essas medidas nunca podiam ser ambas expressas por números inteiros. Isso levou à criação dos números irracionais, CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS: que não são inteiros e nem racionais, pois não INTRODUÇÃO, NÚMERO RACIONAL podem ser escritos como fração nem como decimal exato ou periódico. E sabe-se, hoje, CONJUNTOS DOS NÚMEROS REAIS que1. Introdução. 2. Número Racional (Q) É possível repartir igualmente vinte bolinhas de gude entre três crianças carentes? É qualquer número que pode ser escrito como Vejamos: quociente de dois números inteiros, sendo o divisor diferente de zero. 20 3 2 6 2.1 Forma decimal Nesse caso, não é possível, pois cada criança receberá seis bolinhas e ainda sobrarão duas Há duas formas de se representar um número bolinhas. racional: a forma fracionária e a forma deci- mal. Dada a forma fracionária, basta dividir o Conclui-se, então, que a divisão de dois nú- numerador pelo seu denominador para obter a meros inteiros nem sempre é possível de ser forma decimal. Veja os exemplos: realizada no conjunto Z. Daí a necessidade de ampliar o conjunto Z para o conjunto dos a) Se dividirmos 15 metros de cabo em oito pedaços números racionais (Q), pois não existe número de comprimentos iguais, qual será o comprimen- inteiro que represente o quociente 20 : 3. to de cada pedaço? → representação fracionária. 1,875 → representação decimal. O comprimento de cada pedaço de cabo será de 1,875m. b) → representação fracionária. No século VI a.C., na Grécia, Pitágoras formou uma sociedade secreta e mística. Os membros dessa sociedade dedicaram-se ao estudo dos números, porque acreditavam que tudo que existe no Universo podia ser explicado por 1,333... → representação decimal. meio de números. Os pitagóricos conheciam os números inteiros A representação decimal de um número e as frações, que representavam comparações racional pode apresentar: entre duas grandezas de mesma espécie. 2.1.1 Um número finito de algarismos não- Com a descoberta do Teorema de Pitágoras, nulos. Nesse caso, o número racional é os pensadores verificaram que a razão entre a chamado de decimal exato, como no medida d da diagonal do quadrado e a medida exemplo a. 11
  • 8. UEA – Licenciatura em Matemática 2.1.2 Um número infinito de algarismos que se 10x = 7,777... (2) → multiplicamos por 10, repetem periodicamente. Nesse caso, o pois o período tem um algarismo. número racional é chamado de dízima Subtraímos, membro a membro, a igual- periódica, como no exemplo b. dade (1) da igualdade (2). Numa dízima, os algarismos que se repetem 10x = 7,777... (2) periodicamente após a vírgula compõem o nú- x = 0,777... (1) mero chamado de período. Veja os exemplos: 9x = 7 d) 3,444... – período: 4. Assim: x = e) 2,535353... – período: 53. f) 4,01215215215... – período: 215. Logo, 0,777... = Quando a dízima não apresentar nenhum algarismo entre a vírgula e o período (como nos exemplos d e e), ela é chamada de dízima periódica simples. Caso contrário (como no exemplo f), ela é chamada de dízima periódica Determine a geratriz da dízima 4,151515... composta. Solução:2.2 Forma fracionária Indicamos a dízima periódica 4,151515... por x. Para transformar um número da representação x = 4,151515... (1) decimal para a representação fracionária, te- Multiplicamos os dois membros dessa igual- mos dois casos a considerar: dade por 100. 1. O número dado é um decimal exato. 100x = 415,151515... (2) → multiplicamos por Nesse caso, a fração procurada tem como 100, pois o período tem dois algarismos. numerador o número dado, sem vírgula, e Subtraímos, membro a membro, a igualdade tem como denominador o algarismo 1 segui- (1) da igualdade (2). do de tantos zeros quantas forem as casas decimais do número dado. Veja os exemplos: 100x = 415,151515... (2) a) 0,38 = b) 1,743 = x = 4,151515... (1) 99x = 411 duas casas três casas decimais = dois zeros decimais = três zeros Assim: x = 2. O número dado é uma dízima periódica. Logo, 4.151515... = Nesse caso, a fração procurada recebe o nome de fração geratriz da dízima periódica. Exemplo sobre a determinação da fração 3. Números Irracionais (II) geratriz. São todos os números que têm uma represen- Encontrar a fração geratriz da dízima tação decimal, infinita e não–periódica. 0,777... Os números irracionais não podem ser escritos Solução: em forma de fração. Indicamos a dízima periódica 0,777... por x. As raízes quadradas de números inteiros posi- x = 0,777... (1) tivos, que não são quadrados perfeitos, são números irracionais. Exemplos: Multiplicamos os dois membros dessa igualdade por 10. e 12
  • 9. Matemática Elementar II – Conjuntos NuméricosAlguns números irracionais são identificados 4. Números Reais (IR)por símbolos especiais. É o conjunto formado por todos os números racionais e por todos os números irracionais. Em resumo, temos: O número π (pi)Há muitos anos, os egípcios descobriramque a razão entre o comprimento de uma cir-cunferência e o seu diâmetro é a mesma paraqualquer circunferência. É essa razão quehoje chamamos de π, representando um O diagrama abaixo permite-nos visualizar que:número irracional de valor aproximadamenteigual a 3,1415... I ⊂ IR Q ∪ I = IR Q∩I=∅ IN ⊂ Z ⊂ Q ⊂ IR C––– = π 4.1 Representação geométrica dos números 2r reais.π = 3,1415... Para cada número real, há um ponto correspon-Logo, C = 2.π.r dente na reta e, para cada ponto da reta, há um número correspondente. Por isso, dizemos que existe uma correspondência um a um entre os números reais e os pontos de uma reta.A roda de um automóvel tem 0,6m dediâmetro. Nessas condições, responda:a) Qual será, aproximadamente, o comprimento da circunferência da roda?b) Se essa roda der 5000 voltas completas, de quantos metros será a distância percorrida pelo Escreva entre que números inteiros consecu- automóvel? tivos fica cada um dos números reais abaixo.Solução: Identifique se ele é real racional ou real irracional.a) C = ? C = 2.π.r a) b) c) 8,666... d = 0,6 m Solução: = 0,3 m a) : real irracional; fica entre 5 e 6. C = 2 . 3,14 . 0,3 → c) : real racional; fica entre 2 e 3. C = 1,884m d) 8,666...: real racional; fica entre 9 e 8.b) N.° de voltas completas = 5000. 4.2 Operações em IR Distância percorrida pelo automóvel: No conjunto dos números reais, podemos efe- d = 5000 . 1,884 tuar as operações de adição, subtração, multi- d = 9420m plicação e divisão (divisor diferente de zero). 13
  • 10. UEA – Licenciatura em Matemática Propriedades decimal: a) 5/4 b) 5/3 c) 5/6 d) Sendo a, b e c números reais quaisquer, podemos escrever as propriedades das se- guintes operações: 3. Represente com uma fração irredutível. a) Adição a) 0,45 b) 0,454545... c) 2,16 d) 5,444... • Fechamento: (a + b) ∈ IR Ex.: 10 + 20 = 30 (30 ∈ IR) 4. Considere – 1,444... e B = 0,7 – 0,777... • Comutativa: a + b = b + a Determine . Ex.: 8 + 9 = 9 + 8 = 17 • Associativa: (a + b) + c = a + (b + c) Ex.: 3 + (5 + 4) = (3 + 5) + 4 = 12 5. Diga qual a propriedade aplicada em cada caso: • Elemento neutro: a + 0 = 0 + a = a a) –3 + 8 = 8 + 3 Ex.: 6 + 0 = 0 + 6 = 6 b) 5 . 8 = 8 . 5 • Elemento oposto: a + (−a) = 0 c) 3 + (–2 + 4) = [3 + (–2)] + 4 Ex.: 4 + (−4) = 0 d) (4 . 3) . 2 = 4 .(3 . 2) b) Subtração • Fechamento: (a – b) ∈ IR 6. Represente na reta numérica real os seguintes Ex.: 3 – 5 = 2 (−2 ∈ IR) números. c) Multiplicação a) b) c) d) • Fechamento: (a . b) ∈ IR Ex.: 3 . 5 = 15 (15 ∈ IR) • Comutativa: a . b = b . a 7. Determine o único conjunto cujos elementos Ex.: 9 . 3 = 3 . 9 = 27 são todos números racionais: • Associativa: a .(b . c) = (a . b) . c a) { 1/2; ; 3, 5, } c) {–3, –2, , 0} Ex: (4 . 5) . 6 = 4 .(5 . 6) = 120 b) {–1, 2/7, 0, , } d) { 0, , ; 5,7} • Elemento inverso: ,a≠0 8. Com auxílio de um diagrama, represente a Ex.: seguinte afirmação: Q e I são conjuntos disjuntos. • Elemento neutro: a . 1 = 1. a = a 9. Utilizando a propriedade distributiva da multi- Ex.: 3 . 1 = 1 . 3 = 3 plicação, desenvolva os produtos: • Distributiva: a . (b + c) = a.b + a.c a) 2 . (b + 3) c) – 4 . (x + 4) Ex.: 3 . (5 + 4) = 3 . 5 + 3 . 4 b) 17 . (c – 2) d) – 2 . (a – b) d) Divisão • Fechamento: (a : b) ∈ IR, b ≠0 10. Qual a correspondência existente entre os Ex.: 3 : 5 = 0,6 (0,6 ∈ IR) pontos de uma reta e os números reais? Justifique sua resposta. 11. Dê um exemplo de dois números irracionais cuja soma seja um número racional.1. Dados os números 0; 0,7; ; 7,7; –7; 0,70007... quais são: 12. O produto ou quociente de dois números irra- a) reais e racionais? cionais pode ser um número racional? b) reais e irracionais? 13. Quando um número decimal não–exato é um2. Represente os seguintes números na forma número irracional? 14
  • 11. Matemática Elementar II – Conjuntos Numéricos14. Numa fazenda, 55,555...% das terras são ocu- padas pela plantação de guaraná. Que fração das TEMA 02 terras dessa fazenda representa essa plantação?15. Uma roda de bicicleta tem raio de 40cm. Cal- POLINÔMIOS cule o comprimento da circunferência dessa 1. Introdução roda, considerando π = 3,14. A álgebra é a parte da matemática em que se16. Numa caixa, há bolas numeradas de 1 a 7. Ro- empregam letras para representar e genera- drigo retirou três bolas consecutivas sem reco- lizar situações envolvendo números. locá-las na caixa, para representar um número Pense e descubra. x. O número retirado na primeira bola repre- No retângulo da figura, usamos letras para in- sentará as unidades de x, o número da segun- dicar as medidas da base e da altura. da bola irá representar os décimos de x e o da terceira bola, os centésimos. Pela figura: a) Rodrigo retirou os números 6, 4, 2, nessa or- dem. Qual o número x formado nesse caso? Indique-o por uma fração irredutível. b) Se, em seguida, Rodrigo retirar mais três bolas, qual o maior número x possível que poderá ser • a representa a medida da base do retângulo. sorteado com a retirada dessas bolas? E o me- • b representa a medida da altura do retângulo. nor? Daí: O perímetro do retângulo é igual a duas vezes a medida da base mais duas vezes a medida da altura. Perímetro do retângulo: 2 . a + 2 . b ou 2a + 2b. A área do retângulo é igual ao produto da me- dida da base pela medida da altura. Área do retângulo = a . b ou ab. Logo, toda expressão matemática composta de números e letras, ou somente letras, é de- nominada expressão algébrica ou literal. 2. Valor numérico de uma expressão algébrica Considere a seguinte situação: Em um estacionamento, encontram–se x mo- tos e y carros. A expressão que representa o número total de rodas é 2x + 4y. Se forem 12 motos e 15 carros, o número total de rodas será: 2.(12) + 4.(15) = 24 + 60 = 84. Dizemos, então, que o valor numérico da ex- pressão algébrica 2x + 4y para x = 12 e y = 15 é 84. Exemplos: a) Calcular o valor numérico da expressão , para x = 4. 15
  • 12. UEA – Licenciatura em Matemática b) y² – 7y + 10 → é um polinômio de três termos, também chamado de trinômio. c) a³ + 5a²b + 6ab² + b³ → é um polinômio de portanto, o valor numérico da expressão quatro termos. algébrica para x = 4 é 4. Cuidado!!! b) A expressão não possui valor numérico real O grau de um monômio, com coeficientes não- quando a = 0, pois esse valor anula o deno- nulos, é indicado pela soma dos expoentes da minador. sua parte literal. Exemplos:3. Monômio ou termo algébrico • Determinação do perímetro de um quadrado de lado a. 4. Monômios semelhantes Expressão algébrica: 4.a = 4a Verifique: • Determinação do volume de um paralelepí- • Os monômios 5a³b² e a³b² apresentam a pedo retângulo de arestas a, b e c. mesma parte literal: a³b². • Os monômios 3m²n e m²n apresentam a mesma parte literal: m²n. Portanto conclui-se que dois ou mais monô- Expressão algébrica: a .b .c = abc mios são semelhantes quando apresentam a Portanto as expressões algébricas racionais mesma parte literal ou não possuem parte liter- inteiras representadas por um único produto al. são chamadas de monômios (ou termos algé- bricos). 5. Operações com monômios Exemplo: → coeficiente: 5; parte literal: x³y² a) 5x³y² 5.1 Adição algébrica de monômios. b) abc → coeficiente: 1 ; parte literal: abc Uma expressão algébrica em que todos os mo- c) Uma revendedora de veículos vendeu, numa se- nômios são semelhantes pode ser simplificada mana, 5 automóveis a x reais cada, e 6 motos a y somando-se algebricamente os coeficientes nu- reais cada. Qual a expressão algébrica que repre- méricos e conservando-se a parte literal. senta o total arrecadado na venda desses veículos? Observe a figura: • Total arrecadado com a venda dos automóveis: 5x. • Total arrecadado com a venda das motos: 6y. • Total arrecadado com a venda desses veículos pode ser representado pela soma: 5x + 6y. Temos, aí, uma adição de monômios. • Área do retângulo ACDF é expressa pelo Conclui-se, então, que qualquer adição algébrica de monômio: 9xy. monômios denomina-se polinômio. • Área do retângulo ABEF é expressa pelo Exemplo: monômio: 5xy. a) 5x + 8 → é um polinômio de dois termos, tam- • Área do retângulo BCDE é expressa pelo bém chamado binômio. monômio: 4xy. 16
  • 13. Matemática Elementar II – Conjuntos Numéricos Logo, 9xy – 5xy = (9 – 5)xy = 4xy. Exemplos: Exemplos: a) a) 3x²y + 5x²y = (3 + 5)x²y = 8x²y b) b) 6xy – xy + xy = (6 – + )xy = ( ) xy5.2 Multiplicação de Monômios 5.5 Raiz quadrada de um monômio O produto de dois ou mais monômios pode ser A raiz quadrada de um monômio pode ser obti- obtido multiplicando-se os coeficientes numéri- da extraindo-se a raiz quadrada do coeficiente cos e as partes literais entre si. numérico e dividindo-se por 2 o expoente de Na figura: cada variável da parte literal. Exemplos: a) = 6 a²b³ b) O volume do paralelepípedo (V) é: V = (2ab).(3b).(c) 6. Grau de um polinômio V = (2 . 3 . 1) . (a . b . b . c) V= 6ab²c O grau de um polinômio não-nulo é dado pelo Logo, o monômio 6ab²c representa o volume seu termo de maior grau não-nulo. desse paralelepípedo. Exemplos: Exemplo: • O polinômio x4y – x5y3 + 3x2yz é do 8.º grau. a) • O polinômio 2a3 + 5a2b2 – 6ab é do 4.º grau. b) 6.1 Polinômio com uma só variável = O grau do polinômio corresponde ao maior expoente com que a variável figura num dos5.3 Divisão de monômios termos não-nulos do polinômio. O quociente de dois monômios pode ser obti- Exemplos: do dividindo-se os coeficientes numéricos e as partes literais entre si. • O polinômio 6x3 + 2x2 + 4 é do 3.º grau. • O polinômio –2a3 + 5a7 – 6a + 3 é do 7.º grau. Exemplo: a) 7. Operações com Polinômios b) 7.1 Adição de Polinômios Pense e responda: = Qual o polinômio reduzido que dá o perímetro5.4 Potenciação de monômios do triângulo ao lado? A potência de um monômio pode ser obtida elevando-se o coeficiente numérico e a parte li- teral à potência indicada. 17
  • 14. UEA – Licenciatura em Matemática Solução: Para encontrar o perímetro, vamos adicionar os polinômios que representam as medidas dos lados. (3x + 5) + (2x + 1) + (x + 1) = Solução: 3x + 5 + 2x + 1 + x + 1 → eliminamos os Área I: parênteses. 3a.2a = 6a2 3x + 2x + x + 5 + 1 + 1 = Área II: = 6x + 7 → reduzimos os termos semelhantes. 3a.b = 3ab Total: Assim, o perímetro da figura é dado pelo Área I + II = 6a2 + 3ab polinômio 6x + 7. Ou, pela propriedade distributiva: Exemplo: Área total é igual a: Sendo A = 4x² + 3xy + y², B = −3x² + 4xy e C 3a.(2a+ b) = 3a . 2a + 3a . b = 6a² + 3ab. = x² − y², encontrar A + B + C. Exemplo: Solução: Calcular o produto: (−2x + 5).(6x² + 4x + 3). A + B + C = (4x² + 3xy + y²) + (−3x² + 4xy) + Solução: (x² − y²) (−2x + 5).(6x² + 4x + 3) = = 4x² + 3xy + y² − 3x² + 4xy + x² − y² → elimi- = –2x . 6x² – 2x . 4x – 2x . 3 + 5 . 6x² + 5 . 4x + 5 . 3 namos os parênteses. = –12x³ – 8x² – 6x + 30x² + 20x + 15 = 4x² − 3x² + x² + 3xy + 4xy + y² − y² = –12x³ – 8x² + 30x² – 6x + 20x + 15 = 2x² + 7xy → reduzimos os termos seme- = –12x³ + 22x² + 14x + 15. lhantes. Pelo dispositivo prático, temos:7.2 Subtração de polinômios Para subtrair dois polinômios, devemos adicio- nar o primeiro ao oposto do segundo, seguin- do a mesma seqüência do item anterior. Exemplo: Determine a diferença entre os polinômios 7.4 Divisão de polinômios A = 5x³ − 4x + 8 e B = 2x³ + 6x² – 2. • Divisão de polinômio por monômio Solução: Considere o retângulo abaixo: A − B = (5x³ − 4x + 8) − (2x³ + 6x² − 2) A − B = 5x³ − 4x + 8 − 2x³ − 6x² + 2 → eli- minamos os parênteses trocando o sinal dos termos do segundo polinômio. A − B = 5x³ − 2x³ − 6x² − 4x + 8 + 2 → agru- pamos os termos semelhantes. A − B = 3x³ − 6x² − 4x + 10 → reduzimos os A área desse retângulo é representada pelo termos semelhantes. polinômio 6x² + 9x, e a medida da altura pelo monômio 3x.7.3 Multiplicação de polinômios Vamos determinar o polinômio que representa Considere a seguinte situação: a base do retângulo. Observe a figura e determine a expressão al- Para isso, devemos dividir o polinômio: gébrica que representa a área total desses dois espaços. 6x² + 9x pelo monômio 3x, ou seja, achar o 18
  • 15. Matemática Elementar II – Conjuntos Numéricospolinômio que multiplicado por 3x dá 6x² + 9x. –14x + 5 14x + 7Esse polinômio é 2x + 3, pois: +123x . (2x + 3) = 6x² + 9x. Como o resto (12) tem grau zero, que é menorObserve que o polinômio 2x + 3 pode ser obtido que o grau do divisor (2x + 1), de grau 1, ficadividindo-se os dois termos de 6x² + 9x por 3x. encerrada a divisão. Logo:Então: (6x² + 9x) : (3x) = 2x + 3 Quociente: 4x + 7 Resto: 12Exemplos:a) (18x³ – 12x² + 3x) : (–3x) = –6x² + 4x –1b) (7x³y² – 5x²y4) : (–3x²y) = xy + y³ 1. Determine uma expressão algébrica que repre- senta a área total de um cubo planificado.• Divisão de polinômio por polinômio Solução:A divisão de polinômio por outro polinômionão-nulo será feita, considerando apenas ospolinômios com uma variável.Para facilitar essas divisões, devemos escreveros polinômios segundo as potências decres- Área total do cubo planificado: Atcentes da variável, e o polinômio dividendo de-ve ser escrito na forma geral. At = a . a + a . a + a . a + a . a + a . a + a . aExemplo: At = a² + a² + a² + a² + a² + a² = 6a²Calcular o quociente de (8x² – 10x + 5) por 2. Determine o polinômio que, dividindo por(2x + 1). 2x³ + 5x, tem quociente (x² – 1) e resto x + 5.• Começamos dividindo o primeiro termo do Solução: dividendo (8x²) pelo primeiro termo do P |2x³ + 5x polinômio divisor (2x). Obtemos 4x. x+5 x² – 1 8x² – 10x + 5 |2x + 1 P = (x² – 1).(2x³ + 5x) + x + 5 4x P = x² . 2x³ + x² . 5x – 1 . 2x³ – 1 . 5x + x + 5• Multiplicamos o quociente obtido (4x) pelo P = 2x5 + 5x³ – 2x³ – 5x + 5 divisor (2x + 1), obtendo o produto (8x² + P = 2x5 + 3x³ – 5x + 5 4x); subtraímos esse produto do dividendo: 3. Calcule o quociente de 8x³ – 1 por 2x – 1. 8x² – 10x + 5 |2x + 1 –8x² – 4x 4x Solução: –14x + 5 Como o polinômio dividendo é incompleto, vamos ordenar o polinômio segundo a ordemRepetimos os passos anteriores para calcular decrescente das potências da variável x.o quociente de –14x + 5 por 2x + 1. 8x³ + 0x² + 0x – 1 |2x – 1Dividimos (–14x) por (2x), obtendo o segundo –8x³ + 4x² 4x² + 2x + 1termo do quociente (–7). 4x² + 0x –1Multiplicamos (–7), por (2x + 1), obtendo – 4x – 7. –4x² +2x Quociente: 4x² + 2x + 1 2x – 1 Resto: 0Subtraímos esse produto de –14x + 5 e obte- –2x + 1mos o resto (12). 08x² – 10x + 5 |2x + 1 Quando o resto é zero, dizemos que a–8x² – 4x 4x – 7 divisão é exata. 19
