Matemática elementar i

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  • 1. FICHA TÉCNICA Governador Eduardo Braga Vice-Governador Omar Aziz Reitor Lourenço dos Santos Pereira Braga Vice-Reitor Carlos Eduardo S. Gonçalves Pró-Reitor de Planej. e Administração Antônio Dias Couto Pró-Reitor de Extensão e Assuntos Comunitários Ademar R. M. Teixeira Pró-Reitor de Ensino de Graduação Carlos Eduardo S. Gonçalves Pró-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa Walmir de Albuquerque BarbosaCoordenador Geral do Curso de Matemática (Sistema Presencial Mediado) Carlos Alberto Farias Jennings NUPROM Núcleo de Produção de Material Coordenador Geral João Batista Gomes Projeto Gráfico Mário Lima Editoração Eletrônica Helcio Ferreira Junior Horácio Martins Mário Lima Revisão Técnico-gramatical João Batista Gomes Costa, Helisângela Ramos da. C837 Matemática Elementar I / Helisângela Ramos da Costa, Ieda Maria de Araújo Câmara Costa, Célia Maria Nogueira. Batista – Manaus/AM: UEA, 2006. – (Licenciatura em Matemática. 1. Pe- ríodo). 131p.: il. ; 30 cm. Inclui bibliografia e anexo 1. Matemática – Estudo e ensino. I. Costa, Helisângela Ramos da. II. Costa, Ieda Maria de Araújo Câmara. III. Batista, Célia Maria Nogueira. IV. Título. CDU (1997): 51 CDD (19.ed.): 510
  • 2. SUMÁRIOPalavra do Reitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 07Unidade I – Sistemas de Numeração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 09TEMA 01 – A origem, as antigas civilizações e nosso sistema de numeração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11TEMA 02 – Bases diferentes de 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Unidade II – Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17TEMA 03 – Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Unidade III – Conjuntos dos números naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21TEMA 04 – Representação dos números naturais na reta numérica. Operação: adição . . . . . . . . . . . . . . 23TEMA 05 – Operação: subtração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26TEMA 06 – Operação: multiplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29TEMA 07 – Operação: divisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31TEMA 08 – Operações: potenciação e radiciação. Expressões Numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34TEMA 09 – Divisibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36TEMA 10 – Máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Unidade IV – O Conjunto dos números inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43TEMA 11 – A idéia do número inteiro. Representação na reta numérica. Subconjuntos. Módulo ou valorabsoluto de um número inteiro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45TEMA 12 – Operações: adição e subtração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48TEMA 13 – Operações: multiplicação e divisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51TEMA 14 – Operações: potenciação e radiciação. Expressões numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Unidade V – O Conjunto dos números racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55TEMA 15 – O número racional absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57TEMA 16 – O conjunto dos racionais relativos. Representação na reta numérica. Subconjuntos. Móduloou valor absoluto de um número racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62TEMA 17 – Operações: adição e subtração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65TEMA 18 – Operações: multiplicação e divisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66TEMA 19 – Operações: potenciação e radiciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68TEMA 20 – Expressões numéricas e resolução de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69TEMA 21 – Representação de números fracionários na forma decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72TEMA 22 – Operações: multiplicação e divisão. Sistema monetário nacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75Unidade VI – Geometria das formas e das medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77TEMA 23 – A geometria de Euclides. Conceitos primitivos. Semi-reta. Segmento de reta. Noções deMedida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79TEMA 24 – Unidades de medida de comprimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81TEMA 25 – Curvas abertas e fechadas. Regiões convexas. Ângulos e Polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83TEMA 26 – Triângulos e quadriláteros. Perímetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87TEMA 27 – Medidas de superfície . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90TEMA 28 – Área de principais figuras planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92TEMA 29 – Volume de sólidos. Medidas de capacidade e massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94TEMA 30 – Sólidos geométricos: prismas e pirâmides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97TEMA 31 – Sólidos geométricos: corpos redondos. Circunferência e círculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99TEMA 32 – Sólidos geométricos: corpos redondos. Cilindro e cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101Unidade VII – Proporcionalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105TEMA 33 – Razões e proporções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107TEMA 34 – Regra de três simples e composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113TEMA 35 – Porcentagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116TEMA 36 – Juros simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118Respostas de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
  • 3. PERFIL DOS AUTORES Helisângela Ramos da Costa Bacharela em Matemática – UFAM Bacharela em Processamento de Dados – UFAMEspecialização em Instrumentação para o Ensino da Matemática (concluindo) (UFF) Iêda Maria de Araújo Câmara Costa Especialista em Ensino de Matemática – UFAM. Mestranda em Matemática (Geometria Diferencial) – (UFAM) Célia Maria Nogueira Batista Especialista em Ensino da Matemática – UFAM Mestranda em Matemática (Geometria Diferencial) – (UFAM)
  • 4. PALAVRA DO REITORA Licenciatura Plena em Matemática pelo Sistema Presencial Mediado vem reforçar o compromisso doGoverno e da Universidade do Estado do Amazonas de avançar com ousadia na área do ensino que valo-riza os meios tecnológicos. Os recursos utilizados para tal (livro didático, tv e web) são reforçados pela pre-sença de Professores Assistentes para garantir a qualidade necessária e otimizar os efeitos positivos advin-dos dessa ousadia.O grande potencial tecnológico que caracteriza a UEA tem de ser utilizado para a formação de professores,especialmente daqueles que se encontram no interior do Estado, fazendo-os permanecer no seu local deorigem, dando-lhes formação à altura das necessidades regionais e criando condições dignas de trabalho.Toda a experiência significativa acumulada em outros projetos vai contribuir para que o curso de Matemáticacumpra a contento o papel de formar professores com visão diferenciada, colocando em prática uma didáti-ca eficiente, centrada nas necessidades imediatas do homem e do meio que o circunda.As estratégias de ensino-aprendizagem devem ser focadas no aluno. Em função dele é que se lança mãode todos os recursos inovadores, estimulando-o à pesquisa e à conquista de uma vida melhor. Assim, a UEAcumpre a tarefa de formar profissionais autônomos e disciplinados, aptos a absorver e a praticar uma políti-ca educacional que elevará o Estado do Amazonas à posição de vanguarda no âmbito do ensino que ultra-passa as barreiras da sala de aula. Lourenço dos Santos Pereira Braga Reitor da Universidade do Estado do Amazonas
  • 5. UNIDADE ISistemas de Numeração
  • 6. Matemática Elementar I – Sistemas de Numeração Nesse caso, quando ocorre a correspondência um-para-um nos dois sentidos, por exemplo, TEMA 01 uma pedrinha para cada ovelha e uma ovelha para cada pedrinha, denomina-se correspon- A ORIGEM. AS ANTIGAS CIVILIZAÇÕES. dência biunívoca (Figura 1). NOSSO SISTEMA DE NUMERAÇÃO A correspondência unidade a unidade não era1. A origem do sistema de numeração feita somente com pedras, mas eram usados também nós em cordas, marcas nas paredes, Para entender como surgiram os números, é talhes em ossos, desenhos nas cavernas e ou- preciso ter uma idéia de como o homem, des- tros tipos de marcação (Figura 2). de a época mais remota, vivia e quais eram suas necessidades. Naquele tempo, o homem, para alimentar-se, caçava, pescava e colhia frutos; para morar, usava cavernas; para defen- der-se, usava paus e pedras. Portanto o ho- mem precisava contar. Quantos peixes havia? Quantas espigas de milho? Quantos dias fal- tavam para a caça de pássaros antes das chu- vas? Quantas ovelhas havia no rebanho? Es- Figura 2: Objetos utilizados para representar as quantidades (BIACHINI, 2002, p. 12). sas necessidades de sobrevivência levaram-no a fazer comparações entre as “coisas” que ti- Porém um problema surgiu: imagine que uma nham ou queriam com os dedos das mãos. pessoa usasse traços para representar cada Segundo alguns autores, o surgimento da pri- ovelha. Por exemplo: um homem tinha meira máquina de calcular deve-se às conta- ||||||||||||||||||||||| ovelhas. gens nos dedos das mãos. Não seria nada prático, não é mesmo? Talvez a Devido ao aumento de posses e à necessida- solução encontrada tenha sido separar grupos de de contar quantidades maiores, o homem de marcas. passou a usar objetos pequenos para repre- sentá-las. Um homem tinha ||||||||| ||||||||| ||| ovelhas. No caso das pedrinhas, cada animal que saía para o pasto de manhã correspondia a uma Neste caso, as marcas estão agrupadas de pedra que era guardada em um saco. No fim dez em dez. do dia, quando os animais voltavam do pasto, Ainda hoje em dia, nos jogos, é muito comum era feita a correspondência inversa: para cada contar pontos registrando agrupamentos de 5. animal que retornava, era retirada uma pedra Por exemplo, num jogo: do saco. Se no fim do dia sobrasse alguma João fez pontos pedra, era porque faltava algum dos animais. E se algum fosse acrescentado ao rebanho, era Para facilitar o registro dos objetos, surgiu o só acrescentar mais uma pedra. A palavra cál- ábaco, cerca de 3500 a.C., na Mesopotâmia. culo é derivada da palavra latina calculus, que Os mais antigos ábacos eram formados de sul- significa pedras (Figura 1). cos feitos na areia, nos quais eram colocadas pedrinhas. Um mesmo número de pedrinhas colocadas em sulcos diferentes representava quantidades diferentes. O primeiro sulco, da direita para a esquerda, corresponde ao sulco das unidades; o segundo, ao sulco das deze- nas; o terceiro, ao sulco das centenas, e assim Figura 1: Correspondência biunívoca (BIANCHINI, 2002, p. 13). por diante. 11
  • 7. UEA – Licenciatura em Matemática o sistema de numeração egípcio não é posicio- nal. Por exemplo, o número 22 podia ser repre- sentado por: Ao contrário de outros povos que criaram sím- Figura 3: Ábaco antigo (BIACHINI, 2002, p. 43). bolos próprios para representar os números, os romanos buscaram letras do próprio alfabe-2. As antigas civilizações to para representá-los. No quadro 2, tem-se o As primeiras grandes civilizações surgiram sistema de numeração romano e os valores nas regiões próximas do Mar Mediterrâneo, há correspondentes em nosso sistema de nume- pouco mais de 5 000 anos. Entre elas, desta- ração. cou-se a civilização egípcia. A escrita egípcia Quadro 2: Sistema de numeração romano era feita por meio de combinações de dese- nhos e sinais gráficos, chamados hieróglifos. A seguir, uma lista de sinais convencionais utili- zados no sistema de numeração egípcio. Sis- Na figura 4, tem-se um mostrador de relógio tema de numeração é o conjunto de regras em que são utilizados algarismos romanos. usadas para tornar possível a leitura e a escri- ta dos números. Quadro 1: Sistema de numeração egípcio. Figura 4: Algarismos romanos. Observa-se que, da mesma forma que os egíp- cios, os romanos utilizavam base 10: I → 1 = 100 0, X → 10 = 10 1, C → 100 =10 2, M → 1000 =10 3. A seguir, as principais regras do sistema de numeração romano: 1) Cada um dos símbolos I, X, C e M pode ser repetido seguidamente até três vezes. 2) Um símbolo escrito à esquerda de outro de maior valor indica uma subtração dos respectivos va- lores (princípio subtrativo). Fonte: http://educar.sc.usp.br/matemática Exemplo: IV → 5 − 1 = 4; IX → 10 − 1 = 9; XL → 50 − 10 = 40; Observe, no quadro 1, que cada símbolo re- CD → 500 − 100 = 400; CM → 1000 − 100 = 900. presenta dez vezes o que o símbolo anterior 3) Um símbolo escrito à direita de outro de maior representa, justificando o fato de que a base valor indica uma soma dos respectivos valores do sistema de numeração egípcio é 10. Para (princípio aditivo). representar um determinado número, os egíp- Exemplo: cios colocavam os símbolos tanto da direita VI → 5 + 1 = 6; XI = 10 + 1 = 11; XV = 10 + 5 = 15; para a esquerda quanto da esquerda para a CX → 100 + 10 = 110; DC → 500 + 10 = 600; direita ou de cima para baixo. Isto mostra que MDC → 1.000 + 500 + 100 = 1.600 12
  • 8. Matemática Elementar I – Sistemas de Numeração 4) Utiliza-se um traço horizontal acima do símbolo, meiros que chegaram à noção de zero, que indi- indicando que o número abaixo dele deve ser ca uma “casa vazia”, foram os babilônios, povo multiplicado por mil. Dois traços equivale a multi- que viveu por volta de 2 500 a. C., na Mesopo- plicá-lo por 1 000 × 1 000 = 1 000 000 (um milhão). tâmia. Exemplos: 2) Tem base 10, ou seja, os agrupamentos são fei- tos de dez em dez. 3) É um sistema posicional, isto é, um mesmo sím- bolo representa valores diferentes dependendo3. Nosso Sistema de Numeração da posição que ocupa no numeral. O Brasil, assim como a maioria dos países, uti- Exemplo: no número 32 524, o primeiro algaris- liza o sistema de numeração indo-arábico, que mo “2” (contando a partir da direita) vale vinte unidades, enquanto o segundo vale duas mil uni- é decimal. A palavra “decimal” origina-se do la- dades. tim decem, que significa dez, ou seja, os agru- pamentos são sempre feitos de dez em dez. 4) Obedece aos princípios aditivo e multiplica- Por isso, é usualmente chamado de sistema tivo. numérico decimal. A denominação indo-arábi- O número 235, por exemplo, significa: 200 + 30 + 5 (princípio aditivo) co deve-se ao fato de seus símbolos e suas Ou seja, regras terem sido inventados pela antiga civi- 2 × 100 + 3 × 10 + 5 × 1 (princípio multiplicativo) lização hindu e aperfeiçoados e divulgados No princípio aditivo, o número é obtido pela adi- pelos árabes. ção dos valores posicionais. O principal responsável pela divulgação desse No princípio multiplicativo, cada algarismo escri- sistema foi o matemático, astrônomo e geógra- to imediatamente à esquerda de um outro alga- fo muçulmano do século IX, Abu Jafar Moha- rismo vale dez vezes o valor posicional deste. med Ibn Musa Al-Khowarizmi, com a tradu- Assim, cada grupo de dez unidades forma uma ção de seus trabalhos de Aritmética, Álgebra e dezena. Cada grupo de dez dezenas forma Geometria para o latim, penetrando e influen- uma centena. Cada grupo de dez centenas ciando o Ocidente. forma um milhar. Cada grupo de dez unidades A seguir, as principais características desse sis- de milhar forma uma dezena de milhar. Cada tema: grupo de dez dezenas de milhar forma uma 1) Utiliza apenas 10 símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, centena de milhar. E assim por diante. Dessa 8 e 9, com os quais é possível representar qual- forma, todo número pode ser representado uti- quer número. Esses símbolos são chamados al- lizando potências de dez. Este tipo de represen- garismos em homenagem à Al-Khowarizmi. Vale tação do número é chamado de notação expo- lembrar que os símbolos do nosso sistema de nencial. numeração sofreram várias mudanças sendo sua padronização possível com a invenção da Observe como o número 809 432 é represen- imprensa, no século XV. Outro fato é que, os pri- tado no ábaco com sua notação exponencial: 13
  • 9. UEA – Licenciatura em Matemática A partir dos conceitos de valor posicional, têm- EXERCÍCIOS se os conceitos de valor relativo e valor abso- 1) Escreva a quantidade que está representada luto. em cada ábaco. Valor relativo de um algarismo é o valor que ele assume, dependendo da ordem que ele ocupa no número, e valor absoluto é o valor isolado do algarismo, independente da posição ou or- dem que ele ocupa no número. No sistema de numeração decimal, os núme- ros são lidos ou escritos mais facilmente quan- 2) Escrever os numerais em algarismos romanos: do os algarismos são separados em grupos de a) 12 b) 19 c) 159 d) 535 três, começando pela direita. Cada algaris- e) 1 542 f) 4 415 g) 750 mo que forma um numeral representa uma ordem e que cada três ordens consecutivas 3) Veja o desenho e descubra que número repre- representa uma classe como se pode obser- senta e qual sua notação exponencial. var no quadro 3. Mas as classes não terminam nos milhões. Existem as classes dos bilhões, trilhões, etc. Considere os números que estão colocados no quadro 3 e a respectiva leitura: 4) No quadro valor lugar, represente os números e depois faça a leitura: Lê-se: oitocentos e nove mil, quatrocentos e trinta e dois. a) 3 482 b) 55 980 644 5) Observe o número 3 482 e responda: Lê-se: sessenta e três milhões, duzentos e oitenta e três a) Quantas classes e quantas ordens possui o nú- mil, cento e quatro. mero dado? Atenção: Quando o número indicar quantia em di- b) Quantas unidades simples possui? nheiro, a separação das classes deve ser feita por c) Quantas dezenas possui? um ponto, caso contrário, deve-se usar espaço. d) Quantas centenas possui? Exemplos: e) Qual a ordem em que o valor absoluto é igual ao a) 3 456 b) 34 567 103 c) R$1.200,00 d) R$14.350,50 valor relativo? Quadro 3: Quadro Valor Lugar 14
  • 10. Matemática Elementar I – Sistemas de Numeração O sistema binário funciona de modo parecido a um interruptor, como mostra a Figura 5. TEMA 02 BASES DIFERENTES DE 10Quando se precisa contar uma grande quantidadede coisas, separam-se os objetos em grupos, pois Figura 5: Sistema binário (BIANCHINI, 2002, p. 53).isto facilita a contagem. Por exemplo, contar as dú-zias de ovos é uma forma de agrupar: agrupar de Se desejar representar, neste sistema numérico, o12 em 12. Os fabricantes agrupam um determina- número oito mediante um conjunto de lâmpadas,do número de unidades em cada embalagem. Por onde uma lâmpada acesa representa o algarismoexemplo: as barrinhas de drops vêm com o mes- “1” e uma lâmpada apagada o algarismo “0”, tem-mo número de balas, as cartelas dos medicamen- se as 3 lâmpadas da esquerda para direita apa-tos vêm com o mesmo número de comprimidos. gadas e 1 acesa (Figura 6).Até a medição do tempo é feita por meio de grupa-mentos de 60 em 60 – sistema sexagesimal.Exemplo: Uma hora tem 60 minutos e um minutotem 60 segundos. Dessa forma, tem-se: Figura 6: Representação do número oito noa) 1h 20min = 1×601 + 20×600 = 1×60 + 20×1 = sistema binário (BIANCHINI, p. 56). = 60 + 20 = 80minb) 2h 20min 40s = 2×602 + 20×601 + 40×600 = 1 000(dois) = 1×23 + 0×22 + 0×21 + 0×20 = 8 = 2×60×60 + 20×60 + 40×1 = Já foi demonstrado como escrever um número em = (7 200 + 1 200 + 40)s = 8 440s uma determinada base para a base 10. Agora, será demonstrado como fazer o processo inverso. APortanto é possível usar qualquer número como maneira mais simples consiste em fazer divisõesbase para criar um sistema numérico posicional. sucessivas pela base. As divisões serão feitasRegra: obtém-se o valor do número, multiplican- com o número e com cada um dos quocientesdo o valor de cada algarismo pela base elevada inteiros encontrados. O processo termina quan-à posição ocupada por ele (a partir da posição do o quociente for igual a zero. Os restos daszero), somando-se todas as parcelas. divisões, escritos na ordem inversa em queOutro sistema não decimal bastante utilizado é o aparecem, darão a representação do número nasistema binário – sistema numérico posicional de base escolhida. Observe como fica transforman-base dois que usa apenas os algarismos “um” e do o número oito na base 10 para a base 2.“zero”. A grande maioria dos componentes de cir-cuitos elétricos podem assumir apenas um dentredois estados. Por exemplo: interruptores ou tran-sistores podem estar fechados ou abertos; capaci-tores podem estar carregados ou descarregados;lâmpadas podem estar acesas ou apagadas. Foiestabelecido que um desses estados representa o EXERCÍCIOS“um” (lâmpada acesa, por exemplo) e que o outrorepresenta o “zero” (lâmpada apagada, por exem- 1) Escreva a quantidade que está representadaplo). O algarismo do sistema binário é chamado de em cada ábaco.dígito binário, oriundo do inglês binary digit, cujacontração produz bit. O bit é a menor unidade dedado (ou informação) que pode ser armazenadaem um computador.O processo de conversão das grandezas domundo real em quantidades expressas no sistemabinário chama-se “digitalização”. 2) Escreva o número (192)dez na base cinco. 15
  • 11. UNIDADE II Conjuntos
  • 12. Matemática Elementar I – Conjuntos Exemplo: O conjunto B formado pelos dias da semana que começam com a letra “p”. Indica-se TEMA 03 por: B = { } ou B = ∅ CONJUNTOS Relacionando o conjunto B da figura 1 com o con- junto , percebe-se que é possível estabelecerObserve os conjuntos a seguir: relação entre os conjuntos. A relação pode ser de pertinência ou de inclusão. Relação de pertinência é uma relação entre elementos e conjunto. Quadro 1: Relação de pertinência. Figura 1: Representação dos conjuntos em diagramas.O conjunto A caracteriza-se por seus elementosserem figuras geométricas. O conjunto B caracteri-za-se por seus elementos serem números. Os con-juntos são representados por letras maiúsculas.Portanto: Relação de inclusão é uma relação entre conjuntos. Um conjunto é uma coleção de elementos que têm uma característica em comum, uma Quadro 2: Relação de Inclusão. propriedade que os distingue.Exemplo: = {0, 1, 2, 3, 4....}. Esse conjunto échamado de conjunto dos números naturais. Cadanúmero natural possui um outro número naturaldenominado sucessor – elemento que vem ime-diatamente após um número dado (antecessor). 1é sucessor de 0, e 0 é antecessor de 1. 1) Em ambas as notações, B é subconjunto de A,Os conjuntos podem ser classificados em finito, ou seja, todos os elementos de B pertenceminfinito, unitário e vazio. ao conjunto A.Conjunto finito – É aquele em que se podem con- 2) O conjunto vazio é subconjunto de qualquertar todos os seus elementos. conjunto, e qualquer conjunto contém o con-Exemplo: M = {0, 1, 2, ... ,718, 719}. M é o conjun- junto vazio. Ou seja:to dos números naturais menores que 720. ∅⊂AeA⊃∅Conjunto infinito – É aquele em que não se con- 3) Todo conjunto é subconjunto de si mesmo,segue contar todos os seus elementos. pois se A = B, então:Exemplo: Conjunto dos números naturais = {0, A⊃BeB⊂A1, 2, 3, 4, 5,...}. 4) Em ambas as notações, C não é subconjuntoObservação: cada elemento é escrito uma única de D, ou seja, nem todos os elementos de Cvez no conjunto. pertencem ao conjunto D.Conjunto unitário – É o conjunto formado por um Exemplo: Considerando os conjuntos A, B e Cúnico elemento. onde A é o conjunto formado pelos números queExemplo: A = {3} representam os ponteiros de um relógio, B pelosConjunto vazio – É o conjunto que não tem ele- números que aparecem nas teclas de um telefonementos. e C pelos números naturais. 19
  • 13. UEA – Licenciatura em MatemáticaSendo A = {1, 2, 3,...,12}, B = {0, 1, 2,..., 9} e EXERCÍCIOSC = {0, 1, 2, 3,...} 1) Complete os espaços com os símbolos ∈, ∉, ⊃Eis algumas possibilidades de relaçõs entre eles: ou ⊄.: 5 ∈ B, 24 ∉ A, B ⊄ A, B ⊂ C, C ⊃ A, A B a) {c, b, e}.........{a, b, c, d, e, f} b) 0....... {1, ..., 10, 11,...}Além de relacionar elemento e conjunto, conjunto c) {0, 1, 2,...}........{10, 20, 30, 40}e conjunto, podem-se realizar operações entre d) {a, e, i, o, u}......{a, u}conjuntos: união, interseção e diferença entre con- e) 3 .....INjuntos (quadro 3). f) {2, 4, 6, 8}.......{0, 1, 2, .., 8} Quadro 3: Operação entre conjuntos. 2) Considerando o conjunto A formado pela idade das pessoas que têm mais de 30 anos, o conjunto B pela idade das pessoas que têm menos de 25 anos, o conjunto C pela idade das pessoas que têm entre 40 e 50 anos, assi- nale V (verdadeiro) ou F (falso) para as sen- tenças: a) A ∪ B = C b) A ∩ C = C c) C − A = C d) A − (B ∪ C ) = {0,1, 2,..., 30}Exemplo: Considerando os conjuntos da figura 2,determine: Figura 2: Operações entre conjuntos.a) A ∪ B = {1, 2, 3, 5} ∪ {2, 4, 5, 6, 7} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}b) A ∩ B = {1, 2, 3, 5} ∩ {2, 4, 5, 6, 7} = {2, 5}c) (A − B) ∩ (A ∩ B) A − B = {1, 3} A ∩ B = {2, 5} (A − B ) ∩ (A ∩ B) = {1, 3} ∩ {2, 5} = ∅ 20
  • 14. UNIDADE IIIConjunto dos Números Naturais