  • 16. UEA – Licenciatura em Matemática c) O polinômio que representa a quantidade de sa- ques que os dois acertaram juntos. 8. Calcule o valor numérico das expressões algé-1. Efetue as seguintes expressões algébricas, bricas: reduzindo os termos semelhantes : a) 6 a² – 3b² + 5a – 7a² + b² – 2a a) , para x = 2 e y = 3. b) x²y – xy + 2x²y + 2xy – xy b) x²– 4x+5y, para x=1 e y= –2.2. Efetue os seguintes produtos: 9. Determine os valores das variáveis, para os quais as seguintes expressões não possuem a) (7m²n).(mn²).(–2mn) b) valor numérico real:3. Efetue as seguintes divisões: a) b) a) (–30a3b2c4) : (–6ab2c3) 10. Uma locadora cobra pelo aluguel de um veícu- b) lo uma taxa fixa de R$ 1.000,00 mais R$ 40,00 por hora de uso. Qual o polinômio que repre-4. Calcule as seguintes potências: senta o preço a ser pago por um locador que a) (–5a²bc³)³ b) (–4a3b4)2 utilizou o carro durante t horas? c) 11. Cláudia é dona de uma papelaria. Ela compra um caderno por x reais e o revende por y reais.5. Calcule a raiz quadrada: a) Qual a expressão algébrica que representa o lu- cro de Cláudia por caderno vendido? a) b) Qual foi o lucro que Cláudia teve na venda de 24 b) cadernos que foram comprados por R$ 3,20 e vendidos por R$ 8,70? c) 12. Sendo A = x + 5, B = x² + 2x + 1 e C = 2x² – 4, determine:6. De acordo com Lorentz, existe uma relação a) A . B b) B . C c) A . C ideal entre a altura T (em cm) e a massa M (em kg) de um indivíduo. Essa relação é dada pela 13. Determine os quocientes: seguinte expressão algébrica: a) (9x5 – 12x4 + 18x³ – x²) : (3x²) M = T – 100 – (T – 150), para um homem. b) (20x¹³ – 16x10 + 8x5) : (4x3) M = T – 100 – (T – 150), para uma mulher. 14. Determine o quociente e o resto: a) (8x² – 10x + 5) : (2x – 2) Com base nisso, responda: b) (12x³ – 17x² + 10x – 3) : (3x² – 2x + 1) a) Qual a massa ideal de um homem que tem 1,80m de altura? E de uma mulher com 1,65m de altura? 15. Determine o polinômio que, dividido por b) Qual a altura ideal de um homem cuja massa é (x + 5), tem por quociente (x – 2) e o resto 3. 70kg? E de uma mulher de massa 55kg? 16. A área do retângulo abaixo é expressa pelo7. Numa partida de tênis, Paulo deu x saques e polinômio 2x² + 11x + 15. Qual é o polinômio que acertou 45% deles. Lúcio, seu adversário, deu representa a medida da altura desse retângulo? y saques e acertou 60% desses saques menos 2. Nessas condições, determine: a) O polinômio que representa a quantidade de sa- ques que Paulo acertou. b) O polinômio que representa a quantidade de sa- ques que Lúcio acertou. 20
  • 17. UNIDADE IIProdutos Notáveis e Fatoração
  • 18. Matemática Elementar II – Produtos Notáveis e Fatoração Conclusão: TEMA 03 O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo mais o PRODUTOS NOTÁVEIS quadrado do segundo termo.1. Introdução Exemplos: a) (x + 3)² = x² + 2 . x . 3 + 3² = x² + 6x + 9 Por volta do ano 300 a.C, a idéia de variável ainda não fazia parte do mundo da matemática. b) Mesmo assim, a matemática desenvolvia-se bas- tante, porque matemáticos como Euclides eram 3. Quadrado da diferença de dois termos capazes de trabalhar com expressões algébric- Quadrado da diferença de dois termos a, e b, as por meio de construções geométricas. é indicado por (a – b)². Desenvolvendo esse produto, obtemos: (a – b)² = (a – b)(a – b) = a² – ab – ab + b² (a – b)² = a² – 2ab + b² Demonstração Gráfica Considere a figura abaixo: A álgebra geométrica grega foi-nos transmitida principalmente por meio do livro II da obra Elementos, de Euclides (325 – 265 a.C)2. Quadrado da soma de dois termos O quadrado da soma de dois termos a, e b, é Qual o polinômio que representa a área do indicada por (a + b)². Desenvolvendo esse quadrado cujo lado mede (a – b)? produto, obtemos: Área do quadrado cujo lado mede (a – b) é (a + b)² = ( a + b).(a + b) = a² + ab + ab + b² igual a (a – b)² = a² – 2ab + b². (a + b)² = a² + 2ab + b² Conclusão: Demonstração geométrica: O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo Exemplo: a) (x – y)² = x² – 2xy + y² b) A = Área do quadrado de lado c = a + b: A = c2 4. Produto da soma pela diferença de dois termos A = (a + b)2 = (a + b) . (a + b) O produto da soma pela diferença de dois ter- A = a2 + ab + ab + b2 mos a, e b, é indicado por (a + b).(a – b). A = a2 + 2ab + b2 Desenvolvendo esse produto, obtemos: 23
  • 19. UEA – Licenciatura em Matemática (a + b)(a – b) = a² – ab + ab – b² (a + b)(a – b) = a² – b² TEMA 04 Demonstração Geométrica Na figura abaixo, queremos conhecer o poli- 5. Cubo da soma de dois termos nômio que representa a área do retângulo em O cubo da soma de dois termos a, e b, é indi- negrito. A base desse retângulo mede (a + b), cado por (a + b)³. Desenvolvendo esse produ- e a altura (a – b). to, obtemos: Portanto a área é (a + b)(a – b). (a + b)³ = (a + b)².(a + b) (a + b)³ = (a² + 2ab + b²).(a + b) (a + b)³ = a² . a + a² . b + 2ab . a + 2ab . b + b² . a + b² . b (a + b)³ = a³ + a²b + 2a²b + 2ab² + ab² + b³ (a + b) ³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ Conclusão: O cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, mais três vezes o quadrado do primeiro pelo segundo termo, mais três Área do retângulo maior: a . (a + b) vezes o primeiro pelo quadrado do segundo termo, mais o cubo do segundo termo. a.(a + b) = b2 + ab + b.(a – b) + a.(a – b) a2 + ab = b2 + ab + b.(a – b) + a.(a – b) Exemplos: a2 – b2 = b.(a – b) + a.(a – b) a) (x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³ a2 – b2 = (a + b).(a – b) b) (a² + 2b)³ Conclusão: = (a²)³ + 3(a²)².(2b) + 3.a².(2b)² +(2b)³ = O produto da soma pela diferença de dois ter- a6 + 6a4b + 12a²b² + 8b³ mos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo. 6. Cubo da diferença de dois termos Exemplos: O cubo da diferença de dois termos a e b é a) (x + y)(x – y) = x² – y² indicado por (a – b)³. Desenvolvendo esse pro- duto, obtemos: b) (a – b)³ = (a – b)².(a – b) (a – b)³ = (a² – 2ab + b²).(a – b) (a – b)³ = a² . a – a².b – 2ab . a + 2ab . b + b². a – b² . b (a – b)³ = a³ – a²b – 2a²b + 2ab² + ab² – b³ (a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³ Conclusão: O cubo da diferença de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, menos três vezes o quadrado do primeiro pelo segundo termo, mais três vezes o primeiro pelo quadrado do segundo termo, menos o cubo do segundo termo. Exemplos: a) (x – y)³ = x³ – 3x²y + 3xy² – y³ 24
  • 20. Matemática Elementar II – Produtos Notáveis e Fatoração b) (a² – 3b)³ = (a²)³ – 3(a²)² . 3b + 3a².(3b)² – (3b)³ Exemplos: 6 4 = a – 9a b + 27a²b² – 27b³ a) (x + 4)(x + 3) = x² + (4 + 3) . x + 4 . 3 = x² + 7x + 127. O quadrado da soma de três termos b) (x –1)(x + 5) = x² + (–1 + 5) x + (–1) . 5 (a + b + c)² = (a + b + c).(a + b + c) = x² + 4x – 5 (a + b + c)² = a . a + a . b + a . c + b . a + b.b+b.c+c.a+c.b+c.c (a + b + c)² = a² + ab + ac + ab + b² + bc a) (a + b)(a² – ab + b²) = a . a² – a . ab + ab² + ac + bc + c² + ba² – b . ab + b . b² (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc (a + b)(a² – ab + b²) = a³ – a²b + ab² + a²b – ab² + b³ Conclusão: Logo: (a + b)(a² – ab + b²) = a³ + b³ O quadrado da soma de três termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais o quadrado b) (a – b)(a² + ab + b²) = a . a² + a . ab + a do segundo termo, mais o quadrado do terceiro . b² – ba² – b . ab – b . b² termo, mais duas vezes o primeiro pelo segun- do termo, mais duas vezes o primeiro pelo ter- (a – b)(a² + ab + b² = a³ + a²b + ab² – a²b ceiro termo, mais duas vezes o segundo pelo – ab² – b³ terceiro termo. logo: (a – b)(a² + ab + b²) = a³ – b³ Demonstração gráfica: c) a² + b² = (a + b) ² – 2ab Calcular a área do quadrado, cuja medida do d) (a–b)par = (b–a)par lado mede: = a + b + c e) (a–b)ímpar = – (b–a)ímpar Exemplos: a) (x + 5)(x² – 5x + 25) = x³ + 5³ = x³ + 125 b) (x – 3)(x² + 3x + 9) = x³ – 3³ = x³ – 27 c) 52 + 3² = (5 + 3)² – 2 . 5 . 3 ∴ 34 = 64 – 30 = 34 d) (5 – 3)² = (3 – 5)² ∴ 4 = 4 e) (5 – 3)³ = – (3 – 5)³ ∴ 8 = 8 A= ² = (a + b + c)² = (a + b + c)(a + b + c) A = a² + ab + ac + ab + b² + bc + ac + bc + c² A = ( a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc Exemplos: 1. Se a² + b² = 34 e (a + b)² = 64, calcule o valor a) ( x + 2y + z)² = x² + (2y)² + z² + 2x . 2y + 2 . x de 6ab. . z + 2 . 2y . z = x² + 4y² + z² + 4xy + 2xz + 4yz Solução: b) (x + 3y + 5)² = x² + (3y)² + 5² + 2x . 3y + 2x . Sabemos que: (a + b)² = a² + 2ab + b² 5 + 2 . 3y . 5 = x² + 9y² + 25 + 6xy + 10x + 30y 2ab = (a + b)² – (a² + b²)8. Produto de Stevin 2ab = 64 – 34 2ab = 30 ∴ ab = 30/2 ∴ ab = 15 O produto de Stevin é indicado por (x +a)(x + b). Desenvolvendo esse produto, obtemos: logo 6ab = 6 . 15 = 90 (x + a)(x + b) = x . x + x . b + a . x + a . b 2. Simplifique a expressão (2 a + b)² – (a – b)². (x + a)(x + b) = x² + bx + ax + ab Solução: (x + a)(x + b) = x² + (a + b) . x + ab (2a + b)² – (a – b)² = 25
  • 21. UEA – Licenciatura em Matemática = (2a)² + 2 . 2a . b + b² – [a² – 2ab + b²] 8. Qual a expressão que devemos subtrair de = 4a² + 4ab + b² – a² + 2ab – b² a² + b² para obtermos o quadrado de (a – b)? = 3a² + 6ab 9. Sendo A = (x + 2)², B = (x + 3).(x – 3) e3. Calcule o valor da expressão: C = (x – 1)², determine o valor de A + B + C. (5x – 6)² – (5x + 4).(5x – 4). Solução: 10. Qual a expressão que deve ser somada a (5x – 6)² – (5x + 4).(5x – 4) = a² + 6a²b² – 12 a²b para que resulte o quadra- = (5x)² – 2 . 5x . 6 + 6² – [(5x)² – 4²] do de 2a – 3b? = 25x² – 60x + 36 – [25x² – 16] = 25x² – 60x + 36 – 25x² + 16 11. Se a² + b² = 34 e ab = 15, calcule o valor de = – 60x + 52 . 12. Simplifique a expressão: (y + 5)² – y(y + 10).1. Aplicando as regras dos produtos notáveis, calcule: 13. Usando as regras dos produtos notáveis, de- termine o polinômio que representa: a) (2x + 10)² a) A área de um quadrado cujo lado mede (2x + y) b) unidades. b) O volume de um cubo cuja aresta mede (x + 2y) c) (5x – 1)² unidades. d) (x³ – 1/2)² e) (x² + 1).(x² – 1) 14. O professor de matemática pediu à classe para desenvolver a expressão (4x – y³)². Um dos f) (ab + .(ab – ) ) alunos deu como resposta o polinômio 4x² – 8xy³ + y6. A resposta desse aluno está cor-2. Calcule os cubos: reta? Se não estiver, escreva a resposta correta. a) (3x + 2)³ b) (x – 2)³ 15. A expressão (x – 1)² + (x – 1)³ é equivalente a: c) d) (1 – 2x)³ a) (x – 1)5 b) x³ – 2x² + x c) x³ + x² – 2 d) x³ + x² – 2x e) x³ + 2x² + 13. Desenvolva: a) (x² + y + 1)² b) (2x – y – 1)² 16. Na figura, ABCD e EBFG são quadrados. A área do quadrado menor é 9. Qual o trinômio4. Desenvolva: que representa a área do quadrado ABCD? a) (x – 3).(x² + 3x + 9) b) (2a + b).(4a² – 2ab + b²)5. Calcule: a) (x + 5)( x – 3) b) (x + a).(x – 2b)6. Se (a – b)² = 16 e a² + b² = 106, calcule o valor de .7. Sabe-se que a + b = 13 e a² – b² = 39, então calcule o valor de a. 26
  • 22. Matemática Elementar II – Produtos Notáveis e Fatoração Na forma fatorada, os fatores são: TEMA 05 • Fator comum. • O quociente da divisão da expressão pelo FATORAÇÃO fator comum.1. Introdução 3. Fatoração por agrupamento. Fatorar um número significa escrevê-lo como Calcular as áreas(A) das figuras que represen- um produto de dois ou mais fatores. tam retângulos de base x + y e altura a + b: Vejamos a forma fatorada completa do número 150 = 2 . 3 . 5². Fatorar um polinômio, quando possível, signifi- ca escrevê-lo na forma de um produto de poli- nômios mais simples. Vejamos: A = A1 + A2 + A3 + A4 = ax + ay + bx + by A figura representa um retângulo de base b e altura h. O perímetro desse retângulo pode ser indicado de duas maneiras: A = (A1 + A2)+ (A3 + A4)= a(x + y) + b(x + y) 2b + 2h (polinômio) ou 2(b + h), forma fatorada. a) Qual o fator comum aos dois termos do po- linômio? b) Que posição ele ocupa na forma fatorada? Na forma fatorada, notamos que 2, é um fator comum a todos os termos do polinômio, que foi colocado em evidência. A = base × altura = (x + y) . (a + b) O outro fator (b + h) é o mesmo que: Como as três figuras têm a mesma área, pode- (2b : 2) + (2h : 2) ou mos escrever: ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y)2. Fatoração pela colocação de um fator em = (x + y)(a + b) evidência Escrevendo o polinômio ax + ay + bx + by na forma fatorada: Exemplos: ax + ay + bx + by → agrupamos os termos a) A área da figura pode ser indicada por: ax + bx que possuem fator comum. ou x.(a + b); fator comum (x). a(x + y) + b(x + y) → em cada grupo, colo- camos o fator comum em evidência. (x + y)(a + b) → colocamos, novamente, o b) a3 + 2a = a.(a2 + 2) fator comum em evidência. c) 12a4b6 − 20a5b8 + 8a³b² = O polinômio ax + ay + bx + by foi fatorado por = 4a³b².(3ab4 − 5a²b6 + 2) agrupamento. 27
  • 23. UEA – Licenciatura em Matemática Exemplos: Fatorar os polinômios: a) hx – 2x + 5h – 10 = x.(h – 2) + 5.(h – 2) 1. Sabendo que os números m e n representam as medidas do comprimento e da largura de = (h – 2).(x + 5) um terreno de forma retangular, e que tem 32 b) 2bc + 5c² – 10b – 25c unidades de área e 24 unidades de perímetro; = c.(2b + 5c) – 5.(2b +5c) = (2b + 5c)(c – 5) nessas condições, dado o polinômio 3m²n + 3mn², qual é o seu valor numérico?4. Fatoração da diferença de dois quadrados Solução: Consideremos o quadro-de-giz de nossa sala de aula de forma quadrada, de lado a, sobre o qual colocamos um outro quadrado de lado b, conforme figura abaixo. 3m²n + 3mn² = 3.m.n(m + n) A área maior da figura é (a² − b²), excluindo o Área = m.n = 32 quadrado menor, que corresponde a uma dife- Perímetro = 2m + 2n = 24; m + n = 12 rença de dois quadrados. Logo, o valor numérico é: 3 m²n + 3mn² = 3mn (m + n) = 3.32.12 = 1152 2. A área de um sítio de forma retangular é dada pelo polinômio 4x² − 1. Nessas condições, Recortando a figura e juntando as duas partes, pede–se: conforme o desenho, obtemos: a) As medidas do comprimento e da largura desse sítio. FIGURA 1 FIGURA 2 b) Qual o polinômio que expressa o perímetro des- se sítio? Solução: A = 4x² − 1 A = 4x² − 1 = (2x + 1)(2x – 1) a) 2x + 1 e 2x – 1 Observe que a área da figura 1, expressa por a² – b², é igual a área da figura 2, que pode ser b) Perímetro: 2x + 1 + 2x + 1 + 2x – 1 + 2x – 1 = 8x expressa por (a – b)(a + b). Logo a² – b² = (a – b)(a + b) Exemplos: Fatorar os polinômios: a) a² – 25 = (a + 5).(a – 5) b) 28
  • 24. Matemática Elementar II – Produtos Notáveis e Fatoração c) a6 – 10a³b² + 25b² é diferente de (a³ – 5b)² ↓ ↓ Verificação TEMA 06 a³ 5b 2 . a³ . 5b ≠ 10a³b² 6. Fatoração da soma ou da diferença de dois5. FATORAÇÃO DO TRINÔMIO QUADRADO cubos PERFEITO Observe as seguintes multiplicações: Considere os quadrados nas figuras abaixo: a) (a + b).(a² – ab + b²) = a³ – a²b + ab² + FIGURA 1 FIGURA 2 a²b – ab² + b³ = a³ + b³ Logo, podemos escrever: a³ + b³ = (a + b).(a² – ab + b²) b) (a – b).(a² + ab + b²) = a³ + a²b + ab² – a²b – ab² – b³ = a³ – b³ Temos, então: a³ – b³ = (a – b).(a² + ab + b²) A área do quadrado da figura 1 pode ser indi- Exemplos: cada de duas maneiras: a² + 2ab + b² ou (a + b).(a + b) 1) Fatorar os polinômios: Então, podemos escrever as igualdades: a) x³ + 27 = (x + 3).(x² – 3x + 3²) a² + 2ab + b² = (a + b).(a + b) = (a + b)² = (x + 3).(x² – 3x + 9) A área da parte sombreada na figura 2 pode b) ser indicada por (a – b)². Temos que: a² = (a – b)² + 2b(a – b) + b² 7. Trinômio do 2.° grau a² = (a – b)² + 2ab – 2b² + b² Sabemos, pelo produto de Stevin, que: x² + (a + b).x + ab = (x + a).(x + b) ou Daí: a² – 2ab + b² = (a – b)² x² + Sx + P = (x + a).(x + b); Então, podemos escrever a igualdade: a+b=Sea.b=P a² – 2ab + b² = (a – b).(a – b) = (a – b)² Exemplos: Identificando um trinômio quadrado perfeito: Fatorar os polinômios: a) (x + 3)² = x² + 6x + 9 ∴ 6x = 2 . x . 3 = 6x (sim) a) x² + 7x + 12 = (x + 3).(x + 4) b) (x – 5)² = x² – 10x + 25 ∴ 10x = 2 . x . 5 (sim) c) x² + 4x + 25 ∴ 4x ≠ 2 . x . 5 (não) Na verificação, multiplicamos por 2 o produto b) x² – 6x – 40 = (x – 10).(x + 4) das duas raízes. Se o resultado for igual ao termo restante do trinômio dado, dizemos que o trinômio é quadrado perfeito. Exemplos: 8. Fatorando mais de uma vez Fatorar os trinômios, quando possível: Fatorar o polinômio a³ – ax². a) 4x² + 12x + 9 = (2x + 3)² ↓ ↓ Verificação Colocamos o fator comum em evidência: 2x 3 2 . 2x . 3 = 6x a³ – ax² =a.(a² – x²) b) 4m²n² – 4mcn + c² = (2mn – c)² Fatorando novamente o fator (a² – x²) que repre- ↓ ↓ Verificação senta uma diferença de dois quadrados temos: 2mn c 2 . 2m . n . c = 4mnc a³ – ax² = a.(a² – x²) = a.(a + x).(a – x) 29
  • 25. UEA – Licenciatura em Matemática Exemplo: d) (x − 7) . (x + 19) = x 2 + Sx + P = x2 + 12x − 133 Fatorar a expressão: x³ – 4x² + 4x. S = −7 + 19 = 12 x³ – 4x² + 4x = x.(x² – 4x + 4) P = (− 7) . 19 = − 133 Logo, podemos fatorar novamente o fator (x² – 4x + 4). Daí: x² – 4x + 4 = (x – 2)², pois 4x = 2. x. 2. 1. Fatore os polinômios: x³ – 4x² + 4x = x.(x² – 4x + 4) = x.(x – 2)² a) x³ – x² – xy b) 6x²y + 8x c) 2x + ax + 2y + ay d) ax – y – x + ay Observe a figura abaixo e: e) 4x² – 12x + 9 f) 36a² + 60ab + 25b² g) m² – 100 h) x² – 6x – 16 i) x² + 7x + 10 j) 8a³ – 125b³ 2. Fatore completamente as expressões: a) Exprima a área da parte hachurada em a) 3x² – 75 função de x. b) x4 – 16 b) Sendo a área da parte hachurada igual a c) a² – x² + a + x 133, determine: d) 2x² – 12x + 18 • a área do quadrado PQRS; e) x³ + 14x² + 49x • o comprimento x do quadrado ABCD; • o perímetro do quadrado PQRS. 3. X e Y são as medidas dos lados de um retân- c) Verifique que: x² + 12x = 133. gulo de área 20 e perímetro 18. Qual o valor d) Desenvolva o produto (x – 7)(x + 19). numérico da expressão 5x²y + 5xy²? Solução: 4. Para que 9x² – 24x + n seja um trinômio a) Área do quadrado ABCD: x . x = x² quadrado perfeito, devemos ter: Área dos 4 retângulos: 4.(3.x) = 12x a) n = 4 Área da figura sombreada: x² + 12x b) n = 16 c) n = 36 b) Área da figura sombreada = 133 d) n = 64 Área do quadrado PQRS = Área da figura sombreada + 4 x área do quadrado de lado 3 5. Sabendo que 2a + 2b = 28 e 3a – 3b = 45, cal- Área do quadrado PQRS = 133 + 4.9 = 169 cule o valor numérico da expressão a² – b². Área do PQRS = 169 ∴ L² = = 13 6. Qual é a forma fatorada do trinômio Perímetro do quadrado PQRS = 4.13 = 52 O comprimento x do quadrado ABCD: ? 7. Se x + y = 13 e x – y = 10, calcule o valor c) Verificação: numérico da expressão x2 + 12x = 133 ∴ 72 +12 . 7 = 49 + 84 = 133 (x² + 2xy + y²) + (x² – 2xy + y²). 30
  • 26. Matemática Elementar II – Produtos Notáveis e Fatoração8. A área de um quadrado é representada pelo trinômio y² + 14ya + 49a². Determine a medi- TEMA 07 da do lado.9. Seja N o resultado da operação 375² – 374². A FRAÇÕES ALGÉBRICAS soma dos algarismos de N é: a) 18 b) 19 c) 20 d) 21 e) 22 1. Introdução A história conta que as frações surgiram quan-10. A expressão (a + b)² – 2ab é igual a: do o homem sentiu a necessidade de medir. a) a² – b² b) a² – 4ab + b² c) a² + 4ab + b² d) a² + b²11. Fatorando a expressão ab + 2b – 3a – 6, obte- Tábua suméria de argila mos: Os babilônios usavam as frações para registrar a) (a – 2).(b + 3) as transações comerciais, representando com b) (a + 2).(b – 3) frações valores monetários próprios. Os hin- c) (a – 2).(b – 3) dus, em meados do segundo milênio antes de Cristo, usavam frações de numerador 1, como, d) (a + 2).(b + 3) por exemplo, metade ou meio ( ), que12. Fatore: chamavam ardlha, e a quarta parte ou um a) x² – 5x + 6 quarto ( ), que chamavam pada. b) x² + 2y² + 3xy + x + y c) 4x² – 9y² Os egípcios usavam frações da unidade para representar outras frações, usadas em proble-13. Calcule o valor de 54.321² – 54.320², sem efe- mas que envolviam colheitas. tuar as potências. Consideremos as seguintes situações: 1. A velocidade média de um veículo é obtida14. Sendo (x + y)² = 256 e x² + y² = 136, deter- dividindo-se a distância percorrida pelo mine xy. tempo gasto. Portanto, se um veículo per- correu 400km em t horas, qual a expressão15. Um professor de Matemática tem 4 filhos. Em algébrica que representa a velocidade uma de suas aulas, ele propôs a seus alunos média, em quilômetros por hora, desse veí- que descobrissem o valor da expressão culo? ac + ad + bc + bd; sendo que a, b, c e d são as idades de seus filhos na ordem crescente, levando em conta que a soma das idades dos dois mais velhos é 59 anos e a soma das 2. Qual a expressão que representa o quo- idades dos dois mais novos é 34 anos. Qual o ciente (20a²b) : (5ax)? valor numérico da expressão proposta pelo professor? Conclusão: as expressões e apresentam variáveis no denominador e, por isso, são chamadas de frações algébricas. 31