  • 15. Matemática Elementar I – Conjunto dos Números Naturais 2. Operações com números naturais TEMA 04 A Aritmética é o alicerce da Matemática. Essa palavra vem do grego arithmos, que significa número. REPRESENTAÇÃO NA RETA NUMÉRICA. OPERAÇÃO: ADIÇÃO Aritmética é a parte da Matemática que estuda as propriedades dos números eO conjunto dos números naturais, representado as operações que se podem realizar so-pela letra , é o conjunto: bre eles. = {0,1,2,3,4,5,6,...}, muito utilizado para resolver As operações com os números naturais sãoproblemas de contagem, em que o zero indica a usadas constantemente na vida diária, emboraausência de objetos. seja difícil dizer quando e como se aprende a1. Representação dos números naturais na re- adicionar, subtrair, multiplicar e dividir. Operar ta numérica é agir sobre os objetos e, de alguma manei- ra, realizar transformações. A seguir, o procedimento para representar es- Resolver problemas é uma prática que acom- ses números sobre uma reta ordenada: panha os homens ao longo da história. As ciên- 1) Traça-se uma reta, e sobre ela, marca-se um pon- cias, as sociedades, as artes devem muito do to “O” (chamado ponto de origem). seu desenvolvimento à eterna resolução de problema. George Polya (1887-1985) foi um 2) Escolhe-se uma unidade de comprimento, 1 cen- grande educador matemático que nasceu em tímetro, por exemplo, à direita do ponto O. Budapeste, Hungria. Escreveu muitos artigos e 3) Partindo do ponto de origem, coloca-se essa uni- alguns livros extraordinários, como How to dade de comprimento repetidas vezes, ao longo solve it (“A Arte de Resolver Problemas”, em da reta, da esquerda para a direita. Cada ponto português). da reta está associado a um número natural. Note que: Figura 1: A Arte de Resolver Problemas Fonte: www.mercadolivre.com.br/.../25604126_3848.jpg a) 1 é consecutivo de 0 ou sucessor de 0, porque 0+1=1 Procurando organizar um pouco o processo de resolução de problemas, George Polya divi- b) 3 é consecutivo de 2, porque 2 + 1 = 3 diu-o em quatro etapas. Polya nunca preten- c) 0 < 1 < 2 < 3 → lê-se: 0 é menor que 1, que é deu que sua divisão correspondesse a uma se- qüência de etapas a serem percorridas uma menor que 2, que é menor que 3. O anteces- depois da outra, sem que nunca seja conve- sor é sempre menor que seu sucessor. Esta- niente ou necessário voltar atrás, ou que fun- belece-se, assim, a ordem crescente dos nú- cionasse como uma porção mágica. meros naturais. As quatro etapas para resolução de proble- d) 3 > 2 > 1 > 0 → lê-se: 3 é maior que 2, que é mas segundo George Polya: maior que 1, que é maior que 0. O sucessor 1) Compreender o problema. sempre é maior que seu antecessor. Estabele- ! Ler o enunciado. ce-se, assim, a ordem decrescente dos núme- ! Identificar os dados fornecidos. ros naturais. Portanto sempre é possível esta- ! Identificar as incógnitas (dados desconheci- belecer uma relação de ordem em . dos do problema). 23
  • 16. UEA – Licenciatura em Matemática ! Verificar as possíveis relações entre os dados 2.a etapa: Traçar um plano. e as incógnitas. Idéia de juntar objetos diferentes. Portanto a ! Se possível, criar um esquema que represen- operação a ser utilizada é a adição. te a situação. ! Identificar o que o problema pede. 3.a etapa: Executar o plano. 2) Traçar um plano: Consiste em construir uma es- Para realizar a soma, será necessário executar tratégia de resolução. uma seqüência de procedimentos, chamada de ! Você já resolveu algum problema parecido? algoritmo. ! É possível resolvê-lo por partes? Será utilizada a seguinte convenção para os algo- ! Quais são as operações matemáticas adequa- ritmos das quatro operações: das para resolver a situação? ! Todos os dados do problema estão envolvidos no plano? 3) Executar o plano: Consiste em colocar a estra- tégia de resolução em prática. ! Tentar responder: o que eu obtenho com esse passo? Figura 3: Convenção utilizada para as quatro operações. ! Ao encontrar dificuldades, volte à primeira eta- pa e reordene as idéias. Primeiro, deve-se representar no quadro valor 4) Comprovar os resultados. lugar as parcelas 123 e 24, e depois deve-se jun- ! Ler o enunciado novamente e verificar se o tar os objetos de cada ordem. que foi perguntado é o que foi respondido. ! Verificar se os argumentos utilizados para obter o resultado são válidos. ! Você pode obter a solução de um outro mo- do? A seguir, serão apresentadas as operações fundamentais: adição, subtração, multiplica- Lê-se: “Cento e quarenta e sete”. ção e divisão. Os problemas que as envolvem serão resolvidos utilizando as etapas de Polya. 4.a etapa: Comprovar os resultados.2.1 Adição A operação de adição é associada a duas idéias: juntar e acrescentar. A seguir, duas situações que envolvem essas idéias. Logo, a quantidade de objetos que há na livraria são 147. Exemplos: 1) Uma livraria tem 123 lápis e 24 livros. Quantos 2) No balde, havia 147 peixes. Marina pescou mais objetos há na livraria? 56 peixes e colocou-os no mesmo balde. Quan- 1. etapa: Compreender o problema. a tos peixes há no balde? Dados conhecidos: 123 lápis e 24 livros. Pede-se: a quantidade de objetos da livraria. Figura 2: Idéia de juntar Figura 4: Idéia de acrescentar. 24
  • 17. Matemática Elementar I – Conjunto dos Números Naturais1.a etapa – Compreender o problema.Dados conhecidos: 147 peixes e 56 peixes.Pede-se: a quantidade de peixes no balde.2.a etapa – Traçar um plano.Idéia de acrescentar peixes a uma quantidade de Propriedades da adiçãopeixes já existente. Portanto, a operação a ser uti- A adição em apresenta as seguintes pro-lizada é adição. priedades:3.a etapa – Executar o plano. A1) Propriedade do fechamentoDeve-se representar no quadro valor de lugar as Observe o que acontece com a soma 2 + 6:parcelas da adição 147 + 56. Depois, trocam-sedez unidades por uma dezena e transporta-se 2+6=8para o lugar das dezenas. Portanto: a soma de dois números naturais resulta em um número natural. Ou seja, se a ∈ , b ∈ , então a + b ∈ . A2) Propriedade comutativa Observe o que acontece com a soma 4 + 3 e 3 + 4:Lê-se: “Cento e noventa e três”. Portanto: dados dois números naturais a e b,Chama-se de “vai um” o transporte de uma or- tem-se que a + b = b + a.dem para a ordem imediatamente superior, queaqui significa “vai uma dezena”, pois 7 + 6 = 13, A3) Propriedade associativaou seja, 10 + 3, indicando que restam 3 na or- Observe o que acontece com a soma:dem das unidades. Quando se somam as deze- (3 + 2) + 4 e 3 + (2 + 4)nas, o “vai um” significa “vai uma centena”, pois40 + 50 + 10 = 100. Portanto nada resta na or-dem das dezenas, representando por 0. Este pro-cesso é conhecido como “transporte de reserva”.O resultado da adição é obtido pelos algarismos Portanto: dados três números naturais a, b eque representam a quantidade que restou em c, tem-se que (a + b) + c = a + (b + c).cada ordem. No caso, tem-se 2 centenas, 0dezena e 3 unidades. Portanto, 147 + 56 = 203. A4) Existência do elemento neutro Observe o que acontece com a soma 0+44.a etapa – Comprovar os resultados. e 4+0: Portanto: quando se soma zero a um núme- ro natural, a soma não se altera. Por isso, o zero é o elemento neutro da adição. 25
  • 18. UEA – Licenciatura em Matemática EXERCÍCIOS1) Para estudar para uma prova de Matemá- TEMA 05 tica, Patrícia resolveu, no sábado, 25 exercí- cios. No domingo, ela fez 7 exercícios a mais. OPERAÇÃO: SUBTRAÇÃO a) Quantos exercícios Patrícia fez no domingo? 2.2 Subtração b) Quantos exercícios fez no fim de semana? Quando uma operação desfaz o que a outra2) Foi realizada uma pesquisa entre os estudan- realizou anteriormente, determinando a volta tes das escolas de um município para verificar ao estado original, diz-se que essa operação é qual o alimento mais consumido (arroz, feijão, a inversa da outra. macarrão, carne). Cada estudante só podia es- colher um único alimento. As respostas foram Veja alguns exemplos: tabuladas segundo o quadro: Figura 5: Operações inversas. Fonte: http://educar.sc.usp.br/matematica a) Quantos estudantes escolheram o alimento arroz? b) Quantos estudantes do sexo feminino responde- Você observou que a adição e a subtração são ram à pesquisa? operações inversas. Uma desfaz o que a outra c) Quantos estudantes foram pesquisados? fez. A operação de subtração é associada a três idéias: retirar, comparar e completar. A se- guir, três situações que envolvem essas idéias. Exemplos: 1) Reginaldo tem em sua biblioteca 134 livros e doa- rá 13 livros para sua escola. Quantos livros fica- rão na biblioteca de Reginaldo? Figura 6: Subtração – Idéia de retirada. 1.a etapa – Compreender o problema. Dados conhecidos: 134 livros de Reginaldo dos quais 13 livros serão doados para a escola. Pede-se: a quantidade de livros que ficará na bi- blioteca de Reginaldo. 2.a etapa – Traçar um plano. Idéia de retirar uma quantidade de outra. Portan- to a operação a ser utilizada é subtração. 26
  • 19. Matemática Elementar I – Conjunto dos Números Naturais 3.a etapa – Executar o plano. c) Observe que se trocou uma dezena por dez Deve-se representar no quadro valor de lugar o unidades. A seguir, retiram-se 9 unidades e número 134, de forma que se retire 3 unidades e depois 2 dezenas. 1 dezena (subtraendo). Lê-se: “Vinte e oito”. Lê-se: “Cento e vinte e um”. Normalmente, o “empresta um” chama-se “re- 4.a etapa – Comprovar os resultados. curso à ordem superior”. 121 + 13 = 134 4.a etapa – Comprovar os resultados. 28 + 29 = 572) Num engradado onde cabem 57 garrafas, Márcio Logo, a quantidade de garrafas que faltam para tem apenas 29. Quantos faltam para completá-la? encher o engradado é 28. 3) Marcelo tem 25 anos, sua irmã Carmem tem 9. Quantos anos Marcelo tem a mais que Carmem? Figura 7: Subtração – Idéia de completar (IMENES, p. 63). 1.a etapa – Compreender o problema. Figura 8: Subtração – Idéia de comparar Dados conhecidos: 57 garrafas cabem no engradado, e Márcio possui 29 garrafas. 1.a etapa – Compreender o problema. Pede-se: a quantidade de garrafas que faltam Dados conhecidos: 25 anos (idade maior) e 9 para encher o engradado. anos (idade menor). Pede-se: a quantidade de anos que Marcelo tem 2.a etapa – Traçar um plano. a mais que Carmem. Idéia de completar uma quantidade para atingir outra. Portanto a operação a ser utilizada é a sub- 2.a etapa – Traçar um plano. tração. Idéia de comparar duas quantidades. Portanto a operação a ser utilizada é a subtração. 3.a etapa – Executar o plano 3.a etapa – Executar o plano. Deve-se representar no quadro valor de lugar o Deve-se efetuar a subtração 25 – 9. minuendo da subtração 57 − 29. Como o algarismo das unidades do minuendo é a) Registra-se o minuendo. menor que o do subtraendo, conforme o algorit- mo da subtração, deve-se transportar a unidade superior para a unidade imediatamente inferior. No caso, troca-se uma dezena por dez unidades. b) Faz–se o transporte da unidade superior para Depois, retiram-se 9 unidades das 15 unidades e a unidade imediatamente inferior. 0 dezena de 1 dezena. 27
  • 20. UEA – Licenciatura em Matemática 4.a etapa – Comprovar os resultados. EXERCÍCIOS 9 + 16 = 25 1) A leitura de um hidrômetro feita no mês janeiro Logo, Marcelo tem 9 anos a mais que Carmem. indicava 3 456 metros cúbicos, e uma nova leitura feita no mês de fevereiro seguinte indi- cava 4 789 metros cúbicos. Quantos metros cúbicos de água foram consumidos a mais no mês de fevereiro? 2) Em uma eleição para prefeito de um município no 2. turno, o candidato A obteve um total de O Esta relação é conhecida como relação funda- 5.789 votos e o candidato B obteve um total de mental da subtração e pode ser representada da seguinte forma: 4.745 votos. Sabendo que houve 165 votos brancos, 59 votos nulos e que o município tem 11 567 habitantes. Responda: a) Quantas pessoas votaram no município? b) Quantas pessoas não votaram? Minuendo − subtraendo = diferença ⇔ subtraendo + + diferença = minuendo c) Quantos votos a mais obteve o candidato A em relação ao candidato B? A relação da subtração também pode ser escrita como: 3) Calcular o valor do elemento desconhecido: A soma de três termos de uma subtração é o a) x + 45 = 312 dobro do minuendo. b) 10 + y = 25 c) a − 8 = 19 Cálculo do elemento desconhecido numa igualdade: Vista a relação fundamental da subtração, ela será usada para calcular o elemento desconheci- do numa igualdade. Exemplo: Calcular o valor de x na igualdade: x + 7 = 12 (relação fundamental da subtração) x+7−7=2−7 Solução: x + 0 = 12 − 7 x=5 Vale lembrar que as propriedades fechamento, comutativa, associativa e elemento neutro não são válidas para a subtração em N. Observe: a) 2 ∈ , 3 ∈ , mas 2 − 3 ∉ (não é possível, no conjunto dos números naturais, retirar 3 unidades de 2 unidades se não possuo a or- dem das dezenas para fazer o “empréstimo”). Nesse caso, não é válida a propriedade de fechamento. b) 3 − 2 ≠ 2 − 3. Nesse caso, não é válida a pro- priedade comutativa. c) Nesse caso, não é vá- lida a propriedade as- sociativa 28
  • 21. Matemática Elementar I – Conjunto dos Números Naturais 2) Para fazer um copo de leite, utilizam-se 3 colhe- res de sopa cheias de leite em pó. Quantas co- TEMA 06 lheres de sopa de leite em pó são necessárias OPERAÇÃO: MULTIPLICAÇÃO para fazer 12 copos de leite?2.3 Multiplicação 1.a etapa – Compreender o problema. Dados conhecidos: 1 copo de leite corresponde A operação de multiplicação é associada à a 3 colheres de leite em pó. idéia de adição de parcelas iguais. A seguir, Pede-se: a quantidade de colheres de leite em pó três situações que envolvem essas idéias. para fazer 12 copos de leite. Exemplos: 1) Cristina está escolhendo um sorvete de uma 2.a etapa – Traçar um plano. bola (cupuaçu, buriti, açaí, tucumã) com um tipo Idéia de adição de parcelas iguais por meio da de cobertura (caramelo, chocolate, morango). De proporcionalidade entre copo de leite e colheres quantas maneiras diferentes pode montar o de sopa de leite em pó. Portanto a operação a ser utilizada é a multiplicação. sorvete? 3.a etapa – Executar o plano. 1.a etapa – Compreender o problema. Registra-se o número 12 e repete-se a configu- Dados conhecidos: 4 tipos de sorvete: 4 e 3 tipos ração pela quantidade de vezes a ser repetida. de cobertura. Depois, conta-se a quantidade de objetos de ca- Pede-se: a quantidade de maneiras diferentes de da ordem. se montar o sorvete. Lê-se: “Trinta e seis”. 4.a etapa – Comprovar os resultados. Logo, serão necessárias 36 colheres de sopa de leite em pó para fazer 12 copos de leite. Figura 9: Idéia da multiplicação. 3) Para viajar de uma cidade A para uma cidade B, 2.a etapa – Traçar um plano. percorrem-se 123 quilômetros. Sabe-se que a Idéia de parcelas iguais por meio das combina- distância para ir da cidade B até a cidade C é o ções possíveis de sorvetes. Portanto a operação a ser utilizada é a multiplicação. quádruplo da distância de A até B. Qual é a dis- tância da cidade B até a cidade C? 3.a etapa – Executar o plano. 1.a etapa – Compreender o problema. 4.a etapa – Comprovar os resultados. Dados conhecidos: ! Distância de A até B: 123 quilômetros. ! Distância de B até C: quatro vezes a distância Logo, há 12 maneiras diferentes de montar o de A até B. sorvete. Pede-se: a distância da cidade B até a cidade C. 29
  • 22. UEA – Licenciatura em Matemática 2.a etapa – Traçar um plano. M2) Propriedade comutativa: Idéia de adição de parcelas iguais por meio da Observe o que acontece com o produto 2 × 3 proporcionalidade entre a distância de A até B e e 3 × 2: a distância de B até C. Portanto a operação a ser utilizada é a multiplicação. 3.a etapa – Executar o plano. Portanto: dados dois números naturais a e b, a) Registra-se o multiplicando e repete-se a con- tem-se que a × b = b × a. figuração pela quantidade de vezes indicada M3) Propriedade associativa: pelo multiplicador. Observe o que acontece com o produto (3 × 5) × 4 e 3 × (5 × 4): b) Trocam-se 10 unidades por uma dezena. Portanto: dados três números naturais a, b e c, tem-se que (a × b) × c = a × (b × c). Esta propriedade da multiplicação, muitas ve- zes é usada no cálculo mental. Exemplo: Nu- ma caixa há 80 lápis. Quantos lápis há em 7 caixas? Lê-se: “Quatrocentos e noventa e dois”. 4.a etapa – Comprovar os resultados. Logo, a distância de B até C é de 492 quilôme- tros. Figura 10: Multiplicação – propriedade associativa. O procedimento para resolver o problema po- de ser interpretado da seguinte forma: 7 × 80 = 7 × (80 × 10) = (7 × 8) × 10 = = 56 × 10 = 560 Propriedades da multiplicação M4) Existência do elemento neutro: Observe o que acontece com o produto M1) Propriedade do fechamento: 1 × 4 = 4 × 1: Observe o que acontece com o produto 3 × 6: 3 × 6 = 18 Portanto, quando se multiplica o número um por Portanto: o produto de dois números natu- qualquer número natural, o produto não se altera. rais resulta em um número natural. Ou seja, Por isso, o 1 é o elemento neutro da multipli- se a ∈ , b ∈ , então a × b ∈ . cação. 30
  • 23. Matemática Elementar I – Conjunto dos Números Naturais M5) Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição: TEMA 07 Exemplo: OPERAÇÃO: DIVISÃO 2.4 Divisão Entre a multiplicação e a divisão, há uma rela- ção parecida com a que existe entre a adição e a subtração, já que uma desfaz o que a outra Portanto, dados três números naturais a, b, fez. Veja os exemplos. c, tem-se: a × (b + c) = a × b + a × c Essa propriedade também é muito utilizada no cálculo mental. Exemplo: Um televisor está sendo vendido em uma loja a R$453,00. Quanto a loja irá arre- cadar se vender doze televisores? 453 × 12 = 453 × (10 + 2) = 453 × 10 + 453 × 2 = 4 530 + 906 = 5 436 A divisão está associada a duas idéias: de Logo, pagarei R$5.436,00 pelas doze televi- repartir e de medida. sores. Idéia de repartir: Exemplos: EXERCÍCIOS 1) Distribuir 10 bolas de futebol entre 4 pessoas.1) Uma cidade A tem 12 624 habitantes. E a cida- Não foi exigido que a divisão fosse feita em par- de B tem o triplo de habitantes da cidade A. tes iguais. Portanto há muitas maneiras de fazer a Quantos habitantes tem a cidade B? distribuição:2) Uma pizzaria oferece 32 tipos de pizza e 9 tipos ! 3 pessoas com 3 bolas e 1 pessoa com 1 bola; de suco. Qual o número de escolhas dife- ! 2 pessoas com 2 bolas e 2 pessoas com 3 rentes que se pode fazer de um tipo de pizza bolas; com um tipo de suco? ! as 4 pessoas receberam 2 bolas cada uma e ficam sobrando 2 bolas, etc; 2) Distribuir 10 bolas de futebol entre 4 pessoas de modo que: a) Todas recebam a mesma quantidade de bolas. Nesse caso, há 2 possibilidades: cada pessoa recebe 1 bola e sobram 6 bolas ou cada pes- soa recebe 2 bolas e sobram 2 bolas. b) Todas recebam a mesma quantidade de bolas e sobre o menor número de bolas. Nesse ca- so, só há um modo de repartir: 2 bolas para cada pessoa e ficam sobrando 2 bolas. 31
  • 24. UEA – Licenciatura em Matemática Idéia de medida: Sabendo que há 53 latas, a quantidade de caixas encomendadas pelo dono da loja é suficiente? Exemplos: 1) Deseja-se arrumar 48 livros em pacotes de dois 1.a etapa – Compreender o problema. livros cada. Quantos pacotes serão formados? Dados conhecidos: quantidade total de latas = 53 e quantidade de latas que cabem em cada cai- 1.a etapa – Compreender o problema. xa = 4. ! Quais os dados do problema? Pede-se: verificar se a quantidade de caixas 48 livros, e cada pacote deve possuir 2 livros. encomendadas pelo dono é suficiente. ! O que é pedido? 2.a etapa – Traçar um plano. A quantidade de pacotes de livros. Idéia de medida, pois em cada pacote só cabem 2 livros. Portanto a operação a ser utilizada é a 2.a etapa – Traçar um plano. divisão. Idéia de medida, pois em cada pacote só cabem 2 livros. Portanto, a operação a ser utilizada é a 3.a etapa – Executar o plano. divisão. a) Registra-se o número 53. 3.a etapa – Executar o plano. Será utilizado o algoritmo da divisão: a) Registra-se o dividendo. b) Quando não se podem formar grupos de 4 elementos, devem-se transportar os elemen- tos de uma ordem para a ordem imediatamen- te inferior em grupos de dez. Em seguida, agrupa-se de 4 em 4 e registra-se o resultado. Lê-se: “vinte e quatro”. 4.a etapa – Comprovar os resultados 24 × 2 = 48 Portanto serão formados 24 pacotes com 2 livros cada. Lê-se: “Treze”. 4.a etapa – Comprovar os resultados. 13 × 4 + 1 = 52 + 1 = 53 Logo, 13 caixas não são suficientes para colocar 53 latas. O resto da divisão, nesse caso, indica que ficaria faltando colocar em uma caixa uma lata de refrigerante. Quando esse fato ocorre, diz- Esta relação é conhecida como relação funda- se que a divisão é não-exata. mental da divisão (para divisão exata) e pode também ser escrita como: q × d = D Divisão não-exata: Cálculo do termo desconhecido: A operação que associa cada par de Dada a relação fundamental da divisão, ela será números naturais D e d, ao maior número natural q, que multiplicado por d não supera usada para calcular o elemento desconhecido D, é chamada divisão não-exata com resto r. numa igualdade. Exemplo: Calcular o valor de x na igualdade: 25x = 175 (relação fundamental da divisão) Indica-se por: D = d . Q + r Solução: x = 175 : 25 x=7 2) O dono de uma loja encomendou 13 caixas pa- O maior resto possível é sempre igual a d − 1, isto ra colocar 4 latas de refrigerante em cada uma. é, R ≤ d − 1. 32
  • 25. Matemática Elementar I – Conjunto dos Números NaturaisQuanto às propriedades da divisão, assim como por zero. Mas, para a Matemática, não há inte-na subtração, não são válidas as propriedades resse algum em ter-se infinitos quocientes pa-fechamento, comutativa, associativa e elemento ra uma só divisão. Portanto não se permite aneutro. Observe: divisão de zero por zero. O zero nunca pode ser divisor!a) 2 ∈ , 3 ∈ , mas 2 : 3 ∉ (não é possível, no conjunto dos números naturais, agrupar 3 uni- Vale destacar que os conceitos relativos à divisão dades se só existem 2 unidades, e não há a no conjunto de números naturais desempenham ordem das dezenas, para fazer o empréstimo). papel importante para os conceitos de números Nesse caso, não é válida a propriedade de fracionários e dos que se relacionam com o con- fechamento. junto de números racionais.b) 6 : 2 ≠ 2 : 6 Nesse caso, não é válida a pro- priedade comutativa. EXERCÍCIOSc) 1) Para ir a pé de casa para a escola ou da esco- la para casa, Maria gasta o triplo do tempo que gastaria se fosse de bicicleta. Ontem, ela foi a Nesse caso, não é válida a propriedade asso- ciativa. pé da escola até sua casa, pegou a bicicleta e, imediatamente, voltou para a escola. Tudo issoA seguir, um exemplo de aplicação da proprieda- demorou 72 minutos. Quantos minutos ela de-de distributiva para a divisão. morou no trajeto de casa à escola? 2) Marcos comprou um CD e 5 agendas de mes- mo preço, gastando ao todo 70 reais. Sabendo que o CD custou 25 reais, quanto custou cada agenda? 3) Tenho 150 mudas para plantar. Já plantei 86 e quero plantar as que faltam em 4 dias, plantan- do o mesmo número de mudas em cada dia. Quantas mudas devo plantar por dia? 4) Efetue as seguintes operações: a) 123 × 78 b) 4 056 × 34 Figura 11: Divisão: propriedade distributiva. c) 1 809 × 908 Fonte: http://educar.sc.usp.br/matematica d) 1 064 : 2 e) 405 : 68Observe que: f) 8 905 : 451299 : 3 = (1200 + 90 + 9) : 3 = 1200 : 3 + 90 : 3 +9 : 3 = 400 + 30 + 3 = 433.Considerações importantes quanto ao númerozero na divisão:1) Quando o zero é dividendo. Exemplo: 0 : 7 = 0, pois 0 × 7 = 0.2) Quando o zero é divisor. Exemplo: se 2 : 0 = q, então q × 0 = 2? Não existe um número que multiplicado por 0 dê 2, pois todo número multiplicado por 0 dá 0. Tal divisão é impossível.3) Quando o dividendo e o divisor são iguais a zero. Se 0 : 0 = q, então q × 0 = 0. Então, have- ria infinitos quocientes para a divisão de zero 33
  • 26. UEA – Licenciatura em Matemática algarismo 1 seguido de tantos zeros quantos indicar o expoente. TEMA 08 Exemplos: POTENCIAÇÃO – RADICIAÇÃO – a) A velocidade da luz é de trezentos mil quilô- EXPRESSÕES NUMÉRICAS metros por segundo:2.5 Potenciação 300 000 km/s = 3 × 105 km/s Na vida cotidiana, existem várias situações em b) O disco rígido de meu computador tem 20 que são utilizados números muito grandes ou Gigabytes (Gb) muito pequenos. Quantos grãos de areia há na 1 Gb = 1 000 000 000 bytes ou 109 bytes praia? Qual a distância da Terra à Lua? Quanto 4) Toda potência de base zero e expoente pesa nosso planeta? Quantos gigabytes tem o diferente de zero é igual a zero. disco rígido de seu computador? Escrever nú- Exemplo: 04 = 0 meros muito grandes nem sempre é conve- niente. Portanto, para multiplicações em que Propriedades das potências: se tem um mesmo fator, criou-se uma quinta P1) Multiplicação e divisão operação, mais econômica: a potenciação. Exemplos: Exemplo: Como representar matematicamente o número de posições do jogo da velha? Lê-se: “3 elevado ao quadrado”. Quando o expoente for 3, lê-se “(base) elevado ao cubo”. Para os demais expoentes, lê-se: “(base) eleva- do à (n.o ordinal correspondente: quarta, quin- ta,...) potência” ou apenas “(base) elevado à (n.o ordinal correspondente: quarta, quinta,...). Dado dois números naturais a e n (n > 1), a expressão an representa um produto de Então: Para efetuar a multiplicação de potên- n fatores iguais ao número a, ou seja: cias de bases iguais, deve-se manter a base an = a . a . a . ...... a e adicionar os expoentes. am . an = am + n onde m, n ≠ 0 Exemplo: 5 lê-se: “cinco elevado à sexta po- 6 Para efetuar a divisão de potências de bases tência” ou “cinco elevado à sexta”. iguais, deve-se manter a base e subtrair os Casos especiais da potenciação: expoentes. 1) Toda potência de base 1 é igual a 1. am : an = am − n onde a, m, n ≠ 0 Exemplo: 16 = 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 = 1 Observação: Quando as bases não são 2) Toda potência de expoente 1 é igual à iguais, calcula-se o valor de cada potência. base. A partir da propriedade envolvendo divisão de Exemplo: 51 = 5 potências com bases iguais, tem-se que: 3) Toda potência de base 10 e expoente Toda potência de um número natural dife- natural é igual ao número formado pelo rente de zero com expoente zero é igual a 1. 34