  • 27. UEA – Licenciatura em Matemática O denominador de uma fração algébrica deve representar sempre um número real diferente TEMA 08 de zero, pois não faz sentido dividir por zero.2. Simplificação de uma fração algébrica 3. CÁLCULO DO MMC E DO MDC DE Para simplificar uma fração algébrica, devemos POLINÔMIOS. dividir os seus termos por um divisor comum, diferente de zero, de modo a obter uma fração • Máximo Divisor Comum (MDC) equivalente mais simples. Fatoramos as expressões algébricas conside- Exemplos: radas e calculamos o m.d.c entre elas, que será obtido pelo produto dos fatores primos Simplificar as frações algébricas. comuns tomados aos menores expoentes. Dividindo o numerador e o denominador por • Mínimo Múltiplo Comum (MMC) a) 2.3.ab2 Fatoramos as expressões consideradas e cal- culamos o mmc entre elas, que será obtido pelo produto dos fatores primos comuns e não Só podemos simplificar os termos de uma comuns, tomados aos seus maiores expoen- fração após transformá-las em produtos. tes. Fatorando o numerador e b) Exemplos: o denominador, temos: a) Achar o mdc e o mmc das expressões abaixo: 8x4y²; 16x5yz³; 2x6y4z c) Fatorando o numerador e Solução: o denominador, temos: Fatorando cada termo, temos: 8x4y² = 23 x4y², 16x5yz³ = 24x5yz³ e 2x6y4z mdc = 2. x4y mmc = 24.x6y4z = 16 x6y4z b) Calcule o m.d.c e o m.m.c dos polinômios: 2x + 10; x² –10x + 25; x² – 25 Solução: Fatorando cada expressão Observe que na forma fatorada não há fator comum entre eles, exceto o valor 1, portanto, o mdc é 1. mdc = 1 mmc = 2(x + 5)(x – 5)² 4. Operações com frações algébricas Efetuamos as operações com frações algébri- cas da mesma maneira que operamos com números fracionários. 32
  • 28. Matemática Elementar II – Produtos Notáveis e Fatoração4.1 Adição e Subtração b) As operações com frações algébricas são efe- tuadas de modo semelhante ao das frações Solução: numéricas. Seqüencia Prática: • Reduza as frações algébricas ao mesmo denominador. Para dividir frações algébricas, devemos • Efetue as adições ou subtrações dos nume- multiplicar a primeira fração pelo inverso da se- radores, mantendo o mesmo denominador. gunda, simplificando o resultado, quando pos- sível. • Simplifique, se possível, o resultado. Exemplos: 2. Efetue as divisões: Exemplos: Calcular: a) a) Solução: Solução: mmc (2,x,4x²) = 4x² b) Solução: b) 4.3 Potenciação de frações algébricas Solução: Para elevar uma fração algébrica a uma potên- mmc (4a,6b) = 12ab cia, elevamos o numerador e o denominador à potência indicada. Exemplos: 1. Calcule as seguintes potências:4.2 Multiplicação e divisão de frações algébricas a) Para multiplicar frações algébricas, efetue os seguintes procedimentos: Solução: • Indique o produto dos numeradores e de- nominadores. • Faça os cancelamentos possíveis. b) • Faça as multiplicações restantes, obtendo o resultado. Solução Exemplos: 1. Determine os seguintes produtos: a) c) Solução: Solução: 33
  • 29. UEA – Licenciatura em Matemática1. Sabendo que x pizzas iguais custam R$ 1. Um carro percorreu x quilômetros com y litros 100,00, perguntas-se: de gasolina. Um segundo carro percorreu o a) Que fração algébrica representa o preço de uma dobro dessa distância com y + 5 litros de ga- delas? solina. Registre, no caderno, a fração algébrica b) Alessandra deu y reais na compra de uma pizza. que representa o consumo médio de gasolina: Que fração algébrica representa o troco dessa a) do primeiro carro; b) do segundo carro. compra? 2. Para que valores de a a expressão não Solução: a) Divide–se o valor total pela quantidade x de representa uma fração algébrica? pizza: 3. A fração algébrica pode ser reduzida b) Valor de (y) pago por Alessandra, menos o a um número inteiro. Que número é esse? valor de uma pizza: 4. A fração algébrica pode ser2. Laura, Lenara e Rodrigo reuniram-se para re- solver a seguinte expressão: reduzida a um binômio. a) Determine esse binômio. b) Determine o valor numérico desse binômio para x= . Laura resolveu a expressão do primeiro parên- tese, Lenara resolveu a expressão do colchete 5. Participando de uma gincana escolar, a equipe e Rodrigo ficou encarregado de efetuar a mul- de Ana recebeu a tarefa de resolver a seguinte tiplicação. expressão: . Determine a resposta encontrada por: a) Laura b) Lenara c) Rodrigo O resultado dessa expressão reverterá em Solução: igual número de pontos para essa equipe. Se alguém da equipe de Ana responder correta- a) mente, quantos pontos a equipe dela ganhará? 6. Simplifique as seguintes expressões algébricas: a) b) c) 7. Efetue as seguintes adições algébricas: a) b) b) 8. Calcule os seguintes produtos: a) b) 9. Calcule os seguintes quocientes: c) a) b) 34
  • 30. Matemática Elementar II – Produtos Notáveis e Fatoração10. Calcule as seguintes potências: a) b) c)11. Marcela nasceu no ano x, e Rodrigo no ano , ambos no dia 9 de Janeiro. a) Qual é a diferença de idades entre eles? b) Quem é o mais velho?12. Numa gincana de matemática, foram sortea- das as seguintes questões para duas equipes participantes: EQUIPE AZUL EQUIPE VERMELHA Que resposta devia dar cada equipe?13. Simplificando a expressão e calculando, a seguir, seu valor numérico para x = 99, vamos obter: a) 100 b) 99 c) 98 d) 97 e) 9614. Dados os polinômios x² – 6x + 9 e x – 3, o mmc entre eles é: a) (x + 3)² b) (x – 3)² c) (x – 3)³ d) (x+3).(x–3)15. Se xy + x = 5 e y² + y = 20, qual é o valor da fração ? 35
  • 31. UNIDADE IIIPotências e radicais
  • 32. Matemática Elementar II – Potências e radicais Logo, no lançamento simultâneo de n moedas, o número de resultados possíveis é dado por 2n. TEMA 09 Agora podemos dizer que: POTENCIAÇÃO an = a . a . a . ... . a a : número real1. Introdução n fatores n: número natural (n > 1) A história conta que os babilônios usavam as Exemplos: potências como auxiliares da multiplicação; já os gregos usavam os quadrados e os cubos. a) 5² = 5 . 5 = 25 b) (−1)³ = (−1).(−1).(−1) = −1 No século III da nossa era, o matemático grego Diofante usou notações de potências: c) (−2)4 = (−2).(−2).(−2).(−2) = 16 x para indicar a primeira potência; Temos ainda que: xx para indicar a segunda potência; a) a1 = a para todo número real; xxx para indicar a terceira potência. b) a0 = 1 para todo a ≠ 0; No século XVII, o matemático francês René c) a−n = para todo a ≠ 0 e todo n inteiro Descartes (1596 – 1650) utilizou as notações x, x², x³, x4, ... para potências. positivo. Exemplos: a) (−8)¹ = −8 b) 50 = 1 c) Vamos considerar o seguinte fato: 2. Propriedades Elba fez a seguinte experiência: As propriedades estudadas no módulo anterior são válidas também para potências de base a) Lançou ao ar uma moeda e obteve dois real e expoente inteiro. resultados possíveis: cara (C), (K) coroa; b) Em seguida, lançou ao ar, simultaneamen- • Produto de potências de mesma base: te, duas moedas e obteve quatro possibili- am . an = am+n, com a ≠ 0. dades: CC, CK, KC, KK; Exemplos: c) E, finalmente, lançou ao ar, ao mesmo tem- po, três moedas e verificou oito alternativas: a) 74 . 73 = 74+3 = 77 CCC, CCK, CKC, CKK, KKK, KKC, KCK, KCC; b) 54 × 5−3 = 54+(−3) = 5 Então, podemos estabelecer uma relação en- tre o número de moedas lançadas ao ar e o • Divisão de potências de mesma base: número de resultados possíveis. am : an = am−n (a ≠ 0) Veja tabela: Exemplos: N.º de moedas N.º de Resultados Possíveis a) 1 2 = 2¹ 2 4 = 2 x 2 = 2² 3 8 = 2 x 2 x 2 = 2³ b) 4 16 = 2 x 2 x 2 x 2 = 24 ... ... • Potência de potência: n 2 x 2 x 2 x ... X 2 = 2n (am)n = am.n, com a ≠ 0. 39
  • 33. UEA – Licenciatura em Matemática Exemplos: a) (23)4 = 212 TEMA 10 b) (3 ) = 3 −1 −3 (−1).(−3) = 3 = 27 3 Atenção!!! 3. Usando potências de 10 mn (am)n ≠ a Considere o seguinte fato: Marcela pesquisou na Internet que o Sol é for- Exemplos: mado por massas de gases quentes, sendo (23)2 = 26 e 232 = 29 1.000.000 de vezes maior do que a Terra e 300.000 vezes mais pesado que ela, e que a • Potência do produto: an . bn = (a.b)n, com a, distância média entre o Sol e a Terra é de b ≠ 0. 149.600.000km. Exemplos: Para facilitar a escrita de números que contêm a) 24.54 = (2.5)4 = 104 muitos algarismos, dos quais grande parte de- les é de zeros, Marcela usou as potências de b) 10, veja: Exemplos: a) 1 000 000 = 1 x 106 • Potência do quociente: , (a, b ≠ 0). b) 300 000 = 3 x 105 c) 149 600 000 = 1496 x 105 Exemplos: 4. A notação científica usada por cientistas (nú- a) meros muito “grandes” ou “muito pequenos”). Exemplos: b) • O diâmetro do Sol é 1 390 000km. • 1 390 000 Km = 1,39 . 106km • Expoente negativo: • O comprimento de uma célula do olho é de 0,0045 cm = 4,5 . 10−³cm , com a, b ≠ 0. • O número escrito em notação científica deve ser escrito na seguinte forma: Exemplos: • Deve ser escrito como um produto de dois fatores. a) • Um dos fatores deve ser um número de 1 a 10, excluído o 10. • O outro fator deve ser uma potência de base 10. 1. Em uma certa colônia, cada bactéria se reproduz dividindo−se em quatro bactérias a cada minuto. Partindo de uma só bactéria, quantas serão pro- duzidas em 6 minutos de divisão? Solução: 1 bactéria dá origem a 4 novas bactérias em um minuto. 40
  • 34. Matemática Elementar II – Potências e radicais Em 6 minutos teremos: 4 . 4 . 4 . 4 . 4 . 4 = 46 = 4096 bactérias 5. A potência é igual a:2. Resolva as expressões, apresentando os resul- a) b) c) d) tados em notação científica. a) b) 6. Assinalar a alternativa correta: 3 2 a) 22 = 256 b) 23 = (23)2 Solução: 5 c) 32 = 325 d) 1201 = 1120 a) 7. A massa do Sol é de aproximadamente 2 × 1030kg. Expresse, em notação científica, es- b) sa massa em toneladas. 8. A massa de um átomo de carbono é de aproxi- madamente 1,99x10−26Kg. Expresse em nota- ção científica essa massa em gramas.1. Usando as propriedades das potências, cal- cule o valor de: , obtém−se: 9. Calculando a) a) b) c) d) b) (75 : 73) × 72 c) 10. O quociente (0,016) : pode ser escrito na d) (7 × 4)2 forma: e) a) 8² b) 2 c) 2² d) 4−² e) 0 11. Se x = −100 + 70 − (−6)0, qual é o valor do2. Encontre o valor de . número real x?3. Verifique se as sentenças são verdadeiras ou 12. Qual é a potência que representa a metade de 2²²? falsas: 2 a) (2 × 5)3 = 23 × 53 13. Sendo x = 24, y = 8 e z = 23 , qual é a potên- cia que representa a expressão x . y . z? b) (2 + 5)3 = 23 + 53 c) (17 − 1)2 = 172 − 12 14. Devido ao desgaste, o valor de um carro vai diminuindo com o tempo. A cada ano que d) passa, o valor fica multiplicando por 0,8. Se hoje o carro vale R$ 10.000,00, quanto valerá4. Calcule: daqui a 3 anos? a) 11973 − 11888 +( −1)1789 15. Uma turma organizou uma festa à qual com- b) [(−a4)]3 pareceram 15 alunos. Se cada um der um c) abraço em todos os outros, quantos abraços serão dados ao todo? 41
  • 35. UEA – Licenciatura em Matemática De modo geral, uma expressão do tipo , TEMA 11 sendo n um número natural diferente de zero e a um real, dizemos que , se, e somente se, b n = a. RADICAIS raiz (lê−se: “raiz enésima de a é1. Introdução igual a b”) A história conta que, no século XVI, o sinal de → radical raiz quadrada era o R (maiúsculo) seguido da a: radicando primeira letra da palavra latina quadratus, o q. n: índice Na Europa, matemáticos dessa época escrevi- Exemplos: am, por exemplo, R . q . 30 em vez da moder- na expressão . a) → (raiz quarta de 1/81) • (raiz quarta de 52) , pois • (raiz quinta de 1/4) b) → ( raiz quinta de −32) Veja as seguintes situações: , pois (−2)5 = −32 • Qual a área do quadrado de lado 3cm? Importante: • Se n é par e a é negativo (a < 0), então . Exemplos: Área = L² a) , pois não existe nenhum número 3² = 9 ⇒ Área = 9cm² real elevado à quarta potência que resulte –1. • Qual a medida do lado do quadrado de área b) 49 m²? c) Situação inversa • Se n é ímpar e a negativo (a < 0), então . Exemplos: a) Área = L² 49 = 7² ⇒ L = 7m b) Então, podemos escrever que = 7, pois 7 7.2 Propriedades dos radicais é o número não-negativo cujo quadrado é 49. a) • Qual a medida do lado do cubo de volume 125cm³? Exemplo: b) Exemplo: Volume = L³ c) 125 = L³ ⇒ L = 5 cm Exemplo: Logo, pois 5³ = 125 42
  • 36. Matemática Elementar II – Potências e radicais d) Área = =? Exemplo: Precisamos de índices iguais: e) mmc (2,3) = 6 → novo índice. Assim, temos: Exemplo: f) Exemplo: Agora, podemos calcular a área do retângulo:3. Expoente fracionário Área = Todo número real a elevado a um expoente fra- − • Comparando radicais: cionário de forma (n ≠ 0) é igual à raiz ené- Já vimos que e ; então, sima do número real a elevado ao expoente m, podemos escrever: ou seja, Se 53 > 22, logo > Exemplo: Exemplos: Usando o sinal <, compare os radicais: a) b) Solução: mmc (3, 4, 6) = 12 → novo índice.4. Extração de fatores do radical Exemplos: a) b) 6. Operações com radicais 7.1 Adição e subtração de radicais.4. Introdução de fatores no radical Vamos calcular o perímetro do triângulo da fi- gura ao lado: Se . . Exemplos: a) b) Solução: Perímetro =5. Redução de radicais ao mesmo índice Considere a seguinte situação: • Calcular a área do retângulo Observe que os radicais têm o mesmo 43
  • 37. UEA – Licenciatura em Matemática índice e o mesmo radicando, por isso, são 7.3 Potenciação com radicais denominados de radicais semelhantes, e só Observe que: podemos adicionar ou subtrair radicais semelhantes. Perímetro Então: Exemplos: Exemplos: a) a) b) c) b)7.2 Multiplicação e divisão de radicais. Usando as regras dos produtos notáveis, cal- cule: Considere as seguintes questões: a) a) Determine a área do retângulo abaixo. b) c) Solução: Solução: a) Área = b) A área do retângulo é . Qual é a b) medida da altura desse retângulo? c) Solução: Área = 8. Racionalização de denominadores Sabendo que vale aproximadamente 1,414, Exemplos: responda qual das duas divisões você acha Calcular: que é mais fácil fazer? a) Solução: b) c) Como você observou, as expressões e d) são equivalentes, pois obtivemos o mesmo mmc (3, 4) = 12 resultado na forma decimal: 0,707. Logo, cos- 44
  • 38. Matemática Elementar II – Potências e radicaistuma−se transformar a expressão em ,no qual o denominador é um número racional, 1. Observe a figura abaixoportanto, é mais fácil efetuar cálculos com rad-icais quando eles não estão no denominador.Por isso, racionalizando, quando necessário, odenominador de uma expressão fracionária.Exemplos: Determine:Racionalizar os denominadores das seguintesexpressões fracionárias: a) a soma das medidas de todas as arestas do pa- ralelepípedo;a) b) b) a soma das áreas das faces; c) a volume desse paralelepípedo.c) d) Solução: a) Observe que a figura acima possui quatroSolução: arestas de medidas iguais a . Logo, a soma das medidas de todas asa) , multiplicando o numerador arestas do paralelepípedo é igual a:por , temos: b) Observe as áreas das faces laterais do paralelepípedo.b) , multiplicando o nume- rador e denominador por , temos:c) , multiplicando-se o numerador e denominador por , temos: c) O volume de um paralelepípedo é igual ao produto de suas dimensões (largura, altura e comprimento). 2. O passo de um robô mede exatos cm.d) , multiplicando-se o Quantos passos ele deverá dar para percorrer m? numerador e denominador por , temos: Solução: Comprimento do percurso: 18,5 m = cm Comprimento do passo: cm Número de passos = passos. 45
  • 39. UEA – Licenciatura em Matemática a) b)1. A área de uma das placas de um cubo é 6cm². c) d) Determine: 9. Considerando que = 1,73, a área deste a) a medida da aresta desse cubo; triângulo é: b) a soma das áreas de todas as suas faces; c) o volume do cubo.2. Classifique cada sentença como verdadeira ou falsa: a) b) c) d) a) 30cm² c) 28cm² b) 25,95cm² d) 23,12cm²3. Calcule o valor da expressão: 10. Dados os números e , podemos afirmar que: a) >4. Efetue: c) = a) d) b) < d) não é possível compará-las. b) e) 11. Os resultados de e são, c) f) respectivamente:5. Racionalize o denominador das expressões: a) e4 c) e4 b) e4 d) e a) c) 12. O valor de é: b) d) a) 3 b) 4 c) 7 d) 146. A expressão é equivalente a: 13. Transforme num único radical e, quando pos- a) b) sível, simplifique: c) d) a) b) e) c) d)7. Racionalizando-se o denominador de , obtém−se: 14. Márcia possui 30 cubos de aresta, medindo cm. a) b) a) Quantos desses cubos Márcia deve utilizar para formar o maior cubo possível? c) d) b) Calcule o volume desse cubo formado. e) 15. Calcule o valor da expressão:8. Simplificando a expressão , obtemos: 46
  • 40. Matemática Elementar II – Potências e radicais Os passos mais decisivos para a introdução dos símbolos na matemática foram dados pelo TEMA 12 advogado francês François Viète (1540− 1603). Foi Viète quem começou a substituir as EQUAÇÕES DO 1.0 GRAU palavras por símbolos matemáticos nas equa- ções. Essa substituição, porém, não aconte-1. Introdução ceu de uma só vez. Muitas vezes, para facilitar a resolução de um problema, podemos reduzi-lo por meio de uma sentença matemática chamada equação. Equação é uma igualdade (expressão que tem sinal =) em que há pelo menos uma letra que representa um número desconhecido. O uso de letras para representar números des- conhecidos começou há muito tempo, com os Além de Viète, outros matemáticos de sua época matemáticos da Antigüidade. contribuíram para aperfeiçoar a Álgebra até que ela tomasse a forma que conhecemos hoje. Diofante foi um matemático grego que viveu Antes de falarmos em resolução de uma equa- no século III d.C. Naquela época, os matemáti- ção do 1.o grau, precisamos entender o signifi- cos gregos preferiam estudar Geometria, mas cado de sentença matemática. Diofante dedicou-se à Álgebra. Ele usou a idéia de representar um número desconhecido por Sentença é um conjunto de palavras com sen- uma letra e, por isso, acredita-se que tenha tido completo, por exemplo: influenciado outros matemáticos, como Al− a) Quem não tem colírio usa óculos escuros. Khowarizmi e Viète, no estudo da álgebra. Al−Khowarizmi (783−850), o maior matemáti- co árabe de todos os tempos, resolvia as b) O pirarucu é o maior peixe de água doce. equações de uma maneira semelhante à que usamos hoje. A diferença é que tudo, até mes- mo os números, eram expressos por palavras. Ele escreveu um livro chamado Al−jabr, que significa “restauração”. Esse livro trazia expli- cações minunciosas sobre a resolução de equações. Da expressão Al−jabr originou−se a palavra Álgebra. Quando uma sentença envolve números ela é denominada sentença matemática; exemplos: a) Um mais um é igual a dois. 47
  • 41. UEA – Licenciatura em Matemática b) O produto de 7 por 5 é igual a trinta e cinco ou Exemplos: 7 x 5 = 35. 1) x2 – 7x + 6 = 0 é uma equação do 2.º grau na c) Duzentos e quarenta e três dividido por vinte e variável x, cujo coeficiente dominante é o sete é igual a treze ou 243 : 27 = 13. número 1; 2) 2y5 – 3 y7 + 2 = 0 é uma equação de grau 7 na variável y, cujo coeficiente dominante é o número – 3; 3) 0z10 – 5z – 10 = 0 é uma equação do 1.º grau na variável z, cujo coeficiente dominante é o número – 5. Observe que no 3.o exemplo, apesar de apre- sentar um expoente igual a 10, o grau da equa- Isso mesmo, 243 : 27 = 9, é que as sentenças ção não é definido por ele, pois o coeficiente matemáticas podem ser verdadeiras, como de x10 é igual a zero. nos exemplos a e b, ou falsas como em c. Essas sentenças em que se pode atribuir um 3. Resolvendo as equações de 1.o grau sentido verdadeiro ou falso são chamadas de O conjunto formado por todos os valores que a sentenças fechadas. variável pode assumir, determinando uma sen- tença verdadeira ou não, é denominado con- Agora, vejamos outro exemplo de sentença junto universo (U). matemática: 3y – 7 = 11 Resolver uma equação é encontrar os nú- meros, do universo considerado, que substituí- A sentença apresenta um elemento desconhe- dos pelas variáveis determinam uma sentença cido (y) , chamado variável ou incógnita. Não verdadeira. Esses números são chamados de podemos classificá-la em verdadeira ou falsa, raízes da equação. porque depende do valor a ser atribuído a (y). Para resolver uma equação do 1.o grau a uma Sentenças desse tipo são chamadas de sen- variável, primeiramente iremos definir duas tenças abertas. propriedades operatórias: Vejamos outros exemplos: 1. Aditiva: Podemos somar ou subtrair um nú- mero do universo considerado nos dois a) 12x + 3 = 9 é uma sentença aberta na variável x; membros de uma equação, encontrando b) 2z + w < 8 é uma sentença aberta nas variáveis uma outra equivalente (mesmo conjunto- z e w; solução); c) 31 – 9 = 23 é uma sentença fechada falsa; Exemplo: d) 101 + 57 = 158 é uma sentença fechada ver- Dada a equação x + 5 = 9, aplique o princí- dadeira; pio aditivo e encontre a raiz. e) x + 3 > 7 é uma sentença aberta, que é falsa Solução: para x ≤ 4. É fácil verificar que 4 é raiz da equação da- da, pois 4 + 5 = 9, que é uma sentença ver-2. A equação do 1.0 grau com uma variável dadeira. Pelo princípio aditivo, temos: Chamamos de equação com uma variável toda x + 5 = 9, adicionando (−5) aos dois mem- sentença aberta definida por apenas uma in- bros: x + 5 − 5 = 9 − 5 ⇒ x = 4, que é a raiz cógnita, e o grau da equação é determinado da equação. pelo maior expoente de coeficiente não-nulo Após encontrarmos as raízes de uma equação, (coeficiente dominante). devemos finalizar o exercício escrevendo o 48
  • 42. Matemática Elementar II – Potências e radicaisconjunto das raízes, chamado de conjunto- Método Práticosolução ou conjunto-verdade Verificamos que a resolução de uma equaçãoNo último exemplo: S = {4}. do 1.o grau utilizando as propriedades é muito2. Multiplicativa: Podemos multiplicar ou divi- importante, pois são elas que justificam as dir um número diferente de zero nos dois operações para a simplificação da equação até membros de uma equação, encontrando a sua solução. No entanto podemos “escon- outra equivalente. der” a explícita aplicação dessas propriedades, Exemplos: “passando” os números de um membro para o a) Resolva a equação 3x – 9 = 0, sendo U = outro com a inversão de suas operações. IN. Exemplos: Solução: Somando 9 aos dois membros da equação, 1. Resolver as equações em IR: propriedade aditiva, obtemos: a) 5(x – 1) + 11 = – 9 Solução 3x – 9 + 9 = 0 + 9 3x = 9 5x – 5 + 11 = – 9 Dividindo por 3, ou multiplicando por os 5x + 6 = – 9 5x = – 6 – 9 dois membros, propriedade multiplicativa, obtemos: 5x = – 15 x= x=3 x = –3 S = {3} S = {–3} b) Resolva a equação 2x + 5 = 0, sendo U = b) 10 – 3x – 9 = – 3x + 11 – 2x IN. Solução Solução: 1 – 3x = 11 – 5x 2x + 5 – 5 = 0 – 5 5x – 3x = 11 – 1 2x = – 5 2x = 10 x = 10/2 x=5 S = {5} Como x ∉ IN, temos S = ∅. c) 4 – 3(x – 2) = x – 2(x – 1) b) Resolva a equação , Solução sendo U = Q. 4 – 3x + 6 = x – 2x + 2 Solução: 10 – 3x = 2 – x – 3x + x = 2 – 10 igualando os denominadores: – 2x = – 8, multiplicando a equação por , multiplicando por 6 – 1: 2x = 8 a equação obtemos: x = 8/2 2x − 3x = 21 ⇒ −x = 21, multiplicando por (– 1) ⇒ x = −21. x=4 S = {−21) S = {4} 49
  • 43. UEA – Licenciatura em Matemática d) TEMA 13 Solução: 4. EQUAÇÕES LITERAIS , multiplican- São equações cuja solução está condicionada a outras letras. do por 12: Observe as equações do 1.º grau na incógnita x: 2ax − 5 = 0 e 3b(x + 2) = −3. 3x − 2x + 10 = 4(3 + 2x − 10) Nessas equações, aparecem outras letras x + 10 = 8x − 28 ⇒ x − 8x = −28 −10 além da incógnita. Devemos resolvê-las utili- −7x = −38, multiplicando por (–1) zando os mesmos princípios das equações anteriores. Devemos “olhar” para as outras letras como se fossem números reais, a so- lução da equação literal fica condicionada às letras dadas na equação. Nos exemplos dados, temos: 1. e) Solução: 2. , usando a propriedade funcamental da proporção, temos: . Exemplos: 1. Sendo x a incógnita, resolva as equações em IR: a) Solução: b) Solução: S ={2ac} 50
  • 44. Matemática Elementar II – Potências e radicais d) 5X − 7 − 2x − 2 = 0 e)1. Classifique com A as sentenças abertas e com F as sentenças fechadas: f) a. ( ) 13 – 5 = 8 g) x − (x + 1) = 12 − (3x − 2) b. ( ) 12x + 3y < 0 h) c. ( ) 8.9 = 72 d. ( ) 8 + 3 > 5 e. ( ) x + y + z = 2 8. Encontre os valores de x, y e z, sabendo−se f. ( ) 2a – 76 = 15 que: g. ( ) x2 – 5x + 6 = 0 • 2(z + 4,5) = 18,5 + 0,5 • 3y + 4(y – 1) = 26 – 2(z + 3)2. Verifique quais das seguintes sentenças são • x – y(x +4) + 10 = 2(z + 3,5) verdadeiras: a. ( ) 2x – 6 > 5, para x = 4 9. Identifique a equação equivalente a b. ( ) 8 – 5y = – 7, para y = 3 : c. ( ) 3y – 2x < 6, para y = – 1 e x = 1 d. ( ) 5x + 3y – 2z = 12, para x = 3, y = – 1 e z = 1 a) 4x = 15 b) 4x = – 153. Resolva as equações, onde U = IR, usando as c) 4x = 35 propriedades aditiva e multiplicativa: d) 4x = – 35 a) 2x – 8 = 0 b) 5(x – 1) + 7 = 3(x – 6) 10. A raiz da equação é um número inteiro: c) a) igual a – 5; d) 7x2 − 8x + 13 = −9x + 7x2 − 12 b) maior que – 5; e) c) compreendido entre – 5 e – 2; d) menor que – 5.4. Qual o valor do número racional que, multipli- cado por 7, é igual – 3? 11. (UEPI) A solução racional da equação é um número com-5. O dobro de um número racional é igual a 13. Que número é esse? preendido entre: a) – 6 e – 3;6. Helena tem 54 anos. Seus três filhos têm, res- b) – 3 e 0; pectivamente, 20 anos, 14 anos e 12 anos. Daqui a quantos anos, a idade de Helena será c) 0 e 3; igual à soma das idades de seus filhos? d) 3 e 6; e) 6 e 9.7. Resolva as equações em IR: 12. A resistência R total de um circuito elétrico, for- a) mado por duas resistências de a e b ohms, conectadas em paralelo, é dada pela equação b) 5(3x − 2) = 2(6x + 3) . c) 4(X − 2) + 3(2x − 1) = 6(2x − 3) 51
  • 45. UEA – Licenciatura em Matemática Expresse: O papiro tem o nome do escocês Alexander Henry Rhind, que o comprou por volta de a) R em termos de a e b; 1850, em Luxor, no Egito. É também designa- b) a em termos de R e b; do por papiro de Ahmes, o escriba egípcio que c) b em termos de R e a. o copiou. Encontra-se, atualmente, no Museu Britânico.13. Qual é o conjunto solução da equação O papiro contém uma série de tabelas, 84 6hx + 14 = 18 +2hx, sendo x a incógnita? problemas e as suas soluções.14. Expresse t em termos de b e c: Vejamos alguns problemas do papiro de bt − ct = b2 − 2bc + c2. Rhind: Problema 2715. Sabendo que a ≠ 0, b ≠ 0 e x é a incógnita, resol− Uma quantidade e a sua quinta parte adi- va, no conjunto IR, a equação . cionadas dão 21. Qual é a quantidade? Solução16. Na igualdade , sabendo ou , como era que a ≠ ± b, expresse x em termos de a. escrito.17. Sendo x ≠ b e x ≠ −b, dê o conjunto-solução da equação no conjunto IR. Problema 28 Uma quantidade e os seus dois terços são adi- cionados, e da soma um terço é subtraído, e18. Resolva a equação , sendo x a ficam 10. Qual é a quantidade? incógnita e a ≠ −1 e a ≠ −3. Solução:5. PROBLEMAS DO 1.o GRAU Papiro de Rhind É obvio que o método de resolução original não foi o apresentado, mesmo porque naquela época as propriedades que aqui utilizamos ainda não estavam definidas dessa forma, e muito menos a notação usada. O objetivo com estes exemplos é evidenciar a importância de equacionar problemas para fa- cilitar a sua resolução. Para resolver um problema matemático, quase O Papiro de Rhind está escrito em hierático, da sempre, devemos transformar uma sentença direita para a esquerda, tem 32cm de largura por apresentada com palavras em uma sentença 513cm de comprimento. É datado de cerca de que esteja escrita em linguagem matemática. 1650 a.C., embora o texto diga que foi copiado Esta é a parte mais importante e talvez seja a de um manuscrito, de cerca de 200 anos antes. mais difícil da Matemática. 52
  • 46. Matemática Elementar II – Potências e radicaisExemplos:1. Um certo número foi somado com 8, e o resultado multiplicado por 6. No fim, obteve-se 30. Qual é esse número? 19. Qual é o número que, somado com o triplo de Solução: seu antecessor, resulta em 41? 20. Sabendo que o quádruplo de um número so- mado com 9 é igual ao número somado com 6, descubra qual é esse número. S = {−3} 21. Uma estante custa três vezes o preço de uma2. Gabriel foi pescar no rio Negro, pegou 18 cadeira. Qual o preço da estante, se as duas peixes entre tucunarés e jaraquis. Sabendo- mercadorias juntas custam R$ 64,00? se que o número de jaraquis é o dobro da quantidade de tucunarés, quantos peixes 22. Ana e Maria são irmãs, e a soma de suas ida- de cada espécie Gabriel pescou? des é igual a 35. Qual a idade de Ana, se Maria é 5 anos mais nova? 23. Qual é o número que dividido por 5 é igual a 6? 24. Uma indústria produziu este ano 600.000 uni- dades de um certo produto. Essa produção re- Solução: presentou um aumento de 20%, em relação ao ano anterior. Qual a produção do ano anterior? t + j = 18 e j = 2t Substituindo j = 2t em t + j = 18 obtemos: 25. Quanto devo acrescentar ao número 37,5 para , como obter o número natural mais próximo de 126,725? j = 2t, temos j = 12. Portanto, Gabriel pescou 6 tucunarés e 12 26. Na balança da figura, sabe-se que a bandeja jaraquis. onde se encontra o carro está 12 vezes mais pesada do que a bandeja em que se encontra3. Você vê a planta de uma casa cujo perí- o rapaz. Acrescentando 880kg à bandeja do metro é de 45m. rapaz, a balança fica equilibrada. Calcule o Qual é a largura e o comprimento dessa casa? peso do rapaz. 27. Observe as figuras: Solução: O perímetro é igual a 45m, então 2x + 2,5x + 2x + 2,5x = 45 ⇒ 9x = 45 ⇒ x=5 Portanto, a casa tem 10m de largura por 12,5m de comprimento. 53
  • 47. UEA – Licenciatura em Matemática Com 3 copos de água, enche-se totalmente a 32. Um terreno retangular tem 150m2 de área a garrafa. Colocando−se no garrafão 4 garrafas mais que um terreno quadrado. Sabendo-se de água e mais um copo de água, ainda assim que o terreno retangular tem de frente 10m a faltarão 0,75 litros de água para enchê-lo total- mais que o quadrado e, de fundo, possuem a mente. mesma medida, determine: a) Quantos litros de água cabem nesse copo? b) Quantos litros de água cabem nessa garrafa?28. Qual a idade da vovó? a) a medida do lado menor do terreno; b) a área de cada terreno. 33. No Brasil, a população jovem (0 a 17 anos) é de aproximadamente da população adulta (18 a 59 anos) menos 1 162 431 habitantes. A população idosa (mais de 60 anos) é de apro- ximadamente 14 512 803 habitantes.29. O engenheiro calculou: se forem asfaltados x Sabendo-se que a população total do Brasil é quilômetros por dia, em 16 dias faltarão 18km de, aproximadamente, da soma das popu- para completar o asfaltamento da estrada. Mas se forem asfaltados x + 1 quilômetros por dia, lações adulta e idosa, mais de 23 393 329 habi- em 14 dias faltarão apenas 16km para comple- tantes, calcule: tar a asfaltagem. Qual é o comprimento da a) a população adulta; estrada? b) a população jovem;30. Joana tem 28 anos e sua sobrinha Vanessa c) a população total brasileira. tem 10 anos. Daqui a quantos anos o dobro da idade de Vanessa será igual à idade de Joana? 34. O epitáfio de Diofante, maior algebrista grego:31. José repartiu certa quantia em dinheiro entre seus quatro filhos da seguinte maneira. • Paulo recebeu da herança; Sílvia recebeu da herança mais R$ 9.000,00; “Deus lhe concedeu ser um menino pela sexta parte de sua vida e somando uma duodécima Renato recebeu da herança menos R$ parte a isso cobriu-lhe as faces de penugem. 30.000,00; Ele lhe acendeu a lâmpada nupcial após uma sétima parte e, cinco anos após seu casamen- Teresa recebeu da herança menos R$ to, concedeu-lhe um filho. Ai! Infeliz criança tar- 42.000,00. dia, depois de chegar à medida da metade da vida de seu pai, o destino frio o levou. Depois a) Qual foi a quantia que José repartiu entre de se consolar de sua dor durante quatro anos seus filhos? com a ciência dos números, ele terminou sua b) Quanto cada filho recebeu? vida.” Quanto tempo viveu Diofante? 54
  • 48. Matemática Elementar II – Potências e radicais TEMA 14 Pitágoras e sua genialidade 9. EQUAÇÕES FRACIONÁRIAS Chamamos de equações fracionárias, todas as equações que apresentam variável no deno- minador. Vamos observar um problema: Foram distribuídos 52 cartões azuis e 60 vermel- hos entre as pessoas de um grupo, de modo que cada pessoa recebeu cartões de uma só cor e todas ficaram com a mesma quantidade.Pitágoras descobriu que existe outra forma de Havia quatro pessoas a menos com cartõescalcular potências: por meio da soma de azuis do que com cartões vermelhos.números ímpares. Ele descobriu que n2 éigual a soma dos n primeiros números natu-rais ímpares. Exemplo:32 = 1 + 3 + 5 = 952 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 2562 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36112 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 +17 + 19 + 21 = 121 Experiências matemáticas: 7.ª série. São Paulo, SE/ CENP, 1996.Tente você... Quantas pessoas havia no grupo? Solução: Chamando de x o número de pessoas que receberam cartões azuis, temos a seguinte equação: Como temos uma igualdade entre razões, po- demos utilizar a propriedade fundamental da proporção, “ o produto dos meios é igual ao produto dos extremos”. Então, temos: 60x = 52(x + 4) Procedemos, agora, como nos casos anteri- ores de equações do 1.o grau: . Ou tirando o mmc dos denomidores: 55
  • 49. UEA – Licenciatura em Matemática Portanto 26 pessoas receberam cartões azuis, e 30 pessoas receberam cartões vermelhos, totalizando 56 pessoas. Encontramos uma equação impossível, por- Outro problema: tanto S = ∅. Um carro, desenvolvendo certa velocidade, Outra questão: percorre 240km em t horas. Mantendo a mes- ma velocidade média, vai percorrer 400km em Resolver a equação . (t + 2) horas. Qual é o numero t de horas? Solução: Solução: O conjunto-universo é IR – {– 1, 1}. multiplicando a equação por (1 − t), temos: Portanto t = 3 horas. Uma peculiaridade das equações fracionárias Mas para t = 1, a equação não cria uma iden− é a possibilidade de encontrarmos raízes que geram indeterminação na sentença; por isso, é tidade , que é uma indeter- muito importante que o conjunto-universo este- minação, logo S = ∅. ja bem definido. Nos dois problemas ante- riores, isso não ocorre porque, ao substi- tuirmos a raiz nas respectivas equações, não anulamos nenhum denominador. Nem sempre o conjunto-universo é colocado de forma explicita. Nesse caso, cabe a quem 1. Determine o conjunto solução das seguintes estiver resolvendo a equação determinar o equações, sendo U = IR: conjunto-universo. a) (x ≠ −3) Vamos estudar uma equação em que ocorre esse problema. b) (y ≠ 0) Resolvendo a equação . c) (x ≠ 0 e x ≠ −6) Solução: d) (x ≠ −7) O conjunto-universo dessa equação é IR – {– 2, 0, 2} e) (x ≠ ±7) Vamos simplificar a equação para aplicar a propriedade fundamental da proporção. Para f) (y ≠ ±3) isso, encontraremos o mmc no 1.o membro: 2. Determine o conjunto solução das seguintes equações, sendo U = IR: 56
  • 50. Matemática Elementar II – Potências e radicais Escreva e resolva a equação que permite cal- a) (x ≠ ±5) cular o valor de x, ou seja, quanto tempo o ciclista leva para percorrer 195km. b) (x ≠ 1, x ≠ 2 e x ≠ 3) 7. Um número adicionado a 10 e dividido por ele c) (x ≠ ±1) mesmo é equivalente à fração . Que número é esse? d) (x ≠ ±4) e) (y ≠ ±1 e y ≠ 0) 8. Determine y, para que o quociente seja igual a . f) (x ≠ 2) 9. Segundo uma pesquisa realizada num grupo3. A 7.a série A tem x alunos. Nessa série, foram de pessoas, foi constatado que, ao longo de x distribuídos 320 livros de forma que todos re- meses, o número de pessoas que contrairá ceberam a mesma quantidade. A 7.a série B certa doença é dada pela expressão matemáti− tem (x – 2) alunos, e nessa série foram dis- tribuídos 300 livros, e todos os alunos recebe- ca . Após quantos meses, o número de ram a mesma quantidade. Nessas condições, faça o que se pede: pessoas infectadas por essa doença será de a) Escreva a fração que representa o número de 4000? livros que cada aluno da 7.a série A recebeu. b) Escreva a fração que representa o número de livros que cada aluno da 7.a série B recebeu. c) Quantos alunos há em cada sala, se cada aluno das duas salas recebeu a mesma quantidade de livros?4. Alice comprou certa quantidade de calças por R$ 120,00 e 2 blusas a mais que a quantidade de calças por R$ 100,00. O preço de uma calça é o dobro do preço de uma blusa. Sabendo-se que todas as calças custaram o mesmo preço e que todas as blusas também, quantas calças e quantas blusas Alice comprou?5. A diferença entre o quociente de 4 por um nú- mero real e o inverso desse número é 2. Qual é o número?6. Um ciclista, pedalando a certa velocidade, per- corre 195km em x horas. Mantendo a veloci- dade média, ele percorre 260km, pedalando 1 hora a mais. 57
  • 51. UNIDADE IVInequações e Sistemas 59
  • 52. Matemática Elementar II – Inequações e Sistemas multiplicarmos por um número negativo en- contramos o simétrico do número dado. TEMA 15 Veja: –2<4INEQUAÇÃO DO 1.O GRAU Multiplicando por (– 1), temos: 2> –4Toda sentença aberta, expressa por umadesigualdade, chama−se inequação. O grauda inequação é determinado da mesma formaque o fizemos para as equações.Uma inequação relaciona o primeiro membro Vamos generalizar esta propriedade:com o segundo por um dos símbolos: Para todos os números reais x, y e z, se x < y, vale: <> ≥ ≤ ≠ a) xz < yz, se z > 0Vamos considerar o seguinte problema: b) xz > yz, se z < 0Numa escola, é adotado o seguinte critério: a c) , se z > 0nota da primeira prova é multiplicada por 1, anota da segunda prova é multiplicada por 2, e d) , se z < 0a da última prova é multiplicada por 3. Osresultados, após somados, são divididos por Exemplos:6. Se a média obtida por este critério for maior 1. Resolva a inequação 2(3x − 5) > 3(x − 12),ou igual a 6,5, o aluno é dispensado das ativi- sendo U = Z.dades de recuperação. Suponha que um alunotenha tirado 6,3 na primeira prova e 4,5 na Solução:segunda. Quanto precisará tirar na terceira pa-ra ser dispensado da recuperação?Solução: Como x ∈ Z, então S{−8, −7, −6, −5,...} é a inequação que verifica 2. Resolva a inequação ,se o aluno foi ou não aprovado sem precisarfazer a recuperação. Sendo U = IR.Para resolver essa inequação, utilizaremos os Solução:princípios aditivo e multiplicativo, que vimos naresolução das equações.Substituindo as notas da primeira e da segun- Multiplicando a inequação por 18 (mmc de 9 eda prova, temos: 6), temos: 2(19 − 4x) ≤ 3(2x − 3) ⇒ 38 − 8x ≤ 6x − 9 ⇒ −8x − 6x ≤ − 9 − 38 ⇒ −14x ≤ −47, Multiplicando por (−1), temos: .Neste problema, o princípio multiplicativo é uti-lizado sem complicações, pois multiplicamos ainequação por um número positivo. Quando amultiplicação é por um número negativo, deve- 3. Qual é o menor número inteiro que satisfaz ase mudar o sentido da desigualdade. Isto ocor- desigualdade ?re devido à “mudança” de posição na reta: ao 61
  • 53. UEA – Licenciatura em Matemática Solução: dições, Paulinho é mais velho que José, te- mos: x + 10 > 2x ⇒ x − 2x > −10 ⇒ −x > −10 ⇒ x < 10 Multiplicando a desigualdade por 4, temos: Portanto: Paulinho tem, no máximo, 9 anos. Portanto o menor inteiro que satisfaz a inequação é o número 4. 1. Resolva as desigualdades, sendo U = IR:4. Doze atores, entre garotas e rapazes, serão es- colhidos para trabalhar em uma peça de teatro. a) O diretor resolveu que o triplo do número de rapazes menos 1 deverá ser menor que o total b) de atores da peça. Quantas garotas e quantos c) 4(x − 2) + 32 > 16x rapazes serão escolhidos, se deve haver pelo menos dois rapazes como atores? d) e) 4 + 8x ≥ 16 f) 5x − (x − 2) ≤ 6 g) h) Solução: i) Chamaremos de x os rapazes e de y as garo- tas. Temos, então: 2. Qual é o menor número inteiro que é solução x + y = 12 e da inequação ? . Com isso, temos as seguintes possibilidades: 3. Qual é o maior número inteiro que é solução 4 rapazes e 8 garotas, 3 rapazes e 9 garotas e da desigualdade ? 2 rapazes e 10 garotas. Lembre−se de que a peça deve apresentar pelo menos 2 rapazes. 4. Para estudar um projeto, será formada uma co-5. José tem o dobro da idade de Paulinho. Se missão mista de deputados e senadores, num Paulinho tivesse nascido 10 anos antes, sua total de oito membros. O dobro do número de idade seria maior que a de José. Quantos senadores mais 1 deverá ser menor que o total anos, no máximo, Paulinho deve ter? de membros da comissão. Quantos deputados e senadores terá a comissão? Solução: 5. Um feirante, após ter vendido x melões a R$ Consideremos a idade de Paulinho igual a x, 3,00 cada, vendeu os últimos 21 por um total então a idade de José é 2x. de R$ 40,00. Qual a menor quantidade de me- Se Paulinho tivesse nascido 10 anos antes, sua lões que ele deveria vender a R$ 3,00 para idade passaria a x + 10. Como, nessas con- obter mais de R$ 280,00 nessa venda? 62