  • 27. Matemática Elementar I – Conjunto dos Números Naturais Exemplo: 30 significa um quociente como 2.7 Expressões Numéricas 24 : 24 = 52 : 52 = 1 Para resolver corretamente expressões numéri- cas, é necessário obedecer à ordem em que P2) Potência de uma potência as operações devem ser resolvidas. Exemplos: 1) Potenciações e radiciações, na ordem em que aparecem. 2) Divisões e multiplicações, na ordem em que aparecem. Então: Para efetuar uma ou mais potência de 3) Adições e subtrações, na ordem em que potência, deve-se repetir a base e multipli- aparecem. car os expoentes. No caso dos sinais de associação, eles de- vem ser eliminados na seguinte ordem: pa- P3) Potência de um produto ou quociente rênteses, colchetes parênteses, colchetes e Exemplos: chaves. a) (3 × 5)2 = 152 = 225 = 9 × 25 = 32 × 52 Na figura 12, tem-se vários livros distribuídos b) (46 : 23)2 = 22 = 4 = 2116 : 529 = 462 : 232 em várias prateleiras. Como apresentar duas expressões numéricas diferentes para que se Então: Para efetuar potência de um produto obtenha a quantidade de livros existentes na (ou quociente) pode-se aplicar a potência estante? em cada base e multiplicar (ou dividir) os resultados obtidos.2.6 Radiciação Na potenciação, você viu como representar matematicamente o número de posições do jogo da velha: 32 = 3 × 3 = 9. Agora, se a per- gunta fosse: Qual o número de posições em cada linha (ou coluna) cujo quadrado resulta no total de posições do jogo da velha? Figura 12: Resolução de problemas Chamando “x” o número de posições em cada utilizando expressões numéricas. linha (ou coluna) de x, deve-se encontrar o número “x”, elevado ao quadrado resulta em 9. Portanto é necessário realizar a operação in- versa, chamada radiciação. Exemplos: Observação: quando o índice é 2, não se es- creve o número 2, apenas quando o índice é diferente de 2. Nas expressões com chaves, colchetes e pa- Exemplo: rênteses, eliminam-se primeiro os parênteses, depois os colchetes e em seguida a chave. Lê-se: “raiz cúbica de sessenta e quatro é igual Efetuam-se as operações conforme a ordem a quatro”. descrita anteriormente. 35
  • 28. UEA – Licenciatura em Matemática TEMA 09 DIVISIBILIDADE 3. Divisibilidade Sabe-se que o ano bissexto é aquele que pos- sui 366 dias, ao contrário do ano comum que possui 365 dias. Os anos bissextos acontecem de quatro em quatro anos exemplos: os anos de 1 600 e 2 000 foram anos bissextos. Estes números têm uma característica em comum: são números que, quando divididos por 4, dão resto zero. Ou seja, a divisão é exata. 3.1 Conjunto dos divisores de um número na- tural Dados dois números naturais, se a divisão do primeiro pelo segundo é exata, diz-se que: O primeiro é divisível pelo segundo (ou o pri- meiro é múltiplo do segundo); EXERCÍCIOS O segundo é divisor do primeiro (ou o segun-1) Um prédio tem 4 andares. Cada andar tem 4 do é fator do primeiro). apartamentos e cada apartamento tem 4 qua- tro vagas na garagem. Quantas vagas há na Exemplo: Na operação 1600 : 4 = 400; 1600 é garagem do prédio? divisível por 4 ou múltiplo de 4;2) Resolva as expressões numéricas: 4 é divisor de 1600 ou fator de 1600. a) 17 + [ 10 − (15 : 3 + 2) + 4] Para se obter o conjunto dos divisores de um b) 6 + { 9 − [(8 − 10 : 2) × 3]} número, basta dividir esse número pela c) 48 − {28 − 4[3 (40 : 5 − 3) : (17 − 3 × 4)]} sucessão dos números naturais: 1, 2, 3, 4, 5, ... e verificar em quais se obteve resto zero. d) 22 + {25 − [34 : (23 + 3 : 3) − ]} Exemplo: Determinar o conjunto dos divisores e) 3 × (14 − 3)2 : 33 + [ : 13 + (23 × 21)] de 16. Indica-se D(16). Continuando o processo até o divisor ser igual a 16, tem-se: D(16) = {1, 2, 4, 8, 16} 3.2 Conjunto dos múltiplos de um número na- tural Para se obter o conjunto dos múltiplos de um número, basta multiplicar esse número pela su- cessão dos números naturais: 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... 36
  • 29. Matemática Elementar I – Conjunto dos Números Naturais Exemplo: Determinar o conjunto dos múltiplos Divisibilidade por 8: um número será divisí- de 2, indica-se M(2). vel por 8 quando terminar em 000 ou quan- do o número formado pelos seus três últi- 2×0=0 2×1=2 2×3=6 2×4=8 mos algarismos for divisível por 8. M(2) = {0, 2, 4, 6, 8...} Exemplos: Observe que: a) 1000 é divisível por 8 porque termina em 000. b) 1744 é divisível por 8 porque 744 é divisível por 8. O conjunto dos múltiplos diferentes do zero é infinito; Divisibilidade por 9: um número será divisí- vel por 9 quando a soma dos valores abso- Zero é múltiplo de qualquer número; luto de seus algarismos for divisível por 9. Todo número é múltiplo de si mesmo. Exemplo: 2133 é divisível por 9 porque 2 + 1 + 3 + 3 = 9, que é divisível por 9.3.3 Critérios da divisibilidade Divisibilidade por 10: um número será divisí- Para verificar se um número é divisível por vel por 10 quando terminar em 0. outro, deve-se efetuar a divisão entre eles, po- Exemplos: rém existem regras que permitem verificar se a) 40 é divisível por 10 porque termina em 0. um número é divisível por outro sem se efetuar b) 75 não é divisível por 10 porque não termina a divisão. Essas regras são denominadas cri- em 0. térios da divisibilidade. 3.4 Números primos Divisibilidade por 2: um número será divisí- Desde o sistema de escrita dos egípcios, a vel por 2 quando for par. criptografia vem sendo utilizada, tanto para fins Exemplo: 16 é divisível por 2 porque é par. militares como diplomáticos. Um arquiteto do faraó Amenemhet II construiu alguns monu- Divisibilidade por 3: um número será divisí- mentos para o faraó, os quais precisavam ser vel por 3 quando a soma dos valores abso- documentados em tabletes de argila, sem que lutos de seus algarismos for divisível por 3. caíssem no domínio público. Um escriba teve a Exemplo: 27 é divisível por 3 porque 2 + 7 = 9, idéia de substituir algumas palavras ou trechos que é divisível por 3. de texto destes tabletes. Caso o documento fosse roubado, o ladrão não encontraria o ca- Divisibilidade por 4: um número será divisí- minho que o levaria ao tesouro. Muitos consi- vel por 4 quando terminar em 00 ou quando deram isto como o primeiro exemplo docu- o número formado pelos seus dois últimos mentado da escrita cifrada. algarismos for divisível por 4. Erastótenes de Cirene, filósofo e geômetra Exemplos: grego (276 a.C. a 194 a.C.) é conhecido como a) 400 é divisível por 4 porque termina em 00. criador de um método para identificar números b) 336 é divisível por 4 porque o número 36 é divisí- primos, o crivo de Erastótenes. vel por 4 O termo Criptografia surgiu da fusão das pa- lavras gregas “Kryptós” (oculto) e “gráphein” Divisibilidade por 5: um número será divisí- (escrever). Trata-se de um conjunto de concei- vel por 5 quando terminar em 0 ou 5. tos e técnicas que visam codificar uma infor- Exemplos: mação de modo que apenas o emissor e o a) 65 é divisível por 5 porque termina em 5. receptor possam acessá-la e interpretá-la. Um b) 30 é divisível por 5 porque termina em 0. exemplo simples de código consiste em per- mutar cada letra do alfabeto usada na men- Divisibilidade por 6: um número será divisí- sagem pela letra seguinte. Por exemplo, a vel por 6 quando for divisível por 2 e por 3. palavra “Matemática” seria escrita codificada Exemplo: 630 é divisível por 6 porque é divisí- como “Nbufnbujdb”. Porém, esse método é vel por 2 e por 3. muito simples de ser decifrado. 37
  • 30. UEA – Licenciatura em Matemática Durante a 2.a Guerra Mundial, três americanos 3) Dadas as sentenças: desenvolveram um sistema de código secreto, I) 1 339 é múltiplo de 13. chamado RSA (Rivest, Shamir and Adleman II) Zero é o único múltiplo de 0. Algorithm), em homenagem aos seus criadores III) 1 414 é divisível por 11. Ron Rivest, Adi Shamir e Len Adleman. Criava- Podemos afirmar que: se um novo ramo da Criptografia, a ciência dos a) I e II são verdadeiras. códigos, fortemente baseado na Teoria dos b) I e III são verdadeiras. Números e, em particular, nos números pri- c) II e III são verdadeiras. mos. A grande maioria das pessoas não sabe d) As três são verdadeiras. que a inviolabilidade dos seus dados pessoais, 4) Dado o conjunto A = {n ∈ N; 10 ≤ n ≤ 20}, de- cartões de crédito e senhas bancárias depen- terminar os números primos desse conjunto. de em parte destes números. O método RSA é um dos algoritmos mais usa- dos para transações criptográficas na Internet. Nesse algoritmo, números primos são utiliza- dos da seguinte forma: dois números primos são multiplicados para se obter um terceiro valor. Porém, descobrir os dois primeiros nú- meros a partir do terceiro (ou seja, fazer uma fatoração) é muito trabalhoso, pois é necessá- rio usar muito processamento para descobri- los, tornando essa tarefa quase sempre inviá- vel. Observação: é muito importante que além de se escolher primos p e q muitos grandes, a diferença | p − q | não pode ser pequena, pois isso facilitaria a fatoração. Um número é primo quando possui exa- tamente dois divisores (ele mesmo e a unidade). Se possuir mais de dois diviso- res, é chamado número composto. D(2) = {1,2}; D(3) = {1,3}; D(4) = {1,2,4}; D(5) = {1,5}; D(6) = { 1, 2, 3, 6} São exemplos de números primos 2, 3, 5, 7, 11... EXERCÍCIOS1) Quais são os múltiplos do número: a) 3 b) 4 c) 72) Quais são os divisores do número: a) 35 b) 450 c) 73 38
  • 31. Matemática Elementar I – Conjunto dos Números Naturais O m.d.c é o produto dos fatores comuns TEMA 10 elevados ao seu menor expoente. MÁXIMO DIVISOR COMUM. Exemplo: Calcular o m.d.c. entre 48 e 40. MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM4. Máximo divisor comum Analise a seguinte situação: deseja-se dividir 3 toras de madeira, que medem respectivamente 12m, 18m e 24m, em partes iguais e com maior tamanho possível. Qual comprimento deve O processo de decomposição em fatores primos possuir cada uma das partes? pode ser utilizado para determinar os divisores de um número, a quantidade de divisores, a quantidade de divisores pares e ímpares. Procedimento para determinar os divisores de um número: 1) Fatora-se o número dado. 2) Traça-se uma barra vertical à direita dos fato- res primos. Figura 13: Máximo divisor comum. 3) Um pouco acima, à direita da barra, escreve- Para responder a estas pergunta, devem-se se o divisor 1. encontrar os divisores de 12, 18 e 24? 4) Multiplicam-se os fatores primos pelos núme- ros que vão ficando à direita da barra. D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} Observação: Os produtos que se forem repe- D(18) = {1, 2, 3, 6, 18} tindo não serão escritos. D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} Veja a aplicação da regra para o número 60. D(12) I M(18) I M(24) = {6} Observe que 6 é o maior divisor comum entre 12, 18 e 24. Logo, cada tora deve ser dividida em 6 partes iguais. Dados dois ou mais números naturais di- ferentes de zero, denomina-se máximo divisor comum (m.d.c) o maior de seus Logo, os divisores D(60)= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, divisores comuns. 15, 20, 30, 60}. Processos práticos para decomposição de Procedimento para determinar a quantidade fatores primos: de divisores de um número: 1) Decompõe-se o número em fatores primos. I) Decomposição em fatores primos 2) Soma-se uma unidade a cada expoente. Para chegar à forma fatorada completa de 3) Multiplicam-se os resultados obtidos. um número natural, realiza-se uma opera- Exemplo: 60 = 22 × 31 × 51 ção denominada decomposição em fatores Logo, o número de divisores de 60 é: primos, que consiste em: 1) dividir, inicialmente, o número dado pelo seu N.D(60) = (2 +1) × (1 + 1) × (1 + 1) = 3 × 2 × 2 = 12. menor divisor primo; Procedimento para determinar a quantidade 2) dividir o quociente obtido pelo seu menor divi- de divisores ímpares de um número. sor primo; 3) repetir este procedimento até obter o quocien- Nesse caso, faz-se o processo anterior apenas te igual a 1. com os expoentes dos fatores primos ímpares. 39
  • 32. UEA – Licenciatura em Matemática Exemplo: 60 = 22 × 31 × 51 Pode-se observar que o menor múltiplo co- Logo, o número de divisores ímpares de 60 é: mum entre 8, 12 e 16 diferente de 0 é o 48. N.D.I. (60) = (1 +1) × (1 + 1) = 5 Dados dois ou mais números naturais di- ferentes de zero, chama-se mínimo múl- Procedimento para determinar a quantidade tiplo comum (m.m.c.) o menor de seus de divisores pares de um número: múltiplos comuns diferente de 0. 1) Soma-se uma unidade a cada expoente dos fatores primos ímpares. Processos práticos para o calculo do m.m.c.: 2) Multiplicam-se os resultados encontrados pelo a) Decomposição em fatores primos expoente do fator primo par. O cálculo do m.m.c de dois ou mais números Exemplo: 60 = 22 × 31 × 51 pela decomposição em fatores primos obedece à Logo, o número de divisores pares de 60 é: seguinte regra: N.D.P (60) = 2 × (1 +1) × (1 + 1) = 8 . Decompõem-se os números em fatores primos. O m.m.c é o produto dos fatores primos II) Divisões sucessivas comuns e não-comuns elevados ao seu maior expoente. O cálculo do m.d.c. de dois números pelo processo das divisões sucessivas obedece Exemplo: m.m.c. (36, 120) = às seguintes regras: 1) Divide-se o maior número pelo menor. 2) Divide-se o número menor pelo primeiro resto. 3) Divide-se o primeiro resto pelo segundo resto, e assim sucessivamente, até se obter uma di- visão exata. 4) O último divisor é o m.d.c. procurado. Exemplo: Calcular o m.d.c de 78 e 54. b) Decomposição simultânea O cálculo do m.m.c. de dois ou mais números pela decomposição simultânea obedece à se-5. Mínimo múltiplo comum guinte regra: Analise a seguinte situação: três navios fazem Decompõem-se, simultaneamente, os números o mesmo percurso entre dois portos: o primei- em fatores primos. ro de 8 em 8 dias. O segundo de 12 em 12 dias O m.m.c é o produto dos fatores primos e o terceiro de 16 em 16 dias. Tendo saído jun- obtidos. tos em certo dia do mês, após quantos dias sairão juntos novamente? Exemplo: Para responder a essa pergunta, devem-se en- contrar os múltiplos de 8, 12 e 16. M(8) = {0, 8,16, 24, 32, 40,48, ....} M(12) = {0, 12, 24, 36, 48, 60, ...} M(16) = {0, 16, 32, 48, 64, 80, .... } M(8) I M(12) I M(16) = {48} Logo, após 48 dias esses navios sairão juntos novamente. 40
  • 33. Matemática Elementar I – Conjunto dos Números Naturais EXERCÍCIOS1) De uma estação urbana, partem ônibus para o bairro A de 18 em 18 minutos; para o bairro B de 12 em 12 e para o bairro C de 10 em 10 mi- nutos. Sabendo que às 10h os ônibus das três linhas partiram juntos, a que horas partirão jun- tos novamente?2) Considerando os números a = 27 × 3, b = 24 × 5, c = 26 × 11 determine: a) m. d. c. b) m. m. c.3) Se a = 2 × 32 × 5 e b = 22 × 3 × 5, determine o m.d.c. (a,b) e o m.m.c.(a,b). 41
  • 34. UNIDADE IVO Conjunto dos Números Inteiros
  • 35. Matemática Elementar I – O Conjunto dos Números Inteiros ! o ponto A está 10oC acima de zero. Simbo- licamente: +10oC; TEMA 11 ! o ponto B está 10oC abaixo de zero. Simbo- licamente: −10oC. A IDÉIA DO NÚMERO INTEIRO. REPRESENTAÇÃO NA RETA NUMÉRICA. SUBCONJUNTOS. MÓDULO OU VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO INTEIRO1. A idéia do número inteiro Durante muito tempo, os povos não conhe- Figura 2: Representação da temperatura de duas ciam o número negativo. Os hindus recusa- cidades no mesmo termômetro (GIOVANI,2002, p. 30) vam-se a aceitar que quantidades negativas pudessem ser expressas pela idéia de núme- Diz-se que +10 é um número inteiro positivo ro. Somente na passagem da Idade Média pa- (muitas vezes, omite-se o sinal +) e −10 é um ra a Idade Moderna (séculos XIV a XVI) é que número inteiro negativo. os países da Europa Ocidental sofreram pro- 2) Saldos bancários: fundas transformações com o desenvolvimen- to do comércio e o crescimento das cidades, surgindo a necessidade de solucionar proble- mas do dia-a-dia que não poderiam ser resolvi- dos utilizando números naturais, como perda e prejuízo. Surge, assim, uma interpretação para os números negativos, antes chamados de números falsos ou números absurdos. Os números negativos estão presentes em vá- rias situações do nosso dia-a-dia. Veja alguns exemplos: Observe que cada vez que o banco desconta algum valor do saldo de seu Jorge, aparece o 1) A temperatura de duas cidades. Considere a sinal de menos (−) no valor descontado. Portanto seguinte situação: um termômetro marca uma crédito de R$50,00 (+R$50,00) e débito de temperatura de 10 graus Celsius (10oC) afastado R$120,00 (− R$120,00). do zero. Conforme mostra a Figura 1. Tem-se Ainda hoje, quando uma empresa termina o ano duas possibilidades de interpretação. em prejuízo, diz-se que ela terminou o ano no a) Temperatura da cidade A. vermelho, isto é, seu balanço final indicou mais b) Temperatura da cidade B. despesas (saídas) do que receitas (entradas). Portanto seu saldo é negativo. 3) Elevadores Muitos edifícios têm piso abaixo do nível da rua. Para localizar os andares de um prédio em rela- ção ao térreo, utilizam-se números inteiros, em Figura 1: Temperatura de duas que os números negativos servem para indicar os cidades (GIOVANI, 2002, p.29) pisos abaixo do térreo. O térreo é considerando o Observa-se que há dois pontos (A e B) do ter- ponto de referência (ou de origem). mômetro que podem ser tomados como a po- sição da coluna de mercúrio em relação ao ponto de origem 0 (zero). Isso mostra que o número natural 10 não foi suficiente para ex- pressar o afastamento da coluna de mercúrio em relação ao ponto de origem 0. Para elimi- nar a dupla interpretação, convenciona-se: Figura 3: Números inteiros no painel do elevador. 45
  • 36. UEA – Licenciatura em Matemática 4) Calendários e cada número inteiro é chamado abscissa do Os números inteiros são utilizados para diferen- ponto correspondente. ciar períodos antes e depois de uma data. Para Exemplo: os povos cristãos, o calendário tem como refe- O ponto A é a imagem geométrica do número 2. rência o ano de nascimento de Cristo. Veja na O número 2 é a abscissa do ponto A. reta numerada como representar as afirmações: Nesse contexto, reunindo os números negati- Roma foi fundada no ano 753 a. C. (−753) vos e os números naturais, tem-se o conjunto Jesus Cristo nasceu no ano 0. dos números inteiros indicado por . Manaus foi fundada no ano 1 848. (subentende- = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...} se que foi depois de Cristo) (+1 848) 3. Subconjuntos O conjunto dos números inteiros possuem im- portantes subconjuntos. Veja alguns deles no quadro 1.2. Representação dos números inteiros na reta numérica Representação em Diagramas Os números negativos são representados na reta de forma semelhante à representação dos números naturais. Partindo do ponto de origem O, coloca-se a unidade de comprimento esco- lhida repetidas vezes, ao longo da reta, da es- querda para a direita, determinando o sentido positivo da reta, e da direita para a esquerda determinando o sentido negativo da reta. Cada ponto associado ao número inteiro é cha- mado imagem geométrica do número inteiro, Quadro 1: Subconjuntos de . 46
  • 37. Matemática Elementar I – O Conjunto dos Números Inteiros4. Módulo ou valor absoluto de um número inteiro A reta numérica a seguir indica a posição dos municípios de Manacapuru e Itacoatiara em re- lação a Manaus, sendo quilômetros a unidade Nesse caso, as distâncias de Itacoatiara e do de medida adotada. posto de saúde a Manaus são as mesmas. Indica-se: |+177| = |−177|. Os números +177 e −177 são chamados de números inteiros opostos ou simétricos. Assim, +177 é o oposto ou simétrico de −177 e vice-versa. Observe que o município de Itacoatiara encon- 4.2 Comparação entre números inteiros tra-se a 177 quilômetros a leste de Manaus. O módulo de um número inteiro também é Indica-se por: +177 ou apenas 177. importante para comparar dois números intei- O município de Manacapuru encontra-se a 79 ros. A comparação de dois números positivos quilômetros à oeste de Manaus. Indica-se por: já foi demonstrada no conjunto dos números − 79. naturais. Entre os negativos, comparando as Chama-se módulo ou valor absoluto de distâncias de Humaitá e Manicoré a Manaus, um número inteiro “x” a distância desse tem-se que: número até o zero na reta numérica. −600 < −333, pois |−600| > |−333| Portanto, entre dois números negativos, o Representa-se por |x|. número que tiver o maior valor em módulo Exemplos: será o menor. O módulo de +177 é 177 e indica-se |+177| = = 177. O módulo de − 79 é 79 e indica-se |−79| = 79. EXERCÍCIOS Para determinar a distância entre dois pontos 1) Observe a reta numérica inteira a seguir. na reta numerada, devem ser considerados os módulos das distâncias de cada ponto à origem e somar (ou subtrair) os resultados Dê a distância de: obtidos. a) +6 a 0 d) −6 a −2 Exemplos: b) −2 a 0 e) −3 a +3 c) −3 a +5 f) +5 a −2 2) Uma cidade A encontra-se a 1 200 quilômetros ao norte da cidade B, e uma cidade C encon- tra-se a 3 500 quilômetros ao sul da cidade B, 1) Quantos quilômetros são percorridos entre Ma- ambas em linha reta. Quantos quilômetros há nacapuru e Itacoatiara passando por Manaus? entre as cidades B e C em linha reta? Solução: |−79| + |+177| = 79 + 177 = 256 quilô- 3) Analisando as sentenças: metros em linha reta. I) |−7| > |+5| 2) Quantos quilômetros são percorridos entre Ita- II) Existe um número inteiro que tem módulo menor coatiara e Maués? que zero. Solução: |+267| − |+177| = 267 − 177 = 90 quilô- III) O valor da expressão |−15| + |−3| − |−41| é 23. metros em linha reta. Podemos afirmar que: a) I e II são falsas.4.1 Números inteiros opostos ou simétricos b) I e III são falsas. Suponha agora que um posto de saúde encon- c) II e III são falsas. tra-se a 177km a leste de Manaus. d) Todas são falsas. 47
  • 38. UEA – Licenciatura em Matemática 2.o Caso: Adição de números de sinais dife- TEMA 12 rentes: a) (−2) + (+5) OPERAÇÕES: ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO Partindo de −2, caminhe +55. Operações com números inteiros As operações com os números inteiros são usadas constantemente no cotidiano em situa- Tem-se que (−2) + (+5) = −2 + 5 = +3 ções como: b) (+2) + (−5) a) Devo R$50,00 ao banco. Meu pai depositou na Partindo de +2, caminhe −5 minha conta R$30,00. Quanto ficará o meu sal- do? b) A temperatura de uma cidade da Região Sul do Brasil em um dia foi de 2o C abaixo de zero, e nos Estados Unidos, foi 3 vezes menor. Qual foi a Tem-se que (+2) + (−5) = −3 temperatura nos Estados Unidos? A soma de dois números inteiros de si-5.1 Adição nais diferentes é obtida subtraindo-se seus valores absolutos, fornecendo ao A reta numérica será utilizada para entender a resultado o sinal do número de maior adição entre números inteiros. valor absoluto. Procedimento: A adição de três ou mais parcelas (somas algé- bricas) pode ser obtida utilizando a proprie- 1) Partindo do número que indica a 1.a parcela, dade associativa, adicionando-se as parcelas caminhe na reta tantas casas quanto indi- cadas na 2.a parcela. positivas, depois as parcelas negativas e, final- 2) Se o número for positivo, caminhe para a mente, adicionando-se os resultados obtidos. direita. Exemplos: 3) Se o número for negativo, caminhe para a esquerda. a) (−4) + (−6) + (+5) + (+3) Somando as parcelas positivas: (+5) + (+3) = 5 + 1.o Caso: Adição de números de mesmo 3=8 sinal: Somando as parcelas negativas: (−4) + (−6) = −10 a) (+1) + (+3) Adicionando os resultados: (−4) + (−6) + (+5) + Partindo de +1, caminhe +3 (+3) = 8 + (−10) = −2 b) (−7) + (−9) + (+2) + (+7) + (−1) Somando as parcelas positivas: (+2) + (+7) = 2 + 7=9 Tem-se que (+1) + (+3) = +4 Somando as parcelas os negativos: (−7) + (−9) + b) (−2) + (−4) (−1) = −17 Adicionando os resultados: (−7) + (−9) + (+2) + Partindo de −2, caminhe −4 (+7) + (−1) = 9 + (−17) = −8 Conhecendo-se as regras para adicionar nú- meros inteiros, é possível resolver problemas Tem-se que (−2) + (−4) = −6 que envolvem adição com números inteiros. A soma de dois números inteiros de Exemplos: mesmo sinal é obtida adicionando-se 1) Caio tinha R$20,00 na sua conta bancária e seu seus valores absolutos e conservando- irmão Pedro depositou R$80,00. Quanto ficará o se o sinal comum. saldo de Caio? 48
  • 39. Matemática Elementar I – O Conjunto dos Números Inteiros Esse fato pode ser representado pela sub- tração: 2. a) Márcia devia R$50,00 ao banco e depositou R$20,00. Quanto ficará o saldo de Márcia? Note que (+35) − (+31) = (+35) + (−31) = +4 Então: Se a e b são dois números inteiros, a − b é igual à soma do primeiro número com o opos- b) Após 3 dias, Márcia emprestou R$25,00 para to do segundo: comprar um CD. Quanto ficará o saldo de Márcia? a − b = a + (−b) Cálculo do termo desconhecido As regras para a adição e a subtração de nú- meros inteiros podem ser utilizadas para solu- Propriedades da adição: cionar problemas que envolvem um termo desconhecido. Os números inteiros obedecem às mesmas pro- priedades da adição utilizadas para números Exemplo: Alexandre, o Grande, nasceu em 356 naturais, sendo acrescentada a propriedade da a.C. Quantos anos viveu Alexandre, sabendo- existência de elemento oposto (também conhe- se que ele morreu em 323 a.C? cida como propriedade do cancelamento). O termo desconhecido “x” indicará a quanti- Propriedade do fechamento: A soma de dois dade de anos que Alexandre viveu. Portanto: números inteiros resulta em um número inteiro. Propriedade comutativa: Dados dois núme- ros inteiros a e b, tem-se: a + b = b + a. Propriedade associativa: Dados três números inteiros a, b e c, tem-se: (a + b) + c = a + (b + c). Para aplicar a propriedade do cancelamento e Propriedade do elemento neutro: Quando se encontrar o valor de x, deve-se adicionar +356 soma zero a um número inteiro, a soma não se em ambos os membros. Então: altera. Propriedade da existência de elemento oposto: A soma de dois números inteiros de sinais diferentes, mas de mesmo módulo, re- sulta no número zero. Logo, Alexandre viveu 33 anos. Exemplo: Se devo R$5,00 ao banco e pago Representando na reta, tem-se: R$5,00, qual é o meu saldo? (−5) + (+5) = 05.2 Subtração Considere a seguinte situação: Propriedades da subtração No sábado, a temperatura de Boca do Acre A subtração em não possui as propriedades passou de +31oC para +35oC. Qual foi a varia- comutativa, associativa, elemento neutro e ele- ção de temperatura? mento oposto. 49