  • 54. Matemática Elementar II – Inequações e Sistemas TEMA 16 SISTEMAS DE EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES DO 1.O GRAU COM DUAS VARIÁVEIS Equação do 1.o grau com duas variáveis6. Subtraindo-se 2 anos da idade de uma pes- Observe o problema: soa, e multiplicando-se a diferença por 7, obtém−se um número menor que o sêxtuplo Évana e Cláudio têm juntos 16 anos. Sabendo- da idade dela aumentado de 8. Qual a idade se que a idade de Évana é o triplo da idade de máxima dessa pessoa? Cláudio, qual a idade dos dois? Solução:7. Considere a sentença: o dobro de um número Chamando de x a idade Cláudio e de y a idade somado com a sua terça parte é maior que 14. de Évana, temos a equação: x + y = 16. Ora, O conjunto-verdade dessa sentença é: a idade de Évana é o triplo da idade de a) {x ∈ Q | x < 6} Cláudio, logo y = 3x. Substituindo a equação b) {x ∈ Q | x > 6} que relaciona as idades na equação da soma das mesmas, obtemos: c) {x ∈ Q | x > 2} x + y = 16 ⇒ x + 3x = 16 ⇒ 4x = 16 ⇒ x = 4 d) {x ∈ Q | x < 2} Portanto Cláudio tem 4 anos, e Évana tem 12 anos.8. (F. SANTO ANDRÉ−SP) Dos conjuntos abaixo, aquele que representa um conjunto unitário é: Observando apenas a equação que relaciona as idades, y = 3x, chegaremos a algumas con- a) {x ∈ IN | x − 8 < −8} clusões importantes: b) {x ∈ Z | x + 3 ≤ 3} Tomemos a equação: y = 3x c) {x ∈ IN | 2x − 2 < 0} Montemos uma tabela com uma coluna para a d) {x ∈ Z | x + 3 > 2} variável x e outra para variável y. Atribuamos e) {x ∈ IN | 5x − 5 ≤ 0} valores arbitrários para x e encontremos o valor correspondente para y.9. (FGV−SP) Quantas raízes inteiras e menores do x y que 5 admite a inequação ? 2 6 −1 −3 a) 1 0 0 −10 −30 b) 2 4 12 c) 3 4 d) 4 e) n.d.a. Poderíamos continuar indefinidamente atribuin- do valores para uma das variáveis e encontran- do o valor correspondente para outra, de modo que cada par, na ordem x e y, de valores deter- minados satisfaça a equação dada (y = 3x). A partir deste exemplo, podemos verificar condições bem definidas. Por exemplo: • A cada valor atribuído para uma variável, existe um único valor correspondente para a outra. 63
  • 55. UEA – Licenciatura em Matemática • As soluções da equação são dadas aos Os pares ordenados são representados por pares, 2 e 6, – 1 e – 3, 0 e 0, etc. pontos num plano formado por dois eixos reais • Podemos encontrar tantos pares quantos (retas) perpendiculares entre si, o plano carte- desejarmos, a equação tem infinitas solu- siano. ções. O eixo horizontal é chamado de eixo das • A ordem em que substituímos os valores nas abscissas ou eixo x, e o eixo vertical é chama- variáveis, em geral, não coincide. Por exem- do de eixo das ordenadas ou eixo y. plo, quando x = 4 ⇒ y = 12 e quando y = 4 ⇒ x= . Portanto a ordem importa. Cada solução de uma equação do 1.o grau com duas variáveis é um par de números cuja ordem deve ser respeitada, que é denominado de “par ordenado”. PLANO CARTESIANO Para localizar um ponto num plano cartesiano, René Descartes nasceu na França. De família utilizamos a seqüência prática: nobre, recebeu suas primeiras instruções no • O 1.o número do par ordenado deve ser loca- colégio jesuíta de La Flèche, graduando-se lizado no eixo das abscissas. em Direito, em Poitier. Foi participante ativo de • O 2.o número do par ordenado deve ser loca- várias campanhas militares como a de Mau- lizado no eixo das ordenadas. rice, o Príncipe de Nassau, a do Duque Ma- ximiliano I da Baviera e a do exército francês • No encontro das perpendiculares aos eixos x no cerco de La Rochelle. Foi amigo dos mai- e y, por esses pontos, determinamos o ponto ores sábios da época como Faulhaber, procurado. Desargues e Mersenne, e é considerado o Exemplo: “Pai da Filosofia Moderna”. • Localize os pontos (4, 3), (−4, 1) e (1, −1). Em 1637, escreveu seu mais célebre tratado, o Discurso do Método, em que expõe sua teoria de que o universo era todo feito de matéria em movimento, e qualquer fenômeno poderia ser explicado por meio das forças Geometricamente, o conjunto-solução de uma exercidas pela matéria contígua. Esta teoria equação do 1.o grau com duas variáveis em IR, só foi superada pelo raciocínio matemático é uma reta que contém todos os pares ordena- de Newton. Suas idéias filosóficas e científi- dos que satisfazem a equação dada. cas eram muito avançadas para a época, mas sua matemática guardava características Exemplo: da antigüidade, tendo criado a Geometria Representar, geometricamente, o conjunto- Analítica numa tentativa de volta ao passado. solução da equação y − x = 2. 64
  • 56. Matemática Elementar II – Inequações e SistemasSolução: qüência, que é .Atribuímos valores arbitrários para x e encon-tramos os valores correspondentes em y; re- Um sistema do 1.o grau a duas variáveis é umapresentamos os pontos no plano cartesiano e, sentença aberta constituída de duas equaçõesdepois, “ligamos” esses pontos. A reta é a do 1.o grau, que possuem as mesmas var-solução da equação em IR. iáveis, o mesmo conjunto-universo e que estão ligadas pelo conectivo “e”. A solução desse sistema pode ser: • um único par ordenado; • infinitos pares ordenados; x y • nenhum par ordenado (conjunto vazio). −2 0 −1 1 No problema dado, a solução é o par ordena- 0 2 do (28,4), onde x = 28 e y = 4. 2 4Como a solução de uma equação do 1.o grau, Resolvendo sistemas de equações do 1.oem IR, é uma reta, basta definirmos dois pares grau com duas variáveisordenados que satisfazem a equação dada e A resolução de um sistema de duas equaçõestraçar a reta que os contém. com duas variáveis consiste em determinar umExemplo: par ordenado que torne verdadeiras, ao mes- mo tempo, essas equações.Esboce o gráfico da equação 2x + y = 4. Estudaremos, a seguir, alguns métodos:Solução: Método de substituição Neste método, escolhemos uma das equa- ções, isolamos uma das variáveis e substituí- mos na outra equação. Exemplos: x y 1. Vamos retomar o sistema do problema que 1 2 apresentamos acima: 3 −2 Solução:Depois de representar os pontos no plano Isolando x na 1.a equação, temos:cartesiano, basta traçar a reta que contém os x = 32 − ypontos determinados na tabela. Substituindo na segunda equação:Observe o seguinte problema: (32 − y) − y = 24, ficamos agora com umaA soma das idades do meu filho e da minha é equação do 1.o grau a uma variável. Resol-igual a trinta e dois, e a diferença entre a minha vemos a equação e determinamos uma dasidade e a dele é igual a vinte e quatro. Que coordenadas do sistema.idade tem cada um? 32 − 2y = 24 ⇒ −2y = 24 − 32 ⇒ −Chamando de x a idade do pai e de y a idade 2y = −8 ⇒ y = 4.do filho, temos duas equações: Substituindo em qualquer uma das equa-x + y = 32 e x − y = 24. Podemos também re- ções, encontramos a outra variável.presentar as duas equações utilizando a nota- x = 32 − 4 ⇒ x = 28ção que apresentaremos com maior fre− ∴ S = {(28,4)} 65
  • 57. UEA – Licenciatura em Matemática Solução: 2. Resolva o sistema . Da 1.a equação, temos: Solução: 2x = 8200 − 1,5y ⇒ x = 4100 − 0,75y Vamos tomar a 1.a equação e isolar x: Substituindo na 2.a equação: 1,5(4100 − 0,75y) + 2y = 9300 ⇒ 6150 − Substituindo na 2. equação, temos: a 1,125y + 2y = 9300 ⇒ 0,875y = 3150 ⇒ y = 3150 ⇒ y = 3600 e x = 4100 − 0,75.3600 ⇒ x = 1400 A quantia aplicada foi de R$ 5.000,00. Método de comparação Encontramos a outra coordenada substituin- Este método consiste em isolar uma variável do em x = 14 + y: comum nas equações dadas e efetuar a igual- x = 14 − 6 ⇒ x = 8 dade entre elas (comparar as equações). S = {(8, −6)} Exemplos: 3. Um barco percorre 16km em 1 hora, nave- 1. Resolva o sistema . gando a favor da corrente; para retornar pe- Solução: lo mesmo trajeto, demora 2 horas. Qual é a velocidade do barco? E a velocidade da cor- Isolando y em ambas equações, temos: rente? 3x + 10 = y e x + 7 = y, comparando as Solução: equações: Chamando de x a velocidade do barco, de y a velocidade da corrente, temos: substituindo em x + 7 = y, por exemplo, temos: Isolando y na 1.a equação, temos: y = 16 − x. Substituindo na 2.a equação, temos: x − (16 − x) = 8 ⇒ x − 16 + x = 8 ⇒ 2x 2. Encontre o par ordenado que satisfaz o sis− = 24 ⇒ x = 12. tema . Encontramos a outra coordenada substituin- do em y = 16 − x: y = 16 − 12 ⇒ y = 4 Solução: Vamos simplificar a equação: Portanto a velocidade do barco é de 12km/h, e a velocidade da corrente é de 4km/h. 4. Pablo investe uma certa quantia a juros durante um mês: uma parte a 2% ao mês, e o restante a 1,5% ao mês, recebendo R$ 82,00 de juros. Se ele trocasse entre si as Isolando x na segunda equação, temos: quantias aplicadas, receberia R$ 93,00 de juros. Qual foi a quantia aplicada? x = −1 − y 66
  • 58. Matemática Elementar II – Inequações e Sistemas Comparando as equações, encontramos o y o número de notas de 50 reais, temos o valor da ordenada y: sistema: Isolando y nas duas equações, temos: Substituindo em x = −1 − y, encontramos o valor da abscissa x: x = −1 − 3 ⇒ x = −4. Igualando as equações, encontramos x: S = {(−4, 3)} 120 − x = 189 −2x ⇒ 2x − x = 69 ⇒ x = 69 Substituindo, temos:3. Um comerciante compra, no exterior, vidros de vitaminas de dois tipos. Cada vidro do y = 120 − x ⇒ y = 120 − 69 ⇒ y = 51. tipo I custa 10 dólares, e do tipo II, 15 Portanto foram exigidas 69 notas de 100 dólares. Se ele fez uma compra de 35 reais e 51 notas de 50 reais. vidros, gastando 400 dólares, quantos vidros de cada tipo comprou? b) O máximo divisor comum entre 69 e 51 é 3, logo o número de seqüestradores poderiam Solução: ser 1 ou 3. Como o problema deixa explicito Chamando de x o vidro tipo I, e de y o vidro que foram “criminosos”, podemos afirmar de tipo II, temos o sistema de equação: que são três seqüestradores. Método de adição Isolando y em cada uma das equações, Esse processo de resolução consiste em veri- temos: ficar se as equações possuem termos seme- lhantes de coeficientes oposto nas equações dadas. Caso não existam, usando o princípio Comparando as equações: multiplicativo, encontramos. Depois, somamos as equações membro a membro. Exemplos: e x = 35 − 10 ⇒ x = 25. 1. Resolva os sistemas: Portanto o comerciante comprou 25 vidros a) do tipo I e 10 vidros do tipo II.4. Criminosos seqüestraram a cadelinha de Solução: uma atriz de TV e exigiram um resgate de R$ Observamos que os coeficientes de y nas 9 450,00, que deveria ser pago unicamente duas equações são oposto; nesse caso, basta com notas de 100 e de 50 reais, num total de somar as equações membro a membro. 120 notas. a) Quantas notas de cada tipo os seqüestradores pediram? b) As quantidades de notas pedidas visavam per- Encontrando o valor de uma das variáveis, mitir que os criminosos dividissem igualmente operamos como nos casos anteriores: cada tipo de nota. Sabendo disso, você é ca- paz de descobrir quantos criminosos havia?Solução: .a) Sendo x o número de notas de 100 reais, e 67
  • 59. UEA – Licenciatura em Matemática b) d) Solução: Primeiramente, deixaremos a 2.a equação Agora, não temos coeficientes opostos em mais simples. uma variável comum. Escolhemos, de forma conveniente, uma das equações e aplica- mos o princípio multiplicativo de modo a Reescrevendo o sistema: obter coeficientes opostos. Vamos multiplicar a 1.a equação por 2. Multiplicando a 1.a equação por (–1), temos o sistema preparado para o método aditivo. Pronto, agora o sistema possu coeficientes e −x + 2y = 4 ⇒ opostos em uma mesma variável. Operamos como no caso anterior. −6 + 2y = 4 ⇒ 2y = 10 ⇒ y = 5 S = {(6,5)} 2. Um colégio comprou todos os ingressos de uma peça de teatro para distribuir a seus alunos da 7.a série. O diretor pensou em dar 3 ingressos para cada aluno, mas percebeu substituindo na 1.a equação, temos: que faltariam 10 ingressos. Então, ele re- solveu dar 2 ingressos para cada aluno, e sobraram 125 ingressos para distribuir aos alunos das outras séries. Quantos alunos esse colégio tem na 7.a série, e quantos ingressos o colégio comprou para distribuir aos seus alunos? c) Solução: Chamando de x o número de alunos da 7.a Solução: série e de y a quantidade de ingressos com- Neste caso, precisaremos multiplicar as du- prados para distribuir aos alunos, montamos as equações. Multiplicando a 1.a equação o sistema: por 3, e a 2.a equação por 2, encontramos um sistema equivalente ao anterior. Pronto, agora usamos o método aditivo: Multiplicando a segunda equação por (– 1), . Somando as temos: equações, membro a membro, temos: e 5x − 2y = −3 ⇒ 5 −2x + y = 125 ⇒ −270 + y = 125 ⇒ y = 395 − 2y = −3 ⇒ −2y = −8 ⇒ y = 4 Portanto a sétima série do colégio tem 135 S = {(1,4)} alunos, e foram comprados 395 ingressos. 68
  • 60. Matemática Elementar II – Inequações e Sistemas TEMA 17REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMAINEQUAÇÃO DO 1.O GRAU COM DUASVARIÁVEISMétodo prático: Observe que a solução deste sistema exclui• Substituímos a desigualdade por uma igual- a reta que limita o semiplano. dade. Resolução gráfica de um sistema de• Traçamos a reta no plano cartesiano. inequações do 1.o grau• Escolhemos um ponto auxiliar, de preferên- Para resolver um sistema de inequações do 1.o cia o ponto (0, 0), e verificamos se o mesmo grau, graficamente, devemos: satisfaz ou não à desigualdade inicial. • traçar num mesmo plano o gráfico de cada• Em caso positivo, a solução da inequação inequação; corresponde ao semiplano ao qual pertence • determinar a região correspondente à inter- o ponto auxiliar. secção dos dois semiplanos;• Em caso negativo, a solução da inequação • destacar a região de intersecção dos semi- corresponde ao semiplano oposto àquele planos. ao qual pertence o ponto auxiliar. Exemplos:Exemplos: 1. Dê a resolução gráfica do sistema:1. Representa graficamente a inequação 2x + y ≤ 4. Solução: Traçando as retas −x + y = 4 e 3x + 2y = 6. Gráfico Substituindo o ponto auxiliar (0, 0) na inequação 2x + y ≤ 4, verificamos: 2.0 + 0 ≤ 4 (afirmativa positiva, o ponto auxiliar satisfaz a inequação). A solução da inequação corresponde ao semi- plano ao qual pertence o ponto auxiliar (0, 0).2. Representar graficamente a inequação 2x − y < 4. 69
  • 61. UEA – Licenciatura em Matemática 2. Resolva, graficamente, o sistema . ARQUIMEDES Solução: Entre o grande número de descobertas rea- lizadas por Arquimedes, é necessário assinalar a seguinte: Quando Hieron reinava em Siracu- sa, propôs oferecer, em um certo templo, uma coroa de ouro aos deuses imortais. Combinou a confecção da obra com um artesão mediante Gráfico uma boa soma de dinheiro e a entrega da quantidade de ouro em peso. O artesão entre- gou a coroa na data combinada com o Rei, que a achou executada com perfeição, parecendo que contivesse todo o ouro que lhe havia sido entregue. Sabendo, porém, que o artesão reti- rara parte do ouro, substituindo-o por um peso equivalente em prata, o rei, indignado diante o desse engodo e não tendo em mãos os meios para provar ao artesão sua fraude, encarregou a Arquimedes que se ocupasse da questão e que, com sua inteligência, encontrasse esses meios. Um dia em que Arquimedes, preocupa- do com esse assunto, entrou por acaso em uma casa de banhos, percebeu que à medida que entrava na banheira, a água transbordava 3. Resolva, graficamente, o sistema da mesma. Esta observação o fez descobrir a razão que procurava e, sem mais esperar, pela . alegria que este fato lhe produzia, saiu do banho ainda nu e, correndo para sua casa, gri- tava: Heureka! Heureka!, isto é, “encontrei! encontrei!”. Gráfico 70
  • 62. Matemática Elementar II – Inequações e Sistemas 6. Em um jogo de futebol, as vitórias somam para o time ganhardor 3 pontos, e os empates 1 ponto. Sabendo-se que uma equipe disputou 23 jogos e obteve, ao todo, 37 pontos, responda:1. Resolva, geometricamente, as equações em IR: a) 3x + 2y = 4 b) x − 4y = −1 c) 3x + y = −2 d) x−y=0 e) x + y = 0 f) x + y = 11 g) x − y = 52. Verifique se o par ordenado (–3, 5) é solução, ao mesmo tempo, das equações 4x + 3y = 3 a) Quantas foram as vitórias? e 2x − 5y = −31. b) Quantos foram os empates3. Resolva, no mesmo plano cartesiano, as equa- 7. Em um estacionamento existem um total de 15 ções x + y = 11 e x − y = 5. Depois, por tenta- veículos (entre carros e motos) sendo que o tiva, encontre a solução comum às equações. número total de rodas é igual a 50. Calcular a diferença entre o número de carros e o número4. (CEFET−97) Os pontos A(0, 4), B(– 2, 0), de motos. C(0, – 4) e D(2, 0) determinam um: 8. Resolva os sistemas pelo método da comparação: a) quadrado; b) losango; c) retângulo; d) círculo; a) e) trapézio. b)5. Resolva os sistemas, usando o método da substituição: c) a) S = {(4,1)} d) b) e) c) 9. Seis pessoas vão a um restaurante e pedem 6 pratos do dia. Na hora da sobremesa, apenas S = {(14,6)} uma entre as seis pessoas não quis sobreme- sa. Sabendo que a diferença entre o preço do d) prato do dia e o preço da sobremesa é de 5 reais, e que o grupo gastou, ao todo, 107 reais, S = {(−5,7)} qual o preço do prato do dia? 10. Um barco percorre 9km em 30min, navegando e) a favor da corrente; para regressar ao ponto de partida, demora 3h. Calcule a velocidade do S = {(−4,−4)} barco e a velocidade da corrente. 71
  • 63. UEA – Licenciatura em Matemática11. Há 5 anos, a idade de Marta era o dobro da – A soma de minha idade com a de minha filha idade de Renata. Dentro de 5 anos, será so- é 44 anos. Dois anos atrás, eu tinha o triplo da mente . Quantos anos elas têm atualmente? idade dela. Qual a idade de minha professora e da filha12. Determine a solução de cada um dos sistemas dela? de equações nas incógnitas x e y. 15. Arquimedes foi um brilhante inventor e mate- a) mático grego que viveu antes de Cristo. Conta- se que, certa vez, ele recebeu um pedido de um S = {(7,3)} rei. Este queria saber se a sua coroa era real- mente de ouro puro. Só que para responder à b) questão era proibido danificar a coroa. Arquimedes mediu o volume da coroa usando S{(15,−14)} um recurso em que ninguém tinha pensado até então. Ele mergulhou a coroa num tanque com c) água. Imagine que tenha sido assim: d) Depois, Arquimedes verificou que a coroa tinha S{(2,3)} massa de 2kg. Sabendo que o volume de 1kg de ouro é 50cm3, ele pôde solucionar a dúvida do rei. e) a) Examine as figuras e determine o volume da coroa. b) Pode essa coroa ser de ouro maciço? Por quê? S{(20,20)} c) Suponha que essa coroa seja feita de ouro e prata. O volume de 1kg de prata é 100cm3. Com f) essa informação, descubra quantos quilogramas de prata e quantos de ouro formam a coroa. 16. O par ordenado (x, y) é a solução do sistema13. Em uma chácara, há porcos e galinhas, num to- tal de 120 animais. Sabendo-se que o dobro do número de porcos é igual à metade do número de galinhas, calcule a quantidade de porcos e Nessas condições, etermine o valor de: de galinhas criados nessa propriedade. a) xy b) x2 + y2 c)14. Perguntei a idade de minha professora de Ma- temática. Ela me contou, e contou também a 17) Um número natural de dois algarismos pode idade da filha, mas disse isso de maneira espe- ser representado assim: 10x + y, x dezenas e y cial: unidades. 72
  • 64. Matemática Elementar II – Inequações e Sistemas Esse número, menos o número que se obtém e . Nessas condições, sendo x ≠ −2 e trocando a ordem dos algarismos, vai dar 45. Descubra qual é o numero, sabendo que a x ≠ −3, determine o valor de: soma dos seus algarismos é 11. a) y − x b)18. Observe a resolução de um sistema com equa- ções fracionárias, e depois resolva os outros c) (x + y)(x − y) sistemas dados: 20. Qual o par ordenado que resolve o sistema? a) . Primeiramente, identificamos a condição de existência das equações. Nesse exemplo, y ≠ 0, y ≠ 1 e x ≠ 0. Depois, simplifi- camos as equações fracionárias e voltamos aos 21. Resolva, graficamente, as inequações: casos anteriores. a) x + y > 0 Solução: b) c) Multiplicando a primeira equação por (– 2), e d) 3 − 2x ≥ y − 12 adicionando à segunda, temos: e) 3x − 5y < −2 22. Resolva, graficamente, os sistemas: a) 3x − y = 0 ⇒ 3.2 − y = 0 ⇒ y = 6 S = {(2,6)} b) Observe que o par ordenado (2,6) não fere a condição de existência. c) b) c) d)19. Dois números reais, x e y, são tais que 73
  • 65. UNIDADE VEquação do 2.º grau e intervalos em IR
  • 66. Matemática Elementar II – Equação do 2.º grau e intervalos em IR solução das equações de forma puramente algébrica. TEMA 18 A abordagem chinesa para a resolução destas equações foi o método fan−fan, redescoberto, EQUAÇÃO DO 2.O GRAU independentemente, em 1819, pelo matemáti- co inglês William George Horner. Assim, o mé- todo fan−fan, ficou conhecido como método1. Introdução de Horner. Séculos mais tarde Isaac Newton As equações do segundo grau são abordadas desenvolveu um método bastante similar. na história da Matemática desde a época dos No século XVI, François Viéte utilizou-se de egípcios, babilônios, gregos, hindus e chineses. simbolismo para representar equações dando O primeiro registro das equações polinomiais a elas um caráter geral. do 2.o grau foi feito pelos babilônios. Eles ti- 1.2 Definições nham uma álgebra bem desenvolvida e resolvi- am equações de segundo grau por métodos Denomina−se equação do 2.o grau, na incógni- semelhantes aos atuais ou pelo método de ta x, toda equação da forma: completar quadrados. Como as resoluções ax2 + bx + c = 0; a∈IR* e b, c ∈ IR dos problemas eram interpretadas geometrica- mente, não fazia sentido falar em raízes negati- Exemplos: vas. O estudo de raízes negativas foi feito a partir do século XVIII. 1. x2 − 5x + 6 = 0 é um equação do 2.o grau com a = 1, b = −5 e c = 6. Como eles não utilizavam coeficientes nega- tivos, precisavam distinguir diferentes casos 2. 6x2 − x − 1 = 0 é um equação do 2.o grau possíveis: com a = 6, b = −1 e c = −1. x2 + px = q 3. 7x2 − x = 0 é um equação do 2.o grau com a = 7, b = −1 e c = 0. x2 = px + q 4. x2 − 36 = 0 é um equação do 2.o grau com x2 + q = px a = 1, b = 0 e c = −36. O caso x2 + px + q = 0, com p e q positivos, Nas equações escritas na forma ax² + bx + c = 0 não teria solução. (forma normal ou forma reduzida de uma equa- Na Grécia, a Matemática tinha um cunho filosó- ção do 2.o grau na incógnita x), chamamos a, fico e pouco prático. Euclides, nos Elementos b e c de coeficientes. resolve equações polinomiais do 2.o grau por • a é sempre o coeficiente de x²; meio de métodos geométricos. • b é sempre o coeficiente de x; Diofante contribuiu para mais um avanço na busca da resolução de equações do 2.o grau • c é o coeficiente ou termo independente. ao apresentar uma outra representação da equação introduzindo alguns símbolos, pois, 1.3 Equações completas e Incompletas até então, a equação e sua solução eram re- Uma equação do 2.o grau é completa quando presentadas em forma discursiva. b e c são diferentes de zero. Na Índia, as equações polinomiais do 2.o grau Exemplos: eram resolvidas completando quadrados. Essa x² − 9x + 20 = 0 e −x² + 10x − 16 = 0 são forma de resolução foi apresentada geometri- equações completas. camente por Al−Khowarizmi, no século IX. Eles descartavam as raízes negativas, por serem Uma equação do 2.o grau é incompleta quan- “inadequadas”, e aceitavam as raízes irra- do b ou c é igual a zero, ou ainda quando cionais. Tinham também uma “receita” para a ambos são iguais a zero. 77
  • 67. UEA – Licenciatura em Matemática Exemplos: 1.5 Resolução de equações incompletas x² − 36 = 0 x² − 10x = 0 4x² = 0 Utilizamos, na resolução de uma equação in- (b = 0) (c = 0) (b = c = 0) completa, as técnicas da fatoração e duas im- portantes propriedades dos números reais:1.4 Raízes de uma equação do 2.o grau a) 1.a Propriedade: Se x ∈ IR, y IR e x.y = 0, Resolver uma equação do 2.o grau significa de- então x =0 ou y = 0. terminar suas raízes. b) 2.a Propriedade: Se x ∈ IR, y ∈ IR e x2 = y, Raiz é o número real que, ao substituir a incóg- então x = ou x = . nita de uma equação, transforma-a numa sen- tença verdadeira. 1.o Caso: Equação do tipo ax2 + bx = 0. O conjunto formado pelas raízes de uma equa- Exemplo: ção denomina-se conjunto-verdade ou conjun- to-solução. Determine as raízes da equação x2 − 8x = 0, sendo U = IR. Exemplos: Solução: a) Dentre os elementos do conjunto A = {−1, 0, 1, 2}, quais são raízes da equa- Inicialmente, colocamos x em evidência: ção x² − x − 2 = 0? x.(x − 8) = 0 Solução: Para o produto ser igual a zero, basta que um Substituímos a incógnita x da equação por dos fatores também o seja. Assim: cada um dos elementos do conjunto e verifi- x = 0 ou x − 8 = 0 ⇒ x = 8 camos quais as sentenças verdadeiras. Obtemos, dessa maneira, duas raízes que for- mam o conjunto-verdade: V = {0, 8} De modo geral, a equação do tipo ax2 + bx = 0 tem como soluções x = 0 e x = . 2.o Caso: Equação do tipo ax2 + c = 0. Exemplo: Determine as raízes da equação 2x2 − 72 = 0, sendo U = IR. Logo, −1 e 2 são raízes da equação. Solução: b) Determine p sabendo que 2 é raiz da equa- 2x2 = 72 ção (2p − 1) x² − 2px − 2 = 0. x2 = 36 Solução: Substituindo a incógnita x por 2, determi- namos o valor de p. (2p − 1). 22 − 2p . 2 − 2 = 0 x = ±6 → A equação tem duas raízes simétricas. (2p − 1). 4 − 4p − 2 = 0 De modo geral, a equação do tipo ax2 + c = 0 8p − 4 − 4p − 2 = 0 4p − 6 = 0 possui duas raízes reais se for um número positivo, não tendo raiz real caso seja um Logo, o valor de p é . número negativo. 78
  • 68. Matemática Elementar II – Equação do 2.º grau e intervalos em IR Aplicações: 5.º passo: extrair a raiz quadrada a) Resolva a equação literal incompleta dos dois membros. 3x2 – 12m2 = 0, sendo x a variável. Solução: 3x2 − 12m2 = 0 ⇒ 3x2 = 12m2 ⇒ x2 = 4m2 x= ⇒ x = ± 2m 6.º passo: adicionar −b aos dois membros. Logo, temos: V = {−2m; 2m} b) Resolva a equação literal incompleta my2 − 2aby=0, com m ≠ 0, sendo y a var- iável. 7.º passo: dividir os dois membros Solução: por a ≠ 0. my2 − 2aby = 0 y(my − 2ab)=0 Temos, portanto, duas soluções: Assim, encontramos a fórmula resolutiva da y=0 ou my − 2ab = 0 ⇒ my = 2ab ⇒ y= equação do 2.o grau: Assim: V = {0; }1.6 Resolução de equações completas Para solucionar equações completas do 2.o Podemos representar as duas raízes reais por grau, utilizaremos a fórmula de Bhaskara. x’ e x”, assim: A partir da equação ax2 + bx +c = 0, em que a, b, c ∈ IR e a ≠ 0, desenvolveremos, passo a passo, a dedução da fórmula de Bhaskara (ou fórmula resolutiva). 1.º passo: multiplicaremos ambos os membros por 4a. Exemplo: (4a).(ax2 + bx + c) = 0.(4a) Vamos resolver a equação: 7x2 + 13x – 2 = 0. 4a2x2 + 4abx + 4ac = 0 Temos a = 7, b = 13 e c = –2: 2.º passo: adicionar −4ac aos dois membros. 4a2x2 + 4abx = −4ac 3.º passo: adicionar b2 aos dois membros. Portanto: 4.º passo: fatorar o 1.º elemento. (2ax + b)2 = b2 −4ac 79
  • 69. UEA – Licenciatura em Matemática Aplicações: d) Duas torneiras enchem um tanque em 6 a) Vamos resolver a equação literal: horas. Sozinha, uma delas gasta 5 horas x2 − 2abx − 3a2b2, sendo x a variável. mais que a outra. Determine o tempo que cada uma delas leva para encher esse Solução: tanque isoladamente. Temos a=1, b = −2ab e c =−3a2b2: Torneira 1 Torneira 2 Portanto: Solução: Consideremos x o tempo gasto para a 1.a torneira encher o tanque e x + 5 o tempo gasto para a 2.a torneira encher o tanque. Assim, temos: V= { −ab, 3ab}. Em uma hora, cada torneira enche a se- guinte fração do tanque: b) Determine as raízes da equação biquadra- da x4 − 13 x2 + 36 = 0. 1.a torneira: Solução: Observe que x4 – 13 x2 + 36 = 0 ⇒ 2.a torneira: (x2)2 – 13x2 + 36 = 0 Substituindo x2 por y, temos y2 – 13y + 36 = 0. Em uma hora, as duas torneiras juntas Resolvendo essa equação, obtemos y’=4 e y’’=9. encherão do tanque; observe a equação Como x2 = y, temos: correspondente: m.m.c. = 6x(x + 5) Logo, temos para conjunto-verdade: Resolvendo-a, temos: V = { –3, –2, 2, 3}. 6(x + 5) + 6x = x (x + 5) c) Determine as raízes da equação biquadra- 6x + 30 + 6x = x2 + 5x da x4 + 4x2 – 60 = 0. x2 − 7x − 30 = 0 Solução: x’= − 3 e x’’=10 Observe que x4 + 4x2 – 60 = 0 ⇒ (x2)2 + 4x2 – 60 = 0 Como a raiz negativa não é utilizada, tere- 2 2 Substituindo x por y, temos y + 4y – 60 = 0. mos como solução x= 10. Resolvendo essa equação, obtemos y’=6 Resposta: A 1.a torneira enche o tanque em e y’’= –10. 10 horas, e a 2.a torneira, em 15 horas. Como x2 = y, temos: e) Um número de dois algarismos é tal que, trocando-se a ordem dos seus algarismos, x2 = –10 ⇒ x ∉ IR obtém-se um número que o excede de 27 Logo, temos para o conjunto verdade: unidades. Determine esse número, saben- do-se que o produto dos valores absolutos . dos algarismos é 18. 80
  • 70. Matemática Elementar II – Equação do 2.º grau e intervalos em IR Solução: que é representado pela letra grega Δ (delta). Representamos um número por 10x + y, e Δ = b2 − 4ac o número com a ordem dos algarismos tro- cada por 10y + x. Podemos, agora, escrever deste modo a fór- Observe: mula de Bhaskara: Número: x y ⇒ 10x + y Número com a ordem dos algarismos tro- cada: De acordo com o discriminante, temos três y x ⇒ 10y + x casos a considerar: Temos, então, o sistema de equações: 1.o Caso: O discriminante é positivo > 0. O valor de é real, e a equação tem duas raízes reais diferentes. Resolvendo o sistema, temos: Exemplo: Para quais valores de k a equação x² − 2x + k − 2 = 0 admite raízes reais e desi- guais? Solução: Para que a equação admita raízes reais e de- Isolando y em (1) : siguais, devemos ter Δ > 0. −x + y = 3 ⇒ y= x + 3 b2 − 4ac Substituindo y em (2): (−2)2 − 4.1.(k − 2) > 0 xy = 18 4 − 4k + 8 > 0 x (x + 3) = 18 −4k + 12 > 0 → Multiplicamos ambos os membros por −1 x2 + 3x = 18 4k − 12 < 0 x2 + 3x − 18 = 0 4k < 12 x’= 3 e x’’ = −6 k<3 Determinando y para cada um dos valores Logo, os valores de k devem ser menores que 3. de x, obtemos: 2.o Caso: O discriminante é nulo, ou seja, Δ = 0. y’= 3 + 3 = 6 O valor de é nulo, e a equação tem duas y’’= −6 + 3 = −3 raízes reais e iguais, assim representadas: Logo, o conjunto verdade do sistema é dado por: V= {(3, 6), (−6, −3)}. Desprezando o par ordenado de coorde- Exemplo: nadas negativas, temos para solução do Determine o valor de p, para que a equação problema o número x² − (p − 1) x + p − 2 = 0 possua raízes iguais. 36 ( x = 3 e y = 6). Solução: Resposta: O número procurado é 36. Para que a equação admita raízes iguais é necessário que = 0.1.7 Discriminante b2 − 4ac = 0 ⇒ [−(p − 1v − 4.1(p − 2) = 0 Denominamos discriminante o radicando b2 − 4ac p2 − 2p + 1 − 4p + 8 = 0 ⇒ 81
  • 71. UEA – Licenciatura em Matemática p2 − 6p + 9 = 0 ⇒ (p − 3)2 = ⇒ p = 3 Logo, o valor de p é 3. TEMA 19 3.o Caso: O discriminante é negativo < 0. O valor de não existe em IR, não existindo, RELAÇÕES ENTRE OS COEFICIENTES E AS portanto, raízes reais. As raízes da equação RAÍZES são números não-reais. Considere a equação ax2 + bx + c = 0, com Exemplo: a ≠ 0, e sejam x’e x’’ as raízes reais dessa equação. Para quais valores de m a equação 3x² + 6x +m = 0 não admite nenhuma raiz Logo: real? Solução: Para que a equação não tenha raiz real deve- Observe as seguintes relações: mos ter Δ < 0. • Soma das raízes (S): b2 − 4ac < 0 62 − 4.3.m < 0 36 − 12m < 0 −12m < −36 → Multiplicamos ambos os membros por −1 12m > 36 m>3 Logo, os valores de m devem ser maiores que 3. • Produto das raízes (P): Resumindo, dada a equação ax² + bx + c = 0, temos: Para Δ > 0, a equação tem duas raízes reais diferentes. Para Δ = 0, a equação tem duas raízes reais iguais. Para Δ < 0, a equação não tem raízes reais. Como Δ = b2 – 4ac, temos: Denominamos essas relações de relações de Girard. Verifique alguns exemplos de aplica- ção dessas relações. Exemplos: a) Determine a soma e o produto das raízes da equação 10x2 + x − 2 = 0. Solução: Nesta equação, temos: a = 10, b = 1 e c = −2. A soma das raízes é igual a . O produto das raízes é igual a . Assim: S = 82
  • 72. Matemática Elementar II – Equação do 2.º grau e intervalos em IR b) Determine o valor de k na equação x2 + (2k − 3)x + 2 = 0, de modo que a so- ma de suas raízes seja igual a 7. Como =Se = P podemos escrever a , Solução: equação desta maneira, x2 –Sx + P = 0. Nesta equação, temos: a = 1, b = 2k e c = 2. Exemplos: S= x1 + x2 = 7 a) Componha a equação do 2.o grau cujas raízes são –2 e 7. Solução: A soma das raízes corresponde a Logo, o valor de k é −2. S = x1 + x2 = –2 + 7 = 5. c) Determine o valor de m na equação O produto das raízes corresponde a 4x2 − 7x + 3m = 0, para que o produto das P = x1 . x2 = (–2) . 7 = –14. raízes seja igual a −2. A equação do 2.o grau é dada por Solução: x2 – Sx + P = 0, onde S = 5 e P = –14. Logo, x2 – 5x – 14 = 0 é a equação procurada. Nesta equação, temos: a = 4, b = −7 e c = 3m. b) Formar a equação do 2.o grau, de coefi- P= x1. x2= −2 cientes racionais, sabendo-se que uma das raízes é . Solução: Se uma equação do 2.o grau, de coeficientes Logo, o valor de m é . racionais, tem uma raiz , a outra raiz será . d) Determine o valor de k na equação 15x2 + kx + 1 = 0, para que a soma dos in- Assim: versos de suas raízes seja igual a 8. Solução: Considere x1 e x2 as raízes da equação. Logo, x2 − 2x − 2 = 0 é a equação procurada. A soma dos inversos das raízes corres- 1.10 Forma Fatorada. ponde a . Considere a equação ax2 + bx + c = 0. Assim: Colocando a em evidência, obtemos: Então, podemos escrever: Logo, o valor de k é −8.1.9 Composição de uma equação do 2.o grau, conhecidas as raízes. Logo, a forma fatorada da equação Considere a equação do 2.o grau ax2 + bx+c =0. ax2 + bx + c = 0 é: Dividindo todos os termos por a(a 0), obtemos: a.(x − x’) . (x − x’’) = 0 83
  • 73. UEA – Licenciatura em Matemática Exemplos: 2x + y = 16 (1) a) Escreva, na forma fatorada, a equação x2 +xy = 48 (2) x2 − 5x + 6 = 0. Temos aí um sistema de equações do 2.o Solução: grau, pois uma das equações é do 2.o grau. Podemos resolvê-lo pelo método da substi- Calculando as raízes da equação tuição: x2 − 5x + 6 = 0, obtemos x1= 2 e x2= 3. Assim: Sendo a = 1, x1 = 2 e x2 = 3, a forma fatora- 2x + y = 16 (1) da de x2 − 5x + 6 = 0 pode ser assim escrita: y = 16 −2x (2) (x − 2).(x − 3) = 0 Substituindo y em (2) , temos: b) Escreva, na forma fatorada, a equação x2 + x ( 16 − 2x) = 48 2x2 − 20x + 50 = 0. x2 + 16x − 2x2 = 48 −x2 + 16x − 48 = 0 ⇒ Multiplicando Solução: ambos os membros por −1. Calculando as raízes da equação x2 − 16x + 48 = 0 x’= 4 e x’’= 12 2x2 − 20x + 50 = 0, obtemos duas raízes Determinando y para cada um dos valores reais e iguais a 5. de x, obtemos: Sendo a = 2, x1 = x2 = 5, a forma fatorada de y’=16 − 2 . 4 = 8 2x2 − 20x + 50 = 0 pode ser assim escrita: y’’=16 − 2 . 12 = −8 2.(x − 5) (x − 5) = 0 ou 2. (x − 5)2 = 0 As soluções do sistema são os pares orde- c) Escreva, na forma fatorada, a equação nados (4, 8) e ( 12, −8). x2 + 2x + 2 = 0. Desprezando o par ordenado que possui ordenada negativa, teremos para dimen- Solução: sões da quadra: Como Δ < 0, a equação não possui raízes Comprimento = 2x + 2y = 2.4 + 2.8 = 24m reais. Largura = 2x = 2. 4 = 8m Logo, essa equação não possui forma fato- b) Verifique, agora, a solução deste outro sis- rada em IR. tema:1.11 Sistemas de equações do 2.o grau. Isolando y em (1): Exemplos: y − 3x = −1 ⇒ y = 3x – 1 a) Uma quadra de tênis tem a forma da figura, Substituindo em (2): com perímetro de 64m e área de 192m2. x2 − 2x(3x − 1) = −3 Determine as medidas x e y indicadas na figura. x2 − 6x2 + 2x = −3 −5x2 + 2x + 3 = 0 ⇒ Multiplicando ambos os membros por −1 5x2 − 2x − 3 = 0 x’ = 1 e x’’= −5/3 Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos: y’ = 3.1 − 1 = 2 De acordo com os dados, podemos escrever: As soluções do sistema são os pares orde- 8x + 4y = 64 nados (1, 2) e (−3/5; −14/5). 2x . ( 2x + 2y) = 192 ⇒ 4x2 + 4xy = 192 Simplificando, obtemos: 84
  • 74. Matemática Elementar II – Equação do 2.º grau e intervalos em IR 7. Calcule o resultado de a . b, sabendo que a e b são as duas soluções da equação: (x – 1)2 – (x – 1) (x + 4) = (x – 1)1. A equação (m + 1)x2 –4x + m + 2 = 0 na in- cógnita x tem como uma de suas raízes o nú- 8. Quantas soluções tem a equação mero –2. Descubra o valor de m. ?2. Para resolver as equações a seguir, você vai precisar primeiro simplificá−las. Faça isso e, ao 9. Determine dois números inteiros e consecu- final, escreva no caderno o conjunto solução. tivos que têm produto igual a 72. a) 10. As retas r, s e t do desenho são paralelas e, b) (3x – 5)(3x + 5) = 5(4x – 5) + x(x + 2) por isso, de acordo com o teorema de Tales, a incógnita m deve ter um valor determinado. c) Calcule m. d) (x + 4)(x – 2) – (x – 1) (x – 3) = (x + 2) (x – 1)+ (x + 3) (x + 2)3. Uma das soluções da equação m2 – pm + 10 = 0 é m = 5. Descubra o valor de p e a outra solução.4. Resolva as equações de 2.o grau e escreva, no caderno, o seu conjunto-solução: 11. Um terreno retangular de 154m2 tem a medida a) m2 + 4m + 4 = 0 b) x2 – 10x + 9 = 0 da altura 3 metros a menos do que a medida c) 16y2 – 8y + 1 = 0 d) x2 – 6x – 7 = 0 da base. Calcule o perímetro do terreno. e) m2 + 12m + 27 = 0 f) t2 – 9t + 8 = 0 12. Escreva, no caderno, o conjunto-solução de ca- da uma destas equações:5. Se a área do retângulo CAFE é igual a 48cm2, qual é a área do quadrado JILO? a) m2 + 13m + 42 = 0 b) n2 – 2n – 24 = 0 c) p2 – p – 20 = 0 d) x2 – 8x + 16 = 0 e) x2 + 7x + 6 = 0 2 f) –2 –1=06. Resolva as equações e escreva, no caderno, o 13. A área do triângulo da figura é igual a 12cm2. seu conjunto-solução: Calcule: a) (x + 3) (x + 2) = – 9 – 3x a) o valor de x; b) 2 + x(x–1) = 2(4 – x) b) a medida da base; c) 1 + (x–2)2 = 2x __ c) a medida y do lado FB. d) e) f) 85
  • 75. UEA – Licenciatura em Matemática14. Um retângulo tem área de 45m2 e perímetro de 28m. Calcule as medidas do seu comprimento TEMA 20 e da sua largura.15. Resolva os sistemas de equações e escreva o INTERVALOS REAIS conjunto-solução: Introdução a) A Teoria dos Números nasceu cerca de 600 anos antes de Cristo, quando Pitágoras e os b) seus discípulos começaram a estudar as pro- priedades dos números inteiros. Os pitagóri- cos rendiam verdadeiro culto místico ao con- c) ceito de número, considerando-o como essên- cia das coisas. Acreditavam que tudo no uni- d) verso estava relacionado com números inteiros ou razões de números inteiros (em linguagem atual, números racionais). Aliás, na Antigui- dade, a designação número aplicava-se só aos inteiros maiores do que um. Essa crença foi profundamente abalada quando usaram o Teorema de Pitágoras para calcular a medida da diagonal de um quadrado unitário. De cada vez que as necessidades do cálculo levavam a introduzir novos entes numéricos, gerava-se uma enorme desconfiança à sua volta, o que levava a atribuir-lhes designações curiosas. Assim, os números irracionais eram designados por números inexprimíveis e por números incalculáveis. Durante muitos sécu- los, os números reais (fracionários ou racionais e irracionais) foram apenas concebidos como medidas de grandezas, e só no fim do século XIX, principalmente por obra dos matemáticos alemães Dedekind e Cantor, construiu-se uma teoria dos números reais independente da geometria. Definição Os intervalos reais são subconjuntos dos nú- meros reais. Serão caracterizados por desi- gualdades, conforme veremos a seguir: Considerando dois números reais, a e b, sendo a < b, temos: • Intervalo fechado Notação: [a,b] = {x ∈ IR|a ≤ x ≤ v} A este intervalo, pertencem todos os números 86
  • 76. Matemática Elementar II – Equação do 2.º grau e intervalos em IR compreendidos entre a e b, inclusive a e b. números compreendidos entre 2 e 5, não Exemplo: incluindo o 2 e incluindo o 5. • Intervalos indicados pelo símbolo ∞ Notação: [2, 5] = {x ∈ IR|2 ≤ x ≤ 5} (infinito) A este intervalo, pertencem todos os números IR compreendidos entre 2 e 5, inclusive 2 e 5. Notação: ]a, + ∞ [ = {x ∈ IR| x > 5}• Intervalo aberto IR Notação: ]−∞,a[ = {x ∈ IR| x < a} Notação: ]a, b] = {x ∈ IR|a < x < b} A este intervalo, pertencem todos os IR números compreendidos entre a e b, não Notação: ]a, +∞[ = {x ∈ IR| x ≥ a} incluindo nem a nem b. Exemplo: IR Notação: ]−∞ a[ = {x ∈ IR| x ≤ a} Notação: ]2, 5] = {x ∈ IR|2 < x < 5} IR A este intervalo, pertencem todos os números compreendidos entre 2 e 5, não Notação: ]−∞, +∞[ = IR incluindo 2 e 5. • Os números reais a e b são denominados• Intervalo fechado à esquerda e aberto à extremos dos intervalos. direita • O intervalo é sempre aberto na indicação do infinito. Notação: [a, b[ = {x ∈ IR|a ≤ x < b} Exemplo: A este intervalo, pertencem todos os Representar na reta real os intervalos: números compreendidos entre a e b, incluindo a e não incluindo b. a) ]−1,3] = {x ∈ IR|−1 < x ≤ 3} Exemplo: b) ]2,6] = {x ∈ IR|−2 ≤ x ≤ 6} c) ]−∞, 1[ = {x ∈ IR| x < 1} Notação: [2, 5[ = {x ∈ IR|2 ≤ x < 5} EXERCÍCIOS PROPOSTOS A este intervalo pertencem todos os números compreendidos entre 2 e 5, incluin- do o 2 e não incluindo o 5. 1. Represente, na reta real, os intervalos a) [6,8] = {x ∈ IR|6 ≤ x ≤ 8}• Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita b) [−3,5] = {x ∈ IR|−3 < x ≤ 5} c) ]−2,6[ = {x ∈ IR|−2 < x < 6} Notação: [a, b[ = {x ∈ IR|a < x ≤ b} 2. Escreva a notação para os seguintes interva- A este intervalo, pertencem todos os los, representados na reta IR. números compreendidos entre a e b, não incluindo a e incluindo b. a) Exemplo: b) Notação: ]2, 5] = {x ∈ IR|2 < x ≤ 5} c) A este intervalo, pertencem todos os 87