  • 40. UEA – Licenciatura em Matemática Propriedade do fechamento: A subtração de 5) Pitágoras nasceu no ano 570 a.C. e morreu no dois números inteiros resulta em um ano 496 a.C. Com quantos anos Pitágoras número inteiro. Assim, se a ∈ e b ∈ , morreu? Represente na reta numerada. então (a − b) ∈ . 6) Efetue usando apenas a regra: Exemplo: a) (+5) + (−6) + (−4) (−3) − (−4) = −3 + 4 = +1, em que −3 ∈ e − 4 ∈ b) (+6) + (−3) +(−9) + (−4) e1∈ . c) (−7) + (−5)+ (+7) d) (−12) − (+7) − (−5) Não é válida a propriedade comutativa. e) (+23) − (−18) − (+14) Exemplo: f) (−15) − (+136) − (−98) − (+45) (−5) − (−4) ≠ (−4) − (−5) −5 + 4 ≠ −4 + 5 −1 ≠ +1 Não é válida a propriedade associativa. Exemplo: [(−3) − (−6)] − (−5) ≠ (−3) − [(−6) − (−5)] (−3 + 6) + 5 ≠ (−3) – (−6 + 5) 3 + 5 ≠ (−3) − (−1) 8 ≠ −3 + 1 8 ≠ −2 EXERCÍCIOS1) Partindo do térreo, um elevador desce 3 anda- res. Em seguida, desce mais 1 andar. Determi- ne o andar em que o elevador parou.2) Cláudio tem uma conta bancária. Hoje, essa conta apresenta o saldo negativo de R$25,00. Para cada situação abaixo, indique a adição correspondente e dê o resultado. a) Depósito de R$50,00. b) Retirada de R$5,00. c) Retirada de R$10,00 seguida de depósito de R$50,00.3) Um grupo de estudantes andou em uma trilha 5km a oeste de um ponto. A seguir, o grupo voltou 2km e parou em uma cachoeira. Repre- sente na reta numerada essa situação e cal- cule a posição final do grupo em relação ao ponto inicial de caminhada?4) Certo dia, o termômetro marcava +3oC para uma cidade A, mas, à noite, a temperatura baixou para −1oC. Qual foi a variação de tem- peratura nesse período? 50
  • 41. Matemática Elementar I – O Conjunto dos Números Inteiros d) Em 2 minutos (−2), havia 4 litros a mais no balde, pois: (−2) × (−2) = +4 TEMA 13 OPERAÇÕES: MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO5.3 Multiplicação Como interpretar o produto de, por exemplo, (+2) × (−3)? Existem algumas situações que nos permitem Então: O produto de dois números inteiros dar sentido a multiplicações com números ne- de mesmo sinal é um número positivo. gativos. O produto de dois números inteiros de Considere um balde com capacidade de 10 sinais diferentes é um número negativo. litros, que será enchido de água à razão de 2 Resumindo: litros por minuto. a) Após 5 minutos (+5) o balde estará cheio com 10 litros, pois: (+2) × (+5) = +10. Propriedades da multiplicação: b) Após 3 minutos (−3), faltavam 6 litros para encher Os números inteiros obedecem às mesmas o balde, pois: (+2) × (−3) = −6. propriedades da multiplicação utilizadas para números naturais. Propriedade do fechamento: O produto de dois números inteiros resulta em um número inteiro. Propriedade comutativa: Dados dois núme- ros inteiros a e b, tem-se: a × b = b × a. Suponha que o balde foi enchido novamente Propriedade associativa: Dados três números com 10 litros, e a água será retirada à razão de inteiros, a, b e c, tem-se: (a × b) × c = a × (b × c). 2 litros por minuto (−2). Propriedade do elemento neutro: Quando se multiplica o número 1 por qualquer número inteiro, o produto não se altera. Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição: Dados três números inteiros, a, b, c, tem-se: a × (b + c) = a × b + a × c. c) Após 3 minutos (+3), o balde terá 6 litros a Exemplos: menos, pois: (−2) × (+3) = −6 a) (+4) × (−2) × (+5) = (−8) × (+5) = −40 ou utilizando a propriedade associativa, (+4) × (+5) × (−2) = (+20) × (-2) = −40 b) (−7) × [(+12) + (−5)] = (−7) × (+7) = −49 ou utili- zando a propriedade distributiva, [(−7) × (+12)] + [(−7) × (−5)] = (−84) + (+35) = −49 51
  • 42. UEA – Licenciatura em Matemática Observe que: Para quantidade ímpar de fatores negativos, TEMA 14 o produto é negativo. Para quantidade par de fatores negativos, o OPERAÇÕES: POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO. produto é positivo. EXPRESSÕES NUMÉRICAS5.4 Divisão 5.5 Potenciação em Você viu que na multiplicação (+2) × (−3) = −6. Existem dois casos a serem considerados: Sendo a divisão a operação inversa da multipli- cação, tem-se que: 1.o Caso: O expoente é um número par. (−6) : (−3) = +2 e (−6) : (+2) = −3. Observe: Então: O quociente de dois números inteiros a) (+3)2 = +9 de mesmo sinal é um número positivo. b) (−3)2 = (−3) × (−3) = +9 O quociente de dois números inteiros de sinais diferentes é um número negativo. Quando o expoente é um número par, a po- tência é sempre um número inteiro positivo. Resumindo: Observação: (−3)2 e −32 são diferentes, pois: (−3)2 representa o quadrado do número −3, ou seja, (−3)2 = (−3) × (−3) = +9 −32 representa o oposto do quadrado do número 3, ou seja, −32 = −(3 × 3) = −9 2.o Caso: O expoente é um número ímpar. Propriedades da divisão: Observe: Não são válidas as propriedades de fechamen- a) (+3)3 = +27 to, comutativa, associativa e elemento neutro. b) (−3)3 = (−3) × (−3) × (−3) = −27 Quando o expoente é um número ímpar, a EXERCÍCIOS potência tem sempre o mesmo sinal da1) Paulo deve R$45,00 a um amigo. Ana deve o base. dobro do que deve Paulo. Quanto ela deve?2) Um mergulhador está a 16m de profundidade. Propriedades da potenciação: Outro mergulhador está a uma profundidade As propriedades da potenciação são as mes- que é o triplo da do primeiro mergulhador. A mas utilizadas para os números naturais. que profundidade ele está? Multiplicação e divisão3) Joana tem em sua conta bancária R$800,00 e pretende com este dinheiro pagar, em duas Exemplos: parcelas iguais mensais, uma geladeira. Quan- a) (+5)3 × (−2)2 = (+125) × (−4) = −500 to Joana deverá sacar por mês? b) (−2)5 × (−2)3 = (−2)5 + 3 = (−2)8 = +256 c) (−4)2 : (−2)3 = (+16) : (−8) = −24) Efetue: d) (−5)2 : (−5)1 = (−5)2 – 1 = (−5)1 = −5 a) (−9) × (−14) b) (+5) × (−9) × (+2) Potência de uma potência c) (−9) : (−9) Exemplos: d) (−28) : (−14) e) (+45) : (−9) a) (−102)3 = −1003 = −1 000 000 ou −106 f) (−84) : (+12) b) [(−2)3]2 = (−8)2 = +64 = (−2)6 52
  • 43. Matemática Elementar I – O Conjunto dos Números Inteiros Potência de um produto ou quociente 3) (−6 + 2)2 : (−4) + [3 × (−5 – 4) – (−1)3 × (−4 + 12)] = = (−4)2 : (−4) + [3 × (−9) – (−1) × (+8)] = Exemplos: = (+16) : (−4) + [−27 – (−8)] = a) [(+3) × (−5)]2 = (−15)2 = 225 ou (+3)2 × (−5)2 = 9 × = (−4) + [−27 + 8] = 25 = 225 = − 4 − 19 = −23 b) [(−46) × (−23)]2 = (+2)2 = 4 ou (−46)2 : (−23)2 = 4) − : {3 + 32 − [ : (43 + 42)] + 5 − 51}= 2 116 : 529 = 4 = − : {3 + 9 – [400 : (64 + 16)] +5 – 5} = = − : { 12 – [400 : 80] + 0}=5.5 Radiciação em = −7 : { 12 – 5 } = = −7 : 7 = −1 Considere a seguinte situação: Quais os números inteiros cujos quadrados são iguais a 225? EXERCÍCIOS Os números são +15 e −15, pois 1) O número inteiro x representa a diferença entre o quadrado do número –2 e o cubo do número Como, em Matemática, uma operação (como a –1. Qual é o número x? radiciação) não pode apresentar dois resulta- 2) Em 1678, havia, em uma vila, 96 habitantes. dos diferentes, fica definido que: Sabendo que no ano de 2005 a população = +15 cresceu à segunda potência, quantos habi- tantes essa vila tem? É claro que existe o oposto do número , que é − . 3) Qual é o número inteiro x que multiplicado pelo cubo do número –10, resulta em –40 000? Então: − = −(+15) = −15 4) Resolva as expressões numéricas: Agora considere as situações: a) × ( 42 – – 23 – 22 + 5) = 1) Qual é o número inteiro que representa a b) (7 – 4) × (–4) + {[(–4) : (–4) ] – 4 + [(–2)3 : (–14 + 22)]} 3 8 4 raiz quadrada de 19? Observe que não existe nenhum número in- teiro cujo quadrado dê 19, pois 42 = 16 e 52 = 25. Como não há nenhum número intei- ro entre 4 e 5, conclui-se que não é possível obter raiz exata de . 2) Qual é o número inteiro que elevado ao qua- drado dá −25? Sabe-se que o quadrado de um número inteiro nunca é negativo. Isso significa que os números inteiros negativos não tem raiz quadrada em , ou seja, não existe no conjunto .6. Expressões numéricas em As regras para se resolverem expressões nu- méricas envolvendo números inteiros são as mesmas das utilizadas para números naturais. Exemplos: 1) (–6)2 + (+3)3 = +36 +27 = 63 2) (+4)2 – (+3)4 = 16 – 81 = −65 53
  • 44. UNIDADE VO Conjunto dos Números Racionais
  • 45. Matemática Elementar I – O Conjunto dos Números Racionais II – do presidente da República; III – ... TEMA 15 § 2.O A proposta será discutida e votada em cada casa do Congresso Nacional, em dois turnos, O NÚMERO RACIONAL ABSOLUTO considerando-se aprovada se obtiver, em ambas,1. O Número Racional Absoluto três quintos dos votos dos respectivos membros. Graficamente, fica fácil entender. Muitos dos problemas de medida não podem ser resolvidos utilizando números inteiros. Me- dindo comprimento ou área, massa ou capaci- dade, é mais provável encontrar-se um número fracionário do que um número inteiro. Observe que, nas atividades diárias, encon- tram-se idéias de fração, tais como: três quar- tos de estrada pavimentada, garrafa com um litro e meio de água, plantio de melancia em cinco terços da área de um sítio, uso de ferro Figura 3a: Idéia de fração – a Constituição do Brasil (IMENES, p.16 de cinco oitavos de polegadas na construção de uma casa. Mas aprovar uma emenda à Constituição é muito Exemplos: difícil. São necessários 3/5 dos votos da Câmara e, também, 3/5 dos votos do Senado. 1) O planeta Terra Figura 1: Idéia de fração – o planeta Terra. Figura 3b: Idéia de fração – a Constituição do Brasil (IMENES, p.16) Portanto, desde os tempos mais remotos, o homem vem-se deparando com situações que o levaram a criar um novo tipo de número, o número fracionário, que indica a parte de um todo. As primeiras unidades de medida utilizadas fo- ram baseadas no seu próprio corpo. Tomava o comprimento de seu pé, ou de seu palmo, ou de sua passada, a “grossura” de seu dedo. Outras vezes, usava uma vara como unidade- Figura 2: Superfície da Terra (IMENES, p. 7). padrão, ou ainda a quantidade de terra que podia preparar em um dia com seu arado. Mas 2) A Constituição do Brasil. o processo de medição precisava ser melho- A Constituição brasileira pode ser emendada, rado porque as rudimentares maneiras eram quer dizer modificada, sendo a própria Consti- confusas. Por exemplo, existiam mãos de dife- tuição que estabelece o critério de modificação. rentes tamanhos, e dessa forma, um mesmo Artigo 60 – A Constituição poderá ser emendada comprimento tinha medidas diferentes, dificul- mediante proposta: tando a comunicação entre as pessoas. O pro- I – de um terço, no mínimo, dos membros da cesso de medição precisava ser melhorado, e Câmara dos Deputados ou do Senado Federal; o homem criou medidas-padrão universais. 57
  • 46. UEA – Licenciatura em Matemática1.1 Unidade fracionária tico italiano Fibonacci (1175-1250) foi o pri- meiro europeu a usar a barra”. (Revista Escola, Divida um chocolate em três partes iguais. Ca- p.13, n.o 113). da uma dessas partes chama-se um terço (uni- dade fracionária). Tomadas duas partes iguais “A convenção é que a palavra fração se refere tem-se dois terços, e as três partes iguais cha- ao numeral e não ao número. O número cha- mam-se três terços ou o todo. ma-se número racional ou número fracionário. Por isso, não há soma de frações e sim de nú- Dividindo-se a unidade em duas partes iguais, meros racionais, pois não se adicionam nume- três partes iguais, cinco partes iguais ou em rais e sim números. Frações maior que outra, um número qualquer de partes iguais, e to- somente se for escrita em tamanho maior. Com mando-se alguma dessas partes, fica-se com frações não há adições, multiplicações, divi- uma fração da unidade. sões, comparações, porque fração é numeral. Quando se divide a unidade em partes iguais e Mas podemos simplificar frações. toma-se uma ou mais dessas partes, obtém-se A palavra racional, para os números, não vem uma fração. de “raciocínio”, mas de rateio, divisão. Isto De modo geral, escreve-se fração com a se- ocorre justamente porque cada número ra- guinte notação: , em que a indica a quan- cional é uma razão entre dois números inteiros tidade de partes tomadas, “numerador”, e o com b ≠ 0”. (ROSA NETO, p.132). numeral b ( b ≠ 0) indica em quantas partes 1.2 Leitura foi dividido o todo, “denominador”. Devem ser considerados três casos na leitura Quando se escreve a fração, representada por de frações: a) denominadores 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9: lê-se o , realizam-se duas ações: a pri- numerador e, em seguida, na mesma ordem, as palavras meio(s), terço(s), quarto(s), quinto(s), meira é dividir o todo em partes iguais, sendo sexto(s), sétimo(s), oitavo(s) e nono(s); que cada uma das partes é a unidade fracioná- b) denominadores potências de 10, isto é 10, 100, ria; e a segunda ação é considerar uma ou 1000, ...: lê-se o numerador acompanhado das mais unidades fracionárias. palavras: décimo(s), centésimo(s), milésimo(s), ...; “A barra foi introduzida por árabes do século c) denominadores acima de dez excluindo os do XII, que copiaram o esquema numerador-so- item b: lê-se o numerador, em seguida o denomi- bre-denominador utilizado na Índia. O matemá- nador acrescido da palavra avo(s). Quadro 1: Leitura das frações 58
  • 47. Matemática Elementar I – O Conjunto dos Números Racionais1.3 Frações de grandezas discretas e frações Solução: Como livros são grandezas descon- de grandezas contínuas tínuas e a divisão destas grandezas formam sub- conjuntos com o mesmo número de elementos, Bolos, chocolates e tortas que podem ser divi- logo a fração é possível, e o número de livros de didos em fatias de qualquer tamanho e ainda matemática é 10. continuam com característica de bolo, choco- late e torta, são exemplos de grandezas con- tínuas. Porém pessoas, carteiras e animais, são exemplos de grandezas discretas ou des- contínuas (pessoas, carteiras e animais só podem ser contados um a um). Tanto nas grandezas contínuas quanto nas grandezas descontínuas, a idéia de fração é o ato de dividir o todo em partes iguais e con- Figura 4a: Divisão de grandezas. siderar uma ou mais unidades fracionárias. b) dos livros, são de geografia. Uma fração como dá idéia de quantidade, Solução: Seja A conjunto de livros pois de um chocolate é maior que a meta- de do chocolate, mas menor que o chocolate todo. Essas idéias de quantidade associada às frações são chamadas de números racionais. Figura 4b: Divisão de grandezas. Nas grandezas descontínuas, essa associação só é possível quando a divisão dessa grandeza A fração não é possível porque a divisão des- formar subconjuntos com o mesmo número de elementos, onde o número dos subconjuntos é ta grandeza não forma subconjuntos com mes- igual ao denominador a ele associado. mo número de elementos. Exemplo: Em uma prateleira há 15 livros, diga quantos livros correspondem às seguintes 1.4 Classificação de frações frações, quando possível: Classificam-se as frações comparando o nu- merador com o denominador. a) dos livros são de matemática. 1) Frações menores e maiores do que 1 Figura 5: Classificação de frações (ESCOLA, 1988, p. 13). 59
  • 48. UEA – Licenciatura em Matemática A fração aparente é um numeral de um Na fração , o numerador (3) é menor do número natural. que o denominador (4). Ela recebe o nome de fração própria. 3) O numeral misto A fração própria é um numeral que repre- As frações impróprias podem ser escritas senta uma parte do objeto tomado como sob a forma mista. unidade. Ao transformar fração imprópria para núme- Na fração o numerador (4) é maior do ro misto, equivale dizer que se extraem os que o denominador (2). Ela recebe o nome inteiros da fração, ou seja, verifica-se quan- de fração imprópria. tos inteiros cabem na fração. A fração imprópria é um numeral que re- presenta uma quantidade maior que a uni- dade. 2) Frações aparentes Exemplo: Com retângulos, formam-se 2 As frações em que o numerador é múltiplo retângulos e sobra de retângulo. Assim: do denominador, isto é, o numerador é divi- sível pelo denominador, recebem o nome de =2 frações aparentes. 60
  • 49. Matemática Elementar I – O Conjunto dos Números Racionais1.5 Frações equivalentes 1.7 Fração irredutível Considere as frações , e na figura 6: Considere a fração . . Observe que, ao efetuarmos a divisão dos ter- mos da fração sucessivamente pelo mesmo número natural, obtemos uma fração equiva- lente, cujos termos são números naturais me- nores. Quando a divisão não é mais possível, obtemos uma fração chamada irredutível, cujos termos são números primos entre si. Figura 6: Frações equivalentes. Exemplo: A fração é irredutível, pois 1 e 4 A figura 6 mostra o mesmo objeto dividido em são primos entre si. 3, 6 e 12 partes. m.d.c (1,4) = 1 As partes do inteiro podem ser representadas = = = = pelos numerais , e . Tais frações são denominadas frações equivalentes e são indi- EXERCÍCIOS cadas por ~ ~ . 1) Participam de uma conferência 9 brasileiros, 6 ingleses e 4 argentinos. Os brasileiros repre- As frações equivalentes são, portanto, nume- sentam qual fração do total de membros da rais do mesmo número. Multiplicando ou divi- conferência? dindo os dois termos de uma fração por um 2) Onze dias correspondem a que fração do mês mesmo número natural diferente de zero, de outubro? obtém-se outra fração equivalente à primeira. 3) Classifique em própria (P), imprópria (I) e apa- Esse número só não pode ser o zero. rente (A) as seguintes frações: a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) ( )1.6 Simplificação de frações 4) De quantos (inteiros) você pode tirar? Exemplo: Sabe-se que ~ , pois as duas E o que sobra? Então = ..... . frações têm o mesmo valor, mas a fração tem os termos menores. Diz-se, por isso, que a 5) Transforme em frações impróprias os seguin- tes números mistos: fração foi simplificada, dividindo-se os dois a) 1 b) 2 termos da fração por 4, que é um divisor co- mum dos termos da fração. 6) Se as frações e são equivalentes, en- tão qual o valor de x? = = 7) Simplifique as frações: Portanto, para simplificar uma fração, basta dividir os seus termos por um divisor comum a) b) aos termos. 61
  • 50. UEA – Licenciatura em Matemática b) do tipo , com b ≠ 0 e a e b inteiros de sinais TEMA 16 contrários. ={ | a ∈ , b ∈ , b ≠ 0} CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS RELATIVOS. REPRESENTAÇÃO NA RETA NUMÉRICA. SUBCONJUNTOS. MÓDULO OU VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO RACIONAL2. Conjunto dos números racionais relativos Portanto pode-se calcular qualquer quociente Os números racionais absolutos à direita do de inteiro com divisor não-nulo utilizando nú- zero são também chamados números racio- meros racionais. nais positivos. Os números racionais negativos Observações: situam-se à esquerda do zero. 1) Todo número fracionário é um número racio- O conjunto formado por todos números racio- nal. nais negativos, racionais positivos e pelo zero Exemplos: − , e− é o conjunto dos números racionais relativos 2) Todo número inteiro é também um número ra- ou, simplesmente, o conjunto dos números ra- cional. cionais, representado pelo símbolo . Exemplos: 3 = , −7 = − e0= 3) Todo número decimal exato é um número ra- = { ..., −3, ..., , −2,6 , −2, ..., −1, ..., 0, ...,1, cional. ...., ,...} Exemplos: 0,5 = , −3,4 = − e −0,0707 = −2.1 Representação dos números racionais rela- tivos na reta numérica 4) Todo número decimal periódico é um número racional. Exemplos: 0,555... = , −0,0707... = − e 0,423423... = 5) Ao escrever um número racional negativo, na forma de fração, pode-se colocar o sinal me- nos na frente do número, ou, então, no nume- O conjunto dos números racionais é formado rador. pelos números representados por frações: Exemplos: − = a) do tipo , com b ≠ 0 e a e b inteiros de mesmo sinal; 2.2 Subconjuntos de Quadro 2: Subconjuntos dos números racionais. 62
  • 51. Matemática Elementar I – O Conjunto dos Números Racionais Analisando o quadro 2, pode-se determinar quais das sentenças a seguir são verdadeiras: a) 5 ∈ b) −17 ∉ c) − ∈ d) − ∉ e) −0,3 ∈ f) − ∉ g) 0 ∈ Exemplo: O número 0,5 é o oposto ou simé- As sentenças verdadeiras são a, d, e , g. trico de −0,5 e −0,5 é o oposto ou simétrico de 0,5. Observe que: a) ∪ = b) ∩ = 2) Comparação de números racionais c) ∩ =∅ d) ∪ {0} = a) Números racionais absolutos Considere três casos: Representação em diagramas 1.o caso: Números fracionários cujas fra- ções têm denominadores iguais: A fração com o maior numerador representa o número maior. Todo número inteiro é um número racio- nal, mas nem todo número racional é um número inteiro. Figura 7a: Frações com denominadores iguais.2.3 Módulo ou valor absoluto de um número racional Perceba que a parte do objeto representada O módulo de um número racional é determina- por é maior do que a parte representada do da mesma maneira que o módulo de um número inteiro. por . Então > ou < Exemplos: O módulo de + é e indica-se: 2.o caso: Números fracionários cujas fra- ções têm numeradores iguais: + = A fração com o menor denominador represen- ta o número maior. O módulo de − é e indica-se: − = 1) Números racionais opostos ou simétricos Observe, na reta numérica racional, que os números racionais e− estão à mesma Figura 7b: Frações com numeradores iguais distância da origem e localizam-se em senti- dos opostos. Indica-se: − = . Os nú- Perceba que a parte do objeto representada por é maior do que a parte representada meros e− são chamados de números por . Então > ou < racionais opostos ou simétricos. 63
  • 52. UEA – Licenciatura em Matemática 3.o caso: Números fracionários cujas fra- 2) Determinar as sentenças verdadeiras. ções têm numeradores e denominadores di- ferentes. a) − < − Como comparar e ? b) > Procedimento: ! Obter frações equivalentes com o mesmo c) − < denominador. ! Comparar as frações de acordo com o 1.o d) − = caso. e) − < − Então: > m.m.c. (5,4) = 20 b) Números racionais negativos Da mesma forma, comparamos números ra- cionais negativos escritos na forma fracionária. Exemplos: 1) e , conclui-se que > , pois −1 > −5. 2) e , como os denominadores são di- ferentes, reduz-se ao mesmo denominador (m.m.c.) obtendo as frações e . Conclui-se, portanto, que < , pois −10 < −9. De modo geral, dados dois números ra- cionais, o menor deles será aquele que estiver à esquerda do outro na reta nu- merada. EXERCÍCIOS1) Compare os números racionais: a) e b) e c) e0 d) e 64
  • 53. Matemática Elementar I – O Conjunto dos Números Racionais Redução de frações ao mesmo denominador comum: TEMA 17 OPERAÇÕES: ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO2.4 Operações com números racionais As propriedades estruturais das operações definidas entre números inteiros são válidas quando se realizam operações com números Figura 9: Redução de frações ao mesmo denominador. racionais. Reduzindo as frações ao mesmo denomi- 1) Adição e subtração nador (calculando o m.m.c.), e adicionando Ensina-se a efetuar as operações de adição, sub- algebricamente os numeradores, tem-se: tração por meio de diagramas que representam a unidade e as unidades fracionárias. O uso das re- gras práticas só é conveniente ser ensinado após entender por que e como se opera. Exemplos: Regra prática para adicionar e subtrair dois números racionais 1.o caso: A adição ou a subtração de dois nú- meros racionais representados por frações de mesmo denominador. A figura 7 mostra que: se adicionarmos a , obtém-se . + = , porque a quantidade pela qual o Propriedades da adição todo foi dividido é a mesma. As propriedades da adição em são: fecha- mento, comutativa, associativa, elemento neutro e elemento oposto (cancelamento). Propriedades da subtração: A subtração em não possui as propriedades comutativa, associativa, elemento neutro e ele- mento oposto. Possui apenas a propriedade do fechamento. Propriedade do fechamento: Figura 8: Adição de frações com mesmo denominador. A subtração de dois números racionais resulta em um número racional. Assim, se a ∈ eb∈ , Para somar ou subtrair frações de mesmo deno- então (a − b) ∈ . minador, somam-se ou subtraem-se os numera- Exemplo: dores e repete-se o denominador. (− ) − (− )=− + = ∈ , 2.o caso: Adição ou subtração de números ra- cionais representados por frações de deno- em que − ∈ e− ∈ minadores diferentes. 65