  • 77. UNIDADE VI Funções
  • 78. Matemática Elementar II – Funções 1.2 Produto Cartesiano TEMA 21 Dados dois conjuntos, podemos formar pares ordenados por meio de uma relação entre eles; o conjunto formado por estes pares ordenados FUNÇÃO OU APLICAÇÃO é denominado produto cartesiano definido por: A x B = {(x,y) | x ∈ A e y ∈ B}.1. Introdução Quando A ou B são vazios, temos que A x B vazio. Ao lermos um jornal ou uma revista, diariamen- Exemplos: te, deparamo-nos com gráficos, tabelas e ilus- trações – instrumentos muito utilizados nos 1. Dados os conjuntos A={1,2,3} e B={4,5}, meios de comunicação. Um texto com ilus- dê os elementos dos seguintes produtos trações é muito mais interessante, chamativo, cartesianos: agradável e de fácil compreensão. Não é só a) AxA nos jornais ou nas revistas que encontramos gráficos. Os gráficos estão presentes nos Solução: exames laboratoriais, nos rótulos de produtos A x A = {(1,1); (1,2); (1,3); (2,1); (2,2); (2,3); alimentícios, nas informações de composição (3,1); (3,2); (3,3)} química de cosméticos, nas bulas de remé- dios, enfim, em todos os lugares. Ao interpre- b) AxB tarmos esses gráficos, verificamos a necessi- Solução: dade dos conceitos de plano cartesiano. A x B = {(1,4); (1,5); (2,4); (2,5); (3,4); (3,5)} O Sistema ABO dos grupos sangüíneos é c) BxA explicado pela recombinação genética dos ale- los (a,b,o), e este é um bom exemplo de uma Solução: aplicação do conceito de produto cartesiano, B x A = {(4,1); (4,2); (4,3); (5,1); (5,2); (5,3)} já que existe uma correspondência biunívoca desse sistema com os fatores Rh+ Rh−. Uma 2. Dados os conjuntos abaixo, represente gra- aplicação prática do conceito de relação é a ficamente o produto cartesiano BxA: discussão sobre a interação de neurônios A = {x ∈ IR | 1 ≤ x ≤ 4} (células nervosas do cérebro), ligada ao bom funcionamento do corpo humano. B = {x ∈ IR | −1 ≤ x ≤ 4} Ao relacionarmos espaço em função do tem- po, número do sapato em função do tamanho dos pés, intensidade da fotossíntese realizada por uma planta em função da intensidade de luz a que ela é exposta ou pessoa em função da impressão digital, percebemos quão impor- tantes são os conceitos de funções para com- preendermos as relações entre os fenômenos físicos, biológicos, sociais. Observamos, então, que as aplicações de 1.3 Relação Binária plano cartesiano, produto cartesiano, relações Sejam A e B conjuntos não-vazios. Uma relação e funções estão presentes no nosso cotidiano. em AxB é qualquer subconjunto R de AxB. Valores assumidos por uma ação numa Bolsa de Valores 91
  • 79. UEA – Licenciatura em Matemática A relação mostrada na figura acima é: R2 ={(a,1), (b,2), (c,3), (d,1)} R = {(a,3), (b,3), (c,2), (c,3), (d,2), (d,3)} Uma relação R de A em B pode ser denotada por R: A → B Exemplo: Se A={1,2} e B={3,4}, o produto cartesiano é AxB={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)} e, neste caso, te- R3 ={(a,1), (b,1), (b,2), (c,3), (d,3)} mos algumas relações em AxB: R1 ={(1,3),(1,4)} R2 ={(1,3)} R3 ={(2,3),(2,4)}1.4 Domínio e Contradomínio de uma relação As relações mais importantes são aquelas de- 1.5 Função finidas sobre conjuntos de números reais e nem sempre uma relação está definida sobre Dados dois conjuntos A e B, denomina-se todo o conjunto dos números reais. Para evitar função de A em B toda relação que a cada ele- problemas como esse, costuma-se definir uma mento de A associa um único elemento de B. relação R: A → B, em que A e B são subcon- Exemplos: juntos de R, da seguinte forma: a) O valor pago em função da quantidade de O conjunto A é o domínio da relação R, deno- combustível que um carro consome. tado por D(R); B é o contradomínio da relação, denotado por CD(R), e Im(R) representa o con- junto imagem da relação, onde Im(R) ⊂ B. D(R) = {x ∈ A: existe y em B tal que (x,y) ∈ R} Im(R)= {y ∈ B: existe x ∈ A tal que (x,y) ∈ R} b) A taxa de natalidade infantil em função do tempo. Representações nos diagramas de flechas de relações em AxB R1= {(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3), (c,1), (d,1), (d,2), (d,3)} Considere: x → variável independente → DOMÍNIO y → variável dependente → IMAGEM 92
  • 80. Matemática Elementar II – Funções 1. Dada as funções f: A B onde A = {1; 2; 3 } e f( x) = x − 1, dê o conjunto imagem de f: Solução:Empregando a linguagem das funções: Para x = 1, teremos y = 1 – 1 = 0.O conjunto A é o domínio da função. Para x = 2, teremos y = 2 – 1 = 1.O conjunto B é o contradomínio da função. Para x = 3, teremos y = 3 – 1 = 2.O elemento y de B, associado ao elemento x Portanto Im(f) = {0, 1, 2}.de A, é denominado imagem de x. 2. (UFRS) Sejam V = {P Q | P e Q são vértices ,O subconjunto de B formado pelos elementos distintos de um hexágono regular} e f umaque são imagens dos elementos de A é de- função que associa a cada par (P Q) de V a ,nominado conjunto imagem ou apenas ima- distância de P a Q. Qual é o número de ele-gem da função. mentos do conjunto imagem de f?Exemplo: Solução:1. Diga em quais itens temos funções: Observe as possíveis distâncias entre os pon- A B tos P e Q nas figuras abaixo: a) − Não, pois existem elementos de A que não possuem correspondentes em B. A B Portanto o número de elementos da imagem dessa função é igual a 3. 3. (UFPE) Dados os conjuntos A ={a, b, c, d} e B ={1, 2, 3, 4, 5}, assinale a única alternativa que b) − Sim, pois todos os elementos de A pos- define uma função de A em B . suem um único representante em B. A B a) {(a, 1), (b , 3), (c, 2)} b) {(a, 3), (b, 1), (c, 5), (a, 1)} c) {(a, 1), (b, 1), (c, 1), (d, 1)} d) {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (a, 5 )} e) {(1, a), (2, b), (3, c), (4, d), (5, a )} c) − Sim, pois todos os elementos de A pos- suem um único representante em B. Solução: Para que f: A em B seja uma função, devemos ter para cada um elemento de A um único cor- respondente em B, logo a solução é {(a, 1), (b, 1), (c, 1), (d, 1)}, ou seja: 93
  • 81. UEA – Licenciatura em Matemática4. Sendo uma função f: IR → R definida por a) 1 f( x ) = 2 − x, assinale a alternativa correta: b) 2 a) f(−2)=0 c) 3 b) f(−1)=−3 d) 4 c) f(0)=−2 e) 5 d) f(1)=3 1.6 Gráfico de uma função e) f(−3)=5 Dizemos que uma relação binária R: A → B é Solução: função ou aplicação no gráfico, quando toda f(−3) = 2 – (−3) = 2 + 3 = 5 reta vertical tocar em um e único ponto em R, ∀ x ∈ A.5. A relação R = { (−2, −1), (−1, 0), (0, 1)} é uma função. Determine o domínio e o conjunto ima- Exemplos: gem. a) Solução: Observe o diagrama: Portanto, D(R) = {−2, −1, 0} e Im(R) = {−1, 0, 1} Representa o gráfico de uma função ou apli- cação. b)1. Qual é a imagem do elemento 5 na função f definida por f(x)= 1+ 2x2? a) −10 b) 51 c) 41 Não é uma função, já que existem retas que tocam o gráfico em mais de um ponto. d) −31 e) 21 c)2. Obtenha o elemento do domínio de f(x)= 4x−3, cuja imagem é 13: a) −4 b) −2 c) 7 d) 4 e) 5 Representa o gráfico de uma função ou3. (ACAFE−SC) Sejam a s funções definidas por aplicação x > −2. f(x)= 2x+a e g(x)= −3x+2b. Determine a + b, de modo que se tenha g(1)=3 e f(0)=−1: 94
  • 82. Matemática Elementar II – Funções TEMA 22 1. (UFCE) O domínio da função realDOMÍNIO é:O domínio consiste em determinar os valores a) x > 7reais de x, para os quais as operações indi- b) x ≤ −2 e x ≠ 1cadas na lei de associação sejam possíveis em c) 2 ≤ x < 7IR. Para isso, teremos que determinar a con- d) x ≤ 2 ou x > 7dição de existência (C.E.) da função dada. e) n.d.a.Exemplos de determinação da condição deexistência nas diferentes situações: 2. (CESCEM−SP) Dada a função1. f(x) = x → D = IR , determinar as raízes da função. seu domínio ou campo de definição é: Exemplos: a) x qualquer b) x > 5/2 c) x ≥ −2 d) −2 ≤ x ≤ 2 O domínio da função −x2 + 5x –7 = 0 é D = IR e) −2 < x < 3 O domínio da função –x + 7 –7x −101 = 0 3. (OSEC−SP) O domínio de definição da função é D = IR com valores reais é um dos conjuntos abaixo. Assinale-o:2. f(x) = → C.E.: x diferente de zero a) x ≤ −1 ou x ≥ 3 (denominador) D = IR – {0} b) −3 ≤ x ≤ 1 Exemplos: c) x ≤ −3 ou x ≥ 1 O domínio da função f(x) = é d) 3/2 ≤ x ≤ 2 e) n.d.a. D = IR – {−1}, já que x + 1 ≠ 0 → x ≠ −1 4. (FEI−SP) Sendo y = uma função de O domínio da função f(x) = é valores reais, o seu conjunto de definição D é: D = IR – {± 2}, já que x2 − 4 ≠ 0 → x ≠ ± 2 a) D = ∅ b) D = {−1, 1}3. f(x) = → C.E.: x ≥ 0 → D = { x∈R / x ≥ 0} c) D = [ −1, 1]4. f(x) = → C.E.: B(x) > 0 d) D = IR e) n.d.a.Exemplos: 5. (CESCEA−SP) O conjunto de todos os valo-O domínio da função f(x) = éD = {x∈IR/x ≤ 1/2}, já que 1 – 2x ≥ 0 → x ≤ 1/2 res de x, para os quais é um número real, é:O domínio da função f(x) = é a) −1 ≤ x < 2D = {x∈IR /x ≥ −2}, já que 3x + 6 >0 → x > −2 b) x≠2 c) x < −1 ou x > 2 d) x ≤ −1 ou x > 2 e) –1/2 < x ≤ 5 95
  • 83. UEA – Licenciatura em Matemática Solução: TEMA 23 a) A função custo total (y) é dada por y = f(x) = 25x + 50, onde x representa a quantidade de cadeiras que serão produzi- FUNÇÃO DO 1.º GRAU das. b) Atribuindo valores reais para x ≥ 0, obtemos Situação-problema: seus valores correspondentes para y. Numa loja, o salário fixo mensal de um vende- Se x = 0, então y = 25.0 + 50 = 50. dor é 500 reais. Além disso, ele recebe de Se x = 1, então y = 25.1 + 50 = 75. comissão 50 reais por produto vendido. Se x = 2, então y = 25.2 + 50 = 100. a) Escreva uma equação que expresse o ga- nho mensal y desse vendedor, em função c) O conjunto dos pares ordenados determi- do número x de produto vendido. nados é f={(0,50), (1,75), (2,100)}. Solução: d) O gráfico é dado por: y = salário fixo + comissão y = 500 + 50x b) Quanto ele ganhará no fim do mês se ven- deu 4 produtos? Solução: y = 500 + 50x, onde x = 4 y = 500 + 50.4 = 500 + 200 = 700 c) Quantos produtos ele vendeu se no fim do mês recebeu 1000 reais? 2. Construa o gráfico da função determinada Solução: por f(x)=−x+1. y = 500 + 50x, onde y = 1000 Solução: 1000 = 500+50x ⇒ 50x = 1000 − 500 ⇒ a) Atribuindo valores reais para x, obtemos 50x = 500 ⇒ x = 10 seus valores correspondentes para y. A relação assim definida por uma equação Se x = −2, então y = −(−2) + 1 = 3. do 1.º grau é denominada função do 1.º Se x = −1, então y = −(−1) + 1 = 2. grau, sendo dada por: Se x = 0, então y = −0 + 1 = 1. y = f(x) = ax + b, com a e b ∈ IR (a ≠ 0) Se x = 1, então y = −1 + 1 = 0. Se x = 2, então y = −2 + 1 = −1.1.6 Gráfico da função do 1.º grau: b) O conjunto dos pares ordenados determina- O gráfico de uma função do 1.º grau de IR em dos é f = {(−2, 3), (−1,2), (0,1), (1,0), (2,−1)}. IR é uma reta, onde: c) O gráfico é dado por: • Se a > 0, então a reta será crescente; • Se a < 0, então a reta será decrescente. Exemplos: 1. Para a produção de cadeiras escolares, têm-se um custo fixo de R$ 50,00 e um cus- to de produção por unidade de cadeira sendo de R$ 25,00. Vamos construir o gráfi- co do custo total (y) em função do número de cadeiras produzidas (x). 96
  • 84. Matemática Elementar II – Funções Note que o gráfico da função y = −x + 1, inter- ceptará (cortará) o eixo x em 1, que é a raiz da TEMA 24 função.1.7 RAIZ OU ZERO DA FUNÇÃO DO 1.º GRAU 1.8 Sinal de uma função de 1.º grau Para determinarmos a raiz ou o zero de uma Observe os gráficos: função do 1.º grau, definida pela equação y = ax + b, como a é diferente de 0, basta obtermos o ponto de intersecção da reta que representa a equação com o eixo x, que terá como coordenada o par ordenado (x, 0). 1. Considere a função dada pela equação y=x+1, determine a raiz desta função. Solução: Note que: Basta determinar o valor de x para termos Para x = −b/a, f(x)=0 (zero da função). y = 0: Para x > −b/a, f(x) tem o mesmo sinal de a. x + 1 = 0 ⇒ x = −1 Para x < −b/a, f(x) tem o sinal contrário ao de a. Dizemos que −1 é a raiz ou zero da função. Exemplos: 1. Determine o intervalo das seguintes fun- ções para que f(x)>0 e f(x)<0. a) y = f(x) = x + 1 Solução: x + 1 > 0 ⇒ x > −1 Logo, f(x) será maior que 0 quando x > −1 x + 1 < 0 ⇒ x < −1 Logo, f(x) será menor que 0 quando x < −1. Note que o gráfico da função y = x + 1, interceptará (cortará) o eixo x em −1, que é b) y= f(x) = −x + 1 a raiz da função. Solução: 2. Determine a raiz da função y = −x + 1 e −x+1>0 ⇒ −x>−1 ⇒ x<1 esboce o gráfico. Logo, f(x) será maior que 0 quando x < 1. Solução: −x + 1 < 0 ⇒ −x < −1 ⇒ x > 1 Fazendo y=0, temos: Logo, f(x) será menor que 0 quando x > 1. 0 = −x+1 ⇒ x = 1 Gráfico: 1. Dadas as funções e g(x) = 2x − 4, calcule os valores de x para os quais g(x) < (x). Solução: 2x − 4 < − x + 1/2 ⇒ 3x < 9/2 ⇒ x < 3/2 97
  • 85. UEA – Licenciatura em Matemática2. Determine a lei da função do 1.o grau que O gráfico de S toca o eixo u em passa pelos pares de pontos (0, 1) e (1, 4). u = −b/a = −240/12 = −20 (absurdo, já que u ≥ 0), então: Solução: Para (0,1), temos que 1 = a.0 + b ⇒ b = 1. Para (1,4), temos que 4 = a.1 + b ⇒ a+b = 4. Portanto y = 3x + 13. Faça o gráfico da função . D = {u ∈ IN| u 0 ≥ 0} e Im = {S ∈ IN| S ≥ 240}. Solução: A função do 1.º grau toca o eixo das abscissas em . 1. (UFU−MG) No gráfico a seguir, estão represen- Logo: tadas as funções (I) e (II) definidas por y = 3−x e y = kx + t, respectivamente. Determine os valores de k e t são, respectivamente.4. Em uma determinada loja, o salário mensal fixo de um vendedor é de R$ 240,00. Além disso, 2. Assinale a alternativa que corresponde a fun- ele recebe R$ 12,00 por unidade vendida. ção de acordo com o gráfico a) Expresse o ganho mensal (S) desse vendedor em função do número (u) de unidades vendidas. b) Quantas unidades ele deve vender para receber um salário de R$ 708,00 ? c) Determine o domínio e a imagem desta função. Solução: a) f(x) = −x+2 O ganho mensal (S) desse vendedor em fun- b) f(x) = −x/2 + 1 ção do número (u) de unidades vendidas pode c) f(x) = −x/2 + 2 ser representado por uma função do 1.º grau y = ax + b, tal que y = S, a = 12 e b = 240. d) f(x) = 4x e) f(x) = −x Então, S = 12u + 240. Para S = 708, teremos 708 = 12u + 240 ⇒ 3. Obtenha a função do 1.º grau na variável x que 468 = 12u ⇒ u = 39 unidades. passa pelos pontos (0, 1) e (−3, 0). 98
  • 86. Matemática Elementar II – Funções4. O gráfico abaixo representa a função 8. (FGV−SP) O gráfico da função f(x) = mx + n f(x) = ax + b. Assinale a alternativa correta: passa pelos pontos (4, 2) e (−1, 6). Determine o valor de m + n. 9. (PUC−MG) Uma função do 1.o grau é tal que f(−1) = 5 e f(3) = −3. Determine o valor de f(0). 10. (FUVEST−SP) A função que representa o valor a ser pago após um desconto de 3% sobre o a) a=0;b=0 valor x de uma mercadoria é : b) a > 0 ; b > 0 a) f(x) = x − 3 c) a<0;b>0 b) f(x) = 0,97x 1 d) a > 0 ; b = 0 c) f(x) = 1,3x e) a>0;b<0 d) f(x) = −3x e) f(x) = 1,03x5. (UFMA) A representação da função y = −3 é uma reta : 11. (UFRN) Seja a função linear y = ax − 4. Se a) paralela aos eixo das ordenadas; y = 10 para x = −2, então, determine o valor b) perpendicular ao eixo das ordenadas; de y para x = −1. c) perpendicular ao eixo das abscissas; 12. (MACK−SP) A função f é definida por d) que intercepta os dois eixos; f(x) = ax + b. Sabe-se que f(−1) = 3 e e) n.d.a. f(1) = 1. Determine o valor de f( 3 ).6. (PUC−SP) O gráfico abaixo é o da reta y = ax + b, quando : a) a < 2 b) a < 0 c) a = 0 d) a > 0 e) a = 27. (ITAJUBÁ−MG) Qual a expressão que repre- senta o gráfico abaixo? 99
  • 87. UEA – Licenciatura em Matemática TEMA 25 FUNÇÃO DO 2.º GRAU Para calcular a área desse retângulo, preci- samos multiplicar a medida da altura pela1.9 Introdução medida da base. Se chamarmos a área A função do 2.º grau está sempre presente desse retângulo de y, e a medida da altura de em nosso cotidiano. Pode-se observá-la na x, vamos ter: Física quando se vê um fruto caindo de uma árvore; um carro passando pela rua, etc. y = x.(x + 2) Dentro do movimento uniformemente variado, y = x2 + 2x em trajetória vertical, temos as seguintes car- Essa expressão mostra que a área (y) desse acterísticas: tipo de retângulo está relacionada à medida 1. a aceleração é igual a da gravidade (g); (x) da altura por uma equação que é também de uma função de 2.o grau. Se o valor x da al- 2. quando há a queda de um corpo, sua velo- tura for, por exemplo, 3cm, o retângulo terá a cidade aumenta (movimento acelerado); seguinte área: 3. na subida de um corpo a velocidade dele y = 32 + 2.3 diminui (movimento retardado) gradual- mente até anular-se no ponto mais alto, ou y=9+6 seja, nesse ponto a velocidade passa a ser y = 15cm2 igual a zero. Dentro deste movimento, des- Chama-se função polinomial do 2.o grau, ou tacamos as seguintes equações básicas: função quadrática, a toda função f : IR → IR • equação do espaço ( ); definida por f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b, c ∈ IR e a ≠ 0. • equação de Torricelli (v2 = vo2 + 2gS), que representam. 16.3 Gráfico Antigamente, havia várias hipóteses sobre o MUV, uma delas é de Galileu Galilei (1564− Imagine um círculo com o raio de determina- 1642). Ele dizia “que não interessava os pe- da medida, por exemplo 2cm. Qual é a área sos dos corpos na velocidade de sua queda” desse círculo? (um de seus experimentos comprovou que os corpos leves só eram retardados pela re- sistência do ar), mas a maioria das pessoas acreditava na hipótese de Aristó-teles (384− 322 a.C.), que dizia “que a velocidade de um corpo era proporcional a seu peso”. Se observarmos atentamente a equação que nos permite calcular a área do círculo, perce- beremos que o raio (r) aparece ao quadrado. Isso é característica de uma equação de 2.º grau. Entre a medida do raio de um círculo e a sua área existe uma correspondência que é uma função do 2.º grau.1.10 Definição Exemplo Imagine um retângulo em que a medida da ba-se seja duas unidades a mais do que a Construir o gráfico da função f:IR → IR defini- medida da altura. da por f(x) = –x2 – 2x + 3. 100
  • 88. Matemática Elementar II – FunçõesResolução:Construímos uma tabela atribuindo algunsvalores a x e calculando as imagens corre-spondentes. X y = x2 – 2x – 3 (x; y) –4 y = (–4)2 – 2 . (–4) + 3 = – 5 (–4; –5) –3 y = (–3)2 – 2 . (–3) + 3 = 0 (–3; 0) –2 y = – (–2)2 – 2 . (–2) + 3 = 3 (–2; 3) –1 y = (–1)2 – 2 . (–1) + 3 =4 (–1; 4) Observe que, nesse caso, a > 0 e Δ = 0 0 y = 02 – 2 . 0 + 3 = 3 (0; 3) Exemplo 4 1 y = 12 – 2 . 1 + 3 = 0 (1; 0) Construir o gráfico da função f : R → R defini- 2 y = 22 – 2 . 2 + 3 = – 5 (2; –5) da por f(x) = x2 + 2x –3.Localizamos os pontos obtidos num sistema Resolução:de coordenadas cartesianas: Construímos uma tabela atribuindo alguns valores a x e calculando as imagens corre- spondentes. x y = –x2 + 2x – 3 (x; y) 2 –1 y = –(1) + 2 . (–1) –3 = – 6 (–1; –6) 2 0 y=–0 +2.0–3=–3 (0; –3) 2 1 y=–1 +2.1–3=–2 (1; –2) 2 2 y=–2 +2.2–3=–3 (2; – 3) 2 3 y=–3 +2.3–3=–6 (3; –6) Localizamos os pontos obtidos num sistemaObserve que, neste caso, a < 0 e > 0. de coordenadas cartesianas.Exemplo 3Construir o gráfico da função f : IR → IRdefinida por y = f(x) = x2 –4x +4.Resolução:Construímos uma tabela atribuindo algunsvalores a x e calculando as imagens corre-spondentes. x y = x2 – 4x + 4 = (x–2)2 (x; y) 0 y = (0 – 2)2 =4 (0; 4) 1 y = (1 – 2)2 =1 (1; 1) Observe que, neste caso, a < 0 e < 0. 2 y = (2 – 2)2 =0 (2; 0) Demonstra-se que: 3 y = (3 – 2)2 =1 (3; 1) a) O gráfico de f é sempre uma parábola com 4 y = (4 – 2)2 = 4 (4; 4) eixo de simetria paralelo ao eixo Oy.Localizamos os pontos obtidos num sistema b) Se a > 0, então a parábola tem a “concavi-de coordenadas cartesianas. dade voltada para cima”. 101
  • 89. UEA – Licenciatura em Matemática c) Se a < 0, então a parábola tem a “concavi- Lembrando que x1 + x2 = e x1 . x2 = , dade voltada para baixo”. d) A parábola sempre intercepta o eixo Oy no temos: ponto (0; c). f(x) = ax2 + bx + c = e) Se Δ = b2 – 4ac < 0, então f não admite = raízes reais. A parábola não intercepta o eixo Ox. = f) Se Δ = b – 4ac = 0, então f admite uma 2 = única raiz. A parábola tangencia o eixo Ox. g) Se Δ = b2 – 4ac > 0, então f admite duas 1.12 Vértice da parábola raízes reais distintas. A parábola intercep- ta o eixo Ox em dois pontos. O vértice da parábola (gráfico de f) é o ponto, Conclusão A parábola que representa uma função poli- nomial do 2.º grau pode ser seis tipos possí- Se a > 0, então V é ponto de mínimo de f. veis, conforme os valores de a e de Δ. A saber: Se a < 0, então V é ponto de máximo de f.1.11 Fatoração Se {x1, x2} é o conjunto−verdade em R da 1.13 Conjunto-imagem equação ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0, então a forma fatorada de f(x) = ax2 + bx + c é: f(x) = a . (x – x1) . (x – x2) Demonstração 1.14 Eixo de simetria Sejam x1 e x2 as raízes de f(x) = ax2 + bx + c, . É a reta vertical de equação com a ≠ 0. 102
  • 90. Matemática Elementar II – Funções1.15 Sinal das Raízes Seja V = {x1; x2} o conjunto-verdade da equação do 2.o grau ax2 + bx + c = 0, com {a; b; c} ⊂ R. Lembrando que Δ=b2 − 4ac, S=x1+x2 = e P = x1 + x2 = , temos: b) Se r > 0 é um número real, então xv + r e xv – r são simétricos em relação a xv P = x1 . x2 = temos: e, conseqüentemente, f(xv + r) = f(xv – r). c) f(xv + r) = f(xv – r) ⇒ a(xv – r)2 + b(xv + r) a) x1 > 0 e x2 > 0 se, e somente se: + c= a(xv – r)2 + b(xv – r) + c ⇒ Δ≥0 a(xv2 + 2rxv + r2) + bxv + br = P>0 a(xv2 – 2rxv + r2) + b(xv – br) ⇒ S>0 axv2 + 2arxv + ar2 + br = axv2 – 2arxv + ar2 – br ⇒ 4arxv = – 2br ⇒ b) x1 < 0 e x2 < 0 se, e somente se: xv = Δ≥0 P>0 d) S<0 c) x1 e x2 de sinais contrários se, e somente = se: P<0 Observação: No item c, a condição Δ > 0 é 2. Determinar o vértice V e o eixo de simetria (e) desnecessária, pois P<0⇒ <0⇔–4ac>0 da parábola que representa o trinômio ⇒ b2 – 4ac > 0 ⇒ >0. y = x2 – 2x – 3. Resolução:1. Demonstrar que o vértice da parábola da equa- ção y = f(x) = ax2 + bx + c, é o ponto Graficamente, temos: , com Δ = b2 – 4ac e a ≠ 0. Resolução: a) O ponto V(xv; yv) pertence a eixo de simetria da parábola, reta vertical (e). 103
  • 91. UEA – Licenciatura em Matemática3. Observe que {y ∈ R|y ≥ −4} é o conjunto- imagem da função f: R→R, tal que TEMA 26 f(X) = x2 – 2x – 3. Solução: O vértice é o ponto de coordenadas (1, –4), e 17. INEQUAÇÃO DO 2.º GRAU o eixo de simetria é a reta da equação x = 1. 1.16 Definição4. Determinar os valores de k ∈ R, tais que: Chama-se inequação do 2.o grau a toda sen- f(x) = kx2 + 2(k + 1) x – (k + 1) seja estrita- tença aberta do tipo ax2 + bx + c > 0 ou mente negativo para todo valor real de x. ax2 + bx + c ≥ 0 ou ax2 + b + c < 0 ou Solução: ax2 + bx + c ≤ 0, com a ∈ R*, b ∈ R e c ∈ R. 1.º caso: Como resolver: Se k = 0, temos f(x) = 2x – 1, que não é negati- a) Resolver, em IR, uma inequação do 2.º vo para qualquer x. grau “do tipo” ax2 + bx + c > 0 (a ≠ 0) é 2.º caso: determinar o conjunto de todos os valores da variável x para os quais o gráfico de Se k ≠ 0, o trinômio tem que ter um gráfico do f(x) = ax2 + bx + c se encontra acima do tipo: eixo x. b) Resolver, em IR, um inequação do 2.º grau “do tipo” ax2 + bx + c < 0 (a ≠ 0) é deter- minar o conjunto de todos os valores da variável x para os quais o gráfico de f(x) = ax2 + bx + c se encontra abaixo do eixo x. Então, devemos impor c) O conjunto solução da inequação x 2 – 6x + 5 < 0 em R, por exemplo, é (I) a < 0 ⇒ k < 0 {x ∈ IR| 1 < x < 5}, pois o esboço do (II) [2 (k + 1)2 – 4k [–(k + 1)] < 0 ⇒ 4 (k + 1)2 + gráfico da função f(x) = x 2 – 6x + 5 é: 4k (k + 1) < 0 ⇒ 4 (k + 1) (k + 1 + k) < 0 ⇒ 4(k + 1) . (2k + 1) < 0 ⇔ –1< k < pois o gráfico é: De (I) ∩ (II), temos –1< k 1. João comprou um terreno em Itacoatiara onde Resposta: –1< k < pretende construir uma casa de forma triangu- lar, segundo a figura e as medidas abaixo:5. Para que valores de k a equação x2 + 2kx + (k2 – k – 2) = 0 admite duas raízes reais e de sinais contrários? Solução: Raízes de sinais contrários ⇔ Qual deve ser o menor valor de x para que a 104
  • 92. Matemática Elementar II – Funções área dessa casa seja maior que 24m2? 4. Resolver, em R, a inequação x2 – 4x + 5 ≥ 0. Solução: Solução: • O terreno é um triângulo de área igual a O conjunto-solução da inequação ; x2 – 4x + 5 ≥ 0 é R, pois o esboço do gráfico de f(x) = x2 – 4x + 5 é: • A > 24m2 ⇒ > 24 ⇒ x2 − 2x −48 > 0, que representa uma inequação do 2.º grau. • Observe, graficamente, como fica a situação: 5. Resolver, em IR, o sistema • Observe que –6 < x < 8. Porém x > 0. Então, Solução: o menor valor de x para que a área seja maior que 24m2 é igual a 9m. a) O conjunto-verdade da inequação x2 – 4x + 3 > 0 é V1 = {x ∈ IR/ x < 1 ou x2. Resolver, em R, a inequação x2 – 5x + 6 > 0. > 3}, pois o gráfico de f(x) = x2 – 4x + 3 é Solução: do tipo: 2 O conjunto-solução da inequação x – 5x + 6 > 0 é {x ∈ IR/ x < 2 ou x > 3}, pois o esboço do gráfico de f(x) = x2 – 5x + 6 é: b) O conjunto-verdade da inequação – x2 + x + 2 ≤ 0 é V2 = {x ∈ R| x ≤ –1 ou x ≥ 2}, pois o gráfico de g(x) = x2 + x + 2 é do tipo:3. Resolver, em R, a inequação – x2 + 6x – 9 < 0. Solução: O conjunto-solução da inequação –x + 6x – 9 < 0 é {x ∈ IR/ x ≠ 3} = R – {3}, pois 2 o esboço do gráfico de f(x) = – x2 + 6x – 9 é: c) O conjunto-verdade do sistema é V = V1 ∩ V2: Assim sendo: V = {x ∈ R / x ≤ –1 ou x > 3}. 105
  • 93. UEA – Licenciatura em Matemática 5. (UF. UBERLÂNDIA) Se y = ax2 + bx + c é a equação da parábola representada na figura, pode-se afirmar que:1. (UNIJUÍ) O esboço do gráfico que melhor re- presenta a função y = x2 + 4 é: a) ab < 0 b) b < 0 a) b) c) bc < 0 d) b2 – 4ac ≤ 0 e) ac > 0 De 6 a 17, resolva, em IR, as inequações: 6. x2 – 5x + 4 > 0 7. x2 – 5x + 4 ≤ 0 c) d) 8. A solução do sistema de inequações: a) x=1 b) 0 < x < 1 c) x>1 d) 0 ≤ x ≤ 1 e) x>7 e) 9. (FGV) Se A = {x ∈ R | 3x – 2x2 ≤ 0}, B = {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 3} e2. (UNIFOR) O gráfico da função f, de IR em IR, C = {x ∈ R |x2 – x – 2 ≤ 0}, definida por f(x) = x2 + 3x – 10, intercepta o então, (A ∪ B) ∩ C é: eixo das abcissas nos pontos A e B. A distân- cia AB é igual a a) {x ∈ R | – 1 ≤ x ≤ 3} b) {x ∈ R | 0 ≤ x ≤ 2} a) 3 b) 5 3 c) 7 d) 8 c) {x ∈ R | –1 ≤ x ≤ ––} e) 9 2 33. (CEFET–BA) O gráfico da função y = ax2 + bx + c d) {x ∈ R | –1 ≤ x ≤ 0 ou –– ≤ x ≤ 2} tem uma só intersecção com o eixo Ox e corta 2 o eixo Oy em (0,1). Então, os valores de a e b e) {x ∈ R | – 1≤ x ≤ 2} obedecem à relação: 10. x2 – 4x + 4 ≤ 0 a) b2 = 4a b) –b2 = 4a c) b = 2a d) a2 = – 4a 11. – x2 + 3x – 4 > 0 e) a2 = 4 12. – x2 + 3x – 4 < 04. (ULBRA) Assinale a equação que representa 13. – x2 + 3x – 4 ≤ 0 uma parábola voltada para baixo, tangente ao 14. Considere A = {x ∈ R : x2 – 7x +10 ≥ 0} e eixo das abscissas: B = {x ∈ R : x2 – 4x + 3 < 0}. Podemos afir- mar que A ∩ B é o conjunto: a) y = x2 b) y = x2 – 4x + 4 a) 1 < x ≤ 2 b) 2 < x ≤ 3 c) y = –x2 4x – 4 d) y = –x2 + 5x – 6 c) 2 ≤ x ≤ 5 d) 1 < x ≤ 5 e) y = x – 3 e) 3 < x ≤ 6 106
  • 94. Matemática Elementar II – Funções 1 y = 2x2 – 7x + 3 = 2 (x – 3) (x – –––) TEMA 27 2 = (x – 3) (2x – 1) 2. Fatorar, em IR, o trinômio y = x2 – 6x + 9.1.17 INEQUAÇÃO DO “TIPO” QUOCIENTE E DO “TIPO” PRODUTO Solução: Observando, por exemplo, que Procedendo da mesma forma que no exercício ,pode-se anterior, temos: demostrar que: Δ = (–6)2 – 4 . 1 . 9 = 36 – 36 = 0 Como Δ = 0, devemos aplicar: y = a (x – x1)2. Raiz: x2 – 6x + 9 = 0 E como a = 1, temos: y = x2 – 6x + 9 = 1 . (x – 3)2 = (x – 3)2 3. Resolver a inequação Solução: Resolver é o mesmo que resolver Assim sendo, toda inequação do “tipo” quo- (x – 2) (x – 3) < 0 ciente, pode ser transformada numa inequa- ção equivalente do “tipo” produto, se isso for Então, pelo gráfico, temos: conveniente. e, portanto, a resposta é: 2 < x < 3.1. Fatorar, em IR, o trinômio y = 2x2 – 7x + 3. Solução: 4. Resolver a inequação . Δ = b – 4ac = )–7) – 4 . 2 = 49 – 24 = 25. 2 2 Solução: Portanto, Δ > 0. Aplicamos, então, a forma Resolver é o mesmo que resolver fatorada do trinômio do 2.º grau y = a(x–x1) (x–x2) em que a é o coeficiente de (x + 1) (x –1) ≤ 0 e x – 1 ≠ 0. x2 e x1 e x2 são raízes. Determinamos as raízes do trinômio, resolvendo 2x2 – 7x + 3 = 0, o Então, pelo gráfico, temos: que nos fornece: Então, temos: e, portanto, a resposta é: – 1 ≤ x < 1. 1 a = 2, x1 = 3 e x2 = ––– . Logo: 2 5. Resolver a inequação (x – 1) . (x2 – 3x + 2) ≥ 0. 107
  • 95. UEA – Licenciatura em Matemática Solução: Solução: Façamos y1 = x – 1 e y2 = x2 – 3x + 2 e Façamos y1 = x –1 e y2 = x2 – 5x + 6 e, já que estudemos, separadamente, os sinais de y1 e a regra de sinais do quociente é a mesma de y2 pelos seus respectivos gráficos: que a do produto v1 . v2, vamos proceder como a) Na primeira faixa horizontal do quadro, no exercício anterior. Então, temos: “passamos a limpo” a variação de sinal de y1, obtida pelo gráfico, destacando que “à esquerda de 1” y1 é negativo, “à direita de 1”, y1 é positivo e, no ponto 1, y1 é igual a zero, isto é: b) Na segunda faixa horizontal do quadro, fize- mos o mesmo com y2. Resposta: v = {x∈R|x ≤ 1 ou 2 < x < 3}. De 1 a 5, resolver, em R, as inequações: O sinal do produto y1 . y2 é obtido por meio do “quadro de sinais”. 1. (x – 3) (x – 5) > 0 c) Na terceira faixa horizontal do QUADRO, deduzimos pela “regra de sinais do produ- to” o sinal de y1. y2 e assinalamos, no eixo 2. x, os valores de x que acarretam y1 . y2 > 0 ou y1 . y2 = 0. 3. 4. (x2 – 5x + 4) (x – 2) > 0 5. Portanto a resposta é x = 1 ou x ≥ 2.6. Determinar o conjunto-verdade da inequação 6. O conjunto solução da desigualdade . é: 108
  • 96. Matemática Elementar II – Funções 11. (FURG) O domínio da função a) y = f(x) = é: b) a) 1 ≤ x ≤ 2 ou x ≥ 4 b) 1 < x ≤ 2 ou x > 4 c) c) 1 < x ≤ 2 ou x ≥ 4 d) 1 ≤ 3 ou x ≥ 4 d) e) 1 < x < 2 ou x > 4 e) 12. (PUC) Considere a função do 1.o grau f, de R em R, definida por , onde7. O conjunto-solução da inequação é: m ∈ R. Para que valores de m essa função é decres- a) –3 < x < 1. cente? b) x < – 3 ou 0 < x < 1 13. (UEL) O conjunto-solução da inequação c) –3 < x < – ou 1 < x < d) – < x < 1 ou x > , no universo IR, é e) –1 < x < 1 ou x > 3 a) [–1, 3]8. (PUC−RIO) No universo R, o conjunto− b) [–1, + ∞[ solução da inequação : c) ]–1, 0 [∪]0,3] d) [–1, 3] ∪[2, +∞[ a) {x∈R|x > 0} e) ]–1, 1, [∪[2, +∞[ b) {x∈R|x > 3} c) {x∈R|x < 0 ou x > 3} 14. (UNIRIO) Dadas as funções f(x) = x2 – 2x + 1, d) {x∈R|0 < x < 3} g(x) = 5 –x e h(x) = x2 – 4x + 3, definimos a e) {x∈R| x > 0 e x ≠ 3} função . Analisando os valores9. (PUC–RIO) A inequação < 2 tem de x, para os quais (x) ϕ ≥ 0, temos: como solução o conjunto de números reais: a) x < 1 ou 3 < x < 5 b) x < 1 ou 3 ≤ x ≤ 5 a) ]–∞; –1[∪]2;3[ b) ]2, 3[ c) x ≤ 1 ou 3 ≤ x ≤ 5 c) ]–∞, 1] ∪ [2, 3] d) x > 5 ou 1< x < 3 d) [2, 3] e) x > 5 ou 1< x < 3 e) ]1; 4] 15. (UEL) A função real f, de variável real, dada por10. (FATEC) A solução real da inequação produto f(x) = –x2 + 12x + 20, tem um valor (x2 – 4) . (x2 – 4x) ≥ 0 é: a) mínimo, igual a –16, para x = 6 a) S = {x∈R|–2 ≤ x ≤ 0 ou ≤ x ≤ 4 b) mínimo, igual a 16, para x = – 12 b) S = {x∈R|0 ≤ x ≤ 4 c) máximo, igual a 56, para x = 6 c) S = {x∈R|x ≤ –2 ou x ≥ 4} d) S = {x∈R|x ≤ –2 ou ≤ x ≤ 2 ou x ≥ 4 d) máximo, igual a 72, para x = 12 e) S = ∅ e) máximo, igual a 240, para x = 20 109
  • 97. UEA – Licenciatura em Matemática16. (PUC–MG) O lucro de um loja, pela venda a) 1 b) 2 c) 3 diária de x peças, é dado por L(x) = 100 (10 – d) 4 e) 5 x) (x – 4). O lucro máximo, por dia, é obtido com a venda de: 20. (UF. OURO PRETO) Em relação ao gráfico da a) 7 peças b) 10 peças função f(x) = – x2 + 4x – 3, pode−se afirmar: c) 14 peças d) 50 peças a) é uma parábola de concavidade voltada pa- e) 100 peças ra cima; b) seu vértice é o ponto V(2, 1);17. (U. E. FEIRA DE SANTANA) Considerando-se a c) intercepta o eixo das abscissas em P(–3, 0) função real f(x) = –2x2 + 4x + 12, o valor máx- e Q(3, 0); imo desta função é d) o seu eixo de simetria é o eixo das orde- a) 1 b) 3 c) 4 nadas; d) 12 e) 14 e) intercepta o eixo das ordenadas em R(0, 3).18. (ESPM) Em um terreno de formato triangular deseja-se construir uma casa com formato retangular. Determine x e y de modo que a área construída seja máxima. a) x = 2,5 e y = 7,5 b) x = 3 e y = 9 c) x = 4,5 e y = 10,5 d) x = 5 e y = 15 e) x = 3 e y = 119. (FAMECA) No quadrado ABCD, com 6m de lado, o valor de z para que a área sombreada seja máxima, será, em centímetros: 110
  • 98. Respostas de Exercícios
  • 99. Matemática Elementar II – Respostas de ExercíciosUNIDADE I – Conjuntos Numéricos b) 2. a) −14m4n4 TEMA 01 b) CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS 3. a) 5a3b1. a) 0; 0,7; 7,7; -7 b) b) ; π; 0,70007...2. a) 1,25 b) 1,666... c) 5,8333... d) 0,4 4. a) −125a6b3c9 b) 1 c)3. a) 9/20 b) 5/11 c) 54/25 d) 49/94. 10 5. a) 9m3n2p b) c)5. a) comutativa (adição) 6. a) 72,5 Kg ; 57,5 Kg b) 1,76 m ; 1,60 m b) comutativa (multiplicação) c) associativa (adição) 7. a) 0,45 x b) 0,60y – 2 c) 0,45 x + 0,6y – 2 d) associativa (multiplicação) 8. a) 13/5 b) – 136. 9. a) 3 b) 3/27. d 10. 1000 + 40t8. Q I Q∩I=∅ 11. a) 5x − 1 b) 5x – 2 c) 7x – 1 ↓ R 12. a) x3 + 7x2 + 11x + 5 b) 2x4 + 4x3 − 2x2 − 8x − 49. a) 2b + 6 c) 2x3 + 10x2 − 4x − 20 b) 17c − 34 c) −4x − 16 d) −2a.+ 2b 13. a) b) 5x9 − 4x4 + 2x10. Cada ponto da reta corresponde a um, e somente um, número real. 14. a) 4x – 1 R=3 b) 4x – 5 R = 1411. − e 15. x2 + 3x − 712. Sim, × =2e 16. x + 313. Quando a parte infinita é periódica. UNIDADE II – Produtos Notáveis14. 0,555... = 5/9 15. 251,20 cm16. a) 321/50 b) 7,53 ; 1,35 TEMA 03 PRODUTOS NOTÁVEIS TEMA 02 1. a) 4x2 + 40x + 100 POLINÔMIOS b)1. a) a2 − 2b2 + 3a c) 25x2 − 10x + 1 113
  • 100. UEA – Licenciatura em Matemática h) (x + 8).(x + 2) d) i) (x + 5).(x + 2) e) x4 − 1 j) (2a − 5b).(4a2+ 10ab + 25b2) f) 2. a) 3.(x + 5).(x − 5) b) (x2+ 4).(x + 2).(x − 2)2. a) 27x3 + 54x2 + 36x + 8 c) (a + x).(a − x + 1) b) x3 − 6x2 + 12x − 8 d) 2.(x − 3)2 e) x.(x + 7)2 c) d) 1 − 6x + 12x2 − 8x3 3. 9003. a) x4 + y2 + 1 + 2x2y + 2x2 + 2y 4. b b) 4x2 + y2 + 2y + 1 − 4x - 4xy 5. 2104. a) x3 − 27 b) 8a3 + b3 6. 2 25. a) x + 2x − 15 b) x + (a − 2b)x − 2ab 7. 2696. 15 8. y + 7a7. 8 9. c8. 2ab 10. d9. 3x2 + 2x – 4 11. b10. 3a2 + 3a2b2 12. a) (x − 3).(x + 2)11. 8 b) (x + y).(x + 2y + 1) c) (2x + 3y).(2x − 3y)12. 25 13. 108.64113. a) 4x2 + 4xy + y2 b) x3 + 6x2y + 12xy2 + 8y3 14. 6014. Não, 16x2 − 8xy3 + y6 15. 200615. b16. x2 + 6x + 9 TEMA 07 FRAÇÕES ALGÉBRICAS TEMA 05 1. a) FATORAÇÃO b)1. a) x.(x − x − y) 2 b) 2x.(3xy + 4) 2. 6 c) (x + y).(2 + a) d) (x + y).(a − 1) 3. 5 e) (2x − 3)2 4. a) 3x – 2 b) 0 f) (6a + 5b)2 g) (m + 10).(m − 10) 5. 3 114
  • 101. Matemática Elementar II – Respostas de Exercícios6. a) −8a2b 5. d b) 6. a c) 7. 2.1027t 8. a) 1,99 × 1023g7. a) 9. e b) 10. c8. a) 11. −1 b) 3.(x − 1) 12. 2219. a) 13. 216 b) 14. R$ 5.120,00 15. 10510. a) b) TEMA 11 RADICAIS c) 1. a)11. a) 1ano b) 36cm2 b) Marcela c)12. Azul: 1002001 Vermelho: 100.000.000 2. a) F b) F c) V d) V13. e 3. –1414. b 4. a) b)15. 1/4 c) 30 d) 2,5 e)UNIDADE III – Potências e Radicais f) 3 5. a) TEMA 09 b) POTENCIAÇÃO c)1. a) 64 b) 2401 c) 1/64 d) 1/729 d)2. 14/15 6. c3. a) V b) F c) F d) F 7. d4. a) −1 b)−a12 c) 2/27 8. b 115
  • 102. UEA – Licenciatura em Matemática9. b f)10. a g) 5 h) – 611. c 8. x = –15, y = 2 e z = 512. b 9. c13. a) b) 4 10. b c) x d) 11. d14. a) 27 cubos 12. a) b) 12.096 b)15. c) 13. TEMA 13 EQUAÇÕES LITERAIS 14. t = b − c, com b ≠ c1. b) F 15. S = {a + b} c) A d) F 16. 5a e) F f) A 17. S = {2b} g) A h) A 18. S = {a + 2}2. b e c 19. 113. a) 4 20. – 1 b) –10 c) 10 21. R$ 48,00 d) – 25 e) 22. 20 anos 23.) 304. 24. 500.000 unidades5. 25. 89,5 26. 80 kg6. 4 anos 27. a) 0,25 litros7. a) 8 b) 0,75 litros b) 28. 74 anos c) 29. 114 km d) 3 e) 0 30. 8 anos 116
  • 103. Matemática Elementar II – Respostas de Exercícios31. a) R$ 72.000,00 UNIDADE IV – Inequações e Sistemas b) R$ 18.000,0032. a) 15 m b) 225 m2 e 375 m2 TEMA 1533. a) 88 180 083 INEQUAÇÃO DO 1.º GRAU b) 57 624 291 c) 160 317 177 1. a)34. 84 anos b) S = {x ∈ IR| x ≤ −2} c) S = {x ∈ IR| x < 2} d) S = {x ∈ IR| x ≤ 5} TEMA 14 e) f) S = {x ∈ IR| x ≤ 1} EQUAÇÕES FRACIONÁRIAS g)1. a) 12 b) –2 h) c) –9 d) Não tem solução. e) Não tem solução. i) f) –42. a) Não tem solução. 2. –3 b) – 1 3. 0 c) 4. 1 senador e 7 deputados, ou 2 senadores e 6 d) 2 deputados, ou 3 senadores e 5 deputados. e) 5. 81 melões f) 18 6. 21 anos3. a) 7. b b) 8. c c) 32 na 7.ª série A e 300alunos na 7.ª série B. 9. e4. 3 calças e 5 blusas.5. TEMA 16 SISTEMAS DE EQUAÇÕES E6. 3 horas INEQUAÇÕES DO 1.º GRAU7. – 25 01. Demonstração8. 3 02. Sim9. 8 meses 03. (8, 3) 117
  • 104. UEA – Licenciatura em Matemática04. b 19. a) 1 b)05.a) S = {(4,1)} c) 5 b) 20. c) S = {(14,6)} d) S = {(−5,7)} e) S = {(−4,−4)} 22.06. a) 7 vitórias b) 16 empates07. 508. a) S = {(3,−5)} b) S = {(23,14)} a) c) S = {(4,32)} d) S = {(1,−2)} e)09. 12 reais10. 10,5 km/h e 7,5 km/h11. Marta, 15 anos e Renata, 10. b)12. a) S = {(7,3)} b) S = {(15,−14)} c) d) S = {(2,3)} e) S = {(20,20)} f)13. 24 porcos e 96 galinhas c)14. 32 e 12 anos15. a) 140 cm3 b) Não. Porque o volume de 2kg de ouro é igual 100cm3. c) 1,2kg de ouro e 0,8kg de prata.16. a) 200 b) 500 d) 217. 8318. b) S={(2,2)} c) S={(6,3)} d) S={(1,−4)} 118
  • 105. Matemática Elementar II – Respostas de ExercíciosUNIDADE V – EQUAÇÃO DO 2.º GRAU TEMA 20 INTERVALOS REAIS TEMA 16 1. a) SISTEMAS DE EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES DO 1.º GRAU b) c)1. 2. a) [−4,7] = {x ∈ R| −4 ≤ x ≤ 7} b) ]2,5[ = {x ∈ R| 2 < x < 5}2. a) {–5, 5} b) c) {0, 7} (d) ∅ c) [1,3[ = {x ∈ R| 1 ≤ x < 3}3. 7 e m = 24. a) {–2} UNIDADE VI – FUNÇÕES b) {1, 9} c) TEMA 21 d) {–1, 7} e) {–9, –3} FUNÇÃO OU APLICAÇÃO f) {1, 8} 1. b5. 49cm2 2. d6. a) {–5, –3} b) {–3, 2} c) {1, 5} d) {–1, 8} 3. b e) {0, 3} f) {–1, 4}7. –6 TEMA 228. Uma solução DOMÍNIO9. 8 e 9 ou – 9 e –8 1. b10. 3 2. b11. 50m 3. d12. a) {–7, –6} 4. a b) {–4, 6} c) {–4, 5} 5. e d) {4} e) {–6, –1} f) {1 –13, a) 5cm b) 6cm c) 5cm TEMA 2314, 9m de comprimento e 5m de largura ou 5m FUNÇÃO DO 1.º GRAU de comprimento e 9m de largura. 1. 1/2 e 015. a) {(2, 0); (–1, –3)} b) {(5, 5); (–5, – 5)} c) {(0, 5; 2); (2; 0, 5)} d) {(2, 1) ; (–6; 9)} 2. c 119
  • 106. UEA – Licenciatura em Matemática3. y= x/3 +14. e TEMA 275. b INEQUAÇÃO PRODUTO E QUOCIENTE6. b 1. V ={x ∈ R| x < 3 ou x > 5}7. y = 1,5 x + 3 2. V ={x ∈ R| x < 3 ou x > 5}8. 22/5 3. V ={x ∈ R| x ≤ 3 ou x > 5}9. 31 4. V ={x ∈ R|1< x < 2 ou x > 4}10. b 5. V ={x ∈ R|−2 ≤ x < 1 ou x ≥ 2}11. 3112. 1 6. 7. x < – 3 ou 0 < x < 1 8. {x ∈ R| x > 0 e x ≠ 3} TEMA 26 9. ]–∞; –1[∪]; 3[ INEQUAÇÃO DO 2.º GRAU 10. S ={x ∈ R|x ≤ −2 ou 0 ≤ x ≤ 2}1. a 11. 1<x ≤ 2 ou x ≥ 42. c 12. V ={m ∈ R|0< m < 1 ou m > 3}3. a 13. ]–1, 1, [∪[2, + ∞[4. c 14. x<1 ou 3 ≤ x ≤ 55. c 15. c6. {x IR/ x< 1 ou x > 4} 16. a7. {x IR/ 1 ≤ x ≤ 4} 17. e8. a 18. a9. b 19. c10. {2} 20. b11. ∅12. IR13. IR14. a 120
  • 107. REFERÊNCIASBIANCHINI, Edwaldo. Matemática. São Paulo, Moderna, 2002.IEZZI, Gelson, 1939_Matemática e realidade / Gelson Iezzi, Osvaldo Doce, Antônio Machado_4ª ed.Reform._São PauloÇ Atual, 2000.GIOVANNI, José Ruy Giovanni / Eduardo Parente._São Paulo: FTD, 1999 (Coleção aprendendo matemática:novo)Dante, Luiz Roberto_ Tudo é Matemática. São Paulo: Editora Ática, 2003.Biachinni, edwaldo, 1935._ Construindo conhecimentos em Matemática / Edwaldo Biachinni, marcos Miani:_1.ª ed._ São Paulo: Moderna, 2000.Giovanni, José Ruy, 1937._ Matemática Pensar e Descobrir: novo / Giovanni Jr. _ São Paulo: FTD, 2000. _(Coleção Matemática pensar e descobrir)Silveira, Ênio, 1958. _ Matemática / Ênio Silveira, Cláudio Marques _ São Paulo: Moderna, 1995.Guelli, Oscar _ Matemática_ Uma aventura do pensamento _ ed. ref. São Paulo: editora Ática, 2001.IMENES, Luiz marcio; LELLIS, Marcelo.Matemática.São Paulo, Scipione, 2001.GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Benedito; JR., José Ruy Giovanni. A conquista da matemática. SãoPaulo, FTD, 1998.GUELLI, Oscar. Matemática, uma aventura do pensamento. São Paulo, Ática, 2001.CAVALCANTE, Luiz G.; SOSSO, Juliana; VIEIRA, Fábio; ZEQUI, Cristiane. Mais Matemática. São Paulo,Saraiva, 2001.