  • 54. UEA – Licenciatura em Matemática EXERCÍCIOS1) Resolva as adições utilizando apenas desenho. TEMA 18 OPERAÇÕES: MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO 2) Multiplicação A expressão “um terço da metade”, pode ser re- presentada por2) Agora, represente as adições do exercício 1 utilizando frações. a) ....................................... b) .......................................3) Resolva as subtrações usando apenas dese- nhos. Figura 10: Multiplicação de frações Então, de = , a operação entre frações que traduz esse resultado é a multiplicação × = O produto de duas frações é a fração em que: o4) Agora, represente as subtrações do exercício 3 numerador é o produto dos numeradores das utilizando frações. frações dadas; e o denominador é o produto dos a) ....................................... denominadores das frações dadas. b) ....................................... Simplificação pelo cancelamento5) Efetue: Seja a multiplicação: a) (− ) + (+ ) ou b) (+ ) + (+ ) c) (−4) − (+ ) A operação multiplicação em pode ser realiza- da da seguinte forma:6) Maria colocou em um jarro 3/5 de litro de leite. a) Se os fatores tiverem sinais iguais, o produto fica com sinal “+”; se os fatores tiverem sinais Depois colocou mais 1/5 de litro de leite. Re- contrários, o produto fica com sinal “−” . presente graficamente cada uma das frações e b) Multiplicam-se os numeradores das frações, verifique quantos litros de leite possui o jarro? obtendo o numerador do produto.7) Suponha que Maria retirou 2/5 de litro de leite. c) Multiplicam-se os denominadores da fração, Quantos litros restaram no jarro? Represente obtendo o denominador do produto. graficamente. d) Simplifica-se o resultado quando possível. Exemplos: a) b) c) d) 66
  • 55. Matemática Elementar I – O Conjunto dos Números Racionais Propriedades da multiplicação Para efetuar a divisão, podemos multiplicar a primeira fração pelo inverso multiplicativo da Assim como em , a multiplicação em possui segunda. as propriedades: fechamento, comutativa, asso- ciativa, elemento neutro, distributiva da multipli- Exemplo: cação em relação à adição, acrescentando a pro- priedade do elemento inverso: Para todo racional x ≠ 0, existe um único racio- Observe a seguinte divisão em : nal y tal que x . y = 1. Tal y denomina-se in- verso de x, e indica-se por x −1 ou . Assim, x.x −1 =1 O quociente entre dois números racionais tam- Exemplo: 4 −1 ou é o inverso de 4, e 4 é o bém pode vir indicado por uma “fração” em que o numerador e o denominador são inverso de 4 −1 ou frações. Neste sentido, chamamos de frações inversas Exemplos: duas frações cujo produto é igual a 1. : Exemplos: O inverso de é , pois × = 1. O inverso de é , pois × = 1. EXERCÍCIOS 1) Paulo e seus irmãos comeram em um dia3) Divisão de um queijo e, no dia seguinte, comeram Observe as seguintes situações: . Que parte do queijo os irmãos comeram? a) Se Marta quer dividir entre dois irmãos um quarto de um chocolate, que parte do choco- Que parte falta comer? late ganhará cada um? 2) Mostrar por meio de figuras que: a) :2= b) 2 : =5 Figura 11a: Divisão de frações. 3) Calcule: + :2+5× b) Quero distribuir oitavos de um bolo entre algu- mas crianças. Tendo-se apenas do bolo, 4) Um barco navegou de um percurso, o que quantas crianças poderão receber? corresponde a 1 200 metros. Qual a distância a ser percorrida por esse barco? 5) Sueli apontou dos 24 lápis de cor da caixa. Quantos lápis Sueli apontou? Figura 11b: Divisão de frações. Portanto, 6 crianças poderão receber um pe- daço do bolo. 67
  • 56. UEA – Licenciatura em Matemática Propriedades da potenciação TEMA 19 1.a – Multiplicação de potência de mesma base De modo geral, para qualquer base a racional, OPERAÇÕES: POTENCIAÇÃO a ≠ 0, e para quaisquer expoentes m e n intei- E RADICIAÇÃO ros, vale a igualdade: am × an = a m + n 4) Potenciação Exemplos: Considerando os estudos anteriores de poten- a) = ciação, vamos calcular agora a potência que te- nha como base um número racional (positivo ou negativo) e como expoente um número inteiro. Toda potência de número racional diferente de b) = zero com expoente 0 é igual a 1. Exemplos: a) a0 = 1 b) ( )0 = 1 c) (− )0 = 1 2.a – Divisão de potência de mesma base Toda potência de número racional com ex- De modo geral, para qualquer base a racional, poente 1 é igual à própria base. a ≠ 0, e para quaisquer expoentes m e n intei- Exemplos: ros, vale a igualdade: am : an = a m − n a) a1 = a b) (− )1 = − c) ( )1 = Exemplos: Toda potência de número racional com ex- a) poente maior que 1 é igual a um produto em que o número de fatores é igual ao expoente da potência e todos os fatores são iguais à base. b) Exemplos: a) b) 3.a – Potência de uma potência c) De modo geral, para qualquer base a ≠ 0, e para quaisquer expoentes m e n inteiros, vale d) a igualdade: (am)n = a m . n Exemplos: Toda potência de um número racional, diferen- te de zero, com expoente inteiro negativo é a) igual ao inverso do número dado elevado ao mesmo expoente, porém, positivo. b) Exemplos: 4) Radiciação a) Um número racional quadrado perfeito é o qua- drado de outro número racional. b) Exemplo: Os números racionais cujo quadrado é c) são: 68
  • 57. Matemática Elementar I – O Conjunto dos Números Racionais , pois ( )2 = × = e TEMA 20 − , pois (− ) = (− 2 ) × (− )= EXPRESSÕES NUMÉRICAS. Como, em Matemática, uma operação (como a RESOLUÇÃO DE PROBEMAS radiciação) não pode apresentar dois resultados 2.5 Expressões Numéricas diferentes, conclui-se que o número positivo é Observações: denominado raiz quadrada aritmética de . E 1) Toda expressão numérica pode ser repre- indica-se por = sentada por um único numeral chamado va- lor numérico da expressão. É claro que existe o oposto do número que é 2) As operações devem ser efetuadas na se- − =− . guinte ordem: a) Potenciação e radiciação. b) Multiplicações e divisões (na ordem em que EXERCÍCIOS aparecem).1) Calcule as potências c) Adições e subtrações (na ordem em que apa- a) (− )0 b) ( )1 c) (− )− 2 d) ( )− 3 recem). 3) Quando a expressão tiver sinais de associa-2) Aplique as propriedades das potências e ção, estes devem ser eliminados na seguin- reduza a uma só potência. te ordem: primeiro resolvem-se os parênte- ses, depois os colchetes e, finalmente, as a) (− )2 : (− )5 b) chaves. c) ( )5 : ( )11 d) ( )4 × ( )6 × ( )−5 Exemplo: Calcular o valor da expressão: “efetuam-se as potenciações e radiciações”: “eliminam-se os pa- rênteses”. “efetua-se a potenciação”. “eliminam-se os colchetes”. “simplificação e multiplicação de fração”. . “efetua-se a subtração”. 69
  • 58. UEA – Licenciatura em Matemática2.6 Resolução de problemas envolvendo fra- a) A fração de figurinhas que os dois, juntos, ções: colaram no álbum. b) Quantas figurinhas correspondem à fração Você se lembra das quatro etapas essenciais unitária. sugeridas pelo matemático Polya? c) O total de figurinhas do álbum. 1.a etapa 2.a etapa 3.a etapa – Executar o plano. Compreender Traçar um o problema plano a) Para saber a fração das figurinhas que os dois colaram no álbum, adicionam-se as quanti- dades já coladas. 3.a etapa 4.a etapa Executar o Comprovar os + = + = → fração das figu- plano resultados rinhas que os dois colaram juntos no álbum. A seguir, serão apresentadas situações que se- rão analisadas utilizando a metodologia su- gerida por Polya. Exemplos: b) Para saber quantas figurinhas correspondem à 1) Alice e seu pai estão preenchendo juntos um fração unitária: álbum de figurinhas. Alice já colou das figurinhas, e seu pai colou das figurinhas. Sabendo-se que os dois já colaram 99 figu- rinhas, quantas figurinhas tem o álbum com- pleto? c) Para calcular quantas figurinhas tem o álbum completo: Figura 12: Adição de frações. Fonte: www.victorbahia.eblogger.terra.com.br 4.a etapa – Executar o plano. × 108 + 108 = 18 + 81 = 99. Logo, o ál- 1.a – Etapa: Compreender o problema. bum completo tem 108 figurinhas. Dados conhecidos: Alice colou das figu- rinhas do álbum. 2) Uma criança percorre os da distância en- O pai dela colou das figurinhas do álbum. tre a sua casa e a escola. Ainda faltam 420 Alice e o pai colaram 99 figurinhas. metros. Qual a distância da casa à escola? Pede-se: a quantidade de figurinhas que tem o álbum completo. 2.a etapa – Traçar um plano. Idéia de juntar as figurinhas. Portanto, a ope- ração a ser utilizada é a adição. Deve-se cal- cular: Figura 13: Idéia de subtração. 70
  • 59. Matemática Elementar I – O Conjunto dos Números Racionais1.a etapa – Compreender o problema. EXERCÍCIOS 1) Calcule o valor das expressões:Dados: distância percorrida = da distân-cia total. a)Distância que falta = 420m.Pede-se: a distância da casa à escola. b)2.a etapa – Traçar um plano. c)Idéia de completar. Logo, a operação a serutilizada é a subtração. Deve-se calcular: 2) Para pintar de um quarto, utilizei 25 litros dea) A fração que representa o quanto falta.b) Quantos metros correspondem à fração uni- tinta. tária. a) Qual é a fração do quarto que resta pintar?c) A distância total. b) Quantos litros de tinta serão necessários para pintar a parte que falta?3.a etapa – Executar o plano. c) Quantos litros de tinta serão necessários para pintar o quarto todo? d) Se cada lata contém 2 litros de tinta, de quan- tas latas vou precisar para pintar o quarto todo?a) Figura 14a: Operações entre frações.b) 3) Um atacadista possui 2 600 sacas de arroz. Vendeu ao primeiro freguês destas sacas. Do que sobrou, vendeu ao segundo fre-c) guês, vendeu do novo resto. Quantas sa- cas sobraram?4.a etapa – Comprovar os resultados. 2 × 140 + 420 = 700mLogo, a distância da casa à escola é de 700 Figura 14b: Operações entre frações.metros Fonte: www.imprensa.com.ni 71
  • 60. UEA – Licenciatura em Matemática4) Três irmãos receberam uma herança. Ao mais velho coube dessa herança. Ao mais jovem TEMA 21 couberam do resto, ficando R$120.000,00 REPRESENTAÇÃO DE NÚMEROS para o terceiro irmão. Qual é o valor total da FRACIONÁRIOS NA FORMA DECIMAL. herança? OPERAÇÕES: ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO 3. Representação de números fracionários na forma decimal Na frase “O governo conseguiu do FMI um em- préstimo de 10,4 bilhões de dólares”, verifica- se que cada vez mais se faz necessário conhe- cer os números racionais escritos na forma de números decimais. Estes estão sujeitos a um sistema posicional de valores muito parecidos com os dos números naturais, o que vem a facilitar a leitura, a escrita, a comparação e as operações com esses números. Figura 15: Reprentação de números fracionários na forma decimal. Observe que a quantidade de zeros no denom- inador é igual à quantidade de casas decimais. Figura 16: Reprentação de números fracionários na forma decimal. 72
  • 61. Matemática Elementar I – O Conjunto dos Números Racionais A vírgula posiciona-se logo após a unidadeCada placa representa = 0,1 da caixa. simples.Cada cubo representa da 3.1 Comparação entre números decimaisplaca. Maria gastou R$47,50 e João R$47,25. Quem gastou mais? Para saber quem gastou mais, éComo são 10 placas que formam a caixa, en- necessário comparar dois números decimais.tão cada cubo representa Como fazê-lo? Para comparar os números decimais, pode-se da caixa. transformar em números fracionários, ou pro- cede-se da seguinte maneira: 1.o caso: A parte inteira é diferente. Neste caso basta comparar a parte inteira. O número que tiver a maior parte inteira será maior.Às vezes, depara-se com frases semelhantes aessa: “16% das crianças abandonaram a esco- Exemplo: Comparar 3,45 e 34,5. Neste caso, como a parte inteira 3 é menor que 34, entãola”. Mas o que vem a ser 16% (lê-se: dezesseis conclui-se que 3,45 é menor que 34,5 e repre-por cento). senta-se 3,45 < 34,5.Note que 16% = = 0,16 2.o caso: A parte inteira é igual.Portanto, se, por exemplo, forem consideradas Exemplo: Comparar 2,047 e 2,47.200 crianças equivale dizer que 200 × 0,16 = 32 Neste caso deve-se:crianças abandonaram a escola. ! Escrever os números decimais com igual númeroDa mesma maneira que 10 unidades = 1 deze- de casas (2,047 e 2,470).na, tem-se que: ! Eliminar a vírgula (2,047 e 2,470).10 décimos = 1 unidade, 10 centésimos = 1 dé- ! Obtêm-se, assim, os números naturais (2047 ecimo e 10 milésimos = 1 centésimo. 2470). ! comparar os números naturais (2047 < 2470).Se o número é 0,3, pode-se escrever 0,30 ouainda 0,300 e se o número for igual a 4 pode- Conclui-se que 2,047 é menor que 2,470.mos escrever 4,0 ou 4,00 ou ainda 4,000. De modo geral: Dado dois números racionaisAssim, no sistema posicional, torna-se fácil a quaisquer, o menor deles será aquele que es-leitura (quadro 2): tiver à esquerda do outro na reta numerada. Quadro 2: Leitura de números fracionários na forma decimal. 73
  • 62. UEA – Licenciatura em Matemática3.2 Operações com números decimais EXERCÍCIOS 1) Adição 1) Faça a leitura dos seguintes números decimais: a) 2,45 b) 0,004 c) 46,07 Observe a figura 17 em que cada quadradinho vale 0,1. 2) Complete com um dos símbolos: > (maior), < (menor) ou = (igual): a) 7,4........7,4 b) 30,94........30,4 c) 47,5........5740000 Figura 17: Adição com números decimais. 3) Calcule: a) 8,07 + 12,9 b) 35,15 − 14,984 2) Subtração 4) Papai comeu 0,2 do bolo, mamãe comeu 0,3 e Na figura 18, é efetuada a subtração entre 0,8 e eu comi 0,4. Qual a parte que sobrou do bolo? 0,2. Figura 18: Subtração entre números decimais. Para adicionar ou subtrair os números decimais, utiliza-se a regra prática: 1) iguala-se o número de casas decimais das parcelas ou dos termos da subtração, acres- centando zeros; 2) dispõem-se os números usando o sistema po- sicional, isto é, vírgula embaixo de vírgula; 3) adicionam-se ou subtraem-se os números co- mo se fossem números naturais, colocando a vírgula no resultado alinhada com as parcelas. Exemplo: Calcular: a) 45,9 + 3,53 + 0,065 b) 35,8 − 4,51 Quadro 3: Adição e subtração com números decimais no quadro valor lugar. Logo: 45,9 + 3,53 + 0,065 = 49,495 e 35,8 − 4,51 = 31,29 74
  • 63. Matemática Elementar I – O Conjunto dos Números Racionais 3) Divisão TEMA 22 Observe as seguintes situações: a) Tenho 60 metros de fio para pipa para dividirOPERAÇÕES: MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO. entre 8 crianças. Quantos metros cada criança SISTEMA MONETÁRIO NACIONAL receberá? 3) Multiplicação Solução: Se cada criança receber 7 metros, sobrarão 4 metros, e se cada criança receber A largura de uma estrada é de 12,35m. O gover- 8 metros faltarão 4 metros. O que devo fazer? no deseja ampliá-la duplicando a largura. Qual será a nova largura? Colocando na forma de fração, tem-se: É do nosso conhecimento que duplicar é multipli- = = =7 car por 2 e escreve-se 12,35m × 2. Sabe-se ain- da que multiplicar por 2 é somar 2 parcelas de Em fração, cada criança receberá sete metros 12,35m. Portanto, tem-se: e meio. Mas, como fazer a divisão sem trans- formar em fração? Quadro 4: Multiplicação de números decimais no quadro valor lugar. Veja os seguintes passos: Dispõe-se na forma de divisão, em que o dividendo é 60 e → divisor é 8. Divide-se 60 por 8. O quocien- te será 7 e o resto 4. Portanto pode-se efetuar 12,35 × 2. Multiplicando Acrescente 0 (zero) na 1235 por 2, resulta em 2470; colocar a vírgula casa dos décimos, e vír- → contando 2 casas decimais. gula após o quociente 7 para continuar. Para efetuar a multiplicação ou transformar os nú- meros em fração, calcula-se o produto ou pro- cede-se da seguinte maneira: 1) multiplicam-se os números como se fossem Dividindo 40 por 8, ob- números naturais; → tém-se um quociente 5 e resto zero. 2) o produto terá tantas casas decimais quanto forem a soma do número de casas decimais dos fatores. Exemplo: Recebi R$274,80 de devolução do Exemplos: Imposto de Renda. Quero dividir essa quantia a) entre 6 sobrinhos. Quanto devo dar a cada um? Quando a divisão em que um ou ambos os ter- mos da divisão for número decimal, basta multi- plicar o dividendo e o divisor por potência de b) base dez, isto é, tornando-os um número natural (igualando número de casas decimais). Essa pro- priedade apóia-se na propriedade: “multiplican- do o dividendo e o divisor por um mesmo número diferente de zero, o quociente não se altera e o Como 42,030 = 42,03; então: escreve-se 42,03. resto fica multiplicado por este número”. Quando se multiplica um número decimal por 10, Exemplo: Calcular 274,80 : 6 100, 1000,..., desloca-se a vírgula para a direi- × 10 ta, tantas casas quantas forem a quantidade de zeros. 274,80 : 6 = 2748 : 60 = 45,80 75
  • 64. UEA – Licenciatura em Matemática4. Sistema Monetário Nacional EXERCÍCIOS Observe os números que aparecem no anún- 1) Efetue a multiplicação e a divisão sem transfor- cio de jornal do preço do carro. mar em fração: a) 25,8 × 15 b) 0,125 × 3,8 c) 56,4 × 34,7 d) 65 : 25 e) 451 : 8,8 f) 171,45 : 25,4 2) Meu extrato bancário apresentou: 01/10/02 saldo......R$1.345,85 02/10/02 depósito... R$255,97 Figura 19: Números na forma decimal. 02/10/02 cheque compensado......R$759,64 Atualmente, o nosso sistema monetário é ba- Calcule o saldo do dia 02/10/02. seado no real, que é representado por R$. As 3) Num posto de gasolina, Renato gastou unidades monetárias são divididas em centa- R$89,10. Mas só possuía notas de 50, 10 e 5 vos. Um centavo do real é um centésimo do reais e moedas de 1 real e de 10 centavos. real. Como Renato poderá pagar se não deve rece- Tudo que se compra no Brasil envolve o real. ber troco? Exemplo: a passagem de ônibus custa R$1,80 a) 1 nota de R$10,00, 1 nota de R$20,00, 1 nota de (um real e oitenta centavos) em Manaus; o litro R$50,00 e 1 nota de R$5,00, 4 notas de R$1,00 e do combustível custa R$2,75 (dois reais e se- 1 moeda de R$0,10. tenta e cinco centavos); um galão de 20 litros b) 1 nota de R$50,00, 3 notas de R$10,00, 1 nota de R$5,00, 4 moedas de R$1,00 e 1 moeda de de água custa R$3,50 (três reais e cinqüenta R$0,10. centavos). Você deve ter observado que esse c) 8 notas de R$10,00, 1 nota de R$5,00, 3 notas de sistema envolve duas partes: a parte inteira e a R$1,00 e 1 moeda de R$0,10. parte decimal, que é chamada de centavos. A d) 1 nota de R$50,00, 1 nota de R$10,00, 4 notas de base de cálculo desse sistema é o mesmo da R$5,00, 8 notas de R$1,00 e 1 moeda de R$0,10. numeração decimal. 4) Maria comprou uma televisão de R$450,99. Deu 1/3 deste valor de entrada e vai pagar o restante em 8 prestações iguais. Então qual o valor da entrada com 2 casas decimais? 5) Uma pizzaria utiliza 0,3 quilos para fazer uma pizza. Quantos quilos de mussarella serão necessários para fazer 3 pizzas? 6) Uma loja vende uma geladeira por R$1.498,00 em até 8 parcelas sem juros. Calcule o valor de Figura 20: As moedas do real cada prestação da geladeira que foi comprada Fonte: http://www.bcb.gov.br em 7 vezes iguais. 7) Comprei 8 retalhos de tecidos por R$5,44 ca- Exemplo: Na sexta-feira, fui às compras e gas- da. Quanto paguei ao todo? tei R$25,40 em uma calça, R$2,99 em uma meia, R$13,70 em um cinto. Dei uma nota de 8) Dividir 0,8 do bolo para 5 crianças. Qual a parte R$50,00. Quanto recebi de troco? que cabe a cada criança? Solução: Total gasto R$25,40 + R$2,99 + R$13,70 = R$42,09. Troco recebido: R$50,00 − R$42,09 = R$0,91. 76
  • 65. UNIDADE VIGeometria das formas e das medidas
  • 66. Matemática Elementar I – Geometria das formas e das medidas Euclides apresentou a geometria por meio de axiomas ou postulados, admitindo como primi- TEMA 23 tivos os conceitos de ponto, reta e plano. Axio- ma ou postulado é uma proposição que não A GEOMETRIA E EUCLIDES. CONCEITOS exige demonstração. Conceitos primitivos são PRIMITIVOS. SEMI-RETA. SEGMENTO DE aqueles que se admitem sem definição, tem-se RETA. NOÇÕES DE MEDIDA apenas um conhecimento intuitivo decorrente1. A Geometria e Euclides da experiência e da observação. Definição é uma enunciação de qualidades características. A palavra geometria origina-se do grego geo=terra e metria=medir. Segundo o historia- 2. Conceitos primitivos: ponto, reta e plano dor grego Heródoto (séc. V a.C.), atribui-se aos No dia-a-dia, são encontrados diversos exem- egípcios a origem da geometria, pois, naquela plos desses conceitos primitivos. época, o imposto que os proprietários de terra Exemplos: pagavam eram diretamente proporcional à a) Os buracos existentes nos botões nos dá a idéia área de cada lote. Muitas vezes, com as cheias de ponto. do rio Nilo, parte das terras dos agricultores desapareciam, e os cobradores tinham que recalcular cada área para que a cobrança fosse justa. Além disso, no comércio era ne- cessário saber o volume de cada depósito de grão. Figura 2: Idéia de ponto. Muitos matemáticos contribuíram valiosamente b) Uma estrada nos dá idéia de reta. para a geometria. Dentre eles, pode-se desta- car Euclides (séc. III a.C.). Nasceu na Síria e estudou em Atenas com os sucessores de Platão. Foi um dos primeiros geômetras e é A reta não tem começo, nem fim, nem espessura. reconhecido como um dos matemáticos mais É representada por letras minúsculas do nosso importantes da Grécia Clássica e de todos os alfabeto. tempos. Alcançou grande prestígio pela forma brilhante como ensinava geometria e álgebra, conseguindo atrair muitos discípulos para as suas lições. Figura 3: Idéia de reta (PATILLA, 1995, p.6). c) A superfície do rio Amazonas dá-nos a idéia de plano. Representação é representado por letra minúscula do alfabeto grego. Figura 1: Euclides explica a inscrição de um hexágono em um círculo. Embora se tenha perdido mais da metade dos seus livros, ainda restou a sua valiosa con- tribuição Elementos, constituído de 13 volu- mes publicados por volta de 300 a.C., onde se contempla a aritmética, a geometria e a álge- bra. Possui mais de 1500 edições. Figura 4: Idéia de plano. 79
  • 67. UEA – Licenciatura em Matemática3. Semi-reta b) Quantos quilos tem um saco com farinha? c) Quais são as dimensões da geladeira? Um ponto qualquer, A, de uma reta r, divide es- sa reta em duas partes chamadas semi-retas. Para responder a essas perguntas, é necessá- rio estudar a noção de medida sob os aspec- tos unidimensional (medida de segmento de reta, o comprimento), bidimensional (figuras planas, a área) e tridimensional (figuras sóli- Figura 5: Semi-reta. das, o volume). – Semi-reta de origem A que contém B. Medida é um valor numérico que se obtém ao – Semi-reta de origem A que contém C. comparar uma grandeza com a unidade de medida previamente escolhida.4. Segmento de reta Respondendo a alguns itens da pergunta aci- Para se definir segmento de reta, é preciso en- ma, obtêm-se exemplos de medidas: tender o conceito primitivo “estar entre”. O rio Amazonas tem 6800km de extensão. Entre dois pontos distintos, A e B, sempre exis- O saco de farinha tem 50kg. te um ponto C (Figura 6). Unidade de medida é uma grandeza escolhi- da como referência. Medir o comprimento do Figura 6: Noção “estar entre”. teclado tomado como unidade um lápis de me- dida “u” (figura 8), por exemplo, é determinar O conjunto formado pelos pontos A e B e por quantas vezes cabe “u” no comprimento do todos os pontos da reta entre A e B é chama- teclado. Pode ser observada que coube 2,5 do segmento de reta. vezes de “u” nesse comprimento. Na figura 6, existem os segmentos , e . Os pontos A e B são chamados extremos do segmento . Observe na figura 7 os segmentos , e Figura 8: Medindo o teclado. Figura 7: Segmentos consecutivos e colineares. Durante muito tempo, os homens usaram o pé Note que: (figura 9), a mão, o braço, o cúbito, o palmo e possuem apenas um extremo em co- como unidade para medir comprimento. mum – segmentos consecutivos. e não possuem extremo em comum – segmentos não-consecutivos. e estão contidos em uma mesma reta – segmentos colineares. Figura 9: Unidades de medidas antigas (SILVEIRA, 2000, p. 247) e não estão contidos em uma mesma reta – segmentos não-colineares. Algumas como a milha, légua, jarda e polega- da (figura 9), apesar de não pertencerem ao5. Noções de medida sistema métrico decimal, são usadas até hoje. É comum as pessoas depararem-se com as Usa-se polegada para medir o diâmetro do situações abaixo: tubo, a tela do monitor, a TV (figura 10); e a a) Qual é a extensão do rio Amazonas? milha é usada em navegação marítima. 80
  • 68. Matemática Elementar I – Geometria das formas e das medidas TEMA 24 UNIDADES DE MEDIDA DE COMPRIMENTO 6. Unidades de medida de comprimento As unidades de medida de comprimento refe- Figura 10: Aplicação de polegadas. rem-se ao aspecto unidimensional da geome- tria. Porém este tipo de medida apresentava uma Adotou-se o metro linear como sendo o com- diferença muito grande entre os resultados obtidos. Para acabar com essa diferença, os primento equivalente à fração da dis- cientistas franceses, em 1795, adotaram um tância do Pólo Norte até a linha do Equador, sistema universal de medidas denominado sis- medida sobre o meridiano (figura 11). tema métrico decimal, que tem como unidade padrão o metro linear. EXERCÍCIOS1) Qual ente geométrico nos sugere: a) a capa de um livro? Figura 11: Metro linear (SILVEIRA, p. 246). b) uma corda esticada? c) um furo de agulha na roupa? Existem muitos instrumentos para medir com-2) Analisando a figura: primentos como fita métrica, metro de carpin- teiro, trena, régua de polegadas, etc. O sistema métrico decimal é um conjunto de unidades que deriva do metro e que aumenta Classifique as sentenças em falso (F) ou ver- ou diminui segundo potências de base dez. dadeiro (V): A unidade fundamental para medir comprimen- a) ( ) e são consecutivos. tos é o metro, que se indica por “m”. b) ( ) e são colineares. Para medir grandes extensões, como o com- c) ( ) e são consecutivos. primento de uma rua, ou de uma estrada, ou d) ( ) e são colineares. de um rio, utiliza-se como unidade um dos múltiplos do metro, e para medir pequenas ex- tensões, como a espessura de uma tábua, ou a largura de uma porta, ou o tamanho de uma régua, os submúltiplos são mais adequados. Os múltiplos e submúltiplos do metro são cha- mados de unidades secundárias de compri- mento, e sua variação é de potências de base dez, conforme o quadro 1. Quadro 1: Múltiplos e submúltiplos do metro. 81
  • 69. UEA – Licenciatura em Matemática As medidas nem sempre representam um nú- Quadro 3: Transformação de unidades. mero natural. Ele pode ser escrito na forma decimal ou fracionária.6.1 Leitura de comprimento Para fazer a leitura de medidas: 1) escrevem-se os algarismos no quadro de valor e lugar, localizando o último algarismo da parte inteira sob a sua respectiva unidade; EXERCÍCIOS 2) completam-se os demais algarismos nas suas respectivas casas; 1) Faça a leitura das seguintes medidas. 3) lê-se a parte inteira, como se lê um número natu- a) 8,7km c) 27,8cm ral, acompanhada da unidade em que se localiza b) 0,35m d) 0,08dm o último algarismo, e da mesma maneira faz-se com a parte decimal. 2) Expresse na unidade indicada: a) 25m em hm. Observação: Quando a parte inteira for zero, b) 36km em n. lê-se apenas a parte decimal. c) 68,2dm em hm. d) 73,5hm em dm. Quadro 2: Leitura de comprimento.6.2 Mudanças de unidade de comprimento Foi visto no quadro 1 que 100m equivale a 1 hm, então, pode-se escrever 1hm ou 100m. Para fazer a transformação de unidades, uti- liza-se o processo prático de transformação de unidades de comprimento. Para fazer a leitura de medidas: 1) Para passar de uma unidade a outra imediata- mente inferior, multiplica-se por 10, ou seja, des- loca-se a vírgula um algarismo para a direita. Exemplo: 3,48 dm = (3,48 x 10) cm = 34,8 cm 2) Para passar de uma unidade a outra imediata- mente superior, divide-se por 10, ou seja, deslo- ca-se a vírgula um algarismo para a esquerda. Exemplo: 86,5 dm = (86,5 : 10) m = 8,65 m 3) Para passar de uma unidade a qualquer outra unidade, aplicam-se sucessivas vezes um dos casos anteriores. Exemplo: 13,4 cm = (13,4 : 10) dm = (1,34 : 10) m = 0,134 m 82
  • 70. Matemática Elementar I – Geometria das formas e das medidas Note que a pizza divide a prateleira (o plano) em duas regiões sem pontos comuns: a re- TEMA 25 gião interior e a região exterior. E mais, exis- tem pontos na região interior, como A e B, tal CURVAS ABERTAS E FECHADAS. REGIÕES que o segmento determinado por esses pon- CONVEXAS. ÂNGULO. POLÍGONOS tos não está contido na região. Nesse caso,7. Curvas Abertas e Fechadas diz-se que a região (da pizza) é côncava. Se o segmento que une dois pontos quaisquer da Ao nosso redor, podem ser encontrados diver- região interior está contido nessa região, como sos exemplos de curvas abertas e fechadas. o diz-se que a região é convexa. No nosso alfabeto e no nosso sistema de Exemplos: numeração, por exemplo, várias letras e núme- ros são escritos por meio de curvas. As estra- das não-retilíneas também nos dão a idéia de curvas. As curvas abertas ou fechadas podem ainda Figura 13: Conjuntos convexos e não-convexos. ser classificadas em simples ou não-simples. As curvas simples caracterizam-se por não se Agora que você já viu os conceitos primitivos e cruzarem, enquanto que as curvas não-sim- os segmentos, faz-se necessário medir a incli- ples caracterizam-se por se cruzarem, confor- nação que um segmento faz em relação a ou- me mostra o quadro 4. tro segmento. Quadro 4: Curvas abertas e curvas fechadas. 9. Ângulo Existem diversos objetos, construções que possuem ou não uma certa inclinação, como mostra as figuras 14 e 15. Quando uma curva é formada apenas por seg- mentos de reta consecutivos e não-colineares, ela é chamada de linha poligonal. Exemplo: Figura 14: Teatro Amazonas.8. Regiões convexas Observe a figura 12: Figura 12: Regiões convexas (IMENES, p. 163). Figura 15: Torre de Pisa, Itália. 83
  • 71. UEA – Licenciatura em Matemática Os pilares verticais que sustentam o Teatro, o De acordo com a figura 19, tem-se: arco de sua fachada, a inclinação da torre de Pisa em relação ao solo dão-nos idéia de ân- a) medida de AÔB = 20o. Indica-se: m(AÔB) = 20o. O gulo. ângulo cuja medida é menor que 90o é chamado ângulo agudo; b) m(AÔE) = 140o. O ângulo cuja medida é maior que 90o é chamado ângulo obtuso; c) m(AÔF) = 180o (medida do ângulo referente à ar- cada superior do Teatro). O ângulo cuja medida é igual a 180o é chamado ângulo raso; Figura 16: Ângulo. d) m(AÔD) = 90o (medida do ângulo referente aos pilares do Teatro). O ângulo cuja medida é 90o é A reunião de duas semi-retas distintas de mes- chamado ângulo reto; ma origem chama-se ângulo. e) m(AÔA) = 0o. O ângulo cuja medida é igual a 0o é Comparando com os exemplos do teatro e da chamado de ângulo nulo. torre de Pisa têm-se as seguintes represen- tações gráficas de ângulos: 9.1 Submúltiplos do grau Os submúltiplos do grau, que estão como as unidades de tempo numa relação sexagesimal (isto é, de 60 em 60), são o minuto-ângulo (’) ou somente minuto, e o segundo-ângulo (”) ou Figura 17: Ângulos do Teatro. somente segundo. Então: 1 grau é igual a 60 minutos: 1o = 60’ 1 minuto é igual a 60 segundos: 1’ = 60” Como: 1o = 60’ e 1’ = 60”, temos que: Figura 18: Ângulos da torre de Pisa. 1o = 60. 60” = 3 600” Para transformar graus em minutos, basta mul- Um transferidor é um instrumento utilizado pa- tiplicar por 60; e para transformar graus em ra medir ângulos (figura 19). Ele é dividido em segundos, basta multiplicar por 3600. 180 partes de medidas iguais, e cada uma des- sas partes é chamada grau. Inversamente, para transformar minutos em graus basta dividir por 60; e para transformar segundos, em graus basta dividir por 3600. 1’ = do grau; 1” = do minuto; 1” = do grau. Exemplos: Figura 19: Transferidor (BIANCHIMI, 1995, p. 158). 1)Transformar: a) 3o em minutos Como: 3o = 3 × 60’ = 180’ b) 84” em minutos Figura 20: Grau (GIOVANI, 2002, p. 177). 84
  • 72. Matemática Elementar I – Geometria das formas e das medidas9.2 Ângulos congruentes minutos e graus de graus. Em alguns casos, de- vem-se fazer transformações para realizar as sub- Considere os ângulos A C e DÊF. trações. Exemplos: a) 48o 20’ 15” − 17o 7’ 8” Observe que possuem medidas iguais, isto é: m(A C) = 30o e m(DÊF) = 30o. b) 58o 55’ 18” + 37o 59’ 42’ Portanto ângulos com medidas iguais são de- nominados congruentes. Logo: m(A C) = m(DÊF) ⇔ A C ≅ DÊF9.3 Bissetriz de um ângulo 3) Multiplicação por um número natural Bissetriz de um ângulo é a semi-reta, de ori- Para multiplicar uma medida de ângulo por um gem no vértice do ângulo, que o divide em dois número natural, deve-se multiplicar esse número ângulos congruentes. pelos segundos, minutos e graus, fazendo a sim- plificação, quando necessário. Exemplos: a) 42o 20’ 17” × 2 é a bissetriz do AÔB ⇔ m(AÔB) = m(XÔB)9.4 Operações com medidas de ângulo b) 28o 29’ 35” × 4 1) Adição Para adicionar duas ou mais medidas de ângu- los, devem-se adicionar segundos com segun- dos, minutos com minutos e graus com graus. Exemplos: a) 24o 35’ 15” + 13o 18’ 37” 4) Divisão por um número natural Para dividir uma medida de ângulo por um nú- mero natural, deve-se dividir esse número pelos b) 47o 33’ 45” + 28o 45’ segundos, minutos e graus, fazendo a simplifica- ção, quando necessário. Exemplos: a) 58o 28’ 36” : 2 b) 44o 16’ 2” : 7 2) Subtração Para subtrair duas medidas de ângulos, devem- se subtrair segundos de segundos, minutos de 85
  • 73. UEA – Licenciatura em Matemática10. Polígonos 10.1 Região poligonal convexa Você pode identificar os polígonos na natureza. Quando a região interior do polígono é con- Por exemplo, o formato dos favos de mel fabri- vexa, ele é chamado de polígono convexo. cados pelas abelhas é muito bom para guar- Caso contrário, ele é chamado de polígono dar objetos com grande economia de espaço. não-convexo. Os blocos de calçamento e suportes de garra- Quadro 5: Polígonos convexos e côncavos. fas são utilizados para o armazenamento de bebidas alcoólicas em adegas. Esse mesmo formato também é encontrado na cabeça de um tipo de parafuso chamado pelos mecânicos de sextavado, e na geometria, de hexagonal. Lados e vértices do polígono Os segmentos , , e são os lados dos polígonos do quadro 5. Figura 21: Utilização dos polígonos no dia-a-dia. Os pontos A, B, C, D e E são seus vértices. A partir de agora, todo polígono convexo será Além da forma hexagonal, outras formas de chamado apenas de polígono. polígonos são utilizadas em revestimento de pisos e paredes de uma casa. 10.2 Classificação dos polígonos Diz uma lenda que, na antiga China, um rapaz resolveu viajar mundo afora. Ao se despedir de A classificação dos polígonos é dada de acor- seu velho mestre, este lhe deu um simples la- do com o número de lados, como mostra o drilho quadrado, dizendo: quadro 6. – Vá e use-o para registrar tudo o que valer a pena. Quadro 6: Classificação dos polígonos. O rapaz se foi, mas não tinha idéia de como atender ao pedido do mestre. Para piorar, o la- drilho caiu e se quebrou, aparecendo as sete figuras geométricas, como mostra a figura 22. Figura 22: Sete peças do tangram (PATILLA, 1995, p.13). 10.3 Polígonos regulares Um polígono é regular quando tem os lados e Figura 23: Figuras formadas com tangram ângulos congruentes, ou seja, tem a mesma (IMENES 199, p.217). medida. Caso contrário, o polígono é irregu- Toda linha poligonal fechada simples é cha- lar. Veja, no quadro 7, alguns exemplos de mada polígono. polígonos regulares e irregulares. 86
  • 74. Matemática Elementar I – Geometria das formas e das medidas Quadro 7: Polígonos regulares e irregulares (Telecurso 2000). TEMA 26 POLÍGONOS: TRIÂNGULOS, QUADRILÁTEROS E PERÍMETRO 10.4 Triângulos 1) Classificação dos triângulos quanto aos lados Ao seu redor, você perceberá que existem di- ferentes tipos de triângulos, como mostra a figu- ra 24. Figura 24: Diferentes triângulos no dia-a-dia. Os triângulos podem ser classificados de acor- do com as medidas de seus lados (figura 25) e EXERCÍCIOS de acordo com a medida de seus ângulos (figu- ra 26).1) Classifique em agudo, obtuso, reto ou raso, os seguintes ângulos: a) 45o b) 130o c) 180o d) 90o Figura 25: Classificação dos triângulos quanto aos lados.2) João deu ao seu irmão um barco de papel. Eqüilátero – quando os lados do triângulo têm Identifique os polígonos e classifique-os quan- a mesma medida, ou seja, são congruentes. to ao número de lados e em convexos ou não- Isósceles – quando apenas dois lados do triân- convexos. gulo são congruentes. Escaleno – quando os três lados do triângulo têm medidas diferentes. 2) Classificação dos triângulos quanto aos ân- gulos Quanto aos ângulos, os triângulos classificam- se em:3) Transforme: a) 50o em minutos b) 80’ em segundos c) 122 400” em grau4) Calcule: Figura 26: Classificação dos triângulos quanto aos ângulos. a) 21 54’ 51” + 28 45’ 15” o o Retângulo – quando o triângulo tem um ângulo b) 78o − 42o 20’ reto. c) 45o 54’ 52” × 5 Acutângulo – quando o triângulo tem os três d) 351o 45’ 35” : 7 ângulos agudos. Obtusângulo – quando o triângulo tem um ângulo obtuso. 87
  • 75. UEA – Licenciatura em Matemática 3) Elementos do triâgulo Observe que, na 3.a coluna (quadro 8), aparece uma propriedade comum a todas as figuras, ou seja, as quatro possuem dois pares de lados opostos paralelos. Por isso, são chamadas de paralelogramos. Figura 27: Elementos do triângulo. 11. Perímetro de um polígono10.5 Quadriláteros Quando uma costureira quer colocar renda 1) Classificação dos quadriláteros quanto aos ao redor de um retalho quadrado de pano, lados para saber quantos metros de renda irá pre- Ao seu redor, existem vários objetos cujos con- cisar ela deverá calcular o perímetro desse tornos representam os quadriláteros. retalho. Veja alguns exemplos: Perímetro é a soma das medidas de todos os seus lados e geralmente é representado por “2p”. Semiperímetro é a metade do períme- tro e é representado por “p”. Observação: O perímetro do polígono é ape- Figura 28: Quadriláteros utilizados no dia-a-dia. nas o seu contorno, ao passo que a área é a união do contorno com a sua região interna. Você percebeu a existência de alguns desses Exemplo: quadriláteros: Figura 29: Quadriláteros. Figura 30: Perímetro. Paralelogramo – tem os lados opostos parale- los. Ex.: losango, retângulo e quadrado. Quadro 9: Perímetro. Losango – tem os quatro lados com medidas iguais. Retângulo – tem os quatro ângulos retos. Quadrado – tem os quatro ângulos retos e os quatro lados com mesma medida. Trapézio – tem apenas dois lados paralelos. Veja um resumo das características (proprieda- des) dessas figuras no quadro 8. Logo, o perímetro desse polígono é 23,5 cm. Quadro 8: Propriedades dos Quadriláteros. 88
  • 76. Matemática Elementar I – Geometria das formas e das medidas11.1 Perímetro de figuras geométricas planas b) Quando uma medida de comprimento é dividi- da por outra medida de comprimento de mes- ma unidade, então, obtém-se uma constante numérica. Exemplo: Quero dividir um rolo de corda de 36 metros, de tal forma que cada pedaço tenha 4m. Quantos Figura 31: Perímetro de figuras planas. pedaços serão obtidos? Solução: 36m : 4m = 9 Exemplo: Logo, terei 9 pedaços. Um terreno retangular medindo 40,4m de frente por 35,25m de lateral precisa ser cerca- da. Quantos metros de cerca terão que ser EXERCÍCIOS feitos? 1) Observe os triângulos abaixo e classifique-os Solução: quanto aos ângulos e quanto aos lados: Como perímetro é a soma de todos os lados, e o retângulo tem lados congruentes, dois a dois, então, teremos a medida da frente igual ao do fundo e as medidas das duas laterais iguais. Assim, tem-se: 2p = 40,4m + 40,4m + 35,25m + 35,25m (quadro 8) ou 2p = 2 × 40,4m + 2 × 35,25m ou 2p = 2 × (40,4m + 35,25m) Quadro 10: Perímetro do retângulo. 2) Classifique as sentenças em V ou F: a) ( ) Todo paralelogramo é quadrilátero. b) ( ) Todo retângulo é paralelogramo. c) ( ) Todo losango é um quadrado. 3) Desenhe: Logo, terão que ser feitos 151,30m de cerca. a) Um quadrilátero com quatro lados congruentes Observações: que não seja um quadrado. Escreva o nome da a) Para que a medida de comprimento com sua figura. unidade não deixe de ser comprimento, deve-se b) Um quadrilátero com quatro ângulos congruen- multiplicar ou dividir esta medida apenas por tes que não seja um quadrado. Escreva o nome um número real. da figura. c) Um quadrilátero que tenha somente dois ângulos Exemplos: retos. Escreva o nome da figura. 1) Uma estrada foi pavimentada em 60,5km. O governo decidiu triplicar essa pavimentação. 4) Na figura abaixo, determine o perímetro. Quantos quilômetros da estrada foram pavi- mentados no total? Solução: 60,5km × 3 = 181,5km 2) Um pai quer dividir um rolo de fio de pipa que mede 35m entre seus 4 filhos. Quantos me- tros de fio receberá cada um? Solução: 35m : 4 = 8,75m Logo, cada um receberá 8,75m 89
  • 77. UEA – Licenciatura em Matemática5) Um terreno retangular tem 32,5m de frente por 40m de lateral e precisa ser cercado. Quantos TEMA 27 metros de cerca será necessário fazer?6) Patrícia quer dividir uma corda de 40cm com MEDIDAS DE SUPERFÍCIE suas amiguinhas, de tal forma que cada peda- 12. Medidas de superfície ço tenha 5cm. Com quantas amiguinhas po- derá dividir a corda? As medidas de superfície referem-se ao as-7) Um heptágono tem cada lado medindo 2cm. pecto bidimensional da geometria e são utili- Calcule o perímetro desse heptágono. zadas no cálculo de área. Freqüentemente, deparamo-nos com as frases: “a área de preservação ambiental foi invadida”, “houve um aumento na área de plantação de melan- cia no município de Manicoré”, “vende-se um terreno com 250m2 ”, “Amazonas é o maior estado brasileiro em extensão territorial com uma área de 1 564 455km2”, etc. Mas o que vem a ser área? A área é um número que expressa medida da superfície. Da mesma maneira como se mede o compri- mento, mede-se a área, isto é, verifica-se quantas vezes a unidade de área cabe naque- la figura. Na figura abaixo, tomando como unidade um de dimensão 1m × 1m (largu- ra × comprimento), veja quantas vezes o cabe na figura desenhada no quadriculado (figura 32). Figura 32: Área. Couberam 23 , pois 2 equivalem a um . Então, diz-se que a área da figura 32 é 23 . A unidade fundamental para medir superfícies é o metro quadrado “m2”. O metro quadrado é a superfície de um quadrado de um metro de lado. Observação: Se duas medidas de comprimento forem mul- tiplicadas, o produto dessas medidas não será mais medida de comprimento, e sim, medida da área. 90
  • 78. Matemática Elementar I – Geometria das formas e das medidas12.1 Leitura e transformação das medidas de Processo prático de transformação de uni- superfície dades de área: A conversão dos múltiplos e submúltiplos da 1) Para passar de uma unidade a outra imediata- mente inferior, multiplica-se por 100, ou seja, unidade de área é de potência de base cem, desloca-se a vírgula dois algarismos para a dire- pois esta envolve duas dimensões. ita. Para medir grandes superfícies como a área Exemplo: que o Amazonas ocupa no Brasil, utilizamos 3,48dm2 = (3,48 × 100)cm2 = 348cm2. os múltiplos, e para medir pequenas superfí- 2) Para passar de uma unidade a outra imediata- cies, como azulejos, cerâmicas que servem mente superior, divide-se por 100, ou seja, des- para revestir um piso ou uma parede, ou área loca-se a vírgula dois algarismos para a esquer- do tampo de uma carteira usamos os sub- da. múltiplos. Exemplo: Para medir grandes porções de terra como 5,67dm2 = (5,67 : 100)m2 = 0,0567m2. sítios e fazendas, é comum utilizar as unida- 3) Para passar de uma unidade a qualquer outra, des agrárias: o centiare (ca), o are (a) e o aplica-se sucessivas vezes um dos casos. hectare (ha). 1 centiare (ca) = 1 m2 1 are (a) = 1 dam2 = 100 m2 EXERCÍCIOS 1 hectare (ha)) = 1 hm = 10 000 m 2 2 1) Transforme e escreva a leitura: Hectare é a mais usada. a) 4,55cm2 em m2 . Em alguns estados do Brasil, uma unidade b) 23,56hm2 em km2 não legal chamada alqueire é utilizada: c) 0,67mm2 em hm2 Alqueire mineiro = 48 400 m2 d) 106,78m2 em dm2 Alqueire paulista = 24 200 m2 Quadro 11: Múltiplos, submúltiplos e transformação de unidades de área. 91
  • 79. UEA – Licenciatura em Matemática 5) Área do trapézio (ATRA) é a metade do produto da base média pela altura. TEMA 28 ÁREA DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS12.2 Área das principais figuras planas 1) Área do retângulo (AR) é o produto da medida da base pela medida da altura. Figura 37: Área do trapézio. 6) Área do losango (AL) é a metade do produto da medida da diagonal maior pela medida da dia- Figura 33: Área do retângulo. gonal menor. 2) Área do quadrado (AQ) é o produto das medi- das dos lados. Figura 34: Área do quadrado. Figura 38: Área do losango. 3) Área do paralelogramo (AP) é o produto da 7) Área do polígono regular (APR): todo polígono medida da base pela medida da altura. regular decompõe-se em vários triângulos (figu- ra 38). Como a área do triângulo OBC é dada por , basta multiplicar esta área pelo nú- mero de triângulos “n”. A medida “a” é a altura do triângulo OBC ou apótema do polígono re- gular. Apótema é o segmento cujas extremida- des são o centro do polígono regular e o ponto Figura 35: Área do paralelogramo. médio do lado. 4) Área do triângulo (ATRI) é a metade do produto da medida da base pela medida da altura. Figura 36: Área do triângulo. Figura 39: Área do polígono regular. 92
  • 80. Matemática Elementar I – Geometria das formas e das medidas EXERCÍCIOS 5) Um vitral é composto de 80 peças triangulares iguais, de base 25cm e altura 16cm. Qual é, em1) No circo, há um trapézio conforme a figura metros quadrados, a área desse vitral? abaixo. Calcule a sua área.2) A medida da superfície do Distrito Federal é 5 822km2. Qual é a medida dessa superfície em hectares? Figura 43: Área de um vitral. Fonte: www.todoslosangeles.homestead.com Figura 40: Área do Distrito Federal. Fonte: www.sac.org.br4) A medida da superfície do Parque do Mindu, situado em Manaus, no Bairro Parque Dez de Novembro, é de 33ha. Qual é a medida dessa superfície em metros quadrados. Figura 41: Área do Parque do Mindu. Fonte: www.arcoweb.com.br4) Um piso quadrado de cerâmica tem 15cm de lado. a) Qual é a área desse piso? b) Quantos pisos são necessários para assoalhar uma sala de 45m2 de área? Figura 42: Área do piso de uma sala. Fonte: www.bellagres.com.br 93
  • 81. UEA – Licenciatura em Matemática Da mesma maneira como são medidos o comprimento e a área, mede-se o volume, TEMA 29 isto é, verifica-se quantas vezes a unidade de volume cabe naquele sólido. Na figura 45, VOLUMES DE SÓLIDOS. MEDIDAS tomando como unidade um , veja quantas DE CAPACIDADES E MASSAS vezes o cabe na figura desenhada.13. Volumes de sólidos O volume refere-se ao aspecto tridimensional da geometria, sendo utilizado em várias situa- ções do dia-a-dia. Todo mês, a grande maioria recebe em sua Figura 45: Volume. residência a fatura referente ao consumo de Note que, no sólido da figura 45, cabem 90 . água. E nela vem o registro do volume de A unidade fundamental para medir volume é água consumida, indicado em m3. Pode-se o metro cúbico “m3”. O metro cúbico é um observar que, ao colocar a caixa d’água no cubo de um metro de aresta (figura 46). chão, apenas o fundo ficou sobre o chão e as outras partes ficaram fora. Isso significa que o objeto como a caixa d’água, não é uma figu- ra plana e sim uma figura espacial. Esses objetos são chamados de sólidos. Sólido é o corpo que tem três dimensões e é Figura 46: Metro cúbico. limitado por superfícies fechadas. Como o volume envolve três dimensões, a Além da caixa d’água existem mais exemplos conversão dos múltiplos e submúltiplos da de sólidos na figura 44. unidade de volume é de potência de base mil, conforme o quadro 12. Processo prático de transformação de uni- dades de volume: 1) Para passar de uma unidade a outra imediata- mente inferior, multiplica-se por 1000, ou seja, des- Figura : Utilização dos polígonos no dia-a-dia. loca-se a vírgula três algarismos para a direita. Quadro 12: Leitura e transformação de unidades de volume. 94
  • 82. Matemática Elementar I – Geometria das formas e das medidas Exemplo: Capacidade da caixa d’água = 4 000 litros 3,46dm3 = (3,46 × 1000)cm3 = 3460cm3 Veja as duas definições abaixo: 2) Para passar de uma unidade a outra imediata- Massa é a quantidade de matéria que for- mente superior, divide-se por 1000, ou seja, des- ma um corpo. A massa é constante em locase a vírgula três algarismos para a esquerda. qualquer lugar, seja na Terra ou na Lua. Exemplo: 86,3dm3 = (86,3 : 1000)m3 = 0,0863m3 Peso é a força que age sobre um corpo 3) Para passar de uma unidade a qualquer outra para o centro da Terra. Logo, o lugar onde aplica-se sucessivas vezes um dos casos. se encontra o corpo influi no peso. Normalmente, pergunta-se: qual é o seu pe-14. Medidas de capacidade e massas so? Na realidade, a pergunta deveria ser O líquido ou gás ocupa o espaço do recipien- “qual é a massa do seu corpo?”. te que o contém. O volume interior de um re- O instrumento utilizado para medir a massa cipiente é a capacidade. de um corpo é a balança (figura 49a) e para Quando se compra um galão de água, nor- medir o peso do corpo, isto é, a força com malmente, este contém 20l. Quando se afir- que a teria atrai os corpos, é usado o dina- ma que o galão tem 20l significa que todo mômetro (figura 49b). o conteúdo pode ser armazenado em um prisma de 20dm3, ou seja, em uma caixa de dimensões 2dm × 2dm × 5dm (comprimen- to × largura × altura) ,veja a figura 47. Figura 49a: Instrumento para medir massa (SILVEIRA, 2000, p. 293). Figura 49b: Instrumento para medir peso (SILVEIRA, 2000, p. 294). Figura 47: Capacidade. A unidade fundamental para medir a capaci- Exemplo: dade é o litro, e para medir a massa é o 1) Para encher uma caixa d’água de 2 metros de quilograma. O grama é um submúltiplo do comprimento por 2 metros de largura e 1 metro quilograma, mas aqui no nosso estudo de profundidade, foram necessários 4 000 litros vamos tomar como unidade de referência o de água. “grama”, para que fique um estudo análogo aos demais. Para medir grandes capacidades ou massas, são utilizados os múltiplos; e os submúltiplos para medir pequenas capacidades ou mas- Figura 36: Área do triângulo. sas. A leitura e a transformação de unidades Volume da caixa d’água: procede-se da mesma forma que a do com- 2 m x 2 m x 1 m = 4 m3 primento. Quadro 13: Múltiplos e submúltiplos de capacidade. 95
  • 83. UEA – Licenciatura em Matemática Quadro 14: Múltiplos e submúltiplos de massa. Além dessas unidades, para medir grandes EXERCÍCIOS quantidades de massa usamos: 1) Escolha uma embalagem com formato de 1 arroba = 15kg paralelepípedo, meça as arestas e calcule o 1 tonelada ( t ) = 1000kg volume. o megaton = 1000t 2) Calcule a capacidade mínima, em metros cúbi- cos, de uma caixa em que caiba a televisão de Para metais e pedras preciosas, ou semi pre- sua casa. ciosas, usa-se o quilate que equivale a 0,2g. 3) Faça a leitura das seguintes medidas: Uma relação importante: a) 0,94km3 Uma maneira simples para descobrir a massa b) 2,779m3 c) 19,5dal de um litro de água é, antes de despejar em d) 0,08dg uma caixa de papelão com um decímetro de aresta,“pesá-la” numa balança. Anotar o valor 4) Expresse na unidade indicada: da massa da caixa vazia. Depois, anotar o a) 0,451dm3 em m3 b) 0,04dm3 em cm3 valor da massa da caixa com a água e calcu- c) 36kg em g lar a diferença entre a massa da caixa com a d) 73,5hl em dl água e da caixa vazia. O valor encontrado 5) Um reservatório de água tem as seguintes será o valor da massa da água. dimensões internas: 1,20m de comprimento, Se a água estiver a uma temperatura de 4o C, 80cm de largura e 50cm de altura. Sabendo encontra-se um valor próximo de 1kg. que faltam 5cm para encher totalmente esse Como toda experiência requer calma, deve- reservatório, responda: se ter cuidado em todas as etapas. Assim, a) Quantos litros de água há no reservatório? b) Qual a massa, em quilogramas, de água que há tem-se o quadro 15 relacionando volume com no reservatório? capacidade e massa da água a uma temper- atura de 4o C. Quadro 15: Relação entre volume, capacidade e massa. Exemplo: Um recipiente, totalmente cheio, contém um volume de 8m3 de água pura. Quantos quilo- gramas de água há nesse recipiente. 8m3 = ( 8 × 1000)dm3 = 8 000dm3 Como 1dm3 de água tem 1kg, então 8 000dm3 de água têm 8 000kg. 96
  • 84. Matemática Elementar I – Geometria das formas e das medidas 2) Planificação do prisma TEMA 30 Para obter as áreas das superfícies que envol- vem um determinado sólido, é necessário re- SÓLIDOS GEOMÉTRICOS. presentar o sólido que está no espaço (tridi- PRISMAS E PIRÂMIDES mensional) para o plano (bidimensional). Tal processo é conhecido como planificação do15. Sólidos geométricos sólido, podendo ser realizado de forma que a Todo ser e todo objeto é constituído de ma- superfície externa do sólido seja feita de téria e ocupa um certo espaço. papelão ou algum outro material. Figura 50: Objetos de formas diferentes. Os seres e objetos têm, em geral, uma forma Figura 54: Planificação do prisma. complexa. Os objetos de forma mais com- plexa são os sólidos geométricos. Os sólidos Portanto, um sólido formado por todos os pon- geométricos de maior interesse são: prismas, tos do espaço localizados dentro dos planos pirâmides, cilindro e cones. que contêm as faces laterais e os planos das bases. 3) Classificação dos prismas Os prismas classificam-se de acordo com o polígono da base (quadro 18). Quadro 18: Classificação dos prismas. Figura 51: Sólidos geométricos.15.1 Prismas São exemplos de prismas as seguintes em- balagens: Exemplo: Figura 52: Noções de prismas (IMENES, 1999, p. 212). 1) Elementos do prisma Figura 55: Prismas triangular e hexagonal. Um prisma regular é aquele cujos polígonos das bases são regulares. Ex.: prisma triangular, hexagonal, etc. Chama-se paralelepípedo todo prisma cujos Figura 51: Sólidos geométricas. polígonos das bases são paralelogramos. 97
  • 85. UEA – Licenciatura em Matemática 4) Área e volume do prisma Pirâmides foram também construídas por ou- tros povos, como os maias, na América Cen- Área total = n × A fl + 2 × A b, onde A fl é área tral, entre 300 e 900 d.C., e, mais tarde, pelos das faces laterais e A b é a área da base. Volume do prisma = A b . h, onde h = altura. astecas. Eram usadas como templos para adoração ao Sol, à Lua e aos seus deuses da Casos especiais: chuva. Cubo 1) Elementos da pirâmide Figura 56: Volume do cubo. Paralelepípedo retângulo Figura 59: Elementos da pirâmide. 2) Planificação da pirâmide Figura 57: Volume do paralelepípedo retângulo. Figura 60: Planificação da pirâmide.15.2 Pirâmides 3) Classificação das pirâmides As pirâmides mais famosas foram construídas no Egito antigo por volta de 2600 a 2500 a.C. Quadro 19: Classificação das pirâmides. Elas eram utilizadas para sepultar famílias reais. As pirâmides de Gizé existem até hoje e são formadas por um conjunto de nove pi- râmides construídas pelos faraós Quéops, Quéfrem e Miquerinos. A mais alta chama-se Quéops e mede 138 metros de altura. O his- toriador grego Heródoto, escrevendo 2400 Por exemplo, na figura 59 tem-se uma pirâmide anos atrás, calculou que 100.000 homens tra- pentagonal e, na figura 60, tem-se uma pirâmi- balharam durante 20 anos para completar a construção da Grande Pirâmide. Também é de quadrangular. calculado que foram usados 2,3 milhões de 4) Área na pirâmide e volume da pirâmide blocos de pedra para construí-la, cada bloco pesando 2,5 toneladas. Figura 58: As pirâmides do Egito. 98
  • 86. Matemática Elementar I – Geometria das formas e das medidas Por exemplo, na figura 59 tem-se uma pirâmide pentagonal e na figura 60 tem-se uma pirâmide TEMA 31 quadrangular. SÓLIDOS GEOMÉTRICOS. CORPOS REDONDOS: CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO 15.3 Corpos redondos Corpos redondos são corpos que rolam quando suas superfícies laterais estão apoia- das sobre alguma outra superfície inclinada. Analisando a figura a seguir, você identifica que os sólidos representados pelas letras A e B deslizam sobre a superfície da rampa, fato EXERCÍCIOS que não acontece com o sólido representado1) Em um prisma reto hexagonal regular, a aresta pela letra C. Logo, os sólidos A e B são cor- da base mede 3cm, a aresta da face lateral pos redondos. mede 6cm e a área de cada triângulo que for- ma o polígono da base é cm2. Pede-se: a) Calcular a área total. b) Calcular o volume.2) A figura 61 apresenta a planificação de um Figura 62: Corpos redondos. prisma triangular. Calcular sua área total e seu volume. O sólido A da figura 62 é chamado de cone, e o B é chamado de cilindro. Em todos os cilindros, existe a figura geomé- trica chamada de círculo (base do cilindro) e a circunferência. Circunferência é o conjunto de pontos do plano eqüidistante de um ponto fixo desse plano. Figura 61: Planificação de um prisma traingular. Figura 63: Círculo × cilindro.3) Determine o volume de uma pirâmide cuja ba- se é uma região retangular de 5cm por 6cm e 1) Comprimento da circunferência cuja altura é de 9cm. Cortando a circunferência da figura 64 em um ponto, torna-se fácil medi-la. O segmento é o comprimento da circunferência de centro O. Figura 64: Comprimento da circunferência (CASTRUCI, 1985, p. 174). 99
  • 87. UEA – Licenciatura em Matemática No quadro 19, foram anotadas algumas medi- desta bicicleta equivale a uma distância de das dos comprimentos e diâmetros de várias aproximadamente 1 metro e 88 centímetros. circunferências. Na última coluna, dividiu-se 2) Área do Círculo cada medida obtida do comprimento (C) pela medida do diâmetro correspondente (d). Da mesma forma que o comprimento da circun- ferência, a área do círculo depende da medida Quadro 19: Relação entre o comprimento e o diâmetro de objetos circulares. de seu raio. Divide-se o círculo em 16 partes iguais. Cada uma destas partes é denominada setor circular. Faça você mesmo mais algumas medidas e verifique se o resultado da divisão C por d é sempre um número um pouco maior do que 3. Quanto mais precisas forem sua medidas, mais próximo você estará de um número constante Figura 66: Divisão do círculo em 16 partes iguais. conhecido como número pi, cujo símbolo é π. Tomando a metade destes setores e rearruman- O número π é um número irracional cujo valor do-os obtém-se a figura 76. A outra metade po- aproximado é 3,14. Na verdade, este número de ser encaixada sobre esta, de forma a não possui infinitas casas decimais, mas, na prática, deixar espaços vazios. utiliza-se apenas uma aproximação de seu valor. π = 3,14159265358979323846264... π ≅ 3,14 A partir deste resultado, obtém-se uma expres- são geral: Figura 67: Método para cálculo da área do círculo. =π A figura 67 ainda não é um quadrilátero, pois C=πd dois de seus lados são formados por arcos C=2πr sucessivos e não por segmentos de reta. No C=2πr entanto pode-se dividir nosso círculo em seto- res circulares cada vez menores: Exemplo: Qual o comprimento da roda de uma bicicleta de aro 26? Uma bicicleta de aro 26 tem o raio de sua roda medindo 30cm. Figura 68: Área do círculo × área do retângulo. Note que a figura 68 aproxima-se muito mais de um retângulo de altura igual ao raio e compri- mento igual à metade do comprimento da cir- Figura 65: Comprimento da roda cunferência deste círculo. de uma bicicleta (Telecurso 2000). Área do circulo ≅ área do retângulo. Observe este resultado: 188,40cm = 1,884m. A=πr.r Isso significa que uma volta completa da roda A = π r2 100
  • 88. Matemática Elementar I – Geometria das formas e das medidas EXERCÍCIOS1) Quantos círculos de raio igual a 10cm pode- TEMA 32 rão ser cortados em uma cartolina de 70 cm por 50cm? SÓLIDOS GEOMÉTRICOS. CORPOS REDONDOS: CILINDRO E CONE2) Uma praça circular tem raio igual a 4m. Qual o comprimento da circunferência que limita a 3) Cilindro praça e qual sua área? Os objetos cilíndricos podem ser encontrados em quase todos os lugares. Por exemplo, a3) Na figura a seguir, tem-se 2 círculos concên- maioria das latas encontradas nas prateleiras tricos (mesmo centro) com raios 5cm e 3cm. dos supermercados; as moedas, que são co- Qual a área da região sombreada? nhecidas como cilindros chatos; as colunas ci- líndricas utilizadas para sustentar o teto de cer- tas construções, etc. Elementos do cilindro Figura 69: Elementos do cilindro. Planificação do cilindro Figura 70: Planificação do cilindro. Observe na figura 70 que para calcular a área do cilindro faz-se necessário calcular a área da base e a área lateral. E, para isso, é preciso co- nhecer o comprimento da circunferência e a área do círculo. Uma vez que se tem a área do retângulo e a área do círculo, pode-se obter a área no cilin- dro, pois, planificando-o, sua lateral é um retân- gulo cuja altura é a mesma do cilindro e cujo comprimento é igual ao da circunferência, e sua base e seu fundo correspondem a 2 círculos (figura 71). Área no cilindro e volume do cilindro Figura 71: Área no cilindro e volume do cilindro. 101
  • 89. UEA – Licenciatura em Matemática Exemplos: 4) Cone 1) Calcular a área lateral A l , área total A t e o vo- Observando a figura 73 a seguir, verifica-se que lume V de um cilindro reto de altura 10cm e todas elas têm uma característica em comum: a raio da base 5cm. forma do cone. Figura 73: Idéias do cone. Figura 72: Planificação do cilindro. Elementos do cone a) Usando a planificação do cilindro, tem-se: Área lateral A l = Área do retângulo com la- dos de 2 π . r , raio = 5cm e altura h = 10cm. A l = 2 π. r . h = 2 . π . 5 .10 = 10 . π .10 = 100 π cm2 A área de cada base é a área de um círcu- lo de raio 5 cm: Figura 74: Elementos do cone. A b = π r 2 = π. 5 2 = 25π cm2 Planificação do cone A área total A t = A l + 2 A b = 100π + 50π = 150π cm2 b) V = A b . H = 25π . 10 = 250 π cm3. 2) Calcule a área na lata e diga quantos litros de óleo cabem nesta lata. Figura 75: Planificação do cone. Fonte: http://pessoa Área do cone e volume do cone A b = π × 0,752 = 0, 5625πcm2 A l = 2 × π × 0,75 × 3 = 4,5 πcm2 Exemplo: Dado um cone circular de raio da ba- Área total = 2 × 0,5625 π + 4,5 π = se 3cm, geratriz 7cm e altura 2 cm. Cal- = 1,125 π + 4,5 π = 5,625 πcm 2 cular: Volume = 0,5625πcm2 × 3cm = 1,6875cm3 a) A área lateral do cone. b) A área total do cone. Transformando 1,6875cm3 para dm3, tem-se c) O volume do cone. 0,0016875dm . 3 Planificando a superfície do cone, temos: Como 1dm3 = 1l, então, cabem 0,0016875 l a) A área lateral A l = π . r . g = π . 3x 7 = 21πcm2 de óleo na lata. e A b = π r2 = π 32 = 9πcm2. 102
  • 90. Matemática Elementar I – Geometria das formas e das medidas b) A área total A t = A l + A b = 21π + 9π = 30πcm2 c) Volume = Ab . h Volume = × 9π . 2 = 6π cm3 EXERCÍCIOS1) Calcule o volume de duas latas de óleo com formatos diferentes.2) Qual é a capacidade de uma lata que tem a forma cilíndrica com 7cm de diâmetro e 14cm de altura?3) Analisando cada figura abaixo: a) Verifique se é um prisma, uma pirâmide, um cilin- dro ou um cone e classifique. b) Nos casos em que a figura for prisma ou pirâmi- de, identifique quais são as arestas laterais, faces laterais e arestas da base.4) Uma indústria de embalagens recebeu uma encomenda com a seguinte especificação: o conteúdo que seria colocado dentro da emba- lagem deveria ser na maior quantidade possí- vel. Qual dos modelos de embalagem é o mais adequado? 103
  • 91. UNIDADE VIIProporcionalidade
  • 92. Matemática Elementar I – Proporcionalidade Exemplos: TEMA 33 1) A razão entre 12 e 3 é 4, pois =4 RAZÕES E PROPORÇÕES 2) A razão entre 3 e 6 é 0,5, pois: = 0,51. Razão 3) Para preparar uma bebida na forma de suco, normalmente adicionamos A litros de suco con-1.1 Conceito de razão centrado a B litros de água. A relação entre a Numa pesquisa para conhecer a preferência quantidade de litros de suco concentrado e de dos leitores de um jornal local, foram obtidos água é um número real expresso como uma os seguintes dados: fração ou razão (que não tem unidade), é a ra- zão: Números de pessoas entrevistadas: 100 pes- soas ! Preferência pelo jornal A......................60 ! Preferência pelo jornal B......................30 ! Preferência pelo jornal C......................10 Pode-se comparar o número dos que têm pre- ferência pelo jornal A(60) com o número de Figura 1a: Idéia de razão entrevistados (100), dividindo 60 por 100. Fonte: www.catalogovirtual.com/luizacestas/novidades. = = 4) Em uma partida de basquete, um jogador faz 20 arremessos e acerta 10. Esse tipo de comparação entre dois números racionais é chamado razão. A razão também pode ser representada por 3 : 5. Lê-se ( três está para cinco) e indica que, de cada cinco pessoas entrevistadas, três têm preferência pelo jornal A. Figura 1b: Idéia de razão. Da mesma forma: Fonte: www.pessoal.sercomtel.com.br/matematica/index.html ! A razão entre os que preferem o jornal B e o É possível avaliar o aproveitamento desse jo- número de pessoas entrevistadas é: gador, dividindo o número de arremessos que = lê-se: 3 está para 10. ele acertou pelo total de arremessos, o que significa que o jogador acertou 1 para cada ! A razão entre os que preferem o jornal C e o dois arremessos, o que também pode ser número de pessoas entrevistadas é: pensado como o acerto de 0,5 para cada arremesso. = , lê-se: 1 está para 10 ou 1 para 10. = = 0,5 ! A razão entre os que preferem o jornal A e o número dos que preferem o jornal B é: 1.2 Nomes especiais dos termos da razão = = , lê-se: 2 está para 1 ou 2 para 1. A razão é representada por um número racio- nal, mas é lida de modo diferente. Veja: Na fração: 107
  • 93. UEA – Licenciatura em Matemática Na razão: Outros exemplos: 1) A razão inversa de é . 2) A razão inversa de é . 1.5 Aplicações das razões1.3 Razão entre duas grandezas de mesma es- Existem algumas razões especiais muito uti- pécie lizadas em nosso cotidiano como: velocidade Observe o retângulo e determine: média, escala, densidade demográfica e densi- dade de um corpo. 1) Velocidade Média A velocidade média, em geral, é uma grandeza obtida pela razão entre uma distância percorrida (expressa em quilômetros ou metros) e um tem- po gasto para percorrê-la (expresso em horas, minutos ou segundos). a) A razão entre a base e a altura do retângulo: vmédia = Exemplo: Note que a base mede da altura. Suponha que um carro de Fórmula MAT percor- reu 328km em 2 h. Qual foi a velocidade média do Como =1 , tem-se que a base mede 1 veículo nesse percurso? da altura. Figura 2: Velocidade média. b) A razão entre a altura e o perímetro do retângulo: Fonte: www. bestlap.com.br A partir dos dados do problema, tem-se: Utilizando o raciocínio anterior, o perímetro mede vmédia = = 164km/h 5 vezes a altura. Significa que a velocidade média do veículo du-1.4 Razão inversas rante a corrida foi de 164km/h, ou seja, se o carro tivesse que percorrer 328km em 2h, com a mes- Considerando as razões e observe que: ma velocidade, essa velocidade seria 164km/h. ! O antecedente da primeira é igual ao conse- qüente da segunda. 2) Escala ! O conseqüente da primeira é igual ao antece- No caso de mapas geográficos, plantas de casas dente da segunda. ou maquetes de projetos, a escala determina a relação entre as medidas de um desenho e as ! O produto das duas razões é igual a 1, isto é: medidas reais que correspondem a ele. × =1 Suponha que, em um determinado mapa, a dis- tância entre o monte Caburaí (extremo Norte do Nessas condições, diz-se que é razão inver- Brasil) e o arroio Chuí (extremo Sul) é representa- do por um segmento de 7,2cm. A distância real sa de , ou vice-versa. entre esses extremos é de 4.320km. 108
  • 94. Matemática Elementar I – Proporcionalidade Para calcular a razão entre a distância que está 2. Proporção no mapa e a distância real, deve-se primeiramen- 2.1 Conceito de proporção te transformar 4.320km em centímetros. Observe as fotos da figura 1. 4.320km = 432.000.000cm. Dizer que a foto é 3 × 4, significa dizer que ela Logo, a razão é dada por: tem um formato de um retângulo com 3cm de base e 4cm de altura. Do mesmo modo, uma foto 6 × 8 tem 6cm de base e 8cm de altura. Esse tipo de razão é chamada escala. A escala indica que cada centímetro no mapa equivale a 60.000.000 cm = 600km. Escala é a razão entre um comprimento no dese- nho e o correspondente comprimento real. Exemplo: O mapa do Brasil está em duas escalas Figura 4: Idéia de proporção. diferentes. A razão existente entre a base e a altura da foto é de: Figura 3: escala. Os dois mapas possuem a mesma forma, mas têm tamanhos diferentes. O mapa A é uma am- Pode-se afirmar que = = 0,75 pliação do mapa B, ou o mapa B é uma redução do mapa A Diz-se que a igualdade entre as duas razões é Usa-se escala quando se quer representar um uma proporção. esboço gráfico de objetos como móveis, plantas De modo geral: de uma casa ou de uma cidade, fachadas de pré- dios, mapas, maquetes, etc. Dados os números racionais a, b, c e d, dife-3) Densidade Demográfica rentes de zero, diz-se que eles formam, nes- O cálculo da densidade demográfica, também sa ordem, uma proporção quando a razão de chamado de população relativa de uma região, a para b for igual à razão de c para d. expressa a razão entre o número de habitantes e a área de uma determinada região. Representa-se a proporção por: ou a:b=c:d Exemplo: Lê-se: a está para b assim como c está para d. O município de Coari, no estado do Amazonas, ocupa uma área de 57.529,7km², e tem uma po- 2.2 Os termos da proporção pulação de 63.815 habitantes. Dê a densidade demográfica da cidade de Coari. Dens. Demográfica = = 1,10 hab/km2 109
  • 95. UEA – Licenciatura em Matemática2.3 Propriedade fundamental das proporções 2.5 Propriedades das proporções Na proporção, o produto dos meios é sempre 1.a) Numa proporção, a soma ou a diferença igual ao produto dos extremos. dos dois primeiros termos está para = ↔ 6 × 4 = 8 × 3 = 24 o primeiro (ou para o segundo), assim como a soma ou a diferença dos dois Exemplos: últimos está para o terceiro (ou para o quarto). 1) e formam uma proporção, pois 4 × 9 = 12 × 3 36 = 36 2) e Exemplos: não formam uma proporção, pois 2 × 9 ≠ 3 × 5 1) A soma das idades de duas primas é 80 18 ≠ 15 anos, a razão entre a mais nova e a mais velha é . Ache as idades de cada uma.2.4 Cálculo do termo desconhecido de uma pro- porção Considerando as idades a e b, sendo Existem várias situações do dia-a-dia em que é a = idade menor e b = idade maior, tem-se: necessário calcular o termo desconhecido de A soma das idades a e b é 80 → a + b = 80. uma proporção. Exemplos: A razão entre a idade menor e a maior 1) A maquete de um centro cultural foi feita na razão é → = . de 5 para 150. A maquete tem 45cm de altura. Calcular a altura desse centro cultural. Utilizando a propriedade, tem-se que: = 5 . x = 150 × 45 ↔ 5 . x = 6 750 Como a + b = 80, então: x= ↔ x = 1350cm Transformando para metros, tem-se: x = 13,50m. 2) A razão entre as idades de dois irmãos é de . O maior tem 20 anos. Qual a idade do irmão menor? Dado conhecido: a idade do irmão maior é 20 Portanto, se a + b = 80 anos. então b = 80 − a = 80 − 32 = 48. Dado desconhecido: a idade do irmão menor = x. Para comprovar o resultado, tem-se: A razão entre as idades: 32 + 48 = 80 e razão entre os dois números = ↔ 4 . x = 3 × 20 ↔ 4 . x = 60 x= ↔ x = 15 Logo, a idade da prima mais nova é 32 anos, Logo, a idade do irmão menor é de 15 anos. e da prima mais velha é 48 anos. 110
  • 96. Matemática Elementar I – Proporcionalidade 2) Determinar dois números sabendo que a Como a + b = 63, tem-se: razão entre eles é e que a diferença é 48. A diferença entre os números a e b é 58: Para comprovar o resultado, tem-se que: a − b = 48 27 + 36 = 63 e = . A razão entre os dois números é: → = Logo, a = 27 e b = 36. Utilizando a propriedade tem-se que: 3.a) Numa proporção, o produto dos antece- dentes está para o produto dos conse- qüentes, assim como o quadrado de um antecedente está para o quadrado de Como a − b = 48 seu conseqüente. ou Portanto, se a − b = 48 então b = 84 − 48 = 36 Para comprovar o resultado, tem-se: Exemplo: 84 − 36 = 48 A área de um retângulo é de 150m² e a razão E a razão entre os dois números: da largura para o comprimento é de . Encontrar as dimensões do retângulo. Seja a = largura e b = comprimento do retângu- Logo, o número maior é 84, e o número lo, utilizando a propriedade tem-se: menor é 36.2.a) Numa proporção, a soma ou a diferença dos antecedentes está para a soma ou a diferença dos conseqüentes, assim co- Como a . b = 150, tem-se: mo qualquer antecedente está para seu conseqüente. Usando o produto dos meios pelos extremos, tem-se: Exemplos: 1) Calcular a e b, sabendo que a + b = 63 e = Portanto, se a . b = 150 então 10 . b = 150 Utilizando a propriedade, tem-se que: b= ↔ b = 15 = Para comprovar o resultado, tem-se: Como a + b = 63, tem-se: área do retângulo = a . b = 10 × 15 = 150m2, e a razão entre a largura e o comprimento: Utilizando novamente a propriedade, tem-se que: Logo, a largura do retângulo é 10m e a altura é 15m. 111
  • 97. UEA – Licenciatura em Matemática 4.a) Numa proporção, elevando-se os quatro a) Qual a razão entre o comprimento do retângulo A termos ao quadrado, resulta em uma e do retângulo B? b) Qual a razão entre o perímetro do retângulo A e nova proporção. do retângulo B? Exemplo: c) Qual a razão entre o área do retângulo A e do A soma do quadrado de dois números é 468, e retângulo B? a razão do menor para o maior é de . Deter- 3) Qual é a razão entre a capacidade de uma gar- rafa de guaraná de 600ml e a de uma garrafa minar esses números. de vinho de 900ml? Seja a e b dois números, utilizando a proprie- 4) Certo refrigerante é vendido por R$0,70, em la- dade tem-se: tas de 350ml, e por R$250,00, em garrafas de 2 litros. Qual das duas embalagens é mais eco- nômica para o consumidor? Utilizando a 1.a propriedade, tem-se: 5) Calcule a densidade demográfica de seu muni- cípio. 6) Determine os pares de razões que formam Como a + b = 468, tem-se: 2 2 uma proporção: a) e b) e c) e d) e 7) Calcule o valor do termo desconhecido nas proporções: Portanto, se a2 + b2 = 468, então 144 + b2 = 468 a) b) b2 = 468 − 144 b2 = 324 c) d) b= = 18 Para comprovar o resultado, tem-se: 8) Usando as propriedades de proporção, resolva os problemas: 122 + 182 = 144 + 324 = 468, e a razão do menor a) A razão entre dois números é de 13 para 19, e a para o maior = sua soma é 192. Determine esses números. Logo, os números são 12 e 18. b) Na 6.a série A, há 28 alunos. A razão entre o nú- mero de meninos e o de meninas é . Quantos rapazes há na 6. série A? a EXERCÍCIOS c) Um pai divide R$72,00 entre seus dois filhos de1) Calcule as razões entre: modo que eles recebam as quantias proporcio- nais as suas idades, que é de 3 e 5 anos, respec- a) 1e6 c) 6 e 1 tivamente. Determine as quantias. b) 5 e 25 d) e d) A idade de dois irmãos está na razão de . Determine essas idades, sabendo que sua soma2) Observando as figuras A e B responda: é 20 anos. 112
  • 98. Matemática Elementar I – Proporcionalidade Exemplo: TEMA 34 Na compra de 10 litros de açaí, ao preço de R$1,50 o litro, gasta-se o total de R$15,00. En- tão, na compra de 20 litros de açaí, o custo REGRA DE TRÊS SIMPLES total será de R$30,00, e na compra de 30 li-1. Conceito de grandeza tros, o custo total será de R$45,00. Grandeza é todo atributo de um fenôme- Portanto: no, corpo ou substância que pode ser qualitativamente distinguido e quantitati- 3. Grandeza inversamente proporcional vamente determinado. As grandezas podem ter suas medidas aumen- Quando duas grandezas são inversa- tadas ou diminuídas. mente proporcionais, os números que expressam essas grandezas variam um São exemplos de grandezas: velocidade, na razão inversa do outro. tempo, peso e espaço. São comuns em nosso dia-a-dia situações em que duas ou mais gran- Exemplo: dezas se relacionam. Um avião, à velocidade de 800km por hora, le- Exemplos: va 42 mimutos para ir de Manaus a Manicoré. 1) Uma bicicleta, para percorrer um determinado Se a velocidade do avião fosse de 600km por espaço, quanto maior a velocidade menor o hora, o tempo necessário para fazer a mesma tempo gasto. viagem seria de 56 minutos? As grandezas velocidade e tempo são inversa- mente proporcionais, pois à medida que uma aumenta a outra diminui e vice-versa. 4. Regra de três Figura 1: Idéia de grandeza. Fontes: www.sesamo.com Existem dois tipos de regra de três: a simples, www. store-garage34.locasite.com.br/loja/images/velocidade. que trabalha com apenas duas grandezas, e a composta, que envolve mais de duas gran- 2) A nota que o aluno tira numa prova depende do dezas. número de questões que ele acerta. 4.1 Regra de três simples Para resolver problemas que envolvem regra de três simples, deve-se obedecer ao seguinte procedimento: 3) O trabalho a ser realizado em um determinado 1) Colocam-se os valores da grandeza de mes- tempo depende do número de operários empre- ma espécie na mesma coluna, e os valores gados. da grandeza de espécie diferente em outra A relação de dependência entre duas grandezas, coluna. dependendo da condição apresentada, pode ser 2) Fixando a grandeza que possui a variável, classificada como diretamente proporcional ou e analisando a outra grandeza, se forem inversamente proporcional. diretamente proporcionais, as setas devem2. Grandeza diretamente proporcional estar no mesmo sentido. Caso sejam inver- samente proporcionais, as setas ficam em Quando duas grandezas variam sempre sentido contrário, invertendo-se a razão. na mesma razão, diz-se que essas gran- 3) A razão da grandeza que possui a variável é dezas são diretamente proporcionais. igual à razão da outra grandeza. 113
  • 99. UEA – Licenciatura em Matemática Exemplos: Observe que as grandezas número de trabalha- dores e tempo são inversamente proporcionais, 1) Comprei 5 metros de tecido por R$900,00. Quan- pois se 4 trabalhadores constroem uma casa em to gastaria se tivesse comprado 9 metros? 8 dias, 2 trabalhadores demorarão mais tempo Considerando a tabela que relaciona o compri- para construí-la. Ou seja, quanto menor o núme- mento com o preço do tecido tem-se: ro de trabalhadores, maior será o tempo para a construção. Logo, devemos inverter a proporção. Observe que as grandezas comprimento e preço são diretamente proporcionais, pois se 5 metros de tecido custam R$900,00, 9 metros custarão mais que R$900,00. Observe que aumentando ou diminuindo uma grandeza, a outra aumenta ou Multiplicando o produto dos meios pelos extre- diminui na mesma proporção. Logo, as gran- mos tem-se: dezas são diretamente proporcionais. 2 . x = 4 × 8 ↔ 2 . x = 32 ↔ x = ↔ x = 16 Portanto, 2 trabalhadores construirão a casa em 16 dias. De modo geral: regra de três simples é um processo de resolução de problemas de quatro valores, dos quais três são conhecidos, e deve- Multiplicando o produto dos meios pelos extre- mos determinar o quarto valor. mos, tem-se: 4.1 Regra de três composta 5 . x = 9 × 900 5 . x = 8100 O processo usado para resolver problemas que envolvem mais de duas grandezas, direta x= ou inversamente proporcionais, é chamado x = 1620 regra de três composta. Portanto, por 9 metros de tecido, gastaria Para resolver problemas que envolvem regra R$1.620,00. de três composta, deve-se obedecer ao se- guinte procedimento: 2) Uma equipe de 4 trabalhadores constroem uma casa em 8 dias. Em quantos dias, apenas 2 da 1) Colocam-se os valores das grandezas de equipe de trabalhadores constroem uma casa mesma espécie na mesma coluna, e os va- idêntica ? lores das grandezas de espécies diferentes em outra coluna. 2) Fixando a grandeza que possui a variável e analisando as outras grandezas, se forem diretamente proporcionais, as setas devem Figura 2: Grandeza inversamente proporcional. estar na mesma direção. Caso sejam inver- Fonte: www.atribunamt.com.br samente proporcionais, as setas ficam em As grandezas são trabalhadores e dias: sentido contrário, invertendo-se a razão. 3) A razão da grandeza que possui a variável é igual ao produto das razões das outras grandezas. 114
  • 100. Matemática Elementar I – Proporcionalidade Exemplo: tempo levariam 10 pintores para pintar a Dois pedreiros levam 9 dias para construir um mesma escola? muro com 2 m de altura. Trabalhando 3 pedrei- 3) Uma torneira, despejando 5 litros de água por ros e aumentando a altura do muro para 4m, minuto, enche uma caixa d’água em 6 horas. qual será o tempo necessário para completar a Em quanto tempo duas torneiras iguais a essa obra? encherão essa mesma caixa? 4) Um empreiteiro recebe R$8.360,00 por 20 dias de trabalho. Quanto receberá por 35 dias? 5) Romildo trabalhou 30 dias e recebeu R$150,00. Em quantos dias de trabalho ele receberá R$200,00? Figura 3: Regra de três composta. Fontes: www.eletropaulo.com.br 6) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas torneiras a encheriam em 2 As grandezas são pedreiros, altura do muro e horas? dias trabalhados. 7) Se 35 operários fazem uma escola em 24 dias, trabalhando 8 horas por dia, quantos operários serão necessários para fazer a mesma obra em 14 dias, trabalhando 10 horas por dia? 8) Três torneiras enchem um tanque em 10 horas. Quanto maior a altura do muro, mais dias Quantas horas levarão 10 torneiras para en- serão necessários para construí-lo. Logo, as cher 2 tanques? grandezas altura e dias são diretamente proporcionais. Quanto menor o número de 9) Duas máquinas empacotam 1 000 litros de leite pedreiros, mais dias serão necessários para por dia. Quantas máquinas são necessárias para empacotar 2 000 litros de leite em meio construir o muro. dia? 10) Na merenda escolar, 640 crianças consomem 1500 litros de suco em 30 dias. Quantos litros de suco deverão ser consumidos por 400 cri- anças em 40 dias? Portanto: Logo, para construir o muro de 4m serão ne- cessários 12 dias. EXERCÍCIOS1) A professora Ana Maria percorre de bicicleta, de sua casa até a escola onde leciona, 1400m em um tempo de 7 minutos. Quantos metros vai percorrer em 30 minutos, desenvolvendo sempre a mesma velocidade?2) Cinco pintores levam 40 dias para pintar uma escola. No mesmo ritmo de trabalho, quanto 115
  • 101. UEA – Licenciatura em Matemática A capacidade de oxigênio é diretamente pro- porcional à capacidade de ar. O fator de pro- TEMA 35 porcionalidade é ou 21% . Lê-se: vinte e PORCENTAGEM um por cento.1. Idéia de porcentagem Então: Toda razão de conseqüente 100 chama-se razão centesimal. a) b) c) d) Se o conseqüente for um numero diferente de 100, nesse caso multiplica-se antecedente e conseqüente por um número que torne o con- seqüente igual a 100. Exemplos: a) b) Figura 1: Idéias de percentagem. É possível representar as razões centesimais Frases como estas aparecem com freqüência por números decimais. no nosso dia-a-dia. a) = 0,08 b) = 0,19 c) = 0,80 Veja o significado de algumas delas. a) “Grande liquidação. Desconto de 40%.” Significa d) = 1,36 e) = 0,01 dizer que em cada R$100,00 de compra será feito um desconto de R$40,00. Representam-se as razões centesimais na b) “O salário mínimo teve aumento de 16,6 %” Sig- forma porcentual (%). nifica dizer que em cada R$100,00 do salário mí- nimo haverá um aumento R$16,60. Logo, em a) = 8% b) = 19% c) = 80% 2006, o salário mínimo será de R$349,80. d) = 136% e) = 1%2. Razão centesimal, taxa percentual Qualquer número escrito na forma porcentual É comum expressar a razão entre um número (%) é chamado taxa percentual. e 100 usando o termo por cento (%), que sig- 8% , 19% , 80% , 136% , 1% são exemplos de nifica “dividido por cem” ou centésimo. taxa percentual. Exemplo: 3. Resolução de Problemas 1) Em uma partida de basquete, Romildo acertou 50% dos 30 arremessos que efetuou. Quantos arremessos acertou? A informação acima significa que em cada 100 litros de ar há 21 litros de oxigênio. É possível relacionar porcentagem com pro- Figura 2: Porcentagem. porcionalidade. Fonte: www.icicom.up.pt/.../arquivos/2004/08 116
  • 102. Matemática Elementar I – Proporcionalidade O problema quer que você responda: Quanto 2) Escreva na forma centesimal: vale 50% de 30? a)13% b) 49% c) 512% d)116% Existem duas maneiras de resolver esse proble- ma: 3) Escreva na forma de percentual. 1. forma: Como 50% = a = 0,50, pode-se es- a) b) c) d) crever: 50% de 30 = de 30 → × 30 = 0,50 × 30 = 15 4) Calcule: a) Quanto é 45% de 800? 2.a forma: 50% dos arremessos significam que, b) 20 é 15% de quanto? em cada 100 arremessos efetuados, Romildo acerta 50. Assim: 5) Resolva os problemas: a) Luiz comprou uma televisão por R$695,00 com desconto de 17%. Quanto pagou pelo aparelho? b) Em uma classe de 50 alunos, compareceram 35. Qual a taxa percentual de ausência? Os problemas de porcentagem podem ser resol- c) Economizei R$84,00 ao obter um desconto de vidos usando regra de três simples e direta. 15% na compra de uma roupa. Qual era o preço inicial? d) Lina gastou 20% de seu salário em uma mercado- ria que custou R$50,00. Quanto Lina ganha men- Usando o produto dos meios pelo produto dos salmente? extremos, tem-se: 100 . x = 50 . 30 100 . x = 1500 x = 15 Logo, Romildo acertou 15 arremessos. 2) Ribamar depositou R$600,00 numa caderne- ta de poupança no dia 09/01/2006. Terá, no dia 09/02/2006, R$615,00. Qual é o percentual de rendimento? Dados: Quantia principal: R$600,00 Rendimento principal: R$15,00 Pede-se: a taxa de rendimento. Montando a regra de três, tem-se: 100% → 600 x% → 15 Logo, a taxa de rendimento é de 2,5%. EXERCÍCIOS1) Escreva na forma de percentual as razões cen- tesimais: a) b) c) d) 117
  • 103. UEA – Licenciatura em Matemática TEMA 36 JUROS SIMPLES 2) Ao tempo ( t ): quanto maior o tempo, tanto maior o juro. Figura 1: Juros simples. 3) À taxa ( i ), que é o valor tomado em cada Fonte: www.comprafacil.com.br 100 unidades, referidas ao ano ou ao mês ou a dias: quanto maior a taxa tanto maior1. Conceito de juro, capital e taxa os juros. É comum ouvir frases como estas: – “Vou depositar meu dinheiro na caderneta de poupança porque renderá juros e correção monetária.” – “Vou fazer um empréstimo bancário”. Quando se deposita numa caderneta de pou- A fim de facilitar o cálculo necessário para pança ou se empresta oficialmente uma certa determinar qualquer uma das grandezas (juro, quantia por um determinado tempo, recebe-se tempo ou taxa), estabeleceram-se fórmulas re- uma compensação em dinheiro chamada juro. sultantes de um problema de regra de três ! Os juros simples, chamados apenas de juros, composta. são representados pela letra j. Se o capital 100 produz i em 1 ano, então o ! O dinheiro que se deposita ou empresta chama- capital C produz j em t anos: se capital e é representado pela letra C. ! O tempo de depósito ou de empréstimo é repre- sentado pela letra t. ! A taxa de juros é a razão centesimal que incide sobre um capital durante certo tempo. É repre- sentada pela letra i e utilizada para calcular juros. 2. Resolução de problemas Resumindo: Exemplos: 1) Célia emprestou a quantia de R$50.000,00 duran- te 8 meses, a uma taxa de 1,2 % ao mês. Quais os juros que Célia pagou? Em um mês, Célia iria pagar 1,2% de R$50.000,00 O juro ( j ) é uma grandeza diretamente propor- cional: Logo, em 8 meses irá pagar 1) À quantia emprestada ou Capital (C ): quan- to maior o capital, tanto maior os juros. R$600,00 x 8 = R$4.800,00 118
  • 104. Matemática Elementar I – Proporcionalidade j= Portanto foram pagos R$4.800,00 de juros. Logo, Maurício deverá aplicar durante 2 anos.2) João investiu um capital de R$15.000,00, em uma instituição financeira que paga juros durante 3 5) A que taxa anual Hélio deve aplicar um capi- anos, à taxa de 24% ao ano. Qual o valor dos tal de R$20.000,00 para render, em 3 anos, juros recebidos por João? R$28.800,00 de juros? Pede-se: j = ? Pede-se: i = ? Utilizando a fórmula: j= j= j= j = 150 × 3 × 24 ⇒ j = 10 800 Logo, os juros recebidos por João são de R$10.800,00.3) Que quantia deve ser aplicada durante 3 meses, Logo, a taxa de juros é 48% ao ano. à taxa de 1,5% ao mês, para obter R$4.410 de juros? Observação Deve-se sempre relacionar taxa e tempo numa mesma unidade: Pede-se: C = ? Deve-se usar as seguintes unidades comerciais. C = 9800 Logo, a quantia a ser aplicada são de R$9.800,00. Exemplos: 1) Quais são os juros produzidos pelo capital de4) Por quanto tempo Maurício deverá aplicar um ca- R$7.200,0 emprestado à taxa de 8% ao ano, pital de R$12.000,00 a uma taxa de 36% ao ano durante 10 meses? para render R$8.640,00 de juros? Pede-se: t = ? Pede-se: j = ? 119
  • 105. UEA – Licenciatura em Matemática j= Logo, os juros produzidos são de R$480,00. 2) Quais são os juros produzidos pelo capital de R$4.000,00 aplicado durante 300dias à taxa de 15% ao ano. Pede-se: j = ? j= Logo, os juros produzidos são de R$500,00. EXERCÍCIOS1) Lili tomou emprestado a importância de R$12.000,00 pelo prazo de 2 anos, a taxa de 30% ao ano. Qual será o valor dos juros a serem pagos?2) Durante quanto tempo Caio deve aplicar um capital de 54.000,00 a uma taxa de 0,5% ao mês para render R$810,00 de juros?3) Um comerciante emprestou de uma financia- dora um capital de R$60.000,00, à taxa de 1,5% ao mês, durante 2 anos. Quanto pagou de juros ao final do contrato?4) Quais são os juros produzidos por R$300,00 aplicados à taxa de 3,5% a.m durante 2 me- ses? 120
  • 106. Respostas de Exercícios
  • 107. Matemática Elementar I – Respostas de Exercícios Notação exponencial de (2332)quatroUNIDADE I − Sistemas de Numeração (2332)quatro = 2 × 43 + 3 × 42 + 3 × 41 + 2 × 40 (2332)quatro = 2 × 64 + 3 × 16 +3 × 4 + 2 × 1 TEMA 01 (2332)quatro = 128 + 48 + 12 + 2 = 190 A ORIGEM, AS ANTIGAS CIVILIZAÇÕES E NOSSO SISTEMA DE NUMERAÇÃO 2) (192)dez = (1 2 3 2 )cinco , pois: 1 × 53 + 2 × 52 + 3 × 51 + 2 × 50 = 125 + 25 + 15 + 2 = 1921) a) 301 b) 210 c) 111 Lembrete: i) Cada 10 argolas de uma haste corresponde a 1 UNIDADE II − Conjuntos argola na haste imediatamente à esquerda. ii) O valor da argola muda conforme a posição da haste no ábaco. TEMA 03 iii) O maior valor de argolas em cada haste é nove. CONJUNTOS2) a) XII b) XIX c) CLIX d) DXXXV 1) a) ⊂ b) ∉ c) ⊃ d) ⊃ e) ∈ f) ⊂ e) MDXLII f) IVCDXV g) DCCL 2) Sendo A = { 31, 32, 33, 34, ...}, B = {24, 23, 22,3) O número é 3 020 = 3 ×103 + 0 × 102 + 2 × 101 + 0 × 100 21,...,1} e C = {40,41,..., 49,50} Caso a sua resposta tenha sido diferente, veja a a) F , pois A ∪ B = {1, 2, 3, ...24,31,......} notação exponencial passo a passo: b) V , pois A ∩ C = {40,41,..., 49,50} = C 2 123 = 2 000 + 100 + 20 + 3 c) F , pois C – A = { } d) F , pois B ∪ C = D = {0, 1, 2,...50}, 2 123 = 2 × 1 000 + 1 × 100 + 2 × 10 + 3 então A − (B ∪ C) = A – D = {51,52, ... } 2 123 = 2 × 10 × 10 × 10 + 1 × 10 × 10 + 2 × 10 + 3 2 123 = 2 × 103 + 1 × 102 + 2 × 101 + 3 × 100 Lembrete: UNIDADE III − Conjuntos dos Números Naturais 103 = 10 × 10 × 10 102 = 10 × 10 101 = 10 TEMA 04 100 = 1 REPRESENTAÇÃO DOS NÚMEROS NATURAIS4) NA RETA NUMÉRICA. OPERAÇÃO: ADIÇÃO 1) a) 32 b) 57 2) a) 198 + 235 = 433; b) 235 + 467 + 56 + 89 = 847; c) 198 + 523 + 67 + 169 + 235 + 467 + 56 + 89 =1 8045) a) 2 classes e 4 ordens; b) 2 unidades; c) 8 dezenas; d) 34 centenas; e) 1.a ordem. TEMA 05 TEMA 02 OPERAÇÃO: SUBTRAÇÃO BASES DIFERENTES DE 10 1) 4 789 − 3 456 = 1333 metros cúbicos.1) 2) a) 5 789 + 4 745 + 165 + 59 = 10 758; b) 11 567 − 10 758 = 809; c) 4 745 − 5 789 = 1 044. O código é (2332)quatro lê-se: “dois, três, três, dois na base quatro”. 3) a) x = 267 b) y = 15 c) a = 27 123
  • 108. UEA – Licenciatura em Matemática TEMA 06 TEMA 10 OPERAÇÃO: MULTIPLICAÇÃO MÁXIMO DIVISOR COMUM E MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM1) 12 624 × 3 = 37 872. 1) m.m.c.(10, 12, 18) = 1802) 32 × 9 = 288 combinações. TEMA 07 OPERAÇÃO: DIVISÃO1) x = tempo de bicicleta, p = 3x = tempo a pé. 2) a) 24 = 16, b) 27 × 3 × 5 × 11 = 21.120 3x + x = 72 ⇒ 4x = 72 ⇒ x = 18 minutos. Logo, 3) m.d.c.(a, b) = 2 × 3 × 5 = 30 e Maria demorou 18 minutos para ir da casa à escola. m.m.c.(a, b) = 22 × 32 × 5 = 4 × 9 × 5 = 1802) 70 − 25 = 45; 45: 5 = 9 Logo, cada agenda custou 9 reais. UNIDADE IV − Conjunto dos Números Inteiros3) 150 − 86 = 63; 64 : 4 = 16 Logo, devo plantar 16 mu- das em cada dia. TEMA 114) a) 9 594; b) 137 904; c)1 642 572; d) 532; A IDÉIA DO NÚMERO INTEIRO. REPRESENTAÇÃO e) quociente é 5 e resto é 65; NA RETA NUMÉRICA. SUBCONJUNTOS. MÓDULO f) quociente é 197 e resto é 40. OU VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO INTEIRO 1) a) 6; b) 2; c) 8; d) 4; e) 6; f) 7. TEMA 08 2) Há 4 700 quilômetros em linha reta entre as cidades B e C. OPERAÇÕES: POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO. EXPRESSÕES NUMÉRICAS 3) c1) 43 = 64 Logo, há 64 vagas na garagem do prédio. TEMA 122) a ) 24; b) 6; c) 32; d) 29; e) 28. OPERAÇÕES: ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO 1) (−3) + (−1) = −4 TEMA 09 2) a) (−25) + (+50) = +25 DIVISIBILIDADE b) (−25) + (−5) = −30 c) (−25)+(−10) + (+50) = (−35) + (+50) = +151) a) M(3) = {0, 3, 6, 9,...}; 3) Representação numérica: b) M(4) = {0, 4, 8, 12,...}; c) M(7) = {0, 7, 14, 21,...}. Cálculo: (−5) + (+2) = −32) a) D(35) = {1, 5, 7, 35}; 4) 4 graus b) D(100) = {1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100}; c) D(450) = {1, 2, 3, 6, 9, 10, 15, 25, 30, 60, 75, 90, 5) 74 anos 225, 450}3) a4) {11, 13, 17, 19} 6) a) −5; b) −10; c) −5; d) −14; e) 27; f) −98 124
  • 109. Matemática Elementar I – Respostas de Exercícios TEMA 13 TEMA 16 OPERAÇÕES: MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO O CONJUNTO DOS RACIONAIS RELATIVOS. REPRESENTAÇÃO NA RETA NUMÉRICA.1) 2 × (−45) = −90. Ana deve R$90,00. SUBCONJUNTOS. MÓDULO OU VALOR2) 3 × (−16) = −48. O segundo mergulhador está a 48 ABSOLUTO DE UM NÚMERO RACIONAL metros de profundidade. 1) a) > ; b) > ;3) (+800) : (−2) = − 400. Joana deverá sacar R$400,00 por mês. c) resposta < 0 todo número negativo é menor4) a) 126; b) –90; c) 1; d) 2; e) −5; f) −7 que zero; TEMA 14 d) >− todo número negativo é menor que OPERAÇÕES: POTENCIAÇÃO E qualquer numero positivo. RADICIAÇÃO. EXPRESSÕES NUMÉRICAS 2) c, d1) x = (−2)2 – (−1)3 = (+4) – (−1) = 4 + 1 =52) 962 = 9 216 habitantes TEMA 173) x = 404) a) ×(16 − − 8 – 4 + 5) = ×(16 – 6 – 12 + 5) OPERAÇÕES: ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO = 7 × (+3) = 21 1) a) b) (+3)3 × (−4) + {(−4)8 – 4 – 4 +[(−8) : (+8)]} = = (+27) × (−4) +{(−4)4 – 4 +(−1)} = = −108 + {16 − 4 – 1} = −108 + 16 − 5 = −97 b)UNIDADE V − O Conjunto dos Números Racionais 2) a) 1 b) TEMA 15 3) a) O NÚMERO RACIONAL ABSOLUTO b)1) O total de turistas é: 9 + 6 + 4 = 19. Logo: a fração de brasileiros em relação ao total de turistas é . 4) a) ; b)2) Como o mês de outubro têm 31 dias, a fração refe- rente aos onze dias deste mês é . 5) a) − ; b) + =+ =+ = +1 ; c) −3) a) P; b) I; c) P; d) A. 6) + =4) =3 + =5) a) = ; b) = 7) − =6) x = 647) a) b) + = 125
  • 110. UEA – Licenciatura em Matemática TEMA 18 TEMA 19 OPERAÇÕES: MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO OPERAÇÕES: POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO1) Comeram do bolo, 1) a) 1; b) ; c) ; pois: + = = = e falta comer , pois 1 inteiro = e como já foram comi- d) dos , sobram ainda − = .2) a) 2) a) b) c) d) TEMA 20 EXPRESSÕES NUMÉRICAS b) E RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS 1) a) − ; b) 0 c)3) 2) a) Resta pintar do quarto; b) Precisarão 15 litros para pintar a parte que falta; c) Precisarão 40 litros para pintar o quarto todo; d) vou precisar 16 latas de tinta para pintar o quarto todo. 3) Sobraram 840 sacas. 4) Mamãe levou para a feira R$105,00. Pelo m.m.c., tem-se: 5) O valor total da herança é de R$720.000,00. = = = TEMA 21 Simplificando por 5, tem-se: = REPRESENTAÇÃO DE NÚMEROS FRACIONÁRIOS NA FORMA DECIMAL 1) a) dois inteiros e quarenta e cinco centésimos.4) b) quatro milésimos. c) quarenta e seis inteiros e sete centésimos. 2) a) =; b) >; c) < 3) Logo, a distância total a ser escalada é de 1600m.5) de 24 = × 24 = = 12 4) 0,2 + 0,3 + 0,4 = 0,9 parte que sobrou: 1 − 0,9 = 0,1 = Logo, Sueli apontou 12 lápis. 126
  • 111. Matemática Elementar I – Respostas de Exercícios TEMA 22 TEMA 24 OPERAÇÕES: MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO. UNIDADES DE MEDIDA SISTEMA MONETÁRIO NACIONAL DE COMPRIMENTO1) a) 387; b) 0,475; c) 1957,08; 1) a) oito quilômetros e sete hectômetros; d) 2,6; e) 51,25; f) 6,75. b) trinta e cinco centímetros; c) vinte e sete centímetros e oito milímetros;2) d) oito milímetros. 2) a) 0,25hm; b) 36 000m; c) 0,0682hm; d) 73 500dm3) Alternativa b TEMA 25 1 nota de R$50,00; 3 notas de R$10,00; 1 nota de CURVAS ABERTAS E FECHADAS. R$5,00; 4 moedas de R$1,00 e 1 moeda de R$0,10. REGIÕES CONVEXAS. ÂNGULOS E POLÍGONOS4) 1) a) agudo; b) obtuso; c) raso; d) reto 2) Enumerando as partes da figura tem-se: I e II: triângulos convexos; III: pentágono não-convexo e IV: quadrilátero: trapézio convexo. Logo, o valor da entrada da televisão com 2 casas 3) a) 3000’ b) 4800” c) 34o decimais é R$150,33 4) a) 50o 50’ 6” b) 35o 40’5) 0,3 × 3 = 0,9 c) 229o 30’ 20” d) 5o 15’ 5”6) 1498 : 8 = 187,25 Logo, o valor de cada prestação da geladeira é R$187,25. TEMA 267) 5,44 × 8 = 43,52 Logo, paguei pelos 8 retalhos de tecido R$43,52. TRIÂNGULOS E QUADRILÁTEROS. PERÍMETRO8) 0,8 : 5 = 0,16 Logo, cabe a cada criança 0,16 do 1) a) retângulo isósceles; bolo. b) acutângulo eqüilátero; c) obtusângulo escaleno; d) obtusângulo isóscelesUNIDADE VI − Geometria das formas e das medidas 2) a) V; b) V; c) F 3) a) losango; b) retângulo; c) trapézio TEMA 23 4) 71,7 cm A GEOMETRIA DE EUCLIDES. 5) 145 m CONCEITOS PRIMITIVOS. SEMI-RETA. SEGMENTO DE RETA. NOÇÕES DE MEDIDA 6) 40 cm : 5 cm = 8 Logo, Patrícia poderá dividir a corda com 8 amiguinhas.1) a) plano; b) reta; c) ponto. 7) Sendo o heptágono um polígono de 7 lados, seu2) a) V; b) F; c) V; d) V; perímetro será 7 × 2 cm = 14 cm. 127
  • 112. UEA – Licenciatura em Matemática TEMA 27 TEMA 30 MEDIDAS DE SUPERFÍCIE SÓLIDOS GEOMÉTRICOS: PRISMAS E PIRÂMIDES1) a) 0,000455 m2 b) 0,2356 km2 c) 0,000000000067 hm2 d)10678dm 2 1) Usando a planificação do prisma na figura abaixo, temos: TEMA 28 ÁREA DE PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS1) 28 cm2 Na figura, tem-se que: r = medida da aresta lateral = 6cm e2) 582 200 ha s = medida da aresta da base = 3cm.3) 330 000 m2 a) A l (Área lateral) = 6 × A r (área do retângulo)4) a) 225 cm2; b)2000 = 6 . r . s = 6 × (6 × 3) = 108 cm2.5) 1 600 cm2 A b (Área da base) = área da região limitada pelo hexágono regular. Como a região hexagonal é formada por seis re- TEMA 29 giões triangulares eqüiláteras, tem-se: VOLUME DE SÓLIDOS. MEDIDAS A b = 6 × A t (área do triângulo) DE CAPACIDADE E MASSA =6× = cm2.1) O volume da embalagem depende das dimensões Logo, A t (área total) = A l + A b da embalagem escolhida. A t = 108 + 2 ×2) A capacidade mínima depende das dimensões da televisão. A t = 27 (4 + )cm2.3) a) novecentos e quarenta hectômetros cúbicos; b) Volume V = A bH , como o prisma é reto r = H. b) dois metros cúbico se setecentos e setenta e no- ve decímetros cúbicos; V= × 6 = 81 cm3 c) dezenove decalitros e cinco litros; d) oito miligramas. 2) A t = 9 (8 + ) u.a. (unidades de área) e4) a) 0, 0000451m3; b) 40cm3; V = 18 u.v. (unidades de volume) c) 36 000g; d) 73 500dl5) a) 432l; b) 432kg 3) V = 90 cm3 128
  • 113. Matemática Elementar I – Respostas de Exercícios UNIDADE VII − Proporcionalidade TEMA 31 SÓLIDOS GEOMÉTRICOS:CORPOS REDONDOS. CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO TEMA 33 RAZÕES E PROPORÇÕES1) Área da cartolina = 70 × 50 = 3500cm2 Área do círculo = 3,14 × 10 2 = 3,14 × 100 = 314cm2 1) a) b) = Para calcular quantos círculos de 314cm² de área cabem num retângulo de 3500cm2 de área, divide- c) d) : = . = se 3500 por 314, o que equivale a aproximadamente 11,15. Isto significa que cabem 11 círculos e, portan- to, sobra cartolina. 2) a) b) c)2) Comprimento = 8 πm e área = 16 πm2 3)3) Área do circulo com 5cm de raio = 25 πcm2 Área do círculo com 3cm de raio = 9 πcm2 4) A mais econômica é a garrafa de 2 litros. Área da região sombreada = 25 πcm2 − 9 πcm2 = = 16 πcm2 5) A resposta depende do número de habitantes e a área total de cada município. 6) a, b e d TEMA 32 SÓLIDOS GEOMÉTRICOS: 7) a) x = 10; b) y = 3; c) a = −54; d) z = CORPOS REDONDOS. CILINDRO E CONE 8) a) Os números são 78 e 114.1) O volume depende das dimensões do raio e altura b) 20 meninas e 8 meninos. escolhidas. c) O filho de 3 anos recebe R$27,00 e o de 5 anos2) A capacidade da lata é de 538,51ml recebe R$45,00. d) As idades são 8 anos e 12 anos.3) a) Prisma pentagonal Arestas laterais: AF, BG, CH, DI e EF. Faces laterais: FGAB, GHBC, HICD, JIED e FJAE. TEMA 34 Arestas das bases: AB, BC, CD, DE, AE, FG, GH, HI, IJ e FJ. REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA b) Pirâmide triangular 1) Ana Maria irá percorrer 6 000m ou 6km Arestas laterais: AB, AC e AD. Faces laterais: ABD, ABC e ADC. 2) Os 10 pintores levariam 20 dias para pintar a esco- Arestas das bases: BD, BC e DC. la. c) Cilindro 3) Duas torneiras levarão 12 horas para encher a caixa.4) Pirâmide: 4) O empreiteiro receberá R$14.630,00 por 35 dias de Área da base: 10 × 6 = 60cm2 trabalho Volume: = 140cm3 5) Romildo receberá R$200,00 por 40 dias de trabalho Cone: 6) Serão necessárias 15 torneiras. Área da base = 3,14 × 52 = 78,5cm2 7) São necessários 48 operários. Volume = = cm = 183,16cm 3 2 8) Para encher 2 tanques levará 6 horas. Sendo o volume do cone maior que o volume da 9) São necessárias 8 máquinas. pirâmide, a embalagem com forma de cone é a mais adequada. 10) Deverão ser consumidos 1 250 litros de suco. 129
  • 114. UEA – Licenciatura em Matemática TEMA 35 PORCENTAGEM1) a) 7% b) 23% c) 123% d) 49%2) a) b) c) d)3) a) = = 35%; b) = = 6%; c) = = 48%; d) = = 60%.4) a) 360 b) 35) a) Luís pagou pelo aparelho R$576,85. b) 30% de ausentes. c) O preço da roupa é R$560,00. d) Lina ganha R$250,00 por mês. TEMA 36 JUROS SIMPLES1) O juro a ser pago a dona Lili é de R$7.200,00.2) Caio deve aplicar durante 3 meses.3) O comerciante pagou de juros a quantia de R$21.600,00.4) Os juros produzidos foram de R$21,00. 130
  • 115. REFERÊNCIASBATISTA, Célia Maria Nogueira et al. Matemática. Universidade do Estado do Amazonas. PROFORMAR,2003. 72 p.BIANCHINI, Edwaldo. Matemática. 5.a e 6.a Série. São Paulo: Moderna, 1995. 217 p.________. PACCOLA, Herval. Sistemas de Numeração ao longo da história. São Paulo: Moderna, 2002.64 p.BIGODE, Antônio José Lopes. Matemática Atual. 5.a série. São Paulo: Atual, 1994.GIOVANI, José Ruy; CASTRUCCI, Benedito; GIOVANNI Jr., José Ruy. A Conquista da Matemática. 5.a e 6.aséries. São Paulo: FTD, 2002. 366 p. 391 p.GUELI, Oscar. Contando a história da Matemática. N.o 1, 4 , 7. São Paulo: Ática, 1996. 41p.________. Matemática: Uma aventura do pensamento. 6.a série. São Paulo: Moderna. 280 p.IMENES, Luis Márcio; JAKUBOVIC José; LELLIS Marcelo. Matemática. 4.a série. São Paulo: Scipione, 1999.223 p.Imenes & Lellis. Matemática. Ed. Scipione, 6.a série, São Paulo.ROSA NETO, Ernesto; MENDONÇA, E.; SMITH, M. Matemática para o Magistério. São Paulo: Moderna,1996. 312 p.SILVEIRA, E.; Marques, C. Matemática. 5.a série. São Paulo: Moderna, 2000. 312 p.PATILLA, Peter. Círculos, Cilindros e Esferas (Coleção Viramundo). São Paulo: Moderna, 1995. 29 p.TELECURSO 2000. MATEMÁTICA. 1.o grau. Disponível em: http://www.bibvirt.futuro.usp.br